Soluţiile problemelor propuse în nr. 2/2011

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Soluţiile problemelor propuse în nr. 2/2011"

Transcript

1 Soluţiile problemelor propuse în nr. /11 Clasele primare P.6. Fie numerele a = 1 + şi b = 9. Înlocuiţi cercul şi pătratul cu cifre corespunzătoare astfel încât a + b = 15. (Clasa I) Amalia Munteanu, elevă, Iaşi Soluţie. 15 = 1 +, de unde = 5, cu posibilităţile: 9 4 = 5; 8 3 = 5; 7 = 5; 6 1 = 5 şi 5 = 5. P.6. O elevă a desenat un trenuleţ cu 3 vagoane pe care le-a colorat folosind, pe rând, culorile roşu, galben, albastru, roşu, galben ş.a.m.d. Ce culoare a folosit pentru vagonul din mijloc? (Clasa I) Mihaela Gîlcă, elevă, Iaşi Soluţie. Deoarece 3 = , înseamnă că al 1-lea vagon este în mijloc. Cum 1 = , deducem că pentru vagonul din mijloc a folosit culoarea albastră. P.18. Mihaela are 14 ani. Ea s-a născut când sora sa avea 7 ani, dar cu 5 ani înaintea fratelui său. Câţi ani au împreună cei trei fraţi? (Clasa a II-a) Maria Racu, Iaşi Soluţie. Sora Mihaelei are 14+7 = 1 (ani), iar fratele 14 5 = 9 (ani). Împreună au = 44 (ani). P.19. Un cioban păzea câteva oi şi câteva capre, în total 4 picioare. Câte oi şi câte capre sunt, dacă oile sunt mai multe decât caprele? (Clasa a II-a) Andreea Bîzdîgă, elevă, Iaşi Soluţie. Din descompunerea 4 = , rezultă că sunt în total 6 oi şi capre. Pot fi cinci oi şi o capră sau patru oi şi două capre. P.. Suma a două numere este 1. Dacă ştergem cifra miilor unuia dintre ele, obţinem celălalt număr. Aflaţi cele două numere. (Clasa a III-a) Mihaela Cianga, Iaşi Soluţie. Putem avea 1 + x = 1 sau + x = 1, unde x este al doilea număr. Avem două soluţii: (155; 55) şi (5, 5). P.1. Suma dintre un număr şi succesorul său este cu 1 mai mare decât predecesorul său. Calculaţi produsul dintre număr şi vecinii săi. (Clasa a III-a) Petru Miron, Paşcani Soluţie. Se deduce că succesorul numărului căutat este 9, deci numărul este 8. Obţinem = 54. P.. Pe o farfurie sunt cireşe şi vişine. Un copil mănâncă o treime din cireşe şi o jumătate din vişine şi constată că are 17 sâmburi. Pot rămâne pe farfurie fructe? dar 34? (Clasa a III-a) Tatiana Ignat, elevă, Iaşi 49

2 Soluţie. Din c : 3 + v : = 17, obţinem că c + 3v = 1. Dacă pe farfurie rămân de fructe, atunci c + v = 37 şi deducem că c = 9, v = 8, deci răspunsul la prima întrebare este afirmativ. Dacă pe farfurie ar rămâne 34 de fructe, atunci c + v = 51 şi am obţine v =, imposibil; răspunsul la a doua întrebare este negativ. P.3. Se consideră numerele naturale x, 4x, x + 3, x + şi 3x +, unde x >. a) Ordonaţi crescător numerele. b) Dacă notăm cu m cel mai mic număr şi cu M pe cel mai mare, care trebuie să fie valoarea lui x pentru ca şirul m, m + 1,..., M să conţină 13 numere? (Clasa a IV-a) Mariana Nastasia, elevă, Iaşi Soluţie. a) x < x + < x + 3 < 3x + < 4x; b) 4x x + 1 = 13, de unde x = 43. P.4. Un elev îşi ţine banii în două buzunare. Dacă ar cheltui un sfert din suma din primul buzunar şi o doime din cea din al doilea, suma totală s-ar micşora cu 48 lei. Care ar fi suma totală dacă, fără a cheltui nimic, elevul ar dubla suma din al doilea buzunar? (Clasa a IV-a) Petru Asaftei, Iaşi Soluţie. Dacă în primul buzunar avem a lei şi în al doilea b lei, atunci a : 4 + b : = 48. Mărind de 4 ori fiecare membru obţinem a + b = 19. Suma totală ar fi 19 lei. P.5. Aflaţi numerele de trei cifre distincte abc, dacă abc + bca + cab = 666. (Clasa a IV-a) Nicolae Ivăşchescu, Craiova Soluţie. Egalitatea abc + bca + cab = 666 se reduce la a + b + c = 6. Cum a, b şi c sunt cifre nenule distincte, convine doar situaţia 6 = Numerele sunt: 13, 13, 31, 13, 31 şi 31. Clasa a V-a V.137. Se consideră numerele naturale A = şi B = Demonstraţi că B A se divide cu 1. Mariana Mărculescu şi Dumitru Cotoi, Craiova Soluţie. Folosind faptul că 1 = M 4 +, iar 11 = M 4 +3, deducem că U(A) = U( ) = 5 şi U(B) = U( ) = 5. Atunci U(B A) =, prin urmare B A..1. V.138. Găsiţi un multiplu al lui 13 a cărui scriere în baza 1 conţine doar cifre de 1. Nicolae Ivăşchescu, Craiova Soluţia = = ( ) (3 37) = M 13. Soluţia (Cătălin Gulin, elev, Craiova). Cum =, (7693) = = , rezultă că = = M 13. V.139. Scrieţi numărul ca diferenţă de două pătrate perfecte nenule. Liviu Smarandache, Craiova Soluţia = 7 19 = (5 4 ) 19 =

3 Soluţia (Cătălin Gulin, elev, Craiova). Orice număr impar n = k + 1 se poate scrie sub forma (k + 1) k. În cazul nostru, = V.14. Determinaţi numerele de forma 5abc care, împăţite la abc5, dau câtul de 595 ori mai mic decât restul. Petru Asaftei, Iaşi Soluţie. Dacă q este câtul împărţirii, atunci 5abc = abc5 q +595q şi 595q < abc5. Obţinem că 5+abc = 1q abc+6q, de unde c =. Astfel, 5+ab = 1q ab+6q şi de aici rezultă că b =. Deducem că 5+a = 1q a+6q, egalitate care se realizează doar când a = q =. În concluzie, singura soluţie a problemei este 5. V.141. Se consideră numerele naturale a 1, a,..., a n astfel încât a 1 = 1 şi fiecare număr, începând cu al doilea, este triplul sumei tuturor numerelor dinaintea lui. Dacă a 1 + a a n =, determinaţi n. Mirela Marin, Iaşi Soluţie. Observăm că a = 3, a 3 = 3 (1 + 3) = 3 4, a 4 = 3( ) = 3 4, a 5 = 3( ) = În general, a n = 3 4 n, n, şi atunci a 1 + a a n = n = 4 n 1. Din 4 n 1 = obţinem că n = V.14. Arătaţi că numărul A = este pătrat perfect. Andrei Nedelcu, Iaşi Soluţie. Dacă notăm x = , atunci A = x x + 3x x 1x = x( ) = x( ) = 4x(1 11 1) = 4x = 4x 9x = (6x), deci A este pătrat perfect. V.143. Reconstituiţi înmulţirea alăturată, ştiind că literele distincte reprezintă cifre distincte. a b c d e f * * * * * * f a b c d e e f a b c d d e f a b c c d e f a b b c d e f a a b c d e f * * * * * * * * * * * Cătălin Calistru, Iaşi Soluţie. Fie xyzuvw al doilea factor al produsului. Avem că abcdef w = fabcde; cu notaţia N = abcde, obţinem că (1N + f) w = 1f + N. Evident că f şi e (apar ca primă cifră) şi atunci w. Luând, pe rând, w {1,,..., 9}, găsim unica variantă convenabilă w = 5, f = 7, N = 1485, aşadar abcdef = Înlocuim şi deducem că produsul este egal cu , iar factorul al doilea se obţine prin împărţire, fiind

4 Clasa a VI-a VI.137. Dacă fracţia 3n + 7, n N, este reductibilă, determinaţi ultima cifră a n + 3 lui n. Eugeniu Blăjuţ, Bacău Soluţie. Dacă d = (3n + 7, n + 3), d, atunci d (3n + 7) 3(n + 3), adică d 5. Obţinem că d = 5 şi de aici se deduce uşor că n = 5k + 1, k N, prin urmare ultima cifră a numărului n poate fi 1 sau 6. VI.138. Determinaţi numerele prime abc cu proprietatea că dintre cele cinci numere (nu obligatoriu distincte) care se obţin prin permutarea cifrelor, există măcar două pătrate perfecte. Nicolae Ivăşchescu, Craiova Soluţie. Scriem toate pătratele perfecte de trei cifre şi urmărim care dintre ele, prin permutarea cifrelor, dau naştere unui alt pătrat perfect şi unui număr prim. Problema are două soluţii: 691 este prim şi 169, 196, 961 sunt pătrate, apoi 11 este prim şi 11, 11 sunt pătrate. VI.139. Demonstraţi că 87 ( )( ). Bogdan Victor Grigoriu, Fălticeni Soluţie. Observăm că 87 = Cum = (7 + 1) 15 + (7 + 1) = (M 7 + 1) + (M 7 + 1) + 5 = M 7 şi = (41 + 1) (41 + 1) = (M ) + (M ) + 39 = M 41, urmează concluzia problemei. VI.14. Determinaţi numerele întregi nenule n 1 < n <... < n 7, dacă n1 + n n 7 = Mihai Haivas, Iaşi Soluţie. Trecând numărul 985 în baza, avem că 985 (1) = (). Din = n7+1 + n n1+1 deducem că n 1 = 1, n = 7, n 3 = 6, n 4 = 4, n 5 = 3, n 6 =, n 7 = 1. Cum scrierea unui număr în baza este unică, problema are o singură soluţie. VI.141. Demonstraţi că ecuaţia 1x + 15y + z = 73 nu are soluţii (x, y, z) cu toate componentele numere naturale, dar are o infinitate de soluţii cu toate componentele numere întregi. Gheorghe Iurea, Iaşi Soluţie. Presupunem că x, y, z Z sunt astfel încât 1x + 15y + z = 73; atunci z + 1 = 3(4x + 5y + 7z 4) = 3k, k Z, deci z = 3k 1, k Z. Înlocuind, obţinem că 1x + 15y + 6k = 93, de unde x + 1 = 5(x + y + 4k 6) = 5n, n Z, adică x = 5n 1, n Z. De aici, 4n + y + 4k = 7, prin urmare y = 7 4n 4k. Rezultă că (x, y, z) = (5n 1, 7 4n 4k, 3k 1), unde n, k Z, constituie soluţiile ecuaţiei diofantice din enunţ, având toate componentele întregi. Pentru a demonstra prima afirmaţie a problemei, să presupunem prin absurd că ar exista n, k Z pentru care 5n 1, 7 4n 4k şi 3k 1 ar fi simultan nenegative. Din 5n 1, n Z, rezultă că n 1; cum 3k 1, k Z, obţinem k 1. Atunci 7 4n 4k 1, contradicţie. Astfel, soluţia problemei este completă. VI.14. Fie ABC un triunghi isoscel cu AB = AC. Dacă D este simetricul lui B 5

5 faţă de C şi mediana din B taie AD în E, arătaţi că CE este mediatoarea segmentului BD. Silviu Boga, Iaşi Soluţie. Notăm cu F şi G mijloacele segmentelor AB, respectiv AC. Din BCF CBG (L.U.L.) obţinem că Õ F CB Õ GBC. Însă CF este linie mijlocie în BAD şi atunci CF AD, prin urmare Õ F CB Õ ADB. Rezultă că Õ EBD Õ EDB, deci EBD este isoscel cu baza BD; mediana CE va fi mediatoarea segmentului BD. VI.143. Se consideră triunghiul ABC cu m(õ ACB) = 45 şi (Õ CBA) = 3, iar M este un punct pe segmentul B C D AB. Arătaţi că M este mijlocul lui AB dacă şi numai dacă m(ö MCB) = 15. Andrei Paşa, elev, şi Narcisa Paşa, Iaşi Soluţie. Fie D piciorul înălţimii din A; triunghiul ACD va fi dreptunghic isoscel, cu AD = CD, iar triunghiul ABD este dreptunghic în D, cu m(ò B) = 3, prin urmare AD = 1 AB. Presupunem că M este mijlocul lui AB. Atunci, D DM = 1 AB = AM = AD, deci triunghiul ADM este echilateral. Deducem că DM = DC şi m(ö CDM) = Obţinem că m(ö DCM) = (18 15 ) = 15. A M B Reciproc, fie m(ö BCM) = 15 şi să presupunem că M nu ar fi mijlocul lui AB. Notăm cu M mijlocul lui AB şi, folosind directa, deducem că m(ö BCM ) = 15. Astfel, M = M şi ajungem la o contradicţie. Notă. D-l Titu Zvonaru găseşte trei soluţii ale acestei probleme, iar autorii oferă o a patra soluţie, distinctă. Clasa a VII-a VII.137. Dacă x, y R, arătaţi că (x + x + 1)(y + y + 1) x + y + 1. Gheorghiţă Stănică şi Iulian Stănică, Apele Vii (Dolj) Soluţie. Efectuând calculele, inegalitatea din enunţ revine la x y + x + y + x y + xy + xy, care este binecunoscuta a + b + c + ab + bc + ca pentru a = xy, b = x, c = y. Egalitatea se atinge când x = y =. VII.138. Dacă a, b, c sunt numere întregi distincte, arătaţi că a + b + c ab + ac + bc 1. Când se realizează egalitatea? Elena Iurea, Iaşi Soluţie. Cum a + b + c ab + ac + bc = 1 [(a b) + (a + c) + (b + c) ] > (întrucât a b), rezultă că numărul întreg a + b + c ab + ac + bc este cel puţin egal cu 1. Avem egalitate dacă (a b) = 1, (a + c) = 1 şi (b + c) = sau dacă (a b) = 1, (a + c) = şi (b + c) = 1, deci pentru tripletele (a, b, c) de forma ( n, 1 n, n); ( n, 1 n, n); (1 n, n, n) sau ( 1 n, n, n) cu n Z. 53 C F A G E

6 Ê aa VII.139. Determinaţi cifrele a, b şi c, dacă b, b(bc) N. Romanţa Ghiţă şi Ioan Ghiţă, Blaj Soluţie. Observăm că a nu poate fi, iar b şi c nu pot fi simultan sau simultan 9. Cum x =Ê aa É 33 É 99 11a 1a b, b(bc) = 199b + c = 1a N, se impune ca 199b + c 199b + c = p q, cu p, q N, (p, q) = 1 şi q 33. Atunci q {1, 9, 11, 189}. Cum b şi c sunt cifre şi 1a nu se divide cu 11, cazurile q = 11 şi q = 189 se elimină. În celelalte două situaţii, b nu poate fi decât. Dând lui c toate valorile 1,,..., 9, găsim soluţiile a =, b =, c = 5; a = 5, b =, c = ; a = 8, b =, c = 5. VII.14. Determinaţi toate perechile (x, y) de numere întregi cu proprietatea că x+y ( x +y + 1) = 1. Neculai Stanciu, Buzău Soluţie. Folosind inegalitatea mediilor, obţinem că 1 = x +y +x+y + x+y x +y +x+y = (x+1) +(y+1), prin urmare (x+1) +(y+1) 1. Deducem că (x + 1) + (y + 1) =, adică (x, y) = ( 1, 1). VII.141. Dacă ABCD este un patrulater convex, arătaţi că există un unic punct M (BD) astfel încât triunghiurile ABM şi CDM să fie echivalente. Cecilia Deaconescu, Piteşti Soluţie. Fie {O} = AC BD şi A, C proiecţiile pe BD ale vârfurilor A, respectiv C. Condiţia A ABM = A CDM revine la BM AA = MD CC, adică BM A MD = CC CC. Însă AA AA = CO (din asemănarea AO AOA COC ), prin urmare punctul căutat M este unicul punct interior segmentului (BD) care B C îl împarte în raportul k = CO D A O AO. VII.14. Determinaţi valoarea minimă a ariei unui paralelogram circumscris unui cerc de rază r. Adrian Corduneanu, Iaşi C Soluţie. Fie ABCD paralelogram circumscris cercului C(O, r); atunci AB+CD = AD+BC, prin urmare ABCD este, de fapt, romb. Fie α = m(õ ABD) şi M = P rab O; atunci AB = AM +MB = OM ctg α + OM cos α tg α = r sin α + sin α r, cu egalitate când cos α cos α = sin α, adică α = 45 AB OM. Deducem că A ABCD = 4 A OAB = 4 4r, cu egalitate pentru α = 45. În concluzie, valoarea minimă căutată a ariei paralelogramului este 4r, atinsă în cazul în care ABCD este pătrat. VII.143. În interiorul triunghiului ascuţitunghic ABC cu m(b A) = 6 se consideră un punct M astfel încât m(ö BMC) = 15. Un cerc ce trece prin A şi M taie (AB) în Q şi (AC) în R, iar cercul circumscris triunghiului MQB taie (BC) în P. Demonstraţi că triunghiul P QR este dreptunghic. Neculai Roman, Mirceşti (Iaşi) 54

7 Soluţie. Folosind faptul că patrulaterele M P BQ şi M QAR sunt inscriptibile, obţinem imediat că şi patrulaterul M P CR este inscriptibil. Atunci A m(õ QP R) = m( MP Ö Q) + m( MP Ö R) = m( MBQ) + m(ö MCR) = m( B) Ò m( MBC) Ö + m( C) Ò m( MCP Ö ) = [18 m(b A)] [18 m(ö BMC)] = 9. Notă. Rezultatul este o generalizare a problemei VII.4 din RecMat 1/3. Clasa a VIII-a VIII.137. Fie V ABCD o piramidă patruletară regulată, M şi N mijloacele muchiilor V A, respectiv V D, iar P punctul în care înălţimea V O a piramidei înţeapă planul (MBC). Arătaţi că V O = 3 OP. Adrian Corduneanu, Iaşi Soluţie. Notăm cu Q şi R mijloacele muchiilor AD, respectiv BC şi {S} = V Q MN. Cum MN este linie mijlocie în V AD, urmează că V S = SQ. Deducem că P este punctul de intersecţie a medianelor triunghiului V QR, deci V O = 3 OP. Q M R B P C VIII.138. Rezolvaţi în R ecuaţia 5 {x} 1x + 1 =. Bogdan Chiriac, student, Iaşi Soluţie. Înlocuind x = [x] + {x}, ecuaţia devine (5 {x} 1) = 1 [x] şi, cum 5 {x} 1 ( 1, 4), rezultă că 1 [x] [, 16), deci [x] {, 1}. Dacă [x] =, atunci {x} = 1 5 şi obţinem soluţia x 1 = 1 5. Dacă [x] = 1, atunci 5{x} 1 = ± 1, adică {x} = 1 ± 1. 5 Însă {x} [, 1), aşadar reţinem doar soluţia x = = VIII.139. Numerele naturale a 1, a,..., a 1 au proprietatea că N = 6 a1 + 6 a a 1 este pătrat perfect. Arătaţi că numărul a 1 + a a 1 se divide cu 5. Andrei Eckstein, Timişoara Soluţie. Deoarece 6 n = M 5 + 1, n N, rezultă că N..5. Cum N este pătrat perfect, deducem că N..5. Însă, întrucât 6 n = M 5 + 5n + 1, n N, avem că N = M 5 + 5(a 1 + a a 1 ) + 1 şi de aici rezultă concluzia. VIII.14. Fie n N şi x 1, x,..., x n Z\{n} astfel încât n 3 +x 1+x +...+x n n[1 + (x 1 + x x n )]. Demonstraţi că x 1, x,..., x n N. Dan Nedeianu, Drobeta Tr. Severin Soluţie. Din ipoteză obţinem că [(x 1 n) 1]+[(x n) 1]+...+[(x n n) 1]. Cum x k n, rezultă că (x k n) 1, k = 1, n, prin urmare fiecare dintre parantezele pătrate este nenegativă. Deducem că fiecare dintre ele este nulă şi atunci x k {n 1, n + 1}, k = 1, n, adică x k N, k = 1, n. 55 A M Q D S N V.P O B R C

8 VIII.141. Dacă a, b, c, x, y, z > şi ax + by + cz = 1, demonstraţi că a yz + b xz + c xy 7abc. D.M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti Soluţie. Eliminând numitorii, inegalitatea de demonstrat revine la ax + by + cz 7abcxyz, adică la 1 7abcxyz. Însă (ax + by + cz)3 7 ax by cz (inegalitatea mediilor) şi de aici rezultă ceea ce dorim. Egalitatea se atinge pentru x = 1 3a, y = 1 3b, z = 1 3c. VIII.14. Fie a, b, c, d R şi E(x, y) = p a x + b y, F (x, y) = p c x + d y, x, y R. Dacă ad = bc, demonstraţi că ( ) È E(x, z) F (x, z) È E(x, y) F (x, y) + È E(y, z) F (y, z), x, y, z R. Valentina Blendea şi Gheorghe Blendea, Iaşi Soluţie. Dacă b =, atunci E(x, y) = ax, x, y R. Din ad = bc, obţinem că a = sau d =. În primul caz, (*) devine, iar în al doilea, ( ) È ax cx È ax cx +È ay cy, adevărat. Analog se tratează cazul în care c =. Dacă bc, atunci ad şi putem scrie că a = c p = k >. Observăm că E(x, y) = b pk p x + y, F (x, y) = d pk x + y, deci (*) revine b d la k x + z k x + y + k y + z ; o simplă ridicare la pătrat arată că această ultimă inegalitate este adevărată. a 11 VIII.143. Dacă a + b = b11 b + c = c11 c, demonstraţi că numerele reale + a pozitive a, b şi c sunt egale. Cristina Ene, elevă, Craiova Soluţie. Dacă presupunem că a < b, atunci a 11 < a 11 + a 9 b, de unde a 11 a + b c 11 < a9. Deducem că b 11 b + c < a9 < b9, deci b < c. Obţinem că c + a < c9, prin urmare c < a şi ajungem la contradicţia a < b < c < a. Analog se arată că nu putem avea a > b şi rămâne că a = b, apoi a = b = c. Clasa a IX-a 1 + sin 4 x + cos 4 x IX.11. Arătaţi că 1 + sin 4 = 1 + sin8 x + cos 8 x y + cos 4 y 1 + sin 8, x, y R. y + cos 8 y Mihály Bencze, Braşov Soluţie. Folosind identitatea (a 4 + b 4 + (a + b ) ) = (a 8 + b 8 + (a + b ) 4 ), a, b R şi scriindu-l pe 1 ca (sin + cos x) în stânga respectiv (sin x + cos x) 4 în dreapta, obţinem ceea ce dorim. 56

9 IX.1. Fie a, b, c R cu b c > şi a b Dacă numerele a, b, c pot fi laturile unui triunghi, demonstraţi că şi 1 a, 1 b, 1 pot fi laturi ale unui triunghi. c Soluţie. Evident că a > b c (deoarece Ovidiu Pop, Satu Mare > 1) şi c > a b (întrucât a, b, c pot fi laturi ale unui triunghi). Întrucât 1 a < 1 b 1, va fi suficient să demonstrăm c că 1 c < 1 a + 1, echivalent cu c > ab ab b a b > a + b. Vom arăta chiar mai mult, anume că a + b ; după calcule, această inegalitate revine la a ab b t t 1, unde t = a b, Œ, fapt evident adevărat. sau IX.13. Considerăm patrulaterul ABCD şi fie M, N, P, Q mijloacele laturilor AB, BC, CD respectiv DA, iar T un punct interior patrulaterului. Notăm cu G 1, G, G 3 şi G 4 centrele de greutate ale patrulaterelor T NCP, T P DQ, T QAM, T MBN. Arătaţi că AG 1 + BG + CG 3 + DG 4 = dacă şi numai dacă {T } = MP NQ. Florin Stănescu, Găeşti Soluţie. Fie G centrul de greutate al patrulaterului ABCD, adică {G} = MP NQ; atunci AG 1 + BG + CG 3 + DG 4 = 1 4 ( AT + AN + AC + AP ) ( BT + BP + BD + 1 BQ) + 4 ( CT + 1 CQ + CA + CM) + 4 ( DT + DM + DB + DN) = 1 ( AT + BT + CT + DT ) + ( 1 AB + AC) + ( 1 AD + AC) + ( BC + BD) + 1 ( 1 BA + BD) + ( CD + CA) + 1 ( CA + 1 CB) + ( 1 DA + DB) + ( DB + DC) = 4 GT = G = T {T } = MP NQ. IX.14. Dacă ABCD este un patrulater inscriptibil, arătaţi că BC S ACD + CD S ABC = AC S BCD. D.M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti Soluţie. Din teorema lui Ptolemeu, BC AD + CD AB = AC BD. Atunci: BC S ACD + CD S ABC = BC AD CD sin(π B)+ + CD AB BC sin B = BC CD (BC AD + CD AB) sin B = BD sin B = BC CD AC BD sin B = AC S BCD = sin C = AC S BCD R sin B = AC S BCD. IX.15. Dacă x, y R, x > y > 1, arătaţi că xy + 4 > x + 3y. Dan Nedeianu, Drobeta Tr. Severin Soluţie. Considerăm funcţia f : [y, ) R, y > 1 fixat, f(x) = x(y 1)+4 3y. Funcţia f este stirct crescătoare (deoarece y 1 > ) şi, cum f(y) = (y ), rezultă că pentru x > y, f(x) > f(y) şi de aici inegalitatea cerută. 57

10 Clasa a X-a X.11. Dacă a R +, rezolvaţi în R ecuaţia (a) x a x =. Luminiţa Mihalache, Craiova Soluţie. Observăm că ecuaţia poate fi scrisă sub forma ( x 1 a x ) x+1 = 1. Atunci x + 1 =, de unde obţinem soluţia x 1 = 1, sau x 1 a x = 1, adică (a) x =, ecuaţie care are soluţia x = log a dacă a 1 şi care nu are soluţii când a = 1. X.1. Demonstraţi că triunghiul ABC este echilateral dacă şi numai dacă h a ac + h b ab + h c bc = h a bc + h b ac + h c (notaţiile sunt cele uzuale). ab Petru Asaftei, Iaşi Soluţie. Înlocuind h a = S a, h b = S b, h c = S 3É, relaţia din enunţ devine c 1 a c + 1 b a + 1 c b = 3 abc. Însă 1 a c + 1 b a c b 3 a 3 b 3 c 3 = 3, prin urmare abc egalitatea din problemă are loc dacă şi numai dacă 1 a c = 1 b a = 1 c, i.e. a = b = c. b X.13. Dacă n N, n 3 şi x ( 1, 1), demonstraţi inegalitatea n( n 1 + x + n 1 x) ( 1 + x + 1 x + n ). Lucian Tuţescu şi Petrişor Rocşoreanu, Craiova Soluţie. Folosind inegalitatea mediilor, obţinem că n 1 + x = nè x + n + x 1 + x , (factorul 1 de n n ori) şi, analog, n 1 x + n 1 x. Adunând aceste inegalităţi, obţinem n concluzia problemei. Egalitatea se atinge când x =. X.14. Aflaţi numerele complexe nenule x, y, z cu proprietatea că x(x + y)(x + z) = y(y + x)(y + z) = z(z + x)(z + y) = 1. Vasile Chiriac, Bacău Soluţie. Se impun condiţiile x + y, y + z, z + x, deoarece altfel se ajunge la contradicţia = 1. Scăzând două câte două ecuaţiile sistemului, obţinem că (x y)(x + y + z) = (y z)(x + y + z) = (z x)(x + y + z) =. Distingem situaţiile: (i) x = y = z; atunci 4x 3 = 1 şi sunt soluţii ale sistemului tripletele (x, x, x), cu k =, 1, ª ; x 1 (k + 1)π (k + 1)π cos + i sin (ii) x = y z; atunci 1 z = x şi ª obţinem soluţiile (x, x x), cu x A = cos kπ kπ + i sin k =, 1,. În cazul în care y = z x găsim soluţiile ( y, y, y), y A, iar în cazul în care x = z y obţinem tripletele (x, x, x), x A. (iii) x y z x; atunci x + y + z = şi fiecare dintre ecuaţile sistemului revine la xyz = 1. Prin urmare, x + y = z şi xy = 1, deci x şi y sunt soluţiile z ecuaţiei t + tz 1 z + u =. Deducem că x =, y = z u, unde z C este z 58

11 astfel încât u = z + 4. Cum x, y, z sunt distincte, impunem ca u, u ±3z, z adică z 3 4, z 3 1 v + u şi obţinem soluţiile, v u, v, cu v C, v, v 3 4, v 3 1 şi u = v + 4 v. În concluzie, sistemul dat admite o infinitate de soluţii. X.15. Dacă x, y N sunt astfel încât numărul p x + y p y3 + 3x + 3x + 1 este raţional, arătaţi că x = y. Gheorghe Iurea, Iaşi Soluţie. Pentru început, vom arăta că dacă a, b R, a sunt astfel încât a + 3 b Q, atunci a Q şi 3 b Q. Într-adevăr, fie x = a + 3 b Q; din 3 b = x a, deducem că b = x 3 3x a + 3a a a, deci a = x3 + 3ax b 3x Q + a (dacă 3x + a =, concluzia este evidentă). Din x, a Q, urmează că 3 b Q. În aceste condiţii, din ipoteza problemei rezultă că x + y + 1 este pătrat perfect, strict mai mare ca x, aşadar x + y + 1 (x + 1), de unde y x. Analog, y 3 +3x +3x+1 este cub perfect, strict mai mare ca y 3, deci y 3 +3x +3x+1 (y+1) 3 şi de aici (x y)(x + y + 1), prin urmare x y. În final, deducem că x = y. Clasa a XI-a 1 sin A sin C XI.11. Dat triunghiul ABC, arătaţi că sin A 1 sin B sin C sin B 1 1. Bogdan Victor Grigoriu, Fălticeni Soluţie. Într-un triunghi ABC este adevărată egalitatea sin A + sin B + sin C = 1 sin A sin B sin C şi atunci valoarea determinantului din enunţ este r 4 sin A sin B sin C (p b)(p c) r (p a)(p c) r (p a)(p b) = 4 = 4S bc ac ab pabc = S Rp = r R. Conform inegalităţii lui Euler R r, acest din urmă raport este 1. XI.1. Fie A, B M n (Q) cu A + B = I n ; arătaţi că det(ab + BA). Dumitru Crăciun, Fălticeni Soluţie. Observăm că (A + B + i I n )(A + B i I n ) = A + B + I n + AB + BA = AB + BA şi atunci det(ab + BA) = det(a + B + i I n )det(a + B i I n ) = det(a + B + i I n ) det(a + B + i I n ) = (det(a + B + i I n )). Notă. ˆ Există matrice A, B care verifică ipoteza A + B = I n. De exemplu, a 1 + a ˆ... b 1 + b... 1 a... 1 b... A = 1... şi B = 1..., a, b Q,

12 au proprietatea că A = B = I n, deci A + B = I n. XI.13. Fie A, B M (R) astfel încât deta = 1, detb = 1, tr A = tr B = 7. Determinaţi numerele naturale n pentru care tr A n = tr B n. Răzvan Ceucă, elev, Iaşi Soluţie. Cum deta = 1 şi tra = 7, valorile proprii ale matricei A sunt şi 5, deci tra n = n + 5 n. Analog se arată că trb n = 3 n + 4 n şi atunci condiţia din enunţ revine la 3 n n = 5 n 4 n. Evident că n = şi n = 1 sunt soluţii. Dacă n, aplicând teorema lui Lagrange funcţiei f(x) = x n pe intervalele [, 3] şi [4, 5], găsim c (, 3) şi d (4, 5) pentru care 3 n n = nc n 1 şi 5 n 4 n = nd n 1, iar egalitatea nc n 1 = nd n 1 cu n, c d, nu este posibilă. XI.14. Calculaţi lim n É + q 1 + È n + 1. Soluţie. Dacă a n este şirul din enunţ, atunci a n = numărul radicalilor fiind n + 1. Considerăm şirul x n = Ê É Gheorghe Iurea, Iaşi r É1 + 1, n 1 + q È 1 + (n + 1 radicali), care verifică relaţia de recurenţă x =, x n+1 = 1 + x n, n N. Se arată că (x n ) este convergent, cu lim x n = Cum x n 1 < a n < x n, n n N, rezultă că lim a n = n XI.15. Demonstraţi că ecuaţia 5 x + 4 x = 1 x + 9 x are cel puţin o soluţie reală negativă. Ionuţ Ivănescu, Craiova Soluţie. Considerăm funcţia f : R R, f(x) = 5 x + 4 x 1 x 9 x şi să presupunem prin absurd că f(x) >, x 1., Deducem că 5x 1 + 4x 1 < x x 1 x 1 + 9x 1, x 1 x x, şi, trecând la limită după x, obţinem că ln 5 + ln 4 ln 1 + ln 9, de unde 1 9, fals. Rezultă că există x 1, pentru care f(x ) <. Pe de altă parte, f 1 = > şi, cum f este 3 continuă, va exista c 1, x pentru care f(c) =. Clasa a XII-a XII.11. Fie a N şi G = (a, + ) pe care definim operaţia x y = (x a)(y a) + a, x, y G. Dacă H este subgrup al lui G astfel încât N G H, arătaţi că Q G H. D.M. Bătineţu-Giurgiu, Bucureşti şi Neculai Stanciu, Buzău Soluţie. Grupul (G, ) are elementul neutru e = 1 + a, iar simetricul lui x este x = a + 1 x a G. Fie q Q G; atunci există m, n N încât q = a + m n. Dacă 6

13 p N G, atunci p H, prin urmare p + a H şi (p + a) = a + 1 H. Deducem p că a + m şi a + 1 a n sunt în H, deci (a + m) + 1 n astfel Q G H. = a + m n H, adică q H şi XII.1. Fie n N, n şi polinomul f = X n nx n 1 + (n 4)X n + a 3 X n a n C[X]. Demonstraţi că f are toate rădăcinile reale dacă şi numai dacă n =. Florin Stănescu, Găeşti Soluţie. Dacă n =, atunci f = X 4X+4 are rădăcinile x 1 = x =. Reciproc, fie x 1, x,..., x n rădăcinile lui f, presupuse reale. Cum (x 1 + x x n ) n(x 1 + x x n), rezultă că 4n 8n, deci n şi atunci n =. XII.13. Calculaţi I = Z arccos 65 9 tg x sin xdx. Soluţie. Cu schimbarea de variabilă sin x = s, obţinem că I = Apoi, substituţia s = t conduce la I = Z t t 4 1 t 4 dt = t + arctg t 1 ln 1 t Z 4 9 Vasile Chiriac, Bacău s s 1 s ds. = arctg 3 + ln 5. XII.14. Fie f : R R o funcţie continuă cu proprietatea că (f f)(x) = sin x, x R. Demonstraţi că Z 1 f(x)dx 1. Dumitru Crăciun, Fălticeni Soluţie. Din (f f) f = f (f f), deducem că sin f(x) = f(sin h x), i x R; atunci f(sin x) 1, x R, prin urmare f(sin x) cos x cos x, x, π. Integrând pe h, π i, rezultă că Z π π f(sin x) (sin x) dx sin x, adică Rămâne întrebarea: există vreo funcţie f care să verifice ipoteza? Z 1 f(x)dx 1. XII.15. Fie f : [, 1] R o funcţie derivabilă cu f integrabilă. Dacă f() =, arătaţi că Z 1 (f (t)) dt Z 1 f (t)dt. Soluţie. Pentru x [, 1], avem că f(x) = deci f (x) Z x Z 1 f (t)dt Z x f (t) dt ÊZ x (f (t)) dt Ciprian Baghiu, Iaşi ÊZ 1 (f (t)) dt, (f (x)) dx. Integrând pe [, 1], obţinem cerinţa problemei. 61

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Soluţiile problemelor propuse în nr. 1/2015

Soluţiile problemelor propuse în nr. 1/2015 Soluţiile problemelor propuse în nr. 1/15 Clasele primare P311. Scrie în casete toate numerele de la 1 la 19, o singură dată fiecare, astfel încât să obţii rezultatul dat: + = + = + = + = + = 9. (Clasa

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a 1. Aflați cel mai mare număr de cinci cifre astfel încât cea de-a patra cifră să fie mai mare decât cea de-a cincea, a treia să fie

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2015

Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2015 kp p Am folosit kp faptul că lim n p (q) q kp p + +... + π n P p [ k ] q q 6 ; ca urmare, kp p π k 6 π 6 π. Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. /05 ( ) p p A. Nivel gimnazial

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă

EDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă Maranda Linţ Dorin Linţ Rozalia Marinescu Dan Ştefan Marinescu Mihai Monea Steluţa Monea Marian Stroe Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă clasa a VIII-a mate 000

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele. Varianta 1 1 a) Rezultatul calculului 3,7 1 6 este egal cu numărul b) Rădăcina pătrată a numărului 11 este egală cu numărul c) Media aritmetică a numerelor 3 + 7 şi 3 7 este egală cu a) Soluţia întreagă

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a X-a, MAI 2010 CLASA A IV-A

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a X-a, MAI 2010 CLASA A IV-A Ediţia a X-a, 4 5 MAI 00 CLASA A IV-A I. Suma a două numere naturale este 75. Dacă adunăm de patru ori primul număr cu de trei ori al doilea număr obţinem 40. Aflaţi numărul cel mai mare. Eugenia Miron

Διαβάστε περισσότερα

Concursul de matematica Arhimede Editia a IV-a. Etapa I-a 25 noiembrie Subiecte clasa a III-a

Concursul de matematica Arhimede Editia a IV-a. Etapa I-a 25 noiembrie Subiecte clasa a III-a Editia a IV-a. Etapa I-a 5 noiembrie 006. Subiecte clasa a III-a I. Aflati cea mai mica suma de forma în care s-au folosit doar cifrele 0,,, 4, 5, 6 o singura data. Aratati variantele posibile. II. a)

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a

Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Concursul Gazeta Matematică şi ViitoriOlimpici.Ro Etapa finală Câmpulung Muscel, 17-22 august 2015 Soluţii şi baremuri Clasa a IV-a Problema 1. Câte numere naturale de cinci cifre trebuie să scriem pentru

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A OLIMPIAA E MATEMATICĂ 3 februarie 014 CLASA A V-A 1.) Ultima cifră a unui număr natural de patru cifre este 7. acă mutăm cifra 7 de pe locul unităţilor pe locul miilor, ob inem un număr cu 86 mai mare

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II n α+1 1

GRADUL II n α+1 1 GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a 1. Să se determine două numere naturale a și b astfel încât c.m.m.d.c.pa,bq 12 și c.m.m.m.c.pa, bq 216. Câte soluții are problema?

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Testul nr. 1. Testul nr. 2

Testul nr. 1. Testul nr. 2 CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2016 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2016 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2016 Clasa a V-a 1. Fie a, b și c cifre nenule nu neapărat distincte. Aflați cel mai mic și cel mai mare număr natural abc cu proprietatea că media

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα