3. Απλά οπτικά όργανα

Transcript

1 3. Απλά οπτικά όργανα 20 Απριλίου Διαφράγματα Στο σχεδιασμό οπτικών οργάνων πρέπει να λάβει κανείς υπόψη και άλλες παραμέτρους πέρα από το πού και πώς σχηματίζεται το είδωλο ενός αντικειμένου. Μας ενδιαφέρει να αυξήσουμε ή να ελαττώσουμε το φως που εισέρχεται στο οπτικό όργανο, να βεβαιωθούμε ότι τα αντικείμενα που μας ενδιαφέρουν μπορούν να σχηματίσουν ολόκληρα είδωλο (χωρίς να κόβονται τα άκρα τους) και θέλουμε να ξέρουμε σε ποια σημεία μπορούμε να τοποθετήσουμε άλλα μέρη ενός οπτικού συστήματος (όπως οθόνες προβολής, ή φωτοανιχνευτές) προκειμένου να εκμεταλλευτούμε πλήρως τις ιδιότητες του οπτικού οργάνου. Γι αυτό το σκοπό είναι πολύ σημαντικές οι έννοιες του διαφράγματος, των κορών εισόδου-εξόδου και των παραθύρων εισόδου-εξόδου. Διαφράγματα κάποιου είδους υπάρχουν σε όλα τα οπτικά συστήματα. Μπορούν να έχουν τοποθετηθεί εσκεμμένα, όπως τα διαφράγματα των φωτογραφικών μηχανών ή η ίριδα στον οφθαλμό, ή να προέρχονται από τα ίδια τα χαρακτηριστικά του συστήματος, και να αντιστοιχούν στα φυσικά όρια των φακών που χρησιμοποιούνται, της περιοχής που πρέπει να τοποθετηθεί το αντικείμενο, ή της περιοχής που πρέπει να προβληθεί το είδωλο. Υπάρχουν δύο είδη διαφραγμάτων, τα διαφράγματα περιορισμού φωτεινής ισχύος (aperture stops) και τα διαφράγματα πεδίου (field stops). 1.1 Διαφράγματα περιορισμού φωτεινής ισχύος. Τα διαφράγματα περιορισμού φωτεινής ισχύος έχουν ως σκοπό να περιορίσουν την ένταση του φωτός που εισέρχεται σε ένα φωτεινό σύστημα ή τη διάδοση φωτεινών ακτινών μακριά από τον οπτικό άξονα του φακού, οι οποίες προκαλούν σφάλματα. Στην απλούστερη περίπτωση, ένα διάγραμμα προσδιορίζεται από τα φυσικά σύνορα ενός φακού. Καλούμε περιοχή αντικειμένου, την περιοχή του χώρου πριν (στα αριστερά) του οπτικού οργάνου, και περιοχή ειδώλου το χώρο μετά (στα δεξιά) του οπτικού οργάνου. Η κόρη εισόδου είναι το είδωλο του διαφράγματος που δημιουργείται από όλους τους φακούς που βρίσκονται πριν από αυτό, δηλαδή από όλους τους φακούς που συναντά το φως προτού περάσει από το διάφραγμα. Αν δεν υπάρχει φακός πριν από το διάφραγμα, τότε το ίδιο το διάφραγμα είναι η κόρη εισόδου. Η κόρη εξόδου είναι το είδωλο του διαφράγματος που δημιουργείται από όλους τους φακούς που βρίσκονται μετά από αυτό, δηλαδή από όλους τους φακούς που συναντά το φως αφότου περάσει από το διάφραγμα. Αν δεν υπάρχει φακός μετά από το διάφραγμα, τότε το ίδιο το διάφραγμα είναι η κόρη εξόδου. Προσοχή, δεν είναι απαραίτητο η κόρη εισόδου να βρίσκεται στην περιοχή του αντικειμένου ή η κόρη εξόδου στην περιοχή του ειδώλου. Αυτό οφείλεται ότι καθώς οι κόρες ορίζονται ως είδωλα, μπορεί να είναι και φανταστικά. Όταν το σύστημά μας αποτελείται μόνο από ένα φακό, τότε το διάφραγμα, η κόρη εισόδου και η κόρη εξόδου ταυτίζονται με το φακό. Οι κόρες ειδώλου και εξόδου μπορούν να προσδιοριστούν γραφικά χρησιμοποιώντας διαγράμματα κυρίων ακτινών. Στα σχήματα 1-3 δίνονται μερικά παραδείγματα. 1

2 Σχήμα 1: Διάφραγμα πριν από έναν συγκλίνοντα φακό. Το διάφραγμα ταυτίζεται με την κόρη εισόδου και η κόρη εξόδου είναι πραγματικό είδωλο του διαφράγματος και βρισκεται στην περιοχή του ειδώλου.. Σχήμα 2: Διάφραγμα μετά από έναν συγκλίνονται φακό, σε απόσταση μικρότερη από την εστιακή απόσταση του φακού. Το διάφραγμα ταυτίζεται με την κόρη εξόδου και η κόρη εισόδου είναι φανταστικό είδωλο του διαφράγματος και βρίσκεται στην περιοχή του ειδώλου.. Σχήμα 3: Διάφραγμα μεταξύ δυο συγκλινόντων φακών. Η κόρη εισόδου είναι πραγματικό είδωλο στην περιοχή του αντικειμένου και η κόρη εξόδου πραγματικό είδωλο στην περιοχή του ειδώλου.. 2

3 Σε έναν παρατηρητή στην περιοχή του ειδώλου δημιουργείται η εντύπωση ότι τα όρια της εισερχόμενης φωτεινής δέσμης αντιστοιχούν στην κόρη εξόδου. Αντίστοιχα, ο παρατηρητής στην περιοχή του αντικειμένου θεωρεί ότι τα όρια της φωτεινής δέσμης αντιστοιχούν στην κόρη εισόδου. Άρα το φως που έχει εισέλθει στο οπτικό όργανο περιέχεται εντός των διαστάσεων της κόρης εισόδου και εξόδου. Τα διαφράγματα περιορισμού φωτεινής ισχύος καθορίζουν την ποσότητα φωτός που μπορεί να συλλέξει ένα οπτικό σύστημα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα οπτικό όργανο σχεδιασμένο να λαμβάνει φωτεινές ακτίνες από αντικείμενο σε συγκεκριμένη απόσταση s από τον πρώτο φακό και να δημιουργεί πραγματικό είδωλο σε απόσταση b από το διάφραγμα. (Αν το σύστημα μας αποτελείται μόνο από ένα φακό, τότε b = s. Αν s =, τότε b = f, όπου f η εστιακή απόσταση του φακου.) Έστω ότι το διάφραγμα έχει διάμετρο D. Η ένταση της φωτεινής ακτινοβολίας που περνά από το διάφραγμα είναι ανάλογη του εμβαδού ττου διαφράγματος, δηλαδή είναι ανάλογη του D 2. Από την άλλη όσο πιο μικρό είναι το είδωλο (όσο μικρότερο εμβαδόν έχει), τόσο περισσότερες φωτεινές ακτίνες πέφτουν σε κάθε σημείο της επιφάνειας του (δεδομένου ότι στο είδωλο φτάνουν όλες οι ακτίνες που περνούν από το διάφραγμα). Το μέγεθος του ειδώλου είναι ανάλογο της μεγένθυσης, η οποία είναι ανάλογη του b (θυμηθείτε ότι M = s /s σε ένα λεπτό φακό, και s = b). Άρα το εμβαδόν του ειδώλου είναι ανάλογο του b 2. Οπότε συνολικά, η φωτεινότητα του ειδώλου (το κλάσμα των φωτεινών ακτινών που φτάνουν στο είδωλο σε σχέση με τις προσπίπτουσες στο σύστημα) είναι ανάλογη του (D/b) 2. Οι παραπάνω εκτιμήσεις ποσοτικοποιούνται μέσω του αριθμού f (f-number), f#, ενός οπτικού συστήματος f# = D b. (1) Η φωτεινότητα του ειδώλου για σταθερή εισερχόμενη ένταση φωτός είναι ανάλογη του (f#) 2. Όσο ασθενέστερος είναι ο φωτισμός του αντικειμένου, τόσο λιγότερες είναι οι ακτίνες που εισέρχονται στο οπτικό σύστημα, και άρα τόσο μεγαλύτερος πρέπει να είναι ο αριθμός f, προκειμένου να σχηματίζεται ευκρινές είδωλο. Κόρη οφθαλμού. Η (ανατομική) κόρη του οφθαλμού είναι μία σφαιρική οπή στην ίριδα, η οποία αποτελεί διάφραγμα για τις φωτεινές ακτίνες που εισέρχονται στο μάτι. Η κόρη βρίσκεται σε απόσταση περίπου 4mm από τον κερατοειδή, και έχει διάμετρο D που κυμαίνεται από 4 ± 1mm (όταν υπάρχει έντονο φως) σε 7 ± 2mm στο σκοτάδι. Με βάση την ορολογία που δώσαμε εδώ, η κόρη του οφθαλμού είναι η οπή του διαφράγματος και αυτό που βλέπουμε όταν κοιτάμε έναν οφθαλμό είναι η αντίστοιχη κόρη εισόδου για τον οφθαλμό η κόρη εισόδου δεν ταυτίζεται με την ανατομική κόρη. Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι τα μοντέλα του οφθαλμού ως σύστημα φακών που μελετήσαμε είναι ανεπαρκή για να υπολογίσουμε την κόρη εισόδου και εξόδου του οφθαλμού. Δεδομένου ότι η απόσταση κερατοειδούς - αμφιβληστροειδούς είναι περίπου 24mm, η απόσταση κόρης - αμφιβληστροειδούς είναι περιπου 20mm. Αυτή η τιμή αντιστοιχεί στην απόσταση b διαφράγματος - ειδώλου b για τον οφθαλμό. Οπότε ο αριθμός f του οφθαλμού κυμαίνεται από f# = 4mm 7mm = 0, 2 στο φως, σε f# = = 0, 35 στο σκοτάδι. 20mm 20mm 1.2 Διαφράγματα πεδίου Τα διαφράγματα πεδίου αφορούν κυρίως τα φυσικά όρια του αντικειμένου ή του ειδώλου σε ένα οπτικό σύστημα. Για παράδειγμα, σε έναν προβολέα διαφανειών το διάφραγμα πεδίου αφορά το αδιαφανές πλαίσιο γύρω από το σημείο που τοποθετείται η διαφάνεια. Σε μία φωτογραφική μηχανή, το διάφραγμα πεδίου αντιστοιχεί στο πλαίσιο που στηρίζει το φιλμ της μηχανής. Τα διαφράγματα πεδίου θέτουν όριο στο μέγεθος του αντικειμένου που μπορεί να απεικονιστεί σε ένα σύστημα. 3

4 Σχήμα 4: Διάφραγμα πεδίου στην περιοχή του αντικειμένου σε σύστημα με ένα συγκλίνοντα φακό και προσδιορισμός του παράθυρου εξόδου. Σχήμα 5: Διάφραγμα πεδίου στην περιοχή του ειδώλου σε σύστημα με ένα συγκλίνοντα φακό και προσδιορισμός του παράθυρου εισόδου. Αντικείμενο μεγέθους μεγαλύτερου από το παράθυρο εισόδου δε σχηματίζει ολοκληρωμένο ειδωλο (αποκόπτεται το βέλος στο άκρο του). Το είδωλο ενός διαφράγματος πεδίου που δημιουργείται από όλους τους φακούς πριν από αυτό (δηλαδή από τους φακούς που το φως συναντά πριν φτάσει στο διάφραγμα) καλείται παράθυρο εισόδου (entrance window). Αν δεν υπάρχουν φακοί πριν το διάφραγμα, τότε το διάφραγμα ταυτίζεται με το παράθυρο εισόδου. Το είδωλο ενός διαφράγματος πεδίου που δημιουργείται από όλους τους φακούς μετά από αυτό (δηλαδή από τους φακούς που το φως συναντά αφότου φύγει από το διάφραγμα) καλείται παράθυρο εξόδου (exit window). Αν δεν υπάρχουν φακοί πριν το διάφραγμα, τότε το διάφραγμα ταυτίζεται με το παράθυρο εξόδου. Ο παρατηρητής στην περιοχή του ειδώλου έχει την εντύπωση ότι η παρατήρησή του περιορίζεται από το παράθυρο εισόδου, ενώ ο παρατηρητής στην περιοχή του αντικειμένου θεωρεί ότι ο περιορισμός οφείλεται στο παράθυρο εξόδου. Στα σχήματα 4-5 δείχνονται τα παράθυρα εισόδου για έναν συγκλίνοντα φακό με διαφράγματα πεδίου στο αντικείμενο και στο είδωλο. Παρατηρείστε τη γωνία θ στο σχήμα 4, η οποία σχηματίζεται από τις ακτίνες που ενώνουν τις άκρες του διαφράγματος με το κέντρο του φακού. Αυτή η γωνία προσδιορίζει το μέγιστο γωνιακό μέγεθος που μπορεί να έχει ένα αντικεμενο που απεικονίζεται από το οπτικό σύστημα και αποτελείί σημαντική παράμετρο σχεδιασμού. Καλείται γωνιακό πεδίο παρατήρησης του συστήματος. Ο γενικότερος ορισμός του γωνιακού πεδίου παρατήρησης είναι ο ακόλουθος. Ορίζουμε πρώτα τις κύριες ακτίνες ως τις ακτίνες που περνούν από το κέντρο ενός διαφράγματος περιορισμού οπτικής ισχύος. Στο σχήμα 4 αυτό το διάφραγμα είναι ο ίδιος ο φακός, άρα το μέσο του διαφράγματος είναι το κέντρο του φακού. Στη συνέχεια, βρίσκουμε τις κύριες ακτίνες που περνούν από τα όρια του διαφράγματος πεδίου και τις συνεχίζουμε να περάσουν μέσα από τους φακούς, σύμφωνα με 4

5 Σχήμα 6: Οπτικό σύστημα που αποτελείται από ένα συγκλίνοντα φακό και ένα διάφραγμα περιορισμού οπτικής ισχύος μετα το φακό. Φέρνουμε τις κύριες ακτίνες από το μέσο του διαφράγματος ως τα όρια του φακού. Συνεχίζουμε αυτές τις ακτίνες μέσα από το φακό. Αυτές αλλάζουν κατεύθυνση λόγω διάθλασης, οπότε η κλίση τους στην περιοχή του αντικειμένου ειναι διαφορετική από αυτή στην περιοχή του ειδώλου. Προεκτείνουμε τις ακτίνες στην περιοχή του αντικειμένου μέχρι το σημείο τομής τους. Η γωνία θ είναι το γωνιακό πεδίο παρατήρησης του συστήματος.. του νόμους της διάθλασης. Η γωνία που σχηματίζουν αυτές οι ακτίνες ενώ βρίσκονται στην κόρη εισόδου είναι το γωνιακό πεδίο παρατήρησης. Ο υπολογισμός του γωνιακού πεδίου παρατήρησης σε ένα οπτικό σύστημα είναι έξω από τα πλαίσια αυτού του μαθήματος. Στο σχήμα 6, δίνεται ένα παράδειγμα υπολογισμού του για ένα σύστημα που αποτελείται από ένα φακό και ένα διάφραγμα περιορισμού οπτικής ισχύος. Εφαρμογή 1 Προκειμένου να επιτύχουμε μεγένθυση ενός μικρού αντικειμένου κατασκευάζουμε το ακόλουθο οπτικό σύστημα. Παίρνουμε δύο συγκλίνοντες φακούς εστιακής απόστασης f 1 = 5cm και f 2 = 80cm. Τοποθετούμε τον πρώτο φακό έτσι ώστε το αντικείμενο να βρίσκεται στην εστία του, και στη συνέχεια τοποθετούμε το δεύτερο φακό σε απόσταση d από τον πρώτο φακό. Οι ακτίνες από το αντικείμενο εξέρχονται από τον πρώτο φακό παράλληλες ως προς τον οπτικό άξονα και αφού περάσουν από το δεύτερο φακό συγκλίνουν στην εστία του. Έστω ότι το μέγεθος του αντικειμένου που θέλουμε να μελετήσουμε είναι D = 0, 5cm. Πόσο μεγάλη οθόνη προβολής πρέπει να έχουμε ώστε να χωράει ολόκληρο το είδωλο; Στην ουσία ρωτάμε ποιο είναι το παράθυρο εξόδου για αυτό το σύστημα. Ανατρέξτε στο πρώτο φυλλάδιο στη μελέτη των συστημάτων δύο φακών. Σε αυτό το σύστημα, καθότι η απόσταση αντικειμένου - πρώτου φακού s = f 1, το είδωλο του πρώτου φακού βρίσκεται σε απόσταση s 1 =, δηλαδή οι ακτίνες εξέρχονται παράλληλες από τον πρώτο φακό. Η απόσταση s του ειδώλου από το δεύτερο φακό είναι s = f 2. Η μεγέθυνση δινεται από τη σχέση 8 του πρώτου φυλλαδίου M = s s 1 (d s 1 )s. (2) Το s 1 που τείνει στο άπειρο εμφανίζεται στην έκφραση για τη μεγέθυνση M στο κλάσμα s 1 d s 1. Αυτό 1 γράφεται και στο όριο s 1 d/s γίνεται = 1. Θέτοντας s = f 1 και s 2 = f 2 καταλήγουμε στη σχέση M = f 2 /f 1 = 80cm/5cm = 16. Η μεγέθυνση όμως ισούται σε απόλυτη τιμή με L /L, όπου L το μέγεθος του ειδώλου και L το μέγεθος αντικειμένου. Η μέγιστη τιμή του L αντιστοιχεί στο D = 0, 5cm, άρα το αντίστοιχο μέγιστο μέγεθος ειδώλου θα είναι LM = DM = 0, 5cm 16 = 8cm. Άρα χρειαζόμαστε οθόνη διαμέτρου τουλάχιστον 8cm. 5

6 2 Μεγεθυντικός φακός Το απλούστερο οπτικό όργανο και το παλαιότερο (μαρτυρείται ήδη από την αρχαιότητα) είναι ο μεγεθυντικός φακός. Ένας μεγεθυντικός φακός δεν είναι τίποτα περισσότερο από ένας συγκλίνοντας λεπτός φακός με εστιακή απόσταση f. Τοποθετώντας το φακό και το αντικείμενο σε κατάλληλες αποστάσεις από τον οφθαλμό, μπορούμε να επιτύχουμε τη μεγένθυση του ειδώλου που σχηματίζεται στον αμφιβληστροειδή και άρα μεγαλύτερη διάκριση των λεπτομερειών. Για να εξηγήσουμε τη λειτουργία του μεγεθυντικού φακού, θυμίζουμε ότι για τον ανθρώπινο οφθαλμό υπάρχει μία εγγύτερη απόσταση s = 25cm στην οποία μπορεί να εστιάσει ώστε να σχηματιστεί είδωλο στον αμφιβληστροειδή. Η απόσταση ειδώλου-φακού s είναι ίση με την απόσταση κερατοειδούς-αμφιβληστροειδούς, s 2, 4cm. Άρα η μέγιστη δυνατή μεγένθυση που επιτυγχάνεται στον οφθαλμό είναι (σε απόλυτη τιμή) M max s = 2, 4cm 25cm = 0, 096. (3) Με το μεγεθυντικό φακό επιτυγχάνεται σημαντικά μεγαλύτερη μεγέθυνση. Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας συγκλίνοντας φακός ως μεγεθυντικός. Φακός κοντά στον οφθαλμό. Τοποθετούμε το φακό κοντά στον οφθαλμό, και στη συνέχεια φέρουμε το αντικείμενο σε απόσταση s < f, έτσι ώστε το είδωλο του μέσα από το φακό να σχηματίζεται ακριβώς πάνω στο εγγύτατο σημείο s = = 25cm βλ. σχήμα 7. Από το νόμο του Gauss βρίσκουμε δηλαδή το αντικείμενο πρέπει να τοποθετηθεί σε απόσταση 1 s = 1 f 1 s = 1 f cm, (4) s = 25f 25 + f, (5) όπου f και s μετρούνται σε cm. Η μεγέθυνση που επιτυγχάνεται είναι M = s /s = /s, δηλαδή M = + f f = 1 + f > 1. (6) Αν ο οφθαλμός εστιάσει στο εγγύτατο σημείο, τότε θα δει το αντικείμενο μεγενθυμένο κατά. Δηλαδή όσο ισχυρότερος ο φακός (μικρό f) τόσο μεγαλύτερη η μεγέθυνση. Αντικείμενο στην εστία του φακού. Τοποθετούμε το αντικείμενο πάνω στην εστία του φακού, ενώ το μάτι εστιάζει στο άπειρο δεχόμενο παράλληλες ακτίνες από το φακό βλ. σχήμα 8. Η ολική μεγένθυση του συστήματος που αποτελειται από το μεγεθυντικό φακό και τον οφθαλμό, δίνεται από τη σχέση M oλ = s f όπου s είναι η απόσταση κερατοειδούς - αμφιβληστροειδούς. Αυτή προκύπτει από την εξίσωση 8 του πρώτου φυλλαδίου για s 1 = και s = f. Σε σχέση με τη μέγιστη μεγένθυση του ματιού χωρίς φακό που όπως δέιξαμε είναι M max = s /, η σχετική μεγένθυση που επιτυγχάνει ο φακός είναι Παρατηρούμε ότι M = M oλ = M max f = 25cm. (8) f 6 (7)

7 Σχήμα 7: Μεγεθυντικός φακός κοντά στον οφθαλμό: το αντικείμενο τοποθετείται έτσι ώστε να σχηματίζει είδωλο στο εγγύτατο σημείο. Σχήμα 8: Αντικείμενο στην εστία του φακού. Ο οφθαλμός εστιάζει στο άπειρο προκειμένου οι παράλληλες ακτίνες να σχηματίσουν είδωλο στον αμφιβληστροειδή.. 7

8 Σχήμα 9: Ο μεγεθυντικός φακός του Coddington. Εϊναι ένας παχύς φακός με ένα βαθύ διάφραγμα στο μέσο του, το οποίο επιτρέπει τη διέλευση μόνο σε ακτίνες που σχηματίζουν μικρή γωνία με τον οπτικό άξονα, ελαχιστοποιώντας έτσι τα σφάλματα σφαιρικής εκτροπής.. Η μεγέθυνση που επιτυγχάνεται με το αντικείμενο στην εστία του φακού είναι πάντα μικρότερη από αυτή που επιτυγχάνεται όταν ο φακός είναι κοντά στον οφθαλμό. Για να λειτουργήσει ως μεγεθυντικός (M > 1) ένας φακός στην περίπτωση που τοποθετούμε το αντικείμενο στην εστία του, πρέπει να ισχύει f < = 25cm. Αντίθετα όταν ο φακός ειναι κοντά στον οφθαλμό, κάθε αντικείμενο μεγενθύνεται. Η μέγιστη μεγέθυνση που μπορεί να επιτύχει ένας μεγεθυντικός φακός, συνήθως συμβολίζεται ως M.Για παράδειγμα, ένας μεγεθυντικός φακός εστιακής απόστασης f = 12, 5cm, έχει μεγένθυση (κοντά στον οφθαλμό) M = 3, οπότε συμβολίζεται ως 3.Οι μεγεθυντικοί φακοί του εμπορίου έχουν συνήθως μεγεθύνσεις από 2 ως 6. Σε φακούς μικρότερης εστιακής απόστασης, τα σφάλματα (κυρίως η σφαιρική εκτροπή) είναι πολύ μεγάλα και κατατρέφουν την ποιότητα της εικόνας. Για μεγαλύτερες μεγεθύνσεις χωρίς σφάλματα χρησιμοποιούνται πιο πολύπλοκοι φακοί, ή συστήματα φακών, οπως ο μεγεθυντικός φακός του Coddington, που δείχνεται στο σχημα 9, οποίος μπορεί να επιτύχει μεγεθύνσεις από 10 ως Μικροσκόπιο Με το μικροσκόπιο επιτυγχάνονται πολύ καλύτερες μεγεθύνσεις από αυτές ενός μεγεθυντικού φακού. Τα πρώτα μικροσκόπια δε διέφεραν ιδιαίτερα στη βασική λειτουργία τους από ένα μεγεθυντικό φακό: χρησιμοποιούσαν έναν παχύ φακό μεγάλης καμπυλότητας (της τάξης των 2 3mm) και μπορούσαν να πετύχουν μεγεθύνσεις μέχρι και 100. Μεγάλη βελτίωση προήλθε από την εισαγωγή του σύνθετου μικροσκόπιου το οποίο δημιουργεί μεγεθύνσεις της τάξης του Βασικές αρχές Η λογική του σύνθετου μικροσκοπίου είναι όπως και του μεγεθυντικού φακού, όταν αυτός τίθεται κοντά στον οφθαλμό, να δημιουργήσει φανταστικό είδωλο σε απόσταση ίση με από τον οφθαλμό. Για να πετύχει αυτό το σκοπό χρησιμοποιεί ένα σύστημα δυο φακών. Ο ένας φακός βρίσκεται κοντά στο αντικείμενο και καλείται αντικειμενικός φακός, και ο άλλος κοντά στο οφθαλμό του παρατηρητή και καλείται προσοφθάλμιος φακός. Τα βασικά κατασκευαστικά χαρακτηριστικά ενός μικροσκοπίου είναι τα εξής. Η εστιακή απόσταση f του αντικειμενικού φακού. Αυτή είναι πολύ μικρή της τάξης των 2 4mm. Όπως θα δούμε το αντικείμενο τοποθετείται πολύ κοντά στον αντικειμενικό φακό, οπότε οι προσπίπτουσες ακτίνες σχηματίζουν μεγάλες γωνίες με τον οπτικό άξονα. Αυτό σημαίνει ότι ο νόμος του Gauss δε ισχύει για το σχηματισμό ειδώλου και ότι χρειάζεται μεγάλη προσοχή στη κατασκευή του αντικειμενικού φακού προκειμένου να ελαχιστοποιηθούν τα σφάλματα. 8

9 Σχήμα 10: Δύο σχέδια (πατέντες) για την κατασκευή αντικειμενικών φακών από τη Nikon (πάνω) και την Carl Zeiss (κάτω). Οι αντικειμενικοί φακοί είναι στην πραγματικότητα συστήματα φακών, κατάλληλα επιλεγμένων ώστε να ελαττώνουν τα σφάλματα σε συγκεκριμένες εφαρμογές. Κάποιοι από τους επιμέρους φακούς είναι κινητοί, προκειμένου να προσαρμόζεται ο αντικειμενικός φακός σε σφάλματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς τύπους δειγμάτων.. Γι αυτό το λόγο χρειάστηκε πολύς χρόνος για την κατασκευή των πρώτων λειτουργικών σύνθετων μικροσκοπίων, παρότι οι βασικές αρχές τους ήταν γνωστές από παλιότερα. Για τον ίδιο λόγο, ο αντικειμενικός φακός είναι το πιο ακριβό κομμάτι του μικροσκοπίου. Μερικά παραδείγματα σχεδίων αντικειμενικών φακών δίνονται στο σχήμα 10. Η εστιακή απόσταση f e του προσοφθάλμιου φακού. Αυτή κυμαίνεται μεταξύ 2 4cm. Η απόσταση d μεταξύ των δύο φακών. Συνήθως οι κατασκευαστές μικροσκοπίων αποκαλούν μήκος του φακού την ποσότητα l = d f o f e, η οποία είναι περιπου ίση με το d, καθώς οι εστιακές αποστάσεις των φακών είναι πολύ μικρότερες της μεταξύ τους απόστασης. Οι τιμές του l είναι συνήθως προκαθορισμένες από τους κατασκευαστές στα 16 17cm. Στα πλαίσια αυτού του μαθήματος θα χρησιμοποιήσουμε το νόμο του Gauss για το σχηματισμό ειδώλων από τον αντικειμενικό φακό, αλλά πρέπει να θυμόμαστε ότι αυτή η χρήση είναι περισσότερο ενδεικτική παρά ρεαλιστική. Με αυτήν την προσέγγιση, θα περιγράψουμε το σύνθετο μικροσκόπιο με βάση το σύστημα των δύο φακών που αναλύσαμε στο φυλλάδιο 1. Χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο συμβολισμό Η απόσταση αντικειμένου - αντικειμενικού φακού συμβολίζεται ως s και είναι πάντα θετική. Η απόσταση του αντικειμενικού φακού από το είδωλο που σχηματίζουν οι ακτίνες που περνούν από αυτό συμβολίζεται ως s 1. Η απόσταση του τελικού ειδώλου από τον προσοφθάλμιο φακό συμβολίζεται ως s. Είναι θετική όταν το τελικό είδωλο βρίσκεται στα δεξιά του προσοφθάλμιου και αρνητικά όταν βρίσκεται στα αριστερά. Οι βασικές σχέσεις για τα s 1 και s είναι 1 s + 1 s 1 = 1 f o (9) d s 1 s = 1 f e (10) 9

10 Σχήμα 11: Μικροσκόπιο. Το αντικείμενο τοποθετείται κοντά στην εστία του αντικειμενικού φακού, έτσι ώστε το είδωλο του μέσα από τον αντικειμενικό φακό να βρίσκεται πιο κοντά στον προσοφθάλμιο φακό από την εστιακή απόσταση f e. Έτσι δημιουργείται φανταστικό και αντεστραμένο είδωλο σε απόσταση s = από τον προσοφθάλμιο, κατά πολύ μεγενθυμένο σε σχέση με το αντικείμενο. Προσοχή, η κλίμακες στο σχημα δεν είναι ρεαλιστικές.. ή ισοδύναμα ενώ η μεγέθυνση δίνεται από τη σχέση s 1 = sf o s f o (11) s = (d s 1)f e d s 1 f e, (12) M = s s 1 (d s 1 )s. (13) Ο σκοπός του μικροσκοπίου είναι να δημιουργηθεί μεγεθυμένο φανταστικό είδωλο σε απόσταση s = από τον οφθαλμό. Από τη σχέση (12) βλέπουμε ότι αυτό επιτυγχάνεται αν d s 1 > 0, δηλαδή το είδωλο μέσα από τον αντικειμενικό φακό, να βρίσκεται μεταξύ των δύο φακών, και d s 1 < f e, δηλαδή το είδωλο μέσα από τον αντικειμενικό φακό να βρίσκεται μεταξύ του προσοφθάλμιου φακού και της εστίας αυτού. Το αντίστοιχο διάγραμμα κυρίων ακτινών δίνεται στο σχήμα 11. Στον υπολογισμό της μεγέθυνσης του μικροσκοπίου, σύμφωνα με την εξίσωση θέτουμε s =. Για τα τυπικά μεγέθη του μικροσκοπίου, όπως θα δούμε στη συνέχεια s 1 f e, d s 1 d f e f o = l και s f e, οπότε η μεγέθυνση γράφεται (κατ απόλυτο τιμή) σε μία εύχρηστη μορφή που εμφανίζονται μόνο τα καταsκευαστικά στοιχεία του μικροσκοπίου, ( ) ( ) l M. (14) f o f e Οι κατασκευαστές μικροσκοπίων δίνουν συνήθως την τιμή της μεγέθυνσης στη μορφή τηw εξ. (14), για παράδειγμα Ο πρώτος όρος ( /f o ) αναφέρεται στη μεγέθυνση ως προς τον αντικειμενικό φακό, και ο δεύτερος (l/f e ) στη μεγέθυνση ως προς τον προσοφθάλμιο. Η συνολική μεγέθυνση είναι βεβαίως το γινόμενο, σε αυτήν την περίπτωση

11 3.2 Παράδειγμα Ας υπολογίσουμε την απόσταση s που πρέπει να τοποθετηθεί το αντικείμενο από τον αντικειμενικό φακό καθώς και τη μεγέθυνση για ένα τυπικό καλό μικροσκόπιο με τα ακόλουθα κατασκευαστικά χαρακτηριστικά. f o = 0, 25cm f e = 1, 6cm l = 16cm. (15) Βρίσκουμε αμέσως ότι d = l + f o + f e = 17, 85cm. Δεδομένου ότι s = = 25cm, λύνουμε τη σχέση (10) ως προς s 1. Βρίσκουμε s 1 = 16, 346cm. Αντικαθιστώντας στη σχέση (9), λύνουμε για το s: s = 0, 2539cm. Δηλαδή το αντικείμενο πρέπει να απέχει από την εστία του αντικειμενικού φακού μόλις απόσταση s f = 0, 0039cm! Αυτή είναι μια εξαιρετικά μικρή απόσταση, μόλις 40µm και απαιτεί εξαιρετικά υψηλή ακρίβεια. Βέβαια, όπως είπαμε οι υπολογισμοί κοντά στον αντικειμενικό φακό δεν είναι ρεαλιστικοί όταν γίνονται με το νόμο του Gauss, και πρέπει να κάνει λεπτομερή μελέτη της διάθλασης των ακτινών για να κάνει σωστή εκτίμηση. Για το παραπάνω μικροσκόπιο, ο κατασκευαστής θα δώσει μεγέθυνση σύμφωνα με τη σχέση (14) M = ( ) ( ) 25cm 16cm = = (16) 0, 25cm 1, 6cm Αυτή είναι κοντά στη μέγιστη μεγέθυνση που μπορούμε να πετύχουμε με ένα μικροσκόπιο. Μεγεθύνσεις μεγαλύτερες από αυτή δεν επιτυγχάνονται εξαιτίας του φαινομένου της περίθλασης, που θα μελετήσουμε αργότερα. Αξίζει να υπολογίσουμε και τη μεγέθυνση με τον ακριβέστερο τύπο (13). Βρίσκουμε M = 25cm 16, 346cm 1, 503cm 0, 2539cm 1070 (17) που σημαίνει ότι η έκφραση (14) είναι αρκετά ακριβής προσέγγιση, ιδιαίτερα αν λάβει κανείς υπόψη ότι το δεν είναι μία σαφώς καθορισμένη ποσότητα, αλλά μεταβάλλεται από παρατηρητή σε παρατηρητή. 3.3 Πραγματικό είδωλο σε μικροσκόπιο Το μικροσκόπιο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί και για την παραγωγή μεγεθυμένου πραγματικού ειδώλου, το οποίο μπορεί να καταγραφεί σε φωτογραφική μηχανή, ή να προβληθεί σε οθόνη χρησιμοποιώντας κάποιο άλλο οπτικο σύστημα. Γι αυτόν τον σκοπό αρκεί να μετακινηθεί κατά ελάχιστα το αντικείμενο μακριά από τον αντικειμενικό φακό. Το αντίστοιχο διάγραμμα κυρίων ακτινών δίνεται στο σχήμα 12. Για το μικροσκόπιο με παραμέτρους όπως δόθηκαν πριν, για s = 0, 254cm παίρνουμε από τις σχέσεις (11 13), s = 6, 24cm M 200. (18) Δηλαδή αρκεί μία μετακίνηση του αντικειμένου, μόλις κατά 10µm, για να δημιουργηθεί πραγματικό είδωλο. Ένας τρόπος να κατανοήσετε καλύτερα τη λειτουργία του μικροσκοπίου είναι από το σχημα 12, όπου γίνεται γραφική παράσταση του s και του ως συνάρτηση της απόστασης s του αντικειμένου από τον αντικειμενικό φακό, για τιμές του s κοντά στο f. Παρατηρούμε ότι υπάρχει μία κρίσιμη τιμή του s, κοντά στο f o, όπου γίνεται μετάβαση από φανταστικό και αντεστραμμένο είδωλο (s < 0, M < 0) σε πραγματικό και ορθό (s > 0 και M > 0). Πολύ κοντά σε αυτήν την κρίσιμη τιμή η μεγέθυνση παίρνει μεγάλες απόλυτες τιμές. Ο κατασκευαστής μικροσκοπίου προσπαθεί να εκμεταλλευτεί αυτή τη συμπεριφορά, τοποθετώντας το αντικείμενο όσο πιο κοντά γίνεται στην κρίσιμη 11

12 Σχήμα 12: Αν το αντικείμενο απομακρυνθεί λίγο από τον αντικειμενικό φακό, το μικροσκόπιο δημιουργει πραγματικό και ορθό είδωλο, το οποίο μπορεί να καταγραφεί σε φωτογραφική μηχανή.. Σχήμα 13: Γραφικές παραστάσεις της απόστασης ειδώλου s και της μεγέθυνσης ως συνάρτηση του s/f o για μικροσκόπιο με παράμετρους όπως δίνονται στο κείμενο. Παρατηρείστε την ύπαρξη μίας κρίσιμης τιμής του s στην οποία το ειδωλο γίνεται από φανταστικό πραγματικό. Για λειτουργία με τιμές του s κοντά στην κρίσιμη το μικροσκόπιο χαρακτηρίζεται από εξαιρετικά μεγάλες μεγεθύνσεις. 12

13 Σχήμα 14: Σχηματικό διάγραμμα ενός ρεαλιστικού μικροσκόπιου. τιμή του s, ώστε να επιτύχει μεγάλες μεγεθύνσεις. Αν η τιμή του s είναι στα αριστερά του κρίσιμου σημείου, το μικροσκόπιο χρησιμοποιείται για παρατήρηση από οφθαλμό, αν είναι στα δεξιά, το μικροσκόπιο χρησιμοποιείται για καταγραφή του ειδώλου σε φωτογραφική μηχανή. Τα παραπάνω αποτελούν μία περιγραφή των οπτικών αρχών λειτουργίας του μικροσκοπίου. Για να κατασκευαστεί ένα λειτουργικό μικροσκόπιο πρέπει να ληφθούν υπόψη και πολλές άλλες παράμετροι βλέπε σχήμα 13. Για παράδειγμα, 1. Καθώς σε ένα μικροσκόπιο επιτυγχάνεται εξαιρετικά μεγάλη μεγέθυνση, το φως που εκπέμπει το αντικείμενο διασπείρεται σε μεγαλύτερο εμβαδόν, οπότε το αντικείμενο μπορεί να φαίνεται μεγαλύτερο αλλά είναι πιο σκοτεινό. Οι κατασκευαστές μικροσκοπίων λύνουν αυτόν το πρόβλημα τοποθετώντας ένα μικρό ισχυρό λαμπτήρα πίσω από το αντικείμενο και δίνοντας ιδιαίτερη προσοχή στο τρόπο που το αντικείμενο φωτίζεται. 2. Καθώς σε κάθε άνθρωπο είναι διαφορετική η εγγύτατη απόσταστη, απαιτείται η χρήση ενός επιπλέον ασθενούς φακού, μεταβλητής ισχύος, τον οποίο προσαρμόζει ο παρατηρητής έτσι ώστε το είδωλο να είναι ευκρινέστερο για αυτόν. 3. Για να επιτευχθεί μείωση των σφαλμάτων λόγω περίθλασης συχνά τοποθετείται λάδι ειδκού τύπου μεταξύ αντικειμένου και αντικειμενικού φακού. 4 Τηλεσκόπιο 4.1 Βασική ιδέα Η βασική ιδέα του τηλεσκοπίου είναι να τοποθετηθούν δύο φακοί σε σειρά κατά τέτοιο τρόπο ώστε να συμπίπτει μία εστία του ενός με μία εστία του άλλου. Κατ αυτόν τον τρόπο ακτίνες που εισέρχονται παράλληλες στον πρώτο φακό, καταλήγουν στην κοινή εστία των δύο φακών, εξέρχονται παραλληλες από το δεύτερο φακό βλέπε σχήμα 15. Κατά αυτόν τον τρόπο επιτυγχάνονται σημαντικές μεγεθύνσεις μακρινών αντικειμένων. Όπως και στο μικροσκόπιο, ο φακός που είναι πιο κοντά στο αντικείμενο καλείται αντικειμενικός και αυτός που είναι πιο κοντά στο είδωλο καλείται προσοφθάλμιος. Γράφοντας την εστιακή απόσταση του πρώτου ως f o και του δευτερου ως f e, η μεταξύ τους απόσταση d προκειμένου να 13

14 Σχήμα 15: Βασική ιδέα του τηλεσκοπίου. Δύο φακοί τοποθετουνται έτσι ώστε να ταυτίζεται η μία εστία του ενός με τη μια εστία του άλλου. Κατ αυτόν τον τροπο εισερχόμενη δέσμη παράλληλων ακτινών (από πολύ μακρινό αντικείμενο) εξέρχεται παράλληλη. Στην περίπτωση (Α) έχουμε δύο συγκλίνοντες φακούς και η δέσμη αντιστρέφεται. Στην περίπτωση (Β) έχουμε έναν αποκλίνοντα και έναν συγκλίνοντα φακό και η δέσμη παραμένει ορθή. Προσοχή, το ότι οι παράλληλες ακτίνες έχουν έρθει πιο κοντά μεταξύ τους δε σημαίνει ότι έχει επέλθει σμίκρυνση, αλλά ότι περισσότερες εισερχόμενες ακτίνες μπορούν να περάσουν από την κόρη του οφθαλμού. σχηματίζεται τηλεσκόπιο πρέπει να είναι d = f o + f e. (19) Στο σχήμα 15 βλέπουμε ότι αν και οι δύο φακοί είναι συγκλίνοντες τότε η εισερχόμενη παράλληλη δέσμη ακτινών εξέρχεται αντεστραμένη, ενώ αν χρησιμοποιήσουμε αποκλίνοντες φακούς τότε η δέσμη εξέρχεται ορθή. Η πρώτη κατηγορία τηλεσκοπίου καλείται κεπλεριανό τηλεσκόπιο και η δευτερη κατηγορια γαλιλαϊκό, από τους Κέπλερ και Γαλιλαίο αντίστοιχα. 4.2 Γωνιακή μεγέθυνση Για τον ορισμό της μεγέθυνσης του τηλεσκοπίου, ο συνήθης ορισμός M = L /L (L μέγεθος αντικειμένου, L μέγεθος ειδώλου) δεν είναι επαρκής. Αντ αυτού χρησιμοποιούμε την έννοια της γωνιακής μεγέθυνσης, η οποία ορίζεται ως εξής. Θεωρείστε ένα μακρινό αντικείμενο. Έστω α η γωνία που σχηματίζει η ευθεία που ενώνει το μάτι του παρατηρητή με την κορυφή του αντικειμένου απουσία τηλεσκοπίου με τον οπτικό άξονα και έστω β η αντίστοιχη γωνία παρουσία τηλεσκοπίου. Αν η γωνία β είναι μεγαλύτερη στη δεύτερη περιπτωση, τότε το αντικείμενο εμφανίζεται μεγαλύτερο. Ορίζουμε λοιπόν τη γωνιακή μεγέθυνση γ ως γ = β α. (20) Οι γωνίες α και β περιγράφονται στο σχήμα 16. Παρακολουθούμε την ακτίνα που ξεκινά από την κορυφή του δέντρου και περνά από το κέντρο του πρώτου (αντικειμενικού) φακού αυτή είναι μια κύρια ακτίνα από το διάφραγμα που αντιστοιχεί στον αντικειμενικό φακό. Έστω ότι προσπίπτει στον προσοφθάλμιο φακό σε απόσταση y 2 από το κέντρο του. Διαθλώμενη, εξέρχεται και τέμνει τον οπτικό άξονα σε απόσταση t 2 από τον προσοφθάλμιο. Αυτή η ακτίνα σχημάτισε πρώτο είδωλο στον 14

15 Σχήμα 16: Γωνίες όρασης α και β, απουσία και παρουσία του τηλεσκοπίου αντίστοιχα. αντικειμενικό φακό, δηλαδή σε απόσταση ίση με d από τον προσοφθάλμιο. Εφαρμόζοντας το νόμο του Gauss στον προσοφθάλμιο παίρνουμε 1 t 2 = 1 f e 1 d. (21) Από τη γεωμετρία του σχήματος 16, βλέπουμε ότι tan α = t 2 /d και tan β = y 2 /t 2. Το οφείλεται στο ότι η β έχει άνοιγμα στην αντίθετη κατεθυνση από την α. Για μικρές γωνίες x (σε ακτίνια) tanx x, οπότε παίρνουμε α = y 2 d β = y 2 t 2, (22) οπότε γ = β/α = d/t 2. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (21) παίρνουμε γ = 1 d f e, οπότε θέτοντας d = f o + f e καταλήγουμε στη βασική σχέση για τη γωνιακή μεγέθυνση σε τηλεσκόπιο γ = f o f e. (23) Το πρόσημο στη σχέση (23) επιβεβαιώνει ότι στο κεπλεριανό τηλεσκόπιο αντιστρέφεται το είδωλο, ενώ παραμένει ορθό στο γαλιλαϊκό. Βλέπουμε επίσης ότι απαραίτητη προϋπόθεση για να υπάρξει μεγέθυνση είναι ο αντικειμενικός φακός να έχει μεγαλύτερη εστιακή απόσταση κατά απόλυτη τιμή από τον προσοφθάλμιο. Αντίθετα από ότι ισχύει στο μικροσκόπιο, στο τηλεσκόπιο ο προσοφθάλμιος πρέπει να είναι πιο ισχυρός. Παρατήρηση: η έννοια της γωνιακής μεγέθυνσης εφαρμόζεται σε όλα τα οπτικά συστήματα, αλλά στην περίπτωση του μεγεθυντικού φακού και του μικροσκοπίου ταυτίζεται με το συνηθισμένο ορισμό. Οι υψηλές γωνιακές μεγεθύνσεις που πραγματοποιούνται σε ένα τηλεσκόπιο, μας επιτρέπουν να διαχωρίζουμε μακρινά αντικείμενα, όταν αυτό δεν μπορεί να γίνει με το γυμνό μάτι. Η ελάχιστη γωνία παρατήρησης που μπορεί να διακρίνει ένα καλό ζεύγος ματιών είναι α min rad 0, 01 o. Για παράδειγμα, ένας άνθρωπος ύψους 1, 70m σε απόσταση 17km (σε ευθεία) φαίνεται υπό γωνία α = (1, 7m)/(17000m) = 10 4 rad. Για να μπορέσουμε να τον διακρίνουμε πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τηλεσκόπιο με μεγέθυνση τουλάχιστον ίση με α min /α = 2. Στην πράξη χρειάζεται σημαντικά μεγαλύτερη μεγέθυνση, δεδομένου η ελάχιστη γωνία παρατήρησης rad αφορά ιδανικές συνθήκες παρατήρησης. 15

16 4.3 Φωτεινότητα Το τηλεσκόπιο δε χρησιμοποιείται μόνο για να μεγενθύνει εικόνες, αλλά επίσης για να δημιουργεί φωτεινότερα είδωλα. Ένας αντικειμενικός φακός μεγάλης διαμέτρου D συλλέγει πολύ περισσότερο φως από έναν οφθαλμό, και όπως φαίνεται από το σχήμα 15, τις κατευθύνει σε περιοχή μικρότερου εμβαδού. Κατά συνέπεια το είδωλο είναι πολύ φωτεινότερο. Για να ποσοτικοποιήσουμε τα παραπάνω υπολογίζουμε τη θέση και της διάμετρο της κόρης εξόδου σε ένα τηλεσκόπιο με αντικειμενικό φακό διαμέτρου D. Ο αντικειμενικός φακός αντιστοιχεί στο διάφραγμα και την κόρη εισόδου, οπότε για να βρούμε την κόρη εξόδου προσδιορίζουμε το είδωλο του αντικειμενικού ως προς τον προσοφθάλμιο. Χρησιμοποιούμε το νόμο του Gauss, για s = f o +f e, όπου f e << f o. Βρίσκουμε ότι η κόρη εξόδου απέχει απόσταση s από τον προσοφθάλμιο φακό, s = (f o + f e )f e f o f e, (24) με μεγέθυνση = s /s = f e /f o. Άρα η διάμετρος D ex της κόρης εξόδου είναι D ex = M D = f e f o D (25) Δηλαδή ο λόγος του εμβαδού της κόρης εξόδου ως προς το εμβαδόν της κόρης εισόδου είναι (D ex /D) 2 = (f e /f o ) 2 = 1/γ 2, δηλαδή η φωτεινότητα του ειδώλου είναι μεγαλύτερη κατά γ 2 φορές ως προς το αντικείμενο. Αν το τηλεσκόπιο χρησιμοποιείται για απευθείας παρατήρηση με το μάτι, η κόρη εξόδου πρέπει να είναι μικρότερη από τη διάμετρο της κόρης του οφθαλμού, που είναι περίπου 5mm, γιατί αλλιώς χάνεται μέρος του προσπίπτοντος φωτός. Δεν μπορεί όμως να είναι και πολύ μικρότερη γιατί έτσι δεν μπορεί να γίνει διαχωρισμός των λεπτομερειών του αντικειμένου. Ιδανική παρατήρηση γίνεται όταν το μάτι τίθεται πάνω στην κόρη εξόδου, οπότε το s της εξίσωσης (24) πρέπει να είναι τόσο που να επιτρέπει την άνετη τοποθέτηση του ματιού, δηλαδή τουλάχιστον 10mm, άρα και το f e πρέπει να είναι τουλάχιστον τόσο. Από την εξισωση (25) παίρνουμε ότι για να χρησιμοποιηθεί για παρατήρηση με το μάτι ο λόγος f o /D = f e /D ex > (10mm)/(5mm) > 2. Η ποσότητα f o /D καλείται εστιακό πηλίκο του τηλεσκοπίου και είναι ο αντίστροφος του αριθμού f (f# = D/f o ) που ορίσαμε προηγουμένως για οποιοδήποτε οπτικό σύστημα. Το εστιακό πηλίκο είναι μία βασική παράμετρος που δίνουν οι κατασκευαστές ενός τηλεσκοπίου. Όταν ένα τηλεσκόπιο χαρακτηρίζεται ως f/5, αυτό σημαίνει ότι το εστιακό του πηλίκο είναι ίσο με 5, ή αντίστροφα έχει αριθμό f, f# = 1/5 = 0, 2. Όπως και σε οποιοδήποτε οπτικό σύστημα, η φωτεινότητα του ειδώλου για σταθερή εισερχόμενη φωτεινή ροή είναι ανάλογη του (f#) Γωνιακό πεδίο παρατήρησης Θα έλεγε κανείς ότι το γαλιλαϊκό τηλεσκόπιο που δημιουργεί ορθή εικόνα είναι πιο εύχρηστο από το κεπλεριανό. Ωστόσο το γαλιλαϊκό τηλεσκόπιο έχει πολύ μικρότερο γωνιακό πεδίο παρατήρησης από ότι το κεπλεριανό. Αυτό μπορεί να το δει κανείς στο σχήμα 17. Γι αυτό το λόγο το κεπλεριανό τηλεσκόπιο χρησιμοποιείται πολύ περισσότερο (τοποθετώντας έναν επιπλέον φακό μετά τον προσοφθάλμιο για να ξανααντιστρέψει το είδωλο), ενώ η χρήση του γαλιλαϊκού τηλεσκοπίου περιορίζεται σε απλά κυάλια ή γενικά τηλεσκόπια για τα οποία η υψηλή αξιοπιστία δεν είναι ζητούμενο. Από το σχήμα 17, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το οπτικό πεδίο παρατήρησης αυξάνει με τη διάμετρο D του αντικειμενικού φακού. Επίσης αυξάνει όσο μικρότερη είναι η απόσταση f o + f e μεταξύ των δύο φακών. Δεδομένου ότι f e << f o, αυτό σημαίνει ότι το οπτικό πεδίο παρατήρησης ελαττώνεται όσο αυξάνεται το f. Κατά συνέπεια, το οπτικό πεδίο παρατήρησης αυξάνει με τον αριθμό f του τηλεσκοπίου. Έχουμε λοιπόν δύο αντικρουόμενες συνθήκες 16

17 Σχήμα 17: Το οπτικό πεδίο παρατήρησης (η γωνία μεταξύ των δύο διακεκομμένων γραμμών) είναι σημαντικά μεγαλύτερο σε ένα κεπλεριανό από ότι σε ένα γαλιλαϊκό, με τον ίδιο αντικειμενικό φακό και ίδια μεγέθυνση. Ως αποτέλεσμα, στο γαλιλαϊκό τηλεσκόπιο συχνά δε χωρά όλο το αντικείμενο που θέλουμε να παρατηρήσουμε στο οπτικό μας πεδίο. Θέλουμε μεγάλο αριθμό f για μεγαλύτερη φωτεινότητα του ειδώλου και μεγαλύτερο οπτικό πεδίο παρατήρησης. Θέλουμε μεγάλο f o για να έχουμε μεγάλη μεγέθυνση. Η λύση σ αυτό το πρόβλημα θα ήταν να κατασκευάζουμε τηλεσκόπια με μεγάλη διάμετρο D του αντικειμενικού φακού, ώστε να επιτρέπει μεγάλες μεγεθύνσεις με μεγάλες τιμές του αριθμού f. Αλλά δυστυχώς αυτό δε γίνεται. Πέρα από το ότι η αύξηση της διαμέτρου D αυξάνει τα σφάλματα, υπάρχει και το πρόβλημα ότι ένας πολύ μεγάλος φακός είναι πολύ βαρύς και παραμορφώνεται λόγω βαρύτητας. Ο μεγαλύτερος αντικειμενικός φακός τηλεσκοπίου στον κόσμο έχει διάμετρο 1m και βρίσκεται στο παρατηρητήριο Yerkes στο Ουϊσκόνσιν. Η κατασκευή του απαίτησε τρία χρόνια και το βάρος του είναι περίπου 500 κιλά, ενώ ο σωλήνας παρατήρησης ζυγίζει 75 τόνους. Στην πράξη τα τηλεσκόπια κατασκευάζονται με συγκεκριμένες προδιαγραφές, ανάλογα με τις λειτουργίες που θέλουμε να επιτελέσουν. Έτσι έχουμε Ταχεία τηλεσκόπια, που χαρακτηρίζονται από μεγάλες τιμές του αριθμού f ( f# > 1 ). Αυτά 6 είναι μικρά σε μήκος τηλεσκόπια, με συγκριτικά μεγάλη διάμετρο αντικειμενικού φακού. Χρησιμοποιούνται για την παραγωγή λαμπρών ειδώλων και για καταγραφή εκτεταμένων αντικειμένων, αλλά με μικρή μεγέθυνση. Σ αυτά τα τηλεσκόπια τα σφάλματα είναι σημαντικό πρόβλημα. Αργά τηλεσκόπια, που χαρακτηρίζονται από μεγάλες τιμές του αριθμού f ( f# < 1 ). Αυτά είναι 8 μεγάλα σε μήκος τηλεσκόπια. Χρησιμοποιούνται για την παρατήρηση εντοπισμένων αντικειμένων (π.χ. αστέρες στην αστρονομία) με μεγάλη μεγέθυνση. Τα είδωλα που παράγει είναι σχετικά σκοτεινά. (Απαιτείται πολύς χρόνος έκθεσης του φιλμ, ώστε να καταγραφεί είδωλο, εξ ου και το όνομα αργά.) 4.5 Ανακλαστικά τηλεσκόπια Τα τηλεσκόπια που λειτουργούν αποκλειστικά με φακούς καλούνται τηλεσκόπια διάθλασης. Παρότι είναι τα παλαιότερα και εξακολουθούν να έχουν αρκετές εφαρμογές, η χρήση τους είναι πλέον 17

18 Σχήμα 18: Το ανακλαστικό τηλεσκόπιο του Νεύτωνα. Η φωτεινή ακτίνα ανακλάται καταρχάς σε παραβολικό κάτοπτρο και στη συνέχεια μέσω μίας ανάκλασης σε ένα δευτερεύον κάτοπτρο καταλήγει στον προσοφθάλμιο φακό. ελάχιστη στον επιστημονικό τομέα όπου ανακαλύφθηκαν, δηλαδή στην αστρονομία. Τη θέση τους την έχουν πάρει τα λεγόμενα ανακλαστικά τηλεσκόπια, δηλαδή τηλεσκόπια που αντί για αντικειμενικό φακό χρησιμοποιούν κάτοπτρα είναι πολύ πιο αποτελεσματικά. Το παλαιότερο μοντέλο ανακλαστικού τηλεσκοπίου, ο σχεδιασμός του οποίου οφειλεται στο Νεύτωνα, δίνεται στο σχήμα 18. Τα σημαντικότερα πλεονεκτήματα των ανακλαστικών τηλεσκοπίων είναι τα ακόλουθα. 1. Δεδομένου ότι λειτουργούν κυρίως με ανάκλαση δεν έχουν πρόβλημα χρωματικών σφαλμάτων. 2. Επιλέγοντας παραβολικό κάτοπτρο μηδενίζεται το πρόβλημα της σφαιρικής εκτροπής. 3. Το κάτοπτρο μπορεί να τοποθετηθεί στο έδαφος, οπότε δεν υπάρχει πρόβλημα στήριξης, όσο βαρύ κι αν είναι. 4. Είναι ευκολότερο να κατασκευαστούν μεγάλα κάτοπτρα από ότι να κατασκευαστούν μεγάλοι φακοί. Το ισχυρότερο τηλεσκόπιο βρίσκεται στις Κανάριες νήσους της Ισπανίας και χρησιμοποιεί παραβολικό κάτοπτρο διαμέτρου D 10, 4m με εστιακή απόσταση f o = 16, 5m. 5 Ερωτήσεις - Ασκήσεις 1. Προσδιορίστε την κόρη εισόδου και εξόδου για τα σχήματα 1 και 2, αν ο φακός είναι αποκλίνων. 2. Επιβεβαιώστε ότι μπορείτε να βρείτε τις κόρες εισόδου και εξόδου με διαγράμματα κυρίων ακτινών σε συστήματα δύο φακών, για διαφορετικές θέσεις του διαφραγματος (αν τοποθετηθεί πριν τους φακούς, ανάμεσα στους δύο φακούς και μετά του φακούς). 3. Πώς ορίζεται ο αριθμός f, και τί μέγεθος προσδιορίζει; 18

19 Σχήμα 19: Κυάλι πειρατών κυάλια όπερας. 4. Έχετε ένα φακό εστιακής απόστασης f > 0 και διαμέτρου D (τα όρια του φακού ορίζουν το διάφραγμα). Ποιος είναι ο αριθμός f όταν ο φακός απεικονίζει αντικείμενο στο άπειρο, και ποιος ο αριθμός f όταν ο φακός απεικονίζει αντικείμενο πάνω στην εστία του; 5. Αν τριπλασιαστεί η ένταση του φωτισμού ενός αντικειμένου, πόσο πρέπει να αλλάξουμε τη διάμετρο D του διαφράγματος ενός οπτικού συστήματος, ώστε να μην μεταβληθεί η φωτεινότητα του ειδώλου; 6. Επιβεβαιώστε ότι μπορείτε να βρείτε μέσω διαγραμμάτων κυρίων ακτινών τα παράθυρα εισόδου και εξόδου ενός αποκλίνοντος φακού, όταν υπάρχει διάφραγμα πεδίου (ι) στο αντικείμενό του και (ιι) στο είδωλό του. 7. Περιγράψτε τους δύο τρόπους που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας συγκλίνοντας φακός ως μεγεθυντικός, και φέρτε τα αντίστοιχα διαγράμματα κυρίων ακτινών. Πότε η επιτυχόμενη μεγέθυνση είναι μεγαλύτερη και γιατί; 8. Μπορούμε να κατασκευάσουμε μεγεθυντικό φακό χρησιμοποιώντας αποκλίνοντα φακό; Γιατί; 9. Σχεδιάστε τα διαγράμματα κυρίων ακτινών για ένα μικροσκόπιο όταν χρησιμοποιείται (α) από ανθρώπινο παρατηρητή και (β) για να καταγραφεί εικόνα σε φωτογραφική μηχανή. 10. Μικροσκόπιο είναι σχεδιασμένο για παρατήρηση αντικειμένου στην εγγύτατη απόσταση = 25cm. Η εγγύτατη απόσταση για ένα χρήστη είναι = 30cm. Τι χρειάζεται για να δει καθαρότερη εικόνα; 11. Επιβεβαιώστε ότι μπορείτε να αποδείξετε την έκφραση για τη γωνιακή μεγέθυνση τηλεσκοπίου, σχεδιάζοντας και το κατάλληλο διάγραμμα όπου ορίζονται οι γωνίες α και β. 12. Ποιες οι βασικές διαφορές γαλιλαϊκού και κεπλεριανού τηλεσκοπίου; 13. Γιατί για κανένα λόγο δεν πρέπει να στρέφετε κυάλια ή τηλεσκόπια κατευθείαν προς στον ήλιο; 14. Σας δείχνουν δύο τηλεσκόπια, το ένα κοντό και παχύ, το άλλο πιο μακρύ και πιο λεπτό και σας λένε ότι το ένα είναι f/4 και το άλλο f/8. Ποιο είναι ποιο και γιατί; 15. Από τα δύο παραπάνω τηλεσκόπια ποιο θα χρησιμοποποιήσετε για να κατασκοπεύσετε έναν γείτονα και ποιο για να παρατηρήσετε τον πλανήτη Άρη; Εξηγείστε. 16. Γιατί το κυάλι των πειρατών και τα κυάλια της όπερας έχουν το σχήμα που έχουν; (σχήμα 19) 17. Ποια τα πλεονεκτήματα των ανακλαστικών έναντι των διαθλαστικών τηλεσκοπίων; 19

20 Άσκηση 1. Ένα οπτικό σύστημα αποτελείται από φακό εστιακής απόστασης f = 10cm και ένα διάφραγμα διαμέτρου D = 3cm σε απόσταση a = 20cm πριν απο το φακό. α) Βρείτε που σχηματίζονται οι κόρες εισόδου και εξόδου (σε ποια απόσταση από το φακό) και ποια είναι η διάμετρός τους. β) Φέρτε το αντίστοιχο διάγραμμα κυρίων ακτινών. γ) Υπολογίστε τον αριθμό f του συστήματος για αντικείμενο στο άπειρο. Άσκηση 2. Ένα οπτικό σύστημα αποτελείται από φακό εστιακής απόστασης f = 10cm και ένα διάφραγμα διαμέτρου D = 3cm σε απόσταση a = 10cm μετά το φακό. α) Βρείτε που σχηματίζονται οι κόρες εισόδου και εξόδου (σε ποια απόσταση από το φακό) και ποια είναι η διάμετρός τους. β) Φέρτε το αντίστοιχο διάγραμμα κυρίων ακτινών. Ασκηση 3. Ένα οπτικό σύστημα αποτελείται από δύο φακούς εστιακής απόστασης f 1 = 10cm και f 2 = 10cm, σε απόσταση d = 30cm. Τοποθετούμε ένα διάφραγμα διαμέτρου D = 3cm ακριβώς στη μέση της απόστασης των δύο φακών. α) Βρείτε που σχηματίζονται οι κόρες εισόδου και εξόδου (σε ποια απόσταση από τους φακούς) και ποια είναι η διάμετρός τους. β) Φέρτε το αντίστοιχο διάγραμμα κυρίων ακτινών. γ) Υπολογίστε τον αριθμό f του συστήματος για αντικείμενο στο άπειρο. Άσκηση 4. Φακός εστιακής απόστασης f = 10cm χρησιμοποιείται για να σχηματίζει είδωλο αντικειμένου που βρίσκονται σε απόσταση s = 100cm. Το είδωλο προβάλλεται σε μία οθόνη διαμέτρου D = 2cm. Ποιο είναι το μέγιστο μέγεθος αντικειμένου που μπορεί να απεικονιστεί ολόκληρο; Άσκηση 5. Θεωρείστε το οπτικό σύστημα που περιγράφεται στην εφαρμογή 1, αλλά με λειτουργία σμίκρυνσης. Δηλαδή τοποθετούμε το αντικείμενο πάνω στην εστία του πρώτου φακού εστιακής απόστασης f 1 = 80cm και σε απόσταση d τοποθετούμε το δεύτερο φακό εστιακής απόστασης f 2 = 5cm. Έστω ότι έχουμε μία οθόνη παρατήρησης διαμέτρου D = 4cm. Ποιο είναι το μέγιστο μέγεθος αντικειμένου που μπορεί να απεικονιστεί ολόκληρο μέσα στα όρια της οθόνης; Άσκηση 6. Υπολογίστε τις εστιακές αποστάσεις που πρέπει να έχουν μεγεθυντικοί φακοί που χαρακτηρίζονται ως 2, 3, 4, 5. Άσκηση 7. Σας δίνεται μικροσκόπιο με χαρακτηριστικά f o = 0, 8mm, f e = 4mm και l = 17mm. Τί μεγέθυνση δίνει ο κατασκευαστής; Υπολογίστε σε τι απόσταση από τον αντικειμενικό φακό πρέπει να τοποθετηθεί το αντικείμενο προκειμένου να παρατηρηθεί άμεσα. Άσκηση 8. Σας δίνεται μικροσκόπιο με χαρακτηριστικά f o = 1mm, f e = 4, 5mm και l = 17mm. Βρείτε τη μεγέθυνση που δίνει ο κατασκευαστής. Πόσες φορές πρέπει να αυξήσετε το φωτισμό του αντικειμένου προκειμένου να μη φαίνεται πιο σκοτεινό από ότι στο γυμνό μάτι; Άσκηση 8. Σας δίνεται τηλεσκόπιο με εστιακή απόσταση αντικειμενικού φακού f o = 60cm. Τι εστιακής απόστασης προσοφθάλμιο θα χρησιμοποιήσετε προκειμένου ή κόρη εξόδου να είναι σε άνετη απόσταση 2cm από το φακό; Ποια πρέπει να είναι η διάμετρος του αντικειμενικού φακού προκειμένου η κόρη εξόδου να είναι περίπου ίση με τη διάμετρο της κόρης του οφθαλμού (0,5cm); Ποιος είναι ο αριθμός f του τηλεσκοπίου; Ασκηση 9. Έχετε τηλεσκόπιο με εστιακή απόσταση αντικειμενικού φακού f o = 50cm. Τι εστιακής απόστασης προσοφθάλμιο θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε προκειμένου να διακρίνετε ένα φορτηγό σε απόσταση 20km αν έχετε ελεύθερο οπτικό πεδίο; (Επιλέξτε εσείς ένα ρεαλιστικό ύψος φορτηγού.) 20