Dinamica structurilor şi inginerie seismică. Note de curs. Aurel Stratan

Transcript

1 Diamica structurilor şi igierie seismică Note de curs Aurel Strata Timişoara 204

2 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Cupris. INTRODUCERE DINAMICA SISTEMELOR CU UN SINGUR GRAD DE LIBERTATE DINAMICĂ ECUAŢII DE MIŞCARE, FORMULAREA PROBLEMEI, METODE DE REZOLVARE Sisteme cu u sigur grad de libertate diamică Relaţia forţă-deplasare Forţa de amortizare Ecuaţia de mişcare î cazul uei forţe extere Ecuaţia de mişcare î cazul acţiuii seismice Formularea problemei şi determiarea eforturilor Combiarea răspusului static cu cel diamic Metode de rezolvare a ecuaţiei de mişcare VIBRAŢII LIBERE Vibraţii libere eamortizate Vibraţii libere amortizate VIBRAŢII FORŢATE Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip treaptă şi rampă Vibraţii forţate ale sistemelor SGLD produse de forţe armoice Vibraţii forţate ale sistemelor SGLD produse de forţe armoice Determiarea amortizării di îcercări de vibraţii forţate amortizate Amortizarea la structurile igiereşti NOŢIUNI DE SEISMOLOGIE INGINEREASCĂ INTRODUCERE ACTIVITATEA SEISMICĂ LA NIVEL MONDIAL CAUZELE CUTREMURELOR Cutremure tectoice Alte cauze ale cutremurelor TIPURILE DE FALII UNDELE SEISMICE EFECTELE CUTREMURELOR INTENSITATEA ŞI MAGNITUDINEA Itesitatea seismică Magitudiea ÎNREGISTRAREA MIŞCĂRII SEISMICE SEISMICITATEA ROMÂNIEI RĂSPUNSUL SEISMIC AL SISTEMELOR CU UN SINGUR GRAD DE LIBERTATE DINAMICĂ MIŞCAREA SEISMICĂ DETERMINAREA RĂSPUNSULUI SEISMIC SPECTRE DE RĂSPUNS ELASTIC Spectrul de răspus elastic al deplasării Spectrul de răspus elastic al pseudo-vitezei Spectrul de răspus elastic al pseudo-acceleraţiei Spectrul combiat D-V-A Spectre de viteză şi acceleraţie CARACTERISTICILE SPECTRELOR DE RĂSPUNS ELASTIC SPECTRE ELASTICE DE PROIECTARE RĂSPUNSUL INELASTIC AL SISTEMELOR SGLD Itroducere Efectul comportării elasto-plastice Relaţia ditre ductilitate µ şi factorul de reducere R y SISTEME CU MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE DINAMICĂ ECUAŢII DE MIŞCARE, FORMULAREA PROBLEMEI, METODE DE REZOLVARE Forţele elastice Forţele de amortizare Forţele de ierţie Ecuaţia de mişcare: forţe diamice Ecuaţia de mişcare: acţiuea seismică ii

3 5.2. VIBRAŢII LIBERE ALE SISTEMELOR MGLD Moduri proprii de vibraţie ale sistemelor MGLD eamortizate Ortogoalitatea modurilor proprii Normalizarea modurilor Dezvoltarea modală a deplasărilor Soluţia ecuaţiei de mişcare Vibraţii libere amortizate ale sistemelor MGLD RĂSPUNSUL DINAMIC AL SISTEMELOR MGLD Aaliza modală Aaliza răspusului seismic î timp folosid aaliza modală Aaliza spectrală CALCULUL STRUCTURILOR LA ACŢIUNEA SEISMICĂ INTRODUCERE ACŢIUNEA SEISMICĂ Spectrul elastic Spectrul de proiectare petru aaliza elastică METODE DE CALCUL ELASTIC Metoda de calcul cu forţe laterale Metoda de calcul modal cu spectre de răspus Combiarea efectelor compoetelor acţiuii seismice CONFORMAREA SEISMICĂ A STRUCTURILOR Simplitatea structurii Uiformitate, simetrie şi redudaţă Rezisteţă şi rigiditate laterală î orice direcţie Rezisteţă şi rigiditate la torsiue Realizarea ca diafragme a plaşeelor Fudaţii adecvate CRITERII DE REGULARITATE STRUCTURALĂ Criterii de regularitate î pla Criterii de regularitate pe verticală Alegerea metodei de calcul structural MODELUL STRUCTURAL EFECTELE DE TORSIUNE ACCIDENTALĂ CLASE DE IMPORTANŢĂ ŞI DE EXPUNERE COMBINAREA ACŢIUNII SEISMICE CU ALTE TIPURI DE ACŢIUNI CONCEPTE DE PROIECTARE Coceptul de proiectare disipativă a structurii Coceptul de proiectare slab-disipativă a structurii Alegerea pricipiului de proiectare VERIFICAREA LA SLU Codiţia de rezisteţă Limitarea deplasărilor laterale la SLU Verificarea ductilităţii locale şi globale Rezisteţa fudaţiilor Rosturi seismice VERIFICAREA LA SLS PROIECTAREA SEISMICĂ A STRUCTURILOR DIN OȚEL PRINCIPII DE PROIECTARE TIPURI DE STRUCTURI DUCTILITATEA STRUCTURILOR METALICE Ductilitatea de material Ductilitatea de secţiue Ductilitatea de elemet Îmbiările elemetelor structurale Ductilitatea structurii CADRE METALICE NECONTRAVÂNTUITE CADRE METALICE CONTRAVÂNTUITE CENTRIC CADRE METALICE CONTRAVÂNTUITE EXCENTRIC CADRE CU CONTRAVÂNTUIRI CU FLAMBAJ ÎMPIEDICAT PROIECTAREA SEISMICĂ A STRUCTURILOR DIN BETON ARMAT iii

4 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] PRINCIPII DE PROIECTARE, CLASE DE DUCTILITATE TIPURI DE STRUCTURI DUCTILITATEA STRUCTURILOR DIN B.A Ductilitatea materialelor Ductilitatea de secţiue Ductilitatea de elemet Nodurile cadrelor Ductilitatea structurii PROIECTAREA SEISMICĂ A PODURILOR CERINŢE FUNDAMENTALE ŞI PRINCIPII DE PROIECTARE CALCULUL STRUCTURAL LA ACŢIUNEA SEISMICĂ DUCTILITATEA ŞI CONFORMAREA SEISMICĂ A STRUCTURILOR PENTRU PODURI TIPURI DE STRUCTURI ŞI FACTORI DE COMPORTARE... 5 iv

5 . Itroducere. Itroducere Diamica structurilor are ca obiectiv pricipal elaborarea uor metode de determiare a eforturilor şi deformaţiilor î structuri supuse uor acţiui diamice. O acţiue diamică este o acţiue a cărei mărime, direcţie sau puct de aplicare variază î timp. Diamica structurilor dezvoltă metodele de calcul specifice discipliei de statica costrucţiilor, cosiderâd variaţia î timp a răspusului uei structuri ca efect al uei acţiui diamice. Multe ditre acţiuile care solicită structurile igiereşti pot fi cosiderate statice, î pricipal petru a simplifica calculul structural. Cu toate acestea, majoritatea structurilor sut supuse şi uor acţiui diamice pe parcursul duratei de viaţă. Di puct de vedere teoretic, este coveabil să se facă disticţia ître îcărcări periodice şi eperiodice. Câteva exemple tipice de acţiui diamice sut reprezetate schematic î Figura.. O acţiue periodică este caracterizată de faptul că îregistrează aceiaşi valoare la perioade determiate de timp. Acţiuile periodice pot fi armoice simple, descrise de o fucţie trigoometrică sius sau cosius (vezi Figura.a). Acest tip de forţe diamice sut geerate de echipamete rotative cu o masă care u este echilibrată perfect. Alte forme de acţiui periodice sut mai complexe (vezi Figura.b). Astfel de solicitări diamice pot fi geerate de presiuea hidrodiamică geerată de elicea uui vapor, sau de motoare cu pisto. Acţiuile eperiodice sut fie îcărcări de tip puls, de scurtă durată (Figura.c), cum ar fi cele geerate de o explozie, fie acţiui de lugă durată (Figura.d), geerate de cutremurele de pămât. p(t) (a) t echipamete care coţi mase rotative excetrice p(t) (b) t elicea uui vapor (c) p(t) t presiuea pe o clădire datorată uei explozii î veciătatea acesteia g (d) t cutremur de pămât Figura.. Exemple de îcărcări diamice tipice: acţiue periodică armoică (a), acţiue periodică complexă (b), acţiue de tip puls (c), acţiue de lugă durată (d)ş după Clough şi Pezie, 2003.

6 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Există două difereţe eseţiale ître răspusul diamic şi cel static al uei structuri. Prima ditre acestea costă î variaţia î timp a acţiuii diamice şi, î coseciţă, a răspusului structurii î cazul uei acţiui diamice. Î timp ce o structură acţioată de o îcărcare statică are u răspus caracterizat de o stare uică a sistemului, o acţiue diamică implică determiarea uei succesiui de stări ale structurii la itervale succesive de timp. Î coseciţă, o problemă de diamică este mai complexă şi mai cosumatoare de timp şi resurse decât o problemă de statică. Cea de-a doua difereţă ître acţiuile statice şi cele diamice costă î faptul că cele di urmă geerează forţe de ierţie, care itervi î echilibrul de forţe ale structurii. Calculul răspusului uei structuri ar putea fi realizat pri metodele staticii costrucţiilor dacă forţele de ierţie ar fi eglijabile, chiar dacă acţiuea şi răspusul structurii variază î timp. Forţele de ierţie sut cosiderabile atuci câd masa structurii şi acceleraţiile acesteia sut importate, determiarea răspusului structurii ecesitâd abordări specifice diamicii structurilor. 2

7 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică 2.. Ecuaţii de mişcare, formularea problemei, metode de rezolvare 2... Sisteme cu u sigur grad de libertate diamică Multe tipuri de structuri igiereşti pot fi idealizate ca şi structuri relativ simple, care facilitează determiarea răspusului diamic. U exemplu este castelul de apă di Figura 2.a. Această structură poate fi schematizată pritr-o masă m fixată la capătul superior al uei cosole fără masă, dar cu rigiditatea k (vezi Figura 2.b), umit pedul iversat. Î relaţie cu această schematizare structurală, diamica structurilor are ca obiectiv determiarea deformaţiilor şi eforturilor î pedulul iversat atuci câd asupra masei acţioează o forţă diamică laterală (orizotală), sau câd o mişcare seismică orizotală iduce oscilaţii ale bazei pedulului iversat. Sistemul structural di Figura 2.b este u sistem cu u sigur grad de libertate diamică (GLD). m k (a) Figura 2.. U castel de apă (a), şi idealizarea acestuia sub forma uui pedul iversat (b). Numărul de grade de libertate diamică (GLD) ecesare îtr-o aaliză diamică a uei structuri este umărul de deplasări idepedete ecesare petru defiirea poziţiei deplasate a maselor faţă de poziţia lor iiţială. Pe lâgă castelul de apă di Figura 2.a, multe alte tipuri de structuri pot fi idealizate ca şi structuri cu u sigur grad de liberate diamică (SGLD). U exemplu este cadrul parter reprezetat î Figura 2.2, care poate fi idealizat pritr-u sistem format di masa m cocetrată la ivelul riglei, cadrul fără masă care oferă rigiditate sistemului şi amortizorul care disipează eergia de vibraţie a sistemului. Îtr-o structură reală fiecare elemet structural (grida şi stâlpii) cotribuie la masa, rigiditatea şi amortizarea structurii. Î schema idealizată î schimb, fiecare ditre aceste proprietăţi este cocetrată îtr-o compoetă separată: compoeta de masă, compoeta de rigiditate şi compoeta de amortizare. Este de meţioat faptul că umărul de grade de libertate diamică este î geeral diferit de umărul de grade de libertate statică (gradul de edetermiare geometrică) folosite la determiarea eforturilor î structură pri metoda deplasărilor (o problemă de statică). Astfel, cadrul di Figura 2.2 are u sigur grad de libertate diamică (deplasarea laterală a masei cocetrate la ivelul acoperişului), î schimb gradul de edetermiare statică este egal cu trei (două rotiri de oduri şi o deplasare laterală). (b) 3

8 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura 2.2. U sistem cu u sigur grad de libertate diamică sub acţiuea uei forţe diamice p(t) (a); şi a uei mişcări seismice la baza structurii (b). Vor fi cosiderate două tipuri de îcărcare diamică: () o forţă diamică p(t) după direcţia orizotală (vezi Figura 2.2a) şi (2) o mişcare seismică orizotală u g (t) aplicată la baza structurii (vezi Figura 2.2b). Î ambele cazuri u reprezită deplasarea laterală ître masă şi baza structurii Relaţia forţă-deplasare Să cosiderăm structura di Figura 2.3a asupra căreia acţioează forţa statică f S pe direcţia gradului de libertate u. Determiarea relaţiei ditre forţa f S şi deplasarea u este o problemă clasică de statica costrucţiilor. Figura 2.3. Relaţii forţă-deplasare (Chopra, 200). Î cazul uui sistem liiar elastic (vezi Figura 2.3d), materialul di care este compusă structura are o comportare elastică, iar eforturile î structură se determiă pe baza ipotezei deplasărilor mici, folosid u calcul de ordiul I. Petru u astfel de sistem relaţia ditre forţa f S şi deplasarea u este liiară: fs = k u (2.) ude k este rigiditatea laterală a sistemului, uităţile acesteia fiid (Forţă/Lugime). Î cazul uor structuri reale, elemetele structurale pot itra î curgere la deformaţii mari, curba de descărcare şi reîcărcare diferid de curba de îcărcare iiţială. Acest efect se datorează comportării plastice a materialului, iar sistemul corespuzător se umeşte ielastic (vezi Figura 2.3c). Petru u astfel de sistem relaţia ditre forţa f S şi deplasarea u u mai este liiară şi depide de istoria şi direcţia de îcărcare: S S (, ) f = f uuɺ (2.2) 4

9 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică ude uɺ reprezită viteza sistemului (viteza pozitivă corespude creşterii deformaţiilor, iar viteza egativă micşorării deformaţiilor). Răspusul diamic al sistemelor ielastice este importat deoarece multe structuri au o comportare ielastică sub acţiuea uor mişcări seismice puterice di cauza curgerii, fisurării şi a degradării elemetelor structurale Forţa de amortizare Îcercări pe sisteme simple cu u sigur grad de libertate diamică au arătat că amplitudiea vibraţiilor uui sistem care este lăsat să vibreze liber scade cu timpul (vezi Figura 2.4). Acest feome apare ca urmare a amortizării sistemului. Î cazul uor structuri simple, amortizarea se datorează efectului termic al deformaţiilor ciclice elastice ale materialului şi frecării iterioare a materialului. Î cazul structurilor reale, există multe alte mecaisme care cotribuie la disiparea eergiei. Pritre acestea se umără frecarea î îmbiările metalice, deschiderea şi îchiderea microfisurilor la elemetele di beto armat, frecarea ître elemetele structurale şi cele estructurale (de exemplu pereţii de compartimetare), etc. Practic, este imposibilă descrierea matematică a tuturor acestor feomee î cazul uor costrucţii reale. Pri urmare, amortizarea structurilor este reprezetată îtr-o maieră mult simplificată, folosid o amortizare vâscoasă echivaletă. Figura 2.4. Îregistrarea vibraţiilor libere ale uui sistem cu u sigur grad de libertate diamică (Chopra, 200). Figura 2.5. Forţa de amortizare (Chopra, 200) Î Figura 2.5 este reprezetat u amortizor vâscos liiar supus uei forţe f D de-a lugul gradului de libertate u. Efortul di amortizor este egal şi de ses ivers cu forţa exterioară f D (vezi Figura 2.5b). Relaţia ditre forţa f D şi viteza de deformare a amortizorului uɺ este dată de relaţia (vezi Figura 2.5c): fd = c ɺ u (2.3) ude costata c reprezită coeficietul de amortizare vâscoasă. Uităţile acestuia sut (Forţă Timp/Lugime). Coeficietul de amortizare vâscoasă petru structuri reale poate fi determiat pe baza uor îcercări de vibraţii libere sau forţate ale costrucţiilor. Amortizarea vâscoasă echivaletă este folosită petru modelarea eergiei disipate la deformaţii ale structurii î domeiul elastic. Î domeiul ielastic, datorită comportării 5

10 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] ielastice a elemetelor structurale, se produce o disipare suplimetară de eergie, care trebuie cuatificată î mod direct Ecuaţia de mişcare î cazul uei forţe extere Î Figura 2.6 este reprezetat u sistem cu u sigur grad de libertate diamică (SGLD) supus uei forţe diamice p(t) pe direcţia gradului de libertate u. Atât forţa p(t), cât şi deplasarea rezultată u(t) variază cu timpul. Ecuaţia difereţială care stabileşte deplasarea u(t) poate fi determiată pri două metode: () folosid legea a doua a lui Newto şi (2) folosid pricipiul de echilibru diamic (pricipiul lui D'Alambert). O alterativă celor două metode o costituie stabilirea ecuaţiei de mişcare pe baza compoetelor de rigiditate, amortizare şi masă. Legea a doua a lui Newto Forţele care acţioează asupra masei m la u momet dat sut: forţa perturbatoare p(t), forţa elastică (sau ielastică) f S şi forţa de amortizare f D (vezi Figura 2.6b). Forţa exteră p(t), precum şi deplasarea u(t), viteza ut ɺ () şi acceleraţia ut ɺɺ () sut pozitive î direcţia pozitivă a axei x. Forţele f S şi f D sut reprezetate î figură acţioâd î ses ivers, deoarece acestea sut forţe itere (eforturi) care se opu deformaţiei, respectiv d vitezei. Legea a doua a lui Newto stabileşte că derivata impulsului ( mu ɺ ) î raport cu timpul este egală dt cu rezultata tuturor forţelor aplicate sistemului. Ţiâd seama de faptul că î mecaica clasică masa poate fi cosiderată costată, derivata impulsului devie muɺɺ.forţa rezultată de-a lugul axei x este p - f S - f D, şi folosid legea a doua a lui Newto obţiem: de ude: Îlocuid î ecuaţia (2.5) relaţiile (2.) şi (2.3), această ecuaţie devie: p f f = muɺɺ (2.4) S S D muɺɺ + f + f = p (2.5) ( ) + ( ) + ( ) = ( ) D muɺɺ t cuɺ t ku t p t (2.6) Aceasta este ecuaţia de mişcare ce caracterizează deplasarea u(t) a sistemului idealizat di Figura 2.6a, presupus a fi liiar elastic, sub acţiuea uei forţe diamice p(t). Figura 2.6. Determiarea ecuaţiei de mişcare petru u sistem SGLD (Chopra, 200). Pricipiul lui D'Alambert Pricipiul lui D'Alambert se bazează pe oţiuea de forţă de ierţie, care este egală cu produsul ditre masă şi acceleraţie şi acţioează î ses ivers acceleraţiei. Coform pricipiului lui D'Alambert, u sistem este î echilibru diamic dacă î fiecare momet forţele care acţioează asupra sistemului, iclusiv forţa de ierţie, sut î echilibru static. Î Figura 2.6c este prezetat sistemul de forţe care acţioează asupra masei m, aceasta di urmă fiid îlocuită cu forţa de ierţie, reprezetată cu liie îtreruptă petru a o distige de forţele reale. Scriid echilibrul forţelor se obţie ecuaţia (2.5), care a fost obţiută aterior folosid legea a doua a lui Newto. 6

11 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Compoetele de rigiditate, amortizare şi masă Ecuaţia de mişcare a uui sistem diamic poate fi formulată pritr-o procedură alterativă. Sub acţiuea forţei exterioare p(t), starea sistemului este descrisă de deplasarea u(t), viteza ut ɺ () şi acceleraţia ut ɺɺ (),(vezi Figura 2.7a). Acest sistem poate fi vizualizat ca şi combiaţia a trei compoete pure: () compoeta de rigiditate: cadrul fără masă şi fără amortizare (vezi Figura 2.7b); (2) compoeta de amortizare: cadrul amortizat, dar fără masă sau rigiditate (vezi Figura 2.7c); şi (3) compoeta de masă: masa cocetrată la ivelul acoperişului, fără rigiditatea sau amortizarea cadrului (vezi Figura 2.7d). Relaţia ditre forţa exteră f S şi deplasarea u petru u sistem liiar elastic este dată de ecuaţia (2.), cea ître forţa de amortizare f D şi viteza uɺ de relaţia (2.3), iar forţa de ierţie f I care acţioează asupra compoetei de masă este dată de relaţia fi = muɺɺ. Astfel, forţa exterioară p(t) poate fi cosiderată distribuită la cele trei compoete ale structurii, iar fs + fd + fi trebuie să egaleze forţa exterioară p(t), ceea ce coduce la ecuaţia de mişcare formulată de relaţia (2.5). Această abordare petru stabilirea ecuaţiei de mişcare este utilă î cazul sistemelor complexe, cu mai multe grade de libertate diamică. (a) Deplasarea u Viteza uɺ Acceleraţia uɺɺ (b) Deplasarea u (c) Viteza uɺ (d) Acceleraţia uɺɺ Figura 2.7. Sistemul (a), compoeta de rigiditate (b), compoeta de amortizare (c) şi compoeta de masă (d), Chopra, 200. Sistemul cu u sigur grad de libertate diamică idealizat pri cadrul parter di Figura 2.6 este sugestiv î cotextul igieriei civile. Î tratatele clasice de mecaică şi fizică, comportarea sistemelor SGLD este aalizată pe baza uui sistem format ditr-o masă, u resort elastic şi u amortizor (vezi Figura 2.8a). Folosid legea a doua a lui Newto (vezi Figura 2.8b) sau pricipiul lui D'Alambert (vezi Figura 2.8c) se obţie aceeaşi ecuaţie de mişcare (2.6) care a fost determiată aterior petru cadrul parter. Figura 2.8. Reprezetarea clasică a uui sistem cu u sigur grad de libertate diamică, Chopra, Ecuaţia de mişcare î cazul acţiuii seismice Î cotextul igieriei seismice, problema pricipală a diamicii structurilor este determiarea răspusului structural sub efectul mişcării seismice care acţioează la baza structurii. Notâd deplasarea tereului cu u g, deplasarea totală (sau absolută) a masei cu u t şi deplasarea relativă ître tere şi masă cu u (vezi Figura 2.9), î orice momet se poate scrie următoarea relaţie: t u () t = u() t + u () t (2.7) Atât u t cât şi u g se referă la acelaşi sistem ierţial de referiţă, iar direcţiile lor pozitive coicid. Ecuaţia de mişcare petru sistemul SGLD di Figura 2.9a poate fi determiată pri oricare ditre metodele descrise î secţiuea Î cotiuare se va folosi pricipiul echilibrului diamic al lui D'Alambert. Pe baza echilibrului forţelor care acţioează asupra sistemului (vezi Figura 2.9b), iclusiv a forţei de ierţie f I se poate scrie: g 7

12 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] fi + fs + fd = 0 (2.8) Doar deplasarea relativă u ître masă şi baza structurii produce eforturi şi forţe de amortizare î structură (mişcarea de corp rigid u produce eforturi î structură). Astfel, petru u sistem liiar elastic sut valabile t relaţiile (2.) şi (2.3). Forţa de ierţie f I este proporţioală cu acceleraţia totală uɺɺ a masei: f mu Îlocuid ecuaţiile (2.), (2.3) şi (2.9) î ecuaţia (2.8) obţiem: de ude, folosid relaţia (2.7), obţiem: t I = ɺɺ (2.9) t muɺɺ + cuɺ + ku = 0 (2.0) muɺɺ + cuɺ + ku = muɺɺ g (2.) Comparâd relaţiile (2.6) şi (2.), se poate observa că ecuaţia de mişcare a uui sistem acţioat de acceleraţia uɺɺ () t impusă bazei este idetică cu cea a uui sistem cu baza fixă acţioat de o forţă exterioară g egală cu muɺɺ () t aplicată masei. Astfel, mişcarea seismică la baza structurii poate fi îlocuită cu o forţă g seismică efectivă (vezi Figura 2.0): p () t = muɺɺ () t (2.2) eff g Figura 2.9. U sistem SGLD supus mişcării seismice la bază (Chopra, 200). Figura 2.0. Forţa seismică efectivă (Chopra, 200). Forţa seismică efectivă este egală cu produsul ditre masă şi acceleraţia tereului, acţioâd î ses ivers acceleraţiei. Este importat de observat că forţa seismică efectivă depide de doi factori: masa structurii costrucţiile cu masa mai mare fiid supuse uor forţe efective mai mari acceleraţia tereului costrucţiile amplasate î zoe seismice puterice fiid supuse uor forţe efective mai mari Formularea problemei şi determiarea eforturilor Problema fudametală î diamica structurilor este determiarea răspusului uui sistem sub efectul uei acţiui diamice, care poate fi o forţă diamică exterioară p(t) sau acceleraţia tereului aplicată la baza structurii uɺɺ () t. Î cazul uui sistem liiar elastic cu u sigur grad de libertate diamică, acesta este defiit g de masa m, rigiditatea k şi coeficietul de amortizare c. Termeul de răspus se referă îtr-u ses larg la orice catitate care defieşte comportarea structurii, cum ar fi deplasarea, viteza, acceleraţia masei, sau eforturi şi tesiui î elemetele structurii. Î cazul uei îcărcări seismice, pot fi ecesare atât valorile totale (sau absolute), cât şi cele relative ale deplasării ut (), vitezei ut ɺ () şi acceleraţiei ut ɺɺ (). Deplasările relative 8

13 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică ut () asociate deformaţiilor structurii sut cele mai importate, deoarece eforturile î elemetele structurii sut î relaţie directă cu deformaţiile. Pri rezolvarea ecuaţiei de mişcare a sistemului cu u grad de libertate diamică (cadrul parter di exemplele aterioare), se obţie variaţia î timp a deformaţiei ut () a structurii. Pe baza acestor valori, pritr-o aaliză statică a structurii, se pot determia eforturile di elemetele structurale (mometele de îcovoiere, eforturile axiale şi cele tăietoare) î orice momet de timp dat. Această aaliză statică a structurii poate fi vizualizată î două moduri: Structura poate fi aalizată sub efectul deplasării laterale impuse ut (). Folosid metoda deplasărilor se pot determia rotirile de oduri, iar ulterior eforturile î elemetele structurale. Cel de-al doilea mod costă î folosirea uei forţe statice echivalete, u cocept cetral î determiarea răspusului seismic al structurilor. La orice momet de timp dat t, aceasta este o forţă statică exterioară f S care produce deplasarea u determiată di aaliza diamică. Astfel: fs() t = ku() t (2.3) ude k este rigiditatea laterală a structurii. Eforturile di elemetele structurale (mometele de îcovoiere, eforturile axiale şi cele tăietoare) pot fi determiate î orice momet de timp dat, pritr-o aaliză statică a structurii sub efectul forţelor f S determiate coform ecuaţiei (2.3) Combiarea răspusului static cu cel diamic Î aplicaţiile practice este deseori ecesară determiarea eforturilor totale ditr-o structură, rezultate di combiarea îcărcărilor statice (de obicei gravitaţioale) existete î structură îaite de aplicarea acţiuii diamice, cu cele rezultate di acţiuea diamică. Î cazul sistemelor liiar elastice este valabil pricipiul suprapuerii efectelor, de aceea răspusul total poate fi determiat pri suprapuerea rezultatelor a două aalize separate: () aaliza statică a structurii sub efectul îcărcărilor permaete, utile, variaţiei de temperatură, etc. şi (2) răspusul diamic al structurii. Î cazul sistemelor ielastice u mai este valabil pricipiul suprapuerii efectelor. Răspusul diamic al uor astfel de sisteme trebuie să ţiă cot de deformaţiile şi eforturile existete î structură îaite de aplicarea îcărcării diamice Metode de rezolvare a ecuaţiei de mişcare Ecuaţia de mişcare a uui sistem liiar elastic cu u sigur grad de libertate diamică este o ecuaţie difereţială de ordiul doi, determiată aterior: muɺɺ + cuɺ + ku = pt () (2.4) Petru a defii problema î mod complet, trebuie specificate deplasarea iiţială u (0) şi viteza iiţială uɺ (0). De obicei structura este î repaus îaite de aplicarea îcărcării diamice, astfel îcât cele două valori sut egale cu zero. Î cele ce urmează sut trecute î revistă trei metode de rezolvare a ecuaţiei de mişcare. Soluţia clasică Soluţia completă u(t) a uei ecuaţii difereţiale liiare eomogee de ordiul doi este compusă di suma soluţiei complemetare u c (t) şi a celei particulare u p (t). Astfel, u(t) = u c (t) + u p (t). Deoarece ecuaţia difereţială este de ordiul doi, există două costate de itegrare î soluţia complemetară, care pot fi determiate cuoscâd codiţiile iiţiale. Soluţia clasică de rezolvare a ecuaţiei de mişcare este deosebit de utilă î cazul vibraţiilor libere şi a celor forţate la care forţa diamică este defiită aalitic. Exemplu: Ecuaţia de mişcare î cazul uui sistem SGLD eamortizat (c = 0), sub efectul uei forţe de tip treaptă p(t)=p 0, t 0 este: muɺɺ + ku = p 0 (a) Soluţia particulară a ecuaţiei (a) este up() t p k 0 = (b) 9

14 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] iar soluţia complemetară este: u () t = Acosωt + Bsiωt (c) c ude A şi B sut costate de itegrare şi ω = k m. Soluţia completă este dată de suma ecuaţiilor (b) şi (c): ut () Acosωt Bsiωt p k 0 = + + (d) Dacă sistemul este î repaus îaite de aplicarea îcărcării diamice, petru t = 0 avem u (0) = 0 şi u ɺ (0) = 0. Petru aceste codiţii iiţiale se pot determia costatele A şi B: A p k 0 = B = 0 (e) Îlocuid ecuaţiile (e) î ecuaţia (d) rezultă soluţia ecuaţiei de mişcare aalizate: Itegrala Duhamel ut p k ω 0 () = ( cos t) O altă modalitate de a determia soluţia uei ecuaţii difereţiale liiare se bazează pe reprezetarea îcărcării seismice sub forma uei secveţe de impulsuri ifiitezimale. Răspusul uui sistem sub efectul forţei aplicate p(t) la timpul t se obţie pri îsumarea răspusului tuturor impulsurilor pâă î acel momet. Petru cazul uui sistem SGLD eamortizat aflat î repaus îaite de aplicarea îcărcării diamice, rezultă următoarea relaţie: t u() t = p( τ)si[ ω( t τ)] dτ mω (2.5) 0 ude ω = k m. Ecuaţia (2.5) este cuoscută sub deumirea de itegrală Duhamel şi reprezită o formă specială a itegralei de covoluţie. Ecuaţia este valabilă umai petru codiţii iiţiale "de repaos". Itegrala Duhamel reprezită o metodă alterativă faţă de metoda clasică de determiare a răspusului diamic, dacă forţa p(t) este defiită aalitic şi este suficiet de simplă petru evaluarea aalitică a itegralei. Petru îcărcări diamice defiite umeric la valori de timp discrete, itegrala Duhamel poate fi itegrată umeric. Exemplu: Să se determie răspusul uui sistem SGLD eamortizat (c = 0), sub efectul uei forţe de tip treaptă p(t)=p 0, t 0. Petru această îcărcare diamică, ecuaţia (2.5) rezultă: t τ = t p 0 cos ω( t τ) p0 () = 0si[ ω( τ)] τ ( cos ω) mω = = mω 0 ω k τ = 0 ut p t d t Acest rezultat este idetic cu cel obţiut pri metoda clasică. Metode umerice Metodele de rezolvare a ecuaţiei de mişcare descrise aterior sut aplicabile umai sistemelor liiar elastice şi îcărcărilor diamice defiite aalitic. Aaliza răspusului diamic al sistemelor ielastice şi a celor la care îcărcarea diamică este prea complicată petru a fi defiită aalitic, poate fi efectuată pri metode umerice (calcul biografic). 0

15 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică 2.2. Vibraţii libere Vibraţiile libere ale uei structuri au loc atuci câd structura este scoasă di poziţia de echilibru static şi lăsată să vibreze liber fără vreo forţă diamică perturbatoare. Vibraţiile libere au loc după ce cauza care a scos structura di starea de repaus a îcetat Vibraţii libere eamortizate Mişcarea uui sistem cu u sigur grad de libertate diamică (de exemplu cadrul portal discutat aterior) sub acţiuea uei forţe diamice p(t) este descrisă de ecuaţia (2.6): muɺɺ + cuɺ + ku = pt (). Î cazul vibraţiilor libere eamortizate forţa perturbatoare lipseşte p(t) = 0, la fel şi amortizarea (c = 0). Astfel, ecuaţia de mişcare devie: muɺɺ + ku = 0 (2.6) Vibraţiile libere apar ca urmare a scoaterii sistemului di echilibru, pri aplicarea masei uei deplasări iiţiale u (0) sau a uei viteze iiţiale uɺ (0) la timpul zero, defiit ca şi timpul î care este iiţiată mişcarea: u = u(0) uɺ = uɺ (0) (2.7) Folosid metoda clasică de rezolvare, soluţia ecuaţiei difereţiale omogee (2.6) folosid codiţiile iiţiale (2.7) este: ude s-a folosit otaţia u(0) ut () = u(0)cosωt + ɺ siωt (2.8) ω ω = k m (2.9) Ecuaţia (2.8) este reprezetată î Figura 2., di care se poate observa că sistemul efectuează o mişcare oscilatorie faţă de poziţia de echilibru static şi că valoarea deplasării este aceeaşi la fiecare 2π ω secude. Acest tip de mişcare poartă deumirea de mişcare armoică simplă. Porţiuea a-b-c-d-e a curbei deplasaretimp descrie u ciclu complet de mişcare armoică a sistemului. Di poziţia de echilibru static la puctul a, masa se deplasează î ses pozitiv, atigâd deplasarea pozitivă maximă u o î puctul b, momet î care viteza este egală cu zero şi deplasarea îcepe să scadă, atigâd poziţia de echilibru static î puctul c, câd viteza devie maximă, astfel îcât masa cotiuă să se deplaseze î ses egativ, atigâd deplasarea miimă u o î puctul d, momet î care viteza este di ou egală cu zero iar deplasarea îcepe să scadă di ou, pâă câd masa ajuge î poziţia de echilibru static e. Timpul î care u sistem cu u sigur grad de libertate diamică efectuează u ciclu complet de oscilaţii libere eamortizate se umeşte perioadă proprie de vibraţie, se otează cu T şi se măsoară î secude. Relaţia ditre aceasta şi frecveţa circulară proprie (sau pulsaţia proprie de vibraţie), care se măsoară î radiai pe secudă este: 2π T = (2.20) ω Frecveţa proprie de vibraţie f reprezită umărul de oscilaţii complete pe care îl efectuează sistemul îtr-o secudă, se măsoară î Hz şi este dată de următoarele relaţii: f f = (2.2) T ω = (2.22) 2π Proprietăţile de vibraţie proprie ω, T şi f depid doar de masa şi rigiditatea structurii, coform ecuaţiilor (2.9) la (2.2). Odată cu creşterea rigidităţii uei structuri perioada proprie de vibraţie va scădea, iar frecveţa proprie de vibraţie va creşte. Î mod similar, creşterea masei uei structuri coduce la creşterea perioadei proprii de vibraţie şi scăderea frecveţei proprii de vibraţie. Termeul "propriu" folosit î

16 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] defiiţiile ω, T şi f se referă la faptul că acestea sut proprietăţi ale sistemului, depizâd doar de caracteristicile acestuia. Figura 2.. Vibraţii libere eamortizate ale uui sistem liiar elastic SGLD (Chopra, 200). Frecveţa circulară proprie ω, frecveţa proprie de vibraţie f şi perioada proprie de vibraţie T pot fi exprimate îtr-o formă alterativă pri: g g δst ω = f = T = 2π (2.23) δ 2π δ g st ude δ st = mg k, iar g este acceleraţia gravitaţioală. Valoarea δ st reprezită deformarea elastică a uui sistem SGLD atuci câd asupra acestuia acţioează o forţă statică egală cu mg. Deplasarea sistemului SGLD variază ître valoarea maximă u 0 şi cea miimă u0. Valoarea u 0 se umeşte amplitudiea mişcării oscilatorii şi este dată de: u 0 st ( 0) 2 2 uɺ = u ( 0) + ω Amplitudiea oscilaţiilor depide de deplasarea iiţială u ( 0) şi viteza iiţială ( 0) proprietăţile structurii ( ω ) Vibraţii libere amortizate (2.24) uɺ, precum şi de Mişcarea uui sistem cu u sigur grad de libertate diamică (de exemplu cadrul portal discutat aterior) sub acţiuea uei forţe diamice p(t) este descrisă de ecuaţia (2.6): muɺɺ + cuɺ + ku = pt (). Î cazul vibraţiilor libere amortizate forţa perturbatoare lipseşte p(t)=0, astfel îcât ecuaţia de mişcare (2.6) muɺɺ + cuɺ + ku = pt () devie: Împărţid ecuaţia (2.25) cu m obţiem: muɺɺ + cuɺ + ku = 0 (2.25) uɺɺ + ɺ + = (2.26) 2 2ξωu ωu 0 ude ω = k m, coform defiiţiei aterioare şi c c ξ = = (2.27) mω c 2 cr Ne vom referi la valoarea 2

17 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică 2k ccr = 2mω = 2 km = (2.28) ω pri coeficietul de amortizare critică, iar ξ este fracţiuea di amortizare critică. Coeficietul de amortizare c este o măsură a eergiei disipate de sistem îtr-u ciclu de oscilaţii libere. Pe de altă parte, fracţiuea di amortizarea critică ξ este o măsură adimesioală a amortizării, proprie uui sistem şi care depide iclusiv de masa şi rigiditatea acestuia. Tipuri de mişcare Î Figura 2.2 sut prezetate deformaţiile u(t) ale uor sisteme SGLD supuse uei deplasări iiţiale u(0) petru trei valori ale ξ. Dacă c = c cr sau ξ =, sistemul revie la poziţia de echilibru static fără a efectua vreo oscilaţie. Dacă c > c cr sau ξ >, sistemul revie la poziţia de echilibru static fără a efectua vreo oscilaţie, la fel ca î cazul ξ =, dar mai let. Dacă c < c cr sau ξ <, sistemul oscilează faţă de poziţia de echilibru static cu amplitudii care scad î timp. Figura 2.2. Oscilaţii libere ale uor sisteme cu amortizare subcritică, critică şi supracritică (Chopra, 200) Coeficietul c cr se umeşte coeficiet de amortizare critică deoarece aceasta este valoarea cea mai mică a coeficietului de amortizare care preîtâmpiă complet oscilaţiile. Acesta delimitează zoa ditre mişcarea oscilatorie şi cea eoscilatorie. Majoritatea structurilor igiereşti (clădiri, poduri, baraje, structuri marie, etc.) sut caracterizate de o amortizare subcritică (c < c cr ), cu fracţiui di amortizarea critică sub 0.. De aceea, î cotiuare e vom referi doar la acest tip de sisteme, î cotextul igieriei civile existâd puţie raţiui petru studiul diamicii structurilor cu amortizare critică (c = c cr ) sau a celor cu amortizare supracritică (c > c cr ). Sisteme cu amortizare subcritică Soluţia ecuaţiei (2.25) ţiâd cot de codiţiile iiţiale (2.7) petru sisteme cu c<c cr sau ξ < este: ude s-a folosit otaţia: u(0) (0) t u ut () e ξω ɺ + ξω = u(0)cosωdt + siωdt ωd (2.29) ω ω ξ 2 D = (2.30) Se poate observa că îlocuid ξ = 0 î ecuaţia (2.29), aceasta se reduce la ecuaţia (2.8), ce caracterizează sisteme eamortizate. Ecuaţia (2.29) reprezetâd oscilaţiile libere ale uui sistem SGLD cu o amortizare ξ = 0.05 sau 5% este prezetată î Figura 2.3. Petru comparaţie este iclusă şi reprezetarea oscilaţiilor uui sistem SGLD care efectuează oscilaţii libere eamortizate. Oscilaţiile libere sut iiţiate de aceeaşi deplasare iiţială u (0) şi viteză iiţială uɺ (0). Di ecuaţia (2.29) şi Figura 2.3 se poate observa că frecveţa circulară a oscilaţiilor 3

18 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] amortizate este ω D şi că aceasta depide de frecveţa circulară proprie a oscilaţiilor libere eamortizate ω pri itermediul relaţiei (2.30). Î mod similar, perioada vibraţiilor amortizate TD = 2π ωd depide de perioada proprie a oscilaţiilor eamortizate T pri relaţia: T D = T 2 ξ (2.3) Figura 2.3. Comparaţie ître oscilaţii libere amortizate şi eamortizate (Chopra, 200). Î timp ce amplitudiea oscilaţiilor eamortizate este aceeaşi î toate ciclurile, amplitudiea mişcării amortizate scade cu fiecare ciclu de oscilaţie. Ecuaţia (2.29) idică faptul că amplitudiea mişcării amortizate scade expoeţial cu timpul. Îfăşurătoarea mişcării de oscilaţii amortizate este ± ρe ξω t, ude: ( ) 2 uɺ 0 + ξωu(0) ρ = u ( 0) + ωd 2 (2.32) Amortizarea are ca efect reducerea frecveţei circulare de la ω la ω D şi lugirea perioadei de vibraţie de la T la T D. Acest efect este eglijabil petru fracţiui di amortizarea critică sub 20% (vezi Figura 2.4), domeiu care iclude majoritatea structurilor igiereşti. Efectul mai importat al amortizării este cel asupra ratei de ateuare a oscilaţiilor libere, efect exemplificat î Figura 2.5. Figura 2.4. Efectul amortizării asupra perioadei proprii de vibraţie (Chopra, 200). 4

19 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Ateuarea mişcării Figura 2.5. Oscilaţii libere petru patru ivele ale amortizării: ξ = 2%, 5%, 0% şi 20% Î cele ce urmează este aalizată relaţia ître raportul ditre două vârfuri succesive ale mişcării de oscilaţie amortizată şi fracţiuea di amortizarea critică. Raportul ditre valoarea deplasării la timpul t şi cea care este îregistrată după o perioadă T D este idepedetă de t. Acest raport poate fi determiat di ecuaţia (2.29): Folosid ecuaţiile (2.3) şi (2.20) obţiem: ut () = exp ut ( + T ) D ( ξωt ) D ut () 2πξ = exp ut ( + T ) 2 D ξ (2.33) (2.34) Ecuaţiile (2.33) şi (2.34) reprezită î acelaşi timp şi raportul ditre vârfurile succesive ale mişcării oscilatorii (vezi Figura 2.6) ui u i +, deoarece aceste vârfuri au loc la itervale de timp egale cu T D : ui u i+ = exp 2πξ 2 ξ Logaritmul atural al acestui raport se umeşte decremet logaritmic şi este otat pri δ: ui δ = l = u i+ 2πξ 2 ξ (2.35) (2.36) Petru valori mici ale fracţiuii di amortizarea critică, ξ 2, ceea ce coduce la relaţia aproximativă: δ 2πζ (2.37) Figura 2.6. Vârfurile uei mişcări oscilatorii amortizate (Chopra, 200). Î Figura 2.7 sut idicate relaţiile exacte şi aproximative ître decremetul logaritmic δ şi fracţiuea de amortizare critică ξ. Se poate cocluzioa că relaţia (2.37) este valabilă petru ξ < 0.2, caz care acoperă majoritatea situaţiilor practice. 5

20 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Î cazurile î care ateuarea mişcării se produce let, datorită uei amortizări mici a structurii, este utilă determiarea decremetului logaritmic pe baza uor vârfuri aflate la câteva perioade. Pe durata a j oscilaţii amplitudiea mişcării se dimiuează de la u la u +j. Acest raport este dat de: u u u u u u u u u u 2 3 j = = + j j e jδ De ude: ( j) ( u u + j ) δ = l 2πξ (2.38) Figura 2.7. Relaţia exactă şi cea aproximativă ître decremetul logaritmic şi fracţiuea de amortizare critică, (Chopra, 200). Îcercări de vibraţii libere amortizate Petru structuri igiereşti practice, determiarea aalitică a fracţiuii di amortizarea critică ξ u este posibilă, de aceea această proprietate se determiă experimetal. Îcercările experimetale de oscilaţii libere amortizate pe structuri reale reprezită ua ditre modalităţile de determiare practică a amortizării. Petru sisteme cu o amortizare mică, fracţiuea di amortizarea critică poate fi determiată di relaţiile: ui uɺɺ i ξ = l sau ξ = l 2πj u 2πj uɺɺ i+ j i+ j (2.39) Prima ditre aceste relaţii este echivaletă cu ecuaţia (2.38), iar cea de-a doua este o relaţie similară, fiid exprimată î termei de acceleraţie (mai uşor de îregistrat experimetal decât deplasările), şi care poate fi demostrată a fi adevărată petru structuri slab amortizate Vibraţii forţate Forţele diamice care pot fi aplicate structurilor igiereşti au diverse forme. Î acest capitol vor fi aalizate două clase de acţiui diamice. Prima ditre acestea reprezită forţele care variază arbitrar î timp, spre exemplu cele de tip treaptă şi şoc. Cea de-a doua categorie de acţiui diamice sut forţele armoice şi periodice, care pot să apară, spre exemplu, ca urmare a fucţioării uor dispozitive rotative amplasate Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip treaptă şi rampă Spre deosebire de forţele perturbatoare armoice, răspusul diamic sub acţiuea uor forţe de tip treaptă, rampă sau impuls este iflueţat îtr-o măsură foarte mică de amortizarea sistemului. De aceea, răspusul diamic î aceste di urmă cazuri va fi demostrat î pricipal pe baza vibraţiilor eamortizate. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip treaptă O forţă de tip treaptă este exemplificată î Figura 2.8a şi este defiită de următoarea relaţie: 6

21 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică p( t) = p0 t 0 (2.40) Folosid itegrala Duhamel petru rezolvarea ecuaţiei de mişcare a uui sistem SGLD eamortizat se obţie: p 0 2πt ut () = ( ust ) ( cosω ) cos 0 t = k T (2.4) ude ( ust ) 0 0 = p k este deformaţia statică sub acţiuea forţei p 0. Figura 2.8. U sistem SGLD (a), forţa de tip treaptă (b), răspusul diamic (c), Chopra, 200. Deplasarea ormalizată u ( t ) ( u st ) 0 î raport cu timpul ormalizat t T este reprezetată î Figura 2.8c. Se poate observa că sistemul oscilează faţă de o ouă poziţie de echilibru, deplasată cu ( u st ) 0 faţă de poziţia iiţială u = 0. Deplasarea maximă poate fi obţiută egalâd cu zero derivata ecuaţiei (2.4) î raport cu timpul, ceea ce coduce la ω siω = 0. Această ecuaţie are soluţia: t ω = π sau j t0 = T (2.42) t j 0 Deplasarea maximă corespude uor valori impare ale lui j, î timp ce valorile pare coduc la deplasări miime. Amplitudiea deplasării se obţie di ecuaţia (2.4), îlocuid î aceasta valorile t 0 di relaţia (2.42): u ( u ) 0 2 st = (2.43) Rezultat care idică faptul că o forţă de tip treaptă aplicată diamic produce o deplasare care este de două ori mai mare decât deplasarea datorată aceleiaşi forţe aplicată static. Răspusul uui sistem amortizat sub acţiuea forţei de tip treaptă poate fi obţiut evaluâd itegrala Duhamel petru vibraţii amortizate, ceea ce coduce la: ξω ξ ut () = ( u ) 0 t st e cosωdt + siω 2 Dt ξ (2.44) Răspusul diamic al sistemului amortizat este reprezetat î Figura 2.8 cu liii îtrerupte petru două valori ale fracţiuii di amortizarea critică. Efectul amortizării este o depăşire mai mică a mişcării faţă de poziţia statică şi o descreştere î timp a vibraţiilor. Valoarea amortizării cotrolează mărimea depăşirii şi rata cu care scad amplitudiile vibraţiilor. După u timp suficiet de mare, vibraţiile îcetează, fapt care reprezită stadiul staţioar. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip rampă O forţă de tip rampă este exemplificată î Figura 2.9a şi este defiită de următoarea relaţie: t p( t) = p0 t 0 (2.45) t r

22 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Folosid itegrala Duhamel petru rezolvarea ecuaţiei de mişcare a uui sistem SGLD eamortizat se obţie: t siωt t T si 2πtT ut () = ( ust ) ( ) 0 = ust 0 tr ωtr T tr 2πtr T (2.46) ude ( ust ) 0 0 = p k este deformaţia statică sub acţiuea forţei p 0. Ecuaţia (2.46) este reprezetată grafic î Figura 2.9c petru t r /T =2.5, împreuă cu deformaţia statică î mometul t: st ( ) u t ( ) = p t t ( ust ) k = 0 t (2.47) Se poate observa că sistemul diamic oscilează cu perioada T faţă de poziţia de echilibru static. r (a) (b) (c) Figura 2.9. U sistem SGLD (a), forţa de tip rampă (b), răspusul diamic şi cel static (c), Chopra, 200. Răspusul diamic sub acţiuea uei forţe de tip treaptă cu creştere fiită Deoarece î realitate o forţă u poate fi aplicată istataeu, prezită iteres aaliza răspusului diamic al uei forţe care are o creştere fiită t r, dar rămâe costată după atigerea acestei valori. O astfel de forţă este exemplificată î Figura 2.20a: ( ) p t ( ) p0 t t = p0 r 0 t t t t r r (2.48) Această acţiue diamică are două faze: faza de rampă şi faza costată. Expresia deplasării î faza de rampă este cea idetică relaţiei (2.46): t siωt ut () = ( ust ) 0 t t tr ωtr iar răspusul î faza costată poate fi determiat îlocuid relaţia (2.48) î ecuaţia (2.5): ut () = ( u ) siωt siω ( t t ) t t st 0 r r ωtr r (2.49) (2.50) 8

23 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică (a) Figura U sistem SGLD (a), forţa de tip treaptă cu creştere fiită (b), Chopra, 200. (b) Figura 2.2. Răspusul diamic şi cel static al uui sistem SGLD sub acţiuea uei forţe tip treaptă cu creştere fiită (Chopra, 200). Deplasarea ormalizată u ( t ) ( u st ) 0 este o fucţie de timpul ormalizat t T, deoarece ωt 2π ( t T ) Această fucţie depide doar raportul t r /T, deoarece ωt 2π ( t T ) r r =. = şi u separat de t r şi T. Această ecuaţie este reprezetată î Figura 2.2 petru câteva valori ale raportului t r /T ditre timpul de creştere a u t = p t k. Aceste rezultate permit forţei şi perioada proprie a sistemului, împreuă cu răspusul static ( ) ( ) următoarele observaţii: Î timpul creşterii forţei (faza de rampă) sistemul oscilează faţă de poziţia de echilibru static cu perioada proprie de vibraţie T st 9

24 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Petru zoa de forţă costată (faza costată) sistemul se comportă similar, oscilâd faţă de poziţia de echilibru static cu perioada proprie de vibraţie T Dacă viteza este egală cu zero la fialul fazei de rampă uɺ ( t ) = 0, sistemul u oscilează î timpul fazei de forţă costată Petru valori mici ale raportului t r /T (timpi mici de creştere a forţei) răspusul este similar cu cel datorat uei forţe de tip treaptă (vezi Figura 2.20c) Petru valori mari ale raportului t r /T răspusul diamic este apropiat de poziţia de echilibru static, ceea ce semifică u efect diamic scăzut. r 20

25 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Vibraţii forţate ale sistemelor SGLD produse de forţe armoice O forţă armoică are forma pt () = p0siωt sau pt () = p0cosωt, ude p 0 reprezită amplitudiea forţei perturbatoare, iar ω pulsaţia acesteia, căreia îi corespude perioada T = 2π ω (vezi Figura 2.22a). Î cele ce urmează se va prezeta răspusul uui sistem cu u sigur grad de libertate diamică sub acţiuea uei îcărcări de tip sius, răspusul la o îcărcare diamică de tip cosius fiid similar cu acesta. Î cazul uor vibraţii eamortizate geerate de o forţă perturbatoare armoică de forma pt () = p0siωt, ecuaţia de mişcare (2.6) devie: muɺɺ + ku = p siωt 0 (2.5) Deformaţia u(t) a sistemului SGLD poate fi obţiută rezolvâd ecuaţia (2.5) petru codiţiile iiţiale: u = u(0) uɺ = uɺ (0) (2.52) ude u (0) şi uɺ (0) sut deplasarea, respectiv viteza î mometul de timp î care este aplicată forţa diamică p(t). Soluţia particulară a ecuaţiei (2.5) este: p = ωt ω ω k 0 p() si 2 u t Soluţia complemetară a ecuaţiei (2.5) este: ( ω ω ) (2.53) u () t = Acosωt + Bsiωt (2.54) c Soluţia completă fiid suma soluţiei particulare şi a celei complemetare, obţiem: p0 ut () = Acosωt + Bsiωt + siωt 2 k Folosid codiţiile iiţiale (2.52) se obţie soluţia fială: ( ) ( ω ω ) uɺ 0 p0 ω/ ω p0 ut () = u ( 0) cosωt + si si 2 ωt + ωt 2 ω k ( ω ω ) k ( ω ω ) răspus trazitoriu răspus staţioar (2.55) (2.56) Ecuaţia (2.56) este reprezetată î Figura 2.22b petru ω ω = 0.2, u (0) = 0, uɺ (0) = ωpo/ k cu liie cotiuă. Termeul di ecuaţia (2.56) care iclude siω t reprezită soluţia particulară a ecuaţiei de mişcare (2.5), aceasta di urmă fiid reprezetată cu liie îtreruptă î Figura 2.22b. Pe baza ecuaţiei (2.56) şi folosid Figura 2.22b se poate observa că deplasarea u(t) are două compoete disticte de vibraţie: o mişcare oscilatorie cu frecveţa egală cu cea a forţei perturbatoare, defiită de termeul coţiâd siω t o mişcare oscilatorie la frecveţa proprie de vibraţie a sistemului, defiită de termeii coţiâd cosω t şi si ω t Prima ditre aceste compoete se umeşte răspus staţioar sau forţat, deoarece acesta se datorează forţei diamice aplicate şi u este iflueţat de codiţiile iiţiale. Cea de-a doua compoetă poartă deumirea de răspus trazitoriu, care depide de deplasarea şi viteza iiţială, precum şi de proprietăţile sistemului SGLD şi de forţa perturbatoare. Răspusul trazitoriu există chiar şi petru u(0) = uɺ (0) = 0, caz î care ecuaţia (2.56) devie: p ω ut t ωt 0 () = 2 siω si k ( ω ω ) ω (2.57) 2

26 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura Forţa armoică pt () = p0siωt (a); răspusul uui sistem SGLD sub acţiuea uei forţe armoice petru ω ω = 0.2, u (0) = 0, uɺ (0) = ωpo/ k (b), Chopra, 200. Răspusul trazitoriu apare î Figura 2.22 ca difereţa ditre răspusul total şi cel staţioar. Acesta cotiuă la ifiit doar î cazul teoretic al vibraţiilor eamortizate, amortizarea prezetă î cazul structurilor reale ducâd la dimiuarea amplitudiii oscilaţiilor cu timpul, motiv petru care se umeşte trazitoriu. Î cazul î care se eglijează efectul diamic al sistemului SGLD, coţiut î termeul de acceleraţie di ecuaţia (2.5), se obţie deplasarea statică a sistemului î orice momet de timp t dat: Valoarea maximă a deplasării statice este: u t st p = ωt (2.58) k ( ) 0 si 0 ( u ) st 0 22 p = (2.59) k care reprezită deformaţia maximă a sistemului sub acţiuea uei forţe statice cu valoarea p 0 şi care va fi deumită î cotiuare deformaţie statică. Folosid această ultimă otaţie, răspusul staţioar poate fi exprimat ca: ( ) ut () = ust siωt 0 ( ω ω ) 2 (2.60) Factorul di parateza pătrată a expresiei (2.60) este reprezetat î Figura 2.23 fucţie de raportul ditre ω ω. Petru ω ω < sau pulsaţia perturbatoare şi pulsaţia proprie de vibraţie a sistemului SGLD ( ) ω < ω acest factor este pozitiv, idicâd faptul că deplasarea u(t) şi forţa perturbatoare p(t) au acelaşi sem

27 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică algebric (sistemul se deplasează î acelaşi ses î care acţioează forţa). Î acest caz se spue că deplasarea este î fază cu forţa perturbatoare. Petru ω ω > sau ω > ω acest factor este egativ, idicâd faptul că deplasarea u(t) şi forţa perturbatoare p(t) au seme algebrice opuse (sistemul se deplasează î direcţie opusă sesului î care acţioează forţa). Î acest caz deplasarea este defazată faţă de forţa perturbatoare. Figura Reprezetarea factorului ( ω ω ) 2 fucţie de raportul ω ω (Chopra, 200). Noţiuea de fază poate fi descrisă matematic pri exprimarea relaţiei (2.60) î fucţie de amplitudiea u 0 a deplasării u(t) şi a ughiului de fază φ î următoarea formă: ude ( ω φ ) ( ) ( ω φ ) ut () = u si t = u R si t (2.6) 0 st 0 d R d u 0 0 = = şi = 2 ( ust ) 0 ( ω ω ) φ ω < ω π ω > ω (2.62) Petru ω < ω ughiul de fază φ = 0, idicâd faptul că deplasarea u(t) variază proporţioal cu siω t, î fază cu forţa perturbatoare p(t). Petru ω > ω ughiul de fază φ = π, idicâd faptul că deplasarea u(t) variază proporţioal cu siωt, defazat faţă de forţa perturbatoare p(t). Variaţia ughiului de fază fucţie de raportul ω ω este reprezetată î Figura

28 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura Factorul diamic de deplasare şi ughiul de fază petru u sistem eamortizat acţioat de o forţă armoică (Chopra, 200). Factorul diamic de deplasare R d este egal cu raportul ditre amplitudiea mişcării oscilatorii u 0 şi deplasarea u. Expresia factorului diamic de deplasare di ecuaţia (2.62) este prezetată grafic î Figura statică ( st ) fucţie de raportul ω ω şi permite următoarele observaţii: petru valori mici ale raportului ω ω (forţa diamică variază "let"), factorul diamic de deplasare R d este doar cu puţi mai mare decât, amplitudiea mişcării diamice fiid apropiată de deformaţia statică petru ω ω > 2 ( ω > ω 2), factorul diamic de deplasare R d <, amplitudiea mişcării diamice fiid mai mică decât deformaţia statică odată cu creşterea raportului ω ω peste 2 factorul diamic de deplasare R d scade, ajugâd la valoarea 0 petru ω ω, ceea ce implică faptul că oscilaţiile datorate uei variaţii foarte rapide ale forţei perturbatoare î comparaţie cu pulsaţia proprie a sistemului sut mici petru ω ω (ω apropiat de ω ), factorul diamic de deplasare R d este mult mai mare decât, ceea ce îseamă că amplitudiea mişcării diamice este mult mai mare decât deformaţia statică Pulsaţia rezoată reprezită pulsaţia forţei perturbatoare petru care factorul diamic R d este maxim. Î cazul uui sistem eamortizat pulsaţia rezoată coicide cu pulsaţia proprie de vibraţie ω, iar factorul diamic de deplasare R d este ifiit la această pulsaţie. Totuşi, mişcarea de oscilaţie u devie ifiită imediat, ci gradual, după cum se va vedea di cele ce urmează. Petru ω = ω soluţia (2.57) a ecuaţiei de mişcare u mai este valabilă, soluţia particulară (2.53) efiid valabilă deoarece este parte a soluţiei complemetare. Î acest caz soluţia particulară are forma: 0 up ( t) = p tcos t 2k ω ω ω = ω (2.63) iar soluţia completă petru codiţii iiţiale de repaus u(0) = uɺ (0) = 0 devie: 24

29 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică p0 ut () = ( tcos t si t) 2 k ω ω ω (2.64) sau ut () 2πt 2πt 2πt = cos si ust 2 T T T ( ) 0 (2.65) Această relaţie este reprezetată grafic î Figura 2.25, de ude se poate observa că timpul î care are loc o oscilaţie completă este egal cu T. Mişcarea oscilatorie u(t) are maxime locale petru t = ( j /2) T cu valori de ( j )( st ) 0 π /2 u, j =,2,3..., şi miime locale petru t jt fiecare ciclu de oscilaţie amplitudiea deplasării creşte cu valoarea: π =. Î = cu valori de j ( u ) 0, j,2,3... p0 uj+ uj = ( ust ) π ( j ) πj ( u ) 0 + = st π = π (2.66) 0 k Amplitudiea deplasării creşte la ifiit, dar aceasta devie ifiită doar după u timp ifiit. st Figura Răspusul uui sistem eamortizat sub acţiuea uei forţe siusoidale cu frecveţa ω = ω, u(0) = uɺ (0) = 0 (Chopra, 200). Creşterea ifiită a deformaţiilor î cazul sistemelor eamortizate sub acţiuea uei îcărcări armoice este teoretică di două motive. Î primul râd, structurile reale au o amortizare itrisecă, care va limita amplificarea la ifiit a deformaţiilor. Î cel de-al doilea râd, structurile reale u au u răspus ifiit elastic, astfel îcât, odată cu creşterea deformaţiilor peste o aumită valoare, structura fie va suferi deformaţii î domeiul plastic, rigiditatea va scădea şi pulsaţia proprie u va mai fi egală cu cea perturbatoare, fie va ceda îtr-u mod fragil Vibraţii forţate ale sistemelor SGLD produse de forţe armoice Răspusul staţioar şi trazitoriu Î cazul uor vibraţii amortizate geerate de o forţă perturbatoare armoică de forma pt () = p0siωt ecuaţia de mişcare (2.6) devie: muɺɺ + cuɺ + ku = p siωt 0 (2.67) Deformaţia u(t) a sistemului SGLD poate fi obţiută rezolvâd ecuaţia (2.67) petru codiţiile iiţiale: u = u(0) uɺ = uɺ (0) (2.68) ude (0) u şi (0) uɺ sut deplasarea, respectiv viteza î mometul de timp î care este aplicată forţa diamică p(t). Soluţia particulară a ecuaţiei (2.67) este: 25

30 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] u () t = Csiωt + Dcosωt (2.69) p ude C = p k 0 p D = k 0 ( ω ω ) ( ω ω ) ξ ( ω ω ) + 2 2ξ ω ω ( ) ( ω ω ) ξ ( ω ω ) + 2 (2.70) Soluţia complemetară a ecuaţiei (2.67) este idetică cu soluţia ce caracterizează oscilaţiile libere amortizate: ( ω ω ) ξω u() t = e t Acos t + Bsi t (2.7) c D D 2 ude ω = ω ξ. Soluţia completă a ecuaţiei (2.67) este: D ( ) ξω ut () = e Acosω t + Bsiω t + Csiωt + Dcosωt (2.72) t D D răspus trazitoriu răspus staţioar Figura Răspusul uui sistem SGLD amortizat sub acţiuea uei forţe armoice petru ω ω = 0.2, ξ = 0.05, u (0) = 0, uɺ (0) = ω p / k (Chopra, 200). Costatele A şi B de mai sus pot fi determiate folosid codiţiile iiţiale u (0) şi uɺ (0). Similar vibraţiilor forţate eamortizate, răspusul diamic î cazul uor vibraţii forţate amortizate este compus di două compoete: răspusul trazitoriu şi cel staţioar sau forţat. Ecuaţia (2.72) este reprezetată grafic î Figura 2.26 petru ω ω = 0.2, ξ = 0.05, u (0) = 0, uɺ (0) = ωpo/ k. Răspusul total este idicat cu liie cotiuă, iar cel staţioar cu liie îtreruptă. Difereţa ditre răspusul total şi cel staţioar este răspusul trazitoriu, care scade expoeţial cu timpul cu o rată care depide de ω ω şi ξ. După u timp răspusul uui sistem amortizat acţioat de o forţă perturbatoare armoică este guverat de compoeta staţioară. Î mare parte di cele ce urmează se va studia doar compoeta staţioară a vibraţiilor forţate. Se va avea totuşi î vedere, că este posibil ca deformaţia maximă a sistemului să aibă loc îaite ca sistemul să atigă stadiul staţioar. o Răspusul petru ω = ω Î cotiuare se va examia rolul amortizării î reducerea vibraţiilor trazitorii şi î limitarea vibraţiilor staţioare petru cazul î care pulsaţia forţei perturbatoare este egală cu pulsaţia proprie a sistemului. Petru 26

31 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică = costatele C şi D di ecuaţia (2.70) devi C=0 şi D ( u ) 0 2 ω ω ξ = st. Petru ω ω = şi codiţii iiţiale 2 de repaus, costatele A şi B di ecuaţia (2.72) pot fi determiate a fi A = ( u ) 0 2ξ şi ( ) Îlocuid valorile costatelor A, B, C şi D î ecuaţia (2.72), aceasta devie: ξω ξ ut () = ( u ) t st 0 e cosωdt + siω cos 2 2 Dt ωt ξ ξ st B = ust 2 ξ. 0 (2.73) Ecuaţia (2.73) este reprezetată grafic î Figura 2.27 petru fracţiuea di amortizarea critică ξ = Comparâd-o pe aceasta cu vibraţiile eamortizate reprezetate î Figura 2.25, se poate observa că amortizarea ateuează mişcarea oscilatorie î fiecare ciclu, limitâd răspusul la valoarea: u 0 ( u st ) 0 = (2.74) 2ξ Petru sisteme cu o amortizare mică, termeul coţiâd siω D t di ecuaţia (2.73) este eglijabil, iar ω ω, astfel îcât ecuaţia (2.73) se simplifică la: D ξωt ut () ( ust ) 0 ( e cos ) ωt (2.75) 2ξ fucţia îfăşurătoare Variaţia î timp a deplasării are forma dată de fucţia cosω t 2.27 cu liie îtreruptă., amplitudiea acesteia fiid idicată î Figura Amplitudiea mişcării staţioare sub acţiuea uei forţe perturbatoare cu pulsaţia ω = ω şi rata la care este atisă starea de mişcare staţioară depide foarte mult de amortizarea sistemului. Acest fapt se poate observa î Figura 2.28, î care este reprezetată ecuaţia (2.73) petru trei valori ale ξ: 0.0, 0.05 şi 0.. Cu cât amortizarea este mai mică, cu atât este mai mare umărul de oscilaţii ecesare petru a atige o aumită proporţie di amplitudiea mişcării staţioare u 0. De exemplu, umărul de oscilaţii complete ecesare petru a atige 95% di u 0 este egal cu 48 petru ξ = 0.0, 24 petru ξ = 0.02, 0 petru ξ = 0.05, 5 petru ξ = 0. şi 2 petru ξ = 0.2. Figura Răspusul uui sistem amortizat cu ξ = 0.05 sub acţiuea uei forţe perturbatoare siusoidale cu ω = ω ; u(0) = uɺ (0) = 0 (Chopra, 200). 27

32 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura Răspusul a trei sisteme amortizate cu ξ = 0.0, 0.05 şi 0. sub acţiuea uei forţe perturbatoare siusoidale cu ω = ω ; u(0) = uɺ (0) = 0 (Chopra, 200). Deformaţia maximă şi ughiul de fază Deformaţiile sistemului î stadiul de vibraţii staţioare sut defiite de ecuaţiile (2.69) şi (2.70), şi pot fi rescrise sub următoare formă: ( ) si ( ω φ ) ( ) si ( ω φ ) u t = u t = u R t (2.76) 0 st 0 d ude u C D = + şi φ ta ( DC) =. Îlocuid valorile C şi D, rezultă: R u 0 d = = ( ust ) 0 φ = ( ω ω ) ξ ( ω ω ) / + 2 / ( ) 2 ( ω ω ) 2 ξ ω/ ω ta / (2.77) (2.78) Factorul diamic de deplasare R d este egal cu raportul ditre amplitudiea deplasării oscilatorii u 0 şi u. Ecuaţia (2.76) este reprezetată grafic î Figura 2.29 petru trei valori ale deplasarea statică ( st ) 0 raportului ω/ ω şi o valoare fixă a amortizării (ξ = 0.2). Î această figură sut idicate valorile R d şi φ, precum şi variaţia î timp a deformaţiei statice, care este proporţioală cu forţa perturbatoare p(t). Mişcarea staţioară are aceeaşi perioadă ca şi forţa perturbatoare ( T = 2 π/ ω), dar cu u defazaj de φ/2π. Î Figura 2.30 este prezetat factorul diamic de deplasare fucţie de ω/ ω petru câteva valori ale fracţiuii di amortizarea critică ξ. Comparâd o reprezetare similară a factorului diamic petru cazul vibraţiilor eamortizate di Figura 2.24, se poate observa că amortizarea reduce factorul R d, şi, î coseciţă, amplitudiea mişcării petru toate pulsaţiile forţei perturbatoare. Această reducere este îtr-o strâsă legătură cu pulsaţia forţei perturbatoare, fiid examiată mai jos petru trei regiui ale scării de pulsaţie: Petru valori ale raportului ω ω ( T T, atuci câd forţa diamică variază "let"), factorul diamic de deplasare R d este doar cu puţi mai mare decât, amplitudiea mişcării diamice fiid apropiată de deformaţia statică şi fiid cvasi-idepedetă de valoarea amortizării. Astfel, p0 u0 ( ust ) = (2.79) 0 k Acest rezultat implică faptul că răspusul diamic este foarte apropiat de cel static şi este guverat de rigiditatea sistemului. 28

33 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Figura Răspusul staţioar al uor sisteme amortizate (ξ = 0.2) sub acţiuea uei forţe perturbatoare siusoidale cu pulsaţia: ω/ ω =0.5 (a), ω/ ω = (b), ω/ ω =2 (c), Chopra, 200. Petru ω ω ( T T, adică forţa diamică variază "repede"), factorul diamic de deplasare R d tide către zero odată cu creşterea raportului ω ω şi este puţi afectat de valoarea amortizării. Petru valori ridicate ale raportului ω ω, termeul ( ) 4 ω ω domiă ecuaţia (2.77), care poate fi aproximată cu: 2 p0 u ω 0 ( ust ) ω = mω (2.80) ceea ce implică faptul că răspusul este cotrolat de masa sistemului. Petru ω ω (pulsaţia forţei perturbatoare este apropiată de pulsaţia proprie de vibraţie a sistemului), factorul diamic de deplasare R d este sesibil la valoarea amortizării, şi petru valori mici ale amortizării poate fi mult mai mare decât, ceea ce îseamă că amplitudiea mişcării diamice poate fi mult mai mare decât deformaţia statică. Petru ω ω = ecuaţia (2.77) devie: 29

34 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] u 0 ( ust ) 0 p 0 = 2ξ = cω (2.8) ceea ce implică faptul că amplitudiea mişcării este cotrolată de amortizarea sistemului. Ughiul de fază φ, care idică defazajul î timp ditre răspusul diamic al sistemului şi forţa perturbatoare, variază cu raportul ω ω şi este reprezetat grafic î Figura Valoarea acestuia este examiată mai jos petru aceleaşi trei regiui ale domeiul de valori ω ω : Petru valori ale raportului ω ω (forţa diamică variază "let"), ughiul de fază φ este apropiat de 0, deplasarea sistemului fiid aproximativ î fază cu forţa perturbatoare, ca î Figura 2.29a. Deplasarea sistemului şi forţa perturbatoare au acelaşi ses. Petru ω ω (forţa diamică variază "repede"), ughiul de fază φ este apropiat de 2π, deplasarea sistemului fiid î eseţă defazată de forţa perturbatoare, ca î Figura 2.29c. Deplasarea sistemului şi forţa perturbatoare au sesuri opuse. Petru ω ω (pulsaţia forţei perturbatoare este apropiată de pulsaţia proprie a sistemului), ughiul de fază φ este egal cu π/2 petru orice valoare a fracţiuii di amortizarea critică ξ, deplasarea sistemului îregistrâd u vârf la trecerea forţei pri valoarea 0, situaţie exemplificată î Figura 2.29b. Figura Factorul diamic de deplasare şi ughiul de fază petru u sistem amortizat acţioat de o forţă perturbatoare armoică (Chopra, 200). 30

35 2. Diamica sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Răspusul la rezoaţă Frecveţa rezoată este defiită ca frecveţa la care se îregistrează amplitudiea maximă a răspusului î termei de deplasare, viteză sau acceleraţie. După cum se poate observa di Figura 2.30, valorile maxime ale deplasării se îregistrează la valori ale pulsaţiei puţi diferite de pulsaţia proprie a sistemului. Frecveţa (sau pulsaţia) de rezoaţă poate fi determiată derivâd expresia R d î raport cu ω ω şi egalâd-o cu zero. Petru ξ < 2 pulsaţia rezoată petru deplasare este egală cu ω 2ξ 2. Petru u sistem eamortizat pulsaţia rezoată este egală cu pulsaţia proprie de vibraţie a sistemului ω. De otat faptul că pulsaţia rezoată petru u sistem amortizat este diferită de pulsaţia vibraţiilor amortizate ω D. Totuşi, petru valori mici ale amortizării ( ξ < 20% ), difereţele ître pulsaţia rezoată, cea proprie şi cea amortizată sut miore. Valoarea factorului diamic de deplasare corespuzător pulsaţiei rezoate este: R d = 2 2ξ ξ Determiarea amortizării di îcercări de vibraţii forţate amortizate (2.82) Determiarea pe cale aalitică a coeficietului de amortizare vâscoasă c sau a fracţiuii di amortizarea critică ξ u este posibilă. Ua ditre soluţiile acestei probleme o costituie efectuarea de îcercări de vibraţii libere şi iterpretarea datelor obţiute, folosid oţiuea decremetului logaritmic, aşa cum s-a descris î secţiuea Această procedură este simplă şi relativ uşor de aplicat î codiţii de laborator, pe modele simple de structuri. Totuşi, aplicarea metodei decremetului logaritmic î cazul structurilor reale este dificilă dacă u imposibilă, deoarece aplicarea uei deplasări iiţiale sau a uei viteze iiţiale structurilor reale implică forţe foarte mari şi structuri de reacţiue de dimesiui comparabile cu structurile îcercate. Există îsă posibilitatea determiării fracţiuii di amortizarea critică pe baza uor îcercări de vibraţii forţate armoice, care pot fi realizate mult mai uşor î cazul structurilor igiereşti. Vibraţiile pot fi produse cu ajutorul uor dispozitive rotative cu masă excetrică, fixate de structură. Pri modificarea masei excetrice sau a vitezei de rotaţie, se poate modifica foarte uşor amplitudiea, respectiv pulsaţia forţei armoice perturbatoare. Efectuâd îcercări de vibraţii forţate la diferite valori ale pulsaţiei forţei armoice perturbatoare şi îregistrâd deplasarea de vârf a structurii, se pot obţie curbe R d -ω/ω ca î Figura 2.3. Figura 2.3. Defiiţia lăţimii de badă la semiputere (Chopra, 200). 3

36 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Forma curbei R d -ω/ω depide de amortizarea sistemului. Ua ditre modalităţile de obţiere a fracţiuii di amortizarea critică costă î folosirea pricipiului de lăţime de badă la semiputere, defiit ca şi difereţa ω ω petru care factorul diamic de ditre valorile pulsaţiilor de cele două părţi ale pulsaţiei rezoate ( ) deplasare este de 2 ori mai mic decât valoarea acestuia la rezoaţă. Acest cocept este exemplificat î Figura 2.3. Petru valori mici ale lui ξ este adevărată următoarea relaţie: relaţie care poate fi reformulată ca şi: ωb ωa ω ωb ωa ξ = sau 2ω b a = 2ξ (2.83) fb fa ξ = (2.84) 2f ude f = ω 2π este frecveţa de vibraţie. Acest rezultat permite evaluarea amortizării uei structuri pe baza uor îcercări de vibraţii forţate Amortizarea la structurile igiereşti Determiarea aalitică a amortizării structurilor igiereşti u este fiabilă, di raţiuile expuse î secţiuea Fracţiuea di amortizarea critică petru diferite tipuri de structuri şi două ivele de solicitare sut prezetate î Tabelul 2.. Este de remarcat faptul că majoritatea ormelor de proiectare seismică u recuosc variaţia amortizării fucţie de tipul de material şi ivelul eforturilor î structură, specificâd î toate cazurile o fracţiue di amortizarea critică de 5%. Tabelul 2.: Valori recomadate ale fracţiuii di amortizarea critică petru diferite tipuri de structuri şi iveluri de solicitare (Newmark şi Hall, 982; Chopra, 200). ivelul eforturilor î structură eforturi de maxim 0.5 di limita de curgere eforturi apropiate de limita de curgere tipul de structură ξ (%) structuri metalice sudate, structuri di beto precomprimat, structuri di beto armat puteric (fisuri limitate) 2-3 structuri di beto armat cu fisuri semificative 3-5 structuri metalice îmbiate cu şuruburi sau ituite, structuri di lem îmbiate cu şuruburi sau cuie 5-7 structuri metalice sudate, structuri di beto precomprimat (fără pierderea totală a precomprimării) 5-7 structuri di beto precomprimat cu pierderea totală a precomprimării 7-0 structuri di beto armat 7-0 structuri metalice îmbiate cu şuruburi sau ituite, structuri di lem îmbiate cu şuruburi 0-5 structuri di lem îmbiate cu cuie

37 3. Noţiui de seismologie igierească 3. Noţiui de seismologie igierească 3.. Itroducere Î medie peste 0000 de persoae au decedat aual di cauza cutremurelor de pămât î secolul XX (Bolt, 200, vezi Figura 3.). Chiar dacă structurile proiectate şi costruite coform stadardelor modere de proiectare seismică sut î geeral mult mai sigure, elimiâd la maxim pierderile de vieţi omeeşti, pierderile ecoomice cauzate de cutremurele de pămât sut î creştere la ivel modial. Două exemple otorii î acest ses sut cutremurele di 994 de la Northridge (SUA), cu pierderi estimate la 40 miliarde dolari americai, şi di 995 de la Kobe (Japoia), soldat cu pierderi de aproximativ 00 miliarde dolari americai (Scawthor, 2003). Figura 3.. Pierderi de vieţi omeeşti datorate cutremurelor majore î secolul XX (Bolt, 200). Igieria seismică este u domeiu al igieriei care are ca scop reducerea efectelor cutremurelor de pămât asupra costrucţiilor igiereşti. Aceasta se ocupă cu: () studierea acelor aspecte ale seismologiei şi geologiei care sut importate petru problemă, (2) aaliza răspusului diamic al structurilor sub acţiuea mişcării seismice şi (3) dezvoltarea şi aplicarea uor metode de plaificare, proiectare şi execuţie a costrucţiilor rezistete la efectul cutremurelor de pămât. Igieria seismică se îtrepătrude cu geologia pe de o parte, şi cu ştiiţele sociale, arhitectura şi acţiuile autorităţilor pe de altă parte. Seismologia este o ramură a geologiei care studiază vibraţiile create atât de surse aturale - cutremure de pămât şi erupţii vulcaice, cât şi de surse artificiale - explozii subterae. Seismologia igierească are ca obiectiv explicarea şi prezicerea mişcărilor seismice puterice ditr-u amplasamet şi studiul caracteristicilor mişcării seismice care sut importate petru răspusul structurilor igiereşti. Pioierul cercetărilor modere de seismologie a fost igierul irladez Robert Mallet, care a îtrepris studii de tere temeiice după cutremurul di Napoli di 857 (Italia). Acesta a explicat "masele dislocate de piatră şi mortar" folosid termei şi pricipii ale mecaicii, şi a creat astfel u vocabular de bază, coţiâd termei precum: seismologie, hipocetru, isoseismic. Igierii costructori sut iteresaţi de mişcările seismice puterice, care pot produce distrugeri semificative asupra costrucţiilor. Cu toate acestea, primii 60 de ai ai secolului XX au fost marcaţi de cercetări seismologice ale udelor seismice de la cutremure îdepărtate folosid seismografe foarte sesibile. Aceste aparate u erau potrivite petru cutremure mai rare şi mai puterice, relevate petru practica igierească. 33

38 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Ulterior, situaţia s-a schimbat. După cutremurul Sa Ferado di 97 au fost obţiute sute de îregistrări seismice puterice petru acest seism de magitudie 6.5 di SUA. Cercetările privid mişcările seismice puterice au îceput să avaseze rapid odată cu istalarea î zoele seismice de pe glob a uor reţele extise de accelerometre digitale şi obţierea de îregistrări seismice î urma uor cutremure majore Activitatea seismică la ivel modial Aaliza îregistrărilor seismice de la diferite observatoare seismografice permite determiarea poziţiei cutremurelor de pămât. Î acest mod, s-a obţiut o imagie de asamblu a distribuţiei seismelor pe pămât (vezi Figura 3.2). Zoele cu o activitate seismică importată sut cocetrate de-a lugul uor ceturi, care delimitează zoe cotietale şi oceaice îtise. Î cetura Circumpacifică, de exemplu, au loc aproximativ 8% di cutremurele majore de pe Terra. Alte 7% di cutremurele majore sut localizate de-a lugul ceturii Alpide (care se îtide de la oceaul Atlatic pâă la isulele Sumatra di oceaul Pacific şi iclude muţii Alpi, Carpaţii, muţii di Aatolia şi Ira, Hidu Kush, Himalaia, şi muţii di Asia de sud-est). Î iteriorul zoelor cotietale şi oceaice cutremurele de pămât sut mult mai rare, dar u lipsesc î totalitate. Alte cocetrări de activităţi seismice pot fi observate î zoele oceaice, cum ar fi cele di mijlocul oceaului Atlatic şi al oceaului Idia. Î aceste zoe se află laţuri de muţi submarii, iar erupţiile vulcaice sut frecvete. Cocetrări masive de cutremure de mare adâcime, de pâă la 680 km, pot fi observate î laţurile de isule di oceaul Pacific şi Caraibele de est. Figura 3.2. Distribuţia modială a cutremurelor (Bolt, 200). Udele seismice geerate de u cutremur de pămât iau aştere udeva sub suprafaţa tereului, pri aluecarea bruscă a margiilor uei falii, pri care se eliberează eergia de deformaţie acumulată î masivul de rocă. Cu toate că î cazul cutremurelor aturale sursa seismică este distribuită îtr-u volum de rocă, este coveabilă cosiderarea simplificată a sursei seismice ca fiid u puct î care iau aştere udele seismice. Acest puct poartă deumirea de focar sau hipocetru. Proiecţia hipocetrului pe suprafaţa tereului se umeşte epicetru (vezi Figura 3.3). Cu toate că multe focare se află la adâcimi mici, î uele regiui acestea se situează la sute de kilometri adâcime. Îtr-u mod relativ arbitrar, cutremurele de pămât pot fi clasificate fucţie de adâcimea hipocetrului î: Cutremure de suprafaţă, cu adâcimea hipocetrului mai mică de 70 km Cutremure itermediare, cu adâcimea hipocetrului cuprisă ître 70 şi 300 km Cutremure de adâcime, cu adâcimea hipocetrului mai mare de 300 km 34

39 3. Noţiui de seismologie igierească Figura 3.3. Defiiţia hipocetrului şi a epicetrului uui cutremur de pămât, (după USGS,.d.) Cutremurele de suprafaţă au coseciţele cele mai devastatoare, acestea cotribuid la aproximativ 75% di eergia seismică totală eliberată de cutremure la ivel modial. Exemple de zoe afectate de cutremure de suprafaţă sut Califoria (SUA), Turcia, Baat (Româia), etc. S-a arătat că majoritatea cutremurelor produse î partea cetrală a Califoriei au hipocetrul î primii 5 km de la suprafaţă şi că doar uele cutremure au focarele mai adâci, de maximum 5 kilometri. Majoritatea cutremurelor medii şi puterice de suprafaţă sut urmate de post-şocuri, care se pot produce la perioade cuprise ître câteva ore şi câteva lui după şocul pricipal. Câteodată, post-şocurile sut suficiet de puterice petru a crea distrugeri costrucţiilor slăbite de cutremurul pricipal. Doar puţie ditre cutremure sut precedate de ate-şocuri proveid di zoa hipocetrală, sugerâdu-se folosirea acestora petru prezicerea şocurilor pricipale. Regiuile afectate de cutremurele de pămât cu focare itermediare şi de adâcime iclud Româia (sursa subcrustală Vracea), Marea Egee, Spaia, Azii di America de Sud, isulele Toga, Samoa, Noile Hebride, Marea Japoiei, Idoezia şi isulele Caraibe Cauzele cutremurelor Cutremure tectoice Majoritatea cutremurelor de pămât pot fi explicate coeret de teoria plăcilor tectoice. Coform acestei teorii, îvelişul exterior al Pămâtului (deumit litosferă, vezi Figura 3.4) este format di câteva masive imese de rocă relativ stabile, deumite plăci tectoice. Pricipalele plăci tectoice sut reprezetate î Figura 3.2 şi Figura 3.5. Acestea au î medie o grosime de aproximativ 80 kilometri şi sut deplasate de mişcarea de covecţie di mata, care la râdul său este creată de căldura geerată î ucleu. scoarţă + mata superioară = litosferă Figura 3.4. Structura iteră a plaetei Pămât ( 35

40 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura 3.5. Pricipalele plăci tectoice, ( Figura 3.6. Schiţă reprezetâd zoele covergete, divergete şi trascurete ale plăcilor tectoice (USGS,.d.) Mişcarea relativă a plăcilor tectoice este resposabilă petru o parte importată a activităţii seismice modiale. Coliziuea ditre plăcile litosferice, distrugerea margiilor plăcilor tectoice î zoele de subducţie (zoe covergete) la aluecarea uei plăci sub o altă placă, sau expasiuea î zoa rifturilor oceaice (zoe divergete) sut toate mecaisme care produc tesiui şi fracturi semificative î scoarţa terestră. Multe cutremure majore se datorează aluecării de-a lugul faliilor trascurete (vezi Figura 3.6). 36

41 3. Noţiui de seismologie igierească Cutremurele geerate la margiile active ale plăcilor tectoice poartă deumirea de cutremure iter-placă. Cele mai puterice cutremure de suprafaţă di Chile, Peru, Caraibele de Est, America Cetrală, sudul Mexicului, Califoria, Alaska de Sud, isulele Aleute şi Kurile, Japoia, Taiwa, Filipie, Idoezia, Noua Zeeladă, cetura Alpi - Caucaz - Himalaia sut de tipul cutremurelor itra-placă. Viteza medie de deplasare a plăcilor tectoice este de 2-5 cm/a. Pe lâgă cutremurele geerate la margiile active ale plăcilor tectoice, câteodată se produc cutremure devastatoare î iteriorul plăcilor tectoice. Acestea di urmă poartă deumirea de cutremure itra-placă. Astfel de cutremure de pămât idică faptul că plăcile litosferice u sut ideformabile şi că î iteriorul acestora se pot produce fracturi. Exemple ale uor astfel de cutremure sut cele di ord-estul Iraului, New Madrid (Missouri, SUA), Charlesto (Carolia de Sud, SUA), ordul Chiei Alte cauze ale cutremurelor Cu toate că activitatea tectoică este resposabilă petru marea majoritate a cutremurelor de pămât, acestea pot fi geerate şi de terţe cauze. Pritre acestea se umără: Cutremurele de atură vulcaică. Cei mai mulţi vulcai sut amplasaţi pe margiile active ale plăcilor tectoice. Există şi vulcai itra-placă, cum sut de exemplu vulcaii di isulele Hawai. Cu toate acestea, majoritatea cutremurelor î zoe vulcaice sut de atură tectoică. Cutremurele de pămât de atură vulcaică sut relativ rare şi de mică itesitate, şi pot fi produse de exploziile vulcaice, de mişcarea magmei, sau de prăbuşirea magmei solidificate de pe coşul vulcaului pe vatra acestuia. Exploziile. Cutremurele de pămât pot fi produse de detoări subterae a uor dispozitive chimice sau ucleare. Exploziile ucleare subterae care au avut loc î trecut au geerat cutremure de pămât cu magitudii ajugâd pâă la 6. Cutremurele de prăbuşire. Această categorie de cutremure de pămât are itesităţi mici şi se datorează prăbuşirii tavaului uor mie şi cavere. O altă modalitate de producere a acestor cutremure costă î despridere explozivă a uor volume mari de rocă de pe pereţii mielor di cauza tesiuilor acumulate. Astfel de cutremure au fost observate î Caada şi Africa de Sud. Aluecările de tere masive pot cauza şi ele cutremure miore. Cutremurele iduse de rezervoare de apă masive. Au fost observate creşteri ale activităţii seismice î zoe î care au fost costruite baraje mari de apă. Calculele au demostrat că tesiuile geerate de îcărcarea di apă sut prea mici petru a coduce la fractura rocii de bază. Cea mai plauzibilă explicaţie costă î faptul că roca di veciătatea barajelor de apă se află deja îtr-o stare de tesiue, gata să aluece. Umplerea rezervorului cu apă fie duce la creşterea stării de tesiue şi geerează aluecarea, fie presiuea apei di fisuri micşorează rezisteţa faliei, fie au loc ambele feomee. Impactul cu corpuri extraterestre. Uii meteoriţi mai mari, care di cauza dimesiuilor u se dezitegrează î atmosferă, ajugâd să lovească suprafaţa terestră, pot geera cutremure locale Tipurile de falii Observaţiile î tere idică faptul că există schimbări bruşte î structura rocilor. Aceste schimbări au loc la cotactul (de-a lugul fisurii) ditre două blocuri tectoice diferite şi poartă deumirea de falii. Acestea pot avea lugimi cuprise ître câţiva metri şi sute de kilometri. Prezeţa faliilor arată că la u momet dat î trecut au avut loc deplasări relative ale structurilor geologice de-a lugul acestora. Aceste deplasări pot fi fie luecări lete, care u produc mişcări seismice, fie ruperi bruşte, care produc cutremure de pămât. Î majoritatea cazurilor luecările produse de-a lugul faliilor u ajug pâă la suprafaţa tereului şi î coseciţă u sut vizibile. Alteori faliile se extid pâă la suprafaţa tereului, u exemplu î acest ses fiid reprezetat î Figura 3.7. Faliile sut clasificate î fucţie de geometria acestora şi de direcţia de luecare relativă. Pricipalele tipuri de falii sut reprezetate î Figura 3.8. Pata uei falii este ughiul pe care îl creează suprafaţa faliei cu orizotala, iar direcţia uei falii este direcţia proiecţiei faliei pe suprafaţa tereului faţă de Nord. O falie trascuretă implică deplasarea blocurilor de rocă paralel cu falia. Luecarea la o falie ormală are loc î pla vertical (paralel cu pata), placa superioară a faliei îcliate deplasâdu-se î jos faţă de placa iferioară (falierea produce o îtidere a crustei). Luecarea la o falie iversă are loc î pla vertical (paralel cu pata), placa superioară a faliei îcliate deplasâdu-se î sus faţă de placa iferioară (falierea produce scurtarea crustei). Faliile cel mai des îtâlite î atură sut faliile oblice, care reprezită o combiaţie de luecări î pla orizotal şi vertical. 37

42 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura 3.7. Efectul uei falii trascurete la suprafaţa tereului (USGS,.d.) Figura 3.8. Tipuri de falii (Oros, 2002) 3.5. Udele seismice Mişcarea seismică ditr-u amplasamet dat se datorează diverselor tipuri de ude geerate de luecarea bruscă a plăcilor tectoice de-a lugul uei falii. Există două tipuri pricipale de ude seismice: ude de volum şi ude de suprafaţă. Udele de volum se propagă pri iteriorul pămâtului şi pot fi de două tipuri: P şi S. Udele de suprafaţă se propagă doar î apropierea suprafeţei tereului, şi pot fi de tip Rayleigh şi Love. Udele de suprafaţă rezultă di iteracţiuea udelor de volum cu suprafaţa tereului. Cele patru tipuri de ude seismice sut discutate pe scurt î cele ce urmează (vezi Figura 3.9): Udele P (de volum). Udele P sut cuoscute şi ca ude primare, de compresiue sau logitudiale. Sut ude seismice care geerează o serie de comprimări şi dilatări ale materialului pri care se propagă. Udele P au viteza cea mai mare şi sut primele care ajug îtr-u amplasamet dat. Acest tip de ude se poate propaga atât pri solide, cât şi pri lichide. Deoarece tereul şi rocile rezistă relativ bie la ciclurile de compresiue-îtidere, de obicei impactul udelor P asupra mişcării seismice ditr-u amplasamet este cel mai mic. Udele S (de volum). Udele S sut cuoscute ca şi ude secudare, de forfecare, sau trasversale. Udele S geerează deformaţii de forfecare î materialul pri care se propagă. Aceste ude se pot propaga doar pri materiale solide. Viteza de propagare a udelor S este mai mică decât a udelor P, î schimb efectul udelor asupra mişcării seismice ditr-u amplasamet este cel mai mare. Udele Rayleigh (de suprafaţă). Acest tip de ude este similar udelor create de o piatră arucată îtr-u vas cu apă. Mişcarea particulelor are loc îtr-u pla vertical. Udele Love (de suprafaţă). Acest tip de ude sut similare udelor S, fiid ude trasversale care se propagă la suprafaţa tereului, mişcarea particulelor tereului avâd loc î pla orizotal. 38

43 3. Noţiui de seismologie igierească udă S refractată u dă Pr efr act ată Figura 3.9. Reprezetarea schematică a udelor seismice de volum P (a) şi S (b), şi a celor de suprafaţă Rayleigh (c) şi Love (d), Bolt, (2004). Discotiuitate ître roci P refl re fle cta tă tă ect a (a) P ăs ud dă u tă e d i c i u dă (b) Figura 3.0. Reflectarea, refracţia şi trasformarea udelor seismice (Bolt, 200). Propagarea udelor P şi S pri scoarţa terestră este îsoţită de reflexii şi refracţii multiple la iterfaţa ditre roci de diferite tipuri (vezi Figura 3.0a). Î plus, la fiecare iterfaţă, are loc o trasformare a udelor ditru tip î altul (vezi Figura 3.0b). Di puctul de vedere al uui igier costructor, u este foarte importată disticţia ître cele patru tipuri de ude, ci efectul global al acestora, î termei de itesitate a mişcării seismice îtr-u amplasamet. Cu toate acestea, trebuie să se recuoască faptul că mişcarea seismică îtr-u amplasamet este afectată î cea mai mare măsură de udele S, iar î uele cazuri şi de udele de suprafaţă Efectele cutremurelor Avariile şi distrugerile care pot fi cauzate de cutremure costrucţiilor igiereşti se datorează câtorva efecte ale seismelor, ditre care amitim: forţele de ierţie iduse î structură datorită mişcării seismice icediile cauzate de cutremurele de pămât modificarea proprietăţilor fizice ale tereului de fudare (cosolidări, tasări, lichefieri) deplasarea directă a faliei la ivelul tereului aluecări de tere schimbarea topografiei tereului valuri iduse de cutremure, cum ar fi cele oceaice (tsuami) sau cele di bazie şi lacuri ("seişe") 39

44 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] (b) (sursa: (a) (sursa: Figura 3.. Prăbuşirea parţială a uei structuri di b.a. î Bucureşti, cutremurul vrâcea di 4 martie 977 (a); Distrugerea parţială a parterului uei clădiri de birouri î timpul cutremurului di 6 iauarie 995 de la Kobe, Japoia (b). Ditre efectele cutremurelor de pămât amitite mai sus, distrugerile cele mai semificative şi cele mai răspâdite se datorează vibraţiilor iduse î costrucţiile igiereşti de mişcarea seismică (vezi Figura 3.). Reducerea acestui hazard seismic face obiectul cursului de igierie seismică. Icediile care se pot declaşa ca urmare a uui cutremur reprezită u pericol major. Astfel, î timpul cutremurului di 906 de la Sa Fracisco, doar 20% di pierderile totale s-au datorat distrugerilor directe di cauza mişcării seismice, restul de 80% fiid cauzate de icediile care au devastat oraşul timp de trei zile şi care au mistuit o suprafaţă de 2 km 2 şi 52 de blocuri di cetrul oraşului. (a) 40 (b) ( Figura 3.2. Icedii care au urmat cutremurului di 906 di Sa Fracisco (a) şi marelui cutremur Kato di 923 (b). Distrugerile datorate comportării tereului de fudare au creat mari probleme î timpul cutremurelor di trecut. U exemplu clasic este cazul cutremurului di Niigata di 964 (vezi Figura 3.3a), ivelul pierderilor suferite î timpul acestuia fiid disproporţioat î raport cu itesitatea mişcării seismice (o acceleraţie maximă a tereului de 0.6 g). Dezvoltarea oraşului a impus folosirea uor tereuri proaste di fosta albie a râului Shiao. Ca urmare a mişcării seismice, multe clădiri s-au îcliat sau răsturat ca urmare

45 3. Noţiui de seismologie igierească a lichefierii tereului de fudare. U umăr de 308 clădiri au fost distruse şi 9750 au suferit degradări medii pâă la severe î prefectura Niigata, majoritatea datorâdu-se tasărilor iegale şi fisurilor apărute î tereul de fudare. Deplasările directe ale faliei la ivelul tereului sut, probabil, cele mai cutremurătoare la ivel social. Deşi î trecut au fost observate distrugeri datorită deplasărilor directe ale faliei la ivelul tereului (vezi Figura 3.3b), acest feome este îtâlit relativ rar, iar distrugerile şi suprafaţa afectată sut miore î comparaţie cu cele datorate vibraţiilor iduse î costrucţii de mişcarea seismică. Aluecările de tere iduse de cutremure (vezi Figura 3.4a), cu toate că reprezită u pericol major, u se produc foarte frecvet. (a) (sursa: (b) (sursa: Figura 3.3. Răsturarea uor blocuri de locuit la Kawagishi-Cho, Niigata, ca urmare a lichefierii tereului î timpul cutremurului di 964 (a); şie de tramvai îdoite ca urmare a deplasărilor tereului produse î timpul cutremurului di 906 de la Sa Fracisco (b). (b) ( (a) (sursa: USGS) Figura 3.4. Aluecări de tere î La Cochita, Califoria, 995 (a); Partea de sud-est a golfului Izmit, iudat ca urmare a subsideţei î timpul cutremurului di 7 august 999 di Izmit, Turcia. 4

46 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] (a) (sursa: USGS) (b) (sursa: USGS) Figura 3.5. Reprezetarea schematică a efectului uui tsuami (a) şi seişe (b). Schimbările topografice datorate cutremurelor u duc î mod direct la pierderi de vieţi omeeşti. Cea mai importată coseciţă a uor asemeea modificări o reprezită distrugerile pe care le pot suferi structuri cum sut podurile şi barajele. Î aumite cazuri pot avea loc iudaţiei ale tereului, ca urmare a subsideţei uor tereuri aflate pe malul uor ape (vezi Figura 3.4b). Tsuami sut valuri oceaice geerate de cutremurele de pămât subacvatice şi care pot crea distrugeri îsemate î localităţile de coastă (vezi Figura 3.5a). Oceaul Pacific este deseori scea uor astfel de eveimete. Petru ca u cutremur să geereze u tsuami, acesta trebuie să fie asociat uei falii iverse sau ormale, î timp ce faliile trascurete u produc feomee de acest ge. La 5 iuie 896 regiuea Hoshu di Japoia a fost devastată de u tsuami cu o îălţime vizuală a valului de 20 metri şi care a îecat î jur de oamei. Timpul de propagare a uui tsuami de la coastele Chile pâă la isulele Hawai este de 0 ore, iar di Chile pâă î Japoia de 20 ore. Astfel, schema de preveire a pierderilor omeeşti î Pacific di cauza tsuami o reprezită u sistem de moitorizare şi alertare compus di câteva zeci de staţii amplasate î oceaul Pacific. Pe lâgă acest sistem, hazardul valurilor uriaşe poate fi redus pri costrucţii costiere specifice şi evitarea amplasării costrucţiilor î zoele joase de pe coastă. Feomeul "seişe" (vezi Figura 3.5b) reprezită revărsarea apei peste margiile uui bazi sau malurile uui lac î urma mişcării produse de u cutremur de pămât Itesitatea şi magitudiea Aaliza ştiiţifică a cutremurelor ecesită o cuatificare a acestora. Îaite de apariţia aparatelor seismice modere, efectele cutremurelor de pămât erau estimate calitativ pri itermediul itesităţii distrugerilor cauzate de acestea, care diferă de la u amplasamet la altul. Cu apariţia şi utilizarea seismometrelor a deveit posibilă defiirea magitudiii, u parametru uic petru u eveimet seismic, care măsoară catitatea de eergie eliberată de u cutremur. Cele două modalităţi de măsurare a cutremurelor rămâ cele mai utilizate î ziua de astăzi, fiecare avâd câteva scări alterative Itesitatea seismică Itesitatea seismică reprezită cea mai veche măsură a cutremurelor. Aceasta se bazează pe observaţii calitative ale efectelor uui cutremur îtr-u amplasamet dat, cum ar fi degradările costrucţiilor şi reacţia oameilor la cutremur. Deoarece scările de itesitate seismică u depid de istrumete, aceasta poate fi determiată chiar şi petru cutremure istorice. Prima scară a itesităţii seismice a fost dezvoltată de Rossi (Italia) şi Forel (Elveţia) î 880, cu valori ale itesităţii seismice ître I şi X. O scară mai exactă a fost ivetată de vulcaologul şi seismologul italia Mercalli î 902, avâd valori ale itesităţii cuprise ître I şi XII. Scările de itesitate seismică cele mai utilizate astăzi sut Mercalli modificată (MMI), Rossi-Forel (R-F), Medvedev-Spoheur-Karik (MSK-64), Scara Macroseismică Europeaă (EMS-98) şi scara ageţiei meteorologice japoeze (JMA). Î Româia se utilizează scara MSK (descrisă î Tabelul 3.), iar zoarea itesităţii seismice a Româiei coform SR 00/ di 993 este prezetată î Figura 3.6. Pe lâgă exprimarea calitativă a itesitatăţii seismice î grade, aceasta se poate exprima şi pri măsuri igiereşti catitative, cum ar fi acceleraţia de vârf a tereului. 42

47 3. Noţiui de seismologie igierească Gradul deumirea I imperceptibil II abia simţit III slab Figura 3.6. Zoarea seismică a Româiei coform SR 00/ di 993 (Lugu et al., 200). Tabelul 3.. Scara itesităţii seismice MSK (Dimoiu, 999) Descrierea efectelor asupra Vieţuitoarelor şi obiectelor mediului îregistrat umai de aparate simţit î case la etajele superioare de persoae foarte sesibile simţit î casă, de cei mai mulţi oamei î repaus; obiectele suspedate se leagăă uşor; se produc vibraţii asemăătoare celor cauzate de trecerea uor vehicule uşoare IV puteric obiectele suspedate pedulează; vibraţii ca la trecerea uui vehicul greu; geamurile, uşile, farfuriile zorăie; paharele, oalele se ciocesc; la etajele superioare tâmplăria şi mobila trosesc V deşteptător VI provoacă spaima VII provoacă avarierea clădirilor simţit şi afară di casă; cei ce dorm se trezesc; lichidele di vaze se mişcă şi ueori se varsă; obiectele uşoare istabile se deplasează sau se răstoară; tablourile şi perdelele se mişcă; uşile trepidează, se îchid şi se deschid stabilitatea oameilor este dificilă; se simte chiar î vehicule aflate î mişcare; mobila se crapă; apar valuri pe suprafaţa lacurilor, suă clopotele grele; apar uşoare aluecări şi surpări la bacurile de isip şi pietriş Lucrărilor de costrucţii apar crăpături î tecuiala slabă şi î zidării di materiale slabe, fără mortar se distrug zidăriile fără mortar, apar crăpături î zidării cu mortar; cade tecuiala, cărămizile efixate, ţiglele, corişele, parapeţii, calcaele, obiectele orametale 43

48 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] VIII provoacă avarii puterice IX provoacă avarii foarte importate X distrugător XI catastrofal XII provoacă modificarea reliefului copacii se rup, vehiculele sut greu de codus, se modifică temperatura sau debitul izvoarelor ori sodelor; apar crăpături î tereuri umede şi pe pate paică geerală; apar crăpături î sol; î regiui aluvioare ţâşeşte isip şi mâl; apar izvoare oi şi cratere de isip aluecări masive de tere; apa este arucată peste malurile râurilor, lacurilor, etc.; şiele de cale ferată sut uşor îdoite traversele şi şiele de cale ferată sut puteric îcovoiate; coductele îgropate sut scoase di folosiţă se modifică liiile de ivel ale reliefului; deplasări şi aluecări de maluri; râurile îşi schimbă cursul; apar căderi de apă; obiectele de pe sol sut arucate î aer apar avarii şi la costrucţiile bie executate; cele slab costruite se dărâmă parţial; coşurile de fum, moumetele îalte se răsucesc pe soclu, se prăbuşesc; costrucţiile se mişcă pe fudaţii; ferestrele efixate î pereţi sut arucate afară zidăriile slabe sut distruse, cele cu mortar sut puteric avariate; apar avarii la fudaţii, se rup coducte majoritatea clădirilor di zidărie sut distruse, la scheletele di beto armat zidăria de umplutură este arucată afară, iar capetele stâlpilor sut măciate, stâlpii di oţel se îdoaie; avarii serioase la taluzuri, diguri, baraje surparea tuturor costrucţiilor di zidărie; avarii grave la costrucţiile cu schelet di beto armat şi oţel Magitudiea Magitudiea este o măsură a eergiei eliberate de u cutremur, fiid o valoare uică petru u eveimet seismic, spre deosebire de itesitate, care are valori diferite fucţie de distaţa faţă de epicetru şi codiţiile locale de amplasamet. Magitudiea se bazează pe măsurători istumetate şi astfel u prezită gradul de subiectivism pe care îl are itesitatea seismică. O măsură strict catitativă a cutremurelor a fost itrodusă de Wadati î 93 î Japoia şi dezvoltată î 935 de Charles Richter î Califoria, SUA. Richter a defiit magitudiea locală M L a uui cutremur ca fiid logaritmul cu baza zece a amplitudiii î microi (0-3 mm) A îregistrată cu u seismograf Wood-Aderso amplasat la o distaţă de 00 km de epicetru: M = loga loga (3.) L loga 0 este o valoare stadard fucţie de distaţă, petru istrumete aflate la alte distaţe decât 00 km, dar u mai departe de 600 km de epicetru. Relaţia (3.) implică creşterea de zece ori a amplitudiii deplasărilor îregistrate de seismograf la creşterea magitudiii cu o uitate. Petru aceeaşi creştere a magitudiii cu o uitate, catitatea de eergie seismică eliberată de u cutremur creşte de aproximativ 30 de ori. Scara de magitudii locale (M L ) a fost defiită petru cutremurele de suprafaţă di Califoria de sud, fiid valabilă petru distaţe epicetrale mai mici de 600 km. Ulterior au fost dezvoltate alte scări de magitudii, descrise pe scurt î cotiuare. Magitudiea udelor de suprafaţă (M s ). Udele de suprafaţă cu o perioadă de aproximativ 20 secude domiă adeseori îregistrările seismografice ale cutremurelor îdepărtate (distaţe epicetrale mai mari de 2000 km). Petru cuatificarea acestor cutremure, Gutteberg a defiit scara de magitudii a udelor de suprafaţă, care măsoară amplitudiea udelor de suprafaţă cu perioada de 20 secude. Magitudiea udelor de volum (m b ). Cutremurele de adâcime sut caracterizate de ude de suprafaţă esemificative. De aceea, petru acest tip de cutremure, magitudiea m b se determiă pe baza amplitudiii udelor P, care u sut afectate de adâcimea hipocetrului. Magitudiea momet (M W ). Magitudiile M L, m b şi, îtr-o măsură mai mică, M s îtâmpiă dificultăţi î distigerea ître cutremurele foarte puterice. Ca urmare a acestui fapt, a fost dezvoltată magitudiea momet M W, care depide de mometul seismic M 0, aflat î relaţie directă cu dimesiuea sursei seismice: 0 44

49 3. Noţiui de seismologie igierească ude M 0 este mometul seismic î dy-cm. MW ( M ) = log / (3.2) Feomeul de saturaţie se referă la subestimarea eergiei cutremurelor puterice şi este caracteristic magitudiilor M L, m b şi îtr-o măsură mai mică M s. Magitudiea momet M W u suferă de acest dezavataj şi de aceea este preferată î prezet de seismologi Îregistrarea mişcării seismice U seismograf este u istrumet care măsoară mişcarea suprafeţei tereului di cauza udelor geerate de u cutremur de pămât, fucţie de timp. Î Figura 3.7a este prezetat schematic pricipiul de fucţioare a uui seismograf. Seismograma, reprezetâd îregistrarea efectuată cu ajutorul seismografului oferă iformaţii despre atura cutremurului de pămât. Coceptual, u seismograf este alcătuit ditr-u pedul sau o masă ataşată uui resort elastic. Î timpul uui cutremur, rola de hârtie fixată de baza seismografului se mişcă odată cu tereul î timp ce pedulul împreuă cu stiloul ataşat acestuia rămâ mai mult sau mai puţi î repaus, datorită forţelor de ierţie, îregistrâd mişcarea seismică. După îcetarea mişcării seismice pedulul va tide să ajugă î echilibru, efectuâd îregistrări false ale mişcării. De aceea este ecesar u mecaism de amortizare. Istrumetele modere de îregistrare a mişcării seismice se umesc geeric seismometre. Cele mai uzuale istrumete sut accelerometrele (Figura 3.7b), care îregistrează digital acceleraţia tereului, cea mai utilă î igieria seismică. U astfel de istrumet are de obicei trei sezori: doi petru îregistrarea compoetelor orizotale (ord-sud şi est-vest), şi u al treilea petru compoeta verticală a mişcării seismice. Acceleraţia este uzual exprimată î cm/s 2, fie este raportată la acceleraţia gravitaţioală g=98 cm/s 2. Valorile vitezei şi cele ale deplasării tereului î urma uei mişcări seismice se pot obţie ulterior pri itegrarea acceleraţiei. Cu titlu de exemplu, Figura 3.8 prezită îregistrări petru compoetele ord-sud ale acceleraţiei, vitezei şi deplasării efectuate la staţia INCERC-Bucureşti î timpul cutremurului di 04 martie 977 di Vracea. Valoarea maximă a acceleraţiei îregistrate este uzual deumită valoarea de vârf a acceleraţiei tereului. Petru compoeta ord-sud a mişcării seismice meţioate aterior aceasta are o valoare absolută de.95 m/s 2. 0 (a) Figura 3.7. Coceptul uui seismograf (a) şi u accelerometru moder (b). (b) 45

50 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Vracea, , INCERC (B), NS acceleratie, m/s timp, s Vracea, , INCERC (B), NS 0.2 viteza, m/s timp, s Vracea, , INCERC (B), NS deplasare, m timp, s Figura 3.8. Îregistrări petru compoetele ord-sud ale acceleraţiei, vitezei şi deplasării efectuate la staţia INCERC-Bucureşti î timpul cutremurului di 04 martie 977 di Vracea Seismicitatea Româiei Hazardul seismic di Româia este datorat cotribuţiei a doi factori: (i) cotribuţia majoră a zoei seismice subcrustale Vracea şi (ii) alte cotribuţii proveid di zoe seismogee de suprafaţă, distribuite pe îtreg teritoriul ţării, vezi Figura 3.9 (Lugu et al, 2003). Zoa seismogeă Vracea este situată la curbura Carpaţilor, avâd, coform datelor di acest secol, u volum relativ redus: adâcimea focarelor ître 60 şi 70 km şi suprafaţa epicetrală de cca. 40x80 km 2. Sursa Vracea este capabilă să producă mari distrugeri î peste 2/3 di teritoriul Româiei şi î primul râd î Bucureşti. Astfel, î urma cutremurului di 4 martie 977 s-au îregistrat pagube de.4 Miliarde USD umai î capitală, di totalul de peste 2 miliarde USD î Româia. Cutremurul vrâcea cel mai puteric este cosiderat a fi cel di 26 octombrie 802, magitudiea Guteberg-Richter apreciată de diferiţi autori petru acest cutremur situâdu-se ître 7.5 şi 7.7. Cutremurul vrâcea cu cea mai mare magitudie di acest secol a fost cel di 0 Noiembrie 940 avâd magitudiea Guteberg-Richter M=7.4 şi adâcimea de km. Cutremurul vrâcea cu cele mai distrugătoare efecte asupra costrucţiilor şi primul cutremur 46

51 3. Noţiui de seismologie igierească puteric petru care s-a obţiut o accelerogramă îregistrată î Româia a fost cel di 4 Martie 977: magitudiea Guteberg-Richter M=7.2, adâcimea focarului h=09 km, distaţa epicetrală faţă de Bucureşti 05 km. Î Bucureşti acest cutremur a cauzat peste 400 pierderi de vieţi omeeşti şi prăbuşirea a 23 costrucţii îalte di beto armat şi a 6 clădiri multietajate di zidărie, realizate îaite de cel de al doilea război modial, precum şi a 3 clădiri îalte di beto armat costruite î aii Figura 3.9. Epicetrele cutremurelor ce au avut loc î Româia î perioada (Lugu et al., 2003). Baatul este o regiue caracterizată de cutremure locale, de mică adâcime (î jur de 0 km), ale căror focare se grupează î două regiui disticte. O regiue o costituie partea de SE a Baatului (Moldova Nouă), iar o alta împrejurimile oraşului Timişoara (I. Ataasiu, "Cutremurele de pămât di Româia", 959). Magitudiea cutremurelor băăţee di ultimii 200 de ai u a depăşit valori de Cu toate că aceasta este relativ redusă, datorită adâcimii mici a focarului, cutremurele băăţee au fost deseori caracterizate de itesităţi epicetrale ridicate, provocâd pagube îsemate î zoe restrâse di apropierea epicetrului. Deseori cutremurele locale di Baat se produc î serii, pe durata a câteva lui. Cel mai puteric cutremur băăţea di sursa Moldova Nouă î secolul XX a fost cutremurul di 8 Iulie 99, M=5.6, h = 2 km, iar di sursa Timişoara a fost cutremurul di 2 Iulie 99, M =5.7, h = km. 47

52 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura Poziţioarea geografică a epicetrelor cutremurelor băăţee î perioada (Lugu et al, 2003). 48

53 4. Răspusul seismic al sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică 4. Răspusul seismic al sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică 4.. Mişcarea seismică Reprezetarea cea mai uzuală a mişcării seismice î aplicaţiile igiereşti foloseşte variaţia î timp a acceleraţiei tereului uɺɺ () t şi se umeşte accelerogramă. Dacă se cuosc proprietăţile uui sistem SGLD g (masa m, rigiditatea k şi coeficietul de amortizare c), precum şi cele ale mişcării seismice (îregistrarea acceleraţiei tereului uɺɺ () t ), se poate determia deplasarea relativă ut (), viteza relativă ut ɺ () şi acceleraţia g relativă ut ɺɺ () a sistemului SGLD, rezolvâd ecuaţia de mişcare: muɺɺ + cuɺ + ku = muɺɺ g (4.) Îregistrarea mişcării seismice se face cu ajutorul accelerometrelor, fiecare îregistrare coţiâd trei compoete (două orizotale şi ua verticală). Î cele mai multe cazuri mişcarea seismică îregistrată cu ajutorul accelerometrelor se presupue a fi idepedetă de răspusul structurii. Această ipoteză este valabilă umai petru tereuri rigide. Î cazul uor tereuri flexibile, mişcarea seismică poate fi afectată de iteracţiuea tere-structură. Di acelaşi motiv (elimiarea iflueţei structurii asupra mişcării seismice), accelerometrele folosite petru îregistrarea şi caracterizarea mişcării seismice trebuie să fie amplasate î câmp liber, la o distaţă rezoabilă de costrucţiile existete. Î Figura 4. sut prezetate câteva accelerograme ale uor eveimete seismice, la aceeaşi scară a timpului şi acceleraţiei. Se pot observa difereţe semificative ale amplitudiii, duratei şi aspectului geeral al accelerogramelor. El Cetro 940, Imperial Valley, S00E Loma Prieta 989, Corralitos, 090 Parkfield 966, Cholame #2, 065 Erzica 992, Meteorological Statio, FN Sa Ferado 97, Pacoima Dam, N76W Northridge 994, Sylmar, 360 Vracea 977, INCERC, NS Wester Washigto 949, Olympia, 086 Figura 4.. Câteva accelerograme ale uor cutremure (după Chopra, 200). Accelerogramele sut defiite de valori umerice îregistrate la itervale de timp discrete. Î cele mai multe cazuri acest iterval este de 0.02 sau 0.0 secude. Î Figura 4.2 este prezetată accelerograma compoetei ord-sud a îregistrării seismice de la El Cetro, Califoria, obţiută î timpul cutremurului Imperial Valley di 8 mai 940. Variaţiile î timp a vitezei şi deplasării tereului au fost obţiute pri itegrarea acceleraţiei. 49

54 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura 4.2. Compoeta ord-sud a îregistrării seismice de la El Cetro, Califoria, obţiută î timpul cutremurului Imperial Valley di 8 mai 940 (Chopra, 200) Determiarea răspusului seismic Împărţid ecuaţia (4.) cu m se obţie: uɺɺ + ξω ɺ + ω = ɺɺ (4.2) 2 2 u u ug De aici reiese că deplasarea uui sistem SGLD sub acţiuea mişcării seismice depide doar de pulsaţia proprie de vibraţie ω (sau de perioada proprie de vibraţie T ) şi de fracţiuea di amortizarea critică ξ, şi se u u tt,, ξ. Astfel, oricare două sisteme SGLD cu aceleaşi valori T şi ξ vor avea acelaşi poate scrie ( ) răspus î deplasare, chiar dacă acestea au mase şi rigidităţi diferite. Deoarece îregistrările seismice sut defiite la itervale de timp discrete şi sut foarte eregulate, acestea u pot fi exprimate aalitic. De aceea, rezolvarea ecuaţiei de mişcare se face pri metode umerice (metoda difereţelor cetrale, metoda Newmark, etc.). Î Figura 4.3a este prezetat răspusul î deplasare a trei sisteme SGLD avâd aceeaşi amortizare dar perioade proprii de vibraţie diferite, sub acţiuea mişcării El Cetro. Se poate observa că timpul ecesar efectuării uei oscilaţii complete este apropiat de perioada proprie de vibraţie T. Acest feome este adevărat doar î cazul mişcărilor seismice cu o badă largă de frecveţe. Di aceeaşi figură se poate observa creşterea deplasării de vârf odată cu creşterea perioadei proprii de vibraţie. Î Figura 4.3b este prezetat răspusul î deplasare a trei sisteme SGLD avâd aceeaşi perioadă proprie de vibraţie, dar amortizări diferite, sub acţiuea aceleiaşi îregistrări seismice. Deoarece cele trei sisteme au aceeaşi perioadă proprie de vibraţie, alura deformaţiilor este similară de la u sistem la altul, valorile de vârf îregistrâdu-se la aproximativ acelaşi perioade de timp. Pe de altă parte, valorile mai mari ale amortizării coduc la deformaţii mai mici. 50

55 4. Răspusul seismic al sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Figura 4.3. Răspusul î deplasare al uor sisteme SGLD sub acţiuea mişcării El Cetro Spectre de răspus elastic Noţiuea de spectru de răspus a fost itrodusă î 932 de către M. A. Biot, aceasta fiid î zile oastre u cocept cetral î igieria seismică. Spectrele de răspus reprezită o metodă coveabilă de sitetizare a răspusului seismic al uor sisteme SGLD sub acţiuea uei îregistrări seismice date. U spectru de răspus este reprezetarea valorilor de vârf ale răspusului seismic (î termei de deplasare, viteză, acceleraţie, etc.) al uui sistem SGLD fucţie de perioada proprie de vibraţie T (fie pulsaţia sau frecveţa de vibraţie proprie), petru o valoare fixă a fracţiuii di amortizare critică ξ. Î domeiul igieriei civile spectrele sut costruite î geeral folosid perioada proprie de vibraţie ca şi abscisă, aceasta avâd o semificaţie ituitivă. Spectrele de răspus elastic caracterizează sistemele SGLD elastice. Matematic, spectrele de răspus elastic ale deplasării, vitezei relative şi acceleraţiei totale se pot exprima, respectiv, pri: Spectrul de răspus elastic al deplasării ( ξ ) u ( tt ξ ) u0 T, = max,, (4.3) t ( ξ ) = u ( tt ξ ) uɺ 0 T, max ɺ,, (4.4) t t ( ξ ) = u ( tt ξ ) t uɺɺ 0 T, max ɺɺ,, (4.5) t Î Figura 4.4 este ilustrat modul de costruire a uui spectru de răspus elastic al deplasării petru îregistrarea seismică El Cetro (Figura 4.4a). Deplasarea uor sisteme SGLD elastice sub acţiuea acestei mişcări seismice este prezetată î Figura 4.4b. Petru fiecare sistem, se determiă răspusul de vârf al deplasării D u 0, care este reprezetat fucţie de perioada proprie de vibraţie corespuzătoare î Figura 4.4c petru a obţie spectrul de răspus al deplasării. 5

56 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura 4.4. Ilustrarea costruirii uui spectru de răspus al deplasării: îregistrarea seismică (a), deplasarea uor sisteme SGLD cu T diferite (b) şi spectrul de răspus al deplasării (c), Chopra, 200. Spectrul de deplasare este foarte importat, deoarece pe baza deformaţiilor uui sistem SGLD se pot determia eforturile iduse î structură (vezi secţiuea 2..6) Spectrul de răspus elastic al pseudo-vitezei Pseudo-viteza relativă spectrală, sau, mai simplu, pseudo-viteza spectrală este otată cu V şi este dată de expresia: 2π V = ωd = D (4.6) T ude T reprezită perioada proprie de vibraţie a uui sistem SGLD, iar D este deplasarea spectrală a acestuia. Pseudo-viteza V are uităţi de viteză, dar are prefixul "pseudo" petru că u este egală cu viteza relativă maximă uɺ 0 a sistemului SGLD. Pseudo-viteza V este î relaţie directă cu valoarea de vârf a eergiei de deformaţie E S0, pri relaţia: 2 mv E S0 = (4.7) 2 Această relaţie se poate obţie pe baza defiiţiei eergiei de deformaţie şi a relaţiei (4.6): E S0 ( ω ) 2 ku kd k V mv = = = = Spectrul de pseudo-viteză se poate obţie direct di spectrul de deplasare folosid relaţia (4.6). Î Figura 4.5b este prezetat spectrul de pseudo-viteză petru îregistrarea El Cetro. 52

57 4. Răspusul seismic al sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Spectrul de răspus elastic al pseudo-acceleraţiei Cuoscâd deformaţia de vârf a uui sistem SGLD, eforturile de vârf pot fi determiate pe baza coceptului de forţă statică echivaletă, discutate î secţiuea 2..6: fs0 = ku0 (4.8) ude k este rigiditatea sistemului SGLD. Porid de la defiiţia pulsaţiei ( ω = 2 expresia mω obţiem: ude 2 S0 0 k m) şi îlocuid k cu f = mω u = ma (4.9) 2 2 2π A = ωu0 = ωd = D T 2 (4.0) Mărimea A se umeşte pseudo-acceleraţie spectrală, are uităţi de acceleraţie, dar este diferită de acceleraţia t de vârf uɺɺ 0 a sistemului SGLD. Spectrul de pseudo-acceleraţie se poate obţie direct di spectrul de deplasare folosid relaţia (4.0). Î Figura 4.5c este prezetat spectrul de pseudo-acceleraţie petru îregistrarea El Cetro. Figura 4.5. Spectre de răspus petru îregistrarea El Cetro: spectrul de deplasare (a), spectrul de pseudoviteză (b) şi spectrul de pseudo-acceleraţie (c), Chopra,

58 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Spectrul combiat D-V-A Spectrele de deplasare, pseudo-viteză şi pseudo-acceleraţie reprezetă trei modalităţi diferite de prezetare a aceleiaşi iformaţii. Cuoscâd uul di aceste spectre, celelalte două se pot determia direct pe baza ecuaţiilor (4.6) şi (4.0). Cele trei spectre sut utile îsă, petru că fiecare are o semificaţie fizică distictă. Astfel, spectrul de deplasare idică deformaţia de vârf a sistemului SGLD, spectrul de pseudo-viteză este î relaţie directă cu valoarea de vârf a eergiei de deformaţie a sistemului SGLD, iar pe baza spectrului de pseudo-acceleraţie se poate obţie forţa statică echivaletă care acţioează asupra uui sistem SGLD supus acţiuii seismice. Ecuaţiile (4.6) şi (4.0) pot fi scrise sub următoarea formă: Aplicâd logaritmul zecimal relaţiei ( T 2 ) A T 2π = V = ω D sau A = V = D (4.) ω 2π T π A = V, aceasta poate fi scrisă sub forma lgt + lga lg 2π = lgv. Reprezetată la scară logaritmică (cu lgt pe abscisă şi lgv pe ordoată), ecuaţia precedetă reprezită o dreaptă îcliată la +45 petru o valoare costată lga lg 2π. Î mod similar, ecuaţia V ( T 2π ) = D reprezetată pe o scară logaritmică reprezită o dreaptă îcliată la -45 petru o valoare costată lgd + lg 2π. Î Figura 4.6 este prezetat spectrul de răspus D-V-A combiat petru îregistrarea El Cetro şi o fracţiue di amortizarea critică ξ=2%. Această reprezetare mai este cuoscută sub deumirea de grafic tripartit logaritmic şi a fost dezvoltată î 960 de către Veletsos şi Newmark. Ditr-u spectru de răspus combiat D-V-A se pot determia petru orice perioadă proprie de vibraţie T a uui sistem SGLD: pseudo-viteza spectrală V (de pe axa verticală), deplasarea de vârf D (de pe axa îcliată la +45 ) şi pseudo-acceleraţia spectrală A (axa îcliată la -45 ). Spectrele de răspus pot fi calculate şi reprezetate petru câteva valori ale fracţiuii di amortizarea critică, petru a acoperi o gamă largă de structuri igiereşti. Figura 4.6. Spectrul de răspus D-V-A combiat petru îregistrarea El Cetro, ξ = 2% (Chopra, 200). 54

59 4. Răspusul seismic al sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Spectre de viteză şi acceleraţie Spectrele de răspus elastic al vitezei şi acceleraţiei se pot obţie coform relaţiilor (4.4) şi (4.5). Studierea acestor spectre u prezită u iteres practic, deoarece deplasările şi eforturile maxime di structură pot fi determiate fără acestea. Î geeral spectrele de viteză şi de pseudo-viteză sut apropiate ca formă şi alură, valorile celor două spectre fiid foarte apropiate petru amortizări mici î domeiul de perioade medii. Spectrele de acceleraţie şi de pseudo-acceleraţie sut idetice î lipsa amortizării (ξ=0), dar diferă petru valori ale amortizării diferite de zero. Difereţa ditre cele două spectre creşte cu amortizarea şi este maximă î domeiul perioadelor lugi. Pseudo-acceleraţia este îtotdeaua mai mică decât acceleraţia spectrală. Acest fapt se poate demostra pe baza observaţiei că produsul ma reprezită forţa elastică maximă t dezvoltată î sistem sub efectul acţiuii seismice. Spre deosebire de aceasta, muɺɺ 0 reprezită suma forţei elastice şi a celei de amortizare Caracteristicile spectrelor de răspus elastic Î Figura 4.7 sut prezetate spectre de răspus petru îregistrarea El Cetro, ormalizate la valorile de vârf ale deplasării tereului u g0, vitezei tereului uɺ g0 şi acceleraţiei tereului uɺɺ g0. Î Figura 4.8 este prezetat spectrul de răspus ormalizat petru o fracţiue di amortizarea critică ξ=5%, împreuă cu o idealizare a acestuia (reprezetată cu liie îtreruptă). Vom discuta proprietăţile spectrului de răspus petru diferite domeii ale perioadei proprii de vibraţie, separate de valorile T a =0.035 sec, T b =0.25 sec, T c =0.5 sec, T d =3.0 sec, T e =0 sec, T f =5 sec. Figura 4.7. Spectre de răspus ormalizate petru îregistrarea El Cetro, petru trei valori ale fracţiuii di amortizarea critică: ξ = 0, 2, 5 şi 0% (Chopra, 200). 55

60 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura 4.8. Spectru de răspus ormalizat petru îregistrarea El Cetro ξ = 5% (liie cotiuă) şi reprezetarea idealizată (liie îtreruptă), Chopra, 200. Petru structuri cu perioada proprie de vibraţie mică (T <T a ), valoarea de vârf a pseudo-acceleraţiei A este apropiată de acceleraţia de vârf a tereului uɺɺ g0, iar deplasarea spectrală D este mică. Iterpretarea fizică a acestui feome costă î faptul că u sistem cu perioada proprie de vibraţie mică este foarte rigid, sistemul deformâdu-se foarte puţi, mişcarea acestuia fiid î eseţă idetică cu mişcarea tereului (vezi Figura 4.9a). Astfel, acceleraţia de vârf totală a acestui sistem este apropiată de acceleraţia de vârf a tereului. Petru structuri cu perioada proprie de vibraţie mare (T >T f ), valoarea de vârf a deplasării D este apropiată de deplasarea de vârf a tereului u g0, iar pseudo-acceleraţia spectrală A este mică. Iterpretarea fizică a acestui feome costă î faptul că u sistem cu perioada proprie de vibraţie mare este foarte flexibil, tereul deplasâdu-se sub masa care rămâe fixă (vezi Figura 4.9b). Astfel, deformaţia de vârf a acestui sistem este apropiată de deplasarea de vârf a tereului. (a) Figura 4.9. Deformaţia uui sistem foarte rigid (a) şi a uui sistem foarte flexibil (b). Petru structuri cu perioada proprie de vibraţie mică, cuprisă ître T a şi T c, pseudo-acceleraţia spectrală A depăşeşte acceleraţia de vârf a tereului uɺɺ g0 cu valori care depid de T şi ξ. Pe porţiuea ditre T b şi T c pseudo-acceleraţia spectrală A poate fi cosiderată costată. (b) 56

61 4. Răspusul seismic al sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Petru structuri cu perioada proprie de vibraţie mare, cuprisă ître T d şi T f, deplasarea spectrală D depăşeşte deplasarea de vârf a tereului u g0 cu valori care depid de T şi ξ. Pe porţiuea ditre T d şi T e deplasarea spectrală D poate fi cosiderată costată. Petru structuri cu perioada proprie de vibraţie itermediară, cuprisă ître T b şi T c, pseudo-viteza spectrală V depăşeşte viteza de vârf a tereului uɺ g0 cu valori care depid de T şi ξ şi poate fi cosiderată costată. Pe baza observaţiilor aterioare, spectrul de răspus poate fi împărţit î trei domeii. Domeiul de perioade lugi (T >T d ) se umeşte domeiu de răspus sesibil la deplasare, răspusul structurii î acest domeiu de perioade fiid î strâsă legătură cu deplasarea tereului. Domeiul de perioade scurte (T <T c ) se umeşte domeiu de răspus sesibil la acceleraţie, răspusul structurii î acest domeiu fiid corelat cu acceleraţia tereului. Domeiul de perioade itermediare, (T c <T <T d ) se umeşte domeiu de răspus sesibil la viteză, răspusul structurii î acest domeiu fiid cel mai bie corelat cu viteza tereului. Aceste observaţii sut evidete î cazul reprezetării tripartite a spectrelor de răspus, dar ar fi fost mai greu de evideţiat di reprezetarea idividuală a celor trei spectre de răspus (D, V, A). Există mai multe metode de determiare a perioadelor T a, T b, T c, T d, T e, T f. De otat faptul că valorile acestor perioade care stabilesc domeiile de deplasare costată, viteză costată şi acceleraţie costată u sut uice, şi pot varia cosiderabil de la o îregistrare seismică la alta. Acelaşi lucru este valabil şi petru factorii de amplificare a mişcării seismice D u 0, V uɺ 0, A uɺɺ 0. / g / g / g Amortizarea are ca efect reducerea deplasării, pseudo-vitezei şi pseudo-acceleraţiei spectrale (vezi Figura 4.7). Petru o amortizare egală cu zero spectrul de răspus este marcat de variaţii bruşte petru variaţii mici ale perioadei proprii de vibraţie a structurii. Odată cu creşterea amortizării, răspusul structurii este mult mai puţi sesibil la variaţia perioadei proprii de vibraţie a structurii. Efectul amortizării este miim petru T 0 şi T, dar este importat petru T b < T < T d, efectul maxim fiid observat î domeiul de viteză spectrală costată Spectre elastice de proiectare Spectrele de răspus determiate petru mişcări seismice care au avut loc î trecut u sut, î geeral, folosite petru proiectarea costrucţiilor. Acest fapt are la bază câteva cosiderete. Î primul râd, spectrul de răspus al uei îregistrări idividuale este extrem de accidetat, o variaţie mică a perioadei proprii de vibraţie a structurii rezultâd î valori foarte diferite ale pseudo-acceleraţiei şi, î coseciţă, a forţelor seismice de calcul. Î cel de-al doilea râd, spectrele de răspus îregistrate îtr-u amplasamet dat variază cosiderabil de la u cutremur de pămât la altul, după cum se poate observa di Figura 4.0. Nu î ultimul râd, există multe teritorii petru care u sut dispoibile îregistrări seismice. De aceea, spectrele elastice de proiectare, pe baza cărora se determiă forţele seismice care acţioează asupra uei structuri, sut alcătuite di liii drepte sau di curbe etede. Spectrele elastice de proiectare trebuie să fie reprezetative petru mişcările seismice îregistrate î amplasamet î timpul uor eveimete seismice aterioare. Î cazul î care u există îregistrări seismice aterioare, se pot folosi îregistrări existete petru alte amplasamete cu codiţii similare. Factorii care trebuie cosideraţi petru a obţie "codiţii similare" iclud magitudiea cutremurului, distaţa de la falie la amplasamet, structura geologică traversată de udele seismice şi codiţiile locale ale tereului di amplasamet. Spectrul elastic de proiectare se bazează pe aaliza statistică a uui set de îregistrări seismice uɺɺ i t, căreia îi corespud valorile de reprezetative petru u amplasamet dat. Îregistrarea i este otată cu ( ) i i i vârf ale deplasării, vitezei şi acceleraţiei tereului u g0, uɺ g0, uɺɺ g0. Fiecare accelerogramă este apoi ormalizată la valoarea de vârf a acceleraţiei tereului, petru a avea aceeaşi valoare de vârf a acceleraţiei tereului (pot fi folosite şi alte criterii de ormalizare). După ce se calculează spectrele de răspus petru fiecare îregistrare seismică, petru fiecare valoare a perioadei proprii de vibraţie T vor exista valori ale deplasării D i, pseudo-vitezei V i şi pseudo-acceleraţiei spectrale A i (i= ). O astfel de iterpretare a datelor petru =0 accelerograme este prezetată î Figura 4.. Aaliza statistică oferă valoarea medie şi media plus o abatere stadard petru fiecare valoare a perioadei T. Spectrul obţiut di valorile medii ale ordoatelor spectrale este mult mai eted decât spectrele idividuale. Aceeaşi cocluzie este valabilă şi î 57 g

62 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] cazul spectrului mediu plus o abatere stadard. Î coseciţă, idealizarea acestor spectre pri liii drepte este mult mai uşoară decât cea a uui sigur spectru. Figura 4.0. Spectre de răspus ormalizate ale pseudo-acceleraţiei petru eveimete seismice (8 mai 940, 9 februarie 956 şi 8 aprilie 968) îregistrate î acelaşi amplasamet (El Cetro); ξ=2%, Chopra, 200. Există proceduri pri care se pot determia valorile perioadelor caracteristice T a, T b, T e şi T f, precum şi a factorilor de amplificare diamică petru pseudo-acceleraţie α = Auɺɺ 0, pseudo-viteză α = V uɺ 0 şi deplasare α D = Dug0. Petru setul de accelerograme îregistrate î Califoria pe amplasamete cu tere rigid, Newmark şi Hall au propus următoarele valori costate ale perioadelor caracteristice: T a =/33 sec, T b =/8 sec, T e =0 sec, şi T f =33 sec. Perioadele T c şi T d se pot determia di itersecţia dreptelor de deplasare, pseudo-viteză şi pseudo-acceleraţie costată. Valorile factorilor de amplificare diamică petru spectrul mediu al aceluiaşi set de îregistrări au fost: α A = 2.2, α V =.65, α D =.39 (vezi Tabelul 4.). Tabelul 4.. Factori de amplificare diamică petru spectre elastice de proiectare (Chopra, 200, pe baza Newmark şi Hall, 982). amortizarea, valori medii valori medii plus o abatere stadard ξ (%) α A α V α D α A α V α D A g V g 58

63 4. Răspusul seismic al sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Figura 4.. Media şi media plus o abatere stadard a spectrelor de răspus, cu distribuţiile probabilistice petru V la valori ale T =0.25,.0, 4 sec.; ξ=5% (Chopra, 200, pe baza Newmark şi Hall, 982). Procedura de costruire a uui spectru de proiectare tripartit este exemplificată î Figura 4.2 şi costă di următoarele etape: se reprezită grafic cele trei liii puctate corespuzătoare valorilor de vârf ale acceleraţiei tereului uɺɺ g0, vitezei tereului uɺ g0 şi deplasării tereului u g0. se obţi valorile factorilor de amplificare diamică α A, α V, α D di Tabelul 4. petru amortizarea dată ξ se multiplică acceleraţia de vârf a tereului uɺɺ g0 cu factorul de amplificare α A petru a obţie liia b-c reprezetâd domeiul de pseudo-acceleraţie spectrală costată se multiplică viteza de vârf a tereului uɺ g0 cu factorul de amplificare α V petru a obţie liia c-d reprezetâd domeiul de pseudo-viteză spectrală costată se multiplică deplasarea de vârf a tereului u g0 cu factorul de amplificare α D petru a obţie liia d-e reprezetâd domeiul de deplasare spectrală costată se trasează liiile A =ɺɺ u g 0 petru perioade mai mici de T a şi D = u g 0 petru perioade mai mari de T f se completează graficul cu liiile de traziţie a-b şi e-f 59

64 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura 4.2. Costruirea spectrului elastic de proiectare (Chopra, 200) Răspusul ielastic al sistemelor SGLD Itroducere Coform ormelor modere de proiectare seismică a costrucţiilor, majoritatea structurilor sut proiectate petru forţe seismice iferioare celor care ar asigura u răspus elastic î timpul uui cutremur major. Această abordare are la bază două raţiui: structurile proiectate să răspudă î domeiul elastic sub efectul acţiuii seismice de proiectare sut î geeral eecoomice î trecut, structurile proiectate petru forţe mai mici decât cele care ar fi asigurat u răspus elastic, au supraveţuit uor cutremure majore f S f S f S a b c d f S a u f S b um u c d Figura 4.3. Relaţie tipică forţă-deplasare a uei structuri şi comportarea acesteia la diverse valori ale deplasării laterale. Astfel, majoritatea structurilor vor suferi deformaţii ielastice sub acţiuea uui cutremur major. De aceea, este importată îţelegerea comportării seismice a sistemelor ielastice. Î geeral, o structură va avea o comportare liiar-elastică la deplasări mici (Figura 4.3-a). Odată cu creşterea deplasărilor, structura va itra î curgere (Figura 4.3-b), iar relaţia forţă-deplasare va devia de la comportarea liiar-elastică, suferid o degradare progresivă a rigidităţii. Această comportare cotiuă pâă la atigerea forţei maxime capabile a sistemului (Figura 4.3-c), după care forţa îcepe să scadă odată cu creşterea ulterioară a deplasărilor. Atuci câd forţa îregistrează o reducere importată faţă de forţa maximă (Figura 4.3-d), se poate cosidera că structura şi-a epuizat capacitatea de deformare î domeiul ielastic, ajugâd la cedare. Deplasarea corespuzătoare cedării structurii se umeşte deplasarea maximă u m. 60

65 4. Răspusul seismic al sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Î Figura 4.4a este reprezetată cu liie pliă o relaţie forţă-deplasare tipică a uei structuri. Petru a simplifica relaţia forţă-deplasare reală, se adoptă adeseori o idealizare elasto-plastică a acesteia, reprezetată cu liie îtreruptă î Figura 4.4a. U sistem elasto-plastic are o comportare liiar-elastică cu rigiditatea k pâă la atigerea forţei de curgere f y la deplasarea de curgere u y, după care structura se deformează la o forţă costată f y (rigiditatea egală cu zero). Există mai multe metode de obţiere a curbei idealizate porid de la cea reală. Ua ditre aceste modalităţi se bazează pe egalarea ariilor sub curba reală şi cea idealizată. U sistem elasto-plastic acţioat de o mişcare seismică va avea o comportare ciclică, reprezetată schematic î Figura 4.4b. Petru a îţelege răspusul seismic al uui sistem SGLD elasto-plastic, este utilă comparaţia acestuia cu răspusul uui sistem corespuzător elastic. Acest sistem are aceeaşi rigiditate iiţială cu cea a sistemului elasto-plastic, precum şi aceeaşi amortizare şi masă (vezi Figura 4.5). Î coseciţă, cele două sisteme vor avea aceeaşi perioadă proprie de vibraţie (doar petru deformaţii mici, perioada proprie de vibraţie a sistemului ielastic efiid defiită după curgere). f S f y k real idealizat uy (a) um u Figura 4.4. Relaţia forţă-deplasare petru u sistem ielastic: comportarea reală şi idealizarea acesteia (a); relaţia forţă-deplasare ciclică petru u sistem elasto-plastic (b), Chopra, 200. (b) Figura 4.5. U sistem elasto-plastic şi sistemul elastic corespuzător (Chopra, 200). Petru a caracterizarea răspusul ielastic pot fi itroduse două oţiui oi: factorul de reducere al forţei de curgere R y, şi factorul de ductilitate µ: R f u 0 0 y = = (4.2) fy uy u u m µ = (4.3) y 6

66 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] ude f 0 şi u 0 sut valorile de vârf ale forţei şi deplasării sistemului elastic corespuzător. Mărimea f 0 poate fi iterpretată ca fiid valoarea miimă a forţei de curgere f y ecesară petru a asigura u răspus elastic al uui sistem SGLD. O valoare suprauitară a factorului de reducere al forţei de curgere (R y > ) implică producerea uor deformaţii plastice î sistemul SGLD. Factorul de ductilitate µ este suprauitar petru sisteme care au depăşit deplasarea de curgere şi reprezită o măsură adimesioală a gradului de deformare ielastică a sistemului. Ecuaţia de mişcare petru u sistem SGLD ielastic sub efectul mişcării seismice este: Împărţid ecuaţia (4.4)cu m obţiem: S (, ) muɺɺ + cuɺ + f uuɺ = muɺɺ (4.4) ( ) 2 2 ξωu ωuyfs uu, ug g uɺɺ + ɺ + ɶ ɺ = ɺɺ (4.5) ude f ɶ ( uu, ɺ ) = f ( uu, ɺ ) f. Ecuaţia (4.5) demostrează că, petru o mişcare seismică u ( t ) S S y ɺɺ dată, răspusul seismic al uui sistem SGLD ielastic depide de pulsaţia proprie de vibraţie ω, fracţiuea di fɶ uu, ɺ. amortizarea critică ξ, deplasarea de curgere u y şi forma relaţiei forţă-deplasare ( ) Efectul comportării elasto-plastice Î Figura 4.6 sut prezetate patru sisteme SGLD cu aceeaşi perioadă proprie de vibraţie (T = 0.5 sec), amortizare (ξ = 5%), dar cu forţe de curgere diferite (R y =, 2, 4, 8), supuse accelerogramei El Cetro. Primul ditre acestea (R y =.0) reprezită u sistem liiar elastic, celelalte trei reprezetâd sisteme elastoplastice cu forţe de curgere descrescătoare (R y = 2, 4, 8). Sistemul liiar elastic oscilează faţă de poziţia iiţială de echilibru, avâd o deplasare de vârf de 2.25 ţoli. Datorită amortizării, după îcetarea mişcării seismice oscilaţiile se amortizează, deformaţia permaetă fiid u p = 0. Sistemele ielastice itră î curgere ca urmare a oscilaţiilor iduse de mişcarea seismică. Cu cât forţa de curgere este mai mică, cu atât sistemele itră î curgere mai des şi petru perioade mai lugi de timp. Datorită curgerii, sistemele ielastice sut deplasate faţă de poziţia de echilibru iiţială, sistemul oscilâd faţă de o ouă poziţie de echilibru. Datorită acestui feome, sistemele ielastice u revi la poziţia iiţială după îcetarea oscilaţiilor, ci au o deformaţie permaetă u p 0. Î geeral, această deformaţie permaetă este cu atât mai mare, cu cât forţa de curgere a sistemului este mai mică. Astfel, o structură care a suferit deformaţii plastice î urma uui cutremur de pămât ar putea avea o poziţie deviată de la verticală după îcetarea mişcării seismice. Petru acest exemplu cocret (accelerograma El Cetro şi u sistem cu T = 0.5 sec) deplasarea de vârf a sistemelor ielastice este mai mică decât deplasarea de vârf a sistemului elastic. Acest aspect u are u caracter geeral, deplasarea de vârf a sistemelor ielastice fiid afectată îtr-o mare măsură de perioada proprie de vibraţie T şi caracteristicile mişcării seismice, şi îtr-o mai mică măsură de amortizare. Factorul de ductilitate poate fi determiat folosid ecuaţia (4.3). Petru sistemul cu R y = 4, factorul de ductilitate este egal cu 3. şi reprezită ceriţa de ductilitate impusă sistemului. Petru ca u sistem ielastic să u cedeze, ceriţa de ductilitate impusă de o mişcare seismică trebuie să fie mai mică decât ductilitatea capabilă (care reprezită capacitatea uui sistem de a se deforma î domeiul ielastic fără o reducere semificativă a forţei). Această modalitate de verificare este fudametal diferită de cea folosită î cazul uui sistem elastic, î cazul căruia verificarea costă î îdepliirea codiţiei ca ceriţa de forţă impusă de mişcarea seismică să fie mai mică de forţa capabilă a sistemului. S g 62

67 4. Răspusul seismic al sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Figura 4.6. Răspusul seismic a patru sisteme SGLD cu T =0.5 sec, ξ = 5% şi R y =, 2, 4, 8 sub acţiuea îregistrării El Cetro (Chopra, 200) Relaţia ditre ductilitate µ şi factorul de reducere R y Raportul ditre deplasarea de vârf a sistemului ielastic şi cea a sistemului elastic corespuzător u m /u 0 este exemplificat î Figura 4.7 petru patru sisteme SGLD cu T = 0.5 sec, ξ=5% şi R y =, 2, 4, 8 sub acţiuea îregistrării El Cetro. Pot fi evideţiate următoarele observaţii petru diverse perioade proprii de vibraţie: Petru sisteme foarte flexibile (T >T f ) deplasarea de vârf a sistemului ielastic u m este idepedetă de R y şi este apropiată de deplasarea de vârf a sistemului elastic corespuzător u 0. Petru sisteme cu perioade proprii de vibraţie î domeiile de sesibilitate la viteză şi deplasare (T >T c ) deplasarea de vârf a sistemului ielastic u m variază fucţie de R y şi poate fi mai mică sau mai mare decât deplasarea de vârf a sistemului elastic corespuzător u 0. Petru sisteme cu perioade proprii de vibraţie î domeiul de sesibilitate la acceleraţie (T <T c ) deplasarea de vârf a sistemului ielastic u m este apreciabil mai mare decât deplasarea de vârf a sistemului elastic corespuzător u 0, raportul u m /u 0 fiid mai mare petru valori mai mici ale R y. Pe baza observaţiilor aterioare, au fost propuse diverse idealizări care să poată fi aplicate î practica curetă de proiectare. Astfel, petru sisteme SGLD ielastice avâd perioada proprie de vibraţie î domeiul sesibil la viteză şi deplasare, se poate cosidera că deplasarea de vârf a sistemului ielastic este egală cu deplasarea de vârf a sistemului elastic corespuzător (u m /u 0 = ), pricipiu cuoscut sub deumirea de "deplasări egale", vezi (Figura 4.8a). Petru acest caz se poate arăta că R y = µ. Petru sisteme cu perioada proprie de vibraţie î domeiul de sesibilitate la acceleraţie, este acceptat pricipiul "eergiilor egale", ceea ce implică egalitatea ditre aria de sub curba forţă deplasare a sistemului elastic cu aria de sub curba forţă-deplasare a sistemului ielastic (Figura 4.8b), raportul u m /u 0 rezultâd suprauitar. Î acest caz se poate arăta că R = 2µ. Petru sisteme cu perioada proprie de vibraţie foarte mică (T <T a ) deformaţiile sut foarte y mici, sistemul avâd o comportare î eseţă elastică, rezultâd R y =. Relaţia ditre factorul de reducere R y, perioada proprie de vibraţie T şi ductilitatea µ este exprimată sitetic î următoarea relaţie: 63

68 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] R T < Ta = 2µ T < T < T µ T > Tc y b c' (4.6) Figura 4.7. Raportul u m /u 0 petru patru sisteme SGLD cu T =0.5 sec, ξ = 5% şi R y =, 2, 4, 8 sub acţiuea îregistrării El Cetro (Chopra, 200). Petru determiarea factorului de reducere R y ître T a şi T b, respectiv T c' şi T c se foloseşte iterpolarea liiară. Relaţia (4.6) este reprezetată grafic î Figura 4.9 şi exprimă valoarea factorului de reducere R y care poate fi folosit la proiectarea uei structuri cu perioada proprie de vibraţie T şi care posedă o capacitate de ductilitate µ dată. Aceeaşi relaţie poate fi iterpretată şi ca ceriţa de ductilitate µ a uui sistem cu perioada proprie de vibraţie T caracterizată de u factor de reducere R y dat. f S f S f 0 f 0 f y f y uy u=um (a) u Figura 4.8. Pricipiul "deplasărilor egale" (a) şi cel al "eergiilor egale" (b) î relaţia ditre deplasarea de vârf a uui sistem ielastic şi a sistemului elastic corespuzător. uy (b) u um u 64

69 4. Răspusul seismic al sistemelor cu u sigur grad de libertate diamică Figura 4.9. Relaţia idealizată ître factorul de reducere R y şi ductilitate µ (Chopra, 200). 65

70 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică 5.. Ecuaţii de mişcare, formularea problemei, metode de rezolvare O structură poate fi idealizată ca şi u asamblu de elemete (rigle, stâlpi, pereţi, etc.) itercoectate î oduri (vezi Figura 5.a). Deplasările odurilor reprezită gradele de libertate. Î geeral, îtr-o problemă plaă u od are 3 grade de libertate: două deplasări de od şi o rotire. Îtr-o problemă spaţială, u od are î geeral 6 grade de libertate: trei deplasări de od şi trei rotiri de od. U cadru pla cu două deschideri şi două ivele are 8 grade de libertate (vezi Figura 5.a). Ţiâd cot de faptul că deformaţiile axiale ale elemetelor pot fi eglijate de cele mai multe ori petru cadre cu u umăr mic de ivele, umărul gradelor de libertate petru acest cadru poate fi redus la doar 8 (vezi Figura 5.b). Forţele diamice (momete şi forţe) sut aplicate î oduri (vezi Figura 5.2), iar mometele p 3 (t) la p 8 (t) sut egale cu zero î cele mai multe cazuri practice. Figura 5.. Grade de libertate cosiderâd iclusiv deformaţiile axiale: 8 (a), grade de libertate cu deformaţiile axiale eglijate: 8 (b), Chopra, Forţele elastice Figura 5.2. Forţe diamice p(t) aplicate î oduri. Deplasările odurilor u j sut î relaţie cu forţele odale f Sj (vezi Figura 5.3a). Petru sistemele liiare forţele odale pot fi determiate pe baza pricipiului suprapuerii efectelor şi a coeficieţilor de rigiditate. Blocâd toate gradele de libertate şi impuâd o deplasare uitară pe direcţia gradului de libertate j, î blocaje vor apărea reacţiui pe direcţia gradelor de libertate cosiderate. Coeficietul de rigiditate k ij este forţa pe direcţia gradului de libertate i datorată uei deplasări uitare de-a lugul gradului de libertate j. Spre exemplu, î Figura 5.3b sut prezetate forţele k i (i =, 2,, 8) ecesare păstrării echilibrului î cazul impuerii uei deplasări uitare u =. Cu toate că toate forţele k ij di Figura 5.3 sut reprezetate cu semele lor pozitive, uele ditre acestea vor fi egative petru a fi compatibile cu deplasările impuse. 66

71 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică Cuoscâd coeficieţii de rigiditate k ij, forţele odale f Si pe direcţia gradului de libertate i, asociate deplasării u j, j =, 2,, N se obţi folosid pricipiul suprapuerii efectelor (vezi Figura 5.3a): fsi = kiu + ki2u kijuj kinun (5.) Ecuaţiile corespuzătoare i=, 2,, N pot fi scrise î formă matriceală: sau, î formă compactă: fs k k2 kj kn u f k S2 2 k22 k2j k 2N u 2 = f k SN N kn2 knj knn u N [ f ] [ k]{ u} S (5.2) = (5.3) ude [k] este matricea de rigiditate a structurii, care este o matrice simetrică (k ij = k ji ). (a) (b) Figura 5.3. Compoeta de rigiditate petru u cadru pla (a), coeficieţii de rigiditate petru u j = (b), Chopra, Forţele de amortizare Î mod similar cu matricea de rigiditate poate fi determiată şi matricea de amortizare. Astfel, dacă se blochează toate gradele de libertate şi se impue o viteză uitară pe direcţia gradului de libertate j, vor fi geerate forţe pe direcţia gradelor de libertate cosiderate. Coeficietul de amortizare c ij este forţa pe direcţia gradului de libertate i datorată uei viteze uitare de-a lugul gradului de libertate j. Cuoscâd coeficieţii de amortizare c ij, forţele odale f Di pe direcţia gradului de libertate i, asociate vitezei uɺ, j =, 2,, N se obţi folosid pricipiul suprapuerii efectelor (vezi Figura 5.4): j fdi = ciuɺ + ci2uɺ cuɺ ij j cinuɺ N (5.4) Ecuaţiile corespuzătoare i =, 2,, N pot fi scrise î formă matriceală: sau, î formă compactă: ude [c] este matricea de amortizare a structurii. fd c c2 cj cn uɺ f c D2 2 c22 c2j c 2N u ɺ 2 = f c DN N cn2 cnj cnn uɺ N [ f ] [ c]{ u} D (5.5) = ɺ (5.6) 67

72 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Forţele de ierţie Figura 5.4. Compoeta de amortizare petru u cadru pla (Chopra, 200). Dacă se blochează toate gradele de libertate şi se impue o acceleraţie uitară pe direcţia gradului de libertate j, coform pricipiului lui D'Alambert vor fi geerate forţe de ierţie pe direcţia gradelor de libertate cosiderate. Coeficietul masei m ij este forţa pe direcţia gradului de libertate i datorată uei acceleraţii uitare de-a lugul gradului de libertate j. Spre exemplu, î Figura 5.5b sut prezetate forţele m i (i =, 2,, 8) ecesare păstrării echilibrului î cazul impuerii uei acceleraţii uitare u ɺɺ =. Cuoscâd coeficieţii maselor m ij, forţele odale f Ii pe direcţia gradului de libertate i, asociate acceleraţiei uɺɺ, j =, 2,, N sut obţiute folosid pricipiul suprapuerii efectelor (vezi Figura 5.5a): j fii = muɺɺ i + mi2uɺɺ muɺɺ ij j minuɺɺ N (5.7) Ecuaţiile corespuzătoare i =, 2,, N pot fi scrise î formă matriceală: sau, î formă compactă: fi m m2 mj mn uɺɺ f m I2 2 m22 m2j m 2N u ɺɺ 2 = f m IN N mn2 mnj mnn uɺɺ N [ f ] [ m]{ u} ude [m] este matricea masei structurii, care este o matrice simetrică (m ij = m ji ). I (5.8) = ɺɺ (5.9) (a) (b) Figura 5.5. Compoeta de masă petru u cadru pla (a), coeficieţii de masă petru u ɺɺ = (b), Chopra, 200. Masa uei structuri este distribuită î îtreaga structură (vezi Figura 5.6a). Totuşi, î cele mai multe cazuri, masa poate fi cosiderată cocetrată î odurile structurii. Procedura costă î cocetrarea masei elemetelor la fiecare capăt al acestuia pe baza pricipiilor staticii, urmată de îsumarea masei elemetelor care cocură î odurile corespuzătoare (vezi Figura 5.6b şi c). Î geeral, compoetele de rotire ale maselor au o iflueţă mioră asupra răspusului diamic al structurilor şi sut eglijate. Î cazul uui cadru 68

73 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică pla, masele obţiute î acest mod vor avea compoete pe cele două direcţii de traslaţie (x, y). Cosiderâd barele structurii ifiit rigide axial (ipoteză folosită şi la stabilirea matricei de rigiditate), masele structurii pot fi cosiderate cocetrate la ivelul plaşeelor structurii, acţioâd doar pe direcţia x (Figura 5.6d). Astfel, petru exemplu di Figura 5.5, masa asociată uei acceleraţii uitare u ɺɺ = este m = m (ude m = m a + m b + m c, vezi Figura 5.6c), iar m i = 0 petru i = 2, 3,, 8. d e m f 2 b c m b ma m b mc m (a) (b) (c) (d) Figura 5.6. Cocetrarea maselor î oduri (a - c) şi la ivelul plaşeelor (d) petru u cadru pla. Î geeral, petru mase cocetrate î oduri, matricea maselor este diagoală: m = 0petrui j şi m = m sau0 (5.0) ij jj j ude m j este masa asociată gradului de liberate j atuci câd acesta reprezită o traslaţie, şi m j = 0 petru u grad de libertate care reprezită o rotire de od. La structurile multietajate spaţiale, umărul elemetelor di matricea maselor poate fi redus cosiderâd efectul de şaibă rigidă a plaşeelor. Astfel, plaşeele care posedă o rigiditate foarte mare î plaul lor (cum ar fi plaşeele de beto armat) sut cosiderate de o rigiditate ifiită î plaul lor dar flexibile î afara plaului. Datorită mişcării de corp rigid, deplasările orizotale (după x şi y) ale odurilor de la ivelul uui plaşeu u sut idepedete, şi pot fi reduse la doar trei grade de libertate defiite î cetrul de greutate al fiecărui plaşeu: două deplasări orizotale şi o rotire faţă de axa verticală (vezi Figura 5.7a). Atuci câd plaşeul u poate fi cosiderat rigid (de exemplu î cazul plaşeelor di lem), masele trebuie atribuite fiecărui od î parte, proporţioal cu aria aferetă odului respectiv (vezi Figura 5.7b). (a) (b) Figura 5.7. Grade de libertate petru cadre spaţiale: plaşee rigide î plaul lor (a); aria aferetă petru distribuirea masei î oduri la plaşee flexibile î plaul lor (b), Chopra, Ecuaţia de mişcare: forţe diamice Răspusul diamic al uui sistem cu mai multe grade de libertate diamică (MGLD) acţioat de forţe u t uɺɺ t, j = N. Forţele u t, vitezele ɺ j ( ) şi acceleraţiile j ( ) p t pot fi cosiderate distribuite la compoeta de rigiditate ( ) diamice este alcătuit di deplasările j ( ) diamice ( ) { } amortizare { fd ( t )} şi compoeta de masă { I ( )} f t (vezi Figura 5.8): { S } f t, compoeta de 69

74 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] { fi ( t) } { fd ( t) } { fs ( t) } { p( t) } Îlocuid ecuaţiile (5.3), (5.6) şi (5.9) î ecuaţia (5.) obţiem: + + = (5.) [ m]{ u} + [ c]{ u} + [ k]{ u} = { p( t) } ɺɺ ɺ (5.2) ceea ce reprezită u sistem de N ecuaţii difereţiale, a cărui rezolvarea duce la determiarea deplasărilor p t. Ecuaţia (5.2) reprezită echivaletul MGLD al ecuaţiei (2.6) { u ( t )} geerate de acţiuea diamică { ( )} determiată petru u sistem SGLD. (a) Deplasări u j (b) Deplasări u j (c) Viteze uɺ j (d) Acceleraţii uɺɺ j Viteze uɺ j Acceleraţii uɺɺ j Figura 5.8. Sistemul MGLD complet (a), compoeta de rigiditate (b), cea de amortizare (c) şi de masă (d), Chopra, Ecuaţia de mişcare: acţiuea seismică Petru u umăr mare de structuri igiereşti toate gradele de libertate diamică sut deplasări î aceeaşi direcţie cu mişcarea seismică. Două astfel de structuri, u cadru multietajat şi u tur, sut prezetate î Figura 5.9. Deplasarea tereului este otată cu u g, deplasarea totală a masei m j cu u, iar deplasarea relativă ître această masă şi tere cu u j. Relaţia ditre aceste deplasări este dată de expresia: ( ) ( ) ( ) u t = u t + u t (5.3) t j j g Toate cele N astfel de ecuaţii formulate petru fiecare masă pot fi combiate î formă vectorială: ude {} este u vector uitate. t { u ( t) } { u ( t) } ug ( t){ } = + (5.4) Ecuaţia (5.) derivată petru cazul uor forţe diamice este valabilă î cotiuare, dar î cazul mişcării p t =, deoarece u există forţe diamice aplicate maselor structurii: tereului forţele diamice { ( )} 0 Ţiâd cot de faptul că doar deformaţiile relative { fd ( t )}, iar forţele de ierţie { I ( )} care, ţiâd cot de relaţia (5.3) devie: { fi ( t) } { fd ( t) } { fs ( t) } { 0} + + = (5.5) t u j produc forţe elastice { S ( )} t j f t şi de amortizare f t sut geerate de acceleraţia totală a maselor, ecuaţia (5.5) devie: t [ m]{ u } + [ c]{ u} + [ k]{ u} = { 0} ɺɺ ɺ (5.6) [ m]{ u} + [ c]{ u} + [ k]{ u} = [ m]{ } u ( t) ɺɺ ɺ ɺɺ (5.7) Relaţia (5.7) reprezită N ecuaţii difereţiale. Rezolvâd acest sistem de ecuaţii se pot determia deplasările relative u j (t) ale sistemului MGLD sub acţiuea acceleraţiei tereului u g (t). Matricea de rigiditate [k] se g 70

75 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică referă doar la deplasările orizotale u j şi se poate obţie pri codesare statică (Chopra, 200), petru a elimia gradele de libertate corespuzătoare deplasărilor verticale şi rotirilor de oduri. Di această cauză, matricea [k] este cuoscută sub deumirea de matrice de rigiditate laterală. Cu toate acestea, î aaliza statică a structurii se va folosi matricea de rigiditate completă a structurii. Comparaţia ecuaţiilor (5.2) şi (5.7) idică faptul că ecuaţia de mişcare a uui sistem MGLD supus uei uɺɺ t ) este echivaletă ecuaţiei de mişcare a sistemului MGLD mişcări seismice (acceleraţia tereului g ( ) acţioat de forţe diamice egale cu mu ( t) ɺɺ aplicate maselor (vezi Figura 5.0). Astfel, mişcarea tereului j g poate fi îlocuită cu forţe seismice efective: { peff ( t) } [ m]{ } ug ( t) = ɺɺ (5.8) Ecuaţia de mişcare (5.7) este valabilă umai petru cazul î care toate gradele de libertate diamică ale structurii sut deplasări orizotale î aceeaşi direcţie cu mişcarea seismică. Valabilitatea acestei ecuaţii mai este limitată şi de ipoteza că toate reazemele structurii se deplasează î fază, adică u există deplasări relative ître reazemele structurii. Această ultimă ipoteză este rezoabilă petru majoritatea structurilor igiereşti. Mişcarea difereţiată a reazemelor structurii poate fi ecesară petru structurile cu deschideri foarte mari. Figura 5.9. Schematizarea a două sisteme MGLD: u cadru multietajat (a) şi u tur (b), Chopra, 200. Figura 5.0. Forţe seismice efective (Chopra, 200). 7

76 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Vibraţii libere ale sistemelor MGLD Moduri proprii de vibraţie ale sistemelor MGLD eamortizate Î cazul vibraţiilor libere eamortizate ecuaţia de mişcare (5.2) petru sisteme MGLD devie: [ m]{ u} + [ k]{ u} = { 0} ɺɺ (5.9) Ecuaţia (5.9) reprezită u sistem de N ecuaţii difereţiale omogee, ude N este umărul de GLD. Cuoscâd codiţiile iiţiale: { u} = { u ( 0) } { u} = { u( 0) } la timpul t = 0 se poate determia soluţia {u(t)} a ecuaţiei (5.9). ɺ ɺ (5.20) Figura 5. prezită grafic vibraţiile libere eamortizate ale uui cadru cu două ivele. Vibraţiile sut iiţiate de deplasările iiţiale reprezetate pri curba a di Figura 5.b, viteza iiţială fiid zero. Răspusul î timp al deplasărilor u j celor două mase este reprezetat î Figura 5.d, iar deformata structurii la timpul a, b şi c î Figura 5.b. Cu toate că răspusul î timp al celor două mase reprezită o mişcare periodică, spre deosebire de oscilaţiile libere eamortizate ale sistemelor SGLD, răspusul î timp al deplasării celor două mase ale sistemului MGLD u este o mişcare armoică. Î plus, deformata structurii (raportul u /u 2 ) variază î timp, aspect care este evidet di observaţia deformatei structurii la timpul a, b şi c. Figura 5.. Vibraţii libere ale uui sistem eamortizat cu două GLD (a); deformata structurii la timpul a, b şi c (b); coordoatele modale q (t) (c); răspusul î timp al deplasării (d), Chopra, 200. Cu toate acestea, pot fi găsite aumite forme ale deformatei iiţiale petru care structura va efectua oscilaţii armoice, iar forma deformată a structurii (raportul u /u 2 ) va rămâe emodificată. După cum se poate observa di Figura 5.2 şi Figura 5.3, petru sistemul cu două grade de libertate există două astfel de distribuţii ale deplasărilor iiţiale. Ambele deplasări atig valoarea maximă la acelaşi timp şi trec pri poziţia de echilibru î acelaşi timp. Fiecare ditre cele două forme deformate poartă umele de moduri proprii de vibraţie ale uui sistem MGLD şi se otează pri {φ }. Se poate observa că deplasările celor două mase sut î acelaşi ses î primul mod propriu de vibraţie (sau modul fudametal de vibraţie - Figura 5.2), dar au sesuri opuse î ce de-al doilea mod propriu de vibraţie (Figura 5.3). Puctul de iflexiue se umeşte od, iar umărul de oduri creşte odată cu creşterea umărului modului propriu de vibraţie. 72

77 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică Figura 5.2. Vibraţii libere ale uui sistem eamortizat cu două GLD î modul fudametal (a); deformata structurii la timpul a, b, c, d şi e (b); coordoata modală q (t) (c); răspusul î timp al deplasării (d), Chopra, 200. Figura 5.3. Vibraţii libere ale uui sistem eamortizat cu două GLD î modul doi (a); deformata structurii la timpul a, b, c, d şi e (b); coordoata modală q 2 (t) (c); răspusul î timp al deplasării (d), Chopra, 200. Perioada proprie de vibraţie T a uui sistem MGLD reprezită timpul ecesar efectuării uei oscilaţii complete î uul di modurile proprii de vibraţie. Fiecărei perioade proprii T de vibraţie îi vor corespude o pulsaţie proprie de vibraţii ω şi o frecveţă proprie de vibraţie f, vezi relaţiile (2.20) şi (2.2). Fiecărei perioade proprii de vibraţie T îi corespude u mod propriu de vibraţie φ { φ φ } 73 T 2 =, =, 2. Modul propriu de vibraţie căruia îi corespude perioada mai mare, respectiv pulsaţia mai mică are idicele şi se umeşte modul fudametal de vibraţie. Reprezetarea grafică a deplasărilor îregistrate de u sistem MGLD care efectuează işte oscilaţii libere eamortizate î modul propriu de vibraţie (vezi Figura 5.2 şi Figura 5.3) poate fi exprimată matematic pri:

78 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] { u ( t) } q ( t){ φ} = (5.2) Deformata {φ} u variază î timp, iar variaţia î timp a deplasărilor este dată de o fucţie armoică: ( ) cosω si q t = A t + B ωt (5.22) ude A şi B sut costate de itegrare care pot fi determiate cuoscâd codiţiile iiţiale. Combiâd ecuaţiile (5.2) şi (5.22) obţiem: { u ( t )} { φ} ( A cosω t B siω t ) = + (5.23) ude ω şi {φ} sut ecuoscute. Îlocuid relaţia (5.23) î ecuaţia de mişcare (5.9) obţiem: [ m ]{ } [ k ]{ } q ( t ) { 0} 2 ω φ + φ = Această ecuaţie are două soluţii. Prima soluţie corespude q (t) = 0 ceea ce implică { u ( t )} = { 0} sistemul u oscilează (soluţia baală). Cea de-a două soluţie se obţie petru: sau 2 [ k]{ φ} ω [ m]{ φ} (5.24), adică = (5.25) ([ k] ω 2 [ m] ){ φ} { 0} = (5.26) care se umeşte problemă de valori proprii şi coduce la determiarea scalarilor ω şi a vectorilor {φ}. Ecuaţia (5.26) are soluţii eule petru: ([ k] ω 2 [ m] ) det = 0 (5.27) Pri dezvoltarea determiatului se obţie u poliom de ordiul N fucţie de ω 2 cuoscut sub umele de ecuaţie caracteristică. Această ecuaţie are N rădăcii reale şi pozitive ale ω 2, care se umesc valori proprii. Odată cuoscute valorile proprii ω 2, se pot determia cei N vectori proprii corespuzători {φ}, cuoscuţi sub deumirea de moduri proprii. Rezolvâd problema de valori proprii u se obţi amplitudiile absolute ale vectorilor {φ}, ci doar valori relative ale celor N deplasări φ j (j = N), adică doar forma deformatei modale. Cele N valori proprii şi cele N moduri proprii pot fi reprezetate compact î formă vectorială. Astfel, modul propriu {φ} corespuzător pulsaţiei ω are elemetele φ j (j = N), ude j reprezită gradele de libertate. Cele N moduri proprii pot fi reprezetate matriceal sub forma: N Φ = { } = [ ] { φ} { φ} φ φ N φ φ NN (5.28) Matricea [Φ] se umeşte matricea modală a problemei de valori proprii. Cele N valori proprii ω 2 pot fi asamblate îtr-o matrice diagoală [Ω 2 ], care se umeşte matricea spectrală a problemei de valori proprii: 2 ω 2 Ω = (5.29) 2 ω N Folosid otaţiile (5.28) şi (5.29), ecuaţia (5.25) se poate scrie î formă compactă sub forma: Ortogoalitatea modurilor proprii [ ][ ] [ ][ ] 2 k Φ = m Φ Ω (5.30) Modul propriu satisface ecuaţia (5.25). Îmulţid această relaţie la stâga cu { φ } T (petru r ) obţiem: r 74

79 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică T 2 T { φ} [ k]{ φ} ω { φ} [ m]{ φ} = (5.3) r r Similar, modul propriu r satisface ecuaţia (5.25). Îmulţid relaţia corespuzătoare modului r la stâga cu { φ } T obţiem: T 2 T { φ} [ k]{ φ} ω { φ} [ m]{ φ} = (5.32) r r r Traspusa uei matrice simetrice este egală cu ea îsăşi, iar traspusa produsului a două matrice este egală cu produsul î ordie iversă a matricelor traspuse. Aplicâd această proprietate matricelor simetrice de masă şi rigiditate, şi calculâd traspusa relaţiei (5.3) obţiem: T 2 T { φ} [ k]{ φ} ω { φ} [ m]{ φ} = (5.33) r r Făcâd difereţa ditre ecuaţiile (5.33) şi (5.32), obţiem: 2 2 T ( ω ω ){ φ} [ m]{ φ} = 0 (5.34) r r Astfel, petru ω 2 ω r 2, care petru sisteme cu pulsaţii pozitive implică ω ω r coduce la expresia: Îlocuid ecuaţia (5.35) î relaţia (5.32) rezultă: T { } [ m]{ } 0 φ φ = ω ω r (5.35) T { } [ k]{ } 0 r φ φ = ω ω r (5.36) Relaţiile (5.35) şi (5.36) demostrează proprietatea de ortogoalitate a modurilor proprii de vibraţie. Ortogoalitatea modurilor proprii de vibraţie implică faptul că următoarele matrice sut diagoale: ude elemetele diagoale sut: r [ ] [ ] T T K [ k][ ] [ M ] [ ] [ m][ ] Φ Φ Φ Φ (5.37) T T { φ} [ ]{ φ} { φ} [ ]{ φ} K = k M = m (5.38) Deoarece matricele [m] şi [k] sut pozitive, elemetele de pe diagoalele matricelor [M] şi [K] sut de asemeea pozitive. Elemetele celor două matrice se raportează pri: K = ω M (5.39) 2 Această relaţie poate fi demostrată îlocuid expresia (5.25) î defiiţia (5.38)a Normalizarea modurilor Rezolvarea problemei de valori proprii (5.25) duce la determiarea vectorilor proprii, rezultatul reprezetâd îsă doar valorile relative ale elemetelor acestor vectori. Orice alt vector proporţioal cu {φ} va satisface ecuaţia (5.25). Petru a stadardiza modurile proprii de vibraţie, acestea se ormalizează. Ueori ormalizarea poate costa î egalarea valorii maxime a uui mod propriu cu uitatea. Alteori poate fi avatajoasă egalarea valorii corespuzătoare uui aume GLD (de exemplu deplasarea laterală la ultimul ivel al uei structuri multietajate) cu uitatea. Î aplicaţiile teoretice şi aplicaţiile î programe de calcul este uzuală ormalizarea modurilor proprii astfel ca M să aibă valori uitare: T T { φ} [ ]{ φ} [ ] [ ][ ] [ ] M = m = Φ m Φ = I (5.40) ude [I] este matricea uitate. Ecuaţia (5.40) idică faptul că modurile proprii obţiute î acest mod sut u doar ortogoale, ci şi ormalizate faţă de matricea [m]. Astfel de moduri proprii se umesc ortoormale. Î acest caz relaţiile (5.38)a şi (5.37)a devi: T T { } [ ]{ } [ ] [ ] [ ][ ] K = φ k φ = ω M K k = ω = Φ Φ = Ω (5.4) 75

80 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Dezvoltarea modală a deplasărilor Orice set de N vectori idepedeţi poate fi folosit petru reprezetarea uui alt vector de ordiul N. Modurile proprii pot fi folosite pe postul uor astfel de vectori idepedeţi. Dezvoltarea modală a uui vector arbitrar {u} este de forma: N r r (5.42) r= { u} = { φ} q = [ Φ]{ q} T q q q2 q ude q r sut valori scalare deumite coordoate modale, iar { } { } =. Atuci câd se cuosc modurile proprii {φ} r, petru u vector {u} dat, se pot determia coordoatele modale q r multiplicâd T ambele părţi ale ecuaţiei (5.42) cu { } [ ] φ : m T T { φ} [ m]{ u} { φ} [ ]{ φ} N = m q (5.43) r r= Ca urmare a proprietăţii de ortogoalitate (5.35), toţi termeii sumei sut egali cu zero, cu excepţia celor corespuzători r =. Astfel: Ambele produse fiid valori scalare, se poate scrie: Soluţia ecuaţiei de mişcare q T T { φ} [ ]{ } { φ} [ ]{ φ} r m u = m q (5.44) T { φ} [ m]{ u} T { φ} [ m]{ φ} T { φ} [ m]{ u} = = (5.45) M Răspusul diamic al uui sistem eamortizat care efectuează oscilaţii libere se obţie rezolvâd ecuaţia de mişcare (5.9) cuoscâd codiţiile iiţiale (5.20). S-a arătat că rezolvarea ecuaţiei de mişcare a codus la problema de valori proprii (5.25). Presupuâd această problemă rezolvată şi cuoscâd pulsaţiile şi vectorii proprii, soluţia geerală a ecuaţiei de mişcare (5.9) se poate determia pri suprapuerea răspusului idividual î fiecare mod propriu dat de ecuaţia (5.23): N (5.46) = { u( t) } = { φ} ( Acos ωt + Bsi ωt) ude A şi B sut 2N costate de itegrare. Petru determiarea acestora este evoie de expresia vectorului vitezelor: Petru t = 0 ecuaţiile (5.46) şi (5.47) devi: N { u( t) } = { φ} ω ( Asi ωt + Bcosωt ) ɺ (5.47) = N N u 0 φ A u 0 φ ωb { ( )} = { } { ( )} = { } = = Cuoscâd deplasările şi vitezele iiţiale { u ( 0) } şi { ( 0) } ɺ (5.48) uɺ, fiecare di ecuaţiile (5.48) reprezită u sistem de N ecuaţii algebrice liiare cu ecuoscutele A, respectiv B. Îsă rezolvarea simultaă a acestor ecuaţii u 0 uɺ 0. este ecesară, deoarece acestea pot fi iterpretate ca şi o dezvoltare modală a vectorilor { u ( )} şi { ( )} Folosid ecuaţia (5.42), se poate scrie: N { u( 0) } = { φ} q ( 0) { u( 0) } = { φ} q ( 0) = = ude, aalogic relaţiei (5.45), coordoatele modale q ( 0) şi ( 0) N ɺ ɺ (5.49) qɺ sut date de: 76

81 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică q ( ) T { φ} [ m] { u ( )} T { φ} [ m] { uɺ ( )} = qɺ ( 0) = (5.50) M M Ecuaţiile (5.48) şi (5.49) sut echivalete, ceea ce implică A = q ( 0) şi ( 0) expresii î relaţia (5.46) obţiem: sau, alterativ: ude { ( )} { } ( ) ( 0) N qɺ u t = φ q 0 cosωt + siω t = ω N { u ( t) } { φ} q ( t) = B =ɺ q ω. Îlocuid aceste (5.5) = (5.52) ( 0) q q ( t) = q ( 0) cosωt + ɺ siωt (5.53) ω reprezită variaţia î timp a coordoatelor modale, care sut similare expresiei oscilaţiilor libere eamortizate ale uui sistem SGLD. Ecuaţia (5.5) reprezită soluţia ecuaţiei de mişcare î cazul oscilaţiilor libere eamortizate ale uui sistem MGLD. Aceasta costă di vectorul deplasărilor {u} care variază î timp 0 uɺ 0. Dacă se cuosc pulsaţiile proprii ω şi şi se datorează deplasărilor iiţiale u ( ) şi vitezelor iiţiale ( ) vectorii proprii {φ}, partea dreaptă a relaţiei (5.5) este cuoscută, cu expresiile q ( 0) şi ( 0) (5.50). qɺ date de 77

82 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Vibraţii libere amortizate ale sistemelor MGLD Î cazul vibraţiilor libere amortizate ecuaţia de mişcare (5.2) petru sisteme MGLD devie: Cuoscâd codiţiile iiţiale: [ m]{ u} + [ c]{ u} + [ k]{ u} = { 0} ɺɺ ɺ (5.54) { u} = { u ( 0) } { u} = { u( 0) } la timpul t = 0 se poate determia soluţia ecuaţiei (5.54) u(t). ɺ ɺ (5.55) Folosid ecuaţia (5.42) petru a dezvolta deplasările {u} pri modurile proprii ale sistemului eamortizat şi îlocuid expresia acestor deplasări î ecuaţia (5.54) obţiem: Îmulţid la stâga cu [Φ] T obţiem: [ m][ Φ ]{ q} + [ c][ Φ ]{ q} + [ k][ Φ ]{ q} = { 0} ɺɺ ɺ (5.56) [ M ]{ q} + [ C]{ q} + [ K ]{ q} = { 0} ɺɺ ɺ (5.57) ude matricele [M] şi [K] sut defiite de relaţiile (5.37), iar matricea [C] este defiită î mod similar: T [ C] [ ] [ c][ ] = Φ Φ (5.58) Î geeral, matricea [C] poate fi sau poate să u fie o matrice diagoală. Î primul caz modurile proprii ale sistemului amortizat sut idetice cu modurile proprii ale sistemului eamortizat, iar ecuaţia de mişcare poate fi rezolvată folosid metode clasice de aaliză modală. De aceea, aceste sisteme sut deumite cu amortizare clasică. Majoritatea structurilor igiereşti pot fi îcadrate î această categorie. Astfel, î cele ce urmează vor fi tratate doar sisteme MGLD cu amortizare clasică. Î Figura 5.4 este prezetat u sistem cu două grade de libertate diamică care efectuează oscilaţii libere amortizate geerate de deplasările iiţiale {u(0)} proporţioale cu primul mod propriu al sistemului eamortizat corespuzător. Î Figura 5.5 sut prezetate rezultate similare petru acelaşi sistem, oscilaţiile fiid geerate de impuerea uor deplasări iiţiale {u(0)} proporţioale cu cel de-al doilea mod propriu al sistemului eamortizat corespuzător. Rezultatele permit următoarele observaţii: deformata u se modifică î timpul vibraţiilor libere amortizate, la fel ca şi î cazul vibraţiilor libere eamortizate (vezi Figura 5.2 şi Figura 5.3). Astfel, modurile proprii {φ} ale sistemului amortizat sut moduri proprii de vibraţie şi petru sistemul amortizat deplasările celor două mase sut similare cu cele ale sistemului eamortizat, dar amplitudiea oscilaţiilor scade cu fiecare ciclu di cauza amortizării răspusul fiecărei mase este o mişcare armoică simplă, similară cu cea a uui sistem SGLD amortizat. Petru fiecare mod propriu de vibraţie, ecuaţia de mişcare î coordoate modale este: ude scalarii M şi K sut defiiţi de (5.38), iar Împărţid ecuaţia (5.59) la M obţiem: ude s-a otat: M qɺɺ + C qɺ + K q = 0 (5.59) C T { φ} [ c]{ φ} = (5.60) qɺɺ ɺ (5.6) 2 + 2ξωq + ωq = 0 C ξ = 2M ω (5.62) Ecuaţia (5.6) are aceeaşi formă ca şi ecuaţia de mişcare (2.26) a uui sistem SGLD amortizat, a cărei soluţie este dată de expresia (2.29). Adaptâd acest rezultat, soluţia ecuaţiei (5.6) este dată de: 78

83 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică q(0) (0) t q q() t e ξ ω ɺ + ξ ω = q(0)cosωdt + siωdt ωd ude pulsaţia amortizată a modului propriu este: (5.63) ω = ω ξ (5.64) 2 D Răspusul î deplasare al sistemului se obţie îlocuid expresia (5.63) î relaţia (5.52): N ξ (0) (0) ωt qɺ + ξωq u t = φ e q(0) cosωdt siω + Dt = ωd { ( )} { } (5.65) Figura 5.4. Vibraţii libere amortizate ale uui sistem cu două GLD î primul mod propriu de vibraţie (modul fudametal) (a); deformata structurii la timpul a, b, c, d şi e (b); coordoata modală q (t) (c); răspusul î timp al deplasării (d), Chopra, 200. Figura 5.5. Vibraţii libere amortizate ale uui sistem cu două GLD î modul doi de vibraţie (a); deformata structurii la timpul a, b, c, d şi e (b); coordoata modală q 2 (t) (c); răspusul î timp al deplasării (d), Chopra, 200. Această expresie reprezită soluţia ecuaţiei de mişcare petru u sistem MGLD amortizat. Petru a rezolva ecuaţia de mişcare a uui sistem MGLD amortizat sut ecesare cuoaşterea pulsaţiilor ω şi a modurilor 79

84 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] proprii {φ} ale sistemului eamortizat, precum şi a fracţiuilor di amortizarea critică ξ, iar expresiile 0 qɺ 0 fiid date de (5.50). q ( ) şi ( ) Amortizarea afectează pulsaţiile şi perioadele proprii de vibraţie a uui sistem MGLD coform ecuaţiei (5.64), similar uui sistem SGLD. De aceea, efectul amortizării asupra valorii pulsaţiilor şi perioadelor proprii uui sistem MGLD este eglijabil petru fracţiui ale amortizării critice ξ < 20% Răspusul diamic al sistemelor MGLD Aaliza modală Ecuaţia de mişcare a uui sistem MGLD amortizat acţioat de forţe diamice este: [ m]{ u} + [ c]{ u} + [ k]{ u} = { p( t) } ɺɺ ɺ (5.66) După cum s-a meţioat î secţiuea 5.2.4, vectorul { u } al deplasărilor uui sistem MGLD poate fi dezvoltat pri cotribuţiile modurilor proprii de vibraţie: Îlocuid ecuaţia (5.67) î (5.66) obţiem: N r r (5.67) r= { u} = { φ} q = [ Φ]{ q} N N N [ m]{ φ} qr ( t) + [ c]{ φ} qr ( t) + [ k]{ φ} qr ( t) = { p( t) } ɺɺ ɺ (5.68) r r r r= r= r= Îmulţid fiecare terme al ecuaţiei (5.68) la stâga cu { φ } T N N N, obţiem: T T T T { φ} [ m]{ φ} qr ( t) + { } [ ]{ } r ( ) { } [ ]{ } r ( ) { } { ( ) r φ c φ q t + φ k φ q t φ p t r = r } ɺɺ ɺ (5.69) r= r= r= Folosid proprietatea de ortogoalitate a modurilor proprii de vibraţie (vezi secţiuea 5.2.2), î cazul amortizării clasice (matricea de amortizare [c] simetrică), această ecuaţie se reduce la: ( ) + ( ) + ( ) = ( ) M qɺɺ t Cqɺ t K q t P t (5.70) ude M, C şi K sut date de relaţiile (5.38) şi (5.60). Ecuaţia (5.70) este valabilă petru fiecare mod propriu =, 2,, N, iar setul de N ecuaţii poate fi scrisă î formă matriceală: Împărţid ecuaţia (5.70) la M obţiem: [ M ][ q] + [ C][ q] + [ K ][ q] = { P( t) } ɺɺ ɺ (5.7) ( ) 2 P t qɺɺ + 2ξωqɺ + ωq = (5.72) M ude ξ este fracţiuea di amortizarea critică î modul propriu, iar ω este pulsaţia proprie de vibraţie î modul. Î ecuaţiile (5.70) şi (5.72) mărimile M, C, K şi P (t) depid doar de modul propriu. Astfel, rezolvarea sistemului de N ecuaţii difereţiale eomogee (5.66) a fost redusă la rezolvarea a N ecuaţii difereţiale eomogee (5.72) idepedete. Î plus, folosid ecuaţia (5.72), u este ecesară estimarea directă a matricei de amortizare [c] şi ici a elemetelor matricei de amortizare modală [C]. Î schimb, amortizarea se specifică direct pri fracţiuea de amortizare critică ξ petru fiecare mod propriu de vibraţie. Ecuaţia de mişcare (5.72) are aceeaşi formă ca şi ecuaţia de mişcare a uui sistem SGLD, astfel îcât pot fi folosite oricare ditre metodele de rezolvare amitite î secţiuea 2.3 (rezolvarea directă a ecuaţiei difereţiale, itegrala Duhamel, metode umerice). Soluţia ecuaţiei de mişcare î modul este coordoata modală q (t). După cum se poate observa di ecuaţia (5.67), cotribuţia modului propriu la deplasările totale {u(t)} este: 80

85 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică { u ( t) } { φ} q ( t) = (5.73) După ce au fost determiate coordoatele modale q (t) petru toate modurile proprii de vibraţie, deplasările totale se pot determia îsumâd cotribuţiile idividuale. Astfel, vectorul deplasărilor totale este dat de relaţia: { u( t) } = { u ( t) } = { φ} q ( t) N N (5.74) = = Această metodă de aaliză este cuoscută sub deumirea de aaliză modală şi este valabilă umai petru sisteme liiar elastice şi amortizare clasică. Eforturile itere r(t) î elemetele structurii la mometul t pot fi determiate folosid deplasările {u(t)} pri două metode. Î prima ditre acestea se determiă cotribuţiile r (t) di modul propriu de vibraţie, folosid deplasările impuse {u(t)}, după care eforturile totale se obţi pri îsumarea cotribuţiilor tuturor modurilor proprii: N ( ) r ( t) r t = (5.75) = Î cea de-a doua metodă se determiă forţele statice echivalete di modul propriu de vibraţie : f t = k u t. Îlocuid î această expresie ecuaţia (5.73) şi folosid expresia (5.25) obţiem: { ( )} [ ]{ ( )} { f ( t 2 )} ω [ m ]{ φ} q ( t ) = (5.76) Aaliza statică a structurii sub efectul acestor forţe permite calculul cotribuţiilor r (t) di modul propriu de vibraţie. Eforturile totale r(t) se determiă folosid ecuaţia (5.75). Î cocluzie, aaliza modală a uui sistem MGLD acţioat de forţele diamice {p(t)} poate fi efectuată î următoarea ordie:. Se defiesc proprietăţile structurale - matricele masei [m] şi ale rigidităţii [k] - fracţiuea di amortizarea critică ξ 2. Se determiă pulsaţiile proprii de vibraţie ω şi modurile proprii de vibraţie {φ} 3. Se calculează răspusul î fiecare mod propriu urmărid secveţa: - se formulează ecuaţia de mişcare (5.72) - se calculează deplasările {u(t)} folosid ecuaţia (5.73) - se calculează eforturile r (t) di modul propriu de vibraţie ale eforturilor, folosid ua ditre metodele descrise mai sus 4. Se combiă răspusurile modale petru a obţie răspusul total. Deplasările totale se obţi di ecuaţia (5.74), iar eforturile toatele di ecuaţia (5.75) Î geeral, doar primele câteva moduri proprii de vibraţie cotribuie semificativ la răspusul total al structurii. De aceea, paşii de la puctul (3) se efectuează î mod curet doar petru primele câteva moduri proprii de vibraţie Aaliza răspusului seismic î timp folosid aaliza modală Ecuaţia de mişcare a uui sistem MGLD amortizat acţioat de mişcarea seismică este dată de: ude [ m]{ u} + [ c]{ u} + [ k]{ u} = p ( t) { eff } ɺɺ ɺ (5.77) { peff ( t) } [ m]{ } ug ( t) = ɺɺ (5.78) Ţiâd cot de faptul că răspusul uui sistem MGLD supus mişcării seismice la baza structurii este idetic cu răspusul diamic al aceluiaşi sistem MGLD acţioat de forţele efective date de ecuaţia (5.78), metoda de aaliză modală descrisă î secţiuea 5.3. petru forţe diamice este aplicabilă şi î cazul acţiuii seismice. 8

86 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] U exemplu de sistem MGLD este prezetat î Figura 5.6. Gradele de libertate diamică sut deplasările laterale relative u j, j =, 2,, N, ude N reprezită umărul de ivele, respectiv umărul gradelor de libertate. Matricea maselor [m] este o matrice diagoală cu elemetele m jj = m j. Distribuţia î spaţiu a forţelor efective {p eff (t)} este dată de expresia {s} = [m]{}, care este idepedetă de timp. Vectorul {s} poate fi dezvoltat folosid următoarea expresie: N N { s} = [ m]{ } = { s} = Γr [ m]{ φ} r (5.79) r r= r= Figura 5.6. Gradele de libertate diamică ale uui cadru multietajat: deplasările laterale (Chopra, 200). Îmulţid ambele părţi ale ecuaţiei (5.79) cu { φ } T şi folosid proprietatea de ortogoalitate a modurilor proprii de vibraţie, obţiem: de ude: T T { φ} [ m]{ } { φ} [ m]{ φ} = Γ (5.80) T T mjφj { φ} [ m]{ } { φ} [ m]{ } j= Γ = = = T N { φ} [ m]{ φ} M m φ N j= 2 j j (5.8) Astfel, se pot scrie următoarele expresii: L Γ = = = = = N N T T 2 L { φ} [ m]{ } mjφj M { φ} [ m]{ φ} m jφj M j= j= (5.82) ude φ j reprezită deplasarea modală pe direcţia gradului de libertate j (deplasarea laterală la ivelul j) î modul propriu de vibraţie. Pe baza relaţiei (5.79), cotribuţia modului propriu de vibraţie la [m]{} este dată de: { } [ ]{ φ} s = Γ m s = Γ m φ (5.83) j j j distribuţie care este idepedetă de modul î care sut ormalizate modurile proprii de vibraţie. Î cazul uui sistem MGLD supus uei mişcări seismice, ecuaţia (5.72) devie: 2 g 82 ( ) qɺɺ + 2ξ ωqɺ + ω q = Γuɺɺ t (5.84) Ecuaţia de mişcare (4.2) petru u sistem SGLD supus acţiuii seismice poate fi exprimată î următoarea formă: 2 g ( ) D ɺɺ + 2ξ ω D ɺ + ω D = u ɺɺ t (5.85) ude s-a îlocuit deplasarea u a sistemului SGLD cu otaţia D petru a evideţia relaţia acesteia cu modul propriu de vibraţie. Î mod similar, ξ a fost îlocuită cu ξ. Ecuaţia de mişcare (5.85) poate fi rezolvată

87 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică folosid metodele umerice amitite î capitolul 2. Soluţia q (t) a ecuaţiei de mişcare a sistemului MGLD î modul propriu poate fi obţiută observâd asemăarea ditre ecuaţia (5.84) şi ecuaţia de mişcare (5.85) a uui sistem SGLD. Comparâd cele două ecuaţii: ( ) D ( t) q t = Γ (5.86) Coeficietul Γ se umeşte factor de participare modală. Totuşi, acesta u reprezită cotribuţia modului la răspusul total al uei mărimi de răspus. Î plus, valoarea factorului de participare modală u este idepedetă de metoda de ormalizare a modurilor proprii de vibraţie. Cotribuţia modului propriu la deplasarea totală {u(t)} este: { u ( t )} = { φ} q ( t ) = Γ { φ} D ( t ) sau uj ( t) φjd ( t) = Γ (5.87) Ditre cele două metode de determiare a eforturilor î elemetele structurale descrise î secţiuea 5.3., de obicei se preferă metoda forţelor statice echivalete, fiid mai ituitivă. Forţele statice echivalete di modul f t = k u t, ude {u(t)} sut determiate di relaţia (5.87). Folosid expresiile propriu sut { ( )} [ ]{ ( )} (5.25) şi (5.83), forţele statice echivalete pot fi exprimate pri: { f ( t )} = { s } A ( t ) = Γ [ m ]{ φ} A ( t ) sau fj ( t) sja ( t ) mjφja ( t) ude, similar expresiei (4.9), A t 2 ( ) ω D ( t) = = Γ (5.88) = (5.89) Relaţia (5.88) idică faptul că forţele statice echivalete sut produsul a doi factori: () cotribuţia {s} a modului propriu la distribuţia [m]{} a forţelor efective {p eff (t)} şi (2) pseudo-acceleraţia îregistrată de u uɺɺ t. sistem SGLD corespuzător modului propriu sub acţiuea mişcării seismice ( ) Cotribuţia r (t) di modul propriu al oricărui răspus r(t) se determiă pri aaliza statică a structurii la forţele f (t). Folosid ecuaţia (5.88), mărimea r (t) se poate exprima pri relaţia: st ( ) ( ) r t = r A t (5.90) ude s-a otat pri r st răspusul static modal, geerat de "forţele" {s}. Se poate observa că r st poate lua atât valori pozitive, cât şi egative, şi u depide de metoda de ormalizare a modurilor proprii. Răspusul total se obţie îsumâd cotribuţiile răspusului î toate modurile proprii. Astfel, folosid expresia (5.87), deplasările odale vor fi: N N (5.9) = = { u( t) } = { u( t) } = Γ { φ} D ( t) Folosid ecuaţia (5.90), răspusul total al oricărei mărimi este dat de relaţia: Iterpretarea aalizei modale N st ( ) = ( ) = ( ) r t r t r A t N (5.92) = = Aaliza răspusului seismic î timp folosid metoda de calcul modal îcepe pri a determia pulsaţiile proprii şi modurile proprii de vibraţie. Odată acestea cuoscute, petru fiecare mod propriu se determiă compoetele modale {s} ale distribuţiei vectorului forţelor [m]{}, folosid relaţia (5.83). Restul procedurii uei aalize modale este prezetată coceptual î Figura 5.7. Cotribuţia di modul propriu a răspusului diamic se obţie îmulţid rezultatele a două aalize: () o aaliză statică a structurii di forţele {s} şi (2) o aaliză diamică a uui sistem SGLD corespuzător modului propriu acţioat de mişcarea uɺɺ t. Astfel, aaliza modală ecesită efectuarea a N aalize statice di forţele {s}, =, 2,, N seismică ( ) g şi aalize diamice a N sisteme SGLD. Răspusul total se obţie combiâd răspusul î fiecare mod propriu. g 83

88 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura 5.7. Explicarea coceptuală a aalizei modale (Chopra, 200). Aaliza răspusului seismic î timp al uui sistem MGLD folosid metoda de calcul modal se realizează î următoarea ordie: uɺɺ t la itervalul de digitizare t. Se defieşte umeric acceleraţia tereului ( ) g 2. Se defiesc proprietăţile structurale - matricele masei [m] şi ale rigidităţii [k] - fracţiuea di amortizarea critică ξ 3. Se determiă pulsaţiile proprii de vibraţie ω şi modurile proprii de vibraţie {φ} 4. Se determiă compoetele modale {s} ale distribuţiei forţelor seismice efective 5. Se calculează răspusul î fiecare mod propriu urmărid secveţa de mai jos: - se calculează răspusul static r st al structurii di forţele {s}, petru fiecare mărime de răspus dorită - se calculează pseudo-acceleraţia A (t) a sistemului SGLD corespuzătoare modului propriu sub uɺɺ t folosid metode umerice acţiuea mişcării seismice ( ) g - se calculează eforturile r (t) di modul propriu de vibraţie, folosid relaţia (5.90) 6. Se combiă cotribuţiile modale r (t) petru a obţie răspusul total folosid relaţia (5.92). 84

89 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică Masa modală efectivă Peru aaliza răspusului diamic al structurilor multietajate, este utilă itroducerea oţiuii de forţă tăietoare de bază V b. Răspusul static modal petru această mărime este dat de relaţia (vezi Figura 5.8): ude s-au folosit otaţiile: N st * b = j = Γ j= V s L M (5.93) M ( L ) 2 * j= = Γ L = = M j= mjφj m φ 2 j j 2 (5.94) Figura 5.8. Răspusul static modal petru forţa tăietoare de bază (Chopra, 200). Pe baza ecuaţiei (5.90), forţa tăietoare de bază di modul propriu poate fi exprimată pri: Îlocuid î această expresie relaţia (5.93) b st ( ) ( ) V t = V A t (5.95) b b * ( ) ( ) V t = M A t (5.96) Petru u sistem SGLD cu masa m, pulsaţia proprie de vibraţie ω şi fracţiuea di amortizarea critică ξ, valoarea de vârf a forţei tăietoare de bază este Vb = kd = ma, care petru timpul t devie: b ( ) ( ) V t = ma t (5.97) Comparaţia ecuaţiilor (5.96) şi (5.97) idică faptul că, dacă masa sistemului SGLD ar fi M *, forţa tăietoare de bază V b a sistemului SGLD ar fi idetică cu forţa tăietore de bază V b a sistemului MGLD î modul propriu, care are masa distribuită la cele N ivele. Di acest motiv, M * se umeşte masa modală efectivă. Î cazul uui sistem SGLD îtreaga sa masă m este efectivă î producerea forţei tăietoare de bază, după cum se poate vedea di relaţia (5.97). Î cazul uui sistem MGLD î schimb, doar fracţiuea M * a masei totale a structurii este efectivă î producerea forţei tăietoare de bază, deoarece masa este distribuită la cele N ivele ale structurii. Suma maselor modale efective di cele N moduri proprii este egală cu masa totală a structurii: N N * M = mj (5.98) = j= 85

90 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] (a) Figura 5.9. Forţele statice echivalete şi forţa tăietoare de bază î modul (a); u sistem SGLD corespuzător cu masa modală efectivă şi îălţimea modală efectivă (b), Chopra, Aaliza spectrală Răspusul seismic î timp al uui sistem MGLD poate fi determiat folosid aaliza modală descrisă î secţiuea Î practica curetă de proiectare, dimesioarea structurilor se bazează îsă pe valorile de vârf ale forţelor şi deplasărilor seismice. Î cele ce urmează se va prezeta o metodă de determiare directă a valorilor de vârf ale răspusului seismic al sistemelor MGLD. Această metodă de calcul se umeşte aaliză spectrală. Răspusul de vârf r o al cotribuţiei r (t) di modul propriu de vibraţie al răspusului r(t) se poate obţie ditr-u spectru de răspus. Acest fapt este evidet di ecuaţia (5.90), valoarea de vârf A a pseudoacceleraţiei A (t) reprezetâd ordoata spectrală di spectrul de pseudo-acceleraţie corespuzătoare perioadei T şi fracţiuii di amortizarea critică ξ. Astfel: 0 st (b) r = r A (5.99) Semul algebric al r 0 este acelaşi cu semul r st, deoarece A este pozitivă pri defiiţie. Î Figura 5.20 sut prezetate cotribuţiile modale şi valorile totale ale forţei tăietoare de bază şi forţei tăietoare la ivelul 5 al uui cadru cu 5 ivele, determiate pritr-o aaliză modală. Răspusul de vârf al cotribuţiilor modale V b (t) se îregistrează î geeral la momete diferite de timp, la fel şi valoarea de vârf a răspusului total V b (t). Di această cauză este dificilă obţierea răspusului de vârf total r0 = max t r ( t) pe baza răspusului de vârf di modurile proprii =, 2,, N: r r ( t) 0 = maxt. Î coseciţă, se folosesc diverse aproximări pri care se determiă răspusul de vârf total r 0 pe baza răspusurilor modale de vârf r 0. Ua ditre posibilităţi este cosiderarea că toate valorile de vârf ale răspusurilor modale au loc la acelaşi timp şi au acelaşi sem algebric. Această ipoteză coduce la expresia: r N = r (5.00) 0 0 = Această metodă de combiare se umeşte suma valorilor absolute (ABS) şi oferă o aproximare corespuzătoare a răspusului total doar petru structurile care au perioade proprii de vibraţie apropiate. O altă metodă de combiare a răspusurilor modale este radical di suma pătratelor (RSP): N 2 0 r0 = r = (5.0) Această metodă de combiare a răspusurilor modale oferă o aproximare corespuzătoare a răspusului total doar petru structurile care au perioade proprii de vibraţie disticte şi suficiet de diferite ca valoare. 86

91 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică Figura Cotribuţiile modale şi valorile totale ale forţei tăietoare de bază şi forţei tăietoare la ivelul 5 al uui cadru cu 5 ivele, (Chopra, 200). Figura 5.2. Variaţia factorului de corelare ρ i fucţie de raportul pulsaţiilor modale βi = ωi ω (Chopra, 200). O metodă mai flexibilă de combiare a răspusurilor modale este metoda de combiare pătratică completă (CPC), aceasta fiid aplicabilă atât structurilor cu moduri proprii apropiate cât şi celor cu moduri proprii disticte. Expresia răspusului de vârf î această metodă este: N N r = ρ r r (5.02) 0 i i0 0 i= = 87

92 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Fiecare terme de sub radicalul acestei relaţii reprezită produsul ditre coeficietul de corelare ρ i şi valorile de vârf ale răspusurilor modale r i0 şi r 0. Coeficietul de corelare variază ître 0 şi, avâd valoarea uitară petru i = : ρ i =. Astfel, ecuaţia (5.02) poate fi rescrisă sub forma: N N N 2 0 = 0 + ρi i0 0 = i= = r r r r i (5.03) Primul terme de sub radical este idetic cu metoda RSP, iar cel de-al doilea terme iclude toţi factorii (i ), reprezetâd "corecţia" aplicată metodei RSP petru modurile proprii care u sut disticte. Variaţia factorului de corelare ρ i fucţie de raportul pulsaţiilor modale βi = ωi ω este prezetată î Figura 5.2. Se poate observa că petru moduri proprii disticte (cu valori ω i ω ) factorul de corelare scade rapid odată cu creşterea raportului ditre pulsaţii, astfel îcât metoda CPC se reduce la metoda RSP. Î cazul î care structura are moduri proprii apropiate (ω i ω ), factorul de corelare este apropiat de valoarea uitară, răspusul total fiid mai mare decât cel determiat cu metoda RSP. Metodele RSP şi CPC au la bază teoria vibraţiilor stocastice (aleatorii). De aceea, aceste metode de combiare a răspusurilor modale, cât şi metoda spectrală de determiare a răspusului seismic al structurilor MGLD se potrivesc mişcărilor seismice cu o badă largă de frecveţe şi o durată lugă. Metoda spectrală u este potrivită cutremurelor de tip puls sau celor care au o mişcare apropiată de cea armoică. Metoda spectrală de determiare a răspusului seismic este deosebit de utilă î proiectare, aceasta fiid metoda stadard de determiare a răspusului seismic î ormele seismice modere. Avatajul metodei spectrale este acela că aceasta oferă răspusul seismic de vârf al uui sistem MGLD, pri efectuarea uei serii de aalize statice. Astfel, petru fiecare mod propriu, se efectuează o aaliză statică di forţele {s}, care oferă răspusul modal static r st. Îmulţid această mărime cu ordoata spectrală A, se obţie răspusul modal de vârf r 0. Astfel, aaliza diamică a sistemului SGLD u mai este ecesară, deoarece iformaţia corespuzătoare este coţiută î spectrul de răspus. Î aaliza spectrală este utilă determiarea răspusului modal de vârf r 0 direct di forţele statice echivalete: { f } { s} A fj mjφja = = Γ (5.04) ude {f} este vectorul forţelor statice echivalete f j pe direcţia gradelor de libertate j =, 2,, N (deplasările orizotale la ivelele j). Aaliza spectrală a uui sistem MGLD poate fi efectuată î următoarea ordie:. Se defiesc proprietăţile structurale - matricele masei [m] şi rigidităţii [k] - fracţiuea di amortizarea critică ξ 2. Se determiă pulsaţiile proprii de vibraţie ω (cu perioada proprie corespuzătoare T = 2π/ω ) şi modurile proprii de vibraţie {φ} 3. Se calculează răspusul î fiecare mod propriu urmărid secveţa de mai jos: - petru perioada proprie T şi fracţiuea di amortizarea critică ξ se determiă di spectrul de pseudoacceleraţie ordoata spectrală A - se calculează forţele statice echivalete {f} folosid relaţia (5.04) - se calculează răspusul r di forţele {f}, petru fiecare catitate de răspus dorită (eforturi, deplasări, etc.) 4. Se combiă cotribuţiile modale r petru a obţie răspusul total folosid metoda RSP sau CPC. Î geeral, doar primele câteva moduri proprii de vibraţie cotribuie semificativ la răspusul total al structurii. De aceea, de obicei, etapele de la puctul (3) se parcurg doar petru primele câteva moduri proprii de vibraţie. 88

93 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică Defiirea proprietăţilor structurale - matricele masei [m] şi rigidităţii [k] - fracţiuea di amortizarea critică ξ [m] [k] ξ φ 3 φ 32 φ 33 Determiarea pulsaţiilor proprii de vibraţie ω (cu perioada proprie corespuzătoare T = 2π/ω ) şi a modurilor proprii de vibraţie {φ} φ 2 φ φ 22 φ 2 φ 23 φ 3 {φ}, T {φ} 2, T 2 {φ} 3, T 3 A Ordoatele spectrale A di spectrul de pseudo-acceleraţie fucţie de perioadele proprii de vibraţie T A 3 A 2 A T 3 T 2 T T Petru fiecare mod propriu de vibraţie se determiă: f 3 f 2 f 32 f 22 f 33 f 23 Forţele statice echivalete {f} f f 2 f 3 {φ} {φ} 2 {φ} 3 Răspusul r di forţele {f}, petru fiecare catitate de răspus dorită (eforturi, deplasări, etc.) M A M A2 M A3 r r 2 r Se calculează răspusul total r combiâd cotribuţiile modale r (de exemplu folosid metoda RSP) M A = M A 2 +M A2 2 +M A3 2 r Figura Reprezetarea pricipială a procedurii de efectuare a aalizei spectrale a uui sistem cu trei GLD. 89

94 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică 6.. Itroducere Metodele curete de proiectare a structurilor sub acţiuea îcărcărilor permaete, utile şi climatice (vât, zăpadă) presupu o comportare a structurii prepoderet î domeiul elastic şi o acţiue statică a îcărcărilor. Aspectul diamic al acţiuii seismice şi comportarea ielastică a structurilor afectate de cutremure majore impu metode de proiectare specifice, reglemetate î orme de proiectare seismică. Î Româia aceste reglemetări sut coţiute î codul P00- (203): "Cod de proiectare seismică P00 Partea I - Prevederi de proiectare petru clădiri". Acest este aliiat î mare parte la orma europeaă de proiectare seismică EN 998- (2004). Acest capitol tratează pricipalele aspecte ale calculului structurilor igiereşti la acţiuea seismică, bazate î mare măsură pe prevederile P00- (203). Prevederile P00- (203) coţi declarativ două ceriţe fudametale (sau ivele de performaţă) pe care trebuie să le îdepliească structurile amplasate î zoe seismice: De siguraţă a vieţii. Costrucţiile trebuie să fie proiectate astfel îcât, sub efectul acţiuii seismice de proiectare, să posede o marjă suficietă de siguraţă faţă de prăbuşirea locală sau globală a structurii, astfel îcât vieţile oameilor să fie protejate. Nivelul acţiuii seismice asociat acestui ivel de performaţă corespude uui cutremur cu itervalul mediu de recureţă (IMR) de 225 ai. Este de remarcat că î prezet majoritatea ormelor de proiectare seismică folosesc u cutremur cu IMR=475 ai petru ivelul de performaţă de siguraţă a vieţii. Este de aşteptat ca următoarea ediţie a codului româesc de proiectare seismică să adopte aceeaşi valoare a itervalului mediu de recureţă. De limitare a degradărilor. Costrucţiile trebuie să fie proiectată astfel îcât petru cutremure de pămât cu o probabilitate de apariţie mai mare decît acţiuea seismică de proiectare (corespuzătoare ivelului de performaţă de siguraţă a vieţii), structura să u sufere degradări sau scoateri di uz ale căror costuri să fie exagerate î comparaţie cu costul costrucţiei. Nivelul acţiuii seismice asociat acestui ivel de performaţă corespude uui cutremur cu IMR=40 ai. Petru comparaţie, EN 998- (2004) prevede u cutremur cu IMR=95 ai petru ivelul de performaţă de limitare a degradărilor. Este de remarcat faptul că sub acţiuea seismică de proiectare corespuzătoare ivelului de performaţă de siguraţă a vieţii, costrucţia poate suferi importate degradări structurale şi estructurale. Di această cauză, costrucţiile cu risc îalt petru populaţie, cum sut cetralele ucleare, u itră î domeiul de aplicare al ormativului P00- (203). Îdepliirea pri calcul a celor două ceriţe fudametale (de siguraţă a vieţii şi de limitare a degradărilor) se realizează verificâd structurile la două stări limită: Stări limită ultime (SLU), asociate colapsului structural şi altor forme de degradare structurală care pot puea viaţa oameilor î pericol. Verificarea la SLU implică asigurarea de către proiectat a uui echilibru ître rezisteţa şi ductilitatea structurii. Stări limită de serviciu (SLS), asociate apariţiei uor degradări, dicolo de care u mai sut îdepliite ceriţe specifice de exploatare. Poate fi ecesară limitarea atât a degradărilor structurale, cât şi a celor estructurale. Î geeral verificarea la SLS implică limitarea deplasărilor relative de ivel, petru asigurarea protecţiei elemetelor estructurale, echipametelor, etc Acţiuea seismică Spectrul elastic Teritoriul Româiei este împărţit î zoe seismice fucţie de hazardul seismic local, care, î mod simplificat, este cosiderat costat î fiecare zoă seismică. Hazardul seismic petru proiectare se exprimă pri valoarea de vârf a acceleraţiei orizotale a tereului a g determiată petru itervalul mediu de recureţă (IMR) de referiţă corespuzător stării limită ultime. Petru cetre urbae importate şi petru costrucţii de importaţa specială se recomadă evaluarea locală a hazardului seismic pe baza datelor seismice istrumetale şi a studiilor specifice petru amplasametul cosiderat. 90

95 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică Figura 6.. Zoarea teritoriului Româiei î termei de valori de vârf ale acceleraţiei tereului petru proiectare a g petru cutremure avâd IMR = 225 ai (P00-, 203). Figura 6.2. Zoarea teritoriului Româiei î termei de perioadă de cotrol T C a spectrului de răspus (P00-, 203). Zoarea acceleraţiei de vârf a tereului petru proiectare a g î Româia, petru eveimete seismice avâd itervalul mediu de recureţă IMR = 225 ai, este prezetată î Figura 6.. Aceste valori ale a g se folosesc petru proiectarea costrucţiilor la starea limită ultimă. 9

96 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Acţiuea seismică îtr-u puct de pe suprafaţa tereului este descrisă pri spectre de răspus elastic de pseudo-acceleraţie: două compoete orizotale şi ua verticală. Compoetele orizotale ale mişcării seismice sut cosiderate idepedete şi sut descrise de acelaşi spectru. Codiţiile locale de tere afectează forma spectrelor de răspus elastic şi modifică atât amplificarea acceleraţiei de vârf a tereului, cât şi coţiutul de frecveţe al mişcării seismice (exprimat pri valorile perioadelor de cotrol T B, T C şi T D ). Codul P00- (203) reflectă doar cel de-al doilea aspect, specificâd trei valori ale perioadei de cotrol T C pe o hartă de zoare macroseismică (vezi Figura 6.2). Uei valori a perioadei de cotrol T C îi corespud o pereche de valori T B şi T D, î coformitate cu Tabelul 6.. Perioada de cotrol T C a spectrului de răspus reprezită limita ditre zoa de pseudo-acceleraţie costată şi zoa de pseudo-viteză costată. Î mod similar, perioada de cotrol T D reprezită limita ditre zoa de pseudoviteză costată şi zoa de deplasare costată. Tabelul 6.. Perioadele de cotrol T B, T C şi T D ale spectrului de răspus petru compoetele orizotale ale mişcării seismice (P00-, 203). Iterval mediu de recureţă a magitudiii cutremurului Valori ale perioadelor de cotrol IMR = 225 ai, petru SLU T B, s T C, s T D, s Spectrul de răspus elastic petru compoetele orizotale ale pseudo-acceleraţiei tereului î amplasamet S e (T), exprimat î m/s 2, este defiit astfel: ( ) S ( T) = a β T (6.) e ude valoarea a g este acceleraţia de vârf a tereului, exprimată î m/s 2, iar β(t) este spectrul de răspus elastic ormalizat la valoarea de vârf a acceleraţiei tereului. Forma ormalizată a spectrelor de răspus elastic petru compoetele orizotale ale acceleraţiei tereului, β(t), petru fracţiuea di amortizarea critică ξ =0.05 este dată de relaţiile (vezi Figura 6.3): 0 T T B : β ( T ) g ( β ) = + T (6.2) T β T 0 T B <T T C : ( ) 0 β T T C <T T D : ( ) 0 β T B = β (6.3) T C T D <T 5s: ( ) 0 2 = β (6.4) T TT T C D = β (6.5) ude: β 0 - factorul de amplificare diamică maximă a acceleraţiei orizotale a tereului de către structură; T - perioada proprie de vibraţie a uui sistem SGLD cu răspus elastic. Compoeta verticală a mişcării seismice îtr-u amplasamet este dată de relaţii similare (6.) - (6.5). Acceleraţia de vârf verticală a tereului se cosideră î mod aproximativ egală cu 70% di valoarea acceleraţiei de vârf orizotale, iar perioadele de cotrol T B şi T C petru compoeta verticală a mişcării seismice sut mai mici decât cele ale compoetei orizotale. Alterativ spectrului de răspus elastic al pseudo-acceleraţiei, mişcarea seismică poate fi defiită pri variaţia î timp a acceleraţiei tereului (accelerograme). Petru modele structurale spaţiale, sut ecesare trei accelerograme: două petru compoetele orizotale ale mişcării seismice şi ua petru compoeta verticală. Accelerogramele pot fi îregistrate î timpul uor eveimete seismice aterioare, sau pot fi accelerograme artificiale, geerate pe baza spectrului de răspus elastic. Î ambele cazuri, la proiectarea uei structuri trebuie luate î calcul miim trei seturi de accelerograme, petru a ţie cot de icertitudiile asociate uei sigure accelerograme. Accelerogramele trebuie să fie reprezetative petru amplasametul dat, di puctul de vedere al caracteristicilor surselor seismice, distaţei sursă-amplasamet şi codiţiilor de tere di amplasamet. Coţiutul de frecveţă al accelerogramelor trebuie să fie compatibil cu mişcarea 92

97 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică seismică di amplasamet, iar accelerogramele trebuie scalate astfel îcât media aritmetică a acceleraţiilor de vârf ale accelerogramelor să u fie mai mică decât valoarea a g di amplasamet β 0 = 2.5 ξ=0, /t T B =0.4 T C =0.7s T D =3 5.25/T Perioada T, s β 0 =2.5 T B =0.2 T C =.0s 2.5/T T D =3 ξ=0,05 7.5/T Perioada T, s β 0 =2.5 4/T ξ=0,05 8/T T B =0.32 T C =.6s T D = Perioada T, s Figura 6.3. Spectre ormalizate de răspus elastic petru compoetele orizotale ale mişcării seismice, î zoele caracterizate pri perioadele de cotrol: T C = 0.7 (a), T C =.0 (b) şi T C =.6s, coform P00-, 203. Î EN 998- (2004) spectrul de răspus elastic ormalizat este defiit de relaţii similare cu (6.) - (6.5), îsă, spre deosebire de P00- (203), orma europeaă specifică două tipuri de spectre (tip şi tip 2) fucţie de magitudiea sursei seismice. Î plus, î EN 998- (2004) perioadele de cotrol T B, T C şi T D sut specificate fucţie codiţiile locale de tere petru amplasametul structurii, şi u la ivel macroseismic, iar factorul de amplificare diamică maximă β 0 variază fucţie de tipul tereului. Clasificarea Eurocode foloseşte cici categorii de tere: A, B, C, D şi E, caracterizate de profilul stratigrafic şi de viteza medie a udelor de forfecare î primii 30 de metri v s,30, precum şi două categorii speciale S şi S 2, care ecesită studii specifice (vezi Figura 6.4 şi Tabelul 6.2). 93

98 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Tabelul 6.2. Tipuri de tere coform EN 998-, tip descrierea profilului stratigrafic tere A Rocă şi alte formaţiui geologice similare, cu u strat de material mai slab la suprafaţă, de maxim 5 m grosime B Nisipuri sau pietrişuri foarte dese, sau argile foarte rigide, cu grosimi de cel puţi câteva zeci de metri, caracterizate de o creştere progresivă a proprietăţilor fizice odată cu adâcimea C Nisipuri sau pietrişuri cu desitatea ormală şi medie, sau argile rigide, cu grosimea de la câteva zeci la câteva sute de metri D Depozite cu coeziue medie şi mică (cu sau fără câteva straturi de sol coeziv) sau de sol predomiat coeziv moale spre ferm E U profil format di depueri aluvioare de suprafaţă cu grosimea ître 5 şi 20 m cu valori v s,30 caracteristice tereurilor de tip C sau D, situat peste straturi de tere mai rigid cu v s,30 >800 m/s S Depozite alcătuite di argile/aluviui moi cu o grosime de cel puţi 0 m, u idice plastic ridicat (PI>40) şi u coţiut ridicat de apă S 2 Depozite lichefiabile, de argile sesibile sau orice alt tere care u este iclus î categoriile de mai sus v s,30, m/s > <80 <00 (idicativ) Figura 6.4. Spectre de răspus elastic ormalizate petru compoetele orizotale ale mişcării seismice coform EN 998- (2004), petru diferite tipuri de tere Spectrul de proiectare petru aaliza elastică Î geeral, este eecoomic să se proiecteze astfel ca o structură să aibă o comportare elastică sub acţiuea mişcării seismice de proiectare la SLU. Structurile care sut proiectate la forţe seismice substaţial mai mici decât cele care le-ar asigura o comportare elastică, sut capabile să supraveţuiască uui seism major (fără colapsul structurii, dar cu degradări structurale importate), datorită răspusului structurii î domeiul ielastic şi suprarezisteţei. Petru ca structurile proiectate la forţe seismice reduse faţă de ceriţa elastică să poată dezvolta deformaţii plastice la ivel de structură, se impu o serie de măsuri care vizează materialul, elemetele structurale, îmbiările şi coformarea structurii. Detalii asupra acestor prevederi specifice diferitelor tipuri de structuri şi materiale de costrucţie sut prezetate î capitolele 7, 8 şi 9. Natura diamică a acţiuii seismice şi răspusul ielastic al structurii implică folosirea uor metode de aaliză diamică eliiară la proiectarea structurilor amplasate î zoe seismice. Totuşi, aceste metode de calcul sut cosiderate prea complexe şi laborioase petru practica curetă de proiectare. Pe de altă parte, 94

99 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică icertitudiea î ceea ce priveşte caracteristicile cutremurelor de pămât viitoare ridică seme de îtrebare asupra ecesităţii uui calcul exagerat de sofisticat. De aceea, proiectarea curetă a structurilor amplasate î zoe seismice coform ormelor modere de calcul seismic se bazează pe u calcul elastic. Petru a ţie cot de comportarea ielastică a uei structuri supusă acţiuii seismice de calcul, forţele seismice de proiectare sut reduse faţă de ceriţa elastică. Normele P00- (203) şi EN 998- folosesc î acest scop factorul de comportare q, care se mai umeşte şi factor de reducere a forţelor seismice. Î secţiuea 4.6, cu referiţă la sisteme SGLD, s-a folosit otaţia R y petru factorul de reducere al forţei seismice. Factorii de reducere di orme sut î mare parte empirici, bazâdu-se pe observaţii ale performaţei diverselor tipuri de structuri î timpul cutremurelor di trecut (Fischiger şi Fajfar, 994) şi sut folosiţi î cadrul metodei de aaliză cu forţe statice echivalete (metoda forţelor laterale), î îcercarea de aproxima forţele miime care pot fi folosite la proiectare astfel ca să se asigure u răspus satisfăcător al structurii î domeiul ielastic (EN 998-, 2004). Procedura de obţiere a factorului de reducere a forţei seismice petru u sistem SGLD este prezetată î Figura 6.5. S-a presupus că perioada proprie de vibraţie T a sistemului este mai mare decât perioada de cotrol T C a mişcării seismice, fiid valabilă regula "deplasărilor egale" (vezi secţiuea 4.6.3). Dacă la proiectarea sistemului SGLD s-ar folosi u calcul ielastic, relaţia de verificare ar fi: µ µ cap (6.6) ude µ este ceriţa de ductilitate impusă sistemului de mişcarea seismică, iar µ cap este ductilitatea capabilă a sistemului. Alterativ, se poate determia valoarea forţei de curgere a sistemului F y petru care este satisfăcută relaţia (6.6). Petru aceasta, se ormalizează forţa la valoarea forţei de curgere (F e / F y = R y ) iar ceriţa de deplasare la valoarea deplasării de curgere (D m / D y = µ). Î urma acestei operaţiui, relaţia F D se trasformă î relaţia R y - µ (factorul de reducere al forţei seismice - ductilitate). Impuâd la limită µ = µ cap, se poate obţie valoarea factorului de reducere a forţei seismice R y, care va depide de perioada proprie de vibraţie a sistemului SGLD şi caracteristicile mişcării seismice (pri perioada de cotrol T C ). Î acest scop se pot folosi relaţiile (4.6), exemplificate î Figura 4.9. Cuoscâd factorul de reducere R y, se poate determia valoarea miimă a forţei de curgere F y =F e / R y care trebuie asigurată sistemului petru ca ceriţa de ductilitate să u depăşească ductilitatea capabilă. F D F Fe R R y F y Dy De=Dm D µ (a) (b) (c) Figura 6.5. Forţa seismică aplicată uui sistem SGLD (a); relaţia forţă-deplasare petru sistemul ielastic şi petru sistemul elastic corespuzător (b) şi relaţia echivaletă ître factorul de reducere şi ductilitate (c). Î cazul teoretic al sistemelor SGLD cu o comportare ielastică idealizată, factorul de reducere a forţei seismice se datorează î exclusivitate ductilităţii structurii. Cu toate că ductilitatea rămâe factorul cel mai importat care permite reducerea forţei seismice de proiectare î cazul sistemelor MGLD, există şi alte aspecte care cotribuie la reducerea forţei seismice de proiectare. Di cosiderete de simplitate, majoritatea ormelor seismice utilizează u sigur factor de reducere a forţelor seismice. Totuşi, difereţierea şi cuatificarea factorilor resposabili de reducerea forţelor seismice este utilă petru o mai buă îţelegere a răspusului seismic al structurilor amplasate î zoe seismice. Î Figura 6.6 este prezetată o relaţie tipică ditre forţa tăietoare de bază şi deplasarea la vârf a uei structuri. Petru simplificarea răspusului eliiar al structurii se adoptă adeseori o idealizare biliiară. Pe baza acesteia se poate defii ductilitatea globală a structurii: µ = δu δy (6.7) µ 95

100 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] ude δ u este deplasarea ultimă a sistemului, iar δ y este deplasarea corespuzătoare curgerii globale. Se mai defiesc următorii termei: V e - forţa corespuzătoare uui răspus ifiit elastic; V y - forţa de curgere a sistemului; V forţa tăietoare de bază la formarea primei articulaţii plastice; V d - forţa tăietoare de bază de proiectare. Factorul de reducere a forţelor seismice datorat ductilităţii structurii a fost studiat pe larg petru sisteme cu u sigur grad de libertate diamică, şi poate fi defiit ca (Brueau şi colab., 998; Fischiger şi Fajfar, 994): q = µ Ve V (6.8) y Majoritatea structurilor posedă o rezisteţă mai mare decât cea de proiectare, aceasta fiid umită suprarezisteţă. U factor importat care cotribuie la suprarezisteţa structurii este capacitatea de redistribuţie plastică a eforturilor î structuri ductile static edetermiate, datorată plasticizării succesive a zoelor disipative. Alte cauze ale suprarezisteţei sut: dimesioarea structurii di alte codiţii decât rezisteţa la cutremur (rezisteţă î gruparea fudametală de îcărcări sau limitarea deplasărilor relative de ivel la starea limită de serviciu seismică) evitarea uei variaţii prea mari a umărului de secţiui petru a uiformiza şi simplifica procesele de proiectare şi execuţie o rezisteţă reală a materialelor mai mare decât cea omială, etc. Suprarezisteţa structurii poate fi exprimată ca (Fischiger şi Fajfar, 994): q = V V (6.9) S Recuoscâd importaţa capacităţii de redistribuţie plastică a eforturilor (sau redudaţei) asupra răspusului seismic al structurii, cât şi difereţa feomeologică ditre redudaţă şi ceilalţi factori care cotribuie la suprarezisteţa q S, aceasta di urmă poate fi exprimată ca şi produsul a doi factori: S y d q = q q (6.0) R Sd ude q R este redudaţa, sau capacitatea de redistribuţie plastică a eforturilor: şi q Sd este suprarezisteţa de proiectare: Factorul total de reducere, folosit î proiectare, este astfel dat de: q = V V (6.) R Sd y q = V V (6.2) µ S µ d q = q q = q q q (6.3) Sd R 96

101 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică V δ V e raspusul ifiit elastic raspusul real q µ q F i V y V V d raspusul idealizat q q R Sd q S (a) V δy δ e (b) δ u δ Figura 6.6. Defiiţia factorilor de reducere a forţelor seismice. Factorul de reducere datorat ductilităţii q µ variază î fucţie de perioadă şi de tipul mişcării seismice, şi poate fi cosiderat aproximativ costat şi egal cu ductilitatea µ î domeiul de viteze şi deplasări spectrale costate (q µ = µ petru T > T C ). Suprarezisteţa q S este mai mare la structurile cu perioada fudametală de vibraţie mică. Î Figura 6.7 sut prezetate relaţiile calitative ître factorul q µ şi perioada T, respectiv q S şi perioadă. Aceste relaţii justifică de cele mai multe ori folosirea uui sigur factor de reducere a forţelor seismice î proiectare, idepedet de perioada structurii. Cu toate acestea, există situaţii (de exemplu î cazul uor mişcări seismice cu perioada de cotrol T C mare) petru care trebuie folosiţi factori de reducere datoraţi ductilităţii mai mici decât cei folosiţi î mod curet petru mişcări seismice cu perioada de cotrol mică. q q µ q S 0 Figura 6.7. Relaţie calitativă tipică ître factorii de reducere q µ şi q S şi perioada T, (Fischiger şi Fajfar, 994). Forţele seismice de proiectare se determiă pe baza spectrului de proiectare al pseudo-acceleraţiei S d (T). Acesta este exprimat î m/s 2 şi este defiit î P00- (203) de următoarele relaţii: 0 T T B : T> T B : β q Sd( T) = ag + T 0 B T Τ (6.4) β( T) Sd( T) = ag 0.2 ag (6.5) q 97

102 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Coform prevederilor P00- (203), valorile factorului de comportare q diferă fucţie de tipul materialului, sistemul structural şi regularitatea structurii. pseudo acceleratie, g P00 /203, T C =.6 s, a g =0.30g S e S d, q=6 Figura 6.8. Comparaţie ître u spectru elastic (S e ) şi u spectru de proiectare (S d, q=6), P00- (203). După cum se poate observa di Figura 6.8 şi relaţiile (6.4) şi (6.5), spectrul de proiectare se obţie di spectrul elastic pri reducerea acestuia cu factorul de comportare q, petru valori ale perioadei T > T B. Petru perioade T < T B, spectrul de proiectare este determiat pe baza uui factor de comportare redus faţă de valoarea de bază q, acesta atigâd valoarea q = petru T = 0. Acest model recuoaşte faptul că structurile foarte rigide au ceriţe foarte ridicate de ductilitate, acestea ecesitâd o proiectare î domeiul elastic (vezi şi secţiuea 4.6.3) Metode de calcul elastic Î proiectarea structurilor la acţiuea seismică se pot folosi mai multe metode de aaliză structurală. Î proiectarea curetă se foloseşte u calcul liiar elastic, fiid posibile două alterative: metoda de calcul cu forţe laterale (metoda forţelor statice echivalete) metoda de calcul modal cu spectre de răspus (calcul spectral) Metoda de calcul cu forţe laterale T, s Această metodă se poate aplica costrucţiilor care pot fi calculate pri cosiderarea a două modele plae, câte uul petru fiecare direcţie pricipală a clădirii, şi al căror răspus seismic total u este iflueţat semificativ de modurile proprii superioare de vibraţie. Î acest caz, modul propriu fudametal de vibraţie are o cotribuţie predomiată asupra răspusului seismic total. Aceste ceriţe pot fi cosiderate satisfăcute de structurile care au perioada fudametală de vibraţie T.5 sec, o îălţime de pâă la 30 m şi sut regulate pe verticală. Metoda de calcul cu forţe laterale reprezită u calcul spectral simplificat, care ia î cosiderare doar aportul modului fudametal de vibraţie la răspusul structurii. Pe baza acestei simplificări, calculul spectral se reduce la u calcul static al structurii sub efectul uor forţe laterale aplicate la ivelul maselor cocetrate (la ivelul plaşeelor). Forţele laterale reprezită forţele statice echivalete descrise î secţiuea Determiarea forţelor laterale se efectuează î două etape. Î prima etapă se determiă forţa tăietoare de bază, iar î cea de-a doua etapă aceasta se distribuie pe îălţimea structurii coform modului fudametal. Rezultatele uui calcul cu forţe laterale reprezită valorile de vârf ale eforturilor şi deplasărilor structurii. După cum s-a arătat î secţiuea 5.3.2, forţa tăietoare de bază se poate determia cu relaţia (5.96): V = M A (6.6) b * ude Meste masa modală efectivă di modul propriu, A este pseudo-acceleraţia spectrală corespuzătoare perioadei proprii de vibraţie di modul. * 98

103 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică Formulâd expresia (6.6) petru modul fudametal de vibraţie (=) şi folosid otaţiile di P00- (203)(V b F b ; A γ I,e S d (T ); M mλ), aceasta devie: * F b ( ) = γ S T mλ (6.7) I, e d ude: F b forţa tăietoare de bază corespuzătoare modului propriu fudametal, petru fiecare direcţie orizotală pricipală cosiderată î calculul clădirii T ( ) T S d ordoata spectrului de răspus de proiectare corespuzătoare perioadei fudametale T perioada proprie fudametală de vibraţie a clădirii î plaul ce coţie direcţia orizotală cosiderată m masa totală a clădirii λ factor de corecţie care ţie seama de cotribuţia modului propriu fudametal pri masa modală efectivă asociată acestuia, ale cărui valori sut: λ = 0.85 dacă T T C şi clădirea are mai mult de două iveluri şi λ =.0 î celelalte situaţii. γ I,e factorul de importață-expuere a costrucției. Expresiile forţelor statice echivalete f i di modul propriu, ale factorului de participare modală şi ale masei modale efective sut date de relaţiile (5.04), (5.8), respectiv (5.94). Acestea sut reproduse mai jos petru comoditate: f i miφi i= = Γ miφia Γ = N 2 m φ N i= i i M * = N i= N i= 2 i i 2 miφi mφ ude f i este forţa statică echivaletă pe direcţia gradului de libertate i î modul propriu. Folosid relaţia (6.6), pseudo-acceleraţia spectrală A poate fi exprimată pri: Îlocuid expresia Γ, A şi * b (6.8) A = V M (6.9) * M î relaţia forţelor statice echivalete f i, obţiem: N N 2 miφi miφi i= i= miφi i = Γ iφi = N iφi b = 2 b N N 2 miφ i m m iφi iφi i= i= i= f m A m V V (6.20) Folosid otaţiile di P00- (203) şi particularizâd petru modul fudametal de vibraţie, relaţia (6.20) devie: F = F i b N i= ms i i ms ude F i forţa seismică orizotală static echivaletă de la ivelul i F b forţa tăietoare de bază corespuzătoare modului fudametal, s i compoeta formei fudametale pe direcţia gradului de libertate diamică de traslaţie la ivelul i N umărul de iveluri al clădirii m i masa de la ivelul i i i (6.2) Forma proprie fudametală poate fi aproximată pritr-o variaţie liiară proporţioală cu îălţimea. Î acest caz forţele orizotale de ivel sut date de relaţia: 99

104 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] ude z i F = F reprezită îălţimea ivelului i faţă de baza costrucţiei cosiderată i model. i b N i= mz i i mz i i (6.22) Forţele seismice orizotale se aplică sistemelor structurale ca forţe laterale la ivelul fiecărui plaşeu cosiderat ideformabil î plaul său. Î Figura 6.9 sut prezetate schematic forţele orizotale de ivel di metoda forţelor laterale. De meţioat că distribuţia "ivers triughiulară" a forţelor laterale (proporţioale cu îălţimea) reprezită î mod simplificat forma modului fudametal de vibraţie. Forţele laterale fiid proporţioale cu masa de la ivelul i, vor avea această distribuţie doar î cazul î care masele de ivel sut egale ître ele. F i m i z i Figura 6.9. Reprezetare schematică a forţelor orizotale de ivel folosite î metoda de calcul cu forţe laterale. O altă simplificare permisă de ormativul P00- (203) o reprezită determiarea perioadei fudametale de vibraţie. Astfel, petru proiectarea prelimiară a clădirilor cu îălţimi de pâă la 40 m, se poate utiliza următoarea formulă simplificată petru estimarea perioadei fudametale de vibraţie: 34 T = CtH (6.23) ude: T este perioada fudametală a clădirii, î secude C t este u coeficiet ale cărui valori sut fucţie de tipul structurii, după cum urmează: C t = petru cadre metalice (ecotravâtuite), C t = petru cadre di beto armat (ecotravâtuite) sau cadre metalice cu cotravâtuiri excetrice, C t = 0.05 petru celelalte tipuri de structuri. H îălţimea clădirii, î metri, măsurată de la ivelul fudaţiei sau de la extremitatea superioară a ifrastructurii rigide Metoda de calcul modal cu spectre de răspus Metoda de calcul modal cu spectre de răspus descrisă î P00- (203) este aceeaşi cu aaliza spectrală descrisă î secţiuea Această metodă de calcul se aplică clădirilor care u îdepliesc codiţiile specificate petru utilizarea metodei simplificate cu forţe laterale static echivalete. Metoda de calcul modal cu spectre de răspus se foloseşte î cazul structurilor cu forme complexe, sau cu distribuţii euiforme ale masei şi rigidităţii, deoarece răspusul uor astfel de sisteme este dat de aportul mai multor moduri proprii de vibraţie. Î calcul se cosideră modurile proprii cu o cotribuţie semificativă la răspusul seismic total. Această codiţie este îdepliită dacă: suma maselor modale efective petru modurile proprii cosiderate reprezită cel puţi 90% di masa totală a structurii, sau au fost cosiderate î calcul toate modurile proprii cu masă modală efectivă mai mare de 5% di masa totală. Î cazul modelelor spaţiale, codiţiile de mai sus se verifică petru fiecare direcţie de calcul. F b 00

105 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică Î cazul î care codiţiile aterioare u pot fi satisfăcute petru u umăr suficiet de mare de moduri proprii de vibraţie (spre exemplu, la clădirile cu o cotribuţie semificativă a modurilor de torsiue), umărul miim r de moduri proprii ce trebuie icluse îtr-u calcul spaţial trebuie să satisfacă următoarele codiţii: ude: r T r r 3 şi T 0.05T (6.24) umărul miim de moduri proprii care trebuie cosiderate umărul de iveluri deasupra tereului perioada proprie de vibraţie a ultimului mod de vibraţie cosiderat r Metodele de combiare a răspusurilor modale sut cele amitite î secţiuea Răspusurile modale petru două moduri proprii de vibraţie cosecutive, k si k + sut cosiderate idepedete dacă perioadele proprii de vibraţie T k şi T k+ (î care T k+ T k ) satisfac următoarea codiţie: r c T k + 0.9T (6.25) k Petru două moduri proprii de vibraţie idepedete se poate folosi metoda de combiare radical di suma pătratelor (RSP). Î caz cotrar se va folosi fie metoda de combiare suma valorilor absolute (ABS), fie combiarea pătratică completă (CPC), vezi secţiuea

106 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Combiarea efectelor compoetelor acţiuii seismice Acţiuea seismică este alcătuită di trei compoete de traslaţie ortogoale (două orizotale şi ua verticală). Efectele acţiuii seismice (deplasări laterale ale odurilor structurii, eforturi şi tesiui î elemetele structurale, etc.) se datorează de regulă celor două compoete orizotale ale acţiuii seismice, efectul compoetei verticale fiid eglijat î cele mai multe cazuri. Î Figura 6.0 se demostrează acest aspect pe baza forţei axiale ditr-u stâlp al structurii, care se cosideră acţioată doar de compoetele orizotale ale acţiuii seismice (F x şi F y ). Forţele seismice F x geerează efortul axial N x, iar compoeta F y a acţiuii seismice geerează efortul axial N y. Efortul axial total, ca şi efect al acţiuii seismice pe ambele direcţii orizotale este N. Î cazul uui calcul cu forţe laterale sau uui calcul spectral, structura se cosideră acţioată pe râd de cele două compoete orizotale F x şi F y, obţiâdu-se valorile de vârf ale răspusului (N x şi N y ). Efectul total al ambelor compoete orizotale ale acţiuii seismice (N ) u este îsă egal cu suma algebrică a efectelor acţiuii seismice cosiderate separat pe cele două direcţii (N x şi N y ). Aceasta se datorează faptului că cele două metode de calcul estimează direct valorile de vârf ale răspusului. Valorile de vârf ale acceleraţiei tereului petru compoetele orizotale ale mişcării seismice u au loc la acelaşi momet de timp. Acest feome este exemplificat î Figura 6. petru compoetele N-S şi E-W ale îregistrării seismice de la staţia INCERC a cutremurului di di Vracea. Î plus, di cauza uor rigidităţi î geeral diferite pe cele două direcţii orizotale, structura va avea perioade proprii de vibraţie diferite pe cele două direcţii. Deoarece răspusul seismic î timp al uei structuri este determiat îtr-o măsură covârşitoare de perioada proprie de vibraţie (vezi Figura 4.3), efectele acţiuii seismice di diferite compoete ale sale vor avea loc la momete de timp diferite. Figura 6.0. Exemplu de combiare a efectelor compoetelor acţiuii seismice. Î cocluzie, valorile de vârf ale efectelor di diferite compoete ale acţiuii seismice u se îregistrează la acelaşi momet de timp, fiid cosiderate ecorelate statistic. De aceea, atuci câd se utilizează metode de calcul care determiă direct valorile de vârf ale efectelor acţiuii seismice, este ecesară folosirea uui procedeu de combiare a efectelor acţiuii seismice care să reflecte acest feome. Coform ormelor de proiectare seismică (ex. P00- (203) şi EN 998-), combiaţia efectelor compoetelor orizotale ale acţiuii seismice poate fi realizată astfel: Se evaluează separat răspusul structural petru fiecare direcţie de acţiue seismică Valoarea de vârf a efectului acţiuii seismice, reprezetată pri acţiuea simultaă a două compoete orizotale ortogoale, se obţie cu regula de combiare radical di suma pătratelor a fiecărei compoete orizotale: E = E + E (6.26) 2 2 Ed Edx Edy ude: E Edx reprezită efectele acţiuii datorate aplicării mişcării seismice pe direcţia axei orizotale x alese petru structură, E reprezită efectele acţiuii datorate aplicării mişcării seismice pe direcţia axei orizotale y, Edy perpediculară pe axa x a structurii. 02

107 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică 2 Vracea, , INCERC (B), NS acceleratie, m/s 2 acceleratie, m/s Vracea, , timp, s INCERC (B), EW timp, s Figura 6.. Compoetele N-S şi E-W ale îregistrării seismice de la staţia INCERC a cutremurului di di Vracea. Ca o alterativă a metodei de mai sus, efectele acţiuii seismice datorate combiaţiei celor două compoete orizotale se pot calcula folosid următoarele combiaţii: E Edx " + "0.3E (6.27) Edy 0.3 E " + " E (6.28) Edx ude "+" îseamă "a se combia cu". Semul fiecărei compoete î combiaţiile de mai sus se ia astfel îcât efectul acţiuii cosiderate să fie defavorabil. Î cazul î care se ţie cot şi de compoeta verticală a mişcării seismice, relaţiile (6.26) - (6.28)devi: E Edy = E + E + E (6.29) Ed Edx Edy Edz 0.3 E " + "0.3 E " + " E (6.30) Edx Edy Edz E " + "0.3 E " + "0.3E (6.3) Edx Edy Edz 0.3 E " + " E " + "0.3E (6.32) Edx Edy Edz ude E Edz reprezită efectele acţiuii seismice datorate aplicării compoetei verticale. Compoeta verticală a mişcării seismice poate fi eglijată petru majoritatea structurilor curete. Coform EN 998-, 2004, compoeta verticală a mişcării seismice trebuie cosiderată atuci câd acceleraţia verticală de vârf a tereului depăşeşte 0.25g, iar structura are ua di următoarele caracteristici: coţie elemete orizotale cu deschideri de peste 20 m coţie elemete î cosole cu lugimea de peste 5 m coţie elemete orizotale precomprimate coţie stâlpi rezemaţi pe rigle este izolată la bază 03

108 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Coformarea seismică a structurilor Estimarea răspusului seismic al structurilor la cutremure viitoare coţie o doză mare de icertitudie. Aceasta se datorează î primul râd imposibilităţii de a cuoaşte cu exactitate caracteristicile cutremurelor de pămât viitoare, iar î cel de-al doilea râd ipotezelor simplificatoare folosite la calculul răspusului structural. Ua ditre aceste simplificări costă î faptul că proiectarea curetă foloseşte metode de calcul elastic, î timp multe structuri au o comportare ielastică sub acţiuea uui cutremur de proiectare. Evaluarea răspusului seismic folosid metode de calcul static (metoda forţelor laterale) î locul uei aalize diamice reprezită o altă simplificare majoră. Icertitudiea determiării răspusul seismic al uei structuri este amplificată şi de alte aspecte, pritre care se umără imposibilitatea de a prezice cu exactitate valoarea şi mai ales distribuţia îcărcărilor gravitaţioale, aportul elemetelor estructurale la rigiditatea, rezisteţa şi amortizarea structurii pricipale de rezisteţă. De aceea este foarte importată o proiectare coceptuală a structurilor situate î zoe seismice, care să asigure o comportare seismică corespuzătoare. Aspectele coceptuale de bază se referă la: simplitatea structurii uiformitate, simetrie şi redudaţă rezisteţă şi rigiditate laterală î orice direcţie rezisteţă şi rigiditate la torsiue realizarea ca diafragme a plaşeelor fudaţii adecvate Simplitatea structurii Realizarea uei structuri simple, compacte, pe cât posibil simetrice, reprezită obiectivul cel mai importat al proiectării, deoarece modelarea, calculul, dimesioarea, detalierea şi execuţia structurilor simple este supusă uor icertitudii mult mai mici şi, pri urmare, se poate asigura cu u grad îalt de îcredere comportarea seismică dorită a costrucţiei. U exemplu de coformare structurală erecomadată (rezemarea stâlpilor pe rigle) şi uul de coformare structurală corectă sut prezetate î Figura 6.2a, respectiv Figura 6.2b Uiformitate, simetrie şi redudaţă Proiectarea seismică trebuie să urmărească realizarea uei structuri cât mai regulate, distribuite cât mai uiform î pla, astfel ca forţele de ierţie aferete maselor să fie trasmise direct şi pe u drum cât mai scurt către fudaţii. Atuci câd este ecesară o formă î pla care u este uiformă, structura poate fi împărţită pri itermediul uor rosturi seismice î uităţi idepedete structural (vezi Figura 6.3). Pe lâgă uiformitatea î pla este ecesară şi o uiformitate pe verticală, aceasta dimiuâd cocetrarea eforturilor şi a ceriţelor de ductilitatea î zoe izolate ale clădirii. Nu doar forma clădirii trebuie să fie uiformă, ci şi elemetele structurale care asigură rigiditatea la forţe laterale trebuie să fie dispuse cât mai uiform, petru a permite excetricităţi cât mai mici şi o redudaţă sporită a structurii, care coduc la o capacitate sporită de disipare a eergiei seismice î îtreaga structură. (a) (b) (a) (b) Figura 6.2. Rezemarea stâlpilor pe rigle de evitat Figura 6.3. Forme ale structurilor euiforme î pla (a) şi trasformarea acestora î forme uiforme 04

109 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică (a); cadru cu o coformare seismică corectă (b). pri dispuerea uor rosturi seismice (b). Redudaţa structurii asigură faptul că cedarea uui sigur elemet structural sau a uei sigure îmbiări u coduce la cedarea îtregii structuri. Î plus, plasticizarea progresivă a elemetelor structurii permite utilizarea rezervelor de rezisteţă ale structurii şi asigură o ductilitate globală ridicată a structurii Rezisteţă şi rigiditate laterală î orice direcţie Deoarece mişcarea seismică are compoete pe două direcţii orizotale, structura trebuie să posede rigidităţi şi rezisteţe laterale similare pe cele două direcţii pricipale ale structurii. Sisteme tipice de preluare a forţelor laterale sut structurile î cadre ecotravâtuite (cu oduri rigide), cadrele cotravâtuite (de regulă cu oduri articulate) şi pereţii structurali (vezi Figura 6.4a-c). Cu excepţia cadrelor ecotravâtuite cu oduri rigide, celelalte sisteme de preluare a forţelor laterale impu restricţii de ordi arhitectural, existâd î coseciţă limitări î ceea ce priveşte dispuerea acestora î structură. Î plus, sistemele de preluare a forţelor gravitaţioale sut î geeral mai ecoomice decât cele de preluare doar a forţelor laterale. De aceea, o structură tipică va coţie atât u sistem de preluare a forţelor gravitaţioale, cât şi uul de preluare a forţelor laterale (vezi Figura 6.4d). sistem de preluare a fortelor gravitatioale (a) (b) (c) (d) Figura 6.4. Sisteme de preluare a forţelor laterale: cadre ecotravâtuite cu oduri rigide (a), cadre cotravâtuite cetric (b), pereţi structurali (c); sistem combiat de preluare a forţelor laterale şi gravitaţioale (e) Rezisteţă şi rigiditate la torsiue sistem de preluare a fortelor laterale Pe lâgă rezisteţa şi rigiditatea la forţe laterale, petru o comportare adecvată la acţiuea seismică, o structură trebuie să posede o rigiditate suficietă la torsiue. Structurile flexibile la torsiue coduc la deformaţii şi eforturi mai mari î elemetele perimetrale ale clădirii, precum şi la o distribuţie euiformă a deformaţiilor şi eforturilor î elemetele structurale. Sistemele de preluare a forţelor laterale trebuie dispuse pe cât posibil perimetral (vezi Figura 6.5), petru a realiza structuri cu rigiditate şi rezisteţă sporită la torsiue. sistem de preluare a fortelor laterale sistem de preluare a fortelor laterale sistem de preluare a fortelor gravitatioale (a) Figura 6.5. Structuri cu acelaşi umăr de elemete de rezisteţă laterale: susceptibile la efectele de torsiue (a) şi cu o rigiditate şi rezisteţă sporite la efectele de torsiue (b). Dispuerea sistemelor de preluare a forţelor laterale trebuie să fie cât mai simetrică (vezi Figura 6.6a), petru a asigura o difereţă cât mai mică ître cetrul de rigiditate (CR) şi cetrul maselor (CM) uei structuri. Forţele seismice sut forţe de ierţie, a căror rezultată acţioează î cetrul de masă. Reacţiuea 05 (b) sistem de preluare a fortelor gravitatioale

110 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] structurii acţioează îsă î cetrul de rigiditate al structurii. Atuci câd cetrul de rigiditate coicide cu cetrul de masă (Figura 6.6a), forţele seismice laterale care acţioează pe o direcţie oarecare iduc o mişcare de traslaţie uiformă a uui etaj al structurii. Dacă există o excetricitate ître cetrul de masă şi cel de rigiditate (vezi Figura 6.6b), pe lâgă compoeta de traslaţie, va exista şi o compoetă de rotaţie a plaşeului. Acest efect coduce la creşteri ale deplasărilor la margiea flexibilă ( 2x î Figura 6.6b) faţă de cele de la margiea rigidă ( x î Figura 6.6b) pe direcţia de aplicare a forţei. Î plus, vor apărea şi compoete de traslaţie pe direcţia perpediculară aplicării îcărcării seismice ( y şi 2y ). Este de otat că excetricitatea ditre cetrul de rigiditate şi cel al maselor se poate datora fie distribuţii euiforme a rigidităţii, fie distribuţiei euiforme a maselor structurii. 2x 2x D 2y Fx CR=CM Fx CM CR e 0y Y (a) Figura 6.6. Plaul uei structuri cu o dispuere simetrică a sistemelor de preluare a forţelor laterale (a) şi cu o dispuere esimetrică a acestora (b) Realizarea ca diafragme a plaşeelor X D x Plaşeele structurilor multietajate joacă u rol foarte importat î comportarea de asamblu a structurii. La structurile compuse di sisteme de preluare a forţelor laterale combiate cu sisteme de preluare a forţelor gravitaţioale (vezi Figura 6.5), efectul de diafragmă al plaşeelor asigură trasmiterea forţelor seismice către sistemele de preluare a forţelor laterale şi colucrarea spaţială a structurii. Efectul de diafragmă al plaşeelor este deosebit de util î cazul structurilor cu o formă eregulată î pla şi atuci câd sistemele de preluare a forţelor laterale dispuse pe o direcţie au rigidităţi diferite. Petru a asigura efectul de diafragmă, plaşeele structurilor trebuie să posede o rezisteţă şi o rigiditate adecvate. (b) D x D y F F (a) Figura 6.7. Deformaţiile uei structuri cu plaşee rigide (a) şi cu plaşee flexibile (b). Î Figura 6.7 este exemplificat efectul rigidităţii plaşeului asupra deformaţiilor laterale ale uei structuri. Î cazul uui plaşeu rigid (vezi Figura 6.7a), care asigură legătura ître cadrele perimetrale rigide (de preluare a îcărcărilor laterale) şi cele iterioare mai flexibile (de preluare a îcărcărilor gravitaţioale), forţele seismice sut preluate proporţioal cu rigiditatea cadrelor. Astfel, forţele seismice sut preluate î pricipal de cadrele rigide, iar plaşeul rigid asigură deformaţii egale ale cadrelor rigide şi ale celor flexibile. Î cazul uor plaşee flexibile (Figura 6.7b) cadrele rigide şi cele flexibile preiau î mod idepedet forţele seismice, a căror valoare este proporţioală cu masa aferetă fiecărui cadru. Î acest caz, di cauza (b) 06

111 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică masei aferete mai mari şi a rigidităţii mai mici, cadrele iterioare flexibile îregistrează deformaţii mult mai mari decât cele rigide, ceea ce implică degradări structurale şi estructurale mai ridicate Fudaţii adecvate Alcătuirea fudaţiilor costrucţiei şi a legăturii acesteia cu suprastructura trebuie să asigure codiţia ca îtreaga clădire să fie supusă uei acţiui seismice cât mai uiforme. Î cazul structurilor alcătuite ditr-u umăr de pereţi structurali cu rigiditate şi capacităţi de rezisteţă diferite, sut î geeral recomadabile ifrastructurile de tip cutie rigidă sau de tip radier casetat. Î cazul adoptării uor elemete de fudare idividuale (directă sau la adâcime, pri piloţi), este recomadabilă utilizarea uei plăci de beto armat sau a uor grizi de legătură ître aceste elemete, pe ambele direcţii Criterii de regularitate structurală Normele de proiectare seismică coţi criterii care clasifică structurile î regulate şi eregulate. Aceste criterii se referă atât la regularitatea î pla, cât şi la cea pe verticală. Clasificarea fucţie de regularitatea structurilor are implicaţii asupra următoarelor aspecte ale calculului la acţiuea seismică: modelul structural, care poate fi pla sau spaţial metoda de calcul structural, care poate fi cea cu forţe laterale sau metoda de calcul modal cu spectre de răspus valoarea factorului de comportare q, care trebuie redusă î cazul structurilor eregulate pe verticală Criterii de regularitate î pla O structură regulată î pla trebuie să aibă o distribuţie simetrică î pla a rigidităţii şi maselor î raport cu două axe ortogoale. Cofiguraţia î pla trebuie să fie compactă, apropiată de o formă poligoală covexă. Atuci câd există retrageri î pla, acestea trebuie să fie cât mai reduse (0% di aria totală coform P00-, 203). Petru a permite o distribuţie a forţelor seismice la sistemele de preluare a forţelor laterale, rigiditatea î pla a plaşeelor trebuie să fie suficiet de mare petru a permite modelarea acestora ca şi diafragme rigide. EN 998- (2004) coţie următoarea ceriţă petru regularitatea î pla. La fiecare ivel, î fiecare di direcţiile pricipale ale clădirii, excetricitatea va satisface codiţiile: e 0x 0.30 r x (6.33) e 0y 0.30 r y (6.34) ude: e 0x, e 0y distaţa ître cetrul de rigiditate şi cetrul maselor, măsurată î direcţie ormală pe direcţia de calcul (vezi Figura 6.6) r x, r y rădăcia pătrată a raportului ître rigiditatea structurii la torsiue şi rigiditatea laterală pe direcţia de calcul Coform P00- (203), î cazul structurilor mootoe pe verticală, rigiditatea laterală a compoetelor structurale (cadre, pereţi) se poate cosidera proporţioală cu u sistem de forţe laterale cu o distribuţie simplificată (vezi secţiuea 6.3.) care produce acestor compoete o deplasare uitară la vârful costrucţiei. Alterativ codiţiilor date de relaţiile (6.33) şi (6.34), structura este cosiderată regulată, cu sesibilitate relativ mică la răsucirea de asamblu, dacă deplasarea maximă îregistrată la o extremitate a clădirii este de cel mult de.35 ori mai mare decât media deplasărilor celor două extremităţi Criterii de regularitate pe verticală Petru ca o structură să fie cosiderată regulată pe verticală, ea trebuie să respecte următoarele codiţii (EN 998-, 2004; P00-, 203): Sistemele de preluare a forţelor laterale trebuie să se dezvolte fără îtreruperi de la fudaţii pâă la ultimul ivel al structurii Masa şi rigiditatea laterală a structurii trebuie să fie costate sau să se reducă gradual cu îălţimea P00- (203) cosideră că o structură este regulată pe verticală dacă rigiditatea şi rezisteţa laterală a uui ivel al acesteia u au reduceri mai mari de 30%, respectiv 20% di cele ale ivelurilor adiacete (ivelul imediat superior şi imediat iferior). Î plus, masa trebuie să aibă o distribuţie uiformă pe îălţime. Petru 07

112 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] ca această codiţie să fie cosiderată îdepliită, la ici u ivel masa aferetă u trebuie să depăşească cu mai mult de 50% masa ivelurilor adiacete. Atuci câd există retrageri, acestea trebuie să se îcadreze î limitele exemplificate î Figura 6.8 (EN 998-, 2004). L L L L3 + L 0.2 (retrageri la o îălţime peste 0.5H) L L3 + L 0.5 (retrageri la o îălţime sub 0.5H) L L L L L L2 0. L Figura 6.8. Criterii de regularitate petru structuri cu retrageri pe îălţime (EN 998-, 2004) Alegerea metodei de calcul structural Î Tabelul 6.3 este prezetată sitetic relaţia ditre regularitatea structurală (î pla şi pe verticală) şi simplificările admise î calculul structural, precum şi ecesitatea reducerii factorului de comportare q. P00- (203) recomadă o reducere a factorului de comportare de referiţă cu 20% î cazul structurilor eregulate pe verticală. Tabelul 6.3. Coseciţa regularităţii structurale asupra proiectării structurii (P00-, 203). Regularitate Simplificare de calcul admisă Factor de comportare petru Î pla Pe verticală Model Calcul elastic liiar calcul elastic liiar (q) Da Da Pla * Forţe laterale echivalete Valoarea de referiţă Da Nu Pla Modal Valoare redusă Nu Da Spaţial Modal Valoarea de referiţă Nu Nu Spaţial Modal Valoare redusă Notă: *Numai dacă costrucţia are o îălţime de pâă la 30 m şi o perioadă proprie T <.50 s. Regularitatea î pla a structurii implică o excetricitate mică ître cetrul de masă şi cel de rigiditate, adică efecte de torsiue reduse. Î acest caz forţele seismice care acţioează pe o aumită direcţie sut preluate doar de sistemele de rezisteţă dispuse pe aceeaşi direcţie, care se îcarcă î mod egal (vezi Figura 6.6a). Aceasta permite aaliza fiecărui sistem de preluare a forţelor laterale î parte, adică folosirea uui model pla. La râdul său, o structură reprezetată de o schemă structurală plaă, care este regulată pe verticală, are perioada fudametală T <.50 s şi o îălţime sub 30 m, răspude prepoderet î primul mod propriu de vibraţie şi, de aceea, poate fi aalizată folosid metoda forţelor laterale. Dacă o structură este regulată î pla, dar u şi pe verticală, modelul pla mai este posibil, dar răspusul total al acestuia are cotribuţii 08

113 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică semificative di modurile superioare de vibraţie. De aceea, astfel de structuri pot fi aalizate folosid modele plae, dar utilizâd o aaliză modală cu spectre de răspus. Structurile care u sut regulate î pla implică efecte de torsiue importate şi, î coseciţă, sistemele structurale de preluare a forţelor laterale dispuse pe direcţia cosiderată a forţelor seismice se îcarcă î mod euiform. Î plus, compoeta acţiuii seismice care acţioează după o aumită direcţie va solicita şi sistemele de rezisteţă dispuse perpedicular pe aceasta (vezi Figura 6.6b). Î aceste codiţii, este dificilă determiarea aportului diverselor sisteme de rezisteţă la preluarea îcărcării seismice dacă se folosesc modele plae. Soluţia cea mai simplă de determiare a răspusului structural o costituie, î acest caz, utilizarea uui model spaţial al structurii şi u calcul modal cu spectre de răspus. Factorul de comportare q reflectă capacitatea de deformare î domeiul ielastic, precum şi redudaţa şi suprarezisteţa structurii. Valoarea de referiţă a acestui factor este specificată î ormele de calcul seismic fucţie de tipul structurii, materialul di care este realizată aceasta şi clasa de ductilitate. Structurile care u sut regulate pe verticală sut susceptibile de cocetrări ale deformaţiilor plastice î aumite părţi ale structurii (o distribuţie euiformă a ceriţei de ductilitate), ceea ce este echivalet cu o ductilitate redusă pe asamblul structurii. Acest fapt implică ecesitatea folosirii u factor de comportare q redus faţă de valoarea de referiţă Modelul structural Petru determiarea forţelor seismice se folosesc modele structurale care trebuie să reprezite îtr-u mod adecvat distribuţia de rigiditate şi mase î structură. Atuci câd se foloseşte o aaliză ielastică, modelul structural trebuie să coţiă şi modelarea rezisteţei elemetelor structurale. Î geeral, structura poate fi cosiderată ca fiid alcătuită di sisteme de preluare a forţelor gravitaţioale şi sisteme de preluare a forţelor laterale, coectate la ivelul plaşeelor. Atuci câd plaşeele u pot fi cosiderate ifiit rigide î plaul lor (de exemplu cazul plaşeelor di lem, sau a celor di beto armat cu goluri de dimesiui mari), masele distribuite î structură pot fi cosiderate cocetrate î odurile structurii, coform suprafeţei aferete (vezi secţiuea 5..3 şi Figura 6.9a). Î astfel de cazuri se pot eglija compoetele de rotire ale maselor, î calculul structural cosiderâdu-se doar compoetele de traslaţie. Astfel, petru u model spaţial, î fiecare od al structurii se cosideră cocetrate compoetele de traslaţie după cele două direcţii orizotale. Î cazul î care plaşeele pot fi cosiderare ifiit rigide î plaul lor (de exemplu î cazul plaşeelor di beto armat, cu o formă regulată şi goluri de dimesiui mici), masele aferete uui ivel pot fi cocetrate î cetrul de masă al acelui ivel. Masele cocetrate vor avea compoete după direcţiile gradelor de libertate ale diafragmelor rigide (două traslaţii î pla orizotal şi o rotire faţă de axa verticală, vezi secţiuea 5..3 şi Figura 6.9b). Compoetele de traslaţie ale masei se determiă îsumâd toate masele aferete ivelului respectiv: M = M = m (6.35) x y i Compoeta de rotire a masei de ivel M zz poartă deumirea de momet de ierţie al masei şi se poate determia coform relaţiei: M zz = md (6.36) 2 i i ude d i este distaţa de la cetrul de masă la masa discretă m i (vezi Figura 6.9c). Î cazul uei mase distribuite uiform pe o suprafaţă, mometul de ierţie al masei se calculează ca şi produsul ditre mometul de ierţie polar şi valoarea masei uiform distribuită pe suprafaţă. 09

114 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] yi m xi M y d i m i Y X Mzz Mx CM (a) (b) (c) Figura 6.9. Cocetrarea maselor î oduri la plaşee flexibile (a); cocetrarea masei î cetrul de masă î cazul uor diafragme rigide (b); masa m i şi distaţa d i petru calcul mometului de ierţie al masei (c). Î cazul structurilor di beto armat, compuse oţel-beto şi di zidărie, care sut proiectate să răspudă î domeiul ielastic î timpul uui cutremur de calcul, rigiditatea elemetelor structurale trebuie redusă petru a reflecta fisurarea betoului sau zidăriei. Deformabilitatea fudaţiei şi/sau deformabilitatea tereului trebuie luate î cosiderare, dacă acestea au o iflueţă semificativă asupra răspusului structural Efectele de torsiue accidetală Î cazul costrucţiilor cu plaşee ideformabile î plaul lor, efectele geerate de icertitudiile asociate distribuţiei maselor de ivel şi/sau variaţiei spaţiale a mişcării seismice a tereului se cosideră pri itroducerea uei excetricităţi accidetale adiţioale. Aceasta trebuie luată î calcul petru fiecare direcţie pricipală a structurii şi petru fiecare ivel, şi se raportează la cetrul maselor. Excetricitatea accidetală se calculează cu expresia (vezi Figura 6.20): e i = ±0.05 L i (6.37) ude: e i excetricitatea accidetală a masei de la ivelul i faţă de poziţia calculată a cetrului maselor, aplicată pe aceeaşi direcţie la toate ivelurile L i dimesiuea plaşeului perpediculară pe direcţia acţiuii seismice. ±e x Y CM Fx ±e L CM y y X Fy Figura Defiiţia excetricităţii accidetale. Î cazul î care petru obţierea răspusului seismic se utilizează u model spaţial, efectul de torsiue produs de o excetricitate accidetală se poate cosidera pri itroducerea la fiecare ivel a uui momet de torsiue: î care: M i momet de torsiue aplicat la ivelul i î jurul axei sale verticale e i excetricitate accidetală a masei de la ivelul i coform relaţiei F i forţa seismică orizotală aplicată la ivelul i M i = e ifi (6.38) Mometul de torsiue se va calcula petru toate direcţiile şi sesurile cosiderate î calcul. Lx 0

115 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică 6.8. Clase de importaţă şi de expuere Fucţie de destiaţia costrucţiilor, diferite structuri ecesită diferite iveluri de siguraţă. Importaţa costrucţiilor depide de coseciţele prăbuşirii asupra vieţii oameilor, de rolul lor î siguraţa publică şi protecţia civilă î perioada imediat următoare cutremurului şi de coseciţele sociale şi ecoomice ale prăbuşirii sau avarierii grave. P00- (203) specifică ivelul ecesar al siguraţei pri clasificarea structurilor î diferite clase de importaţă şi de expuere la cutremur. Fiecărei clase de importaţă i se atribuie u factor de importaţă γ I,e (vezi Tabelul 6.4). Valoarea de proiectare a acţiuii seismice A Ed este egală cu valoarea caracteristică a acţiuii seismice A Ek îmulţită cu factorul de importaţă şi expuere a costrucţiei γ I,e : A Ed = γ I,e A Ek (6.39) Multiplicarea acțiuii seismice de referiță cu factorul de importață-expuere este echivaletă cu cosiderarea uui hazard seismic superior (factori suprauitari) sau iferior (factor subuitar) celui de referiță. Costrucțiile proiectate petru u ivel superior al hazardului seismic au u iveluri de siguraţă superior. Clasa de importaţă I II Tabelul 6.4. Clase de importaţă şi de expuere la cutremur petru clădiri (P00-, 203). Tipuri de clădiri Clădiri avâd fucţiui eseţiale, petru care păstrarea itegrităţii pe durata cutremurelor este vitalăpetru protecţia civilă, cum sut: (a) Spitale şi alte clădiri di sistemul de săătate, care sut dotate cu servicii de urgeţă/ambulaţă şi secţii de chirurgie; (b) Staţii de pompieri, sedii ale poliţiei şi jadarmeriei, parcaje supraterae multietajate şi garaje petru vehicule ale serviciilor de urgeţăde diferite tipuri; (c) Staţii de producere şi distribuţie a eergiei şi/sau care asigurăservicii eseţiale petru celelalte categorii de clădiri meţioate aici; (d) Clădiri care coţi gaze toxice, explozivi şi/sau alte substaţe periculoase; (e) Cetre de comuicaţii şi/sau de coordoare a situaţiilor de urgeţă; (f) Adăposturi petru situaţii de urgeţă; (g) Clădiri cu fucţiui eseţiale petru admiistraţia publică; (h) Clădiri cu fucţiui eseţiale petru ordiea publică, gestioarea situaţiilor de urgeţă, apărarea şi securitatea aţioală; (i) Clădiri care adăpostesc rezervoare de apă şi/sau staţii de pompare eseţiale petru situaţii de urgeţă şi alte clădiri de aceeaşi atură Clădiri care prezită u pericol major petru siguraţa publică î cazul prăbuşirii sau avarierii grave, cum sut: (a) Spitale şi alte clădiri di sistemul de săătate, altele decât cele di clasa I, cu o capacitate de peste 00 persoae î aria totală expusă; (b) Şcoli, licee, uiversităţi sau alte clădiri di sistemul de educaţie, cu o capacitate de peste 250 persoae î aria totalăexpusă; (c) Aziluri de bătrâi, creşe, grădiiţe sau alte spaţii similare de îgrijire a persoaelor; (d) Clădiri multietajate de locuit, de birouri şi/sau cu fucţiui comerciale, cu o capacitate de peste 300 de persoae î aria totală expusă; (e) Săli de coferiţe, spectacole sau expoziţii, cu o capacitate de peste 200 de persoae î aria totalăexpusă, tribue de stadioae sau săli de sport; (f) Clădiri di patrimoiul cultural aţioal, muzee ş.a.; (g) Clădiri parter, iclusiv de tip mall, cu mai mult de 000 de persoae î aria totalăexpusă; (h) Parcaje supraterae multietajate cu o capacitate mai mare de 500 autovehicule, altele decât cele di clasa I; (i) Peiteciare; (j) Clădiri a căror îtrerupere a fucţiuii poate avea u impact major asupra populaţiei, cum sut: clădiri care deservesc direct cetrale electrice, staţii de tratare, epurare, pompare a apei, staţii de producere şi distribuţie a eergiei, cetre de telecomuicaţii, altele decât cele di clasa I; (k) Clădiri avâd îălţimea totalăsuprateraămai mare de 45m şi alte clădiri de aceeaşi atură. III Clădiri de tip curet, care u aparţi celorlalte clase.0 Clădiri de mică importaţă petru siguraţa publică, cu grad redus de ocupare şi/sau de IV 0.8 mică importaţă ecoomică, costrucţii agricole, costrucţii temporare etc. γ I,e.4.2

116 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Combiarea acţiuii seismice cu alte tipuri de acţiui Combiaţiile de îcărcări petru verificarea structurilor se îtocmesc coform CR Î cazul acţiuii seismice, combiaţia de îcărcări petru verificarea la starea limită ultimă se determiă coform relaţiei: N k, j Ed 2, i ki, j= i= N G + A + ψ Q (6.40) ude: G k,j valoarea caracteristică a acţiuii permaete j Q k,i valoarea caracteristică a acţiuii variabile i A ed valoarea de proiectare a acţiuii seismice ψ 2,i coeficiet petru determiarea valorii cvasipermaete a acţiuii variabile Q i, vezi Tabelul 6.5 γ I,e coeficiet de importaţă-expuere (vezi Tabelul 6.4) Î combiaţia de îcărcări petru verificarea la SLU, îcărcările permaete sut itroduse cu valoarea lor caracteristică. Îcărcările variabile sut cosiderate doar cu fracţiuea cvasipermaetă di îcărcarea caracteristică. Această abordare reflectă probabilitatea mai mică de producere a uui cutremur cu IMR corespuzător SLU cocomitet cu atigerea valorii maxime a îcărcării variabile. Acţiuile variabile care se cosideră î combiaţia seismică sut cele di zăpadă şi cele datorate exploatării. Îcărcările variabile di vât şi di variaţii de temperatură u se combiă cu acţiuea seismică (ψ 2,i = 0 î acest caz). Tabelul 6.5. Coeficietul ψ 2,i petru determiarea valorii cvasipermaete a acţiuii variabile (CR 0-202) Tipul acţiuii ψ 2,i Acţiui di exploatare: rezidețial și birouri 0.3 Acţiui di zăpadă 0.4 Acţiui di exploatare: spații de depozitare 0.8 Acţiui di vât şi acţiui di variaţii de temperatură 0 Petru a determia valoarea caracteristică a acţiuii seismice A ek, este ecesară cuoaşterea maselor structurii. Aceste mase sut cele care corespud îcărcărilor gravitaţioale (permaete şi variabile) prezete î combiaţia de îcărcări (6.40). Astfel, masele structurii pe baza cărora se determiă A ek sut cele corespuzătoare următoarelor îcărcări: N N G + ψ Q (6.4) k, j 2, i ki, j= i= 6.0. Cocepte de proiectare Structurile amplasate î zoe seismice pot fi proiectate urmâd două cocepte pricipial diferite: comportare disipativă (ductilă) a structurii comportare slab-disipativă (fragilă) a structurii Difereţa ître comportarea disipativă şi slab-disipativă a uei structuri este dictată de ductilitatea acesteia. Ductilitatea reprezită capacitatea structurii de a se deforma î domeiul plastic fără o reducere substaţială a capacităţii portate. Î Figura 6.2 sut prezetate la ivel pricipial relaţii forţă-deplasare ce caracterizează structuri cu comportare ductilă şi fragilă. Î cazul uei structuri cu o comportare fragilă, după atigerea limitei elastice (care este apropiată de forţa maximă), forţa îregistrează o degradare bruscă. Structurile cu o comportare fragilă au o capacitate redusă de deformare î domeiul ielastic. Nomele de proiectare seismică EN 998- (2004) şi P00- (203) folosesc î loc de oţiuea de "comportare fragilă" termeul echivalet de "comportare slab-disipativă". 2

117 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică FORTA limita elastica cedare COMPORTARE FRAGILA cosolidare COMPORTARE DUCTILA cedare limita elastica Figura 6.2. Reprezetarea pricipială a uei comportări ductile şi fragile a structurii. Î cazul uei structuri ductile, după atigerea limitei elastice, structura se deformează î domeiul ielastic, pâă la atigerea forţei maxime (palier de cosolidare). Structura cedează (forţa îregistrează o scădere substaţială) umai după cosumarea uor deformaţii ielastice importate. Structurile ductile pot supraveţui uor forţe seismice ce depăşesc forţa de curgere, deoarece după atigerea limitei elastice ele se pot deforma î domeiul ielastic fără o degradare substaţială a forţei. Nomele de proiectare seismică EN 998- (2004) şi P00- (203) folosesc î loc de oţiuea de "comportare ductilă" termeul echivalet de "comportare disipativă" Coceptul de proiectare disipativă a structurii DEPLASARE După cum s-a meţioat aterior (vezi secţiuea 6.2.2), î multe cazuri proiectarea structurilor pe baza coceptului de comportare slab-disipativă este eecoomică. Î aceste cazuri, îcărcarea seismică de proiectare poate fi redusă substaţial faţă de cea corespuzătoare uui răspus elastic. Ca urmare a acestui fapt, sub acţiuea seismică de calcul corespuzătoare Stării Limită Ultime (SLU) structura va depăşi limita elastică, îregistrâd deformaţii ielastice. Î coseciţă, structura va fi avariată, elemetele structurale suferid degradări. Totuşi, petru a preîtâmpia avarierea excesivă a structurii şi a respecta ceriţa fudametală de comportare la SLU siguraţa vieţii (vezi secţiuea 6.), deformaţia ielastică impusă de către acţiuea seismică u trebuie să depăşească capacitatea de deformare î domeiul ielastic a structurii. Astfel, rezisteţa miimă la forţe laterale (F y ) care trebuie asigurată structurii petru ca aceasta să u îregistreze avarii excesive este î relaţie directă cu capacitatea structurii de deformare î domeiul ielastic. Petru u ivel dat al acţiuii seismice corespuzătoare SLU, pot fi determiate diferite combiaţii rezisteţă/ductilitate care să asigure satisfacerea ceriţelor de proiectare la SLU (siguraţa vieţii). Î Figura 6.22a este prezetată relaţia pricipială ître rezisteţa structurii la forţe laterale (F y ) şi ceriţa de deplasare ielastică (d i ) impusă structurii de u ivel dat al acţiuii seismice, petru structuri cu perioada proprie de vibraţie T mai mare decât perioada de cotrol T C a mişcării seismice. Î acest caz ceriţa de deplasare ielastică (d i ) este aproximativ egală cu cea corespuzătoare uui răspus ifiit elastic (d el ), fiid valabil pricipiul "deplasărilor egale" (vezi secţiuea 4.6.3). După cum se poate observa di Figura 6.22a, cu cât rezisteţa structurii la forţe laterale (F y ) este mai mică, cu atât ceriţa de ductilitate (µ = d i /d y ) impusă structurii este mai mare. Astfel, structurile care posedă o ductilitate mai mare pot fi proiectate petru forţe laterale mai mici şi viceversa. Î cazul structurilor a căror perioadă proprie de vibraţie T este iferioară perioadei de cotrol T C a mişcării seismice (vezi Figura 6.22b), deplasările ielastice d i ale uei structuri sut mai mari decât deplasările d el di sistemul elastic corespuzător. Cocluzia aterioară asupra relaţiei ître rezisteţa la forţe laterale a structurii şi ceriţa de ductilitate se păstrează, dar di cauza ceriţelor mai ridicate de deplasări ielastice, petru o valoare dată a ductilităţii, va fi ecesară asigurarea uei rezisteţe mai ridicate a structurii decât î cazul T T C. 3

118 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] F F F el raspus elastic F el raspus elastic F y3 µ 3 F y3 µ 3 F y2 µ 2 raspus ielastic F y2 µ 2 raspus ielastic F y µ F y µ d y d y2 d y3 d i =d el d d y d y2 d y3 d el d i3 d i2 d i d (a) Figura Relaţia pricipială ître rezisteţa structurii şi ceriţa de deplasare ielastică: T T C (a) şi T < T C (b). Normele de proiectare seismică oferă posibilitatea alegerii uor iveluri diferite de ductilitate (de obicei trei) a structurilor, îcadrâdu-le pe acestea di urmă î clase de ductilitate. Alegerea uei clase de ductilitate la proiectarea uei structuri oi are două coseciţe majore î procesul de proiectare. Prima ditre acestea o reprezită valoarea îcărcării seismice de proiectare, care este determiată pe baza uui spectru de proiectare, redus faţă de cel elastic pri itermediul factorului de comportare q. Structurile proiectate coform uei clase de ductilitate mai ridicate (şi care au o ductilitate mai mare) au asociate valori mai ridicate ale factorului de comportare q, şi, î coseciţă, forţe seismice de proiectare mai mici. Cea de-a doua coseciţă a alegerii clasei de ductilitate costă î ecesitatea asigurării uui aumit ivel de ductilitate la ivel de structură. Î acest scop, ormele de proiectare seismică coţi prevederi specifice de detaliere şi proiectare petru structurile di fiecare clasă de ductilitate, prevederi care au meirea să asigure structurii valori ale ductilităţii î acord cu clasa de ductilitate aleasă. Ductilitatea uei structuri se asigură pe baza uor criterii specifice diferitelor materiale de costrucţii (oţel, b.a., lem, etc.) şi tipuri de structuri (cadre cotravâtuite şi ecotravâtuite, pereţi structurali, etc.). Verificarea directă a ductilităţii uei structuri ar fi posibilă doar dacă la proiectarea uei structuri s-ar folosi metode de calcul eliiar (ielastic), static sau diamic. Totuşi, calculul eliiar este cosiderat î prezet prea complex şi laborios petru proiectarea curetă a structurilor la acţiuea seismică, fiid utilizat doar la proiectarea structurilor de importaţă ridicată. Metoda curetă de proiectare a structurilor amplasate î zoe seismice foloseşte metode de calcul elastic (calcul modal cu spectre de răspus sau calcul cu forţe laterale, vezi secţiuea 6.3), î care forţele seismice de proiectare (F Ed ) se obţi pri reducerea forţelor seismice corespuzătoare uui răspus elastic (F el ) pri itermediul factorului de comportare q. După cum se poate vedea di Figura 6.23, îtr-u calcul elastic, sub acţiuea forţelor seismice de proiectare, structura va avea u răspus elastic şi va îregistra o deplasare d e. Acest model al structurii este îsă pricipial diferit de comportarea reală a structurii, care va îregistra deformaţii î domeiul ielastic (d i ) sub efectul acţiuii seismice de calcul. De aceea, dimesioarea elemetelor structurale şi a îmbiărilor pe baza eforturilor obţiute ditr-u calcul elastic u este suficietă petru proiectarea uei structuri la acţiuea seismică. Î geeral, u este ecoomică şi ici posibilă realizarea tuturor elemetelor uei structuri ca şi elemete ductile. Ievitabil o structură disipativă (ductilă) va coţie atât elemete disipative (ductile), cât şi elemete edisipative (fragile). Petru a asigura o comportare disipativă (ductilă) la ivelul îtregii structuri, trebuie preîtâmpiată cedarea elemetelor fragile. Aceasta se poate realiza pri ierarhizarea rezisteţei elemetelor structurale, care să coducă la plasticizarea elemetelor structurale ductile, preîtâmpiâd cedarea elemetelor structurale fragile. Acest pricipiu de proiectare se umeşte proiectare bazată pe capacitate şi este exemplificat î Figura Astfel, structura (laţul) di Figura 6.24 este supusă la îcărcarea seismică de proiectare F Ed. Î urma uui calcul elastic, toate elemetele acestei structuri (ductile şi fragile) vor 4 (b)

119 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică îregistra eforturi egale cu F Ed. Aceste eforturi servesc la dimesioarea elemetelor structurale ductile, folosid relaţii de verificare de tipul următor: F ductil, Rd F (6.42) Î structura acţioată de îcărcarea seismică de calcul la SLU eforturile di elemetele structurale vor fi îsă î geeral mai mari decât F Ed, fiid limitate de rezisteţa elemetelor ductile (F ductil,rd ). Pri urmare, petru a preîtâmpia cedarea elemetelor fragile, acesta trebuie dimesioate astfel îcât să posede o suprarezisteţă faţă de capacitatea elemetelor ductile: F Ed Ω F (6.43) fragil, Rd ductil, Rd ude Ω este u coeficiet suprauitar şi ţie cot de diversele aspecte care pot coduce la rezisteţe ale elemetelor ductile mai mari decât cele de calcul (feomee de cosolidare, rezisteţă a materialului mai mare decât cea cosiderată î calcul, etc.). F F el răspus ifiit elastic F Ed = F el /q răspus ielastic răspus sub acţiuea seismică de calcul de d el d i d Figura Relaţia pricipială ître forţele seismice corespuzătoare uui răspus ifiit elastic (F el ), forţele seismice de proiectare (F Ed ) şi răspusul ielastic al structurii. Figura Pricipiul de proiectare bazată pe capacitate (adaptat după Paulay şi Priestley, 992). Î cocluzie, proiectarea structurilor la acţiuea seismică coform pricipiului de comportare disipativă implică două faze. Î prima fază se dimesioează elemetele ductile (disipative) pe baza eforturilor determiate ditr-o aaliză elastică a structurii supusă forţelor seismice de proiectare. Pe lâgă rezisteţă, elemetele desemate ductile trebuie să posede şi o ductilitate corespuzătoare clasei de ductilitate alese. Ductilitatea se asigură pri folosirea uor detalii costructive şi pricipii de proiectare specifice diferitelor materiale şi tipuri de structuri, şi sut descrise î capitolele 7, 8 şi 9. Î cea de-a doua fază proiectarea bazată pe capacitate se dimesioează elemetele fragile (edisipative) pe baza uor eforturi î acestea corespuzătoare plasticizării elemetelor ductile. Această procedură de proiectare are scopul să asigure o suprarezisteţă a elemetelor fragile faţă de cele ductile, coducâd la structuri ductile per asamblu Coceptul de proiectare slab-disipativă a structurii Structurile slab-disipative (fragile) au o ductilitate eglijabilă. Deoarece după atigerea limitei elastice forţa îregistrează o degradare bruscă, aceste structuri trebuie proiectate astfel, ca sub acţiuea seismică corespuzătoare SLU structura să rămâă î domeiul elastic. Î acest scop, îcărcarea seismică de calcul 5

120 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] trebuie determiată pe baza spectrului de răspus elastic (vezi ecuaţia (6.)), iar efortul î elemetul cel mai solicitat al structurii u trebuie să depăşească efortul capabil al acelui elemet. Prima ditre aceste codiţii este echivaletă cu determiarea spectrului de proiectare (ecuaţiile (6.4) şi (6.5)) folosid u factor de comportare q=. Cea de-a doua codiţie implică faptul că structurile proiectate coform coceptului de comportare slab-disipativă trebuie să aibă u răspus prepoderet elastic sub acţiuea îcărcărilor seismice de calcul, ceea ce permite proiectarea acestora coform procedurilor de calcul folosite la proiectarea structurilor amplasate î zoe eseismice. Astfel, ormele de calcul seismic (de ex. P00-, 203 şi EN 998-, 2004) se folosesc doar petru determiarea îcărcării seismice, iar verificările structurii la SLU se efectuează coform ormelor geerale de calcul a structurilor (de exemplu SR EN 993 î cazul structurilor metalice) Alegerea pricipiului de proiectare Proiectarea uei structuri ca şi disipativă sau slab-disipativă este la latitudiea proiectatului. Pricipial, orice structură poate fi proiectată coform ueia ditre cele două abordări. Alegerea pricipiului de proiectare este de atură ecoomică şi depide de tipul structurii şi de zoa seismică. Î geeral, detaliile costructive şi ceriţele de proiectare meite să asigure ductilitate elemetelor disipative coduc la u cosum mai ridicat de materiale î structură. De aceea, dacă forţele seismice elastice (ereduse) care acţioează asupra uei structuri sut relativ mici (structura este dimesioată prepoderet di alte combiaţii de îcărcări decât cea seismică), se poate folosi pricipiul de proiectare slab-disipativă a structurii, care, pri omiterea ceriţelor de proiectare meite să asigure o comportare globală ductilă, va simplifica procesul de proiectare şi va coduce la u cosum redus de material. Totuşi, petru multe tipuri de structuri acţiuea seismică reprezită o solicitare foarte severă îm comparaţie cu alte acţiui, iar asigurarea uui răspus elastic al structurii sub efectul acţiuii seismice de calcul la SLU ar coduce la dimesiui exagerate ale elemetelor structurale şi la u cosum excesiv de material. Î acest caz, se poate adopta pricipiul de proiectare disipativă a structurii, exploatâd capacitatea structurii de a se deforma î domeiul ielastic (ductilitatea) şi proiectâd structura petru işte forţe seismice reduse faţă de cele corespuzătoare uui răspus elastic. Î coseciţă, pricipiul de proiectare slab-disipativă se dovedeşte ecoomic î cazul uor forţe seismice mici, iar cel de proiectare disipativă este mai ecoomic î cazul uor forţe seismice ridicate. Forţele seismice fiid forţe de atură ierţială, sut geerate de acceleraţia care acţioează asupra maselor structurii ca urmare a mişcării seismice impuse bazei structurii. De aceea, forţele seismice vor avea valori reduse î cazul uor structuri uşoare şi atuci câd acţiuea seismică are o itesitate redusă (zoe cu seismicitate redusă). Viceversa, forţele seismice au valori importate î cazul structurilor cu mase mari şi a structurilor amplasate î zoe cu seismicitate ridicată. U exemplu de structură uşoară, la care se pretează pricipiul de proiectare slab-disipativă, este reprezetat de halele metalice parter. Acestea sut caracterizate pe de o parte de greutăţii proprii relativ mici şi pe de altă parte de îcărcări mici di exploatare. Exemple tipice de structuri care atrag asupra lor forţe seismice ridicate sut structurile multietajate (metalice, di b.a., sau compuse oţel-beto). Toate criteriile de proiectare care sut prezetate î cele ce urmează se referă la proiectarea structurilor coform pricipiului de comportare disipativă. 6.. Verificarea la SLU Coform EN 998- (2004) verificarea uei structuri la SLU ecesită îdepliirea următoarelor ceriţe pricipale: rezisteţă, ductilitate, rezisteţa fudaţiilor şi rosturi seismice. P00- (203) impue suplimetar limitarea deplasărilor laterale de ivel la SLU Codiţia de rezisteţă Codiţia de rezisteţă implică verificarea elemetelor structurale (şi î uele cazuri a celor estructurale) la eforturile de calcul determiate di combiaţia de îcărcări corespuzătoare acţiuii seismice. Relaţia de verificare geerică are forma: E d R d (6.44) 6

121 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică ude: E d valoarea de proiectare a efectului acţiuii, î combiaţia care coţie acţiuea seismică R d valoarea corespuzătoare efortului capabil Î geeral, î calculul structural trebuie cosiderate şi efectele de ordiul doi (calcul geometric eliiar). Îtr-u calcul geometric eliiar îcărcările sut aplicate pe forma deformată a structurii, ceea ce coduce la deplasări şi eforturi mai mari decât îtr-u calcul liiar elastic. Efectele de ordiul doi sut importate petru elemetele solicitate la forţe de compresiue mari şi î cazul uor deplasări laterale mari. Î cazul acţiuii seismice efectele de ordiul doi pot fi importate deoarece deplasările laterale sut cosiderabile. Totuşi, efectele de ordiul doi pot fi eglijate dacă petru fiecare ivel al structurii este îdepliită următoarea codiţie: Ptot dr θ = 0.0 (6.45) Vtoth ude: θ coeficietul de sesibilitate al deplasării relative de ivel P tot îcărcarea verticală totală la ivelul cosiderat, î ipoteza de calcul seismic d r deplasarea relativă de ivel, determiată ca difereţa deplasărilor laterale medii la partea superioară şi la cea iferioară ivelului cosiderat, determiată pe baza deplasărilor corespuzătoare SLU - calculate coform relaţiei (6.46) V tot forţa tăietoare totală de ivel h îălţimea de ivel Coform P00- (203) şi EN98- (2004), dacă 0. < θ 0.2, efectele de ordiul doi pot fi luate î cosiderare î mod aproximativ, multiplicâd valorile de calcul ale eforturilor cu factorul /(-θ). Dacă 0.2 < θ < 0.3, determiarea valorilor eforturilor secţioale se face pe baza uui calcul structural cu cosiderarea echilibrului pe poziţia deformată a structurii (pritr-u calcul de ordiul doi explicit). Nu se admit valori θ 0.3, acestea idicâd o sesibilitate exagerată a structurii la efectele de ordiul doi, care o face susceptibilă de pierderea stabilităţii globale Limitarea deplasărilor laterale la SLU Calculul deplasărilor laterale petru SLU se face cu relaţia: d s = cqd e (6.46) ude: d s deplasarea uui puct di sistemul structural ca efect al acţiuii seismice q factorul de comportare specific tipului de structură d e deplasarea aceluiaşi puct di sistemul structural, determiată pri calcul static elastic sub îcărcări seismice de proiectare c factor suprauitar care ţie seama de faptul că î răspusul seismic ielastic ceriţele de deplasare sut superioare celor di răspusul elastic petru structuri cu perioada de oscilaţie mai mică decât T C (vezi secţiuea şi Figura 4.8) Petru structurile di b.a. și compuse oțel-beto valorile coeficietului c se determiă coform relaţiei: T c T C = (6.47) C T q.7 ude T este perioada proprie fudametală de vibraţie a structurii. Petru structurile di oțel valorile coeficietului c se determiă coform relaţiei: ΩT ΩT TC + 3dacăT < TC c = q q T dacăt TC ude: q factorul de comportare specific tipului de structură; Ω T valoarea suprarezisteţei sistemului structural (vezi capitolul 7). (6.48) 7

122 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Coform P00- (203), verificarea deplasărilor relative de ivel la starea limită ultimă are drept scop evitarea pierderilor de vieţi omeeşti pri preveirea prăbuşirii totale a elemetelor estructurale. Se urmăreşte deopotrivă realizarea uei marje de siguraţă suficiete faţă de stadiul cedării elemetelor structurale. Verificarea la deplasare se face pe baza expresiei: ULS ULS dr = cqdre dr,a (6.49) ude: ULS d r deplasarea relativă de ivel sub acţiuea seismică asociată SLU; d re deplasarea relativă de ivel, determiată pri calcul static elastic di îcărcări seismice de proiectare; d valoare admisibilă a deplasării relative de ivel, egală cu 0.025h (ude h este îălţimea de ivel). ULS r,a Î Figura 6.25 este prezetată relaţia ditre forţă tăietoare de bază şi deplasarea laterală la vârful uei structuri. Î urma uui calcul elastic di forţele de proiectare F Ed se obţie deplasarea d e. Această deplasare este determiată pe baza spectrului de proiectare, redus pri itermediul factorului q faţă de spectrul elastic, şi u reprezită deplasarea reală (ielastică) pe care o va îregistra structura sub efectul acţiuii seismice la SLU. De aceea, este ecesară estimarea deplasării ielastice d s pe care o va îregistra structura supusă acţiuii seismice de calcul. Dacă structura ar avea o comportare ifiit elastică, acţiuii seismice ereduse i-ar corespude forţa elastică q F Ed şi deplasarea q d e. Atuci câd perioada fudametală a structurii este mai mare decât perioada de cotrol T C a spectrului de răspus, deplasările elastice sut egale cu cele ielastice (d s = q d e ), coeficietul c avâd valoarea. Dacă perioada proprie de vibraţie a structurii este mai mică decât perioada de cotrol T C a spectrului de răspus, deplasările ielastice sut mai mari decât cele elastice (d s = c q d e ), coeficietul c avâd valori suprauitare. q F Ed raspus ifiit elastic raspus ielastic F Ed de q de c q de d Figura Calculul deformaţiilor la SLU coform P00- (203) Verificarea ductilităţii locale şi globale Compoeta pricipală a factorului de comportare q o costituie ductilitatea structurii. Factorii de comportare q pe care se bazează determiarea forţelor seismice de proiectare sut specificaţi î ormele de proiectare seismică fucţie de material, clasa de ductilitate şi tipul structurii, şi pot fi afectaţi de regularitatea pe verticală a structurii. Structura proiectată trebuie să posede ductilitatea locală şi globală pe care s-a bazat determiarea factorilor de comportare q. Criteriile de asigurare a ductilităţii locale (la ivel de material, secţiue şi elemet structural) sut specificate de orme petru fiecare tip de material şi structură î parte. O codiţie geerală petru toate tipurile de materiale şi structuri o costituie asigurarea uei ductilităţi globale adecvate. Aceasta di urmă se poate obţie pri ierarhizarea rezisteţei elemetelor structurale urmărid pricipiile de proiectare bazată pe capacitate, petru a localiza deformaţiile plastice î elemetele ductile şi a evita cedarea î elemetele fragile. Suplimetar, î scopul obţierii uei ductilităţi globale corespuzătoare la structurile multietajate, 8

123 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică este ecesară asigurarea uui mecaism plastic global a structurii (vezi Figura 6.26a). Acest mecaism asigură u umăr maxim de zoe plastice şi o solicitare uiformă a acestora. Trebuie evitate mecaismele plastice de ivel (vezi Figura 6.26b), deoarece î acest caz deformaţiile ielastice sut cocetrate îtr-u umăr redus de zoe plastice, avâd ceriţe de deformaţii ielastice θ loc mai ridicate decât î cazul uui mecaism plastic global θ gl, la aceeaşi deplasare globală a structurii δ Rezisteţa fudaţiilor (a) Figura Mecaism plastic global (a) şi mecaism plastic de ivel (b). Reacţiuile î fudaţii determiate pe baza forţelor seismice de proiectare sut mai mici decât cele care vor apărea î cazul uui cutremur corespuzător SLU, deoarece acestea au fost determiate pe baza spectrului de proiectare. Î coseciţă, dimesioarea fudaţiilor şi a priderilor elemetelor structurale î fudaţii (ambele cosiderate elemete fragile) trebuie realizată pe baza uor eforturi obţiute pe pricipiul proiectării bazate pe capacitate, î ipoteza formării uui mecaism plastic î suprastructură. Astfel, eforturile petru care trebuie dimesioate fudaţiile şi priderile structurii î fudaţie trebuie să corespudă plasticizării şi cosolidării elemetelor di suprastructură care au iflueţa cea mai mare asupra eforturilor di fudaţii Rosturi seismice Î geeral, la proiectarea uei structuri aceasta se cosideră idepedetă de clădirile îveciate. O evetuală ciocire a două clădiri îveciate poate determia avarierea gravă a acestora. De aceea, este ecesară asigurarea uui rost seismic ître clădirile îveciate sau ître corpurile idepedete ale aceleiaşi clădiri. Probabilitatea ciocirii a două structuri alăturate şi efectele acesteia sut maxime atuci câd structurile au caracteristici diamice diferite (masă, rigiditate, îălţime, etc.), deoarece î acest caz oscilaţiile structurilor sut diferite şi pot fi defazate. (b) d d 2 Figura Rostul seismic ecesar ître două clădiri. Coform P00- (203), î cazul clădirilor cu caracteristici diamice diferite, dimesiuea rostului ditre cele două clădiri se stabileşte pe baza relaţiei (vezi Figura 6.27): d + d (6.50) 2 2,max 2,max 9

124 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] ude: Δ este lăţimea ecesară a rostului seismic; d, d 2 sut deplasările maxime ale celor două clădiri sub acţiuea îcărcărilor seismice orizotale la ivelul extremităţilor superioare ale corpului de clădire cu îălţimea mai mică, deplasări calculate coform relaţiei (6.46). Î cazul structurilor alăturate cu caracteristici diamice similare se pot adopta valori ale rostului mai mici, stabilite di codiţia de dilataţie cotracţie Verificarea la SLS Coform P00- (203), verificarea la starea limită de serviciu (SLS) are drept scop meţierea fucţiuii pricipale a clădirii î urma cutremurelor, care pot apărea de mai multe ori î viata costrucţiei, pri limitarea degradării elemetelor estructurale şi a compoetelor istalaţiilor costrucţiei. Pri satisfacerea acestei codiţii se limitează implicit şi costurile reparaţiilor ecesare petru aducerea costrucţiei î situaţia aterioară seismului. Calculul deplasărilor laterale petru SLS se face cu relaţia: ds = νqde (6.5) ude: d s deplasarea uui puct di sistemul structural ca efect al acţiuii seismice la SLS q factorul de comportare specific tipului de structură d e deplasarea aceluiaşi puct di sistemul structural, determiată pri calcul static elastic sub îcărcări seismice de proiectare ν factor de reducere care ţie seama de itervalul de recureţă al acţiuii seismice asociat verificărilor petru SLS (ν = 0.5). Î Figura 6.28 este prezetată relaţia ditre forţă tăietoare de bază şi deplasarea laterală la vârful uei structuri. Î urma uui calcul elastic di forţele de proiectare F Ed se obţie deplasarea d e. Această deplasare este determiată pe baza spectrului de proiectare, redus pri itermediul factorului q faţă de spectrul elastic, şi u reprezită deplasarea pe care o va îregistra structura sub efectul acţiuii seismice la SLS. De aceea, este ecesară estimarea deplasării d s pe care o va îregistra structura supusă acţiuii seismice la SLS. Dacă structura ar avea o comportare ifiit elastică, acţiuii seismice ereduse i-ar corespude forţa elastică q F Ed şi deplasarea q d e. Deoarece itervalul mediu de recureţă corespuzător cutremurului de calcul la SLS este mai mic decât cel corespuzător SLU, forţele seismice corespuzătoare SLS vor fi mai mici decât cele corespuzătoare SLU. Valoarea forţelor seismice corespuzătoare SLS va fi, astfel, ν q F Ed, iar a deplasărilor corespuzătoare: d s = ν q d e. Acest raţioamet, care explică relaţia (6.5), se bazează pe pricipiul deplasărilor egale şi este corect î mod riguros umai petru structuri cu perioada proprie fudametală mai mare decât T C. Cu toate acestea, di motive de simplitate, atât orma româească (P00-/203) cât şi cea europeaă (EN 998-/2004) u ţi cot de relaţia ditre caracteristicile mişcării seismice (perioada de cotrol T C ), perioada proprie de vibraţie a structurii şi deplasările ielastice ale structurii. Verificarea la SLS se realizează pri limitarea deplasărilor relative de ivel corespuzătoare uui cutremur cu itervalul mediu de recureţă corespuzător SLS, coform următoarei relaţii: SLS SLS dr =ν qdre dr,a (6.52) ude: SLS d r deplasarea relativă de ivel sub acţiueă seismică asociata SLS d re deplasarea relativă a aceluiaşi ivel, determiată pri calcul static elastic sub îcărcări seismice de proiectare d valoarea admisă a deplasării relative de ivel. SLS r,a 20

125 6. Calculul structurilor la acţiuea seismică F q F Ed raspus ifiit elastic ν q F Ed raspus ielastic F Ed Figura Calculul deformaţiilor la SLS coform P00- (203). Petru clădiri cu elemete estructurale di materiale fragile ataşate structurii: Petru clădiri avâd elemete estructurale cu capacitate mare de deformare: SLS dr, a = 0.005h (6.53) SLS dr, a = h (6.54) Petru clădiri avâd compoete estructurale care, pri atura priderilor, u iteractioeaza cu structura sau fără compoete estructurale: ude h este îălţimea de ivel. de ν q de q de d SLS dr, a = 0.0h (6.55) 2

126 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] 7. Proiectarea seismică a structurilor di oțel 7.. Pricipii de proiectare Structurile metalice amplasate î zoe seismice pot fi proiectate folosid fie pricipiul de comportare disipativă, fie cel de comportare slab-disipativă a structurii. Cele două pricipii de proiectare sut descrise detaliat î secţiuea 6.0. Fucţie de pricipiul de proiectare ales şi de ductilitatea globală care i se coferă costrucţiei la proiectare, structurii i se atribuie o clasă de ductilitate: H (îaltă), M (medie) sau L (joasă), vezi Tabelul 7.. Î cazul î care o structură se proiectează coform pricipiului de proiectare slab-disipativă (clasa de ductilitate L), codul româesc prevede folosirea uui factor de comportare q cupris ître.0 și.5. Această valoare a factorului de comportare are scopul de a asigura u răspus qvasi-elastic al structurii sub acţiuea seismică de calcul la SLU. După cum s-a meţioat î secţiuea 6.2.2, factorii de comportare q folosiţi petru reducerea forţelor seismice de proiectare se datorează ductilităţii, redudaţei şi suprarezisteţei. Dacă structura u este ductilă, u poate fi exploatată ici redudaţa (capacitatea de redistribuire a eforturilor î structură ca urmare a plasticizării succesive a uor zoe di structură). Totuşi, structurile eductile dar care au o suprarezisteţă de proiectare, pot fi proiectate la forţe seismice reduse faţă de cele corespuzătoare uui răspus elastic. Î aceste cazuri factorul de comportare q se datorează suprarezisteţei, şi u ductilităţii sau redudaţei structurii, P00- (203) adoptâd valori ale factorului de comportare cuprise ître.0 şi.5 petru proiectarea structurilor slab-disipative. Deoarece structurile proiectate coform pricipiului slab disipativ vor avea u răspus prepoderet elastic sub acţiuea îcărcărilor seismice de calcul, proiectarea acestora se face coform procedurilor de calcul folosite la proiectarea structurilor amplasate î zoe eseismice. Astfel, orme de calcul seismic (de ex. P00-, 203) se folosesc doar petru determiarea îcărcărilor de calcul, iar verificările structurii la SLU se efectuează coform ormelor de calcul al structurilor metalice (SR EN 993, etc.). Tabelul 7.. Cocepte de proiectare, valori de referiţă ale factorilor de comportare şi clase de ductilitate ale structurii (P00-, 203). Coceptul de proiectare Domeiul valorilor de referiţă a factorului de comportare q Clasa de ductilitate structurală Structuri cu disipare mare limitat de tipul structurii H (ăaltă) Structuri cu disipare medie q < 4.0, limitat de tipul structurii M (medie) Structuri slab disipative q =.0-.5 L (joasă) Î cazul adoptării coceptului de proiectare disipativă, se poate face disticţie ître două ivele diferite ale ductilităţii structurii pri îcadrarea acesteia î clasa de ductilitate H sau M. Factorul de comportare q folosit î acest caz petru reducerea forţelor seismice are valori substațial mai mari decât, compoeta pricipală a acestuia datorâdu-se ductilităţii. Valorile de referiţă ale factorilor de comportare q folosiţi la proiectarea structurilor disipative sut precizate î ormele de proiectare seismică fucţie de material şi de tipul structural folosit. Valorile maxime (de referiţă) ale factorilor de comportare pot fi obţiuţi dacă materialul, elemetele structurale, îmbiările acestora şi structura î asamblu respectă criterii specifice de proiectare care asigură o ductilitate ridicată a structurii. Aceste structuri sut îcadrate î clasa de ductilitate H (mare), vezi Tabelul 7.. Dacă uele ditre aceste ceriţe sut mai relaxate, ductilitatea globală a structurilor va fi mai redusă, acestea fiid îcadrate î clasa de ductilitate M (medie). La stabilirea îcărcărilor seismice de calcul petru structurile cu o disipare medie, factorul de comportare de referiţă u poate fi mai mare decât valoarea q=4. După cum s-a specificat î secţiuea 6.5.3, factorul de comportare de referiţă este specificat petru structuri regulate pe verticală, şi trebuie redus cu 20% (coform P00-, 203 şi EN 998, 2004) atuci câd structura proiectată u îdeplieşte codiţiile de regularitate pe verticală. Toate criteriile de proiectare care sut prezetate î secţiuile următoare ale acestui capitol se referă la structurile proiectate coform pricipiului de comportare disipativă a structurii. 22

127 7. Proiectarea seismică a structurilor di oțel 7.2. Tipuri de structuri Î cotextul proiectării seismice a structurilor metalice, acestea pot fi îcadrate î uul di următoarele tipuri pricipale de structuri: () cadre ecotravâtuite, (2) cadre cotravâtuite cetric, (3) cadre cotravâtuite excetric, (4) structuri de tip pedul iversat, (5) structuri duale (cadre ecotravâtuite asociate cu cadre cotravâtuite). Valorile de referiţă ale factorilor de comportare petru aceste tipuri de structuri sut date î Tabelul 7.2. Tipuri de structuri Tabelul 7.2. Factori de comportare q de referiţă petru structuri metalice (P00-, 203) Cadre ecotravâtuite - Structuri parter Clasa de ductilitate a structurii DCH DCM 3,0 2,5 - Structuri etajate α α u =,2 α α u =, α α u =,3 α α u =,0 α 5 u α 4 5 α α u 4 - Zoe disipative î grizi şi la baza stâlpilor Cadre cotravâtuite cetric Cotravâtuiri cu diagoale îtise 4 4 Zoele disipative - umai diagoalele îtise Cotravâtuiri cu diagoale î V 2,5 2 Zoe disipative - diagoalele îtise şi comprimate 23

128 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Tabelul 7.2. (cotiuare) Tipuri de structuri α Cadre cotravâtuite excetric u =, 2 α Clasa de ductilitate a structurii DCH DCM 5 α α u 4 Zoe disipative î barele disipative îcovoiate sau forfecate α Cadre duale (cadre ecotravâtuite asociate cu cadre cotravâtuite î X şi alterate) u =, 2 α 4 α α u 4 Zoe disipative î cadrele ecotravâtuite şi î diagoalele îtise α Cadre duale (cadre ecotravâtuite asociate cu cadre cotravâtuite î V) u =, 2 α α 2,5 u α 2 Zoe disipative î cadrele ecotravâtuite şi î diagoale α Cadre duale (cadre ecotravâtuite asociate cu cadre cotravâtuite excetric) u =, 2 α 5 α α u 4 Zoe disipative î cadrele ecotravâtuite şi î barele disipative îcovoiate sau forfecate α Cadre cu cotravâtuiri cu flambaj împiedicat u =, 2 α 5 α α u 4 Zoe disipative î cotravâtuirile cu flambaj împiedicat 24

129 7. Proiectarea seismică a structurilor di oțel Î Tabelul 7.2 parametrii α şi α u au următoarea semificaţie: α coeficiet de multiplicare al forţei seismice orizotale care corespude apariţiei primei articulaţii plastice α u coeficiet de multiplicare al forţei seismice orizotale care corespude formării uui mecaism plastic Raportul α u /α corespude redudaţei q R, defiită î secţiuea şi reprezetată grafic î Figura 6.6. Acesta idică faptul că factorul de comportare q depide u doar de ductilitatea structurii, ci şi de redudaţa acesteia. Î lipsa uor calcule specifice de determiare a raportului α u /α, valorile acestuia pot fi luate di Tabelul 7.2. Atuci câd acest raport este determiat pri calcul, pot rezulta valori mai mari. Totuşi, î calcul u pot fi cosiderate valori mai mari decât.6. Observâd valorile de referiţă ale factorilor de comportare di Tabelul 7.2 asociaţi structurilor di clasa de ductilitate H, se pot remarca aumite aspecte ale ductilităţii costrucţiilor metalice. Cadrele metalice ecotravâtuite sut pritre cele mai ductile sisteme structurale (factori q mari), îsă prezită dezavatajul de a fi relativ flexibile la forţe laterale. Cadrele cotravâtuite cetric au o ductilitate mai redusă (factori q mai mici), dar au avatajul de a fi mult mai rigide la îcărcări laterale. Cadrele cotravâtuite excetric combiă avatajele celor două tipuri structurale aterioare, acestea fiid caracterizate pe de o parte de o ductilitate exceletă (comparabilă cu cea a cadrelor ecotravâtuite), iar pe de altă parte de o rigiditate relativ ridicată la forţe laterale (comparabilă cu cea a cadrelor cotravâtuite cetric). Structurile duale au o ductilitate apropiată de cea a cadrelor cotravâtuite, substructura ecotravâtuită oferidu-le totuşi o performaţă seismică superioară. Cotravâtuirile cu flambaj împiedicat au o alcătuire specială care împiedică flambajul miezului de oţel, asigurâd u răspus ciclic stabil şi qvasi-simetric. Rezultă o comportare globală superioară cadrelor cotravâtuite cetric clasice Ductilitatea structurilor metalice Oţelul folosit î costrucţiile modere este u material cu o ductilitate exceletă î comparaţie cu alte materiale de costrucţii (betoul, zidăria, etc.). Totuşi, această proprietate itrisecă a oţelului u asigură î mod implicit o ductilitate adecvată la ivel de structură. Există o serie de ceriţe care trebuie respectate petru a obţie o ductilitate adecvată a îtregii structuri. Acestea se referă la material, la secţiuile di care sut alcătuite elemetele structurale, la elemetele structurale î sie, la îmbiările acestora şi la ceriţe legate de alcătuirea de asamblu a structurii Ductilitatea de material Oţelurile uzuale de costrucţii sut materiale ductile. P00- (203) impue totuşi o serie de ceriţe miime petru oţelul folosit î zoele disipative. Acestea sut următoarele: u raport ître rezisteţa la rupere f u şi rezisteţa miimă de curgere f y de cel puţi.20 o alugire la rupere de cel puţi 20% u palier de curgere distict, cu alugirea specifică la capătul palierului de curgere, de cel puţi.5% Ductilitatea de secţiue Efortul capabil şi ductilitatea secţiuii trasversale a uui elemet structural îtis sut cotrolate de rezisteţa şi ductilitatea oţelului di care este fabricat acesta. U elemet metalic comprimat u va avea de regulă aceeaşi rezisteţă şi ductilitate ca î cazul î care este îtis, deoarece elemetele comprimate îşi pot pierde stabilitatea. La ivel de secţiue trasversală a uui elemet structural comprimat feomeul de pierdere a stabilităţii se umeşte voalare. Voalarea reduce u doar efortul capabil al secţiuii, ci şi ductilitatea acesteia. Feomeul de voalare se poate produce atât la elemetele structurale supuse la compresiue (îtreaga secţiue trasversală comprimată), cât şi la cele îcovoiate (câd doar o parte a secţiuii trasversale este comprimată). Petru a asigura o ductilitate cât mai buă la ivel de secţiue, aceasta trebuie împiedecată sa voaleze, pri asigurarea uor zvelteţi cât mai mici ale pereţilor secţiuii. Eurocod 3 (EN 993, 2005) clasifică secţiuile elemetelor metalice î 4 clase de secţiue, fucţie de zvelteţea pereţilor. Secţiuile cu pereţii cel mai puţi zvelţi sut cele de clasă. Atuci câd sut supuse la îcovoiere, aceste secţiui pot dezvolta mometul plastic al secţiuii şi au o capacitate ridicată de deformare î domeiul plastic (vezi Figura 7.). Secţiuile de clasă 2 pot dezvolta mometul plastic al secţiuii, dar au 25

130 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] o capacitate mai redusă de deformare î domeiul plastic, datorită voalării î domeiul plastic. Secţiuile de clasă 3 atig mometul elastic al secţiuii şi u pot dezvolta mometul plastic, acestea avâd o ductilitate redusă. Secţiuile de clasă 4 voalează î domeiul elastic, mometul capabil fiid iferior mometului elastic al secţiuii. Ductilitatea secţiuilor de clasă 4 este cea mai redusă. Î Tabelul 7.3 sut prezetate ceriţele impuse de P00- (203) claselor de secţiue fucţie de clasa de ductilitate şi factorul de comportare de referiţă. Astfel, zoele disipative ale structurilor cu o ductilitate ridicată (clasa de ductilitate DCH) trebuie să fie realizate di secţiui de clasă. Petru structurile cu o ductilitate medie (clasa de ductilitate DCM) î zoele disipative se pot utiliza atât secţiui de clasă, cât şi de clasă 2. Elemetele structurilor proiectate petri clasa de ductiliatte joasă (DCL), proiectate pe baza uui factor de comportare q cupris ître și.5, pot fi alcătuite di secţiui di clasele, 2, sau 3. Î cazul î care se adoptă u factor de comportare q =.0, se elemetele structurale pot fi alcătuite di secţiui de orice clasă, deoarece răspusul structurii sub acţiuea îcărcărilor seismice de calcul este î domeiul elastic. M M pl M el Clasa 3 Clasa 4 Clasa 2 Clasa θ Figura 7.. Relaţia momet-rotire petru diferite clase de secţiui. Tabelul 7.3. Ceriţe impuse clasei de secţiue fucţie de clasa de ductilitate şi factorul de comportare de referiţă (coform P00-, 203) Clasa de ductilitate a structurii Valoarea de referiţă a factorului de comportare q Clasa de secţiue DCH Coform Tabelului 7.2. clasa DCM Coform Tabelului 7.2. clasa sau 2 DCL.0 q.5 clasa, 2 sau 3 q =.0 clasa, 2, 3 sau Ductilitatea de elemet Oţelul este u material cu o rezisteţă ridicată î comparaţie cu alte materiale de costrucţie. Î coseciţă, elemetele structurale metalice dimesioate doar di criterii de rezisteţă sut relativ zvelte. Elemetele structurale zvelte au o capacitate portată la compresiue redusă faţă de solicitarea la îtidere, aspect care trebuie luat î cosiderare la dimesioarea elemetelor. Feomeul de flambaj, care afectează elemetele comprimate, reduce u doar capacitatea portată, ci şi ductilitatea acestora. (a) (b) (c) Figura 7.2. Reprezetare schematică a răspusului ciclic al uor cotravâtuiri cu zvelteţe mică (a), mare (b) şi medie (c), Uag et al.,

131 7. Proiectarea seismică a structurilor di oțel Î Figura 7.2 este prezetată schematic comportarea ciclică (îtidere-compresiue) a uor cotravâtuiri de diferite zvelteţi. Î cazul uor zvelteţi mici, elemetul structural dezvoltă aceeaşi capacitate portată la îtidere şi compresiue (Figura 7.2a), avâd o comportare ciclică stabilă. Atuci câd zvelteţea este foarte mică, elemetul structural are o capacitate portată la compresiue eglijabilă (Figura 7.2b), deformaţiile de compresiue dezvoltâdu-se la forţe apropiate de zero. Se poate observa o capacitate redusă de disipare a eergiei seismice î comparaţie cu elemetele cu o zvelteţe mică. Răspusul elemetelor cu o zvelteţe medie este prezetat î (Figura 7.2c). Capacitatea portată la compresiue este mai mică decât la îtidere, iar forţa scade rapid după flambajul elemetului (puctul B). Se poate observa că elemetul are o comportare mai buă (forţă capabilă şi ductilitate) la deformaţiile de îtidere. Ţiâd cot de efectele efavorabile ale zvelteţii ridicate asupra răspusului ielastic al elemetelor structurale care iclud zoe disipative, ormele de proiectare seismică impu limitări ale zvelteţii, fucţie de tipul elemetului şi de modul de solicitare a acestuia. Este de meţioat aici că feomeul de flambaj afectează atât elemetele comprimate (de exemplu cotravâtuiri flambaj pri îcovoiere), cât şi cele supuse la îcovoiere (de exemplu grizile flambaj pri îcovoiere-răsucire). Zvelteţea λ=l f /i (ude L f este lugimea de flambaj, iar i este raza de giraţie) uui elemet poate fi redusă î două moduri. Primul este folosirea uor secţiui cu raza de giraţie mare. Cel de-al doilea costă î reducerea lugimii de flambaj. Modalitatea practică de realizare a acestui obiectiv este dispuerea uor legături suplimetare de-a lugul elemetului structural Îmbiările elemetelor structurale Îmbiările reprezită u puct sesibil petru rezisteţa seismică de asamblu a uei costrucţii. Comportarea îmbiărilor este adesea mai complexă decât cea a elemetelor îmbiate. O ateţie deosebită trebuie acordată îmbiărilor elemetelor care cuprid zoe disipative. Î geeral, îmbiările pot fi proiectate ca şi îmbiări disipative (deformaţiile plastice au loc î îmbiarea propriu-zisă) sau ca îmbiări edisipative (deformaţiile plastice au loc î elemetele îmbiate). Datorită complexităţii comportării îmbiărilor î codiţii seismice (solicitări ciclice î domeiul ielastic î îmbiări sau î elemetele îmbiate), detaliile costructive şi modul de calcul al îmbiărilor folosite trebuie să fie validate pri îcercări experimetale. Î geeral, derularea uor îcercări experimetale petru proiectarea uor costrucţii curete u este ecoomică. De aceea, î practică, detalierea şi calculul îmbiărilor structurilor disipative se bazează pe iformaţii dispoibile î literatură sau prescripţii de specialitate (de exemplu GP 082/2003 sau ANSI/AISC 358-0), elaborate pe baza uor programe de îcercări experimetale. Îmbiările disipative, pe lâgă criteriile de rigiditate şi rezisteţă trebuie să îdepliească şi ceriţe de ductilitate (validate experimetal), impuse de ormele seismice fucţie de tipul structurii şi clasa de ductilitate. FORTA R d imbiare edisipativa elemet disipativ comportare probabila.γovr fy γovr fy R fy elemet disipativ comportare de calcul Figura 7.3. Pricipiul de dimesioare a îmbiărilor edisipative. Îmbiările edisipative aflate î veciătatea zoelor disipative trebuie proiectate să rămâă î domeiul elastic, asigurâd dezvoltarea deformaţiilor ielastice î zoele disipative ale elemetelor îmbiate. Î acest scop, îmbiările edisipative trebuie proiectate la eforturi corespuzătoare uor zoe disipative plasticizate şi cosolidate, şi u pe baza eforturilor di îmbiare determiate di aaliza structurală. Acest pricipiu de 27

132 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] calcul are la bază proiectarea bazată pe capacitate, vezi secţiuea 0. Relaţia de verificare se poate exprima geeric sub forma: ude: R d rezisteţa îmbiării R d.γ R (7.) R fy rezisteţa plastică a elemetului îmbiat, determiată pe baza limitei de curgere de calcul. u factor care ţie cot de cosolidarea zoei disipative γ ov u factor de suprarezisteţă care ţie cot de o limită de curgere reală mai mare decât cea caracteristică a zoei disipative (valoarea ormativă a suprarezisteţei, î lipsa uor îcercări experimetale este egală cu.25) Pricipiul de dimesioare a îmbiărilor edisipative care îmbiă elemete structurale disipative este prezetat schematic î Figura Ductilitatea structurii Ductilitatea la ivel de structură se asigură pri ierarhizarea rezisteţei elemetelor structurale urmărid pricipiile de proiectare bazată pe capacitate, petru a localiza deformaţiile plastice î elemetele ductile şi a evita cedarea î elemetele fragile. Suplimetar, î scopul obţierii uei ductilităţi globale corespuzătoare la structurile multietajate, este ecesară asigurarea uui mecaism plastic global a structurii (vezi Figura 6.26a). Acest mecaism asigură u umăr maxim de zoe plastice şi o solicitare uiformă a acestora. Trebuie evitate mecaismele plastice de ivel (vezi Figura 6.26b), deoarece î acest caz deformaţiile ielastice sut cocetrate îtr-u umăr redus de zoe plastice, avâd ceriţe de deformaţii ielastice mai ridicate decât î cazul uui mecaism plastic global, la aceeaşi deplasare globală a structurii Cadre metalice ecotravâtuite Cadrele metalice ecotravâtuite (vezi Tabelul 7.2) preiau îcărcările laterale pri îcovoierea grizilor şi a stâlpilor. La acest tip de structuri odurile riglă-stâlp trebuie să fie de tip rigid. Cadrele ecotravâtuite au o ductilitate exceletă (factorii de comportare ridicaţi di Tabelul 7.2), dar sut relativ flexibile î comparaţie cu cadrele cotravâtuite cetric sau excetric. Zoele disipative la cadrele ecotravâtuite sut amplasate la capetele grizilor, iar elemetele edisipative sut stâlpii. Aceasta se datorează faptului că stâlpii sut î geeral mai puţii ductili decât riglele, fiid supuşi u doar la momete îcovoietoare, ci şi la forţe axiale importate. Î plus, formarea articulaţiilor plastice î stâlpi ar coduce la formarea uui mecaism plastic de ivel (local). Se permite formarea articulaţiilor plastice şi î stâlpi î următoarele situaţii: la baza structurii, la partea superioară a stâlpilor de la ultimul ivel al structurilor multietajate şi la structurile parter cu forţe axiale mici î stâlpi. Aceste ceriţe reflectă practic codiţia de formare a uui mecaism plastic de tip global. Normele de proiectare seismică modere (P00-, 203; EN 998-, 2004; AISC, 200) acceptă folosirea îmbiărilor ca şi zoe disipative, cu codiţia validării experimetale a capacităţii de deformare î domeiul ielastic al îmbiărilor. Ductilitatea de asamblu exceletă a cadrelor ecotravâtuite se datorează faptului că deformaţiile plastice de îcovoiere, formate la capetele grizilor, reprezită u mod de cedare forte ductil. Totuşi, ductilitatea şi mometul capabil al grizilor pot fi reduse dacă, pe lâgă îcovoiere, elemetul structural este supus uor eforturi de compresiue şi/sau forfecare importate. Petru a limita aceste feomee, P00- (203) foloseşte următoarele relaţii petru verificarea grizilor care coţi zoe disipative (î care se pot forma articulaţii plastice): ov fy MEd M pl, Rd.0 (7.2) NEd N pl, Rd 0.5 (7.3) ude: V V 0.5 V = V + V (7.4) Ed pl, Rd Ed Ed, G Ed, M 28

133 7. Proiectarea seismică a structurilor di oțel M ed şi N ed - mometul îcovoietor şi forţa axială de proiectare di combiaţia seismică de îcărcări M pl,rd, V pl,rd şi N pl,rd - mometul îcovoietor, forţa tăietoare şi forţa axială capabile ale secţiuii Relaţia (7.2) asigură capacitatea portată a grizii la momet îcovoietor, î timp ce relaţiile (7.3) şi (7.4) limitează efectele forţei axiale, respectiv a forţei tăietoare asupra mometului capabil şi asupra ductilităţii zoei disipative. Forţa tăietoare V Ed prezetă îtr-o gridă cu articulaţii plastice formate la capete poate fi substaţial mai mare decât cea estimată di calculul static al structurii î combiaţia seismică. De aceea, valoarea forţei tăietoare de calcul se determiă pri îsumarea cotribuţiei îcărcării gravitaţioale (V ed,g ) şi a celei corespuzătoare formării articulaţiilor plastice la cele două capete ale grizii (V ed,g =M pl,rd,a + M pl,rd,a /L), vezi Figura 7.4. M pl,rd,a M pl,rd,b M pl,rd,a M pl,rd,b V Ed,G L V Ed,G V Ed,M V Ed,M V Ed L L V Ed Figura 7.4. Evaluarea forţei tăietoare de calcul îtr-o gridă cu articulaţii plastice. Stâlpii sut elemete edisipative, dimesioarea acestora avâd la bază ceriţa de a evita formareai articulaţiilor plastice. Eforturile de calcul di stâlpi obţiute di combiaţia seismică de îcărcări vor fi depăşite î timpul uui cutremur, deoarece forţele seismice de calcul sut reduse faţă de cele corespuzătoare uui răspus elastic al structurii cu valoarea factorului de comportare q. Eforturile folosite la dimesioarea stâlpilor trebuie să corespudă formării uui mecaism plastic pri plasticizarea grizilor. Petru aceasta ar fi ecesar u calcul plastic, care îsă u se justifică î practica de proiectare curetă. De aceea, ormele de proiectare seismică oferă metode aproximative de estimare a eforturilor di stâlpi, care să le asigure o suprarezisteţă faţă de grizi. P00- (203) foloseşte următoarele relaţii petru determiarea eforturilor de calcul î stâlpi: N = N + Ω N (7.5) Ed Ed, G T Ed, E M = M + Ω M (7.6) Ed Ed, G T Ed, E V = V + ΩV (7.7) Ed Ed, G T Ed, E ude: N Ed,G, M Ed,G, V Ed,G efortul axial, mometul îcovoietor şi forţa tăietoare î stâlp di acţiuile eseismice coţiute î gruparea de îcărcări care iclude acţiuea seismică N Ed,E, M Ed,E, V Ed,E efortul axial, mometul îcovoietor şi forţa tăietoare î stâlp di acţiuea seismică de proiectare. Ω T este valoarea suprarezisteţei sistemului structural. Petru cadrele ecotravâtuite, M Ω =, γ ov Ω T Ω M valoarea miimă a lui Ω M i = M pl,rd,i / M Ed,i calculată petru toate grizile î care sut zoe poteţial plastice. Valoarea lui Ω M se calculează petru fiecare direcție a structurii. Relaţiile (7.5) - (7.7) estimează eforturile di stâlpi corespuzătoare formării uui mecaism plastic î structură, atuci câd î elemetele disipative (grizi) se formează articulaţii plastice. Natura acestor relaţii poate fi explicată folosid Figura 7.5. Forţele seismice de proiectare F Ed sut reduse faţă de cele corespuzătoare uui răspus elastic al structurii şi sut folosite petru dimesioarea elemetelor disipative ale structurii. Datorită suprarezisteţei de proiectare şi a redudaţei, la formarea mecaismului plastic forţele seismice F mec vor fi mai mari decât cele de proiectare. Valoarea F mec poate fi estimată amplificâd forţa seismică de proiectare F Ed cu suprarezisteţa totală (care este estimată de ormă pri factorul Ω T ). Îcărcările gravitaţioale aferete combiaţiei seismice de îcărcări sut costate pe durata acţiuii seismice. De aceea, eforturile di elemetele edisipative (stâlpi) la formarea mecaismului plastic pot fi estimate ca fiid suma cotribuţiei îcărcărilor gravitaţioale (N Ed,G, M Ed,G, V Ed,G ) şi a îcărcărilor seismice de calcul (N Ed,E, M Ed,E, V Ed,E ) amplificate cu factorul Ω T. Petru u calcul simplificat, P00- (203) oferă valori prescrise ale factorului Ω T, fucţie de tipul structural. Î cazul cadrelor metalice ecotravâtuite, valoarea acestui factor este Ω T =

134 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Figura 7.5. Pricipiul de determiare a eforturilor de calcul î elemetele disipative şi î cele edisipative. Îmbiările ditre elemetele structurale sut foarte importate petru u răspus seismic adecvat al îtregii structuri, î special î cazul cadrelor ecotravâtuite. Aceasta se datorează faptului că zoele disipative se află la capetele grizilor, î imediata apropiere a îmbiărilor riglă-stâlp. Atuci câd se adoptă îmbiări riglă-stâlp edisipative, acestea trebuie să posede o suprarezisteţă faţă de grizi. Eforturile de calcul î îmbiări se determiă coform pricipiului proiectării bazate pe capacitate (vezi secţiuea şi relaţia (7.)). Pe lâgă o rigiditate şi rezisteţă adecvate, îmbiările riglă-stâlp (care iclud şi zoa de gridă î care se formează articulaţiile plastice) trebuie să posede şi o ductilitate adecvată. Î acest ses, P00- (203) impue asigurarea uei capacităţi de rotire plastică θ p =0.040 rad petru clasa de ductilitate DCH şi θ p =0.030 rad petru clasa de ductilitate DCM. Î timp ce capacitatea portată şi rigiditatea îmbiărilor riglă-stâlp pot fi determiate pri calcul (de ex. SR-EN ), determiarea capacităţii de rotire (ductilităţii) ecesită îcercări experimetale. Î Figura 7.6 sut prezetate câteva tipuri de îmbiări tipice riglă-stâlp şi relaţia momet-rotire determiată experimetal petru o îcărcare ciclică. Figura 7.6. Răspusul ciclic momet-rotire petru diferite tipuri de oduri (ESDEP,.d.). Dimesioarea îmbiărilor di Figura 7.6 coform relaţiei (7.), astfel ca acestea să demostreze o suprarezisteţă faţă de gridă este dificilă. Î cazul îmbiărilor riglă stâlp sudate direct (tipul D di Figura 7.6) deformaţiile plastice sut î imediata apropiere a îmbiării sudate (la faţa stâlpului), ceea ce a codus frecvet la u răspus seismic esatisfăcător al acestor îmbiări. O îmbuătăţire a răspusului ciclic al îmbiărilor riglă-stâlp poate fi obţiută pri îdepărtarea articulaţiei plastice de la faţa stâlpului. Î acest scop se pot adopta două abordări. Prima costă î cosolidarea îmbiării folosid rigidizări (vezi Figura 7.7a). Cea de-a doua foloseşte o strategie opusă slăbirea secţiuii grizii (vezi Figura 7.7b), astfel îcât articulaţia plastică să se formeze î secţiuea slăbită şi u la faţa stâlpului. Î ambele cazuri se obţie îsă o suprarezisteţă a îmbiării faţă de gridă. 30

135 7. Proiectarea seismică a structurilor di oțel (a) Figura 7.7. Noduri riglă stâlp îtărite (a) şi slăbite (b), FEMA350, (b) 7.5. Cadre metalice cotravâtuite cetric Elemetele cadrelor cotravâtuite cetric sut solicitate prepoderet la forţe axiale. Aceste sisteme de preluare a forţelor laterale reprezită î eseţă grizi cu zăbrele verticale. Elemetele disipative ale cadrelor cotravâtuite cetric sut cotravâtuirile îtise. Celelalte elemete (grizile şi stâlpii) sut elemete edisipative. Există câteva sisteme tipice de cotravâtuire: Cotravâtuiri diagoale (vezi Figura 7.8a), la care forţele laterale se cosideră preluate doar de cotravâtuirile îtise. Di cauza flambajului, cotravâtuirile comprimate sut eglijate la stabilirea rigidităţii şi rezisteţei la forţe laterale. Cotravâtuiri î V (vezi Figura 7.8b), la care forţele laterale se cosideră preluate atât de cotravâtuirile îtise, cât şi de cele comprimate. Aceste cotravâtuiri se itersectează pe u elemet structural orizotal (gridă). Cotravâtuiri î K (vezi Figura 7.8c), la care cotravâtuirile se itersectează pe u stâlp, u sut permise a fi utilizate ca şi sisteme disipative î zoe seismice. Aceste cotravâtuiri coduc la eforturi cocetrate pe stâlpi, care pot duce la cedarea prematură a acestora şi, ulterior, a îtregii structuri. (a) (b) (c) Figura 7.8. Tipuri de cadre cotravâtuite cetric: cotravâtuiri diagoale (a), cotravâtuiri î V (b) şi cotravâtuiri î K (c - epermise). Di cauza flambajului, răspusul ielastic al cotravâtuirilor are u aspect esimetric evideţiat (vezi Figura 7.9a). Rezisteţa la compresiue este mult mai mică decât cea la îtidere. După prima icursiue î domeiul ielastic, rezisteţa la compresiue este şi mai mică, datorită deformaţiilor de îcovoiere remaete. Petru limitarea asimetriei î răspusul uei cotravâtuiri, ormele de proiectare seismică impu limitări ale zvelteţii maxime. Cu toate acestea, reducerea zvelteţii u elimiă complet asimetria răspusului ielastic al cotravâtuirilor. Pe de altă parte, u asamblu format di două cotravâtuiri dispuse alterativ (ua ascedetă şi alta descedetă) va avea u răspus simetric (vezi Figura 7.9b), deoarece petru orice ses al acţiuii, ua ditre cotravâtuiri va fi îtisă, asigurâd rigiditatea, rezisteţa şi ductilitatea ecesară petru asamblu. La calculul cadrelor cu cotravâtuiri diagoale, aportul cotravâtuirilor comprimate este eglijat. Structura pe asamblu trebuie îsă să posede o rezisteţă şi rigiditate similare petru ambele sesuri ale acţiuii seismice. De aceea, structurile cu cotravâtuiri diagoale trebuie să aibă u umăr apropiat de cotravâtuiri ascedete şi descedete, petru a asigura u răspus cât mai simetric al structurii per asamblu. Structurile di Figura 7.8a reprezită u exemplu de dispuere corectă a cotravâtuirilor. 3

136 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] (a) Figura 7.9. Răspusul ciclic al uei cotravâtuiri izolate (a) şi a uui asamblu format di două cotravâtuiri dispuse alterativ (b), Tremblay, O structură disipativă proiectată pe baza uui factor de comportare suprauitar va suferi ievitabil deformaţii î domeiul ielastic sub efectul acţiuii seismice de calcul la SLU. Elemetele structurale care vor fi avariate î timpul uui cutremur sut î primul râd cele disipative, care la cadrele cotravâtuite sut reprezetate de cotravâtuiri. Acestea di urmă vor avea o rezisteţă la compresiue eglijabilă î urma uor icursiui î domeiul ielastic. Astfel, cotravâtuirile pot fi scoase complet di uz î urma acţiuii seismice. De aceea, uul ditre criteriile de proiectare impuse acestui sistem structural de către ormele de proiectare seismică (P00-, 203; EN 998-, 2004) îl costituie verificarea ca structura să poată prelua forţele gravitaţioale prezete î gruparea seismică î abseţa cotravâtuirilor. Grizile şi stâlpii fiid elemete edisipative, trebuie dimesioate petru a avea o suprarezisteţă faţă de elemetele disipative. Pricipiul de evaluare al eforturilor de calcul di elemetele edisipative este acelaşi cu cel descris petru cadrele ecotravâtuite. Astfel, eforturile de calcul di grizi şi stâlpi se evaluează coform uor relaţii similare cu (7.5)-(7.6), doar că suprarezisteța sistemului structural se determiă cu N relația Ω =, γ Ω, ude Ω N reprezită rezerva de rezisteţă a cotravâtuirilor faţă de forţa axială de T ov calcul di gruparea seismică şi, coform P00- (203) reprezită valoarea miimă a raportului N Ω = N N calculat petru fiecare cotravâtuire. i pl, Rd, i Ed, i (b) N pl,rd 0.3N pl,rd Figura 7.0. Modelarea efectului flambajului cotravâtuirii comprimate asupra grizilor la cadrele cotravâtuite î V. La cadrele cotravâtuite î V se iau î calcul atât cotravâtuirile îtise, cât şi cele comprimate, deoarece aceste structuri se proiectează pe baza uor factori de comportare mici, ceea ce implică deformaţii ielastice reduse. Ductilitatea redusă a acestui tip structural se datorează solicitărilor puterice impuse grizilor după flambajul cotravâtuirii comprimate, care pot duce la cedarea grizilor şi la pierderea rezisteţei şi rigidităţii globale a structurii. Petru a limita acest feome, grizile pe care se itersectează cotravâtuirile trebuie dimesioate astfel îcât să poată prelua efortul dezechilibrat cauzat de flambajul cotravâtuirii comprimate. Î calcul, aceste grizi se cosideră îcărcate cu eforturile di cotravâtuiri corespuzătoare curgerii cotravâtuirii îtise (N pl,rd ) şi flambajului celei comprimate (estimată coform P00-/203 la 0.3N pl,rd ), vezi Figura

137 7. Proiectarea seismică a structurilor di oțel 7.6. Cadre metalice cotravâtuite excetric Cadrele cotravâtuite excetric (vezi Figura 7.) sut caracterizate de o pridere excetrică a cotravâtuirilor, astfel îcât forţa axială di cotravâtuire se trasmite la cealaltă cotravâtuire sau la stâlp pri forfecarea şi îcovoierea uei porţiui a grizii. Acest segmet de gridă se umeşte lik sau bară disipativă. Ueori likul poate fi u elemet idepedet, care u face parte di gridă (vezi Figura 7.d). Cadrele cotravâtuite excetric prezită avatajul că sut foarte ductile (similar cadrelor ecotravâtuite) şi, î acelaşi timp, sut relativ rigide (similar cadrelor cotravâtuite cetric). La cadrele cotravâtuite excetric elemetele disipative sut likurile, iar elemetele edisipative sut grizile (porţiuile di afara likului), stâlpii şi cotravâtuirile. (a) (b) (c) (d) Figura 7.. Cadre cotravâtuite excetric. Fucţie de lugimea lor, barele disipative se împart î trei categorii: Bare disipative scurte, care sut solicitate prepoderet la forfecare Bare disipative lugi, care sut solicitate prepoderet la îcovoiere Bare disipative itermediare, care caracterizate de iteracţiuea ditre momet şi forţă tăietoare Iima barelor disipative scurte poate voala atuci câd acestea sut supuse uor deformaţii î domeiul ielastic. Această voalare reduce capacitatea barelor disipative scurte de disipare a eergiei seismice, (vezi Figura 7.2a). Petru a limita acest feome, iima barelor disipative scurte trebuie rigidizată, obţiâd u răspus ciclic ielastic stabil (vezi Figura 7.2b). U alt feome care poate reduce performaţele barelor disipative scurte este forţa axială. Î acest ses, forţa axială trebuie î geeral limitată la 5% di forţa axială plastică a secţiuii. Petru a limita apariţia uor deformaţii ielastice î elemetele edisipative (grizi, stâlpi şi cotravâtuiri), acestea se dimesioează pe baza uor eforturi corespuzătoare uor bare disipative plasticizate şi cosolidate. Eforturile de calcul di elemetele edisipative se evaluează coform uor relaţii similare cu (7.5)-(7.7). Petru cadrele cotravâtuite excetric cu likuri scurte, suprarezisteța sistemului structural se V determiă cu relația Ω =,5 γ Ω, ude Ω V reprezită rezerva de rezisteţă a barelor disipative faţă de T ov forţa tăietoare de calcul di gruparea seismică şi, coform P00- (203) reprezită valoarea miimă a raportului Ω V i = Vpl,lik, i V Ed, i calculat petru fiecare bară disipativă. Petru cadrele cotravâtuite excetric cu likuri itermediare și lugi, suprarezisteța sistemului structural se determiă cu relația M Ω T =,5 γ ov Ω, ude Ω M reprezită rezerva de rezisteţă a barelor disipative faţă de mometul îcovoietor de calcul di gruparea seismică determiat ca și valoarea miimă a raportului M Ω = M M calculat petru fiecare bară disipativă. i pl,lik, i Ed, i (a) Figura 7.2. Răspusul ciclic al uui lik erigidizat (a) şi al uui lik rigidizat (b), ESDEP,.d. (b) 33

138 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Cadre cu cotravâtuiri cu flambaj împiedicat Cotravâtuirile cu flambaj împiedicat sut o categorie specială de cotravâtuiri cetrice. Aceste cotravâtuiri se compu de regulă ditr-u miez de oţel îglobat îtr-o teacă metalică umplută cu mortar, care are rolul de a prevei flambajul miezului di oțel. La fel ca î cazul cotravâtuirilor cetrice obişuite, dispuerea cotravâtuirilor cu flambaj împiedicat trebuie făcută astfel îcât axele barelor să se îtâlească îtr-u puct. Figura 7.3 prezită câteva exemple de cofiguraţii posibile. De meţioat că u se accepta folosirea cofiguraţiilor î K sau X. Elemetele cadrelor cu cotravâtuiri cu flambaj împiedicat sut solicitate prepoderet la eforturi axiale. Elemetele disipative ale acestor structuri sut cotravâtuirile, celelalte elemete (grizile şi stâlpii) fiid elemete edisipative. Figura 7.3. Exemple de cadre cu cotravâtuiri cu flambaj împiedicat (AISC 200). Tub di oțel Mortar B-B Miez di oțel A-A B A Figura 7.4. Figura 6.7. Alcătuirea de pricipiu a uei cotravâtuiri cu flambaj împiedicat. B Cotravâtuirile cu flambaj împiedicat sut caracterizate pri capacitatea de a se plasticiza atât la îtidere cat si la compresiue pri împiedicarea flambajului cotravâtuirii cel puţi paa la u ivel al forţelor si deformaţiilor corespuzătoare deplasării de proiectare. Această comportare asigură u răspus ciclic cvasisimetric fără degradare de rezisteță sau rigiditate și implicit o capacitate mai mare de disipare a eergiei comparativ cu cotravâtuirile clasice (vezi Figura 7.5). A Figura 7.5. Relația forță axială deformație axială a uei cotravâtuiri covețioale (liie îtreruptă) și a uei cotravâtuiri cu flambaj împiedicat (liie cotiuă). 34

139 7. Proiectarea seismică a structurilor di oțel Î calculul structural se cosideră active atât cotravâtuirile îtise, cât și cele comprimate. Acestea se verifică la efort axial: A fy NEd N Rd = (7.8) γm0 Cotravâtuirile cu flambaj împiedicat sut iște dispozitive relativ complexe, ca urmare codul P00- (203) impue efectuarea uor îcercări experimetale petru validarea uui răspus ciclic favorabil. Grizile şi stâlpii fiid elemete edisipative, trebuie dimesioate petru a avea o suprarezisteţă faţă de elemetele disipative. Pricipiul de evaluare al eforturilor de calcul di elemetele edisipative este acelaşi cu cel descris petru cadrele ecotravâtuite. Astfel, eforturile de calcul di grizi şi stâlpi se evaluează coform uor relaţii similare cu (7.5)-(7.6), doar că suprarezisteța sistemului structural se determiă cu N relația Ω = β ω γ Ω, ude Ω N reprezită rezerva de rezisteţă a cotravâtuirilor faţă de forţa axială T ov de calcul di gruparea seismică şi, coform P00- (203) reprezită valoarea miimă a raportului N Ω = N N calculat petru fiecare cotravâtuire. Î relația de calcul a suprarezisteței sistemului i pl, Rd, i Ed, i structural β este factorul de corecţie a capacitaţii la compresiue, iar ω factorul de corecţie datorat cosolidării. 35

140 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] 8. Proiectarea seismică a structurilor di beto armat 8.. Pricipii de proiectare, clase de ductilitate Ca şi î cazul structurilor metalice, structurile di beto armat (b.a.) amplasate î zoe seismice pot fi proiectate urmărid două cocepte de proiectare: comportare slab-disipativă a structurii şi comportare disipativă a structurii. Structurile proiectate coform pricipiului de comportare slab-disipativă a structurii au o capacitate redusă de deformare î domeiul ielastic. Coform P00- (203), petru aceste structuri îcărcarea seismică se determiă pe baza uui factor de comportare q de cel mult.5, iar proiectarea se face coform criteriilor specifice structurilor amplasate î zoe eseismice (de exemplu SR-EN 992). Răspusul uor astfel de structuri sub efectul acţiuii seismice de calcul trebuie să fie prepoderet î domeiul elastic. P00- (203) atribuie structurilor proiectate coform pricipiului de comportare slab-disipativă clasa de ductilitate DCL şi impue utilizarea acestei metodologii doar petru structurile di beto armat amplasate î zoe cu seismicitate redusă (a g 0.g). Structurile proiectate coform criteriului de comportare disipativă a structurii sut dimesioate şi detaliate pe baza uor pricipii seismice, petru a permite formarea uor mecaisme stabile de deformaţii ciclice î domeiul ielastic, fără a suferi cedări fragile. Îcărcarea seismică petru acest pricipiu de proiectare este redusă faţă de cea corespuzătoare uui răspus elastic al structurii, folosid factori de comportare q. Fucţie de capacitatea de deformare î domeiul ielastic, structurile disipative se îcadrează î două clase de ductilitate: DCH (ductilitate îaltă) şi DCM (ductilitate medie). Petru fiecare clasă de ductilitate ormele de proiectare seismică (P00-, 203; EN 998-, 2004) prevăd ceriţe specifice de alcătuire şi dimesioare a elemetelor structurale Tipuri de structuri Structurile di beto armat pot fi clasificate î câteva tipuri structurale de bază. Cele mai importate ditre acestea sut prezetate î cele ce urmează (P00-, 203): Cadrele reprezită u sistem structural î care atât îcărcările verticale, cât şi cele laterale sut preluate de cadre spaţiale (vezi Figura 8.a). Aportul cadrelor la preluarea forţelor laterale trebuie să fie de miim 65% di forţa tăietoare de bază. Pereţii (cuplaţi sau ecuplaţi) reprezită u sistem structural î care atât îcărcările verticale, cât şi cele laterale sut preluate î pricipal de pereţi structurali verticali, cu o rezisteţă la forţa tăietoare de bază de cel puţi 65% di rezisteţa sistemului la forţa tăietoare de bază (vezi Figura 8.b şi c). Sistemele duale (cu cadre sau pereţi predomiaţi) sut acele structuri la care îcărcările verticale sut preluate î pricipal de cadre spaţiale, iar cele laterale sut preluate î parte de cadre şi î parte de pereţii structurali (vezi Figura 8.d). Sisteme flexibile la torsiue structuri duale sau pereţi care u au o rigiditate miimă la torsiue. U exemplu de structuri flexibile la torsiue sut clădirile cu ucleu cetral (vezi Figura 8.2a), la care elemetele de preluare a forţelor laterale (pereţii) sut dispuse î partea cetrală a structurii. Sisteme tip pedul iversat sut acele sisteme la care peste 50% di masa structurii este cocetrată î treimea superioară a clădirii, sau structuri la care deformaţiile ielastice au loc la baza uui sigur elemet structural (vezi Figura 8.2b). (a) (b) (c) (d) Figura 8.. Tipuri de structuri di b.a.: cadre (a), pereţi ecuplaţi (b), pereţi cuplaţi (c), sisteme duale (d). 36

141 8. Proiectarea seismică a structurilor di beto armat (a) Figura 8.2. Tipuri de structuri: sisteme flexibile la torsiue (a), sisteme de tip pedul iversat (b), exemplu u castel de apă di b.a. ( Î Tabelul 8. sut prezetate valorile de referiţă (petru structuri regulate) ale factorului de comportare q petru tipurile de structuri eumerate mai sus. Î cazul î care structurile sut eregulate pe verticală, valorile de referiţă ale factorului q trebuie reduse cu 20%. Tabelul 8.. Valori de referiţă ale factorul de comportare q petru structuri di b.a. (P00-, 203). Tipul de structură Factorul de comportare q DCH DCM DCL Structură tip cadru, structură cu pereţi zvelti 5 α u /α 3,5 α u /α 2,0* cuplaţi sau structură duală Structură cu pereţi (ecuplaţi) 4k w α u /α 3k w α u /α 2,0* Structură flexibilă la torsiue 3,0 2,0,5 Structură tip pedul iversat 2,5 2,0,5 Structură parter cu stâlpi î cosolă cu ν d 0,25, coectaţi pri plaşee cu comportare de diafragmă orizotală * dacă ν d 0,75 i toti stâlpii. Î caz cotrar q=,5. 37 (b) 3,5 3,0 2,0* Î tabelul de mai sus parametrii α şi α u au următoarea semificaţie: α coeficiet de multiplicare a forţei seismice orizotale care corespude apariţiei primei articulaţii plastice α u coeficiet de multiplicare a forţei seismice orizotale care corespude formării uui mecaism plastic Raportul α u /α corespude redudaţei q R, defiită î secţiuea şi reprezetată grafic î Figura 6.6. Î lipsa uor calcule specifice de determiare a raportului α u /α, valorile acestuia pot fi luate î modul următor: Cadre şi sisteme cu cadre predomiate: - cu u ivel: α u /α =.5 - multietajate, cu o deschidere: α u /α =.25 - multietajate, cu mai multe deschideri: α u /α =.35 Pereţi şi sisteme cu pereţi predomiaţi: - sisteme cu maxim doi pereţi ecuplaţi pe fiecare direcţie orizotală: α u /α =.0 - sisteme cu mai mult de doi pereţi pe fiecare direcţie trasversală: α u /α =.5 - sisteme duale cu pereţi predomiaţi sau pereţi cuplaţi: α u /α =.25

142 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] Atuci câd acest raport este determiat pri calcul, pot rezulta valori mai mari decât cele de mai sus. Totuşi, P00- (203) limitează acest raport la valoarea.6. Aalizâd valorile factorilor de comportare petru diferite tipuri de structuri di b.a. (Tabelul 8.), se poate cocluzioa că cele mai ductile structuri di b.a. sut cadrele, sistemele duale şi pereţii cuplaţi (valorile cele mai mari ale factorilor de comportare q). Urmează pereţii structurali, cu valori puţi mai mici ale factorilor de comportare de referiţă. Petru toate categoriile meţioate mai sus, valoarea factorului de comportare q este î strâsă legătură cu redudaţa structurii (α u /α ). Redudaţa structurii şi, î coseciţă, şi factorul de comportare cresc dacă structura are u grad de edetermiare statică mai mare (o redudaţă mai mare) Ductilitatea structurilor di b.a. Proiectarea structurilor di b.a. coform pricipiului de comportare disipativă a structurii ecesită obţierea uei comportări ductile la ivelul îtregii structuri. Î acest scop este ecesară asigurarea uei ductilităţi corespuzătoare la ivel de material, secţiue, elemet, oduri şi structură Ductilitatea materialelor Betoul simplu este u material care are o rezisteţă la îtidere mult mai mică decât la compresiue, fiid î geeral eglijată î practica igierească. Rezisteţa la compresiue a betoului (f ck ) este determiată pe cilidri stadard sau pe cuburi stadard la 28 de zile de la cofecţioare. Î Figura 8.3a sut prezetate câteva curbe tesiue deformaţie specifică petru betoae de diferite clase. Se poate observa că odată cu creşterea clasei betoului (a rezisteţei la compresiue f ck ) ductilitatea acestuia scade. Ductilitatea betoului ca şi material este exprimată pri deformaţia specifică ultimă ε cu. Clasele uzuale de beto au deformaţii specifice ultime ε cu de ordiul a Relaţia efort tesiue deformaţie specifică a oţelului di armături este caracterizată de o porţiue elastică, pâă la atigerea limitei de curgere, urmată de u platou de curgere, iar apoi de o porţiue de ecruisare. Î Figura 8.3b sut prezetate câteva curbe caracteristice efort tesiue deformaţie specifică petru oţeluri cu limita de curgere diferită. Se poate observa că deformaţia specifică la forţa maximă ε uk (folosită petru a caracteriza ductilitatea oţelului di armături) scade petru oţeluri cu limita de curgere superioară. Fucţie de clasa de ductilitate a costrucţiei, ormele impu valori miime ale deformaţiei specifice la forţa maximă care trebuie să fie îdepliite de armătură: ε uk petru clasa de ductilitate H şi ε uk 0.05 petru clasa de ductilitate DCM (SR EN 992 şi P00-, 203). Oţelul folosit î armături este sursa pricipală de ductilitate a betoului armat, deformaţia specifică ultimă a acestuia fiid de ori mai mare decât cea a betoului. (a) (b) Figura 8.3. Curbe tesiue deformaţie specifică petru betoae de diferite clase (a) şi oţeluri cu diferite valori ale limitei de curgere (b), Paulay şi Priestley, 992. Betoul armat este u material de costrucţie care combiă avatajele betoului simplu (rezisteţă la compresiue şi preţ redus) cu cele ale oţelului (rezisteţă la îtidere şi ductilitate foarte bue). Totuşi, petru a asigura o buă colucrare ître cele două materiale, şi î special petru a asigura o buă ductilitate structurilor di b.a., sut ecesare respectarea uor serii de măsuri costructive. 38

143 8. Proiectarea seismică a structurilor di beto armat Ua ditre ceriţele fudametale ecesare petru o comportare ductilă a structurilor di b.a. este cofiarea realizată de armăturile trasversale (etrieri, agrafe, frete, etc.) împreuă cu cea logitudială (vezi Figura 8.4a). Armăturile trasversale îchise împiedecă deformaţiile trasversale ale betoului solicitat la compresiue, ceea ce iduce o stare triaxială de solicitare î beto. Efectul cofiării este de creştere a rezisteţei la compresiue a betoului, dar mai ales a ductilităţii acestuia (vezi Figura 8.4b). Orietativ, deformaţia specifică ultimă a betoului cofiat este de ordiul a ε cu = Di această cauză, cofiarea betoului pri itermediul armăturilor trasversale este o ceriţă de bază î zoele disipative. Efectul de cofiare poate fi sporit pri (P00-, 203): reducerea distaţelor ditre puctele de fixare a armăturilor logitudiale (reducerea distaţelor s şi a l ); sporirea secţiuii sau a limitei de curgere di etrieri şi agrafe; dispuerea uor armături logitudiale suficiet de groase. beto cofiat tesiue, f c beto simplu (a) deformaţie specifică, εc (b) Figura 8.4 Cofiarea betoului (a) şi efectul cofiării asupra relaţiei tesiue deformaţie specifică (b) după Paulay şi Priestley, Ductilitatea de secţiue La structurile di b.a. sursa cea mai coveabilă de deformaţii ielastice o costituie formarea de articulaţii plastice î elemetele solicitate la îcovoiere. De aceea, este utilă aaliza ductilităţii la ivel de secţiue, aalizâd relaţia ditre momet şi curbură (rotirea pe uitate de lugime). O relaţie tipică momet curbură petru o secţiue de b.a. este prezetată î Figura 8.5a. Curbura de curgere φ y ' este atisă la curgerea armăturii îtise (Paulay şi Priestley, 992; vezi Figura 8.5b): ( d c ) φ = ε (8.) y y y ude ε y este alugirea la curgere a armăturii; d este îălţimea secţiuii, iar c y este îălţimea zoei comprimate. Î aumite cazuri (la secţiuile puteric armate sau la cele solicitate puteric la compresiue), se pot dezvolta deformaţii specifice de compresiue importate î beto îaite de curgerea armăturii îtise. Î aceste cazuri, curbura de curgere trebuie determiată la atigerea uor deformaţii specifice de compresiue î beto de ε c =0.005 (Paulay şi Priestley, 992): φ = ε c (8.2) y Î scopul simplificării relaţiilor de calcul, se adoptă uzual o aproximare biliiară a relaţiei momet curbură. Ua ditre modalităţile de determiare a relaţiei biliiare este pri egalarea ariilor de sub relaţia simplificată şi cea reală (vezi şi secţiuea 4.6.). Curbura de curgere di relaţia biliiară φ y va fi mai mare decât valoarea corespuzătoare φ y ', iar ductilitatea de secţiue poate fi defiită pri relaţia: φ c y µ = φ φ (8.3) m y 39

144 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] ude φ m este curbura ultimă (vezi Figura 8.5c), corespuzătoare uei reduceri semificative a capacităţii portate (sub 85% di mometul maxim coform EN 998-, 2004). De obicei curbura ultimă este cotrolată de atigerea deformaţiilor ultime î beto ε cu (zdrobirea betoului comprimat). Figura 8.5 Defiirea ductilităţii de secţiue (Paulay şi Priestley, 992). Cei mai importaţi factori care afectează ductilitatea de secţiue sut următorii (Paulay şi Priestley, 992): Deformaţia specifică ultimă a betoului ε cu : deoarece deformaţia specifică ultimă a betoului cotrolează de obicei curbura ultimă φ m, valori mai ridicate ale ε cu coduc la o ductilitate de secţiue sporită. Deformaţia specifică ultimă a betoului poate fi îmbuătăţită pri cofiarea acestuia. Forţa axială creşte îălţimea zoei comprimate la curgere şi la atigerea deformaţiei specifice ultime, ceea ce rezultă î creşterea curburii la curgere φ y şi reducerea curburii ultime φ m. Î coseciţă, ductilitatea de secţiue scade. Rezisteţa la compresiue a betoului sporită: o creştere a f ck reduce îălţimea zoei comprimate la curgere şi la deformaţia ultimă, de ude o curbură de curgere φ y mai mică, iar cea ultimă φ m mai mare. Î coseciţă, ductilitatea de secţiue µ φ creşte. Este de otat aici că odată cu creşterea clasei betoului, deformaţia specifică ultimă scade, astfel îcât petru betoaele de clasă foarte ridicată, ductilitatea secţiuii poate să scadă. Limita de curgere a armăturii mai ridicată coduce la o deformaţie specifică de curgere ε y mai mare şi deci la o ductilitate de secţiue µ φ redusă Ductilitatea de elemet Cea mai coveabilă măsură a ductilităţii uui elemet de beto armat este deformaţia acestuia. Astfel, ductilitatea cosolei di Figura 8.6 poate fi defiită pri relaţia: µ = y (8.4) ude este deplasarea ultimă a vârfului cosolei, iar y este deplasarea vârfului cosolei la curgere. Atât timp cât mometul la baza cosolei este mai mic decât mometul de curgere M y, diagramele de momet îcovoietor şi de curbură sut triughiulare, cu valorile maxime la baza cosolei. Deplasarea 2 corespuzătoare atigerii mometului de curgere este = φ 3 şi poate fi obţiută itegrâd diagrama de curbură φ ( ) = x xdx. Dacă forţa laterală cotiuă să crească, curbura de la baza cosolei depăşeşte curbura de curgere, deformaţiile ielastice îregistrâdu-se pe o porţiue L p di lugimea cosolei L. Zoa î care se cocetrează deformaţiile ielastice se umeşte articulaţie plastică. Petru o relaţie biliiară mometcurbură, după atigerea mometului plastic î articulaţia plastică, aceasta îregistrează rotiri la u momet costat. Rotirea di articulaţia plastică este egală cu θ φ L ( φ φ ) y y L = = L. Deplasarea de la vârful p p p m y p cosolei care se produce după formarea articulaţiei plastice, se datorează î totalitate rotirii di articulaţia plastică. Î ipoteza î care articulaţia plastică se cosideră la mijlocul lugimii L p, deplasarea vârfului = θ L 0.5L. Folosid expresiile de mai sus, cosolei di rotirea î articulaţia plastică este egală cu p p ( p ) se poate stabili următoarea relaţie ître ductilitatea cosolei µ şi ductilitatea la ivel de secţiue µ φ : 40

145 8. Proiectarea seismică a structurilor di beto armat Lp µ = + 3( µ φ ) ( L 0.5 Lp ) L (8.5) Relaţia (8.5) idică faptul că ductilitatea de elemet µ u este egală cu ductilitatea de secţiue µ φ. Î geeral valoarea ductilităţii la ivel de elemet este mai mică decât cea la ivel de secţiue. Figura 8.6. Diagramele de momet îcovoietor şi de curbură, precum şi deformaţiile uei cosole prismatice di beto armat (Paulay şi Priestley, 992). Ductilitatea uui elemet structural îcovoiat poate fi evaluată aalitic folosid relaţia (8.5). Totuşi, există mai mulţi factori care pot iflueţa capacitatea de deformaţie plastică a elemetelor structurale. Majoritatea ditre aceştia au fost stabiliţi pe baza uor îcercări experimetale şi a uor observaţii ale comportării structurilor la cutremurele di trecut. Î cotiuare sut prezetate pe scurt pricipalele aspecte care asigură ductilitatea diferitelor elemete structurale. Grizi La cadrele di b.a. zoele disipative sut amplasate î grizi. Î geeral mometele maxime şi, î coseciţă, şi zoele disipative sut amplasate la capetele grizilor (vezi Figura 8.8). Acestea sut zoele î care se pot forma articulaţii plastice î timpul uui cutremur şi care ecesită o ateţie deosebită petru a le oferi ductilitatea ecesară. Uul ditre factorii care pot reduce capacitatea de deformare plastică a grizilor este forţa tăietoare. Î geeral, la elemetele de b.a. forţa tăietoare reprezită u mod de cedare fragil şi trebuie evitată. Valori ridicate ale forţei tăietoare reduc semificativ mometul capabil, rigiditatea şi ductilitatea grizilor. Î Figura 8.7 este prezetat modul de formare a uei articulaţii plastice î prezeţa uei forţe tăietoare ridicate şi răspusul ciclic al uei astfel de grizi. La primul ciclu de îcărcare, armătura superioară curge iar la partea superioară betoul fisurează di cauza mometului îcovoietor şi a forţei tăietoare. Atuci câd mometul îşi schimbă sesul, fisurile de la partea superioară u se îchid complet. După câteva cicluri alterate, se formează o fisură care traversează îtreaga secţiue, betoul ajugâd îtr-o stare avasată de degradare. Î aceste codiţii mometul îcovoietor este preluat de cuplul de forţe di armătura îtisă şi comprimată, iar forţa tăietoare de efectul de dor al armăturii logitudiale. Rigiditatea şi rezisteţa la forţă tăietoare fiid foarte reduse, au loc aluecări de-a lugul fisurii complete de la capătul elemetului. Aceste aluecări sut reflectate pri forma specifică "ciupită" a relaţiei forţă-deplasare (comportare cuoscută şi sub umele de "pichig"). Rezultă işte cicluri cu o arie redusă sub curba forţă-deplasare, care îseamă o capacitate redusă de disipare a eergiei seismice. Î cocluzie, forţa tăietoare reduce ductilitatea elemetelor de b.a., iar efectul acesteia trebuie limitat. Î acest scop, valoarea forţei tăietoare ditr-o gridă trebuie evaluată coform pricipiului proiectării bazate pe capacitate, corespuzătoare formării articulaţiilor plastice la cele două capete ale grizilor, iar zoele disipative trebuie să aibă o rezisteţă suficietă la forţă tăietoare petru a limita efectele acesteia. O gridă solicitată de îcărcări gravitaţioale are momete egative pe reazeme şi pozitive î câmp (vezi Figura 8.8a). Această diagramă de eforturi coduce la dispuerea armăturilor logitudiale la partea superioară pe reazeme şi la partea iferioară î câmp. O dispuere coveabilă a armăturii se obţie dacă armătura di câmp este ridicată pe reazeme (vezi Figura 8.9a). Această modalitate de armare prezită şi 4

146 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] avatajul că armătura îcliată care rezultă este foarte eficietă î preluarea forţei tăietoare de pe reazeme. Î aceste codiţii, etrierii pot fi dispuşi relativ rar, avâd rol costructiv de formare a carcasei de armătură. Tot di codiţii costructive pot fi ecesare şi armături logitudiale drepte dispuse ditr-u capăt î altul al grizii. (d) Figura 8.7. Articulaţie plastică î grizi cu forţă tăietoare ridicată (a, b, c) şi răspusul forţă-deplasare al uei astfel de grizi (d), Derecho şi Kiaoush, 200. M M M (a) (b) (c) Figura 8.8. Diagrama de momet îcovoietor pe riglă îtr-u cadru de b.a. solicitat di îcărcări gravitaţioale (a), seismice (b) şi gravitaţioale + seismice (c). Modul de armare se schimbă radical î cazul uei grizi care face parte ditr-u cadru amplasat îtr-o zoă seismică şi care este proiectat coform pricipiului de comportare disipativă. Di efectul combiat al îcărcărilor gravitaţioale şi al celor seismice, mometul îcovoietor de pe reazem îregistrează şi valori pozitive (vezi Figura 8.8c). Deoarece acţiuea seismică îşi schimbă sesul, ambele capete ale grizilor vor fi solicitate atât la momete pozitive, cât şi la momete egative î gruparea seismică de îcărcări. Această situaţie impue folosirea uor arii similare de armătură la partea superioară şi la cea iferioară a secţiuii, adică folosirea uor armături drepte pe toată lugimea riglei (vezi Figura 8.9b). Î plus, armătura îcliată u mai este eficietă petru preluarea forţei tăietoare, deoarece la fel ca şi mometul, forţa tăietoare îşi poate schimba sesul î cazul acţiuii seismice. Î coseciţă, preluarea forţei tăietoare la grizile solicitate seismic se realizează pri armătura trasversală (etrieri). Î zoele disipative, etrierii trebuie dispuşi mai des decât î restul grizii, di următoarele motive: 42

147 8. Proiectarea seismică a structurilor di beto armat armătura trasversală mai puterică realizează o cofiare mai puterică a betoului, ceea ce îi creşte ductilitatea distaţa redusă ître etrieri împiedecă flambajul barelor logitudiale comprimate etrierii sut pricipalul mecaism de preluare a forţei tăietoare î zoele disipative, fiid activi petru orice ses al acesteia Pe lâgă cele expuse mai sus, petru ca zoele disipative să poată forma articulaţii plastice stabile, trebuie să se asigure o adereţă şi u acoraj bu al armăturilor logitudiale pe reazeme. Aceasta coduce î cele mai multe cazuri la lugimi de acorare mai mari decât î cazul grizilor solicitate gravitaţioal, î special la armătura iferioară (vezi Figura 8.9). < 50 mm s Lcr Lcr (a) Figura 8.9. Detalii tipice de armare a uei grizi solicitate la îcărcări gravitaţioale (a) şi a uei grizi parte ditr-o structură disipativă amplasată îtr-o zoă seismică (b). Armarea cu bare logitudiale drepte şi etrieri prezită şi avatajul uei maopere mai reduse î comparaţie cu armarea cu bare îcliate, fiid preferată î zilele oastre chiar şi petru cadrele amplasate î zoe eseismice. Stâlpi Stâlpii structurilor î cadre sut elemete edisipative, iar ormele seismice coţi prevederi al căror scop este de a preîtâmpia formarea articulaţiilor plastice î aceştia (vezi 8.3.5). Excepţie fac zoele de la partea iferioară a stâlpilor de la baza structurii, ude este permisă apariţia articulaţiilor plastice, acestea fiid ecesare petru formarea mecaismului plastic global. Pe lâgă aceste zoe di stâlpi, pot apărea deformaţii plastice şi î alţi stâlpi di structură. Aceasta se datorează faptului că abordarea simplificată di ormative u elimiă complet formarea de articulaţii plastice î stâlpi. Di aceste cosiderete, zoele de la capetele stâlpilor sut cosiderate zoe critice, î care pot apărea deformaţii ielastice şi care ecesită o detaliere corespuzătoare, care să le ofere ductilitatea ecesară. Pricipiul de detaliere este acelaşi ca şi cel descris î cazul grizilor, cheia asigurării uei ductilităţi corespuzătoare fiid o dispuere a armăturilor logitudiale şi a celor trasversale care să ofere o cofiare buă a betoului şi să elimie cedarea di forţă tăietoare. Cofiarea este cu atât mai importată î cazul stâlpilor, cu cât aceste elemete sut solicitate şi la forţe de compresiue ridicate, pe lâgă mometele îcovoietoare şi forţele tăietoare. Î Figura 8.0a sut prezetate detalii tipice de armare ale uui stâlp cu secţiuea rectagulară. Astfel, petru o buă cofiare a secţiuii, î zoele plastice poteţiale este ecesară: dispuerea de armăturilor logitudiale itermediare, fixarea armăturilor logitudiale pri itermediul uor etrieri sau agrafe, acorarea etrierilor î betoul cofiat pri itermediul uor cârlige suficiet de lugi, îdoite la 35, ca să previă desfacerea etrierilor la solicitări puterice î domeiul ielastic şi dispuerea mai deasă a etrierilor. Spre exemplificarea importaţei armăturii trasversale petru asigurarea uui răspus ielastic superior al elemetelor di b.a., î Figura 8.0 b şi c se prezită doi stâlpi ai aceleiaşi clădiri (Olive View Hospital), care a fost grav avariată î timpul cutremurului Sa Ferado, Califoria, SUA, di 9 februarie 97 (Derecho şi Kiaoush, 200). Astfel, chiar dacă ambii stâlpi au suferit deformaţii ielastice importate, stâlpul circular fretat di Figura 8.0b şi-a păstrat itegritatea, î timp ce stâlpul rectagular di Figura 8.0c, cu armături trasversale iadecvate a fost practic dezitegrat. (b) 43

148 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] (a) (b) (c) Figura 8.0. Detaliu tipic de armare a uui stâlp (a), coform P00-; degradarea severă a uui stâlp circular fretat (b) şi a uui stâlp cu secţiue rectagulară cu etrieri (c) Derecho şi Kiaoush, 200. O ceriţă de ductilitate specifică stâlpilor este îădirea corectă a armăturilor. Codiţiile tehologice impu ca armăturile logitudiale di stâlpi să fie îădite la partea iferioară a stâlpilor de pe îălţimea uui etaj. Îsă acestea sut zoele critice, î care se pot produce deformaţii ielastice î urma uui cutremur. Strivirea betoului î zoa articulaţiei plastice coduce la o degradare accetuată a codiţiilor de adereţă şi u mai asigură cotiuitatea trasmiterii eforturilor ître armături î zoa îădirii. De aceea, trebuie evitată îădirea armăturilor di stâlpi î zoele plastice poteţiale, î special îădirea pri suprapuere. Pereţi Pereţii sut elemete structurale care au o rigiditate foarte buă, limitâd eficiet deformaţiile laterale ale structurilor supuse acţiuii seismice. Atuci câd sut proiectate şi detaliate corespuzător, aceste elemete pot oferi şi o ductilitate exceletă. Comportarea pereţilor la îcărcări laterale depide î primul râd de raportul ditre îălţimea şi lăţimea acestora. Pereţii cu îălţimea apropiată de lăţime au o comportare domiată de forfecare. Cei cu u raport ître îălţime şi lăţime mai mare de 2 au o comportare guverată de îcovoiere şi reprezită cazul tipic la clădirile multietajate. Mecaismul plastic la astfel de pereţi structurali îl reprezită formarea uei articulaţii plastice la baza peretelui, iar pricipiile de asigurare a uui răspus ductil sut similare celor prezetate î cazul riglelor şi al stâlpilor de beto armat: limitarea efectelor forţei tăietoare (u mod de cedare fragil) pri alegerea dimesiuilor secţiuii trasversale şi o armare corespuzătoare cofiarea zoei disipative (baza peretelui) pri dispuerea armăturilor logitudiale şi a celor trasversale la distaţe cât mai mici ître ele îădirea armăturilor î afara zoelor disipative O măsură specifică pereţilor, care le asigură o ductilitate superioară, este prevederea uor tălpi sau a uor bulbi la extremităţile peretelui (vezi Figura 8.), aceste zoe mai dezvoltate şi armate corespuzător fiid amplasate î zoe de tesiui şi deformaţii maxime (la fibra extremă). 44

149 8. Proiectarea seismică a structurilor di beto armat Nodurile cadrelor Figura 8.. Detaliu de perete structural cu bulbi (Derecho şi Kiaoush, 200). Nodurile reprezită zoe critice îtr-o structură î cadre, deoarece acestea sut supuse uor eforturi severe (datorate mometelor îcovoietoare şi forţelor tăietoare di rigle şi stâlpi) atuci câd î zoele disipative adiacete se formează articulaţii plastice. Nodurile trebuie dimesioate şi detaliate astfel ca rezisteţa acestora să fie suficietă petru a dirija formarea articulaţiilor plastice î rigle şi a evita deformaţiile plastice î oduri. Problema pricipală î dimesioarea odurilor o reprezită eforturile uitare de forfecare ridicate. Deteriorarea odurilor poate duce la dimiuarea drastică a rezisteţei şi rigidităţii de asamblu a structurii. (d) (e) Figura 8.2. Starea de eforturi şi mecaismele de preluare a forţei tăietoare îtr-u od (a, b, c) - Derecho şi Kiaoush, 200; detalierea armăturilor logitudiale di riglă petru asigurarea mecaismului de diagoală comprimată (d, e) - Priestley, 997. Forţa tăietoare este preluată î oduri pri două mecaisme (vezi Figura 8.2): U mecaism de diagoală comprimată (cotribuţia betoului). Formarea acestui mecaism impue detalii costructive specifice. Î cazul odurilor exterioare, armătura logitudială di perete trebuie să fie îdoită către iteriorul odului, asigurâd diagoalei comprimate u reazem (Figura 8.2d). Dacă 45

150 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] armătura este îdoită î exteriorul odului, mecaismul de diagoală comprimată u se poate forma, iar cedarea odurilor are loc la forţe mult mai mici (Priestley, 997). U mecaism de gridă cu zăbrele (cotribuţia armăturii trasversale). Asigurarea uor oduri cu o rezisteţă suficietă ecesită armături trasversale (etrieri) dese î iteriorul odului. O altă problemă care poate reduce drastic rezisteţa şi rigiditatea odurilor este pierderea adereţei armăturilor logitudiale di rigle şi stâlpi, datorită fisurării odului ca urmare a eforturilor de forfecare puterice existete î acesta. Pierderea adereţei armăturilor logitudiale coduce la dimiuarea mometului capabil al elemetelor care cocură î od şi la scăderea rigidităţii. Petru a asigura o adereţă suficietă a armăturilor logitudiale, se recurge la două măsuri. Prima este meită să reducă fisurarea di zoa odului, pri asigurarea uor dimesiui corespuzătoare ale odului (stâlpului) şi armarea cu etrieri. Cea de-a doua costă î asigurarea uei lugimi de acoraj a armăturilor logitudiale mai mari decât î cazul elemetelor solicitate di acţiui eseismice Ductilitatea structurii Chiar dacă elemetele uei structuri sut coformate astfel îcât să asigure u răspus ductil, structura per asamblu poate avea u răspus seismic ecorespuzător dacă deformaţiile ielastice se cocetrează îtr-u umăr limitat de elemete, formâd u mecaism plastic parţial (vezi Figura 6.26b). Ductilitatea la ivel de structură este asigurată pri ierarhizarea rezisteţei elemetelor structurale petru obţierea uui mecaism plastic global (vezi Figura 6.26a), care oferă următoarele avataje: umărul maxim de zoe disipative şi deci o redudaţă structurală ridicată o distribuţie uiformă a ceriţelor de ductilitate î structură, adică o solicitare uiformă a elemetelor structurale evitarea formării articulaţiilor plastice î stâlpi - elemete importate petru stabilitatea globală a structurii Î cazul structurilor î cadre, u mecaism plastic de tip global implică formarea articulaţiilor plastice î rigle şi la baza stâlpilor. Î cazul structurilor î cadre de b.a., promovarea uui mecaism plastic global se realizează folosid pricipiul de "stâlp tare riglă slabă". Coform acestui pricipiu, la fiecare od, stâlpii trebuie să posede o suprarezisteţă faţă de grizile adiacete, astfel ca articulaţiile plastice să se formeze î rigle şi u î stâlpi. O modalitate simplă de a asigura pricipiul de "stâlp tare riglă slabă" este ca suma mometelor capabile ale stâlpilor care cocură îtr-u od să fie mai mare decât suma mometelor capabile ale riglelor care cocură î acelaşi od (vezi Figura 8.3). P00- (203) trascrie această ceriţă pri relaţia: M γ M (8.6) Rc Rd Rb ude: M Rc suma valorilor de proiectare ale mometelor capabile ale stâlpilor care itră î od, î secţiuile îveciate odului; se cosideră valorile miime corespuzătoare variaţiei posibile a forţelor axiale î combiaţia seismică de proiectare; M Rb suma valorilor de proiectare ale mometelor capabile î grizile care itră î od, î secţiuile îveciate odului; γ Rd factorul de suprarezisteţă datorat efectului de cosolidare al oţelului, care se va cosidera,3 petru clasa de ductilitate îaltă (DCH) şi,2 petru clasa de ductilitate medie (DCM). Rc2 M Rb M Rb2 M Rc Figura 8.3. Echilibrul mometelor îcovoietoare la u od iterior petru o structură î cadre. 46

151 8. Proiectarea seismică a structurilor di beto armat Este de otat faptul că pricipiul de "stâlp tare riglă slabă" u preîtâmpiă î totalitate formarea de articulaţii plastice î stâlpi. Cele două momete di stâlpii care cocură îtr-u od u sut de obicei egale. Astfel, chiar dacă suma mometelor capabile de pe stâlpi este mai mare decât suma mometelor capabile de pe rigle, uul ditre stâlpi poate fi mai solicitat decât celălalt, acesta suferid deformaţii ielastice. Totuşi, este de aşteptat ca pricipiul "stâlp tare riglă slabă" să limiteze formarea articulaţiilor plastice î stâlpi, promovâd u mecaism plastic global. Pereţii structurali au î geeral o ductilitate buă, dar au dezavatajul uei redudaţe reduse (u perete izolat are o sigură zoă disipativă articulaţia plastică de la bază). U sistem structural care pe lâgă rezisteţa, rigiditatea şi ductilitatea oferită de pereţii structurali oferă u plus de redudaţă este reprezetat de pereţii cuplaţi. Aceştia sut alcătuiţi di (cel puţi) doi pereţi legaţi pri itermediul uor grizi de cuplare (vezi Figura 8.4a). Mecaismul plastic global al acestui tip de structură implică deformaţii plastice î grizile de cuplare, urmate de formarea articulaţiilor plastice la baza pereţilor. Di cauza lugimii reduse a grizilor de cuplare, acestea sut supuse uor forţe tăietoare ridicate, care î geeral ar implica u răspus fragil. Totuşi, dacă grizile de cuplare se armează cu bare dispuse pe diagoală (vezi Figura 8.4b), se poate obţie u răspus ielastic foarte ductil. Folosid pricipiile de proiectare bazată pe capacitate, armarea grizilor de cuplare trebuie realizată astfel îcât acestea să se plasticizeze îaitea formării articulaţiilor plastice la baza pereţilor structurali, asigurâd u mecaism plastic global. (a) Figura 8.4. Eforturile ditr-u perete cuplat (a) şi armarea diagoală a grizii de cuplare (b), Derecho şi Kiaoush, 200. (b) 47

152 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] 9. Proiectarea seismică a podurilor 9.. Ceriţe fudametale şi pricipii de proiectare Podurile sut structuri igiereşti destiate traversării uor obstacole de către o cale de comuicaţie terestră. Di puct de vedere structural, u pod se compue di suprastructură şi ifrastructură (vezi Figura 9.). Suprastructura (tablierul) este partea superioară a podului care preia îcărcările di trafic. Ifrastructura serveşte la trasmiterea eforturilor de la suprastructură către tere şi este alcătuită di pile (reazeme itermediare) şi culee (reazeme de capăt). Legătura ditre ifrastructură şi suprastructură poate fi de tip îcastrat, articulat, sau simplu rezemat. Deseori sut ecesare reazeme simple şi rosturi de dilataţie petru a limita eforturile proveite di variaţii de temperatură. pila culee Figura 9.. Elemetele pricipale ale structurii uui pod. Importaţa preveirii colapsului podurilor î urma uor cutremure de pămât are la bază câteva motive. Primul ditre acestea este acelaşi cu ceriţa impusă clădirilor î geeral: preveirea pierderilor de vieţi omeeşti. Cel de-al doilea costă î faptul că, î foarte multe cazuri, podurile reprezită legături vitale î reţeaua de trasport. Î lipsa uor căi de comuicaţie alterative, distrugerea uui pod poate îtrerupe traficul, făcâd imposibile activităţile echipelor de iterveţie î situaţii de urgeţă. Î cele di urmă, îtreruperea traficului pe u terme mai lug după u cutremur poate avea efecte ecoomice efavorabile asupra regiuii afectate de cutremur. EN 998-2, 2005, orma seismică europeaă care reglemetează aspectele specifice proiectării seismice a podurilor, coţie două ceriţe fudametale (sau obiective de performaţă). Prima ceriţă corespude stării limită ultime (SLU) şi prevede evitarea colapsului sub efectul acţiuii seismice de proiectare, î urma căreia podul trebuie să-şi meţiă itegritatea structurală şi o capacitate portată reziduală, chiar dacă uele părţi ale sale pot suferi avarii importate. Structura podului trebuie să fie tolerată la avariere, î sesul î care, î urma acţiuii seismice de proiectare, podul să poată susţie traficul de urgeţă şi să permită o ispectare şi reparaţie facilă a zoelor avariate. Ce-a de-a doua ceriţă fudametală corespude stării limită de serviciu (SLS) şi costă î limitarea degradărilor sub efectul uei acţiui seismice cu o probabilitate mai mare de apariţie decât acţiuea seismică de proiectare. Coform ceriţelor EN (2005), sut permise doar degradări miore ale elemetelor secudare şi ale zoelor disipative î urma uui cutremur corespuzător SLS şi u trebuie să fie ecesară îtreruperea traficului sau efectuarea uor reparaţii. Ca şi î cazul structurilor petru clădiri, podurile pot fi proiectate coform pricipiilor de comportare disipativă sau comportare slab-disipativă. Podurile slab-disipative sut cele care au o ductilitate limitată (terme folosit de EN 998-2, 2005). Î acest caz u se asigură pri proiectare ceriţe speciale care să asigure structurii o ductilitate superioară, iar îcărcarea seismică se determiă pe baza uor factori de comportare q.5. Î cazul podurilor al căror răspus este domiat de modurile superioare de vibraţie (de exemplu podurile suspedate), sau atuci câd structura are u răspus fragil (datorită uor forţe axiale sau tăietoare mari), este recomadată asigurarea uui răspus elastic al structurii sub efectul acţiuii seismice de calcul, pri utilizarea u factor de comportare q=. Podurile disipative (sau ductile î termiologia EN 998-2, 2005) sut proiectate astfel îcât să aibă u răspus ductil sub efectul acţiuii seismice de proiectare, disipâd eergia seismică pri icursiui î domeiul ielastic. Di această cauză, forţele seismice sut reduse faţă de cele corespuzătoare uui răspus elastic, folosid valori suprauitare ale factorului de comportare q. 48

153 9. Proiectarea seismică a podurilor Alegerea pricipiului de proiectare (disipativă sau slab-disipativă) este la latitudiea proiectatului, raţiuile pricipale fiid cele de atură ecoomică. Î geeral, î zoele de seismicitate medie şi ridicată (cu valoarea de calcul a acceleraţiei de vârf a tereului a g > 0.g), proiectarea pe baza pricipiului de comportare disipativă este mai ecoomică. Pricipiul de proiectare disipativă sau slab-disipativă a podurilor este idetic cu cel aplicat şi altor tipuri de structuri. Petru detalii suplimetare vezi secţiuea Calculul structural la acţiuea seismică Î cele mai multe cazuri aaliza structurală a podurilor poate fi realizată pe două modele plae: uul pe direcţia logitudială şi altul pe direcţia trasversală. Metoda uzuală de calcul a structurilor petru poduri la acţiuea seismică este aaliza elastică folosid metoda de calcul modal cu spectre de răspus (vezi secţiuea 6.3.2). Î cazul î care răspusul structurii este guverat de u sigur mod propriu de vibraţie, se pot folosi metode simplificate de calcul, după pricipiul forţelor laterale di secţiuea 6.3. aplicabile petru structuri multietajate. EN 998-2, 2005 foloseşte deumirea de metoda modului fudametal petru acest tip de aaliză. Răspusul seismic al uui pod este guverat de u sigur mod de vibraţie atuci câd masa pilelor poate fi eglijată î comparaţie cu masa tablierului ( 20%) şi atuci câd structura podului este regulată î pla orizotal (excetricitatea ditre cetrul de masă şi cel de rigiditate este mai mică de 5% di lugimea tablierului). Petru metoda de calcul modal cu spectre de răspus, acţiuea seismică este defiită pri spectre de răspus (vezi secţiuea 6.2): două compoete orizotale şi ua verticală. Compoeta verticală poate fi î geeral eglijată, î special î zoele de seismicitate redusă. Totuşi, compoeta verticală a mişcării seismice trebuie cosiderată î următoarele cazuri (EN 998-2, 2005): î cazul tablierelor realizate di beto precomprimat petru aaliza efectelor asupra reazemelor şi rosturilor atuci câd obiectivul proiectat se află î proximitatea uei falii active (compoeta verticală a mişcării seismice este importată î apropierea zoei epicetrale) Majoritatea structurilor au dimesiui î pla relativ mici î comparaţie cu lugimea de udă a mişcării seismice, astfel îcât acţiuea seismică poate fi cosiderată aceeaşi petru îtreaga fudaţie a clădirii. La structurile cu deschideri mari, cum sut podurile, atuci câd dimesiuea î pla este comparabilă cu lugimea de udă a udelor seismice, puctele î care acţioează mişcarea seismică (priderea î fudaţii a pilelor şi culeelor) pot îregistra mişcări diferite. La limită, elemetele de rezemare ale uui pod îregistrează mişcări î cotrases, iducâd deformaţii şi eforturi suplimetare î structură. Mişcarea difereţiată a puctelor de rezemare a structurii se datorează variabilităţii spaţiale a acţiuii seismice. Acest feome poate fi importat la structurile cu deschideri mari, iar codiţiile geologice şi topografice accetuează maifestarea acestuia. Coform EN (2005), variabilitatea spaţială a mişcării seismice trebuie cosiderată la determiarea răspusului seismic al structurilor petru poduri î următoarele cazuri: atuci câd există discotiuităţi geologice (de exemplu u tere slab situat direct peste rocă) atuci câd tereul are o topografie variată dacă lugimea podului depăşeşte 600 metri 9.3. Ductilitatea şi coformarea seismică a structurilor petru poduri Podurile pot fi realizate di diverse materiale de costrucţie, iar pricipiile de asigurare a ductilităţii la ivel de material, secţiue şi elemet sut aceleaşi cu cele descrise î capitolul 7 (petru structurile metalice) şi capitolul 8 (petru structurile di beto armat). Aspectele specifice podurilor sut cele referitoare la asigurarea ductilităţii la ivel de structură. La structurile petru poduri, zoele disipative sut amplasate î pile, de obicei la baza acestora. Aceste zoe, care sut supuse uor deformaţii ielastice importate, trebuie proiectate şi detaliate astfel îcât să dezvolte o ductilitate cât mai buă. Ceriţele specifice sut cele discutate î capitolele 7 şi 8. Î cazul structurilor di beto armat este eseţială armarea zoelor disipative care să asigure o cofiare adecvată a betoului, preveirea cedării di forţă tăietoare şi dispuerea îădirilor î afara zoelor disipative. Î Figura 9.2a este prezetat u exemplu de avariere datorată armării isuficiete a zoei disipative de la baza uei pile di b.a., iar î Figura 9.2b o cedare fragilă di forţă tăietoare. Î cazul structurilor metalice, ceriţele fudametale de 49

154 Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.204] asigurare a uui răspus ductil î zoele disipative sut preveirea flambajului la ivel de elemet şi a voalării la ivel de secţiue. (a) (b) Figura 9.2. Avarierea uei pile de la viaductul Hashi î timpul cutremurului di 995 di Kobe, Japoia (a) şi cedarea di forţă tăietoare la pilele uui viaduct la cutremurul Sa Ferado, SUA, di 97 (b), Moehle şi Eberhard, Tablierul trebuie proiectat astfel îcât să aibă u răspus î domeiul elastic sub acţiuea seismică de proiectare. Sut permise avarii miore la elemetele secudare, cum ar fi rosturile de dilataţie, parapete, etc. Astfel, suprastructura (tablierul, reazemele, rosturile de dilataţie) reprezită elemete edisipative. O ceriţă importată este ca tablierul să u se deplaseze de pe reazeme î urma deformaţiilor suferite î timpul acţiuii seismice. U exemplu de cedare a uui pod di cauza icapacităţii aparatelor de reazem de a prelua deformaţiile excesive iduse de cutremur este cazul podului Showa, avariat grav î timpul cutremurului di 964 di Niigata, Japoia (vezi Figura 9.4a). Răspusul elastic al elemetelor edisipative (tablier, reazeme) se asigură pe baza pricipiilor de proiectare bazată pe capacitate (vezi secţiuea 0). Astfel, eforturile de calcul di elemetele edisipative se determiă pe baza echilibrului de forţe la formarea mecaismului plastic, corespuzătoare eforturilor di articulaţii plastice, ţiâd cot de suprarezisteţa acestora (di cauza cosolidării şi a rezisteţei reale mai mari decât cea caracteristică). (a) (b) Figura 9.3. Exemple de poduri cu distribuţii efavorabile ale rigidităţii ître pile î pla logitudial (a) EN998-2, 2005, şi î pla trasversal (b) Dua şi Che, Î cazul structurilor disipative, o ductilitate de asamblu superioară se obţie atuci câd articulaţiile plastice se formează simulta î cât mai multe pile. Există multe cazuri câd cofiguraţia tereului poate coduce la pile cu rigidităţi foarte diferite (vezi Figura 9.3). Atuci câd tablierul este cotiuu, pilele cu rigiditatea mai 50

155 9. Proiectarea seismică a podurilor mare vor atrage forţe seismice mai mari, ceea ce determiă o solicitare euiformă a acestora şi cedarea lor prematură. De aceea, pilele trebuie să aibă pe cât posibil o distribuţie cât mai uiformă a rigidităţii şi rezisteţei. Atuci câd u este posibilă asigurarea uei rigidităţi uiforme, o soluţie alterativă este dispuerea uor reazeme simple (de aluecare) sau di elastomeri ître suprastructură şi pilele cu rigiditate mare, care să elimie sau să limiteze trasmiterea forţelor de ierţie de la suprastructură la pile. La podurile oblice axa logitudială a tablierului u este perpediculară pe elemetele ifrastructurii (pile şi culee). Tablierul acestor poduri are tediţa să se rotească î pla orizotal, ceea ce coduce la deplasarea de pe reazeme a tablierului. Di acest motiv podurile oblice şi cele curbe u sut recomadate î zoe seismice. Î acest ses, EN 998-2, 2005 recomadă evitarea podurilor cu u ughi oblic mai mare de 45 î zoele de seismicitate ridicată. Î Figura 9.4b este prezetat colapsul uui viaduct oblic ca urmare a deplasării tablierului la rosturile de dilataţie. (a) Figura 9.4. Cedarea podului Showa î timpul cutremurului di 964 di Niigata, Japoia datorită deplasării de pe reazeme (a) - şi cedarea viaductului Gavi Cayo la cutremurul di 994 di Northridge, SUA (b) - Î geeral, structurile cotiue au o comportare seismică mai buă decât cele care au u umăr mare de reazeme simple (de luecare) şi rosturi de dilataţie. Acestea di urmă sut îsă ecesare petru a limita efectele variaţiei de temperatură Tipuri de structuri şi factori de comportare Ca şi î cazul structurilor petru clădiri, metoda stadard de aaliză î cazul structurilor petru poduri este metoda de calcul modal cu spectre de răspus (u calcul elastic). Î cazul proiectării pe baza pricipiului de comportare disipativă a structurii, capacitatea structurii de a se deforma î domeiul ielastic (cu degradarea elemetelor structurale, dar fără a ajuge la colaps) este reflectată de factorii de comportare q. Valoarea de referiţă a factorilor de comportare q petru diferite tipuri de structuri este prezetată î Tabelul 9.. Valorile factorilor de comportare q di Tabelul 9. reflectă ductilitatea diferitelor tipuri de elemete disipative (a tipului de structură), a diferitelor materiale folosite şi pricipiul de proiectare folosit la proiectare. Astfel, structurile mai ductile sut caracterizate de factori de comportare mai ridicaţi. La structurile di b.a., forţa tăietoare reprezită u mod de solicitare fragil. Cu cât raportul ditre lugimea şi îălţimea secţiuii (α s =L/h) uei pile este mai mic, cu atât forţa tăietoare corespuzătoare formării articulaţiei plastice la baza pilei va fi mai mare, favorizâd o cedare fragilă. De aceea, factorul de comportare q are valori reduse î cazul pilelor cu u raport L/h redus, atuci câd elemetul structural este susceptibil la cedare di forţă tăietoare. Î cazul structurilor metalice, se poate observa că structurile ecotravâtuite şi cele cotravâtuite excetric sut cele mai ductile, iar cele cotravâtuite cetric cel mai puţi ductile. Această observaţie reflectă faptul (b) 5