[ ] 3. Structura mulţimii soluţiilor admisibile ale unei probleme de programare liniară
|
|
- Ευδώρα Ιωαννίδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară În această secţune ne vom or asura rncalelor roretăţ geometrce e care le osedă mulţmea soluţlor unu sstem de ecuaţ ş necuaţ lnare. Aceste roretăţ sunt determnante în înţelegerea mecansmulu metode smlex de rezolvare a rogramelor lnare. Parcurgerea aceste secţun necestă câteva rudmente de calcul matrcal ş algebră lnară. Vector cu care se va oera vor f subînţeleş, duă caz, fe ln fe coloane. De regulă,screrea în text a unu vector se va face în lne ca de exemlu v = ( a, a,..., a m ); dacă este necesar ca v să fe consderat vector coloană se va folos oeratorul de transunere: v = ( a, a,..., a m ) T. 3. Câteva elemente de analză convexă lnară Fnd date două uncte xy, R n mulţmea: [ x, y] = { z= ( α) x+ αy, 0 α } se numeşte segment (închs) cu extremtăţle x ş y. Se şte că în R sau în R 3 acest concet se suraune este concetul geometrc uzual. Pentru α = 0, resectv α =,avem z x, resectv z y. Punctele z = ( α ) x + α y coresunzătoare valorlor α ( 0, ) se numesc uncte nteroare ale segmentulu [xy, ]. Pentru α = segmentulu [ xy, ]. găsm z = x+ y ( ) mjlocul O mulţme X R n se zce convexă dacă o dată cu două uncte conţne ş segmentul care le uneşte. Formal : [ ] X convexă ( ) x, y X,( ) α 0,, z = ( α) x + α y X Se verfcă medat că ntersecţa ma multor mulţm convexe este o mulţme convexă.
2 I. PROGRAMARE LINIARA Fe a = ( a, a,..., a n ) un vector nenul ş b un scalar.este uşor de văzut că mulţmea: T { (,,..., n )... n n } S = x = x x x ax b a x + a x + + a x b este convexă. Ea se numeşte semsaţu, în tm ce mulţmea: T { (,,..., n )... n n } H = x = x x x ax = b a x + a x + + a x = b se numeşte herlan. Este clar că ş H este o mulţme convexă ca ntersecţe a semsaţulu S de ma sus, cu semsaţul: n { ( )... n n b } ' S = x R ax b a x b a x a x a x O ntersecţe fntă de semsaţ se numeşte mulţme oledrală. Evdent, o mulţme oledrală este convexă, recroca nefnd în general adevărată. În fgura 3.. sunt rezentate câteva mulţm convexe ş neconvexe în lan. Este clar că mulţmle a) ş b) nu sunt convexe. Dscul c) este o mulţme convexă dar nu este oledrală, fnd în fat ntersecţa nfntă a tuturor semsaţlor care conţn dscul ş sunt mărgnte de tangentele la crcumfernţă. Polgonul convex d) este ntersecţa a 4 semsaţ aşa cum se arată în fg.3.. a)olgon concav b)coroană crculară c)dsc d)olgon convex e)mulţme oledrală nemărgntă Notă: Toate mulţmle secfcate sunt resuuse, închse adcă îş conţn fronterele. Fgura 3..
3 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 3 S 3 S S S 4 Fgura 3.. Dn cele de ma sus rezultă că orce mulţme oledrală în R n se dentfcă cu mulţmea soluţlor unu sstem de ecuaţ ş/sau necuaţ lnare în n varable. În artcular: A P Mulţmea a soluţlor admsble ale unu rogram lnar (P) este o mulţme convexă, oledrală ş închsă. Frontera sa se comune dn toate unctele ale căror coordonate satsfac cu egaltate cel uţn una dn restrcţ. Se numeşte vârf al une mulţm convexe X R n un unct v X cu roretatea că nu exstă un segment [x,y] X care să conţnă e v ca unct nteror. În R sau R 3 regăsm concetul geometrc uzual. O mulţme oledrală are întotdeauna un număr fnt de vârfur (osbl nc unul); de exemlu, olgonul d) dn fg. 3.. are atru vârfur în tm ce un semsaţu nu are vârfur. Dscul c) are o nfntate de vârfur: orce unct de e crcumfernţă are această caltate. Mulţmle d) ş e) dn fg.3.. sunt amândouă oledrale dar e) este nemărgntă. Pentru a caracterza această roretate avem nevoe de un nou concet.
4 4 I. PROGRAMARE LINIARA Un vector w R n se numeşte rază extremă entru mulţmea convexă X R n dacă entru orce x X ş α 0 rezultă x + α w X,ar w nu oate f scrs sub forma w=w +w,w ş w având aceeaş roretate ca ş w. De exemlu mulţmea oledrală dn fg are două raze extreme w ş w. Suorturle acestor vector sunt aralele cu cele două much dealungul cărora "se oate merge către nfnt". De reţnut că o mulţne convexă este nemărgntă dacă ş numa dacă are cel uţn o rază extremă ar o mulţme oledrală are un număr fnt de raze extreme. Să consderăm acum o mulţme oarecare L de uncte dn R n, fntă sau nfntă. O combnaţe convexă de uncte dn L este un unct (vector) de forma: x = αv + αv α v cu α, α,..., α 0 ş α + α α = unde v, v,..., v deasemen varabl. sunt uncte dn L arbtrar alese, numărul unctelor fnd x+α w α 0 x+α w α 0 v x w w v Fgura 3..3
5 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 5 Se oate arăta fără dfcultate că mulţmea tuturor combnaţlor convexe de uncte dn L este o mulţme convexă ş ma recs este cea ma mcă mulţme convexă (în sensul ncluzun) care conţne mulţmea L.Ea se notează conv L ş se numeşte anveloa (sau acoerrea) convexă a mulţm L. Dacă L este o mulţme fntă atunc conv L mărgntă. Acest fat este lustrat în fgura este o mulţme oledrală Să consderăm o mulţme oledrală X R n.fe: { L } X& = v, v,, v mulţmea vârfurlor sale. Deoarece X & X ar X este convexă avem conv X& X. Se oate demonstra următorul rezultat clasc al analze convexe: Mulţmea fntă L conv L Fgura 3..4 Dacă X este o mulţme oledrală mărgntă atunc conv X& = orce unct dn X este o combnaţe convexă a vârfurlor mulţm X. Formal: X, adcă
6 6 I. PROGRAMARE LINIARA ( ) x X,( ) α, α, L, α 0 cu α + α + L+ α = astfel încât : x = α v + α v + L+ α v De reţnut fatul că scalar α, α, L, α nu sunt unc. Dacă mulţmea oledrală X nu este mărgntă atunc conv X& X. Acest fat este lustrat în fgura 3..5 unde mulţmea dublu haşurată este acoerrea convexă a vârfurlor mulţm oledrale nemărgnte X. Se oate arăta că dacă v, v, L, v sunt vârfurle mulţm oledrale nemărgnte X ar w, w, L, w q sunt razele sale extreme atunc entru orce x X exstă scalarα, α, L, α 0 cu α + α + L+ α = ş µ, µ,l, µ q 0 astfel încât: x = α v + α v + L+ α v + µ w + µ w + L+ µ w q q v w X w v v 3 conv{v,v,v 3 } Fgura Teorema centrală a rogramăr lnare Să consderăm acum un rogram lnar (P) în care funcţa obectv se maxmzează ş să ne stuăm în cazul în care rogramul (P) este comatbl adcă mulţmea soluţlor sale admsble A P este nevdă. Am văzut că A P este o mulţme oledrală ş convexă având un număr fnt de vârfur v, v,..., v ş (osbl) un număr fnt de raze extreme w, w, L, w q. Aşa cum va rezulta dn
7 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 7 secţunea 4., A P are cel uţn un vârf, adcă. Vom enunţa ş demonstra acum teorema centrală a rogramăr lnare. TEOREMA. Dacă rogramul (P) are otm fnt, atunc o soluţe otmă se găseşte într-unul dn vârfurle mulţm soluţlor admsble A P. Demonstraţe: Fe: f ( x) = cx = cx + c x + + c x L funcţa obectv a rogramulu (P). Pentru înceut să arătăm că: cw k 0 ( ) k =, L, q Să resuunem rn absurd că exstă o rază extremă w { w, w,, w q } că cw > 0. Luăm o soluţe admsblă oarecare Atunc: x 0 0 x( α) = x + αw,( ) α 0 A P n n ( AP!).Ştm că: 0 f ( x( α)) = cx + αcw cînd α. Ar rezulta că (P) are otm nfnt contrar oteze. Fe acum v { v } *, v, L, v cu roretatea că: { L } * * f ( v ) = cv = max f ( v ) = cv, f ( v ) = cv,, f ( v ) = cv L astfel Să consderăm o soluţe admsblă oarecare x A P. Am văzut că exstă scalar: α, α, L, α cu α + α + L+ α = ş µ, µ,..., µ q astfel încât: 0 Atunc: 0 x = α v + α v + L+ α v + µ w + µ w + L+ µ w q q
8 8 I. PROGRAMARE LINIARA f ( x) = cx = α cv + α cv + K+ α cv + µ cw + µ cw + K+ µ cw α cv + α cv + K+ α cv ( α + α + K + α ) cv* = f ( v*) q q În consecnţă v * este o soluţe otmă a rogramulu (P). Imortanţa aceste teoreme este covârştoare: ea reduce roblema găsr une soluţ otme x * dn mulţmea, în general nfntă, A P a tuturor soluţlor admsble ale rogramulu (P), la dentfcarea aceste soluţ în mulţmea fntă a vârfurlor lu A P. Recatulând modul în care dfertele roretăţ dscutate au fost mlcate în obţnerea acestu rezultat fundamental să reţnem că: Convextatea mulţm soluţlor admsble A P stuează soluţle otme, dacă acestea exstă, e frontera lu A P ; Deoarece A P este oledrală, ar funcţa obectv este lnară, cel uţn una dn soluţle otme este un vârf al lu A P. Teorema furnzează următorul rocedeu "nav" de rezolvare a unu rogram lnar (P): se "generează" lsta (fntă) a vârfurlor mulţm A P ; rn înlocure succesvă în funcţa obectv se reţne vârful care oferă acestea valoarea maxmă. Procedeul rdcă la rândul său următoarele robleme rncale: ) Cum recunoaştem comatbltatea rogramulu (P)? ) Cum "calculăm" un vârf al mulţm A P sau ma corect sus cum se caracterzează "algebrc" un vârf? 3) Pentru obţnerea soluţe otme este necesar să generăm toate vârfurle mulţm A P? Întrebarea este seroasă deoarece ş entru rograme lnare de dmensun reduse (adcă cu un număr relatv mc de restrcţ ş varable) numărul vârfurlor este foarte mare. 4) Char dacă reuşm, rn enumerarea exlctă a tuturor vârfurlor, să găsm e acela care maxmzează funcţa obectv, aceasta nu înseamnă oblgatoru că am rezolvat rogramul dat! Este osbl ca rogramul resectv să abe otm nfnt! Cum se recunoaşte acest fat?
9 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 9 Vom răsunde rogresv la toate chestunle menţonate în secţunle următoare. 3.3 Coresondenţa A P ~A FSP Consderăm o roblemă de rogramare lnară (P) care conţne cel uţn o restrcţe negaltate ş fe (FSP) forma sa standard.(vez secţunea.4) Pentru smlfcarea notaţlor, vom resuune că (P) este în formă canoncă de maxmzare: unde: max f = cx ( P) Ax b x 0 a a L an a a a n A = L M M M a a L a [ L n ] c = c c c b b b = M b m m mn m n x x x = M (3.3.) x Ştm dn secţunea.3 că orce rogram lnar oate f scrs în această formă. Forma standard a rogramulu (P) va f: max f = cx ( FSP ) Ax + y = b x 0, y 0 în care: y y y = M y m este vectorul varablelor de abatere. Între mulţmle de soluţ admsble A P R n ş A FSP R n+m exstă o coresondenţă bjectvă Φ(x) = (x, y), unde y = b - Ax, a căre nversă este roecţa Φ - (x,y) = x. Am remarcat deja în secţunea.4 că rn coresondenţa
10 30 I. PROGRAMARE LINIARA Φ, soluţle otme ale celor două robleme se coresund. În fat, Φ are următoarea roretate ma generală. Teorema 3.3. Dacă x este un vârf al mulţm A P atunc Φ(x) = (x,y) cu y = b - Ax este un vârf al mulţm A FSP. Recroc, dacă (x,y) este un vârf al mulţm A FSP atunc Φ - (x,y) = x este un vârf al mulţm A P. Demonstraţe: Concluza decurge nemjloct dn defnţa vârfulu (secţunea 3.) observând că Φ ş Φ - conservă combnaţle convexe ale unctelor dn A P ş A FSP. Într-adevăr, fe x, x A P,α [0, ] ş x = (-α )x +αx. Fe ma dearte: Φ(x) = (x,y), Φ(x ) = (x,y ), Φ(x ) = (x,y ) unde: y = b - Ax, y =b Ax, y = b - Ax.Deoarece: y = b - A(( - α )x +α x )= ( - α )(b - A x ) + α (b - A x ) = ( - α )y +α y avem: (x,y) = ( - α )(x,y ) + α (x,y ), adcă Φ(x) = ( - α )Φ(x ) +α Φ(x ). În baza aceste teoreme recum ş a teoreme centrale a rogramăr lnare (secţunea 3.), entru a rezolva roblema (P) este sufcent să căutăm soluţa otmă a forme sale standard (FSP) rntre vârfurle mulţm A FSP. Vom vedea în secţunea următoare cum se caracterzează algebrc vârfurle mulţm soluţlor admsble ale unu rogram lnar în formă standard. Tot acolo vom arăta că dacă un rogram (P) este comatbl atunc A P are cel uţn un vârf ş în orce caz un număr fnt de asemenea elemente. Pe baza acestor rezultate, vom utea descre în aragraful 4 o metodă efectvă de rezolvare a une robleme de rogramare lnară. 3.4 Soluţ de bază ale unu rogram lnar Să consderăm acum un rogram lnar (P) în formă standard: max f = cx ( P ) Ax = b x 0 în care masvele A,b,c,x au semnfcaţle dn (3.3.). Vom une în evdenţă coloanele matrc A:
11 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 3 A = [A, A,, A n ] T Defnţe Soluţa x = ( x, x,..., x n ) a robleme în formă standard (P), nu neaărat admsblă, se numeşte soluţe de bază dacă mulţmea coloanelor A coresunzătoare comonentelor x 0 este lnar ndeendentă. Fe I( x ) mulţmea ndclor {,,,m} cu roretatea că x 0. Lema Dacă x ş x sunt soluţ de bază ale rogramulu (P) ş I( x ) I( x ) atunc x = x (ş dec I( x ) = I( x )). Demonstraţe: Este clar că x = x = 0 entru ndc I( x ). Atunc egaltăţle: xa = xa = b mlcă: I( x ) I( x ) ( x x ) A = 0 I( x ) de unde rezultă x = x entru toţ I( x ), deoarece rn oteză coloanele A, I( x ) sunt lnar ndeendente. T Lema Fe x = ( x, x,..., x n ) o soluţe admsblă a robleme (P) care nu este soluţe de bază. Atunc exstă un vector y R n ş un nterval [ λ, λ ] R n {-, + } astfel încât: ) Ay = 0; ) [ λ, λ ] conţne e 0 ş nu se reduce la acest unct; λ ş λ nu sunt smultan nfnte; 3) entru orce λ [ λ, λ ] vectorul x(λ) = x + λy este o soluţe admsblă a robleme (P); 4) Dacă de exemlu, λ este fnt ş x = x( λ ) atunc I( x ) I( x ) dar I( x ) I( x ) - adcă x are ma uţne comonente nenule decât x. Demonstraţe: Dn oteză rezultă că mulţmea coloanelor A, I( x ) este lnar ndeendentă. Exstă rn urmare scalar y, I( x ) nu toţ nul astfel încât:
12 3 I. PROGRAMARE LINIARA ya = 0 I( x ) Punând y = 0 entru I( x ) obţnem un vector y = (y,y,,y n ) R n cu roretatea că: n ya = 0 Ay= 0 = Afrmaţa ) este demonstrată. Pentru orce λ R vectorul x(λ) = x + λy este o soluţe a robleme (P) deoarece Ax(λ) = A x + λay =b. Imunând condţa de admsbltate x(λ) 0 obţnem entru λ ntervalul de valor ermse [ λ, λ ] în care: x x max λ = I x y y ( ), > 0 mn λ = I x y y ( ), < 0 daca tot y 0 + daca tot y 0 Avem λ < 0 < λ ş deoarece y 0, cel uţn una dn extremtăţle λ,λ este fntă. Astfel ş afrmaţle ), 3) sunt robate. Să resuunem, în fnal că λ este fnt. Atunc va exsta un ndce r I( x ) astfel că:y r < 0 ş λ = - x r y.dacă x r = x( λ ) este clar că I( x ) I( x ) ş cum xr = xr + λyr = 0ar x r > 0 urmează că I( x ) < I( x ) ş ultma afrmaţe este dovedtă. T Teorema 3.4. O soluţe admsblă x = ( x, x,..., x n ) a robleme (P) este un vârf al mulţm A P dacă ş numa dacă x este o soluţe de bază. Demonstraţe: Să resuunem că x este vârf dar nu este soluţe de bază. Conform leme exstă y R n cu Ay = 0 ş ntervalul [ λ, λ ] care conţne e 0 ş nu se reduce la acesta, astfel încât x(λ) = x + λy să fe o soluţe
13 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 33 a rogramulu (P) orcare ar f λ [ λ, λ ]. Alegem ε > 0 sufcent de mc astfel încât [-ε,+ε ] [ λ, λ ] ş unem: x = x -εy, x = x +εy. Atunc x,x A P, x x ş x = ( x + x ) în contradcţe cu oteza că x este vârf al mulţm A P. Pentru recrocă să resuunem că x este o soluţe de bază fără a f vârf. Atunc exstă x,x A P, x x ş α (0,) astfel încât x = (-α )x + αx. Pentru I( x ) avem ( α) x + αx = 0 ş cum x 0, x 0rezultă x = x = 0. În consecnţă, I(x ) I( x ), I(x ) I( x) ş în vrtutea leme rezultă x = x = x, în contradcţe cu oteza făcută. Teorema 3.4. Dacă rogramul în formă standard (P) este comatbl atunc mulţmea soluţlor sale admsble A P are cel uţn o soluţe de bază, dec un vârf. T Demonstraţe Fe x = ( x, x,..., x n ) o soluţe admsblă a robleme (P). Vom roceda rn nducţe duă numărul k al comonentelor x > 0.Dacă k = 0 atunc x = (0,0,...,0) este o soluţe de bază întrucât o mulţme vdă de vector este, rn convenţe,lnar ndeendentă. Dacă k > 0 exstă două stuaţ de examnat: ) Coloanele A, I( x ) sunt lnar ndeendente. Atunc x este o soluţe de bază. ) Coloanele A, I( x ) sunt lnar deendente. Conform leme va exsta o soluţe admsblă xcu I( x) I( x ) dar cu ma uţne comonente nenule decât x. Reetând raţonamentul, este clar că într-un număr fnt de aş se ajunge la stuaţa ) adcă la o soluţe de bază. Consecnţă Mulţmea A P a soluţlor admsble ale unu rogram lnar comatbl are cel uţn un vârf. Demonstraţe: Să resuunem că (P) nu este în formă standard, altmnter avem teorema Fe (FSP) forma standard a rogramulu (P). Deoarece avem coresondenţa bjectvă Φ : A P A FSP deducem că A FSP entru că rn oteză A P. Prn teorema 3.4. mulţmea A FSP are cel uţn un vârf; acesta, rn roecţa Φ - va f un vârf al mulţm A P, graţe teoreme 3.3..
14 34 I. PROGRAMARE LINIARA Având în vedere caracterzarea algebrcă a vârfurlor dată în teorema 3.4., teorema centrală a rogramăr lnare oate f formulată ş în următor termen. Teorema Dacă un rogram lnar în formă standard are otm fnt, cel uţn una dn soluţle sale otme este o soluţe de bază. Ma rămâne de arătat că mulţmea soluţlor admsble ale unu rogram lnar are un număr fnt de vârfur. În vrtutea teoremelor 3.3. ş 3.4., aceasta revne la a arăta că un rogram lnar în formă standard (P) are un număr fnt de soluţ admsble de bază. Fatul rezultă nemjloct dn aceea că numărul sstemelor lnar ndeendente ce ot f extrase dntr-o mulţme fntă de vector este fnt. Vom recza acest lucru sub forma une teoreme în secţunea următoare, în care vom ntroduce un concet uşor dfert de cel de soluţe de bază, acela de soluţe asocată une baze a rogramulu (P). Noul concet are avantajul de a f ma uşor de manulat în ractcă. 3.5 Baze ale unu rogram lnar în formă standard. Soluţa asocată une baze În notaţle secţun recedente facem oteza: ranga = m < n (3.5.) Ioteza ne asgură că ecuaţle ce comun sstemul lnar Ax = b al restrcţlor sunt ndeendente ş că acest sstem are o nfntate de soluţ. Să notăm că oteza nu mlcă în mod necesar ş exstenţa soluţlor admsble (adcă cu toate comonentele nenegatve) entru sstemul consderat. Duă cum vom vedea în secţunea 4.6 oteza făcută nu este deloc restrctvă. Deoarece ranga = m, în matrcea A va exsta cel uţn un gru de m coloane lnar ndeendente, consttund dec o bază a saţulu R m. Un asemenea gru se va num bază a rogramulu (P) ş numărul acestora este n! fnt, nedeăşnd C m n = m!( n m)!. Fe B o bază a rogramulu (P), I mulţmea ndclor coloanelor dn B ş J mulţmea ndclor coloanelor dn A care nu sunt în B. Renumerotând convenabl varablele rogramulu vom scre matrcea A în forma:
15 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 35 A = [B, S] cu B = [A ] I, S = [A j ] j J Partţonăm coresunzător vectorul (coloană) x al varablelor: B x B x = x x x x S I cu =, = x S [ ] [ j ] ca ş vectorul (lne) al coefcenţlor funcţe obectv: j J c = [c B,c S ] cu c B = [c ] I, c S = [c j ] j J În raort cu baza B aleasă, varablele x, I se vor num varable bazce, ar toate celelalte nebazce sau secundare. Screm sstemul Ax = b în forma: [ BS, ] x x B S B S b Bx Sx = + = b Deoarece B este o bază a saţulu R m, B (ca matrce!) este nesngulară dec nversablă. Înmulţnd la stânga cu B - obţnem: [ j ] [ ] B S x + Sx = b cu S = B S = a, b = B b= b (3.5.) I, j J Va f utl să unem în evdenţă coloanele matrc S: j j j [ ] [ ] [ ] S = B A == B A = A j J j J j J I cu [ j ] j j A = B A = a I (3.5.3) Utlzăm (3.5.) entru a elmna dn exresa funcţe obectv varablele bazce: B x B S B B S S B S S S f = [ c c ] c x c x c b Sx c x S x B B S S = c b ( c S c ) x S S = f c x (3.5.4) unde:
16 36 I. PROGRAMARE LINIARA B B f = c b = c B ( b) = c b (3.5.5) I ş: în care: [ j ] c S = c B S c S = c B B ( S c S ) = c B j B j cj = c A cj ( = c B A cj ) = caj cj (3.5.6) Astfel, în raort cu baza B, rogramul (P) oate f adus la următoarea formă echvalentă, conform (3.5.) ş (3.5.4): I j J S S max f = f c x B S ( PB ) x + Sx = b B S x 0, x 0 max f = f cjx j j J x + ajx j = b I j J x 0, I; x j 0, j J (3.5.7) (P B ) se numeşte forma exlctă a rogramulu (P) în raort cu baza B. Comarând (P B ) cu (P) constatăm că efectul înmulţr cu B - a sstemulu Ax = b este exlctarea varablelor bazce x, I în funcţe de cele nebazce x j, j J. obţnem: Vectorul: Luând în (P B ): x S = 0 x j = 0, j J (3.5.8) B x = b x = b I (3.5.9) b x x = 0 x B S (3.5.0) este evdent o soluţe a rogramulu (P), numtă soluţa asocată baze B. Vom sune că B este o bază admsblă dacă soluţa asocată (3.5.0) este admsblă, ceea ce revne la a sune că b 0, I. Prn construcţe, soluţa asocată une baze a rogramulu (P) este o soluţe de bază în sensul defnţe dn secţunea recedentă. Recroca nu este T în general adevărată. Astfel, dacă x = ( x, x,..., x n ) este o soluţe de bază a rogramulu (P), numărul comonentelor nenule este m. Dacă acest număr este exact m atunc x este soluţa asocată baze formate dn coloanele matrc
17 3. Structura mulţm soluţlor admsble ale une robleme de rogramare lnară 37 A coresunzătoare celor m comonente nenule. Sunem în acest caz că x este o soluţe de bază nedegenerată. Dacă numărul comonentelor nenule este < m, coloanele coresunzătoare acestor comonente ot f comletate ână la o bază în ma multe modur, astfel că x se asocază la ma multe baze! Dacă se întâmlă aşa sunem că x este o soluţe degenerată. Deoarece (P) are un număr fnt de baze, el va avea ş un număr fnt de soluţ asocate acestor baze ş de ac un număr fnt de soluţ de bază. În baza relaţlor (3.5.8), (3.5.9) constanta f dn (3.5.5) rerezntă valoarea funcţe obectv a rogramulu (P) în soluţa (3.5.0) asocată baze B. Comonentele c j, j J (defnte în (3.5.6)) ale vectorulu c S dn (3.5.4) vor juca un rol esenţal în caracterzarea otmaltăţ une soluţ admsble de bază. Ele se numesc costur reduse ş sunt întotdeauna asocate varablelor nebazce. Coefcenţ numerc a forme exlcte (3.5.7) se trec într-un tabel (T B ) al căru format este ndcat în tabelul Tabelul (T B ) se numeşte tabelul smlex asocat baze B. Coloana B conţne vector baze B, coloana CB conţne coefcenţ dn funcţa obectv a varablelor bazce ar în coloana VVB aar valorle varablelor bazce. În ultma lne a tabelulu, numtă ş lna test, aar valoarea f a funcţe obectv în soluţa asocată baze B recum ş costurle reduse c j, j J coresunzătoare coloanelor nebazce. Formula (3.5.5) arată că f este rodusul scalar al coloanelor CB ş VVB în tm ce relaţa (3.5.6) arată că c j se obţne dn rodusul scalar al coloanelor CB ş A j scăzând costul c j scrs deasura coloane A j. c c r c j c k CB B VV B K A K A r K A j K A k K M M M M M M M c A b K K 0 K a j K a K (T B ) M M M M M M M c r A r b r K 0 K K a rj K a r M M M M M M M f f K * K * K c j K c k K k k K
18 38 Tabelul 3.5. I. PROGRAMARE LINIARA Extndem defnţa costulu redus ş la coloanele A, I: c = c c = 0.Aceste costur reduse au fost notate în lna test cu asterscur (*) sre a le deoseb de eventualele costur reduse nule c j, j J care, duă cum vom vedea în secţunea 4., ndcă - la otm - rezenţa ma multor soluţ otme de bază.
4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE Diferenţiabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală.
4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE. 4.. Noţun teoretce ş rezultate fundamentale. 4... Dferenţabltatea funcţlor reale de o varablă reală. Multe robleme concrete conduc la evaluarea aromatvă a creşter
Διαβάστε περισσότεραNumere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.
Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραMădălina Roxana Buneci. Optimizări
Mădălna Roxana Bunec Optmzăr Edtura Academca Brâncuş Târgu-Ju, 8 Mădălna Roxana Bunec ISBN 978-973-44-87- Optmzăr CUPRINS Prefaţă...5 I. Modelul matematc al problemelor de optmzare...7 II. Optmzăr pe mulţm
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R
3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότερα5.1 Realizarea filtrelor cu răspuns finit la impuls (RFI) Filtrul caracterizat prin: 5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE. 5.1.
5. STRUCTURI D FILTR UMRIC 5. Realzarea ltrelor cu răspuns nt la mpuls (RFI) Fltrul caracterzat prn: ( z ) = - a z = 5.. Forma drectă - - yn= axn ( ) = Un ltru cu o asemenea structură este uneor numt ltru
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de ecuaţii neliniare
Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ BN - 1 B DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC 004-005 DETERMINAREA ACCELERAŢIEI
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE
CRCTERSTC GEOMETRCE LE SUPRFEŢELOR PLNE 1 Defnţ Pentru a defn o secţune, complet, cunoaşterea are ş a centrulu de greutate nu sunt sufcente. Determnarea eforturlor, tensunlor ş deformaţlor mpune cunoaşterea
Διαβάστε περισσότερα1. INTRODUCERE. SEMNALE ŞI SISTEME DISCRETE ÎN TIMP
. ITRODUCERE. SEMALE ŞI SISTEME DISCRETE Î TIMP. Semnale dscrete în tmp Prelucrarea numercă a semnalelor analogce a devent o practcă frecvent întâlntă. Aceasta presupune două operaţ: - eşantonarea la anumte
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότερα2. Metoda celor mai mici pătrate
Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Spaţii vectoriale
Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:
Διαβάστε περισσότεραPentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:
etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραDurata medie de studiu individual pentru această prezentare este de circa 120 de minute.
Semnar 6 5. Caracterstc geometrce la suprafeţe plane I 5. Introducere Presupunând cunoscute mecansmele de evaluare a stăr de efortur la nvelul une structur studate (calcul reacţun, trasare dagrame de efortur),
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 Amplificatoare cu tranzistoare
vu Garel văăne, Florn Ma Tufescu, lectroncă - roleme atolul 4 mlfcatoare cu tranzstoare 4. În montajul n fg. 4 se rezntă un etaj e amlfcare în montaj ază comună realzat cu un tranzstor cu slcu avân arametr:
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότερα3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar.
Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă 6 Vlor ş vector propr Fe V un K-spţu vectorl n-dmensonl ş A L K (V) un opertor lnr Defnţ 6 Un vector x V, x se numeşte vector propru l opertorulu A dcă exstă K
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραTEORIA GRAFURILOR ÎN PROBLEME SI APLICATII
UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Facultatea de Matematca s Informatca Sergu CATARANCIUC TEORIA RAFURILOR ÎN PROBLEME SI APLICATII Chsnau 004 UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA Facultatea de Matematca s
Διαβάστε περισσότεραRețele de sisteme cu șiruri de așteptare
C A P I T O L U L 6 Rețele de ssteme cu șrur de aștetare 6. Introducere Modelele rețelelor cu șrur de aștetare (queueng networks models), e scurt rețelele cu aștetare, sunt deosebt de folostoare entru
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότερα4. Criterii de stabilitate
Dragomr T.L. Teora sstemelor Curs anul II CTI 04/05 4 4. Crter de stabltate După cum s-a preczat metodele numerce de analză a stabltăţ se bazează pe crterul rădăcnlor. In ngnera reglăr se folosesc o sere
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραStatistica descriptivă (continuare) Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu
Statstca descrptvă (contnuare) Şef de Lucrăr Dr. Mădălna Văleanu mvaleanu@umfcluj.ro VARIABILE CANTITATIVE MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medana, Modul, Meda geometrca, Meda armonca, Valoarea
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραLEC IA 1: INTRODUCERE
LE Lec\a.. Defnrea dscplne LE LEC IA : INRODUCERE Abrever: LE eora Lnear` a Elastct`\ NE eora Nelnear` a Elastct`\ MSD Mecanca Soldulu Deformabl RM Resten\a Materalelor MDF Metoda Dferen\elor Fnte MEF
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 Amplificatoare elementare
Captolul 4 mplfcatoare elementare 4.. Etaje de amplfcare cu un tranzstor 4... Etajul sursa comuna L g m ( GS GS L // r ds ) m ( r ) g // L ds // r o L ds 4... Etajul drena comuna g g s m s m s m o g //
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,
Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp:
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 TRANZISTOARE. TRANZISTOARE BIPOLARE
Curs 10 TRANZISTOARE. TRANZISTOARE IPOLARE CUPRINS Tranzstoare Clasfcare Prncpu de funcțonare ș regun de funcțonare Utlzarea tranzstorulu de tp n. Caracterstc de transfer Utlzarea tranzstorulu de tp p.
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραRădăcini primitive modulo n
Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial
Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor
CAPITOLUL I. PRELIMINARII.. Elemete de teora mulţmlor. Mulţm Pr mulţme vom îţelege o colecţe (set, asamblu) de obecte (elemetele mulţm), be determate ş cosderate ca o ettate. Se subâţelege fatul că elemetele
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότερα