Statističko zaključivanje - testiranje hipoteza. Katedra za medicinsku statistiku i informatiku
|
|
- Λωΐς Γαλάνη
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Statističko zaključivanje - testiranje hipoteza
2 Statističko zaključivanje Ideja moderne statistike je da na osnovu uzorka (dobijenog uzorkovanjem iz osnovnog skupa) donosimo zaključke o populaciji (statističko zaključivanje). 1. Kako da korišćenjem podataka iz uzorka ocenimo vrednost populacionog parametra? i 2. Kako da korišćenjem uzoračkih statistika testiramo (proverimo) iskaz o populaciji (populacionim parametrima)?
3 Testiranje hipoteza / osnovni pojmovi i procedura Statistička hipoteza je iskaz ili pretpostavka o populaciji. Primeri hipoteza: Iskustvo govori da je verovatnoća da je pod određenim uslovima broj novorođenih devojčica i dečaka isti; Lekari tvrde da prosečna telesna temperatura zdravih osoba nije 37%C; Testiranje hipoteza je standardni statistički metod kojim se ispituje neki iskaz / tvrdnja / pretpostavka o populaciji.
4 Koraci 1. Hipoteze 2. Izbor nivoa značajnosti 3. Izbor test statistike 4. Izračunavanje statistike testa 5. Statistički zaključak
5 Hipoteze Nulta hipoteza ili hipoteza koja se ovim procesom testira (H o ) - hipoteza o nepostojanju razlike H 0 : 1 = 2 H 1 : 1 2 Alternativna hipoteza iskaz o onome što istraživač veruje da je tačno u slučaju da su uzorački podaci doveli do odbacivanja nulte hipoteze (H 1 ) Jednosmerna (>, <) Dvosmerna ()
6 Izbor nivoa značajnosti nivo značajnosti (α nivo) - maksimalno dozvoljena verovatnoća greške prvog tipa - odbacivanje tačne nulte hipoteze verovatnoća greške prvog tipa je pod direktnom kontrolom istraživača najčešće: α =0.05 i 0.01
7 Izbor Test statistike bilo koja statistika koja može biti izračunata iz dostupnih podataka u uzorku Služi kao kriterijum za donošenje odluke (odluka o odbacivanju ili neodbacivanju nulte hipoteze zavisi od veličine izračunate statistike) tip podataka iskazi o populacionim parametrima i broj grupa / uzoraka Parametarski testovi Neparametarski testovi
8 Izračunavanje statistike testa Izračunavanje vrednosti test statistike iz dostupnih podataka i poredjenje sa regionom prihvatanja i odbacivanja koji su već definisani
9 Statistički zaključak Ključ statističkog zaključivanja je uzoračka raspodela: Vrednosti test statistike koje imaju manju šansu pojavljivanja kada je nulta hipoteza tačna region odbacivanja Vrednosti test statistike koje imaju veću šansu pojavljivanja kada je nulta hipoteza tačna region prihvatanja Odluka o tome koje vrednosti pripadaju jednom, a koje drugom regionu, donosi se na osnovu izabranog nivoa značajnosti (α)
10 Statistički zaključak Nulta hipoteza se odbacuje ako je izračunata vrednost test statistike u regionu odbacivanja. U suprotnom, ne odbacuje se. poređenje izračunate (empirijske) statistike testa i kritične (teorijske) vrednosti ako je p-vrednost jednaka ili manja od α, odbacujemo nultu hipotezu. Ako je p vrednost veća od α, ne odbacujemo nultu hipotezu. p-vrednost predstavlja verovatnoću opserviranih, ili ekstremnijih, razlika uzoračkih statistika, pod pretpostavkom važenja nulte hipoteze
11 Testiranje hipoteza Kritična vrednost Kritična vrednost
12 Greške Greška I tipa (α) je verovatnoća odbacivanja tačne nulte hipoteze Greška II tipa (β) neodbacivanje netačne nulte hipoteze Istina (populacija) Odluka na osnovu analize uzoračkih podataka Prihvatanje nulte hipoteze Nulta hipoteza tačna 1- Nulta hipoteza netačna greška drugog tipa Odbacivanje nulte hipoteze greška prvog tipa 1-
13 Greške u zaključivanju Greška prvog tipa odbacivanje tačne nulte hipoteze. Greška drugog tipa neodbacivanje pogrešne nulte hipoteze. Istovremeno se može napraviti samo jedan tip greške. Greške prvog i drugog tipa su zavisne. Smanjenje verovatnoće greške prvog tipa dovodi do povećanja verovatnoće greške drugog tipa, i obrnuto. Verovatnoća greške prvog tipa je pod direktnom kontrolom istraživača tako što unapred određuje maksimalno dozvoljenu verovatnoću greške prvog tipa - nivo značajnosti (α nivo). Povećanje uzorka uopšteno smanjuje verovatnoću oba tipa grešaka. Verovatnoća greške drugog tipa se smanjuje sa povećanjem razlike aritmetičkih sredina koju treba otkriti. Snaga ili moć (1-) statističkog testa je verovatnoća odbacivanja nulte hipoteze kada je alternativna hipoteza tačna.
14 Parametarski statistički testovi Bazirani su na ocenama jednog ili više populacionih parametara (npr. aritmetička sredina i standardna devijacija) dobijenih na osnovu uzoračkih podataka. Koriste se za testiranje hipoteza o populacionim parametrima (npr. o jednakosti aritmetičkih sredina dve populacije μ 1 =μ 2 ). Pretpostavljaju normalnost raspodele u osnovnom skupu. z-test t-test
15 Provera normalnosti raspodele 1. CV>30% ukazuje na odstupanje od normalne raspodele 2. Vrednosti skjunisa i kurtosisa od -1 do 1 ukazuju na normalnu raspodelu. Vrednosti skjunisa i kurtosisa veće od 3 i manje od -3 ukazuju na odstupanje od normalne raspodele. 3. Statističko testiranje normalnosti npr. Kolmogorov- Smirnov test, Shapiro-Wilk test ili D'Agostino-Pearson test. Ako je p<0.05 u ovim testovima, empirijska raspodela statistički značajno odstupa od normalne raspodele Grafičke metode: 4. Histogram vizuelna procena da li je empirijska raspodela slična zvonastoj simetričnoj raspodeli 5. Normalni Q Q grafikon. Ako je raspodela normalna tačke će biti na pravoj liniji. Odstupanje tačaka od prave linije ukazuje na odstupanje raspodele od normalne. 6. Detrendovan normalni Q Q grafikon. Ako je raspodela normalna tačke će biti ravnomerno raspoređene iznad i ispod horizontalne linije. Ako raspodela nije normalna raspored tačaka će imati neki oblik kao npr. slovo J 7. Grafikon kutije ( boxplot ). Ako postoji nekoliko ekstremnih vrednosti ili neobičnih vrednosti na bilo kom kraju raspodele to ukazuje na odstupanje od normalne raspodele. Ako medijana nije u centru grafikona kutije već je znatno bliža jednom od krajeva kutije, to ukazuje na odstupanje od normalne raspodele
16 Učestalost Učestalost Oblik empirijske raspodele Osnovne informacije o obliku empirijske raspodele se mogu dobiti iz grafičkih prikaza (histogram, poligon frekvencija, štapićasti dijagrm, stubičasti dijagram) Oblik se obično klasifikuje kao unimodalan, bimodalan ili multimodalan. Unimodalan oblik može biti simetričan ili asimetričan (pozitivno ili desno iskošen, negativno ili levo iskošen). Unimodalna raspodela Bimodalna raspodela
17 Asimetričan oblik raspodele Vrednost skjunisa veća od 1 ukazuje na desnu iskošenost, a vrednost manja od -1 na levu iskošenost Desna iskošenost Leva iskošenost
18 Zašiljenost / zaravnjenost raspodele Vrednosti kurtosisa veće od 1 ukazuju na šiljatu raspodelu, a manje od -1 ukazuju na zaravnjenu raspodelu Mezokurtična Leptokurtična Platikurtična Zašiljena Zaravnjena
19 Testiranje hipoteza o populacionim prosečnim vrednostima i proporcijama z-test Varijanse osnovnih skupova poznate, ili Varijanse osnovnih skupova nepoznate, uzorci veliki (n 1 >30, n 2 >30) z statistika standardna normalna raspodela t-test Varijanse osnovnih skupova nepoznate, uzorci mali (n 1 30, n 2 30) t-statistika t-raspodela
20 Z-test Testiranje značajnosti razlike uzoračke i populacione aritmetičke sredine i proporcije (jedan uzorak) z z x 0 n p 0 n
21 Z-test Testiranje hipoteza o populacionim prosečnim vrednostima i proporcijama dva nezavisna uzorka x x 1 2 z 2 2 sd1 sd2 n n z 1 2 p p 1 2 p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n n 1 2 Testiranje hipoteza o populacionim prosečnim vrednostima i proporcijama, zavisni uzorci z d d d n
22 z Testiranje razlike dve uzoračke proporcije p1 p2 p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n n 1 2 p proporcija posmatranog događaja Primer: Registrovani su neželjeni efekti lekova A i B. U grupi od 107 pacijenta koji su primali lek A neželjeni efekti su registrovani kod 38. U grupi od 155 pacijenta koji su primali lek B neželjeni efekti su registrovani kod 73. Da li se lekovi značajno razlikuje prema učestanosti neželjenih efekata? z p p ( ) 0.470( ) Kritična vrednost z testa za nivo značajnosti od 0.05 je Vrednost 1.88 je manja od kritične vrednosti pa se ne može odbaciti nulta hipoteza. Razlika nije statistički značajna (z=1.88, p>0.05)
23 t-test (Studentov t test) Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina (H 0 : μ 1 =μ 2 ) Test je baziran na t raspodeli pretpostavka za primenu t-testa je da podaci potiču iz populacija sa normalnom raspodelom, robustan je na blagu narušenost ove pretpostavke
24 t-test Testiranje značajnosti razlike uzoračke i populacione aritmetičke sredine (jedan uzorak) t x sd x x sd 0 0 n broj stepena slobode: DF = n - 1
25 t-test Primer: Aritmetička sredina broja leukocita 9 bolesnika je /L, a standardna devijacija sd= /L. Očekivalo se da će aritmetička sredina biti /L. Da li se dobijene vrednosti razlikuju od očekivanih (H 0 : 1 = 0, H 1 : 1 0 )? Testirati na nivou značajnosti sd x sd n 9 x t sd x Kritična vrednost u tablici t raspodele za DF = 8 i nivo značajnosti 0.05 je Statistika testa (4.897) je veća od kritične vrednosti. Zaključak: Odbacuje se nulta hipoteza. Vrednosti leukocita su statistički značajno veće od očekivanih (t = 4.897, DF = 8, p 0.05)
26 t-test Primer : Aritmetička sredina sistolne arterijske tenzije 10 bolesnika sa akutnim koronarnim sindromom iznosi 139 mmhg, a standardna devijacija sd=11,9 mmhg. Na osnovu prethodnih istraživanja očekivalo se da će aritmetička sredina za tu populaciju bolesnika iznositi 145 mmhg. Da li se može reći da populacija iz koje potiče aktuelni uzorak ima aritmetičku sredinu jednaku očekivanoj? Testirati na nivou značajnosti od 0.05.
27 Zaključak: Dobijena p-vrednost veća je od 0,05 pa zaključujemo da se vrednost aritmetičke sredine sistolne arterijske tenzije populacije iz koje potiče uzorak ne razlikuje od očekivanih vrednosti (t=1,585; DF=9, p=0,147).
28 t-test Testiranje hipoteza o populacionim prosečnim vrednostima dva nezavisna uzorka x x, DF= t n1 n2 2 2 ( n1 1) sd1 ( n2 1) sd2 n1 n2 n n 2 n n
29 Primer: Dve grupe ispitanika lečene su različitim tretmanima. Sedimentacija eritrocita (mm/h) iznosila je: prva grupa: 15, 17, 20, 14, 19, 17, 18, 19 druga grupa: 16, 14, 17, 15, 18, 17, 16 Da li je značajna razlika prosečnih vrednosti sedimentacije između ove dve grupe? Testirati na nivou značajnosti x 1 x 1 2 x 2 x
30 x 1 x mm/h n 8 sd sd x n x n x n x n t =1.35, 2 2 (8 1) 2.07 (7 1) DF= x 2 x mm/h n 7 2 Kritična vrednost u tabeli t raspodele za DF = 13, nivo značajnosti 0.05 i dvosmerno testiranje je Statistika testa (1.35) je manja od kritične vrednosti. Ne odbacuje se nulta hipoteza. Zaključak: Razlika prosečnih vrednosti sedimentacije eritrocita nije statistički značajna (t=1.35, DF=13, p>0.05).
31 Zaključak: Aritmetička sredina i standardna devijacija sedimentacije eritrocita u Tretmanu A iznosi 17,4±2,1 mm/h, a u Tretmanu B iznosi 16,1±1,3 mm/h. Ne postoji statistički značajna razlika prema sedimentaciji eritrocita između ispitivanih grupa (t=1.345, DF=13, p=0.201).
32 t-test Testiranje hipoteza o populacionim prosečnim vrednostima, zavisni uzorci registrovanje vrednosti jednog obeležja na istim jedinicama dva ili više puta mečovana kontrolna grupa H 0 : μ d = 0 H 0 : μ d 0 t d d 2 d n n( n 1) DF=n 1, n - broj parova podataka 2
33 Neparametarski statistički testovi Ne zahtevaju poznavanje oblika raspodele u osnovnom skupu i normalnost raspodele Ne zahtevaju homogenost u smislu varijabiliteta Neparametarski testovi mogu biti primenjeni u svim uslovima u kojima nisu ispunjene pretpostavke za primenu parametarskih testova. Takođe mogu biti primenjeni i u uslovima kada jesu ispunjene pretpostavke za primenu parametarskih testova, ali tada prednost treba dati parametarskim testovima jeru su oni snažniji. Za svaki parametarski test postoji najmanje jedan ekvivalentan neparametarski test
34 Testiranje hipoteza o učestalostima Hi kvadrat test Test tačne verovatnoće McNemarov test broj uzoraka nezavisni/zavisni uzorci
35 Hi-kvadrat test najčešće korišćen statistički test procenjuje se značajnost razlike opaženih (empirijskih) i očekivanih (teorijskih) učestalosti baziran je na hi-kvadrat raspodeli apsolutne učestalosti (frekvencije) statistika hi-kvadrat testa 2 ( f f ) f f opažena, f' očekivana učestalost 2
36 Hi-kvadrat test Ukoliko je hi-kvadrat statistika jednaka ili veća od odgovarajuće granične vrednosti, odbacujemo nultu hipotezu i zaključujemo da je razlika opaženih i očekivanih učestalosti statistički značajna. test slaganja test nezavisnosti ili test homogenosti
37 hi-kvadrat test slaganja testiramo hipotezu da li se učestalosti u populaciji, opažene i predstavljene uzorkom, razlikuju od očekivanih učestalosti jedan uzorak, jedna varijabla očekivane učestalosti određene su na osnovu ranijih istraživanja, pretpostavljenog modela raspodele posmatrane varijable ili pretpostavljene na neki drugi način DF = r 1, r- broj kategorija uslovi za primenu testa slaganja: apsolutne učestalosti uzorak čine nezavisne opservacije, odnosno svaka opservacija može biti samo jednom pobrojana u učestalostima u slučaju postojanja samo dve kategorije (r=2), nijedna očekivana frekvencija ne sme biti manja od 5 u slučaju postojanja više od dve kategorije (r>2), ne sme biti više od 20% očekivanih učestalosti manjih od 5. Ako nije zadovoljen ovaj uslov mora se izvršiti sažimanje susednih kategorija
38 Primer: Ispitivana je učestalost krvnih grupa u određenoj populaciji. Na slučajnom uzorku od 140 osoba, nađeno je da krvnu grupu O ima 55 osoba, krvnu grupu A 59 osoba, krvnu grupu B 19 osoba i krvnu grupu AB 7 osoba. Na osnovu ranijih istraživanja poznato je da je relativna učestalost tih krvnih grupa: O 44.5%, A 38.9%, B 12.1%, AB 4.5%. Da li se aktuelne učestalosti krvnih grupa razlikuju od očekivanih? Testirati na nivou značajnosti od 0.05.
39 Očekivane frekvencije (f') u ovom slučaju dobijamo tako što totalnu frekvenciju (140) množimo sa očekivanim proporcijama krvnih grupa. Radna tabela krvna grupa f f' ( f f ) f 2 O = ( ) 2 /62.3 = A = B = AB = Ukupno = DF = 4 1 = 3. Hi-kvadrat statistika (1.56) manja je od granične vrednosti (7.82) za DF = 3 i nivo značajnosti 0.05, pa nema osnova za odbacivanje nulte hipoteze. Zaključak: učestalost krvnih grupa u našem istraživanju ne razlikuje se statistički značajno od očekivanih na osnovu prethodnih istraživanja (χ 2 = 1.562, DF = 3, p > 0.05).
40 Hi-kvadrat test za r x k tabele testiranje hipoteza kada su podaci organizovani u vidu tabela kontingencije tabela kontingencije je složena kombinovana tabela u kojoj raspodela zavisi od dve varijable Zavisno od cilja istraživanja i načina biranja uzorka, analizom tabela kontingencije možemo testirati 1. nezavisnost dve varijable ili 2. homogenost dve populacije
41 Hi-kvadrat test nezavisnosti ispitujemo da li u tabeli kontingencije raspodela po jednoj varijabli uslovno zavisi od raspodele po drugoj varijabli Nultom hipotezom tvrdimo da su varijable nezavisne, odnosno da raspodela po jednoj varijabli ne zavisi od raspodele po drugoj varijabli. U slučaju da nultu hipotezu odbacimo, zaključujemo da varijable nisu nezavisne, odnosno da između njih postoji povezanost (asocijacija, korelacija).
42 Primer. Cilj u studiji preseka bio je ispitivanje odnosa konzumiranja alkohola i patološkog nalaza na jetri. Formiran je slučajan uzorak, veličine 118 ispitanika, iz opšte populacije odraslih osoba. Rezultati su prikazani u tabeli kontingencije: Patološki nalaz na jetri + Svega Konzumiranje alkohola Ukupno U ovom istraživanju biran je samo jedan uzorak sa unapred predviđenom veličinom, pa je u tabeli kontingencije pod kontrolom bila samo totalna učestalost (118). Istraživač nije imao pod kontrolom marginalne učestalosti, jer pre istraživanja nije znao koliko će u uzorku biti konzumenata alkohola, niti koliko će biti osoba sa patološkim nalazom na jetri. Analizom ovakve tabele kontingencije istraživač može doći do zaključka o tome da li su ove dve varijable povezane na neki način, na primer da li postoji tendencija da oni koji konzumirju alkohol češće imaju patološki nalaz na jetri.
43 Hi-kvadrat test homogenosti Ispitujemo da li se dve ili više populacija razlikuju prema proporciji događaja od interesa. Nultom hipotezom tvrdimo da su proporcije u populacijama jednake. U slučaju da nultu hipotezu odbacimo, zaključujemo da populacije nisu homogene prema proporciji događaja od interesa. Istraživač kontroliše marginalne učestalosti, koje odgovaraju veličini uzorka iz svake od populacija, pa samim tim i totalnu učestalost.
44 Primer. Cilj u studiji slučaj-kontrola bio je ispitivanje konzimranja alkohola kao faktora rizika za patološke promene na jetri. Iz populacije osoba sa patološkim promenama na jetri formiran je slučajan uzorak veličine 60, a iz populacije uslovno zdravih slučajan uzorak veličine 104. Kod svih ispitanika zabeležen je anamnestički podataka o konzumiranju alkohola. Rezultati su prikazani u tabeli kontingencije: Konzumiranje alkohola Patološki nalaz na jetri + Svega Ukupno U ovom istraživanju birana su dva uzorka, što znači da su u tabeli kontingencije pod kontrolom istraživača bile marginalne učestalosti koje odgovaraju uzorku osoba sa patološkim promenama (60) i uslovno zdravih (104), a samim tim pod kontrolom je bila i tolalna učestalost (164). Analizom ovakve tabele kontingencije istraživač može uporediti proporcije konzumenata alkohola u ispitivanim populacijama. Ukoliko nađe da populacije nisu homogene, na primer da je proporcija konzumenata alkohola veća u populaciji osoba sa patološkim promenama, može doneti zaključak da je konzumiranje alkohola faktor rizika za nastanak patoloških promena na jetri.
45 Testiranje nezavisnosti i homogenosti očekivane učestalosti izračunavaju se množenjem odgovarajućih marginalnih učestalosti i deljenjem sa totalnom učestalošću a b a + b c d c + d a + c b + d N hi-kvadrat testom za tabelu kontingencije 2 x 2 očekivane učestalosti izračunavaju se pomoću formula: f' a = (a + b) x (a + c) / N f' b = (a + b) x (b + d) / N f' c = (c + d) x (a + c) / N f' d = (c + d) x (b + d) / N N je totalna učestalost u tabeli kontingencije 2 ( f f ) f broj stepena slobode DF = (r 1)(k 1) 2
46 Uslovi za primenu hi kvadrat testa su: Za tabelu 2 x 2: Kada je N > 40 test se može upotrebiti ako su sve očekivane frekvencije 1 Kada je N od 20 do 40 test se može upotrebiti ako su sve očekivane frekvencije 5 Kada je N < 20 test se ne može upotrebiti Za tabelu veću od 2 x 2: nijedna očekivana učestalost ne sme biti manja od 1, i ne sme biti više od 20% očekivanih učestalosti manjih od 5. Ako nije zadovoljen ovaj uslov mora se izvršiti sažimanje susednih kategorija
47 Cilj u istraživanju bio je ocena povezanosti pušenja i oboljevanja od akutnih respiratornih infekcija u toku zime. Nađeno je: od 85 nepušača obolela je 21 (25%) osoba, od 73 pušača sa popušenih do 20 cigareta dnevno obolelo je 28 (38%) osoba, od 68 pušača sa popušenih preko 20 cigareta dnevno obolela je 31 (46%) osoba. Da li je pušenje povezano sa oboljevanjem od akutnih respiratornih infekcija? Testirati na nivou znašajnosti od Tabela opaženih učestalosti Akutna respiratorna infekcija Pušenje (cigareta/d) + Svega do preko Ukupno
48 Polje tabele f f (f - f ) 2 / f a b c d e f χ 2 = 7.62 DF = (3 1) x (2 1) = 2 Dobijena hi-kvadrat statistika (7.65) veća je od granične vrednosti (5.99) za DF = 2 i nivo značajnosti od Oboljevanje od akutnih respiratornih infekcija u toku zime je statistički značajno povezano sa pušenjem (hi-kvadrat = 7.65, DF = 2, p 0.05).
49 Radi se o istom istraživanju, ali ovog puta sa manjim učestalostima zbog čega će biti izvršeno sažimanje susednih kategorija. Opažene učestalosti prikazane su u tabeli: Akutna respiratorna infekcija Pušenje (cigareta/d) + Svega do preko Ukupno
50 U tabeli tri ćelije imaju očekivane učestalosti manje od 5. To su učestalosti 4.56, 2.93 i Zbog toga što je broj tih ćelija veći od 20% (2 / 6 = 33,3%) moramo izvršiti sažimanje susednih kategorija. Sabraćemo redove sa pušačima. Tako umesto tabele 3 x 2 dobijamo tabelu kontingencije dimenzija 2 x 2: Akutna respiratorna infekcija + Svega Nepušači Pušenje Pušači Ukupno Iz ove tabele izračunavanjem dobijamo hi-kvadrat statistiku od 5.25, koja je veća od granične vrednosti (3.84) za DF = 1 i nivo značajnosti od Oboljevanje od akutnih respiratornih infekcija u toku zime je statistički značajno povezano sa pušenjem (hi-kvadrat = 5.25, DF = 1, p 0.05).
51 Fisherov test tačne verovatnoće alternativa hi-kvadrat testu za tabele r k, može se koristiti uvek, bez obzira na učestalosti u tabelama kontingencije, pa i u slučajevima kada se ne može koristiti hi-kvadrat test zbog malih učestalosti procedura testa zahteva izračunavanje verovatnoće aktuelno opserviranih učestalosti u tabeli kontingencije, ali i svih drugih mogućih učestalosti uz uslov da marginalne učestalosti ostanu nepromenjene Za tabelu kontingencije 2 2: a b a + b c d c + d a + c b + d N verovatnoća datih učestalosti iznosi: P ( a b)!( c d)!( a c)!( b N! a! b! c! d! d)!
52 Primer. Cilj u studiji bio je ispitivanje konzumranja alkohola kao faktora rizika za arterijsku hipertenziju. Iz populacije osoba sa arterijskom hipertenzijom formiran je slučajan uzorak veličine 5, a iz populacije uslovno zdravih slučajan uzorak veličine 6. Kod svih ispitanika zabeležen je anamnestički podatak o konzumiranju alkohola. Rezultati su prikazani u tabeli kontingencije: Arterijska hipertenzija + Svega Konzumiranje alkohola Ukupno
53 Testirati hipotezu o jednakosti populacija sa i bez arterijske hipertenzije prema proporciji konzumenata alkohola. Zbog malih učestalosti nije adekvatno primeniti hi-kvadrat test. Tačna verovatnoća aktuelno opserviranih podataka iznosi: P 7!4!5!6! 11!4!31!!3! Dobijena verovatnoća nije jednaka ili manja od 0.05, tako da ne odbacujemo nultu hipotezu. Zaključak: Osobe sa i bez arterijske hipertenzije ne razlikuju se statistički značajno prema proporciji osoba koje konzumiraju alkohol (p > 0.05).
54 McNemarov test primenjuje se za ocenu značajnosti razlike učestalosti dihotomnih podataka vezani uzorci iste jedinice opservirane dva ili više puta ili individualno mečovane jedinice dva uzorka podatke za McNemarov test treba organizovati u vidu tabele 2x2: Prvi uzorak (ili prva opservacija) Statistika testa : 2 Drugi uzorak (ili druga opservacija) + + a b a+b c d c+d b c b c a+c b+d N sledi hi-kvadrat raspodelu za 1 stepen slobode 2
55 Primer. U istraživanju, sa ciljem ocene delovanja leka na simptom vrtoglavice, bilo je uključeno 210 ispitanika. Pre davanja leka vrtoglavicu je imalo 65 ispitanika. Posle davanja leka vrtoglavicu je imalo 43 ispitanika, od kojih je 36 vrtoglavicu imalo i pre terapije. Da li se posle davanja leka promenila učestalost vrtoglavice?
56 Posle davanja leka + Pre davanja leka Donošenje odluke o nultoj hipotezi: hi-kvadrat statistika veća je od graniče tablične vrednosti 3.84 (za DF = 1 i nivo značajnosti 0.05), pa odbacujemo nultu hipotezu. Zaključak: Učestalost vrtoglavice pre davanja leka iznosila je 31.0%, a posle davanja leka 20.5%. Učestalost vrtoglavice je statički značajno manja posle davanja leka (hi-kvadrat = 13.44, p 0.05).
57 Testiranje hipoteza o rangovima Test sume rangova Test ekvivalentnih parova nezavisni/zavisni uzorci
58 Test sume rangova (Mann-Whitney test, Wilcoxon-Mann-Whitney test) testiranje nulte hipoteze o jednakosti raspodela ili jednakosti medijana dve populacije ordinalni ili numerički podaci, ili rangirani podaci koristi se umesto Studentovog t-testa za dva nezavisna uzorka kada nisu ispunjeni uslovi za primenu tog testa (raspodela numeričkih podataka nije normalna, ili se radi o ordinalnim ili rangiranim podacima)
59 Mann-Whitney test (Test sume U testu se, umesto originalnih podataka, koriste rangovi Rangirati opservacije zajedno za obe grupe Rangiranje može biti obavljeno od najmanje do najveće vrednosti ili obrnuto Statistika testa je manja suma rangova manjeg uzorka Za uzorak se mogu izračunati dve sume rangova R i R. Dovoljno je za manji uzorak izračunati R, a R se izračunava po formuli: rangova) Dve populacije se razlikuju statistčki značajno prema raspodelama ili medijanama ako je statistika testa jednaka ili manja od teorijske vrednosti R n n 1 m m R m
60 Primer. Ispitivan je odnos nadmorske visine prebivališta i koncentracije fibrinogena. Podaci o koncentraciji fibrinogena (g/l) dati su za ispitanike sa stalnim prebivalištem na nadmorskoj visini do 200 m, i preko 700 m. Ispitati da li se osobe sa različitim nadmorskim visinama prebivališta razlikuju prema koncentraciji fibrinogena.
61 Statistika testa (48.5) veća je od granične vrednosti (38) za nivo značajnosti od 0.05 i veličine uzoraka 7 i 8, pa ne odbacujemo nultu hipotezu. Zaključak: Osobe sa prebivalištem ispod 200 m i iznad 700 m nadmorske visine ne razlikuju se statistički značajno prema koncentraciji fibrinogena (p > 0.05).
62 Wilcoxonov test ekvivalentnih parova Dizajn: zavisni uzorci Koristi se umesto Studentovog t-testa za zavisne uzorke kada nisu ispunjeni uslovi za primenu tog testa Najmanje ordinalna skala merenja ili rangirani podaci testira se nulta hipoteza da vezani uzorci predstavljaju istu populaciju Postupak Formiranje parova podataka : U dizajnu pre-posle, par podataka se odnosi na iste statističke jedinice, ali opservirane u dva različita vremena U dizajnu mečovanih ispitanika, par podataka se odnosi na dva mečovana ispitanika Izračunavanje razlike vrednosti podataka za svaki par Objedinjeno rangiranje poretka razlika, nezavisno od toga koji predznak ta razlika ima, razlike koje su jednake nuli se ne rangiraju Sabiranje rangova posebno za pozitivne i negativne razlike Statistika testa je manja od dve sume rangova: sume rangova pozitivnih i sume rangova negativnih razlika
63 Primer. Date su vrednosti Lp(a) pre početka terapije i mesec dana posle tretmana u kojem su pacijenti osim antiaritmika dobijali i antilipemike. Cilj istraživača bio je da ispitaju da li dolazi do promene vrednosti Lp(a) posle davanja antilipemika. Redni broj Lp(a) pre terapije (mg/dl) Lp(a) posle terapije (mg/dl) Razlika (d) Rang razlike (R d ) Suma rangova pozitivnih razlika Suma rangova negativnih razlika Statistika testa (7.5) manja je od granične vrednosti (8) za nivo značajnosti od 0.05 i broj rangiranih parova n=10. Zaključak: Vrednosti Lp(a) posle terapije statistički značajno su niže u odnosu na vrednosti pre terapije (p 0.05)
64 Izbor statističkog testa Tip podataka Broj uzoraka Kontinuirani sa normalnom raspodelom Kontinuirani bez normalne raspodele ili ordinalni Kategorijalni 2 nezavisna uzorka t test za nezavisne uzorke Mann-Whitney test Hi-kvadrat test 2 zavisna (vezana) uzorka t test za zavisne uzorke Wilcoxonov test McNemarov test >2 nezavisna uzorka ANOVA Kruskal-Wallis test Hi-kvadrat test >2 zavisna (vezana) uzorka ANOVA ponovljenih merenja Friedmanov test Cochranov test
Uvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).
Str. 53;76; Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama
Διαβάστε περισσότεραStr
Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće
Διαβάστε περισσότεραNeparametarski testovi za dva nezavisna uzorka. Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010
Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Boris Glišić 208/2010 Bojana Ružičić 21/2010 Neparametarski testovi Hipoteze o raspodeli obeležja se nazivaju neparametarske hipoteze, a odgovarajući testovi
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 644;1;148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Hi-kvadrat testovi χ Str. 646;1;149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραPočela biostatistike, Poslijediplomski interdisciplinarni doktorski studij Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti. Molekularne bioznanosti
Analiza brojčanih podataka Nora Nikolac Klinički zavod za kemiju KB Sestre milosrdnice Kolegij: Počela biostatistike Statistička hipoteza postupak testiranja 1. postavljanje hipoteze: H 0, H 1 2. odabir
Διαβάστε περισσότεραBinomna, Poissonova i normalna raspodela
Binomna, Poissonova i normalna raspodela Dejana Stanisavljević januar, 2012. godine Identifikacija empirijske raspodele učestalosti Teorijske raspodele verovatnoća opisuju očekivano variranje ishoda nekog
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIJSKE TEHNIKE
NEPARAMETRIJSKE TEHNIKE Neparametrijske tehnike se koriste za obradu podataka dobijenih na nominalnim i ordinalnim skalama. za testiranje značajnosti distribucije frekvencija po kategorijama jedne nominalne
Διαβάστε περισσότεραX. Testiranje hipoteza. Osnovni koncepti testiranja hipoteza TESTIRANJE HIPOTEZA OSNOVNI KONCEPTI I TESTOVI POVEZANOSTI 19/11/15
TESTIRANJE HIPOTEZA OSNOVNI KONCEPTI I TESTOVI POVEZANOSTI X. Testiranje hipoteza Osnovni koncepti testiranja hipoteza Unakrsno tabeliranje i hi-kvadrat Testiranje hipoteza o srednjoj vrednosti i proporcijama
Διαβάστε περισσότεραChi-kvadrat test. Chi-kvadrat (χ2) test
1 Chi-kvadrat test Chi-kvadrat (χ2) test Test za proporcije, porede se frekvence Neparametarski test Koriste se dihotomne varijable Proverava se veza između dva faktora Npr. tretmana i bolesti pola i smrtnosti
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametrijske testove. Usporedba. Neparametrijske inačice t-testa za dva nezavisna uzorka. dr. sc. Goran Kardum
Uvod u neparametrijske testove dr. sc. Goran Kardum 1 Usporedba NACRT ISTRAŽIVANJA PARAMETRIJSKA PROCEDURA NEPARAMETRIJSKA PROCEDURA Dva nezavisna uzorka T-test Mann-Whitney U-test Dva zavisna uzorka T-test
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραIzbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić
Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog
Διαβάστε περισσότεραAnaliza varijanse sa jednim Posmatra se samo jedna promenljiva
ANOVA Analiza varijanse (ANOVA) Analiza varijanse sa jednim faktorom Proširena ANOVA tabela 2 Tehnike za analizu podataka Analiza varijanse sa jednim faktorom Posmatra se samo jedna promenljiva Posmatra
Διαβάστε περισσότεραPostoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi.
Postoji nekoliko statidtičkih testova koji koriste t raspodelu, koji se jednim imenom zovu t-testovi. U SPSS-u su obradjeni: t test razlike između aritmetičke sredine osnovnog skupa i uzorka t test razlike
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραPopulacija Ciljna/uzoračka populacija
Populacija i uzorak Sadržaj predavanja Šta je populacija, šta je uzorak a šta uzorkovanje? Statističko zaključivanje Klasifikacija uzoraka: sa i bez verovatnoće, sa i bez zamenjivanja Uzoračke raspodele
Διαβάστε περισσότεραnepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Διαβάστε περισσότεραTESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE
//0 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Z-TEST I T-TEST Beograd, 0 Ass. dr Zora Bukumirić Z-TEST I T-TEST z-testom i Studetovim t-testom testiramo razliku: jede aritmetičke sredie i pretpostavljee vredosti
Διαβάστε περισσότεραRegresija i korelacija
Regresija i korelacija Goran Trajković septembar, 008. godine Regresija i korelacija Regresijom i korelacijom analizira se povezanost (asocijacija, odnos) dve ili više varijabli. Korelacija podrazumeva
Διαβάστε περισσότεραPOSTAVLJANJE I TESTIRANJE HIPOTEZA
POSTAVLJANJE I TESTIRANJE HIPOTEZA Hipoteza je precizno formulisana verbalna tvrdnja, pretpostavka o karakteristici jednog skupa ili o odnosu vrednosti posmatrane karakteristike u više skupova. U statističkim
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραStatistiqki softver 4 Sedmi qas
Statistiqki softver 4 Sedmi qas Marija Radiqevi Matematiqki fakultet, Beograd 2015. Sadrжaj Neparametarski testovi 1 Neparametarski testovi Neparametarski testovi za dva nezavisna uzorka Neparametarski
Διαβάστε περισσότεραObrada signala
Obrada signala 1 18.1.17. Greška kvantizacije Pretpostavka je da greška kvantizacije ima uniformnu raspodelu 7 6 5 4 -X m p x 1,, za x druge vrednosti x 3 x X m 1 X m = 3 x Greška kvantizacije x x x p
Διαβάστε περισσότεραGRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij MANN-WHITNEY-WILCOXONOV TEST ZA NEZAVISNE UZORKE.
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij MANN-WHITNEY-WILCOXONOV TEST ZA NEZAVISNE UZORKE Seminarski rad Kolegij: Odabrana poglavlja inžinjerske matematike Akademska
Διαβάστε περισσότερα9.1 Testovi hipoteza u statistici
196 9 Testiranje parametarskih hipoteza 9.1 Testovi hipoteza u statistici Popularan metod dokazivanja teorema u matematici je deductio ad absurdum, dovod enje do protivrečnosti ako se pretpostavi suprotno
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραTestiranje hipoteza statistika zaključivanja
Metodologija političkih i društvenih istraživanja II Pavle Pavlović pavlovic.pavle@outlook.com Testiranje hipoteza statistika zaključivanja Testiranje hipoteza zajedno sa statistikom ocjenjivanja čine
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike
Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 39 Uvod Osnovna zadaća Statistike je na temelju uzorka ocijeniti kakvu razdiobu
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραUvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za
Osnovne teorije odlučivanja Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za donošenje dobre odluke:
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα9. TESTIRANJE HIPOTEZA O PARAMETRU. Josipa Perkov, prof., pred. 1
9. TESTIRANJE HIPOTEZA O PARAMETRU Josipa Perkov, prof., pred. 1 na prethodnom predavanju upoznali smo se s metodom i postupcima koji omogućavaju da se iz dijela populacije, koji je slučajno izabran, procijeni
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Διαβάστε περισσότεραStudentov t-test. razlike. t = SG X
Studentov t-test Najčešće upotrebljavan parametrijski test značajnosti za testiranje nulte hipoteze je Studentov t-test. Koristi se za testiranje značajnosti razlika između dve aritmetičke sredine. Uslovi
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα13. TESTIRANJE HIPOTEZE O NEPOZNATIM KARAKTERISTIKAMA POPULACIJE
13. TESTIRANJE HIPOTEZE O NEPOZNATIM KARAKTERISTIKAMA POPULACIJE χ - TEST χ -test je neparametrijski test kojim se vrlo uspješno rješavaju problemi masovnih pojava kao što su: testiranje hipoteze da distribucija
Διαβάστε περισσότεραKonstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE
Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραDODATNI MATERIJAL SA NASTAVE (2017/18)
DODATNI MATERIJAL SA NASTAVE (2017/18) 1. Povežite obeležja sa odgovarajudim tipom obeležja a) Broj gostiju b) Boja šešira c) Iznos računa u dinarima 1) Atributivno 2) Numeričko (neprekidno) 3) Numeričko
Διαβάστε περισσότεραAnaliza varijanse (ANOVA) Analiza varijanse sa jednim faktorom ANOVA 07/12/2017. Tehnike za analizu podataka. Multivarijacione tehnike
ANOVA Analiza vaijanse (ANOVA) Analiza vaijanse sa jednim faktoom Pošiena ANOVA tabela 2 Tehnike za analizu podataka Analiza vaijanse sa jednim faktoom Posmata se samo jedna pomenljiva Posmata se više
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραStatističke metode. doc. dr Dijana Karuović
Statističke metode doc. dr Dijana Karuović STATISTIČKE METODE Danas jedan od glavnih metoda naučnog saznanja Najvažnije statističke metode koje se upotrebljavaju: Metod uzorka Metod srednjih vrednosti
Διαβάστε περισσότεραANALIZA TABLICA KONTINGENCIJE
TABLICA KONTINGENCIJE tablica koja u retcima i stupcima sadrži frekvencije atributivnih obilježja ANALIZA TABLICA KONTINGENCIJE predstavlja empirijsku razdiobu frekvencija obilježja mjerenih nominalnom
Διαβάστε περισσότεραProsta linearna regresija (primer)
STATISTIKA Prosta linearna regresija (primer) Doc. Dr Slađana Spasić E-mail: sladjana.spasic@singidunim.ac.rs Ass. Ana Simićević E-mail: asimicevic@singidunim.ac.rs 7. 6. 010. Beograd Predavanje 15 Regresiona
Διαβάστε περισσότεραPopulacija vs. uzorak - Opisivanje, ocenjivanje i testiranje. Jelena Marinković, maj 2012.
Populacija vs. uzorak - Opisivanje, ocenjivanje i testiranje Jelena Marinković, maj 01. Statistika p Nauka o generisanju informacija i znanja kroz prikupljanje, analizu i interpretaciju podataka koji su
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij
SVEUČILIŠTE U RIJECI GRAĐEVINSKI FAKULTET U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij Test hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina K osnovnih skupova Seminarski rad Kolegij: Odabrana poglavlja
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραOblasti izučavanja. IX.1. Osnove analize podataka. IX. Analiza podataka UVOD U ANALIZU PODATAKA 13/11/15
Oblasti izučavanja UVOD U ANALIZU PODATAKA I. Priroda i obuhvat marketinških istraživanja II. Izvori podataka u marketinškim istraživanjima III. Faze istraživačkog procesa IV. Eksploratorna istraživanja
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότερα4 Testiranje statističkih hipoteza
4 Testiranje statističkih hipoteza 1 4.1. Statistička hipoteza Promatramo statističko obilježje X. Statistička hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o (populacijskoj) razdiobi od X. Kažemo da je statistička
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραBetonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραREGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA
REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA Reč regresija dospela je u statistiku kada je 1855.godine Fransis Galton objavio publikaciju u kojoj je analizirao visinu sinova u zavisnosti od visine očeva. Zaključak
Διαβάστε περισσότεραZaključivanje o jednakosti distribucija temeljeno na dva uzorka
Zaključivanje o jednakosti distribucija 1 Zaključivanje o jednakosti distribucija temeljeno na dva uzorka Odgovorom na ovako postavljeno pitanje u praksi možemo zaključiti dolazi li do promjene obilježja
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότερα7. glava STATISTIČKO OCENJIVANJE CILJEVI POGLAVLJA. Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da:
STATISTIČKO OCENJIVANJE CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete smisao statističkog ocenjivanja 2. shvatite razliku između tačkastih i intervalnih ocena 3. konstruišete
Διαβάστε περισσότεραAnalitička statistika Testiranje hipoteze.
Analitička statistika Testiranje hipoteze www.illustrationsof.com Dijelovi istraživanja Istraživačko pitanje Značenje Ustroj (design) - tip istraživanja Ispitanici Varijable Statistička obrada podataka
Διαβάστε περισσότερα