Μωυσής Α. Μπουντουρίδης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μωυσής Α. Μπουντουρίδης"

Transcript

1 Μωυσής Α. Μπουντουρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήµιο Πατρών ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΙΚΤΥΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ (Βασισµένη σε ελεύθερη µετάφραση τµήµατος του βιβλίου των Wasserman & Faust) Draft Version 01 Μάιος 2004

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Βασικές Έννοιες Κοινωνικών ικτύων... 3 Εισαγωγή... 3 Σχέσεις και Χαρακτηριστικά... 4 Βασικές Έννοιες Αναπαράσταση Κοινωνικών ικτύων Συµβολισµός και Αναπαράσταση Γράφων Μια Σχέση Πολλές Σχέσεις Κοινωνιοµετρικός Συµβολισµός Μια Σχέση Πολλές Σχέσεις Σύνοψη Βασικές Έννοιες από τη Θεωρία Γράφων Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Βαθµός και Πυκνότητα Περίπατοι, Πορείες και Μονοπάτια Συνεκτικότητα Γεωδεσικές, Απόσταση και ιάµετρος Κατευθυνόµενοι Γράφοι (ή ιγράφοι) Βαθµοί και Πυκνότητα Κατευθυνόµενοι Περίπατοι, Πορείες και Ηµι-Μονοπάτια Συνεκτικότητα Γεωδεσικές, Απόσταση και ιάµετρος Γράφοι µε Τιµές Κόµβοι και υάδες Πυκνότητα Μονοπάτια, Προσπελασιµότητα και Μήκος Μονοπατιού Πίνακες Πίνακες για Μη Κατευθυνόµενους Γράφους Πίνακες για Κατευθυνόµενους Γράφους Πίνακες για Γράφους µε Τιµές Υπολογισµοί µέσω Πινάκων Απλών ικτυακών Ιδιοτήτων Βιβλιογραφία

3 1. Βασικές Έννοιες Κοινωνικών ικτύων Εισαγωγή Η έννοια των κοινωνικών δικτύων και οι µέθοδοι ανάλυσής τους έχουν προσελκύσει το ιδιαίτερο ενδιαφέρον και την περιέργεια των ερευνητών στις κοινωνικές επιστήµες και τις επιστήµες της συµπεριφοράς τις τελευταίες δεκαετίες. Το µεγαλύτερο µέρος αυτού του ενδιαφέροντος για την ανάλυση των κοινωνικών δικτύων εστιάζεται στην κατανόηση των σχέσεων µεταξύ κοινωνικών οντοτήτων, καθώς και µορφωµάτων και επιπτώσεων που έχουν οι σχέσεις αυτές. Πολλοί ερευνητές έχουν αναγνωρίσει ότι η προοπτική των δικτύων φέρνει µια νέα ώθηση στην απάντηση των κλασσικών ερευνητικών ερωτηµάτων της κοινωνιολογίας και των επιστηµών της συµπεριφοράς, δίνοντας ακριβείς τυπικούς ορισµούς του πολιτικού, οικονοµικού ή κοινωνικού δοµικού περιβάλλοντος. Από την µεριά της ανάλυσης των κοινωνικών δικτύων, το κοινωνικό περιβάλλον µπορεί να εκφραστεί µέσω µορφωµάτων ή κανονικοτήτων στις σχέσεις µεταξύ των αλληλεπιδρουσών µονάδων. Ακολουθώντας τους Wasserman & Faust (1994), µε τον όρο δοµή, θα εννοούµε την εµφάνιση κανονικών µορφωµάτων στις σχέσεις (σελ. 3). Επιπλέον, θα αναφερόµαστε στις µεταβλητές που µετρούν τη δοµή σαν δοµικές µεταβλητές (σελ. 3). Από τα διάφορα παραδείγµατα σχέσεων που µελετώνται στο πλαίσιο της ανάλυσης των κοινωνικών δικτύων, µπορεί κανείς να δει ότι οι σχέσεις µπορεί να είναι πολλών ειδών, για παράδειγµα, οικονοµικές, πολιτικές, αλληλεπιδραστικές, συναισθηµατικές κ.λπ. Η επικέντρωση στις σχέσεις και τα µορφώµατα των σχέσεων απαιτούν ένα σύνολο µεθόδων κι αναλυτικών εννοιών, οι οποίες είναι διαφορετικές από τις µεθόδους της κλασσικής στατιστικής και της ανάλυσης δεδοµένων. Οι έννοιες, οι µέθοδοι κι οι εφαρµογές της ανάλυσης των κοινωνικών δικτύων είναι τα θέµατα που θα διαπραγµατευτούµε στην εργασία αυτή. Συγκεκριµένα, θα επικεντρωθούµε στις µεθόδους και τα µοντέλα για την ανάλυση των δεδοµένων, που προέρχονται από κοινωνικά δίκτυα. Σε έκταση ίσως απαράµιλλη µε αυτό που συνέβη σε άλλες κοινωνικές επιστήµες, οι µέθοδοι των κοινωνικών δικτύων έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία 60 χρόνια σαν αναπόσπαστο τµήµα της προόδου που 3

4 επιτεύχθηκε στις κοινωνικές θεωρίες, την εµπειρική έρευνα, τα µαθηµατικά και την στατιστική. Πολλά από τα βασικά δοµικά µέτρα και έννοιες της ανάλυσης των κοινωνικών δικτύων παρήχθησαν από τη βαθιά γνώση των ερευνητών, που επεδίωκαν να περιγράψουν τα εµπειρικά φαινόµενα και παρακινούνταν από τις κεντρικές έννοιες της κοινωνικής θεωρίας. Επιπρόσθετα, αναπτύχθηκαν µέθοδοι για τον έλεγχο υποθέσεων σχετικών µε δικτυακές δοµικές ιδιότητες µέσα στο πλαίσιο της ουσιαστικής επιστηµονικής έρευνας και κατασκευής µοντέλων. Το αποτέλεσµα αυτής της συµβιωτικής σχέσης µεταξύ θεωρίας και µεθοδολογίας είναι µια ισχυρή θεµελίωση των δικτυακών αναλυτικών τεχνικών αφενός πάνω στις εφαρµογές κι αφετέρου πάνω στη θεωρία. Σχέσεις και Χαρακτηριστικά Αρχικά πρέπει να καθοριστεί το είδος των δεδοµένων για τα οποία η ανάλυση των κοινωνικών δικτύων είναι η πιο κατάλληλη. Αυτοί που ενδιαφέρονται για τις εφαρµογές των κοινωνικών δικτύων, αναµφισβήτητα θα έχουν ήδη µερικές ιδέες για αυτό: Είναι χρήσιµη για τις έρευνες µορφωµάτων συγγένειας, δοµής κοινοτήτων, διαπλεκόµενων µελών διοικητικών συµβουλίων κ.λπ. Αλλά είναι ουσιαστικό να κατανοηθούν µε σαφήνεια τα κοινά χαρακτηριστικά γνωρίσµατα αυτών των τύπων των δεδοµένων. Γενικώς, η ανάλυση των κοινωνικών δικτύων είναι κατάλληλη για σχεσιακά δεδοµένα, και τεχνικές που αναπτύσσονται για την ανάλυση άλλων τύπων δεδοµένων είναι µάλλον περιορισµένης αξίας για την έρευνα σε δεδοµένα αυτού του είδους. Το γενικότερο χαρακτηριστικό των δεδοµένων των κοινωνικών επιστηµών είναι ότι αυτά έχουν τις ρίζες τους σε πολιτιστικές αξίες και σύµβολα. Αντίθετα µε τα δεδοµένα των φυσικών επιστηµών, τα δεδοµένα των κοινωνικών επιστηµών συγκροτούνται µέσα από έννοιες, κίνητρα, ορισµούς και τυποποιήσεις. Όπως είναι ευρως γνωστό, αυτό σηµαίνει ότι η παραγωγή των δεδοµένων των κοινωνικών επιστηµών περιλαµβάνει κάποια διαδικασία ερµηνείας. Στη βάση τέτοιων διαδικασιών ερµηνείας, οι κοινωνιολόγοι έχουν τυποποιήσει ξεχωριστούς τύπους δεδοµένων, σε κάθε έναν από τους οποίους είναι κατάλληλες ξεχωριστές µέθοδοι ανάλυσης. 4

5 Οι βασικοί τύποι κοινωνικών δεδοµένων είναι δυο: τα δεδοµένα των χαρακτηριστικών και τα σχεσιακά ή δοµικά δεδοµένα (Wellman, 1980, Berkowitz & Heil, 1980, Wasserman & Faust, 1994). Τα δεδοµένα των χαρακτηριστικών αφορούν τις διαθέσεις, τις απόψεις και τη συµπεριφορά των δραστών, στο βαθµό που όλα αυτά θεωρούνται σαν ιδιότητες ή ποιότητες ή χαρακτηριστικά, που έχουν οι δράστες είτε σαν άτοµα ή σαν οµάδες. Παραδείγµατα χαρακτηριστικών δραστών σαν άτοµα είναι το φύλο, η φυλή, η εθνικότητα κ.λπ. και χαρακτηριστικών δραστών σαν οµάδες, π.χ., επιχειρήσεων, είναι η γεωγραφική θέση, το ενεργητικό κεφάλαιο, ο αριθµός των εργαζοµένων κ.λπ. Οι αντίστοιχες µεταβλητές, που παράγονται από τις µετρήσεις των χαρακτηριστικών των δραστών, ονοµάζονται µεταβλητές των χαρακτηριστικών (Wasserman & Faust, 1994, σελ. 29). Τα στοιχεία που συλλέγονται µέσω ερευνών (surveys) και συνεντεύξεων, για παράδειγµα, συχνά θεωρούνται ότι αποτελούν χαρακτηριστικά συγκεκριµένων ατόµων. Οι αντίστοιχες µεταβλητές των χαρακτηριστικών αυτών µπορούν να µετρηθούν, να ποσοτικοποιηθούν και να αναλυθούν µέσω των πολλών διαθέσιµων στατιστικών µεθοδολογιών. Οι κατάλληλες µέθοδοι για τα δεδοµένα χαρακτηριστικών είναι εκείνες της ανάλυσης µεταβλητών, στις οποίες τα χαρακτηριστικά µετριούνται µε τις τιµές συγκεκριµένων µεταβλητών (π.χ., εισόδηµα, επάγγελµα, εκπαίδευση κ.λπ.). Από την άλλη µεριά, τα σχεσιακά δεδοµένα, που συχνά ονοµάζονται και δοµικά δεδοµένα (Wasserman & Faust, 1994, σελ. 29), έχουν να κάνουν µε τις αλληλεπιδράσεις, τις επαφές, τους δεσµούς και τις συνδέσεις, τις οµαδικές συνενώσεις και τις συναντήσεις κ.λπ. Όλα αυτά είναι πράγµατα, τα οποία σχετίζουν ένα δράστη µε έναν άλλο, αλλά δεν µπορούν να αναχθούν απευθείας στις ατοµικές ιδιότητες των ίδιων των δραστών. Οι σχέσεις δεν είναι ιδιότητες των δραστών νοούµενων ο καθένας ξεχωριστά (όπως είναι τα δεδοµένα των χαρακτηριστικών) αλλά ιδιότητες ζευγών (δυάδων) δραστών. Οι µεταβλητές που αντιστοιχούν στα σχεσιακά ή δοµικά δεδοµένα ονοµάζονται σχεσιακές ή δοµικές µεταβλητές και µετρούνται πάντα σε ζεύγη δραστών. Για παράδειγµα, οι σχεσιακές ή δοµικές µεταβλητές µπορούν να µετρήσουν επιχειρηµατικές συναλλαγές µεταξύ επιχειρήσεων ή σχέσεις φιλίας µεταξύ ανθρώπων ή εµπορικές συναλλαγές µεταξύ χωρών. Οι κατάλληλες µέθοδοι για τα σχεσιακά δεδοµένα είναι αυτές της 5

6 ανάλυσης των δικτύων, στις οποίες οι σχέσεις θεωρούνται σαν εκφράσεις των συνδέσεων που εµφανίζονται µεταξύ των δραστών. Ενώ είναι φυσικά δυνατό να γίνουν ποσοτικές και στατιστικές αναλύσεις των σχέσεων, η ανάλυση των δικτύων µας παρέχει ένα σύνολο ποιοτικών µέτρων της δικτυακής δοµής. Τα δεδοµένα χαρακτηριστικών και τα σχεσιακά ή δοµικά δεδοµένα δεν είναι οι µοναδικοί τύποι δεδοµένων των κοινωνικών επιστηµών αν και είναι τα περισσότερο συζητηµένα στα βιβλία της µεθοδολογίας. Ένας τρίτος τύπος περιλαµβάνει τα ιδεατά δεδοµένα, τα οποία περιγράφουν τις ίδιες τις έννοιες, τα κίνητρα, τους ορισµούς και τις τυποποιήσεις (Scott, 2000, σελ. 3). Οι τεχνικές για την ανάλυση των ιδεατών δεδοµένων έχουν αναπτυχθεί λιγότερο από αυτές των σχεσιακών δεδοµένων και των δεδοµένων χαρακτηριστικών παρά την κεντρικότητά τους στις κοινωνικές επιστήµες. Η τυπολογική ανάλυση του τύπου που περιέγραφε ο Weber ( ) είναι η πιο χαρακτηριστική προσέγγιση αυτού του είδους αλλά υπάρχουν και πιο σύγχρονα παραδείγµατα (Layder, 1992). Αν και υπάρχουν ξεχωριστοί τύποι δεδοµένων (όπως παρουσιάζονται στο Σχήµα 1.1), ο κάθε ένας µε τις δικές του κατάλληλες µεθόδους ανάλυσης, δεν υπάρχει τίποτα το ιδιαίτερο για τις µεθόδους συλλογής των δεδοµένων, που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να παραγάγουν τα αντίστοιχα δεδοµένα. Έτσι, δεν υπάρχει τίποτα που να διαφοροποιεί τις µεθόδους συλλογής δεδοµένων χαρακτηριστικών από εκείνες της συλλογής σχεσιακών δεδοµένων. Η συλλογή των τριών τύπων δεδοµένων συχνά γίνεται παράλληλα σαν ένα αναπόσπαστο τµήµα της ίδιας έρευνας. Σε µια µελέτη των πολιτικών διαθέσεων, για παράδειγµα, µπορεί να επιδιώκεται να βρεθεί η συσχέτιση των διαθέσεων µε τις οµάδες, στις οποίες είναι µέλη τα µελετώµενα άτοµα, και µε τις επαφές, που τα άτοµα αυτά έχουν µέσα στις κοινότητές τους. Παρόµοια, σε µια έρευνα των διαπλεκόµενων µελών διοικητικών συµβουλίων µπορεί να επιδιώκεται να βρεθεί η συσχέτιση των συµβουλίων αυτών µε το µέγεθος και την αποδοτικότητα των µελετώµενων επιχειρήσεων. Σε κάθε µία περίπτωση, µπορούν να χρησιµοποιηθούν ερωτηµατολόγια, συνεντεύξεις, παρατηρήσεις των συµµετεχόντων ή έγγραφο υλικό, για να παραγάγουν τα δεδοµένα. 6

7 Σχήµα 1.1. Τύποι δεδοµένων και αναλύσεων. Οι µελέτες της φιλίας, π.χ., συνήθως ακολουθούν τα χνάρια του Moreno (1934), χρησιµοποιώντας ερωτηµατολόγια για την έρευνα των επιλογών φιλίας. Σε τέτοιες µελέτες, οι ερευνητές απλά ζητούν από τους ερωτούµενους να κατονοµάσουν τους φίλους τους, χρησιµοποιώντας τέτοιες ερωτήσεις όπως παρακαλώ ονοµάστε τους τέσσερις πιο στενούς φίλους σας. Προκύπτουν φυσικά διάφορα µεθοδολογικά προβλήµατα µε αυτό το είδος έρευνας. Μερικές φορές, οι γενικές ερωτήσεις σε σχέση µε επιλογές έχει παρατηρηθεί ότι είναι δύσκολο να απαντηθούν. Έτσι, συµβαίνει µερικοί από τους ερωτούµενους να µη θεωρούν ότι έχουν τέσσερις φίλους και πολλοί να βρίσκουν τις ανοικτές ερωτήσεις χρονοβόρες και βαρετές. Μια εναλλακτική προσέγγιση είναι να χρησιµοποιηθεί η µέθοδος επιλογής από λίστα, στην οποία οι ερωτούµενοι ζητούνται να απαντήσουν την ερώτηση ποιους από τους παρακάτω θεωρείτε φίλους σας. Κάτι τέτοιο απαιτεί ιδιαίτερη γνώση και προετοιµασία εκ µέρους του ερευνητή, ο οποίος πρέπει να συντάξει τον κατάλογο τη λίστα που παρουσιάζεται στους ερωτούµενους, αλλά η προσέγγιση αυτή έχει το πλεονέκτηµα της άµεσης επέκτασης του εύρους των ερωτήσεων, όταν ζητηθεί από τους ερωτούµενους να κατατάξουν ή να αποτιµήσουν τη σχέση τους, δείχνοντας έτσι την ένταση ή τη σηµασία της σχέσης για αυτούς. Πάντως, και στις δύο περιπτώσεις, αυτά τα µεθοδολογικά προβλήµατα σε σχέση µε τη γνώση, που έχει ο ερευνητής, και τη συνεργασία, που δείχνουν οι ερωτούµενοι, 7

8 είναι ακριβώς τα ίδια µε εκείνα που προκύπτουν και στις περιπτώσεις συλλογής στοιχείων, που αναφέρονται στις διαθέσεις και τις γνώµες των ερωτούµενων. Τα σχεσιακά δεδοµένα είναι από τα σηµαντικότερα θεµελιώδη ζητήµατα της κοινωνιολογικής παράδοσης, αν πάρουµε υπόψη µας την έµφαση της κοινωνιολογίας για τη διερεύνηση της δοµής της κοινωνικής δράσης. Οι δοµές χτίζονται µε σχέσεις και τα δοµικά ζητήµατα της κοινωνιολογίας µπορούν να µελετηθούν µέσω συλλογής και ανάλυσης σχεσιακών δεδοµένων. Παραδόξως, τα περισσότερα από τα βιβλία που υπάρχουν πάνω στις ερευνητικές µεθοδολογίες και τις µεθόδους συλλογής δεδοµένων δίνουν λίγη προσοχή σ αυτόν τον τύπο δεδοµένων και, αντί γι αυτά, επικεντρώνονται στην ανάλυση των µεταβλητών για τη διερεύνηση των δεδοµένων των χαρακτηριστικών. Οι τυπικές µαθηµατικές τεχνικές της ανάλυσης των κοινωνικών δικτύων, δηλαδή, οι συγκεκριµένες µέθοδοι που ταιριάζουν στα σχεσιακά δεδοµένα, έχουν αναπτυχθεί και συζητηθεί έξω από τις κυρίαρχες τάσεις της ερευνητικής µεθοδολογίας. Ενώ έχουν συµβάλλει σε πολλές θεαµατικές εξελίξεις αναφορικά µε τη δοµική ανάλυση, οι περισσότερες µέθοδοι της ανάλυσης των κοινωνικών δικτύων είναι κάπως απρόσιτες σε πολλούς ερευνητές, που έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον να τις χρησιµοποιήσουν. Η ανάλυση των κοινωνικών δικτύων αναπτύχθηκε, αρχικά σε µια σχετικά απλουστευµένη µορφή, πέρα από τεχνικές λεπτοµέρειες, στο πλαίσιο των µελετών για τις κοινωνικές δοµές που ακολουθούσαν την παράδοση του µεγάλου Βρετανού ανθρωπολόγου Radcliffe-Brown (Scott, 2000, σελ. 7). Από τη δεκαετία του 1930 ως τη δεκαετία του 1970, ένας ολοένα κι αυξανόµενος αριθµός κοινωνικών ανθρωπολόγων και κοινωνιολόγων άρχισε να οικοδοµεί θεωρίες µε βάση την έννοια της κοινωνικής δοµής του Radcliffe-Brown και, µ αυτόν τον τρόπο, άρχισε να παίρνει στα σοβαρά τις µεταφορές της ύφανσης και του ιστού της κοινωνικής ζωής. Απ αυτές τις υφαντικές µεταφορές, οι οποίες στόχευαν στην κατανόηση των συνυφασµένων και διαπλεκόµενων σχέσεων, µε τις οποίες οργανώνονταν οι κοινωνικές δράσεις, η µεταφορά του κοινωνικού δικτύου ήρθε στο προσκήνιο και οι ερευνητές άρχισαν να διερευνούν την πυκνότητα και την υφή των κοινωνικών δικτύων που µελετούσαν. Όµως, από τη δεκαετία του 1950, µια µικρή οµάδα επιστηµόνων άρχισε να ασχολείται µε 8

9 την ανάπτυξη τυπικών θεωριών πάνω στη µεταφορά αυτή κι, έτσι, από τη δεκαετία του 1970, εµφανίστηκε µια ολόκληρη χιονοστιβάδα τεχνικών εργασιών και εξειδικευµένων εφαρµογών. Από τις εργασίες αυτές βγήκαν οι βασικές έννοιες της ανάλυσης των κοινωνικών δικτύων και δηµιουργήθηκαν οι συνθήκες για την ενσωµάτωση των µεθόδων αυτών µέσα στις κυρίαρχες τάσεις της ανάλυσης δεδοµένων στο πλαίσιο ενός ευρως φάσµατος εφαρµογών. Βασικές Έννοιες Υπάρχουν αρκετές βασικές έννοιες της δικτυακής ανάλυσης που είναι θεµελιώδεις για τη συζήτηση των κοινωνικών δικτύων. Οι κυριότερες από τις έννοιες αυτές είναι: δράστης, σχεσιακός δεσµός, σχέση και κοινωνικό δίκτυο. Σ αυτή την παράγραφο, θα ορίσουµε αυτές τις βασικές έννοιες. ράστης (actor). Όπως έχουµε αναφέρει παραπάνω, η ανάλυση των κοινωνικών δικτύων αφορά την κατανόηση των δεσµών µεταξύ κοινωνικών οντοτήτων και τις επιπτώσεις που συνεπάγονται οι δεσµοί αυτοί. Οι κοινωνικές οντότητες, που εµπλέκονται σε ένα κοινωνικό δίκτυο, αναφέρονται σαν δράστες. Οι δράστες µπορεί να είναι διακριτές ατοµικές, εταιρικές ή συλλογικές κοινωνικές µονάδες (δηλαδή, αντίστοιχα, άτοµα, οργανώσεις ή φορείς). Παραδείγµατα δραστών είναι οι άνθρωποι που συγκροτούν µια οµάδα, τα τµήµατα µέσα σε µια εταιρία, οι δηµόσιες υπηρεσίες σε µια πόλη ή τα έθνηκράτη στο παγκόσµιο σύστηµα. Η χρήση του όρου δράστης, που κάνουµε, δεν υπονοεί ότι αυτές οι οντότητες έχουν απαραίτητα την επιθυµία ή τη δυνατότητα να δράσουν, τουλάχιστον µέσα στα συγκεκριµένα πλαίσια των παρατηρήσεων και της έρευνας που κάνουµε για αυτές. Επιπλέον, πρέπει να προσθέσουµε ότι πολλές εφαρµογές των κοινωνικών δικτύων επικεντρώνονται σε σύνολα δραστών, στα οποία όλοι οι δράστες είναι του ίδιου τύπου (π.χ., άνθρωποι σε µια οµάδα εργασίας). Τα δίκτυα που αποτελούνται από δράστες του ίδιου τύπου τα ονοµάζουµε δίκτυα µιας κατηγορίας (one-mode networks). Πάντως, µερικές µέθοδοι µας επιτρέπουν να εξετάσουµε δράστες, που προέρχονται από ριζικά διαφορετικούς τύπους ή αντιστοιχούν σε διαφορετικά επίπεδα ή ακόµη σχηµατίζουν 9

10 εντελώς διαφορετικά σύνολα. Για παράδειγµα, οι Galaskiewicz (1985), Galaskiewicz & Wasserman (1989) έχουν αναλύσει τις χρηµατικές δωρεές, που είχαν κάνει εταιρίες σε µη κερδοσκοπικούς οργανισµούς στην περιοχή Minneapolis/St. Paul, και οι Doreian & Woodard (1990) και Woodard & Doreian (1990) έχουν µελετήσει τις επαφές πολιτών µε δηµόσιες υπηρεσίες. Σχεσιακός εσµός. Οι δράστες συνδέονται ο ένας µε τον άλλο µε κοινωνικούς δεσµούς (ties). Όπως µπορούµε να δούµε στα διάφορα παραδείγµατα των κοινωνικών δικτύων, η εµβέλεια και ο τύπος των δεσµών µπορούν να είναι αρκετά εκτενείς. Ένας δεσµός ορίζεται από το ότι δηµιουργεί µια σύνδεση µεταξύ ενός ζεύγους δραστών. Μερικά από τα πιο κοινά παραδείγµατα δεσµών που χρησιµοποιούνται στη δικτυακή ανάλυση είναι: Η αξιολόγηση ενός ατόµου από ένα άλλο (π.χ., εκδηλούµενη φιλία, συµπάθεια ή σεβασµός). Οι µεταφορές υλικών πόρων (π.χ., εµπορικές συναλλαγές, συνάψεις δανείων ή δανειοδοτήσεις). Οι ενώσεις ή οι όµιλοι (π.χ., κοινές συµµετοχές σε ένα κοινωνικό γεγονός ή τα µέλη της ίδιας κοινωνικής λέσχης). Η επικοινωνιακή αλληλεπίδραση (π.χ., συνοµιλίες, ανταλλαγές µηνυµάτων). Η µετακίνηση µεταξύ τόπων ή καταστάσεων (π.χ., µετανάστευση, κοινωνική ή φυσική κινητικότητα). Οι φυσικές συνδέσεις (π.χ., ένας δρόµος, ποτάµι η γέφυρα, που συνδέει δυο µέρη). Οι επίσηµες σχέσεις (π.χ., µε την εξουσία). Οι βιολογικές σχέσεις (π.χ., συγγένεια ή καταγωγή). Σχέση. Μια συλλογή δεσµών ενός συγκεκριµένου τύπου µεταξύ των µελών µιας οµάδας δραστών λέγεται ότι αποτελεί µια σχέση. Για παράδειγµα, οι φιλίες µεταξύ των µαθητών σε µια τάξη ή οι επίσηµοι διπλωµατικοί δεσµοί, που διατηρούνται µεταξύ εθνών, είναι δεσµοί που ορίζουν σχέσεις (στην πρώτη περίπτωση, µεταξύ των µαθητών της τάξης, και στη δεύτερη περίπτωση, µεταξύ των µελετούµενων εθνών). Για οποιαδήποτε οµάδα δραστών, µπορούµε να µετρήσουµε αρκετές διαφορετικές σχέσεις. Π.χ., εκτός από τους 10

11 επίσηµους διπλωµατικούς δεσµούς µεταξύ εθνών, µπορούµε επίσης να καταγράψουµε το χρηµατικό ποσό του διακρατικού εµπορίου για κάποιο συγκεκριµένο έτος. Είναι σηµαντικό να παρατηρήσουµε ότι κάθε σχέση αναφέρεται σε µια συλλογή δεσµών ενός ειδικού τύπου, που µετρούνται για δυάδες δραστών, οι οποίοι προέρχονται από ένα συγκεκριµένο σύνολο. Κοινωνικό ίκτυο. Έχοντας ορίσει τους δράστες και τις σχέσεις, µπορούµε τώρα να διατυπώσουµε έναν καλύτερο ορισµό του κοινωνικού δικτύου. Ένα κοινωνικό δίκτυο αποτελείται από ένα ή περισσότερα (πεπερασµένα) σύνολα δραστών και από µια ή περισσότερες σχέσεις, που συνδέουν τους δράστες µεταξύ τους. Στο επόµενο κεφάλαιο, συζητώντας το συµβολισµό των γράφων για τα κοινωνικά δίκτυα, θα εξηγήσουµε καλύτερα τις περιπτώσεις που σε ένα κοινωνικό δίκτυο ορίζονται δυο ή περισσότερες σχέσεις. Στη συνέχεια, θα δούµε πώς ορίζονται τα κοινωνικά δίκτυα για δυο ή περισσότερα σύνολα δραστών. Γενικώς, τα κοινωνικά δίκτυα µπορεί να είναι ενός από τους εξής δυο τύπους: δίκτυα µιας κατηγορίας ή δίκτυα δυο κατηγοριών. Μια ενδιαφέρουσα ειδική περίπτωση των τελευταίων αποτελούν τα δίκτυα υπαγωγής. ίκτυο Μιας Κατηγορίας (One-Mode Network). Στη θεωρία των κοινωνικών δικτύων, ο όρος κατηγορία ( mode ) αναφέρεται στο διακριτό σύνολο οντοτήτων, µε το οποίο µετρούνται οι σχεσιακές (δοµικές) µεταβλητές (Tucker, 1963, 1964, 1966, Kroonenberg, 1983, Arabie, Carroll & DeSarbo, 1987). Όταν οι δοµικές µεταβλητές µετριούνται για δράστες, που όλοι είναι του ιδίου τύπου, τότε έχουµε τα δίκτυα µιας κατηγορίας, αφού σ αυτά όλες οι σχεσιακές οντότητες, δηλαδή, οι δράστες, ανήκουν σε ένα µόνο σύνολο. Για παράδειγµα, δίκτυα µιας κατηγορίας προκύπτουν από µετρήσεις σχέσεων φιλίας µεταξύ ατόµων, που ανήκουν στην ίδια οµάδα, π.χ., µαθητές µιας τάξης ή κάτοικοι που µένουν στην ίδια γειτονιά κ.λπ. ίκτυο υο Κατηγοριών (Two-Mode Network). Υπάρχουν όµως δοµικές µεταβλητές, οι οποίες µετρούνται ως προς δυο (ή περισσότερα) σύνολα σχεσιακών οντοτήτων. Για παράδειγµα, θα µπορούσαµε να µελετήσουµε δράστες, οι οποίοι ανήκουν σε δυο διακριτά 11

12 σύνολα, όπως, π.χ., το ένα σύνολο δραστών να αποτελείται από επιχειρήσεις και το δεύτερο σύνολο από µη κερδοσκοπικούς οργανισµούς. Τότε, θα µας ενδιέφερε να µελετήσουµε τις οικονοµικές ροές από τις επιχειρήσεις στους µη κερδοσκοπικούς οργανισµούς, οι οποίες θα αποτελούσαν τη σχέση στο κοινωνικό δίκτυο των δυο αυτών κατηγοριών δραστών. Πιο συγκεκριµένα, οι Galaskiewicz (1985), Galaskiewicz & Wasserman (1989) έχουν αναλύσει τις χρηµατικές δωρεές, που είχαν κάνει εταιρίες σε µη κερδοσκοπικούς οργανισµούς στην περιοχή Minneapolis/St. Paul των ΗΠΑ, και οι Doreian & Woodard (1990) και Woodard & Doreian (1990) έχουν µελετήσει τις επαφές πολιτών µε δηµόσιες υπηρεσίες. Τέτοια λοιπόν δικτυακά δεδοµένα, που περιλαµβάνουν δυο σύνολα (ή δυο κατηγορίες) δραστών, δηµιουργούν τα δίκτυα δυο κατηγοριών, µε την έννοια ότι σ αυτά οι εµπλεκόµενες σχεσιακές οντότητες, δηλαδή, οι δράστες προέρχονται από δυο διακριτά σύνολα. Άρα, τα δεδοµένα των δικτύων δυο κατηγοριών περιέχουν τις µετρήσεις των δεσµών, που έχουν οι δράστες του ενός συνόλου (της µιας κατηγορίας) µε τους δράστες του άλλου συνόλου (κατηγορίας). Εννοείται, φυσικά, ότι στους δεσµούς ενός τέτοιου δικτύου µπορεί να µην συµµετέχουν όλοι οι δράστες. Σ ένα δίκτυο δυο κατηγοριών, µεταξύ των δραστών που συγκροτούν τους δικτυακούς δεσµούς, οι δράστες στο ένα σύνολο (στη µια κατηγορία) συνηθίζεται να λέγονται ποµποί ( senders ) κι οι δράστες στο άλλο σύνολο (κατηγορία) δέκτες ( receivers ). Οι δυο ονοµασίες αυτές προέρχονται από τη µεταφορική απεικόνιση του δεσµού σαν ροή (πληροφορίας ή άλλων πόρων) µεταξύ δυο πόλων. Βέβαια, οι ονοµασίες ποµπός/δέκτης συνηθίζεται να χρησιµοποιούνται ακόµη κι αν η σχέση του δικτύου δεν είναι κατευθυνόµενη. ίκτυα Υπαγωγής (Affiliation Network). Στη θεωρία των κοινωνικών δικτύων, ένας ειδικός τύπος δικτύου δυο κατηγοριών είναι το δίκτυο υπαγωγής (affiliation network), στο οποίο υπάρχουν µεν δυο σύνολα (κατηγορίες) δοµικών οντοτήτων, αλλά η µια µόνο από αυτές είναι σύνολο δραστών, ενώ η δεύτερη δοµική οντότητα αποτελείται από ένα διακριτό σύνολο ταξινοµήσεων σε υπο-κατηγορίες, στις οποίες το σύνολο των δραστών υπάγεται (ανήκει). Συνήθως, η δεύτερη δοµική οντότητα φέρνει την ονοµασία γεγονότα ή οµάδες. Με άλλα λόγια, τα δικτυακά δεδοµένα ενός δικτύου υπαγωγής είναι αφενός δράστες κι αφετέρου γεγονότα/οµάδες, µε την έννοια ότι κάποιοι από τους δράστες συµµετέχουν σε κάποια από τα 12

13 γεγονότα/οµάδες κι αυτό ορίζει τη σχέση του δικτύου. Να παρατηρήσουµε ότι τώρα η δεύτερη δοµική οντότητα, τα γεγονότα/οµάδες, δεν ορίζονται σε ζεύγη (δυάδες) δραστών, αλλά σε υποσύνολα (ατοµικών) δραστών. Έτσι, ένα σύνολο δραστών που υπάγεται σε κάποιο γεγονός/οµάδα είναι οι δράστες που συµµετέχουν στο γεγονός αυτό ή ανήκουν ή είναι µέλη της οµάδας αυτής. ηλαδή, κάθε γεγονός/οµάδα ορίζεται για ένα ορισµένο υποσύνολο δραστών, οι οποίοι υπάγονται σε αυτό. Για παράδειγµα, θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε ένα σύνολο κατοίκων µιας πόλης (οι δράστες) και κάποιες λέσχες της πόλης (οι οµάδες), στις οποίες οι κάτοικοι ανήκουν ή συµµετέχουν. Ή θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε ένα πλήθος πολιτικών οργανώσεων µιας χώρας (οι δράστες) και κάποια γεγονότα πολιτικών διαµαρτυριών (τα γεγονότα), τα οποία έχουν συµβεί σε διακριτές χρονικές περιόδους (π.χ., µεγάλες διαδηλώσεις) και στα οποία οι οργανώσεις έχουν συµµετάσχει. Φυσικά, εννοείται ότι σε κάθε λέσχη/διαδήλωση µπορούν να ανήκουν/συµµετέχουν διαφορετικοί κάτοικοι/οργανώσεις. Οπωσδήποτε όµως, σ ένα δίκτυο υπαγωγής, ξέρουµε ποιο υποσύνολο δραστών υπάγεται σε κάθε γεγονός/οµάδα. Η πληροφορία αυτή, όταν πρόκειται για οµάδες, όπως λέσχες, σύλλογοι, διοικητικά συµβούλια, επιτροπές κ.λπ., µπορεί εύκολα ή δύσκολα να βρεθεί από τους επίσηµους καταλόγους των µελών των οµάδων αυτών (ανάλογα µε το πόσο εύκολα προσβάσιµα είναι τέτοια αρχεία). Όταν πρόκειται για γεγονότα, όπως πολιτικές εκδηλώσεις, κοινωνικές δραστηριότητες ή συνευρέσεις, άτυπες συναντήσεις, πάρτι, δεξιώσεις, συναυλίες κ.λπ., τότε χρειάζεται να γίνουν οι αντίστοιχες παρατηρήσεις ή καταγραφές ή αναφορές των δραστών, που συµµετείχαν ή βρέθηκαν σε αλληλεπίδραση στα γεγονότα αυτά (Bernard, Killworth & Sailer, 1980, 1982, Freeman & Romney, 1987). Μια από τις πρώτες αναλύσεις τέτοιων γεγονότων, που τώρα θεωρείται κλασική, είναι η µελέτη των Davis, Gardner & Gardner (1941) των συνεκτικών οµάδων, που προέκυψαν από τις κοινωνικές δραστηριότητες µεταξύ κάποιων γυναικών σε µια πόλη µιας νότιας πολιτείας των ΗΠΑ. Χρησιµοποιώντας, δεδοµένα από εφηµερίδες και συνεντεύξεις, οι µελετητές αυτοί κατέγραψαν τη συµµετοχή (υπαγωγή) δεκαοκτώ επώνυµων γυναικών σε δεκατέσσερα κοινωνικά γεγονότα κι, έτσι, οδηγήθηκαν στην κατανόηση των συγκεκριµένων οµαδοποιήσεων που σχηµάτιζαν οι µελετούµενοι δράστες στα πλαίσια των κοινωνικών δραστηριοτήτων τους. 13

14 2. Αναπαράσταση Κοινωνικών ικτύων Συµβολισµός και Αναπαράσταση Γράφων Μπορούµε να δούµε ένα δίκτυο µε αρκετούς τρόπους. Ένας από τους περισσότερο χρήσιµους είναι µέσω της θεωρίας των γράφων. Στη µαθηµατική θεωρία των γράφων, ένας γράφος αποτελείται από κόµβους (ή κορυφές), κάποιοι από τους οποίους (ενδεχοµένως όλοι) συνδέονται µεταξύ τους. Οι συνδέσεις (links) µεταξύ των κόµβων (όταν υπάρχουν) µπορεί να είναι είτε τόξα ή γραµµές (που λέγονται επίσης πλευρές), αναλόγως του αν υπάρχει ή δεν υπάρχει κάποια κατεύθυνση στις συνδέσεις µεταξύ των κόµβων του γράφου. Στη συνέχεια, θα ασχοληθούµε µε περισσότερες λεπτοµέρειες µε τον απλό αυτό συµβολισµό της θεωρίας των γράφων και θα δείξουµε πώς αυτός µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την περιγραφή ενός κοινωνικού δικτύου, δηλαδή, για την περιγραφή των δραστών και των σχέσεων τους, όπως είναι καταγραµµένες από ένα σύνολο δικτυακών δεδοµένων. Υποθέτουµε ότι έχουµε ένα σύνολο δραστών, το οποίο συµβολίζουµε µε N, και θεωρούµε ότι το σύνολο αυτό περιέχει g τον αριθµό δράστες, οπότε γράφουµε N = {n 1, n 2,, n g }, όπου µε n i συµβολίζεται ο i-οστός δράστης, για i = 1,, g. Θεωρούµε ότι κάθε δράστης βρίσκεται σε έναν κόµβο (ή κορυφή) ενός γράφου. Με άλλα λόγια, ταυτίζουµε το σύνολο των δραστών µε το σύνολο των κόµβων και χρησιµοποιούµε το ίδιο σύµβολο N και για τα δυο σύνολα αυτά. Η επιλογή του σύµβολου N οφείλεται στο γεγονός ότι η αγγλική λέξη nodes για τους κόµβους αρχίζει µε n. Ας δώσουµε ένα παράδειγµα, µε το οποίο θα επεξηγούµε τις έννοιες που θα εισάγουµε στη συνέχεια. Έστω το σύνολο των g = 6 µαθητών: Αλίκη, Αντρέας, Ηλίας, Κώστας, Μαρία και Ελένη. Έχουµε λοιπόν N = {Αλίκη, Αντρέας, Ηλίας, Κώστας, Μαρία, Ελένη}, ένα σύνολο 6 δραστών και αναφερόµαστε στους µαθητές µε τα σύµβολά τους: n 1 = Αλίκη, n 2 = Αντρέας, n 3 = Ηλίας, n 4 = Κώστας, n 5 = Μαρία, n 6 = Ελένη. 14

15 Μια Σχέση Θεωρούµε τώρα ότι εξετάζουµε µια σχέση για το σύνολο δραστών N, µε την οποίαν καταγράφεται αν ένας δράστης του συνόλου N σχετίζεται ή όχι µε κάθε άλλο δράστη (µέσω της ίδιας σχέσης πάντα). Αρχικά, υποθέτουµε ότι η σχέση αυτή είναι διχοτοµική. Λέµε ότι µια σχέση είναι διχοτοµική, όταν, για κάθε ζευγάρι δραστών n i, n j, ο n i είτε σχετίζεται µε τον n j ή όχι (µέσω της σχέσης αυτής). Επιπλέον, υποθέτουµε πρώτα ότι η σχέση που εξετάζουµε είναι κατευθυνόµενη. Κατευθυνόµενη σχέση σηµαίνει ότι, όταν ένας δράστης n i σχετίζεται µε έναν άλλο δράστη n j, δεν είναι απαραίτητο να ισχύει και το αντίθετο, δηλαδή, κι ο δράστης n j να σχετίζεται µε τον n i (µέσω της ίδιας σχέσης). Προς το παρόν, δεν µας ενδιαφέρει η ισχύς ή η ένταση αυτής της σχέσης, που µελετούµε δηλαδή, δεν έχει καµιά σηµασία για την παρούσα ανάλυση, π.χ., πόσο συχνά σχετίζεται ή αλληλεπιδρά ο n i µε τον n j. Γενικώς, όταν δυο δράστες σχετίζονται, λέµε ότι υπάρχει ένας δεσµός (tie) µεταξύ τους (ως προς τη µελετούµενη σχέση). οθείσης λοιπόν µιας διχοτοµικής και κατευθυνόµενης σχέσης στο σύνολο των δραστών N, έστω ένα διατεταγµένο ζευγάρι δραστών n i και n j. Τότε, επειδή η σχέση είναι διχοτοµική, είτε ο πρώτος δράστης του ζευγαριού σχετίζεται µε το δεύτερο ή όχι. Επειδή, επιπλέον, θεωρούµε ότι η συγκεκριµένη σχέση είναι και κατευθυνόµενη, το ζευγάρι δραστών n i και n j πρέπει να θεωρηθεί διαφορετικό από το ζευγάρι n j και n i (δηλαδή, έχει σηµασία η διάταξη των δραστών στα ζευγάρια τους σε µια κατευθυνόµενη σχέση). Όλα τα διατεταγµένα ζευγάρια δραστών, για τα οποία υπάρχει δεσµός µεταξύ των δυο δραστών (ως προς την εν λόγω κατευθυνόµενη σχέση), θεωρούµε ότι ανήκουν σε µια ειδική συλλογή ζευγαριών, την οποία θα συµβολίζουµε µε L. Άρα, αν ένα διατεταγµένο ζευγάρι δραστών ανήκει στο σύνολο ζευγαριών L, τότε ο πρώτος δράστης του ζευγαριού σχετίζεται µε το δεύτερο (µε τη σχέση που εξετάζουµε). Παρατηρούµε ότι ο συνολικός αριθµός των διατεταγµένων ζευγαριών στο σύνολο L µπορεί να είναι το πολύ ίσος µε g(g 1) και το λιγότερο ίσος µε 0. 15

16 Συµβολίζουµε το διατεταγµένο ζευγάρι δραστών n i και n j µε < n i, n j > και, αν υπάρχει δεσµός ως προς την κατευθυνόµενη σχέση που µελετούµε, τότε γράφουµε n i n j. Τα στοιχεία ή τα διατεταγµένα ζεύγη των σχετιζόµενων δραστών στο L θα συµβολίζονται µε το σύµβολο l. Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν L στοιχεία στο L, δηλαδή, υπάρχουν L κατευθυνόµενοι δεσµοί µεταξύ των δραστών του συνόλου N, τους οποίους συµβολίζουµε µε l 1, l 2,, l L, οπότε L = {l 1, l 2,, l L }. Τα στοιχεία του L µπορούν να παρασταθούν γραφικά σχεδιάζοντας µια κατευθυνόµενη γραµµή, που πηγαίνει από τον πρώτο δράστη του ζεύγους στο δεύτερο. ηλαδή, αν ο κατευθυνόµενος δεσµός l k (για κάποιο k = 1, 2,, L) αντιστοιχεί στη σχέση n i n j, τότε στην γραφική αναπαράσταση έχουµε µια κατευθυνόµενη γραµµή, που πηγαίνει από το δράστη n i στον n j. Επειδή δράστες και κόµβοι (ή κορυφές) ταυτίζονται, έχει νόηµα να µιλάµε στη γραφική αναπαράσταση της µελετούµενης σχέσης για κατευθυνόµενες γραµµές µεταξύ δραστών. Βέβαια, ένας καλύτερος και πιο εποπτικός όρος για την κατευθυνόµενη γραµµή είναι το τόξο, που συνήθως θα χρησιµοποιούµε. Επιπλέον, ταυτίζουµε το σύνολο L των δεσµών µεταξύ διατεταγµένων ζευγαριών σχετιζόµενων δραστών µε το σύνολο των κατευθυνόµενων γραµµών (τόξων), που είναι οι συνδέσεις µεταξύ των δραστών των ζευγαριών αυτών στη γραφική τους αναπαράσταση. Προφανώς, κάθε διατεταγµένο ζευγάρι δραστών ορίζει ένα τόξο µιας σύνδεσης και σε κάθε τόξο, που συνδέει δυο δράστες, αντιστοιχεί ένα διατεταγµένο ζευγάρι δραστών. Η χρήση των συµβόλων L και l προέρχεται από το πρώτο γράµµα της αγγλικής λέξης line για τη γραµµή. Επειδή ένας γράφος αποτελείται από ένα σύνολο κόµβων N και ένα σύνολο συνδέσεων L, ο γράφος παρίσταται από το ζεύγος (N, L). Θα χρησιµοποιούµε το σύµβολο G για να συµβολίσουµε το γράφο. Επειδή ως τώρα, οι συνδέσεις µεταξύ των κόµβων του γράφου (στην πραγµατικότητα, µεταξύ όσων κόµβων είναι συνδεδεµένοι) είναι κατευθυνόµενες γραµµές, δηλαδή, τόξα, ο γράφος G ονοµάζεται κατευθυνόµενος γράφος. Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι, µε το συµβολισµό της θεωρίας των γράφων, τα δυο σύνολα, από τη µια µεριά, το σύνολο των δραστών και, από την άλλη µεριά, το σύνολο των κατευθυνόµενων συνδέσεων (τόξων) ή, ισοδύναµα, των διατεταγµένων ζευγών δραστών, 16

17 επαρκούν για τη µαθηµατική περιγραφή των σηµαντικών χαρακτηριστικών ενός κοινωνικού δικτύου, στο οποίο µετράται µια (µόνο) διχοτοµική και κατευθυνόµενη σχέση. Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι για τον τύπο των σχέσεων, που εξετάζουµε εδώ, έχουµε παραβλέψει την περίπτωση ένας δράστης να συνδέεται µε τον ίδιον τον εαυτό του. Ουσιαστικά, για πολλές σχέσεις, δεν έχει νόηµα να πούµε ότι ένας δράστης σχετίζεται µε τον εαυτό του. Για παράδειγµα, όταν καταγράφουµε τη σχέση φιλίας µεταξύ κάποιας οµάδας δραστών, ζητάµε από κάθε δράστη να µας πει αν είναι ή όχι φίλος µε κάθε άλλο δράστη της οµάδας, φυσικά, εξαιρουµένου του ιδίου. Έτσι, όταν µελετάµε τέτοιες σχέσεις σαν της φιλίας, το σύνολο L δεν περιέχει τους ονοµαζόµενους αυτό-βρόχους (self-loops), δηλαδή, συνδέσεις από κάποιο δράστη στον εαυτό του. Υπάρχουν όµως σχέσεις, που είναι µη κατευθυνόµενες, δηλαδή, στις οποίες δεν µπορούµε να ξεχωρίσουµε τη σύνδεση, που πηγαίνει από το δράστη n i προς το δράστη n j, από τη σύνδεση, που πηγαίνει από το δράστη n j προς το δράστη n i. Για παράδειγµα, µπορούµε να εξετάσουµε ένα σύνολο δραστών και να καταγράψουµε αν ο ένας µένει κοντά µε έναν άλλο. Προφανώς, η σχέση αυτή, ενώ εξακολουθεί να είναι διχοτοµική, τώρα είναι µη κατευθυνόµενη (ή συµµετρική), δηλαδή, αν ο n i µένει κοντά στον n j, τότε, αναγκαστικά, και ο n j µένει κοντά στον n i. Για κάθε δυο δράστες, τα δυο διατεταγµένα ζεύγη ανταποκρίνονται µε τον ίδιο τρόπο στη µελετούµενη σχέση. Εποµένως, στην περίπτωση αυτή, απαιτείται µόνο µια µέτρηση, για κάθε ένα ζεύγος, παρά δυο, όπως για τις κατευθυνόµενες σχέσεις, για να καταγράψουµε µια τέτοια σχέση. Το σύνολο L των ζευγών των σχετιζόµενων δραστών (ή, ισοδύναµα, των ζευγών των συνδεδεµένων κόµβων) µπορεί να περιέχει τώρα το πολύ g(g 1)/2 ζεύγη. Η σειρά στα ζεύγη των δραστών δεν έχει σηµασία, αφού κι οι δυο δράστες σχετίζονται (ή όχι) ο ένας µε τον άλλο µε τον ίδιο τρόπο. Έτσι, στην περίπτωση αυτή, ταυτίζουµε το σύνολο L των ζευγών των σχετιζόµενων δραστών µε το σύνολο των γραµµών (ή πλευρών), που είναι οι συνδέσεις µεταξύ των δραστών των ζευγών αυτών. Προφανώς, κάθε ζεύγος δραστών ορίζει τη γραµµή µιας σύνδεσης και σε κάθε γραµµή, που συνδέει δυο δράστες, αντιστοιχεί ένα ζεύγος δραστών. Τώρα, ο γράφος G = (N, L) ονοµάζεται µη 17

18 κατευθυνόµενος γράφος. Τις περισσότερες φορές, µιλώντας απλώς για γράφο, θα εννοούµε µη κατευθυνόµενο γράφο. Ας επιστρέψουµε τώρα στο αρχικό παράδειγµα µας κι ας υποθέσουµε ότι η µελετούµενη (διχοτοµική και κατευθυνόµενη) σχέση είναι η σχέση της φιλίας. Για το σκοπό αυτό, ρωτάµε κάθε µαθητή αν θεωρεί (ή όχι) σαν φίλο του κάθε άλλο µαθητή και καταγράφουµε τις απαντήσεις τους. Στα δεδοµένα που προκύπτουν από την έρευνά µας αυτή, ας υποθέσουµε ότι οκτώ από τα τριάντα δυνατά διατεταγµένα ζεύγη µαθητών ικανοποιούν τη σχέση φιλίας (δηλαδή, εµφανίζονται 8 από τα 30 δυνατά τόξα) και στα υπόλοιπα 22 ζεύγη δεν καταγράφεται η σχέση φιλίας (δηλαδή, δεν εµφανίζονται 22 τόξα). Έστω, τότε, ότι τα L = 8 ζεύγη είναι τα εξής: < Αλίκη, Αντρέας >, < Αλίκη, Μαρία >, < Αντρέας, Ελένη >, < Αντρέας, Ηλίας >, < Ηλίας, Αντρέας >, <Κώστας, Μαρία >, < Μαρία, Ελένη > και < Ελένη, Αντρέας >. Έτσι, τα στοιχεία του συνόλου L είναι οι εξής οκτώ παρατηρούµενοι δεσµοί φιλίας µεταξύ των µαθητών: l 1 = < Αλίκη, Αντρέας >, l 2 = < Αλίκη, Μαρία >, και l 8 = < Ελένη, Αντρέας >. ηλαδή, τα δεδοµένα, που καταγράψαµε, µας λένε ότι η Αλίκη θεωρεί ότι είναι φίλη µε τον Αντρέα, η Αλίκη επίσης θεωρεί ότι είναι φίλη µε την Μαρία, ο Αντρέας θεωρεί ότι είναι φίλος µε την Ελένη κ.ο.κ. Επίσης, ενδιαφέρον παρουσιάζει να παρατηρήσουµε ότι η σχέση αυτή της φιλίας δεν είναι αµοιβαία. Αυτό σηµαίνει ότι, αν ο n i δηλώσει πως ο n j είναι φίλος του (δηλαδή, n i n j ), είναι πιθανό να µην υπάρχει ανταπόκριση στο αίσθηµα αυτό δηλαδή, ο n j να µην θεωρεί φίλο τον n i. Κάθε γράφος µπορεί να παρασταθεί σαν ένα διάγραµµα, στο οποίο οι κόµβοι παριστάνονται µε σηµεία στο επίπεδο και τα τόξα (ή γραµµές) παριστάνονται µε διανύσµατα µεταξύ των δυο συνδεδεµένων σηµείων. Έτσι, στο παράδειγµά µας, οι έξι µαθητές παριστάνονται σαν έξι σηµεία στο επίπεδο. Να σηµειώσουµε όµως ότι η θέση στο επίπεδο των σηµείων, που αναπαριστούν τους µαθητές, παίρνεται τυχαία. Για το παράδειγµά µας, µπορούµε λοιπόν να πάρουµε έξι σηµεία στο επίπεδο και να σχεδιάσουµε τα οκτώ τόξα, που παριστάνουν τα οκτώ διατεταγµένα ζεύγη των µαθητών που είναι φίλοι. Αυτός ο κατευθυνόµενος γράφος ή κοινωνιόγραµµα (όπως θα δούµε πιο κάτω ότι ονοµάζεται ένας τέτοιος γράφος) αποτυπώνεται στο Σχήµα

19 Σχήµα 1.2. Οι έξι δράστες µε τους οκτώ δεσµούς τους. Πολλές Σχέσεις Σε ένα σύνολο δεδοµένων, που περιγράφουν ένα κοινωνικό δίκτυο, µπορεί να έχουµε περισσότερες από µια σχέσεις. Ο συµβολισµός της θεωρίας γράφων µπορεί να γενικευτεί για τέτοια πολυ-σχεσιακά δίκτυα, συµπεριλαµβανοµένων και κατευθυνόµενων και µη κατευθυνόµενων σχέσεων. Για παράδειγµα, θα µπορούσαµε να µελετήσουµε δυο σχέσεις, που µπορεί να συνδέουν (ή όχι) τις επιχειρήσεις µιας περιοχής. Η πρώτη σχέση θα µπορούσε να είναι αν (ή όχι) δυο επιχειρήσεις συναλλάσσονται η µια µε την άλλη όταν, π.χ., η επιχείρηση n i πουλά τα προϊόντα της ή τις υπηρεσίες της στην n j. Η δεύτερη σχέση θα µπορούσε να είναι αν δυο επιχειρήσεις διαπλέκονται (ή όχι) διαµέσου των διοικητικών συµβουλίων τους όταν, π.χ., ένα µέλος του διοικητικού συµβουλίου της επιχείρησης n i είναι επίσης µέλος και του διοικητικού συµβουλίου της επιχείρησης n j. Είναι εύκολο να δώσουµε τη γενίκευση για πολλαπλές σχέσεις του συµβολισµού για την περίπτωση µιας µόνο διχοτοµικής σχέσης, που ήδη έχουµε παρουσιάσει πιο πάνω. 19

20 Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι ενδιαφερόµαστε για δυο τουλάχιστον σχέσεις, οι οποίες ορίζονται σε ζεύγη δραστών από το σύνολο N. Έστω R ο αριθµός αυτών των σχέσεων. Κάθε µια από αυτές τις σχέσεις µπορεί να παρασταθεί µε έναν κατευθυνόµενο ή µη κατευθυνόµενο γράφο. Συνεπώς, σε κάθε σχέση αντιστοιχεί ένα σύνολο γραµµών ή τόξων, το οποίο καθορίζει ποιες συνδέσεις (κατευθυνόµενες ή όχι) εµφανίζονται στο γράφο (κατευθυνόµενο ή µη κατευθυνόµενο) για την εν λόγω σχέση. Έτσι, σε κάθε σχέση αντιστοιχεί ένα σύνολο γραµµών ή τόξων L r, του οποίου τα στοιχεία είναι L r ζεύγη δραστών (διατεταγµένων ή όχι) ή, ισοδύναµα, L r δεσµοί µεταξύ ζευγών δραστών. Εδώ, ο δείκτης r παίρνει τιµές από 1 ως R, όπου R είναι ο συνολικός αριθµός των σχέσεων. Κάθε ένα από αυτά τα R σύνολα ορίζει έναν γράφο (κατευθυνόµενο ή µη κατευθυνόµενο) για τους δράστες (κόµβους) του N. Οι γράφοι αυτοί µπορούν να αναπαρασταθούν µε διάφορους τρόπους. Ενώ κάθε σχέση ορίζεται για το ίδιο σύνολο δραστών, αντιστοιχεί σε διαφορετικό σύνολο συνδέσεων (γραµµών ή τόξων). Έτσι, στην r-οστή σχέση µπορούµε να αντιστοιχήσουµε το γράφο (N, L r ), για r = 1, 2,..., R. Για παράδειγµα, ας επιστρέψουµε στο προηγούµενο σύνολο των µαθητών και θεωρήσουµε τις εξής τρεις (R = 3) σχέσεις: (1) Ποιος µαθητής θεωρεί ποιον άλλον για φίλο του στην αρχή του σχολικού έτους; (2) Ποιος µαθητής θεωρεί ποιον άλλον για φίλο του στο τέλος του σχολικού έτους; (3) Ποιος µαθητής µένει κοντά σε ποιον άλλον; Οι δυο πρώτες σχέσεις είναι κατευθυνόµενες, ενώ η τελευταία είναι µη κατευθυνόµενη. Ας υποθέσουµε ότι L 1 = 8, L 2 = 11 και L 3 = 12 είναι, αντίστοιχα, για τις τρεις σχέσεις, οι αριθµοί των σχετιζόµενων ζευγών δραστών (που αποτελούν διατεταγµένα ζεύγη µόνο για τις δυο πρώτες σχέσεις). Παρακάτω, παραθέτουµε στον Πίνακα 1.1 αυτά τα τρία σύνολα. 20

21 Σχέση 1 Φιλία στην Αρχή Σχέση 2 Φιλία στο Τέλος Σχέση 3 Γείτονες <Αλίκη, Αντρέας> <Αλίκη, Αντρέας> <Αλίκη, Μαρία> <Αλίκη, Μαρία> <Αλίκη, Μαρία> <Αλίκη, Ελένη> <Αντρέας, Ελένη > <Αντρέας, Ελένη > <Αντρέας, Ηλίας> <Αντρέας, Ηλίας> <Αντρέας, Ηλίας> <Κώστας, Μαρία> <Ηλίας, Αντρέας> <Αντρέας, Μαρία> <Κώστας, Ελένη> <Κώστας, Μαρία> <Ηλίας, Μαρία> <Μαρία, Ελένη> <Μαρία, Ελένη> <Κώστας, Αντρέας> <Ελένη, Αντρέας> <Κώστας, Μαρία> <Μαρία, Κώστας> <Μαρία, Ελένη > <Ελένη, Αντρέας> Πίνακας 1.1. Τα ζευγάρια των µαθητών που συνδέονται ως προς τις τρεις σχέσεις. Για µια µη κατευθυνόµενη σχέση, όπως της γειτνίασης, οι µετρήσεις γίνονται σε µη διατεταγµένα παρά σε διατεταγµένα ζεύγη. Σαφώς, στην περίπτωση αυτή, όταν ένας δράστης σχετίζεται µε έναν άλλον και ο δεύτερος σχετίζεται µε τον πρώτο. Εποµένως, αφού η Αλίκη µένει κοντά στη Μαρία, και η Μαρία µένει κοντά στην Αλίκη. Όταν καταγράφουµε τα ζεύγη των σχετιζόµενων δραστών σε µια µη κατευθυνόµενη σχέση (δηλαδή, όταν καταγράφουµε τις γραµµές των συνδέσεων), είναι προφανές ότι κάθε ζεύγος µπορεί να καταγραφεί το πολύ µια φορά. Θα χρησιµοποιούµε το συµβολισµό (, ) για ζεύγη δραστών, στους οποίους εµφανίζεται δεσµός ως προς µια µη κατευθυνόµενη σχέση, και το συµβολισµό <, > για δεσµούς ως προς µια κατευθυνόµενη σχέση. Η παρουσίαση τέτοιων καταλόγων σχετιζόµενων ζευγών µπορεί να µην είναι ένας εποπτικός τρόπος για την αναπαράσταση των πολλαπλών σχέσεων. Ένας εναλλακτικός τρόπος είναι να παρουσιαστούν τα τρία σύνολα L 1, L 2 και L 3 γραφικά. Τότε έχουµε δυο δυνατότητες: Είτε να βάλουµε τόξα για κατευθυνόµενους γράφους ή γραµµές για µη 21

22 κατευθυνόµενους γράφους σε τρία σχήµατα (ένα για κάθε σχέση). Ή να δώσουµε ένα ενιαίο σχήµα, στο οποίο ταυτόχρονα περιέχονται τα σηµεία, που αντιπροσωπεύουν τους έξι δράστες, και όλα τα τόξα ή οι γραµµές, που αντιστοιχούν σε όλες τις σχέσεις. Βέβαια στη δεύτερη περίπτωση, πρέπει να χρησιµοποιήσουµε διαφορετικούς τύπους γραµµών για να αποδώσουµε τις συνδέσεις για διαφορετικές σχέσεις. Έτσι, στο Σχήµα 1.3 έχουµε χρησιµοποιήσει τρεις διαφορετικούς τύπους γραµµών για τις τρεις διαφορετικές σχέσεις: συνεχή γραµµή για τη σχέση 1 (φιλία στην αρχή), διακεκοµµένη µε παύλες για τη σχέση 2 (φιλία στο τέλος) και διακεκοµµένη µε τελείες για τη σχέση 3 (γειτνίασης). Επειδή η φιλία είναι µια κατευθυνόµενη σχέση, χρησιµοποιούµε βέλη για να δείξουµε την κατεύθυνση των τόξων. Επειδή η γειτνίαση είναι µια µη κατευθυνόµενη σχέση, δεν βάζουµε βέλη στις αντίστοιχες γραµµές (διακεκοµµένες µε τελείες). Σχήµα 1.3. Οι έξι δράστες και τα τρία σύνολα σχέσεων σε ένα γράφο. Για να συνοψίσουµε, έχουµε ξεκινήσει στην παράγραφο αυτή υποθέτοντας ότι µας δίνεται ένα συγκεκριµένο σύνολο δραστών N, το οποίο περιλαµβάνει g δράστες. Επίσης, υποθέτουµε ότι έχουµε R σχέσεις, και, για κάθε σχέση, υπάρχει ένα σύνολο συνδέσεων (τόξων ή γραµµών), L 1, L 2,, L R. Αν είναι τόξα, το σύνολο των συνδέσεων µπορεί να 22

23 έχει το πολύ g(g 1) τόξα. Αν είναι γραµµές, το σύνολο των συνδέσεων µπορεί να έχει το πολύ g(g 1)/2 γραµµές. Αυτά τα τόξα ή γραµµές συνδέουν, αντίστοιχα, διατεταγµένα ή µη διατεταγµένα ζεύγη σχετιζοµένων δραστών ως προς κάθε σχέση. Κατά συνέπεια, για να περιγραφεί πλήρως το σύνολο αυτών των δικτυακών δεδοµένων, χρειάζεται να καθορισθούν το σύνολο N και τα R σύνολα συνδέσεων (τόξων ή γραµµών) L 1, L 2,, L R. Κοινωνιοµετρικός Συµβολισµός Κοινωνιοµετρία είναι η µελέτη των θετικών και των αρνητικών συναισθηµατικών σχέσεων, όπως προτίµηση / αντιπάθεια ή φιλία / εχθρότητα κ.λπ., οι οποίες αναπτύσσονται µεταξύ ενός συνόλου ανθρώπων. Ονοµάζουµε κοινωνιοµετρικά δεδοµένα ένα σύνολο δεδοµένων, που περιγράφουν το κοινωνικό δίκτυο µιας οµάδας ανθρώπων, στο οποίο µετρούνται οι συναισθηµατικές σχέσεις µεταξύ των µελών της οµάδας. Τα σχεσιακά δεδοµένα συχνά παρουσιάζονται σε δισδιάστατους πίνακες, που ονοµάζονται κοινωνιοπίνακες (sociomatrices). Οι δυο διαστάσεις ενός κοινωνιοπίνακα αποτελούνται από τους δράστες-ποµπούς (σειρές) και τους δράστες-δέκτες (στήλες). Προφανώς, όταν έχουµε ένα δίκτυο µιας κατηγορίας, ο κοινωνιοπίνακας θα είναι τετραγωνικός. Όταν η σχέση ενός κοινωνικού δικτύου είναι διχοτοµική, ο κοινωνιοπίνακας ταυτίζεται µε αυτόν που στη θεωρία γράφων ονοµάζεται πίνακας γειτνίασης. Στην περίπτωση αυτή, η αντίστοιχη γραφική παράσταση του γράφου ονοµάζεται κοινωνιόγραµµα. Έτσι, ο κοινωνιοµετρικός συµβολισµός µπορεί να θεωρηθεί συµπληρωµατικός του συµβολισµού της θεωρίας γράφων, που περιγράψαµε προηγούµενα Στη συνέχεια, θα παρουσιάσουµε την ιστορία της κοινωνιοµετρίας, στα πλαίσια της οποίας αναπτύχθηκαν οι κοινωνιοπίνακες και τα κοινωνιογράµµατα. Αµέσως µετά, θα περιγράψουµε πώς τα δεδοµένα των κοινωνικών δικτύων µπορούν να αναπαρασταθούν από ένα σύνολο κοινωνιοπινάκων. 23

24 Η κοινωνιοµετρία έχει αναπτυχθεί και επεκταθεί κατά τη διάρκεια του προηγούµενου µισού αιώνα τόσο πολύ, έτσι ώστε οι αντίστοιχες µελέτες να ονοµάζονται τώρα απλά κοινωνιολογικές ή, µερικές φορές, κοινωνικές ψυχολογικές. Οι πρώτοι επιστήµονες, που ασχολήθηκαν µε την κοινωνιοµετρία, δηµοσίευσαν ένα µεγάλο µέρος των ερευνών τους στο περιοδικό Sociometry, το οποίο µετονοµάστηκε, αρχικά, Social Psychology και, έπειτα, Social Psychology Quarterly στα τέλη της δεκαετίας του Ο Moreno διετέλεσε ιδρυτικό µέλος της συντακτικής επιτροπής του Sociometry (το 1937). Ο Moreno και άλλοι ερευνητές ανέπτυξαν ένα πολύ χρήσιµο συµβολισµό για τα κοινωνικά δίκτυα, ο οποίος ονοµάζεται κοινωνιοµετρικός συµβολισµός. Αυτόν τον κλασικό συµβολισµό θα περιγράψουµε παρακάτω. Τα κοινωνογράµµατα και οι κοινωνιοπίνακες χρησιµοποιήθηκαν για πρώτη φορά από τον Moreno (1934), που έδειξε πώς αυτά θα µπορούσαν να αναπαραστήσουν τις σχεσιακές αλληλεπιδράσεις, που απεικονίζονται σε ένα κοινωνικό δίκτυο. Η εστίαση της έρευνας του Moreno και ενός µεγάλου µέρους της κοινωνιοµετρικής βιβλιογραφίας των δεκαετιών του 1930 και του 1940 επικεντρωνόταν στο πόσο χρήσιµο είναι να απεικονιστούν οι διαπροσωπικές αλληλεπιδράσεις χρησιµοποιώντας κοινωνιογράµµατα, ακόµη και για σύνολα µε πολύ µεγάλο πλήθος δραστών. Στην πραγµατικότητα, ο Moreno (ιδίως στο έργο του Emotions Mapped του 1933) είχε τη φιλοδοξία να σχεδιάσει έναν κοινωνιοµετρικό χάρτη της πόλης της Νέας Υόρκης, αλλά το καλύτερο που κατάφερε να κάνει ήταν ένα κοινωνιόγραµµα µιας κοινότητας µεγέθους 435 ατόµων (που περιέχεται σαν ένθετο πτυσσόµενο διάγραµµα στο βιβλίο του 1934). Ο Moreno (1934) και ο Northway (1940) ήταν οι πρώτοι που θεµελίωσαν τους κανόνες για τη σχεδίαση των κοινωνιγραµµάτων. Αυτοί οι πρωτοπόροι κοινωνιοµέτρες προσπαθούσαν να βρουν τεχνικές για να µελετήσουν την αποδοχή κάθε δράστη από το σύνολο όλων των δραστών και για να προσδιορίσουν ποιες επιλογές των δραστών ήταν οι πιο σηµαντικές για τη δοµή της οµάδας. Οι Lindzey & Byrne (1968), στηριζόµενοι στις αρχικές οδηγίες του Moreno, έχουν παρουσιάσει µια πολύ καλή συζήτηση πάνω στο θέµα της µέτρησης των σχέσεων. Στη δεκαετία του 1980, εξ αιτίας των καινοτοµιών που επετεύχθησαν στην πληροφορική, παρατηρήθηκε µια αναθέρµανση του ενδιαφέροντος 24

25 για τις γραφικές αναπαραστάσεις των δεδοµένων των κοινωνικών δικτύων (Klovdahl, 1986). Στην πραγµατικότητα, ο Moreno προτιµούσε τη χρήση των κοινωνιογραµµάτων περισσότερο από τους κοινωνιοπίνακες και είχε δηµοσιεύσει αρκετά επιχειρήµατα εναντίον των υπερασπιστών των κοινωνιοπινάκων, όπως ο Katz. Ο Moreno συχνά χρησιµοποιούσε τη θέση του σαν συντάκτης του περιοδικού Sociometry για να παρεµβάλει τις προσωπικές του ιδέες σαν άρθρα του περιοδικού του. Παρότι διαρκώς αυξάνονταν το ενδιαφέρον για τα διαγράµµατα σαν τα κοινωνιογράµµατα, οι µελετητές δεν ήταν ευχαριστηµένοι µε το γεγονός ότι διαφορετικοί ερευνητές χρησιµοποιώντας τα ίδια δεδοµένα µπορούσαν να παραγάγουν τόσα πολλά διαφορετικά (σε εµφάνιση) κοινωνιογράµµατα, τόσα όσοι και οι ίδιοι οι ερευνητές. Όπως έχουµε αναφέρει, η τοποθέτηση των δραστών και των γραµµών (ή τόξων) στο δισδιάστατο χώρο είναι απολύτως αυθαίρετη. Συνεπώς, η χρήση των κοινωνιοπινάκων για το συµβολισµό των δεδοµένων των κοινωνικών δικτύων διαρκώς αυξάνονταν στη δεκαετία του Στη βιβλιογραφία τη; δεκαετίας του 1940 υπάρχουν ποικίλες µέθοδοι για την ανάλυση και την επεξεργασία των κοινωνιοπινάκων (Dodd, 1940, Katz, 1947, Festinger, 1949, Luce & Perry, 1949, Harary, Norman & Cartwright, 1965). Για παράδειγµα, o Dodd (1940) περιέγραφε απλές αλγεβρικές πράξεις για τετραγωνικούς κοινωνιοπίνακες τάξης ίσης µε το πλήθος των δραστών. Έδειξε επίσης πώς οι σειρές και οι στήλες τέτοιων πινάκων θα µπορούσαν να αθροιστούν για να ρίξουν φως στις σχέσεις µεταξύ υποσυνόλων δραστών, παρά στους ίδιους τους ατοµικούς δράστες. Οι Forsyth & Katz (1946) υποστήριζαν τη χρήση των κοινωνιοπινάκων έναντι των κοινωνιογραµµάτων για την τυποποίηση της ποσοτικοποίησης των κοινωνικών αλληλεπιδράσεων και µια πιο αντικειµενική αναπαράσταση των δικτυακών δεδοµένων. Η έρευνα αυτή εµφανίζεται να είναι η πρώτη που εστιάζεται στις παραγόµενες υπο-οµαδοποιήσεις των δραστών. Ο Katz (1947) πρότεινε µια κανονική ανάλυση του κοινωνιοπίνακα, για να επιτύχει τη σύγκριση του παρατηρούµενου κοινωνιοπίνακα µε έναν ιδεατό κοινωνιοπίνακα, µια ιδέα που για πρώτη φορά προτάθηκε από τον Northway (1940, 1951, 1952). Έδειξε επίσης πώς οι κοινωνιοπίνακες θα 25

26 µπορούσαν να επαναδιαταχθούν µέσω των πινάκων µετάθεσης για να προσδιορισθούν κάποιες υποοµάδες δραστών και πώς οι επιλογές ενός συγκεκριµένου δράστη θα µπορούσαν να ιδωθούν σαν ένα πολυδιάστατο διάνυσµα. Ο Festinger (1949) εφάρµοζε τον πολλαπλασιασµό των πινάκων στους κοινωνιοπίνακες και περιέγραφε πώς τα γινόµενα ενός κοινωνιοπίνακα µε τον εαυτό του (ιδιαίτερα οι τετραγωνικές και κυβικές δυνάµεις) µπορούν να χρησιµοποιηθούν για τον προσδιορισµό κλικών ή υποοµάδων όµοιων δραστών (δείτε Chabot, 1950). Επειδή τέτοιες δυνάµεις έχουν µια απλή ερµηνεία στο πλαίσιο της θεωρίας των γράφων, αυτή η έρευνα διευκόλυνε το πέρασµα στην εποχή των θεωρητικών προσεγγίσεων, µε βάση τη θεωρία των γράφων, για την ανάλυση των κοινωνικών δικτύων. Οι Luce & Perry (1949) και Luce (1950) πρότειναν µια από τις πρώτες τεχνικές για τον προσδιορισµό κλικών ή υποοµάδων δραστών, χρησιµοποιώντας µάλλον εξεζητηµένους (για την περίοδο εκείνη) κοινωνιοµετρικούς υπολογισµούς, κάτω από ένα επιµεληµένο σύνολο θεωρηµάτων, τα οποία περιέγραφαν τις ιδιότητες και τη µοναδικότητα της προσέγγισής τους (που είναι η ονοµαζόµενη ανάλυση των n-κλικών ). Οι Bavelas (1948, 1950) και Leavitt (1951) εισήγαγαν την έννοια της κεντρικότητας στην ανάλυση των κοινωνικών δικτύων. Από το τέλος της δεκαετίας του 1950, οι ερευνητές είχαν αρχίσει να σκέφτονται για τους ηλεκτρονικούς υπολογισµούς των κοινωνιοµετρικών δεδοµένων (Beum & Criswell, 1947, Katz, 1950, Beum & Brundage, 1950), στις περιπτώσεις που αυτά αποτελούνται από ένα µεγάλο πλήθος κοινωνιοπινάκων. Η έρευνα των Katz (1953), MacRae (1960), Wright & Evitts (1961), Coleman (1964), Hubbell (1965) καθώς και οι µέθοδοι που διαπραγµατευόταν ο Mitchell (1969) στηριζόταν εκτενώς στους υπολογιστές για τον προσδιορισµό διαφόρων µέτρων µε βάση τη θεωρία των γράφων. Η δεκαετία του 1950 και τα πρώτα χρόνια της δεκαετίας του 1960 έγιναν η εποχή της θεωρίας των γράφων στην κοινωνιοµετρία. Η διαχωριστική γραµµή µεταξύ των κοινωνιοµετρικών προσεγγίσεων και των προσεγγίσεων µε βάση τη θεωρία των γράφων, για την ανάλυση των κοινωνικών δικτύων, άρχισε να γίνεται πιο θολή µετά την πρώτη περίοδο του κλάδου, καθώς οι υπολογιστές άρχιζαν να διαδραµατίζουν ένα µεγαλύτερο ρόλο στην ανάλυση των δεδοµένων. Τα κοινωνονιογράµµατα εξασθένιζαν σε σηµασία καθώς οι κοινωνιοπίνακες γινόντουσαν πιο δηµοφιλείς και καθώς επικρατούσαν περισσότεροι µαθηµατικοί και 26

27 στατιστικοί δείκτες, που χρησιµοποιούσαν τους κοινωνιοπίνακες, σε αντίθεση µε τις αρχικές ανησυχίες του Moreno (1946). Η ιστορία βέβαια έγειρε την πλάστιγγα προς στην πλευρά του σχήµατος συµβολισµού των κοινωνιοπινάκων. Πράγµατι, οι περισσότερες ερευνητικές εργασίες και τα βιβλία της µεθοδολογίας των κοινωνικών δικτύων αρχίζουν µε τον ορισµό ενός κοινωνιοπίνακα. Για τις περισσότερες µεθόδους των κοινωνικών δικτύων, ο κοινωνιοµετρικός συµβολισµός είναι πιθανώς ο µόνος απαραίτητος. Είναι επίσης το προτιµούµενο σχήµα συµβολισµού από τα περισσότερα υπολογιστικά προγράµµατα ανάλυσης δικτύων. Εντούτοις, είναι σηµαντικό να παρατηρήσουµε ότι ο κοινωνιοµετρικός συµβολισµός δεν µπορεί εύκολα να ποσοτικοποιήσει ή να εκφράσει τα χαρακτηριστικά των δραστών και, για αυτό, είναι περιορισµένης εµβέλειας. Είναι χρήσιµος, κυρίως όταν δεν µετριούνται τα χαρακτηριστικά των δραστών. Όµως η σχέση, που υπάρχει µεταξύ του κοινωνιοµετρικού συµβολισµού και του γενικότερου συµβολισµού της θεωρίας των γράφων, είναι ένας παράγοντος, ο οποίος συµβάλλει στη δηµοτικότητα αυτής της προσέγγισης. Όπως και στην προηγούµενη παράγραφο, θα σπάσουµε την παρουσίαση του κοινωνιοµετρικού συµβολισµού και των κοινωνιοπινάκων σε δυο τµήµατα. Πρώτα, θα περιγράψουµε πώς µπορούµε να κατασκευάσουµε τους δισδιάστατους κοινωνιοµετρικούς πίνακες, όταν υπάρχει µόνο ένα σύνολο δραστών και µόνο µια σχέση και, µετά, όταν έχουµε ένα σύνολο δραστών αλλά περισσότερες της µιας σχέσεις µπορούν να µετρηθούν στο κοινωνικό δίκτυο που µελετάµε. Μια Σχέση Ας υποθέσουµε ότι έχουµε µια µοναδική σχέση, που µετριέται σε ένα σύνολο g δραστών, το N = {n 1, n 2,..., n g }. Θα συµβολίζουµε µε X αυτήν τη σχέση, που υποθέτουµε ότι είναι κατευθυνόµενη και, σε αυτήν, κάθε δεσµός δραστών παίρνει διακριτές τιµές (που θα ορισθούν στη συνέχεια). Η σχέση αυτή µετριέται στα διαταγµένα ζευγάρια των δραστών, που µπορούν να σχηµατισθούν µεταξύ όλων των µελών του συνόλου N. 27

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Εισαγωγή στις έννοιες Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα, Οργάνωση Δεδοµένων και Δοµές Δεδοµένων Χρήσιµοι µαθηµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΤΕΤΑΡΤΟ ΠΑΚΕΤΟ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗ ΚΑΙ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΓΕΝΙΚΑ Η συλλογή των στατιστικών δεδοµένων αποτελεί σηµαντικό στάδιο κάθε Στατιστικής έρευνας. Απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή, διότι,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας

Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας Αρχιµήδης ΙΙΙ Υποέργο 18 2013 Ενα µάγµα µπορεί να εξελιχθεί κάτω από την επίδραση τριών ειδών επιρροών. Την εξέλιξη αυτή συµβολίζουµε µε ένα απλό τόξο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 14/10/2008 1 / 24 Γενικό πλάνο 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ

Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΓΣΠ Τα τελευταία 25 χρόνια, τα προβλήµατα που σχετίζονται µε την διαχείριση της Γεωγραφικής Πληροφορίας αντιµετωπίζονται σε παγκόσµιο αλλά και εθνικό επίπεδο µε την βοήθεια των Γεωγραφικών

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί.

Κεφάλαιο 2: ιατάξεις και Συνδυασµοί. Κεφάλαιο : ιατάξεις και Συνδυασµοί. Περιεχόµενα Εισαγωγή Βασική αρχή απαρίθµησης ιατάξεις µε και χωρίς επανατοποθέτηση Συνδυασµοί Ασκήσεις Εισαγωγή Μέχρι το τέλος αυτού του κεφαλαίου ϑα ϑεωρούµε πειράµατα

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια.

Kεφάλαιο 10. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες

Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές για Κανονικές Γλώσσες Ταξινόµηση Γραµµατικών εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές εξιά Παραγωγικές Γραµµατικές και NFA Αριστερά Παραγωγικές Γραµµατικές Κανονικές Γραµµατικές Γραµµατικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Σ. ΖΗΜΕΡΑΣ Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικών- Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών Σάμος Εισαγωγή Αριθμητικά δεδομένα αντιστοιχούν σε πραγματοποιήσεις τυχαίων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.»

«Έννοια της διάταξης ΟΡΙΣΜΟΣ α > β α β > 0.» 1 Η σχέση της διάταξης στο IR ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Η εργασία αυτή αποτελείται από δύο µέρη. Στο πρώτο µέρος ορίζεται η έννοια των θετικών

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΗΣ ΧΡΗΣΗ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ. β. φιλιππακοπουλου 1

ΕΙ ΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΗΣ ΧΡΗΣΗ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ. β. φιλιππακοπουλου 1 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΧΑΡΤΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΧΡΗΣΗ β. φιλιππακοπουλου 1 Αναλυτικό Πρόγραµµα 1. Εισαγωγή: Μια επιστηµονική προσέγγιση στη χαρτογραφική απεικόνιση και το χαρτογραφικό σχέδιο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης.

Γενικές Παρατηρήσεις. Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα (1) Το Λήµµα της Αντλησης. Χρήση του Λήµµατος Αντλησης. Γενικές Παρατηρήσεις Μη Κανονικές Γλώσσες - Χωρίς Συµφραζόµενα () Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Υπάρχουν µη κανονικές γλώσσες, π.χ., B = { n n n }. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι

Βασικές έννοιες. Παραδείγµατα: Το σύνολο των φοιτητών που είναι εγγεγραµµένοι Τι είναι η Στατιστική? Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ορίζεται σήµερα ως η επιστήµη που σχετίζεται µε τις επιστηµονικές µεθόδους συλλογής, παρουσίασης, αξιολόγησης και γενίκευσης (: εξαγωγής συµπερασµάτων) της πληροφορίας.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 435: ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗ ΑΝΘΡΩΠΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Ακαδηµαϊκό Έτος 2004 2005, Χειµερινό Εξάµηνο 2 Η ΟΜΑ ΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΡΧΙΚΗΣ Ι ΕΑΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΝΑΓΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης

Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Αλγόριθµοι Οπισθοδρόµησης Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Η οπισθοδρόµηση στο σχεδιασµό αλγορίθµων Το πρόβληµα των σταθερών γάµων και ο αλγόριθµος των Gale-Shapley Το πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήµατα 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) 1. Εισαγωγή Χαρακτηριστικά της γλώσσας Τύποι δεδοµένων Γλώσσα προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

Η συστημική προσέγγιση στην ψυχοθεραπεία

Η συστημική προσέγγιση στην ψυχοθεραπεία Ελευθερία Μαντέλου Ψυχολόγος Ψυχοθεραπεύτρια Η συστημική προσέγγιση στην ψυχοθεραπεία Τα τελευταία χρόνια, οι ειδικοί της οικογενειακής θεραπείας παροτρύνουν τους θεραπευτές του κλάδου να χρησιμοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Η εταιρεία είναι οργανωµένη σε τµήµατα Κάθε ΤΜΗΜΑένα όνοµα, κωδικό και έναν εργαζόµενο που διευθύνει το τµήµα. Αποθηκεύεται η ηµεροµηνία που ανέλαβε

Η εταιρεία είναι οργανωµένη σε τµήµατα Κάθε ΤΜΗΜΑένα όνοµα, κωδικό και έναν εργαζόµενο που διευθύνει το τµήµα. Αποθηκεύεται η ηµεροµηνία που ανέλαβε ιάγραµµα Οντοτήτων - Συσχετίσεων Παύλος Εφραιµίδης Βάσεις εδοµένων ιάγραµµα Ο-Σ 1 Σχεδιασµός µιας Βάσης εδοµένων Τα βασικά βήµατα για το σχεδιασµό και την ανάπτυξη µιας Βάσης εδοµένων είναι: Ανάλυση Απαιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville

Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Σχεσιακό Μοντέλο Δεδομένων

Σχεσιακό Μοντέλο Δεδομένων Σχεσιακό Μοντέλο Δεδομένων Παύλος Εφραιμίδης Βάσεις Δεδομένων Σχεσιακό Μοντέλο Δεδομένων 1 Μοντέλα Δεδομένων Μοντέλα Δεδομένων Σχεσιακό Ιεραρχικό Δικτυακό Tο κυρίαρχο μοντέλο δεδομένων στις σύγχρονες βάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ

Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Επιπλέον Ασκήσεις ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΝΤΗΣΕΩΝ Έστω ότι έχουµε δοχεία αριθµηµένα από το ως και σφαίρες αριθµηµένες από ως. Οι σφαίρες τοποθετούνται τυχαία στα δοχεία ανά µία. Εάν µία σφαίρα και το δοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Ρετσινάς Σωτήριος ΠΕ 1703 Ηλεκτρολόγων ΑΣΕΤΕΜ

Ρετσινάς Σωτήριος ΠΕ 1703 Ηλεκτρολόγων ΑΣΕΤΕΜ Ρετσινάς Σωτήριος ΠΕ 1703 Ηλεκτρολόγων ΑΣΕΤΕΜ Τι είναι η ερευνητική εργασία Η ερευνητική εργασία στο σχολείο είναι μια δυναμική διαδικασία, ανοιχτή στην αναζήτηση για την κατανόηση του πραγματικού κόσμου.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Επεκτεταμένο Μοντέλο Οντοτήτων-Συσχετίσεων Αντζουλάτος Γεράσιμος antzoulatos@upatras.gr Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στην Διοίκηση και Οικονομία ΤΕΙ Πατρών - Παράρτημα Αμαλιάδας 08 Νοεμβρίου 2012 Περιεχομενα

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτικοί μέθοδοι έρευνας. Μυλωνά Ιφιγένεια

Ποιοτικοί μέθοδοι έρευνας. Μυλωνά Ιφιγένεια Ποιοτικοί μέθοδοι έρευνας Μυλωνά Ιφιγένεια Έρευνες για την απόκτηση πληροφοριών η γνωμών από τους χρήστες Χρησιμοποιήθηκαν από τις κοινωνικές επιστήμες για τη χρήση κοινωνικών φαινομένων Ο όρος «ποιοτική

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήρια Επιµόρφωσης του Προσωπικού του Σχολείου

Εργαστήρια Επιµόρφωσης του Προσωπικού του Σχολείου Εργαστήρια Επιµόρφωσης του Προσωπικού του Σχολείου 2 3 Εισαγωγή για τον εκπαιδευτή του προσωπικού Εάν διαβάζετε το παρόν έγγραφο, υποθέτουµε ότι θα θέλατε να επιµορφώσετε τα µέλη του προσωπικού ενός σχολείου

Διαβάστε περισσότερα

Β.δ Επιλογή των κατάλληλων εμπειρικών ερευνητικών μεθόδων

Β.δ Επιλογή των κατάλληλων εμπειρικών ερευνητικών μεθόδων Β.δ Επιλογή των κατάλληλων εμπειρικών ερευνητικών μεθόδων Νίκος Ναγόπουλος Για τη διεξαγωγή της κοινωνικής έρευνας χρησιμοποιούνται ποσοτικές ή/και ποιοτικές μέθοδοι που έχουν τις δικές τους τεχνικές και

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός διαγράµµατος ER σε σχεσιακό σχήµα Β

Μετασχηµατισµός διαγράµµατος ER σε σχεσιακό σχήµα Β Τ.Ε.Ι ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Σ Β (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3) Τελευταία ενηµέρωση: 10/2011 Μετασχηµατισµός διαγράµµατος ER σε σχεσιακό σχήµα Β ΣΤΟΧΟΣ Στόχοs του 3 ου εργαστηρίου είναι η υλοποίηση µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 Κριτήρια: Διδακτική διαδικασία Μαθητοκεντρικά Δασκαλοκεντρικά Αλληλεπίδρασης διδάσκοντα διδασκόµενου Είδος δεξιοτήτων που θέλουν να αναπτύξουν Επεξεργασίας Πληροφοριών Οργάνωση-ανάλυση πληροφοριών, λύση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων

3.9 Πίνακας συνδιακύμανσης των παραμέτρων Στην περίπτωσή µας έχοµε p= 1περιορισµό της µορφής : που γράφεται ως : ' = m + m z ' (3.47) 1 m Fm 1 = [1 z '] = [ '] = h m. (3.48) Η εξίσωση 3.46 στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιώντας τους πίνακες που είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα. Υπαρξη ϐαλρασιανής ισορροπίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς.

Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα. Υπαρξη ϐαλρασιανής ισορροπίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς. Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία- Υπαρξη και µοναδικότητα 19 Απριλίου 2013 1 / 44 ύο Ϲητήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Γουλή Ευαγγελία. 1. Εισαγωγή. 2. Παρουσίαση και Σχολιασµός των Εργασιών της Συνεδρίας

Γουλή Ευαγγελία. 1. Εισαγωγή. 2. Παρουσίαση και Σχολιασµός των Εργασιών της Συνεδρίας 1. Εισαγωγή Σχολιασµός των εργασιών της 16 ης παράλληλης συνεδρίας µε θέµα «Σχεδίαση Περιβαλλόντων για ιδασκαλία Προγραµµατισµού» που πραγµατοποιήθηκε στο πλαίσιο του 4 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου «ιδακτική

Διαβάστε περισσότερα

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ

3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ 3 ΙΣΟΡΡΟΠΙΕΣ Kεφάλαιο 11 Θα επαναλάβουµε αυτά που είχαµε πει την προηγούµενη φορά. Παραστατικά αν έχουµε το εξής παίγνιο όπου οι δύο παίχτες παίρνουν ταυτόχρονα τις αποφάσεις τους αφού αποφασίσει ο Ι, θα δούµε πόσα

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα

Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Αναγνώριση Προτύπων - Νευρωνικά ίκτυα ρ. Χαράλαµπος Π. Στρουθόπουλος Αναπληρωτής Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Εξαγωγή κανόνων από αριθµητικά δεδοµένα

Εξαγωγή κανόνων από αριθµητικά δεδοµένα Εξαγωγή κανόνων από αριθµητικά δεδοµένα Συχνά το σύστηµα που θέλουµε να µοντελοποιήσουµε η να ελέγξουµε αντιµετωπίζεται ως µαύρο κουτί και η πληροφορία για τη λειτουργία του διατίθεται υπό µορφή ζευγών

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή 1 ΙΝΥΣΜΤ Εισαγωγή Το διάνυσμα είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα έννοιας που αναπτύχθηκε μέσα από τη στενή αλληλεπίδραση Μαθηματικών και Φυσικής. κανόνας του παραλληλόγραμμου, σύμφωνα με τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα