Εφαρμογές Η/Υ στη Ναυπηγική Ι Καμπύλες B-Spline (Κόμβοι Ιδιότητες)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρμογές Η/Υ στη Ναυπηγική Ι Καμπύλες B-Spline (Κόμβοι Ιδιότητες)"

Χθόνιος Μαγγίνας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Εφαρμογές Η/Υ στη Ναυπηγική Ι Καμπύλες B-Spline (Κόμβοι Ιδιότητες) Διδάσκων: Δρ. Θεόδωρος Π. Γεροστάθης, Επικ. Καθηγητής

2 Καμπύλες B-Spline: κόμβοι Έστω n+1 ο αριθμός των σημείων ελέγχου, k η τάξη της καμπύλης, d=k-1 ο βαθμός και m+1 ο αριθμός των κόμβων. Ο συνολικός απαιτούμενος αριθμός κόμβων για τον ορισμό της B-Spline είναι m+1=n+k+1, ή m=n+k Ο αριθμός των πολυωνυμικών τμημάτων της καμπύλης: n+1-d t t, t,..., t a, b 0, 1 2 m t0 t 1 tm 1 t m

3 Καμπύλες B-Spline: πολλαπλότητα των κόμβων Για τους κόμβους ισχύει t i t i+1, που σημαίνει ότι μπορεί να έχουμε συνεχόμενους κόμβους με ίδιες τιμές. Όταν σε κάποια θέση έχουμε k συνεχόμενους κόμβους ίσους τότε μιλάμε για ένα κόμβο πολλαπλότητας k. Όταν για κάποιο t έχουμε πολλαπλότητα k τότε στο αντίστοιχο σημείο η καμπύλη έχει συνέχεια C d k όπου d o βαθμός. Όταν ένας κόμβος δεν επαναλαμβάνεται (k=1) τότε ονομάζεται απλός. Στο αντίστοιχο σημείο η καμπύλη έχει συνέχεια C d 1. Ένας κόμβος μπορεί να έχει το πολύ πολλαπλότητα ίση με το βαθμό d, δηλαδή t i t i+d. Όταν η πολλαπλότητα στα άκρα είναι ίση με τη τάξη τότε τα ακραία σημεία ελέγχου συμπίπτουν με τα άκρα της καμπύλης

4 Καμπύλες B-Spline βαθμού d=1 (k=2) Βαθμός d=1 Σημεία ελέγχου n+1=3 ή n=2 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1 = =2 Έχουμε m+1=n+k+1=2+2+1=5 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 5 Σημεία ελέγχου (control points) Κόμβοι της παραμέτρου

5 Καμπύλες B-Spline βαθμού d=2 (k=3) Βαθμός d=2 Σημεία ελέγχου n+1=3 ή n=2 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=2-2+1 = 1 Τότε: m+1=n+k+1=2+3+1=6 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 6

6 Καμπύλες B-Spline βαθμού d=2 (k=3) Βαθμός d=2 Σημεία ελέγχου n+1=3 ή n=2 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=2-2+1 = 1 Τότε: m+1=n+k+1=2+3+1=6 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 6 Τα σημεία ελέγχου στα άκρα ταυτίζονται με τα άκρα της καμπύλης! Προσέξτε ότι έχουμε τρεις (d+1) ίδιους κόμβους σε κάθε άκρο!!

7 Καμπύλες B-Spline βαθμού d=2 (k=3) Βαθμός d=2 Σημεία ελέγχου n+1=6+1 ή n=6 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=6-2+1 = 5 Τότε: m+1=n+k+1=6+3+1=10 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 10 (k=3 ίδιους σε κάθε άκρο και 4 ενδιάμεσους 3x2+4=10)

8 Καμπύλες B-Spline βαθμού d=3 (k=4) Βαθμός d=3 Σημεία ελέγχου n+1=3+1 ή n=3 Τότε: m+1=n+k+1=3+4+1=8 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 8 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=3-3+1 = 1

9 Καμπύλες B-Spline βαθμού d=3 (k=4) Βαθμός d=3 Σημεία ελέγχου n+1=3+1 ή n=3 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=3-3+1 = 1 Τότε: m+1=n+k+1=3+4+1=8 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 8 Τα σημεία ελέγχου στα άκρα ταυτίζονται με τα άκρα της καμπύλης! Προσέξτε ότι έχουμε τέσσερεις (d+1) ίδιους κόμβους σε κάθε άκρο!!

10 Καμπύλες B-Spline βαθμού d=3 (k=4) Βαθμός d=3 Σημεία ελέγχου n+1=8+1 ή n=8 Τότε: m+1=n+k+1=8+4+1=13 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 13 (4x2+5) Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=8-3+1 = 6

11 Καμπύλες B-Spline: Ιδιότητες Τοπικός έλεγχος: μεταβολή στο σημείο ελέγχου αντιστοιχεί σε μεταβολή στο τμήμα της καμπύλης που αντιστοιχεί στο διάστημα p i t, i ti d 1

12 Καμπύλες B-Spline: Ιδιότητες Ιδιότητα της κυρτής περιβάλλουσας: Κάθε σημείο της καμπύλης βρίσκεται στην κυρτή περιβάλλουσα των k σημείων ελέγχου που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του

13 Καμπύλες B-Spline: Ιδιότητες Αναλλοίωτη σε συσχετισμένους μετασχηματισμούς στροφής, αλλαγής κλίμακας, μεταφοράς. Αναλλοίωτη σε συσχετισμένους μετασχηματισμούς της παραμέτρου. Γραμμική ακρίβεια. Παρεμβολή ακραίων σημείων μόνο όταν ο αρχικός και τελικός κόμβος έχουν πολλαπλότητα k

Σχετικά έγγραφα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 2 η Σειρά Ασκήσεων 1. Αντί των κλασικών κυβικών πολυωνυμικών παραμετρικών καμπυλών