Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
|
|
- Νικηφόρος Αλεβιζόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe o vecinătate a lui a, adică, V V astfel încât f(x) f păstrează acelaşi semn, x V A. Mai precis, dacă f(x) f 0, x V A, atunci a se numeşte punct de minim local pentru f, iar dacă f(x) f 0, x V A, atunci a se numeşte punct de maxim local pentru f. ii) Dacă f(x) f 0, (respectiv, f(x) f 0), x A, atunci a se numeşte punct de minim ( respectiv, de maxim) absolut pentru f. Nu întotdeauna există pentru o funcţie puncte de minim (maxim) absolut. iii) Valorile funcţiei în punctele de extrem se numesc extremele funcţiei. Dacă există, f = inf f(x) (respectiv, f(b) = supf(x)) se numeşte valoare x A x A minimă (respectiv, maximă) a lui f pe A. De exemplu, dacă A este mulţime compactă şi f este continuă pe A, atunci Teorema lui Weierstrass ne asigură că există valoarea minimă şi valoarea maximă a lui f pe A. Condiţii necesare de extrem. Teoremă (a lui Fermat). Fie f : D deschis R n R şi a D. Dacă f este parţial derivabilă în raport cu toate variabilele în punctul a, iar a este punct de extrem local pentru f, atunci x i = 0, i = 1, n. Demonstraţie. Afirmaţia este imediată aplicând Teorema lui Fermat funcţiei parţiale (reale de o variabilă reală) derivabile x i f(a 1, a,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ), i = 1, n. Definiţie. Spunem că a D este punct critic (sau staţionar) pentru f : D R n R (derivabilă parţial în raport cu toate variabilele în a) dacă x i = 0, i = 1, n. Aşadar, Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local ale unei funcţii diferenţiabile, se găsesc printre punctele sale critice. Aşa cum vom observa în exemplul următor, incluziunea este strictă (reciproca nu are loc). Exemplu. Fie f : R R, f(x, y) = x y. { Să determinăm pentru început punctele sale critice, rezolvând sistemul x = 0 y = 0. Deoarece x = x, iar y = y, obţinem unicul punct critic M(0, 0), care nu este însă nici punct de minim, nici punct de maxim local deoarece nu există nici 1
2 o vecinătate a originii pe care diferenţa f(x, y) f(0, 0) = x y să păstreze semn constant. Punctul (0, 0) se numeşte punct şa (punct critic care nu este punct de extrem). Folosind formula lui Taylor se demonstrează următorul rezultat: Teoremă. Fie f : D deschis R n R, f C (D). Dacă a D este punct de minim local (respectiv, maxim local) pentru f (deci df = 0), atunci d 0 (respectiv, d 0). În continuare, vom pune în evidenţă condiţii suficiente pentru ca un punct critic să fie punct de extrem. Lemă. Fie (a ij ) i,j=1,n o matrice simetrică de numere reale (a ij = a ji, i, j = 1, n) şi ϕ(x) = n a ij x i x j (x = (x 1, x,..., x n )), forma pătratică asociată. Dacă i,j=1 ϕ este pozitiv definită (adică ϕ(x) > 0, x R n, x 0 n ), atunci λ > 0 astfel încât ϕ(x) λ x, x R n. Demonstraţie. Fie S = {x R n, x = 1} = {(x 1, x,..., x n ); x 1 + x x n = 1}. S este mulţime închisă şi mărginită, deci compactă. Întrucât funcţia ϕ : R n R este funcţie polinomială în x 1, x,..., x n, rezultă că este continuă pe mulţimea compactă S, deci conform Teoremei lui Weierstrass îşi atinge marginea inferioară. ξ S (deci ξ 0 n ) astfel ca λ = inf ϕ(x) = x S ϕ(ξ). Deoarece ϕ este pozitiv definită, rezultă că λ > 0. Prin urmare, ϕ(x) λ > 0, x S. Fie x R n arbitrar. Dacă x = 0 n, atunci evident ϕ(x) λ x = 0. Dacă x 0 n, atunci Dar ϕ( x x ) = x x n x a i x j ij x x = 1 i,j=1 S, deci, din consideraţiile anterioare, ϕ( x x ) λ. x ϕ(x), deci ϕ(x) λ x. Teoremă Fie f : D deschis R n R, f C (D) şi a D un punct critic pentru f. i) Dacă forma pătratică d este pozitiv definită, atunci a este punct de minim local pentru f; ii) Dacă forma pătratică d este negativ definită, atunci a este punct de maxim local pentru f. Demonstraţie. Deoarece f C (D), rezultă că f este de ori diferenţiabilă pe D şi x ix j = x jx i, i, j = 1, n. i) Presupunem că forma pătratică d este pozitiv definită. Aplicând lema anterioară pentru ϕ = d şi y = x a, λ > 0 astfel încât d (x a) λ x a, x D.
3 Conform formulei lui Taylor cu rest Lagrange q = 1 pentru f în jurul lui a, pentru x S(a, r)( D), ξ (a, x) (sau (x, a)) astfel ca f(x) = f + 1 n (x i a i ) + 1 n n (ξ)(x i a i )(x j a j ). 1! x i=1 i! x i=1 j=1 i x j }{{}}{{} =df(x a) =d (ξ)(x a) Deoarece a este punct critic pentru f, df(x a) = 0, deci x S(a, r)( D), f(x) f = 1! d(x a) + 1! [d(ξ)(x a) d (x a)] = unde α(x) = 1! = 1! d(x a) + α(x) x a λ x a + α(x) x a = (α(x) + λ ) x a. n i=1j=1 n [ x ix j (ξ) x ix j ] (xi ai)(xj aj) x a, x a. Deoarece derivatele parţiale de ordinul II sunt continue în a, ξ a dacă x a, iar (xi ai)(xj aj) x a 1, i, j = 1, n, rezultă că lim α(x) = 0. x a Dar λ > 0, deci r (0, r) astfel ca α(x) + λ > 0, x S(a, r ), de unde f(x) f 0, x S(a, r )( S(a, r) D), ceea ce înseamnă că a este punct de minim local pentru f. ii) Se procedează analog sau se foloseşte i) pentru f. Condiţii suficiente de extrem pentru funcţii de variabile. Teoremă. Fie f : D deschisă R R, f C (D), a D punct critic pentru f. Fie A = x, B = xy, C = y. 1) Dacă B AC > 0, a nu este punct de extrem local pentru f. ) Dacă B AC = 0, caz de dubiu (nu ne putem pronunţa). 3) Dacă B AC < 0, atunci a este punct de extrem local pentru f. Mai precis, a) dacă A > 0 (sau C > 0), a este punct de minim local pentru f; b) dacă A < 0 (sau C < 0), a este punct de maxim local pentru f. Demonstraţie. Fie a = (a 1, a ) şi (x, y) D oarecare. Atunci d (x a) = (x a 1 ) x (a 1, a ) + (y a ) y (a 1, a ) + (x a 1 )(y a ) xy (a 1, a ). Presupunem, fără a restrânge generalitatea că, de exemplu, y a. Atunci d (x a) = (y a ) [A( x a1 y a ) + B x a1 y a + C]. 3
4 Notând x a1 y a = t, atunci d are semn constant dacă şi numai dacă B AC < 0, semnul trinomului At + Bt + C fiind dat de semnul lui A. Prin urmare, dacă A > 0 (respectiv, A < 0), atunci d este pozitiv (respectiv, negativ) definită, deci conform teoremei anterioare, a este punct de minim (respectiv, maxim) local pentru f. Dacă B AC > 0, atunci d nu are semn constant, deci nici diferenţa f(x) f nu are semn constant pe nici o vecinătate a lui a, ceea ce înseamnă că a nu este punct de extrem. Dacă B AC = 0, atunci semnul diferenţei f(x) f depinde de semnul diferenţialelor lui f de ordin superior. Exemple. 1) Să determinăm punctele de extrem ale funcţiei f : R R, f(x, y) = x 3 + y 3 3xy. Determinăm mai întâi punctele critice ale funcţiei, rezolvând { sistemul: x = 0 { { 3x y = 0 3y = 0 x 3y 3x = 0 = y y = x, obţinând punctele critice M 1 (0, 0) şi M (1, 1). Deoarece x = 6x, y = 6y, xy = 3, rezultă că pentru M 1(0, 0), avem B AC = 9 > 0, deci nu este punct de extrem, iar pentru M 1 (1, 1), avem B AC < 0, A > 0, deci este punct de minim local pentru f. ) Să determinăm punctele de extrem ale funcţiei f : R R, f(x, y) = (x y) + (y 1) 3. Se obţine punctul critic M(1, 1), pentru care B AC = 0, deci criteriul nu stabileşte natura sa. Dacă M(1, 1) ar fi punct de extrem local pentru f, ar exista S((1, 1), r 0 ) astfel ca f(x, y) f(1, 1) 0 (sau 0), (x, y) S((1, 1), r 0 ). În particular, f(x, x) f(1, 1) = (x 1) 3 0 (sau 0), (x, x) S((1, 1), r 0 ), fals. Deci M(1, 1) nu este punct de extrem local pentru f. Condiţii suficiente de extrem pentru funcţii de n variabile, n 3. Teorema lui Sylvester (din teoria formelor pătratice) Fie ϕ : R n R, ϕ(x) = n a ij x i x j, x = (x 1,..., x n ) R n, o formă pătratică oarecare ( a ij = i,j=1 a 11 a 1... a 1n a ji, i, j = 1, n). Fie A = a 1 a... a n... matricea sa asociată, şi minorii a n1 a n... a nn principali 1 = a 11, = a a 11 a 1... a 1n 11 a 1 a 1 a,..., n = a 1 a... a n... = det A. a n1 a n... a nn Atunci: 4
5 i) ϕ este pozitiv definită ( ϕ(x) > 0, x R n, x 0 n ) dacă şi numai dacă 1 > 0, > 0,..., n > 0; ii) ϕ este negativ definită ( ϕ(x) < 0, x R n, x 0 n ) dacă şi numai dacă 1 < 0, > 0,..., ( 1) n n > 0. Fie f : D deschisă R n R, f C (D), a D punct critic pentru f. Se aplică Teorema lui Sylvester pentru forma pătratică ϕ = d, considerând matricea sa asociată, matricea hessiană a lui f în punctul a, care este o matrice pătratică, simetrică: H f = ( ) x ix j = i,j=1,n având minorii principali 1 = x 1, = x 1 x x 1 x 1 x x 1 x nx 1 x 1x x x 1x n x x n x 1x x..., x nx... x n x 1 x 1x...,..., n = x x 1... x... x nx 1 x 1x n x x n x nx... x n. Obţinem astfel următorul rezultat: Teoremă 1) Dacă toţi minorii principali ai matricei hessiene sunt strict pozitivi, atunci a este punct de minim local pentru f. ) Dacă minorii principali ai matricei hessiene alternează ca semn, începând cu primul negativ, atunci a este punct de maxim local pentru f. 3) Dacă toţi minorii principali ai matricei hessiene sunt nenuli, dar semnele lor nu sunt ca în cazurile 1) sau ), atunci a nu este punct de extrem local pentru f. 4) Dacă cel puţin unul din 1,..., n este nul, nu se poate preciza natura punctului a. În acest caz, pentru a evalua semnul diferenţei f(x) f, se foloseşte definiţia sau formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin superior lui. Exemple. Să determinăm punctele de extrem local ale funcţiei 1) f : R 3 R, f(x, y, z) = x + 3y + z xy + xz. x = 0 Rezolvând sistemul y = 0, obţinem punctul critic M. z = 0 x xy xz Apoi, H f = yx y yz = 6 0. zx zy z 0 4 5
6 1 = > 0, = 8 > 0, 3 = 8 > 0, deci M este punct de minim local pentru f. ) f : R 3 R, f(x, y, z) = (x y) + (y 1) 3 + (z 1). x = 0 Rezolvând sistemul y = 0, obţinem punctul critic M. z = 0 x xy xz H f = yx y yz = 0 0 zx zy z 0 0 de unde = 0, deci criteriul nu stabileşte natura punctului critic. Vom folosi atunci definiţia. M este punct de extrem local pentru f dacă şi numai dacă există o sferă S(, r) aşa ca f(x, y, z) f = (x y) +(y 1) 3 +(z 1) 0 (sau 0), (x, y, z) S(, r). În particular, f(x, x, 1) = (x 1) 3 0 (sau 0), (x, x, 1) S(, r), adică, echivalent, x 1 (sau x 1), x ( r r + 1, + 1), fals. Deci M nu este punct de extrem local pentru f., Teorema funcţiilor implicite (TFI). Fie ecuaţia implicită F (x, y) = 0 (termenul implicit a fost introdus de Leonard Euler). Dorim să rezolvăm această ecuaţie, măcar local, obţinând explicit una dintre variabile funcţie de cealaltă. De exemplu, să obţinem local y = ϕ(x) (la fel se poate pune problema pentru a obţine x = ψ(y). TFI 1.. (o ecuaţie cu două necunoscute) Fie ecuaţia F (x, y) = 0, unde F : Ω deschisă R R şi fie (x 0, y 0 ) Ω o soluţie a ecuaţiei. I. Presupunem că: i) F C 1 ( D) unde D = D(x 0, y 0 ) Ω este un dreptunghi închis cu centrul în (x 0, y 0 ), caracterizat prin inegalităţile D : x x 0 a, y y 0 b; ii) F y(x 0, y 0 ) 0. Atunci V deschisă = V (x 0 ) [x 0 a, x 0 + a] şi U deschisă = U(y 0 ) [y 0 b, y 0 + b] astfel încât x V (x 0 ), ecuaţia are soluţie unică y = ϕ(x) U(y 0 ). Mai mult, funcţia soluţie ϕ C 1 (V (x 0 )) şi derivata sa este dată de formula ϕ (x) = F x(x, ϕ(x)) F y(x, ϕ(x)), x V (x 0). Verificarea formulei: x V (x 0 ), F (x, ϕ(x)) = 0. Derivând parţial în raport cu x, obţinem F x(x, ϕ(x))+f y(x, ϕ(x)) ϕ (x) = 0, x V (x 0 ), de unde rezultă formula. 6
7 II. Dacă i) F C k (D), k 1 şi ii), atunci ϕ C k (V (x 0 ))). Exemplu. Să calculăm f (1) pentru funcţia y = f(x) definită implicit de ecuaţia (x + y ) 3 3(x + y ) = 0, satisfăcând condiţia f(1) = 1. Fie F (x, y) = (x +y ) 3 3(x +y ). Deoarece F (1, 1) = 0 şi F C 1 (R ), conform TFI avem explicit y = f(x) şi f (x) = F x(x, f(x)) F y(x, f(x)) = 6x(x + f (x)) 6x 6f(x)(x + f (x)) 6f(x) = x(x + f (x)) x f(x)(x + f (x)) f(x), de unde f (1) = 1. TFI 1.3. (o ecuaţie cu trei necunoscute) Fie ecuaţia F (x, y, z) = 0, unde F : Ω deschisă R 3 R şi fie (x 0, y 0, z 0 ) Ω o soluţie a ecuaţiei. Presupunem că: i) F C 1 ( P ), unde P = P (x 0, y 0, z 0 ) Ω este un paralelipiped închis cu centrul în (x 0, y 0, z 0 ), caracterizat prin inegalităţile P : x x 0 a, y y 0 b, z z 0 c; ii) F z(x 0, y 0, z 0 ) 0. Atunci V deschisă = V (x 0, y 0 ) D(x 0, y 0 )(: x x 0 a, y y 0 b), U deschisă = U(z 0 ) [z 0 c, z 0 + c] astfel încât (x, y) V (x 0, y 0 ), ecuaţia F (x, y, z) = 0 are soluţie unică z = ϕ(x, y) U(z 0 ). Mai mult, funcţia soluţie ϕ C 1 (V (x 0, y 0 )) şi derivatele sale parţiale sunt date de formulele ϕ x(x, y) = F x(x, y, ϕ(x, y)) F z(x, y, ϕ(x, y)), ϕ y(x, y) = F y(x, y, ϕ(x, y)) F z(x, y, ϕ(x, y)), (x, y) V (x 0, y 0 ). Verificarea formulelor se realizează prin derivare parţială compusă: (x, y) V (x 0, y 0 ), F (x, y, ϕ(x, y)) = 0, de unde F x(x, y, ϕ(x, y))+f z(x, y, ϕ(x, y)) ϕ x(x, y) = 0 şi F y(x, y, ϕ(x, y)) + F z(x, y, ϕ(x, y)) ϕ y(x, y) = 0, (x, y) V (x 0, y 0 ). Exemplu. Dacă funcţia explicită z = f(x, y) este definită implicit prin (y +z) sin z y(x+z) = 0, atunci este satisfăcută ecuaţia z sin z z x y z y = 0. Într-adevăr, fie F (x, y, z) = (y + z) sin z y(x + z). F C 1 (R 3 ) şi z x = F x F z y (y+z) cos z+sin z y, z y = F y F z = se verifică relaţia cerută. sin z+x+z = (y+z) cos z+sin z y, deci, făcând înlocuirile TFI 1.n. (o ecuaţie cu n necunoscute) se rezolvă recursiv. Fie F (x 1, x,..., x n ) = 0, unde F : Ω deschisă R n R, o soluţie a acestei ecuaţii fiind (x 0 1, x 0,..., x 0 n) Ω. 7
8 Presupunând că F C 1, F x n (x 0 1, x 0,..., x 0 n) 0, obţinem local x n = ϕ(x 1, x,..., x n 1 ), ceea ce antrenează F (x 1, x,...x n 1, ϕ(x 1, x,..., x n 1 )) = 0, deci o ecuaţie cu n 1 necunoscute etc. TFI..3. (două ecuaţii cu trei necunoscute) { Fie F, G : Ω deschisă F (x, y, z) = 0 R 3 R şi (x 0, y 0, z 0 ) Ω o soluţie a sistemului (1) G(x, y, z) = 0. Presupunem că: i) F, G C 1 ( P ), unde P = P (x 0, y 0, z 0 ) Ω este un paralelipiped închis cu centrul în (x 0, y 0, z 0 ), caracterizat prin P : x x 0 a, y y 0 b, z z 0 c. ii) D(F,G) D(y,z) (x 0, y 0, z 0 ) 0. Atunci V deschisă = V (x 0 ) [x 0 a, x 0 +a], U deschisă = U(y 0, z 0 ) D(y 0, z 0 )(: y y 0 b, z z 0 c) astfel încât x V (x 0 ), sistemul (1) are soluţie unică (y, z) U(y 0, z 0 ) : y = ϕ(x), z = ψ(x), şi funcţiile soluţie ϕ, ψ C 1 (V ). ϕ (x){ şi ψ (x) se obţin prin derivare parţială compusă în raport cu x în F (x, ϕ(x), ψ(x)) = 0 sistemul G(x, ϕ(x), ψ(x)) = 0, x V (x 0), de unde { F x (x, ϕ(x), ψ(x)) + F y(x, ϕ(x), ψ(x)) ϕ (x) + F z(x, ϕ(x), ψ(x)) ψ (x) = 0 G x(x, ϕ(x), ψ(x)) + G y(x, ϕ(x), ψ(x)) ϕ (x) + G z(x, ϕ(x), ψ(x)) ψ (x) = 0, rezultând în final ϕ (x) şi ψ (x), x V (x 0 ). { F1 (x, y, z) = x + y z 3 Exemplu. Să aplicăm TFI pentru F (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 xy, (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 1, 0), pentru a obţine y = f 1 (x), z = f (x). F 1, F C 1 (R 3 ), F 1 (1, 1, 0) = F (1, 1, 0) = 0, D(F1,F) D(y,z) (1, 1, 0) = 7 0, deci conform TFI există V = V (1) V(1), U = U(1, 0) V(1, 0) astfel încât x V (1), sistemul are soluţie unică (y, z) U(1, 0) şi funcţiile soluţie y = f 1 (x), z = f (x) sunt de clasă C 1 pe V (1). { x + f Înlocuind în sistem avem 1 (x) f (x) 3 = 0 x 3 + f1 3 (x) + f 3 (x) xf 1 (x) = 0 şi derivând (în raport cu x), se obţin f 1(x), f (x). TFI. m.n. (m ecuaţii cu n necunoscute) (forma generală) Exemplu. Determinaţi extremele funcţiei y(x) definită de ecuaţia implicită x 3 + y 3 3xy = 0. Rezolvare. Fie F (x, y) = x 3 + y 3 3xy. F C 1 (R ). Aplicând TFI, obţinem explicit y = y(x) din ecuaţia implicită F (x, y) = 0. În plus, y (x) = F x (x,y(x)) F y (x,y(x)). Prin urmare, F x(x, y) = 0 x = y y (x) = 0 F (x, y) = 0 x 3 + y 3 3xy = 0, rezultând punctul F y(x, y) 0 y x critic M( 3, 3 4). În vecinătatea acestui punct, este deci definită funcţia y = y(x), iar y ( 3 ) = 0. 8
9 Întrucât y (x) = ( x y(x) y (x) x ), vom avea y (x) = [x + x y(x) y (x) x ](y (x) x) (x y(x))[1 + y(x) x y(x) y (x) x ] x (y (x) x) = y (x) x, obţinând că y ( 3 ) = = < 0, deci x = 3 este punct de maxim, iar maximul funcţiei y(x) este 3 4. TEOREMA DE INVERSARE LOCALĂ. Reamintim pentru început următorul rezultat din cazul funcţiilor reale de o variabilă reală: Teoremă (derivabilitatea funcţiei inverse) Dacă f : I interval deschis R R este derivabilă pe I şi f (x) 0, x I, atunci f 1 : f(i) I, este derivabilă pe f(i) şi (f 1 ) 1 (y) = f (f 1 (y)), y f(i). Vom prezenta în continuare generalizarea la R n a acestui rezultat, care se obţine folosind TFI (forma generală): rolul derivatei va fi jucat de jacobianul funcţiei, despre care se va presupune că este, de clasă C 1 (deci mai mult decât diferenţiabilă): Teoremă (de inversare locală) Fie F = (f 1, f,.., f n ) : D deschisă R n R n, F C 1 (D) şi a D. Dacă det J F 0, atunci V deschisă V, V D astfel ca mulţimea F (V ) este deschisă şi F stabileşte un difeomorfism (sau transformare regulată) între V şi F (V ) (adică F 1 : F (V ) V şi F 1 C 1 (F (V ))). Probleme propuse. 1. Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiilor f : R R, definite prin: i) f(x, y) = x 4 + y 4 + x y 8x + 8y;, x > 0, y > 0; iii) f(x, y) = (x y) + x 3 + y 3 ; iv) f(x, y) = x y + x; v) f(x, y) = x + y 4 ; vi) f(x, y) = x y ; vii) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy; viii) f(x, y) = (x y) + (y 1) 3 ; ix) f(x, y) = (x a)(x b)(y a)(y b), a, b R, arbitrari, fixaţi (discuţie). ii) f(x, y) = xy + 50 x + 0 y. Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiilor f : R 3 R, definite prin: 9
10 i) f(x, y, z) = x + y + z + x + 4y 6z; ii) f(x, y, z) = x + y 4x + z y + z, x, y, z > 0; iii) f(x, y, z) = sin x + sin y + sin z sin(x + y + z), x, y, z (0, π); iv) f(x, y, z) = (xy + z) x y z. 3. Aflaţi triunghiul de arie maximă care se poate înscrie într-un cerc de rază dată R. 4. Determinaţi triunghiul de arie maximă şi de perimetru egal cu p. 5. Dintr-o cantitate dată de tablă, se construieşte un vas fără capac, având forma unui paralelipiped dreptunghic. Determinaţi dimensiunile vasului astfel încât capacitatea sa să fie maximă. 6. Determinaţi în interiorul unui patrulater un punct, astfel ca suma pătratelor distanţelor acestui punct la vârfurile patrulaterului să fie minimă. 7. Determinaţi constanta k astfel încât funcţia f, definită prin f(x, y) = 5x + 6xy + 5y 16x 16y + k, să aibă un minim egal cu Înscrieţi într-un con circular drept, un paralelipiped dreptunghic de volum maxim. { 9. Funcţiile u = ϕ(x, y), v = ψ(x, y) sunt definite implicit de relaţiile u + v = x + y Calculaţi u xu + yv = 1. x, v x, u y, v y. 10. Se consideră funcţia y = f(x) definită implicit prin relaţia x + y + axy = 0, a > 1. Calculaţi f (x), f (x). 11. Calculaţi f (1) pentru funcţia y = f(x) definită implicit de ecuaţia (x + y ) 3 3(x + y ) = 0, satisfăcând condiţia f(1) = 1. { x 1. Arătaţi că sistemul de ecuaţii u + xzv + y = 0 yzu + xyv determină în 3x = 0 mod unic u şi v ca funcţii de x, y, z într-o vecinătate a punctului (u 0, v 0, x 0, y 0, z 0 ) = (0, 1, 3, 3, 3). Calculaţi apoi u x, u y, u z, v x, v y, v { z. F1 (x, y, z) = x + y z Aplicaţi TFI pentru F (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 xy, (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 1, 0), pentru a obţine y = f 1 (x), z = f (x). 14. Fie z = z(x, y) definită de ecuaţia implicită ax + by + cz 1 = 0. Calculaţi derivatele sale parţiale de ordinul. { x 15. Relaţiile 3 + y 3 z 3 = a 3 x + y + z = b definesc implicit y = ϕ(x), z = ψ(x). Calculaţi ϕ (x), ψ (x). 16. Calculaţi derivatele parţiale z x, z y pentru funcţia explicită z = z(x, y) definită implicit de x y + 3z yz + y = 0. 10
11 17. Arătaţi că funcţia explicită z = z(x, y) definită implicit de ecuaţia x + y + z = yf( z y ) (f fiind de clasă C1 pe domeniul său maxim de definiţie) verifică relaţia (x y z ) z z x + xy y = xz. 18. Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei implicite y = f(x) definită prin x xy + 5y x + 4y + 1 = 0 astfel încât f(1) = Determinaţi extremele funcţiei z(x, y) definită de ecuaţia implicită x + y + z x + y 4z 10 = Scrieţi ecuaţia tangentei şi normalei în punctul (x 0, y 0 ) al elipsei x a + y b 1 = Arătaţi că, în condiţiile teoremei de existenţă şi derivabilitate a funcţiilor implicite, funcţia explicită z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F ( z x, y x ) = 0, satisface ecuaţia x z x + y z y = z.. Arătaţi că funcţia explicită z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F ( x y, x z x +y +z ) = 0, verifică ecuaţia x x + y z y = z x y. 11
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραAPLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE
1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραFie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).
Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE
Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Noţiunea de derivată, elementul fundamental al calculului diferenţial, are o deosebită importanţă în studiul matematic al mărimilor variabile. Problemele principale care
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale
3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότερα1Ecuaţii diferenţiale
1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραDreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότερα