Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale."

Transcript

1 Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe o vecinătate a lui a, adică, V V astfel încât f(x) f păstrează acelaşi semn, x V A. Mai precis, dacă f(x) f 0, x V A, atunci a se numeşte punct de minim local pentru f, iar dacă f(x) f 0, x V A, atunci a se numeşte punct de maxim local pentru f. ii) Dacă f(x) f 0, (respectiv, f(x) f 0), x A, atunci a se numeşte punct de minim ( respectiv, de maxim) absolut pentru f. Nu întotdeauna există pentru o funcţie puncte de minim (maxim) absolut. iii) Valorile funcţiei în punctele de extrem se numesc extremele funcţiei. Dacă există, f = inf f(x) (respectiv, f(b) = supf(x)) se numeşte valoare x A x A minimă (respectiv, maximă) a lui f pe A. De exemplu, dacă A este mulţime compactă şi f este continuă pe A, atunci Teorema lui Weierstrass ne asigură că există valoarea minimă şi valoarea maximă a lui f pe A. Condiţii necesare de extrem. Teoremă (a lui Fermat). Fie f : D deschis R n R şi a D. Dacă f este parţial derivabilă în raport cu toate variabilele în punctul a, iar a este punct de extrem local pentru f, atunci x i = 0, i = 1, n. Demonstraţie. Afirmaţia este imediată aplicând Teorema lui Fermat funcţiei parţiale (reale de o variabilă reală) derivabile x i f(a 1, a,..., a i 1, x i, a i+1,..., a n ), i = 1, n. Definiţie. Spunem că a D este punct critic (sau staţionar) pentru f : D R n R (derivabilă parţial în raport cu toate variabilele în a) dacă x i = 0, i = 1, n. Aşadar, Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local ale unei funcţii diferenţiabile, se găsesc printre punctele sale critice. Aşa cum vom observa în exemplul următor, incluziunea este strictă (reciproca nu are loc). Exemplu. Fie f : R R, f(x, y) = x y. { Să determinăm pentru început punctele sale critice, rezolvând sistemul x = 0 y = 0. Deoarece x = x, iar y = y, obţinem unicul punct critic M(0, 0), care nu este însă nici punct de minim, nici punct de maxim local deoarece nu există nici 1

2 o vecinătate a originii pe care diferenţa f(x, y) f(0, 0) = x y să păstreze semn constant. Punctul (0, 0) se numeşte punct şa (punct critic care nu este punct de extrem). Folosind formula lui Taylor se demonstrează următorul rezultat: Teoremă. Fie f : D deschis R n R, f C (D). Dacă a D este punct de minim local (respectiv, maxim local) pentru f (deci df = 0), atunci d 0 (respectiv, d 0). În continuare, vom pune în evidenţă condiţii suficiente pentru ca un punct critic să fie punct de extrem. Lemă. Fie (a ij ) i,j=1,n o matrice simetrică de numere reale (a ij = a ji, i, j = 1, n) şi ϕ(x) = n a ij x i x j (x = (x 1, x,..., x n )), forma pătratică asociată. Dacă i,j=1 ϕ este pozitiv definită (adică ϕ(x) > 0, x R n, x 0 n ), atunci λ > 0 astfel încât ϕ(x) λ x, x R n. Demonstraţie. Fie S = {x R n, x = 1} = {(x 1, x,..., x n ); x 1 + x x n = 1}. S este mulţime închisă şi mărginită, deci compactă. Întrucât funcţia ϕ : R n R este funcţie polinomială în x 1, x,..., x n, rezultă că este continuă pe mulţimea compactă S, deci conform Teoremei lui Weierstrass îşi atinge marginea inferioară. ξ S (deci ξ 0 n ) astfel ca λ = inf ϕ(x) = x S ϕ(ξ). Deoarece ϕ este pozitiv definită, rezultă că λ > 0. Prin urmare, ϕ(x) λ > 0, x S. Fie x R n arbitrar. Dacă x = 0 n, atunci evident ϕ(x) λ x = 0. Dacă x 0 n, atunci Dar ϕ( x x ) = x x n x a i x j ij x x = 1 i,j=1 S, deci, din consideraţiile anterioare, ϕ( x x ) λ. x ϕ(x), deci ϕ(x) λ x. Teoremă Fie f : D deschis R n R, f C (D) şi a D un punct critic pentru f. i) Dacă forma pătratică d este pozitiv definită, atunci a este punct de minim local pentru f; ii) Dacă forma pătratică d este negativ definită, atunci a este punct de maxim local pentru f. Demonstraţie. Deoarece f C (D), rezultă că f este de ori diferenţiabilă pe D şi x ix j = x jx i, i, j = 1, n. i) Presupunem că forma pătratică d este pozitiv definită. Aplicând lema anterioară pentru ϕ = d şi y = x a, λ > 0 astfel încât d (x a) λ x a, x D.

3 Conform formulei lui Taylor cu rest Lagrange q = 1 pentru f în jurul lui a, pentru x S(a, r)( D), ξ (a, x) (sau (x, a)) astfel ca f(x) = f + 1 n (x i a i ) + 1 n n (ξ)(x i a i )(x j a j ). 1! x i=1 i! x i=1 j=1 i x j }{{}}{{} =df(x a) =d (ξ)(x a) Deoarece a este punct critic pentru f, df(x a) = 0, deci x S(a, r)( D), f(x) f = 1! d(x a) + 1! [d(ξ)(x a) d (x a)] = unde α(x) = 1! = 1! d(x a) + α(x) x a λ x a + α(x) x a = (α(x) + λ ) x a. n i=1j=1 n [ x ix j (ξ) x ix j ] (xi ai)(xj aj) x a, x a. Deoarece derivatele parţiale de ordinul II sunt continue în a, ξ a dacă x a, iar (xi ai)(xj aj) x a 1, i, j = 1, n, rezultă că lim α(x) = 0. x a Dar λ > 0, deci r (0, r) astfel ca α(x) + λ > 0, x S(a, r ), de unde f(x) f 0, x S(a, r )( S(a, r) D), ceea ce înseamnă că a este punct de minim local pentru f. ii) Se procedează analog sau se foloseşte i) pentru f. Condiţii suficiente de extrem pentru funcţii de variabile. Teoremă. Fie f : D deschisă R R, f C (D), a D punct critic pentru f. Fie A = x, B = xy, C = y. 1) Dacă B AC > 0, a nu este punct de extrem local pentru f. ) Dacă B AC = 0, caz de dubiu (nu ne putem pronunţa). 3) Dacă B AC < 0, atunci a este punct de extrem local pentru f. Mai precis, a) dacă A > 0 (sau C > 0), a este punct de minim local pentru f; b) dacă A < 0 (sau C < 0), a este punct de maxim local pentru f. Demonstraţie. Fie a = (a 1, a ) şi (x, y) D oarecare. Atunci d (x a) = (x a 1 ) x (a 1, a ) + (y a ) y (a 1, a ) + (x a 1 )(y a ) xy (a 1, a ). Presupunem, fără a restrânge generalitatea că, de exemplu, y a. Atunci d (x a) = (y a ) [A( x a1 y a ) + B x a1 y a + C]. 3

4 Notând x a1 y a = t, atunci d are semn constant dacă şi numai dacă B AC < 0, semnul trinomului At + Bt + C fiind dat de semnul lui A. Prin urmare, dacă A > 0 (respectiv, A < 0), atunci d este pozitiv (respectiv, negativ) definită, deci conform teoremei anterioare, a este punct de minim (respectiv, maxim) local pentru f. Dacă B AC > 0, atunci d nu are semn constant, deci nici diferenţa f(x) f nu are semn constant pe nici o vecinătate a lui a, ceea ce înseamnă că a nu este punct de extrem. Dacă B AC = 0, atunci semnul diferenţei f(x) f depinde de semnul diferenţialelor lui f de ordin superior. Exemple. 1) Să determinăm punctele de extrem ale funcţiei f : R R, f(x, y) = x 3 + y 3 3xy. Determinăm mai întâi punctele critice ale funcţiei, rezolvând { sistemul: x = 0 { { 3x y = 0 3y = 0 x 3y 3x = 0 = y y = x, obţinând punctele critice M 1 (0, 0) şi M (1, 1). Deoarece x = 6x, y = 6y, xy = 3, rezultă că pentru M 1(0, 0), avem B AC = 9 > 0, deci nu este punct de extrem, iar pentru M 1 (1, 1), avem B AC < 0, A > 0, deci este punct de minim local pentru f. ) Să determinăm punctele de extrem ale funcţiei f : R R, f(x, y) = (x y) + (y 1) 3. Se obţine punctul critic M(1, 1), pentru care B AC = 0, deci criteriul nu stabileşte natura sa. Dacă M(1, 1) ar fi punct de extrem local pentru f, ar exista S((1, 1), r 0 ) astfel ca f(x, y) f(1, 1) 0 (sau 0), (x, y) S((1, 1), r 0 ). În particular, f(x, x) f(1, 1) = (x 1) 3 0 (sau 0), (x, x) S((1, 1), r 0 ), fals. Deci M(1, 1) nu este punct de extrem local pentru f. Condiţii suficiente de extrem pentru funcţii de n variabile, n 3. Teorema lui Sylvester (din teoria formelor pătratice) Fie ϕ : R n R, ϕ(x) = n a ij x i x j, x = (x 1,..., x n ) R n, o formă pătratică oarecare ( a ij = i,j=1 a 11 a 1... a 1n a ji, i, j = 1, n). Fie A = a 1 a... a n... matricea sa asociată, şi minorii a n1 a n... a nn principali 1 = a 11, = a a 11 a 1... a 1n 11 a 1 a 1 a,..., n = a 1 a... a n... = det A. a n1 a n... a nn Atunci: 4

5 i) ϕ este pozitiv definită ( ϕ(x) > 0, x R n, x 0 n ) dacă şi numai dacă 1 > 0, > 0,..., n > 0; ii) ϕ este negativ definită ( ϕ(x) < 0, x R n, x 0 n ) dacă şi numai dacă 1 < 0, > 0,..., ( 1) n n > 0. Fie f : D deschisă R n R, f C (D), a D punct critic pentru f. Se aplică Teorema lui Sylvester pentru forma pătratică ϕ = d, considerând matricea sa asociată, matricea hessiană a lui f în punctul a, care este o matrice pătratică, simetrică: H f = ( ) x ix j = i,j=1,n având minorii principali 1 = x 1, = x 1 x x 1 x 1 x x 1 x nx 1 x 1x x x 1x n x x n x 1x x..., x nx... x n x 1 x 1x...,..., n = x x 1... x... x nx 1 x 1x n x x n x nx... x n. Obţinem astfel următorul rezultat: Teoremă 1) Dacă toţi minorii principali ai matricei hessiene sunt strict pozitivi, atunci a este punct de minim local pentru f. ) Dacă minorii principali ai matricei hessiene alternează ca semn, începând cu primul negativ, atunci a este punct de maxim local pentru f. 3) Dacă toţi minorii principali ai matricei hessiene sunt nenuli, dar semnele lor nu sunt ca în cazurile 1) sau ), atunci a nu este punct de extrem local pentru f. 4) Dacă cel puţin unul din 1,..., n este nul, nu se poate preciza natura punctului a. În acest caz, pentru a evalua semnul diferenţei f(x) f, se foloseşte definiţia sau formula lui Taylor cu rest Lagrange de ordin superior lui. Exemple. Să determinăm punctele de extrem local ale funcţiei 1) f : R 3 R, f(x, y, z) = x + 3y + z xy + xz. x = 0 Rezolvând sistemul y = 0, obţinem punctul critic M. z = 0 x xy xz Apoi, H f = yx y yz = 6 0. zx zy z 0 4 5

6 1 = > 0, = 8 > 0, 3 = 8 > 0, deci M este punct de minim local pentru f. ) f : R 3 R, f(x, y, z) = (x y) + (y 1) 3 + (z 1). x = 0 Rezolvând sistemul y = 0, obţinem punctul critic M. z = 0 x xy xz H f = yx y yz = 0 0 zx zy z 0 0 de unde = 0, deci criteriul nu stabileşte natura punctului critic. Vom folosi atunci definiţia. M este punct de extrem local pentru f dacă şi numai dacă există o sferă S(, r) aşa ca f(x, y, z) f = (x y) +(y 1) 3 +(z 1) 0 (sau 0), (x, y, z) S(, r). În particular, f(x, x, 1) = (x 1) 3 0 (sau 0), (x, x, 1) S(, r), adică, echivalent, x 1 (sau x 1), x ( r r + 1, + 1), fals. Deci M nu este punct de extrem local pentru f., Teorema funcţiilor implicite (TFI). Fie ecuaţia implicită F (x, y) = 0 (termenul implicit a fost introdus de Leonard Euler). Dorim să rezolvăm această ecuaţie, măcar local, obţinând explicit una dintre variabile funcţie de cealaltă. De exemplu, să obţinem local y = ϕ(x) (la fel se poate pune problema pentru a obţine x = ψ(y). TFI 1.. (o ecuaţie cu două necunoscute) Fie ecuaţia F (x, y) = 0, unde F : Ω deschisă R R şi fie (x 0, y 0 ) Ω o soluţie a ecuaţiei. I. Presupunem că: i) F C 1 ( D) unde D = D(x 0, y 0 ) Ω este un dreptunghi închis cu centrul în (x 0, y 0 ), caracterizat prin inegalităţile D : x x 0 a, y y 0 b; ii) F y(x 0, y 0 ) 0. Atunci V deschisă = V (x 0 ) [x 0 a, x 0 + a] şi U deschisă = U(y 0 ) [y 0 b, y 0 + b] astfel încât x V (x 0 ), ecuaţia are soluţie unică y = ϕ(x) U(y 0 ). Mai mult, funcţia soluţie ϕ C 1 (V (x 0 )) şi derivata sa este dată de formula ϕ (x) = F x(x, ϕ(x)) F y(x, ϕ(x)), x V (x 0). Verificarea formulei: x V (x 0 ), F (x, ϕ(x)) = 0. Derivând parţial în raport cu x, obţinem F x(x, ϕ(x))+f y(x, ϕ(x)) ϕ (x) = 0, x V (x 0 ), de unde rezultă formula. 6

7 II. Dacă i) F C k (D), k 1 şi ii), atunci ϕ C k (V (x 0 ))). Exemplu. Să calculăm f (1) pentru funcţia y = f(x) definită implicit de ecuaţia (x + y ) 3 3(x + y ) = 0, satisfăcând condiţia f(1) = 1. Fie F (x, y) = (x +y ) 3 3(x +y ). Deoarece F (1, 1) = 0 şi F C 1 (R ), conform TFI avem explicit y = f(x) şi f (x) = F x(x, f(x)) F y(x, f(x)) = 6x(x + f (x)) 6x 6f(x)(x + f (x)) 6f(x) = x(x + f (x)) x f(x)(x + f (x)) f(x), de unde f (1) = 1. TFI 1.3. (o ecuaţie cu trei necunoscute) Fie ecuaţia F (x, y, z) = 0, unde F : Ω deschisă R 3 R şi fie (x 0, y 0, z 0 ) Ω o soluţie a ecuaţiei. Presupunem că: i) F C 1 ( P ), unde P = P (x 0, y 0, z 0 ) Ω este un paralelipiped închis cu centrul în (x 0, y 0, z 0 ), caracterizat prin inegalităţile P : x x 0 a, y y 0 b, z z 0 c; ii) F z(x 0, y 0, z 0 ) 0. Atunci V deschisă = V (x 0, y 0 ) D(x 0, y 0 )(: x x 0 a, y y 0 b), U deschisă = U(z 0 ) [z 0 c, z 0 + c] astfel încât (x, y) V (x 0, y 0 ), ecuaţia F (x, y, z) = 0 are soluţie unică z = ϕ(x, y) U(z 0 ). Mai mult, funcţia soluţie ϕ C 1 (V (x 0, y 0 )) şi derivatele sale parţiale sunt date de formulele ϕ x(x, y) = F x(x, y, ϕ(x, y)) F z(x, y, ϕ(x, y)), ϕ y(x, y) = F y(x, y, ϕ(x, y)) F z(x, y, ϕ(x, y)), (x, y) V (x 0, y 0 ). Verificarea formulelor se realizează prin derivare parţială compusă: (x, y) V (x 0, y 0 ), F (x, y, ϕ(x, y)) = 0, de unde F x(x, y, ϕ(x, y))+f z(x, y, ϕ(x, y)) ϕ x(x, y) = 0 şi F y(x, y, ϕ(x, y)) + F z(x, y, ϕ(x, y)) ϕ y(x, y) = 0, (x, y) V (x 0, y 0 ). Exemplu. Dacă funcţia explicită z = f(x, y) este definită implicit prin (y +z) sin z y(x+z) = 0, atunci este satisfăcută ecuaţia z sin z z x y z y = 0. Într-adevăr, fie F (x, y, z) = (y + z) sin z y(x + z). F C 1 (R 3 ) şi z x = F x F z y (y+z) cos z+sin z y, z y = F y F z = se verifică relaţia cerută. sin z+x+z = (y+z) cos z+sin z y, deci, făcând înlocuirile TFI 1.n. (o ecuaţie cu n necunoscute) se rezolvă recursiv. Fie F (x 1, x,..., x n ) = 0, unde F : Ω deschisă R n R, o soluţie a acestei ecuaţii fiind (x 0 1, x 0,..., x 0 n) Ω. 7

8 Presupunând că F C 1, F x n (x 0 1, x 0,..., x 0 n) 0, obţinem local x n = ϕ(x 1, x,..., x n 1 ), ceea ce antrenează F (x 1, x,...x n 1, ϕ(x 1, x,..., x n 1 )) = 0, deci o ecuaţie cu n 1 necunoscute etc. TFI..3. (două ecuaţii cu trei necunoscute) { Fie F, G : Ω deschisă F (x, y, z) = 0 R 3 R şi (x 0, y 0, z 0 ) Ω o soluţie a sistemului (1) G(x, y, z) = 0. Presupunem că: i) F, G C 1 ( P ), unde P = P (x 0, y 0, z 0 ) Ω este un paralelipiped închis cu centrul în (x 0, y 0, z 0 ), caracterizat prin P : x x 0 a, y y 0 b, z z 0 c. ii) D(F,G) D(y,z) (x 0, y 0, z 0 ) 0. Atunci V deschisă = V (x 0 ) [x 0 a, x 0 +a], U deschisă = U(y 0, z 0 ) D(y 0, z 0 )(: y y 0 b, z z 0 c) astfel încât x V (x 0 ), sistemul (1) are soluţie unică (y, z) U(y 0, z 0 ) : y = ϕ(x), z = ψ(x), şi funcţiile soluţie ϕ, ψ C 1 (V ). ϕ (x){ şi ψ (x) se obţin prin derivare parţială compusă în raport cu x în F (x, ϕ(x), ψ(x)) = 0 sistemul G(x, ϕ(x), ψ(x)) = 0, x V (x 0), de unde { F x (x, ϕ(x), ψ(x)) + F y(x, ϕ(x), ψ(x)) ϕ (x) + F z(x, ϕ(x), ψ(x)) ψ (x) = 0 G x(x, ϕ(x), ψ(x)) + G y(x, ϕ(x), ψ(x)) ϕ (x) + G z(x, ϕ(x), ψ(x)) ψ (x) = 0, rezultând în final ϕ (x) şi ψ (x), x V (x 0 ). { F1 (x, y, z) = x + y z 3 Exemplu. Să aplicăm TFI pentru F (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 xy, (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 1, 0), pentru a obţine y = f 1 (x), z = f (x). F 1, F C 1 (R 3 ), F 1 (1, 1, 0) = F (1, 1, 0) = 0, D(F1,F) D(y,z) (1, 1, 0) = 7 0, deci conform TFI există V = V (1) V(1), U = U(1, 0) V(1, 0) astfel încât x V (1), sistemul are soluţie unică (y, z) U(1, 0) şi funcţiile soluţie y = f 1 (x), z = f (x) sunt de clasă C 1 pe V (1). { x + f Înlocuind în sistem avem 1 (x) f (x) 3 = 0 x 3 + f1 3 (x) + f 3 (x) xf 1 (x) = 0 şi derivând (în raport cu x), se obţin f 1(x), f (x). TFI. m.n. (m ecuaţii cu n necunoscute) (forma generală) Exemplu. Determinaţi extremele funcţiei y(x) definită de ecuaţia implicită x 3 + y 3 3xy = 0. Rezolvare. Fie F (x, y) = x 3 + y 3 3xy. F C 1 (R ). Aplicând TFI, obţinem explicit y = y(x) din ecuaţia implicită F (x, y) = 0. În plus, y (x) = F x (x,y(x)) F y (x,y(x)). Prin urmare, F x(x, y) = 0 x = y y (x) = 0 F (x, y) = 0 x 3 + y 3 3xy = 0, rezultând punctul F y(x, y) 0 y x critic M( 3, 3 4). În vecinătatea acestui punct, este deci definită funcţia y = y(x), iar y ( 3 ) = 0. 8

9 Întrucât y (x) = ( x y(x) y (x) x ), vom avea y (x) = [x + x y(x) y (x) x ](y (x) x) (x y(x))[1 + y(x) x y(x) y (x) x ] x (y (x) x) = y (x) x, obţinând că y ( 3 ) = = < 0, deci x = 3 este punct de maxim, iar maximul funcţiei y(x) este 3 4. TEOREMA DE INVERSARE LOCALĂ. Reamintim pentru început următorul rezultat din cazul funcţiilor reale de o variabilă reală: Teoremă (derivabilitatea funcţiei inverse) Dacă f : I interval deschis R R este derivabilă pe I şi f (x) 0, x I, atunci f 1 : f(i) I, este derivabilă pe f(i) şi (f 1 ) 1 (y) = f (f 1 (y)), y f(i). Vom prezenta în continuare generalizarea la R n a acestui rezultat, care se obţine folosind TFI (forma generală): rolul derivatei va fi jucat de jacobianul funcţiei, despre care se va presupune că este, de clasă C 1 (deci mai mult decât diferenţiabilă): Teoremă (de inversare locală) Fie F = (f 1, f,.., f n ) : D deschisă R n R n, F C 1 (D) şi a D. Dacă det J F 0, atunci V deschisă V, V D astfel ca mulţimea F (V ) este deschisă şi F stabileşte un difeomorfism (sau transformare regulată) între V şi F (V ) (adică F 1 : F (V ) V şi F 1 C 1 (F (V ))). Probleme propuse. 1. Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiilor f : R R, definite prin: i) f(x, y) = x 4 + y 4 + x y 8x + 8y;, x > 0, y > 0; iii) f(x, y) = (x y) + x 3 + y 3 ; iv) f(x, y) = x y + x; v) f(x, y) = x + y 4 ; vi) f(x, y) = x y ; vii) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy; viii) f(x, y) = (x y) + (y 1) 3 ; ix) f(x, y) = (x a)(x b)(y a)(y b), a, b R, arbitrari, fixaţi (discuţie). ii) f(x, y) = xy + 50 x + 0 y. Determinaţi punctele de extrem local ale funcţiilor f : R 3 R, definite prin: 9

10 i) f(x, y, z) = x + y + z + x + 4y 6z; ii) f(x, y, z) = x + y 4x + z y + z, x, y, z > 0; iii) f(x, y, z) = sin x + sin y + sin z sin(x + y + z), x, y, z (0, π); iv) f(x, y, z) = (xy + z) x y z. 3. Aflaţi triunghiul de arie maximă care se poate înscrie într-un cerc de rază dată R. 4. Determinaţi triunghiul de arie maximă şi de perimetru egal cu p. 5. Dintr-o cantitate dată de tablă, se construieşte un vas fără capac, având forma unui paralelipiped dreptunghic. Determinaţi dimensiunile vasului astfel încât capacitatea sa să fie maximă. 6. Determinaţi în interiorul unui patrulater un punct, astfel ca suma pătratelor distanţelor acestui punct la vârfurile patrulaterului să fie minimă. 7. Determinaţi constanta k astfel încât funcţia f, definită prin f(x, y) = 5x + 6xy + 5y 16x 16y + k, să aibă un minim egal cu Înscrieţi într-un con circular drept, un paralelipiped dreptunghic de volum maxim. { 9. Funcţiile u = ϕ(x, y), v = ψ(x, y) sunt definite implicit de relaţiile u + v = x + y Calculaţi u xu + yv = 1. x, v x, u y, v y. 10. Se consideră funcţia y = f(x) definită implicit prin relaţia x + y + axy = 0, a > 1. Calculaţi f (x), f (x). 11. Calculaţi f (1) pentru funcţia y = f(x) definită implicit de ecuaţia (x + y ) 3 3(x + y ) = 0, satisfăcând condiţia f(1) = 1. { x 1. Arătaţi că sistemul de ecuaţii u + xzv + y = 0 yzu + xyv determină în 3x = 0 mod unic u şi v ca funcţii de x, y, z într-o vecinătate a punctului (u 0, v 0, x 0, y 0, z 0 ) = (0, 1, 3, 3, 3). Calculaţi apoi u x, u y, u z, v x, v y, v { z. F1 (x, y, z) = x + y z Aplicaţi TFI pentru F (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 xy, (x 0, y 0, z 0 ) = (1, 1, 0), pentru a obţine y = f 1 (x), z = f (x). 14. Fie z = z(x, y) definită de ecuaţia implicită ax + by + cz 1 = 0. Calculaţi derivatele sale parţiale de ordinul. { x 15. Relaţiile 3 + y 3 z 3 = a 3 x + y + z = b definesc implicit y = ϕ(x), z = ψ(x). Calculaţi ϕ (x), ψ (x). 16. Calculaţi derivatele parţiale z x, z y pentru funcţia explicită z = z(x, y) definită implicit de x y + 3z yz + y = 0. 10

11 17. Arătaţi că funcţia explicită z = z(x, y) definită implicit de ecuaţia x + y + z = yf( z y ) (f fiind de clasă C1 pe domeniul său maxim de definiţie) verifică relaţia (x y z ) z z x + xy y = xz. 18. Determinaţi punctele de extrem ale funcţiei implicite y = f(x) definită prin x xy + 5y x + 4y + 1 = 0 astfel încât f(1) = Determinaţi extremele funcţiei z(x, y) definită de ecuaţia implicită x + y + z x + y 4z 10 = Scrieţi ecuaţia tangentei şi normalei în punctul (x 0, y 0 ) al elipsei x a + y b 1 = Arătaţi că, în condiţiile teoremei de existenţă şi derivabilitate a funcţiilor implicite, funcţia explicită z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F ( z x, y x ) = 0, satisface ecuaţia x z x + y z y = z.. Arătaţi că funcţia explicită z = z(x, y), definită implicit de ecuaţia F ( x y, x z x +y +z ) = 0, verifică ecuaţia x x + y z y = z x y. 11

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE REPARTIŢIA TENSINILOR ÎNALTE PE LANŢRI DE IZOLATOARE 1. NOTINI TEORETICE Principalul criteriu distinctiv al sistemelor şi echipamentelor electrice de înaltă tensiune faţă de cele de joasă tensiune îl constituie

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

Editura EduSoft Bacău

Editura EduSoft Bacău Bogdan Pătruţ Carmen Violeta Muraru APLICAŢII ÎN C şi C++ Editura EduSoft Bacău - 2006 Copyright 2006 Editura EduSoft Toate drepturile asupra prezentei ediţii sunt rezervate Editurii EduSoft. Reproducerea

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE 6 CICUITE BACULANTE BITABILE 6. Introducere Circuitele basculante bistabile sau, mai scurt, circuitele bistabile sunt circuite care pot avea la ieşire două stări stabile: logic şi logic. Circuitul poate

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W]

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W] Aceasta versiune de SWR metru este una de sine-statatoare si este destinata celor care doresc sa-si construiasca un aparat separat de masurare a SWR-ului si a puterii de radiofrecventa. Acest model de

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU FIZICA CAPITOLUL: LCTICITAT CUNT CONTINUU. Curent electric. Tensiune electromotoare 3. Intensitatea curentului electric 4. ezistenţa electrică; legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit 4.. Dependenţa

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία

Αφιερώνεται στα παιδιά μας Σπυριδούλα, Αχιλλέα και Αναστασία 0 3 10 71 < < 3 1 7 ; (y k ) 0 LU n n M (2; 4; 1; 2) 2 n 2 = 2 2 n 2 n 2 = 2y 2 n n ' y = x [a; b] [a; b] x n = '(x n 1 ) (x n ) x 0 = 0 S p R 2 ; S p := fx 2 R 2 : kxk p = 1g; p = 1; 2; 1 K i

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

9.INSTALAŢII DE VENTILAŢIE ŞI CLIMATIZARE. 9.1 Generalităţi

9.INSTALAŢII DE VENTILAŢIE ŞI CLIMATIZARE. 9.1 Generalităţi Termotehnică 105 9.INSTALAŢII DE VENTILAŢIE ŞI CLIMATIZARE 9.1 Generalităţi Aerul este un amestec gazos constituit din 78.1% azot, 21% oigen şi 0.9% alte gaze, cum ar fi argonul, dioidul de carbon etc.

Διαβάστε περισσότερα

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1 Sarò signor io sol Canzon, ottava stanza Domenico Micheli Soprano Soprano 2 Alto Alto 2 Α Α Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io sol Sa rò si gnor io sol del mio pen sie io µ Tenor Α Tenor 2 Α Sa rò

Διαβάστε περισσότερα

ARHITECTURA, FUNCŢIONAREA ŞI APLICAŢII ALE TEMPORIZATORULUI 555

ARHITECTURA, FUNCŢIONAREA ŞI APLICAŢII ALE TEMPORIZATORULUI 555 ARHITETURA, FUNŢIONAREA ŞI APLIAŢII ALE TEMPORIZATORULUI 555 1. Arhitectura temporizatorului 555 Temporizatorul 555 a fost folosit prima oară în 1971 de Signetics orporation şi a fost primul temporizator

Διαβάστε περισσότερα

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie Dragomirescu L., Drane J. W.,, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucureşti, 7p. ISB 78-7-74-46-8..6. Formule de calcul pentru medie

Διαβάστε περισσότερα