Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Capitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier"

Σελήνη Καζαντζής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la ideea lui D. Bernoulli de a reprezenta o curbă definită peintervalul [ ] printr-o serie de sinusuri şi cosinusuri. Prin 85 Fourier propune formulele pentru coeficienţii acestei serii. Descoperirea lui Fourier produce un efect etraordinar şi de-a lungul secolului al XIX-lea, este considerată ca una din cele mai importante teoreme ale analizei. Convergenţa seriei Fourier nu a putut fi demonstrată decât prin 89 de către Dirichlet, utilizând funcţia monotonă peporţiuni introdusă în 8 de către Cauch. Definiţia. Ofuncţie reală : R, R se numeşte periodică dacă eistă un număr real 6= astfel încât oricare ar fi şi ( )=() Numărul real minim (dacă eistă) cu această proprietate se numeşte perioada principală a lui Definiţia. Funcţia () = X ( cos sin ) R = (.) = se numeşte polinom trigonometric de ordinul Termenul cos sin se numeşte armonica de ordin a polinomului trigonometric. Observaţia. Notând = sin = cos armonica de ordin se scrie cos sin = sin( ) în care se numeşte amplitudine, pulsaţie şi faza iniţială. Observăm că polinomul trigonometric (.) este o funcţie periodică cu perioada =

2 CAPITOLUL. SERII FOURIER Definiţia. Seriadeforma X ( cos sin ) (.) = se numeşte serie trigonometrică. Dacă seria trigonometrică esteconvergentă, atunci suma ei va fi ofuncţie periodică de perioadă = Seria trigonometrică (.) s-a obţinut cu ajutorul sistemului de funcţii = ( () = () =sin () =cos () =sin () =cos ) Fiind dată ofuncţie periodică () deperioadă ne punem problema să determinăm condiţiile pe care trebuie săleîndeplinească ()astfelîncât să putem construi seria trigonometrică (.) care să conveargăcătre () Presupunem că avem egalitatea () = X ( cos sin ) (.) = Sistemul de funcţii =( () = () =sin () =cos () =sin () =cos ) este un sistem ortogonal în ( ([ ] R) h i) cuprodusul scalar definit hi = Z ()() R Reţinem că cos ()sin() = ½ R 6= cos ()cos() = = ½ R 6= sin ()sin() = = R sin ()cos() = Dacă 6= R cos ()cos() = ³ = Dacă = R cos () = R sin ( ) sin ( ) R Dacă 6= R sin ()sin() = ³ = (cos ( ) cos( ) ) = cos() = R = (cos ( ) cos ( ) ) = sin ( ) sin ( ) =

3 .. DEZVOLTAREA ÎN SERIE FOURIER Dacă = R R sin () = cos () = R R sin ()cos() = (sin ( ) sin( ) ) = ³ = cos ( ) cos ( ) = deoarece funcţia cos este pară şi cos ( ) cos ( )( ) = Ortonormăm sistemul de funcţii şi obţinem =( () = () = sin () = cos () = cos () = sin ) Facem ipoteza că seria trigonometrică este uniform convergentă, deci putem integra termen cu termen şi în bazaproprietăţii sistemului de a fi ortonormat obţinem D E D E Z = = () Înmulţind apoi seria (.) cu sin şi respectiv cu cos şi integrând, (sistemul este ortonormat), obţinem: D E sin = şi respectiv D E cos = D sin E sin = Z D E cos cos = Z ()sin (.4) ()cos (.5) Coeficienţii determinaţi după formulele (.5) şi (.4) se numesc coeficienţii Fourier pentru funcţia () iar seria trigonometrică (.) cu aceşţi coeficienţi se numeşte seria Fourier a funcţiei periodice () Evident că pentruofuncţie periodică cu perioada integrabilă, putem determina coeficienţii Fourier corespunzători funcţiei date precum şi seria Fourier (.) asociată lui Nu putem însă să scriem egalitatea (.) deoarece nu ştim dacă seria este convergentă şi în cazdeconvergenţă, nu ştim dacă sumaeiestetocmaifuncţia Din acest motiv se scrie () = X ( cos sin ) = Condiţii suficiente pentru care o funcţie periodicăcuperioada săpoată fi reprezentată prin seria Fourier asociată ei au fost găsite de Dirichlet.

4 4 CAPITOLUL. SERII FOURIER Definiţia.4 Ofuncţie :[ ] R se numeşte netedă peporţiuni dacă este de clasă pe [ ] (continuă cuderivatacontinuă) cu ecepţia unui număr finit sau numărabil de puncte în care are derivate laterale finite. Teorema. (Condiţiile lui Dirichlet) Dacă funcţia a) este periodică cuperioada b) este netedă peporţiuni pe intervalul [ ], atunci seria Fourier asociată acesteifuncţii este punctual convergentă şi are suma () ( ) ( ) ( ) () = ( )( ) = ± unde ( ) = lim % ()( )=lim & () Observaţia. Dacă este netedă peporţiuni pe [ ] şi continuă pe( ), atunci () =(), ( ) ( ) Observaţia. Dacă este netedă peporţiuni şi continuă pe[ ], atunci() =(), ( ) [ ]. Teorema. Dacă R ([ ]) atunci are loc egalitatea lui Parseval Z () = X = unde şi sunt coeficienţii Fourier ai funcţiei.. Prelungire prin imparitate şi paritate a unei funcţii Definiţia.5 ½ Fie funcţia :[] R Funcţia ( ) [ ) () = () [] se numeşte prelungirea funcţiei prin imparitate. Seria Fourier asociată lui este seria de sinusuri (.7). Definiţia.6 ½ Fie funcţia :[] R Funcţia ( ) [ ) () = () [] se numeşte prelungirea funcţiei prin paritate. Seria Fourier asociată lui este seria de cosinusuri (.6).

5 .. DEZVOLTAREA ÎN SERIE FOURIER 5.. Cazuri particulare. Seria Fourier a funcţiilor pare sau impare Dezvoltarea în serie Fourier a funcţiilor periodice se simplifică dacăpeintervalul[ ] funcţia este pară sauimpară. Astfel, dacă funcţia este pară peintervalul[ ] atunci ( ) =() şi deci funcţia ()cos este pară iar()sin este impară. Tinând seama de proprietăţile acestor funcţii obţinem = = Z Z () = Z () ()cos = Z ()cos Z = ()sin = Seria Fourier va avea în acest caz epresia () = X cos (.6) Pentru funcţia este impară peintervalul[ ] atunci ( ) = () şi deci funcţia ()cos este impară iar()sin este pară. Tinând seama de proprietăţile acestor funcţii obţinem = = Z Z Z () = ()cos = = ()sin = ()sin Seria Fourier va avea în acest caz epresia Z = () = X sin (.7) = Eemplul½. Să sedezvolteîn serie Fourier funcţia [ ) () = [] -trasam graficul funcţiei Graficul funcţiei este reprezentat în Figurademaijos.

6 6 CAPITOLUL. SERII FOURIER studiem paritatea Funcţia este o funcţie impară -prelungim prin periodicitate functia Prelungim funcţia prin periodicitate Din grafic observăm că suntsatisfăcute condiţiile lui Dirichlet: funcţia este monotonă pe porţiuni şi mărginită, deci admite o dezvoltare în serie Fourier. -calculăm coeficienţii Conform formulelor de calcul al coeficienţilor pentru funcţii impare, coeficienţii Fourier sunt: = = Z = sin() = cos ( =4 = 4 =5 P Deci () = 4 = ( ( ) ) sin( ) = = ( ) = 4 µ sin sin sin 5 sin( ) 5 -analizăm suma seriei Pentru [ ) (]avemrelaţia () =() iar în punctul de discontinuitate ( ) ( ) =avem() = = Câteva dintre polinoamele trigonometrice care aproimează şi graficele lor sunt date mai jos: () = 4 sin

7 .. DEZVOLTAREA ÎN SERIE FOURIER µ sin () = 4 sin () = 4 µ sin sin sin () = 4 µ sin sin sin 5 5 sin () = 4 (sin sin sin 5 5 sin 7 7 sin 9 ) 9

8 8 CAPITOLUL. SERII FOURIER () = 4 (sin sin..5 sin 5 5 sin 7 7 sin 9 9 sin sin sin 5 5 sin 7 ) Aproimarea cu sume parţiale ale seriei Fourier toate trasate pe acelaşi grafic împreună cu graficul funcţiei sunt prezentate în figura de mai jos Cu ajutorul seriilor Fourier se pot obţine sumele unor serii numerice, dând valori particulare lui În cazul seriei date, în punctele de continuitate, putem scrie () = 4 X sin( ) = = = 4 µ sin sin sin 5 sin( ) 5 Pentru = obţinem sin( ) =( ) de unde rezultă = 4 X ( ) X ( ) = 4 = = Altă sumăseobţine aplicând egalitatea lui Parseval

9 .. DEZVOLTAREA ÎN SERIE FOURIER 9 Z Z () = = X = X = µ 6 ( ) 8 = X = ( ) Eerciţiul. Să se studieze dacă următoarele funcţii satisfac condiţiile teoremei lui Dirichlet şi să dezvolte în serie Fourier funcţiile periodice: a) :[ ] R dacă dacă () = () dacă dacă b) semnalul dreptunghiular (numit şi fereastra dreptunghiulară centrată în origine de lăţime ) este dat de funcţia: : R ½ R dacă () = în rest c) :[ ππ] R () = şi să sededucăsumaseriei 5 7 Etapederezolvare: -trasam graficul funcţiei () = dacă Din grafic observăm că sunt satisfăcute condiţiile lui Dirichlet: funcţia este monotonă pe porţiuni şi mărginită, deci admite o dezvoltare în serie Fourier. -prelungim prin periodicitate functia, translând graficul la dreapta şi la stânga cu intervale de lungime Astfel funcţiapecareodezvoltăm în serie Fourier este o funcţie periodică.

10 4 CAPITOLUL. SERII FOURIER studiem paritatea. Observăm că funcţia este impară, deci = = -calculăm coeficienţii = Z sin = cos Z cos = ³ ( ) sin = ( ) - scriem seria Fourier () = P ( ) sin = -analizăm suma seriei În punctele de continuitate, ( ) avem() = () în = ± () = ( ) ( ) ( ) ( ) =( ) = = Calculăm ( )= X ( ) sin µ = 5 7 de unde rezultă = că 5 7 = 4 Din egalitatea lui Parseval obţinem X = 6 = Trasăm graficele polinoamelor trigonometrice cu care construim seria Fourier. () =sin sin () =sin sin sin sin 4

11 .. DEZVOLTAREA ÎN SERIE FOURIER () =sin sin sin sin 4 sin 5 sin 6 5 Graficele suprapuse d). :[ ππ] R ½ sin dacă π () = dacă - - Eemplul. Să se dezvolte în serie Fourier, prelungind funcţia prin paritate şi apoi prin imparitate, funcţia ½ () = dacă ( ) dacă I. Cazul în carefuncţia este prelungită prin paritate -trasam graficul funcţiei

12 4 CAPITOLUL. SERII FOURIER..5. Prelungim funcţia prin paritate ( ) dacă () = dacă dacă ( ) dacă -trasam graficul funcţiei pare prelungim prin periodicitate Z -calculăm coeficienţii = Z µ () = ( = Z ()cos = ( )(cos) ) Z Z Z ()cos = ( )) = µ ( Z (cos )

13 .. DEZVOLTAREA ÎN SERIE FOURIER 4 Z (cos ) = sin = sin µ cos Z Z sin = ( )(cos) = R sin sin = sin Z µ µ = sin = 4 µcos cos = 4 µ cos cos = - scriem seria Fourier () = 6 X = - analizăm suma seriei sin = sin µ cos cos µ cos = = 8cos cos cos 4 sin µ cos cos µ cos cos Deoarece funcţia este continună peste tot R, rezultă () = 6 X cos sin cos 4 = () = 6 cos 4 = 6 cos sin 4 = () = 6 cos cos 6 4 6

14 44 CAPITOLUL. SERII FOURIER () = 6 cos cos 6 cos II. Cazul în carefuncţia este prelungită prin imparitate -trasam graficul funcţiei..5. Prelungim funcţia prin imparitate

15 .. DEZVOLTAREA ÎN SERIE FOURIER 45 () = ( ) dacă dacă dacă ( ) dacă -trasam graficul funcţiei impare prelungim prin periodicitate calculăm coeficienţii = = = Z ()sin = Z ()sin = ( Z = 8 sin - scriem seria Fourier () = P 8 = sin sin - analizăm suma seriei Deoarece funcţia este contiună peste tot R, rezultă () = P 8 = sin sin () = 8 (sin )..5 Z (sin ) ( )(sin) )

16 46 CAPITOLUL. SERII FOURIER () = 8 sin sin () = 8 sin sin sin Observaţia.4 Dacă presupunem că perioada principală este = toate rezultatele obţinute rămân valabile. În acest caz coeficienţii Fourier sunt daţi de relaţiile Z Z = () = () = = Z Z ()cos = ()sin = Z Z ()cos ()sin

Σχετικά έγγραφα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele