Γεωργικός Πειραματισμός (Κωδ. 3515) Βασικές Στατιστικές Μέθοδοι και Εργαλεία Ανάλυσης Δεδομένων 3. Γραμμική Συσχέτιση και Γραμμική Παλινδρόμηση
|
|
- Μνημοσύνη Ἠλύσια Χρηστόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Γεωργικός Πειραματισμός (Κωδ. 355) Βασικές Στατιστικές Μέθοδοι και Εργαλεία Αάλυσης Δεδομέω 3. Γραμμική Συσχέτιση και Γραμμική Παλιδρόμηση Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Συτελεστής γραμμικής συσχέτισης του Pearon (Pearon correlaton coeffcent) (, ), =,,3,..., =, r = = r + = = = ( )( ) = = = = ( ) = = = = ( ) = = = <r< <r< -<r< Διάγραμμα διασποράς (catterplot) r= r= r= Η γεική υπόθεση για έα μοτέλο παλιδρόμησης H Χ μετριέται χωρίς σφάλμα εώ η Υ για κάθε επίπεδο τυχαία μεταβλητή με πεπερασμέη μέση τιμή και διακύμαση. της Χ, είαι Το στατιστικό γραμμικό μοτέλο (tochatc or probabltc model) Η ευθεία παλιδρόμησης της Y πάω στη Χ Στο στατιστικό γραμμικό μοτέλο θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις,,..., είαι τυχαίες παρατηρήσεις από πληθυσμούς με μέσες τιμές α + β και σχετίζοται με τα μέσω τω σχέσεω = α + β + ε, =,,..., Y = τετερμιιστικό μοτέλο + τυχαίο σφάλμα Τα ε = ( α + β ) είαι τυχαίες μεταβλητές με E( ε ) =, V ( ε ) = σ, Cov( ε, ε j ) =, j οομάζοται τυχαία σφάλματα (random error) και ατίστοιχα εκφράζου τη η απόκλιση της παρατήρησης από τη μέση τιμή α + β του πληθυσμού από το οποίο αυτή προέρχεται (του πληθυσμού όλω τω δυατώ ότα το Χ έχει τιμή ). Προφαώς έχουμε E( Y ) = α + β και V ( Y ) = σ = V ( ε ) E( Y ) = α + β Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
2 Y ~ N( α + β, σ ), =,,..., Το καοικό γραμμικό μοτέλο (, ), =,,3,..., Η ευθεία ελαχίστω τετραγώω ˆ = ˆ α + ˆ β ˆ β = = = g ( α, β ) = = ε = και ˆ α = ˆ β ˆ = + ˆ( β ) Ερμηεία τω παραμέτρω: Το βˆ εκφράζει τη ααμεόμεη (μέση) μεταβολή της εξαρτημέης μεταβλητής Υ ότα η τιμή της αεξάρτητης μεταβλητής Χ αυξηθεί κατά μια μοάδα. Έτσι, ότα η τιμή της Χ αυξηθεί κατά μια μοάδα το ŷ αυξάεται κατά βˆ μοάδες α ˆ β > ή ελαττώεται κατά βˆ μοάδες α ˆ β <. Το αˆ εκφράζει τη ααμεόμεη (μέση) τιμή της εξαρτημέης μεταβλητής Υ ότα η τιμή της αεξάρτητης μεταβλητής Χ πάρει τη τιμή Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
3 ˆ ε = ˆ = ( ˆ α + ˆ β ) Υπόλοιπα (redual) Συτελεστής προσδιορισμού (Coeffcent of determnaton) Μέσο τετραγωικό υπόλοιπο (redual mean quare ή mean quare error) Τυπικό σφάλμα της εκτίμησης (tandard error of the etmate) Διαστήματα Εμπιστοσύης για τις παραμέτρους α, β Διάστημα Εμπιστοσύης για τη πρόβλεψη της μέσης τιμής Ε(Υ) της Υ για Χ = = ( ) = = ( ˆ ) + = ( ˆ ) SSTO = SSR + SSE SSR r = SSTO Ερμηεία του συτελεστή προσδιορισμού r : οι παρατηρήσεις όλες μεταξύ τους ίσες, παρουσιάζου μεταβλητότητα (SSTO). Έα μέρος αυτής της μεταβλητότητας εξηγείται από τα μέσω του γραμμικού δε είαι μοτέλου (SSR). Το υπόλοιπο μέρος της συολικής μεταβλητότητας δε εξηγείται από το γραμμικό μοτέλο (SSE) αποδίδεται στη τύχη και εκφράζει τη τυχαιότητα τω παρατηρήσεω, δηλαδή τις τυχαίες αποκλίσεις τους από το μέσο τους (τα ε ). Ο συτελεστής προσδιορισμού r εκφράζει το ποσοστό της συολικής μεταβλητότητας της εξαρτημέης μεταβλητής Υ που εξηγείται από τη αεξάρτητη μεταβλητή Χ μέσω του γραμμικού μοτέλου. Σημείωση: Στο SSE εσωματώεται (α) η επίδραση παραγότω που συεισφέρου στη μεταβλητότητα τω αλλά δε συμπεριλαμβάοται στο μοτέλο (δηλαδή, εσωματώεται η επίδραση μεταβλητώ πέρα της Χ) και (β) η επίδραση από πιθαή αστοχία στη επιλογή μοτέλου (μπορεί η σχέση α περιγράφεται «καλύτερα» από έα μη γραμμικό μοτέλο). SSE = MSE = = Αποτελεί μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμασης V ( Y ) = σ = V ( ε ) = MSE ( α)% Διάστημα εμπιστοσύης για τη παράμετρο α ˆ α ± SE ( ˆ) α t ; α ( α)% Διάστημα εμπιστοσύης για τη παράμετρο β ˆ β ± SE ( ˆ) β t ; α Όπου, SE( ˆ) α = + και SE ( ˆ) β = ( ) ( α)% Διάστημα Εμπιστοσύης για τη πρόβλεψη της μέσης τιμής Ε(Υ ) για X = ˆ ± ( ˆ ) t ; α Όπου, ˆ ˆ ˆ = α + β και ( ) ( ˆ = ) + ( ) Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 3
4 Διάστημα Πρόβλεψης για τη τιμή της Υ ότα η Χ πάρει τιμή. Περιοχή απόρριψης της H : β = β Περιοχή απόρριψης της H : ρ = Σύγκριση τω κλίσεω δύο ευθειώ παλιδρόμησης H : β = β H : β β Συτελεστής γραμμικής συσχέτισης και παλιδρόμηση Αιτιότητα ( α)% Διάστημα Πρόβλεψης για τη τιμή της Υ ότα X = ˆ Όπου, ˆ ˆ ˆ = α + β έατι της H : β β ˆ β β έατι της H : ρ t, α ( ) ± + + ; α ( ) t έατι της H : β > β ( ˆ β β ) t έατι της H : ρ > r t, α r r Περιοχή απόρριψης της H : β = β ˆ β ˆ β t + ( ) ( ) + ( ) ( ), α έατι της H : β < β ( ˆ β β) t έατι της H : ρ < r r t, α r t, α + 4; α Όπου, = + 4,, τα μέσα τετραγωικά υπόλοιπα τω δύο μοτέλω και,, οι δειγματικές διακυμάσεις τω δύο αεξάρτητω μεταβλητώ, α Ότα έχουμε πειραματικά δεδομέα όπου ο ερευητής ελέγχει-καθορίζει τις τιμές της μιας μεταβλητής, τότε η μεταβλητή αυτή είαι αεξάρτητη (Χ) και η τυχαία μεταβλητή απόκρισης (Υ) εξαρτημέη. Σε αυτή τη περίπτωση εκτιμάμε τη ευθεία παλιδρόμησης της Υ πάω στη Χ. Ότα και οι δύο μεταβλητές (Χ και Υ) είαι τυχαίες, τότε μπορούμε α θεωρήσουμε ως αεξάρτητη οποιαδήποτε από τις δύο και α μελετήσουμε είτε τη παλιδρόμηση της Υ πάω στη Χ είτε τη παλιδρόμηση της Χ πάω στη Υ. Έτσι, α ˆ = ˆ α + ˆ β και ˆ = aˆ + bˆ τότε ˆ β = και ˆ b = και επομέως: ˆ β b ˆ = r Η συσχέτιση δε συεπάγεται κατ αάγκη αιτιότητα. ( Προεκβολή (etrapolaton) Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 4
5 Προβλήματα και Ασκήσεις. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η ποσότητα αζωτούχου λιπάσματος () που χρησιμοποιήθηκε σε καθέα από 8 πειραματικά αγροτεμάχια καλλιέργειας βρόμης καθώς και η απόδοση () κάθε αγροτεμαχίου (σε άδες pound/στρέμμα) (σε buhel/στρέμμα) (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση απόδοση βρόμης για συγκεκριμέη ποσότητα αζωτούχου λιπάσματος. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Ποιο ποσοστό της μεταβλητότητας της απόδοσης της καλλιέργειας εξηγείται από τη ποσότητα αζωτούχου λιπάσματος μέσω του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (α); (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Για ποσότητα αζωτούχου λιπάσματος ίση με 5 pound/στρέμμα τι απόδοση βρόμης ααμέετε κατά μέσο όρο αά στρέμμα; (ζ) Για τη εκτίμηση που ζητείται στο (στ) δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης. (η) Για ποσότητα αζωτούχου λιπάσματος ίση με 5 pound/στρέμμα τι απόδοση βρόμης ααμέετε κατά μέσο όρο αά στρέμμα; Τι αξία μπορεί α έχει αυτή η εκτίμηση;. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται ο υπό αόργαη μορφή φώσφορος () σε 6 δείγματα εδαφώ και ατίστοιχα ο φώσφορος () που αφομοιώθηκε από φυτά καλαμποκιού που καλλιεργήθηκα σε αυτά τα εδάφη (οι τιμές είαι σε ppm). Έδαφος Έδαφος,4 64 9,9 76,4 6 3, , 7 3, 77 4,6 6, , , 95 6,7 77 4, , ,9 99 8, 93 6,6 93 (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω το οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη ποσότητα φωσφόρου που κατά μέσο όρο απορροφού τα φυτά καλαμποκιού από τη ποσότητα φωσφόρου που βρίσκεται σε αόργαη μορφή στο έδαφος. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε μια εκτίμηση με 95% εμπιστοσύη της μέσης αύξησης της ποσότητας φωσφόρου που αφομοιώεται από τα φυτά καλαμποκιού για κάθε επιπλέο ppm φωσφόρου στο έδαφος. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 5
6 (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Για ποσότητα φωσφόρου (αόργαης μορφής) στο έδαφος ίση με ppm τι ποσότητα φωσφόρου εκτιμάτε ότι θα απορροφήσου κατά μέσο όρο τα φυτά καλαμποκιού; Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης. Να απατήσετε χρησιμοποιώτας τα παρακάτω output από τη αάλυση τω δεδομέω με το στατιστικό πακέτο Statgraphc. Coeffcent Leat Square Standard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value Intercept 63,943 3,79 7,75, Slope,58,534 4,98574, Anal of Varance Source Sum of Square Df Mean Square F-Rato P-Value Model 4,83 4,83 4,86, Redual 35,7 4 96,5833 Total (Corr.) 3753, 5 Predcted Value 95,% 95,% Predcted Predcton Lmt Confdence Lmt X Y Lower Upper Lower Upper, 89,44 66,835,374 8,99 96, Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η απόδοση μιας ποικιλίας σιταριού (Yecora) και μιας ποικιλίας κουκιώ (ΚΥ-88) καθώς και οι τιμές (ατίστοιχα) του Δείκτη Υδατικού Δυαμικού (Water Potental Inde-WPI). Σιτάρι (Yecora) WPI Απόδοση (MPa) (Mg/ha) Κουκιά (KY-88) WPI (MPa) Απόδοση (Mg/ha) -,49 6, -,65,656 -,33 6,7 -,59,638 -,9 7, -,564,838 -,74 4,73 -,5,69 -,69 4,8 -,967,76 -,79 3,47 -,984,433 -,37 6,88 -, 3,58 -,33 5,67 -,35,79 -,44 6,47 -,59,94 -, 4,47 -,8,43 -,9 3,47 -,9,966 -,,7 -,994,93 -,6,354 (α) Στα δεδομέα που αφορού το σιτάρι ποικιλίας Yecora (και ατίστοιχα στα δεδομέα που αφορού στη ποικιλία κουκιώ ΚΥ-88) α προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση απόδοση σιταριού Yecora (και ατίστοιχα τη μέση απόδοση κουκιώ ΚΥ- 88) για συγκεκριμέη τιμή του Δείκτη Υδατικού Δυαμικού. Karamano, A. J. & Papatheohar, A. Y. (999). Aement of drought retance of crop genotpe b mean of the water potental nde. Crop cence, 39(6), Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 6
7 (β) Για καθέα από τα μοτέλα που εκτιμήσατε στο (α) α ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του, α υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του και α εξετάσετε α είαι στατιστικά σηματικό. Πώς συγκρίοται οι κλίσεις τω δύο γραμμικώ μοτέλω; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Για τα δεδομέα που αφορού στο σιτάρι δίοται: = -9,49, = 6, 9, =, 496, =, 8, =, 4768 Για τα δεδομέα που αφορού στα κουκιά δίοται: = -5,78, =, 34, =, 73, =, 67, =, Έας γεωπόος-ερευητής σε φυτώριο πειραματικού σταθμού, έχει επιοήσει μια κλίμακα μέτρησης του «βαθμού φρεσκάδας» που διατηρού οι τριαταφυλλιές αφότου συσκευαστού και αποθηκευτού μέχρι α μεταφυτευθού. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται ο χρόος αποθήκευσης σε ημέρες () καθεμιάς από δέκα τριαταφυλλιές και ατίστοιχα ο «βαθμός φρεσκάδας» () ,3 6,8 3,6 3,8 9,8 8,7 5,5 4,7.8, (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε το ααμεόμεο «βαθμό φρεσκάδας» τω τριαταφυλλιώ για συγκεκριμέο χρόο αποθήκευσης. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (δ) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (ε) Τι «βαθμό φρεσκάδας» ααμέετε α έχου οι τριαταφυλλιές μετά από 8 ημέρες αποθήκευσης; (στ) Για τη εκτίμηση που ζητείται στο (ε) δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης. (ζ) Τι «βαθμό φρεσκάδας» ααμέετε α έχου οι τριαταφυλλιές μετά από 3 ημέρες αποθήκευσης; Τι αξία μπορεί α έχει αυτή η εκτίμηση; Δίοται: = 5, = 9, = 75, =, 986 =. 5. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα δεδομέα που προέκυψα από έα πείραμα για τη διερεύηση της σχέσης μεταξύ της φωτειής διαπερατότητας () τω φύλλω μιας ποικιλίας ρυζιού και της επιφάειας του φύλλω όπως αυτή περιγράφεται μέσω εός δείκτη ().,5 75, 5,6 9,,6 7, 7, 5,,8 4, 8,75,,5 9, 9,6,,8 7,,4, 5,45,,,9 (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη φωτειή διαπερατότητα τω φύλλω ρυζιού για συγκεκριμέη τιμή του δείκτη. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 7
8 (γ) Να κατασκευάσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Για τη διάγωση πιθαώ αποκλίσεω από τις υποθέσεις του καοικού γραμμικού μοτέλου που προσαρμόσαμε στο (α), κατασκευάσαμε (με το στατιστικό πακέτο Statgraphc) το διάγραμμα διασποράς (catter plot) τω δεδομέω και τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω, το διάγραμμα υπολοίπω (redual plot) και το καοικό διάγραμμα πιθαότητας (Normal Probablt Plot) τω υπολοίπω (σχήματα, και 3 ατίστοιχα). Υποδεικύου αυτά τα διαγράμματα παραβίαση κάποιας (ή κάποιω) από τις υποθέσεις-παραδοχές του καοικού γραμμικού μοτέλου (γραμμικότητα, καοικότητα, ομοσκεδαστικότητα, αεξαρτησία); Δίοται: = 67, = 75, = 55, = 4359, = 53. Σχήμα- Σχήμα- Σχήμα-3 Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 8
9 6. Έας γεωπόος προκειμέου α μελετήσει το τρόπο που η ποσότητα λιπάσματος επηρεάζει τη απόδοση μιας καλλιέργειας, πειραματίσθηκε με διαφορετικές ποσότητες λιπάσματος σε αγροτεμάχια ίδιου εμβαδού. Μερίμησε επίσης, στα αγροτεμάχια α επικρατού ίδιες ή παρόμοιες καλλιεργητικές συθήκες έτσι ώστε οι όποιες διαφοροποιήσεις στη παραγωγή τω αγροτεμαχίω α οφείλοται κατά κύριο λόγο στις διαφορετικές ποσότητες λιπάσματος. Στο πίακα που ακολουθεί δίεται η παραγωγή κάθε αγροτεμαχίου () και η ατίστοιχη ποσότητα λιπάσματος () που χρησιμοποιήθηκε (σε κιλά) (σε άδες κιλά) (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση απόδοση της καλλιέργειας για συγκεκριμέη ποσότητα λιπάσματος. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε μια εκτίμηση με 95% εμπιστοσύη της μέσης αύξησης της παραγωγής α χρησιμοποιηθεί έα επιπλέο κιλό λιπάσματος. (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Για ποσότητα λιπάσματος ίση με 9 κιλά/αγροτεμάχιο τι απόδοση ααμέετε κατά μέσο όρο αά αγροτεμάχιο; (ζ) Για τη εκτίμηση που ζητείται στο (στ) δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης. (η) Για ποσότητα λιπάσματος ίση με κιλά/αγροτεμάχιο τι απόδοση ααμέετε; Τι αξία μπορεί α έχει αυτή η εκτίμηση; Δίοται: =64, = 646, = 38, = 4654, = Στο πλαίσιο μιας μελέτης για τη σχέση του ύψους και της ηλικίας τω δέδρω μιας δασικής έκτασης, συγκετρώθηκα τα ακόλουθα δεδομέα. Ηλικία (σε m) Ύψος (σε έτη) (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε (για τη συγκεκριμέη δασική έκταση) α εκτιμήσουμε το μέσο ύψος τω δέδρω συγκεκριμέης ηλικίας. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Ποιο ποσοστό της μεταβλητότητας του ύψους τω δέδρω εξηγείται από τη ηλικία τους μέσω του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (α);. (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Τα παρακάτω output προέκυψα από σχετική αάλυση τω δεδομέω με το στατιστικό πακέτο SPSS. Να απατήσετε στα ερωτήματα χρησιμοποιώτας αυτά τα output (και αφού συμπληρώσετε τα κεά). Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 9
10 Model Coeffcent a Untandardzed Coeffcent Standardzed Coeffcent B Std. Error Beta (Contant),7,835 3,35,48,,5,979 8,345? a. Dependent Varable: ANOVA b Model Sum of Square df Mean Square F Sg. Regreon? 44, 69,63,4 a Redual,9 3? Total 46, 4 a. Predctor: (Contant), b. Dependent Varable: 8. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η απόδοση σε σπόρο () φυτώ μιας ποικιλίας σκληρού σιταριού. Επίσης, για κάθε φυτό φαίοται τέσσερα συστατικά της απόδοσης: ο αριθμός σταχιώ, ο αριθμός σταχιδίω αά στάχυ και ο αριθμός σπόρω αά σταχίδιο. (σε gr) Στάχια/ φυτό Σταχίδια/ στάχυ (l) Σπόροι/ σταχίδιο (w) (σε gr) Στάχια/ φυτό Σταχίδια/ στάχυ (l) t Σπόροι/ σταχίδιο (w) () (), 4,4 9,8,9 3,6 5,9 3,, 6,8 9, 4,5,8 6, 5,3 6,,4 8,8 5,6,5,9 4, 5,,5,,,6,,9,, 4,8,4 3,6 3,3 3,,3 5,3 6,3,5,6 4, 5,,3,4,,4 6,4,8 7,4 9,4,7,, 9,6 6,,,,5 8,4,,9 3,8 3,3,,,8 4,,9 9,5 9,6 6,4,9,3 3,4 4,7,8,7 4,7,,8 7,6 8,3 7,8,9,9,3 4,3, (α) Με βάση τα δεδομέα του πίακα α γίει αάλυση συσχέτισης τω χαρακτηριστικώ απόδοσης της συγκεκριμέης ποικιλίας σκληρού σιταριού. (β) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση απόδοση σε σπόρο αά φυτό α μας είαι γωστός ο αριθμός σταχιώ αά φυτό. (γ) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (β); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Δίοται: = 8, = 58, = 38, = 37, = Ο Sr Franc Galton σε εργασία του το 894 διερεύησε τη σχέση μεταξύ της διαμέτρου του σπόρου αρακά (d) και της διαμέτρου του παραγόμεου καρπού Sg. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
11 (d). Για α συγκετρώσει πολλά δεδομέα, αέθεσε σε πολλούς φίλους του α φυτέψου σπόρους διαμέτρω.5-. ιτσώ. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται έα μέρος από τα δεδομέα που συγκέτρωσε (οι μετρήσεις είαι σε ίτσες). d d d d d d d d Να διερευήσετε τη σχέση μεταξύ της διαμέτρου του σπόρου-γοέα και της διαμέτρου του παραγόμεου καρπού. Δίοται: d = 9, 4, d = 9,, d =, 73, d =, 63, d d =, 66.. Στο πλαίσιο εός πειράματος (Lnnk, 96) διερευήθηκε α και πώς η διαλυτότητα του ιτρικού ατρίου (NaNO3) εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται για εέα διαφορετικές θερμοκρασίες (σε βαθμούς κελσίου) τα μέρη ιτρικού ατρίου που διαλύθηκα σε μέρη ερού. Θερμοκρασία () Μέρη NaNO 3 () (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω μέσω της οποίας α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση διαλυτότητα ιτρικού ατρίου για συγκεκριμέη θερμοκρασία. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Ποιο ποσοστό της μεταβλητότητας της διαλυτότητας του ιτρικού ατρίου εξηγείται από τη θερμοκρασία μέσω του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (α); (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη ααμεόμεη διαλυτότητα ιτρικού ατρίου σε θερμοκρασία 3 ο C. Δίοται: = 34, = 8, = 44, = 76334, = 464. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
12 . Σε δείγματα μελιού έγια επεμβάσεις με malathon και fluvalnate σε συθήκες ncubator και torage. Για α μελετηθεί ο ρυθμός αποδόμησης τω ουσιώ αυτώ, έγια μετρήσεις της συγκέτρωσης κάθε ουσίας σε διάφορους χρόους t μετά τη ατίστοιχη επέμβαση. Τα αποτελέσματα τω μετρήσεω αυτώ φαίοται στους παρακάτω πίακες. Χρόος μετά τη αγωγή t (σε εβδ.) Malathon Συγκέτρωση Χρόος μετά τη επέμβαση Fluvalnate Συγκέτρωση (σε ppb) (σε ppb) t Incubator Storage Incubator Storage (σε εβδ.) (α) Οι ερευητές προσάρμοσα στις πειραματικές μετρήσεις και για κάθε περίπτωση ξεχωριστά (malathon σε ncubator, malathon σε torage, fluvalnate σε ncubator, fluvalnate σε torage), το απλό γραμμικό μοτέλο παλιδρόμησης. Να εκτιμήσετε αυτά τα μοτέλα γραμμικής παλιδρόμησης και α ερμηεύσετε τις τιμές τω παραμέτρω τους. (β) Να αξιολογήσετε τα μοτέλα που (γ) Για κάθε περίπτωση, α εκτιμήσετε τη μέση συγκέτρωση της ουσίας δύο εβδομάδες μετά τη ατίστοιχη επέμβαση. (δ) Να ελέγξετε α υπάρχει στατιστικώς σηματική διαφορά μεταξύ τω ρυθμώ αποδόμησης ) της ουσίας malathon σε συθήκες ncubator και σε συθήκες torage ) της ουσίας fluvalnate σε συθήκες ncubator και σε συθήκες σε torage ) της ουσίας malathon σε συθήκες ncubator και της ουσίας fluvalnate σε συθήκες ncubator.. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται για έξι διαφορετικές θερμοκρασίες περιβάλλοτος οι ρυθμοί καταάλωσης οξυγόου που παρατηρήθηκα σε πουλιά ορισμέου είδους. Θερμοκρασία ( C) -5 5 () Καταάλωση Οξυγόου (ml/g/hr) () 3,6 3,3,6,3,,9 (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω μέσω της οποίας α μπορούμε για το συγκεκριμέο είδος πουλιώ α εκτιμήσουμε το μέσο ρυθμό καταάλωσης οξυγόου για συγκεκριμέη θερμοκρασία. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που βρήκατε στο (α); Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Balaann, P. G., & Santa, L. A. (99). Dpaton of malathon and fluvalnate redue from hone. Journal of Apcultural Reearch, 3(), Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
13 (δ) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για το μέσο ρυθμό καταάλωσης οξυγόου τω πουλιώ σε θερμοκρασία περιβάλλοτος 8 ο C. Δίοται: = 4, = 5, 9, = 694, = 44, 35, = 8, Σε έα γωστό πείραμα (Forbe 857) μετρήθηκε η θερμοκρασία βρασμού του ερού σε διάφορες τιμές ατμοσφαιρικής πίεσης. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται έα μέρος από τα δεδομέα που προέκυψα. Πίεση (σε ίτσες) () Θερμοκρασία βρασμού σε ( o F) (),79 94,5,4 97,9, ,35 99,9 3,89,9 4,,4 5,4 3,6 6,57 4,6 7,76 8,6 8,49 9,5 (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω μέσω της οποίας α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση θερμοκρασία βρασμού του ερού υπό συγκεκριμέη ατμοσφαιρική πίεση. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που βρήκατε στο (α); Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (δ) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη μέση θερμοκρασία βρασμού του ερού υπό ατμοσφαιρική πίεση 3 ίτσες. Δίοται: = 45, = 9, = 66, = 47958, = Γεωπόος εδιαφέρεται α εκτιμήσει τη απόδοση () καλλιέργειας βαμβακιού με βάση το αριθμό τω καρπώ/καρυδιώ () στο μέσο της καλλιεργητικής περιόδου. Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η απόδοση καθεός από επτά αγροτεμάχια και ατίστοιχα ο αριθμός καρπώ κατά το μέσο της καλλιεργητικής περιόδου. Απόδοση (σε μπάλες) Αριθμός καρπώ 5,5,8 4,7 4,3 3,7 6, 4,5 (σε εκατοτάδες) (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορεί ο γεωπόος α εκτιμήσει τη μέση απόδοση βαμβακιού αά αγροτεμάχιο με βάση το αριθμό καρπώ κατά το μέσο της καλλιεργητικής περιόδου. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 3
14 (στ) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη ααμεόμεη απόδοση βαμβακιού (αά αγροτεμάχιο) α κατά το μέσο της καλλιεργητικής περιόδου καταμετρηθού 43 καρποί. (ζ) Για αριθμό καρπώ στο μέσο της καλλιεργητικής περιόδου ίσο με 7 τι απόδοση ααμέετε; Τι αξία μπορεί α έχει αυτή η εκτίμηση; Δίοται: = 3,6, = 35, = 49, 8, = 645, = 64, (Συέχεια της άσκησης 4) Σε έα κρίσιμο για τη αάπτυξη τω φυτώ στάδιο, ο γεωπόος μέτρησε το αριθμό τω επιβλαβώ ετόμω αά αγροτεμάχιο. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα δεδομέα που προέκυψα. Απόδοση (σε μπάλες) Αριθμός ετόμω 3 8 (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορεί ο γεωπόος α εκτιμήσει τη μέση απόδοση βαμβακιού αά αγροτεμάχιο με βάση το αριθμό τω επιβλαβώ ετόμω αά αγροτεμάχιο. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Δίοται: = 96, = 35, = 4, = 645, = Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η ηλικία και το βάρος δώδεκα μοσχαριώ Ηλικία (σε μήες) Βάρος (σε Kg) (α) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε το μέσο βάρος τω μοσχαριώ συγκεκριμέης ηλικίας. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να δώσετε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου. Πώς ατιλαμβάεστε (ερμηεύετε) αυτό το διάστημα; (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (στ) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη εκτίμηση του μέσου βάρους τω μοσχαριώ ηλικίας 7 μηώ. Δίοται: = 7, =, = 6, = 6, = Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα δεδομέα που συγκετρώθηκα στο πλαίσιο μελέτης που έγιε για τη ποσότητα σωματιδίω ρύπασης που Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 4
15 απομακρύοται από το ατμοσφαιρικό αέρα σε σχέση με τη ημερήσια βροχόπτωση. Ημερήσια βροχόπτωση () (σε.cm) Σωματίδια () (σε μg/m 3 ) 4,3 6 4,5 5 5,9 6 5,6 8 6, 4 5, 8 3,8 3, 4 7,5 8 (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω μέσω της οποίας α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση ποσότητα σωματιδίω που απομακρύοται από το ατμοσφαιρικό αέρα για συγκεκριμέη ημερήσια βροχόπτωση. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (δ) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που βρήκατε στο (α); Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. (ε) Δώστε έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη μέση ποσότητα σωματιδίω που απομακρύοται από το ατμοσφαιρικό αέρα ότα η ημερήσια βροχόπτωση είαι 4.8 (. cm). Δίοται: = 45, = 98, = 44, = 3477, = Τα δεδομέα που ακολουθού προέκυψα στο πλαίσιο πειράματος για τη μελέτη και διερεύηση της επίδρασης της θερμοκρασίας συτήρησης () στη υφή της επιφάειας () της φράουλας (οι τιμές της θερμοκρασίας έχου κωδικοποιηθεί) , 3,5,,5, (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω μέσω της οποίας α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη υφή της επιφάειας τω φραουλώ από τη θερμοκρασία συτήρησής τους. (β) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που (γ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που (δ) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (α); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Δίοται: =, =, = 6, = 3, 5, = Στο πίακα που ακολουθεί φαίεται η απόδοση σε σπόρο φυτώ εός πληθυσμού λούπιου. Επίσης φαίεται το ύψος κάθε φυτού αμέσως μετά τη συγκομιδή, ο αριθμός σπόρω αά φυτό και ο αριθμός λοβώ αά φυτό 3. 3 Χαρακτηρισμός του Λούπιου τω Άδεω και καταγραφή τω επικοιαστώ του σε δύο περιοχές στη Ελλάδα. Μεταπτυχιακή Μελέτη, Μπάρδα Μυρτώ, 8. (Επιβλ. Καθηγ. Μπεμπέλη Π.) Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 5
16 Απόδοση (gr) Ύψος φυτού (cm) l Σπόροι/φυτό w Λοβοί/φυτό,45 43, , , , 3,38 3 7,66 7 3, 33,5 6, , ,5 34,5 9, , ,63 35,5 8 3,39 38,5 6 8, ,9 6 3, ,8 3 5,9 3 5 (α) Με βάση τα δεδομέα του πίακα α γίει αάλυση συσχέτισης τω τεσσάρω χαρακτηριστικώ του συγκεκριμέου πληθυσμού λούπιου. (β) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε τη μέση απόδοση σε σπόρο αά φυτό α μας είαι γωστό το ύψος του φυτού. (γ) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (β); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Δίοται: = 668,5, = 5, 9, = 38, 3, = 53, 3, = 963, 5.. Στο πίακα που ακολουθεί δίοται τα αποτελέσματα μετρήσεω πέτε μορφολογικώ χαρακτηριστικώ άγριου κριθαριού (Hordeum podaneum). Μήκος σπόρου Πλάτος σπόρου Μήκος λέπυρου Μήκος τρίχας λέπυρου Συμπάγια 9,,8 6,3 9,5,9 8,98,84,63 5,6,97 9,8,9 7,5,4 3 9,65,84 5,5 7,8,3 8,3,97,37 5,45 3,76 9,45,98 3,5 6,6 5, 8,85,96 3,9 6, 4,6 9,3,99 4,67 7,,45 8,86,86,75 5,9 5, 9,8,98 3,3 6,7 5,7 Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 6
17 (α) Με βάση τα δεδομέα του πίακα α γίει αάλυση συσχέτισης τω πέτε συγκεκριμέω χαρακτηριστικώ του άγριου κριθαριού. (β) Να προσαρμόσετε κατάλληλο γραμμικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορούμε α εκτιμήσουμε το μήκος του σπόρου από το μήκος του λέπυρου. (γ) Να ερμηεύσετε το σταθερό όρο και τη κλίση του γραμμικού μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (δ) Να υπολογίσετε και α ερμηεύσετε το συτελεστή προσδιορισμού του μοτέλου που εκτιμήσατε στο (β). (ε) Πώς αξιολογείτε το μοτέλο που εκτιμήσατε στο (β); Είαι στατιστικά σηματικό; Χρησιμοποιείστε επίπεδο σηματικότητας,5. Δίοται: = 49, = 98, 5, = 5833, = 885, = (Συέχεια της Άσκησης ) Για τη διάγωση πιθαώ αποκλίσεω από τις υποθέσεις του καοικού γραμμικού μοτέλου που προσαρμόσαμε στο ερώτημα (α), κατασκευάσαμε (με το στατιστικό πακέτο Statgraphc) το διάγραμμα διασποράς τω δεδομέω και τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω, το διάγραμμα υπολοίπω και το καοικό διάγραμμα πιθαότητας τω υπολοίπω (σχήματα, και 3 ατίστοιχα). Υποδεικύου αυτά τα διαγράμματα παραβίαση κάποιας (ή κάποιω) από τις υποθέσεις-παραδοχές του καοικού γραμμικού μοτέλου (γραμμικότητα, καοικότητα, ομοσκεδαστικότητα, αεξαρτησία); Σχήμα- Σχήμα- Σχήμα-3 Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 7
18 Άσκηση 4 (εδεικτική απάτηση) Για τους απαιτούμεους υπολογισμούς διευκολύει α συμπληρώσουμε το πίακα δεδομέω ως εξής: = 5,5 3,5 44 5,5,8 7 7, ,6 4,7, ,3 9 8, ,7 3,7 5 3, ,5 6, 3 37, 59 4,3 4,5,5 4 9 = 3,6 = 35 = 49, 8 = 645 = 64, 6 = = Υπολογίζουμε τα στατιστικά,,, συέχεια. = = 3,6 = = 7 4,5, = και 35 = = 9,9 7 = = 64,6 7 4,5 9,9 = 6 = = ( 49,8 7 4,5 ) =, 4 = 6 ( ,9 ) = 6, 7 = 6 = MSE = =,5 =,3 ( ) =, 6 6,6 = 6,7 =,5 5,4 (α) Για τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω ˆ = ˆ α + ˆ β έχουμε ˆ,6 β = = =, και ˆ α = ˆ β = 9,9, 4,5 = 9, 8,4 Άρα, το ζητούμεο γραμμικό μοτέλο περιγράφεται από τη εξίσωση ˆ = 9,8 +, = που θα μας χρειαστού στη Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 8
19 (β) Ερμηεία του βˆ : Επειδή ˆ β =, >, αύξηση του αριθμού τω καρπώ συεπάγεται αύξηση της απόδοσης βαμβακιού. Για κάθε επιπλέο άδα καρπώ η μέση απόδοση εκτιμάται ότι θα αυξάεται κατά, μπάλες αά αγροτεμάχιο. Ερμηεία του αˆ : Δίει τη εκτίμηση της μέσης απόδοσης για = (δηλαδή, για μηδέ καρπούς). Επειδή όμως η τιμή είαι εκτός του εύρους τω πειραματικώ δεδομέω αλλά και επειδή με όρους του φυσικού προβλήματος δε έχει όημα (α ααμέουμε απόδοση από μηδέ καρπούς), η εκτίμηση αυτή δε είαι μια αξιοποιήσιμη πρόβλεψη και ασφαλώς δε έχει όημα. (γ) Το ζητούμεο ( α)% διάστημα εμπιστοσύης δίεται από το τύπο ˆ β ± SE ( ˆ) β t ; α,3 Όπου, α =, 5 και SE ( ˆ) β = = =, 45,4 6 Άρα έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για τη κλίση του μοτέλου είαι, ±,45t ή, ±,45, 57 ή, ±, 6 ή [,94 3,6] 5;.5 Αυτό σημαίει ότι για κάθε επιπλέο άδα καρπώ είμαστε 95% βέβαιοι ότι η μέση απόδοση θα αυξάεται από,94 έως 3,6 μπάλες αά αγροτεμάχιο. (δ) O συτελεστής προσδιορισμού είαι,6 r = = =,8.,4 6,7 Δηλαδή, ο αριθμός τω καρπώ (κατά το μέσο της καλλιεργητικής περιόδου) εξηγεί μέσω του γραμμικού μοτέλου το 8% της συολικής μεταβλητότητας της απόδοσης του βαμβακιού. (ε) Θα κάουμε το έλεγχο της υπόθεσης H : β έατι της H : β = όπου β η κλίση της ευθείας παλιδρόμησης. Η απορριπτική περιοχή του ελέγχου ορίζεται από τη αισότητα ˆ β β t, α Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος 9
20 , 7 και επειδή για επίπεδο σηματικότητας α = 5% η τιμή = 4, 64 που,3, παίρει η στατιστική συάρτηση ελέγχου αήκει στη απορριπτική περιοχή αφού, 7 = 4,64 t 5 ;.5 =,57, η μηδεική υπόθεση απορρίπτεται, δηλαδή σε,3, επίπεδο σηματικότητας 5%, το μοτέλο που προσαρμόσαμε είαι στατιστικά σηματικό. Αυτό σημαίει ότι ο αριθμός καρπώ (κατά το μέσο της καλλιεργητικής περιόδου) μέσω του γραμμικού μοτέλου συεισφέρει στατιστικά σηματικά στη πρόβλεψη της μέσης απόδοσης βαμβακιού. (στ) Για = 4, το μοτέλο που προσαρμόσαμε στα πειραματικά δεδομέα προβλέπει ˆ = 9,8 +, 4, = 8, 6 μπάλες αά αγροτεμάχιο. Αυτό σημαίει ότι α στο μέσο της καλλιεργητικής περιόδου καταμετρηθού 4 καρποί, η ααμεόμεη απόδοση βαμβακιού εκτιμάται (προβλέπεται) ίση με 8,6 μπάλες αά αγροτεμάχιο. Έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για αυτή τη εκτίμηση δίεται από το τύπο ˆ ± ( ˆ ) t ; α όπου, ˆ = 8, 6 και ( ) (4, 4,5) ( ˆ ) = =.5 =,3 ( ) + 7 6,4 + δηλαδή, 8,6 ±,3t 5;, 5 ή 8,6 ±, 3. Αυτό σημαίει ότι για αριθμό καρπώ 4 (στο μέσο της καλλιεργητικής περιόδου) το διάστημα [ 7,39 9,85] περιέχει τη μέση απόδοση βαμβακιού με πιθαότητα 95%. (ζ) Για = 7 το μοτέλο προβλέπει ˆ = 9,8 +, 7 = 4, 5 μπάλες αά αγροτεμάχιο όμως αυτή η εκτίμηση δε είαι μια καλή και αξιοποιήσιμη πρόβλεψη γιατί η τιμή = 7 βρίσκεται εκτός του εύρους τω πειραματικώ δεδομέω. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίεται το διάγραμμα διασποράς τω δεδομέω, το γραμμικό μοτέλο που προσαρμόσαμε και η 95% ζώη εμπιστοσύης. Εργαστήριο Βελτίωσης Φυτώ & Γεωργικού Πειραματισμού/Γ. Κ. Παπαδόπουλος
, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12
Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252
Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης
Διαβάστε περισσότερα5. Περιγραφική Στατιστική
Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.
Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Γραμμική Συσχέτιση και Παλιδρόμηση Σύτομη αασκόπηση ασικώ εοιώ, προτάσεω
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική
Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης
Διαβάστε περισσότερα5. Περιγραφική Στατιστική
Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους
Διαβάστε περισσότεραΣτον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.
Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότερα4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 5) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 4. Βασικές καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Η διωυμική καταομή με παραμέτρους και p Η
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές
Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ 860) Τυχαίες μεταβλητές-βασικές καταομές Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας (Laplace, 181) Ο στατιστικός ορισμός
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότερα5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα
Διαβάστε περισσότερα{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]
Σημειώσεις στη Πληροφορική ΙΙΙ 1. Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο. Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στη Στατιστική
Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το
Διαβάστε περισσότεραείναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.
Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
.Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις
Διαβάστε περισσότερα«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση
Διαβάστε περισσότερα2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
- 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (
Διαβάστε περισσότεραΠανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας
ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ
2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή
Διαβάστε περισσότερα(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)
η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε
Διαβάστε περισσότερα9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.
Διαβάστε περισσότεραΕλένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων
Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια Αθήνα, 6-4-7 Γραμμικά Μοντέλα Λύσεις Ασκήσεων η Άσκηση: (α) Eίναι η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών γραμμική; Διάγραμμα Διασποράς Για το Υψόμετρο & τις Αρνητικές Τιμές
Διαβάστε περισσότερα(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή
Διαβάστε περισσότεραυπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,
Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00
Διαβάστε περισσότεραΚάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο
.Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,
Διαβάστε περισσότεραc f(x) = c f (x), για κάθε x R
(http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου
Διαβάστε περισσότεραΤυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,
Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,
Διαβάστε περισσότεραc f(x) = c f (x), για κάθε x R
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος
Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2
Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,
Διαβάστε περισσότεραΕ 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)
Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,
Διαβάστε περισσότερα4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων
Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε
Διαβάστε περισσότεραlim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΑναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)
Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Διερεύηση 1. 1. Έας χώρος στάθμευσης έχει 21 σειρές, καθεμιά από τις οποίες έχει 8 θέσεις.
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4
(http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΙγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα
Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 6 Οκτωβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση η (3//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017
Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε
.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Στατιστική είαι ο κλάδος τω μαθηματικώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγκέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους και τη παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού
Διαβάστε περισσότεραφ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4
Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου
Διαβάστε περισσότερα{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]
Σημειώσεις στις Πιθαότητες Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 8 Νοεμβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση 3 η (//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35
Διαβάστε περισσότεραΧ. Εμμανουηλίδης, 1
Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς
Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω [] [] Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ
ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε
Διαβάστε περισσότερα2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα
Μάθημα: Στατιστική (Κωδ 105) Διδάσκω: Γιώργος Κ Παπαδόπουλος 2 Πιθαότητα και Δεσμευμέη Πιθαότητα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός
Διαβάστε περισσότερα1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος
Διαβάστε περισσότερα1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών
Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις
Διαβάστε περισσότεραΠροσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού
Προσοµοίωση Εξέτασης στο µάθηµα του Γεωργικού Πειραµατισµού ρ. Γεώργιος Μενεξές Τοµέας Φυτών Μεγάλης Καλλιέργειας και Οικολογίας Viola adorata Σκηνή Πρώτη Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους (µέρος Ι). Ο µέσος όρος
Διαβάστε περισσότεραστους μιγαδικούς αριθμούς
Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;
Διαβάστε περισσότεραΓ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11.
Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 0-0 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη γ Μαθηματικά Γεικής Παιδείας.09 Ασκήσεις για λύση M. Παπαγρηγοράκης.09 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης
Διαβάστε περισσότεραΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά
Διαβάστε περισσότεραΜονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων
Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Ανεξάρτητων Δειγμάτων 1 Μονοπαραγοντική Ανάλυση Διακύμανσης Παραμετρικό στατιστικό κριτήριο για τη μελέτη της επίδρασης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη Λογική
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση Φεβρουαρίου (2011/12) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός. Ζήτηµα 1 ο (2 µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Σειρά Β Εξέταση Φεβρουαρίου (0/) στο Μάθηµα: Γεωργικός Πειραµατισµός Θεσσαλονίκη: 4/0/0 Επώνυµο Όνοµα Αρ. Μητρώου Κατεύθυνση Ζήτηµα ο ( µονάδες) Για κάθε λανθασµένη απάντηση δεν λαµβάνεται υπόψη µία σωστή
Διαβάστε περισσότεραΓια το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2
013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ
Διαβάστε περισσότεραα + α+ α! (=+9 [1] ι «Analyze-Regression-Linear». «Dependent» ι η η η!ηη ι «Independent(s)» η!ηη. # ι ι ι!η " ι ιηη, ι!" ι ηιι. 1 SPSS ι η η ι ιηη ι η
# η &, ε ε 007, ιη Pearson r "η η ι ι ι η ι!ι ι ι η ι η!ηη ι ι!ηη. η ι ιηη ι" η ι!"ι 0 ι η ( α ι ι α η 9 ( ι ι / + -predctor varable). * ι ι ι ι η ι ι ι!ηη η "ι ι ι ι!ηη η ι ι η η ι 'ι ι ι (η ) ι η ( "
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης
Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να
Διαβάστε περισσότεραΌταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.
Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΓραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 2. i β. 1 ου έτους (Υ i )
Άσκηση Ο επόμενος πίνακας δίνει τους βαθμούς φοιτητών (Χ i ) στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός κολεγίου και τους αντίστοιχους βαθμούς τους (Υ i ) στο τέλος της πρώτης χρονιάς φοίτησης στο συγκεκριμένο κολέγιο.
Διαβάστε περισσότεραΑπλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Διαβάστε περισσότερα5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο
5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται
Διαβάστε περισσότερα7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις περιόδου στο μάθημα ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... Σ ΑΜ:. Ημερομηνία: Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION)
4. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ (STEPWISE REGRESSION) Η μέθοδος της βηματικής παλινδρόμησης (stepwise regression) είναι μιά άλλη μέθοδος επιλογής ενός "καλού" υποσυνόλου ανεξαρτήτων μεταβλητών.
Διαβάστε περισσότεραwww.fr-anodos.gr (, )
ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32
Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017
Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 2 ο ) 31/3/2017 2 Σχέδιο τυχαιοποιημένων πλήρων ομάδων (1) Αποτελεί ευθεία γενίκευση του σχεδίου που γνωρίσαμε όταν μιλήσαμε για τη σύγκριση κατά ζεύγη δύο μέσων μ 1 και μ 2
Διαβάστε περισσότερα