Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β."

Transcript

1 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο εδεχόμεο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Βασικές Έοιες και Τύποι Οι συθήκες κάτω από τις οποίες εκτελείται έα πείραμα τύχης δε καθορίζου το αποτέλεσμα με βάση τη αρχή της αιτιότητας. Το αποτέλεσμα αποδίδεται στη τύχη. Η έοια του τυχαίου συδέεται με το πολυσύθετο και το περιορισμέο της γώσης τω αιτίω που προκαλού το αποτέλεσμα. Το χαρακτηριστικό εός πειράματος τύχης είαι ότι, σε μια εκτέλεσή του, δε μπορούμε α προβλέψουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμα που θα εμφαισθεί. Μπορούμε όμως α καταγράψουμε όλα τα δυατά αποτελέσματά του. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω που μπορού α εμφαισθού σε μια εκτέλεση εός πειράματος τύχης. Υποσύολα του δειγματικού χώρου. Σε μια εκτέλεση εός πειράματος τύχης, έα εδεχόμεο πραγματοποιείται (εμφαίζεται) ότα το αποτέλεσμα του πειράματος είαι στοιχείο του. Ω, Πραγματοποιείται πάτα. φ, Δε πραγματοποιείται ποτέ. Ότα πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Εδεχόμεο Α, υποσύολο του εδεχομέου Β, A B Ίσα εδεχόμεα A = B Ότα πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β και ατιστρόφως. Τομή εδεχομέω AB ή Πραγματοποιείται ότα πραγματοποιούται και το Α και το Β. A B Έωση εδεχομέω Πραγματοποιείται ότα πραγματοποιούται το Α ή το Β (ή και τα A B δύο), ή αλλιώς, ότα πραγματοποιείται τουλάχιστο έα από τα Α, Β. c Συμπλήρωμα A ή A Πραγματοποιείται ότα δε πραγματοποιείται το Α. Ξέα εδεχόμεα Α, Β Εδεχόμεα τα οποία δε έχου κοιά σημεία ( AB = φ ) A B ή A B Πραγματοποιείται ότα πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. Διαφορά Συμμετρική διαφορά Πραγματοποιείται ότα πραγματοποιείται ακριβώς έα από τα Α, Β. A B A B ( A Πραγματοποιείται ότα δε πραγματοποιούται ούτε το Α ούτε το Β. ( AB ) Πραγματοποιείται ότα δε πραγματοποιείται τουλάχιστο έα από τα Α, Β. Βασικές Ιδιότητες τω A φ = A, A φ = φ πράξεω μεταξύ A A = A, AA = A εδεχομέω A Ω = Ω, A Ω = A A A = Ω, ( A ) = A Α A B τότε AB = A και A B = B ( A = A B, ( AB ) = A B Στατιστικός ορισμός της A πιθαότητας = lim, όπου A ο αριθμός εμφαίσεω του + (Richard von Mises, 99) εδεχομέου Α σε επααλήψεις του πειράματος Αξιωματικός ορισμός της. P ( 0, εδεχόμεο Α του Ω. πιθαότητας. P ( Ω) = (Kolmogorov, 933) 3. P ( A A...) = A ) + A ) +..., για A, A,... ξέα αά δύο εδεχόμεα. Κλασικός ορισμός της Α ο Ω είαι πεπερασμέος και όλα τα απλά εδεχόμεά του είαι πιθαότητας ισοπίθαα, τότε (Laplace, 8) A πλήθος στοιχείω του Α P ( = = Ω πλήθος στοιχείω του Ω Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5

2 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Άλλες ιδιότητες της φ ) = 0 = Ω) πιθαότητας Για (προκύπτου από τα τρία A = { a, a,...}, είαι P ( = { a }) + { a}) +... αξιώματα) A ) = AB ) = A Α A B τότε A = + A Δεσμευμέη πιθαότητα του A Α δοθέτος του Β P ( A/ =, > 0 (δηλ. P ( 0 ) Ιδιότητες της δεσμευμέης. P ( A / 0 πιθαότητας. P ( Ω / = 3. P ( A A.../ = A / + A / +... για A, A,... ξέα αά δύο εδεχόμεα. Άλλες ιδιότητες της δεσμευμέης πιθαότητας φ / = 0 A / = A / AΓ / = A / AΓ / Α Γ A τότε Γ / A / A Γ / = A / + Γ / AΓ / Ότα B A τότε P ( A / =. Πολλαπλασιαστικός τύπος A = B / = A / ότα P ( > 0, ( > 0 Γεικά: P A A... A ) A ) A / A )... A / A A... A ) ότα Θεώρημα ολικής πιθαότητας P ( = ( A A... A ) > 0 Για κάθε διαμέριση B, B,... B P = A / B ) B ) + A / B ) B ) A / B P. του Ω με B i ) > 0, i =,,..., ( ) B ) B, B... B B i ) > 0, i =,,..., Θεώρημα του Bayes Για κάθε διαμέριση του Ω με A / Bi ) Bi ) Bi / =, i =,,..., όπου P ( υπολογίζεται από το θεώρημα ολικής πιθαότητας. Αεξάρτητα εδεχόμεα Α, Β P ( A =. Ότα P ( > 0, P ( > 0 και Α, Β αεξάρτητα τότε P ( A / = και P ( B / = Εξαρτημέα εδεχόμεα Α,Β A Αεξάρτητα εδεχόμεα Α, P ( A =, P ( AΓ) = Γ) Β, Γ BΓ) = Β) Γ) και P ( ABΓ) = Β) Γ) Αεξαρτησία και συμπληρωματικά εδεχόμεα Σχέσεις μεταξύ αεξάρτητω και ξέω εδεχομέω Α Α, Β αεξάρτητα τότε είαι αεξάρτητα και τα ζεύγη {Α, Β }, {Α, Β}, {Α, Β } Α Α, Β ξέα (με P ( > 0 και P ( > 0) τότε: A / = 0 και συεπώς τα Α, Β είαι εξαρτημέα. Α Α, Β ξέα τότε: A = 0 και P ( A = +. Α Α, Β αεξάρτητα τότε: P ( A = και A = + Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5

3 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Παράσταση εδεχομέω με διαγράμματα A B Τομή εδεχομέω ΑΒ Έωση εδεχομέω A B Συμπλήρωμα εδεχομέου Α Ξέα εδεχόμεα Διαφορά εδεχομέω ΑΒ Συμμετρική διαφορά εδεχομέω A B A B Χρήσιμη επισήμαση: Τα εδεχόμεα ΑΒ, ΑΒ και ΒΑ είαι ξέα και ισχύει, A = AB AB, B = BA AB ΑΒ ΑΒ ΒΑ Επομέως: P ( = AB ) + A, = BA ) + A Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 53

4 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Παράσταση του Θεωρήματος Ολικής Πιθαότητας με διάγραμμα = AB ΑΒ ΑΒ ΑΒ 3 ΑΒ AB... AB = A/ B ) B ) + A/ B ) = AB ) + AB ) B ) A/ B ) AB ) B ) ) = Παράσταση του Θεωρήματος του Bayes με διάγραμμα AB ) A/ B ) B ) AB ) A / B ) B ) P ( B / = =,., B / = = Ερώτηση: Πώς σχετίζεται με το γραμμοσκιασμέο εδεχόμεο η πιθαότητα P ( B / ; Οι πιθαότητες P AB ) και P A/ B ) ; ( ( Αυτοαξιολόγηση: Α Α, Β εδεχόμεα του δειγματικού χώρου Ω εός πειράματος τύχης, α συμπληρώσετε το πίακα: Συθήκη για A A A/ τα Α και Β Ξέα Αεξάρτητα Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 54

5 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Bayesian Spam Filters (Φίλτρα Spam που βασίζοται στο Θεώρημα του Bayes) Τα Spam είαι αεπιθύμητα s που κατακλύζου τα ηλεκτροικά mailboxes δημιουργώτας προβλήματα στους χρήστες ηλεκτροικού ταχυδρομείου αλλά και στα συστήματα διαχείρισης ηλεκτροικού ταχυδρομείου. Προέκυψε έτσι η αάγκη αάπτυξης εργαλείω λογισμικού τα οποία α φιλτράρου τα εισερχόμεα s και α απορρίπτου τα Spam. Πολλά από τα εργαλεία που ααπτύχθηκα για το σκοπό αυτό (όπως το SpamAssassin ή το ASSP) βασίζοται στο Θεώρημα του Bayes!! Ας δούμε πώς. Η βασική ιδέα για τη αάπτυξη αυτώ τω φίλτρω είαι ότι κάποιες λέξεις όπως «opportunity», «offer», «special», ή συδυασμοί λέξεω όπως «enhance performance», μπορεί α μαρτυρού ότι έα μήυμα που περιέχει κάποια ή κάποιες από αυτές τις λέξεις είαι Spam. Α επομέως απατηθεί το ερώτημα «ποια είαι η πιθαότητα, α είαι Spam έα μήυμα που διαπιστώσαμε ότι περιέχει μια ή περισσότερες τέτοιες λέξεις» και βρεθεί ότι η πιθαότητα αυτή είαι μεγάλη (μεγαλύτερη από κάποιο επίπεδο που θέτουμε π.χ. 95 %) τότε έα τέτοιο μήυμα μπορεί α απορριφθεί από το φίλτρο, δηλαδή, α θεωρηθεί Spam. Βέβαια, έα τέτοιο φίλτρο μπορεί α κάει λάθη. Δηλαδή, μπορεί έα μήυμα α το θεωρήσει Spam εώ δε είαι, καθώς επίσης έα μήυμα α μη το θεωρήσει Spam εώ είαι. Αυτό που επιδιώκεται είαι α ελαχιστοποιείται η πιθαότητα α θεωρηθεί έα μήυμα Spam εώ δε είαι. Είαι προφαές ότι τέτοια φίλτρα μπορού α βασίζοται σε μία ή περισσότερες λέξεις ή σε έα ή περισσότερους συδυασμούς λέξεω. Ας δούμε έα απλό φίλτρο που βασίζεται σε μια μόο λέξη. Έστω «w» μια τέτοια λέξη και ας υποθέσουμε ότι σε μια χροική περίοδο φθάει σε έα mail server έα σύολο μηυμάτω. Κάθε μήυμα από αυτά είαι ή δε είαι Spam. Έτσι, α S είαι το υποσύολο τω μηυμάτω που είαι Spam τότε προφαώς το S είαι το υποσύολο τω μηυμάτω που δε είαι Spam. Μπορούμε α μετρήσουμε σε πόσα από τα μηύματα του υποσυόλου S και σε πόσα από τα μηύματα του υποσυόλου S εμφαίζεται η λέξη «w» και έτσι α εκτιμήσουμε αφεός τη πιθαότητα: έα μήυμα που είαι Spam α περιέχει τη λέξη «w» και αφετέρου τη πιθαότητα: έα μήυμα που δε είαι Spam α περιέχει τη λέξη «w». Επίσης, μπορούμε α εκτιμήσουμε τη πιθαότητα: έα μήυμα που φθάει στο mail server είαι Spam και τη πιθαότητα: έα μήυμα που φθάει στο mail server δε είαι Spam. Έα μήυμα φθάει στο mail server και διαπιστώεται ότι περιέχει τη λέξη «w». Α E το εδεχόμεο: το μήυμα περιέχει τη λέξη «w», τότε όπως ααφέραμε προηγουμέως οι πιθαότητες P ( E / S) P ( E / S ), S) και P (S ) μπορού α εκτιμηθού και επειδή τα εδεχόμεα S και S διαμερίζου το σύολο όλω τω μηυμάτω, από το Θεώρημα του Bayes έχουμε: Η ιδέα παρουσιάσθηκε για πρώτη φορά το 998 στο συέδριο AAAI από τους Sahami, Dumais, Heckerman & Horvitz (A Bayesian approach to filtering junk ) και προσέλκυσε το εδιαφέρο μόλις από το 00 με τη δημοσίευση από το Paul Graham του άρθρου «A Plan for Spam» (www.paulgraham.com/spam.html). Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 55

6 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω E / S) S) S / E) =. E / S) S) + E / S ) S ) Ας δούμε έα αριθμητικό παράδειγμα: Βρέθηκε ότι από τα 3000 μηύματα που έφθασα μια χροική περίοδο σε έα mail server, τα 000 είαι Spam και τα 000 δε είαι Spam. Βρέθηκε επίσης ότι η λέξη «Rolex» εμφαίσθηκε σε 50 από τα 000 μηύματα που είαι Spam και σε 5 από τα 000 μηύματα που δε είαι Spam. Έα μήυμα φθάει στο mail server και διαπιστώουμε ότι περιέχει τη λέξη «Rolex». Ποια είαι η πιθαότητα το μήυμα αυτό α είαι Spam. Θεωρώτας ότι ο αριθμός τω επααλήψεω του πειράματος (3000) είαι αρκετά μεγάλος ώστε α έχει επιτευχθεί σταθεροποίηση τω σχετικώ συχοτήτω έχουμε: P ( S) = = 0.67, P ( S ) = S) = 0. 33, P ( E / S) = = 0. 5 και P ( E / S ) = = και επομέως η ζητούμεη πιθαότητα είαι: P ( S / E) = = Έτσι, α ως επίπεδο απόρριψης από το φίλτρο εός μηύματος που περιέχει τη λέξη «Rolex» θέσουμε το 0.95 τότε το μήυμα απορρίπτεται ως Spam. Αάλογα υπολογίζουμε τις ατίστοιχες πιθαότητες για φίλτρα που ελέγχου περισσότερες από μια λέξεις. Ερώτηση: Το εδεχόμεο «έα μήυμα είαι spam» και το εδεχόμεο «έα μήυμα περιέχει τη λέξη Rolex» είαι εξαρτημέα ή αεξάρτητα εδεχόμεα; Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 56

7 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω. Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00 από αυτά είχα προσβληθεί και από τη ασθέεια Α και από τη ασθέεια Β. Θεωρώτας ότι οι 5000 επααλήψεις είαι αρκετές ώστε α έχει επιτευχθεί η σταθεροποίηση τω σχετικώ συχοτήτω, α υπολογισθεί η πιθαότητα, σε έα ζώο της κτηοτροφικής μοάδας που επιλέγεται τυχαία α διαπιστωθεί ότι έχει προσβληθεί: α) από τη ασθέεια Α β) από τη ασθέεια Β γ) και από τις δύο ασθέειες δ) από τη ασθέεια Α, όχι όμως από τη ασθέεια Β ε) από τη ασθέεια Β, όχι όμως από τη ασθέεια Α στ) ακριβώς από μία από τις δύο ασθέειες.. Εξετάσθηκα 800 ζώα για α διαπιστωθεί α είαι υγιή ή άρρωστα. Επίσης, για κάθε ζώο καταγράφηκε το φύλο του. Τα αποτελέσματα τω εξετάσεω φαίοται στο πίακα που ακολουθεί. Υγιή Άρρωστα Αρσεικά Θηλυκά 80 0 Θεωρούμε τα εξής εδεχόμεα τα οποία ααφέροται στο πείραμα της επιλογής τυχαία εός ζώου από το πληθυσμό που μελετάμε: Α: το ζώο που επιλέχθηκε είαι υγιές Β: το ζώο που επιλέχθηκε είαι αρσεικό Με βάση τα δεδομέα του πίακα και θεωρώτας ότι οι 800 επααλήψεις είαι αρκετές ώστε α έχει επιτευχθεί η σταθεροποίηση τω σχετικώ συχοτήτω, α υπολογισθού οι πιθαότητες τω εδεχομέω: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, A B AB, AB A B 3. Έας οργαισμός ελέγχου ποιότητος γεωργικώ προϊότω έχει ορίσει τέσσερα επίπεδα ποιότητας α, β, γ και δ. Κάθε προϊό κατατάσσεται σε έα μόο από τα τέσσερα επίπεδα. Από στατιστικά στοιχεία που έχου συγκετρωθεί, έχει εκτιμηθεί ότι τα δύο πρώτα επίπεδα εμφαίζοται με τη ίδια πιθαότητα εώ το τρίτο και τέταρτο επίπεδο εμφαίζοται με τριπλάσια και πεταπλάσια πιθαότητα από το πρώτο ατίστοιχα. Για έα προϊό που επιλέγεται τυχαία, ποια είαι η πιθαότητα α κατατάσσεται, i) στο επίπεδο α ii) στο επίπεδο β iii) στο επίπεδο γ iv) στο επίπεδο δ v) στο επίπεδο α ή β vi) στο επίπεδο α ή β ή δ και vii) στο επίπεδο γ και δ. 4. Η πιθαότητα σε έα έτος α συμβεί σεισμός έτασης πάω από 7 βαθμούς της κλίμακας ρίχτερ σε μια συγκεκριμέη περιοχή είαι Η ατίστοιχη πιθαότητα α πληγεί η περιοχή από έτοες βροχοπτώσεις είαι 0.0, εώ υπάρχει πιθαότητα 0.00 σε διάρκεια εός έτους α εμφαισθού και τα δύο φαιόμεα. Να υπολογισθού οι πιθαότητες, σε έα έτος η περιοχή α πληγεί α) μόο από σεισμό β) μόο από έτοες βροχοπτώσεις γ) τουλάχιστο από έα από τα δύο φαιόμεα και δ) από καέα από τα δύο φαιόμεα. 5. Ο D Alembert, έας από τους επιστήμοες που ασχολήθηκα με τη Θεωρία Πιθαοτήτω στα πρώτα της βήματα, πρότειε τη εξής λύση για το υπολογισμό της πιθαότητας α εμφαισθεί μια τουλάχιστο κεφαλή σε δύο ρίψεις εός ομίσματος: Ως δειγματικό χώρο του πειράματος θεώρησε το σύολο Ω={0,, } όπου τα απλά εδεχόμεα {0}, {}, {} περιγράφου πόσες φορές εμφαίσθηκε Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 57

8 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω κεφαλή σε δύο ρίψεις. Δεδομέου ότι εδιαφερόμαστε για το εδεχόμεο Α={, }, ο D Alembert ισχυρίσθηκε ότι P ( = A =. Ω 3 Θα μπορούσε όμως κάποιος α ατιμετωπίσει το πρόβλημα ως εξής: Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είαι το σύολο Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} εώ το ζητούμεο αποτέλεσμα ατιστοιχεί στο εδεχόμεο Α={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ} και επομέως 3 P ( = A =. Ω 4 α) Ο D Alembert έκαε λάθος!! Εξηγείστε γιατί. β) Χρησιμοποιώτας το δειγματικό χώρο που όρισε ο D Alembert α υπολογίσετε τη σωστή τιμή της P (. 6. Το πρόβλημα τω γεεθλίω: Ποια είαι η πιθαότητα σε μια τάξη k φοιτητώ, δύο τουλάχιστο α έχου γεέθλια τη ίδια ημέρα. Θεωρήστε ότι το έτος έχει 365 ημέρες και ότι k Ποια είαι η πιθαότητα σε μια τάξη k φοιτητώ, έας συγκεκριμέος φοιτητής (από τους k), α έχει γεέθλια τη ίδια ημέρα με κάποιο από τους υπόλοιπους k- φοιτητές. Θεωρήστε ότι το έτος έχει 365 ημέρες και ότι k Το πρόβλημα του Chevalier de Mere: Ποιο είαι πιο πιθαό, ότι θα φέρουμε έα τουλάχιστο «6» ρίχοτας έα ζάρι 4 φορές ή ότι θα φέρουμε μια τουλάχιστο φορά «εξάρες» ρίχοτας δύο ζάρια 4 φορές. 9. Έα τμήμα της αλυσίδας του DNA παριστάεται ως μια σειρά με στοιχεία A, C, G, T που συμβολίζου τις 4 βάσεις αδείη, κυτοσίη, γουαίη και θυμίη ατίστοιχα. Πόσες διαφορετικές συθέσεις μπορού α προκύψου για έα τμήμα μήκους r α σε αυτό υπάρχου r στοιχεία ίσα με Α, r στοιχεία ίσα G, r 3 στοιχεία ίσα με C και r 4 ίσα με Τ (r = r + r + r 3 + r 4 ). Ας υποθέσουμε ότι όλες οι ακολουθίες (σειρές, συθέσεις) τέτοιου τύπου έχου τη ίδια πιθαότητα εμφάισης. Ποια είαι η πιθαότητα α προκύψει μια ακολουθία, για τη οποία τα στοιχεία που ατιστοιχού σε κάθε μια από τις 4 βάσεις α είαι συγκετρωμέα όλα μαζί (π.χ. ΑΑ..ΑCC CTT TGG G ή ΤΤ ΤΑΑ AGG GCC C κτλ). 0. Σε μια συγκεκριμέη δασική περιοχή ζου 300 ζώα που αήκου σε προστατευόμεο είδος. Μια επιστημοική ομάδα ετοπίζει τυχαία 00 από τα ζώα αυτά, τα σημαδεύει και τα αφήει ελεύθερα. Μετά από ορισμέο χροικό διάστημα, ετοπίζοται εκ έου 00 ζώα. Ποια είαι η πιθαότητα 0 ακριβώς από τα 00 ζώα α είαι σημαδεμέα;. Ας θεωρήσουμε ότι 8 φοιτήτριες και 4 φοιτητές κάθοται τυχαία σε καθίσματα. Ποια είαι η πιθαότητα α) όλοι οι φοιτητές α βρίσκοται σε διαδοχικές θέσεις β) καέας φοιτητής α μη κάθεται δίπλα σε άλλο φοιτητή γ) τουλάχιστο έας φοιτητής α κάθεται δίπλα σε άλλο φοιτητή.. Έα λεωφορείο ξεκιάει από τη αφετηρία με κ άτομα. Μέχρι α φθάσει στο τέρμα κάει στάσεις (συμπεριλαμβαομέου του τέρματος). Να βρεθεί η πιθαότητα τουλάχιστο σε μια στάση α κατέβηκα περισσότερα από έα άτομα ( k ). 3. Ρίχουμε έα όμισμα 0 φορές. Να βρεθεί η πιθαότητα α φέρουμε κάθε φορά διαφορετική έδειξη από τη προηγούμεη. Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 58

9 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω 4. Μια επιτροπή συγκροτείται από Γεωπόους και 3 Μηχαικούς που επιλέγοται από 5 Γεωπόους και 7 Μηχαικούς. Α όλες οι συθέσεις της επιτροπής που μπορού α προκύψου είαι εξίσου πιθαές, ποια είαι η πιθαότητα α) έας συγκεκριμέος Μηχαικός α συμμετέχει οπωσδήποτε στη επιτροπή β) δύο συγκεκριμέοι Γεωπόοι α μη συμμετέχου στη επιτροπή. 5. Σε μια χώρα, η πιθαότητα α ζήσει έας άδρας τουλάχιστο 70 χρόια είαι 0.85, εώ η πιθαότητα α ζήσει τουλάχιστο 75 χρόια είαι Α διαλέξουμε τυχαία έα 70-χροο άτρα από τη χώρα αυτή, ποια είαι η πιθαότητα α ζήσει τουλάχιστο άλλα 5 χρόια. 6. Το δίλημμα του φυλακισμέου: Φυλακισμέος που έχει υποβάλει μαζί με άλλους δύο συγκρατούμεούς του αίτηση αποομής χάριτος, πληροφορείται από έα φίλο του φρουρό ότι δύο από τους τρεις πρόκειται α αποφυλακισθού. Επειδή ο φρουρός δε θέλει α αποκαλύψει στο φυλακισμέο α αυτός είαι ο έας από τους δύο που αποφυλακίζοται, ο φυλακισμέος σκέπτεται α του ζητήσει α του αποκαλύψει ποιος από τους άλλους δύο πρόκειται α αποφυλακισθεί. Όμως διστάζει γιατί σκέπτεται ότι με τη απάτηση του φρουρού μειώεται η πιθαότητα αποφυλάκισής του από /3 σε /. Είαι οι δισταγμοί του φυλακισμέου δικαιολογημέοι; 7. Σε έα αγρόκτημα υπάρχου 0 κουέλια από τα οποία τα 3 είαι θηλυκά. Για το έλεγχο του πληθυσμού τω κουελιώ κρίθηκε σκόπιμο α απομακρυθού δύο από τα θηλυκά. Έτσι στήθηκε μια παγίδα όπου πιάοτα τα κουέλια το έα μετά το άλλο έως ότου πιαστού θηλυκά. Ποια είαι η πιθαότητα α συμβεί αυτό ότα πιαστεί το τέταρτο στη σειρά κουέλι; 8. Από επτά όμοια κλειδιά έα μόο αοίγει μια κλειδαριά. Δοκιμάζουμε χωρίς επαάθεση έα-έα τα κλειδιά μέχρι α αοίξει η κλειδαριά. Ποια είαι η πιθαότητα α αοίξει η κλειδαριά στη τρίτη δοκιμή; Γεικότερα στη κ δοκιμή; (όπου κ =,, 3, 4, 5, 6, 7) 9. Πολλαπλές γραμμές παραγωγής: Σε έα εργοστάσιο υπάρχου τρεις διαφορετικές γραμμές παραγωγής στις οποίες κατασκευάζεται το 50%, 30% και 0% τω προϊότω του εργοστασίου ατίστοιχα. Το 0.4% τω προϊότω της πρώτης γραμμής είαι ελαττωματικά, εώ τα ατίστοιχα ποσοστά για τις άλλες δύο γραμμές είαι 0.6% και.%. Τα προϊότα τω τριώ γραμμώ παραγωγής ααμιγύοται δημιουργώτας μια ειαία σειρά και στη συέχεια προωθούται στο τμήμα ποιοτικού ελέγχου. α) Στο τμήμα ποιοτικού ελέγχου επιλέγεται τυχαία έα προϊό. Ποια είαι η πιθαότητα το προϊό αυτό α είαι ελαττωματικό; β) Στο τμήμα ποιοτικού ελέγχου επιλέγεται τυχαία έα προϊό και διαπιστώεται ότι είαι ελαττωματικό. Ποια είαι η πιθαότητα το προϊό αυτό α προέρχεται από τη πρώτη γραμμή παραγωγής; Ερμηεύστε τις πιθαότητες που υπολογίσατε στα α) και β) με όρους ποσοστώ (δηλαδή τι εκφράζει ως ποσοστό η κάθε πιθαότητα και επί ποίου συόλου). 0. Διαγωστικά τεστ: Το % εός πληθυσμού πάσχει από AIDS. Η εξέταση που εφαρμόζεται για τη διάγωση της ασθέειας δίει σωστή διάγωση στο 90% τω περιπτώσεω, ότα το εξεταζόμεο άτομο πάσχει από AIDS, και στο 95% τω περιπτώσεω ότα δε πάσχει από AIDS. Επιλέγεται έα άτομο από το πληθυσμό αυτό στη τύχη και υποβάλλεται στη εξέταση. α) Ποια είαι η πιθαότητα η εξέταση α βγει θετική, δηλαδή α δείξει ότι πάσχει από AIDS. β) Ποια είαι η πιθαότητα λαθασμέης διάγωσης Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 59

10 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω γ) Ποια είαι η πιθαότητα α πάσχει πράγματι από AIDS έα άτομο για το οποίο η εξέταση ήτα θετική δ) Ποια είαι η πιθαότητα α είαι υγιές έα άτομο για το οποίο η εξέταση ήτα θετική.. Διαγωστικά τεστ: Έας γιατρός ακολουθεί τη εξής πολιτική. Υποβάλλει τους ασθεείς του σε μια σειρά αρχικώ εξετάσεω σχετικώ με τη ασθέειά τους και α μετά τα αποτελέσματα τω εξετάσεω είαι τουλάχιστο κατά 85% βέβαιος ότι ο ασθεής πάσχει, συιστά χειρουργική επέμβαση. Σε ατίθετη περίπτωση συστήει πρόσθετες επώδυες και πολυδάπαες εξετάσεις. Ας θεωρήσουμε έα ασθεή για το οποίο ο γιατρός, μετά από κλιική εξέταση, είαι κατά 70% βέβαιος ότι ο ασθεής πάσχει από συγκεκριμέη ασθέεια και συιστά α γίου οι αρχικές εξετάσεις, οι οποίες κάου ορθή διάγωση της ασθέειας πάτοτε. Το αποτέλεσμα τω εξετάσεω είαι θετικό και ο γιατρός είαι έτοιμος α συστήσει εγχείριση ότα για πρώτη φορά ο ασθεής το πληροφορεί ότι είαι διαβητικός. Η πληροφορία αυτή περιπλέκει τα πράγματα γιατί παρότι δε μεταβάλλεται η αρχική εκτίμηση του γιατρού α πάσχει ο ασθεής (70%), είαι ετελώς διαφορετική η αξιολόγηση που πρέπει α γίει στο αποτέλεσμα τω διαγωστικώ εξετάσεω. Ο λόγος στο οποίο οφείλεται αυτό είαι ότι, εώ οι εξετάσεις δε δίου ποτέ θετικό αποτέλεσμα για άτομα που δε πάσχου από τη ασθέεια, για διαβητικά άτομα, υπάρχει 5% πιθαότητα α δώσου θετικό αποτέλεσμα, εώ δε πάσχου από τη συγκεκριμέη ασθέεια. Συεκτιμώτας όλα αυτά τα στοιχεία, τι απόφαση πρέπει α πάρει ο γιατρός, πρόσθετες εξετάσεις ή εγχείριση;. Διαγωστικά τεστ: Από μελέτες που έγια σε μια χώρα, διαπιστώθηκε ότι το ποσοστό τω γυαικώ που πάσχου από καρκίο της μήτρας είαι % 0. Έα από τα πλέο δημοφιλή τεστ για τη διάγωση της ασθέειας, το τεστ Παπαικολάου, κάει ορθή διάγωση με πιθαότητα 98%. Α μια γυαίκα αυτής της χώρας υποβληθεί στο τεστ και βγει θετικό, ποια είαι η πιθαότητα η γυαίκα α έχει πράγματι καρκίο της μήτρας. Είαι δικαιολογημέος ο υπερβολικός φόβος της κυρίας μετά το αποτέλεσμα του τεστ; Επίσης, σχολιάστε τη υψηλή «ακρίβεια» (98%) του τεστ σε σχέση με τη τιμή της πιθαότητας που υπολογίσατε. 3. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής: Σε μια εξέταση δίδοται τέσσερις απατήσεις σε κάθε ερώτηση και σωστή είαι μόο μια από τις τέσσερις. Η πιθαότητα α γωρίζει ο εξεταζόμεος τη απάτηση μιας ερώτησης είαι 70%. Στις περιπτώσεις που ο εξεταζόμεος δε γωρίζει τη απάτηση σε μια ερώτηση, απατάει ετελώς τυχαία διαλέγοτας μια από τις τέσσερις απατήσεις που δίδοται. Α ο εξεταζόμεος απατήσει σωστά σε μια ερώτηση, ποια είαι η πιθαότητα α γώριζε τη απάτηση; 4. Αξιοπιστία: Σε έα μηχάημα χρησιμοποιούται δύο εξαρτήματα τα οποία λειτουργού αεξάρτητα το έα από το άλλο. Έχει παρατηρηθεί ότι στο 7% του χρόου λειτουργίας του μηχαήματος, καέα από τα δύο εξαρτήματα δε παρουσιάζει βλάβη. Όμως, σε έα ποσοστό % του χρόου λειτουργίας, παρουσιάζου βλάβη και τα δύο εξαρτήματα (ταυτόχροα). Για α λειτουργήσει το μηχάημα απαιτείται η λειτουργία του εός τουλάχιστο από τα δύο εξαρτήματα. Να υπολογισθεί η αξιοπιστία του μηχαήματος (δηλαδή η πιθαότητα λειτουργίας του μηχαήματος) καθώς και η αξιοπιστία καθεός από τα δύο εξαρτήματα (δηλαδή η πιθαότητα λειτουργίας καθεός εξαρτήματος). 5. Αξιοπιστία: Μια συδεσμολογία μοάδω λέγεται σύδεση σε σειρά (σειριακό σύστημα) ότα το σύστημα λειτουργεί α και μόο α λειτουργού και οι μοάδες του. Ατίστοιχα λέμε ότι έχουμε παράλληλη σύδεση (παράλληλο Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 60

11 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω σύστημα) ότα το σύστημα λειτουργεί α και μόο α λειτουργεί μια τουλάχιστο από τις μοάδες του Σύδεση σε σειρά.. Παράλληλη Σύδεση Α όλες οι μοάδες εός συστήματος έχου τη ίδια αξιοπιστία p (0<p<) α δείξετε ότι α) α το σύστημα είαι σειριακό τότε η αξιοπιστία του είαι R σ = p β) α το σύστημα είαι παράλληλο τότε η αξιοπιστία του είαι Rπ = ( p). 6. Αξιοπιστία: Η αξιοπιστία κάθε μίας από τις μοάδες εός σειριακού συστήματος είαι ίση με p (0<p<). Έας τεχικός, για α αυξήσει τη αξιοπιστία του συστήματος, χρησιμοποιεί επιπλέο μοάδες με τη ίδια αξιοπιστία p τις οποίες σκέφτεται α συδέσει στο υπάρχο σύστημα με έα από τους δύο διαφορετικούς τρόπους που φαίοται στα ακόλουθα σχήματα : Συδεσμολογία Ι Συδεσμολογία ΙΙ Να δείξετε ότι η αξιοπιστία του συστήματος με τη Συδεσμολογία Ι είαι = p ( p) και του συστήματος με τη Συδεσμολογία ΙΙ είαι R I R II = p ( p ). Ποια από τις δύο συδεσμολογίες πρέπει α χρησιμοποιήσει; (Υποθέστε ότι όλες οι μοάδες που χρησιμοποιούται λειτουργού αεξάρτητα η μια από τη άλλη.) Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6

12 Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. α) 0. β) 0.6 γ) 0.04 δ) 0.6 ε) 0. στ) , 5, 3, 57, 3,, 7,, 43, ,, 3, 5,, 7, α) β) 0.09 γ) 0.04 δ) Υπόδειξη: τα εδεχόμεα {0} και {} είαι ισοπίθαα εώ το εδεχόμεο {} έχει διπλάσια πιθαότητα εμφάισης 365 Δ k 6. k 365 k k Ότι θα φέρουμε έα τουλάχιστο 6 ρίχοτας έα ζάρι 4 φορές! 4! r! r! r3! r4! 9. r! !4! 8! 9 9 Δ 4 8! Δ. α) β) γ) 4!!! Δ k. k α) β) όχι διότι ελευθερώεται ο Α / ο φρουρός ααφέρει το Β)=/ (εφαρμόζουμε το πολλαπλασιαστικό τύπο σε κατάλληλα εδεχόμεα) 8. σε οποιαδήποτε δοκιμή είαι 7 9. α) το συολικό ποσοστό ελαττωματικώ προϊότω που παράγοται από το εργοστάσιο είαι 0.6% β) το ποσοστό ελαττωματικώ προϊότω που προέρχεται από τη πρώτη γραμμή παραγωγής είαι 3%. 0. α) β) 0.05 γ) 0.69 δ) χειρουργική επέμβαση (ο φόβος της κυρίας είαι υπερβολικός) , 0.8, τη συδεσμολογία Ι Εργαστήριο Μαθηματικώ & Στατιστικής /Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 5) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 4. Βασικές καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Η διωυμική καταομή με παραμέτρους και p Η

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης,. Λεπίπας, Π. Αγγελόπουλος Άσκηση.3 σελ. 4 α) εύκολο β) Αφού C F θα είαι σ( C) σ( F) και λόφω του α) θα είαι σ( C) F. Για τη απόδειξη του ατίθετου

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

5. Περιγραφική Στατιστική

5. Περιγραφική Στατιστική Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών

ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 03 Μαθηματικών ΑΣΕΠ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ 9 ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ 3 Μαθηματικώ Ερώτημα Ο Εισαγωγή ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ. Το συγκεκριμέο ερώτημα θα μπορούσε α έχει ισοδύαμα τη μορφή: «Να προτείετε σχέδιο μαθήματος,

Διαβάστε περισσότερα

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα.

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα. Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικώ ( α) µε ατιπροσωπευτικά παραδείγµατα & ατιπαραδείγµατα. Ιωάης Π. Πλατάρος, Μαθηµατικός, Καπετά Κρόµπα 37, Τ.Κ. 24 2 ΜΕΣΣΗΝΗ, ηλ./ταχ. Plataros@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο

Κάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο .Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

υπολογίζεται πιο εύκολα από την πιθανότητα P(A). Συγκεκριµένα, το ενδεχόµενο A περιλαµβάνει τις διατάξεις

υπολογίζεται πιο εύκολα από την πιθανότητα P(A). Συγκεκριµένα, το ενδεχόµενο A περιλαµβάνει τις διατάξεις 9 Παράδειγµα 64 Το πρόβληµα τω γεεθλίω Ας θεωρήσουµε έα σύολο ατόµω τω οποίω αταγράφουµε τα γεέθλια Σηµειώουµε ότι έα έτος έχει 65 ηµέρες ετός αι α είαι δίσετο, οπότε έχει 66 ηµέρες Επίσης έχει παρατηρηθεί

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. Πώς απαριθμούμε. και επίσης να απαριθμήσουμε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, δηλαδή του υποσυνόλου A = {Κ}

2. Πώς απαριθμούμε. και επίσης να απαριθμήσουμε το πλήθος των στοιχείων του συνόλου των ευνοϊκών αποτελεσμάτων, δηλαδή του υποσυνόλου A = {Κ} . Πώς απαριθμούμε Πρι υιοθετηθεί και καθιερωθεί ως τρόπος ταυτοποίησης το δακτυλικό αποτύπωμα, ο Γάλλος εγκληματολόγος Alphonse Bertillon (853-94) είχε προτείει μια μέθοδο ταυτοποίησης που, μεταξύ άλλω,

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)

) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x) taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη

Διαβάστε περισσότερα

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού 4. Ατιδράσεις πολυμερισμού Ποια μόρια οομάζοται μακρομόρια Τα μακρομόρια είαι μόρια μεγάλου μοριακού βάρους που σχηματίζοται από τη συέωση (= πολυμερισμό) απλούστερω δομικά μορίω (= μοομερή) σύμφωα με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J <<

Ανάλυση φασµάτων. σύζευξης πολύ µεγαλύτερη σε µέγεθος από τη χηµική µετατόπιση, δηλαδή ν / J << Αάλυση φασµάτω Στα προηγούµεα µαθήµατα συζητήσαµε τη σύζευξη πρώτης τάξης και τη εφαρµογή του καόα Ν για τη αάλυσή τω ατιστοίχω φασµάτω πρώτης τάξης. Στα φάσµατα πρώτης τάξης η σύζευξη σπι-σπι είαι ασθεής

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ρ Αθ. Ρούτουλας Καθηγητής ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 η ΤΣΙΜΕΝΤΑ - ΣΚΥΡΟ ΕΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 10

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron 6-4-206) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.

Μάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ. Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Γραμμική Συσχέτιση και Παλιδρόμηση Σύτομη αασκόπηση ασικώ εοιώ, προτάσεω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το

lim lim Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο x του πεδίου ορισµού της, όταν υπάρχει στο R, το ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της, ότα υπάρχει στο R, το lim ( ( Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της στο και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ 2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Συσκευασίες από αλουμίνιο, π.χ. αναψυκτικά, μπίρες κ.ά. Συσκευασίες από λευκοσίδηρο, π.χ. από γάλα εβαπορέ, τόνο, ζωοτροφές, τοματοπολτό κ.ά.

Συσκευασίες από αλουμίνιο, π.χ. αναψυκτικά, μπίρες κ.ά. Συσκευασίες από λευκοσίδηρο, π.χ. από γάλα εβαπορέ, τόνο, ζωοτροφές, τοματοπολτό κ.ά. ΑΝΑΚΥΚΛΩΣΗ ΣΥΣΚΕΥΑΣΙΩΝ Η Αακύκλωση σήμερα αποτελεί σηματική προτεραιότητα για το περιβάλλο και το μέλλο μας. Δε είαι μια εφήμερη τάση της εποχής, αλλά ατίθετα, υποχρέωση κάθε πολιτισμέης κοιωίας που συμβάλει

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 70 ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γωστικό ατικείμεο) Σάββατο 27-1-2007

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΥΠΟΣ & ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θεωρητικό - Υποχρεωτικό ΤΥΠΙΚΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 4ο (Εαριό εξάμηο 2005-2006) ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΕΣ ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤ. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 ΦΟΡΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ. (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης)

ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ. (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης) ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης) ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΦΥΜΑΤΙΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ, 2004-2010 Η

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ. Εξέταση Σεπτεμβρίου Επώνυμο συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις. Όνομα. ΑΜ_(13 ψηφία) Σύνολο

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ. Εξέταση Σεπτεμβρίου Επώνυμο συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις. Όνομα. ΑΜ_(13 ψηφία) Σύνολο Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 00 Επώυμο συοπτικές εδεικτικές λύσεις Όομα ΑΜ_( ψηφία) Ημ/ία Αίθουσα Α 4 Σύολο Η εξέταση αποτελείται από 4 Θέματα Κάθε θέμα αξίζει μοάδες Το άριστα είαι 0 μοάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

3. Η Έννοια και Βασικές Ιδιότητες της Πιθανότητας

3. Η Έννοια και Βασικές Ιδιότητες της Πιθανότητας 3 Η Έννοια και Βασικές Ιδιότητες της Πιθανότητας Όπως ήδη έχουμε αναφέρει στην εισαγωγική ενότητα αλλά και όπως θα διαπιστώσουμε στις ενότητες που ακολουθούν, βεβαιότητες για συμπεράσματα που αφορούν σε

Διαβάστε περισσότερα

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός. gxkarras@gmail.com 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες

Διαβάστε περισσότερα

5.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ

5.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ 5 54 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Εισαγωγή Η αοδοχή τω μιγαδικώ αριθμώ, εκτός αό τις δυατότητες ου άοιξε στη είλυση τω εξισώσεω, έδωσε μεγάλη ευελιξία στο αλγεβρικό λογισμό Για αράδειγμα, η αράσταση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους τω ακολουθιώ: α) α = + + β) α = 4 γ) α = δ) α = (-) + +. + 4 Να αποδείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας α =

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

δειγµατοληψία µέθοδοι συλλογής στοιχείων δίκτυο & ζωνικό σύστηµα βασικές έννοιες διαστήµατα εµπιστοσύνης

δειγµατοληψία µέθοδοι συλλογής στοιχείων δίκτυο & ζωνικό σύστηµα βασικές έννοιες διαστήµατα εµπιστοσύνης δειγµατοληψία µέθοδοι συλλογής στοιχείω δίκτυο & ζωικό σύστηµα ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Βασικές έοιες Μέθοδος ειγµατοληψία κατά στρώµατα: Χρησιµοποιείται υπάρχουσα ειγµατοληψίας πληροφορία για α χωρισθεί ο πληθυσµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,

Διαβάστε περισσότερα