, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ", θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12"

Transcript

1 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης (ή τω άλλω). Σε κάθε πρόβλημα παλιδρόμησης διακρίουμε δύο είδη μεταβλητώ: τις αεξάρτητες ή ελεγχόμεες ή επεξηγηματικές (ndependent, predctor, casual, nput, eplanator varables) και τις εξαρτημέες ή απόκρισης (dependent, response varables). Σε πειραματικές έρευες, αεξάρτητη μεταβλητή X είαι εκείη τη οποία μπορούμε α ελέγξουμε, δηλαδή, α καθορίσουμε τις τιμές της (π.χ. το ύψος της διαφημιστικής δαπάης εός προϊότος, ο αριθμός τω λειτουργούτω ταμείω σε έα υποκατάστημα τραπέζης, η ποσότητα λιπάσματος, η θερμοκρασία επεξεργασίας εός προϊότος). Εξαρτημέη μεταβλητή Y είαι εκείη στη οποία αταακλάται το αποτέλεσμα τω μεταβολώ στις αεξάρτητες μεταβλητές (π.χ. η ζήτηση εός προϊότος, ο χρόος ααμοής τω πελατώ εός υποκαταστήματος τραπέζης, η απόδοση μιας καλλιέργειας, η ατοχή εός υλικού). Σε μη πειραματικές έρευες (δειγματοληψίες) η διάκριση μεταξύ αεξάρτητω και εξαρτημέω μεταβλητώ δε είαι πάτοτε σαφής γιατί καμία μεταβλητή δε είαι ελεγχόμεη αλλά όλες είαι τυχαίες (π.χ. το ύψος και το βάρος τω φοιτητώ, οι ώρες μελέτης τω φοιτητώ εός παεπιστημιακού τμήματος και η απόδοση τους σε έα τεστ, οι εβδομάδες εμπειρίας εός εργάτη σε μια επιχείρηση και ο αριθμός τω ελαττωματικώ προϊότω που παράγει, η κατάταξη δέκα προϊότω από έα κριτή και η κατάταξη τω ιδίω προϊότω από έα άλλο κριτή, ο αριθμός τω πωλήσεω μουσικώ CD σε μια περιοχή και ο αριθμός τω έω στη ίδια περιοχή). Ας θεωρήσουμε δύο μεταβλητές X, Y. Α οι μεταβλητές αυτές συδέοται με μια σχέση της μορφής Y f (X ) μέσω της οποίας για κάθε τιμή της X μπορούμε α προβλέψουμε ακριβώς τη τιμή της Y, δηλαδή, α οι τιμές της Y δε υπόκειται σε σφάλματα, τότε λέμε ότι οι δύο μεταβλητές συδέοται με τη συαρτησιακήπροσδιοριστική (determnstc) σχέση Y f (X ). Για παράδειγμα, το ρεύμα που κατααλώει μια οικογέεια σε έα δίμηο και το ποσό που πληρώει για τη καταάλωση αυτή συδέοται με συαρτησιακή-προσδιοριστική σχέση 6. Επίσης, το ποσό που καταθέτει κάποιος στο Ταμιευτήριο και ο τόκος που παίρει για το ποσό αυτό, συδέοται με συαρτησιακή-προσδιοριστική σχέση. Σε αυτές τις περιπτώσεις τα σημεία του διαγράμματος διασποράς βρίσκοται όλα πάω στη καμπύλη που έχει εξίσωση Y f (X ) και όσες φορές και α επααλάβουμε το πείραμα θέτοτας το Χ στο ίδιο επίπεδο X, θα παίρουμε πάτα τη ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, η εξίσωση Y ( X 4) + (που παριστάει μια παραβολή) περιγράφει προσδιοριστικά τη σχέση μεταξύ τω Χ και Υ του παρακάτω πίακα: Υ Χ 6 Για τη ελληική πραγματικότητα, αυτό το παράδειγμα προσδιοριστικής σχέσης, μάλλο είαι άστοχο. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 00

2 Αάλυση Παλιδρόμησης Οι μη προσδιοριστικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητώ οομάζοται στοχαστικές στατιστικές (stochastc, probablstc) σχέσεις. Στη περίπτωση αυτή, α επααλάβουμε το πείραμα πολλές φορές θέτοτας το Χ στο ίδιο επίπεδο X τότε στη τιμή της X δε ατιστοιχεί μια μόο τιμή της Υ αλλά, γεικά, ατιστοιχεί έα πλήθος διαφορετικώ τιμώ της Υ. Για παράδειγμα, α X είαι η τιμή εός προϊότος και Υ είαι η ζήτησή του, η Υ βρίσκεται σε στοχαστική σχέση-εξάρτηση από τη X, γιατί η ζήτηση εός προϊότος επηρεάζεται και από άλλους παράγοτες όπως είαι το ύψος του εισοδήματος τω κατααλωτώ, οι τιμές ομοειδώ προϊότω, οι κατααλωτικές συήθειες, κ.ά. Σε μια στοχαστική σχέση το διάγραμμα διασποράς είαι, γεικά, έα έφος σημείω το οποίο πολλές φορές καθορίζει μια ιδεατή γραμμή η οποία δίει μια πρώτη εικόα της σχέσης που συδέει τις δύο μεταβλητές. Η σχέση μάλιστα μεταξύ τω δύο μεταβλητώ είαι τόσο περισσότερο ισχυρή όσο πιο κοτά στη ιδεατή γραμμή βρίσκοται τα σημεία του διαγράμματος διασποράς. Στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα έχουμε το διάγραμμα διασποράς μιας ισχυρής σχέσης στη οποία ότα αυξάου οι τιμές της X αυξάου γεικά και οι τιμές της Υ, εώ στο δεύτερο σχήμα έχουμε μια λιγότερο ισχυρή σχέση στη οποία ότα αυξάου οι τιμές της X ελαττώοται γεικά και οι τιμές της Υ. Τέλος, στη περίπτωση του τρίτου σχήματος δε φαίεται α υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ τω Χ και Υ. Υ Υ Υ Χ Χ Χ Γεικά, δύο μεταβλητές που συδέοται είτε με συαρτησιακή-προσδιοριστική σχέση είτε με στοχαστική σχέση λέγοται «εξαρτημέες». Α υπάρχει εξάρτηση μεταξύ δύο μεταβλητώ, τότε μπορούμε τη μια από αυτές α τη χαρακτηρίσουμε ως «αιτία» και τη άλλη ως «αποτέλεσμα». Αυτό όμως, μόο στη περίπτωση που η εξάρτηση οφείλεται σε σχέση αιτιότητας τω δύο μεταβλητώ και όχι σε μια απλή συμμεταβολή η οποία μπορεί α οφείλεται σε εξάρτηση τω δύο μεταβλητώ από μια τρίτη μεταβλητή. Α, για παράδειγμα, X είαι το ετήσιο εισόδημα μιας οικογέειας και Υ, Ζ είαι τα ποσά που ξοδεύει η οικογέεια αυτή σε έα έτος για κρέας και για αγορά λογοτεχικώ βιβλίω, τότε: α διαπιστώσουμε σε έα σύολο οικογεειώ σχέση μεταξύ τω Χ και Υ (ή μεταξύ τω Χ και Ζ) δεχόμαστε ότι υπάρχει εξάρτηση μεταξύ τω δύο μεταβλητώ και τότε μπορούμε α χαρακτηρίσουμε τη Χ ως «αιτία» και τη Υ (ή τη Ζ) ως «αποτέλεσμα». Α όμως διαπιστωθεί σχέση μεταξύ τω Υ και Ζ (που είαι πολύ πιθαό, αφού και οι δύο μεταβάλλοται με το ετήσιο εισόδημα Χ) ασφαλώς θα πρόκειται για «όθα» εξάρτηση. Για α περιγράψουμε τη στοχαστική εξάρτηση δύο μεταβλητώ Χ και Υ προσπαθούμε α βρούμε, όπως και στη προσδιοριστική εξάρτηση, μια σχέση μεταξύ τω Χ και Υ η οποία όμως τώρα δε θα δίει ακριβή αλλά προσεγγιστική μόο εικόα της εξάρτησης τω Χ και Υ και τα σημεία του διαγράμματος διασποράς τω Χ και Υ δε θα βρίσκοται πάω, αλλά, γύρω από μια καμπύλη. Μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για τη περιγραφή της στοχαστικής εξάρτησης δύο μεταβλητώ είαι η μέθοδος τω Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 0

3 Αάλυση Παλιδρόμησης ελαχίστω τετραγώω και αυτή θα εφαρμόσουμε στη συέχεια για α μελετήσουμε τη πιο απλή μορφή στοχαστικής εξάρτησης, τη γραμμική. Απλή Γραμμική Παλιδρόμηση Α το διάγραμμα διασποράς δύο μεταβλητώ X και Y έχει μορφή επιμήκους κεκλιμέης έλλειψης ή πλατυσμέου J, η σχέση τω X και Y είαι κατά προσέγγιση γραμμική. Στη περίπτωση αυτή έχουμε τη απλούστερη μορφή παλιδρόμησης, τη απλή γραμμική παλιδρόμηση όπου υπάρχει μόο μια αεξάρτητη μεταβλητή X και η εξαρτημέη μεταβλητή Υ μπορεί α προσεγγισθεί ικαοποιητικά από μια γραμμική συάρτηση του Χ. Η γραμμική σχέση Y α + β X δε μπορεί, ασφαλώς, α περιγράψει τη γραμμική στοχαστική εξάρτηση τω μεταβλητώ Χ και Υ αφού α, για παράδειγμα, Χ είαι η τιμή εός προϊότος και Υ είαι η ζήτηση του προϊότος αυτού, και διατηρήσουμε τη Χ στο ίδιο επίπεδο X τότε οι ατίστοιχες τιμές του Υ θα είαι φυσικά διαφορετικές στις διάφορες επααλήψεις. Επίσης, α Χ είαι η ποσότητα λιπάσματος και Υ είαι η απόδοση μιας καλλιέργειας, και διατηρήσουμε τη Χ στο ίδιο επίπεδο X τότε οι ατίστοιχες τιμές του Υ θα είαι φυσικά διαφορετικές στις διάφορες επααλήψεις αφού παράγοτες όπως, η θερμοκρασία, οι βροχοπτώσεις, η ποιότητα του εδάφους, θα επηρεάζου, επίσης, τη παραγωγή. Επιπλέο, συμβαίει α παρατηρούται και σφάλματα μέτρησης τω τιμώ της Υ (λόγω οργάω ή ελλιπούς πληροφόρησης). Έτσι, για X το ατίστοιχο Y είαι μια τυχαία μεταβλητή Y που ακολουθεί κάποια καταομή. Ομοίως, για X θα έχουμε κάποια άλλη καταομή Y κ.ό.κ.. Επομέως, στη εξίσωση Y α + β X, πρέπει α προσθέσουμε έα ακόμη όρο ε ο οποίος, για δεδομέη τιμή της Χ, α περιγράφει τη διαφορά της παρατηρούμεης από τη θεωρητική ( α + β X ) τιμή της Υ. Δηλαδή, ε Y ( α + β X ). Προκύπτει, επομέως, το στοχαστικό μοτέλο Y α + β X + ε. Για λόγους απλούστευσης τω υπολογισμώ και εφικτότητας λύσης του προβλήματος, κάουμε κάποιες υποθέσεις, όπως E ( ε ) 0 και E( Y / X ) α + β X. Δηλαδή, υποθέτουμε ότι τα σφάλματα έχου μέση τιμή μηδέ και ότι για τις διάφορες τιμές της Χ, οι ατίστοιχες μέσες τιμές της Υ βρίσκοται πάω σε μια ευθεία (βλ. και Παράρτημα Α). Η ευθεία αυτή ( E( Y / X ) α + β X ), οομάζεται πληθυσμιακή ευθεία παλιδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 0

4 Αάλυση Παλιδρόμησης Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 03 Με τη μέθοδο τω ελαχίστω τετραγώω θα προσδιορίσουμε στη συέχεια μια εκτίμηση X Y + β α ˆ ˆ ˆ της ευθείας X X Y E + β α ) / ( όπου αˆ και βˆ εκτιμήτριες τω α και β ατίστοιχα. Η εκτίμηση X Y + β α ˆ ˆ ˆ της πληθυσμιακής ευθείας παλιδρόμησης X X Y E + β α ) / (, οομάζεται ευθεία ελαχίστω τετραγώω από τη μέθοδο υπολογισμού τω παραμέτρω της. Μέθοδος ελαχίστω τετραγώω Θεωρούμε ζεύγη παρατηρήσεω,,3,..., ),, (. Ααζητούμε προσέγγιση της μορφής: ε β α + + όπου τα ε παριστάου τις αποκλίσεις της πραγματικής τιμής από τη προσαρμοσμέη (θεωρητική) + β α. Δηλαδή, ) ( + β α ε. Είαι φαερό, ότι η εκλογή (εκτίμηση) τω α και β θα πρέπει α γίει έτσι ώστε α ελαχιστοποιηθού οι ποσότητες ε. Για το σκοπό αυτό, θα ααζητήσουμε τις τιμές τω α και β για τις οποίες ελαχιστοποιείται το άθροισμα τω τετραγώω τω ε. Δηλαδή, η ποσότητα β α ε ) ( () (Η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος ε δε αποτελεί ασφαλές κριτήριο επιλογής διότι κάποια αρητικά ε θα ααιρού ατίστοιχες θετικές ποσότητες του αθροίσματος). Παραγωγίζοτας τη () ως προς α και β και εξισώοτας με μηδέ παίρουμε τις ακόλουθες δύο εξισώσεις που οομάζοται καοικές εξισώσεις: + + β α β α Λύοτας το σύστημα τω καοικώ εξισώσεω, παίρουμε: β α β ˆ ˆ ˆ ή s s β α και β ˆ ˆ ˆ

5 Αάλυση Παλιδρόμησης Η εκτίμηση ελαχίστω τετράγωω Yˆ ˆ α + ˆ β X της ευθείας παλιδρόμησης από το δείγμα τω ζευγώ παρατηρήσεω είαι, επομέως, η Yˆ ˆ α + ˆ β X ˆ β + ˆ β X + ˆ β ( X ή ) Yˆ s + ( X ) s Προφαώς, η ευθεία ελαχίστω τετραγώω, διέρχεται από το σημείο (, ). Επισημαίουμε ότι πρέπει α γίεται διάκριση μεταξύ της παρατηρούμεης τιμής του Υ και της Yˆ που εκτιμάμε. Η παρατηρούμεη τιμή είαι η πραγματική τιμή της Υ, εώ η τιμή ŷ της Ŷ, είαι εκτίμηση της μέσης τιμής E ( Y / X ). Πόσο «καλή» είαι η ευθεία ελαχίστω τετραγώω της ευθείας παλιδρόμησης E( Y / X ) α + β X ; Yˆ ˆ α + ˆ β X ως εκτίμηση Από τη προφαή σχέση ( ˆ ) ( ˆ + ), μπορεί εύκολα α δειχθεί (αλγεβρικά) ότι Το άθροισμα ( ) ( ˆ ) + ( ˆ ) () SSTO ( ) λέγεται ολικό άθροισμα τετραγώω (total sum of squares) ή ολική μεταβλητότητα (total varaton) τω και όπως φαίεται από τη () ααλύεται σε δύο συιστώσες: στο άθροισμα τετραγώω παλιδρόμησης (regresson sum of squares) SSR ( ˆ ) και στο άθροισμα τετραγώω τω σφαλμάτω (error sum of squares) ή υπόλοιπο μεταβλητότητας (resdual varaton) SSE ( ˆ ) Δηλαδή, SSTOSSR+SSE Το SSTO μετράει τη συολική μεταβλητότητα τω παρατηρήσεω δηλαδή εκφράζει τη αβεβαιότητα στη πρόβλεψη του Y ότα δε χρησιμοποιείται το Χ. Το SSR εκφράζει τo μέρος της μεταβλητότητας που μπορεί α οφείλεται στο Χ και το SSESSTO-SSR εκφράζει τη υπόλοιπη μεταβλητότητα που δε εξηγείται από τη παλιδρόμηση εώ ο λόγος Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 04

6 Αάλυση Παλιδρόμησης ( ˆ ) ( SSR SSTO SSE SSE SSTO SSTO SSTO ( ) ( r ˆ ) ) εκφράζει το ποσοστό της συολικής μεταβλητότητας τω που εξηγείται (απορροφάται) από τη παλιδρόμηση. Το r λέγεται συτελεστής προσδιορισμού (coeffcent of determnaton) και παίρει τιμές στο κλειστό διάστημα [0, ]. Ότα όλα τα σημεία M, ), M (, ),..., M (, ) βρίσκοται πάω στη ευθεία ελαχίστω τετραγώω θα έχουμε ( ˆ και άρα SSE ( ˆ ) 0οπότε, r εώ ότα η κλίση της ευθείας ελαχίστω τετραγώω είαι μηδέ δηλαδή ˆ β 0 θα είαι r 0. Στις διάφορες πρακτικές εφαρμογές η τιμή του r βρίσκεται μεταξύ 0 και και όσο πλησιέστερα βρίσκεται προς το τόσο καλύτερη είαι η ευθεία ελαχίστω τετραγώω ως εκτίμηση της ευθείας παλιδρόμησης. Η μέση απόκλιση μεταξύ της πραγματικής και της εκτιμούμεης τιμής της μεταβλητής οομάζεται τυπικό σφάλμα της εκτίμησης (standard error of the estmate), συμβολίζεται με s και δίεται από το τύπο SSE s ( ˆ ) Εά το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης είαι μικρό τότε οι παρατηρούμεες και οι εκτιμούμεες τιμές δε διαφέρου πολύ και η ευθεία παλιδρόμησης μας δίει μια καλή περιγραφή της σχέσης μεταξύ τω Χ και Υ. Α το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης είαι μεγάλο τότε δε μπορούμε α ισχυρισθούμε ότι έχουμε μια καλή περιγραφή της σχέσης. Είαι φαερό, ότι το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης, είαι έα μέτρο της διασποράς τω (, ) γύρω από τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω α + ˆ ˆ ˆ β (το s είαι μια εκτίμηση της διασποράς τω σφαλμάτω). Έχει, επομέως, ιδιότητες αάλογες με αυτές της τυπικής απόκλισης. Έτσι, α φέρουμε δύο ευθείες παράλληλες προς τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω και σε κατακόρυφες προς αυτή αποστάσεις s, s, 3s τότε, για μεγάλα (μεγαλύτερα του 30), μεταξύ τω δύο αυτώ ευθειώ θα βρίσκεται Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 05

7 Αάλυση Παλιδρόμησης περίπου το 68%, το 95% και το 99,7% τω σημείω του διαγράμματος διασποράς ατίστοιχα. Υ Σημείωση: Στο σχήμα, οι παράλληλες έχου σχεδιασθεί σε κατακόρυφη απόσταση από τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω ίση με s. Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι, ˆ ˆ ) ( s s ) s ( r β s ( Παρατηρήσεις για τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω. Είαι φαερό ότι το βˆ της ευθείας ελαχίστω τετραγώω Yˆ ˆ α + ˆ β X εκφράζει τη ααμεόμεη μεταβολή της εξαρτημέης μεταβλητής Υ (σε μοάδες μέτρησης της Υ) ότα η αεξάρτητη μεταβλητή Χ αυξηθεί κατά μια μοάδα (μέτρησής της). Πράγματι α X έχουμε ˆ ˆ ˆ α + β και α X + έχουμε ˆ ˆ α ˆ β ( ) ˆ α ˆ β ˆ β ˆ ˆ β. Έτσι ότα το αυξηθεί κατά μια μοάδα το ŷ αυξάεται κατά βˆ μοάδες α ˆ β > 0 ή ελαττώεται κατά βˆ μοάδες α ˆ β < 0.. Το αˆ της ευθείας ελαχίστω τετραγώω Yˆ ˆ α + ˆ β X εκφράζει τη ααμεόμεη τιμή της εξαρτημέης μεταβλητής Υ ότα η αεξάρτητη μεταβλητή Χ πάρει τη τιμή Η ποσότητα r εκφράζει το ποσοστό της συολικής μεταβλητότητας που οφείλεται στο τυχαίο σφάλμα. 4. Το r δε μετρά πόσο μεγάλη είαι η κλίση βˆ της ευθείας παλιδρόμησης! Χ ). 5. Ότα έχουμε πειραματικά δεδομέα όπου ο ερευητής ελέγχει-καθορίζει τις τιμές της μιας μεταβλητής θεωρούμε τη μεταβλητή αυτή αεξάρτητη (Χ) και τη άλλη Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 06

8 Αάλυση Παλιδρόμησης εξαρτημέη (Υ). Σε αυτή τη περίπτωση εκτιμάμε τη ευθεία παλιδρόμησης της Υ πάω στη Χ, Yˆ ˆ α + ˆ β X. Ότα έχουμε μη πειραματικά δεδομέα όπου ο ερευητής επιλέγει έα τυχαίο δείγμα ατόμω και σε κάθε έα από αυτά μετρά τις τιμές τω μεταβλητώ, τότε μπορούμε α θεωρήσουμε ως αεξάρτητη μεταβλητή οποιαδήποτε από τις δύο και α μελετήσουμε είτε τη παλιδρόμηση της Υ πάω στη Χ είτε τη παλιδρόμηση της Χ πάω στη Υ. Στη περίπτωση αυτή, και οι δύο μεταβλητές είαι τυχαίες, και ως μέτρο της γραμμικής συσχέτισης s χρησιμοποιούμε το συτελεστή γραμμικής συσχέτισης r και επειδή s s s ˆ s β θα είαι, r βˆ (Ι) s s Έτσι, α το r πλησιάζει το τότε τα σημεία του διαγράμματος διασποράς τείου α βρίσκοται σε μια ευθεία με συτελεστή διεύθυσης ˆ β > 0 εώ, α το r πλησιάζει το - τότε τα σημεία του διαγράμματος διασποράς τείου α βρίσκοται σε μια ευθεία με συτελεστή διεύθυσης ˆ β < 0. Α r 0 τότε ˆ β 0 και δε υπάρχει γραμμική σχέση τω μεταβλητώ. Ο συτελεστής γραμμικής συσχέτισης έχει επομέως το ίδιο πρόσημο με το βˆ. Α Xˆ ˆ γ + ˆ δ Y είαι η εκτίμηση ελαχίστω τετραγώω της ευθείας s παλιδρόμησης της Χ πάω στη Υ θα ισχύει: ˆ δ και ˆ γ ˆ δ. s s Συεπώς, r δˆ (ΙΙ). Από τις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει, επίσης, ότι r ˆ β ˆ δ. s 6. Οι προβλέψεις που μπορούμε α κάουμε για τη εξαρτημέη μεταβλητή Y από τις τιμές της αεξάρτητης μεταβλητής X μέσω της ευθείας ελαχίστω τετραγώω Yˆ ˆ α + ˆ β X πρέπει α γίοται μόο για τις τιμές της αεξάρτητης μεταβλητής, οι οποίες βρίσκοται στο διάστημα που έχει γίει η μελέτη ή πολύ κοτά στα άκρα του διαστήματος αυτού. 7. Η εξίσωση της ευθείας ελαχίστω τετραγώω Yˆ ˆ α + ˆ β X, δε μας επιτρέπει α κάουμε προβλέψεις για τις τιμές της X, ότα δίοται οι τιμές της Y. Για α είαι αυτό δυατό, πρέπει α προσδιορίσουμε εξαρχής τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω της Χ πάω στη Y, Xˆ ˆ γ + ˆ δ Y, η οποία γεικά είαι διαφορετική από τηyˆ ˆ α + ˆ β X. Και στις δύο όμως περιπτώσεις οι ευθείες διέρχοται από το σημείο (, ). 8. Επισημαίουμε ότι για δοσμέη τιμή της Χ, η εκτίμηση ˆ ˆ α + ˆ β αφορά τη μέση τιμή E Y / X ) της Υ και όχι τη πραγματική τιμή του Υ. ( 9. Αξίζει α σημειωθεί ότι πάτα ισχύει ˆ ε 0 αφού ˆ ε ( ˆ ) ( ˆ ˆ ) ˆ ˆ α β α β ( ˆ α ˆ β ) 0 Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 07

9 Αάλυση Παλιδρόμησης Παράδειγμα-: Ο πίακας που ακολουθεί δίει τη ζήτηση εός προϊότος (Υ), για διάφορα επίπεδα διαφημιστικής δαπάης (Χ). (σε χιλιάδες τεμάχια) (σε χιλιάδες ) Είαι: ,7 0 ˆ β , ˆ α ˆ β 4,7,5 4 0,,5 και άρα η εξίσωση της ευθείας ελαχίστω τετραγώω είαι η Yˆ 0, +, 5 X. Ερμηεία του βˆ Επειδή ˆ β,5 > 0, αύξηση της διαφημιστικής δαπάης συεπάγεται αύξηση της ζήτησης του προϊότος. Α η διαφημιστική δαπάη αυξηθεί κατά 000, η μέση ζήτηση του προϊότος εκτιμάται ότι θα αυξηθεί κατά,5 χιλιάδες τεμάχια. Ερμηεία τουαˆ Για μηδεική διαφημιστική δαπάη, η μέση ζήτηση του προϊότος εκτιμάται ότι θα είαι 0, χιλιάδες τεμάχια. Επειδή η τιμή 0 είαι μακριά από το διάστημα μελέτης, η ερμηεία του αˆ δε έχει πρακτική αξία (δες και Παρατήρηση-5). Θα υπολογίσουμε το συτελεστή προσδιορισμού r Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 08

10 Αάλυση Παλιδρόμησης ŷ ˆ ( ˆ ) ( ),4 -,3 5,9 -,7 7,9 3,4 -,3 5,9 -,7, ,55 -,5,3 -,7, ,55 -,5,3-0,7 0, , ,3 0, , ,3 0, ,85,5,3-0,7 0, ,85,5,3,3, ,3 5,9,3 5, ,3 5,9 3,3 0, SSR6,44 SSTO3, r SSR SSTO ( ˆ ( ) ) 6,44 0,8 3, r Ερμηεία του Οι μεταβολές του ύψους της διαφημιστικής δαπάης ερμηεύου το 8% της μεταβλητότητας της ζήτησης του προϊότος. Ερμηεία του r Το 8% της μεταβλητότητας της ζήτησης του προϊότος, οφείλεται σε τυχαία σφάλματα. Το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης s είαι s ( ˆ ) SSE 3, 6,44 8 0,7 0,84 Πρόβλεψη με το μοτέλο Yˆ 0, +, 5 X που εκτιμήσαμε Α το ύψος της διαφημιστικής δαπάης είαι π.χ. 3,5 χιλιάδες, η μέση ζήτηση του προϊότος, εκτιμάται ότι θα είαι 0, +,53,5 4, 5 χιλιάδες τεμάχια. Αξιολόγηση του μοτέλου Το μοτέλο Yˆ 0, +, 5 X ερμηεύει το 8% της μεταβλητότητας της ζήτησης του προϊότος. Παρατήρηση: Για συγκεκριμέη ζήτηση του προϊότος, δε μπορούμε από το μοτέλο αυτό, α προβλέψουμε το απαιτούμεο ύψος διαφημιστικής δαπάης. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 09

11 Αάλυση Παλιδρόμησης Η ευθεία ελαχίστω τετραγώω Yˆ 0, +, 5 X έχει σχεδιασθεί με κατάλληλο πρόγραμμα υπολογιστή. Παρατηρείστε ότι η οητή προέκταση της, δε τέμει το άξοα τω Y στο 0,. Υπάρχει λάθος; Τι εξήγηση δίετε; (Δείτε και το επόμεο σχήμα σε συδυασμό και με τη Παρατήρηση-5) Παράδειγμα-: Μετρήσαμε το βάρος (σε gr) 3 εογέητω παιδιώ και τη αύξηση του βάρους τους τρεις μήες μετά τη γέησή τους. Η αύξηση του βάρους τους, εκφράζεται ως ποσοστό (%) του αρχικού τους βάρους. Έστω Χ το βάρος και Υ η αύξηση του βάρους. Από τις τιμές (, ),,..., 3 πήραμε:.79, , , , Οι μεταβλητές Χ και Υ είαι και οι δύο τυχαίες και επομέως μπορούμε ως μέτρο συσχέτισης α χρησιμοποιήσουμε το συτελεστή γραμμικής συσχέτισης του Pearson r. Είαι: 3.35,5 7, Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 0

12 Αάλυση Παλιδρόμησης s ,5 7, 8.37, ,5 s χ χ 9.799,3 άρα 3 s 9.799,3 545, , s 3 s 8.37,7 r 0,65 s s 5455,3 3,7 56,83 άρα s 56,83 3, 7 Το αρητικό πρόσημο του r δείχει ότι αύξηση του βάρους τω εογέητω συεπάγεται ελάττωση του ποσοστού αύξησης του βάρους στο πρώτο τρίμηο μετά τη γέηση. Θα εκτιμήσουμε τη παλιδρόμηση της Υ πάω στη Χ. ˆ s 8.37,7 β 0,08 και ˆ α ˆ β 7, ,5 65, 4. s 9.799,3 Άρα η εξίσωση ελαχίστω τετραγώω της Υ πάω στη Χ είαι: Yˆ 65,4 0, 08 X. Ερμηεία του βˆ Αύξηση του βάρους γέησης κατά έα gr εκτιμάται ότι θα προκαλέσει μείωση του μέσου ποσοστού αύξησης τους βάρους το πρώτο τρίμηο μετά τη γέηση κατά 0,08%. Ερμηεία τουαˆ Για μηδεικό βάρος γέησης (!!!) το μέσο ποσοστό αύξησης του βάρους το πρώτο τρίμηο μετά τη γέηση εκτιμάται ότι θα είαι 65,4 %. Επειδή η τιμή 0 είαι μακριά από το διάστημα μελέτης (και όχι μόο) η ερμηεία του αˆ δε έχει πρακτική αξία (δες και Παρατήρηση-5). Αξιολόγηση του μοτέλου. Ο συτελεστής προσδιορισμού είαι: r ( 0,65) 0, 4. Δηλαδή, οι μεταβολές στο βάρος κατά τη γέηση ερμηεύου το 4% της μεταβλητότητας του ποσοστού αύξησης του βάρους στο πρώτο τρίμηο μετά τη γέηση. Παρατήρηση: Επειδή είαι δυσόητη η ειδική εοιολογική ερμηεία της τετραγωικής ρίζας εός ποσοστού (όπως ο συτελεστής προσδιορισμού r ), για σκοπούς ερμηείας προτιμάται η χρησιμοποίηση του συτελεστή προσδιορισμού r παρά του συτελεστή γραμμικής συσχέτισης r. Το r ως μη αρητικός αριθμός μικρότερος ή ίσος του έχει τετραγωική ρίζα αριθμό μεγαλύτερό του (εκτός από τη περίπτωση που είαι 0 ή ) και συεπώς, α για τη αξιολόγηση του μοτέλου προτιμηθεί η τετραγωική του ρίζα (δηλ. το r) υπάρχει Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)

13 Αάλυση Παλιδρόμησης κίδυος υπερεκτίμησής του. Για παράδειγμα α r 0, 49 το r θα είαι 0,7. Δηλαδή, εώ το μοτέλο ερμηεύει τη μεταβλητότητα σε ποσοστό μικρότερο του 50% ο συτελεστής συσχέτισης δείχει ισχυρή γραμμική συσχέτιση. Το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης είαι, 3 s s ( r ) 56,83 ( 0,4) 30 8,36. Επειδή 3 > 30, α φέρουμε δύο ευθείες παράλληλες προς τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω και σε κατακόρυφες προς αυτή αποστάσεις 8,36, 8,36, 38, 36 τότε, μεταξύ τω δύο αυτώ ευθειώ θα βρίσκεται περίπου το 68%, το 95% και το 99,7% τω σημείω του διαγράμματος διασποράς ατίστοιχα Y (%) X (gr) Μεταξύ τω δύο παράλληλω βρίσκεται περίπου το 95% τω σημείω του διαγράμματος διασποράς (η κάθε ευθεία έχει κατακόρυφη απόσταση από τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω 8,36 36, 7 ). Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)

14 Αάλυση Παλιδρόμησης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Προϋποθέσεις-παραδοχές για τη εφαρμογή του Απλού Γραμμικού Μοτέλου Y α + β. Χ + ε Η γεική υπόθεση-παραδοχή που κάουμε για έα μοτέλο παλιδρόμησης (γραμμικό ή όχι), είαι ότι η μεταβλητή Χ μετράται χωρίς σφάλμα και ότι η Υ, για κάθε επίπεδο της Χ, είαι τυχαία μεταβλητή με πεπερασμέη μέση τιμή και διασπορά. Για το απλό γραμμικό μοτέλο κάουμε επιπλέο τις ακόλουθες υποθέσεις-παραδοχές: Υπόθεση : Γραμμικότητα (Lneart) Η καταομή της Υ έχει, για τα διάφορα επίπεδα,,..., της Χ, μέση τιμή E( Y / X ) α + β ή E( Y / X ) α + β X, όπου, α και β παράμετροι που εκτιμώται από το δείγμα (, ),,...,. Δηλαδή, υποθέτουμε ότι οι μέσες τιμές της Υ, για τα διάφορα επίπεδα της Χ, είαι γραμμικές συαρτήσεις της Χ (ότι βρίσκοται δηλαδή σε ευθεία γραμμή). Σημειώουμε ότι στο μοτέλο Y α + β X + ε, τυχαίες μεταβλητές είαι μόο οι Υ και ε. Υπόθεση : Ομοσκεδαστικότητα-Σταθερότητα Διασποράς (Homoscedastct - Varance Stablt) Οι καταομές της Y έχου ίδια διασπορά για όλα τα επίπεδα της X, δηλαδή, Var ( Y / X ) σ. Έα παράδειγμα παραβίασης της υπόθεσης αυτής (heteroscedastct) φαίεται στο προηγούμεο σχήμα (η διασπορά της Υ, π.χ. στο επίπεδο, είαι μεγαλύτερη από τη διασπορά της Υ στο επίπεδο ). Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3

15 Αάλυση Παλιδρόμησης Υπόθεση 3: Αεξαρτησία (Independence) Οι τιμές της Υ που ατιστοιχού στα διάφορα επίπεδα της Χ είαι αεξάρτητες μεταξύ τους. Υπόθεση 4: Καοικότητα (Normalt) Η καταομή της Υ για όλα τα επίπεδα της Χ είαι καοική. Με βάση τις παραπάω υποθέσεις για τη τυχαία μεταβλητή Υ, για τη τυχαία μεταβλητή ε Y ( α + β X ) (δηλαδή για τα σφάλματα-resduals) δεχόμαστε ότι:. ε ~ N (0, σ ). Οι τιμές της ε που ατιστοιχού στα διάφορα επίπεδα της Χ είαι μεταξύ τους αεξάρτητες. Στη συέχεια, παρουσιάζουμε ορισμέες μεθόδους (γραφικές κυρίως) για το έλεγχο τω παραπάω προϋποθέσεω-παραδοχώ προσαρμογής του απλού γραμμικού μοτέλου. Οι παραδοχές αυτές αποτελού τη ααγκαία μαθηματική (πιθαοθεωρητική) βάση για τη εφαρμογή μεθόδω της στατιστικής συμπερασματολογίας (π.χ. έλεγχοι υποθέσεω, διαστήματα εμπιστοσύης). Ο έλεγχος επομέως αυτώ τω παραδοχώ είαι ααγκαίος προκειμέου α αποφεύγουμε λαθασμέες διαδικασίες εξαγωγής συμπερασμάτω για το πληθυσμό. Έας πρώτος, άμεσος, έλεγχος μπορεί α γίει με προσεκτική παρατήρηση του διάγραμματος διασποράς του δείγματος. Ας δούμε δύο παραδείγματα: Στο πρώτο διάγραμμα διασποράς (αριστερά) φαίεται ότι για όλα τα επίπεδα της Χ, οι καταομές της Υ είαι συμμετρικές και έχου σταθερή διασπορά Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 4

16 Αάλυση Παλιδρόμησης οι ααμεόμεες μέσες τιμές της Υ βρίσκοται σε ευθεία γραμμή. Στο δεύτερο διάγραμμα διασποράς (δεξιά) φαίεται ότι, οι καταομές της Υ για τα διάφορα επίπεδα της Χ δε είαι συμμετρικές και ούτε έχου σταθερή διασπορά. Μάλιστα, φαίεται ότι αυξαομέου του Χ αυξάεται η διασπορά καθώς και η ασσυμετρία (θετική) της καταομής του Υ οι ααμεόμεες μέσες τιμές της Υ για τα διάφορα επίπεδα της Χ δε βρίσκοται σε ευθεία γραμμή αλλά σε καμπύλη. Ας δούμε πιο ααλυτικά, αά υπόθεση, πώς μπορούμε α διαπιστώσουμε και α ατιμετωπίσουμε πιθαές παραβιάσεις.. Γραμμικότητα (Lneart) Έας πρώτος έλεγχος της γραμμικότητας μπορεί α γίει γραφικά με το διάγραμμα διασποράς. Είαι όμως δυατό, ιδίως ότα η κλίση της ευθείας παλιδρόμησης που προσεγγίζει τα δεδομέα είαι μεγάλη, α μας δίεται η ετύπωση ότι τα σημεία (, ) είαι κοτά στη ευθεία παλιδρόμησης εώ στη πραγματικότητα δε είαι! (Δείτε τα παρακάτω σχήματα και, επίσης, θυμηθείτε με βάση ποιο κριτήριο εκτιμώται οι παράμετροι α και β της πληθυσμιακής ευθείας παλιδρόμησης E( Y / X ) α + β X.) Για το λόγο αυτό, συήθως, χρησιμοποιούμε τα διαγράμματα υπολοίπω (resdual plots) όπου, ατί τω (, ) ααπαρίσταται γραφικά τα (, ˆ ε ) ή τα ( ˆ, ˆ ε ) (όπου ˆ ε ˆ τα υπόλοιπα-σφάλματα). Α στο διάγραμμα υπολοίπω, τα σημεία (, ˆ ε ) (ή τα ( ˆ, ˆ ε )) δε ακολουθού κάποιο πρότυπο (κάποια συστηματική τάση) αλλά είαι τυχαία διεσπαρμέα σε μια οριζότια ζώη γύρω από τη ευθεία ε 0, τότε η επιλογή γραμμικού μοτέλου δικαιολογείται ε Τα διαγράμματα υπολοίπω συήθως παρουσιάζου τη ίδια εικόα και ότα τα υπόλοιπα εˆ παρασταθού γραφικά συαρτήσει τω προσαρμοσμέω τιμώ ŷ. Χ Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5

17 Αάλυση Παλιδρόμησης. ε Στο ακόλουθο παράδειγμα, η προσαρμογή της ευθείας Yˆ X Yˆ Υ Χ δίει το ακόλουθο διάγραμμα υπολοίπω: ε Παρατηρούμε ότι αυξαόμεου του Χ τα υπόλοιπα δε συγκετρώοται τυχαία γύρω από τη ευθεία ε 0, αλλά ακολουθού έα κυκλικό πρότυπο (αρητικές-θετικέςαρητικές τιμές). Αυτή η κυκλική συμπεριφορά (βλ. και επόμεο σχήμα) φαερώει παλιδρόμηση δεύτερου βαθμού ως προς Χ ( Y β + β X + β + ε ). Χ 0 X Έτσι, α στα ίδια δεδομέα προσαρμοσθεί η παραβολή Yˆ X 0.33 X Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6

18 Αάλυση Παλιδρόμησης 0 Υ Χ τα υπόλοιπα συγκετρώοται τυχαία σε μια οριζότια ζώη γύρω από τη ευθεία ε 0. εε ε Η καταλληλότητα ή όχι του γραμμικού μοτέλου ελέγχεται και με το ποσοστό της μεταβλητότητας του Υ που εξηγείται από τη παλιδρόμηση, δηλαδή, με το συτελεστή προσδιορισμού r. Στο προηγούμεο παράδειγμα, το μοτέλο Yˆ X δίει r 7% εώ το μοτέλο Yˆ X 0.33 X δίει r 98.6%. Mπορεί επίσης α ελεγχθεί με το Lack-of-Ft test. Ότα διαπιστώεται ότι η σχέση μεταξύ Χ και Υ είαι μη γραμμική, σε αρκετές περιπτώσεις είαι δυατό, με κατάλληλους μετασχηματισμούς στα Χ ή/και στα Υ α προκύψει γραμμική σχέση. Έχουμε έτσι τη δυατότητα α αξιοποιήσουμε τη στατιστική θεωρία του γραμμικού μοτέλου και σε μη γραμμικά μοτέλα (αφού, ατιστρέφοτας στη συέχεια τις μετασχηματισμέες μεταβλητές, μπορούμε α πάρουμε τα ζητούμεα συμπεράσματα για τις αρχικές). Στο Παράρτημα Β δίουμε παραδείγματα τέτοιω μετασχηματισμώ. Γεικά, η στατιστική μελέτη μη γραμμικώ μοτέλω, με εξαίρεση τα πολυωυμικά, παραμέει δύσκολο και αοικτό πρόβλημα.. Ομοσκεδαστικότητα ή Σταθερότητα Διασποράς (Homoscedastct-Varance Stablt) Έας πρώτος έλεγχος της σταθερότητας ή μη της διασποράς της Υ (ή της ε) για τα διάφορα επίπεδα της Χ μπορεί α γίει με το διάγραμμα διασποράς και τα διαγράμματα υπολοίπω. Α για παράδειγμα, το διάγραμμα υπολοίπω έχει μορφή τραπεζίου (αοιχτής βετάλιας), όπως το παρακάτω, η πιο πιθαή αιτία αυτής της διαταραχής 7 είαι η μη σταθερότητα της διασποράς τω τυχαίω σφαλμάτω ε. Σε πολλές Χ 7 Της απόκλισης από τη τυχαία συγκέτρωση τω σημείω γύρω από τη ευθεία ε 0 Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 7

19 Αάλυση Παλιδρόμησης οικοομικές και εμπορικές εφαρμογές η μεταβολή της διασποράς σ με το Χ ή με το Ŷ δίει διαγράμματα υπολοίπω μορφής τραπεζίου (αυξαομέου του Χ ή του Ŷ, αυξάει το σ ή ατιστρόφως). Αυτό συμβαίει διότι τέτοιες εφαρμογές ακολουθού πολλαπλασιαστικά μοτέλα όπου σ Y [ E( Y )] σ και σ η διασπορά τω σφαλμάτω ε (γιατί;) 8. Επίσης, αάλογα διαγράμματα υπολοίπω δίου μεταβλητές που μετρού αριθμό συμβάτω στη μοάδα χρόου, χώρου, μήκους, κ.τλ. δηλαδή μεταβλητές που ακολουθού καταομή Posson (γιατί ;) 9. Α από τα διαγράμματα υπολοίπω δημιουργούται υπόοιες ότι δε έχουμε σταθερές διασπορές, μπορούμε α ελέγξουμε στατιστικά α υπάρχει σηματική διαφορά στις διασπορές ή όχι εφόσο για τα διάφορα επίπεδα της Χ έχουμε περισσότερες της μιας παρατηρήσεις. Μπορούμε, επίσης, α ταξιομήσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά τω Χ, α τις χωρίσουμε σε δύο ή περισσότερες ομάδες και α ελέγξουμε στατιστικά α οι ομάδες έχου σηματική διαφορά στις διασπορές ή όχι. Ότα διαπιστώεται μη σταθερότητα διασπορώ μπορούμε, σε αρκετές περιπτώσεις, α ατιμετωπίσουμε το πρόβλημα με κατάλληλους μετασχηματισμούς στις μεταβλητές. Στο Παράρτημα Β δίουμε παραδείγματα τέτοιω μετασχηματισμώ. 3. Αεξαρτησία (Independence) Εξαρτημέα Υ εμφαίζοται συήθως ότα παίρουμε παρατηρήσεις από τη ίδια πειραματική μοάδα σε διαφορετικές χροικές στιγμές (π.χ. μετράμε τη πίεση ή το βάρος του ιδίου ατόμου αά εβδομάδα). Επίσης, σε περιπτώσεις όπου χρησιμοποιούται μηχαές (όργαα μέτρησης, κ.τλ) που αλλάζει η απόδοσή τους με τη χρήση ή ο χειριστής βελτιώεται (ή χειροτερεύει) με τη πάροδο του χρόου. Είαι επομέως χρήσιμο, ότα έχουμε πειραματικά δεδομέα που παίροται με χροική σειρά, α κάουμε έα διάγραμμα υπολοίπω ως προς το χρόο έστω και α ο χρόος δε χρησιμοποιείται ως μεταβλητή στο μοτέλο. Α το διάγραμμα υπολοίπω έχει τη μορφή του παρακάτω σχήματος τότε είαι πιθαό α υπάρχει στοχαστική εξάρτηση μεταξύ τω σφαλμάτω. Στη συέχεια, πρέπει α ελέγξουμε στατιστικά τη υπόοια αυτή με το Durbn-Watson test. Α διαπιστωθεί εξάρτηση τω τιμώ της Υ τότε για τη προσαρμογή κατάλληλου μοτέλου και τη εξαγωγή στατιστικώ συμπερασμάτω πρέπει α χρησιμοποιηθού ειδικές μέθοδοι. 8 Στο πολλαπλασιαστικό μοτέλο έχουμε E(Y ) ε Y εώ στο προσθετικό έχουμε Y E(Y ) + ε Y 9 Θυμηθείτε ότι α η Υ ακολουθεί καταομή Posson τότε σ E( Y ) Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 8

20 Αάλυση Παλιδρόμησης 4. Καοικότητα (Normalt) Η καοικότητα μπορεί α ελεγχθεί με διάφορους τρόπους όπως: Με ιστόγραμμα Με φυλλογράφημα (steam and leaf plot) Με θηκόγραμμα (bo plot) Με διάγραμμα πιθαοτήτω (normal probablt plot) Με στατιστικούς ελέγχους καλής προσαρμογής (goodness of-ft test) όπως Kolmogorov- Smrnov test ή X test. Ότα διαπιστώεται παραβίαση της καοικότητας μπορούμε, σε αρκετές περιπτώσεις, α ατιμετωπίσουμε το πρόβλημα με κατάλληλους μετασχηματισμούς στις μεταβλητές. Στο Παράρτημα Β δίουμε παραδείγματα τέτοιω μετασχηματισμώ. Πέρα τω παραπάω υποθέσεω-παραδοχώ, είαι χρήσιμο α ελέγχουμε τη ύπαρξη ή μη ακραίω παρατηρήσεω (outlers). Οι ακραίες παρατηρήσεις μπορού α αιχευθού αποτελεσματικά με το θηκόγραμμα τω παρατηρήσεω ή και με το διάγραμμα υπολοίπω. Α διαπιστωθεί ακραία παρατήρηση, πρέπει πρώτα α ερευηθεί α οφείλεται σε λαθασμέη παρατήρηση ή πιθαό σε απότομη στιγμιαία διαταραχή του συστήματος που παρατηρούμε. Α αυτό συμβαίει, πρέπει α παραληφθεί από το δείγμα. Α όμως η ακραία παρατήρηση αήκει στο πληθυσμό είαι λάθος α παραληφθεί από το δείγμα. Η γεική αρχή που πρέπει α τηρούμε είαι ότι ποτέ δε απορρίπτουμε μια ακραία παρατήρηση α δε είμαστε βέβαιοι ότι πρόκειται για λάθος ή απότομη στιγμιαία διαταραχή. Έγκυρες ακραίες παρατηρήσεις μπορεί α αποδειχθού οι πλέο εδιαφέρουσες! Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 9

21 Αάλυση Παλιδρόμησης Υπόθεση για τη εφαρμογή του απλού γραμμικού μοτέλου παλιδρόμησης σε μη πειραματικά δεδομέα Για τη αάπτυξη της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου Y α + β X + ε, υποθέσαμε ότι η μεταβλητή Χ δε είαι τυχαία (μετράται χωρίς σφάλμα) και ότι τυχαίες μεταβλητές είαι μόο οι Υ και ε. Αυτή η υπόθεση ικαοποιείται στις πειραματικές έρευες όπου ο ερευητής ελέγχει (καθορίζει) τις τιμές της Χ και παρατηρεί πώς οι μεταβολές στις τιμές της Χ αταακλώται στη Υ. Σε μη πειραματικές έρευες (δειγματοληψίες), όπου ο ερευητής επιλέγει έα τυχαίο δείγμα (, ),,..., δηλαδή, ότα όχι μόο η Υ αλλά και η Χ είαι τυχαία μεταβλητή, τότε με τη υπόθεση ότι η από κοιού καταομή τω Χ και Υ είαι διδιάστατη καοική καταομή, μπορούμε και πάλι α εφαρμόσουμε τη θεωρία του απλού γραμμικού μοτέλου και α υπολογίσουμε τη ευθεία ελαχίστω τετραγώω της Υ πάω στη Χ ή της Χ πάω στη Υ διότι από τη θεωρία πιθαοτήτω είαι γωστό ότι οι δεσμευμέες καταομές της Υ δεδομέης της Χ και της Χ δεδομέης της Υ είαι καοικές με σ Y σ X μy / X μy + ρ ( X μ X ) και μ X / Y μ X + ρ ( Y μy ) ατίστοιχα. σ σ X Y Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 0

22 Αάλυση Παλιδρόμησης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Μετασχηματισμοί Σταθεροποίησης Διασπορώ Καοικοποίησης - Γραμμικοποίησης Κατά τη διερεύηση της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητώ Χ και Υ για τη εφαρμογή του γραμμικού μοτέλου παλιδρόμησης, πολλές φορές, διαπιστώεται παραβίαση μιας ή και περισσότερω εκ τω προϋποθέσεω-παραδοχώ εφαρμογής της ατίστοιχης στατιστικής θεωρίας. Σε αρκετές περιπτώσεις, μπορούμε α ατιμετωπίσουμε αυτά τα προβλήματα με κατάλληλους μετασχηματισμούς τω μεταβλητώ. Πιο συγκεκριμέα, υπάρχου τρεις βασικοί λόγοι για τη ααζήτηση κατάλληλω μετασχηματισμώ τω μεταβλητώ:. Για τη σταθεροποίηση τω διασπορώ, ότα παραβιάζεται η παραδοχή της ομοσκεδαστικότητας. Δηλαδή, ότα οι διασπορές της εξαρτημέης μεταβλητής Υ δε είαι ίσες για τα διάφορα επίπεδα της Χ.. Για τη καοικοποίηση, ότα οι καταομές της εξαρτημέης μεταβλητής Υ για τα διάφορα επίπεδα της Χ δε είαι καοικές. 3. Για τη γραμμικοποίηση, ότα τα αρχικά δεδομέα υποδεικύου όχι γραμμικό αλλά μη γραμμικό μοτέλο (είτε ως προς τις παραμέτρους παλιδρόμησης είτε ως προς τις μεταβλητές). Παρότι, για τους εδεικυόμεους κατά περίπτωση μετασχηματισμούς, υπάρχει πλούσια βιβλιογραφία, ετούτοις, η ααζήτηση κατάλληλω μετασχηματισμώ, για το συγκεκριμέο κάθε φορά πρόβλημα, απαιτεί αρκετή σχετική εμπειρία. Απαιτεί επίσης καλή γώση της φύσης του υπό μελέτη προβλήματος, ιδιαίτερα ότα τα δεδομέα παραβιάζου (δε υποστηρίζου) περισσότερες από μία προϋποθέσεις-παραδοχές. Γιατί σε αυτή τη περίπτωση, είαι δυατό, μετασχηματισμοί που προσφέροται για τη άρση μιας παραβίασης α μη προσφέροται για τη άρση τω άλλω ή και α δημιουργού έες. Στη συέχεια, σταχυολογούμε από τη βιβλιογραφία κάποιες χαρακτηριστικές περιπτώσεις εδεικυόμεω μετασχηματισμώ. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)

23 Αάλυση Παλιδρόμησης. Λογαριθμικοί μετασχηματισμοί Ο λογαριθμικός μετασχηματισμός ln( Y ) Y εδείκυται: α) για σταθεροποίηση της διασποράς της Υ, ότα αυξάεται με το Υ. β) για καοικοποίηση της Υ, ότα η καταομή τω υπολοίπω παρουσιάζει θετική ασυμμετρία. γ) για γραμμικοποίηση του μοτέλου ότα τα αρχικά δεδομέα υποδεικύου το πολλαπλασιαστικό μοτέλο: X γ γ ε Y 0. Στη περίπτωση αυτή, το αρχικό μοτέλο (αριστερά) μετασχηματίζεται στο γραμμικό (δεξιά): Y α + β X + ε, όπου Y ln(y ), α ln( γ 0 ), β ln( γ ), ε ln( ε ) Με λογαριθμικούς μετασχηματισμούς γίεται, επίσης, γραμμικοποίηση τω πολλαπλασιαστικώ μοτέλω: γ e Y γ ε (με το μετασχηματισμό ln( X ) X ) 0 X και γ Y γ ε (με το μετασχηματισμό ln( Y ) Y και ln( X ) X ) 0 X Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos)

24 Αάλυση Παλιδρόμησης. Ατίστροφοι μετασχηματισμοί Ο ατίστροφος μετασχηματισμός Y εδείκυται: Y α) για σταθεροποίηση της διασποράς της Υ, ότα έχουμε μεγάλη αύξηση της διασποράς πάω από κάποια τιμή του Υ. β) για γραμμικοποίηση του μοτέλου ότα τα αρχικά δεδομέα υποδεικύου το ατίστροφο μοτέλο: Y. γ + γ X + ε 0 Στη περίπτωση αυτή, το αρχικό μοτέλο μετασχηματίζεται στο γραμμικό: Y α + β X + ε, όπου Y, α γ 0, β γ, ε ε Y Με το ατίστροφο μετασχηματισμό X γίεται, γραμμικοποίηση του ατίστροφου X μοτέλου: Y γ 0 + γ + ε X 3. Μετασχηματισμοί τετραγωικής ρίζας Ο μετασχηματισμός Y Y εδείκυται: α) για σταθεροποίηση της διασποράς της Υ, ότα η διασπορά είαι αάλογη της μέσης τιμής της Υ. β) για γραμμικοποίηση του μοτέλου ότα τα αρχικά δεδομέα υποδεικύου το μοτέλο: Y ( γ + γ X + ε. 0 ) Στη περίπτωση αυτή, το αρχικό μοτέλο μετασχηματίζεται στο γραμμικό: Y α + β X + ε, όπου Y Y, α γ β γ, ε ε 0, Με το μετασχηματισμό X X γίεται γραμμικοποίηση του μοτέλου: γ + γ X + ε Y 0. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3

25 Αάλυση Παλιδρόμησης 4. Μετασχηματισμός Y Y Ο μετασχηματισμός αυτός εδείκυται: α) για σταθεροποίηση της διασποράς της Υ, ότα ελαττώεται με τη μέση τιμή της Υ. β) για καοικοποίηση της Υ, ότα η καταομή τω υπολοίπω παρουσιάζει αρητική ασυμμετρία. γ) για γραμμικοποίηση του μοτέλου ότα τα αρχικά δεδομέα υποδεικύου καμπυλόγραμμο μοτέλο π.χ. Y γ 0 + γ X + ε. Στη περίπτωση αυτή, το αρχικό μοτέλο μετασχηματίζεται στο γραμμικό: Y α + β X + ε, όπου Y Y, α γ β γ, ε ε 0,. Οι παραπάω μετασχηματισμοί μπορού φυσικά α συδυασθού για τη ατιμετώπιση πιο πολύπλοκω περιπτώσεω. Για παράδειγμα το μη γραμμικό μοτέλο Y γ + γ X + ε + e 0 εύκολα μετασχηματίζεται σε γραμμικό με το μετασχηματισμό Y ln( ) που είαι Y έας ατίστροφος και έας λογαριθμικός μετασχηματισμός (διαδοχικά). Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 4

26 Αάλυση Παλιδρόμησης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επισημάσεις - Σχόλια - Διευκριήσεις. Ερμηεία του ελέγχου της υπόθεσης H 0 : β 0 έατι της H : β 0 για τη κλίση της ευθείας παλιδρόμησης Y α + β X + ε. α) Ότα δε απορρίπτεται η μηδεική υπόθεση, τότε 0 συμβαίει έα από τα παρακάτω: Η σχέση μεταξύ Χ και Υ δε είαι γραμμική Πρόκειται για το μοτέλο E ( Y / X ) E( Y ) α. Δηλαδή, για τη περίπτωση όπου η Χ δε συεισφέρει στη πρόβλεψη της E ( Y / X ). Έτσι, η εκτίμηση Yˆ + ˆ β ( X ) προβλέπει τη μέση τιμή της Υ όσο και η Y ˆ. β) Ότα απορρίπτεται η μηδεική υπόθεση, τότε συμβαίει έα από τα παρακάτω: Η Χ, μέσω του γραμμικού μοτέλου, συεισφέρει στη πρόβλεψη της E ( Y / X ). Δηλαδή, η εκτίμηση Yˆ + ˆ β ( X ) είαι καλύτερη (στατιστικά πιο σηματική) από τη Y ˆ. Το γραμμικό μοτέλο είαι μόο μια καλή γραμμική προσέγγιση, μιας μη γραμμικής, στη πραγματικότητα, σχέσης. Συοψίζοτας: Είτε απορρίπτεται η μηδεική υπόθεση είτε όχι, το γραμμικό μοτέλο μπορεί α μη είαι κατάλληλο. Κάποιο άλλο μοτέλο (μη γραμμικό), μπορεί α περιγράφει τη σχέση μεταξύ Χ και Υ καλύτερα. 0 με το ατίστοιχο σφάλμα λαθασμέης μη απόρριψης με το ατίστοιχο σφάλμα λαθασμέης απόρριψης Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5

27 Αάλυση Παλιδρόμησης. Ο Διορθωμέος Συτελεστής Προσδιορισμού (adjusted r ) Ο συτελεστής προσδιορισμού r εκφράζει το ποσοστό της μεταβλητότητας τω τιμώ της εξαρτημέης μεταβλητής που εξηγείται, μέσω του μοτέλου, από τις αεξάρτητες μεταβλητές. Α στο γραμμικό μοτέλο εισαχθεί μια επιπλέο μεταβλητή, δε είαι δυατό η τιμή του συτελεστή προσδιορισμού α μειωθεί. Ο διορθωμέος συτελεστής προσδιορισμού συμπεριφέρεται διαφορετικά. Α εισαχθεί μια επιπλέο μεταβλητή, η τιμή του μπορεί είτε α αυξηθεί είτε α ελαττωθεί. Α η έα μεταβλητή που εισάγεται δε συεισφέρει σηματικά στη ερμηεία της μεταβλητότητας τω τιμώ της εξαρτημέης μεταβλητής, η τιμή του διορθωμέου r ελαττώεται! Ο διορθωμέος συτελεστής προσδιορισμού υπολογίζεται από το τύπο: n r adj ( ) ( r ) όπου k, ο αριθμός τω παραμέτρω του μοτέλου. n k Ο διορθωμέος συτελεστής προσδιορισμού είαι πιο κατάλληλος από το συτελεστή προσδιορισμού στις εξής περιπτώσεις: α) ότα ο αριθμός τω παραμέτρω του μοτέλου είαι κοτά στο μέγεθος του δείγματος β) ότα συγκρίουμε μοτέλα που περιλαμβάου διαφορετικό αριθμό αεξάρτητω μεταβλητώ (γιατί;). Παρατηρείστε το τύπο υπολογισμού του και σκεφθείτε τι «τιμωρείται». Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6

28 Αάλυση Παλιδρόμησης Προβλήματα. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα ποσοστά χαλκού σε 30 δείγματα μεταλλεύματος που ελήφθησα σε διαφορετικές αποστάσεις κατά μήκος μιας στοάς εός μεταλλείου. Φαίοται, επίσης, οι αποστάσεις τω σημείω δειγματοληψίας από τη είσοδο της στοάς. Απόσταση (m) Ποσοστό Χαλκού (%) Απόσταση (m) Ποσοστό Χαλκού (%) (α) Προσαρμόστε στα δεδομέα το απλό γραμμικό μοτέλο. α ) Μέσω του μοτέλου που προσαρμόσατε, τι ποσοστό της μεταβλητότητας της περιεκτικότητας χαλκού εξηγείται από τη απόσταση; α ι ) Ελέγξτε α το μοτέλο που προσαρμόσατε είαι στατιστικά σηματικό. α ι ) Για τη κλίση της ευθείας παλιδρόμησης β, ελέγξτε τη υπόθεση H 0 : β 0 έατι της H : β 0. Ερμηεύστε το αποτέλεσμα του ελέγχου αυτού. α v ) Eπιβεβαιώοται από τα δεδομέα οι υποθέσεις-παραδοχές της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου; (β) Προέκυψα εδείξεις ότι πρέπει α ααζητηθεί άλλο μοτέλο; Α αι, διερευήστε.. Στο πλαίσιο μιας περιβαλλοτικής μελέτης, μετρήθηκα σε έξι διαφορετικούς χρόους Τ, οι συγκετρώσεις Υ μιας χημικής ουσίας σε 8 διαφορετικά διαλύματα (έγια τρεις μετρήσεις σε καθέα από τους έξι διαφορετικούς χρόους). Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται τα αποτελέσματα τω μετρήσεω αυτώ. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 7

29 Αάλυση Παλιδρόμησης Αριθμός Διαλύματος Χρόος ( t ) σε ώρες Συγκέτωση ( ) σε mg/ml (α) Προσαρμόστε στα δεδομέα το απλό γραμμικό μοτέλο Yˆ ˆ α + ˆ β T. α ) Μέσω του μοτέλου που προσαρμόσατε, τι ποσοστό της μεταβλητότητας της συγκέτρωσης της χημικής ουσίας Υ εξηγείται από τη μεταβλητότητα του χρόου Τ; α ι ) Ελέγξτε α το μοτέλο που προσαρμόσατε είαι στατιστικά σηματικό. Για τη κλίση της ευθείας παλιδρόμησης β, ελέγξτε τη υπόθεση H : β 0 0 έατι της H : β 0. Ερμηεύστε το αποτέλεσμα του ελέγχου αυτού. Τέλος, ελέγξτε (στατιστικά) α πρέπει α εξετάσετε προσαρμογή κάποιου άλλου μοτέλου. α ιιι ) Σχολιάστε συολικά τις επιμέρους απατήσεις στo ερώτημα (α ι ). Είαι κάποιες ατιφατικές; Είαι κάποιες ταυτόσημες; (εξηγείστε.) α v ) Eπιβεβαιώοται από τα πειραματικά δεδομέα οι υποθέσεις-παραδοχές της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου; (β) Προσθέστε έα ακόμη όρο ( β T ) στο μοτέλο. β ) Επααλάβατε τα ερωτήματα α α v για το έο μοτέλο: ˆ ˆ Yˆ ˆ α + β T + β T. β ) Ελέγξτε α ο όρος β T είαι στατιστικά σηματικός. Ερμηεύστε το αποτέλεσμα του ελέγχου αυτού. β ) Βελτιώθηκε το ποσοστό της μεταβλητότητας του Υ που εξηγείται από τη παλιδρόμηση; (γ) Προσαρμόστε το μοτέλο ln( Yˆ) ˆ α + ˆ β T. γ ) Επααλάβετε τα ερωτήματα α α v για το έο μοτέλο. γ ) Τι ποσοστό της μεταβλητότητας του ln(υ) εξηγείται από τη παλιδρόμηση; Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 8

30 Αάλυση Παλιδρόμησης (δ) Ποιο από τα τρία μοτέλα παλιδρόμησης είαι το καταλληλότερο για προσαρμογή στα δεδομέα του πειράματος; Εξηγείστε γιατί. Εξηγείστε επίσης πώς οδηγηθήκαμε α εξετάσουμε αυτά τα μοτέλα. (ε) Έστω ότι οι 8 ααλύσεις δε είχα γίει σε 8 διαφορετικά διαλύματα αλλά σε 3. Δηλαδή, έστω ότι είχα γίει 6 ααλύσεις σε καθέα από 3 διαφορετικά διαλύματα (μια σε καθέα από τους 6 διαφορετικούς χρόους). Στη περίπτωση αυτή, θα υπήρχα προβλήματα στη εφαρμογή της στατιστικής θεωρίας της παλιδρόμησης; 3. Σε κοιλάδες τρίτης τάξης μετρήθηκα: α) ο αριθμός τω ρυακιώ πρώτης τάξης (Υ) β) η πυκότητα αποστράγγισης 3 (Χ ) γ) το εμβαδό κάθε κοιλάδας (Χ, δ) η υψομετρική διαφορά του υψηλότερου και του χαμηλότερου σημείου της λεκάης κάθε κοιλάδας (Χ 3 ) και ε) το σχήμα 4 κάθε κοιλάδας (Χ 4 ). Τα αποτελέσματα τω μετρήσεω φαίοται στο πίακα που ακολουθεί. Κοιλάδα Υ Αριθμός ρυακιώ Πυκότητα αποστράγγισης Χ (Km/Km ) Εμβαδό Χ (Km ) Υψομετρική διαφορά Χ 3 (m) Σχήμα Χ (α) Να εξετάσετε α μεταξύ του αριθμού τω ρυακιώ Υ και κάθε μιας εκ τω μεταβλητώ Χ, Χ, Χ 3, Χ 4 υπάρχει γραμμική ή άλλη εξάρτηση. (β) Εκτιμείστε κατάλληλο στοχαστικό μοτέλο το οποίο θα σας επιτρέψει α απατήσετε στο ερώτημα: Σε επίπεδο σηματικότητας 5%, μπορούμε με αυτά τα δεδομέα α ισχυριστούμε ότι μια κοιλάδα που έχει 35 ρυάκια και εμβαδό 0.6 Km αήκει στο πληθυσμό τω κοιλάδω που μελετάμε; (γ) Εκτιμείστε το μοτέλο: Y β 0 + βx + β X + β3 X 3 + β 4 X 4 + ε. (δ) Ποιες εκ τω μεταβλητώ Χ, Χ, Χ 3, Χ 4 θα επιλέξετε για α συμπεριλάβετε στο μοτέλο; Όρους αλληλεπίδρασης θα συμπεριλάβετε; Εξηγείστε. 3 Η πυκότητα αποστράγγισης της κοιλάδας ορίζεται ως το πηλίκο του συολικού μήκους όλω τω ρυακιώ της κοιλάδας προς το εμβαδό της κοιλάδας. 4 Ως σχήμα της κοιλάδας ορίζεται το πηλίκο του πλάτους προς το μήκος της κοιλάδας. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 9

31 Αάλυση Παλιδρόμησης 4. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι μετρήσεις του βάρους Υ και του μήκους Χ είκοσι βρεφώ τα οποία κατά τη γέηση είχα βάρος μικρότερο τω.500 gr (λιπόβαρα). Μήκος ( ) σε cm Βάρος ( ) σε gr (α) Με βάση τα παραπάω δεδομέα α εκτιμήσετε κατάλληλο στοχαστικό μοτέλο μέσω του οποίου α μπορεί α εκτιμηθεί το μέσο βάρος βρεφώ συγκεκριμέου μήκους. (β) Αξιολογείστε το μοτέλο που εκτιμήσατε και τεκμηριώστε τη καταλληλότητά του (επιβεβαίωση τω υποθέσεω-παραδοχώ της στατιστικής θεωρίας του μοτέλου, τυπικό σφάλμα της εκτίμησης, ζώη εμπιστοσύης, τυπικά σφάλματα τω εκτιμήσεω τω παραμέτρω και ατίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύης, έλεγχοι υποθέσεω για τις παραμέτρους, συτελεστής προσδιορισμού, Lack-of-Ft test, διερεύηση πιθαώ ακραίω τιμώ, σύγκριση με άλλα επίσης κατάλληλα μοτέλα). (γ) Εκτιμείστε το μέσο βάρος τω λιπόβαρω κατά τη γέηση βρεφώ μήκους 36 cm. Τι αξία έχει αυτή η εκτίμηση; (δώστε έα διάστημα εμπιστοσύης για το μέσο βάρος του πληθυσμού τω λιπόβαρω βρεφώ μήκους 36 cm και ερμηεύστε). (δ) Από το εξεταζόμεο πληθυσμό τω λιπόβαρω κατά τη γέηση βρεφώ, επιλέγετε έα βρέφος και βρίσκετε ότι έχει μήκος 36 cm. Τι βάρος προβλέπετε α έχει αυτό το βρέφος; Τι αξία έχει αυτή η πρόβλεψη; (δώστε έα διάστημα εμπιστοσύης για το βάρος αυτού του βρέφους (διάστημα πρόβλεψης) και ερμηεύστε). (ε) Το μοτέλο που εκτιμήσατε μπορεί α δώσει «αξιόπιστη» εκτίμηση του μέσου βάρους λιπόβαρω βρεφώ μήκους 46 cm; (εξηγείστε.) (στ) Για ποιο μήκος (μεταξύ τω δεδομέω) προκύπτει το καλύτερο διάστημα εμπιστοσύης για το μέσο βάρος του πληθυσμού τω βρεφώ; Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 30

32 Αάλυση Παλιδρόμησης 5. Σε δείγματα μελιού έγια επεμβάσεις (treatments) με malathon και fluvalnate σε συθήκες ncubator και storage. Για α μελετηθεί ο ρυθμός αποδόμησης τω ουσιώ αυτώ, έγια μετρήσεις της συγκέτρωσης Υ κάθε ουσίας σε διάφορους χρόους Τ μετά τη ατίστοιχη επέμβαση. Τα αποτελέσματα τω μετρήσεω αυτώ φαίοται στους παρακάτω πίακες 5 : Χρόος μετά τη αγωγή ( t ) σε εβδ. Malathon Συγκέτρωση σε ppd Incubator Storage Χρόος μετά τη επέμβαση ( t ) σε εβδ. Fluvalnate Συγκέτρωση σε ppd Incubator Storage Οι ερευητές, μεταξύ άλλω, προσάρμοσα στις πειραματικές μετρήσεις και για κάθε περίπτωση ξεχωριστά (malathon σε ncubator, malathon σε Storage, fluvalnate σε ncubator, fluvalnate σε Storage), το απλό γραμμικό μοτέλο παλιδρόμησης. (α) Να βρείτε (εκτιμήσετε) αυτά τα μοτέλα γραμμικής παλιδρόμησης και α ερμηεύσετε τις τιμές τω παραμέτρω τους. (γ) Να ελέγξετε α επιβεβαιώοται από τα πειραματικά δεδομέα οι υποθέσειςπαραδοχές της στατιστικής θεωρίας του απλού γραμμικού μοτέλου. (δ) Να δώσετε το τυπικό σφάλμα και έα 95% διάστημα εμπιστοσύης για κάθε μια από τις παραμέτρους τω μοτέλω. Για κάθε μοτέλο, α ερμηεύσετε (με όρους του προβλήματος) τις τιμές τω άκρω του διαστήματος εμπιστοσύης κάθε παραμέτρου. (ε) Για κάθε περίπτωση, α εκτιμήσετε τη μέση συγκέτρωση της ουσίας δύο εβδομάδες μετά τη ατίστοιχη επέμβαση. Τι αξία έχου αυτές οι εκτιμήσεις; (στ) Να ελέγξετε α υπάρχει στατιστικώς σηματική διαφορά μεταξύ τω ρυθμώ αποδόμησης ) της ουσίας malathon σε συθήκες ncubator και σε συθήκες Storage ) της ουσίας fluvalnate σε συθήκες ncubator και σε συθήκες σε Storage ) της ουσίας malathon σε συθήκες ncubator και της ουσίας fluvalnate σε συθήκες ncubator. (ζ) Να αξιολογήσετε τα μοτέλα. 5 P. G. Balaanns; L. A. Santas, Journal of Apcultural Research, 3(): (99) Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3

33 Αάλυση Παλιδρόμησης 6. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι τιμές του ρυθμού θαατηφόρω γεωργικώ ατυχημάτω Υ, που ατιστοιχού σε έτη μετά τη λήψη μέτρω ασφάλειας (ομοθετικώ, συμβουλευτικής, εκπαίδευσης κ.τλ). Τα έτη έχου κωδικοποιηθεί. Έτος Ρυθμός θαατηφόρω ατυχημάτω αά 00 γεωργούς (α) Για α μοτελοποιήσετε τη τάση τω ρυθμώ θαατηφόρω ατυχημάτω, επιλέξτε α προσαρμόσετε στα δεδομέα με τη μέθοδο τω ελαχίστω τετραγώω το καταλληλότερο από τα παρακάτω μοτέλα: ) Y α + β X + ε ) e Y α X β ε ) Y α + β + ε X Τεκμηριώστε τη επιλογή σας. (β) Οι τιμές είαι τιμές χροολογικής σειράς. Τι συεπάγεται η διαπίστωση αυτή για τη «στατιστική αξία» του μοτέλου που προσαρμόσατε; 7. Στο πίακα που ακολουθεί φαίοται οι πειραματικές τιμές της πίεσης P και του ατίστοιχου όγκου V μιας μάζας αέρα. Όγκος Πίεση Σύμφωα με τη θερμοδυαμική θεωρία, για τα P και V ισχύει η μη γραμμική γ σχέση: P V C όπου γ και C σταθερές. α) Το διάγραμμα διασποράς τω πειραματικώ δεδομέω επιβεβαιώειυποδεικύει τη σχέση της θερμοδυαμικής θεωρίας; β) Αφού μετασχηματίσετε κατάλληλα τις πειραματικές τιμές της πίεσης P ή/και του όγκου V, προσαρμόστε το απλό γραμμικό μοτέλο για τη εκτίμηση της πίεσης από το όγκο. Τι εκτιμήσεις για τις παραμέτρους γ και C δίει το μοτέλο αυτό; Αξιολογείστε τις εκτιμήσεις αυτές. Εκτιμείστε τη τιμή της πίεσης P για V 00. Εργαστήριο. Μαθηματικώ & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252 Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης

Διαβάστε περισσότερα

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας. Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε

Διαβάστε περισσότερα

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A

«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2 Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση - 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β. Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙ ΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Ρ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ρ Αθ. Ρούτουλας Καθηγητής ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΟΜΗΣΙΜΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 η ΤΣΙΜΕΝΤΑ - ΣΚΥΡΟ ΕΜΑ ΑΣΚΗΣΗ 10

Διαβάστε περισσότερα

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού

4. Αντιδράσεις πολυμερισμού 4. Ατιδράσεις πολυμερισμού Ποια μόρια οομάζοται μακρομόρια Τα μακρομόρια είαι μόρια μεγάλου μοριακού βάρους που σχηματίζοται από τη συέωση (= πολυμερισμό) απλούστερω δομικά μορίω (= μοομερή) σύμφωα με

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 70 ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γωστικό ατικείμεο) Σάββατο 27-1-2007

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις

Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις Ανάλυση Διασποράς Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Ένας ερευνητής προκειμένου να συγκρίνει τρία σιτηρέσια εκτροφής κοτόπουλων (Σ1, Σ2 και Σ3, αντίστοιχα), σχεδίασε και εκτέλεσε το εξής πείραμα. Επέλεξε 15 νεογέννητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΥΠΟΣ & ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θεωρητικό - Υποχρεωτικό ΤΥΠΙΚΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 4ο (Εαριό εξάμηο 2005-2006) ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΕΣ ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤ. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 ΦΟΡΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2008, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2008, Θεσσαλονίκη Kάθε γήσιο ατίτυο φέρει τη υογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα εικοιωείτε: Tηλ. 310.348.086, e-mail: thanasisenos@ahoo.gr ISBN 978-960-456-09-9 Copright: Ξέος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 008, Θεσσαλοίκη

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ. (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης)

ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ. (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης) ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ & ΠΡΟΛΗΨΗΣ ΝΟΣΗΜΑΤΩΝ (ΚΕ.ΕΛ.Π.ΝΟ.) ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΥΓΕΙΑΣ & ΚΟΙΝΩΝΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΓΓΥΗΣ (Τμήμα Επιδημιολογικής Επιτήρησης και Παρέμβασης) ΕΠΙΔΗΜΙΟΛΟΓΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΦΥΜΑΤΙΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ, 2004-2010 Η

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόβλημα απουσιών στ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ο διευθυντής προσωπικού μιας μεγάλης εταιρείας πιστεύει ότι ίσως υφίσταται κάποια σχέση μεταξύ των ημερών απουσίας και της ηλικίας των εργαζομένων. Με βάση την υπόθεση αυτή ενδιαφέρεται να κατασκευάσει

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ»

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: «ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ» ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ.-.

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου)

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑ ΑΤΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟ ΟΜΩΝ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΠΕΙΡΑΙΩΣ Ταχ. διεύθυση: Ακτή Ποσειδώος 14-16 Ταχ. κώδικας:

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΕΝΟΡΓΑΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αναλυτική Μέθοδος- Αναλυτικό Πρόβλημα. Ανάλυση, Προσδιορισμός και Μέτρηση. Πρωτόκολλο. Ευαισθησία Μεθόδου. Εκλεκτικότητα. Όριο ανίχνευσης (limit of detection, LOD).

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα