Ανάλσση παλινδρόμησης

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ανάλσση παλινδρόμησης Πειραιάς

2 Πολλαπλή Παλινδρόμηση

3 Πολλαπλή Παλινδρόμηςη: Ειςαγωγικά ςτοιχεία Βαζική Ιδέα: επέθηαζε ηεο απιήο παιηλδξόκεζεο. ηότος: ε εμέηαζε ηεο ζρέζεο κεηαμύ ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ θαη θάπνησλ αλεμάξηεησλ. 3

4 ανεξάρτητεσ μεταβλητζσ μια απλή περίπτωςη Π Α Ρ Α Γ Δ Ι Γ Μ Α 4.. Έλα αγξόηεο δηαζέηεη όκνηα αγξνηεκάρηα θαη ελδηαθέξεηαη λα πξνζδηνξίζεη ηνλ ηξόπν κε ηνλ νπνίν επεξεάδεηαη ε παξαγσγή Υ ησλ αγξώλ ηνπ από ηελ πνζόηεηα ηνπ ιηπάζκαηνο πνπ ρξεζηκνπνηεί θαη ηελ πνζόηεηα λεξνύ άξδεπζεο θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θαιιηέξγεηαο. Γηα ην ζθνπό απηό θάλεη δηάθνξνπο ζπλδπαζκνύο ηηκώλ ησλ ραξαθηεξηζηηθώλ ζηνπο αγξνύο θαη θαηαγξάθεη ηηο αληίζηνηρεο παξαγσγέο. Τα απνηειέζκαηα ησλ κεηξήζεσλ δίλνληαη ζηνλ παξαπάλσ πίλαθα όπνπ νη κνλάδεο κέηξεζεο γηα ηα ραξαθηεξηζηηθά ρηιηάδεο θηιά αληίζηνηρα. Λίπαζκα Άξδεπζε Παξαγσγή είλαη εθαηνληάδεο θηιά εθαηνληάδεο 3 m θαη

5 Διάγραμμα διαςποράσ Μπνξνύκε λα παξαζηήζνπκε ηηο ηξηάδεο ησλ κεηξήζεσλ ζε έλα ηξηζδηάζηαην ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ. Έλα ηέηνην ζρήκα νλνκάδεηαη θαη πάιη διάγραμμα διαζποράς ηξηζδηάζηαην θαη κπνξεί λα καο δώζεη κηα αξρηθή ηδέα γηα ηε κνξθή ηεο εμάξηεζεο ηεο κεηαβιεηήο Υ ε νπνία απεηθνλίδεηαη ζηνλ θάζεην άμνλα από ηηο ηηκέο ησλ κεηαβιεηώλ θαη νη νπνίεο απεηθνλίδνληαη ζηνπο νξηδόληηνπο άμνλεο.

6 Από ην δηάγξακκα δηαζπνξάο θαίλεηαη όηη ηα ζεκεία είλαη ζπγθεληξσκέλα γύξσ από θάπνην επίπεδν. Τν επίπεδν απηό ζα κπνξνύζε λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηελ πξόβιεςε θαηά πξνζέγγηζε ηεο ηηκήο ηεο κεηαβιεηήο απόθξηζεο Υ όηαλ γλσξίδνπκε ηηο ηηκέο ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ θαη. Λόγσ ηεο ζπγθεθξηκέλεο ρξήζεο ην επίπεδν απηό νλνκάδεηαη επίπεδν απόθξηζεο ή γεληθόηεξα επιθάνεια απόκριζης resonse lane resonse surface. 6

7 Η πεξηγξαθή ελόο επηπέδνπ ζηνλ ηξηζδηάζηαην ρώξν ρξεηάδεηαη ηξεηο παξακέηξνπο: ζηαζεξά πνπ αληηζηνηρεί ζηε κεηαβιεηή θαη πνπ αληηζηνηρεί ζηε κεηαβιεηή. Όηαλ νη κεηαβιεηέο θαη ιάβνπλ ηηο ηηκέο αληίζηνηρα ην κήθνο ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΒΓ ζα καο δίλεη ηελ θαηαθόξπθε απόζηαζε ηνπ παξαηεξνύκελνπ ζεκείνπ Γ από ην επίπεδν απόθξηζεο. Όπσο θαη ζην απιό γξακκηθό κνληέιν ε απόζηαζε απηή ζα ζπκβνιίδεηαη κε θαη ζα νλνκάδεηαη απόθιηζε ή ζθάλμα 7

8 Η μζθοδοσ Ελαχίςτων τετραγώνων Η εύξεζε ηνπ βέιηηζηνπ επηπέδνπ γηα ηελ πξνζέγγηζε ησλ δηαζέζηκσλ ζεκείσλ ζα γίλεηαη θαη πάιη κε ειαρηζηνπνίεζε ηνπ αζξνίζκαηνο ηεηξαγώλσλ ησλ ζθαικάησλ g θαη λα πξνζδηνξίζνπκε ηηο ηηκέο ησλ θαη κε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο πνπ ζα πξνθύςεη αλ ζέζνπκε ηηο κεξηθέο παξαγώγνπο ηεο g ίζεο κε κεδέλ. 8

9 9 g g g Εξιςώνοντασ τισ μερικζσ παραγώγουσ με το

10 Παράδειγμα Για τα δεδομζνα του Παραδείγματοσ 4.. χρηςιμοποιώντασ τουσ υπολογιςμοφσ που φαίνονται ςτον παρακάτω πίνακα το ςφςτημα παίρνει τη μορφή

11 Σε αλαινγία κε ην απιό γξακκηθό κνληέιν νη πνζόηεηεο πνπ πξνθύπηνπλ κε ηελ ειαρηζηνπνίεζε ηνπ αζξνίζκαηνο ηεηξαγώλσλ ζπκβνιίδνληαη κε ˆ ˆ θαη ˆ θαη ιέγνληαη εκηιμήηριες ελατίζηων ηεηραγώνων ησλ παξακέηξσλ θαη αληίζηνηρα. Από ηε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο ηνπ παξαδείγκαηόο καο βξίζθνπκε ˆ 6.6 ˆ 3. θαη ˆ. 93. Φξεζηκνπνηώληαο ηηο εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ˆ ˆ θαη ˆ κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηελ εμίζσζε ηνπ βέιηηζηνπ επηπέδνπ απόθξηζεο ζην νξζνγώλην ζύζηεκα κε άμνλεο O O θαη O σο εμήο ˆ ˆ ˆ. Τν επίπεδν απηό ζα ιέγεηαη επίπεδο παλινδρόμηζης ηεο Υ πάλσ ζηε θαη ηε. Γηα ην παξάδεηγκά καο έρνπκε

12 Αλ ζέινπκε λα πξνβιέςνπκε ηελ παξαγσγή ελόο αγξνύ ζηνλ νπνίν ρξεζηκνπνηνύκε δεδνκέλε πνζόηεηα ιηπάζκαηνο θαη λεξνύ άξδεπζεο δελ έρνπκε παξά λα αληηθαηαζηήζνπκε ζηνλ παξαπάλσ ηύπν θαη λα ππνινγίζνπκε ηελ ηηκή ηνπ ηελ νπνία ζα ζπκβνιίδνπκε κε ŷ. Γηα παξάδεηγκα αλ 7 θαη 9 πξνθύπηεη ˆ Μεηαμύ ηεο εθηηκώκελεο ηηκήο ˆ θαη ηεο παξαηεξεζείζαο ηηκήο 673 ππάξρεη κηα δηαθνξά. 6 ε νπνία είλαη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα ε ηηκή ηεο ˆ θαηαθόξπθεο απόθιηζεο ηεο πξώηεο παξαηήξεζεο απηήο πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηξηάδα από ην βέιηηζην επίπεδν. Τέηνηεο δηαθνξέο ζα ζπκβνιίδνληαη κε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ θαη ζα ιέγνληαη εκηιμημένα ζθάλμαηα.

13 3

14 4 '.

15 5 β β Πράγματι το ςφςτημα γράφεται ςτη μορφή

16 6 Αλ ν πίλαθαο A είλαη αληηζηξέςηκνο κπνξνύκε λα πνιιαπιαζηάδνπκε ηελ ηζόηεηα β A κε ηνλ αληίζηξνθν πίλαθα A νπόηε ζα πάξνπκε β β β A A A A A A A. Επνκέλσο νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ˆ ˆ ˆ ησλ παξακέηξσλ κπνξνύλ λα ππνινγηζζνύλ κέζσ ηνπ ηύπνπ β ˆ Όπνπ κε βˆ ζπκβνιίζακε ην δηάλπζκα ζηήιε ˆ ˆ ˆ ˆ β.

17 7 Εφαρμογή ςτα δεδομζνα του Παραδείγματοσ A A A ˆ ˆ ˆ ˆ β ˆ ˆ ˆ ˆ β

18 8

19 α. Εθαξκόδνληαο ηνλ ηύπν ˆ γηα ηνπο ζπλδπαζκνύο ηηκώλ ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ καο κπνξνύκε εύθνια λα ππνινγίζνπκε ηηο ηηκέο πνπ ζεκεηώλνληαη ζηελ ηέηαξηε ζηήιε ηνπ επόκελνπ πίλαθα ιακβάλνληαο ππόςε θαη ηελ ηηκή 69/ 69. Σηε ζπλέρεηα ζπκπιεξώλνπκε ηηο ππόινηπεο ζηήιεο θαη ππνινγίδνπκε ηα αληίζηνηρα αζξνίζκαηα ηεηξαγώλσλ πνπ καο ελδηαθέξνπλ. SSE ˆ SSTO SSR 9

20 β. Η πνζόηεηα SSTO απνηειεί έλα κέηξν κεηαβιεηόηεηαο ησλ ηηκώλ ηεο κεηαβιεηήο απόθξηζεο Υ παξαγσγή ησλ αγξώλ γύξσ από ηε κέζε ηνπο ηηκή. Τν άζξνηζκα ηεηξαγώλσλ SSR ˆ εθθξάδεη ην κέξνο εθείλν ηεο ζπλνιηθήο κεηαβιεηόηεηαο πνπ εμεγείηαη από ηε ιίπαλζε θαη ηελ άξδεπζε ησλ αγξώλ. Η ηζόηεηα SSTO SSR SSE δίλεη ηε δηάζπαζε ηεο ζπλνιηθήο κεηαβιεηόηεηαο πνπ παξαηεξείηαη ζηε κεηαβιεηή απόθξηζεο ζε δύν επηκέξνπο ηκήκαηα:. ηε κεηαβιεηόηεηα πνπ εμεγνύλ νη δύν αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο θαη.. ηε κεηαβιεηόηεηα SSE πνπ παξακέλεη αλεξκήλεπηε θαη ζα πξέπεη λα απνδνζεί είηε ζε θπζηθή κεηαβιεηόηεηα ζηαηηζηηθή ηπραηόηεηα είηε ζε άιινπο παξάγνληεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο πνπ δελ ιήθζεθαλ ππόςε ζηελ αλάιπζή καο. Όπσο θαη ζην απιό γξακκηθό κνληέιν ε ζπγθεθξηκέλε δηάζπαζε SSTO SSR SSE ηζρύεη γεληθά.

21 γ. Ο ζσνηελεζηής προζδιοριζμού R γηα ηνλ νπνίν ζα ηζρύεη R εθθξάδεη ην πνζνζηό ηεο ζπλνιηθήο δηαζπνξάο κεηαβιεηόηεηαο ησλ ηηκώλ ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ ε νπνία εμεγείηαη από ηηο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο θαη κέζσ ηνπ επηπέδνπ παιηλδξόκεζεο. Σην Παξάδεηγκά καο έρνπκε R νπόηε ην πνζό ιηπάζκαηνο πνπ ρξεζηκνπνηείηαη ζηνλ αγξό θαη ε πνζόηεηα λεξνύ άξδεπζεο εμεγνύλ ην 86.8% ηεο παξαηεξνύκελεο κεηαβιεηόηεηαο ζηελ παξαγσγή. Τα ζρόιηα πνπ έγηλαλ γηα ην ζπληειεζηή πξνζδηνξηζκνύ ζην απιό γξακκηθό κνληέιν ηζρύνπλ απηνύζηα θαη γηα ην πνιιαπιό.

22 - ανεξάρτητεσ μεταβλητζσ γενική περίπτωςη Σηόρνο καο είλαη ε πξόβιεςε κηαο κεηαβιεηήο απόθξηζεο Υ κέζσ ησλ ηηκώλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ. Γηα ην ζθνπό απηό ζπγθεληξώλνπκε δεδνκέλα πνπ αθνξνύλ ηηο ηηκέο ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ θαζώο θαη ηελ αληίζηνηρε ηηκή ηηκή ηεο κεηαβιεηήο απόθξηζεο γηα κπνξεί λα πξνβιεθζεί κέζσ ηνπ γξακκηθνύ ζπλδπαζκνύ. ζεσξώληαο όηη ε Τν ελδηαθέξνλ καο εζηηάδεηαη ζηνλ πξνζδηνξηζκό ησλ παξακέηξσλ έηζη ώζηε ην άζξνηζκα ηεηξαγώλσλ ησλ απνθιίζεσλ λα γίλεη ειάρηζην. Πξνθεηκέλνπ ινηπόλ λα ειαρηζηνπνηήζνπκε ην άζξνηζκα g αξθεί λα ιύζνπκε ην ζύζηεκα πνπ ζα πξνθύςεη αλ ζέζνπκε ηηο κεξηθέο παξαγώγνπο ηεο g ίζεο κε κεδέλ.

23 Από ηνλ κεδεληζκό ησλ κεξηθώλ παξαγώγσλ πξνθύπηνπλ νη ηζόηεηεο. που οδηγοφν.

24 .ςτο ςφςτημα γραμμικών εξιςώςεων οι οποίεσ είναι γνωςτζσ με την ονομαςία κανονικές εξισώσεις normal equatons..

25 Χρήςη πινάκων Σε αλαινγία κε ηε δηαδηθαζία πνπ αθνινπζήζακε ζην Παξάδεηγκα 4.. ζπγθεληξώλνπκε ηηο ηηκέο ησλ αλεμάξηεησλ κεηαβιεηώλ ζε έλα πίλαθα Χ πξνζζέηνληαο ζπγρξόλσο κηα πξώηε ζηήιε κε όια ηα ζηνηρεία ηεο ίζα κε δειαδή Ο πίλαθαο απηόο έρεη δηάζηαζε θαη ιέγεηαη πίνακας ζτεδιαζμού ηνπ κνληέινπ ή απιά πίλαθα κνληέινπ desgn matr. Εηζάγνληαο επηπιένλ ηα δηαλύζκαηα ζηήιεο 3 β ην ζύζηεκα ησλ θαλνληθώλ εμηζώζεσλ κπνξεί λα γξαθεί ζε πηλαθηθή κνξθή σο β.

26 Υπνζέηνληαο όηη ν πίλαθαο είλαη αληηζηξέςηκνο ε ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο πξνθύπηεη άκεζα κε πνιιαπιαζηαζκό θαη ησλ δύν κειώλ κε ηνλ πίλαθα νπόηε ζα πάξνπκε β. Οη πνζόηεηεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηνλ ηειεπηαίν ηύπν ιέγνληαη εκηιμήηριες ελατίζηων ηεηραγώνων θαη ζα ζπκβνιίδνληαη κε ˆ ˆ ˆ ˆ αληίζηνηρα. Επνκέλσο αλ εηζάγνπκε ην δηάλπζκα ζηήιε ˆ ˆ β ˆ ˆ ˆ ζα έρνπκε βˆ Ο πίλαθαο είλαη πάληνηε έλαο ζπκκεηξηθόο πίλαθαο θαη ζηελ πεξίπησζε πνπ ππάξρεη ν αληίζηξνθνο ζα είλαη θαη απηόο έλαο ζπκκεηξηθόο πίλαθαο.

27 Το ςτατιςτικό μοντζλο πολλαπλήσ παλινδρόμηςησ Σε αληηζηνηρία κε ην ζηαηηζηηθό απιό γξακκηθό κνληέιν κπνξνύκε λα νξίζνπκε σο ζηαηιζηικό μονηέλο πολλαπλής παλινδρόμηζης κε αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο έλα ζηνραζηηθό κνληέιν ηεο κνξθήο γηα ην νπνίν ηζρύνπλ νη επόκελεο ππνζέζεηο.. Οη πνζόηεηεο είλαη άγλσζηεο παξάκεηξνη.. Τα είλαη γλσζηνί αξηζκνί. Οη ηηκέο απηέο θαζνξίδνληαη από ηνλ εξεπλεηή πνπ εθηειεί ην πείξακα. 3. Τν είλαη ε ηηκή ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο ή κεηαβιεηήο απόθξηζεο θαηά ηελ επαλάιεςε ηνπ πεηξάκαηνο. Τν είλαη ηπραία κεηαβιεηή θαη ζα ζπκβνιίδνπκε κε ηελ ηηκή πνπ ιακβάλεη απηή αλ εθηειεζηεί ην πείξακα θαη θαηαγξαθεί ην απνηέιεζκα πνπ παξαηεξείηαη γηα ηε κεηαβιεηή απόθξηζεο Υ παξαηεξνύκελε ηηκή ηεο Υ όηαλ νη αλεμάξηεηεο κεηαβιεηέο ιάβνπλ ηηο ηηκέο αληίζηνηρα. 4. Τα είλαη ηπραία ζθάικαηα κε κέζε ηηκή θαη δηαζπνξά ζ δειαδή V E. 5. Τα ζθάικαηα θαη j πνπ αληηζηνηρνύλ ζε δηαθνξεηηθέο επαλαιήςεηο ηνπ πεηξάκαηνο j ζεσξνύληαη αζπζρέηηζηα δειαδή ηζρύεη Cov γηα j. j

28 Γξάθνληαο αλαιπηηθά ηηο ν ηζόηεηεο = ν έρνπκε ή ιςοδφναμα ςε μορφή ιςότητασ πινάκων

29 Επνκέλσο ην ζηαηηζηηθό κνληέιν πνιιαπιήο παιηλδξόκεζεο ιακβάλεη ηελ κνξθή ε β όπνπ Χ είλαη ν πίλαθαο ζρεδηαζκνύ θαη ε β ηα δηαλύζκαηα ζηήιεο β 3 3 ε δηάζηαζεο θαη αληίζηνηρα. Τν β είλαη έλα δηάλπζκα παξακέηξσλ ελώ ηα θαη ε είλαη δηαλύζκαηα πνπ πεξηέρνπλ ηπραίεο κεηαβιεηέο.

30 Αθνύ ην ε απνηειεί κηα ν δηάζηαηε ηπραία κεηαβιεηή ην δηάλπζκα κέζνο ηεο ζα είλαη ίζν κε 3 E E E E E ε θαη ιόγσ ηεο ππόζεζεο E βιέπε ζπλζήθε Σ4 βξίζθνπκε όηη ε E όπνπ κε έρνπκε ζπκβνιίζεη ην κεδεληθό δηάλπζκα ζηήιε δηάζηαζεο. Επίζεο πξνθύπηεη όηη E E E E δειαδή β E.

31 Σε θάζε πνιπδηάζηαηε ηπραία κεηαβιεηή όπσο ην ε αληηζηνηρεί πέξαλ ηνπ δηαλύζκαηνο κέζνπ θαη έλαο ηεηξαγσληθόο πίλαθαο ν νπνίνο πεξηέρεη όιεο ηηο ζπλδηαθπκάλζεηο j Cov γηα θαη j. Ο πίλαθαο απηόο ιέγεηαη πίνακας διακσμάνζεων ζσνδιακσμάνζεων ζπκβνιίδεηαη κε D ε ή ε θαη νξίδεηαη σο εμήο: ε D ε Cov Cov Cov Cov Cov Cov Cov Cov Cov Αθνύ ηζρύεη όηη j Cov V βιέπε ζπλζήθε Σ4 θαη Cov γηα j βιέπε ζπλζήθε Σ5 ν πίλαθαο ε ζα είλαη ίζνο κε ε D ε I όπνπ κε I ζπκβνιίδνπκε ην κνλαδηαίν πίλαθα δηάζηαζεο. Γηα ηε ν δηάζηαηε ηπραία κεηαβιεηή παιηλδξόκεζεο ζα έρνπκε επίζεο όηη ηνπ ζηαηηζηηθνύ κνληέινπ πνιιαπιήο D I.

32 Εκτιμήτριεσ ελάχιςτων τετραγώνων Οη εκηιμήηριες ελατίζηων ηεηραγώνων ˆ ˆ ˆ ηνπ ζηαηηζηηθνύ κνληέινπ πνιιαπιήο παιηλδξόκεζεο δίλνληαη από ηνλ ηύπν βˆ όπνπ β ˆ ˆ ˆ ˆ. Αθνύ νη εθηηκήηξηεο ειάρηζησλ ηεηξαγώλσλ είλαη ζπλαξηήζεηο ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ ζα είλαη επίζεο ηπραίεο κεηαβιεηέο. Αλ γηα ηηο ηπραίεο κεηαβιεηέο δηαζέηνπκε θάπνηεο παξαηεξεζείζεο ηηκέο ν ηύπνο ζα δίλεη ηηο εκηιμήζεις ησλ ή αιιηώο ηηο ηιμές ησλ εθηηκεηξηώλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ˆ ˆ ˆ κε βάζε ηα δηαζέζηκα δεδνκέλα.

33

34 Ο πίλαθαο πιεξνθνξίαο Ο πίλαθαο είλαη πνιύ ζεκαληηθόο γηα ηε κειέηε ησλ εθηηκεηξηώλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ηνπ ζηαηηζηηθνύ κνληέινπ πνιιαπιήο παιηλδξόκεζεο αθνύ πέξαλ ηνπ γεγνλόηνο όηη καο δηεπθνιύλεη ζηνλ ππνινγηζκό ηνπο κέζσ ηνπ ηύπνπ βˆ δίλεη επίζεο ηε δπλαηόηεηα λα ιάβνπκε πιεξνθνξίεο γηα ηε δηαθύκαλζε θαη ηηο ζπλδηαθπκάλζεηο ηνπο κε εθαξκνγή ηνπ ηύπνπ ˆ β. Γηα ην ιόγν απηό ν πίλαθαο αλαθέξεηαη ζπλήζσο σο πίνακας πληροθορίας nformaton matr ηνπ πνιιαπινύ γξακκηθνύ κνληέινπ.

35

36 α. Πξνθεηκέλνπ λα θηάζνπκε ζε κηα θπζηθή εξκελεία γηα ηηο παξακέηξνπο θαη αο ζπκβνιίζνπκε κε Υ ηελ παξαγσγή ελόο αγξνύ ζηνλ νπνίν έρεη ρξεζηκνπνηεζεί πνζόηεηα ιηπάζκαηνο θαη πνζόηεηα λεξνύ άξδεπζεο. Έρνπκε ινηπόλ κε βάζε ην ζηαηηζηηθό γξακκηθό κνληέιν πνιιαπιήο παιηλδξόκεζεο όηη E Αλ απμήζνπκε θαηά κία κνλάδα ην ρξεζηκνπνηνύκελν ιίπαζκα δειαδή θαηά θηιά ρσξίο λα κεηαβάιινπκε θαζόινπ ηελ πνζόηεηα λεξνύ άξδεπζεο ε κέζε ηηκή ηεο λέαο παξαγσγήο έζησ ηνπ αγξνύ ζα δίλεηαη από ηνλ ηύπν από όπνπ πξνθύπηεη E E E. Επνκέλσο ε παξάκεηξνο εθθξάδεη ηελ κεηαβνιή ζηε κέζε παξαγσγή ηνπ αγξνύ αύμεζε αλ > κείσζε αλ < όηαλ απμεζεί ε πνζόηεηα ηνπ ρξεζηκνπνηνύκελνπ ιηπάζκαηνο θαηά κία κνλάδα ρσξίο λα κεηαβιεζεί θαζόινπ ε πνζόηεηα λεξνύ άξδεπζεο.

37 Παξόκνηα αλ απμήζνπκε θαηά κία κνλάδα ηελ πνζόηεηα λεξνύ άξδεπζεο δειαδή θαηά θπβηθά κέηξα ρσξίο λα κεηαβάιινπκε θαζόινπ ηελ πνζόηεηα ιηπάζκαηνο ε κέζε ηηκή ηεο λέαο παξαγσγήο έζησ ηνπ αγξνύ ζα δίλεηαη από ηνλ ηύπν από όπνπ πξνθύπηεη E E E. Επνκέλσο ε παξάκεηξνο εθθξάδεη ηελ κεηαβνιή ζηε κέζε παξαγσγή ηνπ αγξνύ αύμεζε αλ > κείσζε αλ < αληίζηνηρα όηαλ απμεζεί ε πνζόηεηα λεξνύ άξδεπζεο θαηά κία κνλάδα ρσξίο λα κεηαβιεζεί θαζόινπ ε πνζόηεηα ηνπ ιηπάζκαηνο πνπ ρξεζηκνπνηνύκε. Τέινο όπσο θαη ζην απιό ζηαηηζηηθό γξακκηθό κνληέιν ε θπζηθή εξκελεία ηεο παξακέηξνπ πξνθύπηεη αλ παξαηεξήζνπκε όηη γηα βξίζθνπκε E. Σπλεπώο ε παξάκεηξνο παξηζηάλεη ηελ αλακελόκελε ή κέζε παξαγσγή ελόο αγξνύ ζηνλ νπνίν δελ ρξεζηκνπνηνύκε θαζόινπ ιίπαζκα νύηε θαη λεξό άξδεπζεο.

38 β ˆ β ˆ ˆ ˆ

39 γ δ. Οη ˆ ˆ θαη ˆ είλαη ακεξόιεπηεο εθηηκήηξηεο ησλ θαη αληίζηνηρα νπόηε E ˆ E ˆ θαη E ˆ. β ˆ θαη αθνύ ˆ β V ˆ Cov ˆ ˆ ˆ ˆ Cov Cov ˆ ˆ V ˆ Cov ˆ ˆ Cov ˆ ˆ ˆ ˆ Cov V ˆ ζχουμε..

40 ˆ V ˆ.47 θαη ˆ. 89 ˆ 364 V ˆ.36 θαη ˆ. 6 θαη ˆ V ˆ.96 θαη ˆ. 98. ˆ ˆ Cov ˆ ˆ Cov Cov ˆ ˆ. 6.