Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές & Θεωρία με ερωτήσεις και αποδείξεις σε 55 σελίδες. Kglykos.

Transcript

1 Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός Κατεύθυνση κεφάλαιο 98 ασκήσεις και τεχνικές & Θεωρία με ερωτήσεις και αποδείξεις σε 55 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Kglykos.gr 1 7 / 5 / εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 τηλ. Οικίας : κινητό : Τα πάντα για τις συναρτήσεις Πεδία ορισμού : Ορισμοί από τα παλιά Πεδίο ορισμού : Af Σύνολο τιμών : f () A f q A A f ()() g fάρτια f ()() f f fπεριττή f ()() f g fπεριοδική f ()()() T f T f fτέμνει '() 0f fτέμνει yy ' ό 0 fβρίσκεται πάνω από '() 0f fτέμνει g f ()() g fβρίσκεται κάτω από g f ()() g f ()()() 0g g f () ln(())() g 0 g ()() 0 1 f g g () Προσοχή : μη ξεχνάς ότι εφχ,σφχ είναι κλάσματα Ορισμός και ισότητα συναρτήσεων Πράξεις συναρτήσεων : Βρες το πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης Af, Ag οπότε A Af Ag.Ο αντίστοιχος τύπος θα είναι η αντίστοιχη πράξη των τύπων τους.προσοχή στη συνάρτηση f g θα πρέπει στο πεδίο ορισμού να λάβεις υπόψη ότι g() Να εξετάσεις αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες. Αν όχι να βρεις το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο θα μπορούσαν να είναι ίσες : f (),() g 1 1 f (),() g f (),() g 89. Να βρεις τα διαστήματα στα οποία είναι ίσες : Πράξεις κλαδωτών συναρτήσεων : Κάνε όλους τους συνδυασμούς μεταξύ των κλάδων.θα ορίσουμε νέα διαστήματα f () 1 1,() g 90. Δίνονται οι συναρτήσεις : 1 f (),() g 1, να ορίσεις τις συναρτήσεις 1

3 τηλ. Οικίας : κινητό : f g f g f g f g 91. Δίνονται οι συναρτήσεις f () 1,() g 4 fg ; f ; g 1,0 4 1, 5,48 4,15 f (),() g f ; g 9. Δίνονται οι συναρτήσεις : 9. Δίνονται a 1 a a f (),() g, f g ; a a 1 a Έστω, : 8()() 4()() 4 f g f g f g g f f g () 95. Δίνονται οι συναρτήσεις f g g f f, :() 10, ν.δ.ο. η g δεν είναι η μηδενική συνάρτηση 96. Έστω συνάρτηση f : f() = ( 1), 1 1, 1, α ε R. Να βρεις το α όταν διέρχεται από Α(α,α) 97. Ν.δ.ο. η συνάρτηση f() = 1 1 είναι περιττή 98. Δίνεται η συνάρτηση f() = 9 9,ν.δ.ο. f()+f(1-)=1 99. Αν f : f()-5f(-)= +4+4 τότε με τι ισούται το άθροισμα των συντελεστών της f() 00. Αν f : f()=αχ+β και fof()=f()+αβ, να βρεις τα α,β 01. Έστω οι συναρτήσεις f()= 1 1 και g()=χ-1 να βρεις για τις διάφορες τιμές του χ τη θέση των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων ( 1) ( 0. Αν f()= και g()= 1) να βρεις το λ ώστε f=g 0. Δίνονται οι συναρτήσεις f()=ημχ και g() =.Να βρεθεί η σύνθεση της f με τη g, η σύνθεση της g με την f και της g με τον εαυτό της

4 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν g()=-, f περιττή συνάρτηση και h(+1)= f (()) g f () να βρεις το h(4) 05. Ν.δ.ο. δεν υπάρχει συνάρτηση φ για την οποία ισχύει f(1-)f(1+)-f(1+)= 06. Δίνεται η συνάρτηση f:[,5] R, να βρεις το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g()=f(-) 07. Αν f( +)= ++, να βρεις την f() Δίνεται η συνάρτηση f() = ln.να βρεις το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης Έστω η συνάρτηση f : f()+f(1-)=4f(0)-.να βρεις τον τύπο της f(). 10. Έστω η συνάρτηση f : f (), 1, να βρεις το α ώστε f( +1)=αf(α-)+f(α+) Έστω οι συναρτήσεις f,g ώστε [f()+g()] -[f()-1][g()+1]+4=0.ν.δ.ο. f=g 1. Αν f () 1, 0 1, 0 και g(), 1 να βρεις την τιμή της παράστασης (f+g)()+(fg)(0) 1, 1 Σχετική θέση συναρτήσεων Σχετική θέση συναρτήσεων f,g: Όρισε τη συνάρτηση h()()() f g και κάνε τον πίνακα πρόσημων της h. 1. Να βρεις τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων με τους άξονες : f () 4 4 g() 1 h() 1, 0, 14. Να βρεις τις τιμές του χ για τις οποίες οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων βρίσκονται πάνω από f () 5 6 g () h() ln ln 15. Να βρεις τις τιμές του χ για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική της g : f () 4 1,() g 1 1 f (),() g 1 1

5 τηλ. Οικίας : κινητό : a 4 f (),, a b, A1, 1, B, b 1 7 τα σημεία από τα οποία διέρχεται. 16. Δίνεται η συνάρτηση Να βρεις α,β, τα σημεία που τέμνει άξονες, τα χ για τα οποία βρίσκεται πάνω από τον χχ, τα σημεία τομής με την ευθεία y=1. Σύνθεση συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων fμε g : Agof A f :() f Ag gof g f ()(()) g f 17. Δίνονται οι συναρτήσεις f g ; f f ; g f ; g g ; 1 f (),() g Έστω συναρτήσεις : f (),() g 6 f g ; f f ; g f ; g g ; 19. Έστω συναρτήσεις : f (),() g 4 1 f g ; f f ; g f ; g g ; 0. Δίνεται η συνάρτηση : f : 4, 4,()( g 6) f 1. Δίνονται οι συναρτήσεις, να βρεις το πεδίο ορισμού της g f () a b 1,() g,() b f g 4, ; a b 1 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f (),() g,() h 1 f g h;. Αν f () 4 4 f f ; 4

6 τηλ. Οικίας : κινητό : , 0 4. Δίνονται f (),() g f ; g 1, 0 5. Ν.δ.ο. αν f,gπεριττές τότε g f 6. Ν.δ.ο. αν f άρτια τότε g f άρτια περιττή 7. Ν.δ.ο. αν f περιττή και g άρτια τότε g f 8. Ν.δ.ο. αν f περιττή και g f 9. Δίνεται άρτια περιττή τότε g περιττή f :() f 5f 4(1) ; f Όπου εμφανίζονται σχέσεις της μορφής fof (),() fofof και ζητείται το f () 1 τότε συνήθως φοράω άλλο ένα f στη σχέση ή όπου χ βάζω το f () 1 0. Αν 1. Αν. Αν f g() 5 1,() g 4() ; f f g() 4 6,() f 4() ; g f ( 5) 8 4 () ; f. Συναρτησιακές σχέσεις : f () y f(0):βάζω όπου χ=ψ=0 για άρτια ή περιττή βάζω ψ=-χ ή όπου χ το χ,ψ=0 για σχέση με έναν άγνωστο ψ=0 ή χ=0 ή χ=ψ=χ/ Συναρτησιακές σχέσεις : f () y f(1) : βάζω όπου χ=ψ=1 για σχέση με έναν άγνωστο ψ=1 ή ψ=1/χ Συναρτησιακές σχέσεις με f (),() a f b συνήθως θέτω όπου χ το α-β-χ και σύστημα. Δίνεται η συνάρτηση f :,()()() f y f f y Ν.δ.ο. διέρχεται από αρχή αξόνων, είναι άρτια και f ()()() y f f y, ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι η μηδενική 4. Δίνεται συνάρτηση f :,()()() f y f y yf.ν.δ.ο. η συνάρτηση διέρχεται από αρχή αξόνων και έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων 5. Δίνεται συνάρτηση f :,()()() f y f f y,ν.δ.ο. διέρχεται από το Α(1,0) και 1 f f () 5

7 τηλ. Οικίας : κινητό : Να βρεις διαστήματα μονοτονίας στις συναρτήσεις : f () 4 f () f () ln 1 Εφαρμογές μονοτονίας Μονοτονία : f ό f ()() f και 1 1 f ό f ()() f 1 1.Αν ζητηθεί μονοτονία και η fείναι παραγωγίσιμη τότε χρησιμοποίησε f '() και δες τον πίνακα προσήμων αλλιώς ξεκίνα με 1 και εξέτασε f ();() f 1 7. Δίνεται συνάρτηση f () a a. Να βρεις τοα ώστε να είναι γνησίως φθίνουσα, Λύση εξίσωσης με f κάνε πράξεις ώστε να εμφανίζεται f( )=f( ) και με την προυπόθεση ότι η f είναι 1-1 διώχνεις τα f και συνεχίζεις Λύση ανίσωσης με f κάνε πράξεις ώστε να εμφανίζεται f( )<>f( ) και εφόσον γνωρίζεις τη μονοτονία της f διώχνεις τα f ( f δεν αλλάζεις φορά ενώ με f αλλάζεις φορά ανίσωσης ) και συνεχίζεις 8. Δίνεται συνάρτηση f () e ln. a, b 0,, a b e e e ln b. Ν.δ.ο. Να λύσεις την ανίσωση 9. Δίνεται η συνάρτηση f () a, a 0,1 b a a b a 1 e e ln 1 ln, να βρεις μονοτονία να λύσεις την ανίσωση a a 40. Δίνεται συνάρτηση f () 5 1. Να βρεις μονοτονία να λύσεις την ανίσωση f f () Δίνεται συνάρτηση f () ln, να μελετήσεις μονοτονία να λύσεις την ανίσωση 4. Δίνεται η συνάρτηση f () ln 4 ln 1 0 Ν.δ.ο. είναι γνησίως αύξουσα και 6

8 τηλ. Οικίας : κινητό : να λύσεις τις ανισώσεις : f f ,() Να λύσεις την ανίσωση : ln Να βρεις το σημείο της ευθείας y=-1 που έχει ελάχιστη απόσταση από το σημείο Α(1,0) 45. Να βρεις το α ώστε να έχει ελάχιστο το - η συνάρτηση f a () 46. Αν f() = 1 με f: (-1,1) R, να μελετήσεις τη μονοτονία 47. Ν.δ.ο. αν οι συναρτήσεις f,g είναι γνησίως αύξουσες και οι γραφικές τους παραστάσεις είναι πάνω από τον άξονα χχ, η συνάρτηση fg είναι γνησίως αύξουσα. 48. Στην προηγούμενη άσκηση ν.δ.ο. και η gof είναι γνησίως αύξουσα 49. Δίνεται η εξίσωση ln=1-. Ν.δ.ο. έχει μοναδική λύση και να βρεθεί. Επιπλέον δίνεται η εξίσωση f() = 5 Ν.δ.ο. είναι 1-1 και. να λύσεις την εξίσωση 5 5 ln ln(1) Δίνεται η συνάρτηση f : f () () f 0, όπου f:r (1,+ ). Ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι αύξουσα, να βρεις το f() και να λύσεις την ανίσωση f(f())> 1-1 «1-1» : μπορείς να αποδείξεις ένα από τα επόμενα 1 ό f ()() f 1 (μην το χρησιμοπ) f ()() 1 f ό1 Ν.δ.ο. η f είναι γνησίως μονότονη : f '() κ.τ.λ. Σε σχήμα θα πρέπει φέρνοντας οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία να τέμνεις το πολύ σε ένα σημείο Σε κλαδωτή συνάρτηση αποδεικνύουμε ότι είναι 1-1 κάθε κλάδος και μετά θα πρέπει τα σύνολα τιμών των κλάδων να μην έχουν κοινά σημεία. Ν.δ.ο. η συνάρτηση δεν είναι «1-1» : απέδειξε ότι δεν ισχύει ένα από τα παραπάνω ή βρες τιμές για το χ όπου δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. 51. Να εξετάσεις αν είναι 1-1 οι συναρτήσεις : f () 5 f () 5 1 7

9 τηλ. Οικίας : κινητό : f () 1 f () e ln f () 4 f () ln 1 5. Να εξετάσεις αν είναι 1-1 η συνάρτηση 6 5, f () 5, 5. Δίνεται συνάρτηση f :,()() f f 1 f Ν.δ.ο. αντιστρέφεται και διέρχεται από το Α(1,1) 54. Δίνεται συνάρτηση f :,() f 4() f Ν.δ.ο. αντιστρέφεται και διέρχεται από το Α(1,1) f :,()() f f f 55. Δίνεται συνάρτηση Ν.δ.ο. είναι αντιστρέψιμη και να λύσεις την εξίσωση : f ()(4) f 56. Δίνεται η συνάρτηση f :,() f 1 () f,ν.δ.ο. δεν είναι αντιστρέψιμη 57. Δίνεται συνάρτηση f :,() f 5f f1 Ν.δ. ο. αντιστρέφεται, f (),() g 1() 4f δεν είναι αντιστρέψιμη 015 Αντίστροφη συνάρτηση 58. Να βρεις τις αντίστροφες των συναρτήσεων: Αντίστροφη συνάρτηση f 1 () : Αποδεικνύεις ότι είναι 1-1 Θέτω f()=yκαι λύνω ως προς χ Αλλάζω το χ με το ψ Το νέο ψ είναι η f 1 () Το νου σου :το σύνολο τιμών f(α)= A 1 f f () g() e 1 8

10 τηλ. Οικίας : κινητό : h() f () 5, 1 g() ln 1 h() 59. Δίνεται συνάρτηση 4, 5, 5 f () ()() f 0f, ν.δ.ο. είναι αντιστρέψιμη και να βρεις την f Δίνεται συνάρτηση f (())() f f, ν.δ.ο. είναι αντιστρέψιμη και να βρεις την f 1 Ιδιότητες αντίστροφης συνάρτησης f 1 () : Η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική με την f ως προς την ψ=χ 1 Αν f ()() a b f b a Αν f τότε για τα κοινά τους σημεία 1 f 1 1 f ()()()() f f f A f A f A A 1 ()() f 61. Δίνεται συνάρτηση γνησίως μονότονη όπου διέρχεται από το Α(,),Β(,6). Ν.δ.ο. αντιστρέφεται και να λύσεις : 1 1 f f 1, f f e 6. Δίνεται η συνάρτηση 5 f () 1, 6. Δίνεται ν.δ.ο. είναι αντιστρέψιμη και να 1 λύσεις : f f 1 f f f 5 () f 1 ; f 1 ( 18) ; 9

11 τηλ. Οικίας : κινητό : f 1 () ; 64. Δίνεται η συνάρτηση f () 9 1 f ; f 1 ( 5) ; να λύσεις 1 f f 1 f ()() f ln 0 f () 65. Δίνεται συνάρτηση e f (), να βρεις f 1 f ( 1) f e 66. Δίνεται η συνάρτηση 01 f () e 1, ν.δ.ο. αντιστρέφεται και να βρεις τα κοινά τους σημεία 67. Δίνεται συνάρτηση f () () f, ν.δ.ο. αντιστρέφεται, να βρεις αντίστροφη, μονοτονία και κοινά τους σημεία 68. Έστω f : R R με f (0) 1,()()() f f y f y. Ν.δ.ο. f (0) 0 f () 0, 69. Έστω f : R R όπου διέρχεται από τα σημεία Α(,0) και Β(,1). Να βρεις τη μονοτονία της αν γνωρίζεις ότι είναι 1-1 και να υπολογίσεις 70. Έστω f : R R f (0),(1) f 1 1 1,1-1 όπου διέρχεται από το Α(1,), Β(,4).Να λύσεις την εξίσωση f f Αν f ()( f1) f δεν είναι Έστω f : R R,1-1, όπου διέρχεται από Α(,), Β(4,-1). Ποια η μονοτονία της και να λυθεί η ανίσωση f f 1 () 1 10

12 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν f (), [0, ], να υπολογίσεις το f Έστω f : R R,1-1, όπου f ()() f 1,να υπολογίσεις την f 1 () 75. Αν f (), να υπολογίσεις την f 1 () 76. Έστω f : R R,1-1, διέρχεται από Α(4,), Β(5,1), ποια η μονοτονία της f και να λυθεί f () f Αν f () e ln( 1)(1) ; f Για τη συνάρτηση f γνωρίζουμε ότι f(f())= Ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και να βρεις την αντίστροφη. Να λύσεις την εξίσωση f()= f f ()() f 79. Δίνεται η συνάρτηση Ν.δ.ο. είναι 1-1 και να λύσεις την εξίσωση f ()(4) f 80. Έστω συνάρτηση f αύξουσα και θετική.ν.δ.ο. η g() = f () 1 f () αντιστρέφεται 81. Δίνεται η συνάρτηση f με f ().Να εξετάσεις αν αντιστρέφεται και να βρεις την αντίστροφη 8. Δίνεται η συνάρτηση f : [,+ ) R με f()= 1. 4 Ν.δ.ο. η συνάρτηση f αντιστρέφεται. Να βρεις την αντίστροφη και να εξετάσεις αν έχουν κοινά σημεία 8. Δίνεται η συνάρτηση f με f() =, Ν.δ.ο. είναι 1-1 και,. να βρεις την αντίστροφή της f. 11

13 τηλ. Οικίας : κινητό : Ερωτήσεις θεωρίας 1) Να δοθεί ορισμός διαστήματος : a, b : a b, a, b : a b [α,β),(α,β] ομοίως για ) Να δοθεί ορισμός συνάρτησης : Έστω Α υποσύνολο του R.Η διαδικασία που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο του Α σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y, Α: πεδίο ορισμού, y:τιμή της f στο ) Ορισμός γραφικής παράστασης : Το σύνολο Μ(,y) όπου y=f(), f η συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α 4) Να δοθεί ορισμός ίσων συναρτήσεων : f g έχουν ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε χεα : f()=g() 5) Πράξεις συναρτήσεων : f g f ()() g, f g f ()() g, fg ()() f f (), g g() 6) Σύνθεση συναρτήσεων : Σύνθεση της f με g συμβολίζω τη συνάρτηση g f ()() και πεδίο ορισμού Ag f Af /() f Ag g f g f 7) Ορισμός γνησίως αύξουσας : f στο D όταν 1, D : 1 8) Ορισμός γνησίως φθίνουσας : f στο D όταν ) 84. Ορισμός Αν συνάρτηση αντίστροφης είναι γνησίως συνάρτησης μονότονη : Αν και f αντιστοιχίζει διέρχεται από το χ τα στο σημεία y τότε Α(,) η και αντιστοιχίζει Β(,4), να το λύσεις y στοτην και ανίσωση : f(1+f 1 1 αντιστρόφως : f (-1))>4 ()() y f y 1) Τι γνωρίζω για την αντίστροφη εξίσωση : πεδίο ορισμού της μίας είναι το σύνολο τιμών της άλλης και 85. Δίνεται η συνάρτηση f (), χωρίς να βρεις 1 την αντίστροφη 1 αντίστροφα. Έχουν συμμετρία να υπολογίσεις f 1 ( ). ως προς y=. 4 f f, f f y y. Αν f γνησίως αύξουσα 1 1 τότε 86. Αν συνάρτηση για τα κοινά αντιστρέφεται σημεία των και f, f f ( :()() f 1) f 8 να βρεις το f 1 ή f () ή () f 1 () με τύπο τότε f 1 f, D : τότε f f 1 9) Ορισμός μεγίστου, ελαχίστου : συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α : o ε Α είναι μέγιστο τότε A :()() f f o & o ε Α είναι ελάχιστο τότε A :()() f f o 10) Ορισμός συνάρτησης 1-1 : Αν f : A, 1, A : αν 1 f 1 f ή αν f f f f g Όρια 0 0 Η f έχει όριο στο () f () f 1 0 o o o 87. Να υπολογίσεις τα όρια : 8 1 1

14 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις : 89. Ομοίως 90. Αν , f () 7 () f ; 1 1 () f 4 Σε όριο Α.Μ. 0 0 έχεις επιλογές Hornerσε αριθμητή- παρονομαστή Συζυγή παράσταση σε άρρητες μορφές De l Hospital Σε ριζικά με το ίδιο υπόριζο διαφορετικών τάξεων βρίσκεις το ΕΚΠ των τάξεων και θέτεις f () y Αν δίνεται όριο ποσότητας που περιέχει την f() και ζητείται το ()f τότε ΘΕΤΩ βοηθητική συνάρτηση g(). Όριο που περιέχει απόλυτο : σε περίπτωση Α.Μ. κάνε το πινακάκι για το απόλυτο ώστε να δεις το πρόσημό του.στην χειρότερη περίπτωση μπορεί να χρειαστείς πλευρικά όρια Κριτήριο παρεμβολής : Αν για τη συνάρτηση fισχύει...() f... τότε οποιοδήποτε όριο το δουλεύεις κατασκευαστικά. 91. Να υπολογίσεις και Δίνονται οι συναρτήσεις 1, 1 6, f, g :() f,() g, (),() f, ; g a b a b, 1 a b, Να βρεις τα α,β αν υπάρχουν τα όρια στο 1,-1 για τη συνάρτηση : 95. Δίνεται η συνάρτηση 96. Αν a b, f (), () f, a; b (a ) b, 7 16 () f 7 4 () ; f a b, 1 f () a, b 1 1, Αν h h () 1 () ; 0 1() f () ; f 98. Αν Αν 4() f 1

15 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν () f ; 1 f () 5 ; 1 1 f () 4() f 4 () ; f Να υπολογίσεις τα όρια : , 40. Ομοίως : 9 ( ) Δίνεται η συνάρτηση f () () f 0, 0 0, 0, υπολόγισε τα όρια : f () 0 f () Να υπολογίσεις τα όρια : 5 14

16 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις τα όρια : Δίνεται η συνάρτηση f() = k, 0 4, Να βρεις τα κ,λ ώστε να υπάρχει το όριο στο 0 και η γραφική παράσταση να διέρχεται από το Α(1,) 407. Να υπολογίσεις τα όρια : ( ) 4 ( ) Να βρεις τα όρια : Αν [4()()] f 4f, να βρεις το όριο της συνάρτησης στο Να βρεις το Να υπολογίσεις

17 τηλ. Οικίας : κινητό : «Κατασκευαστικά» 41. Έστω f : R R : 41. Έστω f : R R : () f, να βρεις () f, να βρεις f ()(0) f 0 f () 0 () f 4 0 5() f 414. Έστω f : R R : () f, να βρεις () f 0 f () f () 415. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g ώστε 0 ()() f g 0 a, ()( g 1 1), να υπολογίσεις το Δίνεται η συνάρτηση f : R R όπου () f, να βρεις () f 0 f () Δίνονται οι συναρτήσεις f,g ώστε f ()() g() f, ν.δ.ο. τα όρια των συναρτήσεων στο 0 είναι Δίνονται οι συναρτήσεις f,g ώστε [() f ()] g6,[() ()] f g, να βρεις τα όρια των συναρτήσεων στο 419. Δίνεται συνάρτηση f όπου f() ημχ. Να βρεις το όριο της f στο 0. Επιπλέον να υπολογίσεις 0 f ()() f f () Αν f (), 0 1() f 1 να υπολογίσεις τα όρια : () f f () 16

18 τηλ. Οικίας : κινητό : f ()() g 41. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : (0,+ ) R και τα όρια a, το όριο f () g () 4. Έστω f : R R f ()() f 5, () 5 ; f () 5 4 : f 4. Αν f () () f () ; f, να βρεις 44. Αν 1 f () f () ; f 45. Έστω f : R R : f () () f 0, να βρεις () f Να βρεις τις συναρτήσεις f, g :()() f () g 4() 4f g 47. Αν f ()(0) f ()()() ; 0 f f f () f 7 5 () ; f 48. Αν Λέω να «θέσω» 49. Αν 40. Αν f ()() f ; 1 1 () f Αν () f ; f () ; ()() f f 9 ; f () 4 f () () 4 01 ; 4. Αν f () f () 1f () ; f 4. Αν Αν 1 f (), να βρεις 1 17

19 τηλ. Οικίας : κινητό : () f 1 f () Αν (() f 5) 0, να υπολογίσεις τα όρια : () f (() f ) f () 5 (() 6 ) f 4 5 f () 5 1 () 5 6 f 46. Να βρεις το όριο () f, αν ισχύει ότι [() f 1 ] Δίνεται συνάρτηση f όπου f () 1 f (), να βρεις το () f Δίνεται η συνάρτηση f : [() f ] 5 1, να υπολογίσεις το όριο της f στο 1 και f () 1 () f 49. Αν ()() f () g4() 5f g 0, να βρεις (),() f 0 0 g 440. Αν f () () f () f ; f () Αν f () () f () f 1 ; f () 1 f ()() 1 f 5 ; Αν Αν f () () f ; Αν ( 4 1)() 01 () ; f f 18

20 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν 446. Αν 447. Αν 448. Αν 5 1 () f ; 1 f () 1 4() f 16 5 () f ; 4 4 f () () g ; 0 0 f ()() f 4 ; Αν f () () () 8 f f 1 ; f () 1 4 () f () g 5, 8() 5() f 4 g() ;,() ; f g 450. Αν 451. Αν f f f 4()() 4 () ; 45. Αν ισχύει f () () f 0 () ; f Αν f () 1() 1 f f ( 4)(), f 4 ; Αν () f 4 ( )() f ; f 455. Αν 456. Αν 0 f f () ; 0 0 f ()(7) f 4 ; 0 f ()() 0 f f () 457. Αν fάρτια, gπεριττή και,() g ()() f; g Όρια 0 a Μορφή 0 a : δίνει αποτέλεσμα 458. Να υπολογίσεις τα όρια : Horner σε παρονομαστή Βρες το προβληματικό Σπάσε σε όρια Υπολόγισε το πρώτο και στο δεύτερο κάνε πλευρικά όρια. Το νου σου στο τέλος μπορεί να πάρεις,, (δεν υπάρχει)

21 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν 460. Αν 4 () g ; g() g() 8 () g ; 1 1 () f Αν () f ; () f 5() 7f ; f () Να υπολογίσεις τα όρια : 0 1, τα α,β ώστε να υπάρχει το 1 a b Αν 464. Αν g() g() a, b 1, a b ; 1 1 b, f (), () f, a; b a6, 465. Να υπολογίσεις για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων α,β το 4 a 9 b Να βρεις αν υπάρχουν τα όρια 1 ( 1), Να βρεις το όριο Να βρεις το όριο 0 0

22 τηλ. Οικίας : κινητό : Όρια Όρια στο : παίξε με τη μεγαλύτερη δύναμη παντού, σε αριθμητή, παρονομαστή, μέσα στη ρίζα, έξω από τη ρίζα, Να υπολογίσεις τα όρια : , Για τις διάφορες τιμές του α να βρεις το 9( ) 5 a a a 471. Να υπολογίσεις για τις διάφορες τιμές του α το a ( a ) 4 ( ) a a 1 1

23 τηλ. Οικίας : κινητό : Για τις διάφορες τιμές του α να βρεις το 1 ( 1) a a Αν ( a 4)( 4) a b 1 1 ( b ) 6 a, b ; 474. Αν b 4 a, b ; a 475. Για τις διάφορες τιμές του α να υπολογίσεις τα όρια : 4 a a a 476. Αν a 1 b 1 a, b ; 477. Να υπολογίσεις τα όρια : e 1 e 478. Να υπολογίσεις τα εκθετικά όρια : Να υπολογίσεις : Να υπολογίσεις : Όρια εκθετικά-λογαριθμικά Μορφή Εκθετικά όρια στο με α>1 δίνει με α<1 δίνει 0 με α>1 δίνει 0 με α<1 δίνει Στο βγάλε κοινό παράγοντα τη μεγαλύτερη εκθετική Στο βγάλε κοινό παράγοντα τη μικρότερη εκθετική

24 τηλ. Οικίας : κινητό : e Να βρεις για κάθε θετική τιμή του α το a a Λογαριθμικά όρια στο : Απλά εφάρμοσε ιδιότητες λογαρίθμων της ΒΛ. 48. Να υπολογίσεις τα όρια : ln ln ln 0 4ln ln 1 e ln k 484. Να υπολογίσεις το ln 485. Να βρεις τα όρια 486. Να βρεις τα όρια : 5 6 e e 1 7 (5 ) για τις διάφορες τιμές του κ Να βρεις το όριο Να βρεις το όριο 489. Να βρεις το όριο 1 1 4

25 τηλ. Οικίας : κινητό : Δίνεται το όριο () f 5 1, να βρεις το όριο της f() 491. Να βρεις το όριο ( )( ) Να βρεις το όριο k 1 Παραμετρικά όρια 49. Να βρεις α,β ώστε 494. Να βρεις α, β ώστε a b 0 a b Για τις διάφορες πραγματικές τιμές του μ να υπολογίσεις το όριο : Παραμετρικά όρια 0 : Αν το λ=0 τότε έχω μορφή 0/0 και δουλεύω ανάλογα. Αν το 0 τότε δούλεψε όπως μορφή α/ο αλλά θα χρειαστείς να πάρεις περιπτώσεις για το πρόσημο του λ. ( 1) Δίνεται η συνάρτηση f()= 1.Να βρεις το όριο της συνάρτησης στο 1 για τις διάφορες τιμές του λ 497. Δίνεται η συνάρτηση f() = f () 1, 5,.Να βρεις τα κ,λ ώστε να υπάρχει το όριο στο 498. Δίνεται η συνάρτηση f()=,να βρεις τα α,β ώστε 499. Δίνεται η συνάρτηση f() =.Να βρεις τους α,β ώστε 1 () f Έστω η συνάρτηση f(α, + ) R τέτοια ώστε τιμή του λ f () () f, 4 1, να βρεις την 501. Να υπολογίσεις το όριο 4 1 για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού μ. 4

26 τηλ. Οικίας : κινητό : Δίνεται η συνάρτηση f() = πραγματικός αριθμός a,,.να βρεις τα α,β όταν το όριο της συνάρτησης στο είναι 50. Να υπολογίσεις τα παραμετρικά όρια : a 4 b a b a b a ( 1) a 7 a b P()() P 504. Να βρεις πολυώνυμο Ρ(χ) ώστε, () P, Να υπολογίσεις τα α,β όταν : 1 f (), () f, () f a b Να υπολογίσεις τα α,β όταν : a ( b ) a b 1 4 «Περίεργα» όρια 507. Να υπολογίσεις τα όρια : 508. Να υπολογίσεις τα όρια : 1 1,, 4 0,,, 0 4, 5, Ν.δ.ο , Μορφή 1 ά 0 0 5

27 τηλ. Οικίας : κινητό : e e ln 517. ln ln ln 50. e e 5. e 5. e 54. e e 56. ln ln e e Μορφή 0 : Πέτα τη μία συνάρτηση κάτω από την άλλη οπότε θα δημιουργήσεις μορφή 0 0 ή και θα συνεχίσεις με DelHospital. Απροσδιόριστη μορφή (),() Μορφές 0 0 ή της ιδιότητας ΒΛ : Κάνε χρήση ln a e Αν εμφανίζονται σε πολ/μο ή διαίρεση βάλε απόλυτα και συνέχισε με κριτήριο παρεμβολής Αν εμφανίζονται σε πρόσθεση ή αφαίρεση βγάλε κοινό παράγοντα για να δημιουργήσεις πολ/μο ή διαίρεση. Κάνε συζυγή αν έχεις άρρητη συνάρτηση.προσοχή αν δε μπορείς να κάνεις συζυγή ίσως να χρειαστεί να προσθαφαιρέσεις χ. Βγάλε κοινό παράγοντα δύναμη του χ ή e ή ln. Στα επιμέρους κλάσματα θα χρειαστείς Del Hospital. 6

28 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις το όριο Να υπολογίσεις τα όρια : 1 1, ln 56. Να βρεις τα ακόλουθα όρια : ln 4 ln 1, ln() ln 57. Να υπολογίσεις το Συνέχεια συναρτήσεων Συνέχεια σε συναρτησιακή σχέση f(+y) : θέτω o h a όπου f συνεχής στο α,τότε () f (()) f... a h Η f είναι συνεχής στο o () f ()() f f o o o o o Συνέχεια σε συναρτησιακή σχέση f(y) : θέτω h όπου η f o a o συνεχής στο α,τότε () f ()... f h o o a o 58. Να μελετήσεις τη συνέχεια των συναρτήσεων : 1 1, 0, f (),() f, 0 4, 59. Ομοίως : ,, 0, f (),() f,() f 0, 0, 0 4, 540. Να βρεις το α ώστε να είναι συνεχείς οι συναρτήσεις : a a,, 1 f (),() f a 5, a, Αν είναι συνεχής η a b, 1 f (), 1 a b 5, 1, να βρεις τα α,β 54. Να βρεις τα α,β ώστε να είναι συνεχής η, 1 f (), b 1 a, 1 1 7

29 τηλ. Οικίας : κινητό : a b, Να βρεις τα α,β ώστε να είναι συνεχής η f () 1 5, 1 7 1, Να βρεις τα α, β ώστε f () a b να έχει όριο στο 1, Αν a, 1 f () 1,1 b,, να βρεις τα α,β ώστε να είναι συνεχής στο R 546. Έστω f : R R : f ()()()(0) y f0,()() f y f f f a 547. Έστω f : R R,συνεχής όπου διέρχεται από το Α(1,-1), να βρεις τα α,β αν a f () 5a b, a b, 548. Αν 1 f (),( 1,)() ; f 549. Να βρεις τα α,β ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής και να διέρχεται από Α(0,) : a b f () b a, 1, Δίνεται συνεχής συνάρτηση f ()(0) ; f () f Να βρεις τη συνεχή συνάρτηση όπου : 55. Δίνεται συνεχής συνάρτηση : 1 01 f ()(0) ; f * 55. Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο, f :,()()() f y f f y,ν.δ.ο. είναι συνεχής στο R 554. Δίνεται η συνάρτηση f :,()() f () y f f y y,συνεχής στο 0, ν.δ.ο. είναι συνεχής R 555. Δίνεται συνάρτηση f :,()()() f y f f y, συνεχής στο 1 ν.δ.ο. συνεχής στο R 556. Ν.δ.ο. οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστο μία ρίζα : 4 Bolzano 8 0,(0,1) 5 1 0,(0,) 557. Ν.δ.ο. οι παρακάτω εξισώσεις έχουν τουλάχιστο μία 8 Ν.δ.ο. η συνάρτηση έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (α,β) : κάνε Bolzanoστη συνάρτηση που δίνεται. Ν.δ.ο. η εξίσωση έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (α,β) : κάνε Bolzanoστη συνάρτηση που θα δημιουργήσεις από την εξίσωση αν τα φέρεις όλα στο πρώτο μέλος. Το νου σου : Αν δεν υπάρχει διάστημα δημιούργησε το μόνος σου.θα μπορούσε να είναι και το. Αν δε φαίνεται το πρόσημο στα f (),() a f τότε δείξε ότι f(α)f(β)<0.

30 τηλ. Οικίας : κινητό : ρίζα : 0,(, ) 558. Ν.δ.ο. οι γραφικές παραστάσεις των f () 5,() g 1 τέμνονται σε ένα τουλάχιστο σημείο στο (1,) Bolzano: έστω μία συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] Συνεχής στο [α,β] Ισχύει f(α)f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστο o στο (α,β) τέτοιο ώστε f () 0 o 559. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f e (). Ν.δ.ο. η εξίσωση f () e έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (0,1) 560. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :[ a, b],() f a018,() b 018 f b a, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα ξ ε [α,β] : f () Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [,] ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα χε(,) : f () Δίνεται συνάρτηση συνεχής f : 0, 0,1, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα ξε(0,) : 56. Δίνεται συνάρτηση συνεχής στο [α,β]. Ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα ξε(α,β) : 10()(10)()(), f k 0,10 f a kf b k 564. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : 0, 0,1, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα ξ ε (0,] ώστε f () () f 565. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : 0,1, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα 0, f ()() f ώστε f () 566. Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :,(1)(5) f f,ν.δ.ο. υπάρχει ξε[1,] ώστε f ()( f) 567. Δίνονται f, g :() f 5 6(), g, g()() g 0. Αν οι αριθμοί, είναι διαδοχικές ρίζες της f, ν.δ.ο Δίνεται συνάρτηση g :,()()() g k g0, m g n,() 0k m n g, ν.δ.ο. είναι ασυνεχής f, g : 0,1 0,1, f, g υπάρχει ξε(0,1): f g()() g f Αν οι συνεχείς 570. Δίνεται συνεχής συνάρτηση στο [α,β] :,,()() a b f a b e f 0a e f b, ν.δ.ο. f()=0 έχει μία τουλάχιστο ρίζα 571. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : a, a 1,()()( f a 1) f a0 f a. Ν.δ.ο. η εξίσωση f()=0 έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο [α,α+1]. 57. Ν.δ.ο. η εξίσωση b b, b 0 έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα που δεν υπερβαίνει το b 57. Ν.δ.ο. η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (-1,1) 9

31 τηλ. Οικίας : κινητό : Έστω συνάρτηση 575. Ν.δ.ο. η εξίσωση f () 7, ν.δ.ο. η συνάρτηση παίρνει την τιμή 7/ όταν χε (-4,4) 16 4 a 576. Δίνεται συνεχής συνάρτηση ( a,) b:() f ab o o o 577. Ν.δ.ο. η εξίσωση 578. Δίνεται συνεχής 1 0 έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (-1,1) f : a, b a, b, ab 0. Ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα 1 1, έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (1,) f : 0,,(0)() f f Ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα α ώστε f ()( a 1) f a 579. Δίνεται συνεχής f : 0, 0,.Ν.δ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο 580. Δίνεται f :, f 0, :() f o o o o o,συνεχής με 0<f(1)<1.Νδ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο 1, e :(ln) f ln o o o f : a, b,()()()() a f a b f b f a f b 581. Δίνεται συνεχής, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο μία ρίζα για την εξίσωση f () Ν.δ.ο. η εξίσωση 58. Έστω 1 έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (0,1) f : a, b, ή,()() f a f b a, b : ()() f () f a f b o o,ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα 584. Έστω συνεχής f : 0,1 0,1, ν.δ.ο. o 0,1 :() f o Έστω συνεχείς f, g : 0,1 0,1.Ν.δ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο 0,1 :()() f g v f : 1,0, () f Δίνεται η συνεχής συνάρτηση. Ν.δ.ο η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-1,0) 587. Δίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [1,] και ισχύει f(1)+f()=8 και f(1).ν.δ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο ξ ε (1,) ώστε f () 588. Έστω f μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [-,] για την οποία ισχύει f () 4 για κάθε χ ε [-,].Να βρεις τις ρίζες της εξίσωσης f()=0. Ν.δ.ο. η f διατηρεί το ίδιο πρόσημο στο διάστημα (-,).Ποια μπορεί να είναι η f() Δίνεται η συνάρτηση f: R R, συνεχής για την οποία : (f()-1)(f()-)=0 για κάθε χεr.ν.δ.ο. η f είναι σταθερή στο πεδίο ορισμού της Ν.δ.ο. η εξίσωση έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (,) 0

32 τηλ. Οικίας : κινητό : Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών ΘΕΤ : αν μία συνάρτηση f ορισμένη στο [α,β] είναι συνεχής στο [α,β] και f ()() a f τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (),() a f, υπάρχει ένα τουλάχιστο στο (α,β) τέτοιο ώστε f () o 591. Έστω συνάρτηση συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [α,β]. Ν.δ. ο. υπάρχει ξε(α,β) : f () a b f ()() a f b f 59. Συνάρτηση είναι συνεχής στο [1,4], ν.δ.ο. υπάρχει ξε[1,4] : f () 59. Έστω συνάρτηση f :,(1) f,() f 5. Αν η εξίσωση f () 4 ασυνεχής 594. Έστω συνάρτηση συνεχής o Θεώρημα μεγίστης και ελαχίστης : μία συνάρτηση συνεχής στο [α,β] έχει κάποια μέγιστη και κάποια ελάχιστη τιμή. Εφαρμογή του ΘΕΤ : σε ασκήσεις που θέλουμε ν.δ.ο. η f λαμβάνει μία τιμή κ ή θέλουμε ν.δ.ο. f () v1 f () 1...() vk f v... v f (1) () f 5()(4) f f 10 είναι αδύνατη ν.δ.ο. είναι f : a, b, a b : a, b,ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι συνεχής o 1 k k 595. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:[0,1] R.Ν.δ.ο. υπάρχει ένα τουλάχιστο χ 0 ε [0,1] τέτοιo ώστε f () f f f f f Έστω η συνεχής συνάρτηση f:[κ,λ] R υπάρχει ένα τουλάχιστο ξ ε[κ,λ] τέτοιο ώστε αf(χ 1 )+βf(χ )+γf(χ )=004f(ξ).Αν χ 1,χ,χ ε [κ,λ]και α,β,γ θετικοί ακέραιοι με α+β+γ=004, ν.δ.ο. 1

33 τηλ. Οικίας : κινητό : Απόδειξη θεωρίας Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β]. Αν: η f είναι συνεχής στο [ α, β] και f ( α) f ( β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α) και f (β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον 0 ( α, β) τέτοιος, ώστε f ( 0 ) η (Θέμα 005) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι f ( α) f ( β). Τότε θα ισχύει f ( α) η f ( β) g( ) f ( ) η, [ α, β], παρατηρούμε ότι: (Σχ. 67). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση η g είναι συνεχής στο [ α, β] και g ( α) g( β) 0, Αφού g( α) f ( α) η 0 και g ( β) f ( β) η 0. Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ( α, ) τέτοιο, ώστε g ) f ( ) η 0, οπότε f ( 0 ) η. 0 β ( 0 0

34 τηλ. Οικίας : κινητό : ) Πότε υπάρχει το όριο στο o : Αν f ορισμένη στο,, o o Ερωτήσεις θεωρίας a U b τότε () f l () () f f l o o o 14) Κριτήριο παρεμβολής : Αν συναρτήσεις f, g, h :()()() h f g κοντά στο χο και () h () g l τότε () f o o o 15) Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης : Αν ομοίως 16) Όριο ρητής συνάρτησης : Αν f () l v P a a a τότε () P a, v v1 () v v1... o a a... a b b b v v1 v v1 o k k 1 k k 1... o 17) Όριο εκθετικής συνάρτησης - Λογαριθμικής συνάρτησης : Για α>1 : Για 0<α<1 : a, a 0, log, log a 0 a, a 0, log, log a 0 av τότε () f b 18) Ορισμός συνέχειας στο o : η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o : ()() f a a o f o k v k v, ομοίως 19) Ποιες συναρτήσεις είναι συνεχείς : Πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές(ημχ,συνχ),εκθετικές και λογαριθμικές 0) Πράξη συνεχών : αν έχω δύο από τις παραπάνω συναρτήσεις συνεχείς στο o τότε οποιαδήποτε πράξη f τους f g, cf, fg,, f, v f g θα είναι συνεχής στο o 1) Σύνθεση συνεχών : σύνθεση των συνεχών f,g (f συνεχής στο χο, g συνεχής στο f(o)) θα είναι συνεχής στο o. ) Συνέχεια σε (α,β) : όταν η συνάρτηση είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) ) Συνέχεια σε [α,β] : όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) και επιπλέον ()(), f ()() f a f f b b 4) Θεώρημα Bolzano : f ορισμένη στο [α,β], f συνεχής στο [α,β] με f(α)f(β)<0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστο ε (α,β) ώστε f( )=0 o 6) Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής : ΑνΣυναρτήσεις f συνεχής στο έξυπνα [α,β] τότε f παίρνει στο [α,β] μία μέγιστη τιμή M και μία ελάχιστη τιμή m. 7) Θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής αν γνωρίζω μονοτονία : o 5) Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών : f ορισμένη στο [α,β], f συνεχής στο [α,β] με f(α) f(β) τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α),f(β) υπάρχει τουλάχιστο ένα ε (α,β) ώστε f( )=η Αν f γν. αύξουσα στο (α,β) τότε Σ.Τ. το (Α,Β) όπου A (), f B () f o a b Αν f γν. φθίνουσα στο (α,β) τότε Σ.Τ. το (Β,Α) όπου A (), f B() f o

35 τηλ. Οικίας : κινητό : Δίνεται η συνάρτηση f :[1,) R με f () ln 1.Να μελετήσεις τη συνάρτηση ως προς μονοτονία, σύνολο τιμών και να ορίσεις την αντίστροφη συνάρτηση της f Έστω f, g : R R : f, g. Ν.δ.ο. g f και να λυθεί η ανίσωση g f ( 4)( g 8) f e 599. Ν.δ.ο. οι συναρτήσεις f (),() g ln() e είναι 1-1 και να υπολογίσεις τις αντιστρέψιμές e τους.επιπλέον να λύσεις την εξίσωση 600. Δίνεται η 1-1 συνάρτηση : f g( )() f g g 1 8() g; Δίνεται η συνάρτηση f :()() f f 1, να βρεις την f Δίνεται η συνάρτηση f :()() f f f, να βρεις την f Δίνεται η συνάρτηση 5 f (), ν.δ.ο. υπάρχει η 1 f και να βρεις τα κοινά τους σημεία Δίνεται συνάρτηση f :()() f f 1, να βρεις την f 605. Αν f()=α+β και 606. Αν f, g : R R, g : f (4) 5,() f 6 ;, να λυθεί η εξίσωση : g f ()() 1 g f 607. Αν f () 6, [01,), να βρεις την f Να βρεις την μονοτονία της g :()() g f, f f Ασκήσεις επανάληψης 609. Να βρεις το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : f () 4 f () 4 4 f () f () ln ln f () ln 1 f () 1 1 4

36 τηλ. Οικίας : κινητό : Δίνεται η συνάρτηση a f :,() f ; a a Να βρεις τα σημεία τομής των συναρτήσεων με τους άξονες : f () ln 1 4 f () 1 f () Δίνονται οι συναρτήσεις f (),() g, να βρεις που τέμνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων καθώς και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πρώτης βρίσκεται πάνω από της δεύτερης 61. Να βρεις πότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον οριζόντιο άξονα, όπου f () e Να βρεις τα α,β ώστε οι συναρτήσεις να τέμνονται πάνω στην ευθεία χ=-1 και στον κατακόρυφο άξονα, όπου f () a b 4,() g a b 615. Ποια η σχετική θέση των συναρτήσεων f, g όπου : f ()() g e 616. Να εξετάσεις αν είναι ίσες οι συναρτήσεις : f () 6 9,() g. Ομοίως για 4 f (),() g 617. Να βρεις τα κ,λ,μ ώστε να είναι ίσες οι συναρτήσεις : 618. Αν 1 f () 1,() g f g fg f f g,να ορίσεις τις συναρτήσεις : 619. Αν, :,()() 4()()() 8 ( 1) f (),() g 6 f g f f g f g g f g f g 5

37 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν f () 1,() g f ;, g g ; f 61. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0,1], να βρεις το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : g() f h() f ln 6. Αν () :() 1, ; 6. Αν f a b f f f f a b g(),() g ln() f ; f 64. Αν g(), f ln g () ; f 65. Ν.δ.ο. δεν υπάρχει συνάρτηση : f (1)() f, 66. Αν f f () 6 5(1) 1f 67. Αν (1) f () 4f 1,() ; f f :, f y f y y 68. Αν ν.δ.ο. η συνάρτηση διέρχεται από την αρχή των αξόνων, είναι περιττή και το f (). Αν η συνάρτηση διέρχεται από το A(1, 1) f ; 69. Να βρεις τη συνάρτηση όπου : f :,() f ( 1) 5f 60. Να βρεις τη μονοτονία των συναρτήσεων : f 5 () 1 f () ln( ) f e () 1 f () f 61. Δίνεται η συνάρτηση () να βρεις τη μονοτονία, 5 f (), να λύσεις την εξίσωση 5, να λύσεις την ανίσωση 5 6. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι γνησίως φθίνουσες, να βρεις τη μονοτονία των συναρτήσεων : f g 6

38 τηλ. Οικίας : κινητό : g f 6. Αν συνάρτηση f :()() f f f 64. Αν είναι 1-1 οι συναρτήσεις f,g ν.δ.ο. το ίδιο ισχύει για τη σύνθεση της gμε την f, να λύσεις την εξίσωση f f f :,()() f f f :1 1 f 65. Αν Δίνεται η συνάρτηση 1 f () e, ν.δ.ο. είναι 1-1, να λύσεις την εξίσωση f () 4, να λύσεις την ανίσωση 1 e Δίνεται η συνάρτηση f () e 016, ν.δ.ο. είναι 1-1 και να λύσεις την εξίσωση : e e 68. Να βρεις τις αντίστροφες των συναρτήσεων : f () f () ln f e e 1 1 () 016 f () f (), 018 e 69. Έστω f () 1 ln,() g 1 e 1 g ; g 1 f ; 640. Γνησίως μονότονη συνάρτηση διέρχεται από τα σημεία Α(,),Β(5,9), να βρεις μονοτονία και 1 να λύσεις την εξίσωση f f 1 την ανίσωση f f 9 και Δίνονται οι συναρτήσεις f, g :,() f f 5 9,()() g f, ν.δ.ο. η f διέρχεται από το Α(,) ενώ η g δεν αντιστρέφεται 7

39 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις τα όρια :,, Να βρεις το όριο των συναρτήσεων στο -1 και στο των συναρτήσεων f () 5,, 4, f () 4, 1 1, 1, Να βρεις τα α,β όταν η συνάρτηση διέρχεται από το Α(,6) και έχει όριο στο χ=4 όταν a b, 4 f () 64 18, Να υπολογίσεις τα όρια : Να υπολογίσεις τα όρια : 647. Αν 648. Αν f ()() 1 f ; f :( f )(),() f f() ; f Αν f ()() f a 016 ; 0 0 8

40 τηλ. Οικίας : κινητό : f ()()() f f 1 ; 650. Αν Αν 65. Αν 65. Αν f () 4 () f ; 0 0 () f 4,() a f 5 ; a f :()() f f1, () ; f Να υπολογίσεις τα όρια : Να υπολογίσεις τα παραμετρικά όρια : a m 0 1 a 1 ( ) Να βρεις τα α,β ώστε : a 657. Αν 658. Αν 659. Αν a b 4, 1 1 a b a 1 f () () f ; () f ; 1 f () 1 f () ln () f ; 0, 9

41 τηλ. Οικίας : κινητό : Να βρεις τα όρια Να υπολογίσεις τα όρια : Να βρεις τα όρια : 4 4 a a 8 a a ( 4) 1 1 a για τα a 66. Να βρεις τα α,β ώστε 1 a b 664. Να βρεις τις γωνίες,, 665. Αν : 4 4 () 1 () ; f f 1 1 P()() P 666. Να βρεις το πολυώνυμο P() :, Να υπολογίσεις τα τριγωνομετρικά όρια :

42 τηλ. Οικίας : κινητό : Να υπολογίσεις τα εκθετικά όρια : 1 5e e 1 5e e e 1 e e e 1 e , 5, Να υπολογίσεις τα λογαριθμικά όρια : 0 ln ln ln 670. Να μελετήσεις ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις : 5 6,0 1, 0 () 5 f,() f, 0, 0 a k, 1 1, Αν συνεχείς συναρτήσεις f (),() a g b m n a,, a, b, k m; n, 1, Αν συνάρτηση συνεχής, f ()(0) ; f Να βρεις τη συνεχή συνάρτηση :,() 1 5 4() ; f f f 41

43 τηλ. Οικίας : κινητό : Αν συνάρτηση συνεχής f :,() f 1 να βρεις το f(0) 675. Δίνεται η συνάρτηση f :, συνεχής στο χ=-, περιττή και f () 1( ) ( ) f ; 9 ν.δ.ο. συνεχής στο χ= και να βρεις () f Δίνεται η συνάρτηση f :,()()() f y f f y, Να βρεις f(0) και αν επιπλέον είναι συνεχής στο χ=0 ν.δ.ο. είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού 677. Έστω συνάρτηση f :()() f 1 f, ν.δ.ο. είναι συνεχής 678. Ν.δ.ο. η εξίσωση έχει τουλάχιστο μία ρίζα στο (-π,π) Αν συνεχής f :(1)()() f f 0 f, ν.δ.ο. η εξίσωση f () Δίνεται η συνεχής, :() k a b f k kf k k f : a, b a, b, a 0, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστο ένα έχει τουλάχιστο μία ρίζα 681. Δίνονται οι μιγαδικοί ρίζα στο [-1,1] z, w,() f z w z w, ν.δ.ο. η εξίσωση f () 0 έχει μία τουλάχιστο 68. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση ώστε 8 4 () f () f, ν.δ.ο. διατηρεί σταθερό πρόσημο 68. Δίνεται η συνάρτηση f : A,() f 4 A ; Να λύσεις την εξίσωση f () 0. Ν.δ.ο. διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-,). Να βρεις τον τύπο της συνάρτησης αν διέρχεται από το σημείο Α(0,-) 684. Αν συνάρτηση συνεχής και γνησίως μονότονη με f (0) 7,(5) f 1, ν.δ.ο. υπάρχει τουλάχιστον ένα m 0,5 :() f m f (1) () f () f 4(4) f 10 4

44 τηλ. Οικίας : κινητό :