1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) ="

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log 4 () ημ vi) () = 4 Να βρεθεί ο λ R ώστε () = ln ( +λ+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: γ) () = στ) () = + -8 e α) ()= ( -) δ) () = - ln ζ) () = β) ()= - - ε) () = log ( + - ) + log συν ημ - + εφ - +, [, π] ΒΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 4 Για ποιες τιμές του χ η C βρίσκεται πάνω, η κάτω από των χχ όταν: I) () = -5+6 ii) iii) iv) () () e () log 5( ) - 5 Έστω η συνάρτηση () = - + α) Να βρείτε τις τιμές (), (), (-), () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές (t), (t), ( + h),, t, h R ln 6 Δίνεται η συνάρτηση () = α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να αποδείξετε ότι () = e για κάθε του πεδίου ορισμού της γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση 7Έστω ότι η γραφική παράσταση της στο σημείο ii) το σημείο της ( ) kln( ) λ τέμνει τον άξονα χ χ e και τον άξονα ψ ψ στο Να βρείτε : i) τα κ,λ R c που έχει τεταγμένη 8 Έστω οι συναρτήσεις, για τις οποίες ισχύει : κάθε R Να βρείτε τη σχετική θέση των c και, g : R R c g ( ) g( ) 4 για 9 Να βρείτε τις συναρτήσεις, g : R R για τις οποίες ισχύει : g g ( ) ( ) (ημχ ( ) συνχ ( )), για κάθε R ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

2 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει :, για κάθε R Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα χ χ σε δύο τουλάχιστον σημεία ( ) ( ) Έστω οι συναρτήσεις και h g σχετική θέση της i) να βρείτε τα σημεία τομής της c h ως προς τον άξονα χ χ c h : R R ( ) ln, g( ) e με τον χ χ ii) να βρείτε τη Γ ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εξετάστε ποιες από τις επόμενες συναρτήσεις είναι ίσες και σε ποιο Σύνολο ι) ιιι) (), g() ιι) () 4 5, g() 5 4 (), g() Δίνεται η συνάρτηση () = + α) Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση () = 4 () = ( - - ()= - () = + ) 5 () = lne + 6 () = eln (+) β) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες 4 Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι =g Στις περιπτώσεις που είναι g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει : i) ii) () ( ) ln ( ) g( ) και g ( ) και g( ) ln ln( ) 5 Δίνονται οι συναρτήσεις () = α, g()= - ( -) α,αr, > α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των, g β) Για ποια τιμή του α ισχύει = g; ΔΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

3 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ 6 Δίνονται οι συναρτήσεις, [,], (,) () g() 6, (,6) [,] Να ορίσετε τις συναρτήσεις +g, g, g, 7 Δίνονται οι συναρτήσεις () =, Να βρείτε τις συναρτήσεις: α) + g β) g και g () = ln, -, ΕΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 8 Έστω οι συναρτήσεις συναρτήσεις ι () g ιι g και ιιι g() ln( ) Να βρείτε τις ιv g g 9 Να ορισθούν οι συναρτήσεις g, g,, g g όταν, [, ), (), g() X (,), Βρείτε συνάρτηση τέτοια ώστε i) ( g)(), αν g()=- 4 ii) ( g)(), αν g() = iii) (g )() 5 4,αν g() 7 6 Δίνεται συνάρτηση : [,] συναρτήσεων I) R ( ), Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των ii) ( ) iii) ( ) Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα [, ] Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) ( ) β) ( - 4) γ) (ln) Δίνεται η συνάρτηση :, R συναρτήσεων : g( ) ( ), Να βρείτε το πεδίο ορισμού των h ( ) ( ) και q( ) (ln ) 4 Έστω : (,] R μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g( ) ( ) (ln ) 5 Δίνονται οι συναρτήσεις συναρτήσεις : g, g και ( ) και g( ) Να βρείτε τις 6 Αν για κάθε R ισχυει () α να δειχθει ότι () ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

4 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ 7 Δινεται η συναρτηση, τετοια ώστε (), R Βρειτε το τυπο της 8 Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει Να δείξετε ότι : α), β)η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα ( ) ( ) ( ) R ( ( )) για κάθε R 9 Εστω η αρτια συναρτηση : R R, για την οποια ισχυει Αν να δειξτε ότι Ι) e g () e () και ιι) g() ln, (α) (β) (α β) Αν () g() και g() (), R, να δειχθει ότι ( g)() (g )() () Δινεται η συναρτηση ( ) ( ), R ιι) ( ) () 6 : R R (α β) (α) (β) α,βr Να βρεθει ο τυπος της για την οποια ισχυει να δειχθει ότι Ι) Ιιι) Να βρεθει ο τυπος της () ( ), Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( + y) + ( - y) = () + (y) για κάθε, y R α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της περνά από την αρχή των αξόνων β) Να αποδείξετε ότι η είναι άρτια γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει ότι ( ) = () 4 Αν για μια συνάρτηση ισχύει () - ( 5 Αν 6 Αν (()) (()) να δειχθει να βρεθει η () ότι ) =,, να βρείτε το () ( ) (), R ΣΤ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις : ( ), e ( ) και ( ) ln( ), ( ), 8 α) Έστω οι συναρτήσεις Αν η είναι γνησίως φθίνουσα και η g γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα, g : R R β) Έστω συνάρτηση g : R R για την οποία ισχύει E Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα g ( ) e g ( ), R 9 Έστω η συνάρτηση έτσι ώστε : ( ) e ( ), A Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα στο A ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

5 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ 4 Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Δ για την οποία ισχύει : ( ) (ψ) χ ψ για κάθε χ,ψ Δ με χ ψ Να δείξετε ότι η συνάρτηση g( ) ( ) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ 4 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : R R γνησίως αύξουσα Έστω ότι οι α) Να βρείτε τη σχετική θέση των β) Αν για τη συνάρτηση είναι από τον άξονα των c χ, όταν χ> και 4 Έστω η συνάρτηση : R R με και η συνάρτηση () g( ), R e c, όπου η είναι γνησίως φθίνουσα και η g και c g c () h( ), g () τέμνονται στην αρχή των αξόνων g () να δείξετε ότι η ch είναι κάτω η οποία είναι γνησίως φθίνουσα Να δείξετε ότι g ( ) για κάθε 4 Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία α) η είναι γνησίως φθίνουσα β) η συνάρτηση Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση A(,5) και Β(5,-) Να δείξετε ότι : ( (e )) είναι γνησίως αύξουσα 44 Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει : Αν η είναι γνησίως αύξουσα, να λύσετε την ( ln ) ( ) ln, εξίσωση ( ) και στη συνέχεια την ανίσωση e ( ) 45 Έστω η συνάρτηση : R R με γνησίως φθίνουσα στο γνησίως αύξουσα στο Να λύσετε τις εξισώσεις : ( ) (5 ) ( ) (7 ) e e e e 5 7 ( ) ( ) ( ) ( ) (,] και 46 Έστω οι συναρτήσεις είναι κάτω από τη c g, g : R R, να δείξετε ότι Αν η είναι γνησίως αύξουσα και η ( )( ) ( g g)( ), για κάθε R c 47 Έστω οι συναρτήσεις, g :[,π) R για τις οποίες ισχύει ( ) g( ) ημχ για κάθε [,π) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των c και c g 48 Δίνονται οι συναρτήσεις, g : R R για τις οποίες ισχύει για κάθε R Αν οι c και c g τέμνονται πάνω στην ευθεία χ να βρείτε το μέγιστο της συνάρτησης h( ) ( ) g( ) g ( ) ( ) ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

6 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ 49 α) Έστω οι συναρτήσεις και η στο ότι η 5 Έστω οι συναρτήσεις g, g : R R Αν η είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι η 5 β) Αν ( ) ( ) για κάθε παρουσιάζει μέγιστο, g : R R g Να δείξετε ότι : Αν η είναι άρτια τότε και η g είναι άρτια Αν η είναι περιττή και η g άρτια τότε η g Αν οι και g είναι περιττές, τότε και g παρουσιάζει μέγιστο στο R παρουσιάζει μέγιστο να δείξετε είναι άρτια είναι περιττή 5 Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή Αν η είναι γνησίως αύξουσα στo διάστημα αύξουσα [α, β] με α, β >, να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως και στο διάστημα [- β, - α] 5 Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : Δ Αν,, Δ με ισχύει: ( )+ ( ) ( ), να δείξετε ότι: ( ), 5 Έστω η συνάρτηση : R R Να εξετάσετε, αν η όταν για κάθε, R ισχύει : α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β) είναι άρτια ή περιττή ( ) ( ) ( ) 54 Εστω η συναρτηση αύξουσα και η συναρτηση g() : (, ) R για κάθε χ > Ζ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - με (), η οποια είναι γνησίως () g(), ln( ) 55 Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι : ) ) ) ( ) 4) ( ) ( ) e 4 ( ) 6, για 5) (), ln, > Ν α αποδείξετε ότι 56 Έστω οι συναρτήσεις ( ), R, η, g : R R Να δείξετε ότι η είναι - g για τις οποίες ισχύει : είναι - και g e 5 ( ( )) ln ( ) ( ) 57 Έστω η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει : ( ( )), R ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

7 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ Να βρείτε την () Να δείξετε ότι η δεν είναι - Να δείξετε ότι η g( ) e ( ), R δεν είναι - 58 Αν (()), R Να αποδειξετε ότι ι) ()= Ιι) αν g()= + ()+, η g δεν είναι - 59 Δίνεται η συνάρτηση : *, για κάθε a Να αποδειχθεί ότι : Α) η είναι - Β) η έχει σύνολο τιμών το Γ) a a, Δ), για κάθε a για την οποία ισχύει 6 Έστω η συνάρτηση R Η H : Να δείξετε ότι : είναι- για την οποία ισχύει : δεν μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα e ( ) 5 ( ), 6 Δίνονται οι συναρτήσεις : Α R και g : (A) R Αν η συνάρτηση g ο είναι -, να αποδείξετε ότι: ΐ) η είναι - ii) η g είναι - 6 Αν η, g είναι - να δειξετε ότι η g είναι - Η ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Να δείξετε ότι καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις αντιστρέφεται και να ορίσετε την αντίστροφή της ( ) ln( e ), ( ) e, 5 ( ) 5 64 Έστω :[, ) R μια συνάρτηση με ( ) 6 Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να δείξετε ότι η αντιστρέφεται Να βρείτε την αντίστροφη της Να δείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση g:[,+ ) g( ( )) τέτοια ώστε g( ( )) R 65 Δίνεται η συνάρτηση e, με Να αποδειχθεί ότι η είναι αντιστρέψιμη και να βρεθεί το ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7

8 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ Να λυθεί η εξίσωση Να λυθεί η ανίσωση 66 Έστω : μια συνάρτηση με ( R) R η οποία είναι γνησίως φθίνουσα Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να εξετάσετε την ως προς τη μονοτονία Αν Αν () () () ( ( )) 67 Δίνεται η συνάρτηση ln( ( )) ( ) e Η Η ( ) 68 Δίνεται η συνάρτηση > για κάθε χ να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της :, να λύσετε την ανίσωση : με ( ) και για κάθε R Να δείξετε ότι : R είναι γνησίως αύξουσα αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της ( ) ln Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Να δείξετε ότι ορίζετε η Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις Να δείξετε ότι γενικά ισχύει : Αν η είναι περιττή την οποία να ορίσετε και είναι περιττές είναι περιττή και - τότε και η 69 Δίνεται η συνάρτηση (χ) =χ +χ- Δείξτε ότι η αντιστρέφεται Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της τέμνει την ευθεία ψ=χ Να βρείτε τα χ για τα οποία (χ)= - (χ) Να μελετήσετε την μονοτονία της Να λύσετε την ανίσωση - (χ+)> 7 Δίνεται η συνάρτηση (χ)=-χ 5 -χ+ Αποδείξτε ότι η αντιστρέφεται )Λύστε την εξίσωση (χ +χ)-(χ+)= Να λύσετε την ανίσωση - (χ +χ-)-< 7 Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το, για την οποία ισχύει : (())+=8, Να αποδείξετε ότι : η είναι συνάρτηση - ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

9 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ η αντιστρέφεται - (χ)=-(χ)+8, η δεν είναι γνησίως μονότονη ()+(8)=8 7 Δίνονται οι συναρτήσεις, g:, για τις οποίες ισχύει:, για κάθε g g Να αποδειχθεί ότι 7 Έστω συνάρτηση ισχύει : ( ) ( ) 6 Να αποδείξετε ότι : (ι) η Να λύσετε τις εξισώσεις : (ι) g g με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το, αντιστρέφεται (ιι) ( ) (4 ),για την οποία ( ) 6 () (ιι) () 74 Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν αντιστρέφονται, ) ( ) ( 8 ) ) : R R : ( ) ( ) ( ) 75 Aν τα σημεία : A(,) και B(5,9) ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης, τότε να λυθούν: η ανίσωση : γνήσια αύξουσα και η εξίσωση : φθίνουσα 76 Έστω γνήσια αύξουσα στο R τότε Α) αν ( ( )), R ( ), R ( ( )) 9 ( ( 8 )) όταν όταν είναι γνήσια Β) τα σημεία τομής των C,C βρίσκονται πάνω στην πρώτη διχοτόμο y Γ) δώστε ένα παράδειγμα που να δείχνει ότι αν η συνάρτηση ήταν γνήσια φθίνουσα το Β) δεν ισχύει (Η άσκηση αυτή είναι σχεδόν θεώρημα και χρησιμεύει αργότερα στην επίλυση άλλων ασκήσεων) 77 Έστω : R R ώστε ()= 5 +- Α) Να δείξετε ότι ένα προς ένα συνάρτηση Β) Να λύσετε την εξίσωση - ()=() 78 Έστω ότι (+y)=()+(y) για κάθε,y στο R Να δείξετε ότι α Αν μοναδική ρίζα της είναι το τότε η είναι - συνάρτηση ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

10 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ β Αν ισχύει το προηγούμενο τότε - (a+b)= - (a)+ - (b) για κάθε a,b στο R (Θεωρείστε ότι (R)=R) (Βρείτε πρώτα πόσο κάνει το (-y)) 79 Έστω (y)=()+(y) για κάθε στο R*+ Τότε α Αν η έχει ρίζα ρ δείξτε ότι έχει άπειρες ρίζες* β Αν η έχει μοναδική ρίζα το να δείξετε ότι είναι - συνάρτηση γ Αν η είναι - και a,b θετικοί αριθμοί τότε - (a+b)= - (a) - (b) 8 Έστω ότι : R*+R*+ με ((y))=y(), y R* Να δείξετε ότι α Η είναι - συνάρτηση β Η εξίσωση ()=a > έχει λύση την a a ( ) a ( a ) γ ()= δ - ()=() ε (y)=()(y) για κάθε,y στο R*+ στ ( ) y = ( ) ( y ) για κάθε,y στο R*+ ΥΠΟΔΕΙΞΗ α Για,(y ) (y ) β Για =a, y=a γ Για =, y= και :- δ Σύνολο τιμών το R (λόγω β) και - τότε αντιστρέψιμη για = και y το (y) ε όπου y το (y) στην αρχική στ όπου y το y στο ε Θ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 8 Η ράβδος ΑΒ κινείται με σταθερή ταχύτητα υ=m/sec, έχει μήκος 6m και αρχικά βρισκόταν στο Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης που παριστάνει το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ συναρτήσει του χρόνου ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

11 ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ Α Ο U 8 Όλες οι ακμές του σταυρού είναι ίσες με α Με συμβολίζουμε την απόσταση της ΚΛ από την ευθεία δ Tην χρονική στιγμή t= είναι = και ο σταυρός κινείται με σταθερή ταχύτητα υ Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης που παριστάνει το εμβαδόν του σταυρού που έχει εισέλθει δεξιά της ευθείας δ, συναρτήσει του χρόνου δ Β υ K Λ 8 Η ράβδος ΑΒ έχει μήκος m και το άκρο της Β γλιστρά στην O με ταχύτητα υ=m/sec την χρονική στιγμή t= το Β Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης που δίνει το μήκος του ΟΑ συναρτήσει του χρόνου καθώς και τον τύπο της g που δίνει το εμβαδόν του τριγώνου συναρτήσει του χρόνου Α Ο B υ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

12 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α () g() με g( ) Να βρειτε τα ορια : Ι) ιι) ( ( + ) ) ιιι) ιv) Δινεται η συναρτηση ι) (), αν < + () =, αν [,) (, ), αν [, + ) 7 ιι) () ιιι) Β ΜΟΡΦΗ / Να υπολογισετε τα () ιv) () ορια Ι () g() ( ) = g( ) = Ρητες Βρειτε τα ορια : i) + ii) iii) ( ) 4 iv) (α + ) + α α α ΙΙ Άρρητες Συναρτήσεις 4 Να βρειτε τα ορια: i) ii) iii) + iv) 4 v) 7+ + vi) () () () όταν () = ΙΙΙ Συναρτήσεις με απόλυτα 5 Να βρειτε τα ορια: Ι) 4 ιι) Ιιι) ιv) ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

13 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ v) () 4 + () 5, αν () =, () Γ Κριτήριο παρεμβολής 6 Αν () 4() 5 να βρεθει το () 7 Αν 5() 6, R βρειτε το () 8 Αν για τη συναρτηση : R R ισχυει η σχεση + () + +,να υπολογισετε τα ορια i) () () ιι) ιιι) () + 9 Αν + () + k +, R και το διαγραμμα της περναει από Το σημειο Α(,) να βρεθει το () () Αν ( 4)() 4( ) να βρεθουν τα ορια () (), () Αν για τη συναρτηση : R R ισχυει (()) (), R να βρεθει το ( ( ) = ν+ ( ) () (ν + ) () + ν, ν N ( ) βρείτε το g ( ) ) g( ) ( ) = a g ( ) = βρείτε το a a g ( ) >, g( ) > ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) g 4 ( ) + g ( ) = βρείτε τα ( ), g ( ) a a a (μην νομίσετε εξαρχής ότι ξεχωριστά τα όρια υπάρχουν Βασική άσκηση) Δ Τριγωνομετρικά όρια ημ( κ) + ημ(ν) 5 Να υπολογισετε τα ορια ι) + ιιι) ημ ιv) 4 4 ημ συν εφ π 4 v) ιι) + εφ εφ ημ - ημ - συν ν 6 Να υπολογισετε τα ορια ι) ημ ιι) ν ημσυν ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

14 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ () 7 Αν () 8 ημ να βρεθει το π 8 Αν () ημ ημ, R Να βρεθει το () () () + ( )ημ(a) 9 Αν =, να βρεθει ο α R, ωστε = 7 4 ημ Αν () ημχ συν, R και () = a, να βρειτε τον α Ε Βοηθητική συνάρτηση ΘΛΛ ι) Αν (() + 5) = 7,να βρεθει το ιι) Αν ι) Αν Ιι) g() ( )() = 5 και = 4, + () να υπολογισετε το [ ()g() ] [() g()] = και [() + g()] = 6, υπολογιστε τα (), g() ( ) ( 6) = ηm ( ) βρείτε τα, g ( + ) g ( ) = g( ) ( ) ( ) ημ g = 5 4 Ιιι) ( ) ημ + g ( ) = 7 4 () g() Αν = και = ( ) ( ) βρείτε τα ( ), g ( ) βρειτε το () g() 4 Αν ()+(-a)=, a Αν () =, τοτε βρειτε το () a 5 Αν συναρτηση ορισμενη στο R, (α+β) = ( α)+(β) για κάθε α,β R () () (ξ) Και = 4 να βρειτε το, ξ R ξ ξ 5 Αν () + g () =, τοτε να δεχθει ότι () = g() = 6 Εστω το πολυωνυμο π(χ)= α + β + γ, γ αν να βρεθει το ( π )() () = και () = 7 Αν () () + συν για κάθε χ R, να αποδειχθει ότι () = Ζ Εύρεση παραμέτρων ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

15 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 8 Αν () = + + a β 5 να βρεθουν οι α,β R ώστε () = 9 Να βρειτε τους πραγματικους αριθμους α,β ώστε Αν k (λ ) = L R ( ), να βρεθουν τα κ,λ, L R α + β = 5 Μη πεπερασμενο οριο συναρτησης στο R Α Μορφη α, α Να βρειτε αν υπαρχουν τα ορια Ι) + ιι) ιιι) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τα παρα κάτω όρια ( ) α) της () = - ( -) ( + ) στο = - β) της () = + + στο = - Να βρειτε αν υπαρχουν τα ορια 4 i) ii) ημ B Παραμετρικα ορια 4 Για τις διαφορες τιμες των παραμετρων να βρειτε τα ορια Ι) c + + d β α ιι) α α Ιιι) + (b + ) Να βρειτε τα α, β R ώστε iv) c c, c α β = 4 6 Να βρειτε τα α, β, γ R ώστε α + (β + ) + γ + = 6 ( ) Γ Βοηθητικη συναρτηση ΘΛΛ 7 Αν + () = Να βρειτε το () 8 Αν () ημ (π) ( + α) = + Να βρειτε το () ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

16 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 9 Αν η συναρτηση είναι ορισμενη στο R και ισχυει ( ) να υπολογισετε τον αριθμο m ώστε (m ) () () m () + () = () = () 4 Αν η συναρτηση είναι ορισμενη στο R και ισχυει = + () + b(b) + ( ) να υπολογισετε το, 4 Οι συναρτησεις και g είναι ορισμενες στο R με () > και g() > για κάθε R Αν ισχυουν () και = + να υπολογισετε τα ορια () και g() 4 Εστω μια πολυωνυμικη συναρτηση Ρ βαθμου ν = Αν η C p (() + g()) = διερχεται από το Ο(,) και ισχυουν g() g (e ) με P() = και g() = e P() =, τοτε Ι) Να βρειτε τον τυπο της Ρ ΙΙ) Να βρειτε το P(συν) + + Οριο συναρτησης στο απειρο 4 Να βρεθουν τα ορια στο + των παρακατω συναρτησεων Ι) ()= ii) ( ) = iii) ( ) = Να βρεθουν τα ορια ι) ιι) Να βρειτε τα ορια ι) ( + ) iii) ( ) v) ιι) [ ( + ) iv) ( ) 46 Να υπολογισετε τα ορια ι) ( ιι) ( ) ± 47 Να υπολογισετε τα ορια ι) ( ηm ) + ν ιι) ( ηm ) + 6 ηµ ιιι) liµ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

17 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ιv) 5 ηm ηm + 48 Αν ( ) 4 + 6, να βρεθει το ( ) 49 Για τις διαφορες τιμες του α R να υπολογισετε τα ορια στο ± των παρακατω 5 4 (α + 4) + α 5 συναρτησεων Ι) ( ) = ιι) ( ) = ( α) 4 ( α + ) ιιι) ( ) = ( + α ) iv) v) ( ) = ( α) ( α ) = + α ) ( α ) + 9 ( ( α ) Να υπολογισετε τα ορια ι) ± + ιιι) + α α ιv) α + α α 4 + ιι) ± α v) , α > 5 Να βρεθουν τα α, β R ώστε ( + + a+ β ) = Αν για κάθε χ > ισχυει ( + ) ( ) +, να δειξετε ότι ( ) = ( ) + 5 Δινεται η συναρηση : (, + ) R, mε = 6 να βρειτε το ( ) Να βρειτε το ( ± ) ηm ( ) 55 Αν =, ( ) g( ) = Να βρεθει το [ ( ) g( )] 56 Το ποσοστό της ανεργίας σε μια χώρα είναι % και εκτιμάται ότι σε έτη από τώρα θα δίνεται από τον τύπο () = α) Να αποδείξετε ότι: () = β) Να εξηγήσετε γιατί η ανεργία δεν θα πέσει ποτέ κάτω από το 8% γ) Μετά από αρκετά χρόνια, ποιο θα είναι περίπου το ποσοστό ανεργίας; - 57 Αν () = n, να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της + + β) τα όρια (), + (), (), () + κ 58 Δίνεται η συνάρτηση () = n β) Να βρείτε τα όρια (), () + να βρείτε το όριο ( () - n) +, κ > α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της γ ) Να δείξετε ότι η () ln > και ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7

18 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 59 Έστω Ρ(χ) = χ ν + αν-χ ν- + αν-χ ν- + + αχ + α και Q(χ) = χ ν + βν-χ ν- + βν-χ ν- + + βχ + β και έστω ακόμη H ( ) = ν Ρ( χ) ν Q ( ), i) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της Η περιέχει ένα διάστημα της μορφής (α,+ ) Να αποδείξετε ότι: αν βν H( ) = ν 6 Έστω πολυώνυμο () τέτοιο ώστε () = -4, ( ) ( ) =, και =, όπου α,β R με β Να βρείτε το πολυώνυμο () και + α α + + τις σταθερές α,β (University o New York) 6 Α) Δίνεται η συνάρτηση : R R με τύπο () t = t + ( + y ) t + t + 4yt +, όπου (χ,y) είναι οι συντεταγμένες σημείου Μ του επιπέδου Να αποδείξετε ότι αν ισχύει ( t) =, τότε το σημείο Μ ανήκει σε κύκλο Β) Δίνεται η συνάρτηση : R R με t τύπο () t t t t yt 5y = + + +, όπου (χ,y) είναι οι συντεταγμένες σημείου Μ του επιπέδου Να αποδείξετε ότι αν ισχύει ( t) =, τότε το σημείο Μ ανήκει σε ευθεία Γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της ευθείας και του κύκλου t P( χ) 6Να βρεθεί το πολυώνυμο Ρ(χ) αν ισχύει ότι χ χ + για κάθε χ R = και P( χ) χ χ + 6 Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει: ( ) + ( ) = για κάθε R i) Να δειχθεί ότι η είναι - ii)να λυθεί η εξίσωση () = iii) Για να δείξετε ( ) ( ) ότι ( ) Να βρείτε τα όρια: και + + ν + a +β 64 Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο g ( ) = ν Ν και α,β R για την οποία g ( ) = και η συνάρτηση : R R για την οποία ( ) = l και ( ) ( ) 4 α ( ) + 8β ηm = για κάθε α) Να βρείτε τα α, β ως συνάρτηση του ν β) Αν α, β αρνητικοί, να βρείτε τον λ R =, 65 Βρείτε τα παρακάτω όρια: ( + ) 4 ηm ( ) ηm 5 ηm + συν ηm4 6 ( + ) ηm5 + ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

19 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ + 7 ηm + 5 συν + ηm ( ) Έστω η συνάρτηση : (,) R με () = ηµ + συν () () Να βρείτε τα όρια (α) () (β) () 67 Δίνονται οι συναρτήσεις,g : R R για τις οποίες ισχύει: = + + g() και = + Να βρείτε τον R ( α + )() + g() + συν α ώστε = 6 + () + g() + ηm ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

20 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ BOLZANO - ΘΕΤ - ΘΜΕΤ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο, όταν Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς στο, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις:, όπου,,, και με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το ΘΕΩΡΗΜΑ Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση είναι συνεχής στο, τότε η σύνθεσή τους είναι συνεχής στο ΟΡΙΣΜΟΣ Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα και βασικά θεωρήματα Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του και επιπλέον και ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO y (β) B(β,(β)) O a β (a) Α(α,(α)) Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν: η είναι συνεχής στο και, επιπλέον, ισχύει, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

21 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ (ΘΕΤ) y (β) η (a) Α(α,(α)) B(β,(β)) y=η O a β Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Αν: η είναι συνεχής στο και τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος, ώστε ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ (ΘΜΕΤ) Μ y m O Μ m [ ] a β Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο, τότε η παίρνει στο μια μέγιστη τιμή και μια ελάχιστη τιμή Δηλαδή, υπάρχουν τέτοια ώστε,αν και, να ισχύει, για κάθε ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Όταν λέμε ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής, εννοούμε ότι είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή δεν έχει νόημα να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση είναι συνεχής ή όχι σε ένα σημείο που δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της τότε είναι συνεχής και σε κάθε υποσύνολό του Είναι λάθος να λέμε ότι μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο σύνολο έχει γραφική παράσταση που δεν διακόπτεται Η συνέχεια είναι από τις βασικές ιδιότητες μιας συνάρτησης που αναφέρεται στα στοιχεία του πεδίου ορισμού της Παράδειγμα η, είναι συνεχής, ενώ η γραφική της παράσταση αποτελείται από δυο κλάδους ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

22 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 4 Μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν: Δεν υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της,, στο σημείο 5 Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν, η η η 6 Αν η είναι ορισμένη στο τότε για να είναι συνεχής στα άκρα θα πρέπει να ισχύει: και 7 Αν οι συναρτήσεις,, είναι συνεχείς στο τότε δεν σημαίνει πάντα, ότι οι είναι συνεχείς στο Πχ 8 Αν δίνεται ότι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το είναι συνεχής στο τότε συμπεραίνουμε τα εξής: Το Υπάρχει το και είναι πραγματικος αριθμος 9 Αν οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο τότε και οι είναι συνεχείς στο με πραγματικούς αριθμούς Η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο αν τουλάχιστον ένα από τα πλευρικά όρια απειρίζεται θετικά ή αρνητικά Πχ Αν έστω και μία από τις προϋποθέσεις του δεν ισχύουν τότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα Δηλαδή αν: είναι συνεχής στο αλλά ισχύει τότε η εξίσωση μπορεί να έχει ή και να μην έχει ρίζα στο η δεν είναι συνεχής στο και ισχύει, τότε δεν είναι βέβαιο ότι θα υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της στο Το αντίστροφο του δεν ισχύει ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

23 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πχ Για την δεν ισχύει το στο όμως η έχει ρίζα στο την Στις ασκήσεις που ζητείται να αποδείξουμε ότι η έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, εξετάζουμε αν ισχύει το για την στο ή σε κάποιο υποσύνολό του Αν δεν δίνεται το διάστημα στο οποίο ανήκει η ρίζα, προσπαθούμε δίνοντας τιμές να βρούμε δυο ετερόσημες 4 Ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας στο Αν η είναι συνεχής στο και, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο ώστε Εξετάζουμε τις δύο περιπτώσεις: Αν τότε, δηλαδή είναι ρίζα της εξίσωσης Αν τότε εφαρμόζεται το θεώρημα του, οπότε υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα στο Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης στο 5 Για να αποδείξουμε ότι η έχει τουλάχιστον ρίζες σε ένα διάστημα, χωρίζουμε το σε κατάλληλα υποδιαστήματα, τα οποία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και εφαρμόζουμε το για την σε καθένα από τα διαστήματα αυτά 6 Αν η εξίσωση είναι της μορφής θεωρούμε την συναρτηση 7 Αν θέλουμε να δείξουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο του, αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 8 Στις ασκήσεις που ζητείται να αποδείξουμε ότι η έχει μια μόνο ρίζα στο,τότε πρώτα θα αποδείξουμε ότι η έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο και μετά ή δείχνουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη ή χρησιμοποιούμε απαγωγή σε άτοπο 9 Αν η συνεχής συνάρτηση ορίζεται στο διάστημα, τότε η εικόνα του μέσω της (δηλαδή η ) θα είναι διάστημα, δηλαδή δεν είναι ένωση διαστημάτων, με την προϋπόθεση ότι η δεν είναι σταθερή Αν η είναι σταθερή συνάρτηση τότε το είναι ένα σημείο (μονοσύνολο) Το αντίστροφο του Θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών δεν ισχύει κατ' ανάγκη, δηλαδή αν μία συνάρτηση ορισμένη στο παίρνει κάθε τιμή μεταξύ του και του δεν σημαίνει ότι αυτή είναι συνεχής στο Η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης σε διάστημα είναι ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

24 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ μία συνεχής γραμμή Αν η ΔΕΝ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές Αποδεικνύεται ότι αν η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα, τότε η αντίστροφη της, δηλαδή η είναι συνεχής στο και έχει το ίδιο είδος μονοτονίας 4 Αν το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης περιέχει το μηδέν τότε η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα 5 Αν η είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο και επί πλέον ισχύει, τότε η έχει ακριβώς μία ρίζα στο 6 Από μια σχέση της μορφής συμπεραίνουμε ότι ή όλοι οι όροι του αθροίσματος είναι μηδέν, ή οι δύο από αυτούς είναι ετερόσημοι 7 Αν η είναι συνεχής στο και ισχύει: για κάθε με, τότε για κάθε Αν η είναι συνεχής στο και ισχύει: για κάθε με, τότε για κάθε 8 Αν στην εξίσωση υπάρχουν παρονομαστές που να μηδενίζονται για, τότε με απαλοιφή αυτών των παρονομαστών μετασχηματίζουμε την εξίσωση στη μορφή 9 Αν έχουμε υπολογίσει το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης και θέλουμε να δείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μοναδική ρίζα τότε προσπαθούμε να μετασχηματίσουμε την εξίσωση σε μια άλλη ισοδύναμη, της μορφής Αν ο αριθμός ανήκει στο σύνολο τιμών της και η είναι γνησίως μονότονη τότε η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα Αν ο αριθμός δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της τότε η εξίσωση είναι αδύνατη Ένας από τους τρόπους που χρησιμοποιείται για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,είναι το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών Ειδικά σε ασκήσεις που παρατηρούμε ότι το δεύτερο μέλος είναι ένας αριθμός (άθροισμα διαφορετικών τιμών της ) της μορφής: Προσπαθουμε χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της, να αποδείξουμε ότι αυτός βρίσκεται μεταξύ των και Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Όταν στο πρόβλημα έχουμε τρείς ή περισσότερες τιμές της η ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

25 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ αντιμετώπιση γίνεται συνήθως με το ΘΜΕΤ και στη συνέχεια με το ΘΕΤ Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο αρκεί να δείξουμε ότι είναι συνεχής στο και ότι, για κάθε Ένας τρόπος για να δείξουμε ότι μια ευθεία της μορφής έχει με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη, είναι να εφαρμόσουμε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύοντας ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Ένας άλλος τρόπος είναι να εφαρμόσουμε το Θεώρημα για τη Συνάρτηση σε κατάλληλο διάστημα Αν μία συνάρτηση είναι συνεχής και σε ένα διάστημα τότε είναι και γνησίως μονότονη στο (Η πρόταση για να χρησιμοποιηθεί στις εξετάσεις θέλει απόδειξη) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω με Αφού η είναι ισχύει ότι Ας υποθέσουμε ότι και Θα δείξουμε ότι για κάθε ισχύει Θα εργασθούμε με την εις άτοπο απαγωγή Έστω δηλαδή Επειδή η στο διάστημα είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του και του Άρα αφού υπάρχει έτσι ώστε που είναι άτοπο διότι η είναι Ας υποθέσουμε τώρα ότι Επειδή η στο διάστημα είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του και του Άρα αφού, υπάρχει έτσι ώστε που είναι άτοπο διότι η είναι Επίσης ισχύει ότι διότι η είναι Άρα ισχύει ότι για κάθε δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο τυχαίο Με αντίστοιχο τρόπο αποδεικνύεται ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο 4 Κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω ένα πολυώνυμο περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω, τότε έχουμε: οπότε υπάρχει τέτοιο ώστε να ισχύει Και οπότε υπάρχει τέτοιο ώστε να ισχύει Συνεπώς για την πολυωνυμική συνάρτηση, με πεδίο ορισμού το, ισχύουν: Είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο διάστημα ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

26 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Άρα σύμφωνα με το η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο, συνεπώς και στο Ομοίως εργαζόμαστε αν 5 Αν για δυο συναρτήσεις και ισχύει: για κάθε, τότε δεν έπεται κατ ανάγκη ότι: για κάθε ή για κάθε Πράγματι, αν θεωρήσουμε πχ τις συναρτήσεις: και τότε για κάθε είναι, αλλά δεν ισχύει για κάθε ή για κάθε 6 Αν έχουμε μία συνάρτηση συνεχή και γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα, τότε μπορούμε να βρούμε το Σύνολο Τιμών της ανάλογα με το είδος της μονοτονίας της και τη μορφή του Δηλαδή: ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑ Πρέπει να προσέξουμε ότι στις περιπτώσεις που έχουμε ανοιχτά διαστήματα αντί για άκρο πραγματικό αριθμό μπορούμε να έχουμε το Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν ανάλογα συμπεράσματα Β ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να μελετηθούν ως προς την συνέχεια στο χ= οι συναρτήσεις: i) ()=,, ii) ()=, -, ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

27 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7 iii) iv) ()=, 4, 5 9 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση,, ημ : στο χ= Να προσδιορίσετε το α, ώστε η συνάρτηση με()= π, - αχ π, να είναι συνεχής στο χ=π 4 Να εξετασθει αν είναι συνεχεις στο χ= οι συναρτησεις ι),, 4 ) ( ιι),,, ) ( ιιι), ) ( ) ( 5, 6 5, ) ( 5 Να μελετηθουν ως προς την συνεχεια οι συναρτησεις ι), ) (,,) (, ) ( 4 ιι),,, ) ( ) ( Αν η συνάρτηση ορισμένη στο είναι συνεχής στο = και ()=, να δείξετε ότι η συνάρτηση g()=,, ()ημ είναι συνεχής στο = 7 Να μελετηθουν ως προς την συνεχεια οι συναρτησεις ι), ) (,, ) ( ιι) 4, 4, ) ( ) ( 8 Για την συνάρτηση : R R ισχύει 5 ()+()= για κάθε R Δείξτε ότι η είναι συνεχή ς στο =

28 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 9 Έστω η συνάρτηση ορισμένη στο Αν για κάθε χr ισχύει ημχ - χ (χ) ημχ χ και η είναι συνεχής στο χ=,να βρεθεί το () Να βρεθουν οι α,β,γ R ώστε να είναι συνεχης η ), (, ( ) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο = και ισχύει - -(-)() - για κάθε να υπολογίσετε την τιμή () Δίνεται η συνάρτηση : που είναι συνεχής στο = και για την οποία ισχύει ()+ημχ,για κάθε Να υπολογίσετε την τιμή () Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο για την οποία ισχύουν: ()= και (), Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο = 4Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη στο για την οποία ισχύουν: () ()= και 5 i) Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο = () () ii) Να βρείτε τα όρια: α) και β) 5 Δίνεται η περιττή συνάρτηση : που είναι συνεχής στο = με () 5 i) Να υπολογίσετε την τιμή () ii) Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο =- () 5 iii) Να βρείτε το όριο 6 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο με ()= και για κάθε ισχύει (5-)=(), τότε: i) Nα προσδιορίσετε την τιμή (), ii) Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο = 7 Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης : R R που ικανοποιει τη σχεση ()-(-)(-)=ημ(χ)-6, R π ( και η συνεχης στο R να βρεθει το ( ) 4 8 Αν ) ( ) ( ) 8 9 Η συναρτηση είναι συνεχης στο R και 7 να βρεθει το Αν η συνεχης συναρτηση : R R ικανοποιει τη σχεση ( ) ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

29 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Aν ( ), ( ), R να βρεθει το () να βρεθει ο πραγματικος αριθμος α ώστε η συναρτηση () ( ) ( ), g( ) 4 7, Αν η για τη συναρτηση ισχυει ( ) ( ), να είναι συνεχης στο ( k) k, k R και να βρεθει το () αν η είναι συνεχης στο = Aν 4 Αν η 5 Αν η συναρτηση ( ) k, ( ), g( ), είναι συνεχης στο ( ) () () R είναι συνεχης στο ( ) () Ι) Αν (a+β) =(a)+ (β) και Αποδειξη Αν Και εχω τοτε χ - h και να βρεθουν οι κ, λ R ώστε η να είναι συνεχης στο = και ΟΡΙΑ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ () (a) α ( ) 5 6 ( ) 5 να ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ να δειξετε ότι, τοτε χ - Aρα ( ) ( h ) h h ( ) να βρεθει το βρεθει το () ( ), θετω h= + a, ( h ) ( h ) ( h ) () ( ) ( ) ( ) ΙΙ) Αν (aβ) = (a)+ (β) και () (a) χ α να δειξετε ότι () ( ) Αποδειξη Αν τοτε τοτε h h h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h Θετω h = () ( ) 6 Δινεται η συναρτηση : R R για την οποια ισχυει η σχεση ( ) και εχω ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

30 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ( ) ( ) ( ),, R να δειχθει ότι είναι συνεχης στο R Aν η είναι συνεχης στο = 7 Η συναρτηση : R R στο = να δειχθει ότι είναι συνεχης στο, ικανοποιει τη σχεση (αβ)=(β)(α) Αν ειναι συνεχης R 8 Αν για κάθε χ, ψ συνεχης στο R R ισχυει ( ) ( ) να δειχθει ότι η είναι 9 Αν για την ορισμενη στο R συναρτηση ισχυει δειξετε ότι είναι - και συνεχης ( ) ( ) να Αν η είναι περιττη και συνεχης στο και στο να δειχθει ότι είναι συνεχης Να βρεθει ο τυπος της συνεχους συναρτησης στο R όταν ισχυει ( ) Αν ( ) g ( ) ( ) g( ) να δειχθει ότι οι συναρτησεις, g είναι συνεχης στο R Aν για τη συναρτηση ισχυουν η (4 ) ( ), R και ( ) 6 4 είναι συνεχης στο να δειχθει ότι είναι συνεχης και στο και 4 Αν (4 ) 4 5 να δειχθει ότι η είναι συνεχης στο 5 Έστω οι συναρτήσεις,g : R R για τις οποίες ισχύει ( ()) (g()) ( ) () για κάθε χ ε R (α)να αποδείξετε ότι () g() Οι,g είναι συνεχείς στο R (β) Να υπολογίσετε τα όρια () g() g() (),, 6 Να μελετηθει ως προς τη συνεχεια η συναρτηση Να υπολογισθουν τα ορια ( ), 7 ( ), 7 και ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

31 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 7 Για τις διάφορες τιμές του α κάντε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και μελετήστε την συνέχειά της e e ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (ν R+ * ) 8 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο R, a>, (a), τότε να δείξετε ότι υπάρχει ( a (,a ): ) ( ) a 9 Αν η είναι συνεχής στο [,] και (Εδώ αξίζει να είστε παρατηρητικοί) (), τουλάχιστον ξ[,), ώστε να ισχύει: 5 (ξ) + ξ = (ξ), να δειχθεί ότι υπάρχει, ένα 4 Έστω συνεχής στο Δ = [α, β] Να δειχθεί ότι: Η συνάρτηση (α+β-χ) είναι συνεχής στο Δ Υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξδ, ώστε να ισχύει: (α+β-ξ) = (ξ) 4 Έστω συνεχής στο Δ = [α, β] και γ > Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξδ, ώστε να ισχύει: (ξ) = ( ) ( ) 4 Αν η είναι συνεχής στο [,4] και ()= (4), να αποδειχθεί ότι υπάρχουν α,β [,4] με β - α = τέτοια, ώστε (α)= (β) 4 Έστω : συνεχής συνάρτηση με () + () + () = Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση (χ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα 44 Δίνονται οι συναρτήσεις () = + β + γ και g() = - + β + γ με γ Αν ρ είναι ρίζα της και ρ είναι ρίζα της g με ρ<ρ, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση (χ) +g() έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (ρ, ρ) 45 Έστω α,β, με α < β Να αποδειχθεί ότι για κάθε γ(α,β) υπάρχει μοναδικό ξ (,), ώστε γ = ξ β + (-ξ)α 46 Έστω,g συναρτήσεις με ΠΟ το Δ Εάν για κάθε χδ η είναι συνεχής και ()-g() = c, c τότε νδο: Αν ρ, ρ δύο ετερόσημες ρίζες της () = η εξίσωση g() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [ρ, ρ] 47 Έστω () = + συν(π) και g() = ln(-) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

32 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ α(,) ώστε (α)= g(κ), e,e 8 48 Οι αριθμοί α α α4 ανήκουν στο διάστημα [,] Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, e ένα τουλάχιστον ξ, ωστε 4 49 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα (a,b) και επιπλέον ισχύει: ( im ( ))( im ( )) a b τότε να δείξετε ότι υπάρχει στο (a,b) τέτοιο ώστε ()= (Και αυτή η άσκηση μπορεί να είναι θεώρημα) 5 Οι συναρτήσεις,g : [,] [,] είναι συνεχείς Να αποδειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ να είναι παράλληλα 5 Να αποδείξτε ότι :, ώστε τα διανύσματα v (og go)( ), και v (,) i) η εξίσωση ii) η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-,) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Δίνονται οι συναρτήσεις () = e -α -και g() = ln(α+) + α, όπου α (, ) 4 i) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση (χ) = αχ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [α,α+] ii) Αν ξ είναι μια ρίζα της εξίσωσης (χ) = αχ στο διάστημα [α,α+], τότε να δείξετε ότι: g() 5 H συνάρτηση είναι συνεχής στο R,()=- και ( ) ( ) 4, R τότε να δείξετε ότι η δεν έχει καμιά ρίζακαι βρείτε τον τύπο της 54 Αν,g είναι συνεχεις στο R ώστε ()+()+ +(4)= g()+g()+ +g(4), να δειχθει ότι υπαρχει ξ,,,,4 τετοιο ώστε (ξ) =g(ξ) 55 Οι συναρτησεις,g εχουν πεδιο ορισμου και τιμων το [,α] ειναι συνεχεις σε αυτό Αν είναι φθινουσα και g g να δειχθει ότι υπαρχει ξ[,α] τετοιο ώστε (ξ )=g( ξ)= ξ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

33 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 56 Αν συνεχης στο [ α,β], χ, χ,,χν [α,β] και κ, κ,,κν R+ να δειξετε ότι υπαρχει ξ(α,β) ώστε k ( ) ( ) k k ( ) k k k ( ) 57 Για μια συνεχή συνάρτηση στο [,] ισχύει () = και () = 4 Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ που ανήκει στο (,) ώστε: (ξ) = Έστω ()=a +b +c+d, a>, d<, a+c<b+d Δείξτε ότι η έχει δυο αρνητικές και μία θετική ρίζα ακριβώς 59 Αν a>, n N * τότε να δείξετε ότι η εξίσωση : n =a έχει μοναδική θετική λύση (Πώς θα ονομάζατε αυτή την λύση;) 6 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,5] με () = και (5) =, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της έχει τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με την ευθεία (ε): ψ- χ= 6 Για μια συνεχή συνάρτηση, ισχύει ότι: () 4 6 i) Να δειχθεί ότι () 6 ii) Να δειχθεί ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον k (,] ωστε (k) = k k Για μια συνάρτηση συνεχή στο, ισχύει ότι: () 4 και 4ημ(-) (-)() 4 Να δειχθεί ότι η C τέμνει τη γραφική παράσταση της παραβολής ψ = - + σε σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (,) 6 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [,] με () 6, και ακόμη () + () = 8, να αποδείξετε ότι υπάρχει, ένα τουλάχιστον ξ(,) που (ξ) = ξ +ξ 64 Έστω :, συνεχής συνάρτηση Αν α,β είναι ρίζες της εξίσωσης χ -4χ+ =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ[α,β] τέτοιο ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ

34 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ώστε να ισχύει: 65 Αν συνεχής στο R και ()(())=, (9)=/9 υπολογίστε το () ( ) ( ) 66 Η είναι συνεχής στο R και im im n περιττός Δείξτε ότι n n υπάρχει R : ( ) 67 Να δείξετε ότι η εξίσωση a 5 +b 4 +c +d +e+= με >, a+b+c+d+e+=, 5a+4b+c+d+ e > έχει μια τουλάχιστον λύση στο (,) 68 i)έστω συνάρτηση που δεν είναι γνήσια μονότονη σε κάποιο διάστημα Δ Εξηγήστε γιατί υπάρχουν a<b<c στο Δ τέτοια ώστε να μην ισχύει καμιά από τις ανισότητες: (a)<(b)<(c), (a)>(b)>(c) Υποθέστε μια διάταξη για τα (a),(b),(c) και αποδείξτε ότι αν η είναι συνεχής και - στο Δ τότε είναι και γνήσια μονότονη (Πρόκειται για βασικό θεώρημα το οποίο σας προτείνεται να αποδείξετε) Ιι) Με την βοήθεια του προηγούμενου ερωτήματος δείξτε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση στο R ώστε (())=- iii)aν συνεχής συνάρτηση στο R και (a)+(b)=(c)+(d) με a,b,c,d διαδοχικούς όρους μη σταθερής αριθμητικής προόδου τότε η δεν μπορεί να είναι αντιστρέψιμη 69 Έστω συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει () + χ = 5χ για κάθε χδ = (,5) Να αποδείξετε ότι η Δεν έχει ρίζες στο Δ Έχει σταθερό πρόσημο στο Δ Να βρεθεί ο τύπος της στο Δ, αν επιπλέον είναι γνωστό ότι () = - 7 Έστω ( ) a : [, ) (, ) συνεχής συνάρτηση Αν για κάθε τιμή του α> η εξίσωση,έχει τουλάχιστον μια λύση, τότε δείξτε ότι για οποιαδήποτε συγκεκριμένη τιμή του α η εξίσωση ( ) a έχει άπειρες λύσεις 7 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : με την ιδιότητα () = e (), 7 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : με την ιδιότητα: ( () ) ( () ) =, ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

35 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 7 Έστω συνεχής συνάρτηση στο διάστημα Δ = (α,β), γνησίως φθίνουσα στο (α,γ] και γνησίως αύξουσα στο [γ,β) όπου γ(α,β) Αν (γ) = - και () και (), β να βρεθεί: Το σύνολο τιμών της Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ()=, Δ 74 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : με την ιδιότητα: () ( ()ημ =, 75 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις,g: [, ) με g() = και [()-g()] = [ ()+g()] α) Να βρείτε το () β) Αν για κάθε χ[,4] είναι (), να δείξετε ότι: Η εξίσωση (-)() + (+) = (-) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,) g() > για κάθε χ[,4] 76 Έστω συνεχής συνάρτηση στο [,4] για την οποία ισχύουν: Ι) () για κάθε χ[,4] Ιι) () > ιιι) () () = () (4) Να αποδείξετε ότι: α) () > για κάθε χ[,4], β) Η συνάρτηση g() = () - () () έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,) γ) Η συνάρτηση δεν είναι αντιστρέψιμη 77 αν : R R και ισχύεi ( ) ( ) ( ), R να δείξετε ότι: Υπάρχει R : ( ( )) Αν επιπλέον συνεχής στο R, υπάρχει R : ( ) 78 Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις,g : R R με ()g()=e, για κάθε ()> και g()> Nαδείξετε ότι : α) ()>, για κάθε R β) Υπάρχει (,) τέτοιο ώστε g()= R με 79 Για την συνεχή συνάρτηση ισχύει ότι: ()+β ()+γ()= - +6-, για κάθε R, με β,γ R και β <4γ Αν η είναι γνησίως στο R αύξουσα να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης ()= στο διάστημα (,) ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

36 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 8 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο R, ()=5 και δείξετε ότι η δεν έχει καμιά ρίζα ( ) για κάθε R τότε να 8 H συνάρτηση είναι συνεχής στο R, ()=- και τότε να δείξετε ότι η δεν έχει καμιά ρίζακαι βρείτε τον τύπο της 8 Δίνεται ότι η συνάρτηση () είναι συνεχής στο R γν αύξουσα στο διάστημα [,] και γν φθίνουσα στα [,] και [, ] Αν ισχύει ότι : (), () -, (), () - με R να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ακριβώς ρίζες στο (, ) Θέμα Β Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: e 5 α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση στο R Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: 5 7, R i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R ii Να λύσετε την εξίσωση iii Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης Δίνεται η συνάρτηση με 4 e i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της iii Να ορίσετε την 4 Δίνεται η συνάρτηση με ln i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να αποδείξετε ότι η είναι - iii Να ορίσετε την iv Να λύσετε την εξίσωση i Να βρείτε το είδος μονοτονίας της 5 Δίνεται η συνάρτηση με ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

37 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός τιμή iii Να λύσετε την ανίσωση: 6 Δίνεται η συνάρτηση με R 5, R i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο R ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση iii Να βρείτε το πρόσημο της για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την έχει ακριβώς μία ρίζα τη 7 Να βρείτε το i, όταν: ii 4 iii 4 8 Δίνεται η συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση :,5 της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία και A,8 i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα B 5, ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει την τιμή iii Υπάρχει μοναδικό 9 Δίνεται η συνάρτηση με,5 τέτοιο ώστε: ln e iνα βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iii Να ορίσετε την iv Να λύσετε την ανίσωση Δίνεται η συνάρτηση με ln5 i Να βρείτε το είδος μονοτονίας της ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να λυθεί η ανίσωση Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση i Να βρείτε το για κάθε R ii Να βρείτε το iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να βρεθεί το και :R R για την οποία ισχύει: Δίνεται η συνεχής στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 7

38 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ M, i Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της περνάει από το σημείο iiνα βρείτε το Δίνεται η συνάρτηση με ln i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της iii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να μελετήσετε την iv Να βρείτε τα όρια: 4 Δίνεται η συνάρτηση και :R i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της R g και η συνάρτηση g με τύπο ii Να βρείτε συνάρτηση h για την οποία να ισχύει: iii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι περιττή h g ως προς τη συνέχεια g ln Θέμα Γ 5 Δίνονται οι συνεχείς στο R συναρτήσεις και g για τις οποίες ισχύουν: για κάθε R Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο και 5 είναι δύο διαδοχικές ρίζες της Να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R β) για κάθε γ) g,5 4 g 5 6 Δίνεται η συνάρτηση :, R με τύπο: i Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης A, g 4 ln iii Να αποδείξετε ότι για κάθε έχει μοναδική ρίζα iv Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: 4 ln R, η εξίσωση 7 Δίνεται η συνάρτηση :R R για την οποία ισχύει η σχέση: για κάθε R i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο R ii Αν το σύνολο τιμών της είναι το R, να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την iii Να λύσετε την εξίσωση iv Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και, ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

39 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ - α α + + = α - α + 8 Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο κάθε, i Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, για την οποία ισχύει ii Να αποδείξετε ότι η διατηρεί πρόσημο στο διάστημα iii Να βρεθεί ο τύπος της iv Αν επιπλέον 6 να βρείτε το όριο, 4 7 για 9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση 8 9 i Το όριο: iv Το 9 Δίνεται η συνάρτηση R και iii Να βρείτε το :, R για κάθε ii Το όριο: :R R 5 i Να βρείτε το για την οποία ισχύει: Να βρείτε: 7 iii Το όριο: για την οποία ισχύει: 5 για κάθε ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iv Να λύσετε την εξίσωση: 7 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση κάθε R, R :R R για την οποία ισχύει i Να αποδείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R ii Αν να βρείτε τον τύπο της iii Να υπολογίσετε το όριο: iv Να υπολογίσετε το όριο:, 4, 4 για Δίνεται η συνεχής συνάρτηση κάθε i Να αποδείξετε ότι: :R R 4 για την οποία ισχύει: και για ii Να βρείτε το όριο: 4 iii Να βρείτε το όριο: 5 4 iv Να αποδείξετε ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

40 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ iαν 4 ii Δίνεται η συνάρτηση για κάθε να βρείτε το g:r Να βρείτε το R για την οποία ισχύει: g πραγματικός αριθμός iii Να βρείτε το όριο: 4 Δίνεται η συνάρτηση R :R R g, αν είναι γνωστό ότι υπάρχει και είναι g για την οποία ισχύει: 4 για κάθε i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την ii Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα iiiνα βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και, αν γνωρίζετε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στην ευθεία με εξίσωση ivνα λυθεί η εξίσωση: 5 Δίνονται οι συναρτήσεις e και g i Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων και g ii Να ορισθεί η συνάρτηση iii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την iv Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης g 6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με i Να βρείτε τα κ,λ ii Να υπολογίσετε το όριο: iiiνα υπολογίσετε το όριο: iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση, ln 8 g y,, 8 6, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 7 Δίνεται η συνάρτηση με την οποία ισχύει: Να βρείτε: g 5 i Το κ αν υπάρχει το iv Το όριο g 5 6,,, 4,, 4 και iiτο όριο g g iiiτο όριο και η για κάθε R g g: R, R για Θέμα Δ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

41 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 8 Δίνεται η συνάρτηση με ln e 4 i Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία την ii Να υπολογίσετε τα όρια: και iii Να λυθεί η εξίσωση e iv Να βρείτε τον πραγματικό θετικό αριθμό μ για το οποίο ισχύει: 6 ln4 ln 4 e e 8 9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση, για κάθε R :R R 4, για κάθε R i Να βρείτε το όριο ii Να βρείτε το για την οποία ισχύουν οι συνθήκες: iii Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη, Δίνεται η συνεχής συνάρτηση κάθε R :R R τέτοια ώστε: και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ ii Αν και να βρείτε την iii Να βρείτε το όριο: για A, 4 i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρείτε το όριο Δίνεται η συνάρτηση με iii Να βρείτε το όριο iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα στο R για κάθε R ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

42 Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο ( ) ( ) και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ( ) και συμβολίζεται με ( ) ( ) του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το ( ) Δηλαδή: Αν στην ισότητα ( ) ( ) ( ) θέσουμε h, τότε έχουμε ( ( ) h h) ( ) h Αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν τα όρια ( ) ( ), ( ) ( ) και είναι ίσα Πρόβλημα εφαπτομένης Έστω μία συνάρτηση και A(, ( )) ένα σημείο της γραφικής της παράστασης y O C A(,( )) τείνει στο με (Σχ ονομάζουμε εφαπτομένη της γραφ παράστασης της στο Α (α) M(,()) M ε y O C M(,()) M (β) A(,( )) ε Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο,, της γραφικής παράστασης της και την ευθεία ΑΜ που ορίζουν τα σημεία Α και M, παρατηρούμε ότι: M(, ( )) Καθώς το τείνει στο με, η τέμνουσα ΑΜ παίρνει μια οριακή θέση ε (Σχ α)την ίδια οριακή θέση φαίνεται να παίρνει και όταν το β)την οριακή θέση της ΑΜ την Επειδή η κλίση της τέμνουσας ΑΜ είναι ίση με θα έχει κλίση το λ= ΟΡΙΣΜΟΣ () - ( - ) = ( ) ( ) ( ), η εφαπτομένη της C στο σημείο A(, ( )) Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο της Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= A(, ( )) () - ( - C ) = ( ) Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A, ( )) είναι: - ) = ( )( - ) C ( y ( ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}.

x y f (x). f(a) {y R x A : y f(x)}. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

Σημαντικές παρατηρήσεις

Σημαντικές παρατηρήσεις ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Διαφορικός Λογισμός Σημαντικές παρατηρήσεις Φυλλάδιο Φυλλάδι555 5 ο ο Η έννοια της παραγώγου Να υπάρχει διάστημα της μορφής ή ή α,,β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να γνωρίζει τον ορισμό της παραγώγου συνάρτησης σε ένα σημείο και να τον ερμηνεύει ως ρυθμό μεταβολής.. Να γνωρίζει τις έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr

IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και

Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επαναληπτικές ασκήσεις Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου + Επαναληπτικές ασκήσεις ς Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Βαγγέλης Ραμαντάνης Ευάγγελος Τόλης wwwaskisopolisgr η έκδοση Μάρτιος 6 wwwaskisopolisgr Παράγωγοι Εκφωνήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα