NALOGE IZ MATEMATIKE ZA FIZIKE IN TEHNIKE Z RE ITVAMI U no gradivo

Transcript

1 Univerza v Ljubljani Pedago²ka fakulteta Oddelek za matematiko in ra unalni²tvo Tadej Star i NALOGE IZ MATEMATIKE ZA FIZIKE IN TEHNIKE Z RE ITVAMI U no gradivo Ljubljana 07

2 Predgovor Matemati ni koncepti in metode so nujno potrebni pri ²tudiju vseh naravoslovnih ved ²e posebej zike kemije in tehnike. Njihovo razumevanje pa se lahko poglobi le z re²evanjem nalog. Pred vami je zbirka ki zajema naloge o realnih funkcijah ene spremenljivke s poudarkom na odvodu in integralu osnove o vektorjih v trorazseºnem prostoru in o matrikah ter diferencialni in integralni ra un funkcij ve realnih spremenljivk. Veliko nalog je povezanih prav z naravoslovnimi vedami s imer se ºeli posebej opozoriti na njihovo tesno povezanost z matematiko. Prav na koncu so dodane ²e re²itve ve inoma v obliki rezultatov in uporabnih nasvetov. Zbirka bo zelo prav pri²la ²tudentom Pedago²ke fakultete ²tudijskega programa dvopredmetnega u itelja zike tehnike ali ra unalni²tva ki v prvem letniku ²tudija poslu²ajo predmet Tehni²ka matematika. Ve ina nalog se je re²evala prav na vajah seminarjih izpitih in kolokvijih pri tem predmetu v ²tudijskih letih od 008/09 do 05/6. Koristna pa bo tudi za ²tudente drugih fakultet kjer obravnavajo podobne vsebine. Pa obilo uspeha pri re²evanju! Ljubljana marec 07 dr. Tadej Star i

3 Kazalo Realne funkcije ene spremenljivke 4. Elementarne funkcije limite in zveznost ter primeri iz zike. 4. Odvod in osnovne lastnosti Uporaba odvoda Nedolo eni integral Dolo eni integral in uporaba integrala v ziki in geometriji Uporaba integrala pri re²evanju diferencialnih ena b. reda. 7 Vektorji in matrike 0. Vektorji v trorazseºnem prostoru Osnovne matri ne operacije in lastnosti matrik Uporaba matrik pri re²evanju sistemov linearnih ena b Realne funkcije ve spremenljivk Osnovne lastnosti in zveznost Parcialni odvodi ekstremi funkcij Mnogoterni integral Uporaba mnogoternega integrala v ziki in geometriji Re²itve Realne funkcije ene spremenljivke Elementarne funkcije limite in zveznost ter primeri iz zike Odvod in osnovne lastnosti Uporaba odvoda Nedolo eni integral Dolo eni integral in uporaba integrala v ziki in geometriji Uporaba integrala pri re²evanju diferencialnih ena b. reda Vektorji in matrike Vektorji v trorazseºnem prostoru Osnovne matri ne operacije in lastnosti matrik Uporaba matrik pri re²evanju sistemov linearnih ena b Realne funkcije ve spremenljivk Osnovne lastnosti in zveznost Parcialni odvodi in ekstremi funkcij Mnogoterni integral Uporaba mnogoternega integrala v ziki in geometriji. 59 3

4 Realne funkcije ene spremenljivke. Elementarne funkcije limite in zveznost ter primeri iz zike. Dan naj bo graf neke funkcije ki jo ozna imo z f. Ugotovi kako izgleda graf funkcije g in ga skiciraj e je: (a) g(x) = f(x ) + (b) g(x) = 3f( x) (c) g(x) = f( x) (d) g(x) = f(x) (e) g(x) = f( x) (f) g(x) = f (x) e obstaja.. Dane so poten ne funkcije: (a) f(x) = x 5 (b) f(x) = x 4 (c) f(x) = x + (d) f(x) = 5 3 x (e) f(x) = x 3 + (f) f(x) = 5 x. Za vsako od na²tetih funkcij dolo i denicijsko obmo je in ugotovi ali je soda ali liha ali ni od tega. ƒimbolj natan no nari²i ²e grafe funkcij. 3. Dane so funkcije ki predstavljajo (a) kako temperaturo T C izmerjeno v stopinjah Celzija pretvorimo v temperaturo T F v stopinjah Fahrenheita. (Temperaturo v stopinjah Fahrenheita dobimo e temperaturo v stopinjah Celzija pomnoºimo z 9 in pri²tejemo 3.) 5 (b) gostoto zvo nega toka j(r) = P v odvisnosti od oddaljenosti r 4πr od zvo nika ki oddaja z mo jo P = 00W. (c) povr²ino valja z vi²ino 3 v odvisnosti od radija. (d) maso v teoriji relativnosti m(v) = m 0 kjer je m 0 masa v mirovanja in c = m/s hitrost svetlobe v v c vakuumu. (e) prostornino ²katle v odvisnosti od x kjer iz papirja pravokotne oblike dolºine 8dm in ²irine 6dm naredimo ²katlo tako da pri vogalih izreºemo kvadratke s stranico x ter preostanke zavihamo navzgor in zlepimo. 4

5 (f) as padanja jabolka v odvisnosti od vi²ine s katere pade jabolko e predpostavimo da jabolka z drevesa prosto padajo proti tlem in zra ni upor zanemarimo. Zapi²i eksplicitne predpise danih funkcij kjer manjkajo ter skiciraj njihove grafe. Katere funkcije pa nam opi²ejo obratno odvisnost danih koli in? Inverzne? Kdaj obstajajo? Zapi²i jih e je to mogo e. 4. Dolo i denicijsko obmo je izra unaj ni le pole in asimptote naslednjih funkcij ter skiciraj njihove grafe: (a) f(x) = x + 5x + 3 (b) f(x) = x 3 3x + (c) f(x) = (x+3) 3 (x ) (x 3) (d) f(x) = x 3 x x 3 (e) f(x) = x +x+ x 6 (f) f(x) = 3(x ) (x 4) x 3 +x +x. 5. Dolo i denicijsko obmo je in nari²i grafe naslednjih funkcij (pole ali vodoravne asimptote ustrezno ozna i): (a) f(x) = x (b) f(x) = 3 x (c) f(x) = ( )x + (d) f(x) = ex +e x (veriºnica) (e) f(x) = ln(x) (f) f(x) = log (x + ). 6. V letu 000 so v nekem naravnem okolju na²teli 900 sokolov. V vsakem naslednjem letu je nato ²tevilo sokolov naraslo za 6%. Kolik²na bo po pri akovanju populacija sokolov v letih 00 in 030 e upo²teva² da nara² a eksponentno (linearno)? 7. Jakost potresnih sunkov lahko merimo po Richterjevi lestvici. Potres ki je 0 5 -krat mo nej²i od majhnega komaj ²e zaznavnega potresa ima po Richterjevi lestvici stopnjo 5. V splo²nem ima potres ki je n-krat mo nej²i od komaj zaznavnega potresa stopnjo log 0 (n). Kolikokrat mo nej²i so potresi stopnje 8 od potresov stopnje Poi² i denicijska obmo ja ni le periode pole asimptote periode to ke lokalnih minimumov oziroma maksimumov ter nari²i grafe naslednjih funkcij: (a) f(x) = cos(x) (b) f(x) = sin(x π 6 ) (c) f(x) = cos( x ) + (d) f(x) = tan(x) + (e) f(x) = arcsin(x) (f) f(x) = π 4 + arctan(x) 5

6 9. Majhna kroglica na dolgi vrvici niha okrog ravnovesne lege z nihajnim asom t 0 = s (frekvenco ν = s ) in amplitudo s 0 = 0cm. Odmik s od ravnovesne lege predstavlja funkcija s(t) = s 0 sin(ω 0 t) kjer je ω 0 = πν. Zapi²i ²e funkcijo ki predstavlja nihanje z dvakrat manj²o amplitudo in dvakrat ve jo frekvenco. Nari²i oba grafa funkcij. 0. Gladina vode v nekem kraju ob morski obali je zaradi plimovanja ob razli nih asih dneva razli na. Med oseko je gladina vode najmanj m med plimo pa najve 6m. Oseka nastopi vsakih ur. S sinusno funkcijo modeliraj gladino morja v odvisnosti od asa t.j. dolo i parametre funkcije y(t) = A sin(at + b) + B. Skiciraj ²e graf funkcije.. Re²i naslednje ena be: (a) 4 x x+ 8 = 0 (b) log (x + ) + log (x) =. (c) sin(x) = (d) arctan( x x+ ) =.. Dano je zaporedje a n = + n. (a) Ugotovi od kod naprej se leni zaporedja od razlikujejo za manj kot 00. (b) Za poljuben ε > 0 poi² i tak N (odvisen od ε) da bo a n < ε za n > N. Odtod sklepaj na lim n a n =. Utemelji. 3. Izra unaj naslednje limite: (a) lim n 3n+ n+ (b) lim n n n n +n+ (c) lim n +n+ n + +n (d) lim n ( )n (e) lim n n n (f) lim n 3 n +n 3 n +n (g) lim n ( + n )n (h) lim n ( 3 4n )5n+ 4. Dana naj bo funkcija f(x) = 4 +x. (a) Kateri vrednosti se pribliºujejo f(0 9) f(0.99) f(0.999)...? Kaj pa vrednosti f(.00) g(.0) g(.)...? (b) Za koliko najve se vrednost f(x) razlikuje od vrednosti f() = e je x [0.8.]. (Nasvet: Upo²tevaj da je funkcija na tem intervalu padajo a.) (c) Za najve koliko se lahko x razlikuje od da se bo vrednost f(x) zagotovo razlikovala od f() = za manj kot 00. 6

7 (d) Za najve koliko se lahko x razlikuje od da se bo vrednost f(x) zagotovo razlikovala od f() = za manj kot ɛ. Spomni se na deniciji zveznosti in limite funkcije f(x) v to ki x = a ter ugotovi ali je f zvezna v x = oziroma ali obstaja lim x f(x). (e) Kateri vrednosti se pribliºujejo f(0) f(00) f(000)...? Kaj pa vrednosti f( 0) f( 00) f( 000)...? (f) Najmanj kako velik mora biti x da se bo vrednost f(x) razlikovala od 0 za manj kot 00. (g) Kako velik mora biti x da se bo vrednost f(x) razlikovala od 0 za manj kot ɛ. Dolo i lim x f(x) e obstaja. (h) Dolo i lim x f(x) e obstaja. (i) Kateri vrednosti se pribliºujejo f( 0 9) f( 0.99) f( 0.999).... Kateri vrednosti pa se pribliºujejo vrednosti f(.) f(.0) f(.00)...? Koliko je lim x f(x)? Kaj pa lim x + f(x)? Odgovora utemelji. 5. Kamnosek izdeluje kvadratne kamnite plo² e s plo² ino dm. Za najve koliko se lahko zmoti pri dolºini plo² e da bo plo² ina plo² e odstopala za najve %. Za najve koliko pa se lahko zmoti da bo napaka najve 0 %. Ali je lahko napaka poljubno majhna e znamo izdelovati poljubno natan no? Kaj pa e izdeluje kockaste tlakovce z volumnom dm 3? 6. (a) Dana je funkcija g(x) = sin(x). Kateri vrednosti se pribliºujejo x vrednosti g(0.) g(0.0) g(0.00)...? Ali je ta vrednost limita funkcije g ko gre x 0? Odgovor utemelji. (b) Ali je graf funkcije h(x) = { sin(x) x x 0 5 x = 0 sklenjen? Kako bi popravil predpis funkcije da bi bil graf sklenjen? 7. Zapi²i primer funkcije ki je denirana na intervalu [ ] limita te funkcije v to ki x = 0 pa ne obstaja. 8. Dolo i denicijska obmo ja in razi² i obna²anje funkcij na robu njihovih denicijskih obmo ij poi² i asimptote e obstajajo: 7

8 (a) f(x) = x (b) f(x) = ln(x 3 + ) (c) k(x) = xe x (d) f(x) = x+ x (e) f(x) = x3 x x+ x +x+ (f) f(x) = arctan(x + 3) (g) f(x) = arctan( x ) (h) f(x) = sin(x) x. (Opomba: Funkcija A(x) je asimptota funkcije f(x) v ±neskon nosti (t.j. x ± ) e je lim x ± (f(x) A(x)) = Izra unaj naslednje limite: (a) lim x x x+ (b) lim x x x x x 3 (c) lim x x 3 x (d) lim x ( x x ) sin(x) (e) lim x 0 x (f) lim x 0 3x sin(4x) (g) lim x 0 sin(3x) sin(x) (h) lim x 0 x sin (5x) (i) lim x 0 cos (x) x (j) lim x 0 tan(x) x (k) lim x 0 ( + x) x (l) lim x 0 ( + 3x) x (m) lim x 0 ln(+x) x (n) lim x x x+ (o) lim x 3x +x 4x x+ x (p) lim +3x x 3x +x x (q) lim x +x (r) lim x x+4 +x (s) lim x x 3 x (t) lim x 3 x x (u) lim x x 3 + x (v) lim x 3 x +x 3 3 x + x (w) lim x ( + x )3x (x) lim x ( x )x. 0. Dani sta funkciji: f(x) = { x + x < x x g(x) = x + 3 x < x x < x x. Poi² i lim x f(x) lim x + f(x) lim x f(x) ter lim x + g(x) lim x g(x) lim x g(x) lim x + g(x) in lim x g(x). Ali je katera funkcija zvezna (t.j njen graf je sklenjen) povsod? Nari²ite ²e grafa funkcij. 8

9 . Za katera realna ²tevila a b R je funkcija x b x > f(x) = ax x 4 + x < x zvezna na vsej realni osi?. Zapi²i primer funkcije ki je denirana na intervalu [0 ) ter ima neskon no to k nezveznosti. 3. (a) Gostota zraka v atmosferi se z vi²ino spreminja. Ali zvezno? (b) Sredstvo A ima lomni koli nik n sredstvo B pa lomni koli niko n. Ali se lomni koli nik pri prehodu iz sredstva A v sredstvo B spremeni zvezno? 4. Z besedami opi²i metodo bisekcije in nato utemelji zakaj imajo funkcija ni le na danih intervalih ter jih opisano metodo poi² i (napravi vsaj ²tiri korake): (a) f(x) = x 4 x [ ] (b) f(x) = x 3 + x x [0 ] (c) g(x) = x 3 + x x [0 ] (d) f(x) = x cos x x [0 π ].. Odvod in osnovne lastnosti. Zapi²i natan no denicijo odvoda funkcije f(x) v poljubni to ki x = a in po deniciji izra unaj odvode: (a) f(x) = x 3 + x + v to ki x = (b) f(x) = x v to ki x = (c) f(x) = x+ v to ki x = 0.. Pot ki jo v asu t opravi avto A opi²emo s funkcijo s (t) = t pot avtomobila B pa opi²emo z s (t) = 0 t +. (a) Izra unaj prva dva odvoda funkcij s in s ter ugotovi kaj nam povesta? Kolik²en je pospe²ek v asu t = 9? Kdaj bo hitrost enaka 0. 9

10 (b) Kdaj hitrosti oziroma pospe²ki nara² ajo? 3. Zapi²i pravila za odvajanje produkta f(x) g(x) kvocienta f(x) ter g(x) kompozituma (f g)(x) = f(g(x)) dveh odvedljivih funkcij f in g ter odvajaj naslednje funkcije: (a) y = x 4 x + x 3 + x (b) y = x 4 + x 3 + x + (c) y = x 3 x + 3 x 3 x (d) y = 3 sin x + 4 cos x (e) y = 3e x x + 3 ln x (f) y = ch(x) (g) y = xe x (h) y = (x + ) log x (i) y = (x +cos x)(arcsin x+x 3 ) (j) y = ex ln x (k) y = x + sin x (l) y = arctan x x (m) y = tan x (n) y = sin(6x) (o) y = arctan(x) + e x (p) y = ( + x ) 0 (q) y = 3 x + (r) y = log(3x ) (s) y = ln(x + 3) arctan(3x) (t) y = sin(3x+ π ) x +e x (u) y = 3 ln(4e x + x 5 ). (v) y = x x. 4. Ali je funkcija x x > g(x) = x x < + x x. odvedljiva (zvezno) v to kah x = oziroma x =? 5. Zra ni tlak blizu povr²ja pada priliºno za 0Pa na 0m pod morsko gladino pa pada tlak za 00kPa na 0m. Ali se zra ni tlak od vi²ine km nad povr²jem do 00m pod morsko gladino spreminja gladko? 6. Zapi²i primer povsod zvezne funkcije na intervalu ki ni odvedljiva v neskon no mnogo to kah. 7. Dani sta funkciji (a) f(x) = x x (b) f(x) = x 3. Dolo i tangento na graf funkcije v to kah (0 y 0 ) ali ( y ). Pod kak²nim kotom ta tangenta seka x-os? Ali katera izmed tangent na graf funkcije seka x-os pod kotom π 4? 0

11 Poi² i tudi vse tangente na graf funkcije g ki so vzporedne premici y = 9x t.j. poi² i vsaj eno tangento na graf funkcije s koecientom 9 e le-ta obstaja. Poi² i tangento na graf funkcije ki gre skozi to ko (0 0) t. j. oblike y = kx. 8. Natan no napi²i izjavi Rolleovega in Lagrangeovega izreka ter poi² i primer njune uporabe. 9. Razloºi kako s pomo jo odvoda poi² emo stacionarne to ke odvedljive funkcije f(x). Kako lahko ugotovimo ali je v stacionarni to ki doseºen lokalni minimum lokalni maksimum ali prevoj? (Ali to deluje vedno?) Svojo razlago nato utemelji ²e na primerih: (a) f(x) = x 3 3x + (b) f(x) = 3 x4 8x 3 + x (c) f(x) = x 3 e x (d) f(x) = x sin(x). 0. Natan no opi²i strategijo iskanja globalnih ekstremov za odvedljivo funkcijo f(x) denirano na intervalu ter dolo i globalni maksimum in minimum funkcije: (a) f(x) = x 3 3x + x [ 3 3] (b) f(x) = x( x) x [0 ) (c) f(x) = (x + 3x + )e x x [ 5 0] (d) f(x) = x + cos(x) x [0 π]..3 Uporaba odvoda. Zapi²i ²tevilo 07 kot vsoto dveh pozitivnih realnih ²tevil da bo njun produkt najve ji.. tevilo 4 zapi²i kot vsoto dveh nenegativnih realnih ²tevil da bo vsota kuba prvega ²tevila in kvadrata drugega ²tevila minimalna. 3. V polkrog z radijem v rtaj pravokotnik z maksimalno plo² ino. 4. Iz 0 metrov ºice naredimo model pokon ne pravilne tristrane prizme. Dolo i dolºino roba osnovne ploskve in dolºino vi²ine da bo prostornina prizme maksimalna. Odgovor utemelji!

12 5. V neki tovarni izdelujejo zaboje (brez pokrova) iz hrastovega lesa ki so oblike kvadra z volumnom m 3. (Debelino sten in dna zaboja zanemarimo.) (a) Zapi²i funkcijo ki predstavlja povr²ino (brez pokrova) zaboja s kvadratno osnovno ploskvijo v odvisnosti od ene stranice. Izra unaj tudi kak²ne naj bodo dimenzije zaboja da bo njegova izdelava najcenej²a. Kaj pa e morata biti dimenziji osnovne ploskve v razmerju :? (b) V tovarni izdelujejo tudi tanke pokrove za zaboje iz bukovega lesa. Poi² i funkcijo ki predstavlja ceno zaboja s pokrovom v odvisnosti od stranice zaboja e je cena tanke hrastovine 8 EUR/m cena tanke bukovine pa 4 EUR/m. Izra unaj pri kak²nih dimenzijah zaboja s kvadratnim dnom bodo stro²ki materiala minimalni. 6. Kaj je L'Hospitalovo pravilo? Kdaj ga lahko uporabi²? S pomo jo L'Hopitalovega pravila izra unaj naslednje limite e se da: (a) lim x 0 arctan x x (b) lim x 0 ln(+x) arctan(x) (c) lim x 0 arcsin(x) ln(+x) (d) lim x 0 arctan(3x) sin(x) x (e) lim x 0 e x (f) lim x 0 x. cos x 7. Dane so funkcije: (a) f(x) = x 4 6x + 8x + 4 (b) f(x) = x x (c) h(x) = x x (d) f(x) = 5e3x x+5 (e) f(x) = (x x )e x (f) f(x) = ln(x ) 3x (g) f(x) = ln(x) x (h) f(x) = arctan(x) x. Danim funkcijam dolo i denicijsko obmo je D f pole ni le asimptoto lokalne ekstreme intervale nara² anja ter padanja zalogo vrednosti ter nari²i njihove grafe. Dolo i tudi intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje danih funkcij. 8. Z Newtonowo tangentno metodo (napravi vsaj ²tiri korake): (a) poi² i pribliºek za 560. (b) pribliºno re²i ena bo cos x = x.

13 (c) poi² i pribliºek za ni lo g(x) = x 3 + x + na intervalu [ 0]. (Nasvet: Pribliºke izra unamo po rekurzivni formuli x n+ = x n f(xn) f (x n).).4 Nedolo eni integral. Natan no opi²i kaj pomeni da je funkcija F nedolo eni integral funkcije f. Ali ima funkcija lahko ve nedolo enih integralov? Odgovor utemelji. Nedolo ena integrala katerih funkcij sta funkciji F (x) = x sin(x) in G(x) = x e x?. Izra unaj naslednje nedolo ene integrale: (a) (x 3 + x 3 + 3x + 4)dx (b) ( 3 x 3 x + x 3 x )dx (c) ( x e x )dx (d) (3 sin(x) + 4 cos x)dx (e) 3 +x dx (f) 4x dx. 3. Natan no opi²i pravilo zamenjave spremenljivke v nedolo enem integralu in izra unaj naslednje nedolo ene integrale: (a) (x + ) 5 dx (b) 3x cos(x + 3π 4 )dx (c) cos x x (d) x 3 x + dx (e) x +x 3 dx (f) xe x dx (g) ln(x)+ dx x (h) (ln x) 3 + dx x(ln x) (i) (sin(x) + ) 5 cos(x)dx (j) sin x( 3 cos x+(cos x) ) dx cos x (k) sin x dx +cos (x) (l) sin x cos x 3 +cos x dx. 4. Natan no opi²i pravilo integracije 'per-partes' in izra unaj naslednje integrale: (a) x sin(x)dx (b) (x 3) cos(5x)dx (c) 3x cos(5x + π)dx 3 (d) (x + ) sin(x)dx (e) (x + )e 3x dx (f) (3x + x )e x dx (g) (x 3x + ) ln(x)dx (h) (x 4 + x) ln xdx. 5. Izra unaj nedolo ene integrale naslednjih racionalnih funkcij: 3

14 (a) x 3 +x+dx x (b) x 4 +x +x+dx x (c) x +x dx x + (d) x 3 dx x x 3 (e) x +x+ x x dx (f) (g) (h) x +9x+ dx (x ) (x+3) dx +8x 4x dx x + (i) 4x+3 x +x+ dx (j) x +x dx. x(x +).5 Dolo eni integral in uporaba integrala v ziki in geometriji. Dana je funkcija (a) f(x) = 3x + (b) f(x) = x 3. Naj bo D: 0 < < < 3 < delitev intervala [0 ]. Zapi²i 3 4 zgornjo in spodnjo Darbouxjevo vsoto funkcije f za dano delitev D ter ju izra unaj. Kaj geometrijsko predstavljata vsoti? Naj bo ²e D : 0 < < < < < 3 < delitev intervala [0 ] Zapi²i zgornjo in spodnjo Darbouxjevo vsoto funkcije f pri dani delitvi ter ju primerjaj z Darbouxjevima vsotama delitve D. Za poljuben n N naj bo D n : 0 < < <... < n < delitev n n n intervala [0 ]. Zapi²i zgornjo Darbouxjevo vsoto S(D n f) in spodnjo Darbouxjevo vsoto s(d n f) funkcije f pri dani delitvi D n ju izra unaj ter odtod dolo i lim n S(D n f) in lim n S(D n f) e obstajata? Direktno po deniciji (t.j. s pomo jo Darbouxjevih vsot) pokaºi da je funkcija f integrabilna oziroma dolo i f(x)dx. Kaj geometrijsko predstavlja? (Nasvet: Upo²tevaj da veljata formuli 0 n j= j = n(n+) n j= j3 = n (n+).) 4 4

15 . Zapi²i denicijo nedolo enega in (na kratko) denicijo dolo enega integrala. Kako sta oba integrala povezana (osnovni izrek integralskega ra una)? Izra unaj naslednja dolo ena integrala: 3 xdx 3 0 xdx + x. 3. Natan no napi²i izjavo osnovnega izreka integralskega ra una in povej koliko je odvod danih funkcij v to ki x = 3π/: F (x) = x sin t G(x) = t x 0 e t dt. 4. Avtomobila A in B v asu t = 0 mirujeta nato pa hitrost avta A v odvisnosti od asa t [ 0] (v s) opi²emo s funkcijo v A (t) = 6 t + (v m/s) pospe²ek avta B pa z a B (t) = cos(πx). Kako se v odvisnosti od asa spreminjata poti avtomobilov? Na prevoºeni poti avtomobilov predstavi osnovni izrek integralskega ra una. Kolik²no pot prevozita avtomobila med tretjo in osmo sekundo? Kolik²na je njuna povpre na hitrost v tem asu? 5. Koliko dela moramo opraviti e ºelimo iz rpati vodo iz bazena v obliki stoºca z globino 5 metrov in radijem 7 metrov. 6. Povej kako deniramo izlimitirani integral a intervalu [a ) in izra unaj integral a xe x dx. f(x)dx funkcije f na 7. Natan no razloºi kaj geometrijsko predstavlja dolo eni integral funkcije f na intervalu [a b] oznaka b f(x)dx ter izra unaj plo² ino lika a ki ga omejujejo krivulje z ena bami: 5

16 (a) y = 4 x x = y = 0. (b) y = x + x x-os (c) y = e x x = y = (d) f(x) = x 3 3x + y = (e) y = x y = x + (f) y = x x = x = x-os 3x + (g) y = x y = x y = (h) y = x y = x y-os. (i) f(x) = xe x y=0 x = (j) f(x) = ln(x) x y = 0 x = e. 8. Izra unaj plo² ino in teºi² e lika ki ga omejujejo krivulje z ena bami: (a) y = 4 x in y = 0 (b) y = x y = 0 in x =. (Nasvet: Koordinate teºi² a lika (x T y T ) ki ga omejujejo graf funkcije f(x) x = a x = b in x-os izra unamo po formulah x T = b xf(x)dx P a in y T = b P a (f(x)) dx kjer je P plo² ina tega lika.) 9. Izra unaj obseg lika podanega s krivuljami z ena bami: (a) y = x x x = y = 0 (b) y = x 3 y = x (c) y = x x y = x + y = 0 (d) y = ch(x) y = (e + e ). (Nasvet: Dolºino grafa funkcije g nad intervalom [a b] izra unamo po formuli L = b a + (g (x)) dx.) 0. Izra unaj volumen vrtenine ki jo dobimo e okrog x-osi zavrtimo lik ki ga omejujejo krivulje z ena bami: 6

17 (a) y = + x = x = 3 x (b) y = e x y = e x x = (c) y = x x x = y = 0. (d) x + y = 5 (e) f(x) = x g(x) = x 3 (f) y = sin(x) za x [0 π] x-os (g) y = xe x x = y = 0 (h) y = x y = 6 x y = 0. (Nasvet: Volumen vrtenine grafa funkcije g nad intervalom [a b] izra- unamo po formuli L = π b a (g(x)) dx.). Izra unaj povr²ino vrtenine ki jo dobimo e okrog x-osi zavrtimo lik ki ga omejujejo krivulje z ena bami: (a) y = 4 x x = in y = 0. (b) x + y = 5 (c) y = x in y = x. (d) y = x x = x + in y = 0 (Nasvet: Povr²ino vrtenine grafa funkcije g nad intervalom [a b] izra- unamo po formuli L = π b a g(x) + (g (x)) dx.). Izpelji formulo za prostornino in povr²ino prisekanega stoºca..6 Uporaba integrala pri re²evanju diferencialnih ena b. reda. Preveri ali so zapisane funkcije re²itve pripadajo ih diferencialnih ena b na levi: (a) y = 3x y = x 3 (b) y = y + y = 4e x (c) y + y = 0 y = 3 sin(x) (d) y y +y = 0 y = xe x.. Gra no t.j. s pomo jo slike polja naklonov poi² i obliko re²itve in nato re²i naslednje diferencialne ena be: (a) y = y + (b) y = + y (c) y = y x (d) y = x. 3. Re²i naslednje diferencialne ena be z lo ljivima spremenljivkama: 7

18 (a) y = y + 3 y(0) =. (b) y = y 4 y() = (c) y = + y y(0) = (d) y = x y y(0) =. (e) x y = y y() = (f) (x )y = y y(0) = (g) y = x( + y ) y(0) = 0 (h) y = ( + x )y y() = (i) xy y = + x 4 y() = (j) y = y e x y(0) =. 4. (a) y + y = x + (b) y y = e 3x (c) xy y = x (d) y y = x x3 (e) xy y = x y() = 0 (f) y +xy = 4x y(0) = (g) xy y = x 4 y() = (h) y +3x y = 6x y(0) =. 5. V hladilniku vzdrºujemo konstantno temperaturo 5 stopinj Celzija. Vanj postavimo mleko ki ima temperaturo 5 stopinj Celzija. Kolik²na je po eni uri temperatura mleka e se po pol ure ohladi na 5 stopinj Celzija. Upo²tevaj da je ohlajanje telesa premosorazmerno razliki med temperaturo telesa in temperaturo okolice. 6. Poi² i krivuljo skozi to ko ( ) za katero velja da katerakoli tangenta na krivuljo odreºe na x-osi odsek ki je enak dvakratniku abscise dotikali² a tangente. (Nasvet: Utemelji da je iskana krivulja re²itev diferencialne ena be y = y 0 nato pa re²i dobljeno diferencialno ena bo.) x x 7. Majhno kroglico z maso m vrºemo z vrha neboti nika navpi no navzdol z za etno hitrostjo v 0. Sila upora zraka na kroglico je premosorazmerna hitrosti kroglice. Upo²tevaj tudi da se sila teºe kroglice med letom ne spreminja. Kako se spreminja hitrost kroglice? 8. Blizu ºabje mlake ki vsebuje 500 l vode se razlije cisterna s kemikalijami. V mlako za ne s hitrostjo 0 l/min pritekati onesnaºena vodna raztopina ki vsebuje g kemikalij na l raztopine. Iz mlake pa izto asno preko majhnega poto ka z enako hitrostjo izteka dobro preme²ana zmes. Kako se s asom spreminja koli ina kemikalij v mlaki? 9. V rezervoarju je na za etku 00kg vodne raztopine s 00g raztopljene soli nato pa za ne vanj s hitrostjo 3kg/min pritekati raztopina z g soli v kg raztopine ven pa s hitrostjo kg/min izteka dobro preme²ana me²anica. Kako se v odvisnosti od asa t spreminja masa soli y(t) v rezervoarju? 8

19 (Nasvet: Opazi da je hitrost spreminjanja soli v rezervoarju y (t) v asu t enaka razliki hitrosti 'pritekanja' oziroma 'odtekanja' soli.) 9

20 Vektorji in matrike. Vektorji v trorazseºnem prostoru. Dani so vektorji (a) a = ( 0) b = ( ) in c = ( 3 ). (b) a = ( ) b = ( 0) in c = ( 0 ) (i) Izra unaj dolºini in skalarni produkt vektorjev b in c ter kot med njima. Zapi²i ²e vektorja a in a 4 dolºin in 4 ki sta vzporedna vektorju a ter dolºino vektorja a 3 b + c. (ii) Izra unaj vektorski produkt a b in dolo i plo² ino paralelograma ki ga napenjata vektorja a in b. (iii) Izra unaj me²ani produkt ( a b c) in ugotovi ali so vektorji a b c komplanarni t.j. leºijo na isti ravnini? ƒe je odgovor negativen dolo i prostornino piramide ki jo napenjajo vektorji a b in c. (iv) Ugotovi ali so vektorji a b in c linearno neodvisni? ƒe je odgovor pritrdilen izrazi vektor d = ( 3 ) kot linearno kombinacijo vektorjev a b in c.. Dolo i ²tevilo α R da (a) bosta a = ( α ) in b = ( 4 6 ) vzporedna. (b) bosta a = ( α α) in b = (6 3α α) pravokotna. (c) bodo a = (4 5 ) b = (α ) in c = (α 0) komplanarni t.j. leºali na isti ravnini. 3. Dane so to ke (a) A( 3) B( 7) in C( 4 4) (b) A( 0 ) B( 3 3 6) in C( 4 ). (i) Zapi²i vektorja AB in AC in ugotovi ali sta vektorja kolinearna t.j. leºita na isti premici. Ugotovi ali to ke A B C leºijo na isti premici? ƒe je odgovor negativen potem preveri ²e ali je trikotnik ABC pravokoten oziroma enakokrak. Izra unaj tudi dolºine stranic kote trikotnika in teºi² nic trikotnika. 0

21 (ii) Izra unaj vektorska produkta AB AC in CB AC. Kaj opazi²? Kaj nam ta vektorska produkta povesta o kolinearnosti to k A B in C oziroma o plo² ini trikotnika ABC? Dolo i ²e dolºine vi²in trikotnika. (iii) Dolo i to ko D da bo ²tirikotnik ABCD paralelogram. Izra unaj ²e kot med diagonalama paralelograma ABCD. (iv) Zapi²i vektorsko ena bo premice p skozi to ki B in C. Dolo i ²e premico ki gre skozi to ko A in je vzporedna premici p. (v) Poi² i ena bo ravnine na kateri leºijo to ke A B in C. 4. V prostoru sta dana vektorja F = ( ) in F = (0 ) ter to ki s koordinatami A(3 ) in B( 0). (a) Iz to ke A ºelimo majhen natovorjen vozi ek naravnost spraviti do to ke B. Izra unaj delo A ki ga skupaj opravita delavca e vle eta z vektorjema sil F = ( ) in F = ( 3) t.j A = ( F + F ) AB. (b) Peter vrti kolo ki je vpeto v to ki A. S silo F = deluje na kolo v to ki B. Kak²en je navor t.j. M = F AB? (c) Zapi²i vektorsko ena bo premice skozi to ko A in s smernim vektorjem F ter ugotovi ali to ka B leºi na tej premici. (d) Dolo i ena bo ravnine Σ z normalo F skozi to ko A. (e) Zapi²i ena bo ravnine dolo ene z vektorjema F in F in to ko B. 5. Dane so ravnina premica p in to ka T : (a) Σ: x 3y + z = p: x+ = y = z+3 in T ( 4 ) (b) Σ: x + y z = p: x = y = z T ( 0 ). (i) Ugotovi ali to ka T leºi na ravnini p. Dolo i dve to ki ki leºita na premici p. (ii) Zapi²i ena bo premice vzporedne premici p ki vsebuje to ko T. (iii) Zapi²i ena bo ravnine ki je pravokotna na premico p in (ne) vsebuje to ko T. (iv) Zapi²i ena bo ravnine ki vsebuje premico p in to ko T. (v) Ugotovi ali to ka T leºi na ravnini Σ. Dolo i dve to ki ki leºita na ravnini.

22 (vi) Zapi²i ena bo ravnine vzporedne ravnini Σ ki vsebuje to ko T. (vii) Zapi²i ena bo premice ki je pravokotna na ravnino Σ in (ne) vsebuje to ko T. (viii) Dolo i dve premici ki sta vzporedni z ravnino Σ in gresta skozi to ko T. (ix) Dolo i presek ravnine Σ in premice p. (x) Dolo i pravokotni projekciji to ke T na premico p in ravnino Σ ter prezrcali T ez p oziroma Σ. (xi) Izra unaj pravokotno projekcijo premice p na ravnino Σ. (Nasvet: Dolo i pravototni projekciji dveh to k na premici.) (xii) Dolo i projekcijo premice p na ravnino Σ v smeri ( ). (Nasvet: Dolo i projekciji dveh to k na premici.) 6. Ugotovi ali se dana objekta sekata oziroma pod kak²nim kotom: (a) premici x+ = y = z in x = t + y = t + z = t (b) ravnini 3x y + z = 4 in x + y + z = (c) ravnina 3x y z = in premica x = t y = t+ z = 3t.. Osnovne matri ne operacije in lastnosti matrik. Dane so matrike [ A = 0 B = C = D = ] [ ] 3 0 E = 0 [ ] 0 4 F = 3 G = H = (a) Ugotovi katere matrike lahko pomnoºi² s stolpci (t.j. vektorji) a = [3 ] T b = [ 3] T c = [ 0 ] T in katere z vrsticami a T = [3 ] b T = [ 3] c T = [ 0 ].

23 (b) Izra unaj tiste izmed produktov danih matrik ki so dobro denirani. Ali kateri matriki komutirata? (Matriki X Y komutirata e velja XY = Y X.) (c) Izberi tiste izmed izrazov A 3A CB + A (I + A)(B I 3 ) in BCD ki so dobro denirani ter jih izra unaj.. Dane so matrike [ (a) A = (b) A = (c) A = ] (d) A = (e) A = (f) A = Izra unaj determinante danih matrik e je to mogo e. Obrnljivim matrikam poi² i njihove inverzne matrike. 3. V trgovini A stane kilogram jabolk.5 EUR na kilogram kilogram banan pa EUR v trgovini B pa stanejo jabolka.5 EUR/kg banane pa. EUR/kg. (a) Babica Francka ºeli kupiti 3 kilograme jabolk in kilograma banan babica Zvonka pa ºeli kupiti kilograma jabolk in 3 kilograme banan. S pomo jo matrik enostavno izra unaj koliko denarja potrebujeta za nakup v trgovini A oziroma B. (b) Babica Francka ºeli v tem mesecu v trgovini za jabolka in banane skupaj porabiti 0 EUR v naslednem mesecu pa EUR. Babica Zvonka pa namerava v obeh mesecih v trgovini A za jabolka in banane skupaj zapraviti EUR v naslednem mesecu pa EUR. Koliko sadja dobita za ta denar v posameznem mesecu v posamezni trgovini? 4. Dani so pari matrik: 3 (a) A = 3 4 B =

24 (b) A = (c) A = (d) A = B = B = B = 0 3 [ 0 4 Poi² i matriki X in Y ki re²ita matri ni ena bi AX = B oziroma Y A = B e sta smiselno denirani. (Nasvet: Izra unaj inverz A matrike A.) 5. Dane so matrike: 3 (a) A = 0 B = I 3 C = (b) A = 0 B = 0 0 ]. 0 C = Re²i matri no ena no AX = BX + C e je le-to mogo e Dani sta mnoºici realnih matrik {[ ] a + b 4a (a) M = a b 3a + b } a b R (b) M = {X AX = XA} kjer A = [ 4 ]. Pokaºi da za poljubna X Y M in α β R velja αx +βy M (t.j. M je vektorski podprostor vse realnih matrik R ). Poi² i {A i } i 4 da bo M = { i α ia i α i R} t.j. bazo M. 7. Kak²ne preslikave v R oziroma R 3 predstavljajo matrike [ ] [ ] 0 0 (a) A = (b) A =

25 (c) A = (d) A = (e) A = (f) A = (Nasvet: Najprej transformiraj nekaj vektorjev.) 8. Poi² i matrike ki pripadajo naslednjim linearnim preslikavam: (a) zrcaljene prek izhodi² a v R 3 (b) A(x y) = ( x + y y) (c) A(x y) = x + y (d) A(x y z) = (x z y z + x) (e) A x = a x x = (x y z) a = ( ) (f) A x = ( a x) a x = (x y z) a = ( ) Dane so matrike 3 A = 5 6 B = C = (a) Pokaºi da je matrika A nilpotentna reda 3 (t.j. A 3 = 0) matrika B idempotentna (t.j. B = B) ter C 3 7C + 3C 5 = 0. Kaj lahko na podlagi tega sklepa² o lastnih vrednostih danih matrik? (b) Dolo i tudi karakteristi ne polinome danih matrik njihove sledi determinante ter lastne vrednosti. Kaj opazi²? 0. Poi² i vse matrike A za katere velja A = 0. Kak²ne so njihove lastne vrednosti?.. Izra unaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrik: [ ] [ 0 (a) A = (c) A = 0 4 [ ] [ 3 (b) A = (d) A = 0 4 ] ] 5

26 . Pokaºi da sta dana vektorja v in v lastna vektorja matrike A ter jima poi² i pripadajo i lastni vrednosti: (a) A = v = v = 0 (b) A = v = v = Pokaºi da sta ²tevili λ oziroma λ lastni vrednosti matrike A ter poi² i pripadajo e lastne vektorje: 3 3 (a) A = λ = 4 λ = 6 6 (b) A = λ = 5 λ = (c) A = 0 λ = 4 λ = 0 0 (d) A = λ = 0 λ = Izra unaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrik: 0 0 (a) A = 0 0 (c) A = (b) A = (d) A = Utemelji naslednjo trditev: ƒe je λ lastna vrednost matrike A potem je λ + 3 lastna vrednost matrike A + 3I.. 6

27 [ a 6. Poi² i dve razli ni matriki oblike b c vrednosti in. ] a b c R ki imata lastni 7. Z uporabo lastnih vrednosti in lastnih vektorjev skuciraj elipso z ena bo 3x 0xy 3y = 7. (Nasvet: Krivuljo lahko z ustrezno rotacijo spravi² v normalno obliko.).3 Uporaba matrik pri re²evanju sistemov linearnih ena b. Dani so sistemi ena b: (a) x y +z = 3x y z = 4 5x y 6z = 6. (c) x y +z = 3x y z = 4 5x y 6z = 8 (b) x +y +z = 6 x +y +z = x +3y 4z = 3 (d) x +y z = x +y z = 5 x +y +z =. Izra unaj determinanto matrike koecientov danega sistema ena b. Kaj nam determinanta pove o re²ljivosti sistema? S pomo jo Cramerjevega obrazca zapi²i re²itev sistema ena b. Dani sistem ena b re²i ²e z Gaussovo eliminacijo. Vzemi prvi dve ena bi danega sistema in dolo i vse njune skupne re²itve. Danemu sistemu dodaj ena bo x + y + z = in premisli ali je novonastali sistem re²ljiv?. Trije otroci se pogovarjajo o bombonih. Prvi ugotovi da bi imel skupaj kar 3 bonbonov e bi mu preostala dva dala vsak po polovico svojih. Drugi bi imel 8 bonbonov e bi mu preostala dva dala vsak po tretjino svojih bonbonov. Tretji pa bi imel 3 bonbonov e bi mu preostala dva dala po etrtino svojih sladkarij. Koliko bonbonov ima vsak od njih? 3. Zapi²i in re²i sistema treh (oziroma ²tirih) ena b in treh (oziroma ²tirih) neznank ki (a) ima natanko eno re²itev. 7

28 (b) ima neskon no re²itev. (c) nima re²itev. Zna² poiskati tako nehomogen kot homogen sistem? 4. Dani so sistemi ena b: (a) (b) (c) (d) (e) x + y z + w = x + y z + 3w = 5 3x y + z + w = 3 x + y + z w = 4. x + y + z w = 4 3x y + 3z w = x y + z w = 5 x y + z + w = 5 x y + 3z 4w = 4 x + 3y 4z + 5w = 7 x + 3y 3w = 7y + 3z + w = 3 x +y +w = y +4z +3w = 5. x y +z +5w = 9 x +y +3z = 0 x y + 3z 4w = 4 y z + w = 3 x + 3y 3w = 7y + 3z + w = 3 Izra unaj determinanto matrike koecientov danega sistema ena b. Kaj nam determinanta pove o re²ljivosti sistema? S pomo jo Cramerjevega obrazca zapi²i re²itev sistema ena b. Dani sistem ena b re²i ²e z Gaussovo eliminacijo. Vzemi prve tri ena be danega sistema in dolo i vse njihove skupne re²itve. Zapi²i re²itev sistema petih ena b ki ga dobimo e danemu sistemu dodamo ²e eno ena bo x + y + z + w =. 5. V prostoru R 3 so dani ²tirje vektorji a = [ 3 5] T b = [ ] T c = [ 6] T in d = [ 4 6] T. Izrazi vektor d kot linearno kombinacijo vektorjev a b in c e je to mogo e. (Nasvet: Re²uj ustrezni sistem ena b.) 8.

29 6. Tulipan stane 6 EUR gerbera stane EUR rde a vrtnica 3 EUR nageljni pa stanejo EUR. Miha ima 95 EUR in ºeli kupiti 90 roº pri emer mora biti gerber in nageljnov skupaj dvakrat toliko kot vrtnic in tulipanov skupaj. Z re²evanjem ustreznega sistema ena b ugotovi kak²no izbiro ima? Poi² i vse moºnosti. 7. tirje mu²ketirji se pogovarjajo o svojem premoºenju. Prva dva zaporedoma ugotovita da bi imela po oziroma po 8 zlatnikov e bi preostali trije vsakemu od njiju razdali po polovico svojega premo- ºenja. Tretji bi imel 0 zlatnikov e bi mu preostali trije dali vsak po tretjino svojih zlatnikov. ƒetrti pa je ugotovil da imajo skupaj 36 zlatnikov. Zapi²i ustrezni sistem linearnih ena b in ga nato re²i z metodo Gaussove eliminacije. Koliko zlatnikov ima vsak od mu²ketirjev? (Opozorilo: Premoºenje katerega od mu²ketirjev lahko ²teje tudi 0 zlatnikov.) 8. Dana sta sistema ena b (a) (b) x +y +z = 4x 7y +az = 3 x 3y =. ax y +z +5w = 4 x +y +w = x +y +3z = 0 y +4z +3w = kjer je a neka realna konstanta. Izra unaj determinanto matrike koecientov danega sistema v odvisnosti od parametra a. Kaj lahko na podlagi determinante sklepa² o re²ljivosti tega sistema ena b? Ugotovi za katere vrednosti parametra a je dani sistem re²ljiv in koliko re²itev ima. Poi² i tudi vse re²itve danega sistema v odvisnosti od parametra a. 9

30 3 Realne funkcije ve spremenljivk 3. Osnovne lastnosti in zveznost. Dolo i denicijska obmo ja naslednjnih funkcij: (a) f(x y) = + y x (b) g(x y) = + x x y (c) f(x y) = log(x) y (d) f(x y) = x y (e) f(x y) = log(x y) (f) f(x y) = log(x + ).. Poi² i nivojske krivulje ter opredelite in skicirajte grafe danih funkcij ve spremenljivk: (a) g(x y) = x (b) g(x y) = x + y (c) g(x y) = xy (d) g(x y) = x + y (e) g(x y) = 4x + y (f) g(x y) = x + y. 3. Zapi²i funkcije ve spremenjivk ki predstavljajo (a) povr²ino valja v odvisnosti od vi²ine in radija. (b) volumen pravilne ²tiristrane piramide v odvisnosti od njegovih stranic in vi²ine. (c) prevoºeno pot avtomobila ki vozi enakomerno pospe²eno v odvisnosti od asa in pospe²ka. (d) skupni upor R s treh zaporedno vezanih upornikov z upori R R in R 3 v sklenjenem enosmernem elektri nem krogu e velja R s = R + R + R Poi² i obmo ja zveznosti danih funkcij: (a) f(x y) = ln(x + y ) (b) f(x y) = cos( xy ) (c) f(x y) = { xy x +y x y 0 0 sicer (d) f(x y) = (e) f(x y) = (f) f(x y) = { x y x y 0 x +y 0 sicer { x y 0 x +y 0 sicer { sin(xy) x 0 x 0 sicer. 30

31 3. Parcialni odvodi ekstremi funkcij. Napi²i denicijo parcialnih odvodov f(xy) in f(xy) funkcije f(x y) x y v to ki (a b) in po deniciji izra unaj parcialni odvod x sin y v to ki x ( π).. Izra unaj vse parcialne odvode naslednjih funkcij ter dolo i gradiente v to ki ( 0) e obstajajo: (a) f(x y) = 5xy + 3 (b) f(x y) = yx 3 + xy 3 (c) f(x y) = x 4 + y 4xy + (d) f(x y) = y x 3 y + x (e) f(x y) = x 4 + sin(x y) (f) f(x y) = sin(3x) cos(y) + 4 (g) f(x y) = e y sin(3x + y) (h) g(x y) = (x +y ) arcsin(x) (i) f(x y) = (x 3y )e x (j) f(x y) = yex ln(x)+y (k) f(x y) = sin(xy) x +y (l) f(x) = (x y )e x (m) f(x y) = (+xe y ) cos(x+y) (n) f(x y) = xy cos(x + 3y) (o) f(x y) = (x + y)e xy (p) f(x y) = (x + y) log(x + y) (q) f(x y) = cos(x+y) x y (r) f(x y) = cos(x+3y) xy (s) f(x y) = sin(xy) +x +y (t) f(x y) = 3 x + y (u) f(x y) = sin(x + 3y)e xy. (v) f(x y) = log(3x e y ) (w) f(x y) = x y (x) f(x y z) = ey x+z + xyz. 3. Dani sta funkcija f in parcialna diferencialna ena ba: (a) f(x y) = ln(x + y ) (b) f(x y) = xy + x sin( y x ) x f x + y f y =. x f x f (x y) + y (x y) = xy + f(x y). y Dolo i denicijsko obmo je funkcije f in ga skiciraj. Dokaºi da je funkcija f re²itev dane diferencialne ena be. 4. Dana je funkcija u(x) = arctan( y x ). Izra unaj u x + u y. 5. Zapi²i ena bo tangentne ravnine na elipsoid z ena bo x + y + z = v 4 9 to ki ( 0 ). Poi² i tudi tangetne ravnine ki so vzporedne ravnini x + y + z = 3. 3

32 6. Razvij funkcijo v Taylorjevo vrsto okrog to ke (0 0) do vklju no lenov tretjega reda: (a) f(x y) = e x log( + y) (b) f(x y) = e x sin y + xy + x Natan no opi²i strategijo iskanja lokalnih ekstremov za odvedljivo funkcijo dveh spremenljivk ter dolo i lokalne maksimume in lokalne minimume naslednjih funkcij: (a) f(x y) = 3x xy+y 5y (b) f(x y) = x + y 4 4xy + (c) f(x y) = x 3 + y 3 3xy (d) f(x y) = x 3 x + xy y (e) f(x y) = 3x y + 6xy 3y (f) f(x y) = x y(4 x y) (g) f(x y) = 3 sin(x) + y +. (h) f(x y) = (x 3y )e x (i) f(x y) = (x y )e x (j) f(x y) = ln(x +y) 3y. 8. Opi²i kako lahko poi² emo maksimalno ali minimalno vrednost funkcije dveh spremenljivk f(x y) pri pogoju g(x y) = c kjer je c konstanta ter dolo i najve jo in najmanj²o vrednost funkcije: (a) f(x y) = 3x xy + 3y pri pogoju g(x y) = x + y = 4 (b) f(x y) = 5xy + 3 pri pogoju x + y (c) f(x y) = x 3 + y 4 pri pogoju x + y (d) f(x y) = x + y 4 4xy + pri pogoju 0 x y 8 (e) f(x y) = x + (y + ) xy na krogu z neena bo x + y 4 (f) g(x y) = x + (y + ) xy na kvadratu A = [ ] [ ]} (g) f(x y) = x y(4 x y) na T = {(x y) R x y 0 x+y 6} (h) f(x y) = x 3 + y 3 3xy na kvadratu [ ] [ ] (i) f(x y) = x 3 + y 3 3xy na krogu z neena bo x + y 4. (Nasvet: Posebej dolo i ekstremne vrednosti ki jih doseºe funkcija na robu oziroma v notranjosti obmo ja.) 9. Zapi²i ²tevilo 5 kot vsoto treh pozitivnih realnih ²tevil da bo vsota prvega ²tevila in kubov drugih dveh ²tevil minimalna. 0. tevilo zapi²i kot vsoto treh pozitivnih ²tevil da bo produkt prvega in kvadratov drugih dveh maksimalen. 3

33 . V polkrog z radijem ali elipso z ena bo x z maksimalno plo² ino. + y 4 9 = v rtaj pravokotnik. Na elipsi x + y = poi² i to ke ki so najbolj oddaljene od premice z 5 4 ena bo 3x y = 0. (Nasvet: Upo²tevaj da je razdalja to ke (x 0 y 0 ) od premice z ena bo ax + by + c = 0 enaka ax 0+by 0 +c a.) +b 3. Na elipsoidu z ena bo x + y najmanj oddaljene od + z 3 = poi² i to ke ki so najbolj ali (a) ravnine x + y + z = (b) to ke (0 0 ). Nasvet: Upo²tevaj da je razdalja to ke (x 0 y 0 z 0 ) od ravnine z ena bo ax+by+cz+d = 0 enaka ax 0+by 0 +cz 0 a kvadrat razdalje do to ke (x y z) +b pa (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ). 4. Dolo i dimenzije kartonaste ²katle brez pokrova z volumnom da porabimo im manj kartona. 5. Z metodo najmanj²ih kvadratov (a) poi² ite linearno funkcijo f(x) = αx+β α β R ki se kar najbolj prilega to kam ( 0) (0 ) ( 0) in ( ). (b) poi² ite algoritem za iskanje kvadratne funkcije f(x) = ax +bx+c a b c R ki bi se najbolj prilegala danim podatkom. (Opomba: Metoda najmanj²ih kvadratov: najti minimum funkcije kvadrata 'napake' R = m i= (y i f(x i )) pri podatkih (x i y i ) za i =... 4.) 3.3 Mnogoterni integral. Dani so integrali: (a) 0 dy 0 (x + y)dx (b) dx 6x (x + y)dy 0 x (c) dx x x ydy x (d) 0 dx x 0 (x xy)dy y (e) dy y x dx 0 (f) 0 dx x x x dy 33

34 (g) dz dy y (x + y + z)dx (h) dz z dy y (x + y + z)dx Dolo i obmo je integracije integrala in zamenjaj vrstni red integracije pri emer ustrezno spremeni meje integracije. Izra unaj dane integrale.. Obmo je D je enako (a) [ ] [0 ] (b) {(x y) [0 ] [0 ] x y} (c) polkrogu v zgornji polravnini s sredi² em v (0 0) in radijem (d) {(x y) R x y x} (e) obmo ju med krivuljama y = x in y = x. Zapi²i meje integracije v integralu xydxdy ter nato zamenjaj tudi vrstni red integracije pri emer ustrezno spremeni meje D integracije. Izra unaj integral D xydxdy. 3. S pomo jo polarnih koordinat (t.j. x = r cos ϕ y = r sin ϕ J = r) izra unaj integrale (a) dx x x + y 0 0 dy. (b) D x + y dxdy kjer je D krog s sredi² em (0 0) in radijem (c) D xy dxdy kjer je D obmo je med krivuljami y = x y = x in x-osjo. 3.4 Uporaba mnogoternega integrala v ziki in geometriji. Izra unaj plo² ino in teºi² e lika L ki ga omejujejo krivulje z ena bami x + y = y = 0 in y = x +.. S pomo jo sferi nih (t.j. x = r cos ϕ sin ψ y = r sin ϕ sin ψ z = r cos ψ J = r sin ψ) oziroma cilindri nih koordinat (t.j. x = r cos x y = r sin x in z = z J = r) izra unaj integrala D z dxdydz e je obmo je D podano kot 34

35 (a) krogla s sredi² em v izhodi² u in z radijem (b) polkrogla v zgornjem polprostoru s sredi² em v izhodi² u in z radijem (c) valj z osnovno ploskvijo na ravnini z = 0 s sredi² em v izhodi² u in z radijem ter z vi²ino. (d) stoºec z osnovno ploskvijo na ravnini z = 0 s sredi² em v izhodi² u in z radijem ter z vi²ino. (e) ki ga omejujeta sfera z ena bo x + y + z = 4 in stoºec podan z x + y = 3z z 0. (Opomba: Sferi ne koordinate lahko vpeljemo tudi preko x = r cos ϕ cos ψ y = r sin ϕ cos ψ z = r sin ψ J = r cos ψ.) 3. Izra unaj volumen telesa ki ga omejujejo ploskve: (a) z = x + y z = 0 x = 0 x = y = y = (b) z = x + y x = 0 x = y = 0 z = 0 x = y (c) z = x y z = 0 y = x y = x (d) x + y = z x + y = 4z (e) z 3 = x + y (z ) + x + y = ter je vsebovano v notranjosti stoºca. 4. V prostoru je podano telo K in njegova gostota ρ: (a) K = {(x y z) x + y + z ρ(x y z) = y z 0} (polkrogla) z gostoto (b) K = {(x y z) R 3 x + y y 0 z [ ]} (polvalj) z gostoto ρ(x y z) = + yz (c) K = {(x y z) R 3 x + y z [0 ]} (valj) z gostoto ρ(x y z) = (x + ) + z. Izra unaj maso in koordinate teºi² a danega telesa: M = ρ(x y z)dxdydz K x T = xρ(x y z)dxdydz M K y T = yρ(x y z)dxdydz M K z T = zρ(x y z)dxdydz. M K 35

36 4 Re²itve 4. Realne funkcije ene spremenljivke 4.. Elementarne funkcije limite in zveznost ter primeri iz zike. (a) premik navzgor v smeri osi y in desno v smeri x-osi (b) razteg vzdolº osi y za faktor in vzdolº x-osi za faktor (c) zrcaljenje ez y-os (d) zrcaljenje ez x-os (e) zrcaljenje ez izhodi² e (f) zrcaljenje ez premico y = x e je f injektivna.. lihe funkcije: (a) (d) (f) soda funkcija: (b) ne lihi ne sodi funkciji: (c) (e). 3. (a) T F = 9T 5 C + 3 inverzna funkcija T C = 5(T 9 F 3). P (b) inverzna funkcija r(j) =. 4πj (c) V (r) = 3πr V inverzna funkcija r(v ) =. 3π (d) inverzna funkcija v(m) = ( m 0 )c m. (e) P (x) = (6 x)(8 x)x x (0 3) ni njektivna. (f) t(h) = gh inverzna funkcija h(t) = gt. 4. (a) D f = R ni li x = 3 x = 5. (b) D f = R ni le x = x 3 = (c) D f = R ni le x 3 = 3 x 4 = x 5 = 3 (d) D f = R \ { 3} ni la x = 3 pola x = 3 x 3 = asim. y = 0 (e) D f = R \ { 4 4} ni la x = pola x 3 = 4 x 4 = 4 asimp. y = (f) D f = R \ { 0} ni le x = x 3 = x 4 = poli x 5 = 0 x 67 = asim. y = x 4. 36

37 (a) D f = R asimptota y = 0 (b) D f = R asimptota y = (c) D f = R asimptota y = (d) D f = R (e) D f = R + pol x = 0 (f) D f = ( ) pol x =. 6. (a) eksponentni model: s E (t) = 900( )t t v desetletjih (b) linearni model: s L (t) = 900( + t 6 ) t v desetletjih krat. 8. (a) D f = R ni le N k = π + kπ k Z osnovna perioda π lok. maksimum x k = kπ f(x k ) = k Z lok. minimum v x k = π + kπ f(x k ) = k Z (b) D f = R ni le N k = π + kπ k Z osnovna perioda π 6 lok. maksimum x k = π + kπ f(x 3 k) = k Z lok. minumum v x k = 5π + kπ 3 f(x k ) = k Z (c) D f = R ni le N k = ± π + 4kπ k Z osnovna perioda 4π 3 lok. maksimum x k = π + 4kπ f(x k ) = 3 k Z lok. minimum x k = 4kπ f(x k ) = k Z (d) D f = R \ { π k Z} ni le N 4 k = π poli P 4 k = π + kπ k Z osnovna perioda π k Z. (e) D f = [ ] ni la x = 0 (f) D f = R ni la x = asimptoti y = π 4 ± π. 9. s (t) = s 0 sin(ω 0 t). 0. y(t) = sin( π t + b) (a) x = (b) x = (c) x k = (± +k+ )π k Z 3 (d) x = π 4. π 4. (a) n > 00 (b) n > ɛ. 3. (a) 3 (b) (c) + (d) 0 (e) 0 (f) (g) e (h) e (a) a ± n = ± 0 n : lim n f(a ± n ) = lim n 4 +(± 0 n ) = 4 = 37

38 (b) 9 (c) 0 (d) δ(ε) = ε +ε lim x f(x) = = f() f zvezna v x = (e) a ± n = ±0 n : lim n f(a ± n ) = lim n 4 ±0 n = 0 (f) x > 399 (g) x > 4 ε lim x f(x) = 0 (h) lim x f(x) = 0 (i) a ± n = ± 0 n : lim n f(a ± n ) = lim n 4 ±0 n = ± lim x ± f(x) = ±.. x < (a) lim x 0 sin(x) x = (b) Ne. 3. f(x) = [x + ] kjer [ ] ozna uje funkcijo celi del ²tevila. 8. (a) D f = R \ ( ) lim x ± f(x) = 0 lim x ± f(x) = (b) D f = ( ) lim x + f(x) = (pol) lim x f(x) = (asim. y = 3 ln x) (c) D f = R lim x f(x) = 0 (asim. y = 0) (d) D f = R\{} lim x ± f(x) = ± (pol) lim x ± f(x) = (asim. y = ) (e) D f = R lim x ± f(x) = ± (asim. y = x ) (f) D f = R lim x ± f(x) = ± π (asim. y = ± π ) (g) D f = R \ {0} lim x 0 ± f(x) = ± π lim x ± f(x) = 0 (asim. y = 0) (h) D f = R \ {0} lim x 0 f(x) = lim x ± f(x) = 0 (asim. y = 0). 4. (a) (g) 3 (m) (s) 0 (b) 3 4 (h) 5 (n) (t) (c) 3 (i) (o) 3 4 (u) 0 (d) (e) (j) (k) e (p) 3 (q) (v) (w) e 3 (f) 3 4 (l) e 6 (r) (x) e 4. 38

39 6. lim x f(x) = = lim x + f(x) = f( ) f zvezna v x = lim x g(x) = lim x + g(x) = 4 g ni zvezna v x = lim x g(x) = = lim x + g(x) = f() g zvezna v x =. a = 3 b =.. f(x) = arcsin(sin(x)). 3. (a) Da. (b) Ne. 4. Bisekcija na vseh primerih poteka na podoben na in. Intervale razpolavljamo ter i² emo take podintervale da funkcija v kraji² ih zavzame vrednosti razli nega predznaka. Oglejmo si primer (a). Interval [ ] je ºe tak zato ga razdeli na manj²a podintervala [ 3] in [ 3 ] ter izberi tistega ki zagotovo vsebuje ni lo. To je [ 3 ] saj f(3 ) < 0 in f() > 0. Tega nato razdeli na podintervala [ 3 7] in [ 7 ] ter spet izberi tistega ki zagotovo 4 4 vsebuje ni lo. Ker je f( 7) > 0 je to [ 3 7 ] naslednji pribliºek za ni lo 4 4 pa je 3 njegova natan nost pa je na. Postopek lahko nadaljujemo 8 8 e ºelimo dobiti ²e bolj²i pribliºek. 4.. Odvod in osnovne lastnosti. (a) f () = lim x x 3 +x+ 5 x (b) f () = lim x x x (x ) = lim 3 +(x ) x = 8 x = lim x ( x )( x+ ) (x )( x+ ) (c) f (0) = lim x 0 x+ x = lim x 0 x x(x+) =.. s (t) = t s (t) = s (t) = 0 t s (t) = 5t 3. = 3. S pomo jo pravil za odvajanje enostavno odvajamo dane funkcije. 4. Funkcija g je odvedljiva v x = ni pa odvedljiva v x =. 5. Ne na gladini funkcija zra nega tlaka ni gladka. 6. f(x) = sin x. 7. (a) tangenta v (0 ): y = x ; x-os seka pod kotom 3π 4 tangenta v ( ): y = x 3; x-os seka pod kotom π 4 tangenta vzporedna y = 9x : y = 9x 7 tangenta skozi (0 0): ne obstaja. 39

40 (b) tangenta v (0 0): y = 0; x-os seka pod kotom 0 tangenta v ( ): y = 3x ; x-os seka pod kotom arctan(3) tangenta vzporedna y = 9x : y = 9x 6 3 tangenta skozi (0 0): y = Vzemimo f(x) = x 3 + x x + 3 ki je odvedljiva na intervalu [0 ]. Zaradi lastnosti f(0) = f() = 3 ima po Rolleovem izreku stacionarno to ko ξ (0 ) t.j. f (ξ) = 0. Po Lagrangeovem izreku pa obstaja η (0 ) da je f (η) = f() f(0) 0 = (a) lok. min: x = lok. maks: x = (b) lok. min: x = 0 prevoj: x 3 = 0. (a) min: m = 0 maks: M = 0 (b) min: m = 6 maks: M = (c) lok. min: x = 3 prevoj: x = 0 (d) lok.min: x k = kπ + π k Z 3 lok.maks: x k = kπ π 3 (c) min: m = e maks: M = (d) min: m = 3 maks: M = π π 4..3 Uporaba odvoda. x = y = 07.. x = 4 3 y = x = R y = R. 4. a = v = (a) kvadratna osnovna ploskev: a = 3 4 v = 3 pravokotna osnovna ploskev: a = 3 4 v = 3 (b) a = v = (a) (b) (c) (d) 3 (e) 0 (f) 0 (brez). 7. (7a) D f = R ekstrem: x = prevoja: x = x 3 = 40

41 (7b) D f = [ ] ekstrema x = ± prevoj x 3 = 0 (7c) D f = [0 ) \ {} lim x f(x) = (7d) D f = R \ { 5 } ekstrem x = 3 6 lim x f(x) = 0 4

42 (7e) D f = R ekstrema x = ± 6 prevoja x = 3 ± 0 lim x f(x) = 0 (7f) D f = ( ) ekstrem x = 5 6 (7g) D f = (0 ) ekstrem x = e prevoj x = e 3 lim x f(x) = 0 lim x 0 + f(x) = 4

43 (7h) D f = R ekstrema x = ± prevoj x 3 = 0 8. (a) x = 0 x = 4 x 3 = 3 3 x 4 = (b) x = x = x 3 = x 4 = (c) x = x = 0.8 x 3 = 0.77 x 4 = Nedolo eni integral. f(x) = sin x + x cos x g(x) = xe x + x e x.. (a) x4 + x 5 + 6x + 4x + C 5 (b) 3x 4 3 6x + ln x C 4 x (c) (ln ) x ex + C 3. (a) (x + )6 + C (b) 3 sin(x + 3π) + C 4 (c) sin( x) + C (d) (x + ) C (d) 3 cos(x) + 4 sin x + C (e) 3 arctan x + C (f) arcsin(x) + C. (e) 3 (x + ) 3 + (x + ) + C (f) e x ) + C (g) (ln x ) 3 + ln x + C 3 (h) (ln x ) + ln ln x + C 43

44 (i) 6 (sin(x) + )6 + C (j) 3(cos x) 3 (cos x) + C (k) arctan(cos x) + C (l) 5 3 (cos x) (cos x) 3 + C 4. (a) cos(x) + sin(x) + C 4 (b) (x 3) sin(5x) + cos(5x) + C 5 5 (c) 3x sin(5x + π) + 3 cos(5x + π) + C (d) 4x sin x + (5 x ) cos x + C (e) 3 (x + )e 3x 9 e 3x + C (f) (3x 5 x + 3)e x + C (g) ( x3 3x x6 + x) ln x + 3x x + C (h) ( x5 x4 + x)(ln x ) x + C (a) x3 +3 x + x log (x ) + C (b) 3 x4 +8 x x +68 x + 9 log (x ) + C (c) log (x + ) arctan x + x + C (d) 5 log(x+) + 3 log(x 3) + C 4 4 (e) log(x+) + x + 7 log(x ) + C 3 3 (f) log (x + 3) 3 + log (x ) + C x arctan( x) (g) + C 4 (h) log (x + ) + C (i) log (x + x + ) arctan ( x+ (j) log(x +) log x + arctan x + C ) + C 4..5 Dolo eni integral in uporaba integrala v ziki in geometriji. (a) Zgornja in spodnja Darbouxjeva vsota za delitev D: s(d f) = 0 + ( ) + ( 5) + ( ) S(D f) = ( ) + ( 5) Na enak na in izra unamo tudi vsote za delitev D in opazimo da velja S(D f) S(D f) s(d f) s(d f). Zgornja in spodnja Darbouxjeva vsota za delitev D n : s(d n f) = n j= ( 3 j + ) = 3(n+) + n n n n S(D n f) = n j=0 ( 3 j + ) = 3(n ) + n. n n n Sledi f(x)dx =. 0 44

45 (b) Zgornja in spodnja Darbouxjeva vsota za delitev D: s(d f) = 0 + ( 3 3 )3 + ( 6 )3 + ( )3 4 S(D f) = ( 3 )3 + ( 3 )3 + ( ) Na enak na in izra unamo tudi vsote za delitev D in spet opazimo da veljajo enake neenakosti kot zgoraj. Zgornja in spodnja Darbouxjeva vsota za delitev D n : s(d n f) = n j= ( j n )3 = (n ) + n n 4n 4 S(D n f) = n j=0 ( j n )3 = (n+) + n. n 4n 4 Sledi f(x)dx = xdx = 5 3 xdx 0 +x =. 3. F ( 3π ) = 3π G ( 3π ) = e ( 3π ). 4. Ker je s = v je s(t) = v(t )dt premik avta v asu med t 0 in t pa enak s [t0 t] = s(t) s(t 0 ). Po drugi strani v asovnem intervalu [t j t j ] avto naredi med M j (t j t j ) in M j (t j t j ) poti kjer je m j = min t [tj t j ] v(t) in M j = max t [tj t j ] v(t) skupaj na [t 0 t] pa potem n n m j (t j t j ) < s < M k (t j t j ). j= j= Ker je v zvezna potem sledi s [t0 t] = t t 0 v(t )dt. Za avto A imamo s A (t) = v(t)dt = 4 (t + ) 3 + s 0. Med tretjo in osmo sekundo avto prevozi pot s A38 = (4 (t + ) 3 + C) = 76 povpre na hitrost v tem asu pa je v A38 = Podobne zveze dobimo med pospe²kom in hitrostjo v = a in v(t) = a(t )dt. Sledi torej v B (t) = v B (0) + sin(πt) ter potem ²e π s B (t) = s(0) + v(0)t cos(πt). Pri prevoºeni poti oziroma povpre ni π hitrosti moramo upo²tevati da se je smer voºnje avtomobila spreminjala zato je povpre no hitrostjo med tretjo in osmo sekundo enaka v B38 = ( s 5 B s B78 ) =. π 5. Podajmo skico re²itve natan nej²o analizo pa naj napravi bralec sam. Ker je radij bazena na globini h enak 7 (5 h) je zato za dvig vode 5 med globinama h j in h j + h j potrebno opraviti delo A j ki je blizu 0π 49(5 h 5 j) h j h j. Za dvig vode iz celotnega bazena potem opravimo delo A 98π j (5 h 5 j) h j h j ki je za dovolj no delitev poljubno

46 blizu ustrezni Riemannovi vsoti funkcije f(h) = 0π(5 h) h. Sledi da A = 5 0 f(x)dx. 6. e a. 7. (a) 0 4 xdx = 6 3 (b) ( x x + )dx = 9 (c) 0 (e x )dx = e (d) ((x3 3x+)+)dx = 7 4 (e) ( x+ (x ))dx = 9 (f) (g) 0 )dx = (ln( 4)) 3x xdx + dx = 5 x 3 ( (h) 4 0 ( x (x ))dx = 6 3 (i) 0 (e x )dx = e (j) e ( ln x x )dx =. 8. (a) P = 0 3 x T = P (b) P = 3 x T = P 9. (a) (b) 4 0 (c) 0 0 x(4 x )dx = 0 y T = 0 x xdx = 6 0 y T = P + 9 a xdx = 8 7 (( ) 3 ) + 6 P (4 x ) dx = ( x) dx = xdx = 8 (0 3 ) a 7 + 9xdx + + = 8 (( 3) 3 ) + + a 7 4 (d) ch(x)dx + 4 = sh() (a) π 3 (+ x ) dx = π( ln 3 ) (b) π sh(x)dx = π(ch() ) 0 (c) π 0 x5 dx = π 7 6 (d) 00π 3. (a) 8π 0 (b) 00π (c) π 4 (d) π xdx + 3π = π (e) π 0 (x x5 )dx = π 5 4 (f) π π 0 (sin(x)) dx = π (g) π 0 x e x dx = π 4 (e ) (h) π( 4 0 xdx (6 x) dx) = 6π. + xdx + π = π( ) + π xdx + π ( x + ) dx = π(5 5 ) + π Stoºec z radijema osnovnih ploskev r r in vi²ino v dobi² e nad intervalom [0 v] zavrti² premico y = r r x + r v okrog x-osi. 46

47 4..6 Uporaba integrala pri re²evanju diferencialnih ena b. reda. Enostavno enkrat oziroma dvakrat odvajamo funkcije in dobljeno vstavimo v ena bo.. (a) y = ae bx + c; b = in c =. (b) y = a arctan(bx) + c; a = b = (c) y = ax (d) y = ax + bx + c; a = b = (a) y = 5 ex 3 (b) y = (4 x 5) 3 (c) y = tan(x + π) 4 (d) y = (3 x +) 3 3 (e) y = e x 4. (a) y = e x ((x x+3) e x +c) (b) y = ex (e x + c) (c) y = (c x ) x (d) y = x( x3 3 + c) (f) y = x x+ (g) y = tan( x ) (h) y = 6 x 3 +6 x (i) y = ( log x+3 x4 +) (j) y = e x. (e) y = x log x log x (f) y = e x ( e x 3) (g) y = x4 7 x 3 (h) y = e x3 ( e x3 3) 5. ena ba: dt dt = k(t 5) za etna pogoja: T (0) = 5 T ( ) = 5 re²itev: T (t) = 00 4 t ena ba: y y = za etni pogoj: y() = x re²itev: y =. x 47

48 7. ena ba: m dv +kv = mg (. Newtonov zakon) za etni pogoj: v(0) = v dt 0 re²itev: v(t) = mg kt + e k m (v 0 mg ). k dm 8. ena ba: = m za etni pogoj m(0) = 0 dt 00 re²itev: m(t) = 50 50e 00 t. 9. ena ba: y (t) = 3 y re²itev: y(t) = 3 za etni pogoj y(0) = 00 ( 00+t ) t t t (x+00) 4. Vektorji in matrike 4.. Vektorji v trorazseºnem prostoru. (a) (i) b c = 0 b = 5 b = 4 cos ϕ b c = 0 70 a = ( 0) a 4 = 4 ( 0) a 3 b + c = 66 (ii) a b = ( ) p a b = ( ) = 3 (iii) ( a b c) = vektorji a b c niso komplanarni V ( a b c) = 6 (iv) Vektorji a b c so linearno neodvisni d = 5 a c. (b) (i) b c = b = 5 b = cos ϕ b c = 0 a = 3 ( ) a 4 = 4 3 ( ) a 3 b + c = 8 (ii) a b = ( 4 3) p a b = ( 4 3) = 9 (iii) ( a b c) = 7 vektorji a b c niso komplanarni V ( a b c) = 7 6 (iv) Vektorji a b c so linearno neodvisni d = a + 6 b 7 c.. (a) α = 3 (b) α = 0 α = (c) α =. 3. (a) (i) AB = ( ) in AC = ( ) nista kolinearna (ii) AB AC = ( 9 9 0) = CB AC p( ABC) = 9 (iii) 0D = 0C + BA = ( 5 8) (iv) r = ( 7) + t( 3 3 3) (v) 9x + 9y = 7. (b) (i) AB = ( 4 3 5) in AC = ( 3 4 0) nista kolinearna (ii) AB AC = ( ) = CB AC p( ABC) = 5 6 (iii) 0D = 0C + BA = ( 7 6) 48

49 (iv) r = ( 3 3 6) + t( 7 5) (v) 50x 5y + 5z = (a) A = ( 3) ( 5 0 ) = 3 (b) M = ( 3 5) (c) r = (3 ) + t( ) (d) y + z = 3 (e) x + y + z =. 5. (a) (i) T p ( 3) ( 3 3 ) p (ii) p: x = z+ (iii) x + y + z = 5 (x + y + z = 0) (iv) x 4y + 0z = 34 (v) T Σ (0 0 ) ( 0 0) Σ (vi) x 3y + z = 5 (vii) x = y 4 3 = z+ ( x = y 4 3 = z+) (viii) x = y 4 = z+ = y 4 = z+ (ix) ( 3 8) (x) Projekcija T na p: ( 8 7 7); zrcalna slika: ( 9 ) Projekcija T na je ( ) zrcalna slika: ( 6 ) (xi) x 3 5 = y (xii) Ne obstaja. = 8 z (b) (i) T p (0 0 0) ( ) p (ii) p: x+ = y = z (iii) x + y + z = 0 (x + y + z = ) (iv) x 4y + z = 0 (v) T Σ ( ) ( 0 0) Σ (vi) x + y z = (vii) x+ = y = z ( x = y = z ) (viii) x+ = y = z ( x+ = y = z ) (ix) ( ) (x) Projekcija T na p: (0 0 0); zrcalna slika: ( 0 ). Projekcija T na Σ: (0 ); zrcalna slika: ( 3). (xi) x 6 3 = y 3 = z 7 3 (xii) x = y 0 = z. 49

50 6. (a) Premici se ne sekata. (b) V preseku je premica x = 5 t y = 7 3t z = t. Objekta se sekata pravokotno. (c) V preseku je to ka ( ). Objekta pa se sekata pod kotom π arccos( 7 ). 4.. Osnovne matri ne operacije in lastnosti matrik. (a) Aa a T A a T E a T F Bb b T B b T D Da Cb b T C Ec F b b T G Gc c T H Hb. (b) AE AF DA BC CB BD CD BG CG F B F C HC DE DF F D HD EH F G GH. (c) A 3A BCD. [. (a) det A = 3 A = (b) det A = 0 A ni obrnljiva 0 (c) det A = A = (d) det A = A = (e) det A = A = (f) det A = A = [ 3 (a) ] [ ] [ 3 5 ] [ 5 3 = 3 (b) ] (a) X = Y = ] [ 0 ] = [ ]. 50

51 0 0 (b) X = Y = 3 5 (c) X = ena ba Y A = B ni dobro denirana [ ] (d) ena ba AX = B ni dobro denirana Y = (a) X = 5. (b) X = [ ] [ ] a + b 4a c + d 4c 6. (a) α + β = a b 3a + b c d 3c + d [ ] (αa + βc) + (αb + βd) 4(αa + βc) = (αa + βc) (αb + βd) 3(αa + βc) + αb + βd {[ ] [ ]} 4 0 baza M: 3 (b) X Y M: A(αX + βy ) = αxa + βy A = (αx + βy )A {[ ] [ ]} 0 0 baza M: (a) Projekcija na x-os. (b) Vrteº okrog (0 0) za π. (c) Razteg za glede na (0 0 0) (a) A = (b) A = [ ] (c) A = (d) Zamenjava koordinat x y. (e) Projekcija na xy-ravnino. (f) Zrcaljenje ez xy-ravnino. 0 (d) A = (e) A = (f) A = (a) Z ustreznim potenciranjem in se²tevanjem matrik opazi da so dane matrike ni le ustreznih polinomov. Sledi da so med ni lami teh polinnomov tudi nekatere lastne vrednosti matrik. 5

52 0. (b) A (λ) = λ 3 det A = 0 Sled A = 0 λ 3 = 3 B (λ) = (λ )(λ λ 8) det B = 8 Sled B = λ 3 = λ = +± 33 C (λ) = λ λ 3 λ + 5 det C = 5 SledC = 7. [ ] 0 b in 0 0 [. (a) λ = v [ (b) λ = v [ (c) λ = 3 v [ ] [ 0 0 a b za b R b 0 a (d) λ = 3 v [ a b ] λ = v = ] λ = v = ] λ = v = ] λ = v = ] za a b 0. [ [ 0 [ [ 4. Pri danih A in v re²i enostavno ena bo Av = λv. (a) λ = λ = 0 (b) λ = λ = Preveri da za dano matriko A in pripadajo e ²tevilo λ velja enakost det(a λi 3 ) = 0 nato pa re²i ena bo (A λi 3 )v λ = 0 t.j. poi² i lastni vektor v λ. (a) v = [ ] T v 4 = [ 0 ] T v 4 = [0 ] T (b) v 5 = [ 3] T v 3 = [ 0 ] T v 3 = [0 ] T (c) v 4 = [ ] T v = [0 ] T (d) v 3 = [ ] T v 0 = [ ] T 4. Ozna imo z v λ lastni vektor za lastno vrednost λ: (a) v = [0 ] T v = [0 ] v = [ 0 0] (b) v 3 = [ 5 0] T v 4 = [ 0] v = [3 5 5] (c) v 3 = [ 3 ] T v 4 = [ ] v 0 = [ 6 3] (d) v = [ ] T v = [ ] v = [ 0 ] 5. Av = λv: (A + 3I)v = (A(Av) + 3v) = (A(λv) + 3v) = (λ + 3)v. ] ] ] ]. 5

53 6. Veljati mora a λ b c λ = ( λ)( λ) od koder sledi ac b = [ ] [ ] 4 in a + c = 3. Dve izmed re²itev sta denimo in. 0 6 [ ] [ ] [ ] 3 5 x x 7. Ozna i v = in v 5 3 y = y da dobi² zvezo 3x 0xy + 3y = v T Av = v T P T AP v kjer je P ustrezna matrika in v = P v. Nadalje opazi da ima A lastni [ vrednosti ] 8 in 8 [ ter pripadajo a ] enotska lastna vektorja v 8 = in v 8 =. Matrika [ ] P = predstavlja rotacijo za kot π zato dobi² da je dana 4 krivulja dobljena z rotacijo krivulje 0 = 3x 0xy + 3y 7 = 8(x ) + 8(y ) 7 = za kot π Uporaba matrik pri re²evanju sistemov linearnih ena b. (a) Dani sistem: x = t y = t 3 z = t t R Prvi ena bi: x = t y = t 3 z = t t R tiri ena be: x = 9 7 y = 3 7 z = 7. (b) Dani sistem: x = y = z = 3 Prvi ena bi: x = y = t z = 5 t t R tiri ena be: ni re²itve. (c) Dani sistem: ni re²itve Prvi ena bi: x = t y = t 3 z = t t R tiri ena be: ni re²itve. (d) Dani sistem: x = 3 y = z = Prvi ena bi: x = 3 y = 7 + t z = t t R tiri ena be: ni re²itve (a) Glej nalogo.(b). (b) Glej nalogo.(a). (c) Glej nalogo.(c). 4. (a) Dani sistem: x = y = 0 z = w =. Prve tri ena be: x = 3t + 5 y = t + z = 7t + w = t t R Pet ena b: ni re²itve. 53

54 (b) Dani sistem: x = y = z = 0 w =. Prve tri ena be: x = t + y = t + 5 z = t + w = t t R Pet ena b: ni re²itve. (c) Dani sistem: x = 8 y = t + 3 z = t + 6 w = t t R Prve tri ena be: x = 8 y = t + 3 z = t + 6 w = t t R Pet ena b: x = 8 y = 3 z = 6 w = 0. (d) Dani sistem: x = y = z = 0 w =. Prve tri ena be: x = 0t+9 y = 0t+9 z = 8t+6 w = t t R Pet ena b: ni re²itve. (e) Dani sistem: x = 8 y = z = 4 w =. Prve tri ena be: x = 8 y = t + 3 z = t + 6 w = t t R Pet ena b: ni re²itve. 5. d = 7 a + 8 b c. 6. t = t + 35 g = 80 t t = t 5 n = t (a) x = 8a+4 a+ y = 5a+ a+ z = 4 a+ a (b) x = a+3 y = 3a+0 4a+ z = a+ a+6 w = a+6 4a+ a Realne funkcije ve spremenljivk 4.3. Osnovne lastnosti in zveznost. (a) D f = (R \ {}) [0 ) Z f = R (b) D f = (R \ {}) (R \ {}) Z f = R (c) D f = (0 ) (R \ {0}) Z f = R (d) D f = {(x y) R x + y } (e) D f = {(x y) R y < x } Z f = R (f) D f = ( e ] R Z f = [0 ). Z f = [0 ). (a) ravnina; nivojske krivulje: premice x = C C R; (b) ravnina; nivojske krivulje: premice y = x + C C R (c) stoºec; nivojske krivulje: hiperbole xy = C > 0 to ka (0 0) (d) elipti ni paraboloid; elipse 4x + y = C > 0 to ka (0 0) 54

55 (e) hiperbolni paraboloid; hiperbole x y = C 0 premici y = ±x (f) stoºec; kroºnice x + y = C (C > 0) to ka (0 0). 3. (a) P (r v) = πr + πrv (b) V (a v) = 3 a v 4. (a) R \ {(0 0)} (b) R \ k Z {(x y) R xy = π (c) R \ {(0 0)} (d) R \ {(0 0)} (e) R (f) R \ ({0} (R \ {0})). (c) s(a t) = at (d) R(R R R 3 ) = + kπ xy = 0}. + + R R R Parcialni odvodi in ekstremi funkcij. x sin y ( π) = lim (x sin π ) x x =. x. Vse funkcije lahko enostavno odvajamo z neposredno uporabo pravil za odvajanje vsote produkta kvocienta in kompozituma funkcij ve ih spremenljivk. 3. (a) D f = R \ {(0 0)} (b) D f = (R\{0}) R f x = x x +y f y = y x +y f x = y +sin y x y x cos y x f y = x+cos y x. 55