Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των Θεωρηµάτων οµής. Έστω F ένα σώµα, V ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης επί του

Transcript

1 Κφάιο 5 Εφρµογές των Θωρηµάτων οµής 5 Μέτη µις γρµµιής πιόνισης :V V µέσω των Θωρηµάτων οµής Έστω έν σώµ, V ένς δινυσµτιός χώρος ππρσµένης διάστσης πί του ι : V V µι γρµµιή πιόνιση Όπως ξέρουµ το V φοδιάζτι µ τη δοµή νός f υ f υ ι υτό το []-πρότυπο το συµβοίζουµ µ V Ν υπνθυµίσουµ ότι έν υπόχωρος Κ του V ίνι έν ν ι µόνο ν, ο Κ ίνι -νοίωτος, δηδή [] -προτύπου µέσω της ως K K []-υποπρότυπο του Πριν ρχίσουµ τη µέτη του []-προτύπου V, ν νφέρουµ έν γνωστό µς ποτέσµ V ˆ ρ 5 Πρότση Υπάρχι µι διττγµένη βάση υ υ,, υ του V τέτοι ώστ : υˆ, υˆ, ν ι µόνο ν V V V, όπου V υπόχωροι του V τέτοιοι ώστ V V,

2 * Απόδιξη Έστω υ ˆ υ,, υ ρ τέτοι ώστ : υˆ, υˆ j, Προφνώς ρ Αν V υ,, υ,, τότ πό την * έχουµ ότι ρ υ j jυ άρ υ j V γι άθ, συνπώς V V ι µάιστ ν ˆ υ,, υ τότ : υˆ, υˆ, V υ Αντίστροφ έστω ότι V V V όπου V υπόχωροι του V τέτοιοι ώστ V V Έστω m V ι υ υ,, υ µι διττγµένη βάση του Αν ˆ ˆ υ υ,, υ, υ,, υ,, υ,, υ τότ υˆ ίνι µι διττγµένη βάση του V ι : υˆ, υˆ όπου V : υˆ, υˆ Συνπώς υπάρχι µι διττγµένη βάση υˆ του V τέτοι ώστ : υˆ, υˆ ν ι µόνο ν το []-πρότυπο V νύτι ως υθύ άθροισµ []-υποπροτύπων του V 5 Πρότση Το V ίνι έν ππρσµέν πργόµνο πριοδιό [] -πρότυπο Απόδιξη Πρώτ θ δίξουµ ότι το V ίνι έν πριοδιό []-προτύπο Έστω υ Θ βρούµ έν φ [ ] µ φ ι φ υ φ υ V

3 Πράγµτι, πιδή m V <, υπάρχι ένς θτιός έριος µ υ, υ,, υ ν ίνι -γρµµιά ξρτηµέν Άρ υπάρχι,,,, ι υ υ υ Αν φ τότ φ ι φ υ φ υ, άρ το V ίνι έν πριοδιό { []-πρότυπο Τώρ ν υ,,υ µι βάση του V τότ το V ως -πρότυπο πράγτι πό το υ,, υ } ι πιδή [] έπτι ότι το V ως []-πρότυπο πράγτι πό το { υ,, υ } Το θώρηµ δοµής γι ππρσµέν πργόµν R -πρότυπ όπου R πι µς έι ότι άθ τέτοιο πρότυπο ίνι υθύ άθροισµ υιών R -προτύπων Ν ξτάσουµ τι σηµίνι το V ν ίνι υιό []-πρότυπο τάξης φ Έστω ότι Επιδή V V ίνι υιό, σηµίνι ότι υπάρχι w µ V [ ] w { f w f [ ]} { f w f [ ]} ι [ ] V ίνι ένς [] - πιµορφισµός άρ V [ ] µ I φ [ ] I V f f w Επιδή V ι πριοδιό έπτι ότι φ ίνι µη ντιστρέψιµο στοιχίο του [] ι φ άρ ίνι έν πουώνυµο βθµού ι πιδή η τάξη του V ίνι [ φ ] χβτγ το θωρούµ µονιό Επιδή φ ίνι η τάξη του V έπτι ότι ψ ν ι µόνο ν φ ψ Συνπώς ψ : V V ίνι η µηδνιή πιόνιση ν ι µόνο ν φ ψ Άρ το φ ίνι το άχιστο πουώνυµο της, το οποίο συµβοίζουµ µ mn Συνπώς, δίξµ ότι V

4 5 Πρότση Αν V ίνι έν υιό [] -πρότυπο τότ η τάξη του V mn Στην πόµνη πρότση θ δίξουµ ότι η διάστση του V πί του ίνι έν υιό []-πρότυπο, ισούτι µ το βθµό της τάξης του V, ν V 5 Πρότση Έστω V δινυσµτιός χώρος ππρσµένης διάστσης πί του ι V V µι γρµµιή πιόνιση Αν V ίνι υιό [] -πρότυπο τάξης : φ γ γ γ ι V w, τότ w w,, ίνι µι βάση του V Ιδιίτρ, m V eg φ Απόδιξη Πρώτ θ δίξουµ ότι τ στοιχί γρµµιά νξάρτητ Πράγµτι, έστω f w w,, w, w w w, w,, ίνι - Θωρούµ το πουώνυµο [ ] τότ f w δηδή f w άρ φ f άρ, συνπώς Μένι ν δίξουµ ότι τ f, w στοχί w w,, πράγουν τον V Πράγµτι, έστω υ V Επιδή V w [ ] w, υπάρχι ρ [ ] µ υ ρ w ρ Τώρ ρ q φ όπου η w eg < eg φ Αν υ τότ, έστω ι υ ρ w δ w δ w δ w σ σ w δ δ δ σ, σ < Στο πόµνο Πόρισµ βέπουµ ότι ο πίνς της ως προς τη βάση του V που βρήµ έχι πή µορφή σ 55 Πόρισµ Έστω V έν υιό []-πρότυπο τάξης γ γ γ ˆ w ι V w Αν w w, w,, τότ φ

5 5 : wˆ, wˆ Η πόδιξή του φήντι ως άσηση γ γ γ 56 Ορισµός Έστω f [ ] έν µονιό πουώνυµο, γ γ γ, Τότ ο πίνς γ γ γ έγτι συνοδός πίνς του f ι συµβοίζτι µ Σ f f Η πόµνη πρότση µς έι ότι το V ίνι έν υιό []-πρότυπο ν ι µόνο ν υπάρχι µι διττγµένη βάση του ίνι ο σύνοδος πίνς άποιου πουωνύµου V, ως προς την οποί, ο πίνς της 57 Πρότση Έστω V δινυσµτιός χώρος ππρσµένης διάστσης πί του ι : V V µι γρµµιή πιόνιση Τότ το V ίνι έν υιό [] -πρότυπο ν ι µόνο ν υπάρχι υ ˆ µι διττγµένη βάση του V ι φ [ ] έτσι ώστ : υˆ, υˆ Σ φ Επιπέον, ισχύι ότι φ η τάξη του V mn Απόδιξη ίξµ πριν ότι, ν V ίνι υιό []-πρότυπο τάξης φ τότ φ mn ι ότι Πρότση, Πόρισµ, υπάρχι µι διττγµένη βάση υˆ του V µ : υˆ, υˆ Σ φ Έστω τώρ ότι υπάρχι µι διττγµένη βάση υ ˆ του V µ

6 6 * : υˆ, υˆ ι φ γ γ γ [ ] Αν υ ˆ γ γ γ υ υ,, υ τότ πό την * έπτι ότι υ, υ υ υ υ υ,, άρ V [ ] υ δηδή το V ίνι έν υιό []-πρότυπο Τώρ υ υ υ γ υ γ υ γ πό την * υ Συνπώς φ υ ι φ υ φ υ φ υ,,,, άρ φ ίνι η µηδνιή πιόνιση στο V άρ φ τάξη του V Αν τώρ τάξη του V σ δ δ δ µ <, τότ σ υ δυ δ υ δ υ υ το οποίο δν ισχύι πιδή υ, υ,, υ ίνι -γρµµιά νξάρτητ, άρ άρ φ τάξη του V Το όουθο θώρηµ έπτι πό το Θώρηµ οµής ΙΙ ι το χρτηρισµό των υιών []-προτύπων που βρήµ 58 Θώρηµ Έστω V δινυσµτιός χώρος ππρσµένης διάστσης πί του ι : V V µι γρµµιή πιόνιση Τότ υπάρχι µι διττγµένη βάση υ ˆ του V µ Σ : υˆ, υˆ, όπου [], ι Σ Επιπέον ν υπάρχι u ˆ διττγµένη βάση του V µ Σ : uˆ, uˆ µ j [ ], j ι ρ Σ ρ τότ ρ ι,

7 7 Απόδιξη Θωρούµ το []-πρότυπο V Επιδή το V ίνι έν ππρσµέν πργόµνο πριοδιό []-πρότυπο, πό το Θώρηµ οµής ΙΙ έπτι ότι το νύτι ως υθύ άθροισµ V W W όπου W ίνι υιά []-υποπρότυπ του V τάξης µ µη ντιστρέψιµ στοιχί του [] ι Από την Πρότση 5 ι την προηγούµνη πρότση έχουµ ότι υπάρχι µι διττγµένη βάση υ ˆ του V µ Σ : υˆ, υˆ Σ Έστω τώρ ότι υπάρχι µι διττγµένη βάση u ˆ του V µ ι ρ Σ : uˆ, uˆ Τότ πάι πό την Πρότση 5 ι την προηγούµνη πρότση έπτι ότι V Z Z ρ Σ όπου Z υιό []-υποπρότυπο του V τάξης Από το Θώρηµ οµής ΙΙ τώρ έπτι ότι ρ ρ ι, V 59 Πόρισµ Έστω µορφής Τότ ο Α ίνι όµοιος προς µονδιό πίν της Σ * µ Σ Η * έγτι νονιή µορφή του Α

8 8 Απόδιξη Έστω γ : τότ όπου E E γ ˆ ˆ, :,,, ˆ E Από το προηγούµνο θώρηµ έπτι ότι υπάρχι διττγµένη βάση του,, ˆ υ υ υ έτσι ώστ ˆ ˆ, : Σ Σ υ υ γ µ, άρ ν µ τότ S S S S υ Σ Σ S S Αν τώρ υπάρχι T µ ρ Σ Σ T T ι ρ τότ ν έχουµ ότι,, ˆ T T u ˆ ˆ, : ρ Σ Σ u u γ µ ρ Από το προηγούµνο θώρηµ έπτι ότι ρ ι,

9 9 Συνπώς δίξµ ότι: Υπάρχι µι ι πί ντιστοιχί µτξύ των άσων οµοιότητς την πινάων µ στοιχί πό το ι των οουθιών µη στθρών µονιών πουωνύµων,,, eg πί του που ινοποιούν: 5 Πράδιγµ Γι ν βρούµ το πήθος των άσων οµοιότητς των Ÿ p πινάων µ στοιχί πό το ρί ν βρούµ το πήθος των οουθιών µη στθρών µονιών πουωνύµων πί του Ÿ,,, που ινοποιούν Έχουµ τις όουθς πριπτώσις: ν eg τότ η eg οπότ ι, η οπότ ι p ι eg * eg Προφνώς δν ίνι δυντόν eg φού τότ θ πρέπι ι eg άρ eg eg Άρ µένι ι η πρίπτωση: eg οπότ, τότ Επιδή τώρ έχουµ p µονιά πουώνυµ βθµού πί του Ÿ, η µς δίνι p p p ι η p οουθίς της µορφής * άρ το πήθος των άσων οµοιότητς των πινάων µ στοιχί πό το Ÿ p ίνι p p p Η όουθη πρότση δίνι τη σχέση του χρτηριστιού ι χίστου πουωνύµου της : V V µ τους νοίωτους πράγοντς του []-προτύπου,

10 V Ως άµσ πορίσµτ υτής της σχέσης πίρνουµ το Θώρηµ Cyley-Hmlton θώς ι το ότι τ πουώνυµ mn ι χ έχουν τους ίδιους νάγωγους πράγοντς στην νάυσή τους 5 Πρότση Έστω V δινυσµτιός χώρος πί του ππρσµένης διάστσης ι : V V µι γρµµιή πιόνιση Αν V W W όπου W υιά [] - πρότυπ τάξης µ µη στθρά µονιά πουώνυµ ι τότ mn χ Απόδιξη Επιδή έπτι ότι W γι άθ άρ V δηδή mn ίνι η µηδνιή πιόνιση πί του V άρ mn Τώρ mn άρ mn συνπώς mn Άρ, V W ίνι συντροφιά ι πιδή ίνι µονιά έπτι ότι Ξέρουµ ότι υπάρχι µι διττγµένη βάση υ ˆ του V µ άρ χ χ χ Σ Σ Σ : υˆ, υˆ Σ mn Στην πόµνη Πρότση θ δίξουµ ότι χ Σ φ φ γι άθ µονιό πουώνυµο φ ι µ υτό τιώνι η πόδιξη της της προηγούµνης πρότσης 5 Πρότση Έστω φ [ ] τότ χ φ mn Σ φ Σ φ

11 Απόδιξη Ξέρουµ ότι mn φ φ Σ Θ δίξουµ µ πγωγή στο ότι Γι φ χ φ Σ φ ι άρ φ Σ et χ φ Σ Έστω τώρ > et et φ Σ φ Σ I χ νπτύσσοντς ως προς την πρώτη γρµµή έχουµ ~ et χ φ Σ, όπου ~ φ Άρ πό υπόθση πγωγής έχουµ ότι φ χ φ Σ Ως άµσ πορίσµτ πίρνουµ 5 Πόρισµ Θώρηµ Cyley-Hmlton Αν V γρµµιή ντίστοιχ V : τότ ντίστοιχ mn χ mn χ 5 Πόρισµ Αν V γρµµιή ντίσ V : τότ τ πουώνυµ ι έχουν τους ίδιους νάγωγους πράγοντς στην νάυσή τους mn χ Απόδιξη Έπτι άµσ πό το ότι mn χ ι χ mn Το Θώρηµ οµής Ι στοιχιώδις διιρέτς µς δίνι έν χρτηρισµό των άσων οµοιότητς µέσω στοιχιωδών διιρτών Συγριµέν:

12 55 Θώρηµ Έστω V δινυσµτιός χώρος ππρσµένης διάστσης πί του ι : V V µι γρµµιή πιόνιση Τότ υπάρχι διττγµένη βάση υ ˆ του V µ όπου άθ φ Σ φ : υˆ, υˆ Σ φ ίνι δύνµη άποιου νάγωγου πί του πουωνύµου Επιπέον ν υπάρχι διττγµένη βάση û του V τέτοι ώστ Σ ψ : uˆ, uˆ Σ ψ ρ όπου άθ ίνι δύνµη άποιου νάγωγου πί του πουωνύµου τότ ρ ι ψ υπάρχι π µ φ ψ S ρ σ * Απόδιξη Από το Θώρηµ οµής Ι έπτι ότι το νύτι ως υθύ άθροισµ υιών υποπροτύπων τάξης δύνµη πρώτου στοιχίου του [] Επιπέον µς έι ότι η νάυση υτή ίνι µονδιή ως προς το πήθος των όρων ι της τάξης των µη µηδνιών υιών υποπροτύπων Το θώρηµ τώρ ίνι άµση συνέπι της Πρότσης ι της Πρότσης V 56 Πόρισµ Κάθ πίνς όπου άθ φ ίνι όµοιος προς έν πίν της µορφής Σ φ Σ φ ίνι δύνµη νός νγώγου πί του πουωνύµου Επιπέον, ο * ίνι µονδιός, ως προς µτάθση των φ,, φ *

13 Απόδιξη Η πόδιξη ίνι άµση πό το προηγούµνο θώρηµ ι το ότι ο πίνς Α ίνι όµοιος προς έν πίν Β ν ι µόνο ν υπάρχι µι διττγµένη ˆ βάση u του τέτοι ώστ γ : uˆ, uˆ B 57 Ορισµός Τ στοιχί φ,, φ του [] έγοντι οι στοιχιώδις διιρέτς του Α 58 Πόρισµ Έστω Τότ χ γινόµνο των στοιχιωδών διιρτών του Α mn π των στοιχιωδών διιρτών του Α Η πόδιξη υτού του Πορίσµτος φήντι ως άσηση 59 Πράδιγµ Ν ξτσθί πόσς άσις οµοιότητς υπάρχουν γι πίνς Α µ στοιχί πό το ι τέτοιοι ώστ * χ ** mn Επιπέον ν βρθί ένς ντιπρόσωπος πό άθ άση οµοιότητς η Λύση µέσω νοίωτων πργόντων Ξέρουµ ότι υπάρχι µι ι πί ντιστοιχί µτξύ των άσων οµοιότητς γι τους νωτέρω πίνς ι των οουθιών πουωνύµων πί του έτσι ώστ,, άρ οι νοίωτοι πράγοντς νός τέτοιου πίν ίνι ή µη στθρών µονιών

14 ν ι Σ Γ Σ Σ Σ Σ Σ τότ ο Γ ίνι ένς ντιπρόσωπος πό την άση συζυγίς µ νοίωτους πράγοντς ι ο ένς ντιπρόσωπος πό την άση συζυγίς µ νοίωτους πράγοντς Συνπώς Γ, δν ίνι όµοιοι ι άθ πίνς που έχι χρτηριστιό πουώνυµο το * ι άχιστο πουώνυµο το ** ίνι όµοιος προς Γ ή προς η Λύση µέσω στοιχιωδών διιρτών Επιδή το γινόµνο των στοιχιωδών διιρτών νός πίν ίνι το χρτηριστιό πουώνυµο του πίν ι το άχιστο οινό ποπάσιο των στοιχιωδών διιρτών ίνι το άχιστο πουώνυµο του πίν, έπτι ότι στην πρίπτωση υτή, οι στοιχιώδις διιρέτς ίνι,,,,,,, ή,,,,,, Άρ άθ πίνς µ χρτηριστιό πουώνυµο το * ι άχιστο πουώνυµο το ** ίνι όµοιος προς ριβώς έν πό τους Γ ι όπου

15 5 Σ Γ Σ Σ Σ Είδµ ότι άθ πίνς Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ Σ ίνι όµοιος προς έν πίνς της µορφής Σ φ Σ φ Σ όπου άθ φ ίνι δύνµη νός νγώγου πί του πουωνύµου, ι ότι ο * ίνι µονδιός ως προς µτάθση των φ,, φ Στην πρίπτωση που τ πουώνυµ πουωνύµου, πχ φ Σ φ ίνι όµοιος προς άποιον πίν J, φ * ίνι δύνµη νός πρωτοβάθµιου, τότ η πόµνη πρότση µς δίχνι ότι ο πούστρης µορφής 5 Πρότση Έστω V δινυσµτιός χώρος πί του ππρσµένης διάστσης ι V V µι γρµµιή πιόνιση Αν V ίνι έν υιό [] -πρότυπο τάξης :

16 6 ι V [ ] υ τότ υ υ, υ,,, V V V υ ίνι µι βάση του V ι ν υˆ υ, V υ,, V υ τότ : υˆ, υˆ, J Απόδιξη Ξέρουµ ότι m V άρ γι ν δίξουµ ότι τ υ τ υ υ, V υ,, V ποτούν µι βάση του V ρί ν δίξουµ ότι υ, V υ,, V Έστω ότι γ ίνι -γρµµιά νξάρτητ υ γ V υ γ V υ υπάρχι τέτοιο ώστ, γ ι γ γι άθ > ι έστω ότι Αν ψ γ γ γ γ τότ ψ ι ψ υ άρ ψ ά egψ συνπώς γι άθ, V V υ, άρ τ υ υ,, ίνι µι βάση του V V Αν τώρ υ υ, τότ βέπουµ ότι υ υ, άρ υ υ υ, ι V δηδή υ υ υ : υˆ, υˆ άρ ν υ υ, υ,, υ τότ ˆ, J γ V V υ

17 7 5 Ορισµός Ένς πίνς της µορφής J, έγτι στοιχιώδης πίνς Jon ι συµβοίζτι µ Από τις Προτάσις 57 ι 5 έπτι ότι οι πίνς ίνι όµοιος Αν τώρ Σ ι J, ι τ νάγωγ πί του πουώνυµ ίνι πρωτοβάθµι τότ ο Α ίνι όµοιος προς έν πίν της µορφής όπου Λ Λ ίνι στοιχιώδις πίνς Jon Επιπέον ο * ίνι µονδιός ως προς µτάθση των στοιχιωδών πινάων Jon του Λ,, ι ίτι νονιή µορφή Jon του Α Λ σ Λ σ * 5 Πράδιγµ Έστω ένς πίνς στοιχιώδις διιρέτς του Α ίνι 7, 7 ή 5 5 µ mn 7 Οι 7, 7, 7, άρ ο Α ίνι όµοιος προς έν πό τους

18 8 J 7, J 7, 7 7 J 7, 7 7 ή J 7, δηδή 7 ή 7 J 7, Ασήσις 5 Ν βρθί το πήθος των άσων οµοιότητς των ντιστρέψιµων πινάων µ στοιχί πό το, p πρώτος Επίσης ν βρθί ένς ντιστρέψιµος πό άθ άση Ÿ p Ν βρθούν οι δυντές νονιές µορφές Jon γι τους πίνς 5 χ 5 ι mn 5 µ Ν βρθί το πήθος των άσων οµοιότητς των πινάων ι mn Επίσης ν βρθί ένς ντιπρόσωπος πό άθ άση οµοιότητς Ν βρθί ένς ντιπρόσωπος πό άθ άση οµοιότητς των πινάων που ινοποιούν µ 6 6 µ I 6 6 p Ÿ µ I 5 Είνι σωστό ή άθος ότι ν έχις πίνς µ στοιχί πό το ι άχιστο πουώνυµο όµοιοι; τότ δύο τουάχιστον π υτούς ίνι 6 Ν βρθούν δύο πίνς, B µ χ χ B, mn mn B ι όχι όµοιος προς Β 7 Ν διχθί ότι άθ πίνς ίνι όµοιος προς τον νάστροφό του

19 9 8 Έστω V δινυσµτιός χώρος πί του ππρσµένης διάστσης ι : V V γι γρµµιή πιόνιση Ν διχθί ότι υπάρχι µι βάση του V πό ιδιοδινύσµτ της ν ι µόνο ν διριµένων Υπόδιξη νάυσης 9 Ν διχθί ότι ένς πίνς N B το mn N τ όπου mn ίνι γινόµνο πρωτοβθµίων mn ι Θώρηµ πρωτρχιής N V ίνι γινόµνο πρωτοβθµίων ίνι όµοιος προς έν πίν στοιχιώδις πίνς Jon ν ι µόνο ν Έστω V δινυσµτιός χώρος πί του ππρσµένης διάστσης ι : V V µι γρµµιή πιόνιση Ν διχθί ότι V ίνι υιό []-πρότυπο ν ι µόνο ν mn χ Έστω V δινυσµτιός χώρος πί του ππρσµένης διάστσης : V V µ ι γρµµιή πιόνιση Ν διχθί ότι διττγµένη βάση υˆ του V µ : υˆ, υˆ όπου στοιχιώδις πίνς Jon Επιπέον ν * ρ ίνι µι ιδιοτιµή της τότ η διάστση του ιδιοχώρου J, πήθος των που µφνίζοντι στην * γι διάφορ V της ισούτι µ το 5 Κθορισµός δοµής µις βινής οµάδς µέσω µις πράστσής της Έστω Α µι ππρσµέν πργόµνη βινή οµάδ ι σύνοο γννητόρων της Μ το σύµβοο {,, } έν

20 *,, j j,,, όπου j Ÿ γι άθ j,, ννοούµ ότι ν Ÿ Ÿ ι φορές τότ ο πιµορφισµός j j j πράγτι πό το σύνοο j j,,, j j,,,, jθέση j έχι πυρήν την υποοµάδ της που Συνπώς όπου N N j j,,, j Η * έγτι µι πράστση της Α µ γννήτορς,, ι σχέσις j j,,, j 5 Πράδιγµ Έστω Ÿ 6 [] 6 Τότ ο πιµορφισµός π : Ÿ Ÿ6 έχι [] πυρήν ke π 6 άρ Ÿ ] 6[] ίνι µι πράστση του µ 6 [ 6 6 γννήτορ [ ] 6 ι σχέση 6[] 6, ι Ÿ Ÿ 6 Τώρ Ÿ 6Ÿ 6 [] 6,[] 6 ι ο πιµορφισµός : Ÿ Ÿ Ÿ 6 µ π [] 6 6 Ÿ 6 π ι π [] 6 έχι πυρήν ke π, άρ Ÿ [],[] [] [ ι Ÿ Ÿ Ÿ 6,,, Προφνώς B ] 6 Ÿ όπου B 6 ι z, w z w 6 Έστω τώρ Α µι ππρσµέν πργόµνη βινή οµάδ ι,, j j,,, j

21 µι πράστσή της Τότ όπου Ÿ Ÿ N ι φορές N j j j,,, Έστω ι : N Αν,,, j j j j j j,,, j j j j η µφύτυση Ÿ τότ ι :, Τ στοιχί,,, δν ποτούν τ νάγη µι βάση του Ν ά έν σύνοο γννητόρων της Ν Τ στοιχί,, ποτούν µι βάση του ι ποµένως ι :, ορίζτι µονοσήµντ φού άθ στοιχίο της συνδυσµός των,, Τώρ ξέρουµ ότι γι τον πίν j γράφτι µ µονδιό τρόπο ως γρµµιός Ÿ πίνς X, Y µ j X Ÿ ι y j Y Ÿ έτσι ώστ XY τ j j j υπάρχουν ντιστρέψιµοι µ τ mn{, } ι τ Έστω,,, η διττγµένη βάση του που ορίζτι ως ι πίν :, X,,, όπου τ στοιχί,, ορίζοντι µέσω του :, Y δηδή, N j j,, Πρτηρούµ ότι πιδή ο Υ ίνι ντιστρέψιµος,, N Επιπέον

22 ι συνπώς ι :,, τ Προφνώς τ µη µηδνιά, τ γρµµιά νξάρτητ ι πράγουν τη Ν Έστω ότι N ρ τότ, τ mn{, } τ τ ποτούν µι βάση του Ν φού ίνι Ÿ - Ÿ Ÿ C C C N ρ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Συνπώς ρ ρ ρ C C ρ Ÿ Ÿ, άρ οι νοίωτοι πράγοντς του ρ ίνι,, όπου {,, ρ}, ι γι < Επιπέον ν π ρ : ο πιµορφισµός µ π π C, ρ ι π Ÿ γι ρ τότ π π π µ ρ Συνπώς πό µι πράστση µις ππρσµένης πργόµνης βινής οµάδς Α µπορούµ ν θορίσουµ πήρως τη δοµή της Α T Πρδίγµτ, β, γ β 5γ β γ Ν γρφί η Α ως υθύ άθροισµ υιών υποοµάδων της Έστω Ÿ 5

23 Συνπώς υπάρχουν Ÿ X, Ÿ Υ ντιστρέψιµοι µ 7 * ΧΥ Πράγµτι γι ι έχουµ την * Αν τώρ X Y,, µ, : X Ÿ τότ ξέρουµ ότι 7 Α Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ άρ Ÿ 7 C Επιπέον, ν π Ÿ Ÿ Ÿ : µ π, β π, τότ ι γ π π π 7 C π, Ÿ π Τώρ ι βέβι X, : X Ÿ άρ ι,, Συνπώς µ γ γ β 7 C γ β ι Ÿ γ Έστω β β β 6, Ν γρφί η Α ως υθύ άθροισµ υιών υποοµάδων της Έστω ι 6 Ÿ 6

24 Άρ ν X ι τότ Y XY Αν τώρ, µ X :, Ÿ τότ C C ι π π Τώρ ν Ÿ Ÿ Α Ÿ Ÿ άρ π : Ÿ Ÿ µ π, π β, τότ X ι βέβι X :, Ÿ άρ, συνπώς β β ι β β C, ι Ασήσις 5 Ν ξτσθί ν οι όουθς οµάδς Α, Β ίνι ισόµορφς, 7 5, Β β, β β 6β 5β β Έστω Ν η υποοµάδ της Ÿ Ÿ Ÿ που πράγτι πό το {, 5, 7,,,,,,} Ν βρθί µι βάση της Ν Ν βρθούν οι p-συνιστώσς των T όπου Α, β, γ 7 5β γ β β γ ι Α, β, γ β 6γ 6 β 6γ 7 β 5γ Έστω, β ν ν β µ µ β µ, µ, ν ν Ÿ Αν Α ν πριγρφί η δοµή της Α γι p, όπου p πρώτος, ν µ ν µ