1.4. ε ε. E 1 ε E 2. ε ε γ. β ε. Λύση α) Έχουμε ότι: ε = β γ 2. γ E 1 γ. β γ. γ β ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
|
|
|
- Λυσιστράτος Καλλιγάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1.4. Πυθόριο θώρημ ΡΣΤΗΡΙΟΤΗΤ 1 ίνοντι οκτώ ίσ ορθοώνι τρίων μ κάθτς πλυρές, κι υποτίνουσ κι τρί ττράων μ πλυρές,, ντίστοιχ. ) Ν υπολοίστ τ μδά, Ε, Ε 1, Ε 2 των διπλνών τριώνων κι ττρώνων. ) Ν τοποθτήστ κτάλληλ τ τρίων κι ττράων, ώστ ν σχημτίσουν δύο νέ ττράων, πλυράς ( + ). Λύση ) Έχουμ ότι: = 2 E 1 E 2 E Ε = 2 Ε 1 = 2 Ε 2 = 2 ) ρκί ν τ τοποθτήσουμ όπως φίντι στ πρκάτω σχήμτ. Πρτηρούμ ότι μπορούμ ν ράψουμ το μδόν των ίσων ττρώνων πλυράς ( + ) μ δύο διφορτικούς τρόπους: 1ος τρόπος: Ε 1 + Ε πό το πρώτο ττράωνο που ποτλίτι πό 4 τρίων κι τ δύο ττράων πλυράς, ντίστοιχ. 2ος τρόπος: Ε + 4 πό το δύτρο ττράωνο που ποτλίτι πάλι πό 4 τρίων κι το ττράωνο πλυράς. E 2 E 1 Επομένως, θ ισχύι ότι: Ε 1 + Ε = Ε + 4 ή Ε 1 + Ε 2 = Ε ή = 2 Η σχέση υτή, που συνδέι τις κάθτς πλυρές μ την υποτίνουσ νός τριώνου, κφράζι το Πυθόριο θώρημ, δηλδή ισχύι: E
2 128 Μέρος Πυθόριο θώρημ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Σ κάθ ορθοώνιο τρίωνο το άθροισμ των ττρώνων των δύο κάθτων πλυρών ίνι ίσο μ το ττράωνο της υποτίνουσς. Πρτήρηση: Στο διπλνό σχήμ το τρίωνο ίνι ορθοώνιο στο. Σύμφων μ το Πυθόριο θώρημ ισχύι ότι: 2 = 2 + 2, δηλδή το μδόν του μάλου πορτοκλί ττρώνου ίνι ίσο μ το άθροισμ των μδών των δύο πράσινων ττρώνων. Το ντίστροφο του Πυθορίου θωρήμτος Στην ρχί ίυπτο ι την κτσκυή ορθών ωνιών χρησιμοποιούσν το σκοινί του πρπάνω σχήμτος. Όπως λέπουμ, το σκοινί έχι 13 κόμπους σ ίσς ποστάσις μτξύ τους που σχημτίζουν 12 ίσ υθύρμμ τμήμτ. Κρτώντς τους κρίους κόμπους νωμένους κι τντώνοντς το σκοινί στους κόκκινους κόμπους, σχημτίζτι το τρίωνο, το οποίο οι ρχίοι ιύπτιοι πίστυν ότι ίνι ορθοώνιο μ ορθή ωνί την κορυφή. Μτνέστρ, οι ρχίοι Έλληνς πλήθυσν τον ισχυρισμό υτό ποδικνύοντς την πόμνη νική πρότση, που ίνι νωστή ως το ντίστροφο του Πυθορίου θωρήμτος: ν σ έν τρίωνο, το ττράωνο της μλύτρης πλυράς ίνι ίσο μ το άθροισμ των ττρώνων των δύο άλλων πλυρών, τότ η ωνί που ρίσκτι πένντι πό τη μλύτρη πλυρά ίνι ορθή. ΕΦΡΜΟΗ 1 Ν πληθύστ το Πυθόριο θώρημ στο τρίωνο του διπλνού σχήμτος. 5 Ε Ζ Λύση: Στο τρίωνο ΕΖ οι κάθτς πλυρές έχουν μήκη 5 κι 12, οπότ το άθροισμ των ττρώνων των κάθτων πλυρών ίνι = = 169. Επιπλέον, η υποτίνουσ έχι μήκος 13 κι το ττράωνό της ισούτι μ: 13 2 = 169. Επομένως, ισχύι το Πυθόριο θώρημ, φού: = 13 2.
3 Μέρος Πυθόριο θώρημ 129 ΕΦΡΜΟΗ Λύση: ) 2 Στο διπλνό σχήμ, το τρίωνο έχι πρίμτρο 150 m. ) Ν ρίτ τον ριθμό x. ) Ν ποδίξτ ότι το τρίωνο ίνι ορθοώνιο. Η πρίμτρος του τριώνου ίνι: + + = 5x x x 5 = 14x Σύμφων μ την κφώνηση ίνι: 14x + 10 = 150 ή 14x = ή 14x = 140 ή x = Άρ x = 10. 5x+10 6x+5 3x 5 ) ι x = 10 τ μήκη των πλυρών (σ μέτρ) ίνι: = = 60, = = 25, = = 65. Επομένως: = = = Επίσης: 2 = 65 2 = Επομένως: = 2 κι σύμφων μ το ντίστροφο του Πυθορίου θωρήμτος το τρίωνο ίνι ορθοώνιο. ΕΦΡΜΟΗ 3 Έν ράφι ίνι στρωμένο σ έν κτκόρυφο τοίχο μ έν μτλλικό στήριμ μήκους = 32,6 cm. ν = 27,7 cm κι = 17,2 cm, ν ξτάστ ν το ράφι ίνι οριζόντιο. Λύση: Το ράφι θ ίνι οριζόντιο, μόνο ν ίνι κάθτο στον τοίχο, δηλδή ν το τρίωνο ίνι ορθοώνιο στο. Είνι: = 27, ,2 2 = 767, ,84 = 1063,13. Επίσης: 2 = 32,6 2 = 1062,76. Επομένως: , οπότ το τρίωνο δν ίνι ορθοώνιο. ΕΦΡΜΟΗ 4 Στο διπλνό σχήμ δίντι ττράωνο πλυράς 12 cm. To σημίο Μ ίνι το μέσο της πλυράς κι Ρ = 3 cm. ) Ν υπολοίστ τ Μ 2, ΜΡ 2 κι Ρ 2. ) Ν ποδίξτ ότι το τρίωνο ΜΡ ίνι ορθοώνιο στο Μ. Μ 3 12 Ρ Λύση: ) φού το Μ ίνι μέσο του, ίνι Μ = Μ = 6 (cm). Eπίσης: Ρ = 12 3 = 9 (cm). πό το Πυθόριο θώρημ στο ορθοώνιο τρίωνο Μ έχουμ: Μ 2 = 2 + Μ 2 = = = 180.
4 130 Μέρος Πυθόριο θώρημ Ομοίως, στο ορθοώνιο τρίωνο ΜΡ έχουμ: ΜΡ 2 = Μ 2 + Ρ 2 = = = 45, κι στο ορθοώνιο τρίωνο Ρ έχουμ: Ρ 2 = 2 + Ρ 2 = = = 225. ) Είνι Μ 2 + ΜΡ 2 = = 225 = Ρ 2, οπότ σύμφων μ το ντίστροφο του Πυθόριου θωρήμτος, το τρίωνο ΜΡ ίνι ορθοώνιο στο Μ. ΕΡΩΤΗΣH ΚΤΝΟΗΣΗΣ Στις πρκάτω ρωτήσις 1-4 τ τρίων ίνι ορθοώνι στο. Ν πιλέξτ τη σωστή πάντηση. 1 6 cm x x = 7 cm 9 cm 10 cm 12 cm 8 cm 2 x 5 cm x = 2 cm 3 cm 4 cm 5 cm 4 cm 3 10 cm 26 cm x = 14 cm 20 cm 24 cm 30 cm x 4 17 cm = κι =15 κι =13 κι =12 κι =8 κι = =8 =10 =13 =9 ΣΚΗΣΕΙΣ 1 Ν ρίτ το μδόν του κόκκινου ττρώνου στ πόμν σχήμτ. 2 Ν ποδίξτ ότι τ πρκάτω τρίων ίνι ορθοώνι. 25 m ,76 m 2 1m 2 9 m 2 0,64 m 2 1 m 2 3 ) ίντι έν τρίωνο μ μήκη πλυρών 6 cm, 8 cm κι 10 cm. N ποδίξτ ότι το τρίωνο ίνι ορθοώνιο. ) Ν ποδίξτ ότι το τρίωνο που έχι διπλάσις πλυρές πό τις πλυρές του, κθώς κι το τρίωνο που έχι τις μισές πλυρές πό τις πλυρές του, ίνι πίσης ορθοώνιο.
5 Μέρος Πυθόριο θώρημ Το τρίωνο του πρκάτω σχήμτος ίνι ισοσκλές μ = = 10 dm κι = 12 dm. Ν υπολοίστ το μδόν του ττρώνου που έχι πλυρά ίση μ το ύψος του τριώνου. 8 H διτομή νός κνλιού ίνι σχήμτος ισοσκλούς τρπζίου μ πλυρές: = = 5 m, = 7 m κι = 13 m. Ν υπολοίστ το ύψος x του κνλιού. 13 m 10 dm 10 dm x x 5 m 5 m 7 m 12 dm 9 Ποι πό τις τοποθσίς Ε,, ίνι πλησιέστρ στην πόλη ; Ν υπολοίστ το μδόν του μπλ ττρώνου το οποίο έχι πλυρά ίση μ τη διώνιο 1 m του ορθοώνιου. ι ν σχημτίσι ορθή ωνί μ δύο ξύλιν δοκάρι (όπως λέμ ι ν «ωνιάσι» τ δοκάρι), ένς τχνίτης μτράι στο έν δοκάρι = 30 cm κι στο άλλο = 40 cm. Στη συνέχι, τ τοποθτί κτάλληλ, ώστ ν ίνι = 50 cm. Μπορίτ ν ξηήστ ιτί ίνι σίουρος ότι η ωνί που σχημτίζουν τ δοκάρι ίνι ορθή; Ο χρττός του διπλνού σχήμτος ίνι ρόμος μ διώνις 12 dm κι 16 dm. N ρίτ την πρίμτρο κι το μδόν της πιφάνις του χρττού. 2,1 m cm 30 cm 50 cm Ο E 8 m Ι ΙΣΚΕΣΗ: Στο διπλνό σχήµ έχουµ έν ορθοώνιο τρίωνο ( =90 ) µ µήκος υποτίνουσς κι µήκη κάθτων πλυρών κι. Εξωτρικά του τριώνου έχουµ κτσκυάσι τρί ττράων µ µήκη πλυρών, κι ντίστοιχ. Χρησιµοποιώντς τ χρωµτιστά «κοµµάτι» που ποτλούν τ ττράων των κάθτων πλυρών, µπορίτ ν «µίστ» το µάλο κρίζο ττράωνο της υποτίνουσς φρµόζοντς κριώς τ χρωµτιστά κοµµάτι χωρίς το έν ν πικλύπτι το άλλο; 17 m 12 m 9 m
6 132 Μέρος Πυθόριο θώρημ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ To Πυθόριο θώρηµ Το Πυθόριο θώρηµ ποτλί έν πό τ πιο κοµψά λλά τυτόχρον κι πιο σηµντικά θωρήµτ µ πολλές φρµοές. Η νκάλυψη του θωρήµτος, ν κι πρδοσικά ποδίδτι στον Πυθόρ το Σάµιο ( π.χ.), δν ίνι έιο ότι έιν πό υτόν ή πό κάποιον πό τους µθητές του στην Πυθόρι Σχολή που ίδρυσ. Όµως ίνι έιο πως ίτ ο ίδιος ίτ οι µθητές του διτύπωσν την πρώτη πόδιξη. Σύµφων µ την πράδοση, οι θοί νκοίνωσν στον Πυθόρ το οµώνυµο θώρηµ κι ότν το πέδιξ, ι ν τους υχριστήσι, έκν θυσί 100 οδιών. ι τον λόο υτό, το Πυθόριο θώρηµ νφέρτι συχνά κι ως θώρηµ της κτόµης. Επιπλέον, οι Πυθόριοι διτύπωσν κι πέδιξν το ντίστροφο του θωρήµτος. Πολλοί µθηµτικοί, διάσηµοι κι µη, προσπάθησν ν ποδίξουν το Πυθόριο θώρηµ µ δική τους νξάρτητη µέθοδο. νάµσ σ υτούς υπάρχουν κι προσωπικότητς, όπως ο Leonardo da Vinci κι ο πρόδρος των ΗΠ Garfield. To 1940 o Elisha Scott Loomis πριέλ 365 διφορτικές ποδίξις του Πυθόριου θωρήµτος σ έν ιλίο. Επνάληψη Κφλίου 1 Eμδά Επίπδων Σχημάτων - Πυθόριο θώρημ Το μδόν μις πίπδης πιφάνις ίνι ο θτικός ριθμός που κφράζι το πλήθος των μονάδων μέτρησης, το οποίο χριάζτι ν πάρουμ, ώστ ν κλύψουμ τη δοσμένη πιφάνι. Μονάδς μέτρησης μδών 1 m 2 = 100 dm 2 = cm 2 = mm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 = mm 2 1 cm 2 = 100 mm 2 Εμδά των σικών πιπέδων σχημάτων. Ττράωνο Oρθοώνιο Πρλληλόρμμο Ε = 2 Ε = υ Ε = υ Oρθοώνιο τρίωνο Τυχίο τρίωνο Τρπέζιο Ε = 1 2 υ Ε = 1 2 υ υ Ε = 1 2 (+) υ Πυθόριο θώρημ: = 2 Σ κάθ ορθοώνιο τρίωνο το άθροισμ των ττρώνων των δύο κάθτων πλυρών ίνι ίσο μ το ττράωνο της υποτίνουσς. ντίστροφο Πυθόριου θωρήμτος ν σ έν τρίωνο το ττράωνο της μλύτρης πλυράς ίνι ίσο μ το άθροισμ των ττρώνων των δύο άλλων πλυρών, τότ η ωνί που ρίσκτι πένντι πό τη μλύτρη πλυρά ίνι ορθή.
ΠΟΤΕ ΔΥΟ ΤΡΙΓΩΝΑ ΕΙΝΑΙ IΣΑ
ΠΟΤ ΥΟ ΤΡΙΩΝ ΙΝΙ IΣ Πότ δύο Τρίων ίνι ίσ; ύο τρίων ίνι ίσ ότν τυτίζοντι! (μ μτφορά, στροφή, νάκλση ή κάποιο συνδυσμό π υτά) Στροφή νάκλση Μτφορά Τ τρίων που έχουν το ίδιο σχήμ κι μέθος ίνι ΙΣ Τρίων. ντίστοιχ
2.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΜΕΡΟΣ. Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ 87. Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Χρκτηριστικά στοιχί νός ινύσμτος ) Έν σημίο που ίνι η ρχή κι λέτι σημίο φρμοής του ινύσµτος κι έν σημίο που ίνι το πέρς (τέλος) του ινύσµτος. Το ιάνυσµ,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Ν. ΠΕΡΑΜΟΥ ΣΧ. ΕΤ Επαναληπτικές ασκήσεις
1. Ν ρίτ το ΕΚΠ των ριθμών: ) 2, 3, 4 ) 2, 4, 8 ) 3, 5, 6 )4, 7, 9 Επνλπτικές σκήσις 2. Ο ριθμός των σλίων νός ιλίου ίνι μτξύ των ριθμών 100 κι 150. Ότν μτράμ τις σλίς νά 5 ή νά 6, ν πρισσύι κμί. Ν ρίτ
Β ΒΕ=ΒΑ Β ( Β + Ε ) =ΒΑ. Β + α Β = = = x 2. x α x. α α + x
ξισώσις ου θµού ωµτρική ϖίλυση ξισώσων ου θµού Οι ρχίοι Έλληνς µθηµτικοί κθιέρωσν την κτσκυή γωµτρικών σχηµάτων µ κνόν κι ιήτη. Τρις τέτοις κτσκυές θ µλτήσουµ στη συνέχι. Κάθ µι ϖό υτές τις κτσκυές ίνι
Αν ο λόγος των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 4, τότε ο λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι α.2 β.4 γ. 16 δ.
1 9.1 9. σκήσεις σχολικού ιλίου σελίδς 185-186 ρωτήσεις κτνόησης 1. Έν ορθοώνιο τρίωνο ( ˆ ο 90 ) έχει 6 κι 8. Ποιο είνι το µήκος της διµέσου Μ ; + 6 + 6 100 10 κι Μ 5. ν ο λόος των κθέτων πλευρών ενός
2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ
1.3 ΜΕΤΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΙ ΕΦΠΤΟΜΕΝΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Μετβολή του ηµιτόνου : Ότν µί οξεί ωνί υξάνετι, υξάνετι κι το ηµίτονο της. ηλδή ν ω > φ τότε ηµω > ηµφ. Μετβολή του συνηµιτόνου : Ότν µί οξεί ωνί
10.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης
0.4 σκήσεις σχολικού ιλίου σελίδς 0 Ερωτήσεις κτνόησης. Με την οήθει του τύπου Ε = ηµ, ν ποδείξετε ότι Ε Ε = ηµ = Η ισότητ ισχύει ότν ηµ =, δηλδή ˆ = 90 ο, δηλδή σε ορθοώνιο τρίωνο. Σε τρίωνο είνι () =
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,
9.4. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 194. Ερωτήσεις κατανόησης. Στο παρακάτω σχήµα να συµπληρώσετε τα κενά Λύση
1 9.4 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 194 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ ν συµπληρώσετε τ κενά Ε i) = + +. ii) = + +.Ε. Ν βρεθεί το είδος των ωνιών του τριώνου ότν i) β = + ii) = β iii) β = i) β
3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα
Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο
3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής
6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων
3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. 2. Άµεση συνέπεια (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 2α Ο γ.τ του σηµείου Μ είναι έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Περιορισµός : Αν ( ΕΕ ) = 2γ, πρέπει γ < α
3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµ έλλιψη µ στίς τ σηµί Ε ι Ε, το γωµτριό τόπο των σηµίων του πιπέδου των οποίων το άθροισµ των ποστάσων πό τ Ε ι Ε ίνι στθρό ι µγλύτρο του Ε Ε.. Άµση συνέπι (ΜΕ )
ΜΑΘΗΜΑ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ στο ΚΕΦ. 4
ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ κι ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ στο ΚΕΦ. 4 ρ. Α. Μγουλάς Νοέµριος 5 ) Ν υπολογιστί το ηλκτρικό πδίο που δηµιουργί µι τέλι γώγιµη κοίλη σφίρ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. γ < ΟΑ + ΟΒ ΜΓ< ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < ΟΑ + ΟΒ + ΟΜ + ΟΓ γ + ΜΓ < (ΟΑ + ΟΓ) + (ΟΜ + ΟΒ) γ + ΜΓ < ΑΓ + ΜΒ γ + ΜΓ < β + ΜΒ
3.0 3. ΘΕΩΡΙ. νισοτικές σχέσεις σε τρίωνο Κάθε εξωτερική ωνί τριώνου είνι µελύτερη πό τις πένντι εσωτερικές. πένντι πό άνισες πλευρές βρίσκοντι άνισες ωνίες κι ντίστροφ. Τριωνική νισότητ : β < < β + (υποτίθετι
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ
ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης
4. -4.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 8 83 ρωτήσεις Κτνόησης. i) Πώς ονοµάζοντι οι γωνίες κι β του πρκάτω σχήµτος κι τι σχέση έχουν µετξύ τους; ii) Tι ισχύει γι τις γωνίες γ κι δ ; ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση
Π Α Ν Ο Ρ Α Μ Α Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σελίδα 1 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ C 1
Π Ν Ο Ρ Μ Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σλίδ 1 ΚΥΚΛΟ ΟΡΙΜΟ : Ονομάζτι ο ωμτικός τόπος (.τ.) των σημίων του πιπέδου που πέχουν στθή πόστση, ( > ), πό έν συκκιμένο
2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ. Α Γυµνασίου
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ ος Ηµθιώτικος Μθητικός ιγωνισµός στ Μθηµτικά «Η ΥΠΑΤΙΑ» Θέµ 1ο Σάτο 1 Νοεµρίου 009 Α Γυµνσίου Ο ρίσκετι σε έν κινηµτογράφο όπου όλες οι σειρές έχουν κριώς
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.
ΣΤΟΙΧΕΙΑ Τ Ρ Ι Γ Ω Ν Ω Ν
ΣΤΟΙΧΕΙ Τ Ρ Ι Ω Ν Ω Ν Θυμάμι ότι... ˆ + ˆ + ˆ = 180 ο ντί ν ράφουμε συνέχει «το τρίωνο» μπορούμε ν ράφουμε Δ. ΠΛΕΥΡΕΣ = = = ΩΝΙΕΣ = = = ν χωρίσουμε τ τρίων σε κτηορίες, με κριτήριο τ κύρι στοιχεί τους,
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις
ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΙΑΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΑΛΛΩΝ ΠΛΕΥΡΩΝ ΤΟΥ ΚΑΙ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΕ ΑΥΤΕΣ
2 ΥΝ ΤΗ Υ Τ ΤΗΝ ΥΗ 363 ΜΤΗΗ Μ ΛΥ ΤΩΝΥ ΥΝΤΗ ΤΩΝ ΛΛΩΝ ΛΥΩΝ ΤΥ ΤΩΝ ΛΩΝ ΤΗ ΥΤ Μστροιάννης Ν. νάρυρος Μθημτικός πιμορφωτής Ν.Τ. ΛΗΗ Το θέμ προς διπρμάτευση νφέρετι στη σχέση των εμδών που σχημτίζοντι σε τρίωνο
τριγώνου ΑΒΓ είναι κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. Με βάση την τριγωνική ανισότητα για
3.0 3. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 57-58 Ερωτήσεις Κτνόησης. Χρκτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος ( ) κάθε µί πό τις επόµενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνί ˆ εξ τριγώνου είνι µεγλύτερη πό την ˆ ii) Η εξωτερική
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα
( ) Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας
3.3 Ασκήσις σχολικού ιλίου σλίδς 3 A Oµάδς. Ν ρίτ τη ξίσωση της έλλιψης σ κθµιά πό τις πρκάτω πριπτώσις : (i Ότ έχι στίς τ σηµί Ε (, 0 κι Ε(, 0 κι µγάλο άξο 0 (ii Ότ έχι στίς τ σηµί Ε (0, 5 κι Ε(0, 5 κι
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνάρτηση, η οποί είνι συνεχς σε έν διάστηµ Ν ποδείξετε ότι: Αν >0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είνι γνησίως
2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ
ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο
i) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 ii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2Α 2 iii) ΑΒ 2 + ΑΓ 2 = 2ΒΓ Μ iν) ΑΒ 2 ΑΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2 = 2ΑΜ 2 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΒΜ 2
1 9.5 9.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 198 199 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ η Μ είνι διάµεσος κι ύψος. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστή. ιτιολογήστε την πάντηση σς. A i) Μ Μ ii) Μ iii)
3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. Ορισμός Έλλειψης
0 33 Η ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός Έλλειψης Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου Ονομάζετι έλλειψη με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ E κι
ΜΕΡΟΣ Β 1 Ô. º π. Εμβαδά Επίπεδων Σχημάτων. Πυθαγόρειο Θεώρημα
ΜΕΡΟΣ º π Εμδά Επίπεδων Σχημάτων Ô Πυθγόρειο Θεώρημ ΕΙΣΩΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜ È appleïëìì ÚÂ ÙÔ Â ÏÔ, ÙÔ ÁÚË Î È ÙÔ ÊÚ ÙË, appleúèó applefi appleâú appleô ÙÚÂÈ ÈÏÈÂÙ Â, Ó ÁÎ Û Ó ÙÔ Ï Ô appleô Î ÙÔÈÎÔ Û Ó ÛÙËÓ appleâúèô
τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =
3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο
Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου και λόγος εµβαδών
0. 0.5 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου κι λόγος εµβδών ΘΕΩΡΙ. Ε= τ( τ )( τ β)( τ γ ) Ε = τ ρ Ε = β γ R Ε = β γ ηµ = γ ηµ = β ηµ ηµ = β ηµ = γ ηµ = R. ν δύο τρίγων έχουν ίσες βάσεις, τότε ο λόγος των
Άλλοι τύποι για το εµβαδόν τριγώνου Λόγος εµβαδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων
8 Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Λόγος εµβδών οµοίων τριγώνων - πολυγώνων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΣ ΓΝΩΣΙΣ ΘΩΡΙΑΣ Άλλοι τύποι γι το εµβδόν τριγώνου Με τη βοήθει του βσικού τύπου γι το εµβδόν τριγώνου, µε µήκη πλευρών,
Καρτεσιανές Συντεταγµένες
Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ
Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο. γ Αν δίνονται δύο οποιαδήποτε από τα τµήµατα του σχήµατος, µπορούµε να υπολογίζουµε τα υπόλοιπα.
1 9.1 9. Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο ΘΕΩΡΙ 1. προβολή του στην ε προβολή του στην ε προβολή του στην ε ε. Τρίγωνο ορθογώνιο στο κι ύψος. Τότε = = = = β + γ κι ντίστροφ = 1 υ = 1 β + 1 γ ν δίνοντι
ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ
ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς
( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Ν. ΠΕΡΑΜΟΥ ΣΧ. ΕΤ Επαναληπτικές ασκήσεις
Επαναληπτικές ασκήσις 1. Ο Γιάννης και η Μαρία μοιράστηκαν το ποσό των 3500. Ο Γιάννης πήρ 1300 πρισσότρα από τη Μαρία. ν η Μαρία πήρ x, να ράψτ μ τη οήθια της μταλητής x μια σχέση η οποία να κφράι τον
= ΑΓ, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Σ Λ 2. * Αν. = (- 2, 2) είναι παράλληλο με το
Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» * Αν ΑΒ ΒΓ ΑΓ τότε τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά Σ Λ * Αν * Αν ΑΒ ΒΓ τότε ΓΔ 4 * Αν λ τότε // Σ Λ 5 * Αν ΑΒ ΒΑ τότε ΑΒ τότε ΑΔ Σ Λ Σ Λ Σ Λ 6 * Τ δινύσμτ ΑΒ κι ΟΑ - ΟΒ
ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ
«Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE
1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το
Θέματα Εξετάσεων Φεβρουαρίου 2012:
ΑΡΙΘΜΗΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΔΙΔΑΣΚΟΝΕΣ: Ι. ΑΝΑΓΝΩΣΟΠΟΥΛΟΣ - Κ.Χ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ ΕΞΕΑΣΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Θέμτ Εξτάσων Φβρουρίου : ΘΕΜΑ μονάδς Κμπύλη ezier δημιουργίτι πό σημί
ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε
1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:
1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
1.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Νόµος ηµίτονων ηµα β ηµβ ηµγ R. Νόµος συνηµίτονων β + β συνα κι κυκλικά ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Τι σηµίνει επίλυση τριώνου Υπολοισµός των κύριων στοιχείων του (πλευρές ωνίες).
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)
Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό
Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά
Βασικά γεωμετρικά σχήματα- Μέτρηση γωνίας μέτρηση μήκους - κατασκευές ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙ: Κεφάλιο 1 ο σικά γεωμετρικά σχήμτ- Μέτρηση γωνίς μέτρηση μήκους - κτσκευές ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πάνω στο ευθύγρμμο τμήμ = 6cm, ν πάρετε έν σημείο Γ, τέτοιο ώστε Γ = 2cm κι έν σημείο Δ, τέτοιο ώστε Δ =
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι
Συνηµίτονο µιας οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου λέγεται:
Λόγος ευθυγράµµων τµηµάτων Ότν θέλουµε ν συγκρίνουµε δύο ευθύγρµµ τµήµτ, υπολογίζουµε τη διάφορ ή το λόγο των µηκών τους. Στην περίπτωση του λόγου υπολογίζουµε πόσες Φορές το έν τµήµ είνι µεγλύτερο πό
2. ** Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχεται από το σηµείο (1, 0) και εφάπτεται στις ευθείες 3x + y + 6 = 0 και 3x + y - 12 = 0.
Ερωτήσεις νάπτυξης 1. ** Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-,
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις
ΠΥΚΝΩΤΕΣ Μία διάταξη για την αποθήκευση φορτίου.
Πυνωτής : ΠΥΚΝΩΤΕΣ Μί διάτξη γι την ποθήυση φορτίου. Κτνλώντι νέργι γι την συνάθροιση του φορτίου άρ ποθυύτι ηλτριή δυνμιή νέργι Δυνμιό μτλλιής σφίρς V 4π o V νάλογο του C V ισχύι γνιότρ γι οποιοδήποτ
1.3 ΕΜΒΑ Α ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ
1 1.3 ΕΜΒΑ Α ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εµδόν τετργώνο πλεράς : Ε =. Εµδόν ορθογωνίο : Ε = 3. Εµδό πρλληλογράµµο : Ε = ύψος ή ύψος άση άση 4. Εµδόν τχίο τριγώνο : Ε = 5. Εµδόν ορθογωνίο τριγώνο : Ε =
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
(1). ΒΓ ˆ, οπότε Γ ˆ ˆ
4 ο φυλλάδιο νισοτικές σχέσεις (τριωνική νισότητ) (Version 10-7-016) 3.1 Θεώρημ Κάθε πλευρά τριώνου είνι μικρότερη πό το άθροισμ των δύο άλλων κι μελύτερη πό τη διφορά τους. Απόδειξη: Έστω τρίωνο ΑΒΓ.
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη
Μ' ένα καλά µελετηµένο κτύπηµα, σκότωσε τον κύκλο, την εφαπτόµενη
255 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣΣ Α! ΤΑΞΗΣΣ Ο Ρωµίος που µχίρωσσε ε τον Αρχιµήδη Μ' έν κλά µελετηµένο κτύπηµ, σκότωσε τον κύκλο, την εφπτόµενη κι το σηµείο τοµής στο άπειρο. "'Επί ποινή" διµελισµού εξόρισε
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Πράξεις. Αλγεβρικά Συστήµατα. Ιδιότητες Πράξεων. Προσεταιριστική. Αντιµεταθετική. Ουδέτερος. Αντίστροφος
Πράξις Αλρικά Συστήµτ Μί συνάρτηση f πό το ΑxA Αονοµάτι πράξη (ιµλής) πί του A. Ο ορισµός µπορί ν πκτθί σ µι συνάρτηση πό ρο (ΑxA)xA A (τριµλής πράξη), κτλ Έν σύνολο φοισµένο µ ένν ριθµό πράξων πί του
9.7. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογιστούν οι τιµές των x και ψ.
1 9.7 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 03 0 ρωτήσεις κτνόησης 1. Στ πρκάτω σχήµτ ν υπολογιστούν οι τιµές των x κι ψ. () O x Ρ 3 Θ x 6 Κ Τ Ν Σ O 1 ψ Λ (β) Ζ O (γ) Στο σχήµ () Στο σχήµ (β) Στο σχήµ (γ) Ρ.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές
- 218 - Μέρος Kεφάλαιο 3 ο - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου κορυφή Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές,,, τρεις πλευρές,,
Κεφάλαιο 5. Εφαρµογές των Θεωρηµάτων οµής. Έστω F ένα σώµα, V ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης επί του
Κφάιο 5 Εφρµογές των Θωρηµάτων οµής 5 Μέτη µις γρµµιής πιόνισης :V V µέσω των Θωρηµάτων οµής Έστω έν σώµ, V ένς δινυσµτιός χώρος ππρσµένης διάστσης πί του ι : V V µι γρµµιή πιόνιση Όπως ξέρουµ το V φοδιάζτι
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε
ENA ΣΧΗΜΑ ΜΕ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ. Κόσυβας Γιώργος. 1ο Πειραματικό Γυμνάσιο Αθηνών
Σ ENA ΣΧΗΜ ΜΕ ΕΝΙΦΕΡΟΥΣΕΣ ΠΡΟΕΚΤΣΕΙΣ Κόσυβς ιώργος ο Πειρμτικό υμνάσιο θηνών ε υτή την εργσί προυσιάζοντι ορισμένες ξιοσημείωτες πρτηρήσεις πάνω σε έν πλούσιο σχήμ, το οποίο επιτρέπει ποικίλες προσεγγίσεις
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,
ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ
ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων
ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου
ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n
ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999
Θέµτ Μθηµτικών Θετικής Κτεύθυνσης Β Λυκείου 999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµ ο Α. Έστω a, ) κι, ) δύο δινύσµτ του κρτεσινού επιπέδου Ο. ) Ν εκφράσετε χωρίς πόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων a κι συνρτήσει
f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I
ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑ.Λ (ΟΜΑ Α Β ) 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ ΟΜΑ Α Β 9 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Έστω µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ Αν η είνι συνεχής στο ι γι άθε εσωτεριό σηµείο του ισχύει, ν ποδείετε ότι η είνι στθερή σε όο το διάστηµ Μονάδες
1. * Το σηµείο Μ (- 2, 3) ανήκει στη γραµµή µε εξίσωση Α. x = 3 Β. x = - 2 Γ. x 2 + y 2 = 1. (x + 2) 2 + (x - 3) 2 = 1 Ε.
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = Β. = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. * Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α (1, -) κι Β (7, ), έχει συντετγµένες
4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ
1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή
Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα
ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
φ = ω Β=Γ Α= Β=Ε Γ=Ζ φ Ο
1 Η Π ΕΙΞΗ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ. ΩΝΙΕΣ ΙΣΕΣ ια να αποδίξουμ ότι δύο γωνίς ίναι ίσς πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι ίναι άθροισμα ή διαφορά γωνιών αντίστοια ίσων. α = β α+ γ = β + δ ν τότ γ = δ α γ = β δ.
α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν
β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
![β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,](/thumbs/53/31826077.jpg "β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,")
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Ίσα Τρίγωνα όχι, Ψευδοΐσα ναι
Ίσ Τρίω όχι Ψευδοΐσ ι ημοσιεύτηε στο περιοδιό «φ» τ.5 008 ημ. Ι. Μπουάης Σχ. Σύμουλος Μθημτιώ Οι ερωτήσεις τω μθητώ μς είι σφλώς πάτ ευπρόσδετες λλά πρέπει ι τις εθρρύουμε με άθε τρόπο. Όχι μόο ιτί ζωτεύου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].](/thumbs/56/37994276.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν
Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων
αριθμών Ιδιότητες της διάταξης
Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι
Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.
Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς