Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
|
|
- Ξένα Ζωγράφος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l dacă ε 0, ( )N ( ε ) a.î. N ( ε ) a l ε. Se scrie lim a l. Obs: D D x dacă ε 0, ( )N ( ε ) a.î. x ε ; x dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. x ε ; D 3 : (a ) este şir Cauchy ε 0, ( )N ( ε ) a.î. (, m N ( ε )) a a m ε D 3 : (a ) este şir Cauchy este mărgiit (şir fudametal) dacă ε 0, ( )N ( ε ) a.î. (, p ) a p a ε P : Orice şir Cauchy este mărgiit D 3 Dem: Fie ε 0 (fixat) ( ) N ( ε ) a.î. şi p a p a ε a N p a N ε a N ε a N p a N ε petru p. Dar a N ε şi a N ε sut umere reale şi deci (a ) este mărgiit. P : Fie (a ) şir Cauchy şi fie u subşir (a k ). Dacă a k l a l Dem: Fie ε 0 ( ) ( ε ) a.î. N ( ε ) a l Dar a l a a a l k k k a l a a k a k l D 3 Dar (a ) este şir Cauchy ( ) N ( ) a.î. N ( ) p a p a N max( N, N ) a l a a k a k l. Fie Cum idicele k a a şi fie a l a l k
2 Aaliză I Curs D petru lim a l P 3 : U şir coverget este şir Cauchy Dem: Fie l lim a. Deoarece: a l a l p a a p P 3 : (Lema Cesaro) Orice şir mărgiit coţie u subşir coverget T 4 : (Criteriul lui Cauchy petru şiruri) Fie şirul (a ). Următoarele afirmaţii sut echivalete:. Şirul (a ) este coverget;. Şirul (a ) este Cauchy. Dem: () () rezultă di P 3 ; () () P Fie (a ) u şir Cauchy (a ) este mărgiit (Lema lui Cesaro) şirul (a ) coţie u subşir coverget (a k ) l P şirul (a ) este coverget şi (a ) l Ex : Fie (a ) si kx k. Să se studieze atura şirului. k si( ) x si( p) x a p a p p p p a a (, p ) T 4 p coverget. Serii de umere 0 (a ) este şir Cauchy (a ) este şir D 4 : Fie (u ), u. Se cosideră (S) U k U 0 U...U. Perechea U, S se umeşte serie de terme geeral u. (S ) este şirul sumelor parţiale asociate şirului iiţial (u ). k 0
3 Aaliză I Curs D 5 : Dacă şirul sumelor parţiale (S ) este coverget, spuem că seria dată (U, S ) este covergetă şi se scrie S lim S U şi S U se umeşte suma seriei. Dacă (S ) este diverget sau are limita, atuci se spue că seria este divergetă. P 5 : a) Dacă adăugăm sau extragem u umăr fiit de termii la o serie, atuci atura seriei u se schimbă; b) c) Ex : Fie Dacă U este covergetă U 0 ; 0 Dacă U 0 atuci seria U 0 ( ) U ( ) 0 este divergetă. S k k k ( ) T 6 : Criteriul lui Cauchy (Criteriul geeral al lui Cauchy petru serii) (E ecesar şi sufficiet) Fie () U, următoarele afirmaţii sut echivalete:. Seria () este covergetă;. 0, ( )N ( ) a.î. ( N, p ) U U... U p Dem: () este covergetă (S ) coverget T 4 S este şir Cauchy 0, ( )N ( ) a.î. ( N, p ) S p S Dar S p S U... U p S p S (S ) este şir Cauchy, {S } coverget U covergetă (q.e.d.) D 6 : 0 este a) Seria U este absolut covergetă dacă seria modulelor U 0 covergetă ; 0 este 3
4 Aaliză I Curs b) Fie U 0, 0, seria ( ) U U U...( ) U 0 se umeşte serie 0 alterată. T 7 : Criteriul lui Abel Fie U şi (a ), a 0, a ; 0 Dacă:. Şirul {S } 0 este mărgiit;. a 0 (mooto decrescător la 0) a U este covergetă. 0 Dem: (cu criteriul lui Cauchy) Fie 0,, p a U a U... a p U p a (S S ) a (S S )... a p (S p S p ) S a S (a a ) S (a a 3 )... S p (a p a p ) a p S p S a S (a a ) S (a a 3 )... S p (a p a p ) S p a p M (a a a a... ( a p ) a p Ma S M,, deoarece (S ) e mărgiit. Deci Ma p petru, p. a U... a p U p Dar a 0, a 0 ( )N ( ), N ( ) a a U... a U, ( N ( ), p ) M p p Corolar: (Criteriul lui Leibitz) (u se îţelege) Fie, ( ) S, şi petru şirul (U ), U 0. Dar S 0 T 7 Deci este mărgiit şi U 0 ( ) U este covergetă. Ex 3 : ( )... seria armoică alterată 3 Obs: Orice serie absolute covergetă este covergetă ( ) Dar ( ) ( ) covergetă Leib itz covergetă absolut covergetă 4
5 Aaliză I Curs Ex 4 : S S... seria armoică simplă, (S ) u este şir Cauchy (S ) u este coverget este divergetă. Obs: Există serii covergete. Ex 5 : ( ) este covergetă Dar ( ) este divergetă Aproximarea sumei uei serii alterate: P 8 : Se cosideră ( ) U, U 0 cu proprietatea că U 0. Atuci dacă 0 otăm cu S suma acestei serii avem: S S U,. Dem: S S U U (U U ) 0 0 Costatăm că S S S S U U 0 S S S S S S U () S S S S U (3) Di () şi (3) S S U,. Ex 5 : Fie ( ) S, 0. Să se determie valoarea, dacă se aproximează S S, adică astfel îcât S S < ε S S S S S S lim U ) l a l T 4 ( U a a) dacă l e a a l covergetă; a a e 5
6 Aaliză I Curs b) dacă l e a a l divergetă; a a e l a l l e e e c) dacă a a l divergetă. Obs: Criteriul lui Raabe este idicat să fie aplicat câd lim U. U Şiruri de fucţii D : Fie f : A,. Se spue că ( f ) este simplu (puctual) coverget dacă x A f (x) este coverget. Î acest caz, otăm pri f : A,, f s f dacă 0 şi x A, ( )N (, x) a.î. N (, x) f (x) f (x). Obs: D D D : Fie f, f : A,. Spuem că ( f ), coverge uiform către f pe A dacă 0, ( )N ( ) a.î. N ( ) şi x A avem u f (x) f (x). Se scrie f f. Obs: Dacă f u f f s f (di D + D ) Ex 8 : f : 0,, x f x f 0 x f x... x Să se determie atura f f x Petru 0, fixat, lim f (x) 0 D f s 0, Fie f () f 0 (uiform) () D Pp. pri absurd că f u 0 Fie 4 ( )N ( ) a.î. N, x 0, f (x) 0 ()+() u corespude f 0 (uiform) () 6
7 Aaliză I Curs Curs D 0 : Fie u, u,, S u k. S şirul sumelor parţiale şi u termeul 0 geeral al seriei. Se spue că şi () u lim S 0 0 k u 0 suma seriei. este covergetă dacă S este şir coverget P 0 : Criteriul geeral al lui Cauchy petru serii (criteriu ecesar şi suficiet). Seria este covergetă 0, N a.î. N, p u 0 u u... u p. * D 0 : Fie u, u. Atuci u P 0 : Fie 0 u, u 0. Dacă u 0 0 se umeşte serie alterată. u 0 covergetă. Ex : este covergetă (seria armoică alterată). Ex : este divergetă (seria armoică simplă). S S u... u, S u este coverget Serii cu termei pozitivi divergetă. D : u este o serie cu termei pozitivi dacă u 0 petru. 0 T : (Criteriul comparaţiei) Fie u, v, u 0, v 0,. Presupuem că N a.î. N, () u v, 0 0 atuci:. Dacă seria. Dacă seria v 0 u 0 este covergetă u covergetă; 0 este divergetă v divergetă. Obs: Cele afirmaţii sut echivalete ) ). Dem:. Presupuem N 0. Deci u v,. Notăm Avem S T. Ştim că 0 T este coverget M 0 S u k, T v k. k k a.î. T M,
8 Aaliză I Curs S M,. Pe de altă parte, u este covergetă. 0. temă petru acasă. Ex 3: Fie. u,. S este crescător S coverget,. Dar este divergetă divergetă. lim lim deci u. 0 Corolar : Fie u, v, u 0, v u v, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: u v. Dacă este covergetă. Dacă v 0 u 0 este divergetă u 0 v 0. Presupuem că N a.î. este covergetă; este divergetă. u u u u, v v v v 0 Dem: (3) (4) otăm 0 (margiea iferio u T u v (5). Dacă v covergetă u covergetă, şi v dacă T 0 u divergetă v divergetă. 0 0 Corolar : Fie u, v, u 0, 0 0 Atuci :. Dacă l 0 cele serii au aceeaşi atură;. Dacă l 0, atuci dacă 3. Dacă l atuci dacă v 0 u 0 v 0. Presupuem că lim l. 0 covergetă u covergetă; 0 divergetă v divergetă. u v Dem:. Fie l 0, şi a, b l o veciătate a lui l, a.î. 0 a l b. Atuci N a.î. să avem u a, b a u v v. Di (7) şi T u şi 0 0. şi 3. temă petru acasă. v 0 b (6) av u bv (7) petru au aceeaşi atură.
9 Aaliză I Curs Fie l, N a.î., v divergetă. 0 u v u v u divergetă 0 Ex 4: 7 lim 7 0 şi fie. lim divergetă. T : (Criteriul rădăciii al lui Cauchy) Fie u, u 0 (serie cu termei pozitivi). Presupuem că lim u l. 0 Atuci:. covergetă;. Dacă l u 0 Dacă l u 0 divergetă. Dem:. Fie l şi a, b l a.î. 0 a l b N a.î. petru N a u b (8) u b, N. Cosider v b b covergetă 0 (serie geometrică cu raţia b ) u covergetă;. temă petru acasă; Ex 5: lim u seria este covergetă. 0 T 3 : (Criteriul raportului al lui D Alembert) Fie u o serie cu termei pozitivi. Presupuem că lim 0. Dacă l u covergetă; 0. Dacă l divergetă. Dem: u 0 0 u u l. Atuci:. Fie l şi a, b l a.î. b N a.î., u a, b a u b. u u 3
10 Aaliză I Curs u Presupuem că N 0 b u bu 0 u 0 u bu b u 0... Dar u 0b este covergetă (deoarece b ) 0 Di (9) şi T u covergetă; 0 Ex 6:! u lim lim! u T 4 : (Criteriul lui Raabe Duhamel)! 0 seria este covergetă. Fie u, u 0,. Presupuem că lim 0. Dacă l atuci u este covergetă; 0. Dacă l atuci u este divergetă. 0 u u l. Atuci: Dem:. Fie l şi veciătatea a, b l, a N a.î. N u (0) a u u au () u () u u au u a u Notăm x u (presupuem ). Di () x, x 0 x e coverget. Notăm v u u 0 şi fie v 0 S v k u u u 3u 3 3u 3 4u 4... u u k u u x x 0, S S x x 0 ; S mooto şi mărgiit de zero (0) S este covergetă. v covergetă (3) v a u,. 0 v 0 u 0 Dar covergetă covergetă. 4
11 Aaliză I Curs u u u u bu u. Fie l. N a.î. b, N u u 0 u u u u Notăm w u w (4). Dar w divergetă u divergetă. u w 0 0 Ex 7: Să se determie atura seriei: a l, a 0 u a l u a l u a l l a lim u u a l (T 3 u se poate aplica) l l u l a lim lim a lim l u l x Se ştie că lim a l a x 0, lim a x x l 0 l l Fie. x x 5
12 Aaliză I Curs 3 Curs 3 D 0 : Fie f : A,. Se spue că f este simplu(puctual) coverget pe A dacă: x A, f x este coverget. Dacă f este simplu coverget pe mulţimea A, defiim f : A a.î. x A f x lim f x şi se scrie. s f f D 0 : Se spue că şirul de fucţii f coverge uiform pe A dacă f : A a.î. 0, N a.î. N, x A f x f x. Se scrie f u f. T : (Criteriul Cauchy petru şiruri de fucţii) Fie f : A,. Sut echivalete următoarele afirmaţii:. f este uiform coverget;. 0, N a.î. N, x A, p f p x f x. Dem: ) ) D 0 Fie 0, f : A a.î. f u f N a.î. f x f x. Fie N, p, x A N, x A f p x f x f p x f x f x f x f p x f x x f x f x f x, x A, N, p. f p ) ) Pertu fiecare x A, fixat f x şir Cauchy lim f x. Notăm s f x lim f x, f : A f f. Fie 0, N a.î. N, x A, p * f p x f x. Trecem la limită după p i relaţia * petru fiecare x A f x f x f u f. T : (Trasfer de cotiuitate sau proprietatea de ereditate a cotiuităţii) Fie f, f : A,. Presupuem:. f sut cotiue pe A ;. f u f ; Atuci f este cotiuă pe A.
13 Aaliză I Curs 3 Dem: Fie a A. Fie 0 N a.î. N, x A f x f x. Î particular f x f x, x A. Dar N N 3 cotiuă î a A 0 a.î. x A, Fie x A a.î. x a f este x a () f x f a N N. 3 f x f a f x f f a f a N x f N x f N a N N f x f a f este cotiuă î a A. Dar a A arbitrar f este cotiuă pe A. T 3 : (Teorema de trasfer de itegrabilitate) Fie f, f : a, b,. Presupuem: a) f sut itegrabile, ; b) f u f. Atuci:. f este de asemei itegrabilă; b. f x dx f x dx. a b a Dem:. Presupuem că f sut cotiue(petru simplificarea demosteraţiei) f cotiuă f itegrabilă;. Fie 0, f u f N a.î. N, x a,b f x f x. Fie b a b b b N f x dx f x dx f x f xdx a a a b a f x f x dx b f x dx f x dx. a b b a b a dx b a a b a T 4 : (Teorema de derivare terme cu terme a şirurilor de fucţii) Fie f, f, g : I,. Presupuem: a) f derivabile petru şi f cotiue petru ; b) f s f ; c) f u g.
14 Aaliză I Curs 3 Atuci:.. Dem: Fie f este derivabilă pe I ; f x g x, x I. a I fixat. Di teorema ()+c) g cotiuă. Defiim G : a, x x astfel: G x g t dt. ( G este o primitivă a lui g ) Gx g x, x I. a Fie x I. Aplicăm teorema T 3 şi c) î următorul cotext: x x x f (3) f, g : a, x f t dt t g t dt dt G x, I. a a a x x Pe de altă parte, f t dt f t f x f a x a a (4) f t dt f x f a. Di (3) + (5) G x f x f a (6), x I şi a G x derivabilă f a costată f este derivabilă şi f x Gx f a g x, x I f x g x Serii de fucţii D : Fie f : A,. Defiim S : A, S x f k x, x A. S f k. S şirul sumelor parţiale. Spuem că seria f, S este k 0 simplu (respective, uiform) covergetă dacă şirul S (respectiv uiform) coverget pe A. Dacă s a) S f f f ; 0 u b) S f f f. 0 Obs: f S f x S x, x A. 0 0 s u k 0 este simplu 3
15 Aaliză I Curs 3 T 5 : (Criteriul lui Cauchy petru serii de fucţii) Fie f : A, şi f. Următoarele afirmaţii sut echivalete: 0. f este uiform covergetă; 0. 0, N a.î. N, p, x f x f x... f p x. Dem: Seria f este uiform covergetă S este uiform 0 coverget 0, N a.î. N, p, x A S p x S x. T 6 : (Criteriul lui Weierstrass) Fie f : A, şi a, a 0,. Dacă:. N a.î. N, x A f x a ;. a este covergetă. 0 Atuci: este uiform covergetă. f 0 Dem: Fie 0, a 0 este covergetă N a.î. N, p a... a p. Notăm N max N, N. Fie N, p, x A f x... f p x f x... f p x a... a p f covergetă. 0 uiform Ex : * x dar x covergetă * uiform covergetă Mulţimi mărgiite. Margie superioară şi iferioară D : Fie A. Numărul real a se umeşte majorat dacă x A x a. Numărul real b se umeşte miorat dacă x A avem x b. Se spue că A este mărgiită dacă există mioraţi şi majoraţi petru A. D 3 : Fie A şi M. Se spue că M este margie superioară a lui A (cel mai mic majorat) dacă:. M este majorat; 4
16 Aaliză I Curs 3. 0, x A a.î. M x M. Se scrie M sup x sup A. x A Serii de puteri D 5 : Fie a, a ; f :, f x a x f 0 a 0, f a x,..., f a x... se umeşte serie de puteri şi a se umesc coeficieţii seriei. D 6 : Fie a fixat. Seria a x se umeşte serie Taylor î jurul a 0 puctului a fixat. Dacă otăm x a y. Seria Taylor devie: a x a a y (serie de puteri ale lui y ). 0 0 D 7 : Fie a x. Notăm C x / 0 covergeţă a seriei de puteri. Obs: 0 C deci C. Lemă: Presupuem că x 0 0, x 0 C x cu 0 absolut covergetă. Dem: Fie x cu proprietatea x x 0. x x x a x a x a x 0 M,. x 0 0 x 0 x 0 a x cov. C se umeşte muţimea de x x 0 a x este Dar este covergetă(seria geometrică cu q ) a x este 0 x x 0 covergetă a 0 x absolute covergetă. Obs: Dacă x 0 0 este pucte de covergeţă al seriei de puteri ( x 0 C ) ( a x 0 este covergetă) x 0, x 0 C. Dem: x x 0, x 0 x x 0 a este covergetă x este absolut covergetă 0 a x 5
17 Curs 4 T 0 : (Teorema de derivare terme cu terme a uui şir de fucţii) Fie f, f, g : I,. Presupuem: a) f C I derivabile şi cotiue; b) f s f ; c) f u g. Atuci:. f este drivabilă pe I ;. f x g x pe I x. P 0 : Fie a x, presupuem că x 0 a.î. x C (adică a este x covergetă). Atuci x, x x 0 a x este absolute 0 covergetă(adică: a x este covergetă). 0 Obs: Dacă x 0 C, x 0 0 x x 0 x 0, x 0 x / x x 0 C C este itegrabilă. T : (Abel) Fie a x. Atuci R [0, ) uic determiat cu proprietăţile: 0. x, x R a c absolut covergetă;. 3. Dem: x, x R a c divergetă; 0 0 r R a c uiform covergetă pe r, r. 0 C este mărgiită şi x 0 C, x 0 0 ; C 0 ; C u este mărgiită. Notăm cu R sup x R 0, x C Codiţii: a. Fie x cu x R. Di defiiţia margiii superioare(cel mai mic majorat) x 0 C x x 0 R şi a x a.î. este covergetă a covergetă; 0 0 x este covergetă a x este absolut
18 b. Fie x a.î. x R. Presupuem că a x Fie x a.î. R x x a x x C cotradicţie cu R sup x 0 x C 0 este covergetă. este absolut covergetă 0 a x este divergetă; c. Fie 0 r R. Fie x r, r a x a r a r a x este covergetă a 0 0 x uiform covergetă pe r, r.. C 0 R 0 verifică cele trei codiţii di T ; 3. Se demostrează că R, şi se verifică codiţiile ), ) şî 3). D : R stability î T se umeşte rază de covergeţă(cetrată î O ) a seriei a x. 0 Obs: Dacă R, C ; R R, R C. Uicitatea lui R.Presupuem că R, R, R R, care verifică ) şi ) di T. Di T (codiţia ) a x este divergetă 0 Di T (codiţia ) a x absolut covergetă R R. 0 T : (Cauchy Hadamard) Calculul razei de covergeţă cotradictie Fie seria seria de puteri a x. Presupuem că lim l. Atuci: 0. Dacă l 0, R ; l. Dacă l 0 R ; 3. Dacă l R 0. Dem: a. Presupuem 0 l. Arătăm că verifică codiţiile )+) di T. l Co di ţi a a
19 Fie x a.î. x. Aplicăm criteriul raportului(d Alambert) petru l a lim x a x a x lim x l x a lim x covergetă 0 a a x este absolut covergetă. 0. Fie x, x. Presupuem că a x este covergetă şi fie l 0 y, x covergetă. Pe de altă parte, folosid criteriul raportului l lim l l l a y divergetă a x divergetă l cotradicţie(petru că aceeaşi serie este şi covergetă şi divergetă) a x este divergetă temă petru acasă. x Ex:. Să se determie covergeţa sumei. 0 a l lim a 3 R, C Petru x avem seria umerică C care este divergetă şi deci Petru x avem care este covergetă C C (,]. 0 3 T 3 : (Torema de derivare şi itegrare terme cu terme a seriilor de puteri) Fie a x f x cu R raz de covergeţă. Fie a x g x cu R raza 0 0 de covergeţă. Atuci:.. 3. Dem:. u u a y a y R R R ; f este derivabilă şi f x g x petru x R, R ; a, b R, R a x dx f x dx. 0 a a Presupuem că lim b a A N a b l lim a a R R R R ;
20 . Fie S a k k k 0 k Fie x, x R, R. Se ia 0 r a.î. x r, r R, R. Se aplică T 0 x k, ka x k S s f şi u g. Dar S. u şirului S, f şi g pe I r, r S f pe r, r. Mai mult, S u g pe r, r. Se aplică T 0 î următoarul cotext: S, f, g : r, r f derivabilă şi f x g x, x R, R 3. Fie a, b r, r R, R. Se ştie că S u f pe a, b şi se aplică teorema de trasfer de itegrabilitate(t 0 ) petru şirul S x pe a, b. Ştim că S u f pe a, b r, r S x dx f x dx. Dar b b b b b S a x dx a xk dx f x dx a xk dx f x dx. k k k 0 a a k 0 a b a a b a Formula lui Taylor * D : Fie f : I, x 0 I,. Presupuem că f x. x x x x x x T x f x f f 0 x 0 x 0... f x 0.!!! T se umeşte pliomul lui Taylor. Notăm pri R : I, R x f x T x () f x T x R x f x x x 0!! f x... x x 0 f x R x () se umeşte formula lui Taylor, iar R se umeşte restul de ordiul al formulei Taylor. Obs: 0, 0 a.î. x I, x x 0 f x T x f x T x ; lim R x 0 T 4 : (Expresia lui R ) * Fie f : I, x 0 I şi, p fixate. Presupuem că f x, x I. p x c p Atuci x I, x 0 x, c x 0, x a.î. () R x x x 0 f c R x Dem: Notăm pri (3) k x x p 0! p 0
21 x x x x () 0 0 (4) f x f x 0 f x... f x 0 k x x 0 p 0.!! Itroducem : I, fucţia auxialiară x t x t (5) t f t f t... f t k x t p x f x,!! x 0 f x. Pe de altă parte, este derivabilă pe I este o fucţie Rolle pe x 0, x şi x 0 x c x 0, x a.î. c 0. Di (5) x t f t x t t f t f t x t f t... f t kp x t p x t (6) t f t kp x t p!!!! Dar c 0 x c f c kp x c p x c k (5) (7) R x x c p x x!! p 0 p f c! p. p R x se umeşte restul lui Cauchy;. p R x x x 0 f! p p f! c c se umeşte restul lui Lagrage x x 0 x x 0 x x () + (4) f x f x f x... f 0 x f 0 0 0!!! c.
22 Aaliza I Curs 5 Curs 5 D 0 : Fie f : I, x 0 I. Presupuem că f x 0,. x x x x 0 0 x x 0 f x T x f x 0 0 f x 0... f x 0 poliomul lui Taylor.!!! R x f x T x, R x este restul formulei Taylor; () f x T x R x formula lui Taylor. T 0 : Fie f : I, x 0 I,. Presupuem că f x, atuci x I, x 0 x, x x 0 c x 0, x a.î. R x f x c restul lui Lagrage! x x x x 0 x x 0 () f x f x 0 f x f x f... c D : Fie f : I. Presupuem că )!!! Serii Taylor f x... x x 0 x x 0 (3) f x f x... f este idefiite derivabil î x 0 (adică f x 0, x x 0 f x!!! Seria (3) se umeşte serie Taylor asociată fucţiei f î puctual x 0. T : Fie f : I, x 0 I. Presupuem că f x 0,. Fie x I. Atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: x x 0!!! f x... x x 0 x x 0. f x f x lim R x 0. x x 0 Dem: f x 0 f x T x f x. 0! Ex : Să se demostreze că x au loc următoarele egalităţi:. e x x x... x..., x ;!!! x 3 x 5 x 3! 5!!.... si x x... x x 4 x 3. cos x...! 4!!..., x ;, x. f x f x ;
23 Aaliza I Curs 5 Dem:. Aplicăm T fucţiei f x e x şi x 0. f :. Fie x, fixat. Dar 0 e x e x petru e x e 0 x e 0 x e 0... x e 0!!! x c x x x! c 0, x ; R x! e ; lim R x 0!!... x!... 0, x. ) şi 3) temă petru acasă. Obs: Î exerciţiile,,3, spuem că am dezvoltat î serie Taylor î jurul lui fucţiile e x, si x, cos x. Obs: Petru x e e....!!!!! Spaţii metrice x 0 0 D : Fie X şi : X X cu proprietatăţile:. x, y y, x, x, y X ;. x, y x, z z, y, x, y, z X ; 3. x, y 0 x y. Aplicaţia cu proprietăţile arătate se umeşte distaţă şi X, se umeşte spaţiu metric. Ex : Fie X. Defiim :, x, y x y. Atuci este o distaţă î şi, este u spaţiu metric. Observăm că x y distaţa pe axa reală ditre puctele x şi y. Ex : Fie X C z, z z z ( C, ). Ex 3: Fie,, :. x x,..., x ; y y,..., y, x, y. Defiim x, y i i Petru x x, x ; y y, y x y, spaţiu metric. x, y x y x y d M x, y, M x, y. P : Fie X, u spaţiu metric şi x,..., x X, atuci: () x, x x, x x, x 3... x, x. Dem: I 3 x, x 3 x, x x, x 3 II P P i
24 Aaliza I Curs 5 Fie x, x,..., x X. Dar x, x x, x x, x x, x x, x 3... x, x x, x P este adevărată P este adevărată,. D : Fie x, u spaţiu metric şi a X, r 0. S a, r x X / x, a R sferă ichisă cu cetrul î a şi rază r 0. Obs : Fie X 3, a 0,0,0, r 0. S a, r x, y, z 3 / x y z r sferă cu cetrul î a şi rază r (sferă fără frotieră). Obs : X, a, b X, r 0 S a, b, r x, y / x a y b r disc cu cetrul î a, b şi rază r 0. D 3 : O submulţime A X, se umeşte mulţime măegiită dacă a X şi r 0 a.î. A S a, r. P : Fie A X,. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A este mărgiită;. sup x, y este fiită sup x, y. x, y A x, y A Dem: ) ) D 3 a X şi r 0 a.î. A S a, r. Fie x, y A x, y x, a a, y r sup x, r r fiită; x, y A ) ) Presupuem că sup x, y M. Fie a A fixat şi x A. x, y A x, a M A S a, M A este mărgiită. D 3 : Fie X, u spaţiu metric, a X. O mulţime V a X se umeşte veciătate a lui a dacă r 0 a.î. S a, r V a. Obs: A mărgiită sup x, y. x, y A 3
25 Aaliza I Curs 5 Şiruri de spaţii metrice D 4 : Fie u şir x X,, se umeşte coverget către a X dacă 0, N a.î. N x, a. Scriem lim x a. D 4 : U şir x, x X, este coverget către a dacă V a, N, a.î. N, se scrie lim x a x V a. Obs: x a x, a 0, 0, N a.î. N x, a. D 5 : U şir x X,, se umeşte şir Cauchy(sau fudametal), dacă 0, N a.î. N şi p x p, x. Obs: X, x,, x a ; x, y x y, x, y. Dem: x a 0, N a.î. N x a (defiiţia uui şir coverget). P 3 : Următoarele afirmaţii sut adevărate:. Orice şir coverget este şir Cauchy;. Orice şir Cauchy este mărgiit. Dem:. Fie x X,, a.î. lim x 0. Fie 0 N a.î. N x, a. Fie N, p, x, a a, x p, x x p x este şir Cauchy;. Presupuem că x X, este şir Cauchy. Fie 0 N N a.î. N, p x p, x şi î particular petru N (4) x N, x N p, p. Notăm M max x 0, x i, i 0, N. Fie N x 0, x x 0, x N x N, x M x 0, x M,. Atuci x 0, x k M, k x S x 0, M x este mărgiit. D 6 : U spaţiu metric X, se umeşte complet dacă orice şir Cauchy este u şir coverget. Obs : Limita uui şir coverget îtr-u spaţiu metric, dacă există, este uică. 4
26 Aaliza I Curs 5 Obs : Fie x a şi y b î X, x, y a, b. x, y x, a a, b b, y ; x x,..., x ; y y,..., y. D 4 : Fie X, E baza caoică. Fie Şiruri î k k k k x, i, se umeşte şirul compoetelor. i k k x x, x,..., x, fixat. P 4 : Fie a a,..., a, x i k, i,. Următoarele afirmaţii sut echivalete: k. x k a î ;. x i a i, i,. k Dem: ) ) x a i k x a x, a, k, ; i k i i k i x k, a x a x a k k () x i a i k... x k a x k, a x i k a i, k,. i Dacă x k a x k, a 0 x i a i ; k x ik a i Fie 0, N i a.î. petru k N i x i a i. Fie N max N i / i, k N şi k N i, x i, a i x k a. k P 5 : Fie * fixat. este u spaţiu metric complet. Dem: Fie x x x,..., x u şir Cauchy. Fie k, p. Aplicăm () la x () () x i x i i k k, k k k p k x, x x x ; x k p x,..., x. k p k k p k i k p i k k p k p i, x Fie 0 N a.î. k N, p x k p, x k x i k p x i k, i, x i k este u şir Cauchy i, î care este spaţiu metric complet(di criteriul lui Cauchy) x este coverget, lim x a, i,. Notăm a a, a,..., a x k a. i k k i k i k 5
27 Aaliză I Curs 6 P 0 : Fie X, spaţiu metric, x,..., x X x, x x, x x,.x 3... x, x. D 0 : Dacă a X, 0, S a, x X / a, x. D 0 : A X este mărgită dacă a X, 0 a.î. A S a,. D 03 : Spuem că x a, a X (se scrie lim x ), dacă 0, N, N x, a. Se spue că x este şir Cauchy dacă 0, N a.î. N, p x p, x. D 04 : U spaţiu metric X, se umeşte complet dacă orice şir Cauchy este coverget. T 0 : A X, mărgiită sup x, y. x, y A Puct iterior. Mulţime deschisă. D: Fie A X,, a A. Se spue că a este puct iterior al lui A dacă r 0 a.î. S a, r A ; A {pucte iterioare}. Mulţimea A X se umeşte mulţime deschisă dacă toate puctele sale sut iterioare A A. Ex: A x, y / x y mulţime deschisă (este o sferă). P : Orice sferă deschisă este o mulţime deschisă. Fie x S a, r. Notăm a, x. Fie S x, şi y S x, x, y. a, y a, x x, y x, y a, y y S a, S x, S a, S a, este deschisă. Puct aderet. Mulţime îchisă. D : Fie A X,, a X. Spuem că a este puct aderet al mulţimii r 0, S a, r A. Notăm: A {puctelor aderete ale lui A }. A este îchiderea lui A. Obs: A A. Se spue că A este mulţime îchisă dacă A A. Ex: A x, y / x y este îchisă. A dacă P : Fie A X,. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A este îchisă;. x A, a.î. x a a A.
28 Aaliză I Dem: Fie x, x A a.î. x a x S a, S a, A a A. x S a, x, a r Fie a A otăm r,, S a. A. Fie x S a, A x A, x, a 0 x a A A A A îchisă. D 3 : Fie A X,. Notăm cu C A x X, x A complemetara lui A. Fie A X,,. A A x X / x A, itersecţia mulţimilor A. P 3 : Fie A X,. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A este îchisă A A ;. C A este deschisă. Dem: Fie a C A a A a A r 0 a.î. S a, r A S a, r C A C A deschisă. Presupuem pri absurd că A este deschisă A A. Fie a A a.î. a A a C A r 0 a.î. S a, r C A S a, r A cotradicţie A îchisă. P 4 : Fie A X,,. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. Dacă A este deschisă A este deschisă; k. Dacă A,..., A k sut deschise A i deschise; i 3. Dacă A este îchisă A îchise; k 4. Dacă A,..., A k îchise A i îchise. i Dem: ) şi 4) acasă. ) Fie A,..., A k deschise, A A i. Fie a A a A i, i, k r i 0 a.î. k S a, r i A i. Notăm r mi r i S a, r S a, r i A i, i, k S a, r A i A A deschisă; 3) Remarcăm că dacă A A C A A A îchisă C A deschisă C A deschisă C A este deschisă A îchisă A i îchisă.
29 Aaliză I Puct de acumulare. Limite de fucţii. D 4 : Fie A X,, a X. Se spue că a este puct de acumulare al lui r 0, S a, r a A. Notăm cu A' {pucte de acumulare ale lui Obs: A' A Ex: A, A 0, A', A ; S, r A. A dacă A }. D 5 : Fie A X, şi Y,, a A' ; f : A Y, l Y. Se spue că lim f x l dacă 0, 0 a.î. x A, x a a.î. x, a f x,l. Obs: Fie X, x, y x y ; lim f x l, f : A 0, 0 a.î. x A, x a, x a f x l. (defiiţia limitei uei fucţii reale) T 5 : Fie f : A X, Y,, a A'. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. lim f x l ;. x, x A, x a, x a f x l ; 3. x, x A, x a, x a, f x este covergetă. Dem: ) ) Fie 0 a.î. x a N x, a f x,l f x l. ) ) Presupuem pri cotradicţie că l lim f x l u satisface la D 5 0 a.î. 0, x A a.î. x, a f x,l. Iau, x A a.î. x, a f x,l. Avem x A,, x a şi f x,l 0 deci l lim f x. x a ) 3) evidet; 3) ) (la semiar) y a f y l x a f x l cotradicţie. Obs: ) 0, 0 a.î. x A a x, a f x,l. 3
30 Aaliză I T 6 : (Cauchy Bolzao) Fie f : A X, Y,, a A'. Presupuem că Y, este spaţiu metric complet. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. lim f x ;. 0, 0, x, x A a a.î. x, a şi x, a f x f x. Dem: ) ) Notăm cu l lim f x. Fie 0 0 a.î. xa \ a x, a f x, l. Fie x, x A \ a a.î. x, a, x, a f x, l şi f x, l f x, f x f x,l f x,l ) este adevărată. ) ) Fie 0 0 a.î. x, x A \ a a.î. x, a şi x, a f x f x. Fie x A \ a, x a N a.î. N x, a. Fie N, p x, a şi x p, a f x, f x p f x este şir Cauchy î care e spaţiu complet f x e coverget 0 lim f x lim. 4
31 Curs 7 D 0 : Fie f : A X, X,, a A', l Y, lim f x l dacă 0, 0 a.î. x A, x a a.î. x, a f x, l. T 0 : Fie f : A Y, a A', l Y. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. lim f x l ;. x A, x a, x a f x l ; 3. x A, x a, x a f x este cotiuă. P 0 : Fie x x, x,..., x, k, x k k k k k şi a a, a,..., a. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. x k a ;. x ik a i, i,. T 0 : A X, este mărgiită sup x, y M. x, y A T 03 : (Cauchy Bolzao) Fie f : A x, x,, a A', Y spaţiu metric complet. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. lim f x ;. 0, 0, x, x A a a.î. x, a şi x, a f x, f x. Fucţii vectoriale Fie m, *, m, îzestrate cu bazele caoice şi f : A m. Petru x A, f x y, y,..., y m. Defiim f i : A, i, m a.î. f i x y i. Avem f x f x, f x,..., f m x şî f se umeşte fucţie vectorială, iar f i se umesc compoete reale ale lui f. Se scrie f f, f,..., f m. P : Fie f : A m, a A' şi l l, l,..., l m Y. Următoarele afirmaţii sut echivalete:.. Dem:.. lim f x l ; lim f i x l i i, m ;. (temă petru acasă) (a se vedea P 0 ). Fie x k A, x k a, x k a f x k f x k, f x k,..., f m x k
32 f x l i, m f x l, l,..., l lim f x l. i k i k m Mulţimi compacte D : A X, se umşte mulţime compată dacă x A,, x k u subşir coverget şi lim x k A. Ex:.. 3. X, A a, b este compact; A x, x,..., x X, este compact; X, A (a, b] u este compact. P 3 : Fie A X, compactă. Atuci:. A este ichisă;. A este mărgiită. Dem:. a b A A, deci A este îchisă. Avem de demostrat că A A. Fie x A,, x a A x k b A. Presupuem că A u este mărgiită sup x, y. Fie a A fixat x, y A sup a, x, x A a.î. a, x () x A A compact x k b A b, x k k. Fie 0, N a.î. N x k, a N (3) a, x a, b b, x a, b M cotradicţie cu () A este mărgiită. k P 4 : Fie A. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A compactă;. a) A A ( A este îchisă); b) A este mărgiită. Dem: (P 3 ) Fie x A, x este mărgiit x k a a A A A compact. Lemă: Fie,. A, A,..., A submulţimi compacte. Atuci A i A A...A i este compactă î.
33 Dem: Pri iducţie. Fie A, A. A A A Fie z x, y, x A, y A, x k a A y k b A Notăm: z p k x p k, y p k a, b A A A compactă.. P (A) P se demostrează la fel lema este demostrată. P 5 : Fie,, fix, A. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A este compactă;. b. A este îchisă; a. A este mărgiită. Dem: P 3 Fie A îchisă şi mărgiită. A mărgiită a, a,..., a b, b,..., b a.î. A a, b a, b... a, b K K compact. Fie x A, p, x K x K, x p p m p m p a. Pe de altă parte, x m p a A A A compact. Fucţii cotiue D : Fie f : A X, Y,, a A. Se spue că f este cotiuă î a dacă 0, 0 a.î. x A, x, a f x, f a. Obs: Dacă a A a A A atuci f este cotiuă î a lim f x f a. T 6 : Fie f : A X, Y,, a A. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. f este cotiuu î a ;. x A, x a f x f a. Dem: Aceeaşi demostraţie ca petru T 0 dacă se îlocuieşte l pri f a (temă petru acasă). T 7 : Fie f : A X, Y,. Presupuem că:. A este compactă;. f este cotiuă. Atuci f A este compactă. Obs: Fucţiile cotiue duc mulţimi compacte î mulţimi compacte. Dem: Fie x A, y f x x a A f x f a f A f A compactă. k k A
34 Obs: Fie A mărgiită, M sup x ; m if x, atuci m, M A ( temă petru x A x A * acasă). Idicaţie: M sup x ; Fie, x A a.î. M x M x A 0 x M M A. x M T 8 : Fie f : A X,. Presupuem că:. A compactă;. f cotiuă. Atuci: a) f este mărgiită (adică f A este mărgiită); b) f işi atige margiile (adică M sup f x ; m if f x ; m, M f A. x A x A Dem: a) f A compact f A mărgită f mărgiită; b) M sup f x, m if f x m, M f A şi f A compactă. x A x A f A f A x M, x m A a.î. M f x M şi m f x m M, m f A. x 3 y 3 x 3 y 3, Ex: Fie f :, f x, y x y f :, f x, y x y x, y 0,0 x, y 0,0 0 0, Să se studieze cotiuitatea î a 0,0 ; 0,0 este puctul de acumulare al lui lim f x, y? x 0 y 0 Fie x, y 0,0, f x, y k k k k 3 3 x y k k x y k k x k x x k y k y k x f x k k, y k k y k x k y k x k y k x k y k x k y k x k y k k lim f x k, y k 0 f 0,0 f cotiuă î a 0,0. x k 0 y k 0 y k x k x k y k y k x k y k
35 Curs 8 D 0 : Fie f : A X, Y,, a A. Se spue că f este coţiută î a dacă 0, 0 a.î. x A, x, a f x, f a. T 0 : f este cotiuă i a x A,, x a f x f a. P 0 : Fie x, x,..., x X. Atuci: x, x x, x x, x... x, x Lemă 0 : Fie x, y X,, a.î. x a ; y b x, y a, b Fucţii uiform cotiue D : Fie f : A X, Y,. Se spue că f este uiform cotiuă pe A dacă: 0 0 a.î. x, x A, x, x f x, f x. Obs. O fucţie uiform cotiuă este cotiuă. Ex. f x x u este uiformă cotiuă pe. T : Fie f : A X, Y,. Presupuem:. A mulţime compactă. f este uiform cotiuă pe A Atuci f este uiform cotiuă pe A. Dem. Presupuem pri reducere la absurd că f u este uiform cotiuă 0 a.î. 0 x, x A a.î. x, x f x, f x. f x x, x A, x, x, f x <. Iau A este compactă x k a A. Se cosideră x k si x k, x k k x, a x, x x, a x, a 0 x a. 3 k k k k k k f x f a 4 k Şi f x f a k De aici rezultă că f (x ), f (x ) f a, f a f este uiform cotiuă. k k Lema: Fie x, y X,, a.î. x a, y b x, y a, b. Dem. x, y x, a a, b b, y a, b a, x x, y y, b x, y a, b x, a b, y 6 a, b x, y x, a b, y 7 x, y a, b x, a b, y x, y a, b
36 Ex. f :, f x si x cos x. Să se arate ca fucţia este uiform cotiuă pe. Se foloseşte D. Fie 0. Se ia x, x f x f x si x si x cos x cos x si x si x cos x cos x si x x cos x x x x x x x x x x si si si si 4 x x Se ia, x, x a.î. x x f x f x x x f uiform cotiuă pe. este x x Mulţimi coexe D : Fie A X, se umeşte ecoexă dacă A, A a.î.:]. A A A A. A A A Spuem că A este coexă dacă u este ecoexă. Ex. ) A a, a X, A coexă ) Itervalele di sut coexe 3) A a, b, a b A e ecoexă P : Fie f : X, Y,, B, B Y. Următoarele afirmaţii sut adevărate: 0. B B B B 0. f B B f B f B Dem. 0. Pri defiiţie pe A 0. f B x X / f x B X 3 0. x f B x f B, a.î. x x; x f B f x B şi T o f x f x f x B x f T 3 : Fie f : X, Y,, A X Presupuem: 0. A este coexă 0. f este cotiuă pe A Atuci: f A este coexă Dem. Presupuem, pri absurd, că f A u este coexă B, B a.î. şi f A B B. B B, B B Fie A A f B şi A A f B B
37 A, A deoarece B, B A A f B A f (B ) A f B A A A f B f B A f B B A A La fel petru A A Se observă că A A A Fie x A f x B B f x B x f B x A f B A A A A A A u este covexă. T 4 : A. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. A este covexă. M, M A o curbă a.î. M, M I Obs. Segmetele di sut coexe. Cotracţii pe spaţii metrice D 3 : O aplicaţie f : X, Y, se umeşte cotracţie dacă f x, f y x, y x, y X Ex. f :, f x x este o cotracţie. f x f y x y x, y T 5 (teorema lui Baach de pct. fix) Fie X, u spaţiu metric complet şi uic a.î. f x 0 x 0 Dem. Fie a X, a fixat. Notăm: x f a () x f x x 3 f x... f x x 0 a.î. f : X X o cotracţie. Atuci x 0 X
38 x, x f x, f a x, a x 3, x f x, f x x, x x, a ().... x, x x, a Fie, p * x, x x x... x, x p x, a p x, a... p p, x p p, x p x, a p x, a p p... x, a x, a x, x x, a, p 3 p 0 x, x 0 p * p x este coverget şi lim x x 0 Avem: a) x f x b) x x 0 c) f x f x 0 Trecâd la limită petru i a c x 0 f x 0 Uicitatea lui x 0 Presupuem că y 0 X a.î. f y 0 y 0, y 0 x x o, y 0 f x 0, f y 0 x 0, y 0 x o, y 0 x 0, y 0 x o, y 0 0 x o, y 0 0 x 0 y 0 x 0 este uic. Aproximarea lui x 0 Avem x, x x, a,, p * p (4) Trecâd la limită petru p i (4) Di lemmă 5 x 0, x x, a? Fie 0 N a.î. N x 0 x N, eroarea C. Fie I u iterval îchis f : I I Presupuem:. f este derivabilă pe I f x x. a.î. Atuci ecuaţia f x are soluţia uică x 0 Dem. Fie x, y I x, a x, x N 0
39 f x f y f cx y f c x y f x f y x y x, y I f este cotracţie Dar I este îchis I spaţiu metric complet f : I I este o cotracţie x 0 I uic a.î. f x 0 x 0 ecuaţia f x x are o soluţie uică x 0 I.
40 Curs 9 D : Fie X / K spaţiu vectorial, K sau C şi aplicaţia proprietăţile: N : N : x y x y, x, y X x x N 3 : x 0 x 0,, x X X sau x 0 x 0 X : X Aplicaţia, cu proprietăţile N, N, N 3 se umeşte ormă şi X,, se umeşte spaţiu ormat. P :.. Dem:.. x y x 0 x X ; x y x y x, y X 0 X x x 0 0 X x x x x x x 0 x X ; x x y y x y x x y y x y x y x y x y y x y x y x x y x y x y Obs. Orice spaţiu ormat este u spaţiu metric. Dem: Fie X, u spaţiu ormat. Defiim : X X a.î. x, y x y este o distaţă şi X, u spaţiu metric. Toate proprietăţile cuoscute petru spaţiile metrice rămâ valabile şi petru spaţiile ormate (elemetele de topologie = mulţime deschisă, îchisă, limite etc; se raportează la distaţa x, y x y ) Ex: x, x X,,, x x? 0, N a.î. N x x. Obs: Fie X,, u spaţiu vectorial ormat. Atuci orma sa este o aplicaţie cotiuă. Dem:, : X. Fie a X şi x X, x a. Trebuie demostrate că x a. Di P x a x a 0 x a orma este o aplicaţie cotiuă î orice spaţiu ormat. D : U spaţiu ormat complet se umeşte spaţiu Baach. cu este cotiuă î a arbitrar
41 Ex : Fie *, x Următoarele aplicaţii sut orme î :. Fie x x, x,..., x î raport cu baza caoică;. 3. Dem:. x x x... x x x i x i ; max x i. i, x x, x / x x... x x, y x y orma euclidiaă; Obs: x x x x x. Normele defiite î Ex sut echivalete. Fie x k x k x î raport cu x k x î raport cu,, x k x 0 iegalitatea Cauchy Buiakowski Schwartz x k x 0 x k x î raport cu, x k x 0 Obs: este spaţiu Baach î raport cu oricare di, ;, ;,. Ex : Fie X C a,b f : a,b, cotiue Defiim petru f C a, b, f sup f x umăr fiit. () xa,b Demostrăm că X,, este spaţiu Baach. N Fie f, g X, x a,b f x g x f x g x f g petru x a,b sup f g x xa,b N, N 3 temă petru acasă. Atătăm că orice şir Cauchy di C a,b este coverget. Fie f C a,b şir Cauchy, fie 0, N a.î. N, p f x f x x a,b () petru x a,b f x este şir Cauchy î f x f x, f : a,b. Trecâd la limită î () petru p f x f x x a,b si N (3) Di (3) f : a,b f este cotiuă pe a, b. Trecâd la sup î (3) f f, N f este coverget către f î C a,b î raport cu orma f sup f x C a, b este u spaţiu Baach. xa,b
42 Aplicaţii liiare cotiue pe spaţii ormate D 3 : Fie T : X,, Y,, aplicaţie liiară. Fie a X. Se spue că T este cotiuă î a dacă 0, 0 a.î. x X, x a T x T a. T : Fie T : X,, Y,, aplicaţie liiară. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. T este cotiuă pe X ;. M 0 a.î. T x M x x X ; 3. A X mărgiită T A T x, x A Atuci A X mărgiită M 0 a.î. x M, x A. Dem: T este cotiuă î 0 X (evidet). Fie a.î. x X, Fie x X \ 0, y x y x X x x T y T y T y T x, T x x. x x T y Notăm M T x M x, x X deci Fie a X. Fie x X, x a. Dar di M 0 a.î. T x M x x X x T x T x a M x a 0 T x a 0 T x T a 0 T x T a T cotiuă î a X. Obs: Fie T : X Y aplicaţie liiară. T 0 cotiuă î 0 X T este cotiuă pe X. Difereţiala lui Fréchet D 3 : Fie f : A X,, Y,,, A mulţime deschisă, a A. Se spue că f este difereţială Fréchet a fucţiei f î puctul a. P 3 : Presupuem că f : A X,, Y,,, A deschisă, este difereţială Fréchet î a A şi otăm pri T df a. Atuci : A Y a.î.. limx a 0 Y ;. f x f a T x a x a x x A (5)
43 Dem: f x f a T x a, x a. Fie : A Y, x x a lim x a 0 Y ; 0 Y, x a. Petru x a f x f a T x a x x a, x a Petru x a f a f a T a a 0 Deci (5) este adevărată petru x A Obs: Fie 0. Deoarece lim x 0 Y di (5) avem lim f x f a T x a 0 Y 0 a.î. x A, Deci f x f a T x a x a f x f a T x a Ex: Fie f : A X,, X,, a.î. f x y 0, x A. Atuci f este difereţiabilă Fréchet î a, a A şi difereţiala sa df a T 0. Dem: lim f x f a T x a 0, x X T x a 0 Y 0 df a, a A Ex: Fie U : X Y aplicaţie liiară cotiuă,u L X,Y. Atuci U este difereţiabilă Fréchet pe X şi du a U, a X. Dem: Di (4), a X U x U a U x a lim x a U du a, a X. Lema: Fie A X,, 0 Y, x X deschisă! S a, r A, a A. Atuci r 0 a.î., r şi s X, s a s A. Dem: A deschisă r 0 a.î. S a, r A. Fie a.î. r şi s X, s (versor) a s a s s r a s S a, r A. T 4 : Fie f : A X Y, A deschisă, a A. Dacă f este difereţiabilă Fréchet î a atuci aplicaţia T df a este uică. Dem: Presupuem că U L X,Y a.î. (4) este adevărată (5) este adevărată. Atuci di P 3 şi (5) : A Y a.î. lim x a 0 Y a.î. f x f a U x a x a x, x A (6) Di (5) şi (6) T x a x a x U x a x a x, x A T x a U x a x a x x, x A
44 T U x a x a x x, x A (7) Di lemă r 0 a.î. a s A. Aplicâd (7) petru x a s T U s a s a s, r, 0 şi r s, T U s a s a s T U s a s a s (8) lim T su s 0 Y T su s 0 Y, s X, s şi deci T s U s s X, s 0 Fie x X, x 0 X. x x x T U x x x Se ia s T x U x, x X, x 0 X T U difereţiabila Fréchet î a este uic determiată.
45 Aaliză semestrul Curs 0 D0: Fie f : A X, Y,, A deschisă, a A. f este difereţiabilă. Fr. Î a dacă T L X,Y astfel îcât: lim f ( x) f (a) T ( x a) 0 x a P0: Dacă f este difereţiabilă ( T df (a) ), Fréchet î a şi dacă : A Y, lim (x) (a) 0 y, asfel îcât f (x) f (a) T (x a) x a (x), x A (0) Î acest caz df (a) este uică. Difereţiala fucţiilor reale de o variabilă T: Fie f : A R R, A deschisă, a A. Următoarele afirmaţii sut echivalete. f este difereţiabilă Frchet î a ;. f este derivabilă î a. Î acest caz, dacă difereţiala df (a) T : R R (aplicaţie liiară şi cotiuă), atuci f '(a) T (?). P 0 Dem ) ) : A R astfel îcât f (x) f (a) T (x a) x a (x), x A () f ( x) f (a) T ( x a) x a x a x a y x a ( x), x A {a} ( f cotiuă î a); T : R R aplicaţie liiară (T este cotiuă) lim f ( x) F (a) T () f ' (a) T (). x a T ( x a) T x a T () x a x a ) ) Fie T : R R, T (x) xf ' (a). Vom arăta că df (a) T aplicaţie liiară f ( x) f (a) ( x a) f ' (a) lim f ( x) f (a) ( x a) f ' (a) lim x a ( x a) lim f ( x) f (a) lim f '(a) x a f '(a) f '(a) 0 x a x a
46 Aaliză semestrul lim f ( x) f (a) T ( x a) f ( x) f (a) x a lim lim f '(a) f '(a) f '(a) 0 x a x a x a D 0 f este difereţiabilă î a. C (Iterpretarea geometrică a difereţialei lui f î puctul a ) Fie reperul O, i, j. Atuci graficul difereţialei lui f î puctul a : G(d ( f (a)), este paralel cu tageta la graficul fucţiei î puctul (a, f (a)). tg f ' (a) y f (a) ( x a) f ' (a) df (a) T ec. tg î puctul (a, f (a)) Difereţiala fucţiilor compuse T: Fie X,Y, Z spaţii ormate, A, B mulţimi deschise A X, B Y, g f : A B z, a A, b f (a). Presupuem că f este difereţiabilă î a şi este difereţiabilă î b. Atuci g f : A Z este difereţiabilă î a şi d (g f )(a) dg(b) df (a). Dem: T df (a) : X Y, U dg(b) : Y Z. Avem de demostrat că P 0 d (g f )(a) U T : A Y, : B Z astfel îcât x a (x), x A () şi f (x) f (a) T (x a) g( y) g(b) U ( y b) y b ( y), y B Îlocuim y î (3) petru f ( x), x A g( f (x)) g( f (a)) U ( f (x) f (a)) Îlocuim f (x) f (a) di () şi (4): (3) f (x) f (a) ( f (x)), x A (4) (g f )(x) (g f )(a) U (T (x a) x a (x)) T (x a) x a (x) ( f (x)) (5) (g f )(x) (g f )(a) (U T )(x a) x a U ( (x)) T (x a) x a (x) ( f (x)) Se împarte (6) pri x a : ( g f )( x) ( g f )(a) (U T )(x a) T ( x a) U ( ( f ( x)) ( x) ( f ( x)), x A x a x a x a g (6)
47 Aaliză semestrul ( g f )( x) ( g f )(a) (U T )(x a) U ( ( x) T x a ( x) ( f ( x)) (8) x a x a x a Tcot T ( x a) T x a ( )M 0 astfel îcât x a x a T x a M M x a x a ( g f )(x) ( g f )(a) (U T )(x a) 0 Z g x a lim şi difereţiala sa: d (g f )(a) U T dg(b) df (a) D 0 ( f ) : A Z este difereţiabilă î a Difereţiala uei fucţii reale după u versor D: Fie R raportat la baza caoică şi s R s (s,..., s ) şi s (versor). Fie f : A R R, A deschisă, a A. Spuem că fucţia f este derivabilă î puctul a după versorul s dacă lim f (a ts) f (a) R t 0 Notăm lim f (a ts) f (a) df t 0 t ds d ef (a) derivata fucţiei f P3: Fie f : A R R, A deschisă, a A, s R, s Următoarele afirmaţii sut echivalete:. f este derivabilă î puctul a după versor (-s);. t. f este derivabilă î puctul a după versorul (s); deci df (a) ds Î acest caz Dem: df (a) df (a) d ( s) ds D df D f (a ( ts)) f (a) f (a ts) f (a) f (a hs) f (a) df (a) lim lim lim d ( s) t 0 t t 0 t t h h 0 h ds (a) 3
48 Aaliză semestrul D: R, Derivate parţiale de ordiul I Fie f : A R R, A deschisă, a A, E e, e,..., e baza caoică a lui a (a, a,..., a ), e i (0,0,...,0,,0,...,0), e i. ot f Dacă df (a) (a), se umeşte derivata parţială î raport cu x î puctul a. de i x i f (a) Dacă x i petru i, spuem că f admite derivate parţiale de ordiul I î puctul a. Calculul derivatelor parţiale de ordiul I A deschisă, a A, E e, e,..., e baza caoică a lui P4: Fie f : A R R, R, a, x A, x (x, x,..., x ), a (a, a,..., a ) Presupuem că f (a) i,. x Atuci: i f f ( x, a,..., a ) f (a, a,..., a ) (a) lim x x a x a... f f (a, a,..., x ) f (a, a,..., a ) (a) lim x x a x a i Dem: D f D df f (a te ) f (a) (a) (a) lim e x de t 0 t f (a t, a,..., a ) f (a, a,..., a ) t f ( x, a,..., a ) f (a, a,..., a ) (,0,...,0) se îlocuieşte ( a t x a ) lim t 0 t 0 lim x a x a f f (a, a,..., x ) f (a, a,..., a ) (a) lim x x a x a Aalog Obs: Fie P 4 f ( x ) (a ) ( x ) f ( x, a,..., a ) (a) lim (a ) x x a x a Deci calculul derivatelor parţiale de ordiul I se face după aceleaşi formule de la fucţii reale de o soigură variabilă. 4
49 Aaliză semestrul Ex. : f : R R, y f (x, y) xe si( xy) f f (x,) f (,) (,) lim ( xe si x)' x (e cos x) x e cos a (,) x x f y y (,) (e si y) y (e cos y) y e cos y f ( x, y) e y y cos( xy) x f ( x, y) xe y x cos( xy) y Ex. : Fie f : R 3 R, f (x, y, z) arctg (x y z ) şi a (,,) f x ( x, y, z) ( x, y, z) f (,,) ( x y z ) x x 5 Variabila x, iar celelalte y, z sut cosiderate costate şi se folosesc formulele de derivare petru fucţiile de o sigură variabilă. f (,,) f y y 5 ( x, y, z) ( x, y, z) y ( x y z ) f (,,) z 5 Ex. 3: x y x 0 Fie f : R R, f ( x, y) x 6 y, y 0 Fie versorul s (s, s ), s lim t 0 0 x y 0 f ((0,0) ts ) f (0,0) f (ts lim, ts ) 0 t s lim ts s s lim t t 0 t t 0 t(t 6 s 6 t s ) t 0 t 4 s 6 s s s 0 s 0 0, 0,0 3 Fie u u f, u 3 3 v u u u 6 u 6 s, Deci fucţia f este derivabilă î a (0,0) după orice versor s. f u este cotiuă î (0,0) 5
50 Aaliză semestrul Obs: Existeţa derivatelor parţiale de ordiul I î puctul a u implică cotiuitatea î puctul a. Dem:. Difereţiala petru fucţii reale de variabile T5: f : A R R, A deschisă, a A. Atuci:. Dacă f este difereţială î puctul a, atuci a) f este cotiuă î a ; b) s R, s, df (a) T (s) ude T df (a). ds f (a) : A R. Presupuem că x i, i, şi că ele sut cotiue î puctul a. Atuci: a) f este difereţiabilă î a ; b) a) b) f f f f x x x i x i df (a)(x, x,..., x ) (a) x (a) x... (a) x (a) x i lim f (x) f (a) f este cotiuă î a Fie s R, s, : A R, lim (x) (a) 0 D df f (a ts) f (a) 0 T (a ts a) a ts a (a ts) (a) lim lim ds t 0 t ts t 0 t lim t T (ts) t s (a ts) lim T (s) s (a ts) T (s) df (a) T (s) t 0 t t 0 t ds. f : A R R, r 0 astfel îcât S a, b, r A y b (x,y) (a,b) a x A deschisă, (a, b) A a ts A, t r, s, s R f f x y Presupuem că, : A R cotiue î Avem de demostrat că f este difereţiabilă î (a, b) şi df (a, b) : R R. T ( x, y) df (a, b)(x, y) f (a, b)x f (a, b) y x y 6 (a, b).
51 Aaliză semestrul D 0 lim f ( x, y) f (a, b) T ( x, y) ( x, y) (a, b ) y b f f f ( x, y) f (a, b) (a, b)( x, y) (a, b)( y b) lim x y ( x a) ( y b) y b lim y b f ( x, y) f (a, y) f (a, y) f (a, b) f (a, b)( x a) f (a, b)( y b) x y ( x, y) f f f (c ) f, y)( x a (a, b )(x a) (a, c )( y b) (a, b)( y b) lim x x lim y y ( x, y) ( x, y) y b y b y b f lim ( x a) f (c y) f (a, b) lim (a, c ( x, y) x x ( x, y) y y b y b y b x a x a c a ( x, y) ( x, y) y b c b ) f (a, b) y lim f ( x, y) f (a, b) x y b x lim f ( x, y) f (a, b) y y b y f este difereţiabilă î (a, b) şi df (a, b)(x, y) f (a, b) x f (a, b) y y x Notăm simbolic: df (a, b)(x, y) f (a, b)dx f (a, b)dy x y Î geeral, otaţia simbolică este următoarea: f f f f df (a,..., a ) (a)dx (a)dx... (a)dx (a)dx i x x x i x 7
52 Aaliză semestrul Curs D0: Fie f : A X Y, A deschisă, a A. Se spue că f este difereţiabilă î a dacă T L( X,Y ) astfel îcât lim f ( x) f (a) T ( x a) 0 x a Y T df (a) difereţiabila lui f î puctul a. P0: Fie A X, B Y, A, B deschise, f : A B, g : B Z, a A, b f (a). Dacă f este difereţiabilă î a şi g este difereţiabilă î b, atuci h : A Z, D0: Fie h g f este difereţiabilă î a şi dh(a) dg(b) df (a) f : A R R, A deschisă, a (a, a,..., a ) A, x (x, x,..., x ) A f f ( x, a,..., a ) f (a) (a) lim x x a x a Notăm cu... f (a) lim x f (a, a,..., x ) f (a) x a x a T0: Fie f : A R R, A deschisă, a A. Presupuem că f : A R şi f sut cotiue î a. Atuci f este x i difereţiabilă î a şi df (a) : A R R f f f df (a)(x, x,.., x ) (a) x (a) x... (a) x x x x Difereţiala petru fucţii vectoriale x i P: Fie f : A R R, f ( f, f,..., f m ), f (x) ( f (x),..., f m (x)), x A, a A, A deschisă. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. f este difereţiabilă î a ;. f i difereţiabilă î a, i, m, f i : A R Î acest caz, f (a) (df (a), df (a),..., df m (a)) Dem: Fie T : R R m, aplicaţie liiară, T (T,...T m ), T i aplicaţii liiare cotiue, i, m. Se ştie că lim f ( x) f (a) T ( x a) f i ( x) f (a) T i ( x a) 0 m lim, i. m R x a x 0 x a T df (a) (T,T,...,T ) (df (a),..., df m (a))
53 Aaliză semestrul Matrice jacobiaă. Determiat fucţioal (jacobia) D: Fie f : A R R m, A deschisă, a A, f ( f, f,..., f ). m Presupuem că f i x k (a), i, m, k,, otăm: J f (a) se umeşte matrice jacobiaă a lui î f a. Dacă m f f f (a) (a)... (a) x x x f f f (a) (a)... (a) Df sau D( f,..., f m ) x x x det J f (a) J f (a) f D( x,..., x ) D( x,...x ) (a) x f f f m m m (a) (a)... (a) x x x P: Fie f : A R R m, A deschisă, a A, f ( f, f,..., f ). m se umeşte determiat fucţioal al lui f î a (sau jacobia î puctul a ). m E R, E R baze caoice. Presupuem că : A R, petru i, m, m k,, şi că.. f i x k sut cotiue î a. Atuci: f este difereţiabilă î a ; Matricea m (df (a)) J f (a). EEm T 0 Dem: f i este diferţiabilă î a i, m f este difereţiabilă î a şi T df (a) (df (a),..., df m (a)) E (e (,0,...,0),..., e (0,0,...,)), cu compoete. f f m T (e ) (T (e ),T (e ),...,T m (e )) (e ),..., (e ) x x f f f T (e ) (e ) (e ) 0... (e ) x x x f i x k f T (e ) (e ) x... prima coloaă a matricei m (df (a)) EEm f m T m (e ) (e ) x... T (e ) (T (e ),T (e ),...,T m (e ))
54 Aaliză semestrul f T (e ) (e ) x... f m T m (e ) (e ) x m (df (a)) J f (a) EEm ultima coloaă a matricei m (df (a)) EEm Diefeomorfisme (Trasformări regulate) D : Fie A, B deschise şi f : A B. Se spue că f este u difeomorfism dacă satisface următoarele codiţii:. f este bijecţie;. f C ( A) ; 3. f C (B). D 3 : a) fucţie g : A, g C ( A) dacă g : A sut cotuue, i, ; x i b) f ( f,..., f ) C dacă copoetele sale C ( A) ( A). Obs: f difeomorfism f difereţială pe A (di T 0 ) Ex: Fie a fixat. : a, a (x) x a, a este o bijecţie. a a a ( a) a ( a x) x a ( x,..., x ) ( x a, x a,..., x a ) a (a,..., a ) f x f, f,..., f C ( A) a este u difeomorfism. T 3 : Fie A, B deschise, f : A B. Pp. că f este bijecţie şi f C ( A). Următoarele afirmaţii sut echivalete:.. f este u difeomorfism; a) b) df (a) : este u izomorfism a A f este cotiuă pe B 3. Df a) (a) 0, a A D( x,..., x ) b) f este cotiuă pe B 3
55 Aaliză semestrul Dem: f difeomorfism f difereţiabilă f Izomorfism f A. Fie P 0 a A aplicaţie liiară cotiuă bijecţie df (b) df (a), b f (a) P 0 f f B df (a) df ( b ) este bijectie şi df (a) 3 (a 3a) df (b) df (a) df (a) df (a) este izomorfism J f (a) este esigulară Df J f (a) 0 J f (a) 0 D( x,..., x ) izomorfism (aici auotmorfism) Scimbări de variabile (coordiate) D 4 : O aplicaţie f : A, A deschisă. Se spue că f este o schimbare de variabile (de coordoate) sau sistem de coordiate dacă:. f este ijecţie;. f (a) este deschisă; 3. f : A f ( A) este u difeomorfism. Obs: Dacă x A, x (x,..., x ) şi f (x) ( f (x),..., f (x)) ( y,..., y ). Se spue că f realizează trecerea de la (x,..., x ) (variabile vechi), la ( y,..., y ) (variabile oi). Ex: Fie f : (0, ) (0, ), f (x, y) x y, arctg y. Atuci f este o schimbare de variabile Notăm x y, arctg y, f (x, y) (, ), (x, y) (, ) x f este o ijecţie f ( A) (0, ) 0, x y y arctg x deschisă x cos y si,, se umesc coordoate polare f face trecerea de la coordoatele carteziee la coordoatele polare. x 4
56 Aaliză semestrul f : 0, 0, 0, 0, f, cos, si Iterpretarea geometrică: y x M x, y M,, - coordoate polare x, y - coordoate carteziee Derivatele parţiale petru fucţii compuse T 4 : Fie A deschisă, B m, f : A B, a A, b f (a) şi g : B. Pp. f difereţiabilă î a şi g difereţibilă î b. Atuci:. h g f este difereţiabilă î a şi dh(a) dg(b) df (a) ;. h x,..., x g f (x),..., f m (x) ude f f,..., f m. Atuci: h x g y,...y f x g y f g x... y f m x m x y x y x y m x... h x g f y x g y f x... y f m x x y x y x y m x Dem:. Rezultă di P 0; `. df (a) : m dg (a) : m trasformări liiare dh(a) : dh(a) dg(b) df (a) J h (a) J g (b) J f (a),,m m, g 5
57 Aaliză semestrul f f (a)... (a) x x h h h g g g (a), (a),..., (a) (b), (b),..., (b)... x x x y y y m f f (a)... (a) x x Pri idetificare obţiem exact formulele de la puctul Ex: Cazuri particulare:., m f u, v h x, y g u(x, y), v(x, y) h g u g v x u x v x h g u g v y u y v y., m f u, v h(t) g u(t), v(t) h g u g v u v 3., m h(x, y) g f (x, y) h g f x x h f g y y h( x, y) xy g x y h y g x y xy g x x h x g x y xy g y y 6
58 Aaliză semestrul Curs D 0 : Fie A, B, deschise, f : A B, f ( f, f,..., f ) Pp. :.. 3. f este bijecţie; f C ( A) ; f C (B). Atuci f este difeomorfism f f... x x D( f ) f f... D( x,.., x ) x x f f... determiat fucţioal. x T : (Teorema de iversiue locală) Fie f : A, A deschisă, a A. a b f (a) x Pp.:. f C ( A) ; D( f ). (a) 0 D( x,...,x ) Atuci există o veciătate deschisă U (a) şi o veciătate deschisă V (b) astfel îcât restricţia lui f : U (a) V (b) este u difeomorfism. A V U a b f (a) f ( A) C : Pri codiţiile T are loc următoarea egalitate D( f ) ( y), x U (a) şi y f (x) D( y,..., y ) D( f ) ( x) D( x,..., x ) Dem: f f df ( y) df (x) J ( y) J (x) I U ( a) f f
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu
@ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiui teoretice şi probleme rezolvate Mircea Olteau Cupris Serii de umere 7. Noţiui teoretice......................... 7. Serii cu termei pozitivi..................... 5.3 Serii
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραSpaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραSeria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραSpaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραIV. Rezolvarea sistemelor liniare
IV. Rezolvarea sistemelor liiare IV.. Elemete de aaliză matriceală Fie V u spaţiu vectorial (liiar peste corpul K (K=R sau K=C. Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile ormate şi spaţiile
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότεραEXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραLecţii de Analiză Matematică. Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu
Lecţii de Analiză Matematică Dan Bărbosu şi Andrei Bărbosu 2 Cuprins Şiruri şi serii numerice; şiruri şi serii de funcţii 7. Şiruri numerice. Noţiuni şi rezultate generale......... 7.2 Şiruri fundamentale.
Διαβάστε περισσότερα1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραExerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότερα5. PROBABILITĂŢI Evenimente
5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc
Διαβάστε περισσότεραAlgebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Διαβάστε περισσότερα