... Partea Partea a a II a:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "... Partea Partea a a II a:"

Transcript

1 Cursul 4 : Testarea programelor (b) ~ Partea a II a: 1/40

2 Cursul 4 : Testarea programelor (b) ~ / /L /V V l/ /V2 f TESTAREA PROGRAMELOR Cursuri (a) TESTAREA PROGRAMELOR (b) Noţiuni de bază Nivele de testare Criterii de alegere a datelor de test Testarea unui modul Criteriul cutiei negre Prelucrarea Imaginilor Cr_Re_Im Criteriul cutiei transparente Testarea de integrare Scientific Data Visualization 24 feb 20 apr 21 apr 27 apr Acoperirea tuturor 28 apr 8 iun Verificarea Testarea si validarea de sistem sistemelor soft 9 29 iun Semestrul II 30 6 iul instrucţiunilor, iunilor, 7 iul 13 iul Testarea Visualization and Validation de acceptare in Simulation 28 apr 25 mai arcelor, 26 iun 8 iun Structuri de Date şi Algoritmi 9 iun 19 iun condiţiilor iilor simple, Alte tipuri de testare Oop Rezultate şi Planificări drumurilor şi Organizarea testarii -_- testarea aleatoare. Exerciţii ii si probleme propuse 2/40

3 Cursul 4 : Testarea programelor (b) ~ Verificarea si validarea sistemelor soft Partea I. Corectitudinea programelor (F.M.) Cap.1 Cap 1 Corectitudinea algoritmilor (Curs 1) Cap.2 Dezvoltarea programelor din specificatii (Curs 2) Partea a II-a. Verificarea si validarea programelor (P.V.) Cap.3 Testarea programelor (Curs 3, 4) -_Cap.2 Inspectarea programelor (Curs 5) Curs: - Cursul 1 : Corectitudinea algoritmilor ~ Cursul 2 : Dezvoltarea programelor din specificatii ~ Cursul 3 : Testarea p programelor g ((a)) ~ _Cursul 4 : Testarea programelor (b) ~ _Cursul 5 : Inspectarea programelor ~ Cursul 6 :... 3/40

4 Tipuri de testare (în funcţie de: - testarea unui modul; - testarea de integrare; - testarea întregului sistem; - testarea regresivă; - testarea de acceptare. partea de program testată şi momentul testării ): 4/40

5 Testarea unui modul (Unit testing) Testarea unei unităţi ţ mici de program: funcţie, ţ procedură, clasă, modul (orice parte de program testabilă separat). De exemplu, dacă dorim să testăm procedura P(X,Z), în care în X reprezintă datele de intrare, iar Z rezultatele, vom scrie un mic program care să apeleze această procedură, după ce a iniţializat variabilele din X, iar apoi să tipărească rezultatele din Z. Deci echivalentul unui algoritm de forma: Algoritmul Driver este: Citeste X; P (X,Z); Tipăreşte Z Sfalgoritm. 5/40

6 ... Testarea unui modul (Unit testing) Şi la testarea de integrare avem nevoie de astfel de algoritmi (drivere drivere) ) care să apeleze alte unităţide ţ program pentru ale testa. Este posibil ca în procedura P să se apeleze oaltă procedură G, care nu este încă scrisă si vom simula această procedură, pentru a putea face testarea, cât mai simplu (fără a avea procedura reala G). Procedura temporara (provizorie) G poate avea forma: Procedura G(u,r) este: Dacă u=c 1 atunci r:=e 1 sfdacă Dacă u=c 2 atunci r:=e 2 sfdacă... Dacă ă u=c k atunci r:=e k sfdacă ă sf-g. Această componentă provizorie G (stub stub) ) construită temporar doar pentru testare va fi înlocuită cu procedura reală G pe timpul testării de integrare. 6/40

7 Etape:... Testarea unui modul (Unit testing) a. Pregătirea testării: completarea unităţilor necesare la construirea unui program executabil. b. Alegerea cazurilor de testare pe principiul cutiei: negre (după specificaţia procedurii P) şi transparente (după textul procedurii P). c. Precizarea rezultatelor aşteptate (pentru fiecare caz de testare, pentru a putea decide uşor dacă rezultatele sunt corecte). d. Execuţii cu datele de intrare stabilite (pentru cele n cazuri de test stabilite). Dacă toate execuţiile au dat rezultate corecte, e, modulul se consideră testat, caz în care considerăm testarea completă (diferă de testarea exhaustivă). Dacă am depistat erori, corectarea lor a modificat textul algoritmului şi se trece la testarea regresivă. Testarea trebuie reluată de la primul caz de test sau, cel puţin, de la cele corespunzătoare drumurilor afectate de această schimbare. 7/40

8 Testarea unui modul (Unit testing)... Testarea unui mo În cazul în care dorim să testămo clasă (de obiecte), otestămca pe un singur modul (dacă aceste module sunt simple), sau să testăm separat fiecare metodă mai complicată, iar pentru întreaga clasă facem testare de integrare. Prima variantă este avantajoasă deoarece nu cere scrierea multor stub-uri. În general, testarea este o activitate costisitoare, timpul necesar fiind direct proporţional cu numărul cazurilor de test. De aici, o primă consecinţă pentru activitatea de programare este cerinţa de a concepe subalgoritmi cât mai simpli. În unele cărţi se limitează textul acestora la 50 linii (!), iar numărul drumurilor (deci al cazurilor de test) să fie cât mai mic! Chiar proceduri mult mai simple ar putea avea un număr mare de drumuri de parcurs, deci foarte multe cazuri de test. 8/40

9 Nivele de testare 1. Testarea unui modul 2. Testarea de integrare 3. Testarea de sistem 4. Testarea de acceptare 5. Alte tipuri de testare Organizarea testării Exerciţii şi probleme propuse 9/40

10 Testarea ea de integrare e Testarea produsului urmează testării tuturor modulelor sale (după ce modulele au fost testate individual). Faptul că subalgoritmii şi modulele (ce se vor asambla) au fost testate separat nu asigură funcţionarea corectă alor după asamblare. În plus nu întotdeauna două module sunt independente între ele. Adesea un modul interacţionează cu alte module. De exemplu, unul dintre cazurile: Modulul M 1 apelează ooperaţieoperaţie ţ ce aparţine ţ modulului M 2 2; Modulul M 1 foloseşte o structură de date ce nu-iaparţine aparţine; Operaţiile / Structurile modulului M 1 sunt folosite de alte module. La testarea separată a modulului M 1 trebuie să simulăm celelalte module cu care interacţionează, mai ales că adesea acestea încă nu sunt disponibile. După ce le-am realizat pe toate este normal să le asamblăm şi să observămcum funcţionează împreună. 10/40

11 ... Testarea de integrare Testarea de integrare se referă la asamblarea tuturor modulelor pentru aobţine produsul final dorit. După ce fiecare modul a fost testat şi corectat, trebuie verificată comportarea globală a programului. În această situaţie, dacă se depistează ă anumite erori este mai dificilă ilă depistarea acestora. De aceea se recomandă o testare succesivă a integrării modulelor, fie prin metoda top-down down, fie prin metoda bottom-up up. Dacă la adaugarea unui nou modul apar erori, atunci avem motive să credem că erorile provin fie din interiorul acestui modul, fie din interfaţa cu celelalte module. La testarea de integrare trebuie să verificăm şi dacă funcţionarea programului este conformă cu ceea ce scrie în manualul de utilizare a produsului. 11/40

12 ... Testarea de integrare Prima grijă în această etapă este de a verifica dacă toate modulele necesare sunt prezente şică ele sunt corect asamblate. Se verifică dacă funcţionează corect. interfeţele dintre module Există mai multe strategii de asamblare a modulelor: Strategia Big-Bang Bang (toate modulele deodată); sunt Testarea incrementală, cu adăugarea a câte un modul; Adăugarea unui grup de module apropiate între ele. compatibile Strategia Big-BangBang elimină testarea de integrare, trecând direct de la testarea fiecărei componente la testarea întregului sistem. Dacă nu sunt descoperite erori totul este în ordine, altfel însă este aproape imposibil de descoperit care modul e cauza erorii. În această situaţie trebuie să se revină la integrarea incrementală a modulelor pentru a descoperi care dintre ele cauzează eroarea. şi 12/40

13 ... Testarea de integrare Testarea incrementală (adăugarea unui singur modul) are avantajul de a pune mai uşor în evidenţă modulul cu probleme, dar şi dezavantajul de a lungi mult timpul de integrare. În plus, ultimele două strategii mai au avantajul că permit efectuarea testării de integrare înainte de a fi disponibile toate modulele. Adăugarea unui grup de module este un compromis între primele două strategii şi este potrivită când sistemul este format din subsisteme care pot fi testate separat şi apoi asamblate. Se ştie că cele mai frecvente şi periculoase erori, deci care trebuie în mod special urmărite la testarea de integrare, sunt cele de interfaţă: corespondenţa între parametrii actuali şi cei formali adesea nu e respectată. Se recomandă schimbarea (refacerea) componentelor care au avut multe defecte pe timpul testării întrucât s-a constatat că astfel de componente au avut şi ulterior multe defecte. După modificarea unui modul (prin depanare) trebuie să refacem testarea acestui modul, apoi să continuăm testarea de integrare. 13/40

14 ... Testarea de integrare Integrarea incrementală cere adăugarea a câte unui modul la programul existent. Ea poate porni de la modulul rădăcină (integrare top- down)sau de la cel mai inferior modul, (integrare bottom-up). De exemplu, la programul cu structura alaturată, integra- rea top-down poate începe cu adăugarea modulului M22 la M1, iar pentru M21 şi M23 vom folosi stub-uri uri. Este nevoie şi de un înlocuitor (stub stub) ) pentru M33. M21 M1 M22 M23 Integrarea bottom-up poate începe cu adăugarea la M33 a modulului l M22 22, iar în loc de M1 vom folosi un driver. M31 M32 M33 14/40

15 ... Testarea de integrare Se pot folosi oparte din drivere-le şi stub-urileurile de la testarea modulelor, dar uneori e nevoie de alte astfel de componente auxiliare, ceea ce măreşte durata testării. Integrarea top-down are marele avantaj faţă de integrarea bottom-up că pune în evidenţă erorile de concepţie mult mai devreme, fiind vorba de erori făcute în modulele superioare. La acest nivel stabilirea cazurilor de test se face de obicei bazându-nene pe specificaţia ţ produsului. Nu mai se poate vorbi de analiza întregului text al programului, care poate fi de zeci sau sute de mii de linii. 15/40

16 Nivele de testare 1. Testarea unui modul 2. Testarea de integrare 3. Testarea de sistem 4. Testarea de acceptare 5. Alte tipuri de testare Organizarea testării Exerciţii şi probleme propuse 16/40

17 Testarea de sistem Odată asamblate toate modulele urmează testarea sistemului obţinut. Problemele urmărite sunt următoarele: Are sistemul lf funcţiile dorite? Funcţionează sistemul normal (uneori nici nu porneşte, sau nu poate fi instalat, sau nu îşi revine după o cădere de tensiune)? Are performanţele necesare (timp de răspuns corespunzător, acceptă volum mare de date)? Răspunde adecvat la condiţii neprevăzute? Scopul acestei testări este prevenirea descoperirii oricăror erori la testarea de acceptare. 17/40

18 ... Testarea de sistem Testarea produsului urmează testării de integrare a tuturor modulelor sale. Testarea produsului se face în ipoteza că modulele sunt corecte, ştiindu-se că au fost testate individual. Aceasta nu înseamnă că întreg produsul obţinut td după ă it integrare este şii el acceptabil. tbil Se va face din nou otestare pe principiul cutiei negre, de data asta pentru produsul integrat. Pe lângă corectitudine se va verifica robusteţea acestuia, timpul de răspuns atunci când există o clauză contractuală care cere ceva în această direcţie, comportarea produsului la un volum mare de date reale. Se poate întâmpla ca produsul să funcţioneze corect la volume mici de date, dar incorect pentru un volum de date ce depăşeşte o anumită limită. 18/40

19 ... Testarea de sistem Testarea produsului este o repetiţie înaintea testării de acceptare. Pe lângă corectitudinea rezultatelor obţinute se va pune un accent mai mare petoate calităţile care ar trebui să le aibă produsul conform prevederilor contractuale. Se va testa robusteţea produsului, observând comportarea lil lui la introducerea unor date intenţionat greşite. Se va testa comportarea lui în situaţii critice ca: prelucrarea unui volum mare de date (mult peste media obişnuită); clienţimulţi mulţiîn sistem (perioade de vârf); timpul de răspuns în aceste situaţii critice. De asemenea, se va testa modul de acces în sistem, securitatea datelor, dacă această problemă este importantă pentru beneficiar. 19/40

20 Nivele de testare 1. Testarea unui modul 2. Testarea de integrare 3. Testarea de sistem 4. Testarea de acceptare 5. Alte tipuri de testare Organizarea testării Exerciţii şi probleme propuse 20/40

21 Testarea de acceptare Orice produs program este testat şi de către beneficiari în momentul recepţionării produsului. Această activitate se numeşte testare de acceptare a produsului respectiv. Testarea de acceptare se face de obicei cu date reale şi la această testare contează nu numai corectitudinea rezultatelor ci şi forma sub care sunt prezentate aceste rezultate cât şi utilitatea lor. Testarea de acceptare este otestare ca oricare alta, făcută după regulile prezentate, dar cel care o face este beneficiarul produsului. Din această cauză accentul epus nu pe alegerea datelor de test după criteriile menţionate, ci pe o testare cu date reale. Ea urmăreşte atât corectitudinea rezultatelor obţinute cât şi robusteţea produsului şi performanţele sale. 21/40

22 ... Testarea de acceptare Diferenţa majoră între testarea de acceptare şi testarea făcută de realizatorii produsului constă în execuţia programului cu date reale nu cu date selectate artificial. O problemă ă poate apare şii din cauza volumului l de dt date utilizate, t în cazul real fiind uneori mult mai mare decât volumul eşantioanelor utilizate în timpul testării de integrare. În mare, validarea produsului se reduce la testarea de acceptare şi verificarea documentaţiei ţ de realizare şi de folosire a produsului. Se verifică dacă această documentaţie este completă, clară şi suficient de detaliată pentru afi utilă pe timpul întreţinerii programului. 22/40

23 Nivele de testare 1. Testarea unui modul 2. Testarea de integrare 3. Testarea de sistem 4. Testarea de acceptare 5. Alte tipuri de testare Organizarea testării Exerciţii şi probleme propuse 23/40

24 Alte tipuri de testare e În mai multe situaţii un program este modificat. În primul rând, după depanare sunt descoperite erori care determină schimbarea programului. In al doilea rând, întreţinerea cere modificarea perfectivă, adaptivă, sau corectivă a programului. Ne întrebăm: după aceste modificări noul program mai dă aceleaşi rezultate la execuţiile deja făcute? Testările posibile în asftel de situaţii sunt: Testarea regresivă ~testarea efectuată după astfel de schimbări. Testarea de stress ~ testarea în condiţii ţ anormale. Testarea Beta ~ realizată de către beneficiar pe cazuri reale. 24/40

25 ... Alte tipuri de testare Testarea regresivă este testarea făcută programului după astfel de schimbări. Experienţa a arătat că, de multe ori, încercând să se corecteze o eroare, depanarea a introdus altele. Este normal ca execuţiile ţ (testele testele) făcute să fie reluate, pentru a verifica dacă nu cumva modificările efectuate au introdus alte erori ri. De cele mai multe ori realitatea nu ne lasă să reluăm aceste execuţii din criză de timp. Şi oare nu este mai important să continuămcu cazurile de test neexecutate? Şansa de agăsi noi erori pare mai mare în aceste cazuri! Corect ar fi ca toate cele n cazuri de test să fie verificate prin execuţia programului cu acele date. Mai mult, este posibil ca în textul nou să fie introduse cazuri noi care trebuie adăugate celor n existente. 25/40

26 ... Alte tipuri de testare Întrucât testarea regresivă urmează după fiecare modificare a codului, ea se va efectua de multe ori, chiar de sute de ori. Reiese foarte clar că este util ca execuţiile cazurilor de test să fie reluate automat, astfel ca testarea regresivă să ceară un efort cât mai mic din partea omului. Deci, se recomandă automatizarea testării! Testarea de stress este testarea t în condiţii anormale, în care volumul de date este foarte mare, sau numărul utilizatorilor sistemului este mult peste cel normal. De exemplu, un program care procesează osecvenţă de n numere funcţionează normal pentru valori obişnuite pentru n, dar poate să funcţioneze anormal pentru n= Testarea Beta este testarea făcută de beneficiar prin folosirea programului în cazuri reale. Adesea în decursul utilizării unui program beneficiarul descoperă funcţionări defectuoase. 26/40

27 ... Alte tipuri de testare ~ Testarea Beta Este bine ca activitatea de testare să se reflecte într-un document scris. Acesta va conţine toate cazurile de test şi rezultatul testării. Care au fost execuţiile la care rezultatele nu au fost corecte, ce decizii s-au luat, la ce s-a ajuns. Nu întotdeauna oexecuţie incorectă se datorează unei erori în unitatea testată. Mai pot fi erori în drivere, stuburi sau în mediul de testare (de exemplu, se foloseşte un fişier de date care nu există, sau are date greşite). ş O problemă importantă care interesează multe persoane este evaluarea erorilor rămase după testarea sistemului. Ometodă de aaflaafla răspunsul la această întrebare este însămânţarea însămânţarea erorilor în produs înainte de testare. Fie k numărul erorilor însămânţate. Dacă în produs se află n erori din care prin testare au fost găsite t, iar din cele însămânţate au fost găsite s, atunci probabil că s / k = t / n deci n = k t/s astfel că în produs au rămas după testare n t=t (k/s 1) erori. 27/40

28 Nivele de testare 1. Testarea unui modul 2. Testarea de integrare 3. Testarea de sistem 4. Testarea de acceptare 5. Alte tipuri de testare Organizarea testării Exerciţii şi probleme propuse 28/40

29 Organizarea a testării Este bine ca testarea să fie efectuată de o echipă formată din persoane specializate în activităţi de testare. Mărimea acestei echipe depinde de complexitatea produsului şide persoanele disponibile. Un produs mic poate fi testat de o singură persoană, unul ul mediu poate fi testat de doar două persoane (într într-o organizaţie ţ mică). Un produs mare, realizat într-o organizaţie mare, va fi testat de o echipă compusă din persoane specializate, instruite în testare, făcând parte din colectivul de verificare şi validare. Un membru al echipei de testare trebuie să aibă înclinaţii şi pricepere în a descoperi erori, o persoană cu experienţă în programare, nu un începător. Prima sarcină a acestei echipe este stabilirea unui plan de testare. Un astfel de plan trebuie să conţină: - scopul testării; - descrierea proiectului ce trebuie testat; - activităţile prevăzute aaveaavea loc; - documentele ce se vor redacta pentru a reflecta testarea făcută. 29/40

30 Planul testării trebuie să precizeze:... Organizarea testării toate activităţile care trebuierealizate, realizate, cine face fiecare activitate, când trebuie să aibă loc fiecare activitate ~ ordinea în care se vor efectua aceste activităţi (se va avea în vedere disponibilitatea subproduselor) toate nivelele de testare, toatemodulele t modulelece l trebuie testate, t t criteriile de acceptare. uneltelesoft de testare (care sunt acestea şi când se folosesc) activităţide instruire a persoanelor nou venite în activitatea de testare. Planul de testare trebuie analizat (de echipa de testare cu proiectului şi dezvoltator): Activităţile prevăzute sunt corecte, în ordine complete? Resurse sunt suficiente (timp, persoane, echipamente)? Lista documentelor elor (prevăzute afi realizate)este completă? şeful corespunzătoare, 30/40

31 Testarea este o activitate complexă (conţine conţine): testarea tuturor modulelor, testarea de integrare, testarea de regresie, testarea sistemului.... Organizarea testării Planul testării trebuie să ia în considerare şi termenul de predare prevăzut. Daca nu pot fi realizate toate activităţile necesare, se vor căuta modalităţidede economisire a timpului. De exemplu, testarea modulelor poate fi redusă la inspectarea testării făcută de realizatorul fiecărui modul. În această situaţieie este necesară o documentaţie a acestei testări, în care se găsesc cazurile de test folosite, împreună cu rezultatul testării, iar echipa de testare va controla prin sondaj câteva execuţii (dacă va considera că este necesar, va adăuga câteva cazuri de test). 31/40

32 ... Organizarea testării Testarea trebuie să pornească de la o înţelegere clară acerinţelor proiectului. Ea trebuie să îmbine testarea funcţională cu testarea structurală pentru fiecare modul. Iar pentru întregul sistem să realizeze testarea performanţelor sistemului. Stabilirea cazurilor de test este una din activităţile dificile în testarea programelor. Scopul testării este descoperirea deficienţelor, iar cazurile de test trebuie să fie alese cu acest scop. Si din acest motiv se recomandă ca alegerea acestor cazuri şi testarea în întregime să fie făcute de alte persoane, diferite de autorul produsului. Adesea un program foloseşteş baze de date, iar execuţiaţ lui modifică aproape întotdeauna baza de date. La testarea de regresie, cât şila alte execuţii ale programului, este nevoie să folosim baza de date iniţială. Planul testării trebuie să aibă în vedere şiastfel de situaţii. ţ Testarea cere resurse importante, timp şi echipamente. Se ştie că ea cere peste 25% din efortul de realizare a produsului. Testarea înseamnă numeroase execuţii ale modulelor sau diferitelor versiuni la testarea de integrare. Ce facem atunci când resursele sunt limitate, când procesul soft este mult în întârziere? 32/40

33 ... Alte tipuri de testare ~ Organizarea testării Lipsa documentelor este un alt obstacol în desfăşurarea normală a testării. În primul rând este nevoie de specificarea produsului, dar şi celelalte documente, cu proiectarea de ansamblu şi de detaliu, codul sursă, sunt toate necesare în diferite faze ale testării. Evident, planul testării trebuie îndeplinit. El cere stabilirea cazurilor de test, execuţiile ţ corespunzătoare, raportarea deficienţelor ţ observate celor vizaţi, redactarea concluziilor testării. Existenţa unei deficienţe duce la depanare, în vederea eliminării ei. Această depanare trebuie făcută de autorul produsului defect nu de persoanele care fac testarea. Evident, după depanare va urma testarea de regresie. Testarea trebuie să lase în urma ei un document al testării. Acesta va conţine în detaliu toate activităţile desfăşurate, toate cazurile de testare efectuate, cu rezultatele obţinute şi deciziile luate. Documentul de testare este una din părţile ă documentului deverificare şi i validare a produsului final. 33/40

34 ... Alte tipuri de testare ~ Organizarea testării Principii în activitatea de testare: testarea trebuie să aibă loc în paralel cu dezvoltarea ; testarea unui modul se va face imediat ce acesta este terminat; testarea trebuie făcută de persoane independente (nu de autori); pentru testarea funcţională cazurile de test vor fi alese imediat ce există specificarea (se pot depista lipsuri în specificare). testarea trebuie să ia în considerare riscurile posibile: schimbarea cerinţelor beneficiarului, deci şia specificării, planul testării nu este respectat din diferite motive ca: întârzieri în realizarea proiectului determină lipsa timpului afectat testării; depanări repetate cer testări de regresie repetate, peste cele prevăzute iniţial; testarea de integrare este întreruptă din lipsa unor module; lipsa personalului (îmbolnăviri, plecări, cost); testarea se încheie cu finalizarea documentului testării, strict necesar în documentaţia produsului realizat. 34/40

35 ... Alte tipuri de testare ~ Organizarea testării Testarea este o activitate care cere timp şi efort. Ea are nevoie de documente care să descrie toate activităţile: specificare, proiectare, codificare. Testarea completă este practic imposibilă. În realitate testarea se încheie printr-un compromis între timp şi calitate. De multe ori nici fiabilitatea cerută nu este atinsă. Subliniem că testarea arată de cele mai multe ori prezenţa erorilor nu lipsa lor. Pentru ane convinge de lipsa erorilor testarea nu este suficientă. Sunt necesare şi alte metode de verificare, dar şi de verificarea / demonstrarea corectitudinii. ii 35/40

36 Nivele de testare 1. Testarea unui modul 2. Testarea de integrare 3. Testarea de sistem 4. Testarea de acceptare 5. Alte tipuri de testare Organizarea testării Exerciţii şi probleme propuse 36/40

37 Întrebări şi probleme propuse Ce înţelegeţiprin testare? Care e diferenţaîntre testarea completăşi cea exhaustivă? Cum se stabilesc cazurile de testare? Când se consideră terminată testarea? Care e diferenţa dintre testarea funcţională, testarea structuralăşi testarea statistică? Din ce cauză în loc de otestare funcţională sau una structurală este preferabilă otestare mixtă? Care sunt nivelele de testare a unui produs soft? Cum puteţi estima numărul erorilor rămase în urma testării? Cum vă explicaţi ţ că, deşiş testate, programele au erori pe timpul folosirii lor de către beneficiar? 37/40

38 ... Întrebări şi probleme propuse Stabiliţi datele de test pentru continuare, folosind criteriul cutiei negre. subalgoritmul specificat în Subalgoritmul Caută(m, n, A, i,j) este: {ϕ:m> m>1, n>1, A(1....m, m,1....n) este o matrice cu componente întregi}... {ψ: A[i,j] este componenta cu cei mai mulţi divizori proprii} sf-caută. 38/40

39 ... Întrebări şi probleme propuse Dând o proiectare de ansamblu a unui program pentru rezolvarea problemelor menţionate mai jos, precizaţi nivelele de testare pe care leefectuaţi. Pentru unul din modulele considerate precizaţi cazurile de test pe care le alegeţi la testarea lui. La testarea de integrare, arataţi cum veţi realiza integrarea primelor două module. 1. Admiterea la facultate; 2. Acordarea burselor într-o facultate; 3. Calculul taxelor lunare la un bloc de locuinţe; 4. Mersul trenurilor. 39/40

40 Index of /~mfrentiu/lectures/verval/carte ~mfrentiu/lectures/verval/carte/ cap3.rtf 40/40

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 14. Asamblari prin pene

Capitolul 14. Asamblari prin pene Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4 FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία

Εμπορική αλληλογραφία Ηλεκτρονική Αλληλογραφία - Εισαγωγή Stimate Domnule Preşedinte, Stimate Domnule Preşedinte, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Stimate Domnule,

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit

CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE. MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CIRCUITE INTEGRATE MONOLITICE DE MICROUNDE MMIC Monolithic Microwave Integrated Circuit CUPRINS 1. Avantajele si limitarile MMIC 2. Modelarea dispozitivelor active 3. Calculul timpului de viata al MMIC

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice

Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice Teme de implementare in Matlab pentru Laboratorul de Metode Numerice As. Ruxandra Barbulescu Septembrie 2017 Orice nelamurire asupra enunturilor/implementarilor se rezolva in cadrul laboratorului de MN,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme liniare - metode directe

Sisteme liniare - metode directe Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K

Διαβάστε περισσότερα

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut

Διαβάστε περισσότερα

Noţiuni introductive

Noţiuni introductive Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45

Curs 4. RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Reţele Petri şi Aplicaţii Curs 4 RPA (2017) Curs 4 1 / 45 Cuprins 1 Analiza structurală a reţelelor Petri Sifoane Capcane Proprietăţi 2 Modelarea fluxurilor de lucru: reţele workflow Reţele workflow 3

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

prin egalizarea histogramei

prin egalizarea histogramei Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08.

a. 0,1; 0,1; 0,1; b. 1, ; 5, ; 8, ; c. 4,87; 6,15; 8,04; d. 7; 7; 7; e. 9,74; 12,30;1 6,08. 1. În argentometrie, metoda Mohr: a. foloseşte ca indicator cromatul de potasiu, care formeazǎ la punctul de echivalenţă un precipitat colorat roşu-cărămiziu; b. foloseşte ca indicator fluoresceina, care

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera

Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui

Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui - Introducere Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Foarte formal, destinatarul ocupă o funcţie care trebuie folosită în locul numelui Αγαπητέ κύριε, Αγαπητέ κύριε, Formal, destinatar de sex

Διαβάστε περισσότερα

9 Testarea ipotezelor statistice

9 Testarea ipotezelor statistice 9 Testarea ipotezelor statistice Un test statistic constă în obţinerea unei deducţii bazată pe o selecţie din populaţie prin testarea unei anumite ipoteze (rezultată din experienţa anterioară, din observaţii,

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională

Διαβάστε περισσότερα

I. Noţiuni introductive

I. Noţiuni introductive Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea

Διαβάστε περισσότερα