Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri"

Transcript

1 Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii

2 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente.

3 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A.

4 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A.

5 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A.

6 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): Permutările lui A sunt:

7 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): a 1, a 2, a 2, a 1, a 1, a 3, a 3, a 1, a 2, a 3, a 3, a 1 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): Permutările lui A sunt:

8 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): a 1, a 2, a 2, a 1, a 1, a 3, a 3, a 1, a 2, a 3, a 3, a 1 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): {a 1, a 2 }, {a 1, a 3 }, {a 2, a 3 } Permutările lui A sunt:

9 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): a 1, a 2, a 2, a 1, a 1, a 3, a 3, a 1, a 2, a 3, a 3, a 1 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): {a 1, a 2 }, {a 1, a 3 }, {a 2, a 3 } Permutările lui A sunt: a 1, a 2, a 3, a 1, a 3, a 2, a 2, a 1, a 3, a 2, a 3, a 1, a 3, a 1, a 2, a 3, a 2, a 1

10 Operaţii cu aranjamente şi permutări În prima parte a acestui curs vom învăţa: Cum să ordonăm permutările încât să putem vorbi despre prima permutare, a doua, etc. Cum să generăm permutarea care urmează după o permutare dată Cum să generăm direct a k-a permutare Cum să determinăm a câta este o permutare dată

11 Relaţii de ordine pentru r-permutări Presupunem că A este o mulţime finită cu n elemente. 1 Mai întâi ordonăm elementele mulţimii A A = {a 1, a 2,..., a n } unde a 1 = primul element... a n = al n-lea element. A devine o mulţime ordonată (un alfabet) în care a 1 < a 2 <... < a n. 2 r-permutările sunt cuvinte b 1,..., b r de lungime r pe care le ordonăm ca şi cuvintele din dicţionar, de exemplu: a 1, a 2 < a 1, a 3 < a 2, a 1 <... Această ordonare a r-permutărilor se numeşte ordonare lexicografică: b 1,..., b r < c 1,..., c r dacă există o poziţie k astfel încât b i = c i pentru 1 i < k, şi b k < c k.

12 Relaţii de ordine pentru r-permutări Observaţii preliminare Fie A = {a 1,..., a n } o mulţime ordonată cu a 1 <... < a n şi N = {1, 2,..., n}. 1 r-permutările lui A sunt cuvinte de forma a i1,..., a ir cu i 1,..., i r N. 2 a i1,..., a ir este o r-permutare a lui A dacă şi numai dacă (i 1,..., i r ) este o r-permutare a lui N. 3 a i1,..., a ir < a j1,..., a jr dacă şi numai dacă i 1,..., i r < j 1,..., j r. este suficient să ştim cum să ordonăm şi să enumerăm r-permutări de numere din mulţimea N. De acum încolo vom considera doar r-permutări ale mulţimii ordonate A = {1,..., n}.

13 Rangul unei r-permutări Rangul unei r-permutări este poziţia la care apare r-permutarea în ordine lexicografică, pornind de la poziţia 0. Exemplu (A = {1, 2, 3}) 2-permutare rang permutare rang 1, 2 0 1, 2, 3 0 1, 3 1 1, 3, 2 1 2, 1 2 2, 1, 3 2 2, 3 3 2, 3, 1 3 3, 1 4 3, 1, 2 4 3, 2 5 3, 2, 1 5

14 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare 5, 1, 3, 2, 4 5, 2, 4, 3, 1 5, 4, 3, 2, 1 permutare următoare

15 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 4, 3, 2, 1

16 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1

17 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există

18 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel:

19 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel: 1 Determină i astfel încât p i >... > p n este cel mai lung sufix descrescător al permutării p 1,..., p n

20 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel: 1 Determină i astfel încât p i >... > p n este cel mai lung sufix descrescător al permutării p 1,..., p n 2 Detemină j i astfel încât p j este cel mai mic număr mai mare decât p i 1.

21 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel: 1 Determină i astfel încât p i >... > p n este cel mai lung sufix descrescător al permutării p 1,..., p n 2 Detemină j i astfel încât p j este cel mai mic număr mai mare decât p i 1. 3 Permută p j cu p i 1, şi apoi inversează sufixul p i,..., p n.

22 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1

23 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 2, 4, 3, 1 i = 3

24 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 2, 4, 3, 1 permută p i 1 = 2 cu p j = 3 i = 3 j = 4

25 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 4, 2, 1 inversează p i,..., p n = 4, 2, 1 i = 3

26 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 = permutarea următoare

27 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Pseudocod PermutareUrmatoare(p: int[0.. n 1]) i := n 2; while (p[i] > p[i + 1]) i--; j := n 1; while (p[j] < p[i]) j--; // permuta valorile lui p[i] si p[j] tmp := p[i]; p[i] := p[j]; p[j] := tmp; // inverseaza (p[i+1],..., p[n-1]) for (k := 0; k < (n i 1)/2 ; k++) // swap p[i k] with p[n 1 k] tmp := p[i k]; p[i k] := p[n 1 k]; p[n 1 k] := tmp; return p;

28 Operaţii cu permutări Probleme 1 Cum putem calcula direct şi eficient rangul unei permutări p 1,..., p n a lui N = {1,..., n} într-o enumerare lexicografică? 2 Cum putem calcula direct şi eficient permutarea p 1,..., p n lui N = {1,..., n} care are rangul k? Presupunem că 0 k < n!

29 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n!

30 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n! în general, (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)!

31 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n! în general, (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)! rangul lui p 1,..., p n = (p 1 1) (n 1)! + rangul lui p 2,..., p n în enumerarea lexicografică a permutărilor lui N {p 1 }

32 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n! în general, (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)! rangul lui p 1,..., p n = (p 1 1) (n 1)! + rangul lui p 2,..., p n în enumerarea lexicografică a permutărilor lui N {p 1 } r se poate calcula recursiv.

33 Calculul rangului unei permutări Exemplu Permutarea p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 2, 3, 1, 5, 4 are rangul r = (2 1) (5 1)!+ rangul lui 3, 1, 5, 4 în ordonarea lexicografică a permutărilor lui {1, 3, 4, 5}. rangul lui 3, 1, 5, 4 în ordonarea lexicografică a permutărilor lui {1, 3, 4, 5} este acelaşi cu rangul lui 2, 1, 4, 3 în ordonarea lexicografică a permutărilor lui {1, 2, 3, 4} (am micşorat cu 1 toate elementele mai mari decât p 1 = 2) Procedând recursiv, vom obţine că rangul lui 2, 1, 4, 3 este 7. rangul lui 2, 3, 1, 5, 4 este = 31.

34 Calculul rangului unei permutări Pseudocod Rang(p : int[0.. n 1]) if n == 1 return 0 else q : int[0.. n 2]; // ajusteaza p[1..n-1] sa fie permutare a lui {1,..., n 1} // memorata in q[0.. n 2] for(i := 1; i n 1; i++) if(p[i] < p[0]) q[i 1] = p[i]; else q[i 1] = p[i] 1; return Rang[q] + (p[0] 1) (n 1)!

35 Calculul unei permutări cu rang dat Se doreşte un algoritm care construieşte direct permutarea (p 1,..., p n ) cu rangul r, când 0 r < n!. Am observat deja că dacă permutarea (p 1,..., p n ) are rangul r, atunci (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)! r p 1 = + 1 (n 1)! Dacă (q 1,..., q n 1 ) este permutarea cu rangul r (p 1 1) (n 1)! atunci { qi dacă q p i+1 = i < p 1, q i + 1 dacă q i p 1. pentru fiecare subsecvenţă.

36 Algoritmi de generare rapidă a tuturor permutărilor (Opţional) Generarea tuturor permutărilor se poate face şi în altă ordine decât cea lexicografică. Uneori se doreşte generarea foarte rapidă a tuturor permutărilor: Acest lucru este posibil dacă fiecare permutare se obţine foarte rapid din cea precedentă. În 1963, Heap a descoperit un algoritm care generează permutarea următoare a unei permutări prin interschimbarea valorilor a 2 elemente. Algoritmul lui Heap este cel mai rapid algoritm de generare a tuturor permutărilor.

37 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par.

38 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par. Algoritmul lui Heap generează toate permutările lui {1,..., n} într-o ordine diferită de cea lexicografică.

39 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par. Algoritmul lui Heap generează toate permutările lui {1,..., n} într-o ordine diferită de cea lexicografică. Fiecare permutare diferă de cea precedentă printr-o transpoziţie (adică, o interschimbare a valorilor a 2 elemente).

40 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par. Algoritmul lui Heap generează toate permutările lui {1,..., n} într-o ordine diferită de cea lexicografică. Fiecare permutare diferă de cea precedentă printr-o transpoziţie (adică, o interschimbare a valorilor a 2 elemente). Exemplu Algoritmul lui Heap enumeră permutările lui {1, 2, 3} în ordinea următoare: 1, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 1

41 Exerciţii 1 Să se implementeze un program care citeşte o secvenţă de n numere şi apoi afişează: este permutare dacă secvenţa respectivă este o permutare a lui {1,..., n} nu este permutare în caz contrar. 2 Să se implementeze un program care citeşte numerele n şi r {0, 1,..., n! 1} şi afişează permutarea lui {1,..., n} care are rangul r. 3 Să se implementeze un program care citeşte o permutare a lui {1,..., n} şi afişează rangul permutării respective. 4 Scrieţi un program care citeşte o permutare a 1,..., a n şi calculează inversa ei, adică permutarea b 1,..., b n astfel încât b ai = a bi = i pentru orice 1 i n.

42 Exerciţii 1 Scrieţi un program care citeşte o permutare şi calculează permutarea următoare în ordine lexicografică. 2 Scrieţi un program care citeşte o permutare şi calculează permutarea precedentă în ordine lexicografică.

43 Principiul porumbeilor Exemplu Presupunem că un cârd de 13 porumbei ocupă o cuşcă cu 12 adăposturi. Numărul de adăposturi este mai mic decât numărul de porumbei cel puţin un adăpost va fi ocupat de cel puţin 2 porumbei.

44 Principiul porumbeilor Exemplu Presupunem că un cârd de 13 porumbei ocupă o cuşcă cu 12 adăposturi. Numărul de adăposturi este mai mic decât numărul de porumbei cel puţin un adăpost va fi ocupat de cel puţin 2 porumbei. Principiul porumbeilor (sau Principiul lui Dirichlet) Fie n un număr întreg pozitiv. Dacă mai mult de n obiecte sunt distribuite în n containere, atunci un container trebuie să conţină cel puţin 2 obiecte.

45 Principiul porumbeilor Applicaţii în raţionamentul combinatorial Stabilirea existenţei unei anumite configuraţii sau combinări în diverse situaţii. 1 Presupunem că sunt 367 studenţi înscrişi la cursul de istorie. Atunci cel puţin 2 studenţi au aceeaşi zi de naştere. Demonstraţie. Numărul de studenţi este mai mare decât numărul de zile calendaristice. Conform pricipiului porumbeilor, cel puţin 2 studenţi sunt născuţi în aceeaşi zi calendaristică. 2 n pugilişti concurează într-un turneu care prevede un meci între fiecare pereche de pugilişti. Fiecare pugilist a pierdut cel puţin un meci. Atunci cel puţin 2 pugilişti au obţinut acelaşi număr de victorii. Demonstraţie. Sunt n pugilişti, şi fiecare pugilist are între 0 şi n 2 victorii. (Observaţi că nici un pugilist nu are n 1 victorii deoarece ştim că fiecare a pierdut cel puţin un meci.) Conform principiului porumbeilor, cel puţin 2 pugilişti au acelaşi număr de victorii.

46 Principiul porumbeilor Generalizare: Fie m şi n întregi pozitivi. Dacă mai mult decât m n obiecte sunt distribuite în n containere, atunci cel puţin un container trebue să conţină cel puţin m + 1 obiecte. Demonstraţie: prin contradicţie. Dacă punem cel mult m obiecte în fiecare container, atunci numărul total de obiecte ar fi cel mult m n. Teoremă Dacă a 1, a 2,..., a n R şi µ = a 1 + a a n, atunci există întregii i n şi j cu 1 i, j n astfel încât a i µ şi a j µ. Demonstraţie: prin contradicţie. Dacă fiecare element este strict mai mare decât µ atunci µ = (a 1 + a a n )/n > n µ n = µ, contradicţie a i µ. Dacă fiecare element este strict mai mic decât µ atunci µ = (a 1 + a a n )/n < n µ n = µ, contradicţie a j µ.

47 Principiul porumbeilor Aplicaţia 1: Subsecvenţe monotone Definiţie (Secvenţă monotonă) O secvenţă a 1, a 2,..., a n este crescătoare dacă a 1 a 2... a n strict crescătoare dacă a 1 < a 2 <... < a n descrescătoare dacă a 1 a 2... a n strict descrescătoare dacă a 1 > a 2 >... > a n Fie secvenţa 3, 5, 8, 10, 6, 1, 9, 2, 7, 4. Care sunt subsecvenţele crescătoare de lungime maximă? (3, 5, 8, 10), (3, 5, 8, 9), (3, 5, 6, 7), (3, 5, 6, 9) Care sunt subsecvenţele descrescătoare de lungime maximă? (10, 9, 7, 4)

48 Principiul porumbeilor Aplicaţia 1: Subsecvenţe monotone (continuare) Teoremă Presupunem că m, n N {0}. O secvenţă cu mai mult de m n numere reale trebuie să conţină fie o subsecvenţă crescătoare de lungime cel puţin m + 1, sau o subsecvenţă strict descrescătoare de lungime cel puţin n + 1. Demonstraţie. Pentru fiecare 1 i m n + 1, fie r 1, r 2,..., r m n+1 a i :=lungimea celei mai lungi subsecvenţe crescătoare ce începe cu r i d i :=lungimea celei mai lungi subsecvenţe strict descrescătoare ce începe cu r i De exemplu, dacă secvenţa este 3, 5, 8, 10, 6, 1, 9, 2, 7, 4 atunci a 2 = 3 (pentru subsecvenţa 5, 8, 10 sau 5, 8, 9) d 2 = 2 (pentru subsecvenţa 5, 1 sau 5, 2 sau 5, 4)

49 Principiul porumbeilor Aplicaţia 1: Subsecvenţe monotone (Demo. continuată) Presupunem că teorema este falsă 1 a i m şi 1 d i n perechea (a i, d i ) are m n valori posibile. Există m n + 1 perechi i < j cu (a i, d i ) = (a j, d j ). Dacă i < j şi (a i, d i ) = (a j, d j ) atunci 1 Lungimea maximă a subsecvenţelor crescătoare ce pornesc din r i şi din r j este a i. 2 Lungimea maximă a subsecvenţelor strict descrescătoare ce pornesc din r i şi din r j este d i. Acest lucru este imposibil fiindcă lungime a i {}}{ 1 dacă r i r j atunci r i r j... }{{} lungime a i +1 lungime d i {}}{ 2 Dacă r i > r j atunci r i > r j >.... }{{} lungime d i +1

50 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim:

51 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x.

52 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m.

53 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x

54 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi.

55 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi. Exemple: π = , e = , etc.

56 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi. Exemple: π = , e = , etc. Dacă α este un număr iraţional şi Q N {0}, cât de bine putem aproxima α cu un număr raţional p q unde 1 q Q?

57 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi. Exemple: π = , e = , etc. Dacă α este un număr iraţional şi Q N {0}, cât de bine putem aproxima α cu un număr raţional p q unde 1 q Q? Cât de mic poate deveni α p când 1 q Q? q

58 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale (2) Teoremă (Teorema de aproximare a lui Dirichlet) Dacă α este un număr iraţional şi Q un întreg pozitiv, atunci există un număr raţional p/q cu 1 q Q astfel încât α p q 1 q (Q + 1). Demonstraţie. Împărţim intervalul [0, 1] în Q + 1 subintervale de lungimi egale: [ ) [ ) [ ] 1 1 0,, Q + 1 Q + 1, 2 Q,..., Q + 1 Q + 1, 1 şi următoarele Q + 2 numere reale: r 1 = 0, r 2 = {α}, {2α},..., r Q+1 = {Qα}, r Q+2 = 1

59 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale

60 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval

61 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2)

62 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1)

63 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1) fiecare r i este u i α v i cu u i, v i Z, şi dacă i < j atunci u i = u j numai dacă (i, j) = (1, Q + 2).

64 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1) fiecare r i este u i α v i cu u i, v i Z, şi dacă i < j atunci u i = u j numai dacă (i, j) = (1, Q + 2). r i r j = (u i u j )α (v i v j ) = u i u j }{{} q [1,Q] α v i v j u i u j }{{} p q 1 Q+1.

65 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1) fiecare r i este u i α v i cu u i, v i Z, şi dacă i < j atunci u i = u j numai dacă (i, j) = (1, Q + 2). r i r j = (u i u j )α (v i v j ) = u i u j }{{} q [1,Q] α v i v j u i u j }{{} p q 1 Q+1. Deci α p q 1 q (Q + 1).

66 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Exemple ilustrative Presupunem că un sertar conţine 50 de mărgele: 25 sunt de sticlă, 30 sunt roşii, 20 sunt sferice, 18 sunt de sticlă roşie, 12 sunt sferice de sticlă, 15 sunt sferice roşii, şi 8 sunt sferice de sticlă roşie. Câte mărgele există care nu sunt nici roşii, nici de sticlă şi nici sferice? Răspuns: Desenăm o diagramă Venn cu 3 mulţimi: mulţimea G a mărgelelor de sticlă, R a mărgelelor roşii, şi S a mărgelelor sferice. Observaţie. G R S = G + R + S G R G S R S + G R S.

67 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Ipoteze: U: o mulţime universală cu N elemente a 1,..., a r : proprietăţi ale elementelor mulţimii U N(a i1 a i2... a im ): numărul obiectelor din U care au simultan proprietăţile a i1, a i2,..., a im. N 0 : numărul obiectelor din U care nu au nici una din aceste proprietăţi. Teoremă (Principiul Incluziunii şi Excluziunii) N 0 = N N(a i ) + i i<j + ( 1) m N(a i a j ) i<j<k N(a i a j a k ) +... i 1 < <i m N(a i1... a im ) ( 1) r N(a 1 a 2... a r ).

68 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12?

69 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12.

70 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33.

71 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33. Primul număr din U divizibil cu 12 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 12 este 204 = N(a 2 ) = = 13.

72 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33. Primul număr din U divizibil cu 12 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 12 este 204 = N(a 2 ) = = 13. Un număr are simultan proprietăţile a 1 şi a 2 dacă este divizibil cu 5 12 = 60. Primul număr din U divizibil cu 60 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 60 este 180 = 60 3 N(a 1 a 2 ) = = 3.

73 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33. Primul număr din U divizibil cu 12 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 12 este 204 = N(a 2 ) = = 13. Un număr are simultan proprietăţile a 1 şi a 2 dacă este divizibil cu 5 12 = 60. Primul număr din U divizibil cu 60 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 60 este 180 = 60 3 N(a 1 a 2 ) = = 3. Numărul căutat este N(a 1 ) + N(a 2 ) N(a 1 a 2 ) = = 43.

74 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 2: Funcţia ϕ a lui Euler ϕ(n):= numărul întregilor 1 m < n cu gcd(m, n) = 1. Exemplu: ϕ(24) = 8 deoarece sunt 8 intregi între 1 şi 23 care nu au factor comun cu 24: 1,5,7,11,13,17,19,23. ϕ(n) joaca un rol important în teoria numerelor. ϕ(n) poate fi calculată cu Principiul Incluziunii şi Excluziunii: Presupunem că n = p n pnr r unde p 1,..., p r sunt numere prime distincte, şi n i > 0 pentru 1 i r. Fie a i proprietatea mai mic decât n şi divizibil cu p i (1 i r) ϕ(n) = N 0 = n N(a i ) + N(a i a j ) ( 1) r N(a 1... a r ). i i<j N(a i1..., a im ) este numărul de elemente < n divizibile cu p i1... p im N(a i1... a im ) = n p i1... p im.

75 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 2: Funcţia ϕ a lui Euler ϕ(n) = n i r = n i=1 n p i + i<j (1 1pi ). n ( 1) n n p i p j p 1 p 2... p r ( Exemplu: ϕ(24) = ϕ(2 3 3) = ) ( 1 1 ) =

76 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120?

77 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n.

78 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n:

79 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n: Începem cu mulţimea N = {1,..., n} şi numărăm N 0 = numărul de elemente rămase după ce se elimină din mulţimea N multiplii de numere prime p n.

80 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n: Începem cu mulţimea N = {1,..., n} şi numărăm N 0 = numărul de elemente rămase după ce se elimină din mulţimea N multiplii de numere prime p n. Numărul obţinut nu este tocmai cel dorit deoarece nu am numărat numerele prime n am numărat 1

81 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n: Începem cu mulţimea N = {1,..., n} şi numărăm N 0 = numărul de elemente rămase după ce se elimină din mulţimea N multiplii de numere prime p n. Numărul obţinut nu este tocmai cel dorit deoarece nu am numărat numerele prime n am numărat 1 Numărul căutat este N 0 + r 1 unde r este numărul numerelor prime n.

82 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120?

83 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7

84 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente.

85 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente. Î: Este N 0 numărul pe care-l căutăm?

86 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente. Î: Este N 0 numărul pe care-l căutăm? R: Nu tocmai, fiindcă: M conţine toate numerele prime între 1 şi 120, cu excepţia lui p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7. M conţine 1, care nu este număr prim.

87 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente. Î: Este N 0 numărul pe care-l căutăm? R: Nu tocmai, fiindcă: M conţine toate numerele prime între 1 şi 120, cu excepţia lui p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7. M conţine 1, care nu este număr prim. Numărul numerelor prime 120 este N

88 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) Câte numere prime sunt între 1 şi 120?

89 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N 0 = 120 N(a i ) + N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) i=1 i<j i<j<k

90 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) N 0 = 120 Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) N(a i ) + i=1 i<j i<j<k 120 Observăm că N(a i1... a im ) = p i1... p im (de ce?) De exemplu: N(a 1 ) = 120/2 = 60, N(a 2 ) = 120/3 = 40, N(a 3 ) = 120/5 = 24, N(a 4 ) = 120/7 = 17 N(a 1 a 2 ) = 120/(2 3) = 20, N(a 1 a 3 ) = 120/(2 5) = 12,... N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) = 120/( ) = 120/210 = 0

91 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) N 0 = 120 Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) N(a i ) + i=1 i<j i<j<k 120 Observăm că N(a i1... a im ) = p i1... p im (de ce?) De exemplu: N(a 1 ) = 120/2 = 60, N(a 2 ) = 120/3 = 40, N(a 3 ) = 120/5 = 24, N(a 4 ) = 120/7 = 17 N(a 1 a 2 ) = 120/(2 3) = 20, N(a 1 a 3 ) = 120/(2 5) = 12,... N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) = 120/( ) = 120/210 = 0 N 0 = 120 ( ) + ( ) ( ) + 0 = 27.

92 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) N 0 = 120 Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) N(a i ) + i=1 i<j i<j<k 120 Observăm că N(a i1... a im ) = p i1... p im (de ce?) De exemplu: N(a 1 ) = 120/2 = 60, N(a 2 ) = 120/3 = 40, N(a 3 ) = 120/5 = 24, N(a 4 ) = 120/7 = 17 N(a 1 a 2 ) = 120/(2 3) = 20, N(a 1 a 3 ) = 120/(2 5) = 12,... N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) = 120/( ) = 120/210 = 0 N 0 = 120 ( ) + ( ) ( ) + 0 = 27. Numărul pe care-l căutăm este = 30

93 Bibliografie 1 Capitolul 2, Secţiunea 2.1: Generating Permutations of S. Pemmaraju, S. Skiena. Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Cambridge University Press Capitolul 2, Secţiunile 2.4 şi 2.5 din J. M. Harris, J. L. Hirst, M.J. Mossinghoff. Combinatorics and Graph Theory. Second Edition. Springer Capitolul 5 din K. H. Rosen. Discrete Mathematics and Its Aplications. Sixth Edition. McGraw Hill Higher Education

94

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI

ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI ENCICLOPEDIA MATEMATICĂ A CLASELOR DE NUMERE ÎNTREGI Marius Coman mariuscoman13@gmail.com 1 Copyright 2013 de Marius Coman Education Publishing 1313 Chesapeake Avenue Columbus, Ohio 43212 USA Tel. (614)

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare:

MICROSOFT EXCEL. Pentru a lansa in execuţie programul Microsoft Excel utilizaţi una dintre procedurile următoare: 1 2 Fiind o aplicaţie din pachetul Microsoft Office, Microsoft Excel prezintă o interfaţă asemănătoare cu editorul de text Microsoft Word având aceeaşi organizare a sistemului de meniuri şi a barelor de

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

Senzori de temperatură de imersie

Senzori de temperatură de imersie 1 781 1781P01 Symaro Senzori de temperatură de imersie QAE21... Senzori pasivi pentru determinarea temperaturii apei în conducte sau vase. Utilizare Senzorii de temperatură de imersie QAE21 sunt destinaţi

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu

ANUL al V-lea Nr. 2/2015. Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu DIDACTICA MATEMATICĂ SUPLIMENT AL GAZETEI MATEMATICE ANUL al V-lea Nr. 2/2015 Modele de lecţii Prezenţa elementelor de teoria probabilităţilor în programa de liceu de Eugen Păltănea Propunem o tematică

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu CUPRINS CAPITOLUL 1 - OBIECT ŞI DOMENIU DE APLICARE...2 CAPITOLUL 2 -

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE AMPLIFICATORL C CIRCIT ACORDAT DERIVATIE 4 M IN OT OT Analizor spectru IN Fiura 6 (). Comutatorul K este pe poziţia de R mare. Comutatorul K scurtcircuitează rezistenţa R a. Cunoscând valoarea L a bobinei

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING

User s Manual Air Purifier with Ionizer. Εγχειρίδιο Χρήστη Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ. Ιονιστής/Καθαριστής αέρα SPRING Η Λ Ε Κ Τ Ρ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Σ Κ Ε Υ Ε Σ SPRING User s Manual Air Purifier with Ionizer Εγχειρίδιο Χρήστη Ιονιστής/Καθαριστής αέρα Σας ευχαριστούµε για την επιλογή ηλεκτρικών συσκευών INVENTOR. Για την σωστή

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

[Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată

[Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată [Iulian Stoleriu] Statistică Aplicată Statistică Aplicată (C1) 1 Elemente de Statistic teoretic (C1) Populaµie statistic O populaµie (colectivitate) statistic este o mulµime de elemente ce posed o trasatur

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ΟΔΗΓΟΣ ΓΛΩΣΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΗΣ ÑÏÕÌÁÍÉÁ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑΣ Εισαγωγή Η Δημοκρατία της Ρουμανίας έχει έκταση 238.000 χλμ² και πληθυσμό ο οποίος ξεπερνά τα 21 εκατομμύρια κατοίκους. Το επίσημο νόμισμά της

Διαβάστε περισσότερα

5)Sa se afiseze suma cifrelor unui numar n )Sa se afle daca un numar este perfect )Sa se afle cifra maxima a unui numar (cea mai mare

5)Sa se afiseze suma cifrelor unui numar n )Sa se afle daca un numar este perfect )Sa se afle cifra maxima a unui numar (cea mai mare Cuprins ALGORITMI. NOTIUNI GENERALE... 4 Etapele rezolvarii unei probleme:... 5 SCHEMA LOGICA... 8 Descrierea algoritmilor cu ajutorul schemelor logice... 9 1. De start şi de stop... 9 2. De citire şi

Διαβάστε περισσότερα

Για την κωδικοποίηση της αρμανικής. Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014

Για την κωδικοποίηση της αρμανικής. Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014 Για την κωδικοποίηση της αρμανικής Prof. Dr. Thede KAHL POLIS ART CAFE ΑΘΗΝΑ 23 IAN 2014 Τάσεις και περίοδοι στην κωδικοποίηση της αρμανικής 1. Ελληνοποίηση (1700-1840) 2. Ρουμανική προπαγάνδα (1820-1945)

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 18 CIRCUITE DE ADAPTARE PE IMAGINI

Lucrarea 18 CIRCUITE DE ADAPTARE PE IMAGINI Lucrarea 18 133 Lucrarea 18 CIRCUITE DE ADAPTARE PE IMAGINI 18.A. OBIECTIVE 1. Studiul adaptării prin circuite în T. 2. Studiul comportării în frecvenţă a adaptorilor în T. 18.B. CONSIDERAŢII TEORETICE

Διαβάστε περισσότερα

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W]

P = {(Uadc / sqr(2)) * Rap]^2}/50 [W] Aceasta versiune de SWR metru este una de sine-statatoare si este destinata celor care doresc sa-si construiasca un aparat separat de masurare a SWR-ului si a puterii de radiofrecventa. Acest model de

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru ARHETIPURI 1 de Corrado Malanga Traducere în limba română de Alexandra Blănaru Prefață De obicei nu îmi încep scrierile cu prefețe inutile, dar în acest caz trebuie să-l lămuresc pe cititor cu privire

Διαβάστε περισσότερα

1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR

1. PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR . PROBLEMELE REZISTENŢEI MATERIALELOR.. Obiectul şi problemele reistenţei materialelor Reistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală, situată între ştiinţele fiico-matematice şi

Διαβάστε περισσότερα

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE

CIRCUITE BASCULANTE BISTABILE 6 CICUITE BACULANTE BITABILE 6. Introducere Circuitele basculante bistabile sau, mai scurt, circuitele bistabile sunt circuite care pot avea la ieşire două stări stabile: logic şi logic. Circuitul poate

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice

Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Catedra de Maşini electrice ÎNDRUMĂTOR DE PROIECTARE A MAŞINII ASINCRONE Pentru uz intern La baza acestui îndrumător stă un material elaborat de domnul dr.ing. Madescu

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

Termostat pentru acvarii

Termostat pentru acvarii Termostat pentru acvarii Pentru pastrarea in interiorul acvariilor a unei temperaturi de +26±1 C se poate realiza o schema electronica simpla, sigura in functionare si in acelasi timp ieftina. Alimentata

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

METROLOGIE CONTINUT CURS

METROLOGIE CONTINUT CURS A. MASURAREA MĂRIMILOR ELECTRICE METROLOGIE CONTINUT CURS I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE ALE MĂSURĂRII 1.1 Introducere 1. Mărimi fizice 1.3. Măsurarea 1.4. Sistemul legal de unităţi de măsură 1.5. Mijloace electrice

Διαβάστε περισσότερα

CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOARE ŞI APLICAłII

CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOARE ŞI APLICAłII CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOAE ŞI APLICAłII 2.1 NOłIUNI FUNDAMENTALE DESPE DIODE Dioda semiconductoare (sau mai simplu, dioda) are la bază o joncńiune pn, joncńiune care se formează la contactul unei regiuni

Διαβάστε περισσότερα

KIT RADIO RETRO PE UNDE MEDII (AM) Cod produs:

KIT RADIO RETRO PE UNDE MEDII (AM) Cod produs: MANUAL DE UTILIZARE KIT RADIO RETRO PE UNDE MEDII (AM) Cod produs: 192205 Radio retro pe unde medii Acest radio este un receptor pentru undele medii. Lățimea de bandă este limitată pentru undele medii

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Elemente de termodinamica ş.l. dr. Marius COSTACHE 1 ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ 1) Noţiuni introductive sistem fizic = orice porţiune de materie, de la o microparticulă la întreg Universul, porţiune

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ. 6.1 Considerații teoretice

Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ. 6.1 Considerații teoretice 4 Lucrarea 6 DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE REZISTENȚĂ HIDRAULICĂ LINIARĂ 6.1 Considerații teoretice O instalaţie care asigură transportul şi distribuţia fluidelor (lichide, gaze) între o sursă şi un consumator

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie Dragomirescu L., Drane J. W.,, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucureşti, 7p. ISB 78-7-74-46-8..6. Formule de calcul pentru medie

Διαβάστε περισσότερα

Antene verticale - pentru banda de 5MHz.

Antene verticale - pentru banda de 5MHz. Antene verticale - pentru banda de 5MHz. MOTTO: Legile electrotehnicii nu pot fi contestate și nici aprobate de parlament. YO4UQ Cristian COLONATI În continuarea propunerilor deja făcute pentru antenele

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

PROCEDURA PENTRU PROIECTAREA UNUI CABLAJ IMPRIMAT

PROCEDURA PENTRU PROIECTAREA UNUI CABLAJ IMPRIMAT PROCEDURA PENTRU PROIECTAREA UNUI CABLAJ IMPRIMAT 1. Lansare Capture 2. Crearea unui proiect sau deschiderea unui proiect (*.OBJ) 3. Realizare schema (Capture) 3.1. Plasarea componentelor 3.2. Plasarea

Διαβάστε περισσότερα

EPSICOM GENERATOR CU NE 555 EP Colecţia Începători. Ready Prototyping. Cuprins. Idei pentru afaceri. Hobby & Proiecte Educationale

EPSICOM GENERATOR CU NE 555 EP Colecţia Începători. Ready Prototyping. Cuprins. Idei pentru afaceri. Hobby & Proiecte Educationale EPSICOM Ready Prototyping Colecţia Începători EP 0004... Cuprins Introducere 1. Funcţionare 2 2. Schema 2 3. Lista de componente 3 4. PCB 4 5. Tutorial Circuitul NE555 5-6 GENERATOR CU NE 555 Avantaj Pret/Calitate

Διαβάστε περισσότερα