Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Save this PDF as:
Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri"

Transcript

1 Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii

2 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente.

3 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A.

4 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A.

5 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A.

6 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): Permutările lui A sunt:

7 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): a 1, a 2, a 2, a 1, a 1, a 3, a 3, a 1, a 2, a 3, a 3, a 1 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): Permutările lui A sunt:

8 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): a 1, a 2, a 2, a 1, a 1, a 3, a 3, a 1, a 2, a 3, a 3, a 1 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): {a 1, a 2 }, {a 1, a 3 }, {a 2, a 3 } Permutările lui A sunt:

9 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): a 1, a 2, a 2, a 1, a 1, a 3, a 3, a 1, a 2, a 3, a 3, a 1 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): {a 1, a 2 }, {a 1, a 3 }, {a 2, a 3 } Permutările lui A sunt: a 1, a 2, a 3, a 1, a 3, a 2, a 2, a 1, a 3, a 2, a 3, a 1, a 3, a 1, a 2, a 3, a 2, a 1

10 Operaţii cu aranjamente şi permutări În prima parte a acestui curs vom învăţa: Cum să ordonăm permutările încât să putem vorbi despre prima permutare, a doua, etc. Cum să generăm permutarea care urmează după o permutare dată Cum să generăm direct a k-a permutare Cum să determinăm a câta este o permutare dată

11 Relaţii de ordine pentru r-permutări Presupunem că A este o mulţime finită cu n elemente. 1 Mai întâi ordonăm elementele mulţimii A A = {a 1, a 2,..., a n } unde a 1 = primul element... a n = al n-lea element. A devine o mulţime ordonată (un alfabet) în care a 1 < a 2 <... < a n. 2 r-permutările sunt cuvinte b 1,..., b r de lungime r pe care le ordonăm ca şi cuvintele din dicţionar, de exemplu: a 1, a 2 < a 1, a 3 < a 2, a 1 <... Această ordonare a r-permutărilor se numeşte ordonare lexicografică: b 1,..., b r < c 1,..., c r dacă există o poziţie k astfel încât b i = c i pentru 1 i < k, şi b k < c k.

12 Relaţii de ordine pentru r-permutări Observaţii preliminare Fie A = {a 1,..., a n } o mulţime ordonată cu a 1 <... < a n şi N = {1, 2,..., n}. 1 r-permutările lui A sunt cuvinte de forma a i1,..., a ir cu i 1,..., i r N. 2 a i1,..., a ir este o r-permutare a lui A dacă şi numai dacă (i 1,..., i r ) este o r-permutare a lui N. 3 a i1,..., a ir < a j1,..., a jr dacă şi numai dacă i 1,..., i r < j 1,..., j r. este suficient să ştim cum să ordonăm şi să enumerăm r-permutări de numere din mulţimea N. De acum încolo vom considera doar r-permutări ale mulţimii ordonate A = {1,..., n}.

13 Rangul unei r-permutări Rangul unei r-permutări este poziţia la care apare r-permutarea în ordine lexicografică, pornind de la poziţia 0. Exemplu (A = {1, 2, 3}) 2-permutare rang permutare rang 1, 2 0 1, 2, 3 0 1, 3 1 1, 3, 2 1 2, 1 2 2, 1, 3 2 2, 3 3 2, 3, 1 3 3, 1 4 3, 1, 2 4 3, 2 5 3, 2, 1 5

14 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare 5, 1, 3, 2, 4 5, 2, 4, 3, 1 5, 4, 3, 2, 1 permutare următoare

15 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 4, 3, 2, 1

16 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1

17 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există

18 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel:

19 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel: 1 Determină i astfel încât p i >... > p n este cel mai lung sufix descrescător al permutării p 1,..., p n

20 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel: 1 Determină i astfel încât p i >... > p n este cel mai lung sufix descrescător al permutării p 1,..., p n 2 Detemină j i astfel încât p j este cel mai mic număr mai mare decât p i 1.

21 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel: 1 Determină i astfel încât p i >... > p n este cel mai lung sufix descrescător al permutării p 1,..., p n 2 Detemină j i astfel încât p j este cel mai mic număr mai mare decât p i 1. 3 Permută p j cu p i 1, şi apoi inversează sufixul p i,..., p n.

22 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1

23 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 2, 4, 3, 1 i = 3

24 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 2, 4, 3, 1 permută p i 1 = 2 cu p j = 3 i = 3 j = 4

25 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 4, 2, 1 inversează p i,..., p n = 4, 2, 1 i = 3

26 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 = permutarea următoare

27 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Pseudocod PermutareUrmatoare(p: int[0.. n 1]) i := n 2; while (p[i] > p[i + 1]) i--; j := n 1; while (p[j] < p[i]) j--; // permuta valorile lui p[i] si p[j] tmp := p[i]; p[i] := p[j]; p[j] := tmp; // inverseaza (p[i+1],..., p[n-1]) for (k := 0; k < (n i 1)/2 ; k++) // swap p[i k] with p[n 1 k] tmp := p[i k]; p[i k] := p[n 1 k]; p[n 1 k] := tmp; return p;

28 Operaţii cu permutări Probleme 1 Cum putem calcula direct şi eficient rangul unei permutări p 1,..., p n a lui N = {1,..., n} într-o enumerare lexicografică? 2 Cum putem calcula direct şi eficient permutarea p 1,..., p n lui N = {1,..., n} care are rangul k? Presupunem că 0 k < n!

29 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n!

30 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n! în general, (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)!

31 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n! în general, (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)! rangul lui p 1,..., p n = (p 1 1) (n 1)! + rangul lui p 2,..., p n în enumerarea lexicografică a permutărilor lui N {p 1 }

32 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n! în general, (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)! rangul lui p 1,..., p n = (p 1 1) (n 1)! + rangul lui p 2,..., p n în enumerarea lexicografică a permutărilor lui N {p 1 } r se poate calcula recursiv.

33 Calculul rangului unei permutări Exemplu Permutarea p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 2, 3, 1, 5, 4 are rangul r = (2 1) (5 1)!+ rangul lui 3, 1, 5, 4 în ordonarea lexicografică a permutărilor lui {1, 3, 4, 5}. rangul lui 3, 1, 5, 4 în ordonarea lexicografică a permutărilor lui {1, 3, 4, 5} este acelaşi cu rangul lui 2, 1, 4, 3 în ordonarea lexicografică a permutărilor lui {1, 2, 3, 4} (am micşorat cu 1 toate elementele mai mari decât p 1 = 2) Procedând recursiv, vom obţine că rangul lui 2, 1, 4, 3 este 7. rangul lui 2, 3, 1, 5, 4 este = 31.

34 Calculul rangului unei permutări Pseudocod Rang(p : int[0.. n 1]) if n == 1 return 0 else q : int[0.. n 2]; // ajusteaza p[1..n-1] sa fie permutare a lui {1,..., n 1} // memorata in q[0.. n 2] for(i := 1; i n 1; i++) if(p[i] < p[0]) q[i 1] = p[i]; else q[i 1] = p[i] 1; return Rang[q] + (p[0] 1) (n 1)!

35 Calculul unei permutări cu rang dat Se doreşte un algoritm care construieşte direct permutarea (p 1,..., p n ) cu rangul r, când 0 r < n!. Am observat deja că dacă permutarea (p 1,..., p n ) are rangul r, atunci (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)! r p 1 = + 1 (n 1)! Dacă (q 1,..., q n 1 ) este permutarea cu rangul r (p 1 1) (n 1)! atunci { qi dacă q p i+1 = i < p 1, q i + 1 dacă q i p 1. pentru fiecare subsecvenţă.

36 Algoritmi de generare rapidă a tuturor permutărilor (Opţional) Generarea tuturor permutărilor se poate face şi în altă ordine decât cea lexicografică. Uneori se doreşte generarea foarte rapidă a tuturor permutărilor: Acest lucru este posibil dacă fiecare permutare se obţine foarte rapid din cea precedentă. În 1963, Heap a descoperit un algoritm care generează permutarea următoare a unei permutări prin interschimbarea valorilor a 2 elemente. Algoritmul lui Heap este cel mai rapid algoritm de generare a tuturor permutărilor.

37 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par.

38 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par. Algoritmul lui Heap generează toate permutările lui {1,..., n} într-o ordine diferită de cea lexicografică.

39 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par. Algoritmul lui Heap generează toate permutările lui {1,..., n} într-o ordine diferită de cea lexicografică. Fiecare permutare diferă de cea precedentă printr-o transpoziţie (adică, o interschimbare a valorilor a 2 elemente).

40 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par. Algoritmul lui Heap generează toate permutările lui {1,..., n} într-o ordine diferită de cea lexicografică. Fiecare permutare diferă de cea precedentă printr-o transpoziţie (adică, o interschimbare a valorilor a 2 elemente). Exemplu Algoritmul lui Heap enumeră permutările lui {1, 2, 3} în ordinea următoare: 1, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 1

41 Exerciţii 1 Să se implementeze un program care citeşte o secvenţă de n numere şi apoi afişează: este permutare dacă secvenţa respectivă este o permutare a lui {1,..., n} nu este permutare în caz contrar. 2 Să se implementeze un program care citeşte numerele n şi r {0, 1,..., n! 1} şi afişează permutarea lui {1,..., n} care are rangul r. 3 Să se implementeze un program care citeşte o permutare a lui {1,..., n} şi afişează rangul permutării respective. 4 Scrieţi un program care citeşte o permutare a 1,..., a n şi calculează inversa ei, adică permutarea b 1,..., b n astfel încât b ai = a bi = i pentru orice 1 i n.

42 Exerciţii 1 Scrieţi un program care citeşte o permutare şi calculează permutarea următoare în ordine lexicografică. 2 Scrieţi un program care citeşte o permutare şi calculează permutarea precedentă în ordine lexicografică.

43 Principiul porumbeilor Exemplu Presupunem că un cârd de 13 porumbei ocupă o cuşcă cu 12 adăposturi. Numărul de adăposturi este mai mic decât numărul de porumbei cel puţin un adăpost va fi ocupat de cel puţin 2 porumbei.

44 Principiul porumbeilor Exemplu Presupunem că un cârd de 13 porumbei ocupă o cuşcă cu 12 adăposturi. Numărul de adăposturi este mai mic decât numărul de porumbei cel puţin un adăpost va fi ocupat de cel puţin 2 porumbei. Principiul porumbeilor (sau Principiul lui Dirichlet) Fie n un număr întreg pozitiv. Dacă mai mult de n obiecte sunt distribuite în n containere, atunci un container trebuie să conţină cel puţin 2 obiecte.

45 Principiul porumbeilor Applicaţii în raţionamentul combinatorial Stabilirea existenţei unei anumite configuraţii sau combinări în diverse situaţii. 1 Presupunem că sunt 367 studenţi înscrişi la cursul de istorie. Atunci cel puţin 2 studenţi au aceeaşi zi de naştere. Demonstraţie. Numărul de studenţi este mai mare decât numărul de zile calendaristice. Conform pricipiului porumbeilor, cel puţin 2 studenţi sunt născuţi în aceeaşi zi calendaristică. 2 n pugilişti concurează într-un turneu care prevede un meci între fiecare pereche de pugilişti. Fiecare pugilist a pierdut cel puţin un meci. Atunci cel puţin 2 pugilişti au obţinut acelaşi număr de victorii. Demonstraţie. Sunt n pugilişti, şi fiecare pugilist are între 0 şi n 2 victorii. (Observaţi că nici un pugilist nu are n 1 victorii deoarece ştim că fiecare a pierdut cel puţin un meci.) Conform principiului porumbeilor, cel puţin 2 pugilişti au acelaşi număr de victorii.

46 Principiul porumbeilor Generalizare: Fie m şi n întregi pozitivi. Dacă mai mult decât m n obiecte sunt distribuite în n containere, atunci cel puţin un container trebue să conţină cel puţin m + 1 obiecte. Demonstraţie: prin contradicţie. Dacă punem cel mult m obiecte în fiecare container, atunci numărul total de obiecte ar fi cel mult m n. Teoremă Dacă a 1, a 2,..., a n R şi µ = a 1 + a a n, atunci există întregii i n şi j cu 1 i, j n astfel încât a i µ şi a j µ. Demonstraţie: prin contradicţie. Dacă fiecare element este strict mai mare decât µ atunci µ = (a 1 + a a n )/n > n µ n = µ, contradicţie a i µ. Dacă fiecare element este strict mai mic decât µ atunci µ = (a 1 + a a n )/n < n µ n = µ, contradicţie a j µ.

47 Principiul porumbeilor Aplicaţia 1: Subsecvenţe monotone Definiţie (Secvenţă monotonă) O secvenţă a 1, a 2,..., a n este crescătoare dacă a 1 a 2... a n strict crescătoare dacă a 1 < a 2 <... < a n descrescătoare dacă a 1 a 2... a n strict descrescătoare dacă a 1 > a 2 >... > a n Fie secvenţa 3, 5, 8, 10, 6, 1, 9, 2, 7, 4. Care sunt subsecvenţele crescătoare de lungime maximă? (3, 5, 8, 10), (3, 5, 8, 9), (3, 5, 6, 7), (3, 5, 6, 9) Care sunt subsecvenţele descrescătoare de lungime maximă? (10, 9, 7, 4)

48 Principiul porumbeilor Aplicaţia 1: Subsecvenţe monotone (continuare) Teoremă Presupunem că m, n N {0}. O secvenţă cu mai mult de m n numere reale trebuie să conţină fie o subsecvenţă crescătoare de lungime cel puţin m + 1, sau o subsecvenţă strict descrescătoare de lungime cel puţin n + 1. Demonstraţie. Pentru fiecare 1 i m n + 1, fie r 1, r 2,..., r m n+1 a i :=lungimea celei mai lungi subsecvenţe crescătoare ce începe cu r i d i :=lungimea celei mai lungi subsecvenţe strict descrescătoare ce începe cu r i De exemplu, dacă secvenţa este 3, 5, 8, 10, 6, 1, 9, 2, 7, 4 atunci a 2 = 3 (pentru subsecvenţa 5, 8, 10 sau 5, 8, 9) d 2 = 2 (pentru subsecvenţa 5, 1 sau 5, 2 sau 5, 4)

49 Principiul porumbeilor Aplicaţia 1: Subsecvenţe monotone (Demo. continuată) Presupunem că teorema este falsă 1 a i m şi 1 d i n perechea (a i, d i ) are m n valori posibile. Există m n + 1 perechi i < j cu (a i, d i ) = (a j, d j ). Dacă i < j şi (a i, d i ) = (a j, d j ) atunci 1 Lungimea maximă a subsecvenţelor crescătoare ce pornesc din r i şi din r j este a i. 2 Lungimea maximă a subsecvenţelor strict descrescătoare ce pornesc din r i şi din r j este d i. Acest lucru este imposibil fiindcă lungime a i {}}{ 1 dacă r i r j atunci r i r j... }{{} lungime a i +1 lungime d i {}}{ 2 Dacă r i > r j atunci r i > r j >.... }{{} lungime d i +1

50 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim:

51 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x.

52 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m.

53 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x

54 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi.

55 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi. Exemple: π = , e = , etc.

56 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi. Exemple: π = , e = , etc. Dacă α este un număr iraţional şi Q N {0}, cât de bine putem aproxima α cu un număr raţional p q unde 1 q Q?

57 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi. Exemple: π = , e = , etc. Dacă α este un număr iraţional şi Q N {0}, cât de bine putem aproxima α cu un număr raţional p q unde 1 q Q? Cât de mic poate deveni α p când 1 q Q? q

58 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale (2) Teoremă (Teorema de aproximare a lui Dirichlet) Dacă α este un număr iraţional şi Q un întreg pozitiv, atunci există un număr raţional p/q cu 1 q Q astfel încât α p q 1 q (Q + 1). Demonstraţie. Împărţim intervalul [0, 1] în Q + 1 subintervale de lungimi egale: [ ) [ ) [ ] 1 1 0,, Q + 1 Q + 1, 2 Q,..., Q + 1 Q + 1, 1 şi următoarele Q + 2 numere reale: r 1 = 0, r 2 = {α}, {2α},..., r Q+1 = {Qα}, r Q+2 = 1

59 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale

60 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval

61 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2)

62 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1)

63 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1) fiecare r i este u i α v i cu u i, v i Z, şi dacă i < j atunci u i = u j numai dacă (i, j) = (1, Q + 2).

64 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1) fiecare r i este u i α v i cu u i, v i Z, şi dacă i < j atunci u i = u j numai dacă (i, j) = (1, Q + 2). r i r j = (u i u j )α (v i v j ) = u i u j }{{} q [1,Q] α v i v j u i u j }{{} p q 1 Q+1.

65 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1) fiecare r i este u i α v i cu u i, v i Z, şi dacă i < j atunci u i = u j numai dacă (i, j) = (1, Q + 2). r i r j = (u i u j )α (v i v j ) = u i u j }{{} q [1,Q] α v i v j u i u j }{{} p q 1 Q+1. Deci α p q 1 q (Q + 1).

66 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Exemple ilustrative Presupunem că un sertar conţine 50 de mărgele: 25 sunt de sticlă, 30 sunt roşii, 20 sunt sferice, 18 sunt de sticlă roşie, 12 sunt sferice de sticlă, 15 sunt sferice roşii, şi 8 sunt sferice de sticlă roşie. Câte mărgele există care nu sunt nici roşii, nici de sticlă şi nici sferice? Răspuns: Desenăm o diagramă Venn cu 3 mulţimi: mulţimea G a mărgelelor de sticlă, R a mărgelelor roşii, şi S a mărgelelor sferice. Observaţie. G R S = G + R + S G R G S R S + G R S.

67 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Ipoteze: U: o mulţime universală cu N elemente a 1,..., a r : proprietăţi ale elementelor mulţimii U N(a i1 a i2... a im ): numărul obiectelor din U care au simultan proprietăţile a i1, a i2,..., a im. N 0 : numărul obiectelor din U care nu au nici una din aceste proprietăţi. Teoremă (Principiul Incluziunii şi Excluziunii) N 0 = N N(a i ) + i i<j + ( 1) m N(a i a j ) i<j<k N(a i a j a k ) +... i 1 < <i m N(a i1... a im ) ( 1) r N(a 1 a 2... a r ).

68 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12?

69 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12.

70 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33.

71 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33. Primul număr din U divizibil cu 12 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 12 este 204 = N(a 2 ) = = 13.

72 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33. Primul număr din U divizibil cu 12 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 12 este 204 = N(a 2 ) = = 13. Un număr are simultan proprietăţile a 1 şi a 2 dacă este divizibil cu 5 12 = 60. Primul număr din U divizibil cu 60 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 60 este 180 = 60 3 N(a 1 a 2 ) = = 3.

73 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33. Primul număr din U divizibil cu 12 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 12 este 204 = N(a 2 ) = = 13. Un număr are simultan proprietăţile a 1 şi a 2 dacă este divizibil cu 5 12 = 60. Primul număr din U divizibil cu 60 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 60 este 180 = 60 3 N(a 1 a 2 ) = = 3. Numărul căutat este N(a 1 ) + N(a 2 ) N(a 1 a 2 ) = = 43.

74 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 2: Funcţia ϕ a lui Euler ϕ(n):= numărul întregilor 1 m < n cu gcd(m, n) = 1. Exemplu: ϕ(24) = 8 deoarece sunt 8 intregi între 1 şi 23 care nu au factor comun cu 24: 1,5,7,11,13,17,19,23. ϕ(n) joaca un rol important în teoria numerelor. ϕ(n) poate fi calculată cu Principiul Incluziunii şi Excluziunii: Presupunem că n = p n pnr r unde p 1,..., p r sunt numere prime distincte, şi n i > 0 pentru 1 i r. Fie a i proprietatea mai mic decât n şi divizibil cu p i (1 i r) ϕ(n) = N 0 = n N(a i ) + N(a i a j ) ( 1) r N(a 1... a r ). i i<j N(a i1..., a im ) este numărul de elemente < n divizibile cu p i1... p im N(a i1... a im ) = n p i1... p im.

75 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 2: Funcţia ϕ a lui Euler ϕ(n) = n i r = n i=1 n p i + i<j (1 1pi ). n ( 1) n n p i p j p 1 p 2... p r ( Exemplu: ϕ(24) = ϕ(2 3 3) = ) ( 1 1 ) =

76 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120?

77 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n.

78 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n:

79 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n: Începem cu mulţimea N = {1,..., n} şi numărăm N 0 = numărul de elemente rămase după ce se elimină din mulţimea N multiplii de numere prime p n.

80 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n: Începem cu mulţimea N = {1,..., n} şi numărăm N 0 = numărul de elemente rămase după ce se elimină din mulţimea N multiplii de numere prime p n. Numărul obţinut nu este tocmai cel dorit deoarece nu am numărat numerele prime n am numărat 1

81 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n: Începem cu mulţimea N = {1,..., n} şi numărăm N 0 = numărul de elemente rămase după ce se elimină din mulţimea N multiplii de numere prime p n. Numărul obţinut nu este tocmai cel dorit deoarece nu am numărat numerele prime n am numărat 1 Numărul căutat este N 0 + r 1 unde r este numărul numerelor prime n.

82 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120?

83 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7

84 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente.

85 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente. Î: Este N 0 numărul pe care-l căutăm?

86 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente. Î: Este N 0 numărul pe care-l căutăm? R: Nu tocmai, fiindcă: M conţine toate numerele prime între 1 şi 120, cu excepţia lui p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7. M conţine 1, care nu este număr prim.

87 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente. Î: Este N 0 numărul pe care-l căutăm? R: Nu tocmai, fiindcă: M conţine toate numerele prime între 1 şi 120, cu excepţia lui p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7. M conţine 1, care nu este număr prim. Numărul numerelor prime 120 este N

88 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) Câte numere prime sunt între 1 şi 120?

89 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N 0 = 120 N(a i ) + N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) i=1 i<j i<j<k

90 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) N 0 = 120 Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) N(a i ) + i=1 i<j i<j<k 120 Observăm că N(a i1... a im ) = p i1... p im (de ce?) De exemplu: N(a 1 ) = 120/2 = 60, N(a 2 ) = 120/3 = 40, N(a 3 ) = 120/5 = 24, N(a 4 ) = 120/7 = 17 N(a 1 a 2 ) = 120/(2 3) = 20, N(a 1 a 3 ) = 120/(2 5) = 12,... N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) = 120/( ) = 120/210 = 0

91 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) N 0 = 120 Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) N(a i ) + i=1 i<j i<j<k 120 Observăm că N(a i1... a im ) = p i1... p im (de ce?) De exemplu: N(a 1 ) = 120/2 = 60, N(a 2 ) = 120/3 = 40, N(a 3 ) = 120/5 = 24, N(a 4 ) = 120/7 = 17 N(a 1 a 2 ) = 120/(2 3) = 20, N(a 1 a 3 ) = 120/(2 5) = 12,... N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) = 120/( ) = 120/210 = 0 N 0 = 120 ( ) + ( ) ( ) + 0 = 27.

92 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) N 0 = 120 Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) N(a i ) + i=1 i<j i<j<k 120 Observăm că N(a i1... a im ) = p i1... p im (de ce?) De exemplu: N(a 1 ) = 120/2 = 60, N(a 2 ) = 120/3 = 40, N(a 3 ) = 120/5 = 24, N(a 4 ) = 120/7 = 17 N(a 1 a 2 ) = 120/(2 3) = 20, N(a 1 a 3 ) = 120/(2 5) = 12,... N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) = 120/( ) = 120/210 = 0 N 0 = 120 ( ) + ( ) ( ) + 0 = 27. Numărul pe care-l căutăm este = 30

93 Bibliografie 1 Capitolul 2, Secţiunea 2.1: Generating Permutations of S. Pemmaraju, S. Skiena. Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Cambridge University Press Capitolul 2, Secţiunile 2.4 şi 2.5 din J. M. Harris, J. L. Hirst, M.J. Mossinghoff. Combinatorics and Graph Theory. Second Edition. Springer Capitolul 5 din K. H. Rosen. Discrete Mathematics and Its Aplications. Sixth Edition. McGraw Hill Higher Education

94

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare.

Metode de sortare. Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. Metode de sortare Se dau n numere întregi, elemente ale unui vector a. Se cere să se aranjeze elementele vectorului a în ordine crescătoare. 1. Sortare prin selecţie directă Sortarea prin selecţia minimului

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Rădăcini primitive modulo n

Rădăcini primitive modulo n Universitatea Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Rădăcini primitive modulo n Îndrumător ştiinţific: Prof. Dr. Victor Alexandru 2010 Rezumat Tema lucrarii este studiul radacinilor primitive.

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale

Laborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare

Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare Prelegerea 1 Codificare şi decodificare 1.1 Codificare Definiţia 1.1 Fiind date mulţimile A (alfabetul sursă) şi B (alfabetul cod), o codificare este o aplicaţie injectivă K : A B. Elementele mulţimii

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri.

Cursul 11. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri. Cuplaje. Sisteme de reprezentanti distincţi. Arbori de acoperire. Enumerarea tuturor arborilor cu număr fixat de noduri 17 decembrie 2016 Cuprinsul acestui curs Cuplaje Cuplaj perfect, maxim, maximal Cale

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera

Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiectarea Algoritmilor 2. Scheme de algoritmi Divide & Impera Cuprins Scheme de algoritmi Divide et impera Exemplificare

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto

decembrie 2016 Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamilto Grafuri. Noţiuni fundamentale. Grafuri euleriene şi grafuri hamiltoniene decembrie 2016 Grafuri Noţiuni fundamentale D.p.d.v. matematic, un graf este o structură G = (V, E) formată din o mulţime de noduri

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016.

Grafuri planare Colorarea grafurilor. Curs 12. Grafuri planare. Colorarea grafurilor. Polinoame cromatice. 23 decembrie 2016. Grafuri planare Polinoame cromatice 23 decembrie 2016 Definiţii şi exemple Grafuri planare Un graf G este planar dacă poate fi desenat în plan astfel încât muchiile să nu se intersecteze decât în nodurile

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme liniare - metode directe

Sisteme liniare - metode directe Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1) Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy

Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Introducere în combinatoric

Introducere în combinatoric - martie 2008 - Introducere în combinatoric Autor: prof. Alin Bura C.N. B.P. Hasdeu Cuprins: 1. Permutri i factoriale 2. Aranjamente 3. Submulimi i combinri 4. Produs cartezian Scurt prezentare: Acest

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale

Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Aritmetică. 1 Mulţimea numerelor naturale Calitatea unei propoziţii matematice de a fi adevărată (sau falsă) se demonstrează (numim atunci propoziţia respectivă teoremă, lemă, propoziţie, corolar, etc)

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică

Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Proiectarea algoritmilor: Programare dinamică Dorel Lucanu Faculty of Computer Science Alexandru Ioan Cuza University, Iaşi, Romania dlucanu@info.uaic.ro PA 2014/2015 D. Lucanu (FII - UAIC) Programare

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα