Principiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri

Transcript

1 Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii

2 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente.

3 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A.

4 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A.

5 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A.

6 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): Permutările lui A sunt:

7 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): a 1, a 2, a 2, a 1, a 1, a 3, a 3, a 1, a 2, a 3, a 3, a 1 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): Permutările lui A sunt:

8 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): a 1, a 2, a 2, a 1, a 1, a 3, a 3, a 1, a 2, a 3, a 3, a 1 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): {a 1, a 2 }, {a 1, a 3 }, {a 2, a 3 } Permutările lui A sunt:

9 Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Un aranjament de n luate câte r (sau r-permutare) a lui A este o secvenţă ordonată de elemente din A. O permutare a lui A este o secvenţă ordonată a tuturor elementelor din A. O combinare de n luate câte r a lui A este o submulţime cu r elemente din A. Exemplu (A = {a 1, a 2, a 3 }) 2-permutările lui A sunt (ordinea contează!): a 1, a 2, a 2, a 1, a 1, a 3, a 3, a 1, a 2, a 3, a 3, a 1 2-combinările lui A sunt (ordinea nu contează!): {a 1, a 2 }, {a 1, a 3 }, {a 2, a 3 } Permutările lui A sunt: a 1, a 2, a 3, a 1, a 3, a 2, a 2, a 1, a 3, a 2, a 3, a 1, a 3, a 1, a 2, a 3, a 2, a 1

10 Operaţii cu aranjamente şi permutări În prima parte a acestui curs vom învăţa: Cum să ordonăm permutările încât să putem vorbi despre prima permutare, a doua, etc. Cum să generăm permutarea care urmează după o permutare dată Cum să generăm direct a k-a permutare Cum să determinăm a câta este o permutare dată

11 Relaţii de ordine pentru r-permutări Presupunem că A este o mulţime finită cu n elemente. 1 Mai întâi ordonăm elementele mulţimii A A = {a 1, a 2,..., a n } unde a 1 = primul element... a n = al n-lea element. A devine o mulţime ordonată (un alfabet) în care a 1 < a 2 <... < a n. 2 r-permutările sunt cuvinte b 1,..., b r de lungime r pe care le ordonăm ca şi cuvintele din dicţionar, de exemplu: a 1, a 2 < a 1, a 3 < a 2, a 1 <... Această ordonare a r-permutărilor se numeşte ordonare lexicografică: b 1,..., b r < c 1,..., c r dacă există o poziţie k astfel încât b i = c i pentru 1 i < k, şi b k < c k.

12 Relaţii de ordine pentru r-permutări Observaţii preliminare Fie A = {a 1,..., a n } o mulţime ordonată cu a 1 <... < a n şi N = {1, 2,..., n}. 1 r-permutările lui A sunt cuvinte de forma a i1,..., a ir cu i 1,..., i r N. 2 a i1,..., a ir este o r-permutare a lui A dacă şi numai dacă (i 1,..., i r ) este o r-permutare a lui N. 3 a i1,..., a ir < a j1,..., a jr dacă şi numai dacă i 1,..., i r < j 1,..., j r. este suficient să ştim cum să ordonăm şi să enumerăm r-permutări de numere din mulţimea N. De acum încolo vom considera doar r-permutări ale mulţimii ordonate A = {1,..., n}.

13 Rangul unei r-permutări Rangul unei r-permutări este poziţia la care apare r-permutarea în ordine lexicografică, pornind de la poziţia 0. Exemplu (A = {1, 2, 3}) 2-permutare rang permutare rang 1, 2 0 1, 2, 3 0 1, 3 1 1, 3, 2 1 2, 1 2 2, 1, 3 2 2, 3 3 2, 3, 1 3 3, 1 4 3, 1, 2 4 3, 2 5 3, 2, 1 5

14 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare 5, 1, 3, 2, 4 5, 2, 4, 3, 1 5, 4, 3, 2, 1 permutare următoare

15 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 4, 3, 2, 1

16 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1

17 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există

18 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel:

19 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel: 1 Determină i astfel încât p i >... > p n este cel mai lung sufix descrescător al permutării p 1,..., p n

20 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel: 1 Determină i astfel încât p i >... > p n este cel mai lung sufix descrescător al permutării p 1,..., p n 2 Detemină j i astfel încât p j este cel mai mic număr mai mare decât p i 1.

21 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Problemă Cum putem calcula permutarea lui N = {1,..., n} care urmează după permutarea p 1,..., p n în ordine lexicografică? Exemplu (N = {1, 2, 3, 4, 5}) permutare permutare următoare 5, 1, 3, 2, 4 5, 1, 3, 4, 2 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 5, 4, 3, 2, 1 nu există Permutarea care urmează după p 1,..., p n se poate calcula astfel: 1 Determină i astfel încât p i >... > p n este cel mai lung sufix descrescător al permutării p 1,..., p n 2 Detemină j i astfel încât p j este cel mai mic număr mai mare decât p i 1. 3 Permută p j cu p i 1, şi apoi inversează sufixul p i,..., p n.

22 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1

23 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 2, 4, 3, 1 i = 3

24 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 2, 4, 3, 1 permută p i 1 = 2 cu p j = 3 i = 3 j = 4

25 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 4, 2, 1 inversează p i,..., p n = 4, 2, 1 i = 3

26 Operaţii cu permutări Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Exemplu p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 5, 2, 4, 3, 1 5, 3, 1, 2, 4 = permutarea următoare

27 Enumerarea permutărilor în ordine lexicografică Pseudocod PermutareUrmatoare(p: int[0.. n 1]) i := n 2; while (p[i] > p[i + 1]) i--; j := n 1; while (p[j] < p[i]) j--; // permuta valorile lui p[i] si p[j] tmp := p[i]; p[i] := p[j]; p[j] := tmp; // inverseaza (p[i+1],..., p[n-1]) for (k := 0; k < (n i 1)/2 ; k++) // swap p[i k] with p[n 1 k] tmp := p[i k]; p[i k] := p[n 1 k]; p[n 1 k] := tmp; return p;

28 Operaţii cu permutări Probleme 1 Cum putem calcula direct şi eficient rangul unei permutări p 1,..., p n a lui N = {1,..., n} într-o enumerare lexicografică? 2 Cum putem calcula direct şi eficient permutarea p 1,..., p n lui N = {1,..., n} care are rangul k? Presupunem că 0 k < n!

29 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n!

30 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n! în general, (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)!

31 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n! în general, (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)! rangul lui p 1,..., p n = (p 1 1) (n 1)! + rangul lui p 2,..., p n în enumerarea lexicografică a permutărilor lui N {p 1 }

32 Calculul rangului unei permutări Fie r rangul permutării p 1,..., p n. Dacă p 1 = 1 atunci 0 r < (n 1)! Dacă p 1 = 2 atunci (n 1)! r < 2 (n 1)!... Dacă p 1 = k atunci (k 1) (n 1)! r < k (n 1)!... Dacă p 1 = n atunci (n 1) (n 1)! r < n (n 1)! = n! în general, (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)! rangul lui p 1,..., p n = (p 1 1) (n 1)! + rangul lui p 2,..., p n în enumerarea lexicografică a permutărilor lui N {p 1 } r se poate calcula recursiv.

33 Calculul rangului unei permutări Exemplu Permutarea p 1, p 2, p 3, p 4, p 5 = 2, 3, 1, 5, 4 are rangul r = (2 1) (5 1)!+ rangul lui 3, 1, 5, 4 în ordonarea lexicografică a permutărilor lui {1, 3, 4, 5}. rangul lui 3, 1, 5, 4 în ordonarea lexicografică a permutărilor lui {1, 3, 4, 5} este acelaşi cu rangul lui 2, 1, 4, 3 în ordonarea lexicografică a permutărilor lui {1, 2, 3, 4} (am micşorat cu 1 toate elementele mai mari decât p 1 = 2) Procedând recursiv, vom obţine că rangul lui 2, 1, 4, 3 este 7. rangul lui 2, 3, 1, 5, 4 este = 31.

34 Calculul rangului unei permutări Pseudocod Rang(p : int[0.. n 1]) if n == 1 return 0 else q : int[0.. n 2]; // ajusteaza p[1..n-1] sa fie permutare a lui {1,..., n 1} // memorata in q[0.. n 2] for(i := 1; i n 1; i++) if(p[i] < p[0]) q[i 1] = p[i]; else q[i 1] = p[i] 1; return Rang[q] + (p[0] 1) (n 1)!

35 Calculul unei permutări cu rang dat Se doreşte un algoritm care construieşte direct permutarea (p 1,..., p n ) cu rangul r, când 0 r < n!. Am observat deja că dacă permutarea (p 1,..., p n ) are rangul r, atunci (p 1 1) (n 1)! r < p 1 (n 1)! r p 1 = + 1 (n 1)! Dacă (q 1,..., q n 1 ) este permutarea cu rangul r (p 1 1) (n 1)! atunci { qi dacă q p i+1 = i < p 1, q i + 1 dacă q i p 1. pentru fiecare subsecvenţă.

36 Algoritmi de generare rapidă a tuturor permutărilor (Opţional) Generarea tuturor permutărilor se poate face şi în altă ordine decât cea lexicografică. Uneori se doreşte generarea foarte rapidă a tuturor permutărilor: Acest lucru este posibil dacă fiecare permutare se obţine foarte rapid din cea precedentă. În 1963, Heap a descoperit un algoritm care generează permutarea următoare a unei permutări prin interschimbarea valorilor a 2 elemente. Algoritmul lui Heap este cel mai rapid algoritm de generare a tuturor permutărilor.

37 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par.

38 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par. Algoritmul lui Heap generează toate permutările lui {1,..., n} într-o ordine diferită de cea lexicografică.

39 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par. Algoritmul lui Heap generează toate permutările lui {1,..., n} într-o ordine diferită de cea lexicografică. Fiecare permutare diferă de cea precedentă printr-o transpoziţie (adică, o interschimbare a valorilor a 2 elemente).

40 Generarea rapidă a permutărilor cu algoritmul lui Heap (Opţional) for(i := 1; i n; i++) p[i] := i for(c := 1; c n; c++) 1. generează toate permutările lui p[1],..., p[n 1] fără a-l modifica pe p[n]; (la sfârşitul pasului 1, p conţine ultima permutare generată) 2. permută p[n] cu elementul p[f { (n, c)] 1 dacă n este impar, unde f (n, c) = c dacă n este par. Algoritmul lui Heap generează toate permutările lui {1,..., n} într-o ordine diferită de cea lexicografică. Fiecare permutare diferă de cea precedentă printr-o transpoziţie (adică, o interschimbare a valorilor a 2 elemente). Exemplu Algoritmul lui Heap enumeră permutările lui {1, 2, 3} în ordinea următoare: 1, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 3, 2, 1

41 Exerciţii 1 Să se implementeze un program care citeşte o secvenţă de n numere şi apoi afişează: este permutare dacă secvenţa respectivă este o permutare a lui {1,..., n} nu este permutare în caz contrar. 2 Să se implementeze un program care citeşte numerele n şi r {0, 1,..., n! 1} şi afişează permutarea lui {1,..., n} care are rangul r. 3 Să se implementeze un program care citeşte o permutare a lui {1,..., n} şi afişează rangul permutării respective. 4 Scrieţi un program care citeşte o permutare a 1,..., a n şi calculează inversa ei, adică permutarea b 1,..., b n astfel încât b ai = a bi = i pentru orice 1 i n.

42 Exerciţii 1 Scrieţi un program care citeşte o permutare şi calculează permutarea următoare în ordine lexicografică. 2 Scrieţi un program care citeşte o permutare şi calculează permutarea precedentă în ordine lexicografică.

43 Principiul porumbeilor Exemplu Presupunem că un cârd de 13 porumbei ocupă o cuşcă cu 12 adăposturi. Numărul de adăposturi este mai mic decât numărul de porumbei cel puţin un adăpost va fi ocupat de cel puţin 2 porumbei.

44 Principiul porumbeilor Exemplu Presupunem că un cârd de 13 porumbei ocupă o cuşcă cu 12 adăposturi. Numărul de adăposturi este mai mic decât numărul de porumbei cel puţin un adăpost va fi ocupat de cel puţin 2 porumbei. Principiul porumbeilor (sau Principiul lui Dirichlet) Fie n un număr întreg pozitiv. Dacă mai mult de n obiecte sunt distribuite în n containere, atunci un container trebuie să conţină cel puţin 2 obiecte.

45 Principiul porumbeilor Applicaţii în raţionamentul combinatorial Stabilirea existenţei unei anumite configuraţii sau combinări în diverse situaţii. 1 Presupunem că sunt 367 studenţi înscrişi la cursul de istorie. Atunci cel puţin 2 studenţi au aceeaşi zi de naştere. Demonstraţie. Numărul de studenţi este mai mare decât numărul de zile calendaristice. Conform pricipiului porumbeilor, cel puţin 2 studenţi sunt născuţi în aceeaşi zi calendaristică. 2 n pugilişti concurează într-un turneu care prevede un meci între fiecare pereche de pugilişti. Fiecare pugilist a pierdut cel puţin un meci. Atunci cel puţin 2 pugilişti au obţinut acelaşi număr de victorii. Demonstraţie. Sunt n pugilişti, şi fiecare pugilist are între 0 şi n 2 victorii. (Observaţi că nici un pugilist nu are n 1 victorii deoarece ştim că fiecare a pierdut cel puţin un meci.) Conform principiului porumbeilor, cel puţin 2 pugilişti au acelaşi număr de victorii.

46 Principiul porumbeilor Generalizare: Fie m şi n întregi pozitivi. Dacă mai mult decât m n obiecte sunt distribuite în n containere, atunci cel puţin un container trebue să conţină cel puţin m + 1 obiecte. Demonstraţie: prin contradicţie. Dacă punem cel mult m obiecte în fiecare container, atunci numărul total de obiecte ar fi cel mult m n. Teoremă Dacă a 1, a 2,..., a n R şi µ = a 1 + a a n, atunci există întregii i n şi j cu 1 i, j n astfel încât a i µ şi a j µ. Demonstraţie: prin contradicţie. Dacă fiecare element este strict mai mare decât µ atunci µ = (a 1 + a a n )/n > n µ n = µ, contradicţie a i µ. Dacă fiecare element este strict mai mic decât µ atunci µ = (a 1 + a a n )/n < n µ n = µ, contradicţie a j µ.

47 Principiul porumbeilor Aplicaţia 1: Subsecvenţe monotone Definiţie (Secvenţă monotonă) O secvenţă a 1, a 2,..., a n este crescătoare dacă a 1 a 2... a n strict crescătoare dacă a 1 < a 2 <... < a n descrescătoare dacă a 1 a 2... a n strict descrescătoare dacă a 1 > a 2 >... > a n Fie secvenţa 3, 5, 8, 10, 6, 1, 9, 2, 7, 4. Care sunt subsecvenţele crescătoare de lungime maximă? (3, 5, 8, 10), (3, 5, 8, 9), (3, 5, 6, 7), (3, 5, 6, 9) Care sunt subsecvenţele descrescătoare de lungime maximă? (10, 9, 7, 4)

48 Principiul porumbeilor Aplicaţia 1: Subsecvenţe monotone (continuare) Teoremă Presupunem că m, n N {0}. O secvenţă cu mai mult de m n numere reale trebuie să conţină fie o subsecvenţă crescătoare de lungime cel puţin m + 1, sau o subsecvenţă strict descrescătoare de lungime cel puţin n + 1. Demonstraţie. Pentru fiecare 1 i m n + 1, fie r 1, r 2,..., r m n+1 a i :=lungimea celei mai lungi subsecvenţe crescătoare ce începe cu r i d i :=lungimea celei mai lungi subsecvenţe strict descrescătoare ce începe cu r i De exemplu, dacă secvenţa este 3, 5, 8, 10, 6, 1, 9, 2, 7, 4 atunci a 2 = 3 (pentru subsecvenţa 5, 8, 10 sau 5, 8, 9) d 2 = 2 (pentru subsecvenţa 5, 1 sau 5, 2 sau 5, 4)

49 Principiul porumbeilor Aplicaţia 1: Subsecvenţe monotone (Demo. continuată) Presupunem că teorema este falsă 1 a i m şi 1 d i n perechea (a i, d i ) are m n valori posibile. Există m n + 1 perechi i < j cu (a i, d i ) = (a j, d j ). Dacă i < j şi (a i, d i ) = (a j, d j ) atunci 1 Lungimea maximă a subsecvenţelor crescătoare ce pornesc din r i şi din r j este a i. 2 Lungimea maximă a subsecvenţelor strict descrescătoare ce pornesc din r i şi din r j este d i. Acest lucru este imposibil fiindcă lungime a i {}}{ 1 dacă r i r j atunci r i r j... }{{} lungime a i +1 lungime d i {}}{ 2 Dacă r i > r j atunci r i > r j >.... }{{} lungime d i +1

50 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim:

51 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x.

52 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m.

53 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x

54 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi.

55 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi. Exemple: π = , e = , etc.

56 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi. Exemple: π = , e = , etc. Dacă α este un număr iraţional şi Q N {0}, cât de bine putem aproxima α cu un număr raţional p q unde 1 q Q?

57 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale Pentru fiecare număr real x R definim: x := cel mai mare întreg m astfel încât m x. x := cel mai mic întreg m astfel încât x m. Partea fracţionară a lui x: {x} := x x Un număr iraţional este un număr care nu este rezultatul împărţirii a doi întregi. Exemple: π = , e = , etc. Dacă α este un număr iraţional şi Q N {0}, cât de bine putem aproxima α cu un număr raţional p q unde 1 q Q? Cât de mic poate deveni α p când 1 q Q? q

58 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea cu numere raţionale (2) Teoremă (Teorema de aproximare a lui Dirichlet) Dacă α este un număr iraţional şi Q un întreg pozitiv, atunci există un număr raţional p/q cu 1 q Q astfel încât α p q 1 q (Q + 1). Demonstraţie. Împărţim intervalul [0, 1] în Q + 1 subintervale de lungimi egale: [ ) [ ) [ ] 1 1 0,, Q + 1 Q + 1, 2 Q,..., Q + 1 Q + 1, 1 şi următoarele Q + 2 numere reale: r 1 = 0, r 2 = {α}, {2α},..., r Q+1 = {Qα}, r Q+2 = 1

59 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale

60 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval

61 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2)

62 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1)

63 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1) fiecare r i este u i α v i cu u i, v i Z, şi dacă i < j atunci u i = u j numai dacă (i, j) = (1, Q + 2).

64 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1) fiecare r i este u i α v i cu u i, v i Z, şi dacă i < j atunci u i = u j numai dacă (i, j) = (1, Q + 2). r i r j = (u i u j )α (v i v j ) = u i u j }{{} q [1,Q] α v i v j u i u j }{{} p q 1 Q+1.

65 Principiul porumbeilor Aplicaţia 2: Aproximarea numerelor raţionale (2) Avem Q + 2 numere în Q + 1 intervale există i < j cu r i, r j în acelaşi interval r i r j 1 Q+1. Se observă că (i, j) (1, Q + 2) Deasemenea r 1 = 0 α 0 r i = (i 1) α (i 1)α dacă 2 i Q + 1 r Q+2 = 0 α ( 1) fiecare r i este u i α v i cu u i, v i Z, şi dacă i < j atunci u i = u j numai dacă (i, j) = (1, Q + 2). r i r j = (u i u j )α (v i v j ) = u i u j }{{} q [1,Q] α v i v j u i u j }{{} p q 1 Q+1. Deci α p q 1 q (Q + 1).

66 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Exemple ilustrative Presupunem că un sertar conţine 50 de mărgele: 25 sunt de sticlă, 30 sunt roşii, 20 sunt sferice, 18 sunt de sticlă roşie, 12 sunt sferice de sticlă, 15 sunt sferice roşii, şi 8 sunt sferice de sticlă roşie. Câte mărgele există care nu sunt nici roşii, nici de sticlă şi nici sferice? Răspuns: Desenăm o diagramă Venn cu 3 mulţimi: mulţimea G a mărgelelor de sticlă, R a mărgelelor roşii, şi S a mărgelelor sferice. Observaţie. G R S = G + R + S G R G S R S + G R S.

67 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Ipoteze: U: o mulţime universală cu N elemente a 1,..., a r : proprietăţi ale elementelor mulţimii U N(a i1 a i2... a im ): numărul obiectelor din U care au simultan proprietăţile a i1, a i2,..., a im. N 0 : numărul obiectelor din U care nu au nici una din aceste proprietăţi. Teoremă (Principiul Incluziunii şi Excluziunii) N 0 = N N(a i ) + i i<j + ( 1) m N(a i a j ) i<j<k N(a i a j a k ) +... i 1 < <i m N(a i1... a im ) ( 1) r N(a 1 a 2... a r ).

68 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12?

69 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12.

70 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33.

71 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33. Primul număr din U divizibil cu 12 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 12 este 204 = N(a 2 ) = = 13.

72 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33. Primul număr din U divizibil cu 12 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 12 este 204 = N(a 2 ) = = 13. Un număr are simultan proprietăţile a 1 şi a 2 dacă este divizibil cu 5 12 = 60. Primul număr din U divizibil cu 60 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 60 este 180 = 60 3 N(a 1 a 2 ) = = 3.

73 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 1: Numere divizibile cu 2 numere relativ prime Exemplu Câte numere cuprinse între 50 şi 213 sunt divizibile cu 5 şi 12? Fie U = {n 50 n 213}. Numărul de elemente al lui U este N = = 164. a 1 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 5. a 2 : proprietatea că 50 n 213 şi n este divizibil cu 12. Primul număr din U divizibil cu 5 este 50 = Ultimul număr din U divizibil cu 5 este 210 = 5 42 N(a 1 ) = = 33. Primul număr din U divizibil cu 12 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 12 este 204 = N(a 2 ) = = 13. Un număr are simultan proprietăţile a 1 şi a 2 dacă este divizibil cu 5 12 = 60. Primul număr din U divizibil cu 60 este 60 = Ultimul număr din U divizibil cu 60 este 180 = 60 3 N(a 1 a 2 ) = = 3. Numărul căutat este N(a 1 ) + N(a 2 ) N(a 1 a 2 ) = = 43.

74 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 2: Funcţia ϕ a lui Euler ϕ(n):= numărul întregilor 1 m < n cu gcd(m, n) = 1. Exemplu: ϕ(24) = 8 deoarece sunt 8 intregi între 1 şi 23 care nu au factor comun cu 24: 1,5,7,11,13,17,19,23. ϕ(n) joaca un rol important în teoria numerelor. ϕ(n) poate fi calculată cu Principiul Incluziunii şi Excluziunii: Presupunem că n = p n pnr r unde p 1,..., p r sunt numere prime distincte, şi n i > 0 pentru 1 i r. Fie a i proprietatea mai mic decât n şi divizibil cu p i (1 i r) ϕ(n) = N 0 = n N(a i ) + N(a i a j ) ( 1) r N(a 1... a r ). i i<j N(a i1..., a im ) este numărul de elemente < n divizibile cu p i1... p im N(a i1... a im ) = n p i1... p im.

75 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 2: Funcţia ϕ a lui Euler ϕ(n) = n i r = n i=1 n p i + i<j (1 1pi ). n ( 1) n n p i p j p 1 p 2... p r ( Exemplu: ϕ(24) = ϕ(2 3 3) = ) ( 1 1 ) =

76 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120?

77 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n.

78 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n:

79 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n: Începem cu mulţimea N = {1,..., n} şi numărăm N 0 = numărul de elemente rămase după ce se elimină din mulţimea N multiplii de numere prime p n.

80 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n: Începem cu mulţimea N = {1,..., n} şi numărăm N 0 = numărul de elemente rămase după ce se elimină din mulţimea N multiplii de numere prime p n. Numărul obţinut nu este tocmai cel dorit deoarece nu am numărat numerele prime n am numărat 1

81 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Observaţie: Dacă n nu este prim atunci n = a b cu 1 < a b a 2 n, deci a n şi n trebuie să fie divizibil cu un număr prim p n. Criteriu de numărare a numerelor prime < n: Începem cu mulţimea N = {1,..., n} şi numărăm N 0 = numărul de elemente rămase după ce se elimină din mulţimea N multiplii de numere prime p n. Numărul obţinut nu este tocmai cel dorit deoarece nu am numărat numerele prime n am numărat 1 Numărul căutat este N 0 + r 1 unde r este numărul numerelor prime n.

82 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120?

83 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7

84 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente.

85 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente. Î: Este N 0 numărul pe care-l căutăm?

86 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente. Î: Este N 0 numărul pe care-l căutăm? R: Nu tocmai, fiindcă: M conţine toate numerele prime între 1 şi 120, cu excepţia lui p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7. M conţine 1, care nu este număr prim.

87 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime Câte numere prime sunt între 1 şi 120? Cel mai mare număr prim 120 este 7 Considerăm mulţimea universală N = {n N 1 n 120} şi eliminăm din N toate elementele divizible cu un număr prim 7. Altfel spus, eliminăm din N toate elementele care au una din proprietăţile următoare: a 1 = este divizibil cu p 1 = 2 a 2 = este divizibil cu p 2 = 3 a 3 = este divizibil cu p 3 = 5 a 4 = este divizibil cu p 4 = 7 şi obţinem o mulţime M cu N 0 elemente. Î: Este N 0 numărul pe care-l căutăm? R: Nu tocmai, fiindcă: M conţine toate numerele prime între 1 şi 120, cu excepţia lui p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7. M conţine 1, care nu este număr prim. Numărul numerelor prime 120 este N

88 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) Câte numere prime sunt între 1 şi 120?

89 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N 0 = 120 N(a i ) + N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) i=1 i<j i<j<k

90 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) N 0 = 120 Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) N(a i ) + i=1 i<j i<j<k 120 Observăm că N(a i1... a im ) = p i1... p im (de ce?) De exemplu: N(a 1 ) = 120/2 = 60, N(a 2 ) = 120/3 = 40, N(a 3 ) = 120/5 = 24, N(a 4 ) = 120/7 = 17 N(a 1 a 2 ) = 120/(2 3) = 20, N(a 1 a 3 ) = 120/(2 5) = 12,... N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) = 120/( ) = 120/210 = 0

91 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) N 0 = 120 Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) N(a i ) + i=1 i<j i<j<k 120 Observăm că N(a i1... a im ) = p i1... p im (de ce?) De exemplu: N(a 1 ) = 120/2 = 60, N(a 2 ) = 120/3 = 40, N(a 3 ) = 120/5 = 24, N(a 4 ) = 120/7 = 17 N(a 1 a 2 ) = 120/(2 3) = 20, N(a 1 a 3 ) = 120/(2 5) = 12,... N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) = 120/( ) = 120/210 = 0 N 0 = 120 ( ) + ( ) ( ) + 0 = 27.

92 Principiul Incluziunii şi Excluziunii Aplicaţia 3: numărarea numerelor prime (continuare) N 0 = 120 Câte numere prime sunt între 1 şi 120? 4 N(a i a j ) N(a i a j a k ) + N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) N(a i ) + i=1 i<j i<j<k 120 Observăm că N(a i1... a im ) = p i1... p im (de ce?) De exemplu: N(a 1 ) = 120/2 = 60, N(a 2 ) = 120/3 = 40, N(a 3 ) = 120/5 = 24, N(a 4 ) = 120/7 = 17 N(a 1 a 2 ) = 120/(2 3) = 20, N(a 1 a 3 ) = 120/(2 5) = 12,... N(a 1 a 2 a 3 a 4 ) = 120/( ) = 120/210 = 0 N 0 = 120 ( ) + ( ) ( ) + 0 = 27. Numărul pe care-l căutăm este = 30

93 Bibliografie 1 Capitolul 2, Secţiunea 2.1: Generating Permutations of S. Pemmaraju, S. Skiena. Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Cambridge University Press Capitolul 2, Secţiunile 2.4 şi 2.5 din J. M. Harris, J. L. Hirst, M.J. Mossinghoff. Combinatorics and Graph Theory. Second Edition. Springer Capitolul 5 din K. H. Rosen. Discrete Mathematics and Its Aplications. Sixth Edition. McGraw Hill Higher Education

94