STATISTIKO UNIVERZITETNA ŠTUDIJSKA PROGRAMA LABORATORIJSKA BIOMEDICINA IN KOZMETOLOGIJA 1. LETNIK

Transcript

1 MATEMATIKA bc α S STATISTIKO UNIVERZITETNA ŠTUDIJSKA PROGRAMA LABORATORIJSKA BIOMEDICINA IN KOZMETOLOGIJA. LETNIK

2

3 PRIMITIVNA FUNKCIJA INTEGRAL Rešujemo nlogo: Dn je funkcij f. Poišči funkcijo F, ktere odvod je enk f. Kdr je F ()=f() prvimo, d je F() primitivn funkcij z funkcijo f(). f ( ) = cos F( ) = sin f ( ) = sin F( ) = cos f ( ) = e F( ) = e f ( ) = F( ) = f ( ) = F( ) =

4 PRIMITIVNA FUNKCIJA Z vsko funkcijo obstj več primitivnih funkcij: = + sin = + sin = + cos = cos ( sin ) cos ( ) ( ) primitivni funkciji z cos st tko sin, kot +sin Če poznmo eno primitivno funkcijo z f, dobimo vse druge tko, d tej prištejmo vse možne konstnte. Množico vseh primitivnih funkcij z f() oznčimo z F()+c, kjer je F() nek primitivn funkcij z f(), c p je poljubno relno število. Postopek določnj primitivne funkcije imenujemo integrirnje. Pišemo: F( ) = f ( ) d integrl integrnd pove po kteri spremenljivki integrirmo in nstop pri formulh z rčunnje integrlov Pri rčunnju integrlov uporbljmo prvil z integrirnje in integrle osnovnih funkcij. 4

5 RAČUNANJE INTEGRALOV OSNOVNI INTEGRALI r d PRAVILA INTEGRIRANJA r+ = ( r ) r + d = ln e d = e d = rcsin k f ( ) d = k f ( ) d + sin d = cos cos d cos = sin d = tg d = rctg produkt s konstnto ( ) f ( ) ± g( ) d = f ( ) d ± g( ) d vsot 5

6 RAČUNANJE INTEGRALOV + d = + 4 ( ) 4 d = d = = t t dt = t + dt = t t t t ( ) 4 + d = d = =

7 RAČUNANJE INTEGRALOV UVEDBA NOVE SPREMENLJIVKE Če je f ( ) d = F( ), potem je f ( g( )) g ( ) d = F( g( )) prvilo: funkcij u() du = u ( ) d Novo spremenljivko u vpeljemo tko, d povsod, kjer v integrlu nstop spremenljivk, jo zmenjmo z ustreznim izrzom v spremenljivki u. ( ) 4 + d = u = + = 4 u ( + ) u du = = du = d d = du =

8 RAČUNANJE INTEGRALOV sin(4 ) d = sin u du = c osu = cos(4 ) u u e d = e du = e = e u = du = d sin tg d = d = du = ln u = ln(cos ) cos u u = cos du = sin d 8

9 INTEGRACIJA PO DELIH u( ) v '( ) d = u( ) v( ) u ( ) v( ) d krjše: u dv = u v v du e d = e e d = e e u = du = d dv = e d v = e RAČUNANJE INTEGRALOV (integrirnje produktov določene oblike.) ln d = ln ln d = 4 u = ln du = d dv = d v = cos d sin sin d = = u = du = d u = du = d dv = cos d v = sin dv = sin d v = cos sin + cos cos d = ( ) = sin + cos 9

10 RAČUNANJE INTEGRALOV UPORABA INTEGRALA Ploščine likov Dolžine krivulj Povprečj Hitrost ohljnj nekeg teles je sorzmern rzliki med temperturo teles in temperturo okolice: T =k(t T) Kko hitro se bo vrel juh v prostoru, kjer je oc ohldil do užitnih 5oC? Kolikšn je verjetnost, d bo žlic, ki pde n tl obležl n eni smi ploščici? Diferencilne enčbe Verjetnost

11 INTEGRACIJSKE METODE TABELA OSNOVNIH INTEGRALOV IN PRAVIL ZA INTEGRIRANJE r d e d = e sin d cos d r + r r + = ln r = = cos = sin d = rcsin + d = rctg ( u( ) + v( )) d = u( ) d + v( ) d k u( ) d = k u( ) d f ( ) d = f ( ( u)) ( u) du u dv = u v v du uvedb nove spremenljivke (substitucij) u( ) v ( ) d = u( ) v( ) v( ) u ( ) d integrcij po delih (per prtes)

12 INTEGRACIJA RACIONALNIH FUNKCIJ P( ) d P(),Q() polinom Q ( ) formul: d = ln( + b) + b.kork Če je potrebno, z deljenjem prevedemo n primer, ko je stopnj števc mnjš od stopnje imenovlc..kork Imenovlec rzcepimo n fktorje, potem p integrnd rzcepimo n delne ulomke oblike A A + B in n n ( ) ( + + b).kork Integrirmo dobljeni izrz. + d =? INTEGRACIJSKE METODE ( + ) : ( ) =, ost. ( ) + = ( )( + ) A B = + ( )( + ) + = A( + ) + B( ) = ( A + B) + ( A B) A + B =, A B = A =, B = + = + + d = d = + = ln( ) ln( + )

13 INTEGRACIJSKE METODE Če im imenovlec dvojno ničlo lhko vpeljemo novo spremenljivko: + d =? u =, du = d ( ) u du u + d = = du = ln u = ln( ) ( ) u 4u 4 4u Če imenovlec nim relnih ničel, lhko prevedemo n logritem in rkus tngens: + + d =? d = d + d d = = du = ln u = + u u = +, du = d ln( + ) d = d = = du = rctg u = u u =, u =, d = du rc tg

14 RAČUNANJE PLOŠČIN RAČUNANJE PLOŠČIN Želimo določiti ploščino pod grfom funkcije y=f(). y=f() S P() oznčimo ploščino pod grfom n intervlu od do : P() + h h min f ( ) P( + h) P( ) h m f ( ) [, + h ] [, + h ] P( + h) P( ) min f ( ) m f ( ) h [, + h ] [, + h ] ( + ) ( ) P h P lim = f ( ) h h P() je primitivn funkcij z f(). 4

15 RAČUNANJE PLOŠČIN Če je tudi F() primitivn funkcij z f(), potem je F() P()=c. Kko bi izrčunli c? Vstvimo =: F() P()=c c=f() P()=F() F(). P=F(b) F() b Če je F() poljubn primitivn funkcij z f(), potem je ploščin pod grfom y=f() n intervlu [,b] enk P=F(b) F(). Newton-Leibnizov formul 5

16 RAČUNANJE PLOŠČIN Določi ploščino lik, ki g omejujet bscis in prbol y=. - P = ( ) d = = = ( ) ( ) = 4 Določi ploščino lik med =y in y=. y = y = P = ( ) d = = 6 6

17 DOLŽINE KRIVULJ Želimo določiti dolžino krivulje, podne z y=f(). y=f() f(+h) f() +h Oznčimo z l() dolžino grf n intervlu od do. f ( + h) f ( ) l( + h) l( ) h + ( f ( + h) f ( )) = h + h h l( + h) l( ) lim = + ( f ( )) h h ( ) je primitivn funkcij z funkcijo + ( ( )) l f 7

18 Dolžin krivulje, podne z y=f() n intervlu [,b] je b l = + ( f ( )) d Izrčunj dolžino lok prbole y= n intervlu [-,]. f ( ) = - l 4 d = + = = ln( ) = = + ln

19 PROSTORNINA VRTENINE Vrtenin je telo, ki g dobimo, ko dni lik zvrtimo okoli osi. V() je prostornin n intervlu od do. ( ) V ( + h) V ( ) f ( ) π h +h V ( + h) V ( ) lim = ( ) h h ( f ) π ( ) je primitivn funkcij z funkcijo ( ( )) V f π 9

20 Prostornin vrtenine pod y=f() n intervlu [,b]: b ( ( )) V π f d = r Prostornin krogle: kroglo dobimo, če zvrtimo krožnico okoli bscisne osi. y = r r r r ( ) V = π r d r r = π ( r ) d = π r = r r r 4 = π + = r r r r π

21 IZLIMITIRANI INTEGRALI IZLIMITIRANI INTEGRALI + d =? Formlno uporbimo Newton-Leibnizovo formulo: d = rctg + Interpretirmo: rctg = lim rctg rctg = π

22 IZLIMITIRANI INTEGRALI Osnovn primer: f zvezn n neomejenem intervlu [,+ ) t f = lim t t + f f zvezn n [,b), pri b neomejen t f obstj z t < b b f = lim t b t f t b

23 IZLIMITIRANI INTEGRALI e sin d = e e sin d = (sin + cos ) 5 t e = lim( (sin t + cos t )) + = t sin d = lim( cos t ) + t limit ne obstj ln d = lim( t ln t t ) = ln t d = ln

24 NUMERIČNA INTEGRACIJA NUMERIČNO RAČUNANJE Integrl rčunmo numerično, če ne znmo določiti primitivne funkcije li če je integrnd znn le v posmeznih točkh. Integrnd f ndomestimo s približkom g, ki g znmo dovolj preprosto integrirti. Približek g določimo n podlgi vrednosti f v izbrnih delilnih točkh (včsih tudi iz vrednosti odvodov). b b f = g + R npk, odvisn od metode in od števil delilnih točk približn vrednost integrl 4

25 METODA TRAPEZOV NUMERIČNA INTEGRACIJA y = f ( ) y = g ( ) [,b] rzdelimo n n enkih delov: b k = + k ( k =,,..., n) n y = f k ( ) k b Funkcijo f ndomestimo z odsekom linerno funkcijo g, določeno s točkmi + (k,yk). b y k + y k + g = n k b b g = y + y + y + y + + y n + y n [ ( ) ( )... ( )] n b b f = ( y + y + y y + y ) + R n n n n trpezn formul npk metode ( b ) Rn m f ( ) n [, b] 5

26 SIMPSONOVA METODA NUMERIČNA INTEGRACIJA y = f ( ) y = g ( ) b [,b] rzdelimo n n enkih delov; vskeg rzpolovimo in čez tko dobljene tri točke potegnemo prbolo. Funkcijo f ndomestimo z g, sestvljeno iz teh prbol. k + b b y k + 4y k + + y k + k = + k ( k =,,..., n ) n g = n k y k = f ( k ) b b g = ( y + 4 y + y ) + ( y + 4 y + y 4) n [ ] b b f = ( y + 4y + y + 4y + y y + 4y + y ) + R 6n 4 n n n n Simpsonov formul 5 ( b ) ( 4) Rn m f ( ) 4 88n [, b] 6

27 NUMERIČNA INTEGRACIJA Izrčun z npko <.. ( ) + Trpezn metod:. Določimo delilne točke in izrčunmo pripdjoče funkcijske vrednosti:. Vstvimo v trpezno formulo: Simpsonov metod: n= (4 delilne točke) ln( + ) = = ln ln = ln ( b ). Iz pogoj m f ( ) <. določimo primeren n : n [, b] [,] ( + ) n k yk m =, <. n 5 ( ) = dejnsk npk.5 ( ) = dejnsk npk. 7

28 NUMERIČNA INTEGRACIJA Oceni ploščino kos pločevine: 6 cm 5 cm cm 55 cm 5 cm cm P ( ) = 49 cm =.49 m 8

29 DIFERENCIALNE ENAČBE DIFERENCIALNE ENAČBE Diferenciln enčb je funkcijsk enčb, v kteri nstopjo odvodi iskne funkcije. y = y diferenciln enčb z y kot funkcijo y + y = y = y y y + y = y y + e = y y vtonomn diferenciln enčb (neodvisn spremenljivk ne nstop v enčbi) nelinern diferenciln enčb (odvesn spremenljivk ne nstop linerno) diferenciln enčb. red Red diferencilne enčbe je red njvišjeg odvod, ki v njej nstop. diferenciln enčb. red z + z = y prciln diferenciln enčb (. red) Diferencilne enčbe z funkcije ene spremenljivke imenujemo nvdne, ko nstopjo prcilni odvodi n več spremenljivk p prvimo, d so to prcilne diferencilne enčbe 9

30 DIFERENCIALNE ENAČBE F(,y,y )= splošn oblik diferencilne enčbe. red Rešitev diferencilne enčbe je funkcij y=y(), pri kteri je F(,y(),y ())= z vse n nekem definicijskem območju. y ( ) = e je rešitev diferencilne enčbe y = y, ker je ( ) ( ) ( ) = e e = e y y y ( ) = ni rešitev diferencilne enčbe =, čeprv je = z nektere vrednosti Enčb mor biti izpolnjen z vse n nekem intervlu.

31 DIFERENCIALNE ENAČBE Njpreprostejši tip diferencilne enčbe: y = Rešitev je: y ( ) = f ( ) d f ( ) Tudi druge diferencilne enčbe skušmo prevesti n rčunnje integrlov.. kork: pišemo dy y = d. kork: enčbo preoblikujemo tko, d so vsi y n eni in vsi n drugi strni enčbe (ko se to izide prvimo, d gre z enčbo z ločljivimi spremenljivkmi). kork: integrirmo obe strni enčbe y = y dy d = y dy y = Preskus: d dy y = d ln y = + c c y = C e ( C = e ) ( C e ) = C e = ( C e )

32 DIFERENCIALNE ENAČBE FIZIKALNI PRIMER: RADIOAKTIVNI RAZPAD Hitrost rzpdnj rdioktivne snovi je sorzmern s količino snovi (rekcij. red). Če immo n zčetku neko količino snovi (npr. 5g izotop 4C), kj lhko povemo o količini snovi čez nekj čs (npr. čez koliko čs bo ostlo le g 4C)? y=y(t) y = k y količin snovi v trenutku t k je sorzmernostni fktor med količino snovi in hitrostjo rzpdnj (npr. z 4C je k =.8 - s-) dy dy dy = ky = k dt k dt ln y kt c y Ce dt y = = + = y y()=c, torej je C rvno zčetn količin opzovne snovi kt 4 ln 5.58 Z C: = 5e kt t = = = s 4 let k.8 Diferenciln enčb skupj z zčetnim stnjem v celoti določ evolucijo sistem. Hitrost rzpdnj pogosto podmo z rzpolovno dobo T: zvez s k je kt=ln Rzpolovn dob 4C je (.69/.8) s 57 let.

33 DIFERENCIALNE ENAČBE DATIRANJE S 4C kozmični žrki Rstline bsorbirjo CO v biosfero. Rzmerje med C in 4C v živih bitjih je enko, kot v tmosferi. stopnj rdioktivnosti Ogljikov izotop 4C nstj v višjih plsteh tmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žr kov dv neutron ndomestit dv proton v 4N. Nstli 4C se veže s kisikom v 4CO. Rzmerje med 4CO in CO v tmosferi je dokj stbilno. let 57 let 46 let 79 let strost Ko ostnki živih bitij niso več v stiku z tmosfero se rzmerje med C in 4C zrdi rdioktivneg rzpd poveč v prid prveg. Strost ostnkov ocenimo n podlgi primerjve stopenj rdioktivnosti.

34 DIFERENCIALNE ENAČBE MEŠANJE TEKOČIN % V 5-litrsko posodo z % -rztopino soli zčne s hitrostjo l/min pritekti %-rztopin, obenem p dobro premešn mešnic odtek z isto hitrostjo. Čez koliko čs bo v posodi %-rztopin? y=y(t) količin soli v posodi v trenutku t y dy =. dt dt 5 odtek y/5 od l n enoto čs pritek % od l n enoto čs sprememb količine soli v posodi dy = dt - y = t + c y = Ce.6.4y.4.4t ln(.6.4 ) 5(.6 ) y () =.5 l C =.4 y ( t ) =.5 e.4t.4t.4t.5 e = e =.5 t = 5ln(.5) = 7. min = 7 min s 4

35 DIFERENCIALNE ENAČBE PRIMER MODELIRANJA Z DE Tripsin je encim trebušne slinvke, ki nstne iz tripsinogen. V rekciji nstop tripsin kot ktliztor, zto je hitrost nstjnj tripsin sorzmern z njegovo koncentrcijo. y... zčetn koncentrcij tripsin y(t)... koncentrcij tripsin v čsu t y =ky... hitrost nstjnj je sorzmern koncentrciji zčetni problem: y = ky y () = y rešitev: y=yekt y y = y e kt Model npoveduje eksponentno in neomejeno rstkoličine tripsin. To se v resnici ne more zgoditi, zto mormo poiskti ustreznejši model. y t 5

36 DIFERENCIALNE ENAČBE Med rekcijo se tripsinogen porblj: iz vske molekule tripsinogen nstne en molekul tripsin. Zto privzmemo, d je hitrost rekcije sorzmern tko koncentrciji tripsin, kot koncentrciji tripsinogen. Če je skupn koncentrcij tripsin in tripsinogen C, zčetn koncentrcij tripsin p y dobimo zčetni problem: y = ky ( C y ) y () = y y t dy dy y = k dt = k dt ln = kt y ( C y ) y ( C y ) C C y y y y t C y C y C y y e Ckt = e y ( t ) = + C ( y ) Ckt Logističn krivulj: model predvidev, d bo koncentrcij tripsin zrsl do prvotne koncentrcije tripsinogen, potem p se bo ustlil. 6

37 DIFERENCIALNE ENAČBE Logističn krivulj je dober model z omejeno rst, vendr ni vedno povsem ustrezn. Npr. pri tumorjih število rkstih celic njprej nršč eksponencilno, potem p se rst umiri in sčsom ustvi. S poskusi so ugotovili, d krivulj nrščnj ni logističn temveč t.im. Gompertzov krivulj (en od vidnih rzlik je, d pri njej prevoj nstopi precej prej kot pri logistični). Gompertzov krivulj logističn krivulj Gompertzov funkcij y ( t ) = y e t k ( e ) 7

38 DIFERENCIALNE ENAČBE Eksperimentlno ugotovljeno zkonitost poskusimo rzložiti tko, d pogledmo, kteri diferencilni enčbi ustrez Gompertzov funkcij. ( ) t t = = α y e y e k e e y t k ( e ) k ( e ) t t ( ) t Diferenciln enčb y =α e y pomeni, d število rkstih celic nršč sorzmerno z velikostjo tumorj, vendr se sorzmernostni fktor spreminj s čsom. Vzroke z spremembo rzlgjo rzlično: α t y = ( α e ) y s strnjem se reproduktivn moč celic zmnjšuje t y =α ( e y ) reproduktivni fktor se ne spreminj, vendr je nrščnje sorzmerno le z delom števil celic v tumorju, ker se v notrnjosti tumorj ustvri nekrotično območje 8