MATEMATIKA III Zapiski za ustni izpit

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "MATEMATIKA III Zapiski za ustni izpit"

Transcript

1 MATEMATIKA III Zpiski z ustni izpit 2 UNI Šolsko leto 2011/2012 Izvjlec Gregor olinr Avtor dokument Jernej Podlipnik mjn Sirnik UREJANJE OKUMENTA VERZIJA ATUM OPOMBE

2 Priprv n ustni izpit iz Mtemtike III Jernej Podlipnik, mjn Sirnik 12. februr Ločn dolžin krivulje v prostoru Izrčunti mormo ločno dolžino krivulje r(t k ) = (x(t k ), y(t k ), z(t k )) r(t 0 ) = (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) Slik 1: Skic k ločni dolžini krivulje n (x(tk ) x(t k 1 )) 2 + (y(t k ) y(t k 1 )) 2 + (z(t k ) z(t k 1 )) 2 k=1 Uporbimo Lgrngeov izrek n 1 = (x (ξ k )) 2 (t k+1 t k ) 2 + (y (ξ k )) 2 (t k+1 t k ) 2 + (z (ξ k )) 2 (t k+1 t k ) 2 k=0 in v limiti n 1 = (x (ξ k )) 2 + (y (ξ k )) 2 ) + (z (ξ k )) 2 (t k+1 t k ) k=0 = β α (x (t)) 2 + (z (t)) 2 + (y (t)) 2 dt Linux Verzij 0.1, neprečiščeno besedilo. To delo je oblikovno s progrmskim pketom L A TEXv opercijskem sistemu 1

3 Se prvi, seštejemo mjhne delčke, s kterimi proksimirmo nšo krivuljo v prostoru. Pomgmo si lhko tudi z nrvno prmetrizcijo krivulje v prostoru. Nrvni prmeter s je tk prmeter, d je dolžin krivulje od zčetne točke 0 do točke T (x(s), y(s), z(s)) enk vrednosti s. 2. Tngent n krivuljo v prostoru Tngent je premic, ki njbolje proksimir krivuljo v dni točki. Z opis premice potrebujemo točko in smerni vektor. Točko že immo r(t 0 ). oločiti mormo še smerni vektor. 3. Ploskve v prostoru r(t) r(t 0 ) k t = lim = t t0 t t r(t) = (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) 0 Ploskve v prostoru lhko opišemo n več rzličnih nčinov () Eksplicitni zpis Ploskev je predstvljen z grfom funkcije z = f(x, y). Nprimer: z = 1 x 2 y 2 (b) Implicitni zpis ploskve Nj bo F funkcij treh spremenljivk x, y in z. Enčb F (x, y, z) = 0 potem določ ploskev v prostoru. Nprimer: F (x, y, z) = 1 x 2 y 2 z 2, to je enčb sfere. (c) Prmetrični zpis Vsko koordinto točke n ploskvi opišemo s funkcijo odvisno od dveh prmetrov, x = x(u, v), y = y(u, v) in z = z(u, v). x = cos ϕ cos ϑ 0 ϕ 2π Nprimer: y = sin ϕ cos ϑ π ϑ π z = sin ϑ ϕ, ϑ prmetr Če je z nekim prmetričnim zpisom res podn ploskev, preverimo tko, d izrčunmo nslednji izrz r u r v pri čemer je r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), r u in r v p st ustrezn prciln odvod. Če je r u r v 0, potem je z r = r(u, v) podn ploskev v prostoru. 4. Norml n ploskev Nj bo ploskev podn v prmetrični ozirom vektorski obliki r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) Če fiksirmo eneg izmed prmetrov, drugi p se spreminj nm tk zpis določ krivuljo n ploskvi. Nprimer: r 1 (u) = r(u, v 0 ), r 2 (v) = r(u 0, v) Omenjene krivulje, kjer je eden izmed prmetrov fiksen, drugi p se spreminj imenujemo koordintne krivulje. Koordintn krivulj leži n ploskvi (slik 2). Če zpišemo prmeter u kot funkcijo prmetr t in prmeter v prv tko kot funkcijo t, dobimo r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) 2

4 t 1 t 2 Slik 2: Skic koordintne kirvulje in njene tngente to p je enčb krivulje (sj immo smo en prmeter), ki leži n ploskvi r(u, v). oločimo smer tngente z to krivuljo d r dt = r = r u du dt + r v dv dt = r u u + r v v Ugotovili smo, d vse tngente n krivuljo, (ki ležijo n ploskvi in grejo skozi isto točko) ležijo v isti rvnini, določeni z vektorjem r u in r v. To rvnino imenujemo tngnetn rvnin ploskve v dni točki in t rvnin njbolje proksimir ploskev v dni točki. oločen je s točko in normlo n = r u r v. () Če je ploskev podn v prmetrični obliki, je norml n tngentno rvnino n = r u r v. (b) (c) Če je ploskev podn eksplicitno z = f(x, y), potem to pomeni, d z prmetr izberemo kr x in y. Potem je r(x, y) = (x, y, f(x, y)) r x (x, y) = (1, 0, f x (x, y)) = ( f x, f y, 1) r y (x, y) = (0, 1, f y (x, y)) i j k n = r x r y = 1 0 f x 0 1 f y Uvedemo novo oznko f x = z x = p, f y = z y = q. Torej je n = ( p, q, 1) Če je ploskev podn implicitno F (x, y, z) = 0. Če izrzimo spremenljivko z s pomočjo x in y, torej z = z(x, y), potem dobimo F (x, y, z(x, y)) = 0. Prcilno odvjmo po x in y, ter dobimo p = F x F z Norml je potem, ko jo pomnožimo z F z q = F y F z n = (F x, F y, F z ) 3

5 Vpeljimo še nslednje oznke z prmetrično podno ploskev r(u, v): E F G = r u r u = r u r v = r v r v Hitro se lhko prepričmo d je r u r v = EG F 2 Torej je enotsk norml n ploskev dn z enčbo 5. Integrli odvisni od prmetr ν = r u r v r u r v = r u r v EG F 2 Nj bo f zvezn funkcij dveh spremenljivk x in y, spremenljivk x leži n intervlu [, b], spremenljivk y p n intervlu [c, d]. oločeni integrl b f(x, y) dx (1) je potem odvisen smo od spremenljivke y, torej je funkcij spremenljivke y. F (y) = b f(x, y) dx (2) Integrl (enčb 1) imenujemo integrl s prmetrom, spremenljivko y p prmeter teg integrl. Oglejmo si kkšne lstnosti im integrl s prmetrom, torej funkcij (enčb 2). Izrek Nj bo f zvezn funkcij dveh spremenljivk, potem je funkcij F (enčb 2) zvezn funkcij. okz Oglejmo si, koliko se spremeni vrednost funkcije F, če se vrednost prmetr spremeni z mlo (z h): = b Torej je F zvezn funkcij. F (y + h) F (y) = b (f(x, y + h) f(x, y)) dx f(x, y + h) dx b b f(x, y) dx f(x, y + h) f(x, y) dx = h 0 0 4

6 6. Odvod integrl s prmetrom Izrek Če je funkcij f y zvezn n intervlu [, b] in intervlu [c, d] kot funkcij prmetr y. Potem je integrl s prmetrom (enčb 2) odvedljiv funkcij in velj okz df b dy (y) = f (x, y) dx y F (y + h) F (y) h b = 1 ( b ) f(x, y + h) dx f(x, y) dx h = 1 b ( ) f(x, y + h) f(x, y) dx h = b f(x, y + h) f(x, y) h dx h 0 b f y (x, y) dx Izrek Nj bo F (y) = v(y) u(y) f y zvezn funkcij, u, v zvezno odvedljivi. Sledi Skic dokz F (y) = v(y) u(y) f(x, y) dx, f y (x, y) dx + f(v(y), y)v (y) f(u(y), y)u (y) F (y) = G(y, v(y), u(y)) df dy = dg dy + G v dv dy + G u V drugem in tretjem členu n desni strni nstopd odvod integrl od zgornje meje ter odvod integrl od spodnje meje. Pri odvodu integrl od spodnje meje dobimo minus. 7. vojni integrl F (y) = v(y) u(y) du dy f y (x, y) dx + f(v, y)v f(u, y)u vojni integrl je dvodimenzionln posplošitev določeneg integrl funkcije ene spremenljivke. 5

7 z f(x, y) y (x, y) x Slik 3: vojni integrl Nj bo f : R, R 2 zvezn funkcij spremenljivk x in y n območju. f : (x, y) f(x, y) Torej: Grf funkcije f je ploskev v prostoru, prostornino med območjem in grfom funkcije f lhko izrčunmo n nslednji nčin: Območje rzdelimo n mnjš disjunktn podobmočj i. N vskem izmed podobmočij si izberemo neko točko(x i, y i ). efinirmo integrlsko vsoto lim n pl( i ) 0 n f(x i, y i ) pl( i ) i=1 Če obstj limit integrlskih vsot, ko gre n in gre ploščin vseh podobmočji proti nič, potem to limito imenujemo dvojni integrl funkcje f in pišemo n f(x i, y i ) pl( i ) = f(x, y) dxdy i=1 8. Prevedb dvojneg integrl n dvkrtneg vojni integrl rčunmo tko, d g prevedemo n dvkrtni integrl. Oglejmo si idejo, kko izepljemo prevedbo dvojneg integrl n dvkrtni integrl v posebnem primeru lepeg območj (slik 4). Funkcij f : R, R 2. Npišemo integrlsko vsoto Ko gre x 0 n f(x i, y i ) pl( i ) = i=1 = n f( x, ỹ)(x i+1 x i )(h(ξ i ) g(ξ i )) i=1 h(ξi ) n i=1 g(ξ i ) f( x, y) dy(x i+1 x i ) 6

8 y h(x) g(x) b x Slik 4: K prevedbi dvojneg integrl b ( h(x) g(x) 9. Zmenjv vrstneg red integrirnj Izrek c ) f(x, y) dy dx Nj bo f zvezn funkcij dveh spremenljivk x [, b], y [c, d]. Potem obstj integrl funkcije F (y) = b f(x, y) dx in velj d ( b ) b ( d ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx Torej lhko zmenjmo vrstni red integrirnj funkcije dveh spremenljivk. Če immo pri tem integrlu meji konstntni pri prvem p odvisne od prmtr, potem lhko mejo u = u(x) opišemo kot funkcijo v = v(y), pri tem p drug mej postne konstnt. Primer: b Velikokrt tudi pišemo ( u2 (x) u 1 (x) d c ( b ) f(x, y) dy dx = d ) d f(x, y) dx dy = c 10. Uvedb novih spremenljivk v dvojni integrl c c ( v2 (y) dy v 1 (y) b ) f(x, y) dx dy f(x, y) dx Nj bo območje n rvnini (x, y). Opisli bi g rdi s pomočjo novih koordint u in v. Torej: x = x(u, v) in y = y(u, v). bo opis v novih koordinth imel smisel, mor en točk iz območj opisneg z x in y pripdti ntnko eni točki omočj opisneg z u in v. Z drugimi besedmi, preslikv med obem območjem mor biti bijektivn. 7

9 Kko vemo, d je preslikv, to je trnsformcij koordint v redu, torej bijektivn? Izrek Trnsformcij koordint je v redu, torej preslikv med območjem je bijektivn, če Jcobijev determinnt rzličn od nič okz opustimo J = x u Vpeljv novih spremenljivk se pozn v integrlu n nslednji nčin f(x, y) dxdy = f(u, v) J dudv S y u V nekterih primerih lhko dno območje v rvnini opišemo z drugimi spremenljivkmi n preprostejši nčin. Nprimer s polrnimi spremenljikmi, z ktere velj x = r cos ϕ in y = r sin ϕ, Jcobijev deterimnnt p je J = r. T uvedb nm pride prv pri okroglih definicijskih območjih. 11. Uporb dvojneg integrl v geometriji () Prostornin med grfom funkcije in rvnino Prostornin območj med rvnino (x, y) in ploskvijo, dno s predpisom z = f(x, y) nd območjem je enk: prostornin = f(x, y) dxdy Prostornin območj med ploskvm z = f 1 (x, y) in z = f 2 (x, y), z ktere velj f 1 f 2 prostornin = (f 1 (x, y) f 2 (x, y)) dxdy x v y v (b) Ploščin rvninskeg območj ploščin = (c) Površin ploskve dxdy pl S }{{} = pl ω }{{} površin mjhneg delčk n ploskvi površin ploskve = lim n pl ω k 0 projekcij teg delčk n rvnino (x, y) n p 2 + q pl ω k = k=1 p 2 + q }{{} dolžin normle p 2 + q dxdy Površin ploskve, z ploskev dno v prmetrični obliki r = r(u, v), je dn z enčbo površin = EG F 2 dudv kjer so: E = r u r u, F = r u r v in G = r v r v. ω 8

10 12. Posplošeni dvojni integrl () Integrcijsko območje neomejeno V prvem primeru si oglejmo dvojni integrl n omejenem podobmočju r in če obstj limit dvojnih integrlov r f(x, y) dxdy, ko gre ploščin \ r 0, potem to limito imenujemo posplošeni integrl n območju in pišemo lim f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy \ r 0 r (b) Funkcij je neomejen Ko funkcij v neki točki ni definirn (ni omejen) to točko izrežemo iz območj skupj z neko okolico ε. Če obstj limit dvojnih integrlov, potem to limito imenujemo posplošeni integrl n območju in pišemo lim f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy ε 0 \ ε 13. Trojni integrl Nj bo dn funkcij f : V R, V R 3. Trojni integrl funkcije f n območju V definirmo n podoben nčin kot dvojni integrl. Območje V rzdelimo n mjhn disjunktn podobmočj, n vskem podobmočju izrčunmo vrednost funkcije v eni točki in nto definirmo integrlsko vsoto f(x i, y i, z i ) prostornin V i i Če obstj limit integrlskih vsot jo imenujemo trojni integrl in pišemo V i f(x, y, z) dxdydz Trojni integrl lhko izrčunmo tko, d g prevedemo n trikrtneg. b y2 (x) z2 (x,y) f(x, y, z) dxdydz = dx dy f(x, y, z) dz V y 1 (x) z 1 (x,y) Pri pretvorbi trojneg integrl n trikrtneg lhko izberemo šest rzličnih vrstnih redov integrirnj pri trikrtnemu. 14. Uvedb novih koordint v trojni integrl V veliko primerih integrirnj integrl ni lep. V tkih primerih je smiselno uvesti nove koordinte. V trojni integrl uvedemo nove koordinte n podoben nčin kot v dvojni integrl. Preslikv med območjem izržen v enih in v drugih koordinth mor biti bijektivn, v tem primeru je Jcobijev determinnt rzličn od nič, integrl v novih koordinth p je f(x, y, z) dxdydz = f(u, v, w) J dudvdw V 9 W

11 Pri čemer Jcobijevo determinno izrčunmo n nslednji nčin J = x u x v x w y u y v y w z u z v z w Velikokrt uporbljmo: Sferične koordinte x = r cos ϕ cos ϑ y = r sin ϕ cos ϑ z = r sin ϑ J = r 2 cos ϑ ilindrične koordinte x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z J = r 15. Uporb trojneg integrl v mehniki () Ms območj V, ki im gostoto podno s funkcijo ρ : V R ; ρ = ρ(x, y, z) m = ρ dxdydz (b) Nj im območje V gostoto ρ. Potem lhko zpišemo integrlsko vsoto z težišče in v limiti 1 m n x i m i = 1 m i=1 n i=1 Podobno določimo še koordinte z y in z: i=1 y 0 = V x i ρ(x i, y i, z i ) x i y i z i }{{} V i V xρ(x, y, z) dxdydz x 0 = ρ(x, y, z) dxdydz V V yρ(x,y,z) dxdydz V ρ(x,y,z) dxdydz z 0 = V zρ(x,y,z) dxdydz V ρ(x,y,z) dxdydz (c) Vztrjnostni moment. Immo msno točko z mso m in kotno hitrostjo ω. Želimo izrčunti kinetično energijo teles, ki se vrti okrog osi z. n 1 n 2 m iv1 2 1 = 2 ρ iω 2 (x 2 i + yi 2 1 ) x i y i z i = 2 ρ(x, y, z)ω2 (x 2 + y 2 ) dxdydz i=1 10 V

12 16. Opertor nbl = 1 2 ω2 ρ(x, y, z)(x 2 + y 2 ) dxdydz V }{{} vztrjnostni moment pri vrtenju okoli osi z Opertor nbl oznčujemo z in je definirn s predpisom = ( x, y, z ) Torej je grdient sklrneg polj: f = ( f x, f y, f z ) = ( x, y, z ) f. ivergenc vektorskeg polj: v. Rotor vektorskeg polj: rot v = v. 17. Grdient sklrneg polj Grdient je preslikv, ki nekemu sklrnemu polju priredi vektorsko polje. Ntnčneje. Nj bo f : V R, V R 3, odvedljiv sklrn funkcij. Potem je grdient te funkcije vektorsko polje definirno s predpisom grd f = V R 3 grd f = ( f x, f y, f z ) Pri vektorski nlizi večkrt uporbljmo zpis z opertorjem nbl ( ). f = grd f Norml tngentne rvnine n ploskev je enk grdientu te ploskve. okz n = grd f Implicitno podno ploskev f(x, y, z) = 0. Krivulj n ploskvi Odvjmo enčbo ( ) n t in dobimo r(t) f(x(t), y(t), z(t)) = 0 ( ) f x x t + f y y t + f z ( f z t = x, f y, f )( x z t, y t, z ) = 0 t grd f r = 0 Grdient ploskve je prvokotnen n smerni vektor tngente poljubne krivulje n ploskvi. Torej je grd f enk normli tngentne rvnine. 11

13 18. Smerni odvod sklrneg polj Znim ns, kj se dogj z vrednostjo sklrne funkcije v določeni smeri. Oglejmo si izrz f(x + sb 1, y + sb 2, z + sb 3 ) f(x, y, z) lim = ( f s 0 s x dx ds, f y dy ds, f z dz ds ) ( f x, f y, f z ) (b 1, b 2, b 3 ) = f b = grd f b Sklrno polje f se v točki T njhitreje spreminj v smeri grdf T 19. Potencil - potenciln funkcij vektorskeg polj Nekter vektorsk polj lhko zpišemo kot grdient nekeg sklrneg polj, torej v = grdf Tk polj potem imenujemo potencilno vektorsko polje, sklrno funkcijo f p potencil. Vektorsko polje je potencilno, če je rotor vektorskeg polj enk nič 20. ivergenc vektorskeg polj rot v = 0 ivergenc je opertor, ki vektorskemu polju priredi sklrno polje s predpisom div v = v 1 x + v 2 y + v 3 z ivergenco zpišemo z opertorjem nbl kot v. Trditev Izrčunjmo sedj divergenco grvitcijskeg vektorskeg polj p = c r r 3 Vemo d je p = grd f = grd c 1 r, torej je div p = c 1 r. ( = Lplce). Rčunmo ( x ) c x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 = c (x2 + y 2 + z 2 ) 3/2 x 3 2 (x2 + y 2 + z 2 ) 1/2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = c r3 3x 2 r r 6 = v r3 3x 2 r 5 Sledi: div p = c r 5 (r2 3x 2 + r 2 3y 2 + r 2 3z 2 ) = c r 5 (3r2 3(x 2 + y 2 + z 2 )) = 0 obimo div v = 0 ozirom c 1 r = 0. efinicij Če z vektorsko polje v velj, d je div v = 0, potem prvimo d je v solenoidlno. 12

14 21. Rotor vektorskeg polj Nj bo v lepo vektorsko polje v = (v 1, v 2, v 3 ) : R 3, R 3. Potem je rotor preslikv, ki vektorsko polje preslik v neko drugo vektorsko polje dno s predpisom rot v = i j k x y z v 1 v 2 v 3 Z opertorjem nbl se rotor zpiše rot v = v. Trditev 22. Lplceov opertor ( ) rot grd f = 0 Lplceov opertor sklrno funkcijo f preslik v sklrno funkcijo f = f xx + f yy + f zz Prcilno diferencilno enčbo f = 0 imenujemo Lplceov diferenciln enčb. Lplceov opertor lhko zpišemo z opertorjem nbl kot =. 23. Krivuljni integrl prve vrste Nj bo r = r(s) krivulj v prostoru R dn v prmetrični obliki in prmetrizirn z nrvnim prmetrom. n nj bo še sklrn funkcij f : R, R 3, pri čemer je lhko kr enko krivulji. (x 1, y 1, z 1 ) s n = β s 0 = α Slik 5: Skic k krivuljnem integrlu 1. vrste Krivuljo r(s) rzdelimo n mnjše dele, n vskem delu si izberemo neko vrednost. efinirmo integrlsko vsoto n f(x k, y k, z k ) (s k s k 1 ) }{{} k=1 s nrvni prmeter, ( r(s k )) r(s k 1 )) dr Če obstj limit integrlskih vsot, ko gre n in s k s k 1 0 z vsk k, potem to limito imenujemo krivuljni integrl prve vrste in pišemo f(x, y, z) ds = lim n s 0 k=1 n f(x k, y k, z k )(s k s k 1 ) 13

15 Neposredno iz definicije sledi, d z krivuljni integrl veljjo podobne lstnosti kot z ostle integrle f ds + g ds = (f + g) ds = c f ds = c f ds f ds = f ds + 1 f ds 2 Če je krivulj izržen z nekim prmetrom t, torej x = x(t) y = y(t) z = z(t) ẋ = dx dt dx = ẋdt Potem dobimo: ds = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt. Sledi Opomb β α f(x(s), y(s), z(s)) ds = b f(x(t), y(t), z(t)) ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 dt Smer integrirnj je določen z izbiro prmetr, s kterim je prmetrizirn krivulj. Po krivulji se premikmo v smeri nrščujočeg prmetr. 24. Krivuljni integrl druge vrste Nj bo krivulj r dn v prmetrični obliki, torej r = r(t) in nj bo v = (v 1, v 2, v 3 ) vektorsko polje, definirno vsj n krivulji r = r(t). Krivuljni integrl druge vrste je potem definirn kot b r(t) v d s = (v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)) ẋ2 ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt + ẏ 2 + ż 2 = b 25. Greenov formul (v 1 (t), v 2 (t), v 3 (t)) (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) dt = (v 1 (t)ẋ(t) + v 2 (t)ẏ(t) + v 3 (t)ż(t)) dt }{{} sklrni produkt vektorskeg polj s tngento Nj bo odsekom gldk sklenjen krivulj v rvnini (x, y). Nj bost f in g prcilno zvezno odvedljivi funkciji n omejenem območju, ktereg rob je krivulj. Potem velj f dx + g dy = ( g x f y ) dxdy Integrirmo v pozitivni smeri. Torej Greenov formul povezuje integrl druge vrste in dvojni integrl. Krivulj je sklenjen in je rob območj. Skic dokz Greenove formule smo z lep območj, ki jih lhko preprosto opišemo z dvem funkcijm 14 b

16 y f y v(x) p(y) q(y) u(x) e b x x Slik 6: Greenov formul Izrčunjmo integrl f b y dxdy = v(x) f dx u(x) y dy = b r 1 (t) = (t, u(t))... spodnji del območj prmetrizirn s t r 2 (t) = (t, v(t))... zgornji del območj prmetrizirn s t b b (f(x, v(x)) f(x, u(x))) dx = = f(x, v(x)) dx f(x, u(x)) dx = ( f(x, u(x)) dx f(x, v(x)) dx) = ( f dx + f dx) = f dx (3) 1 2 Podobno izpeljemo, d je b b g x dxdy = g dy (4) c Steštejemo enčbo(3) in enčbo (4) ter dobimo Greenovo formulo. 26. Neodvisnost krivuljneg integrl od poti Krivuljni integrl druge vrste v d r = v 1 dx + v 2 dy + v 3 dz je neodvisen od poti, če je njegov vrednost enk ne glede n to po kteri (poti) krivulji pridemo iz zčtne v končno točko Izrek Nj bo v zvezno vektorsko polje n območju. Potem je integrl v d r neodvisen od poti n območju ntnko tedj, ko je v n potencilno vektorsko polje. Torej v = grd u, z neko sklrno polje u. Opomb Izrz v 1 dx+v 2 dy +v 3 dz je ekskten, če obstj sklrno polje u, d je du = v 1 dx+v 2 dy + v 3 dz, tko sklrno polje p obstj, če je u potencil vektorskeg polje v. Sledi, d je grd u d r = du = u T k T z 15

17 Izrek Krivuljni integrl v d r je n območju neodvisen od poti ntnko tedj, ko je krivuljni integrl v d r po zključeni krivulji 1 z območj enk 0 z vsko sklenjeno krivuljo 1 iz. okz - je preprost 1 T 2 T 1 2 Slik 7: K neodvisnosti krivuljneg integrl od poti Sledi v d r = 1 v d r 2 v d r 1 v d r = 0 2 v d r v d r = 0 v d r = c 27. Ploskovni integrl 1. vrste Nj bo S gldk ploskev in nj bo v vski točki definirn tngentn rvnin. Nj bo S tudi orientirn ploskev (ploskev im dve strni, n drugo strn pridemo smo čez rob). Nj bo u sklrno polje definirno n S. Potem S rzdelimo n mnjše prcele in definirmo integrlsko vsoto n u(x i, y i, z i ) pl(s i ) i=1 Če obstj limit integrlskih vsot, ko gre n in površin prcel proti nič, potem to limito imenujemo ploskovni integrl 1. vrste in pišemo Izrčun ploskovneg integrl: s u ds = lim n pl(s i ) 0 n u(x i, y i, z i ) pl(s i ) Ploskev S njprej prmetrizirmo in upoštevmo, d izrčunmo površino po formuli pl S = EG F 2 dudv i=1 16

18 Torej je ds = EG F 2 dudv Ploskovni integrl 1. vrste, p s pomočjo dvojneg integrl izrčunmo po formuli f ds = f EG F 2 dudv 28. Ploskovni integrl 2. vrste S Pri rčunnju teg integrl, ki g imenujemo tudi pretok vektorskeg polj skozi ploskev S, n pretok vpliv smo tisti del vektorskeg polj, k je v smeri normle n ploskev, torej prvokotn projekcij vektorskeg polj n normlo. Ploskovni inegrl druge vrste je potem v ds = S S v ν ds ν je enotsk norml n ploskev. Ko ploskev S prmetrizirmo dobimo r u r v v EG F 2 dudv = EG F 2 v( r u r v ) dudv = v 1 v 2 v 3 x u y u z u dudv x v y v z v V posebnem primeru, ko ploskev S prmetrizirmo s spremenljivkm x in y, dobimo v ds (p, q, 1) = v p p 2 + q q dxdy = v(p, q, 1) dxdy S 29. Gussov izrek Nj bo S gldk zključen ploskev in nj bo V območje v prostoru, ki g t ploskev omejuje. Nj bo v odvedljivo vektorsko polje, definirno n območju V z robom S. Potem velj div v dxdydz = v ds V Idej dokz Gussoveg izrek, ko je S še posebj lep ploskev, to pomeni, d vsk premic vzporedn z eno izmed koordintnih osi, sek ploskev S njveč dvkrt (krogl). Oglejmo si izrz V v 3 z dxdydz = = S z2 (x,y) ( z 1 (x,y) v 3 z S 2 v 3 n 3 ds }{{} zgornji del ploskve S S dz) dxdy = (v 3 (x, y, z 2 (x, y)) v 3 (x, y, z 1 (x, y))) dxdy S 1 v 3 n 3 ds }{{} spodnji del ploskve Podobno dobimo v 1 V x dxdydz = v 2 V y dxdydz = Izrze seštejemo in dobimo Gussovo formulo. 17 S S = S v 1 n 1 ds v 2 n 2 ds v 3 n 3 ds

19 30. Stoeksov izrek Nj bo gldk sklenjen krivulj, ki omejuje neko ploskev S v prostoru. Nj bo v odvedljivo vektorsko polje. Potem je rot v ds = v d r Krivulj je rob ploskve S. S Ploskev S projecirmo n rvnino (x, y) in dobimo neko območje v rvnini. Z to območje lhko uporbimo Greenovo formulo. Podobno nredimo projekciji n (x, z) in (y, z) rvnini in uporbimo Greenovo formulo tudi n teh projekcijh. Te Tri Greenove formule seštejemo in dobimo Stoeksovo formulo. 31. Zvez med Stokesovim izrekom in Greenovo formulo Greenov formul je poseben primer Stoeksove formule. Nj bo v = (f(x, y), g(x, y), 0). Ploskev S nj bo območje v rvnini (x, y). Oglejmo si, kj prvi Stokesov izrek v tem primeru rot v }{{} ds = v d r = f(x, y) dx + g(x, y) dy S c ν ds Sledi 32. Anlitičn funkcij rot v = S i j k x y z f(x, y) g(x, y) 0 = ( g x f y ) ( g x f y ) dxdy = f(x, y) dx + g(x, y) dy c Funkcij f :,, je nlitičn v z 0, če je v z 0 odvedljiv, hkrti p obstj še nek okolic z 0, tko d je f odvedljiv tudi v vski točki iz te okolice. enimo, d je funkcij f odvedljiv v točki z 0. Torej v z 0 obstj limit diferenčneg kvocient f(z + z) f(z) lim z 0 z Ker obstj limit, mormo dobiti isto vrednost, neglede n to, po kteri poti se bližmo z 0. Oglejmo si, kj dobimo če gremo proti z 0 po dveh poteh. (z leve in desne ter od zgorj in spodj) () Sprehodimo se vodorvno. Vemo, d je z = x + iy, z = x + i y. Pri vodorvni poti je z = x. 18

20 Nj bo f(z) = u(x, y) + iv(x, y) in z 0 = x 0 + iy 0. Sledi = lim x 0 f(z 0 + z) f(z 0 ) lim z 0 z u(x 0 + x, y 0 ) + iv(x 0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) x = lim (u(x 0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) + i v(x 0 + x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) = x 0 x x = = = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) (b) Sprehodimo se nto z = x + i y, pri nvpični z = i y. Sledi f(z 0 + z) f(z 0 ) u(x 0, y 0 + y) + iv(x 0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) lim = lim z 0 z y 0 i y = 1 i ( u y (x 0, y 0 ) + i v y (x 0, y 0 )) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) Ker mormo v obeh primerih dobiti enk rezultt (sj obstjjo limite diferenčneg kvocient), je u x + iv x = v y iu y Sledi u x = v y in v x = u y Ti dve enčbi imenujemo uchy-riemnnov pogoj. 33. uchy-riemnnovi enčbi Izrek Nj bo f(z) = u(x, y) + iv(x, y) funkcij kompleksne spremenljivke. Potem je f nlitičn funkcij v z 0 ntnko tedj, ko v točki z 0 = x 0 + iy 0 velj uchy-riemnov pogoj (glej še obrzložitev pri prejšni točki) 34. Hrmoničn funkcij Tisti pogoj. 35. Konstrukcij funkcije e z u x = v y in v x = u y u xx + u yy = 0 in v xx + v yy = 0 Zhteve funkcije: f(z) = e z = e x (cos x + i sin x) e z = e x z vs kompleksn števil z, ki imjo imginrni del enk 0 (torej se kompleksn in eksponentn funkcij ujem z eksponentno funkcijo relnih števil) 19

21 d dz ez = e z e z je nlitičn funkcij Zpišimo e z = u(x, y) + iv(x, y) Odvjmo in dobimo (kr sledi iz druge zhteve) u x (x, y) + iv x (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) Sledi u x = u in v x = v = u(x, y) = G(y)e x Sedj upoštevmo tretjo zhtevo, torej z u in v velj uchy-riemnov pogoj u x = v y in u y = v x v = v x = u y = G (y)e x v = ( )v x = u y = G (y)e x v y = v xy = G (y)e x v y = ( )u x = ( )u = G(y)e x Sledi: G(y)e x = G (y)e x, torej G (y) + G(y) = 0 G = A sin y + B cos y Sledi, d je: e z = e x (A sin y + B cos y) + ie x ( A cos y + B sin y) Upoštevmo še, d je e z = e x z y = 0, torej e z = e x (A 0 + B 1) + ie x ( A cos y + B sin y) Sledi: Velj: Opzimo d je Torej f(z) = e z ni injektivn. 1 = B ia = A = 0, B = 1 e z = e x (cos y + i sin y) e iy = cos y + i sin y e iy = cos 2 y + sin 2 y = 1 e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ e iϕ = e iϕ+2kπ 20

22 36. Funkcije cos z, sin z, coshz, sinhz in log z Kj je z inverzom f(z) = e z?? Kj bi bil logritem kompleksne spremenljivke? Zpišemo Potem mor veljti e w = z Sledi () e u = z in zto u = log z (b) e iv = e iϕ in zto v = ϕ + 2kπ Sledi w = log z log z = log z + i(ϕ + 2kπ) To ni funkcij, sj je k poljuben, torej ni enolično določen. Če vzmemo k = 0, dobimo glvno vrednost logritm. To je inverzn funkcij funkcije e z zožene n območje, kjer je e z injektivn. efinirmo potenco kompleksneg števil z w, pri čemer z, w. Potem je definrn s pomočjo eksponentne funkcije Veljjo vse običjne zveze med temi funkcijmi. z w = e w log z sin z = eiz e iz 2i cos z = eiz + e iz 2 tn z = sin z cos z sinh z = ez e z 2 cosh z = ez + e z 37. Integrcij v kompleksni rvnini ne nujno nlitičnih funkcij Nj bo gldk, lep krivulj v kompleksni rvnini. Nj bo f funkcij kompleksne spremenljivke. Njen integrl po krivulji definirmo s pomočjo integrlskih vsot n f(ξ k ) z k k=1 2 21

23 Če obstj limit integrlskih vsot, ko gre z k 0 in n, potem jo imenujemo integrl funkcije kompleksne spremenljivke po krivulji in pišemo f(z) dz Kko izrčunti integrl f(z) dz? Zpišimo z = x + iy dz = dx + idy f(z) = u(x, y) + iv(x, y) Sledi f(z) dz = = = (u(x, y) + iv(x, y))(dx + idy) u(x, y) dx + iv(x, y)dy + i v(x, y) dx + u(x, y) dy (u(x, y) v(x, y)) d r + i (v(x, y) u(x, y)) d r obimo dv krivuljn integrl druge vrste, ki g rešimo tko, d krivuljo prmetrizirmo, se prvi x = x(t), y = y(t), upoštevmo dx = ẋ dt, dy = ẏ dt in dobimo običjni integrl β α (u(x(t), y(t))ẋ v(x(t), y(t))ẏ) dt + i β α (v(x(t), y(t))ẋ + u(x(t), y(t))ẏ) dt N tk nčin znmo izrčunti integrl funkcije kompleksne spremenljivke. V tem primeru ni nujno, d je funkcij zelo lep (t.j. nlitičn). Nprimer n tk nčin zmo izrčunti z dz po neki krivulji. Velj: f(z) dz = g(z) dz = α f ds = α (f(z) + g(z)) dz f ds f(z) dz = f(z) dz + 1 f(z) dz Integrl funkcije (5) 1 (z z 0 ) n (5) Izrčunjmo, pri tem bomo uporbili formulo z z 0 = re iϕ, kjer je krožnic s polmerom r in središčem v z 0 in dz = re iϕ i dϕ 1 2π ( 1 ) n+1 dz = 0 (z z 0 ) n+1 re iϕ 0 re iϕ i dϕ = 1 2 r n i 2πe inϕ dϕ = i 2π 0 r n (cos nϕ i sin nϕ) dϕ 0 22

24 Če je n 0, dobimo kot rezultt integrl sinus in kosinus, ki st periodični funkciji s periodo 2π. Torej je v tem primeru integrl enk 0. Če je n = 0, dobimo i 2π r 0 1 dϕ = 2πi. Torej je integrl, sedj npisno tko kkor v vpršnju enk { 1 2πi če n = 1 0 (z z 0 ) n = 0 če n 1 Območje je enostvno povezno, če lhko sklenjeno krivuljo skrčimo v točko. sklenjen krivulj sm sebe ne sek. Enostvn 39. uchy-jev integrlsk formul Izrek Nj bo f nlitičn funkcij n območju in nj bo f zvezn n robu območj, ki nj bo sklenjen krivulj. Nj bo z 0. Potem je f(z 0 ) = 1 f(z) dz 2πi z z 0 Opomb Izrek pove, d je kterkoli vrednost nlitične funkcije f n območju ntnko določen z vrednostmi funkcije n robu območj. okz Ker je funkcij c f(z) z z 0 nlitičn povsod n območju med krivuljo in krožnico 0 s središčem v z 0, hitro sledi, d je Vemo, d je Sledi 0 f(z) dz = z z 0 0 f(z) z z 0 dz 0 1 z z 0 dz = 2πi f(z) f(z 0 ) + f(z) f(z 0 ) f(z 0 ) dz = dz = z z 0 0 z z 0 0 dz z z 0 }{{} f(z 0 )2πi f(z) f(z 0 ) + dz (6) 0 z z 0 Pokžimo, d je integrl 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 dz = 0 23

25 Ocenimo, in pri drugem upoštevmo d je f nlitičn, torej zvezn, če krogec f(z) f(z 0 ) ε in 0 dovolj mjhen f(z) f(z 0 ) f(z) f(z 0 ) ε dz dz dz = ε dz = ε2π 0 z z 0 0 z z 0 z z 0 r 0 Če je polmer r krožnice 0 dovolj mjhen potem lhko ocenimo, d je f(z) f(z 0 ) dz ε2π 0 z z 0 Z pojubno mjhen ε, torej Sledi po enčb (6), d je torej, je končn formul enk 40. Integrcijsk formul z f (n) (z 0 ) 0 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 dz = 0 f(z) z z 0 dz = f(z 0 ) 2πi f(z 0 ) = 1 2πi Izrek(uchyjev integrlsk formul, posplošen) f(z) z z 0 dz Če je f nlitičn funkcij n lepem območju z robom, potem z poljubno notrnjo točko z 0 velj f (n) (z 0 ) = n! f(z) dz 2πi (z z 0 ) n+1 Torej so z nlitično funkcijo f nlitične tudi vse funkcije f (n). Torej je nlitčn funkcij, torej odvedljiv, je vtomtično neskončnokrt odvedljiv. Skic dokz Rčunmo f f(z 0 + z) f(z 0 ) (z) = lim z 0 z = lim z 0 = lim z 0 1 2πi z 1 2πi z 1 ( 1 f(z) = lim z 0 z 2πi z (z 0 + z) dz 1 2πi f(z) (z z 0 ) f(z) (z z 0 z) dz (z (z 0 + z))(z z 0 ) f(z) z (z (z 0 + z))(z z 0 ) dz = 1 f(z) 2πi (z z 0 ) 2 dz = f (z 0 ) f(z) ) dz z z 0 N enk nčin izpeljemo formulo z višje odvode. 41. Lurentov vrst 24

26 () Funkcijsk vst funkcije kompleksne spremenljivke je oblike Konvergenčni rdij f(z) = f 1 (z) + f 2 (z) + f 3 (z) +... r = lim f n+1 n f n (b) Tylorjev vrst funkcije kompleksne spremenljivke f(z) = n=0 f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n f(z)...nlitičn n! (c) Lurentov vrst Nj bo f nlitičn n dveh koncentričnih krožnich 1 in 2 ter n kolobrju med njim. Potem se d funkcij f zpisti v obliki Lurentove vrste Pri čemer so f(z) = n (z z 0 ) n + n=0 } {{ } n = 1 2πi c n = 1 2πi n=1 c n (z z 0 ) n } {{ } f(w) dw (w z 0 ) n+1 f(w)(w z 0 ) n 1 dw krivulj p je skelnjen krivulj, znotrj kolobrj, ki objem singulrnost z 0. Prvi del Lurentove vrste ( ) imenujemo regulrni del, drugi del ( ) p glvni del Lurentove vrste. Člen c 1 v Lurentovi vrsti imenujemo residiuum funkcije f v točki z 0 okrog ktere smo rzvili Lurentovo vrsto. Lurentovo vrsto lhko zpišemo tudi v obliki Pri čemer je n = c n, torej f(z) = n= n = 1 2πi 25 n (z z 0 ) n f(w) dw (w z 0 ) n+1

27 42. Residdum, singulrnosti vrste Residuum funkcije f v točki z 0 je koeficient 1 pri členu (z z 0 ) 1 pri rzvoju funkcije v Lurentovo vrsto okrog točke z 0. Res z=z0 f(z) = 1 = 1 f(z) dz 2πi Pogoj: nlitičnost funkcije f n koncentričnih krogih. f(z) dz = 2πi 1 enimo d im funkcij f v točki z 0 singulrnost, potem ločimo tri vrste singulrnosti. () Če so vsi členi c n, n = 1, 2, 3,... pri rzvoju funkcije f v Lurentovo vrsto v okolici z 0, enki nič, potem je z 0 odprvljiv singulrnost. (b) Če so vsi členi c n, n = n 0, n 1,.. enki nič, c n1 0, je v z 0 pol n-teg red. (c) Če je neskončno členov c n rzličnih od 0, je v z 0 bistven singulrnost. Rčunnje residuov: () Če im funkcij f v točki z 0 pol prve stopnje, rčunmo Res z=z0 f(z) = lim z z0 (z z 0 )f(z) (b) Če im funkcij f v točki z 0 pol m-te stopnje, rčunmo 43. Izrek o residuih Res z=z0 f(z) = 1 (m 1)! lim d m 1 ( (z z0 z z 0 dz m 1 ) m f(z) ) Nj bo f nlitičn n območju rzen v končno monogo singulrnih točkh znotrj območj. Potem je n f(z) dz = 2πi Res z=zi f(z) = z i...singulrnost znotrj krivulje 44. Rčunnje relnih integrlov s pomočjo integrcije v kompleksnem () Integrl rcionlne funcije izrzov cos ϕ, sin ϕ n intervlu [0, 2π]. 2π Pri čemer je R rcionln funkcij, nprimer 0 i=1 R(cos ϕ, sin ϕ) dϕ 2π 0 cos 2 ϕ sin ϕ dϕ (7) 26

28 Tke integrle lhko izrčunmo s pomočjo izrek o residuumih. Uvedemo novo spremenljivko z = e iϕ dz = e iϕ i dϕ in zto cos ϕ = eiϕ + e iϕ 2 sin ϕ = eiϕ e iϕ 2i = z + z 1 2 = z z 1 2i Pomenbno, ker integrirmo od 0 do 2π, v kompleksnem integrirmo e iϕ od 0 do 2π, to p je rvno krožnic s polmerom 1, torej zključen krivulj. V konkretnem primeru (enčb 7) dobimo 2π 0 cos 2 ϕ sin ϕ dϕ = ( z+z 1 2 ) ( z+z 1 2i ) (b) Rčunnje integrlov rcionlne funkcije, pri čemer je stopnj v imenovlcu vsj z 2 večj od stopnje v števcu, n intervlu [, ]. Nprimer x 2 1 x 4 + 2x dz Pišemo z = x in definirmo krivuljo n n nslednji nčin (slik 8). dz iz 2n n 1n n Slik 8: Skic k ločni dolžini krivulje n je zključen krivulj, torej je integrl n f(z) dz enk vsoti residuumov znotrj krivulje. Rzdelimo krivuljo n n dv del 1n in 2n. Potem je 45. Konformne preslikve f(z) dz = f(z) dz } n {{}} 1n {{} Res zgornje polrvnine f(x)dx + f(z) dz } 2n {{} 0 Konformn preslikv je preslikv f :, ki ohrnj kote in orientcijo. 27

29 f f( 1) α 1 f( 2) α 2 Slik 9: Konformn preslikv Nj bo f nlitičn funkcij. f (z) = 0. Primeri konforminh preslikv: Potem je f konformn preslikv, rzen v točkh, kjer je f(z) = w 0 + z, trnslcij f(z) = ze iϕ, rotcij f(z) = r z, rzteg f(z) = 1 z, inverzij 46. Lomljen linern trnsformcij Möbesuv li lomljen linern trnsformcij je preslikv oblike pri čemer, b, c, d. Izrek f(z) = z + b cz + d Möbisov preslikv je kompozitum trnslcij, rotcije, rzteg in inverzije. Möbisuv preslikv preslik množico krožnic in premic v množico krožnic in premic. 28

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka B) VEKTORSKI PRODUKT 1 1) Prvilo desneg vijk Vsi smo že videli vijk, nekteri kkšneg privili, tisti, ki teg še niste storili, p prosite kog, ki se n vijke spozn, d vm pokže privijnje vijk. Večin vijkov

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4 Zapiski s predavanj prof. Petra Legiše

Matematika 4 Zapiski s predavanj prof. Petra Legiše Mtemtik 4 Zpiski s predvnj prof. Petr Legiše Mih Čnčul 9. julij Kzlo Vricijski rčun 3. Osnovni vricijski problem............................. 3. Prmetričn rešitev................................. 6.3 Višji

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Mtemtik Gbrijel Tomšič Bojn Orel Než Mrmor Kost. pril 008 50 Poglvje 5 Integrl 5. Nedoločeni in določeni integrl Nedoločeni integrl V poglvju o odvjnju funkcij smo se nučili dni funkciji f poiskti njen

Διαβάστε περισσότερα

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x

FKKT Matematika 2. shxdx = chx+c. chxdx = shx+c. tanxdx = ln cosx +C. cotxdx = ln sinx +C. sin 2 x = cotx+c. cos 2 x = tanx+c. = 1 2 2a ln a+x a x FKKT Mtemtik Integrlni rčun Nedoločeni integrl Definicij. Nj bo dn funkcij f : D R R. Funkcij F, z ktero v vski točki iz x D velj F (x) = f(x) se imenuje nedoločeni integrl funkcije f. f(x). Izrek. Če

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE

III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE III. ODVODI FUNKCIJ ENE REALNE SPREMENLJIVKE 1. Odvjnje funkcij ene spremenljivke Odvjnje je en njpomembnejši opercij n funkcij. Z uporbo odvod, kdr le-t obstj, lko veliko bolje spoznmo vedenje funkcje

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVJE 7. Nedoločeni integral. 1. Definicija, enoličnost, obstoj

POGLAVJE 7. Nedoločeni integral. 1. Definicija, enoličnost, obstoj Del 3 Integrli POGLAVJE 7 Nedoločeni integrl. Definicij, enoličnost, obstoj Prvimo, d je funkcij F (x) nedoločeni integrl funkcije f(x) (in pišemo F (x) = f(x) dx), če velj F (x) = f(x) z vsk x D(f).

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE

II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE II. ŠTEVILSKE IN FUNKCIJSKE VRSTE. Številske vrste Poleg zporedij relnih števil lhko o konvergenci govorimo tudi pri t.i. številskih vrsth. Formlno gledno je številsk vrst neskončn vsot relnih števil;

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07

Matematika I. NTF Načrtovanje tekstilij in oblačil Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2006/07 Mtemtik I Mtjž Željko NTF Nčrtovnje tekstilij in oblčil Zpiski ob predvnjih v šolskem letu 006/07 Izpis: mrec 009 Kzlo Množice in števil 4 Množice 4 Reln števil 8 3 Podmnožice relnih števil 0 4 Kompleksn

Διαβάστε περισσότερα

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje

1 Ponovitev matematike za kemijske inženirje 1 Ponovitev mtemtike z kemijske inženirje 1.1 Vektorji Vektor v 3-rzsežnem prostoru lhko npišemo kot trojico števil: = 1,, 3. Števil 1,, 3 po vrsti oznčujejo komponente vektorj v, y in z smeri krtezičneg

Διαβάστε περισσότερα

F(x) = f(x) dx. Nedoločenega integrala velikokrat ne moremo zapisati kot kombinacijo elementarnih funkcij, kot na primer integrale sin x

F(x) = f(x) dx. Nedoločenega integrala velikokrat ne moremo zapisati kot kombinacijo elementarnih funkcij, kot na primer integrale sin x Poglvje 5 Numeričn integrcij 5.1 Uvod Pojm odvod in določeneg integrl smo že srečli pri mtemtiki. Vemo, d je odvjnje rzmerom enostvn opercij in d lko vski funkciji, ki jo lko zpišemo kot kombincijo elementrni

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa

Διαβάστε περισσότερα

Analiza I. Josip Globevnik Miha Brojan

Analiza I. Josip Globevnik Miha Brojan Anliz I Josip Globevnik Mih Brojn 27. pril 2012 2 Predgovor Pred vmi je prv verzij skript z predmet Anliz 1, nmenjenih študentom univerzitetneg študij mtemtike n Univerzi v Ljubljni. Upv, d bodo skript

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA 2. Zapiski predavanj. Milan Hladnik

ANALIZA 2. Zapiski predavanj. Milan Hladnik ANALIZA 2 Zpiski predvnj Miln Hldnik Fkultet z mtemtiko in fiziko Ljubljn 22 KAZALO I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ 3. Nedoločeni integrl 3 2. Določeni integrl 9 3. Uporb določeneg integrl v geometriji 26 4. Posplošeni

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA

FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ

I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ I. INTEGRIRANJE FUNKCIJ. Nedoločeni integrl Poleg odvjnj funkij je z uporbo pomembno, d jih znmo tudi integrirti. Z integrlom rčunmo dolžine krivulj, površine krivočrtnih likov, prostornine teles omejenih

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΕΚΔΟΣΗ 12 ΜΑΡΤΙΟΥ 2018 ΝΙΚΟΛΑΟΣ M. ΣΤΑΥΡΑΚΑΚΗΣ: «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις & Μιγαδικές Συναρτήσεις: Θεωρία και Εφαρμογές» η Έκδοση, Αυτοέκδοση) Αθήνα, ΜΑΡΤΙΟΣ 06, Εξώφυλλο: ΜΑΛΑΚΟ, ΕΥΔΟΞΟΣ: 5084750, ISBN: 978-960-93-7366-

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

STATISTIKO UNIVERZITETNA ŠTUDIJSKA PROGRAMA LABORATORIJSKA BIOMEDICINA IN KOZMETOLOGIJA 1. LETNIK

STATISTIKO UNIVERZITETNA ŠTUDIJSKA PROGRAMA LABORATORIJSKA BIOMEDICINA IN KOZMETOLOGIJA 1. LETNIK MATEMATIKA bc α S STATISTIKO UNIVERZITETNA ŠTUDIJSKA PROGRAMA LABORATORIJSKA BIOMEDICINA IN KOZMETOLOGIJA. LETNIK PRIMITIVNA FUNKCIJA INTEGRAL Rešujemo nlogo: Dn je funkcij f. Poišči funkcijo F, ktere

Διαβάστε περισσότερα

4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2

4. Zapiši Eulerjeve dinamične enačbe za prosto osnosimetrično vrtavko. ω 2 Mehanikateoretičnavprašanjainodgovori 1/12 Newtonovamehanika 1. Določiravninogibanjatočkevpoljucentralnesile. Ravninagibanjagreskozicentersileinimanormalovsmerivrtilne količine 2. Zapišiperiodogibanjapremočrtnegagibanjapodvplivompotenciala

Διαβάστε περισσότερα

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010

LESARSKA ŠOLA MARIBOR M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 2009/2010 M A T E M A T I K A USTNA VPRAŠANJA S PRIMERI ZA POKLICNO MATURO 009/00 NARAVNA ŠTEVILA. Kter števil imenujemo nrvn števil? Nštejte osnovne rčunske opercije, ki so definirne v množici nrvnih števil in

Διαβάστε περισσότερα

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer

Διαβάστε περισσότερα

Izbrana poglavja iz matematike

Izbrana poglavja iz matematike Izbrn poglvj iz mtemtike BF Biologij Mtjž Željko Zpiski ob predvnjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 jnur 00 KAZALO Kzlo Števil 5 Nrvn števil 5 Cel števil 6 3 Rcionln števil 6 4 Reln števil 7 5 Urejenost

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov

SATCITANANDA. F = e E sila na naboj. = ΔW e. Rudolf Kladnik: Fizika za srednješolce 3. Svet elektronov in atomov Ruolf Klnik: Fizik z srenješolce Set elektrono in too Električno olje (11), gibnje elce električne olju Strn 55, nlog 1 Kolikšno netost or releteti elektron, se njego kinetičn energij oeč z 1 kev? Δ W

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα

Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Δπηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα Κεθάιαην Επηθακπύιηα θαη Επηθαλεηαθά Οινθιεξώκαηα Επηθακπύιηα Οινθιεξώκαηα θαη εθαξκνγέο. Επηθακπύιην Οινθιήξωκα. Έζηω όηη ε βαζκωηή ζπλάξηεζε f(x,y,z) είλαη νξηζκέλε πάλω ζε κία

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dveh in več spremenljivk

Funkcije dveh in več spremenljivk Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija. 1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.

Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Φυσικής 1ο Σετ Ασκήσεων Γενικών Μαθηματικών ΙΙ Author : Βρετινάρης Γεώργιος Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Χ.Τσάγκας 19 Φεβρουαρίου 217 ΑΕΜ: 14638 Πιθανώς

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R. II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο 2016-17. Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης. 1. Για καθεμία από τις παρακάτω συναρτήσεις ελέγξτε βάσει του ορισμού της παραγωγισιμότητας αν είναι παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Errata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint)

Errata (Includes critical corrections only for the 1 st & 2 nd reprint) Wedesday, May 5, 3 Erraa (Icludes criical correcios oly for he s & d repri) Advaced Egieerig Mahemaics, 7e Peer V O eil ISB: 978474 Page # Descripio 38 ie 4: chage "w v a v " "w v a v " 46 ie : chage "y

Διαβάστε περισσότερα

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim

= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i

Διαβάστε περισσότερα

Mesh Parameterization: Theory and Practice

Mesh Parameterization: Theory and Practice Mesh Parameterization: Theory and Practice Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer To cite this version: Kai Hormann, Bruno Lévy, Alla Sheffer. Mesh Parameterization: Theory and Practice. This document is

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Dani vektor lahko ponazorimo z usmerjeno daljico, ki se začne v poljubni točki - pravimo tudi, da vektor vzporedno premaknemo v dano začetno točko.

Dani vektor lahko ponazorimo z usmerjeno daljico, ki se začne v poljubni točki - pravimo tudi, da vektor vzporedno premaknemo v dano začetno točko. Vektoji Usejen dlji ozio oientin dlji je dlji ki ji piedio useitev oientijo. To nedio tko d se odločio kteo od kjišč je zčetn točk in kteo končn točk te dljie. Usejeno dljio z zčetno točko A in končno

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)

Διαβάστε περισσότερα

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Διαβάστε περισσότερα

f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z)

f(w) f(z) = C f(z) = z z + h z h = h h h 0,h C f(z + h) f(z) Ω f: Ω C l C z Ω f f(w) f(z) z a w z = h 0,h C f(z + h) f(z) h = l. z f l = f (z) Ω f Ω f Ω H(Ω) n N C f(z) = z n h h 0 h z + h z h = h h C f(z) = z f (z) = f( z) f f: Ω C Ω = { z; z Ω} z, a Ω f (z) f

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

6.642, Continuum Electromechanics, Fall 2004 Prof. Markus Zahn Lecture 8: Electrohydrodynamic and Ferrohydrodynamic Instabilities

6.642, Continuum Electromechanics, Fall 2004 Prof. Markus Zahn Lecture 8: Electrohydrodynamic and Ferrohydrodynamic Instabilities 6.64, Continuum Electromechnics, Fll 4 Prof. Mrus Zhn Lecture 8: Electrohydrodynmic nd Ferrohydrodynmic Instilities I. Mgnetic Field Norml Instility Courtesy of MIT Press. Used with permission. A. Equilirium

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Σημειώσεις

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Σημειώσεις Εφαρμοσμένα Μαθηματικά - Σημειώσεις https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 06 Περιεχόμενα I Ατρέας 3 Μιγαδικοί Αριθμοί 3 Μιγαδικές συναρτήσεις 5. Όριο & Συνέχεια μιγαδικών συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής............

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης

Μιγαδική Ανάλυση. Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης Μιγαδική Ανάλυση Δρ. Θ. Ζυγκιρίδης 2 Περιεχόμενα 1 Μιγαδικοί αριθμοί 1 1.1 Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες............................. 1 1.2 Γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών.................

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς. Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι ΣΔΕ Bernoulli, Riccati, Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις Bernoulli, Riccati και Ομογενείς Οι εξισώσεις Bernoulli αποτελούν την κλάση των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

DOMAČA NALOGA pri predmetu Statika in Kinematika

DOMAČA NALOGA pri predmetu Statika in Kinematika kultet z strojništvo Univerz v Ljubljni STTIK I KIETIK DOČ LOG ri redmetu Sttik in Kinemtik Domč nlog zjem vje iz odročij: osnove vektorskeg rčun, obremenitve, rekcije in odore konstrukcij Študent: Boštjn

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.95. Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων v..95 Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 1 Περιεχόµενα Προλογος 1 Οριο και Συνεχεια 1 1.1 Θεωρια....................................

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Del 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk

Del 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk Del 5 Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk POGLAVJE 1 Krivulje v R n 1. Risanje vektorskih funkcij in vektorskih zaporedij Funkcija iz R v R n je podana z dvema podatkoma: z definicijskim območjem,

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα