Natalija Ramač MODELIRANJE EKSTREMNIH RIZIKA

Transcript

1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU-INFORMATIKU Natalija Ramač MODELIRANJE EKSTREMNIH RIZIKA -završi rad- Novi Sad, oktobar 29

2 PREDGOVOR Tema ovog rada je aktuarsko modeliraje astaka ekstremo velikih šteta koje se dešavaju sa veoma malom verovatoćom, ali kada se dogode, izosi zahteva za odštetu dostižu ekstreme razmere koje redovo osiguraje e može adokaditi Po svom karakteru, u pomeute štete možemo svrstati prirode katastrofe (zemljotres, uraga), požar, poplavu Štete astale usled prirodih katastrofa se delimičo adokađuju iz reosiguraja, pa je jihovo modeliraje veoma začajo za poslovaje reosiguravajućih kompaija Fukcije raspodela koje služe za modeliraje ekstremo velikih šteta (kao, a primer, Paretova i Weibullove raspodela) imaju deblji rep od raspodela koje se koriste u životom osiguraju ili osiguraju imovie U prvom poglavlju je razrađe problem propasti Uvede je Cramer- Ludbergov model i pojam procesa obavljaja, kao i pojam verovatoće propasti procesa u koačom i beskoačom vremeskom itervalu Takođe je izvršea Cramer-Ludbergova procea verovatoće propasti u beskoačom vremeskom itervalu pod pretpostavkom o malim izosima zahteva za odštetu Uvedea je i veoma začaja Laplace-Stieltjesova trasformacija U drugom poglavlju su detaljo opisae osobie regularo varirajućih fukcija Regularo varirajuće fukcije su fukcije koje se asimptotski poašaju kao stepee fukcije Izuzeto je začaja Karamatia teorema koja omogućava da se itegracija regularo varirajućih fukcija izvši a isti ači kao i itegracija stepeih fukcija Takođe je veoma začaja i Karamatia teorema o reprezetaciji regularo varirajućih fukcija U trećem poglavlju je razrađe pojam subekspoecijalih fukcija Subekspoecijale fukcije su fukcije sa debelim repom, jihovi repovi opadaju prema uli mogo sporije od repova ekspoecijalih raspodela U četvrtom poglavlju je opisa proces kome se bliži propast Putaja takvog procesa se poaša a svoj uobičaje ači, kao i putaje procesa koji ikad eće stići do propasti Propast se tada dešava sasvim eočekivao, pojavom jede jedie ekstremo velike velike štete Propast procesa se dešava sa veoma malom verovatoćom, ali kada se dogodi, astupa veoma aglo Ovom prilikom bih želela da se zahvalim profesorima a ukazaoj pomoći tokom osovih i master studija Zahvaljujem se i svom metoru, dr Dori Seleši, koja mi je pomogla pri izradi master rada

3 UVOD Osovi model osiguraja od rizika je prvi put opisa u radu Filipa Ludberga, koji je u svojoj pozatoj tezi sa uiverziteta Uppsala 93 godie postavio kame temeljac aktuarske teorije rizika Ludberg je shvatio da Poissoovi modeli leže u središtu modela eživotog osiguraja Uz pomoć korise vremeske trasformacije (takozvaog operacioog vremea), mogao je ograičiti svoju aalizu a homoge Poissoov proces Ovo otkriće je sličo Bachelierovom opažaju iz 9 godie da je proces Browovog kretaja ključi proces za razvoj fiasijskih modela Kasije je Harold Cramer u jegovoj školi u Stockholmu ugradio Ludbergove ideje u brzo razvijajuću teoriju stohastičkih procesa Time je Cramer začajo doprieo postavljaju fudameata matematike eživotog osiguraja i teorije verovatoće Osovi model koji proizilazi iz ovih prvih dopriosa je Cramer-Ludbergov model Jova Karamata je takođe začajo doprieo razvoju aktuarstva Rođe je 92 godie u Zemuu, sredju školu je završio u Švajcarskoj, a 92 godie je upisao studije a Mašiskom fakultetu u Beogradu, gde se vrlo itezivo bavio matematikom Radio je kao asistet matematike u Parizu godie, zatim a Uiverzitetu u Beogradu, gde je 95 godie postao redovi profesor Predavao je, takođe, i a Novosadskom uiverzitetu Bio je čla švajcarskofracusko-emačkog udružeja matematičara Proširio je teoriju sporo varirajućih fukcija, teoriju regularo varirajućih izova, uveo teoreme Tauberovog tipa 2

4 INDEKS POJMOVA Stohastički proces (u ozaci ( X t ) t ili ( X t ( ω) : t, ω ) Ω ) je familija slučajih promeljivih, gde je za svaki fiksirai vremeski treutak t X t jeda slučaja X Za svako promeljiva Skup Ω je skup svih staja stohastičkog procesa ( t ) t fiksirao ω Ω dobijamo jedu realu fukciju ( t ( )) t ili trajektorija stohastičkog procesa Proces prebrajaja je stohastički proces ( t ) t treutak t, t slučaja promeljiva t do tog vremeskog treutka t X ω koja se aziva putaja X u kome za fiksirai vremeski X predstavlja broj događaja koji se desio Poissoov proces sa stopom rasta ili itezitetom λ je proces prebrajaja za koji važi: a) X = (a početku vremeskog itervala se još ije desio ijeda događaj, tj započijemo prebrajaje događaja od ule); X ima ezavise priraštaje (broj događaja koji se desio u jedom b) proces ( ) t t itervalu vremea e zavisi od broja događaja koji su se desili u ekom drugom itervalu); c) broj događaja u proizvoljom vremeskom itervalu dužie t ima Poissoovu ( λt) k! k λt raspodelu P[ X X = k] = e sa sredjom vredošću E [ X ] t+ s s t = λt Browovo kretaje (ili Wieerov proces) je stohastički proces ( t ) t X za koji važi: a) X = skoro siguro; b) za sve fiksirae vremeske treutke < t < t2 < < t priraštaji X t X,, t X t X 2 t X X procesa su ezavisi; c) za sve fiksirae t, s, priraštaji X t X s imaju ormalu (, t - s) raspodelu Laac Markova je stohastički proces sa koačim ili prebrojivim skupom staja {, 2, } kod kojeg za proizvoljo r N, k < k2 < < kr <, važi P X,, [ ] X k r r X k = = = = P X = X k = r r, tj kod kojeg staje procesa u budućosti e zavisi od staja u kojima je proces bio u prošlosti, samo od staja procesa u sadašjosti 3

5 Proces slučajog hoda je laac Markova sa skupom staja {, ±, ± 2 } kod kojeg za eko p (,) važi pi, i+ = pi, i, gde je p i, i + verovatoća da proces pređe iz i- tog u i+ staje Ovakav proces se aziva procesom slučajog hoda, jer ga možemo posmatrati kao šetju po ravoj liiji u kojoj u svakom treutku možemo apraviti slučaja korak udeso sa verovatoćom p ili korak ulevo sa verovatoćom p Proces obavljaja je stohastički proces kod kojeg se ako određeog itervala vremea staje procesa poavlja, proces se poovo vraća u staja u kojima je bio 4

6 TEORIJA RIZIKA Za većiu problema razmatraih u aktuarskoj matematici teorija rizika predstavlja suštisku matematičku osovu U ovom poglavlju će biti predstavljei osovi modeli teorije rizika, sa akcetom a slučajeve gde je začaja podela a male i velike izose šteta Daas postoji moštvo dostupe literature koja se bavi teorijom rizika a razim matematičkim ivoima Nako uvođeja procesa obavljaja, Cramer-Ludbergovog modela i osovog modela rizika u Odeljku, u Odeljku 2 uvodimo Cramer- Ludbergovu teoremu i pojam Laplace-Stieltjesove trasformacije Pomoću Cramer-Ludbergove teoreme ćemo izvršiti proceu verovatoća propasti procesa u beskoačom vremeskom itervalu zasovaog a pretpostavci o malim zahtevima za odštetu Primea Laplace-Stieltjesove trasformacije u Cramer- Ludbergovoj teoremi će omogućiti da dokažemo jedistveost Ludbergovog ekspoeta, ako o postoji PROBLEM PROPASTI Defiicija (Cramer-Ludbergov model i proces obavljaja): Cramer-Ludbergov model je dat sledećim uslovima: a) Proces izosa šteta: Izosi šteta ( X ) su pozitive, iid slučaje promeljive koje imaju uobičajeu k k N e-mrežastu 2 fukciju raspodele F, koača očekivaja E [ X ] 2 σ = [ ] ; var X b) Treuci u kojima se javljaju zahtevi za odštetu: Zahtevi za odštetu se javljaju u slučajim vremeskim treucima < T < T < ss 2 c) Proces pristizaja zahteva za odštetu:,t se obeležava sa Broj zahteva za odštetu u vremeskom itervalu [ ] µ = i disperzije N( t) = sup{, T t}, t gde je, prema dogovoru, sup = d) Vremea između dolazaka (između pristizaja zahteva za odštetu), Y = T, Y = T T, k=2,3 k k () k ezavise slučaje promeljive sa istom raspodelom 2 fukcija raspodele F slučaje promeljive X je mrežasta ako postoje a, d takvi da P[ X = a + d] = = 5

7 su iid, imaju ekspoecijalu raspodelu sa koačim očekivajem E[ Y ] = λ e) Nizovi ( X ) i ( Y ) su međusobo ezavisi k k N k k N Model obavljaja je dat sa (a)-(c), (e) i d') Vremea između dolazaka Y data u su iid sa koačim očekivajem k E[ Y ] = λ Primedba : Posledica gorje defiicije je da je N( t) t homoge Poissoov proces sa itezitetom λ > Zbog toga važi λ λ k ( t) t P[ N( t) = k] = e, k=,,2 k! Primedba 2: Model obavljaja je geeralizacija Cramer-Ludbergovog modela koji omogućava procese prebrajaja Procesi prebrajaja su opštiji od Poissoovog procesa pristizaja zahteva za odštetu Proces ukupih izosa zahteva za odštetu S( t), t se defiiše kao N ( t ) X, N( t) > i S( t) = i= (2), N( t) = Jaso je da se detaljije iformacije o procesu S( t), t mogu dobiti pomoću Cramer-Ludbergovog modela Zbog toga ćemo ovaj slučaj posmatrati kao osovi primer a kom se može testirati ajovije uvedea metodologija U ovom kotekstu je začaja raspodela ukupog (agregatog) izosa šteta ( λt) λt G ( ) = P[ S( t) ] = e F ( ),, t, t (3) =! gde je F ( ) = P X i i= kovolucija -tog reda fukcije F U daljem tekstu, za fukciju raspodele H a itervalu (, ) važi Proces rizika U ( t) t,, H ( ) =, < se defiiše kao U ( t) = u + ct S( t), t (4) 6

8 U relaciji (4) u ozačava početi kapital, a c > je stopa prihoda od premije Izbor kostate c će biti razmotre kasije u relaciji (7) Ovakav izbor determiističke (lieare) stope prihoda od premije u aktuarskoj matematici postavio je Buhlma u svom radu Na grafiku 2 date su eke realizovae vredosti za U ( t) u slučaju ekspoecijale raspodele izosa šteta t Grafik 2 Neke realizovae vredosti za U ( t) t raspodelu izosa šteta: za ekspoecijalu Vreme t U klasičom Cramer-Ludbergovom modelu, sledeće osobie su začaje za različite probleme vezae za osiguraje Defiicija 3 (Verovatoća propasti): Verovatoća propasti u koačom vremeskom itervalu (ili ad koačim,t se defiiše kao: horizotom) [ ] [ ] ψ ( u, T ) = P U ( t) < za eko t T, <T<, u Verovatoća propasti u beskoačom vremeskom itervalu (ili ad beskoačim horizotom) je: ψ ( u) = ψ ( u, ), u Vremea (treuci) propasti su defiisai sa τ ( T ) = if { t, t T, U(t)< }, <T, gde je po dogovoru if = Običo se koristi zapis τ = τ ( ) za treutak propasti a beskoačom horizotu Dolazimo do sledećeg elemetarog rezultata: Lema 4: Za model obavljaja važi E[ U ( t) ] = u + ct µ E[ N ( t) ], (5) a za Cramer-Ludbergov model važi E U ( t) = u + ct λµ t (6) [ ] 7

9 Dokaz: Pošto je E[ U ( t) ] u ct E[ S( t) ] = + i [ ( )] [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] E S t = E S t N t = k P N t = k = k = N ( t ) k E X N( t) k P[ N( t) k] E X P[ N( t) k i i ] = = = = k = i= k = i= = µ k P N t = k = µ E N t k = [ ( ) ] [ ( )] dokazaa je relacija (5) Pošto za homoge Poissoov proces važi E[ N( t) ] i relacija (6) = = = λt, iz avedeog odmah sledi Ova elemetara lema daje prvi agoveštaj za vredost stope premije c u () Određivaje odgovarajuće stope premije u osiguraju zavisi od mere solvetosti koju želimo da optimizujemo ad datim itervalom vremea Očiglede (ali ikako e i jedie) ama dostupe mere su verovatoće propasti ψ ( u, T ) za sve T Stopu premije c treba izabrati tako da za date u i T dobijemo malu verovatoću propasti ψ ( u, T ) Prvi korak u ovom smeru bi bio zahtev ψ ( u) < za sve u pošto je ψ ( u) = P[ τ < ], to je ekvivaleto sa P[ τ = ] > Međutim,, tj kompaiji je progoziraa strogo pozitiva verovatoća opstaka u beskoačom vremeskom itervalu Prilagođavaja ovoj strategiji moraju biti urađea pre ego što se prave premije uovče Propozicija 5 (Mometi procesa obavljaja): Za proces obavljaja N( t) t važe sledeće relacije: a) E[ N( t) ] = ( λ + o() ) t, t 2 b) Neka je σ Y = var [ Y ] < Tada važi E N( t) = λ + O(), t, [ ] 2 3 [ ] σ λ var N( t) = t + o( t), t Y Iz prethode propozicije i (5) eposredo sledi da u modelu obavljaja, za t važi c E[ U ( t) ] = u + ( c λµ ) t ( + o()) = u + ( ) λµ t ( + o()) λµ Zbog toga, 8

10 [ ( )] E U t lim = c λµ, t t i očigleda uslov solvetosti c λµ > implicira da U ( t) t ima pozitiva drift parametar za t Ovo dovodi do osovog uslova eto profita u modelu obavljaja: c ρ = > (7) λµ Kostata ρ se aziva koeficijet opterećeja premije i može se iterpretirati kao stopa premije procesa rizika Zaista, prihod od premije u itervalu [,t ] izosi ct = ( + ρ) λµ t Prema defiiciji procesa rizika, propast se može desiti samo u treucima propasti T, dakle uz početi kapital u verovatoća propasti izosi i [ ] [ ] ψ ( u) = P u + ct S( t) < za eko t = P u + ct S( T ) < za eko = = P u + ( cy X ) < za eko = P sup ( X cy ) > u k k k k k = k = Zbog toga je uslov ψ ( u) < ekvivaleta uslovu ψ ( u) = P sup ( X k cyk ) u >, u (8) k = Iz (8) sledi da je, u modelu obavljaja, procea verovatoće preživljavaja ψ ( u) svedea a proučavaje fukcije raspodele krajjeg maksimuma procesa slučajog hoda Zaista, posmatrajmo iz iid slučajih promeljivih Z = X cy, k i jemu odgovarajući proces slučajog hoda k k k R k = =, R = Zk, (9) c Primetimo da je E [ Z ] = µ < u stvari uslov eto profita (7) Tada je λ verovatoća preživljavaja data sa ψ ( u) = P[ sup R u] Pozato je (iz Fellerovog rada) da verovatoću preživljavaja možemo izraziti kao složeu geometrijsku fukciju raspodele, tj ( ) ( ) ψ u = α α H ( u) () za eku kostatu α (,) i za eku fukciju raspodele H Kao i pre, ozačava -tu kovoluciju od H = H 9

11 U sledećem odeljku ćemo se kocetrisati a Cramer-Ludbergov model, prvo pokazujući kako izgledaju tipiče procee ψ ( u) pod pretpostavkom malih izosa šteta Zatim ćemo razmatrati kakva se teorija može primeiti da se procei verovatoća propasti ψ ( u) kod velikih izosa šteta 2 CRAMER-LUNDBERGOVA PROCENA U prethodom poglavlju smo spomeuli opšti metod za izvođeje procee verovatoće propasti ψ ( u) u modelu obavljaja Ako suzimo aša posmatraja a Cramer-Ludbergov model, možemo izvesti formulu za ψ ( u) uključujući fukciju raspodele F izosa šteta Zaista, za Cramer-Ludbergov model uz uslov eto profita, može se pokazati da važi ρ ψ ( u) = ( + ρ) FI ( u), () + ρ gde = FI ( ) = F( y) dy, µ (2) ozačava itegral repa raspodele i gde F( ) = F( ), ozačava rep fukcije raspodele F Kasije ćemo pokazati da je formula () ključi alat za proceu verovatoća propasti pod pretpostavkom velikih izosa šteta U Teoremi 22 će takođe biti dat dokaz relacije () U produžetku će glavu ulogu imati pojam Laplace-Stieltjesove trasformacije Defiicija 2 (Laplace-Stieltjesova trasformacija): Neka je fukcija raspodele H defiisaa a (, ), tada s h( s) = e dh ( ), s D, gde je D dome defiisaosti, ozačava Laplace-Stieltjesovu trasformaciju fukcije raspodele H Primedba 2: Zaviso od poašaja H ( ) za velike vredosti, može biti D [, ) Geeralo, h( s ) < za sve s > γ, gde je γ < apscisa kovergecije za h( s) Sledeće Cramer-Ludbergove procee verovatoće propasti su fudametale u teoriji rizika Teorema 22 (Cramer-Ludbergova teorema): Pretpostavimo da Cramer-Ludbergov model uključuje uslov eto profita ρ > Pretpostavimo da postoji ν > takvo da

12 v c fi ( v) = e dfi ( ) = = + ρ (3) λµ Tada važe sledeće relacije: a) Za sve u, važi ψ ( u) e ν u (4) b) Ako još važi v e F ( ) d <, (5) oda u lim e ν ψ ( u) = C <, (6) u gde je ν C = e ν F( ) d ρµ (7) c) U slučaju ekspoecijale fukcije raspodele F( ) = e µ, relacija () se redukuje a ρ ψ ( u) = ep( u), u (8) + ρ µ ( + ρ) Primedba 22: Iz defiicije Laplace-Stieltjesove trasformacije eposredo sledi da, kad god postoji ν u (3), oo je jedistveo određeo Primedba 23: Iako se gorji rezultati mogu proaći u svakoj jedostavoj kjizi iz oblasti teorije rizika, koriso je prokometarisati dokaz pod b) da bismo ukazali kako astaju teorijski argumeti obavljaja Zbog velikog začaja za osiguraje, rešeje ν za (3) je dobilo poseba aziv Ludbergov ekspoet Defiicija 23 (Ludbergov ekspoet): Za dat izos štete koji ima fukciju raspodele F, kostata ν > koja zadovoljava c e ν F( ) d = se aziva Ludbergov ekspoet ili koeficijet prilagođavaja λ posmatraog procesa rizika Defiicija 24 (duala defiicija Ludbergovog ekspoeta): Ludbergov ekspoet ν je ajmaje pozitivo rešeje jedačie M + ρ = e ν f ( ) d = ( ν ) X, e µν

13 gde je f ( ) e F ( ) X = ekvilibrijumska gustia, a fukcija geeratrisa momeata µ ( ) sx sx M s = E e = e f ( ) d X X Dokaz Teoreme 22 a): Kao što zamo, ψ ( u) je verovatoća propasti u beskoačom vremeskom ( u) gde je ψ ( u ) verovatoća itervalu Defiisaćemo iz verovatoća ( ) N ψ propasti pre ili pri -tom pristiglom zahtevu za odštetu Pokazaćemo idukcijom po da za svako N važi ψ ( u) e ν u : =, ψ ( u) = < e ν u ; pretpostavljamo da ψ ( u) e ν u važi za sve k =,, k k = +, pokazujemo da važi ψ ( u) e νu + : Pri prvom zahtevu za odštetu se dešava propast ako važi X > u + ct, tj ako je izos štete X veći od zbira ukupog kapitala u akumuliraog do treutka T i ukupe premije ct isplaćee do treutka T po stopi c, a do propasti e dolazi ako važi < X u + ct ψ + ( ) = [ > + ] verovatoća propasti ako se propast desi pri prvom zahtevu+ u P X u ct + P[ < X u + ct] verovatoća propasti ako se propast desi pri 2,3 ili -tom zahtevu Tako imamo u+ ct λt λt + X X u+ ct, ψ ( u) = λe f ( ) ddt + λe f ( ) ψ ( u + ct ) ddt gde je f X fukcija gustie za slučaju promeljivu X izosa štete ( u ct ) +, tj u + ct <, pa važi = e e ν + U prvom sabirku je [ u ct, ) ( u ct ) U drugom sabirku, po idukcijskoj hipotezi, imamo ψ ( u ct ) e ν + + Sada dobijamo u+ ct t ( u ct ) ( u ct ) ( u) e λ f X ( ) e ν + ψ λ ddt f X ( ) e ν ddt = u+ ct u+ ct λt ν ( u+ ct ) λt ν ( u+ ct ) λe e f X ( ) ddt + f X ( ) ddt = λe e f X ( ) d dt u+ ct Podsetimo se defiicije fukcije geeratrise momeata M X ( s ) iz Defiicije 24 Važi da je 2

14 ν u ( λ+ cν ) t ν ν u ( λ+ cν ) t + ( u) e e dt e f X ( ) d = e e dt M X ( ), ψ λ λ ν gde je c = λ( + θ ) ν = M X ( ν ) Sada sledi tj pošto je ( λ ( ν )) M X ν u ( λ+ cν ) t ν ν u ( λ+ cν ) t + ( u) e e dt e f X ( ) d = e e dt M X ( ), ψ λ λ ν ν u λm X ( ν ) t ν u ψ + ( u) e λm X ( ν ) e dt = e, λ X ( ) ( ) M ν t λm X ν e dt itegral fukcije gustie za ekspoecijalu E raspodelu, pa važi λ X ( ) ( ) M ν t λm X ν e dt = Koačo, dobijamo ( ) u ψ u e ν +, čime je idukcija po završea Propast procesa u beskoačom vremeskom itervalu će se dogoditi ako se dogodi pri bilo kom zahtevu za odštetu, pa možemo koristiti graiču vredost ψ ( u) = lim ψ ( u) Sada dobijamo čime je dokaz za a) završe ν ( u) lim ( u) lim e u ν ψ = ψ = e u, Dokaz Teoreme 22 b): Ozačimo sa δ ( u) = ψ ( u) Podsetimo se iz (8) da se δ ( u) može izraziti preko procesa slučajog hoda geerisaog sa ( X cy ) Tada i δ ( u) = P[ S( t) ct u za sve t > ] = P ( X k cyk ) u za sve = k = = P ( X k cyk ) u + cy X za sve 2, X cy u = k = 2 = P S ( t) ct u + cy X za sve t >, X -cy u, [ ] gde je S kopija procesa S ezavisa od S Tako, dobijamo δ ( u) = E P S ( t) - ct u cy - X za sve t, X - cy u Y, X + > = u+ cs [ ] λs = P S ( t) ct u + cs za sve t > df( ) λe ds = u + cs λu λz z λs λ c c λe δ ( u cs ) df( ) ds e e = + = δ ( z ) df( ) dz c u gde smo koristili smeu u + cs = z, (9) i 3

15 To pokazuje da je δ apsoluto-eprekida sa gustiom u λ λ δ ( u) = δ ( u) δ ( u ) df( ) c c (2) Iz ove jedačie za ψ ( u) se može izvesti celokupa teorija propasti klasičog Cramer-Ludbergovog modela Ključi momeat je da je itegral u (2) tipa kovolucije; to otvara vrata teoriji obavljaja Itegralimo (2) a itervalu (, t ) u odosu a Lebesguevu meru da bismo dobili t λ λ δ ( t) = δ () + δ ( u) du δ ( u ) df( ) du c = c t λ λ = δ () + ( t u) du ( t ) F( ) d c δ δ c Koačo, dolazimo do rešeja t λ δ ( t) = δ () + δ ( t ) F( ) d c (2) Primetimo da je vredost δ () još uvek epozata Svakako, kad t u (2), i korišćejem uslova eto profita (koji izosi δ ( ) = ψ ( ) = ), dobijamo λµ λµ ρ = δ () +, pa je δ () = = Iz toga sledi c c + ρ t t u t ρ δ ( t) = δ ( t ) dfi ( ) + ρ + + ρ, (22) gde je u (2) defiisa itegral repa raspodele F I Primetimo da, iz (22) korišćejem Laplace-Stieltjesove trasformacije direkto sledi formula () Jedačia (22) izgleda kao jedačia obavljaja; postoji, doduše, jeda ključa razlika i to tačo u oom delu dokaza gde je uvede uslov malih izosa šteta tipa (3) Prvo, preformulišimo (22) kao što sledi koristeći ψ ( u) = δ ( u), stavljajući da α = <, + ρ u ψ ( u) = α FI ( u) + ψ ( u ) d( α FI ( )) (23) Ovu jedačiu treba da pretvorimo u stadardu jedačiu obavljaja Dokaz ćemo astaviti ako kratkog uvoda u teoriju obavljaja Defiicija 25 (Fukcija obavljaja): Neka je Y, Y 2, iz pozitivih iid slučajih promeljivih koje predstavljaju vremeske itervale između pojediačih obavljaja i imaju edefektivu fukciju raspodele F, tj za jih važi 4

16 Neka je, dalje, F () < i E [ Y ] = λ { } N t = card Y + Y + + Y t ( ) : 2 proces obavljaja, gde N( t ) predstavlja broj obavljaja staja procesa pre vremeskog treutka t Fukcija V ( t) = E N( t) [ ] je fukcija obavljaja i predstavlja očekivai broj obavljaja procesa u,t Za ju važi vremeskom itervalu [ ] V ( t) lim = λ = t t E Y [ ] Teorema 26 (Elemetare osobie fukcije obavljaja): a) Fukcija V je eopadajuća i eprekida s dese strae, b) V ( t) = F ( t) < za sve t, = c) V ( t ) zadovoljava jedačiu obavljaja 3 datu a sledeći ači: t V ( t) = F( t) + V ( t ) df( ), t Teorema 27 (Blackwellova teorema obavljaja): Ako je fukcija raspodele F e-mrežasta, oda za sve h > važi lim V ( t + h) V ( t) = λh t ( ) Teorema 28 (Smithova ključa teorema obavljaja): Neka važi = E[ Y ] < i eka je [ ] λ V ( t) = E N( t) fukcija obavljaja asociraa sa e-mrežastom fukcijom raspodele F a) Ako je h direkto Riema itegrabila, oda t t lim h( t ) dv ( ) = λ h( ) d b) Posmatrajmo jedačiu obavljaja oblika t g( t) = h( t) + g( t ) df( ), t, gde je h lokalo ograičea Tada je jedistveo rešeje jedačie dato sa 3 Mora se jako oprezo primejivati Lebesgue-Stieltjesovu itegraciju ad koačim itervalima, jer fukcije raspodela mogu imati agle skokove u krajjim tačkama itervala 5

17 t g( t) = h( t ) dv ( ), t Štaviše, ako je h direkto Riema itegrabila, oda lim g( t) = λ h( ) d t Nastavljamo dokaz Teoreme 22 b): Da bismo jedačiu (23) pretvorili u stadardu jedačiu obavljaja datu u Teoremi 26 b), defiišemo Esscherovu trasformisau fukciju raspodele FI, ν ν FI, ν ( ) = e d( α FI ( )), gde je ν ekspoet iz uslova (3) Koristeći ovaj zapis, relacija (23) postaje u ν u νu ν ( u ) ψ ( ) = α I ( ) + ψ ( ) d( αf I, ν ()) e u e F u e u, koja je, prema uslovu (3), stadarda jedačia obavljaja Neposreda primea ključe teoreme obaavljaja, (Teoreme 26 b)) daje ν u ν ν lim e ψ ( u) = e F( ) d u ρµ, što je tačo (6)-(7) Uslovi potrebi za primeu Teoreme 26 se jedostavo proveravaju Parcijalom itegracijom, i koristeći (5), dobijamo ν u ν ( ) ν αe F u = e d( αf ( )) ν e αf ( ) d I I I u u ν Pošto je α e u FI ( u) razlika dveju erastućih Riema-itegrabilih fukcija, oa je i sama Riema-itegrabila Štaviše, važi u fi ( ) αe ν FI ( u) du = α ν = ρ < i ν ν ( + ρ) ν df ( ) = e F( ) d < I, ν µ ( + ρ) prema (5) Time je završe dokaz pod b) Što je mogo začajije, želimo da objasimo zašto uslov (3) mora biti uvede Vraćamo se a (3) Očigledo, postojaje kostate ν implicira da f ( s) mora postojati u eprazoj okolii ule, a to implicira da su rep itegrala I fukcije raspodele F I izosa štete, kao i rep F, ekspoecijalo ograičei Zaista, iz Markove ejedakosti sledi X F( ) e ν E e ν, > 6

18 Ova ejedakost zači da se velike štete veoma retko javljaju (sa ekspoecilajo malim verovatoćama) Iz tog razloga se (3) često zove uslov malih izosa šteta Cramer-Ludbergov uslov se lako može grafički prokometarisati Postojaje kostate ν u (3) veoma zavisi od leve apscise kovergecije γ za fukciju f I Mogu se desiti raze situacije, kao što je prikazao a Grafiku 29 Grafik 29 (Specijali slučajevi pod Cramer-Ludbergovim uslovima): Najčešći slučaj, potpuo pokrive Teoremom 22, odgovara Grafiku 29 () Tipiče fukcije raspodela i fukcije gustia izosa štete pod datim uslovima su date u Tabeli 2 Tabela 2: Fukcije raspodela malih izosa šteta Sve fukcije raspodela imaju osač (, ) Naziv raspodele Rep F ili gustia f Parametri Ekspoecijala F( ) = e λ > α Gamma β α, β > α β f ( ) = e Γ ( α) Weibullova τ c F( ) = e c >, τ 2 Normala odsečea 2 2 f ( ) = e π Bilo koja raspodela sa ograičeim osačem 7

19 Nećemo detaljo razmatrati sredje slučajeve grafika 29 (2) i (3) evaže za primee Ako se brzim pregledom literature zapitamo: koje raspodele u stvari odgovaraju podacima o veličii šteta, oda ćemo ajčešće proaći eke raspodele čije su fukcije raspodele abrojae u Tabeli 2 Tabela 2 predstavlja fukcije raspodela velikih izosa šteta Sve fukcije raspodela imaju osač (, ), osim Bektaderove i gama-logaritamske raspodele koje imaju osač (, ) Tabela 2 Naziv raspodele Rep F ili gustia f Parametri 2 Logormala (l µ ) µ R, 2 f ( ) = e 2σ 2πσ σ > α Paretova k F( ) = k + α, k > α Burrova k F( ) = τ k + α, k, τ > Bektaderova tipa I β (l ) 2 ( )l F( ) ( 2 l ) e β α + = + α α, β > Bektaderova tipa II α β α α > β ( β ) β F( ) = e e β (,) Weibullova cτ F( ) = e c > τ (,) gama-logaritamska β α β α f ( ) = (l ) Γ ( β ) α, β > Odsečea α -stabila F( ) P X > gde je X α -stabila slučaja α (,2) promeljiva Sve fukcije raspodele iz Tabele 2 omogućavaju kostruisaje Ludbergovog ekspoeta Za fukcije iz Tabele 2 Ludbergov ekspoet e postoji Zaista, slučaj (4) a Grafiku 29 je primeljiv Iz tog razloga smo istakli dve tabele, sa "malim" i "velikim" izosima šteta, respektivo Još precizije razmatraje ovih raspodela sledi u Odeljku 32 Radi dokazivaja, pretpostavimo da imamo portfolio koji prati Cramer- Ludbergov model za koji se idividuali izosi šteta mogu modelirati pomoću Paretove fukcije raspodele F( ) = ( + ) α,, α > 8

20 α Tada sledi da E [ X ] = ( + ) d = ( α ) i uslov eto profita daju c( α ) ρ = > λ Postavlja se pitaje: da li možemo odrediti Cramer-Ludbergovu proceu u ovom slučaju za datu stopu premije c koja ispujava gorji uslov? Odgovor a ovo pitaje je odriča Zaista, u ovom slučaju za svakoν > važi ν α e ( + ) d =, tj u ovom slučaju e postoji ekspoecijala Cramer-Ludbergova procea Mi smo pod okolostima Grafika 29 (4), ula je esecijali sigularitet fukcije f I, tj fi ( ε ) = za sve ε > Vidimo da Paretova raspodela arušava Cramer- Ludbergov uslov (3), tako da se Teorema 22 e može primeiti a ju Međutim, ispostavlja se da se većia ajidividualih podataka o izosima šteta modelira pomoću ovakvih fukcija raspodela 9

21 2 REGULARNA VARIJACIJA Teorija o regularo varirajućim fukcijama je odgovarajući matematički alat za aalize pojava raspodela sa debelim repom U ovom poglavlju pretpostavljamo da sve slučaje promeljive imaju pozitive vredosti i da imaju beskoača osač (, ), tj F( ) < za sve > Sa R α ozačavamo klasu regularo varirajućih fukcija sa ideksom α R Slučaj α = odgovara takozvaim sporo varirajućim fukcijama 2 UVOD U TEORIJU REGULARNE VARIJACIJE U ovom poglavlju ćemo avesti eke začaje rezultate počevši od uiforme kovergecije, apsolute eprekidosti i osobia mootoih fukcija Defiicija 2 (Uiforma kovergecija): f reale fukcije jede reale promeljive, oda iz fukcija Ako su {, } ( ) f uiformo kovergira ka N f ad A R ako sup A f( ) f( ), (2) Za fukcije reale promeljive izraz lokala uiforma kovergecija zači da (2) važi a svakom kompaktom skupu A Veoma korisa čijeica je da mootoe fukcije koje tačkasto kovergiraju ka eprekidoj graici u stvari kovergiraju lokalo uiformo Propozicija 22: Neka su { } U, eopadajuće reale fukcije jede reale promeljive i eka je U eprekida fukcija Ako je za sve R ispujeo U ( ) ( ), U, oda U U lokalo uiformo, tj za sve a < b važi sup U ( ) U ( ) a b [, ] Defiicija 23 (Apsoluta eprekidost): Merljiva fukcija F : R R je apsoluto eprekida ako je prvi izvod postoji u klasi lokalo-itegrabilih fukcija, tj ako postoji f : R R tako da važi F( ) = f ( t) dt (za fisksirao a R ) a 2

22 Iverze fukcije mootoih fukcija Neka je H : R ( a, b) eopadajuća fukcija reale promeljive sa vredostima iz itervala ( a, b ), gde je a < b Koristeći dogovor da ifimum prazog skupa izosi +, defiišemo iverzu fukciju za H koja je eprekida s leve strae, H : ( a, b) R, kao H ( y) = if s R : H ( s) y { } Grafik 24 Vredost iverze fukcije u tački y je a du leve isprekidae vertikale U slučaju da je fukcija H eprekida s dese strae, imamo sledeće željee osobie: A( y) : = s : H ( s) y je zatvore, (22) { } Kovergecija mootoih fukcija H ( H ( y)) y, (23) H ( y) t ako i samo ako y H ( t) (24) Za bilo koju fukciju H : R R defiišimo skup C( H ) = R, H ima koaču vredost i eprekida je u Niz ( ) { } H eopadajućih fukcija a R slabo kovergira ka H kad ako važi da H ( ) ( ) H za sve C( H) To ozačavamo sa H H Osim slabe kovergecije mootoih fukcija, ećemo se baviti drugim oblicima kovergecije Ako su F fukcije raspodela verovatoće a R, oda su kompleta kovergecija i ( ) slaba kovergecija ekvivalete Ako su ( ) imaju fukcije raspodela F, X slučaje promeljive i ako X, oda X X zači F F 2

23 Propozicija 25: Ako su ( ) vredostima iz itervala ( a, b ) i ako H H, oda i t ( a, b) C( H ) važi H ( t) H ( t) Cauchyjeva fukcioala jedačia H eopadajuće fukcije reale promeljive sa H H u smislu da za Neka je k( ), R, fukcija koja zadovoljava k( + y) = k( ) + k( y),, y R Ako je fukcija k merljiva fukcija i ograičea ad skupovima koji imaju pozitivu meru, oda je k( ) = c za eko c R 22 REGULARNA VARIJACIJA: DEFINICIJA I PRVE OSOBINE Teorija regularo varirajućih fukcija je eophoda aalitički alat za proučavaje raspodela sa debelim repom U ovom odeljku ćemo uvesti pojmove regulare varijacije i spore varijacije merljivih fukcija i dati defiiciju maksimalog domea atrakcije Izvešćemo sledeći zaključak: Fukcija raspodele verovatoće F pripada maksimalom domeu atrakcije Frechetove raspodele ekstremih vredosti ako i samo ako je rep fukcije raspodele F regularo varirajući sa ekspoetom α U Fisher-Tippettovoj teoremi ćemo istaći tri začaje vrste raspodela ekstremih vredosti: Frechetovu, Weibullovu i Gumbelovu Sada ćemo se pozabaviti samo realim fukcijama jede reale promeljive Defiicija 22: Merljiva fukcija U : R+ R+ je regularo varirajuća u sa ideksom α R (u zapisu U R α ), ako za > važi U ( t) α lim = t U ( t ) Ideks α azivamo ekspoet varijacije Ako α =, oda je U sporo varirajuća fukcija Sporo varirajuće fukcije se U ( ) uglavom obeležavaju sa L( ) Ako U R α, oda R i ako stavimo α U ( ) L( ) =, >, α vidimo da se α -varirajuća fukcija uvek može predstaviti u obliku α L( ) Grubo govoreći, regularo varirajuće fukcije su fukcije koje se asimptotski poašaju kao stepee fukcije 22

24 Primedba 22: Defiisali smo regularu varijaciju u beskoačosti, tj za t Sličo možemo defiisati regularu varijaciju u uli zameom t sa t, ili u bilo kojoj pozitivoj tački a Zaista, regulara varijacija fukcije U u tački a > se defiiše kao regulara varijacija fukcije ( ) Ua = U a u beskoačosti U slučaju da treba apraviti razliku, možemo govoriti o regularoj varijaciji u fiksoj tački a Kadgod je a osovu koteksta jaso začeje, koristićemo pojam regulara varijacija U ( t) α Primedba 222: Uslov lim =, > se može oslabiti a više ačia, t U ( t) ajvažije je specifikovati samo da graiča vredost postoji i da je pozitiva, e mora se zahtevati da ima fukcioali oblik α Zaista, ako u avedeom uslovu pretpostavimo da graiča vredost postoji za sve > i da je jedaka χ ( ), oda direkto sledi da χ( s) = χ( s) χ( ), >, prema tome, χ ( ) = α za eko α R Primedba 223: Tipiči primeri sporo varirajućih fukcija su pozitive kostate ili fukcije koje kovergiraju ka pozitivoj kostati, logaritmi i iterativi logaritmi Primer 222: Fukcija α je kaoička α -varirajuća fukcija Fukcije l( ), l(l( e )) { } + +, kao i ( ) su sporo varirajuće Bilo koja fukcija U za koju graiča vredost lim U ( ) = : U ( ) ep l β, β (,) postoji kao koača i pozitiva vredost, je sporo varirajuća Sledeće fukcije isu regularo varirajuće: e, si( + 2) Primetimo da je [ log ] sporo varirajuća, ali da je [ ] ozaka za ajveći ceo deo broja [ log ] e ije regularo varirajuća, gde Možda je iteresato primetiti da sporo varirajuća fukcija L može imati beskoače oscilacije i da se može desiti da limif L( ) = i limsup L( ) = 23

25 Dat je primer za ovakvu fukciju L i je grafik: L( ) = ep (l( + )) cos l( + )) 2 2, U termiima verovatoća, govorimo o raspodelama čiji repovi su regularo varirajući Dajemo eke primere: α F( ) =,, α > i raspodela ekstremih vredosti Φ ( ) = ep α, α { } α Raspodela Φ ( ) ima osobiu Φ ( ), α Cauchyjeva fukcija gustie f ( ) = 2 π ( + ) osobiom F( ) ( π ) α ima fukciju raspodele F sa Ako je ( ) fukcija stadarde ormale raspodele, oda i ( ), i rep Gumbelove raspodele ekstremih vredosti ep{ e } Propozicija 223: a) Merljiva fukcija U : R takva da za sve > važi α R i U R α b) Mootoa fukcija U : R isu regularo varirajući R je regularo varirajuća ako postoji fukcija h + + U ( t) lim = h( ) U tom slučaju je h( ) = α za eko t U ( t) R je regularo varirajuća ako postoje dva iza + + pozitivih brojeva ( ), ( b ) λ koji zadovoljavaju N N b, λ, λ + (25) i za sve > graiča vredost lim λ U ( b ) = : χ( ) (26) postoji i koača je U tom slučaju je χ( ) = α i U R α za eko α R χ() 24

26 Često ćemo se pozivati a (26) kao a sekvecijali oblik regulare varijacije Oa je ajkorisija za raspodele verovatoća Tipičo, U će biti rep raspodele, λ =, a b će biti kvatili te raspodele Dokaz: a) Fukcija h je merljiva, jer je graica familije merljivih fukcija Za >, y > važi U ( ty ) ( ) ( ) = U ty U t U ( t) U ( t) U ( t) i za t dobijamo h( y) = h( ) h( y) Fukcija H zadovoljava Hamelovu jedačiu koja se smeom promeljive može prevesti u Cauchyjevu jedačiu Zbog toga, oblik fukcije h je h( ) = α za eko α R b) Zbog jedostavosti, pretpostavimo da je U eopadajuća Neka važe (25) i (26), pokazaćemo da je fukcija U regularo varirajuća Pošto b, za svako t postoji ( t ) koje ima koaču vredost i defiisao je sa { } ( t) = if m N : b m + > t tako da važi b ( t ) t b ( t) + Zbog mootoosti fukcije, za > važi λ λ ( ) ( t) U ( b ( t) ) t U ( t) λ λ ( ) ( t) U ( b ( t ) ) + t + + λ ( t) λ ( ) ( ( ) ) U ( t) t U b λ + t + ( t) + λ( t) U ( b ( t) ) U ( t) χ( ) Neka sada t, koristimo (25) i (26) i dobijamo lim = Sada iz a) t U ( t) χ() sledi regulara varijacija Primedba 223: Propozicija 223 b) će važiti i ako pretpostavimo da je (26) ispujeo a gustom skupu To je začajo u slučaju kada je U eopadajuća fukcija i λ U ( b ) slabo kovergira Neka su ( X ) ekstrema vredost je 22 Maksimali dome atrakcije iid slučaje promeljive sa fukcijom raspodele F ( ) Njihova { } M = ma X,, X Jeda od raspodela ekstremih vredosti je Frechetova raspodela Φ ( ) : = ep α,, α > α { } Kakve uslove treba postaviti a F, tzv uslove domea atrakcije, da bi postojalo b > tako da 25

27 M P = F ( b ) Φα ( ) b slabo kovergira? Kako treba okarakterisati ormalizujući iz ( ) Neka je { F } b? N (27) = sup : ( ) < desa krajja tačka raspodele F Dokažimo da je = U suprotom, ako <, oda iz (27) dobijamo da za sve > važi b, tj b Pošto je > proizvoljo, sledi da b odakle sledi da je = Ali tada za > važi F ( b ) =, što arušava (27) Sledi da je = Nadalje, b jer u suprotom za podiz važi b K za eko K < Tada iz F( K ) < sledi < Φ () = lim F ( b ) lim F ( K) =, α što je kotradikcija Logaritmovaćemo (27) da bismo za > dobili lim ( log F( b )) = α Sada ćemo iskoristiti relaciju log( z) z, z a osovu koje je (27) ekvivaleto sa α lim ( F( b )) =, > (28) Iz Propozicije 223 i (28) dobijamo α F( ) ~ L( ), (29) za eko b, stavljamo α > Da bismo okarakterisali { } U ( ) = F ( ) U ( b ) α i tada je (28) ekvivaleto sa, > Uvodeći iverzu fukciju, pomoću Propozicije 223 dobijamo U ( y) α y, y > (2) b Tako U ( ) = ( ) ~ b i to određuje b F( ) Suproto, ako važi (29), defiišimo b = U ( ) kao i pre Tada je F( b ) α lim = F ( b ) 26

28 i dobijamo (28) pod uslovom da je F( b ) ~ U ( U ( )) ~ Podsetimo se iz (24) da z U Stavljajući z = U ( )( ε ), a zatim ( ) ( ε ), što je isto kao U ( b ) ~, tj < ( ) ako i samo ako U ( z) z = U ( )( + ε ), dobijamo ( ) ( ) ( ε ) U U U U U U ( ) ( ) ( ) ( )( + ) ( )( ) U U U U Neka i eka je, kao što se sećamo, U = Rα Tada je F U ( U ( ) ) U ( U ( ) α ) α ( + ε ) lim if lim sup ( ε ), i pošto je ε > proizvoljo, sledi tražei rezultat < Defiicija 224 (Maksimali dome atrakcije): Fukcija raspodele F slučaje promeljive X pripada domeu atrakcije raspodele ekstremih vredosti H ako postoje kostate b >, α R takve da važi M α H, (kovergecija u raspodeli) Maksimali dome atrakcije b raspodele H ćemo ozačavati sa MDA( H ) i zapisivati F MDA( H ) Na primer, gorja razmatraja pokazuju da eka raspodela F pripada MDA( Φ ) za izbor kostati α =, b = U ( ), N Iz dokaza je takođe jaso da je MDA( Φ α ) potpuo okarakterisa raspodelama čije rep je regularo varirajući sa ideksom α Teorema 225: F MDA( Φ α ) ako i samo ako F R α, gde je F( ) = F( ) Sličo kao što cetrale graiče teoreme govore o kovergeciji zbira slučajih promeljivih ka ormaloj raspodeli, teoreme Fisher-Tippett tipa govore o kovergeciji maksimuma iza slučajih promeljivih Graiče raspodele se azivaju raspodelama ekstremih vredosti i može se pokazati da postoje samo tri vrste ovakvih raspodela: Frechetova, Weibullova i Gumbelova Teorema 226 (Fisher-Tippett): X iz iid slučajih promeljivih Ako postoje ormirajuće kostate Neka je ( ) N b >, α R i eegativa slučaja promeljiva H takva da M α r H, N, b tada H ima jedu od sledećih raspodela: α 27

29 α ) Frechetova Φ ( ) = e, >, α > 2) Weibullova α α ( ) Ψ ( ) = e,, α > e 3) Gumbelova Λ ( ) =, R α e 23 REGULARNA VARIJACIJA DALJI REZULTATI KARAMATINA TEOREMA Asimptotske procee su sveprisute u aktuarstvu i matematici fiasija U mogim slučajevima trasformacije (Laplaceova, Fourierova, Melliova) igraju veoma začaju ulogu Oe su ulaza vrata za klasiču Abel-Tauberovu teoriju Teorija o regularoj varijaciji počije radom Karamate, Feller u ju uvodi teoriju verovatoće i oa daas predstavlja stadardu teoriju i za probabilističare i za statističare Nadalje ćemo sažeto predstaviti eke od glavih rezultata začajih za ašu primeu Postoji ekoliko detaljijih rezultata koji poboljšavaju kvalitet i primejivost teorije regulare varijacije: uiforma kovergecija, Karamatia teorema koja tvrdi da regularo varirajuću fukciju možemo itegraliti a ači a koji itegralimo stepeu fukciju, i koačo, Karamatia teorema o reprezetaciji 23 Uiforma kovergecija Propozicija 23: Ako U R α za eko α R, oda U ( t) α lim = t U ( t ) važi lokalo uiformo po a (, ) Ako je,b za α >, oda uiforma kovergecija važi a itervalima oblika ( ] sve b > Za α < je kovergecija uiforma a ( b, ), b > Začaja rezultat je čijeica da je kovergecija u Propoziciji 23 uiforma a svakom kompaktom podskupu od (, ) Ako je U mootoa fukcija, rezultat sledi direkto iz diskusije Odeljka 2, jer imamo familiju mootoih fukcija koje kovergiraju ka eprekidoj graici 232 Itegracija i Karamatia teorema Sledeći rezultati ispituju osobie itegrala regularo varirajućih fukcija Za potrebe itegracije, α -varirajuće fukcije se, grubo govoreći, poašaju kao i 28

30 stepee fukcije oblika α Pretpostavićemo da su sve fukcije koje posmatramo lokalo itegrabile, i pošto as zaima poašaje ovih fukcija u, pretpostavljamo jihovu itegrabilost i a itervalima koji sadrže ulu Teorema 232 (Karamatia teorema): a) Neka je α i U R α Tada je za >, U ( t) dt R α + i U ( ) lim = α + (2) U ( t) dt Ako je α < (ili ako je α = i U ( s) ds < ), tada iz U R α sledi da U ( s) ds ima koaču vredost, U ( t) dt R α + i b) Ako U zadovoljava oda U R λ Ako U ( t) dt < i ako oda U R λ U ( ) lim = α (22) U ( t) dt U ( ) lim = λ (, ), (23) U ( t) dt U ( ) lim = λ (, ), (24) U ( t) dt Primedba 232: Teorema 232 am govori da se, za potrebe itegracije, sporo varirajuće fukcije mogu izvući izva itegrala Na primer, da bismo zapamtili i iterpretirali (2), koristimo zapis U ( ) = α L( ) i oda posmatramo U ( t) dt = t α L( t) dt Sada poditegralu fukciju L( t ) izvlačimo izva itegrala kao faktor L( ) i dobijamo α + α α α L( ) U ( ) U ( t) dt = t L( t) dt L( ) t dt = L( ) = =, α + α + α + što je ekvivaleto tvrdji (2) 29

31 Dokaz: a) Za određee vredosti α, za uiformu kovergeciju je dovoljo zapisati, pr U ( s ) ds U ( s) ds = U ( ) ~ s α ds = ( α + ) U ( ) b) Ako α >, pokazujemo da U ( t) dt = Iz U R α imamo U (2 s) α lim = 2 > 2 s U ( s) Zbog toga, postoji s takvo da iz s > s sledi U (2 s) > 2 U ( s) Za takvo da 2 > s imamo i tako, stavljajući if {, 2 s} s U ( s) ds = 2 U (2 s) ds > U ( s) ds, = >, dobijamo U ( s) ds U ( s) ds > U ( s) ds =,2 > s Tako, za α >, > i za bilo koje N < važi t t U ( s) ds U ( s) ds, t N jer je U ( s ) α -varirajuća fukcija po s Za fiksirao i dato ε postoji N takvo da za sve s > N važi ( ) α α ε U ( s) U ( s) ( + ε ) U ( s) i tako t t t U ( s) ds U ( s) ds U ( s) ds = = N lim sup lim sup lim sup t t t t t t U ( s) ds U ( s) ds U ( s) ds U ( s) ds limsup( + ε ) = ( + ε ) t t α + N α + t N U ( s) ds Aalogi argumet se primejuje za limif, i tako smo za α > pokazali Ako α =, oda ili N U ( s) ds R α + U ( s ) ds <, pa U ( s) ds R + = R, ili U ( s) ds =, pa se oda može primeiti prethoda argumet Tako smo proverili da za sve α 3

32 važi U ( s) ds R α + Sada ćemo se skocetrisati a dokazivaje (2) kada U R α, α Defiišemo fukciju U ( ) b( ) : =, (25) U ( t) dt b( ) tako da itegracijom izraza dobijamo reprezetaciju b( t) U ( s) ds = c ep dt t, b( ) b( t) U ( ) = c ep dt (26) t Moramo pokazati da b( ) α + Primetimo prvo da Nako uvođeja smee U ( t) dt lim if = lim if = lim if lim if i iz toga zaključujemo da je U ( s) ds b( ) U ( ) U ( ) t s =, korišćejem Fatouove leme, dobijamo U ( s) U ( s) ρ ds lim if ds = s ds = U ( ) U ( ) α + limsup b( ) α + (27) Ako α =, oda b( ), kao što se očekuje Sada pretpostavimo da α > Primetimo da važe sledeće osobie za b( ) : b( ) je ograičea u semi-beskoačoj okolii od (a osovu (27); b( ) je sporo varirajuća, jer U ( ) R α + ; b( t) b( ), i kovergecija po t je uiformo ograičea ad koačim itervalima Posledja tvrdja c) sledi a osovu slabe b( t) b( ) varijacije, tj lim =, i imeilac je ograiče a ekom itervalu b( ) oblika (, ), > c) Iz treće osobie i domiirae kovergecije sledi straa se može raspisati da bismo dobili s b( t) b( ) lim dt = i leva t 3

33 s b( t) lim dt b ( ) log s = (28) t b( t) Iz (26) sledi c ep dt = U ( s) ds Rα + t i iz osobie regulare varijacije s U ( t) dt s s b( t) b( t) ( α + ) log s = lim log = lim dt = lim dt t ; t U ( t) dt kombiujući to sa (28) dolazimo do začajog zaključka da b( ) α + b) Pretpostavljamo da (23) važi i proveravamo da li U R λ Stavimo U ( ) b( ) = tako da b( ) λ Iz (26) dobijamo U ( t) dt b( ) b( t) ( b( t) ) U ( ) = c ep dt = cb( )ep dt t t, a pošto b( ) λ, U je po defiiciji ( λ ) -varirajuća (Videti Posledicu 233) 233 Karamatia teorema o reprezetaciji Teorema 232 as direkto uvodi u Karamatiu reprezetaciju regularo varirajućih fukcija Posledica 233 (Karamatia teorema o reprezetaciji): a) Fukcija L je sporo varirajuća ako i samo ako L ima sledeću reprezetaciju ε ( t) L( ) = c( )ep dt, >, (29) t gde c : R+ R+, ε : R+ R+ i lim c( ) = c (, ), (22) lim ε ( ) = (22) b) Fukcija U : R+ R+ je regularo varirajuća sa ideksom α ako i samo ako U ima sledeću reprezetaciju α( t) U ( ) = c( )ep dt, (222) t gde c( ) zadovoljava (22) i lim α( t) = α (To je izvedeo iz a) korišćejem t U ( ) = α L( ) i korišćejem reprezetacije za L ) 32

34 Dokaz: Ako L ima reprezetaciju (29), oda L mora biti sporo varirajuća, jer za > važi t L( t) c( t) ε ( s) lim = lim ep ds t L( t) t c( t) s t Za dato ε a osovu (22) postoji t takvo da ε < ε ( t) < ε, t t, pa stoga važi t t ε ( s) t ε log = ε ds ds ε ds ε log s s s Zaključujemo da t ε ( s) lim ds t = i s t t t t L( t) lim = t L( t) Obruto, pretpostavimo da L R Na sliča ači kao u (25), defiišemo L( ) b( ) : = L( s) ds i prema Karamatioj teoremi b( ), Primetimo da b( ) L( ) = L( s) ds Stavimo ε ( ) = b( ), tada ε ( ) i ( ) ( ) t L( s) ds ε t L t dt dt log d ( log L( s) ds ) log log = t t = = L( s) ds, L( s) ds odakle je i reprezetacija sledi sa ε ( t) L( s) ds L( ) ep t dt = =, (223) L ( s ) ds b ( ) L ( s ) ds c( ) = b( ) L( s) ds Primer 22: Cauchyjeva fukcija gustie F ( ) =, R 2 2π + 2 F ( ), i tako F( ), 2π 2π zadovoljava 33

35 234 Difereciraje Prethodi rezultati opisuju asimptotske osobie eodređeog itegrala regularo varirajuće fukcije Sada ćemo opisati šta se dešava kod difereciraja α -varirajuće fukcije Sledeći rezultat je eophoda za difereciraje regularo varirajućih fukcija: Teorema 234 (Teorema o mootooj gustii): Neka je U ( ) = u( y) dy (respektivo U ( ) = u( y) dy ), gde je u mootoa u beskoačosti (tj u je mootoa a ( z, ) za eko z > ) Ako α U ( ) c L( ),, za c, α R, L R, oda u( ) cα α L( ), Za U ( ) o α α L( ) u( ) = o L( ) c = gorje relacije se iterpretiraju kao = ( ) i ( ) Za primee u teoriji verovatoće, uslovi oblika F R α za α gde je F fukcija raspodele, su česti Saželi smo eke teoreme koje će adalje biti potrebe Propozicija 235: Neka je U : R u tako da U ( ) u( t) dt = R apsoluto eprekida fukcija sa gustiom + + a) Ako važi u( ) lim = α, (224) U ( ) oda je U R α b) Ako U R α, α R, i ako je fukcija gustie u mootoa, oda je (224) ispujeo i, ako α, oda u ( ) R α u( ) Dokaz: a) Stavimo b( ) = Dolazimo do zaključka da U ( ) b( t) U ( ) = U () ep dt, t pa U zadovoljava teoremu o reprezetaciji α -varirajuće fukcije b) Neka je gustia u eopadajuća Aalogi dokaz se može izvesti i ako je u b U ( b) U ( a) u( y) dy erastuća Neka je < a < b i posmatrajmo da U ( ) = U ( ) a Zbog mootoosti dobijamo u( b) ( b a) U ( b) U ( a) u( a) ( b a) (225) U ( ) U ( ) U ( ) 34

36 Iz (225) i čijeice da je U R α zaključujemo da važi α α ( ) lim sup u a b a (226) U ( ) b a za bilo koje b > a > Neka b a, što se svodi a difereciraje Tada (226) postaje u( a) α lim sup αa (227) U ( ) za bilo koje a > Sličo, iz leve jedakosti u (225) za a b dobijamo u( b) α lim if αb (228) U ( ) za bilo koje b > Tada (224) dobijamo za a = u (227) i za b = u (228) 24 REGULARNA VARIJACIJA DALJE OSOBINE Dosad smo razmatrali regularu varijaciju pozitivih fukcija a [, ) Postoje moga prošireja koja uključuju: k -regularu varijaciju a R ili R, -regularo varirajuće izove, -brzu varijaciju sa ideksom + ili Od ovih mogućih geeralizacija mi razmatramo samo oe koje alaze primee u modeliraju ekstremih rizika Defiicija 24 (Brza varijacija): Merljiva fukcija U : R tj varirajuća sa ideksom (U ) ako je za svako > Sličo, U R ako R, <, U ( t) lim = = =, t U ( t), > R brzo varirajuća, + +, <, U ( t) lim = = =, t U ( t), > Primer za fukciju U R je U ( ) = e U sledećoj teoremi smo saželi eke glave osobie za R Teorema 242 (Osobie fukcije brze varijacije): a) Neka je U R erastuća fukcija Tada za eko z > i za sve α R važi 35

37 α + U ( ) t α U ( t) dt < i lim = (229) z α t U ( t) dt Ako za eko α R važe t α U ( t) dt < i (229), oda U R b) Fukcija U R ako i samo ako postoje fukcije c i δ takve da c( ) c (, ), δ ( ) kad i za eko z > važi δ ( u) U ( ) = c( )ep du, z (23) z u Primedba 242: Neka je F R Tada iz Teoreme 242 a) sledi da su svi stepei mometi od F koači i F( t) dt lim = F( ) Posledja graiča veza karakteriše F R Primedba 2422: Klase R α, α > igraju ključu ulogu u izračuavaju fluktuacija suma i maksimuma slučajih promeljivih Na primer, uslov F R α karakteriše maksimali dome atrakcije Frechetove raspodele Φ α, dok se klasa R uvodi kroz karakterizaciju maksimalog domea atrakcije Gumbelove raspodele Reprezetacija (23) takođe može biti zapisaa kao F( ) = c( )ep du, gde a ( ) ( a je gustia za a, pod pretpostavkom a( u) z da oa postoji) Defiicija 243 (Regularo varirajući izovi): Niz pozitivih brojeva ( c ) je regularo varirajući sa ideksom α R ako N c[ t] α lim = t, t > c Kadgod je ( c ) N regularo varirajući iz sa ideksom α, tada c( ) = c[ ] pripada klasi R α Zahvaljujući ovoj osobii, mogi rezultati za R α se preose a izove U sledećoj propoziciji su sakupljee korise osobie regularo varirajućih fukcija 36

38 Propozicija 244: a) Ako U R α, α, oda log U ( ) lim = α log tako da, α <, lim U ( ) =, α > b) (Potterove graice): Neka U R α, α R Neka je ε > Tada postoji t tako da za sve i sve t t važi α ε U ( t) α + ε ( ε ) < < ( + ε ) (23) U ( t) c) Ako U R α, α R i ako izovi ( a ) i ( b ) zadovoljavaju N N < a, < b, i b ca kad za < c <, oda α U ( b ) c U ( a) Ako α, oda rezultat takođe važi za c = ili Aalogi rezultati će važiti ako se izovi zamee fukcijama d) Ako U R α i U 2 R α, α 2 2 < i ako lim U 2( ) =, oda U U 2 R α α 2 e) Neka je U eopadajuća fukcija i eka je U ( ) =, U, α Tada U R α f) Neka su U, U 2 eopadajuće, α -varirajuće fukcije, c važi U( ) cu2 ( ),, ako i samo ako α U ( ) c U ( ), R α 2 α Tada za g) Ako U R α, α, oda postoji fukcija U koja je apsoluto eprekida, strogo mootoa i za koju važi U ( ) U ( ), Dokaz: a) Izvodimo dokaz u slučaju < α < Neka je fukcija U data Karamatiom reprezetacijom oblika α( t) U ( ) = c( )ep dt, t gde c( ) c > i α( t) α Tada 37

39 α( t) dt log U ( ) = o() + t α log dt t b) Koristeći Karamatiu reprezetaciju, dobijamo U ( t ) c ( t ) α( ) ep ts = ds U ( t) c( t), s a rezultat je adalje očigleda, jer možemo izabrati t tako da za t > t važi α ε < α( ts) < α + ε za s > c) Ako je c >, oda iz osobie uiforme kovergecije iz Propozicije 244 sledi b U a U ( b ) a U ( tc ) α lim = lim = lim = c U ( a ) ( ) t U a U ( t) d) Opet, a osovu osobie uiforme kovergecije, za >, U2( t) U U 2( t) ρ2 U ( U 2( t) ) U 2( t) U ( y ) α2α lim = lim = lim = t U U ( t) t U U ( t) y U y ( ) ( ) 2 2 U ( t) e) Neka je Ut ( ) =, tako da ako je U R α i ako je U eopadajuća, oda za U ( t) < α < važi Ut ( ) α, t, što, a osovu Propozicije 25, implicira da α U ( ), t i t U ( U ( t)) α lim = t t Zbog toga, U ( U ( U ( t) ) α lim = t U ( t) Ta graica važi lokalo uiformo, pošto mootoe fukcije kovergiraju ka eprekidoj graici Sada U U ( t) t, t, pa ako zameimo sa t U U ( t ) i iskoristimo uiformu kovergeciju, dobijamo t U U U ( t) ( ) U U ( t) U t U ( U U ( t) ) lim lim α = = lim =, t U ( t) t U ( t) t U ( t) iz čega sledi U R α f) Ako je c >, < α <, oda za svako > imamo ( ) 38

40 U( t) U( t) U 2( t) α lim = lim = c t U2( t) t U2( t) U2( t) Uvođejem iverzih fukcija, za svako y > dobijamo U ( y U 2( t)) y lim = t, i tako t c α U ( y U2 U 2 ( t) ) y lim = t U2 ( t) c a pošto U U ( t) t, oda važi U ( yt) y lim = t U2( t) c Za y = je tvrdja dokazaa g) Na primer, ako U R α, α >, defiišemo t U ( s) U ( t) = ds s U ( s) Tada Rα, i a osovu Karamatie teoreme, s U ( ) α U ( ) Fukcija U je apsoluto eprekida, i pošto U ( ) kad α >, oda je U strogo rastuća u beskoačosti, tj postoji iterval (, ), > tako da je U strogo rastuća a (, ) α α Sledeće pitaje je veoma začajo za primee: Neka U R α Da li možemo proaći glatku fukciju U R α tako da U ( ) U ( ) dok? U Karamatioj teoremi o reprezetaciji imamo određeu fleksibilost pri kostruisaju fukcija c i ε Ako pr uzmemo da je c kostata fukcija, već imamo (parcijali) pozitiva odgovor a ovo pitaje Može se izvesti mogo više, što pokazuje sledeća propozicija: Propozicija 245 (Glatke verzije spore varijacije): Neka L R Tada postoji L C (C je prostor beskoačo diferecijabilih fukcija) tako da L( ) L ( ) kad Ako je L mootoa, oda je i L mootoa fukcija Sledeći Karamati rezultat se često primejuje O izosi suštisko tvrđeje da su itegrali regularo varirajućih fukcija i sami regularo varirajući, ili precizije, sporo varirajuću fukciju možemo izvući ispred itegrala 39

41 Teorema 246 (Karamatia teorema o ograičeoj fukciji): Neka je L R za eko Tada lokalo ograičea a [ ), a) za α > važi b) za α < važi α + α t L( t) dt L( ),, ( α + ) α + α t L( t) dt L( ), ( α + ) Primedba 246: Teorema 246 važi i za α = u smislu da za α = važi L( t) L( t) dt, L( ) i dt R t t Ako L( t) dt <, oda važi t L( t) L( t) dt, L( ) i dt R t t Primedba 2462: Zaključci Teoreme 246 se alterativo mogu formulisati a sledeći ači Neka je U za eko α R i eka je U lokalo ograičea ad [ ), R α za eko Tada: U ( t) dt a') za α > važi lim =, U ( ) α + U ( t) dt b') za α < važi lim = U ( ) α + Svaki put kad je α i kad važi graiči uslov a') ili b') za eku pozitivu,, tada je U R fukciju U koja je lokalo ograičea ad [ ), Propozicija 247 (Regulara varijacija repova fukcija raspodele): Neka je F fukcija raspodele takva da F( ) < za sve a a) Ako izovi ( a ) i ( ) isupjavaju uslove i i ako za eku realu a + fukciju g i sve λ iz gustog podskupa od ( ), važi lim a F( λ ) = g( λ) (, ), oda je g( λ) = λ α za eko α i F je regularo varirajuća b) Neka je F apsoluto eprekida sa gustiom f takva da za eko α > važi f ( ) lim = α Tada f R α i F R α F ( ) c) Neka je f R α za eko α > Tada je 4

42 f ( ) lim = α F ( ) Posledje tvrđeje takođe važi ako je F R α za eko α > i gustia f je mootoa u beskoačosti d) Neka je X eegativa slučaja promeljiva sa repom raspodele F R α za eko α > Tada E β < ako β < α, E β = ako α < β e) Neka F R α za eko α >, β α Tada lim β F( ) β y df( y) β α = α Obruto važi u slučaju da je β > α Ako je β = α, možemo samo zaključiti da α ( ) F( ) = o L( ) za eko L R f) Sledeća tvrđeja su ekvivaleta: ) 2) 2 y df( y) R, 2 2 F( ) = o y df( y), Primetimo da su tvrđeja b) i c), e) i f) specijali slučajevi opšte verzije Karamatie teoreme i teoreme o mootooj gustii Teorema 248 (Karamata-Tauberova teorema za Laplace-Stieltjesove trasformacije): Neka je U erastuća fukcija eprekida s dese strae defiisaa a [, ) Ako L R, c, α, oda su sledeća tvrđeja ekvivaleta: α c L( ) a) U ( ),,, Γ ( + α ) b) s α u( s) = e du ( ) cs L, s s Za c = tvrđeje a) se iterpretira kao ( α ) U ( ) = o L( ),, a pod b) je sličo To je začaja rezultat e samo zbog očuvaja stepeog koeficijeta α ako primee Laplace-Stieltjesove trasformacije, već i zbog očuvaja sporo varirajuće fukcije L Iz a) ili b) za c > sledi 4

43 ( ) u c) U ( ), Γ ( + α) Izeađujući je rezultat da obruto (da c) implicira a) i b)) takođe važi Posledica 249: Neka je F fukcija raspodele sa Laplace-Stieltjesovom trasformacijom f Za α [,) i L R su ekvivaleta sledeća tvrđeja: α a) f ( s) s L, s, s b) F ( ) ( ), ( ) α α L Γ 42

44 3 SUBEKSPONENCIJALNOST U ovom poglavlju ćemo detaljo razraditi klasu subekspoecijalih raspodela, kadidate za raspodele gubitka sa debelim repom Zbog jihove začajosti u modeliraju velikih šteta, uključićemo veoma detalju aalizu jihovih osobia Koristeći Cramer-Ludbergov pristup, izvršićemo prvu proceu asimptotskih verovatoća rizika u slučaju regularo varirajućih fukcija raspodela izosa šteta Predstavićemo ekvivalet velikih izosa šteta za Cramer- Ludbergovu proceu Drugim rečima, izvršićemo proceu verovatoće propasti procesa u beskoačom vremeskom itervalu uz pretpostavku o velikim zahtevima za odštetu Detaljo razmatraje teorije subekspoecijalih raspodela je priličo formalo, tako da ćemo se zadovoljiti pregledom dela teorije koji se ajlakše primejuje kokreto u teoriji rizika i geeralo u osiguraju i fiasijama 3 NEKI PRELIMINARNI REZULTATI Započijemo aše razmatraje osobiom zatvoreosti regularo varirajućih fukcija raspodela u odosu a kovoluciju Lema 3: Klasa raspodela sa regularo varirajućim repovima je zatvorea u odosu a kovoluciju Ako su F, F 2 dve fukcije raspodela takve da α FI ( ) = Li ( ) za sve α i Li R, i=,2, oda kovolucija G = F F ima regularo varirajući rep takav da 2 G( ) α ( L ( ) + L2 ( )), Dokaz: Neka su X, X 2 dve ezavise slučaje promeljive sa fukcijama raspodela F i F 2, respektivo Koristeći { X + X > } { X > } { X > }, može 2 2 se lako proveriti da važi G( ) ( F ( ) + F2 ( ) ) ( o()) Ako je δ (, ), oda iz 2 { X + X > } { X > ( δ ) } { X > ( δ ) } { X > δ, X > δ} sledi Tako je G( ) F (( δ ) ) + F (( δ ) ) + F ( δ ) + F ( δ ) = 2 2 = ( F (( δ ) ) + F (( δ ) ))( + o()) 2 G( ) G( ) limif limsup ( δ ) α, F ( ) + F ( ) F ( ) + F ( )

45 što pokazuje rezultat kada δ Lako se pokazuje da je L + L2 sporo varirajuća fukcija Alterativi dokaz ovog rezultata se može zasivati a Karamata-Tauberovoj teoremi (Teoremi 248) Sledi začaja posledica izvedea idukcijom po : Posledica 32: Ako je F( ) = α L( ) za sve α i L R, oda za sve važi F ( ) F( ), Sada pretpostavimo da su X, X 2,, X iid sa fukcijama raspodele F kao i u prethodoj posledici Ozačimo parcijalu sumu od X, X 2,, X sa S = X + X X i jihov maksimum sa M = ma{ X, X 2,, X } Tada za sve 2 P S > = F, [ ] ( ) k P[ M > ] = F ( ) = F( ) F ( ) F( ), (3) Prema tome, koristeći prethoda zapis, Posledica 32 može biti preformulisaa u F R, > P S > P M >, α α k = [ ] [ ] Ovo implicira da je, za fukcije raspodele sa regularo varirajućim repovima, rep fukcije raspodele sume S uglavom određe repom fukcije raspodele maksimuma M To je upravo jeda od ituitivih predstava o raspodelama sa debelim repom ili velikim izosima šteta "Pod pretpostavkom regulare varijacije, rep maksimuma slučajih promeljivih određuje rep sume tih slučajih promeljivih" Podsetimo se da u Cramer-Ludbergovom modelu važi sledeća relacija (videti ()): ρ ψ ( u) = ( + ρ) FI ( u), u, + ρ gde je = FI ( ) = F( y) dy µ itegral repa raspodele Pod uslovom FI R α α, možemo se adati da važi sledeća asimptotska procea: = za eko ψ ( u) ρ FI ( u) = ( + ρ) (32) F ( u) + ρ F ( u) I = I ρ ( + ρ) =, u (33) + ρ ρ 44

46 Ključi problem koji ostaje otvore u prethodom izračuavaju je korak iz (32) u (33) Da li možemo izvršiti "bezbedu" razmeu graičih vredosti i suma? Odgovor je potvrda Zbog toga je (33) priroda procea propasti kadgod je F I regularo varirajuća Pokazaćemo da sliča procea važi za mogo širu klasu fukcija raspodele Ovom prilikom, (33) se može preformulisati a sledeći ači: Za raspodele izosa šteta sa regularo varirajućim repovima, verovatoća koače propasti ψ ( u) uz veliki uložei početi kapital u je potpuo određea repom F( y) raspodele izosa štete za velike vredosti y, tj ψ ( u) F( y) dy, u ρµ Iz Tabele 2 izdvajamo sledeće tipiče raspodele izosa šteta pokrivee sledećim rezultatom: Paretovu, Burrovu, gama-logaritamsku, odsečee stabile raspodele 3 Cramer-Ludbergova teorija za subekspoecijale raspodele Kao što je pre bilo avedeo, ključa korak u izvođeju relacije (33) je bio u dokazivaju osobie F ( ) F( ), za i 2 To as prirodo dovodi do klase fukcija raspodele koja omogućava veoma opštu teoriju procee propasti za velike izose šteta Glavi rezultat u ovom okružeju je Teorema 34 koju ćemo ubrzo avesti Defiicija 3 (Subekspoecijala fukcija): Fukcija raspodele F sa osačem (, ) je subekspoecijala ako za sve 2 važi F ( ) lim = (34) F ( ) Klasu subekspoecijalih raspodela ćemo ozačavati sa S Primedba 3: Relacija (34) daje sledeću ituitivu karakterizaciju subekspoecijalosti (videti (3)): Za sve 2, P S > P M >, (35) [ ] [ ] Da bismo proverili subekspoecijalost, e moramo pokazati (34) za sve 2 Lema 32 (Dovolja uslov za subekspoecijalost): 2 F ( ) Ako limsup 2, oda F S F( ) 45

47 Dokaz: Pošto F ozačava fukciju raspodele pozitive slučaje promeljive, direkto sledi F ( ) F ( ), tj F ( ) F ( ) za sve Stoga je 2 F ( ) lim if 2,, pa prema uslovima leme graiča relacija (34) važi za F( ) = 2 Dokaz se oda izvodi idukcijom po Za y >, ( + ) ( + ) F F F ( ) ( ) ( ) = + (36) F( ) F( ) F ( t) df ( t ) F( ) = + F ( t) df ( t ) F( ) = + y F ( t) F( t) = + + df( t) = + I( ) + I2( ), F( t) F( ) y y F ( t) F( t) F ( t) F( t) gde je I ( ) = df( t), a I2( ) = ( ) F( t) F( ) df t F( t) F( ) y F ( t) Dodajući + u I i primetivši da se F( t) malo za sve t y i za dovoljo veliko y, sledi Sada y F( t) I( ) = ( + o()) df( t) F( ) može apraviti proizvoljo y 2 2 F( t) F( ) F ( ) F( t) F( ) F ( ) df( t) = df( t) = J (, y) = F( ) F( ) F( ) F( ) F( ) F( y) = ( + o()) J (, y), gde J (, y) kad prema F( ) Lemi 33 a), koja će uslediti Zbog toga je lim I( ) = y F ( t) Koačo, pošto je ograičeo kad y t i pošto je lim J (, y) =, F( t) oda lim I2( ) =, čime je dokaz završe Primedba 32: Uslov u Lemi 32 je trivijalo potreba za sve F S Primedba 322: Na početku gorjeg dokaza koristili smo čijeicu da za fukciju raspodele F pozitive slučaje promeljive uvek važi Lako je pokazati da u ovom slučaju za sve 2 važi 2 F ( ) lim if 2 F( ) 46

48 Zaista, važi S M toga F ( ) lim if F( ), što povlači [ ] [ ] F ( ) = P S > P M > = F ( ) Zbog F ( ) F ( ) lim if lim = F( ) F( ) Sledeća lema je eophoda ako želimo izvesti (33) iz (32) za subekspoecijalu fukciju F I Lema 33 (Neke osove osobie subekspoecijalih fukcija): a) Ako F S, oda uiformo a kompaktim y -skupovima a (, ) važi F( y) lim = (37) F( ) b) Ako važi (37), oda za sve ε > važi ε e F( ), c) Ako F S, oda za dato ε > postoji koača kostata K takva da za sve 2 važi F ( ) K( + ε ), (38) F( ) Dokaz: a) Za y >, prema (36) 2 y F F t F t F y ( ) ( ) ( ) ( ) = + df( t) + df( t) + F( y) + ( F( ) F( y)) F( ) F( ) F( ) F( ) y Tako, za dovoljo veliko za koje je F( ) F( y), važi 2 F( y) F ( ) F( y) ( F( ) F( y)) F( ) F( ) U posledjoj procei, desa straa izraza teži ka kad Uiformost odmah sledi iz mootoosti po y Alterativo, koristićemo da se osobia (37) može preformulisati u F l R i oda ćemo primeiti Propoziciju 23 ε b) Na osovu a), F l R Ali, tada zaključak F(l ), sledi direkto iz teoreme o reprezetaciji za R (Videti Teoremu 233) F ( ) c) Neka je α = sup Koristeći (36), za svako T > izvodimo F( ) α F ( y) F ( y) F( y) = + sup df( y) + sup df( y) F( ) F( y) F( ) + T T 2 F( ) F ( ) + AT + α sup T, F( ) 47

49 gde je A T = F( T) < Sada, pošto F S, možemo za dato ε > izabrati T takvo da α + A + + T α( + ε ) Odavde sledi ( + ε ) α ( + AT ), što implicira (38) ε Primedba 33: Lema 33 b) opravdava aziv subekspoecijala za F S Zaista, F( ) opada prema uli sporije od bilo koje ekspoecijale fukcije e ε za sve ε > Štaviše, pošto za bilo kojeε > ε ε y e df( ) e F( y), y, y iz Leme 33 b) sledi da za F S važi f ( ε ) = za sve ε > Zbog toga Laplace-Stieltjesova trasformacija subekspoecijale fukcije raspodele obavezo ima sigularitet u uli Kao što sledi iz dokaza Leme 33 b), posledji uslov je ispuje za veću klasu fukcija raspodele koje zadovoljavaju (37) Dalje proučavaje ovih klasa će biti dato u Odeljku 4 Podsetimo se da za fukciju raspodele F sa koačim očekivajem µ važi FI ( ) = F( y) dy µ Sledi još jeda začaja posledica gorjeg rezultata Teorema 34 (Cramer-Ludbergova teorema za velike izose šteta, I): Posmatrajmo Cramer-Ludbergov model uz uslov eto profita ρ > i fukciju FI S Tada ψ ( u) FI ( u), u (39) ρ Dokaz: Pošto je + ρ <, oda postoji ekoε > takvo da + ε < Tako zbog + ρ (38) važi FI ( u) ( + ε ) ( + ρ) K, u, FI ( u) ( + ρ) što zbog domiirae kovergecije omogućava razmeu graičih vredosti i suma u (32), što as dovodi do željeog rezultata 48

50 Grafik 35: Realizovae putaje procesa rizika ( U ( t)) t u slučaju logormale (gore) i Paretove (dole) raspodele izosa šteta: Vreme t Vreme t Ove realizacije treba uporediti sa realizacijama iz Grafika 2 (sa realizacijama ekspoecijalih raspodela) Teorema 34 završava aš zadatak proalažeja Cramer-Ludbergovog oblika procee u slučaju raspodela sa debelim repom Za raspodele izosa šteta sa subekspoecijalim itegralom repa raspodele, verovatoća krajje propasti je data relacijom (39) Kao dodatak ovim fukcijama raspodela sa regularo varirajućim repovima, sledeći primeri iz Tabele 2 daju proceu za (39): logormala, Bektaderova raspodela tipa I, Bektaderova tipa II, Weibullova raspodela za < τ < To će biti pokazao u Odeljku 4 Primer 36 (Regulara varijacija za složee Poissoove fukcije raspodela): Radi primeljivosti u osiguraju, ograičavamo pomeutu fukcioelu T da bude složea Poissoova raspodela, tj pretpostavljamo da za eko λ > važi k λ λ k G( ) = e F ( ),, (3) k! a to je fukcija raspodele za k = N X i, gde su i= X i iid slučaje promeljive sa fukcijom raspodele F, ezavise od Poissoove slučaje promeljive N 49

51 Primejujući Laplace-Stieltjesove trasformacije u (3), dobijamo ( f ( s)) g( s) e λ =, s i samim tim g( s) λ( f ( s)), s (3) Klasu fukcija regularo varirajućih u beskoačosti obeležavamo sa R, a klasu regularo varirajućih fukcija u uli sa R Primeom Posledice 249 i (3), za α [,) sledi g ( ) G R g R lim α α = Γ( α) G( ) g ( ) lim f Rα = λ f ( ) ( ) f lim F R α = Γ( α) F( ) Koačo, dobijamo G( ) F R α G R α lim = λ F ( ) Propozicija 37 (Zatvoreost klase S u odosu a kovolucioi kore): Ako je F S za eki priroda broj, oda je F S Dokaz: Pošto F S, iz Leme 33 a) zamo da F ( t) lim =, (32) F ( ) uiformo a kompaktim skupovima koji sadrže t Fiksirajmo A > Za > A imamo A 2 F ( t) F ( ) + + d F ( t) = 2, A F ( ) F ( ) Iz osobie domiirae kovergecije i iz (32) prvi itegral kovergira ka F A, tako da ( ) Fiksirajmo u > tako da F F ( t) lim df ( t ) F ( A ) = (33) F ( ) ( ) A ( u) > Tada za > u u ( ) F ( ) = F( ) + + F ( t) df( t) = u = F( ) + J ( ) + J ( ) (34) 2 5

52 Pokazujemo da za dato ε > postoji (, ) = u ε tako da J( ) ε +, (35) F ( ) 2 J 2( ) F ( u) ε +, ( ) (36) F ( ) F ( u) 2 Da bismo dokazali (35), primetimo da J F u F u F u F u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F( u) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F F F u F u F Na desoj strai, prvi količik ima vredost ajviše, a osovu Primedbe 3 ako Leme 32, dok drugi količik kovergira ka jer F S Koačo, treći količik kovergira ka prema (32) Iz toga sledi (35) Za (36), a ekom skupu verovatoća, eka S, X i S budu ezavise slučaje promeljive ( ) sa odgovarajućim fukcijama raspodela F, F i F Neka je S = S + X Tada ( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) u [ ] [ ] F u J F u F t df t = P S u P u < X < X + S = [ ] = P S u < X < X + S P u < S + u < X < X + S = [ ] = P u < S < S + S + P < S + u, tako da ( ) 2 F ( u) J ( ) F ( t) F ( ) F ( + u) df ( t) + F ( ) F ( ) F ( ) u Desa straa kovergira ka F ( u) a osovu (32) i (33) Tada sledi (36) Iz (34)-(36) dobijamo F( ) F ( u) lim if F F u ( ) ( ) ( ) Desa straa kovergira ka kad u, pa F ( ) lim sup Zbog toga a F( ) osovu Leme 32 sledi F S Defiicija 38 (Složei Poissoov proces): Neka je Λ slučaja promeljiva sa P[ Λ > ] = i eka je N = ( N( t)) t homogei Poissoov proces sa itezitetom, ezavisa od Λ Proces ( N( λt)) t je slože Poissoov proces, 5

53 Slučaja promeljiva Λ u gorjoj defiiciji se može iterpretirati kao slučaja promea u vremeu Procesi opštiji od složeog Poissoovog procesa, kao Coovi procesi, su dugo bili alati aktuara Složei Poissoovi procesi su susreću u svakoj stadardoj literaturi iz teorije rizika Homoge Poissoov proces sa itezitetom λ > je specijala slučaj složeog Poissoovog procesa za degeerisau slučaju promeljivu, tj za Poissoovu slučaju promeljivu za koju važi P[ Λ = λ] = Teorema 39 (Subekspoecijalost i složee Poissoove fukcije raspodela): Neka su F, G i λ povezai a osovu relacije (3) Tada su sledeće tvrdje ekvivalete: a) G S, b) F S, G( ) c) lim = λ F ( ) Dokaz: Deo b) a) c) sledi sličo kao u dokazu Teoreme 34, a osovu Leme 33, domiirae kovergecije i Leme 32 Deo a) b) : prvo pretpostavimo da < λ < l 2 Razmotrimo fukciju raspodele k λ k R( ) = F ( ), λ e k = k! Nako uvođeja Laplace-Stieltjesovih trasformacija, za sve s dobijamo λ f ( s) e r ( s) =, λ e λ λ f ( s) = l( ( e ) r ( s)), i pošto je e λ <, imamo λ k ( e ) k λ f ( s) = r ( s) k = k Iverzijom dobijamo da za sve važi λ k k λf( ) ( e ) R ( ) = (37) R( ) k = k R( ) Štaviše, e λ λ G( ) = ( e ) R( ), pa iz G S sledi R S Birajmo ε > tako da ( e λ )( + ε ) < Na osovu Leme 33 c) postoji K = K( ε ) < tako da R ( ) K( + ε ) važi za sve i sve Dakle, korišćejem domiirae R( ) kovergecije u (37) dobijamo λ F( ) e lim =, R ( ) λ λe pa iz Leme 32 sledi F S 52

54 Uzmimo sada λ > proizvoljo, sledi da za λ postoji ceo broj l = l( λ) > takav λ da < l 2 Defiišimo za sve fukciju l ( { }) l pa λ ( ) k = ( λ ) λ l k ( ) l H = e F ( ), k! h( s) = ep f ( s) = g ( s), s l l Ovo implicira da G = H S, iz čega a osovu Propozicije 37 sledi H S λ Iz prvog dela dokaza dobijamo F S (jer je < l 2 ) l Deo dokaza c) b) : Za sve, 2 ( ) ( ) ( ) k 2 λ λ λ k F = e G e F 2 λ k 2 k! Deljejem obeju straa sa F( ) dobijamo sledi F S k 2 F ( ) limsup 2, pa a osovu (38) F( ) Teorema 3 (Subekspoecijalost i složee fukcije raspodela): Neka je ( p ) mera verovatoće a N takva da za eko ε > važi = ( ) p + ε < Stavimo G( ) = pf ( ), = a) Ako F S, oda G S i G( ) lim = p (38) F( ) = b) Obruto, ako važi (38) i ako postoji l 2 takvo da je p l >, oda F S Dokaz: a) Primejuje se isti argumet kao i u dokazu Teoreme 34 b) Za fiksirao l, l k l F ( ) G( ) F ( ) F ( ) p p + p F( ) F( ) F( ) F( ) l k l k = Pošto iz (38) i Fatouove leme sledi p 32 i p l > dobijamo F S l l F ( ) lim sup pll, oda a osovu Leme F( ) Teorema 3 je uopšteje Teoreme 34 jer se bilo koja složea geometrijska raspodela G( ) = ( α) α F ( ), < α < (39) = 53

55 može zapisati kao složea Poissoova raspodela Zaista, korišćejem Laplace- g( s) = ( α) α f ( s), što je složeog Stieltjesovih trasformacija se dobija ( ) { } Poissoovog oblika g( s) = ep λ ( h ( s) ), gde je λ = l α, a l ( α f ( s) ) h( s) = U distributivom obliku to postaje λ λ λ G( ) = e H ( ), =! gde α H ( ) = F ( ) l( α) = Posledica 3 (Subekspoecijalost i složee geometrijske fukcije raspodela): Neka < α < i eka su F i G povezae relacijom iz (39) Tada su sledeća tvrđeja ekvivaleta: a) F S, b) G S, G( ) α c) lim = F ( ) α Sa matematičkog staovišta, rezultat Teoreme 34 se može zato popraviti Posledica 3 dovodi do sledećeg rezultata Teorema 32 (Cramer-Ludbergova teorema za velike izose šteta II): Posmatrajmo Cramer-Ludergov model uz uslov eto profita ρ > Tada su ekvivaleta sledeća tvrđeja: a) FI S, b) ψ ( u) S, ψ ( u) c) lim = u FI ( u ) ρ Stoga, procea (39) je moguća jedio pod pretpostavkom FI S U slučaju Cramer-Ludbergove teorije, S je, dakle, priroda klasa što se tiče procea propasti kad god je Cramer-Ludbergov uslov aruše U Odeljku 4 ćemo se vratiti a uslov FI S i povezati ga sa uslovima a F 32 Ukupa izos šteta u slučaju subekspoecijale raspodele U Odeljku 3 smo istakli začaj klase S za proceu verovatoća propasti za velike izose šteta Sa staovišta matematike je začajo da se u Cramer- Ludbergovom modelu ψ ( u) može izraziti kao složea geometrijska suma data 54

56 u () Iste metode kao metode korišćee u dokazu Teoreme 34 daju oceu raspodele ukupog izosa šteta za velike izose šteta Zaista, u Odeljku smo kostatovali da u Cramer-Ludbergovom modelu za sve t važi ( λt) λt Gt ( ) = P[ S( t) ] = e F ( ),, (32)! gde je S( t) = N ( t) = X k ukupa (agregati) izos šteta astalih do treutka t k = Proces astajaja šteta ( N( t)) t u (32) je homoge Poissoov proces sa itezitetom λ >, tako da ( λt) λt P[ N( t) = ] = e, (32)! Istim izračuavajem koje dovodi do (32) bi se, za uopšte proces astaka šteta (po pretpostavci ezavisa od procesa izosa šteta ( X ) ), dobila formula = k Gt ( ) = pt ( ) F ( ),, (322) gde pt ( ) = P[ N( t) = ], N defiiše meru verovatoće a N U slučaju subekspoecijale fukcije raspodele F, isti argumet koji je dat u dokazu Teoreme 34 dovodi as do sledećeg rezultata: Teorema 32 (Ukupa izos šteta u slučaju subekspoecijale raspodele): Posmatrajmo (322) sa F S, fiksirajmo t > i pretpostavimo da p ( ) ispujava za eko ε > Tada je Gt S i = k N ( + ε ) pt ( ) < (323) Gt ( ) E N( t) F( ), (324) Primedba 32: Uslov (33) je ekvivaleta čijeici da je fukcija geeratrisa verovatoća s pt ( ) < reala aalitička u okolii od s = = Primer 322 (Ukupa izos šteta u Cramer-Ludbergovom modelu): Neka je ( N( t)) t homoge Poissoov proces sa idividualim verovatoćama (32), tako da pt ( ) trivijalo zadovoljava (33) Tada za sve F S Gt ( ) λtf( ), Primer 323 (Ukupa izos šteta u slučaju egative biome raspodele): Negativi biomi proces je proces pristizaja zahteva za odšetu koji zadovoljava t 55

57 γ γ + β t pt ( ) =, N, β, γ > β + t β + t (325) Negativi biomi proces je, za razliku od homogeog Poissoovog procesa, glavi realističa model za raspodelu broja zahteva za odštetu primejiva u osiguraju Lako se može proveriti da t γ t( + ) γ t β E [ N( t) ] =, var [ N( t) ] = β β β Ozačivši sa q = β + t, t p =, korišćejem Stirligove formule β + t Γ ( + ) 2 π, e iz (325) izvodimo γ γ p q pt ( ), Γ( γ ) Time je uslov (33) zadovolje, pa za sve F S važi γ t Gt ( ) F( ), β Podsetimo se da u homogeom Poissoovom procesu E N( t) = λt = var N( t) [ ] [ ] Za egativi biomi proces, t var [ N( t) ] = + E[ N( t) ] > E [ N( t) ], t> β (326) Uslov (326) predstavlja prerasipaje (over-dispersio) procesa Prerasipaje se može pojaviti a više različitih ačia: a) prilikom posmatraja homogeog Poissoovog procesa ad itervalom čija dužia je slučaja, a e fiksiraa b) kada su podaci dobijei pomoću spljošteog Poissoovog procesa, ili c) u proučavaju poašaja i akloosti ka esrećim slučajevima gde postoji varijabilost između subjekata Najčešće se c) proalazi u aalizama podataka u osiguraju Osobie pomeute pod c) se mogu modelirati pomoću složeih Poissoovih procesa Njihova preciza defiicija data u produžetku je motivisaa sledećim primerom: Primer 324: Pretpostavimo da je Λ slučaja promeljiva sa Γ ( γ, β ) raspodelom i gustiom γ β γ β fλ ( ) = e, > Tada Γ ( γ ) ( t) t Γ ( + γ ) β t e fλ ( ) d =, =,,2!! Γ ( γ ) β + t β + t γ 56

58 Posledja formula je jedaka pt ( ) u (35) Tako smo izveli egativo-biome verovatoće uvodeći slučajost u Poissoov parametar λ i posmatrajući ga kao slučaju promeljivu u gama raspodeli To je upravo primer složeog Poissoovog procesa Grafik 325 predstavlja realizovae putaje procesa rizika U ( t) t sa liearim prihodom od premije i procesom ukupog izosa šteta S( t) N ( t ) = X i, gde je N( t) t i= egativa biomi proces Raspodela veličia šteta je ili ekspoecijala (gorji grafik), ili logormala (doji grafik) Grafik 325: Vreme t Vreme t Poređejem sa Grafikom 2, gorji deo grafika jaso pokazuje efekat prerasipaja Ako uporedimo doji deo Grafika 2 sa odgovarajućim Grafikom 35, primećujemo agomilavaje većeg broja majih izosa šteta U aredom odeljku ćemo pokazati da je uslov FI S takođe zadovolje za logormalu raspodelu F Kad god je F Paretova raspodela, odmah sledi da FI S U ovim oblicima (Paretova, logormala fukcija raspodele F), Teorema 34 ima iteresatu istoriju koju možemo proaći u delu Olofa Thoria U 57

59 ovom radu, ocea ψ ( u) k F( ) d, u za eku kostatu k je izvedea za u široku klasu raspodela pretpostavljajući određee uslove regularosti: yt F( y) = ( e ) V ( t) dt, y, gde je V eprekida, pozitiva za t > za koju važi V () =, i V ( t) dt Iteresata specijala slučaj je izvede birajući da V ( t) bude fukcija gustie za gama raspodelu sa parametrom oblika većim od, koja daje Paretov slučaj Teorema 32 se može formulisati u ajopštijem obliku za model obavljaja omogućavajući reale, ali e obavezo pozitive vredosti šteta Ispostavlja se da tako i u ovom slučaju, pod pretpostavkom da FI S, važi ocea ψ ( u) FI ( u) ρ U modelu obavljaja emamo potpue relacije ekvivalecije kao u Cramer- Ludbergovom modelu Neke metode aproksimacije za Gt ( ) su a primer: brza Fourierova trasformacija, Pajerova rekurzija, tzv aproksimacija sedlaste tačke Pored avedeih aalitičkih metoda, mogu se koristiti i statističke procee vredosti Gt ( ) 32 CRAMER-LUNDBERGOVA TEORIJA ZA VELIKE IZNOSE ŠTETA 32 Neke srode klase raspodela sa debelim repom: Da bismo postavili direkte uslove a F tako da važi Cramer-Ludbergova procea raspodele sa debelim repom u Teoremi 34, prvo ćemo proučiti eke srode klase fukcija raspodela sa debelim repom Klasa domiirao varirajućih raspodela se defiiše kao F 2 = F raspodela a (, ): lim sup < F ( ) 58

60 Već smo aišli a elemete sledećih familija: F ( y) = F raspodela a (, ): lim = za sve y>, F( ) = F raspodela a (, ): F R α za eko α, { } ε = F raspodela a (, ): f ( ε) = e df( ) = za sve ε > Iz defiicija sporo varirajućih fukcija sledi da F ako i samo ako F l R Važe sledeće relacije: a), b), c) i Grafik 32 Klase raspodela sa debelim repom: Situacija je sažeto prikazaa a Grafiku 32 Većia implikacija je jedostava i eke od jih su već dokazae ( u Posledici 32 i u Primedbi 33 posle dokaza Leme 33) U literaturi se često ailazi a grešku da ; sledeća fukcija raspodele daje kotraprimer: Primer 322 (Peter ad Paul raspodela): Posmatrajmo igru gde prvi igrač (Peter), baca fer ovčić sve dok prvi put e pade glava ovčića, i pritom od drugog igrača (Paula) dobija 2 k rubalja ako je glava pala u k-tom pokušaju Fukcija raspodele Peterovog dobitka je k F( ) = 2, k: 2 k Problem koji se javlja u ovoj igri je čuvei St Petersburški paradoks (Detaljo je k F(2 ) opisa u radu Fellera) Direkto sledi da za sve k N važi = 2, tako da k F(2 ) F, a samim tim F S druge strae, lako se pokazuje da F 59

61 Rezultat ije trivijala Što se tiče relacije između i, pretpstavimo da za važi 2 F ( ) F( y) df y = + ( ) F( ) F( ) Prema defiiciji, F implicira da za svako fikso y gorja poditegrala fukcija kovergira ka Na osovu Teoreme o uiformoj kovergeciju sporo varirajućih fukcija (Propozicija 23), ova kovergecija takođe važi uiformo a kompaktim itervalima za y Da bismo izvršili razmeu graičih procesa i itegrala, potreba am je eki uslov uiforme itegrabilosti (domiiraa kovergecija, mootoost po ) Geeralo, za F ovi uslovi e važe Prvo razmotrimo pripadaje klasi uopšteo Već smo utvrdili da i (Lema 33), što implicira da za sve ε > važi e ε F( ), Iz toga direkto sledi da ekspoecijala fukcija raspodele F( ) = e λ e pripada klasi Naravo, to se može jedostavo proveriti direkto, ili iskoristiti čijeicu da i odmah zaključiti da F 322 Osobie subekspoecijalih fukcija raspodele Klasu subekspoecijalih fukcija S smo uveli u Defiiciji 3, relacijom (34) Iako je subekspoecijalost u osovi uslov postavlje a fukciju raspodele eegativih slučajih promeljivih, potreba am je verzija slučaje promeljive sa realim vredostima Defiicija 322: Fukciju raspodele G sa osačem (, ) ćemo azvati subekspoecijalom fukcijom ad R ako postoji eegativa subekspoecijala fukcija raspodele F takva da F( ) G( ) kad U Lemi 32 smo dokazali da ako F S = 2 ili proveriti uslov, oda je dovoljo proveriti (34) za 2 F ( ) limsup 2 (327) F( ) Malo uopšteje za (327) je sadržao u sledećem rezultatu Lema 3222 (Zatvoreost klase S pod uslovima ekvivalecije repova raspodela): Neka su F i G fukcije raspodela defiisae ad (, ) Ako F S i G( ) lim = c (, ), tada i G S F( ) 6

62 Dokaz: Neka je v > fiksirao i eka > 2v, eka su X, Y ezavise slučaje promeljive sa fukcijom raspodele G Tada X + Y > = X v, X + Y > Y v, X + Y > { } { } { } { v < X v, X + Y > } { Y > v, X > v} gde su gorji događaji disjukti, pa stoga 2 v v G G y G y G v ( ) ( ) ( ) ( ) = 2 dg( y) + dg( y) + G( v) = G( ) G( ) G( ) G( ) (328) v = I (, v) + I (, v) + I (, v) 2 3 Prema Lemi 33 a), I (, v) 2 G( v) i I (, v) G( v) 3 kad Za ε > postoji = ( ε ) takvo da za sve važi G( ) c ε c + ε F( ) Zbog toga, za dovoljo veliko v, v y v, važi G( y) F( ) c + ε i F( y) G( ) c ε Sledi da v v c + ε F( y) c + ε F( v) F( v) G( t) I2(, v) dg( y) = G( v) G( v) + df( t) c ε F( ) c ε F( ) F( ) F( ) v v v c + ε F( v) G( v) G( ) F( t) G( v) F( v) + ( c + ε ) df( t) c ε F( ) G( ) F( ) F( ) v c + ε ( F( v) c G( v) ( c + ε ) ov () ),, gde o v() zači lim ov () =, što c ε v sledi iz F S Zbog toga, 2 G ( ) c + ε limsup 2 G( v) ( F( v) c G( v) ( c + ε ) ov () ) + G( v) 2, v, jer je G( ) c ε G S a osovu (327) Propozicija 3223: (Teorema o karakterizaciji klase S): Neka je F apsoluto eprekida fukcija raspodele sa gustiom f i hazardom stopom q( ) koja u beskoačosti opada prema uli Tada a) F S ako i samo ako yq( ) lim e f ( y) dy = b) Ako je fukcija ep { q( ) } itegrabila ad [ ) (329),, oda F S 6

63 Dokaz: Ozačimo sa Q( ) = q( y) dy = l F( ) asocirau hazardu fukciju Tada yq( ) Q( y) Q( y) e q( y) dy e q( y) dy F( ) 2 F ( ) = F( ) Pomoću ovih ejedakosti smo dokazali da je uslov (32) potreba za F S Da bismo dokazali dovolja uslov, pretpostavimo da važi uslov (329) Nako, a dva itegrala ad razdvajaja gorjeg itegrala ad itervalom [ ] poditervalima dobijamo, 2 i, 2 i ako uvođeja smee u drugom itegralu, 2 2 Q( ) Q( y) Q( y) Q( ) Q( y) Q( y) Q( ) Q( y) Q( y) e q( y) dy = e q( y) dy + e q( y) dy = = I ( ) + I ( ) 2 Na osovu istog argumeta o mootoosti sledi ( ) I F 2 Štaviše, za y i 2 y važi 2 Q( ) Q( y) yq( y) yq 2 Zbog toga a iz (32) sledi da 2 yq( ) Q( y) 2 F I( ) e q( y) dy 2, lim I ( ) = (33) Poditegrala fukcija u I ( ) tačkasto kovergira ka ( ) f ( y) = q( y) e Q y Tako možemo preformulisati (33) u "poditegrala fukcija u I ( ) kovergira u f- sredjem ka " Poditegrala fukcija u I ( ) 2 tačkasto kovergira ka, a svakako je ograičea poditegralom fukcijom od I ( ) Iz ove kostatacije i iz Prattove leme dobijamo da lim I2( ) = Sledi da 2 F ( ) lim =, tj F S, čime F( ) smo dokazali dovolja uslov za (329) i tvrdju a) b) Tvrdja sledi eposredo iz Lebesgueove teoreme o domiiraoj kovergeciji, jer je q( ) q( y) za sve y Tako, zasad zamo da fukcije raspodele sa repom asimptotskog poašaja stepee fukcije (tj F ) pripadaju klasi S druge strae, ekspoecijale 62

64 fukcije (i fukcije raspodele F čiji repovi rastu brže od ekspoecijalih) e pripadaju klasi Šta se može reći za klase koje se po obliku alaze "između", kao što je pr začaja klasa slučajih promeljivih sa raspodelama Weibullovog tipa kod kojih F( ) e τ za τ (,)? f Propozicija 3223, formulisaa u termiima gustie f od F, stope hazarda q = i F hazarde fukcije koristeći gorji zapis, Q( ) = q( y) dy odmah daje sledeći primer u Primetimo da, ( ) = e Q F( ) Primer 3224 (Primeri subekspoecijalih fukcija): a) Neka je F Weibullova raspodela sa parametrima τ (,), c >, tj eka c F( ) = e τ, c Tada je f ( ) c τ τ = τ e, Q( ) = c τ i q( ) cτ τ =, koja opada do ako je τ < Odmah možemo primeiti Propoziciju 3223 b), jer je q( ) c( τ ) e f ( ) e τ τ = cτ itegrabila a (, ) za τ (,) Zbog toga F S b) Koristeći Propoziciju 3223, može se takođe dokazati da ako (l ) β F( ) e,, β >, oda F S Ovaj primer pokazuje da raspodela može imati rep oblika veoma sličom ekspoecijalom, a da ipak pripada klasi S c) U ovoj fazi bismo se mogli adati da će za ( ) F( ) e τ L,, τ,, L R, F pripadati klasi S Još jedom, uopšte [ ) odgovor a ovo pitaje je odriča Mogu se kostruisati primeri za L R tako da odgovarajuća F čak i e pripada klasi Propozicija 3225 (Veza između domiirae varijacije i subekspoecijalosti): a) Ako F, oda F b) Ako F ima koačo očekivaje µ i ako F, oda FI Zbog toga iz a) sledi FI Dokaz: a) Iz (328), za sve važi 2 F F ( ) F( y) 2 F( y) = 2 df( y) + = 2 df( y) + o() F( ) F( ) F( ) F( ), gde () uslova F Sada za sve y važi 2 o sledi iz F( ) F( y) 2, tako da zbog F F( ) F( ) 63

65 možemo primeiti domiirau kovergeciju, koja za F daje kovergeciju itegrala ka Tako je F b) Zbog jedostavosti zapisa, i bez gubitka a opštosti, stavljamo µ = Pošto je za sve iz F sledi da Štaviše, odakle je F 2 F ( ) = F( y) dy F( y) dy F(2 ) I, (33) F( ) F( ) lim sup lim sup < F ( ) F(2 ) I F( y) dy F( y) dy I = = + + = + I I I F 2 F ( ) F ( ) 2 F( ) F ( ) F( y) dy F( y) dy FI 2 lim sup <, tj FI F ( ) I Fiksirajmo y >, tada za sve važi = + y F F F( u) du + F( u) du + y F ( ) I ( ),, pa iz (33) yf( ) FI ( + y) yf( ) FI ( + y) dobijamo + + Prvi sabirak u posledjem FI ( ) FI ( ) F(2 ) FI ( ) zbiru je o() kad, jer F Zato, FI ( + y) FI ( + y) lim if lim sup, tj FI F ( ) F ( ) I I 323 Poovi pregled slučaja raspodela sa debelim repom u Cramer-Ludbergovom modelu: Dosad smo videli da, sa aalitičkog staovišta, klase i daju prirode modele raspodela izosa šteta kod kojih je aruše Cramer-Ludbergov uslov (3) U ovom odeljku diskutujemo pripadost klasi S u odosu a date stadarde klase fukcija raspodele Držaćemo se Cramer-Ludbergovog modela da bismo ilustrovali kako fukcioiše ova metodologija Podsetimo se glavih rezultata odeljka 3 iz Cramer-Ludbergovog okružeja, tj iz Teoreme 34: Ako je F I, oda ψ ( u) FI ( u), u ρ 64

66 Ekspoecijale Cramer-Ludbergove procee (4) i (6), uz uslov malih izosa šteta (3), daju izeađujuće dobre procee za ψ ( u), e samo za male ego i sredje vredosti u Procea za velike izose šteta ψ ( u) FI ( u) je ρ uglavom teorijska i zaista se još može poboljšati Prvi problem u odosu a praktiču primeljivost se odosi a uslov FI Priroda pitaja koja se postavljaju u ovoj fazi su: ) Da li iz F sledi FI? i pitaje e toliko začajo za aša ispitivaja, 2) Da li iz FI sledi F? Ispostaviće se da je ažalost, geeralo, odgovor a oba pitaja odriča To as odmah dovodi do sledećeg zadatka: postaviti dovolje uslove a F tako da važi FI Posmatrajući posledji problem, postoje broji odgovori a tu temu koji se mogu aći u literaturi Prodiskutovaćemo eke od jih Moge klase fukcija raspodele avedee u prethodom odeljku će ovde igrati važu ulogu Sledeći rezultat je direkta posledica Propozicije 3225 Posledica 323 (Cramer-Ludbergova teorema za velike izose šteta, III): Posmatrajmo Cramer-Ludbergov model uz uslov eto profita ρ > i eka F Tada važi ψ ( u) FI ( u), u ρ Uslov F se može lako proveriti a svim bitim primerima; za razliku od etrivijalog zadatka proveravaja da li FI U Odeljku 24 je pokazao da za bilo koje F postoji k N tako da k df( ) =, tj da uvek postoje divergeti (viši) mometi Iz Karamatie teoreme (Teoreme 246 6) odmah sledi da iz F sledi FI i samim tim FI Takođe se mogu dati dovolji f ( ) uslovi za FI izražei u termiima hazarde stope q = za fukciju F( ) raspodele F sa gustiom f ili hazardom fukcijom Q = l F Lema 3232 (Dovolji uslovi za FI ): Ako važi jedo od sledećih tvrđeja: a) lim sup q( ) <, b) lim q( ) =, lim q( ) = i ako još važi jeda od uslova 65

67 ) q( ) lim sup <, Q( ) q R δ, δ,, 2) [ ) 3) Q R δ, δ (,) i q opada u beskoačosti, 4) q u beskoačosti opada ka, q R i Q( ) q( ) R, oda važi FI Primer 3233 (Primeri za FI ): Korišćejem Leme 3232 b) se lako vidi da raspodela: -Weibullova raspodela sa parametrom τ (,), - Bektaderova raspodela tipa I i II, - logormala raspodela FI važi u slučajevima sledećih Posledica 3234 (Cramer-Ludbergova teorema za velike izose šteta IV): Posmatrajmo Cramer-Ludbergov model uz uslov eto profita ρ > gde fukcija F zadovoljava jeda od uslova a) ili b) Teoreme 3222 Tada važi ψ ( u) FI ( u), u ρ Još am predstoji dati odgovore a pitaja ) i 2) Razmatrajući pitaje 2) Da li iz FI sledi F? i koristeći Propoziciju 3225 b), zaključujemo da modifikacija Peter i Paul raspodele daje primer fukcije raspodele F sa koačim očekivajem takvim da FI, ali F Rezimirajmo eke osobie klase S jede strae, pokazali smo da je to prava klasa fukcija raspodela koju treba proučavati u teoriji propasti pod uslovima velikih izosa šteta (videti Teoremu 32 gde c) implicira a)) S druge strae, moramo biti jako pažljivi pri izvođeju opštih iskaza o klasi i jeoj vezi s ostalim klasama fukcija raspodele Za aše treute potrebe, dovoljo je primetiti da za raspodelu F sa koačim očekivajem iz familije Paretovih, Weibullovih ( τ < ), logormalih, Bektaderovih tipa I i II, Burrovih ili gama-logaritamskih raspodela, važi F i FI Posmatrajući defiiciju za S, e postoji prvobita razlog za pretpostavku da 2 F ( ) lim = 2 Iteresata klasa raspodela se javlja kao rezultat kada F( ) dopustimo da ova graiča vredost bude bilo koja vredost veća od 2 66

68 Defiicija 3235: Fukcija raspodele F ad (, ) pripada klasi S( γ ), γ ako a) 2 F ( ) lim = 2d <, F( ) F( y) γ y b) lim = e, y R F( ) γ y Može se pokazati da d = e df( y) = f ( γ ), tako da S = S() Ispostavlja se da ove klase fukcija raspodele pokrivaju sve klase ilustrovae a Graficima 29 (2) i (3), koji se alaze između slučaja raspodela sa takim repom i slučaja raspodela sa debelim repom (subekspoecijali slučaj) Često se dešava sledeća situacija: eka u ekom probabilističkom modelu postoji eka ulaza slučaja promeljiva sa fukcijom raspodele F i izlaza slučaja promeljiva sa fukcijom raspodele G Neka su fukcije F i G u modelu povezae ekom relacijom fukcioale zavisosti, pr G = T ( F) U mogim slučajevima se može pokazati ekvivalecija sledećih tvrđeja: a) F je regularo varirajuća, b) G je regularo varirajuća Štaviše, ako važi a) ili b), oda je ispujeo i G( ) c) lim = c (, ) (332) F( ) Sada se postavlja ključo pitaje: Koliko se ajviše može proširiti klasa regularo varirajućih fukcija u (332) da bi ove implikacije još uvek važile? U ekoliko priličo uopšteih situacija odgovor a ovo pitaje je da osobiu regulare varijacije možemo zameiti subekspoecijalošću i u tom slučaju uslov c) postaje ekvivaleta uslovima a) i b) To su tzv Merceriove teoreme 67

69 4 KADA I KAKO PROCES DOLAZI DO PROPASTI 4 UVOD U ovom odeljku astavljamo aalizu procesa rizika u osiguraju koji smo uveli u Poglavlju Tamo smo, uglavom pomoću aalitičkih metoda, proučavali asimptotsko poašaje verovatoće propasti kada uložei početi kapital teži beskoačosti U ovom odeljku ćemo prvo dati pregled ovih rezultata sa probabilističkog aspekta Vratićemo se verovatoćama propasti defiisamim u Odeljku Opisujemo ψ ( u) pomoću raspodele krajjeg supremuma slučajog hoda Štaviše, okarakterisaćemo uzoračku putaju procesa rizika koji teži propasti Kokreto, iteresuje as pitaje: Kako izgleda uzoračka putaja procesa rizika kome se bliži propast? Odgovore a ovo pitaje ćemo aći u Odeljcima 42 i 43, i za slučaj raspodele sa takim, i za slučaj raspodele sa debelim repom Važa tema aše aalize su izosi šteta koje dovode do propasti Podsetimo se klasičog Cramer-Ludbergovog modela datog Defiicijom : a) Izosi šteta X, X 2,, X su pozitive iid slučaje promeljive sa zajedičkom e-mrežastom fukcijom raspodele F i koačim očekivajem E [ X ] = µ b) Šteta X k se dešava u treutku Tk = Y + + Yk, gde su Y, Y, Y 2 iid slučaje promeljive sa ekspoecijalom raspodelom sa parametrom λ > Odgovarajući brojevi zahteva za odštetu N( t) = sup{ k, Tk t} čie homoge Poissoov proces sa itezitetom λ > c) Procesi ( N( t) ) i ( ) t X k k su ezavisi N Tada je odgovarajući proces rizika defiisa sa U ( t) = u + ct S( t), t, gde je u početi ulože kapital, S( t) N ( t) = X ukupa izos štete do vremeskog = treutka t, a c > stopa prihoda od premije Takođe pretpostavljamo da važi uslov eto profita λµ c < U Poglavlju smo se uglavom kocetrisali a proceu verovatoće propasti u beskoačom vremeskom itervalu ψ ( u) = P if [, ) U ( t) < t Za aše potrebe je pogodo izraziti ψ ( u) u termiima Levyjevog procesa R, gde je R( t) = S( t) ct = u U ( t), t Zbog toga se proces R može smatrati vremeski eprekidom aalogijom procesu slučajog kretaja sa egativim drift parametrom Iz tog razloga očekujemo da će 68

70 razi rezultati Teorije slučajog hoda biti korisi u ovom kotekstu; pogledati takođe Poglavlje, jedakost (9) i s jom povezae relacije U ekim slučajevima traslacija se direkto primejuje u metodi diskretog skeleta čiji opis sledi Pošto c >, propast se može desiti samo u treucima pristizaja zahteva za odštetu T k kada proces R apravi skok agore (videti gorji deo Grafika 32) Na osovu uslova eto profita, diskreta vremeski proces R = ( X cy ) = Z, N k k k k = k = kostituiše proces slučajog hoda sa egativim drift parametrom sačije od iza iid slučajih promeljivih Z, Z 2 Štaviše, ( u) = P sup R( t) > u = P sup R > u (4) [ ] [ ] ψ t Neposreda posledica jakog zakoa velikih brojeva je da M = sup t R( t) = sup R s s (42) Slučaja hod se aziva diskretim skeletom sadržaim u eprekidom vremeskom Levyjevom procesu R Grafik 4 Uzoračka putaja procesa ( R( t)) t (gorji grafik) i putaja jegovog diskretog skeleta procesa slučajog hoda ( R ) (doji grafik) Tačke stepeika su ozačee sa i Oe se javljaju kod diskretog skeleta slučajog hoda ( R ) N i odgovaraju ideksima (tj izosima šteta) = 2, 4, 27,43 Visie stepeika se kod ( R ) N i ( R( t)) t poklapaju Oe takođe predstavljaju rekorde vredosti za ( R ) 69

71 Ovakva kostrukcija am omogućava upotrebu argumeata teorije obavljaja a skeletu i traslaciju rezultata a proces R Tako reprezetacija (4) predlaže korišćeje stadarde teorije za maksimum procesa slučajog hoda sa egativim drift parametrom Nadalje ćemo predstaviti eke od glavih ideja Podsetimo se iz jedačie () u Poglavlju da važi gde Ovde je, kao i raije, ψ ( u) = ( α) α FI ( u), u (43) u I ( ) µ ( ) F u = F y dy = λµ α = ψ () = (,) (44) c U tekstu koji sledi ćemo dati probablilstičku iterpretaciju za (43) tako što ćemo iskoristiti relaciju ψ ( u) P[ M u] Počijemo uvođejem još jedog diskretog skeleta za proces R Veličie koje se prirodo ameću su temea stepeika τ + () =, { t R t } { } τ + () = if > : ( ) >, τ ( k + ) = if t > τ ( k) : R( t) > R( τ ( k)), k N i visie stepeika R( τ + ( k)) (videti vrh Grafika 4) Ovde je, kao i običo, if = Visia R( τ + ( k)) stepeika se još aziva rekord eprekidog vremeskog procesa R, a τ + ( k) je odgovarajuće rekordo vreme Deo procesa između dva uzastopa temea stepeika je segmet stepeika Zbog osobie ezavisosti i stacioarosti priraštaja procesa R, ituitivo je jaso da se a svakoj tački stepeika ( τ + ( k), R( τ + ( k)) ) proces obavlja i segmeti stepeika čie iz iid stohastičkih procesa U detaljom dokazu ovih rezultata se koristi jako Markovsko svojstvo, ali ovde ećemo zalaziti u detalje Pre ego što se vratimo a formulu (43), prikupljamo eke korise čijeice o prvom segmetu stepeika Iz zapisa V = R( τ + ()) i Z = R( τ + () ) sledi da je A = V + Z veličia izosa štete koja dovodi do propasti za dat početi kapital u = Neka je ( u) P [ ] = P τ ( u) <, u, (45) τ ( u) = if t > : R( t) > u treutak propasti za dati izos početog kapitala gde je { } u 7

72 Propozicija 42 (Propast uz početi kapital u = ): Važe sledeća tvrđeja: () () a) P [ V ] = P Z = FI ( ), () µ b) [ ] P A = y df( y), c) Neka je U uiformo a (,), ezaviso od A Tada vektori ( V, Z ) i () ( UA, ( U ) A) imaju iste raspodele u odosu a P Primedba 42: Tvrđeje c) se može prevesti u () () v z P V > v, Z > z = P U y df( y) µ = y y v+ z = ( y z v) df( y) FI ( v z) µ = + za v, z, (46) v+ z gde smo a posledju jedakost primeili parcijalu itegraciju U slučaju raspodele sa debelim repom, za izos početog kapitala koji teži beskoačosti ćemo izvesti formulu sliču (46) Sada se vraćamo formuli (43) Iz (42) sledi da visie stepeika R( τ + ( k)) određuju raspodelu maksimuma M Preciza formulacija osobie obavljaja procesa R u jegovim tačkama stepeika implicira da su R( τ + ( k)) R( τ + ( k )) pozitive iid slučaje promeljive Prema Propoziciji 42a), raspodele ovih slučajih promeljivih imaju rep () P[ R( τ + ()) > ] = P[ τ () < ] P [ V > ] = α FI ( ), >, gde je α (,) defiisao u (44) Ovde smo koristili da, ako je τ () =, oda je R( t) za sve t > Temea stepeika čie proces obavljaja koji je privreme 4 To zači da ukupa broj obavljaja K ima geometrijsku raspodelu sa parametrom α, gde je α = ψ () = P[ τ + () < ] Koristeći iid osobiu priraštaja τ ( k) τ ( k ), dobijamo [ ] [ τ + ( ), τ + ( ) ] { } P K = = P < + = = + + ma k =,, τ + ( ) τ + ( ), τ + ( ) α ( α), = P k k < + = = K Pošto je M = ( R( τ ( k) R( τ ( k ) ) k = + +, oda K ψ ( u) = P[ M > u] = P[ M > u, K = ] = P ( R( τ + ( k) R( τ + ( k ) ) > u, K = = = k = k = ( I ) = ( α) α F ( u), u Iz toga dobijamo (43) 4 Slučaja promeljiva V ima defektivu fukciju raspodele, tj ( ) V <, pa se proces obavljaja okočava sa verovatoćom 7

73 U sledećim odeljcima ćemo dalje primejivati strukturu slučajog hoda procesa R Proučavaćemo uzoračku putaju procesa rizika kome predstoji propast Problem i jegovo rešeje će biti formulisai u termiima mera uslove ( u) verovatoće P, kako je defiisao u (45) Dajemo kratak pregled dostupog opisa uzoračke putaje i propasti u uslovima malih i velikih izosa šteta Ovi rezultati će takođe dati asimptotske izraze za verovatoću propasti u koačom vremeskom itervalu, tj ψ ( u, T ) = P sup [, ] R( t) u > = P[ τ ( u) T ], < t < t T 42 CRAMER-LUNDBERGOV SLUČAJ U ovom poglavlju pretpostavljamo da važe pretpostavke Cramer- Ludbergove teoreme 22 To kokreto zači da X ima fukciju geeratrisu momeata koja ima koaču vredost u ekoj okolii ule i da Ludbergov c ekspoet, tj rešeje jedačie e ν F( ) d = postoji Štaviše, pretpostavljamo λ da ν e F( ) d < Tada am Teorema 22 daje aproksimaciju ν u ψ ( u) Ce, u, (47) gde je C pozitiva kostata koja zavisi od parametara procesa rizika Razmotrimo fukciju geeratrisu momeata za Z = X cy : sz k( s) = E e za odgovarajuće vredosti argumeta s Ludbergov ekspoet ν je jedistveo pozitivo rešeje jedačie k( s ) = i prema uslovima eto profita, λµ c k () = < Primetimo da je k ( s) < u okolii origiala, da je k( s ) strogo λ koveksa i stoga je k ( ν ) > Ilustracija fukcije k je data a Grafiku 42: Grafik 42 Tipiča primer za k( s ) sa Ludbergovim ekspoetom ν : 72

74 Neka H Z ozačava fukciju raspodele za Z = X cy Odgovarajuća Esscher- y trasformisaa fukcija raspodele je data sa H ( ) = e ν dh ( y), R Pošto je E e ν Z =, oda je fukcija raspodele H ν dobro defiisaa, koačim očekivajem ν Z sa pozitivim ν dhν ( ) = e dh Z ( ) = k ( ν ) > (48) U skladu sa literaturom Fellera, slučaja hod sa priraštajima koji imaju raspodelu H ν azivamo asociraim Glava ideja za bavljeje uzoračkim putajama procesa R (sa egativim drift parametrom) pod uslovom τ ( u) < se sastoji u prelasku a asocirai slučaja hod (sa pozitivim drift parametrom) Sa ( Z k ) obeležavamo iid iz sa raspodelom H ν Primetimo da [,, ] ( u) P Z Z [,,, > ] P[ M > u] P Z Z M u = = = P[ M > u y y ] dh Z ( y ) dh Z ( y) = P[ M > u] = ψ ( u y y) dh Z ( y) dh Z ( y) ( u) ψ ( y y e ν + + ) dh Z ( y) dh Z ( y) = Hν ( ) Hν ( ) = P Z,, Z (49) U (49) smo koristili oceu propasti (47) kad u, kombiovao sa domiiraom kovergecijom To je opravdao postojajem gorjeg i dojeg ograičeja za ψ ( u), što se dokazuje pomoću (47) i (4) Ovo izračuavaje R i procesa R, pod uslovom da se pokazuje da je raspodela slučajog hoda ( ) propast javlja u koačom vremeskom itervalu, jako povezaa sa raspodelom asociraog slučajog hoda Ovaj ituitivi argumet će adalje biti potkreplje sledećim čijeicama: Neka je H empirijska fukcija raspodele uzorka Z,, Z, tj H ( ) = I{ Z }, k R (4) k = Primeom Gliveko-Catellijeve teoreme se dobija sup R H ( ) H Z ( ) s s Ovo se potpuo meja kada se dogodi propast i biva zamejeo treucima propasti τ ( u) Sledeći rezultat pokazuje da je raspodela priraštaja H Z slučajog 73

75 hoda ( R ), uslovljea događajem da se dešava propast, približo jedaka priraštaju H ν asociraog slučajog hoda Propozicija 422: Za u važi sledeća relacija ( u ) P R Hτ ( u) Hν (kovergecija u verovatoći) sup ( ) ( ) Primedba 422: Neka su A i A u slučaje promeljive Nadalje ćemo zapisivati Au P ( u ) A ako ( u) lim u u > =, > Au A P A A ε ε Aalogo, kovergecija iza slučajih vektora u verovatoći u (koja će biti korišćea u Teoremi 433) se defiiše kao ( u) E f ( A ) E f ( A) [ ] [ ] za svaku eprekidu, ograičeu fukcioelu f u ( u) P dok Sledeće veličie opisuju događaj propasti: ivo R( τ ( u) ) procesa R eposredo pre same propasti, ivo R( τ ( u)) u treutku propasti, višak procesa R u odosu a prag u R( τ ( u)) u u treutku propasti i veličia štete koja uzrokuje propast R( τ ( u)) R( τ ( u) ) Asimptotsko poašaje jihovih raspodela kad u je opisao u produžetku Teorema 423 (Propast u Cramer-Ludbergovom slučaju): Za u važe sledeće relacije: R( tτ ( u)) ( u ) a) sup [,] k ( ν ) t P, t τ ( u) u τ ( u) k ( ν ) ( u ) P b) N, gde je N slučaja promeljiva sa stadardom us( ν ) ormalom raspodelom, a s( ν ) veličia koja obuhvata Ludbergov ekspoet ν i određee momete za X c) Osobie R( τ ( u)) u, u R( τ ( u) ) i R( τ ( u)) R( τ ( u) ) zajedički kovergiraju u ( u) verovatoći P ka edegeerisaoj graičoj raspodeli Štaviše, τ ( u) i R( τ ( u)) u su asmiptotski ezavisi Primedba 423: Gorji rezultati a) i b) pokazuju da uzoračka putaja procesa R koja vodi ka propasti lokalo, u blizii dešavaje same propasti, ima lieara drift parametar sa agibom k ( ν ) > Primetimo da je to u suprotosti sa globalom slikom gde je drift egativa To se dešava zbog jake veze između izova ( Z k ) i ( Z k ) kod kojih je E Z k = k ( ν ) > ; videti (48) 74

76 Primedba 4232: Deo c) kokreto implicira da sve veličie kovergiraju ka koačim graičim vredostima To je u suprotosti sa poašajem izosa štete koji dovodi do propasti u slučaju raspodele sa debelim repom (videti Teoremu 433) Radi kompletosti, zaključićemo ovo poglavlje ekim rezultatima o verovatoći propasti u koačom vremeskom itervalu Podsetimo se da je verovatoća propasti u itervalu[,t ] data sa Aproksimacije za ( u, T ) teoreme ili primeom Propozicije 422 ψ ( u, T ) = P if U ( t) < t [, T ] (4) ψ se pr mogu izvesti pomoću cetrale graiče Posledica 424 (Propast u koačom vremeskom itervalu u Cramer- Ludbergovom slučaju): u T νu k ( ν ) lim sup [, ) e ψ ( u, T ) CΦ = (42) u T s( ν ) u Ovde je C kostata iz (47), Φ ozačava fukciju raspodele za stadardu ormalu raspodelu, a s( ν ) je determiistički faktor skaliraja koji obuhvata Ludbergov ekspoet i određee momete raspodele izosa šteta ( u) Dokaz: Prvo primetimo da prema defiiciji verovatoće P važi ( u) ψ ( u, T) P [ τ ( u) T ] = ψ ( u) Stoga, ν u ( u) νu C sup [, ) e ψ ( u, T ) CP [ τ ( u) T ] = sup [, ) e ψ ( u, T ) T T ν u e ψ ( u) u Kad u, desa straa teži uli, pošto je ψ ( u, T ) ψ ( u) i e ν ψ ( u) C a osovu (47) Pošto slaba kovergecija ka eprekidoj graici implicira uiformu kovergeciju fukcija raspodele, oda rezultat sledi iz Teoreme 423 b) Primedba 424: Graiča relacija (42) predlaže kao aproksimaciju verovatoće propasti u koačom vremeskom itervalu u T ν u k ( ν ) ψ ( u, T) Ce Φ (43) s( ν ) u 75

77 Ovu aproksimaciju treba koristiti sa oprezom Pošto stopa kovergecije ije određea, ostatak u ovoj graičoj relaciji može biti veći od izraza koji treba aproksimirati Možemo rezimirati situaciju u okolostima Cramer-Ludbergovog slučaja kao što sledi: Uzoračka putaja procesa R se pre same pojave propasti poaša kao da se raspodela priraštaja promeila iz H Z u H ν i glava dramatiča promea a uzoračkoj putaji je promea drift parametra koji uzrokuje propast Ituitivo, malo verovati događaji koji dovode do propasti se dešavaju kao posledica agomilavaja šteta koje lokalo uzrokuju da se slučaja hod poaša kao slučaja hod sa pozitivim driftom Raspodela priraštaja takvog slučajog hoda je data pomoću Esscherove trasformisae raspodele H ν 43 SLUČAJ VELIKIH IZNOSA ŠTETA Suproto Cramer-Ludbergovom slučaju u okolostima velikih izosa šteta, malo verovati događaji koji uzrokuju propast se dešavaju eočekivao Proces se razvija a svoj uobičaje ači sve do samog treutka propasti, a zatim se propast desi kao posledica jede jedie velike štete Podsetimo se defiicije subekspoecijale fukcije raspodele F ( F S ): P[ X + + X > ] P ma { X,, X } >, (44) za 2 ; videti (33) U Poglavlju su predstavljee moge ocee verovatoće propasti ψ ( u) za fukciju raspodele F sa debelim repom Kokreto, iz Teoreme 34 možemo zaključiti da iz FI S sledi α λ ψ ( u) FI ( u) = F( y) dy, u α c λµ (45) u Nadalje želimo da odgovorimo a sledeća pitaja: pod uslovom da se propast desi ako koačog itervala vremea, a) koliko je veliki izos štete koji dovodi do propasti? b) kakva je asimptotska raspodela vremea propasti? c) šta u stvari zači "proces se razvija a svoj uobičaje ači sve do samog treutka propasti" Prvi pokazatelj da se proces rizika razvija a uobičaje ači sve do samog treutka propasti je poašaje empirijske raspodele H priraštaja Z diskretog skeleta slučajog hoda R ; videti (4) 76

78 Propozicija 43: Pod uslovima Teoreme 433 je ispujeo ( u ) P sup R Hτ ( u) ( ) H Z ( ) Uporedimo ovaj rezultat sa Propozicijom 422 u Cramer-Ludbergovom slučaju; tamo je graica za H τ ( u) Esscher trasformisaa raspodela H ν ( u) Za preciza opis samog događaja propasti ćemo razmotriti raspodelu po meri P sledećih veličia: a) Z( u) = R( τ ( u) ), vredost procesa R pre samog treutka propasti, b) V ( u) = R( τ ( u)), vredost procesa R u samom treutku propasti, c) V ( u) u višak vredosti procesa R u odosu a prag u u treutku propasti Videti Grafik 432 radi ilustracije Grafik 432 Idealizovaa uzoračka putaja procesa koja dovodi do propasti: Opet možemo iskoristiti osobiu obovljivosti procesa R Negativa drift parametar procesa R osigurava da postoji samo koačo mogo tačaka stepeika sa verovatoćom K( u) = if k N, R( ( k) > u), if =, ozačavamo ideks stepeice koja Sa { } τ + uzrokuje propast Priraštaji V R( τ + ( )) R( τ + ( )) važi a osovu Propozicije 42 a) Tada P K( u) = = P K( u) =, τ ( u) < = () = su iid i [ ] [ ] [ ] [ τ ] = P[ ( ) < ] p ( u) = P + ( ) < P V + + V u, V + + V > u τ + ( ) < = τ + P V = FI ( ) 77

79 U daljem dokazu je iskorišćea veoma važa pretpostavka o subekspoecijalosti fukcije F I koja implicira da (44) važi za V u odosu a () P : p ( u) P ma { V,, V } u, ma { V,, V} > u τ + ( ) < () P V > u τ + ( ) τ + ( ) < = P [ V > u] = FI ( u), u Takođe primetimo da za α dato u relaciji (44) važi P[ τ + ( ) < ] = P ma k =,, ( τ + ( ) τ + ( ) < ) = P [ τ + () < ] = α (46) Kombiujući (45) i (46), zaključujemo da ( u) P[ K( u) =, τ ( u) < ] α FI ( u) P [ K( u) = ] = ( α) α, (47) ψ ( u) ψ ( u) tj broj segmeata stepeika do treutka propasti asimptotski ima geometrijsku raspodelu sa parametrom ( α) S( t) se može dekompoovati a K( u ) segmeata stepeika, Putaja ( ) t, τ ( u)) gde K( u) ima asimptotski geometrijsku raspodelu datu sa (47) Prvih K( u) segmeata su svi "tipiči", kao što je opisao u Propoziciji 42, a posledji segmet koji vodi proces ka propasti se poaša drugačije Propast je izazvaa pomoću jede jedie velike štete Zato se može očekivati da klasiča teorija ekstremih vredosti ulazi u igru kao opis događaja propasti Subekspoecijale raspodele su raspodele sa debelim repom u smislu da jihovi repovi opadaju prema uli mogo sporije od repova bilo koje ekspoecijale raspodele; videti Lemu 33 Njihovi repovi mogu biti regularo varirajući, ali su Weibullova i logormala raspodela takođe subekspoecijale Ovo implicira da subekspoecijale raspodele mogu pripadati maksimalom domeu atrakcije (u daljem tekstu MDA) Frechetove raspodele Φ a ili Gumbelove raspodele Λ Pravimo razliku između ove dve klase Podsetimo se, Frechetova raspodela je data sa,, Φ α ( ) = α ( α > ), e, > dok je Gumbelova raspodela data sa e Λ ( ) = e, R Neka je ( Z( u), V ( u) ) slučaja vektor koji ima istu raspodelu ( R( τ ( u) ), R( τ ( u)) ) ( u) P kao i vektor Sledeći rezultat predstavlja uzoračku putaju procesa pre treutka propasti i u samom treutku propasti 78

80 Teorema 433 (Propast u subekspoecijalom slučaju): Neka važi FI R za ξ (, ) ili FI MDA( Λ) S (ovo odgovara slučaju kad ξ = ) i eka je i ξ a( u) = u F( ) d Tada je F( u) R( tτ ( u)) sup [,] + c( α) t (48) t τ ( u) c( α) τ ( u) Z( u) V ( u) ( u ) P,, ( Z, Z, V ) u ξ ξ ξ a( u) a( u) a( u) Slučaje promeljive Zξ, Vξ obe imaju uopšteu Paretovu raspodelu sa P Vξ > v, Zξ > z = Gξ ( v + z), v, z, (49) gde je ξ G ( ) ( ), (, ), ξ = + ξ ξ (42) e, ξ = Primedba 433: Podsetimo se iz Primedbe ako Propozicije 422 da je ( u) kovergecija iza slučajih vektora A A, u u verovatoći P ( u) defiisaa sa E [ f ( A )] E[ f ( A) ] fukcioelu f u u za svaku ograičeu i eprekidu Primedba 4332: Uopštea Paretova raspodela se javlja kao graiča raspodela za ormalizova iz iid prekoračeja preko visokih pragova To je sličo Teoremi 433 gde višak V ( u) u preko praga u procesa R ima sličo asimptotsko poašaje Primedba 4333: Relacija (48) ituitivo podržava tvrdju da se proces razvija R( t) "tipičo" do treutka τ ( u), jer c( α) = λµ c < s s prema jakom t Z( u) ( u ) zakou velikih brojeva Takođe treba primetiti da P c( α) Ovo je τ ( u) takođe idikacija za "tipičo" poašaje procesa sve dok se propast e dogodi Primedba 4334: Gorju teoremu treba uporediti sa Teoremom 423 Primetimo, kokreto, da u Cramer-Ludbergovom slučaju viškovi V ( u) u slabo kovergiraju ka edegeerisaoj graici, dok u subekspoecijalom slučaju viškovi teže beskoačosti Primetimo da je ormalizujuća fukcija a( u ) fukcija 79

81 očekivaog viška (mea ecess fuctio) koja teži beskoačosti za subekspoecijalu fukciju F I Šteta koja uzrokuje propast počije a "tipičom" ivou, zatim brzo raste prema vrhu, prelazi prag visie u i prekoračuje taj prag za veliki izos viška Primedba 4335: Jedakost (49) treba uporediti sa (46) Iako posledji segmet stepeika ima potpuo drugačije probabilističke osobie od drugih segmeata, višak V ( u) u procesa R u treutku propasti i ivo Z( u ) procesa R eposredo pre ego što astupi propast pokazuju sliču probabilističku relaciju u tački u = i u graičom slučaju kad u Iz Teoreme 433 odmah izvodimo Z( u) + V ( u) u ( u ) P Zξ + Vξ za sve ξ [, ) a( u) To am daje iformaciju o izosu štete R( τ ( u)) R( τ ( u) ) = Z( u) + V ( u) koja uzrokuje propast Posledica 434 (Izos štete koja uzrokuje propast u slučaju subekspoecijale fukcije raspodele): a) Neka je FI R za ξ (, ) Tada važi ξ a( u) ξu i ( u) V ( u) + Z( u) u lim P, u > a( u) = + ξ b) Neka je F MDA( Λ) S Tada važi I a( u) = u F( ) d i F( u) ξ ( u) V ( u) + Z( u) u lim P ( ) e, u > = + a( u) Zaključujemo ovo poglavlje ekim rezultatima iz teorije propasti u koačom vremeskom itervalu, date sa (4) za iterval [,T ] ψ ( u, T ) Na osovu ( ) ( ) ( u = P τ u T τ u < = P ) [ τ ( u) T ] ψ ( u), sledeća posledica se može izvesti iz Teoreme 433 8

82 Posledica 435 (Propast u koačom vremeskom itervalu u subekspoecijalom slučaju): a) Neka je FI R za ξ (, ) Tada a( u) ξu i ξ ξ ψ ( u, ut ) lim = ( + c( α) T ) u ψ ( u) F( ) d u b) Neka je FI MDA( Λ) S Tada je a( u) = F( u) i ψ ( u, a( u) T) lim u ψ ( u) c( α ) T = e Situaciju u uslovima subekspoecijalosti možemo sažeti a sledeći ači: Uzoračka putaja procesa R se pre pojave propasti poaša sasvim ormalo, kao putaje kod kojih se propast ikada eće desiti Propast se tada dešava potpuo eočekivao, izazvaa je jedom jediom velikom štetom Šteta koja dovodi do propasti je toliko velika da, da bismo izveli koaču edegeerisau graicu viška procesa R u odosu a prag u, moramo je ormalizovati fukcijom koja teži beskoačosti 44 NEKA DALJA UOPŠTENJA Predstavljei rezultati dosad pružaju samo prvi, reprezetativa pregled procea propasti u slučaju raspodela sa debelim repom Skoro svi od ovih rezultata se mogu proširiti Na primer, jeda od mogućih modela je U ( ) ( ) ( ) B t = u + ct S t + B t, gde su u, c, S( t ) defiisae u Cramer-Ludbergovom modelu, a B je Wieerov proces (za svako fikso t, slučaja promeljiva B ima ormalu raspodelu sa 2 očekivajem i disperzijom σ t B ) ezavisa od procesa S Proces B se može posmatrati kao proces malih perturbacija oko procesa rizika U iz (4) Može se pokazati da važi procea sliča ooj u Cramer-Ludbergovom modelu za subekspoecijalu raspodelu izosa šteta Ovi rezultati se takođe mogu uopštiti a model obavljaja t Asimptotske procee verovatoće propasti se mejaju kada kompaija primi kamatu od svojih rezervi Za F R i za pozitivu kamatu stopu δ, verovatoća propasti zadovoljava ψ δ ( u) kδ F( u), u, tj rep je ekvivaleta samoj veličii fukcije raspodele izosa šteta 8

83 ZAKLJUČAK U ovom radu je detaljo obrađe model astaka ekstremo velikih šteta u osiguraju koje se veoma retko javljaju, ali kada se dogode, astupaju veoma aglo i dovode proces do propasti Gubici koji pritom astau dosežu ekstreme razmere i delimičo se adokađuju iz reosiguraja U matematičkom modelu procesa rizika korišćee su fukcije raspodela iz familije subekspoecijalih fukcija Njihovi repovi opadaju prema uli sporije od repova ekspoecijalih fukcija Najčešće se upotrebljavaju modeli sa Paretovom i Weibulovom fukcijom raspodele Na osovu Cramer-Ludbergove teoreme je ajpre izvršea procea verovatoće propasti procesa u beskoačom vremeskom itervalu za male izose zahteva za odštetu Zatim su uvedei pojmovi regulare varijacije i subekspoecijalosti fukcija raspodela, ako čega je izvršea asimptotska procea verovatoće propasti u slučaju velikih izosa zahteva za odštetu Cilj ovog rada je bio dokazivaje Ludbergove ejedakosti za ekstreme rizike Regularo varirajuće fukcije raspodele se, za potrebe itegracije, asimptotski poašaju poput stepeih fukcija Primea Karamatie teoreme je omogućila da se itegracija regularo varirajućih fukcija izvši poput itegracije stepeih fukcija, tj da se sporo varirajuće fukcije izdvoje izva itegrala U posledjem poglavlju je prikazaa uzoračka putaja procesa koji je dostigao propast Pre pojave propasti, uzoračka putaja se i po čemu ije razlikovala od putaja drugih procesa koji ikada eće dostići propast Zatim je propast astupila veoma izeado, aglo, kao rezultat jede ekstremo velike štete 82

84 LITERATURA: P Embrechts, C Klüppelberg, T Mikosch: Modellig etremal evets for Isurace ad Fiace, Berli: Spriger-Verlag, 28 S I Resick: Heavy-tail pheomea: Probabilistic ad Statistical Modelig, New York: Spriger, 27 Cibele N Behres, Hedibert F Lopes, Dai Gamerma: Bayesia Aalysis of Etremal evets with Threshold Estimatio, Statistical Modellig, Arold 24 Bejami Reard, Michel Lag, Phillipe Bois: Statistical aalysis of etreme evets i a o-statioary cotet via a Bayesia framework: case study with peak over Threshold data, Buhlma H: Tedecies of Developmet i Risk Theory, i Ceteial Celebratio of the Actuarial Professio i North America, Schaumburg, Illiois, 989 Feller W:A Itroductio to the Probability Theory ad Its Applicatios II Wiley, New York, 97 Resick S I : Advetures i Stochastic Processes, Birkhauser, Bosto, 992 Thori O : O the asymptotic behaviour o the rui probability for a ifiite period whe the epochs of claim form a reewal period, Scad Actuar 974 Asmusse S Kluppelberg: Large deviatio results for subepoetial tails, with applicatios to isurace risk, Stoch Proc Appl

85 SADRŽAJ: Predgovor Uvod 2 Ideks pojmova 3 Teorija rizika 5 Problem propasti 5 2 Cramer-Ludbergova procea 2 Regulara varijacija 2 2 Uvod u teoriju regulare varijacije 2 22 Regulara varijacija:defiicija i prve osobie Maksimali dome atrakcije Regulara varijacija Dalji rezultati Karamatia teorema Uiforma kovergecija Itegracija i Karamatia teorema Karamatia teorema o reprezetaciji Difereciraje Regulara varijacija Dalje osobie 35 3 Subekspoecijalost 43 3 Neki prelimiari rezultati 43 3 Cramer-Ludbergova teorija za subekspoecijale raspodele Ukupa izos šteta u slučaju subekspoecijale raspodele Cramer-Ludbergova teorija za velike izose šteta Neke srode klase raspodela sa debelim repom Osobie subekspoecijalih fukcija raspodele Poovi pregled slučaja raspodela sa debelim repom u Cramer- Ludbergovom modelu 64 4 Kada i kako proces dolazi do propasti 68 4 Uvod Cramer-Ludbergov slučaj Slučaj velikih izosa šteta Neka dalja uopšteja 8 Zaključak 82 Literatura 83 84

86 KRATKA BIOGRAFIJA Rođea sam godie Osovu školu sam završila u Ruskom Krsturu Sredju medicisku školu "Dr Ružica Rip" sam završila u Somboru Zatim sam se opredelila za studije matematike i završila smer matematike fiasija a Prirodomatematičkom fakultetu Uiverziteta u Novom Sadu Nako diplomiraja sam astavila master studije matematike fiasija Položila sam sve ispite predviđee plaom i programom Novi Sad, 229 Natalija Ramač 85