Teorija verovatnoće. Definicija: Skup svih mogućih ishoda nekog eksperimenta nazivamo skup elementarnih dogaďaja i označavamo sa.

Transcript

1 Teorija verovatoće 1 Teorija verovatoće Slučaji događaji Defiicija: Skup svih mogućih ishoda ekog eksperimeta azivamo skup elemetarih dogaďaja i ozačavamo sa Primer Odrediti skup elemetarih dogaďaja u sledećim eksperimetima: a) Bacaje ovčića, ={Pismo, Grb} b) Bacaje kockice, ={1,, 3, 4, 5, 6} c) Bacaje ovčića dva puta, ={PP, PG, GP, GG} Defiicija: Neka su A i B slučaji dogaďaji Slučaji dogaďaj A B je dogaďaj koji se realizuje kada se realizuje dogaďaj A ili se realizuje dogaďaj B A B {, A B} Slučaji dogaďaj A B je dogaďaj koji se realizuje kada se realizuje i dogaďaj A i dogaďaj B A B {, A B} Ako je A B, kažemo da su A i B disjukti dogaďaji Suprota dogaďaj dogaďaju A, u ozaci A je dogaďaj koji se realizuje kada se e realizuje dogaďaj A A {, A} Važe sledeće relacije: A A, A A, A\ B A B Primer Bacaje kockice, ako A ozačava dogaďaj da kockica pokazuje para broj a B dogaďaj da kockica pokazuje broj maji od 4, odrediti presek i uiju dogaďaja A i B Rešeje: A B {1,,3,4,6}, A B {}

2 Teorija verovatoće Pojam verovatoće - Laplasova (klasiča) defiicija verovatoće Pretpostavimo da je skup elemetarih dogaďaja koača, { 1,,, } i da svaki elemetari dogaďaj ima istu verovatoću realizacije Tada je 1 pi P( i ) Neka je A, tj A {,,, } Tada je P( A) i 1 i i k p is, odoso P( A) Primer Kod bacaja kockice: = 6, verovatoća svakog elemetarog dogaďaja je 1/6 Ako dogaďaj A predstavlja kockica pokazuje para broj, oda je P(A) = 3/6 = 1/ - Statistička defiicija verovatoće Ako je broj poavljaja eksperimeta a m broj uspeših realizacija dogaďaja A, tada relativa frekvecija m / predstavlja statističku verovatoću dogaďaja A, tj m P( A) Primer Kockica se baca 100 puta Rezultat eksperimeata prikaza je u tabeli: x i f i Ako dogaďaj A predstavlja kockica pokazuje para broj, oda je P ( A) Pored ovih defiicija verovatoće, u literaturi se avode Aksiomatska defiicija verovatoće i geometrijska verovatoća Osove osobie: 1 0 P ( A) 1; P ( ) 1; 3 Verovatoća uije dogaďaja A i B P( A P( A) P( P( A k k s1

3 Teorija verovatoće 3 Nezavisi događaji Defiicija: DogaĎaji A i B su ezavisi ako važi P( A P( A) P( Primer Kockica se baca dva puta Koliko izosi verovatoća da prvi put pokazuje broj 5 a drugi put broj? (Da li se logika meja ako prvi put pokazuje broj 5 a drugi put broj 5?) Rešeje: Prvo Drugo bacaje bacaje /36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 3 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 4 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 5 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 6 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 P(A) = 1/6, P( = 1/6, P(A = 1/36 Uslova verovatoća P( A P ( A, P( 0 P( Pricip proizvoda za uslove verovatoće: P( A P( P( A ili P( A P( A) P( B A) Primer: U kutiji ima r crveih lopti i b plavih a) Koliko izosi verovatoća da pri izboru dve lopte bez vraćaja, prva izabraa lopta bude crvea a druga plava b) Koliko izosi verovatoća da pri izboru dve lopte bez vraćaja, prva izabraa lopta bude plava a druga crvea Rešeje: r b b r a) p ; b) p b r b r 1 b r b r 1 Formula totale verovatoće Defiicija: Skup dogaďaja H 1, H,, H čie potpu sistem dogaďaja ako je ispujeo sledeće: 1) H1 H H ) H H za i j, i, j 1,,, i j

4 Teorija verovatoće 4 Neka je A ov dogaďaj Tada važi formula totale verovatoće: P( A) i1 P( H ) P( A i H i ) Bajesova formula Iz relacije P( A) P( B A) P( A P( P( A se lako izvodi Bajesova formula: P( B A) P( A) P ( A P( U ekoomiji se Bajesova formula često koristi za ažuriraje verovatoće ovim iformacijama Primer Pretpostavimo da cea akcija raste u 900 daa i pada u 1100 Sa kojom verovatoćom cea akcija pada? (P(A) = 0,55 a priori verovatoća) Pretpostavimo da raspolažemo sa dodatim iformacijama o kretaju kamate stope: Cea Kamata stopa akcija Pada Raste Pada Raste Sa kojom verovatoćom cea akcija pada ako imamo iformaciju da kamata stopa raste? Rešeje: Ozačimo: B kamata stopa raste, B kamata stopa pada, A cea akcija pada Treba izračuati P(A =? P( = 0,5; P( B A) = 0,81818 P(A = 0,9 a posteriori verovatoća

5 Teorija verovatoće 5 Primer Jeda kosultatska firma formirala je model za predviďaje recesije Model predviďa recesiju sa 80% uspešosti kada recesija zaista astupa a predviďa da recesija e astupa sa verovatoćom 90% kada recesija e astupa Verovatoća astupaja recesije je 5% Ako je model predvideo astupaje recesije, koliko izosi verovatoća da će recesija zaista astupiti? Rešeje: Ozačimo: B model je predvideo astupaje recesije, B model ije predvideo astupaje recesije, A recesija astupa, A recesija e astupa P(A) = 0,5; P( A ) = 0,75; P(B A) = 0,8; P( B A ) = 0,9 P( B A ) = 0,1 Pošto A i A čie potpu sistem dogaďaja, primeom formule totale verovatoće izračuava se P( = 0,75 Koačo, P(A = 0,777 Permutacije i kombiacije Permutacija k elemeata iz skupa elemeata predstavlja ureďeu sekvecu k elemeata! Broj permutacija račua se prema obrascu P k ( 1) ( k 1) ( k)! Pri tome je! ( 1) 1 i 0! 1 Primer Čovek svakog daa čita ovie A, B, C, D Na koliko ačia se može odrediti redosled čitaja a) sve 4 ovie, b) 3 ovie, c) ovie, d) 1 ovie? Rešeje: a) P 4; b) P 4; c) P 1; d) P Kombiacija podrazumeva formiraje podskupa od k elemeata iz skupa od elemeata (0 k ), pri čemu redosled izabraih elemeata ije bita Broj kombiacija odreďuje! ( 1) ( k 1) se prema obrascu C k k k!( k)! k ( k 1) 1 Primer U prethodom primeru a koliko ačia se može izabrati ovia koje će biti pročitae (redosled ije bita), ako je a) = 4, b) = 3, c) =,

6 Teorija verovatoće 6 d) = 1, e) = 0? Rešeje: a) C4 1; b) C4 4; c) C4 6; d) C4 4; d) C Bioma verovatoća Berulijeva šema Pretpostavimo da se eksperimet A poavlja puta ( N ) i da se rezultat eksperimeta beleži samo kao uspeh i euspeh Neka se eksperimet realizuje sa verovatoćom p = p(a) Primer Navesti Berulijevu šemu za = 4 Ako odreďea sekveca u Berulijevoj šemi ima k uspeših i - k euspeših realizacija, oda je verovatoća da se realizuje upravo takva sekveca proveriti da takvih sekveci ima k p k k ( 1 p) Lako se može

7 Teorija verovatoće 7 Bioma verovatoća pokazuje verovatoću uspeše realizacije k eksperimeata pri poavljaja eksperimeta, izračuava se po formuli: k k p( ; k) p (1 p) k Puasoova verovatoća Puasoova verovatoća astaje kao graiči slučaj biome za veliki broj eksperimeata i malu verovatoću realizacije eksperimeta p U praktičim situacijama Puasoova verovatoća koristi se kada je 0 i p 0,05 Puasoova verovatoća izračuava se po sledećoj formuli: p m k! k m ( ; k) e, gde je m = p Specijalo, posledja Puasoova verovatoća odreďuje se preko izraza: 1 k0 p ( ; ) 1 p( ; k) Puasoove verovatoće mogu se jedostavije izračuavati primeom rekurete formule m p ( ; k) p( ; k 1), za k > 1, k pri čemu je p(; k - 1) prethodo izračuata Puasoova verovatoća

8 Slučaje promeljive 8 Slučaje promeljive Defiicija: Slučaja promeljiva je preslikavaje koje svakom elemetarom dogaďaju pridružuje reala broj, tj : R Primer Bacaje ovčića, elemetarom dogaďaju pridružuje se broj palih grbova Primer Novčić se baca 3 puta, elemetarom dogaďaju pridružuje se broj palih grbova Primer Kockica se baca puta, elemetarom dogaďaju pridružuje se zbir palih brojeva Primer Tača težia studeta izabraog a slučaja ači Primer Tačo vreme provedeo a pauzi Primer Tača broj sekudi potrebih da se popui aketa Slučaje promeljive se dele a prekide (diskrete) i eprekide (kotiuale) prema vredostima koje mogu da se dodele elemetarim dogaďajima Slučaja promeljiva koja može da uzme koačo ili prebrojivo mogo vredosti aziva se prekida slučaja promeljiva Slučaja promeljiva koja može da uzme bilo koju vredost iz ekog itervala aziva se eprekida slučaja promeljiva Prekide slučaje promeljive Ozačimo sa R { x 1, x,} skup mogućih vredosti slučaje promeljive Ako je skup R koača, kažemo da je prosta diskreta slučaja promeljiva a ako je R beskoača (ima prebrojivo mogo elemeata), tada je diskreta slučaja promeljiva

9 Slučaje promeljive 9 Neka je P( x k ) pk, xk R Tada zapisujemo zako raspodele slučaje promeljive a sledeći ači: x1 x p1 p Pri tom važi P ( R ) 1 i 0 p 1 k Primer Koje od prethodo avedeih slučajih promeljivih su prekide? Primer Novčić se baca 3 puta, elemetarom dogaďaju pridružuje se broj palih grbova Kako glasi zako raspodele slučaje promeljive? Rešeje: Trasformacije slučajih promeljivih Neka je slučaja promeljiva i Y = f () Kako izgleda raspored verovatoća slučaje promeljive Y? Primer : Za liearu fukciju Y 1 = + 1 Y 1 : Za liearu fukciju Y = Y : Za liearu fukciju Y 3 = + 1 Y 3 : Za kvadratu fukciju Y 4 = Y 4 : Matematičko očekivaje i varijasa prekide slučaje promeljive Defiicija: Matematičko očekivaje prekide slučaje promeljive defiiše se sledeći izrazom: E( ) Često se aziva i proseča vredost slučaje promeljive Pokazuje vredost koja se u proseku može očekivati ako velikog broja eksperimeata i1 x i p i

10 Slučaje promeljive 10 Osobie matematičkog očekivaja: 1 E( C) C, E( ) E( ), 3 Za svake dve slučaje promeljive,y važi E( Y) E( ) E( Y) 4 Ako su i Y ezavise slučaje promeljive, tada je E( Y) E( ) E( Y) Posledica: Za svake dve slučaje promeljive i Y i, R važi: E( Y) E( ) E( Y) Primer: Posmatrajmo : i Y : Očekivae vredosti su iste, da li je rasipaje oko očekivae vredosti podjedako? Defiicija:Varijasa slučaje promeljive predstavlja očekivao kvadrato odstupaje oko proseče vredosti slučaje promeljive Var ( ) E[( E( )) ] E( ) ( E( )) Osobie varijase slučaje promeljive: 1 Var ( C) 0, Var ( ) Var ( ), 3 Ako su i Y ezavise slučaje promeljive, tada je Var ( Y) Var ( ) Var ( Y) Posledica: Ako su i Y ezavise slučaje promeljive, tada je Var ( Y) Var ( ) Var ( Y) Primer Odrediti matematičko očekivaje i varijasu slučajih promeljivih, Y 1, Y, Y 3, Y 4 Rešeje: E() = 0; Var() = /3; E(Y 1 ) = 1; Var(Y 1 ) = /3; E(Y ) = 0; Var(Y ) = 8/3; E(Y 3 ) = 1; Var(Y 1 ) = 8/3; E(Y 4 ) = 5/3; Var(Y 4 ) = /9; Diskreta uiforma slučaja promeljiva Slučaja promeljiva uzima sa podjedakom verovatoćom bilo koji od brojeva {1,,,k} x1 x xk k k k

11 Slučaje promeljive 11 Osobie: x ( ) max x E mi ( xmax xmi 1) 1 i Var ( ) 1 Primer: Bacaje kockice Slika 1 Raspored verovatoća diskrete uiforme slučaje promeljive za = 6 Berulijeva slučaja promeljiva Posmatrajmo eksperimet sa tačo dva ishoda uspeh ili euspeh Na primer, baca se kockica i eksperimet A defiišemo uspešim ako je rezultat tog bacaja broj 5 Ako sa p ozačimo verovatoću sa kojom se realizuje eksperimet A, tada se Berulijeva slučaja promeljiva defiiše a sledeći ači: p p Osobie: E( ) p i Var ( ) p(1 p) Bioma slučaja promeljiva Defiicija: Neka je data Berulijeva šema za dogaďaj A, N i p = p(a) Bioma slučaja promeljiva defiiše se kao preslikavaje koje svakom elemetarom dogaďaju iz Berulijeve šeme opredeljuje broj realizacija dogaďaja A 0 1 k p q p q p k q k p q k Osobie: E( ) p i Var ( ) p(1 p)

12 Slučaje promeljive 1 Slika Raspored verovatoća biome slučaje promeljive za = 5 i p = 0,5 Slika 3 Raspored verovatoća biome slučaje promeljive za = 5 i p = 0,5 Puasoova slučaja promeljiva Graiči slučaj biome za veliki broj eksperimeata i malu verovatoću realizacije k m k P( k) e k!, gde je m = p Osobie: E( ) m i Var ( ) m

13 Slučaje promeljive 13 Neprekide slučaje promeljive Prekide slučaje promeljive omogućuju odgovor a pitaje koliko izosi verovatoća da slučaja promeljiva uzme tačo odreďeu vredost P( = k) =? Kod promeljivih eprekidog tipa ta verovatoća uvek izosi 0 Umesto ovakvog pitaja postavlja se koliko izosi verovatoća da slučaja promeljiva leži u ekom itervalu od a do b P(a < < b) =? Kako bi se omogućio odgovor a ovo pitaje, uvodi se pojam fukcije gustie f Ključe osobie fukcije gustie su: 1 Fukcije gustie je eegativa, f(x) 0 za x D Ukupa površia ispod krive gustie verovatoće izosi 1, f ( x) dx 1 3 P ( a b) f ( x) dx b a Matematičko očekivaje i varijasa eprekide slučaje promeljive Defiicija: Matematičko očekivaje eprekide slučaje promeljive defiiše se kao t E( ) f ( t) dt Osobie matematičkog očekivaja: 1 E( C) C, E( ) E( ), 3 Za svake dve slučaje promeljive,y važi E( Y) E( ) E( Y) 4 Ako su i Y ezavise slučaje promeljive, tada je E( Y) E( ) E( Y) Posledica: Za svake dve slučaje promeljive i Y i, R važi: E( Y) E( ) E( Y) Defiicija:Varijasa slučaje promeljive predstavlja očekivao kvadrato odstupaje oko proseče vredosti slučaje promeljive Var ( ) E( E( )) E( ) ( E( )) Osobie varijase slučaje promeljive: 1 Var ( C) 0, Var ( ) Var ( ), 3 Ako su i Y ezavise slučaje promaljive, tada je Var ( Y) Var ( ) Var ( Y) D

14 Slučaje promeljive 14 Posledica: Ako su i Y ezavise slučaje promeljive, tada je Var ( Y) Var ( ) Var ( Y) Uiformi raspored : U( a, b), a b, f 1, ( x) b a 0, x [ a, b] x [ a, b] Primer Vreme posluživaja u restorau brze hrae traje od 1 do 3 miuta Primer Vreme posluživaja u restorau brze hrae traje od 1 do 1,5 miuta Slika 4 Uiformi raspored verovatoća za različite vredosti parametara Primer Ustaovlje je kvar a vodovodoj cevi u raspou od 50 metara Koliko metara cevi radici treba da ispituju pre ego što ustaove kvar? Osobie: a b E( ), ( b a) Var ( ) 1

15 Slučaje promeljive 15 Slučaja promeljiva sa ormalim rasporedom Normala raspored defiisa je parametrima : N (, ), R, 0 x 1 1 f ( x) e, x R, Slika 5 Normala raspored verovatoća za različite vredosti parametara Primer Visia, težia ljudi, masa proizvoda, vreme potrebo za rešavaje testa, i sl Z :N (0,1) - stadardizovaa slučaja promeljiva x 1 f ( x) e, x R

16 Slučaje promeljive 16 Slika 6 Stadardizova ormala raspored verovatoća Razlozi za korišćeje ormalog rasporeda su broji: 1 Veliki broj pojava ima približo ormala raspored, Normala raspored može biti dobra aproksimacija razih prekidih rasporeda verovatoća, 3 Normala raspored je polaza osova za defiisaje drugih eprekidih rasporeda, 4 Normala raspored je osova za parametarsko statističko zaključivaje, 5 Veliki broj statatističkih problema se rešava ili se može rešavati samo uz pretpostavku da populacija kojoj pripada uzorak ima ormala raspored Osobie: 1 Fukcija gustie ima oblik simetričog zvoa Raspored je simetriča u odosu a x = µ, 3 α 3 = 0, α 4 = 3 4 E() = µ, Var ( ) hi-kvadrat raspored Neka je dato ezavisih slučajih promeljivih Z 1, Z,, Z r koje imaju istu raspodelu Z i : N (0,1), i 1,, Hi kvadrat raspored defiiše se kao: Osobie: E( ) = r, Var ( r ) r r Z r 1 Z Zr

17 Slučaje promeljive 17 Slika 7 r raspored verovatoća za različite vredosti parametara Studetov t raspored Neka su Z :N (0,1 ) i r ezavise slučaje promeljive Studetova raspodela sa r stepei slobode se defiiše a sledeći ači: Z t Osobie: 1 Fukcija gustie je simetriča, Raspored je simetriča u odosu a t = 0, 3 α 3 = 0, r 4 E(t r ) = 0, Var ( t r ) r r r r

18 Slučaje promeljive 18 Slika 8 Studetov raspored verovatoća za različite vredosti parametara Sedekorov F raspored Neka su m i ezavise slučaje promeljive sa m i stepei slobode respektivo Sedekorov F raspored se defiiše a sledeći ači: E ( Fm,, ) Var m m Fm, ( m ) ) m( ) ( 4) ( Fm,

19 Slučaje promeljive 19 Pregled osovih osobia teorijskih rasporeda Teorijski raspored Matematičko očekivaje Varijasa Berulijev p pq Prekidi Biomi p pq Puasoov m m Uiformi b a ( b a) 1 Normala µ Neprekidi Hi - kvadrat r r Studetov 0 Sedekorov r r ( m ) m( ) ( 4)

20 Slučaje promeljive 0 Slučaja promeljiva Neka su 1,,,, ezavise slučaje promeljive defiisae ad istim prostorom verovatoće, sa istom očekivaom vredošću µ i varijasom σ Slučaja promeljiva defiiše se a sledeći ači: Osobie slučaje promeljive : 1 E ( ) 3 Var ( ) i 1 Primer: Godie starosti kod 5 osoba su 18, 0,, 4, 6 a) Odrediti zako raspodele ove populacije, proseču vredost i stadardu devijaciju b) Formirati sve uzorke veličie sa poavljajem i odrediti aritmetičke sredie uzoraka c) Odrediti proseču vredost i stadardu devijaciju rasporeda aritmetičkih sredia uzoraka Rešeje: a) E ( ), 0, 0, 0, 0, 0, b) Uzorci za = : x i

21 Slučaje promeljive c) ,04 0,08 0,1 E ( ), 1 0,16 0,0 3 0,16 4 0,1 5 0,08 6 0,04 Na arede dve slike dat je uporedi prikaz origialih podataka i distribucije uzoračkih sredia za uzorke sa dva i tri elemeta Slika 9 Raspored frekvecija aritmetičkih sredia uzoraka

22 Slučaje promeljive Slika 10 Raspored relativih frekvecija aritmetičkih sredia uzoraka Slučaja promeljiva pˆ Broj realizacija dogaďaja A, u ezavisih eksperimeata ima Biomi raspored sa parametrima i p = p(a) Ozačimo sa broj uspeših realizacija eksperimeta Slučaja promeljiva pˆ defiiše se kao proporcija uspeših realizacija dogaďaja A u uzorku od poavljaja eksperimeta pˆ Osobie slučaje promeljive pˆ : 1 E( pˆ) p p(1 p) Var ( pˆ) 3 p(1 p) pˆ

23 Slučaje promeljive 3 Cetrala graiča teorema Neka su 1,,,, slučaje promeljive, sa istom očekivaom vredošću µ i varijasom σ Ozačimo sa slučaje promeljive Z i i1 i 1 Kada, distribucija i i1 teži ka slučajoj promeljivoj sa stadardizovaim ormalim rasporedom Posledice: Bez obzira a zajedički raspored ezavisih slučajih promeljivih, za dovoljo veliko jihova suma ili prosek ima približo ormala raspored Polazi raspored e mora čak i da bude simetriča Polazi raspored može da bude i prekida (Biomi i Puasoov raspored)