1. Slučajni dogad aji

Transcript

1 VEROVATNOĆA Teorija verovatoće je matematička disciplia koja se bavi izučavajem slučajih pojava, tj. takvih empirijskih feomea čiji ishodi isu uvek strogo defiisai. Osovi model u teoriji verovatoće je eksperimet opit pomoću koga se u prirodi i društvu vrši proučavaje veze izmed u uzroka i posledice. Na ishod eksperimeta običo utiče više uslova. Ako se eksperimet poavlja mogo puta pod istim kompleksom uslova, pojavljuje se odred ea zakoomerost u skupu ishoda. Teorija verovatoće se bavi tim zakoitostima uvod ejem odred ee kvatitative mere u obliku realog eegativog broja verovatoće, kojim se procejuje mogućost, odoso emogućost astupaja ishoda. Početak razvoja teorije verovatoće se vezuje za XVII vek i za imea fracuskih matematičara Pascala 1 i Fermata 2. Oi su proučavali problem veza za jedu kockarsku igru, i ova jihova studija iz godie običo se smatra početkom teorijskog razvoja verovatoće videti primer 2.2. Oa je dugo bila usko povezaa sa problemima hazardih igara i praktičih problema a bazi empirijsko-ituitivih motivacija. Tek posle godie, kada je N. A. Kolmogorov 3 objavio rad u kojem je izložio osove postavke aksiomatske zasovaosti teorije verovatoće, teorija verovatoće razvija se kao modera matematička disciplia koja se e oslaja samo a empirijske i ituitive motive, već a jedu formalologičku teoriju povezau sa drugim matematičkim pojmovima. Daas je teško aći eku auču discipliu ili čovekovu delatost koja se može kokreto izučavati bez primee teorije verovatoće i matematičke statistike, koja je zasovaa a teoriji verovatoće. 1. Slučaji dogad aji Osovi polazi pojam u teoriji verovatoće je epraza skup Ω koji predstavlja skup svih mogućih ishoda ω jedog eksperimeta. Običo se Ω zove prostor elemetarih dogad aja. Skup Ω može biti koača, prebrojiv ili eprebrojiv. Slučaji dogad aj ili prosto dogad aj defiiše se kao eki podskup od Ω. Dogad aj A Ω se realizuje ako i samo ako se realizuje eki ishod ω koji pripada podskupu A. Skup svih dogad aja koji odgovaraju jedom eksperimetu azivamo poljem dogad aja i ozačavamo sa F. Polje dogad aja uvek sadrži Ω F izvesta ili sigura dogad aj i F emoguć dogad aj. U astavku, dogad aje ćemo ozačavati velikim slovima latiice A, B, C,... i smatraćemo da oi pripadaju polju dogad aja F. Ako realizacija dogad aja A povlači realizaciju dogad aja B kažemo da dogad aj A implicira dogad aj B, što sa staovišta teorije skupova zači A B. Primetimo da A B i B C povlači A C. Takod e, za svaki dogad aj A važi A i A Ω. Ako je A B i B A kažemo da su dogad aji ekvivaleti i pišemo A = B. Proizvod dva dogad aja A i B, u ozaci AB, je dogad aj koji se realizuje ako i samo ako se realizuju oba dogad aja A i B. Dakle, proizvod dogad aja je presek skupova A i B, tj. AB = A B. Ako su A i B disjuki skupovi, tj. A B =, za dogad aje A i B kažemo da su esaglasi ili da se isključuju. 1 Blaise Pascal , fracuski matematičar, čita se Paskal. 2 Pierre de Fermat , fracuski matematičar, čita se Ferma. 3 N. A. Kolmogorov , ruski matematičar. 1

2 2 raču verovatoće Zbir dva dogad aja A i B, u ozaci A B, predstavlja dogad aj koji se realizuje ako se realizuje bar jeda od dogad aja A i B. Ako su A i B esaglasi dogad aji, umesto A B pišemo A + B. Razlikom dogad aja A i B, u ozaci A B ili A \ B, aziva se dogad aj koji odgovara razlici skupova A i B; ovaj dogad aj se realizuje samo ako se realizuje A, a e realizuje B. Za dogad aj A postoji suprota komplemetara dogad aj Ā koji se realizuje ako se dogad aj A e realizuje, tj. Ā = Ω \ A. Koristeći elemete teorije skupova, imamo: A B = {ω ω Ω, ω A i ω B}, A B = {ω ω Ω, ω A ili ω B}, A \ B = {ω ω Ω, ω A i ω / B}, Ā = {ω ω Ω, ω / A}. Defiicija preseka i uije može se jedostavo proširiti a koačo ili prebrojivo mogo dogad aja. Na primer, ako je A 1,..., A familija koačo mogo dogad aja i I := {1,..., } ideksi skup, tada je A i = {ω za svako i I je ω A i }, A i = {ω postoji i I tako da je ω A i }. Ako je A i A j = i j, umesto i A i pišemo i A i. Dogad aji A 1,..., A obrazuju potpui sistem dogad aja ako pri realizaciji odred eog kompleksa uslova astupi bar jeda od tih dogad aja, tj. ako je A i = Ω. Posebo su iteresati potpui sistemi esaglasih dogad aja. U tom slučaju se kaže da oi čie disjukto razbijaje skupa Ω. Primer 1.1. Posmatrajmo eksperimete sa homogeom kockom za igraje čije su strae ozačee brojevima od 1 do 6. Elemetara dogad aj koji zači da se pri bacaju kocke pojavila straa sa brojem k I 6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ozačimo sa ω k. Prostor elemetarih dogad aja je Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 }. Neka su A, B i C dogad aji odred ei preko elemetarih dogad aja a sledeći ači: Tada je, a primer, A = {ω 2, ω 4, ω 6 }, B = {ω 1, ω 3, ω 5 }, C = {ω 2, ω 3, ω 5 }. A C = {ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 }, B C = {ω 3, ω 5 }, C = {ω 1, ω 4, ω 6 }, A C C \ A = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 } = Ω, A \ B =. Prema tome, A C C \ A je sigura dogad aj, dok je A \ B emoguć dogad aj. 2. Klasiča defiicija verovatoće Teorija verovatoće se skoro trista godia razvijala bez strogo defiisaih aksioma verovatoće. Klasiča defiicija verovatoće se zasivala a ituitivoj i iskustveoj predstavi verovatoće dogad aja

3 klasiča defiicija verovatoće 3 kao relativoj učestaosti broja povoljih ishoda i geeralizaciji tog pojma. Na primer, ako je A dogad aj da se pri bacaju kocke pojavi, a primer, broj 4, a i A predstavljaju redom ukupa broj eksperimeata i broj pojavljivaja broja 4, pri dovoljo velikom broju opita može se zapaziti da se relativa učestaost dogad aja A izražea količikom A/ približava broju 1/6. Ovaj broj se uzima kao mera,,šase za realizaciju dogad aja A. Iz opisaog primera vidi se da klasiča defiicija verovatoće ustvari koristi pojam verovatoće jedakoverovatih jedakomogućih dogad aja, koji se smatra osovim pojmom i e defiiše se. Očigleda je edostatak takvog pristupa već samim tim što se pojam verovatoće uvodi korišćejem pojma,,jedakoverovatih dogad aja, dakle pojma koji treba defiisati. Uprkos ove edosledosti, klasiča defiicija verovatoće je omogućila da se dobiju mogi začaji rezultati. Posmatrajmo skup svih med usobo isključivih, jedakoverovatih dogad aja ω 1, ω 2,..., ω koji čie potpuu grupu dogad aja, tj. eka je ω i = ω i = Ω. Defiicija 1. Neka je Ω = {ω 1,... ω } skup svih mogućih jedakoverovatih elemetarih dogad aja koji su med usobo esaglasi i eka je A = {ω i1,..., ω im } dogad aj koji se sastoji od m elemetarih jedakoverovatih dogad aja koji imaju osobiu kojom se A defiiše. Verovatoća astupaja dogad aja A jedaka je P A = m. 2.1 Ovo je klasiča defiicija verovatoće i oa se može iskazati i a sledeći ači: Verovatoća P A dogad aja A Ω jedaka je količiku broja povoljih ishoda opita, koji dopriose realizaciji dogad aja A, i broja svih ishoda. Može se reći da je verovatoća P fukcija koja dogad aju A dodeljuje reala broj dat pomoću 2.1. Fukcija P ima sledeće osobie koje sleduju a osovu defiicije 2.1: i Za svako A F je P A 0 jer je m 0. ii Za sigura dogad aj Ω je P Ω = 1 zato što je P Ω = = 1. iii Ako je A = B + C, A, B, C F, pri čemu su B i C esaglasi dogad aji, tada je Zaista, ako je P A = P B + P C. B = {ω i1,..., ω ir }, C = {ω j1,..., ω js }, A = {ω i1,..., ω ir, ω j1,..., ω js }, B C =, tada je a osovu 2.1 P A = r + s = r + s = P B + P C. Posledja formula može se uopštiti za slučaj koačog broja med usobo esaglasih dogad aja A 1,..., A. Matematičkom idukcijom dokazuje se formula P A i = P A i. iv Verovatoća dogad aja Ā, suprotog dogad aju A, jedaka je P Ā = 1 P A.

4 4 raču verovatoće Kako je A + Ā = Ω, a osovu ii i iii je P A + Ā = P Ω, tj. P A + P Ā = 1, odakle sledi iv. v Verovatoća emogućeg dogad aja jedaka je uli. Kako je Ω = + Ω, sledi P Ω = 1 = P + Ω = P + P Ω, odakle je P = 0. vi Ako je A B, tada je P A P B. Kako je B = A + ĀB, s obzirom da su A i ĀB esaglasi a osovu i i iii dobijamo P B = P A + ĀB = P A + P ĀB P A. vii Verovatoća bilo kog dogad aja A F pripada itervalu [0, 1]. Kako je A = AΩ Ω, a osovu osobie vi sledi 0 = P P A P Ω = 1, dakle 0 P A 1. Sumirajući apred avedee osobie možemo kostatovati sledeće: P je eegativa, ormiraa, mootoa, aditiva fukcija čija je promeljiva slučaji dogad aj, a vredosti su u itervalu [0, 1]. Primer 2.1. U partiji od proizvoda k je eispravo. Odrediti verovatoću da od m slučajo izabraih proizvoda tačo r bude eispravo. Iz kombiatorike je pozato da m od proizvoda možemo izabrati a m različitih ačia. Povolja slučaj je kada od k eispravih proizvoda uzmemo r, a od k ispravih proizvoda uzmemo m r. To je mogućo k učiiti a k r m r različitih ačia. Prema tome, tražea verovatoća je k p = k r m r. 2.2 m Primer 2.2. Dva kockara A i B bacaju ovčić, pri čemu jeda od jih, recimo A, igra a,,pismo, a drugi a,,grb. Broj pojave,,pisma,,grba predstavlja broj poea za igrača A igrača B. Dobitički ulog ameje je oom koji prvi dod e do uapred utvrd ee sume. Med utim, zbog ekih objektivih razloga igra je prekiuta. Postavlja se pitaje kako podeliti ulog zajući da su u mometu prekida kockaru A bila potreba 2 poea do dobite sume, a kockaru B 3 poea. Ovaj problem, postavlje od jedog poluprofesioalog kockara, aalizirali su i rešili čuvei fracuski matematičari Pascal i Fermat. Kao što je apomeuto u uvodu, jihova studija o ovom problemu iz godie uzima se za početak jede ove matematičke oblasti teorije verovatoće. Rešeje: Očigledo, e više od četiri bacaja ovčića je dovoljo da se igra okoča. Neka a ozačava opit gde A pobed uje pojava,,pisma, a b opit u kome B pobed uje pojava,,grba. Postoji 16 varijacija od dva slova a i b dužie 4, kao što je prikazao u dojoj tabeli a a a a b a a b a b b b b b a b a a a b a a b a b a b b b a b b a a b a a b a a b b a b a b b b a b a a a b b b a a a a b b b b

5 aksiomatska defiicija verovatoće 5 Izmed u 16 mogućih slučajeva, 11 je povoljo za igrača A slučajevi 1-11, gde se a javlja 2 ili više puta, dok je 5 povoljo za B slučajevi 12-16, gde se b javlja 3 ili više puta. Prema tome, verovatoća dobitka je 11/16 za kockara A, i 5/16 za kockara B. Kockari bi trebalo da podele ulog proporcioalo verovatoćama dobitka, dakle, u odosu 11:5. 3. Aksiomatska defiicija verovatoće Kao što je već pomeuto, aksiomatsko zasivaje teorije verovatoće prvi put je izložeo u radu A. N. Kolmogorova iz godie. Ovaj pristip obuhvatio je sve bite eksperimetalo i ituitivo uočee osobie fukcije P i prevazišao ograičeja u razvoju verovatoće kao modere matematičke disciplie. Uvedea aksiomatika bila je osov za iteziva razvoj ovih pravaca u teoriji verovatoće koji su omogućili istraživaje veoma složeih procesa i pojava u prirodi, auci, tehici i društvu. U aksiomatskom zasivaju verovatoće osovi pojam koji se e defiiše jeste pojam elemetarog slučajog dogad aja. Slučaja dogad aj je podskup skupa svih elemetarih dogad aja iz Ω. Neka je PΩ partitivi skup skupa Ω i F PΩ. Ako je familija podskupova F zatvorea u odosu a operacije komplemetiraja i prebrojive uije i ako je Ω F, oda se ova familija zove σ-polje. Aksioma 1. aksioma σ-polja. Familija F PΩ je σ-polje ako su zadovoljei uslovi: 1 Ω F, 2 ako A i F, tada Āi F i N, 3 ako A i F i N, tada + Osobie σ-polja: i F. A i F. ii A \ B F za svaka dva dogad aja A, B F. iii Ako A i F, tada + A i F. iv Ako A 1, A 2,..., A F, tada A i F. v Ako A 1, A 2,..., A F, tada A i F. Osobie iv i v za koača broj dogad aja dokazuju se polazeći od reprezetacija A i = A 1 A 2 A, A i = A 1 A 2 A Ω Ω. Aksioma 2. aksioma verovatoće. Neka je F σ-polje ad skupom Ω. Fukcija P : F R zove se verovatoća ad F ako zadovoljava uslove: 1 P Ω = 1, 2 za sve A F, P A 0, 3 ako A i F i N i A i A j = i j, tada P + A i = + P A i.

6 6 raču verovatoće Trojka Ω, F, P odred uje tzv. prostor verovatoće. Na osovu aksioma 1 i 2 eposredo slede eke osove osobie verovatoće, od kojih su eke već dokazae korišćejem klasiče defiicije verovatoće: i P = 0. Kako je Ω = Ω + + +, iz 3 dobijamo P Ω = P Ω = P Ω + P + P + 0 = P + P +, tj. P = 0. ii Ako je A B, tada je P A P B. Sledi iz B = A + ĀB. Kako su A i ĀB esaglasi dogad aji, imamo P B = P A + P ĀB, tj. P A P B. iii P A i = Sledi iz P A i koača aditivost. A i = A A iv Za svako A F važi 0 P A 1. S obzirom da je A Ω, a osovu osobie iv sledi da je 0 P A 1. v P Ā = 1 P A. Sledi iz A + Ā = Ω i P A + P Ā = P Ω = 1. vi P A B = P A + P B P AB Teorema zbira. Dogad aji A i ĀB, odoso AB i ĀB, su esaglasi i važi A B = A + ĀB, B = AB + ĀB lako se vidi sa Veovih dijagrama, pa je a osovu iii Elimiacijom P ĀB dobijamo vi. P A B = P A + P ĀB i P B = P AB + P ĀB. Geeralizacija teoreme zbira: P A i = P A i P A i A j + P A i A j A k P A 1 A 2 A. i<j i<j<k vii P A i = P A 1 + P A 2 Ā 1 + P A 3 Ā 1 Ā P A Ā 1 Ā 2 A. Odavde, s obzirom da je Ā1 Āk 1A k A k k = 2, 3,..., sledi P A i P A i. Posledja ejedakost važi i u slučaju prebrojivo mogo dogad aja. + viii Ako je A 1 A 2, oda je P A i = lim P A k. k + + ix Ako je A 1 A 2, oda je P A i = lim P A k. k + Napomea 1. Videli smo da koače uije i preseci mogu jedostavo da se prošire a beskoača broj dogad aja. Na taj ači, prema Aksiomi 1 i osobiama σ-polja, sledi da je σ-polje zatvoreo u odosu

7 aksiomatska defiicija verovatoće 7 a iste operacije kao i polje dogad aja, što dalje zači da je σ-polje uvek i polje dogad aja, ali obrato e važi. Naime, zatvoreost operacija u odosu a beskoače uije i preseke povlači zatvoreost u odosu a koače uije i preseke, ali u opštem slučaju obrato e važi. Napomea 2. Klasiča defiicija verovatoće data pomoću 2.1 operiše sa uapred usvojeim jedakoverovatim elemetarim ishodima. Pri aksiomatskom pristupu ovaj edostatak je otkloje i jedakoverovati ishodi javljaju se jedio kao posledica. Aksiomatski prilaz takod e otklaja i drugi ozbilja edostatak klasiče defiicije verovatoće rad sa koačim skupom ishoda. Primer 3.1. Tri avioa ezaviso jeda od drugog vrše bombardovaje jedog mosta bacajući a jega jedu seriju bombi. Verovatoća da bar jeda bomba iz serije pogodi most je: za prvi avio 0.2, za drugi 0.3, i za treći 0.4. Naći verovatoću da most bude pogod e. Neka je A dogad aj da je most pogod e bar jedom i eka je A k dogad aj da je bomba bačea iz k-tog avioa pogodila most. Tada je P A 1 = 0.2, P A 2 = 0.3, P A 3 = 0.4. S obzirom da su dogad aji A 1, A 2, A 3 ezavisi, imamo P A 1 A 2 = = 0.06, P A 1 A 3 = = 0.08, P A 2 A 3 = = 0.12, P A 1 A 2 A 3 = = 0.024, gde je, a primer, A 2 A 3 dogad aj da su bombe bačee iz drugog i trećeg avioa pogodile most. Primeom Teoreme zbira za = 3 P A 1 A 2 A 3 = P A 1 + P A 2 + P A 3 P A 1 A 2 P A 1 A 3 P A 2 A 3 + P A 1 A 2 A 3, izračuavamo P A = P A 1 A 2 A 3 = Primer 3.2. Pouzdaost ekog ured aja defiiše se kao verovatoća 0, 1 da ured aj radi ispravo u odred eom vremeskom itervalu. Pouzdaost složeog sistema koji je sastavlje od više kompoeti može se odrediti ako su pozate pouzdaosti kompoeti, pri čemu se često pretpostavlja da pouzdaost svake kompoete e zavisi od pouzdaosti drugih kompoeti. U tom slučaju kaže se da su kompoete ezavise. Osovi ači veze dve ezavise kompoete su reda veza slika 3.1a i paralela veza slika 3.1b. Slika 3.1 Reda i paralela veza kompoeata Kod rede veze, sistem radi ako i samo ako obe kompoete rade. Ako se pretpostavi da su kompoete ezavise, tada je pouzdaost ovakvog sistema odred ea sa p r = p 1 p 2 proizvod verovatoća. Sistem od dve palelelo vezae kompoete radi ako i samo ako radi bar jeda kompoeta, odakle, a osovu Teoreme zbira osobia vi u ovom odeljku, sledi da je pouzdaost sitema odred ea sa p p = p 1 + p 2 p 1 p 2. Razmotrimo ajpre jedo jedostavo pitaje: Koji sistem sa slike 3.1 je pouzdaiji? je Da bismo odgovorili a ovo pitaje uporedićemo verovatoće koje defiišu pouzdaost ova dva sistema. Kako p p p r = p 1 + p 2 p 1 p 2 p 1 p 2 = p 1 1 p 2 + p 2 1 p 1, s obzirom da p 1, p 2 0, 1 sledi p p p r > 0, tj. p p > p r. Prema tome, paralela veza je pouzdaija, što se ituitivo moglo i očekivati. Kod složeijih sistema sa više kompoeti, pouzdaost se izračuava a sliča ači, kombiujući osobie rede i paralele veze. Aaliza pouzdaosti ovakvih sistema ije uvek jedostava, pogotovu ako kompoete imaju različit stepe pouzdaosti.

8 8 raču verovatoće Kao sledeći primer posmatrajmo dva sistema A i B prikazaa a slici 3.2 čije sve kompoete imaju istu pouzdaost p. Odredimo koji od jih ima veću pouzdaost. Slika 3.2 Koji sistem je pouzdaiji? Sistem A e radi ako i samo ako i jeda kompoeta e radi. Verovatoća da sistem e radi jedaka je 1 p 1 1 p 2 1 p 2 = 1 p 3. Nas iteresuje verovatoća suprotog dogad aja da sistem radi, tako da je pouzdaost sistema A data sa p A = 1 1 p 3 = 3p 3p 2 + p 3. Isti rezultat se dobija primeom Teoreme zbira verovatoća. Kombiujući rezultate iz prethodog primera za redu i paralelu vezu, alazimo pouzdaost sistema B kao verovatoću p B = p 1 + p 2 p 1 p 2 p 3 = 2p p 2 p = 2p 2 p 3 p 0, 1. Kako je p A p B = 3p 3p 2 + p 3 2p 2 p 3 = p2p 2 5p + 3 = 2p1 p 3 2 p > 0, alazimo da je p A > p B, dakle, sistem A je pouzdaiji. 4. Geometrijska defiicija verovatoće Pretpostavimo da skup G sadrži elemetare dogad aje koji se mogu predstaviti kao tačke u ekom od prostora R 1, R 2 ili R 3. U oblasti G,,asumice se bira tačka. Može se postaviti sledeće pitaje: Kolika je verovatoća da slučajo izabraa tačka pripada i oblasti G 1 G? Neka je G ograiče skup sa koačom geometrijskom merom mg u R 1 to je dužia, u R 2 površia, a u R 3 zapremia. Pretpostavimo da tražea verovatoća zavisi samo od mere oblasti G 1, u ozaci mg 1, da joj je proporcioala i da e zavisi od položaja i oblika posmatraih oblasti. Na ovaj ači dolazimo do geometrijske defiicije verovatoće kao količika P A = mg 1 mg, 4.1 gde je A dogad aj koji se realizuje kada slučajo izabraa tačka pade u oblast G 1. Napomea 1. U izvesom smislu izmed u formula 2.1 i 4.1 postoji sličost jer se u slučaju obe defiicije vertovatoća posmatra kao količik povoljih ishoda i svih mogućih ishoda. Primetimo da se u oba slučaja javlja edostatak koji se ogleda u zasivaju pomeutih defiicija a pojmu jedakoverovatih dogad aja. Kod geometrijske defiicije verovatoće 4.1 uapred se usvaja uslov ezavisosti izbora tačke od oblika i položaja oblasti, tj. pretpostavlja se jedaka mogućost jedakoverovatost izbora bilo koje tačke oblasti. Uprkos ovom edostatku, geometrijska verovatoća u mogim slučajevima daje dobre procee,,šase za realizaciju ekog slučajog dogad aja.

9 geometrijska defiicija verovatoće 9 Primer 4.1. Osobe A i B dogovorile su se da se susretu a odred eom mestu izmed u 13 h i 13 h i a miuta. Prema dogovoru, oaj ko prvi dod e čeka a drugog b miuta. Odrediti verovatoću da dod e do susreta ako se pretpostavlja da je vreme dolaska za svaku od osoba podjedako verovato raspored eo izmed u 13 h i 13 h i a miuta. Rešeje: Neka je osoba A došla u 13 h i x miuta, a osoba B u 13 h i y miuta. Tada je, prema uslovu zadatka, 0 x a, 0 y a mogući ishodi. Do susreta će doći ako i samo ako pored ovih uslova bude i x y b. Dakle, tačka sa koordiatama x, y može se alaziti u kvadratu K straice a, a do susreta će doći ako se alazi u osečeoj oblasti S povolji ishodi koja je ograičea pravama y = x b, y = x + b i straicama kvadrata slika 4.1. Odos ovih površia daje tražeu verovatoću: p = S K = a2 a b 2 b2a b a 2 = a 2. Slika 4.1 Primer 4.2 Buffoov 4 problem. Na dovoljo velikom listu hartije acrtae su med usobo paralele liije a jedakom rastojaju a. Igla dužie d < a baca se a površ sa paralelim liijama. Bifoov problem sastoji se u odred ivaju verovatoće da igla seče eku od pravih. Da bismo rešili ovaj problem, koji pripada oblasti geometrijske verovatoće, poslužićemo se slikom 4.2a. Neka je C središte igle. Ozačimo sa x rastojaje tačke C do ajbliže prave i sa α ugao koji igla zaklapa sa familijom paralelih pravih. Tačka α, x može se alaziti u pravougaoiku D = { α, x 0 α π 0 x a/2 }. Slika 4.2 Buffoov problem Da bi igla sekla jedu od pravih, tačka α, x mora se alaziti u oblasti D 1 = {α, x 0 x d } 2 si α 0 α π. Tražea verovatoća p jedaka je količiku površia oblasti D 1 i D slika 4.2b. Ove površie su redom jedake S D = aπ/2 i te je S D1 = π 0 d 2 si αdα = d 2 cos α π 0 = d, p = S D 1 S D = 2d πa. 4 J.L.L. Buffo , fracuski svešteik i matematičar, čita se Bifo.

10 10 raču verovatoće Primer 4.3 Bertradov 5 paradoks. U krugu poluprečika r povučea je asumice tetiva. Odrediti verovatoću da je dužia tetive veća od strae ravostraog trougla upisaog u krug. Ovako formulisa problem opisao je Bertrad godie i pozat je kao Bertradov paradoks. Paradoks se sastoji u tome da se dobijaju bar tri različita rezultata za tražeu verovatoću, zaviso od ačia a koji je povučea tetiva. Posmatrajmo tri ačia asumičog povlačeja tetive: Slika 4.3 Tri ačia za izbor,,slučaje tetive I ači. Na periferiji kruga uočimo tačku A i kroz ju povucimo tetivu u asumice izabraom pravcu. Upišimo u dati krug ravostra trougao čije je jedo teme tačka A i spojimo tačku A sa cetrom kruga slika 4.3a. Ozačimo sa θ ugao koji zaklapa tetiva sa poluprečikom OA. Očigledo je da će asumice povučea tetiva imati veću dužiu ego straica upisaog trougla ako i samo ako je θ π/6, π/6. S obzirom da ugao θ može da varira u graicama od π/2 do π/2, tražea verovatoća je P π 6 < θ < π = 6 π 3 π = 1 3. II ači. Fiksirajmo jeda pravac i povucimo asumice tetivu kruga paralelo fiksiraom pravcu. Upišimo u dati krug ravostra trougao tako da jeda jegova straica bude paralela fiksiraom pravcu slika 4.3b. Rastojaje ove straice od cetra datog kruga je r/2. Tetiva će imati veću dužiu od straice upisaog ravostraog trougla ako i samo ako je jeo rastojaje od cetra kruga maje od r/2. Kako rastojaje x tetive od cetra kruga može da varira od 0 do r uzimajući u obzir simetriju koja je grafički ilustrovaa,,iverzim trouglom acrtaim isprekidaim liijama tražea verovatoća je P = r 2 r = 1 2. III ači. Izaberimo u krugu jedu tačku i kroz ju povucimo tetivu koja će biti prepolovljea tom tačkom slika 4.3c. U ovom slučaju tetiva će imati veću dužiu od straice upisaog ravostraog trougla ako i samo ako jeo središte leži uutar kruga koji je upisa u ravostraom trouglu. Poluprečik ovako upisaog kruga je r/2, a površia r 2 π/4. Površia datog kruga je r 2 π, pa je tražea verovatoća P = r 2 π 4 r 2 π = 1 4. Dakle, u sva tri slučaja dobili smo različite verovatoće, što predstavlja paradoks. Objašjeje za ovaj paradoks leži u čijeici da problem ije precizo formulisa. U stvari, svi dobijei rezultati su tači jer u postavljeom zadatku imamo tri različita problema, u zavisosti od toga šta podrazumevamo pod pojmom proizvolje tetive. Kao što smo videli, svaki od tri opisaa ačia postavlja eke dodate uslove, tako da slučajost u stvari ije potpua. 5 J. L. Bertrad , fracuski matematičar, čita se Bertra.

11 statistička defiicija verovatoće Statistička defiicija verovatoće Klasiča defiicija verovatoće podrazuma takav kompleks uslova pri ekperimetima koji uvek dovodi do pojave jedakoverovatih elemetarih dogad aja. Sva avedea pravila za alažeje verovatoće u prethodom odeljku izvedea su pod ovim uslovima. Med utim, često ije moguće utvrditi jedakoverovatost elemetarih dogad aja. Štaviše, i u slučajevima kada je to moguće kao u slučaju homogee kocke ili pravilog ovčića, situaciju pogoršava čijeica da je u praksi teško obezbediti epromeljive i ideale uslove pri izvod eju eksperimeata. Zbog toga je jedii ači da zaista odredimo verovatoću dogad aja A statistički pristup zasova a velikom broju eksperimeata. Pretpostavimo da se pri dovoljo velikom broju od opita dogad aj A realizovao m puta. U slučaju da je kompleks uslova skoro epromeje pri ovim eksperimetima, iskustvo je pokazalo da se frekvecija dogad aja A grupiše oko količika m/, koji se prema klasičoj defiiciji verovatoće uzima za verovatoću realizacije tog dogad aja. Pri stabilim uslovima pri izvod eju eksperimeata odstupaje od količika je utoliko maje, ukoliko je broj opita veći. Na osovu ovog dolazi se do statističke defiicije verovatoće: Ako je m broj pojavljivaja dogad aja A u seriji od eksperimeata izvedeih pod istim uslovima, tada je P A = m lim +. Gorja defiicija proizilazi iz tzv. zakoa velikih brojeva, o čemu će biti reči u 14. odeljku. Na primer, ako je A dogad aj da pri bacaju kocke pade broj 6, i ako kocku bacimo 3000 puta, očekujemo da se šestica pojavi 500 puta jer je verovatoća P A = 1/6. Ako bi se šestica pojavila, recimo, 400 puta, statistički pristup daje verovatoću koja je eki broj oko Statistička defiicija verovatoće koristi se pri statističkoj obradi podataka u oim aukama čija je metodologija istaživaja zasovaa a statistici a primer, u društveim aukama, biologiji, sociološkim istraživajima, medicii, meteorologiji, fizici, itd.. Ocea ekih parametara doosi se a osovu verovatoće koja se izražava količikom m /, dobijeim pri istraživaju velikog broja slučajeva ili uzoraka. Primer 5.1. U prethodom odeljku izlože je Buffoov problem koji razmatra verovatoću da igla dužie d preseče jedu od ekvidistato acrtaih paralelih liija a rastojaju a > d. Pokazao je da je ova verovatoća jedaka p = 2d/πa. Ako se izvrši veliki broj eksperimeata, odos broja povoljih ishoda m tj. broja preseka igle i prave i ukupog broja eksperimeata daje vredost koja je približo jedaka gorjem razlomku, tj. 2d/πa m/. Odavde je π 2d am. Ova formula daje mogućost da se broj π odredi eksperimetalim putem. Prema statističkoj defiiciji verovatoće moglo bi se očekivati da se sa povećajem broja eksperimeata broj π može odrediti iz gorje formule sa većom tačošću. Godie Volf je izvršio 5000 bacaja i dobio vredost , Smit je ašao eksperimeta, Foks je dobio eksperimeata, dok je Lazarii godie došao do veoma dobre aproksimacije izvršivši 3408 eksperimeata greška tek a sedmoj decimali. Povodom ovog posledjeg rezultata ruski matematičar A.N. Zajdel je godie apisao rad pod aslovom,,obmaa ili zabluda u kome je izrazio sumju u Lazariijev rezultat. Naime, zbog eizbežih grešaka pri mereju dužia a i d makar to bio i hiljaditi deo milimetra, eidealosti površie a koju se baca igla, razih uticaja okolie, i emogućosti da se u potpuosti očuva isti kompleks uslova u toku čitavog ogleda, veoma je teško očekivati grešku maju od U ovom radu Zajdel je pokazao da je greška pri eksperimetalom odred ivaju broja π srazmera recipročoj vredosti korea iz broja eksperimeata. Prema ovom,,zakou 1/, da bi dobio vredost broja π avedeu gore, Lazarii bi morao da vrši eksperimete čitavih godia!

12 12 raču verovatoće 6. Uslove verovatoće i ezavisost dogad aja Neka je Ω, F, P prostor verovatoće i eka je A F dogad aj čija realizacija e zavisi od astupaja bilo kog drugog dogad aja iz F. U tom slučaju verovatoća ovog dogad aja zove se bezuslova verovatoća. Ako je realizacija dogad aja A uslovljea astupajem još ekog drugog dogad aja B P B 0, tada se verovatoća dogad aja A pod uslovom da se desio dogad aj B aziva uslovom verovatoćom i ozačava se sa P A B. Dakle, P A B je verovatoća dogad aja A pod uslovima koji siguro dovode do realizacije dogad aja B. Posmatrajmo eksperimet sa koačim brojem jedakoverovatih elemetarih dogad aja. Ozačimo sa A, B, AB broj elemetarih dogad aja koji dovode do realizacija dogad aja A, B, AB u opita. Prema klasičoj defiiciji verovatoće je P B = B, P AB = AB. Kako je astupaje slučajog dogad aja A uslovljeo astupajem dogad aja B, to pri odred ivaju uslove verovatoće P A B broj B predstavlja broj svih mogućih elemetarih dogad aja za astupaje dogad aja B, a AB oaj broj tih dogad aja koji dovode do realizacije dogad aja A. Zato je P A B = AB B = AB B = P AB, P B > P B U slučaju da je dogad aj B uslovlje astupajem dogad aja A, aalogo se dokazuje da je Iz 6.1 i 6.2 dobija se P B A = P AB, P A > P A P AB = P B P A B = P A P B A. 6.3 Relacija 6.3 izražava teoremu proizvoda verovatoća prema kojoj je verovatoća astupaja dva dogad aja jedaka proizvodu bezuslove verovatoće jedog od tih dogad aja i uslove verovatoće drugog, pod uslovom da je astupio prvi dogad aj. Formula proizvoda verovatoća može se uopštiti i a slučaj više dogad aja. Na primer, za tri dogad aja A, B, C važi P ABC = P ABC = P AB P C AB = P A P B A P C AB. 6.4 Primeom matematičke idukcije prethode formule se mogu uopštiti i a slučaj dogad aja: P A 1 A 2 A = P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2 P A A 1 A 2 A Uslova verovatoća zadovoljava aksiom verovatoća, tj. važi sledeće tvrd eje: Teorema 6.1 Ako je B F, P B > 0 i ako je P 1 A = P A B za svako A F, tada je Ω, F, P 1 prostor verovatoće. Dokaz. Pokazaćemo da P 1 : F R zadovoljava uslove Aksiome 2: 1 P 1 Ω = P Ω B = P ΩB P B = P B P B = 1. 2 Za svako A F je P 1 A = P A B = P AB P B 0.

13 uslove verovatoće i ezavisost dogad aja 13 3 Neka je A 1, A 2,..., A,... iz med usobo disjuktih dogad aja. Tada su dogad aji A 1 B, A 2 B, A 3 B,... takod e med usobo disjukti videti sliku 6.1. Koristeći 6.1 alazimo Slika P 1 A i = P što je i trebalo dokazati. = + + P A i B P B P A i B = = + + P B P A i B = A i B + = + P 1 A i, P A i B P B Primer 6.1. Koja je verovatoća da u društvu od osoba postoje bar dve koje su rod ee istog daa u godii? Naći ajmaji broj potreba da bi ova verovatoća bila 1/2. Uzima se da su svi dai podjedako mogući da budu datumi rod eja jede osobe, kao i da godia ima 365 daa. je Neka je A dogad aj da e postoje dve od osoba koje imaju isti datum rod eja. Verovatoća ovog dogad aja P A = Odavde je verovatoća da ajmaje dve osobe imaju isti datum rod eja P A = 1 P A = Probajem za = 1, 2,... alazimo da je P A 1/2 za 23, što je sa ituitivog staovišta dosta mali broj; aime, pre rešavaja ovog problema očekivao bi se mogo veći broj osoba da bi P A bilo veće od 1/2. Primer 6.2. U kutiji se alazi 10 sijalica od kojih su 4 eisprave. Nasumice se izvlače 3 sijalice bez vraćaja. Naći verovatoću da su sve tri izvučee sijalice isprave. Neka je A i i = 1, 2, 3 dogad aj da je u i-tom izvlačeju uzeta isprava sijalica. Tada se dogad aj A, koji ozačava da su sve tri sijalice isprave, može predstaviti kao A = A 1 A 2 A 3, te je, a osovu formule 6.4, P A = P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2 = = 1 6. Defiicija 1. Za slučaja dogad aj A kaže se da je ezavisa od dogad aja B ako je uslova verovatoća astupaja dogad aja A pod uslovom da je astupio dogad aj B, jedaka bezuslovoj verovatoći dogad aja A, tj. P A B = P A.

14 14 raču verovatoće Iz defiicije uslove verovatoće 6.1 sledi P A B = P AB P B = P A, odakle je P AB = P A P B. 6.6 Dakle, u slučaju kada jeda dogad aj e zavisi od drugog, verovatoća jihovog proizvoda jedaka je proizvodu jihovih verovatoća. Ova formula predstavlja specijala slučaj pravila o proizvodu verovatoća datog pomoću 6.3. Napomeimo da eki autori uzimaju relaciju 6.6 za defiiciju ezavisosti dva dogad aja. Na osovu 6.6 sledi P B A = P AB P A = P AP B P A = P B. Odavde zaključujemo da ako dogad aj A e zavisi od B, tada i B e zavisi od A. Možemo reći da su dogad aji A i B ezavisi ako je verovatoća jihovog proizvoda jedaka proizvodu jihovih verovatoća. Pojam ezavisosti dva dogad aja može se proširiti a koača ili ajviše prebrojiv skup dogad aja. Defiicija 2. Za dogad aje A 1, A 2,... F kaže se da su ezavisi u parovima ako za svaki par ideksa i, j i j važi P A i A j = P A i P A j. Defiicija 3. Dogad aji A 1, A 2,..., A i,... F su u celii ezavisi ako za svaki koača iz ideksa k 1 < k 2 < < k k i {1, 2,... } i proizvoljo m N važi P A m A k1 A k2 A k = P A m, što je ekvivaleto sa P A k1 A k2 A k = P A k1 P A k2 P A k. Očigledo je da ezavisost dogad aja u celii implicira ezavisost u parovima, ali obrato e važi kao što pokazuje sledeći primer. Primer 6.3. Tri strae pravilog tetraedra obojee su redom crveom, plavom i žutom bojom, dok je četvrta straa obojea sa sve tri boje. Neka A ozačava dogad aj da prilikom bacaja tetraedra pade crvea boja, B plava, C žuta. Tada je, P A = P B = P C = 1 2, i odavde, a primer, P AB = P AP B = 1 4. S druge strae je P ABC = 1 4 P AP BP C = = Totala verovatoća i Bayesova 6 formula Sledeće dve teoreme imaju veliki začaj u teoriji verovatoće i jeim primeama. Teorema 7.1 Formula totale verovatoće. Ako su H 1, H 2,..., H med usobo esaglasi dogad aji, P H i > 0 i = 1,..., i H 1 + H H = Ω, tada je P A = P H i P A H i za svaki dogad aj A F T. Bayes , egleski matematičar, čita se Bajes.

15 totala verovatoća i Bayesova formula 15 Dokaz. Polazeći od jedakosti A = AΩ = A aditivosti, imamo H i = AH i, a osovu 6.3 i osobie koače P A = P AH i = P AH i = P H i P A H i. Verovatoće P H i su običo pozate uapred, pre realizacije opita, pa se često azivaju apriorim verovatoćama, a sami dogad aji hipotezama. Primetimo da hipoteze H i čie potpui sistem dogad aja, tj. čie disjukto razbijaje skupa Ω. Primer 7.1. Date su tri jedake kutije. U prvoj se alaze dve bele i jeda cra kuglica, u drugoj tri bele i jeda cra, i u trećoj jeda cra i jeda bela kuglica. Neko asumice bira jedu od kutija i uzima iz je opet asumice jedu kuglicu. Naći verovatoću da će izvučea kuglica biti bela. Rešeje: Ozačima sa A dogad aj da bude izvučea bela kuglica i razmotrimo tri hipoteze: H 1 izbor prve kutije; H 2 izbor druge kutije; H 3 izbor treće kutije. Najpre alazimo P H 1 = P H 2 = P H 3 = 1 3, P A H 1 = 2 3, P A H 2 = 3 4, P A H 3 = 1 2. Na osovu formule totale verovatoće je P A = što predstavlja tražeu verovatoću. 3 P H i P A H i = = 23 36, Ako je rezultat opita pokazao da se dogad aj A realizovao, važo je aći verovatoće P H i B realizacija pojediih hipoteza koje su dovele do realizacije dogad aja A. Drugim rečima, iteresuje as aposteriora verovatoća hipoteza H i pod uslovom da se realizovao dogad aj B. Odgovor daje sledeće teorema. Teorema 7.2 Bayesova formula. Ako su H 1, H 2,..., H med usobo esaglasi dogad aji, P H i > 0 i = 1,..., i H 1 + H H = Ω, tada je P H i A = P H ip A H i P H j P A H j j=1 i = 1,...,, A F. 7.2 Dokaz. Kako je P H i A = P H i P A H i = P AP H i A i = 1,...,, imamo P H i A = P H ip A H i. P A Primejujući teoremu 7.1 za P A dobijamo Bayesovu formulu 7.2.

16 16 raču verovatoće Primer 7.2. Dva strelca ezaviso jeda od drugog gad aju istu metu ispaljujući po jeda metak. Verovatoća pogad aja za prvog strelca je 0.8, a za drugog 0.4. Posle izvedeog gad aja utvrd eo je da je meta pogod ea samo jedom. Naći verovatoću da je pogodio prvi strelac. Rešeje: Ozačimo sa A dogad aj da je cilj pogod e jedom. Pre gad aja sledeće četiri hipoteze su moguće: H 1 i prvi i drugi strelac isu pogodili; H 2 oba strelca su pogodila; H 3 prvi strelac je pogodio, drugi ije; H 4 drugi strelac je pogodio, prvi ije. Uslove verovatoće su P A H 1 = 0, P A H 2 = 0, P A H 3 = 1, P A H 1 = 1, tj. hipoteze H 1 i H 2 su emoguće jer je cilj pogod e samo jedom. Verovatoće mogućih hipoteza su P H 3 = = 0.48, P H 4 = = Na osovu Bayesove formule alazimo verovatoće hipoteza H 3 i H 4 pod uslovom da je cilj pogod e samo jedom: P H 3 A = P H 4 A = P H 3 P A H 3 P H 3 P A H 3 + P H 4 P A H 4 = = 6 7, P H 4 P A H 4 P H 3 P A H 3 + P H 4 P A H 4 = = 1 7. Na osovu dobijeih rezultata zaključujemo da je verovatije da je metu pogodio prvi strelac P H 3 A = 6/7, dok je verovatoća da je to učio drugi strelac P H 4 A = 1/7. 8. Slučaje promeljive Iz prethodih izlagaja videli smo da se svakom elemetarom dogad aju ω Ω može dodeliti reala broj Xω i a taj ači opisati rezultat ekog eksperimeta pomoću reale fukcije Xω. Pritom, ova fukcija mora zadovoljiti eke uslove koji omogućavaju da oa a realu pravu preslika e samo elemetare dogad aje ω Ω, već i celu strukturu datog prostora verovatoće Ω, F, P. Ilustracije radi, posmatrajmo jeda ekperimet koji se sastoji od 3 ezavisa opita u kome se eki dogad aj A realizije ili e realizuje. Mogući su sledeći ishodi: ω 1 = AAA, ω 2 = AAĀ, ω 3 = AĀA, ω 4 = AĀĀ, ω 5 = ĀAA, ω 6 = ĀAĀ, ω 7 = ĀĀA, ω 8 = ĀĀĀ. Svakom od 8 ishoda ω možemo dodeliti rela broj Xω koji ozačava broj realizacija dogad aja A, a primer, XĀĀĀ = 0, XĀAĀ = 1, XAĀA = 2, XAAA = 3. Očigledo je da X predstavlja preslikavaje skupa ishoda Ω = {ω 1,..., ω 8 } u skup {0, 1, 2, 3}. Ovo as dovodi do važog pojma slučaje promeljive X koja preslikava Ω u R. Uvod eje pojma slučaje promeljive tj. fukcije koja preslikava Ω u R omogućava da se umesto direktog i komplikovaog izučavaja prostora verovatoće {Ω, F, P } problem izučavaja svede a prostor realih brojeva R koji ima veoma bogatu matematičku strukturu i, samim tim, omogućuje defiisaje i proučavaje mogih ovih pojmova i odosa vezaih za izučavaje slučajih pojava. Od ajvećeg iteresa je slučaj kada je Ω = R, gde se verovatoća defiiše a otvoreim itervalima a, b. Treba apomeuti da se e može a svakom podskupu skupa Ω defiisati verovatoća. Na primer,

17 slučaje promeljive 17 ako je P verovatoća a skupu Ω = 0, 1, takva da je P a, b = b a za svaki otvorei iterval u 0, 1, tada postoje podskupovi skupa Ω a kojima verovatoća ije defiisaa. Da bi se prevazišla ova teškoća, uvodi se pojam tzv. ajmajeg σ-polja ili Borelovog sigma polja, u ozaci BR, koje sadrži sve otvoree itervale a, b R. Svaki skup koji pripada Borelovom sigma polju aziva se Borelovim skupom. Već smo pomeuli da preslikavaje X : Ω R mora da zadovolji izvese uslove. U radu sa slučajim promeljivim potrebo je odgovoriti a pitaje kolika je verovatoća da vredost slučaje promeljive X bude maja od ekog realog broja x? Dakle, treba odrediti P {ω ω Ω, Xω < x}. Kako je fukcija P defiisaa ad F, potrebo je da za svako x R skup {ω ω Ω, Xω < x} bude elemet σ-polja F, odoso slučaji dogad aj. Stoga se uvodi sledeća defiicija. Defiicija 1. Neka je Ω, F, P prostor verovatoće i X : Ω R. Preslikavaje X zove se slučaja promeljiva ako je {ω ω Ω, Xω < x} F za svako x R. U skladu sa prethodim, slučaja promeljiva može se iterpretirati i a sledeći ači. Ako je X fukcija koja preslikava Ω u skup realih brojeva R i ako je S podskup od R, tada ćemo sa X 1 S ozačiti iverzu sliku skupa S defiisau sa X 1 S = {ω ω Ω, Xω S}. Neka je Ω, F, P prostor verovatoće. Fukcija X : Ω R, takva da za svako x R skup {ω ω Ω, Xω < x} tj. iverza slika X 1, x itervala, x pripada σ-polju F, zove se slučaja promeljiva. Ovo je ilustrativo prikazao a slici 8.1. Slika 8.1 Slika 8.2 Može se pokazati da ako je X slučaja promeljiva, tada za svako S BR gde je BR Borelovo polje iverza slika X 1 S takod e pripada F. Primer 8.1. Neka je ω k elemetara dogad aj koji ozačava da se pri bacaju kocke pojavilo k tačkica k {1,..., 6} i eka je A = {ω 2, ω 4, ω 6 } dogad aj koji ozačava pojavu parog broja tačkica. Tada je Ω = {ω 1,..., ω 6 } i F = {Ω,, A, Ā}. Defiišimo fukciju X a sledeći ači: Xω 2k = 1, Xω 2k 1 = 0 k = 1, 2, 3 i ispitajmo da li je X slučaja promeljiva ad Ω, F, P. Prema prethodom, ispitaćemo da li X 1, x F za svako x R. Kako je videti sliku 8.2 Ω, x > 1, X 1, x = Ā, 0 < x 1,, x 0, očigledo je da X jeste slučaja promeljiva.

18 18 raču verovatoće Zbog jedostavosti, skup {ω ω Ω, Xω < x} ćemo kraće ozačavati sa X < x, a skup {ω ω Ω, Xω = x} sa X = x. Tako ćemo, a primer, verovatoću da slučaja promeljiva X uzme vredost x obeležavati sa P X = x. Verovatoću da slučaja promeljiva X uzme vredosti sa itervala a, b obeležavamo sa P a < X < b. Sa P X < x ozačavamo verovatoću da slučaja veličia X uzima vredosti maje od x. 9. Fukcija raspodele U prethodom izlagaju videli smo da je za svaki skup S BR defiisaa fukcija P X S = P {ω ω Ω, Xω S}. Na taj ači slučaja promeljiva X,,preosi a realu pravu R e samo elemetare dogad aje ω Ω ego i strukturu prostora verovatoće Ω, F, P. Fukcija P X je defiisaa a skupu podskupova od R, što predstavlja izveso ograičeje u primei mogih metoda matematičke aalize u R. Zbog toga se uvodi jeda ovi pojam, fukcija raspodele F X slučaje promeljive X, koja u sebi sadrži sve potrebe iformacije o raspodeli verovatoća ad BR, ali ima pogodiji oblik jer predstavlja realu fukciju reale promeljive. Defiicija 1. Fukcija F X : R [0, 1] slučaje promeljive X, defiisaa sa F X x = P X < x, 9.1 koja predstavlja verovatoću da slučaja promeljiva X uzme vredost maju od x za svako x R, zove se fukcija raspodele verovatoća slučaje promeljive X ili kraće fukcija raspodele. Očigledo je da je fukcija raspodele F X jedistvea za svaku slučaju promeljivu X. Obruto e mora da važi, aime, različite slučaje promeljive mogu imati istu fukciju raspodele. Ako je jaso o kojoj se slučajoj promeljivoj radi, umesto F X x koristićemo ozaku F x. Primer 9.1. Fukcija raspodele F X slučaje promeljive X iz primera 8.1 je data sa 1, x > 1, F X x = 1/2, 0 < x 1, 0, x 0, U sledećoj teoremi avedee su osove osobie fukcije raspodele. Teorema 9.1. Za fukciju raspodele verovatoća slučaje promeljive X važi: 1 lim F x = F = 0. x 2 lim F x = F + = 1. x + 3 P a X < b = F b F a a < b, a, b R. 4 Fukcija raspodele je eprekida sleva, tj. lim x a 0 = F a. 5 Fukcija raspodele je mootoo eopadajuća fukcija, tj. ako je x 1 < x 2, tada je F x 1 F x 2.

19 fukcija raspodele 19 Dokaz: + 1 F = lim F = lim P X < = P X < = P = =1 + 2 F + = lim F = lim P X < = P X < = P Ω = =1 3 F b = P {ω ω Ω, Xω < b} = P {ω ω Ω, Xω < a} + P {ω ω Ω, a Xω < b} = F a + P a X < b. 4 lim x a 0 F x = lim F a 1/ = lim + = P X < a = F a. + P X < a 1/ = P X < a 1/ + =1 5 Ako je x 1 < x 2 i ako je A = {ω ω Ω, XΩ < x 1 }, B = {ω ω Ω, Xω < x 2 }, očigledo je A B, te je F x 1 + P A P B = F x 2. Na osovu osobia 1, 2 i 5 sledi da za fukciju raspodele važi 0 F x 1. Važi i sledeća teorema koju avodimo bez dokaza. Teorema 9.2 Ako je reala fukcija F, defiisaa a R, eopadajuća, eprekida sleva i ako je F = 0, F + = 1, tada postoji slučaja promeljiva X takva da je F jea fukcija rasapodele. Diskrete slučaje promeljive Defiicija 2. Slučaja promeljiva koja uzima koačo ili prebrojivo mogo vredosti zove se diskreta slučaja promeljiva. ili Neka je R X skup slika slučaje promeljive X. Ovaj skup ima oblik R X = {x 1, x 2,..., x k,... }, ako je R X prebrojiv skup R X = {x 1, x 2,..., x }, ako je R X koača skup. Očigledo je da važi Ω = {ω ω Ω, Xω = x } = X = x i X = x i X = x j = za sve i j, što zači da je P X = x i = i i p i = P Ω = 1. Diskreta slučaja promeljiva potpuo je zadata ako je pozat: 1 skup svih vredosti R X = {x 1, x 2,... } koje može da uzme slučaja promeljiva X; 2 skup odgovarajućih verovatoća p k = P X = x k k = 1, 2,.... Skup vredosti diskrete slučaje promeljive {x 1, x 2,... }, zajedo sa odgovarajućim verovatoćama p 1, p 2,..., predstavlja zako raspodele verovatoća slučaje promeljive. Zako raspodele običo se predstavlja u obliku šeme x1 x X 2 p 1 p 2.

20 20 raču verovatoće Napomeimo da je u radu sa slučajom promeljivom diskretog tipa X, umesto fukcije raspodele F X često jedostavije koristiti zako raspodele verovatoća. Na osovu defiicije fukcije raspodele, ova fukcija za diskrete slučaje veličie može se izraziti kao F x = P X = x k, k:x k <x pri čemu se sumiraje vrši po svim ideksima k za koje je x k < x. Grafik fukcije F je ajčešće,,stepeasta kriva sa prekidima prve vrste u tačkama x k k = 1, 2,.... Ovih prekida ima ajviše prebrojivo mogo, a veličia skoka jedaka je F x k + 0 F x k 0 = P x k 0 < X < x k + 0 = P X = x k = p k > 0. Za diskretu slučaju promeljivu X, koja sa odgovarajućim verovatoćama uzima koača ili prebrojiv skup vredosti, poekad se daje i sledeća defiicija. Defiicija 3. Slučaja promeljiva je diskreta ako je za svaki reala broj x odred ea eopadajuća fukcija raspodele F x = P X < x koja ispujava uslove F = 0 i F + = 1, i koja u tačkama prekida x k ima skokove jedake verovatoćama p k : F x k + 0 F x k = P X = x k = p k k = 1, 2,.... Neprekide slučaje promeljive Slučaja promeljiva eprekidog tipa uzima vredosti iz eprebrojivog skupa, a primer a realom itervalu, a skupu realih itervala ili a celoj realoj pravoj. Kao ilustraciju takvog tipa promeljive, posmatrajmo slučaju promeljivu koja predstavlja dužiu rada sijalice. Ova slučaja promeljiva može uzeti bilo koju vredost izmed u 0 i, recimo, 1000 sati. Kako u itervalu [0, 1000] ima eprebrojivo mogo kotiuum tačaka, e postoji ači da defiišemo verovatoću za svaku od pojediačih vredosti, što je bilo moguće u slučaju diskrete slučaje promeljive. Takod e, a osovu ituicije, zamo da je verovatoća da će sijalica pregoreti baš u tačo odred eom mometu x [0, 1000] jedaka 0, dok je verovatoća da će pregoreti u ekom vremeskom itervalu [a, b] [0, 1000] različita od ule. Opisae teškoće prevazilaze se uvod ejem jede ove fukcije f X : R R + povezae sa fukcijom raspodele F X defiisae pomoću 9.1. Novouvedea fukcija f X omogućuje alažeje verovatoće a odred eim skupovima realih brojeva pomoću itegrala. Sledeća defiicija precizo odred uje tip slučaje promeljive. Defiicija 4. Ako je x F X x fukcija raspodele slučaje promeljive X i ako postoji itegrabila fukcija f X : R R + takva da ispujava uslove 1 f X x 0, za svako x R, x 2 F X x = f X tdt, tada je X eprekida slučaja promeljiva. Fukcija f X zove se gustia raspodele verovatoće slučaje promeljive X ili kraće gustia. Ako se radi sa više slučajih promeljivih X, Y,..., jihove gustie ćemo ozačavati sa f X, f Y,.... Ako je jaso o kojoj promeljivoj se radi, fukciju gustie ćemo ozačavati jedostavo sa f. Napomea 1. Na osovu 2 sledi da je fukcija raspodele F X x eprekide slučaje promeljive uvek eprekida fukcija. Obrato u opštem slučaju e važi, što se može pokazati a primerima izvesih

21 fukcija raspodele 21,,patoloških fukcija F X x, ili specijalo kostruisaih primera. S obzirom da su ovakvi primeri sa praktičog staovišta izuzeto retki ili se uopšte e javljaju, u astavku se ećemo baviti ovim izuzecima. Napomea 2. Ako slučaja promeljiva X e uzima sve vredosti iz itervala, +, usvaja se da je f X x = 0 za sve vredosti x iz itervala a kojima X e uzima vredosti. Osobie gustie raspodele date su u sledećoj teoremi. Teorema 9.2. Neka su F X i f X redom fukcija raspodele i gustia raspodele slučaje promeljive X. Tada važi: 1 f X x = F X x u svim tačkama x R u kojima je f X eprekida. 2 + f X xdx = 1. 3 P X = a = 0 za svako a R. 4 P a < X < b = b a f X xdx za sve a, b R {} {+ }. Dokazi avedeih tvrd eja slede a osovu osobia fukcije raspodele datih u teoremi 9.1 i defiiciji 4. Na primer, 2 + sledi a osovu čijeice da je f X xdx = F X + = 1. Dalje je P X = a = lim h 0 P a X < a + h = lim h 0 što dokazuje 3. Na osovu 3 i 4 dobija se Na osovu osobie 1 sledi a+h P a X b = P a < X b = P a X < b = a f X xdx = 0, F x = F x + x F x = fx x + α x, gde α 0 kada x 0. Odavde je za dovoljo malo x F x fxdx, tj. fxdx F x + x F x = P x X x + x. b a f X xdx. Odavde se može zaključiti da poditegrali izraz u fukciji raspodele 2 u defiiciji 4 daje aproksimativu vredost verovatoće da se slučaja promeljiva X ad e u itervalu [x, x + x]. Na osovu prethodih osobia grafici fukcija F X i f X kvalitativo izgledaju kao a slici 9.1. S obzirom a geometrijsku iterpretaciju odred eog itegrala, osečea površia a slici 9.1a brojo je jedaka F X x = P X < x za azačeo x. Slika 9.1 Grafici fukcije gustie i fukcije raspodele

22 22 raču verovatoće Primer 9.2. Slučaja promeljiva e mora da bude i eprekida i diskreta, kao što pokazuje sledeći primer. Fukcija defiisaa sa 0 x < 0 x 4 0 x 2 F x = x < x 3 1 x 3 je eopadajuća, eprekida sleva i važi F = 0, F + = 1, tj. zadovoljava sve potrebe uslove da bi bila fukcija raspodele videti teoremu 9.2. Med utim, kako je F 2 0 = 1/2, F = 3/4, ova fukcija ima prekid u tački x = 2 tako da ije eprekida. S druge strae, X može da uzima vredosti iz eprebrojivog skupa tačaka itervala [0, 3], te X ije i diskreta promeljiva. Primer 9.3. Odrediti kostatu k tako da fukcija fx = k 1 + x 2 x R bude fukcija gustie raspodele slučaje promeljive X, a zatim aći P 1 < X < 1. + Iz uslova fxdx = 1, tj. alazimo Tražea verovatoća je jedaka + k = k 1 + x 2 dx = k + P 1 < X < 1 = 1 π x 2 dx + 1 dx = 1, 1 + x2 1 = arcta x + = 1 π x 2 dx = 1 1 arcta 1 arcta 1 = π Numeričke karakteristike slučajih promeljivih Fukcija raspodele ili raspodela verovatoća za diskretu slučaju promeljivu i fukcija raspodele ili gustia raspodele verovatoće za eprekidu slučaju promeljivu, predstavljaju potpue karakteristike tih promeljivih. U praksi, med utim, često am ove karakteristike isu pozate ili, ako jesu, račuaje sa jima može biti dosta komplikovao. Osim toga, poekad postavljei problem zahteva zato maji broj podataka o slučajoj promeljivoj. Zato se u teoriji verovatoće često koriste izvesi umerički parametri koji do izvesog stepea karakterišu bite crte raspodele verovatoća slučaje promeljive. Najvažiji med u jima su matematičko očekivaje, disperzija i mometi. Matematičko očekivaje Neka je diskreta slučaja promeljiva X zadata zakoom raspodele x1 x X 2, p 1 p 2 pri čemu je p i = P X = x i.

23 umeričke karakteristike slučajih promeljivih 23 Defiicija 1. defiisa pomoću Matematičko očekivaje diskrete slučaje promeljive X, u ozaci EX, je broj EX = i x i P X = x i, 10.1 gde se sumiraje odosi a sve moguće vredeosti x i slučaje promeljive X. Neka je eprekida slučaja promeljiva X zadata preko gustie raspodele fx. Defiicija 2. Ako je slučaja promeljiva X eprekidog tipa i ima fukciju gustie fx, tada je EX = Na itervalima gde slučaja promeljiva X ije defiisaa uzima se fx = 0. + xfxdx U defiiciji 1 pretpostavlja se da red 10.1apsoluto kovergira u slučajuprebrojive sume,a u defiiciji 2 da esvojstve Riemaov itegral apsoluto kovergira. Drugim rečima, EX postoji ako i samo ako E X postoji. U tom slučaju možemo imati predstavu o matematičkom očekivaju kao sredjoj vredosti slučaje promeljive. Ukoliko red 10.1 ili itegral u 10.2 e kovergira apsoluto, kaže se da matematičko očekivaje e postoji. Uslov da red i x ip i apsoluto kovergira obezbed uje ezavisost zbira reda i x ip i od redosleda sumiraja u redu. Na osovu defiicija 1 i 2 zaključujemo da matematičko očekivaje e mora da postoji za svaku slučaju promeljivu, kao što pokazuju sledeća dva primera. Primer Neka je X i zako raspodele diskrete slučaje promeljive X. Tada je i i N x i p i = i N 2 i 1 2 i = i N Red 1 e kovergira, te e postoji matematičko očekivaje EX. i N 1. Primer Gustia raspodele eprekide slučaje promeljive X data je sa fx = 1 π1 + x 2 x R tzv. Cauchyeva raspodela. U ovom slučaju je te e postoji EX. + 1 x π1 + x 2 dx = 1 π lim log1 + t + x2 t +, 0=

24 24 raču verovatoće Navodimo eke osobie matematičkog očekivaja: 1 EX postoji ako i samo ako postoji E X. 2 EcX = cex c kostata. Specijalo, Ec = c P X = c = c 1 = c. 3 Ako je X 0, tada je EX 0. 4 Ako je X Y, tada je EX EY. 5 Ako EX i EY postoje, tada je EX + Y = EX + EY. Važi i opštije tvrd eje: 5 a Ako su c 1, c 2,..., c kostate i postoje matematička očekivaja EX 1,..., EX, tada je E c i X i = c i EX i. Specijalo, imamo 5 b EX + c = EX + Ec = EX + c, i odavde, 5 c EX EX = EX EEX = EX EX = 0. 6 Teorema o možeju matematičkih očekivaja: Ako su X 1,..., X ezavise slučaje promeljive i ako imaju matematička očekivaja, tada je EX 1 X 2 X = EX 1 EX 2 EX. 7 Teorema o mootooj kovergeciji: Ako je {X } iz slučajih promeljivih takav da 0 X X, tada EX EX. Dokazi osobia 1, 2 i 3 direkto slede iz defiicije matematičkog očekivaja, dok su dokazi ostalih osobia izostavljei jer zahtevaju pozavaje ekih pojmova i tvrd eja iz teorije verovatoće koji prevazilaze okvire ovog kursa. Mometi Defiicija 3. Matematičko očekivaje slučaje promeljive X k zove se početi momet reda k slučaje promeljive X. Početi momet reda k ozačavamo sa m k X, ili, ako je jaso o kojoj se slučajoj promeljivoj radi, sa m k. Početi momet postoji ako i samo ako postoji apsoluti početi momet E X k reda k a osovu osobie 1 matematičkog očekivaja. Na osovu defiicija 1 i 2 imamo x k i P X = x i, i m k X = + x k fxdx, za diskrete promeljive, za eprekide promeljive U oba slučaja pretpostavlja se da red za diskretu promeljivu, odoso esvojstve itergral za eprekidu promeljivu apsoluto kovergiraju.