On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova."

Transcript

1

2 Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Osnovni odnos izmed u elemenata i skupova je pripadanje. Izraz a pripada A se simboličkim matematičkim jezikom piše a A Kaže se i da je a element skupa A, ili da je a sadržan u A. Izraz a ne pripada skupu A, odnosno negacija formule a A, se simbolički označava sa a A. Matematička logika 2 Skupovi

3 Pojam skupa Za simboličko označavanje skupova najčešće koristimo slova latinskog alfabeta. Pri tome, skupove obično označavamo velikim slovima a njihove elemente malim. Primeri skupova: skup svih Beograd ana skup svih nacija skup celih brojeva skup svih reči sve osobe koje imaju odred enu osobinu zajedno čine skup svi tipovi u programskim jezicima (integer, real) čine skupove Matematička logika 3 Skupovi

4 Pojam skupa Napomena: Često sami skupovi jesu elementi drugih skupova. Primeri: prava, kao skup tačaka u ravni, pripada skupu svih pravih te ravni nacija, kao skup individua, pripadnika te nacije, pripada skupu svih nacija Matematička logika 4 Skupovi

5 Zadavanje skupova Navod enjem svih njegovih elemenata, izmed u vitičastih zagrada { i }. {3, 6, 7} Konačan skup, sa elementima 3, 6 i 7. Ovakav način zadavanja skupova koristi se za konačne skupove sa ne tako velikim brojem elemenata, koje je tehnički moguće sve navesti {1, 2,..., n} Konačan skup sa većim brojem elemenata koje tehnički nije moguće sve navesti, zbog čega stavljamo tri tačke... koje znače i tako dalje, po istom obrascu. Odgovarajući obrazac mora da bude očigledan. {2, 4, 6, 8,...} Skup svih parnih brojeva. Primetimo da je ovaj skup, za razliku od prethodnog, beskonačan. N = {1, 2, 3,...} Skup svih prirodnih brojeva. Matematička logika 5 Skupovi

6 Zadavanje skupova Zadavanjem svojstva koje svi njegovi elementi moraju da imaju. Zajedničko svojstvo objedinjuje u skup sve objekte sa tim svojstvom. Takvi skupovi se zapisuju u sledećem obliku A = {x x ima svojstvo P(x)} ili A = {x P(x)}, gde je sa P(x) označeno svojstvo koje može imati objekat x. Na ovaj način je označen skup svih objekata x za koje važi P(x), odnosno skup svih objekata x koji imaju svojstvo P(x). Na primer, skup parnih brojeva može se zadati sa {x postoji y N tako da je x = 2y}. Matematička logika 6 Skupovi

7 Zadavanje skupova Rekurzivna (induktivna) definicija skupa. Skup A se može definisati rekurzivno ili induktivno na sledeći način: (i) zadaju se polazni elementi ili bazni elementi skupa A; (ii) odred uje se način na koji se, pomoću odred enih operacija, iz prethodno definisanih elemenata mogu definisati drugi elementi skupa A; (iii) kaže se da skupu A mogu pripadati oni i samo oni objekti koji se mogu dobiti primenom pravila (i) i (ii) konačan broj puta. Na ovaj način će kasnije biti definisane iskazne i predikatske formule. Rekurzivno se definišu i formule u jeziku FORTRAN. Matematička logika 7 Skupovi

8 Jednakost skupova. Podskup Dva skupa A i B su jednaka, u oznaci A = B, ako imaju iste elemente, tj. A = B def ( x)(x A x B). Negacija gornje formule označava se sa A B. Skup A je podskup skupa B, u oznaci A B, ako su svi elementi skupa A sadržani u B, tj. Odnos zove se inkluzija. A B def ( x)(x A x B). Ako je A B i A B, onda se kaže da je A pravi podskup skupa B, u oznaci A B. Matematička logika 8 Skupovi

9 Jednakost skupova. Podskup Napomena: U prethodnim definicijama koristili smo sledeće simboličke oznake: def znači ako i samo ako ili ekvivalentno (ekvivalencija); znači ekvivalentno po definiciji ; znači ako..., onda... ili povlači (implikacija). Više reči o ovome biće u kasnijim poglavljima. Primetimo da ekvivalentno i ekvivalentno po definiciji imaju drugačija značenja: P Q znači da je P tačno ako i samo ako je tačno Q, dok P def Q znači da P i Q imaju isto značenje, tj. Q je samo drugačiji zapis za P. Matematička logika 9 Skupovi

10 Jednakost skupova. Podskup Primeri jednakih skupova: {x, x} = {x} {x, y} = {y, x} {x, y, z} = {x, z, y} {x, y, z} = {z, x, x, y} Ove jednakosti se dokazuju neposrednom primenom definicije jednakosti skupova. Dokaz se ostavlja za vežbu. Odavde možemo izvući dva pravila koja se tiču zadavanja skupova navod enjem njegovih elemenata: Nije bitan redosled po kome se elementi navode (nabrajaju). Svaki element se navodi samo jednom. Matematička logika 10 Skupovi

11 Jednakost skupova. Podskup Primeri inkluzije: N Z {a, b, c} {b, d, a, c} skup prirodnih brojeva N je podskup skupa celih brojeva Z (i to pravi podskup); Matematička logika 11 Skupovi

12 Jednakost skupova. Podskup Zadatak 1. Da li su sledeća tvrd enja tačna: (a) {a, {b, c}} = {{a, b}, c}; (b) {1, 2, 3} {{1, 2}, 3, {1, 2, 3}}. Rešenje: (a) Ovo nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste elemente. Naime, elementi skupa na levoj strani su a i {b, c}, a elementi skupa na desnoj strani su {a, b} i c. Prema tome, a je, na primer, element skupa na levoj strani, ali nije element skupa na desnoj strani. (b) Ni ovo nije tačno, jer elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, a elementi skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3}. Dakle, 1 i 2 nisu elementi skupa na desnoj strani. Matematička logika 12 Skupovi

13 Jednakost skupova. Podskup Zadatak 2. Odrediti broj elemenata sledećih skupova: (a) {{, { }}} (b) {1, 2, 3, {1, 2, 3}} (c) {, { }, a, b, {a, b}, {a, b, {a, b}}} (d) {, { }, {, { }}} (e) {, { }, } Rešenje: (a) Skup {{, { }}} ima samo jedan element, skup {, { }}. Matematička logika 13 Skupovi

14 Jednakost skupova. Podskup (b) Skup {1, 2, 3, {1, 2, 3}} ima 4 elementa: (1) 1, (2) 2, (3) 3 i (4) {1, 2, 3}. (c) Skup {, { }, a, b, {a, b}, {a, b, {a, b}}} ima 6 elemenata: (1), (2) { }, (3) a, (4) b, (5) {a, b}, i (6) {a, b, {a, b}}. (d) Skup {, { }, {, { }}} ima 3 elementa: (1), (2) { }, i (3) {, { }}. (e) Skup {, { }, } ima 2 elementa: (1) (dva puta zapisan), i (2) { }. Matematička logika 14 Skupovi

15 Svojstva jednakosti i inkluzije skupova Tvrd enje 1. Za proizvoljne skupove A, B, C važi: (i) A = A A = B B = A A = B B = C A = C (ii) A A A B B A A = B A B B C A C (refleksivnost) (simetričnost) (tranzitivnost) (refleksivnost) (antisimetričnost) (tranzitivnost) Dokaz: Ostavlja se za vežbu. Matematička logika 15 Skupovi

16 Svojstva jednakosti i inkluzije skupova Zbog refleksivnosti inkluzije, svaki skup je i svoj sopstveni podskup. Antisimetričnost inkluzije je svojstvo koje se veoma mnogo koristi kada se dokazuje jednakost skupova. Naime, skupovnu jednakost A = B najčešće dokazujemo tako što dokazujemo da je A B i B A. Matematička logika 16 Skupovi

17 Venovi dijagrami Skupove grafički najčešće predstavljamo pomoću Venovih dijagrama. Kod Venovih dijagrama skupovi su predstavljeni skupovima tačaka izvesnih geometrijskih figura u ravni, kao što su krugovi ili elipse, i oblasti u ravni koje nastaju presecanjem tih geometrijskih figura. Dva primera Venovih dijagrama data su na donjoj slici: Matematička logika 17 Skupovi

18 Razlika skupova Razlika skupova A i B je skup A \ B koji se definiše sa A \ B def = {x x A x B}. tj. skup svih elemenata iz A koji ne pripadaju skupu B Matematička logika 18 Skupovi

19 Razlika skupova Tvrd enje 2. Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Tada je X \ X = Y \ Y. Dokaz: Imamo da je x X \ X x X x X x Y \ Y x Y x Y odakle sledi da je x X \ X x Y \ Y. Prema ovom tvrd enju, razlika X \ X ne zavisi od skupa X. Zato prazan skup, u oznaci, definišemo kao skup X \ X, gde je X proizvoljan skup. Matematička logika 19 Skupovi

20 Razlika skupova Prema ovakvoj definiciji x x X x X. Kako je desna strana ove ekvivalencije kontradikcija, to imamo da ni za jedno x ne važi x. Tako dolazimo do ekvivalentne definicije praznog skupa: prazan skup je skup koji nema elemenata. Tvrd enje 3. Za svaki skup X važi X. Dokaz: Implikacija x x X važi za svaki x jer je leva strana te implikacije uvek netačna. Matematička logika 20 Skupovi

21 Presek skupova Presek skupova A i B, u oznaci A B, je skup koji sadrži tačno one elemente koji se nalaze istovremeno u oba skupa: A B def = {x x A x B}. Za skupove A i B čiji je presek prazan skup se kaže da su disjunktni. presek skupova disjunktni skupovi Matematička logika 21 Skupovi

22 Unija skupova Unija skupova A i B, u oznaci A B, je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze bar u jednom od njih: A B def = {x x A x B}. Matematička logika 22 Skupovi

23 Komplement skupa Ako je B A, onda se razlika A \ B zove komplement skupa B u odnosu na A i označava sa C A (B): C A (B) def = A \ B = {x x A x B}. Matematička logika 23 Skupovi

24 Komplement skupa Često se posmatraju isključivo podskupovi nekog unapred datog skupa U, koji se zove univerzalni skup. Tada za B U, C U (B) se označava sa B i zove se samo komplement skupa B: B def = {x x B} Matematička logika 24 Skupovi

25 Primeri skupovnih operacija a) Ako je A = {x N ( k)(x = 2k)}, B = {x N ( m)(x = 3m)}, onda je A B = {x N ( p)(x = 6p)}; A B = {x N ( q)(x = 2q x = 3q)}; A = {x N ( r)(x = 2r 1)}. b) Skupovi tačaka koje pripadaju dvema mimoilaznim pravama su disjunktni. Matematička logika 25 Skupovi

26 Venovi dijagrami (nastavak) Neka je dat univerzalni skup U i njegovi podskupovi A 1, A 2,..., A n. Predstavljanje tih skupova Venovim dijagramom je takvo grafičko predstavljanje gde je univerzalni skup U predstavljen pravougaonikom, a skupovi A 1, A 2,..., A n krugovima ili elipsama. Pri tome mora biti ispunjen uslov da krugovi, odnosno elipse, dele pravougaonik na 2 n delova, od kojih je svaka povezana oblast. Venov dijagram mora da obezbedi dovoljan broj oblasti za predstavljanje svih mogućih preseka skupova A 1,..., A n i njihovih komplemenata. Svi ti preseci mogu biti neprazni, i tada ih ima 2 n, što znači da je neophodno u Venovom dijagramu obezbediti 2 n povezanih oblasti. Matematička logika 26 Skupovi

27 Venov dijagram V 2 Venov dijagram za dva skupa, u oznaci V 2, prikazan je na sledećoj slici: U A B A B A B A B A B Jednostavnosti radi, ovde smo izostavljali znak za presek skupova. Na primer, A B kraći zapis za A B. Komplement se gleda u odnosu na univerzalni skup U. Matematička logika 27 Skupovi

28 Primer: nije Venov dijagram Primer predstavljanja koje nije Venov dijagram, jer ne ispunjava napred postavljeni uslov, dat je na sledećoj slici. U B A Ovo nije Venov dijagram jer skup A B nije predstavljen povezanom oblašću. Matematička logika 28 Skupovi

29 Venov dijagram V 3 Venov dijagram za tri skupa, u oznaci V 3, je U C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B Matematička logika 29 Skupovi

30 Venov dijagram V 4 Venov dijagram za četiri skupa, u oznaci V 4, je prikazan na sledećoj slici: U A 1 B C 4 D 1 : A B C D 9 : A B C D 2 : A B C D 10 : A B C D 3 : A B C D 11 : A B C D 4 : A B C D 12 : A B C D : A B C D 13 : A B C D 6 : A B C D 14 : A B C D 7 : A B C D 15 : A B C D 8 : A B C D 16 : A B C D Matematička logika 30 Skupovi

31 Venovi dijagrami za n skupova Već u slučaju četiri skupa nije moguće nacrtati Venov dijagram sa krugovima, čak i različitih poluprečnika, već se to mora uraditi elipsama. Iako su Venovi dijagrami uvedeni još godine, tek je godine dokazano da se za svaki prirodan broj n može nacrtati Venov dijagram sa n elipsi koji obezbed uje svih 2 n oblasti. Med utim, crtanje Venovih dijagrama za pet i više skupova je toliko komplikovano da to nećemo raditi. Matematička logika 31 Skupovi

32 Venovi dijagrami zadatak Zadatak 3. Dokazati da donja slika ne predstavlja Venov dijagram. U D C A B Označene oblasti izraziti kao preseke skupova A, B, C i D, odnosno njihovih komplemenata, na način kako je to urad eno za V 4. Matematička logika 32 Skupovi

33 Venovi dijagrami zadatak Rešenje: Već na prvi pogled se vidi da nedostaju oblasti koje odgovaraju skupovima A C B D i B D A C, tj., A B C D i A B C D. U D C Drugim rečima, u ovom slučaju je A B C D = i A B C D = A B Matematička logika 33 Skupovi

34 Venovi dijagrami zadatak Sve ostale oblasti iz Venovog dijagrama V 4 su prisutne na ovom dijagramu i odgovaraju sledećim oblastima sa ovog dijagrama U D C 1 : A B C D 8 : A B C D 2 : A B C D 9 : A B C D 3 : A B C D 10 : A B C D : A B C D 11 : A B C D 5 : A B C D 12 : A B C D A B 6 : A B C D 13 : A B C D 7 : A B C D 14 : A B C D. Matematička logika 34 Skupovi

35 Svojstva skupovnih operacija Tvrd enje 4. Neka je A skup i X, Y, Z A. Tada važi: (a) Komutativnost (b) Asocijativnost (c) Distributivnost (d) Apsorptivnost X Y = Y X, X Y = Y X; X (Y Z) = (X Y ) Z, X (Y Z) = (X Y ) Z; X (Y Z) = (X Y ) (X Z), X (Y Z) = (X Y ) (X Z); X (X Y ) = X, X (X Y ) = X; Matematička logika 35 Skupovi

36 Svojstva skupovnih operacija (e) Idempotentnost X X = X, X X = X; (f) De Morganovi zakoni (X Y ) = X Y, (X Y ) = X Y ; (g) X X =, X X = A; (h) X A = X, X A = A; (i) X =, X = X. Dokaz: Ostavlja se za vežbu. Matematička logika 36 Skupovi

37 Svojstva inkluzije Sledeće tvrd enje daje nam vezu izmed u inkluzije i operacija preseka i unije skupova. Tvrd enje 5. Neka su X i Y skupovi. Tada važi: X Y X Y = X, X Y X Y = Y. Dokaz: Ostavlja se za vežbu. Matematička logika 37 Skupovi

38 Partitivni skup Kolekcija svih podskupova proizvoljnog skupa A je skup koji nazivamo partitivni skup skupa A i označavamo ga sa P(A): Tvrd enje 6. P(A) def = {X X A}. (a) Prazan skup je element svakog partitivnog skupa. (b) Skup A je element svog partitivnog skupa P(A). Za razliku od samog praznog skupa, koji nema elemenata, njegov partitivni skup je jednočlan (jednoelementan): P( ) = { } Matematička logika 38 Skupovi

39 Partitivni skup Primer partitivnog skupa: Za A = {a, b, c} je P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Tvrd enje: Neka skup A ima n elemenata. Tada (a) A ima ( n k) podskupova sa k elemenata (0 k n); (b) P(A) ima 2 n elemenata. Zbog ovoga se često umesto oznake P(A) koristi oznaka 2 A. Matematička logika 39 Skupovi

40 Partitivni skup Setimo se da je ( n k) binomni koeficijent, tj. ( ) n n(n 1)(n 2)(n k + 1) =. k k(k 1) 2 1 Posebne vrednosti binomnih koeficijenata su: ( ) ( ) ( ) n def n n = 1, = n, 0 1 n = 1. Matematička logika 40 Skupovi

41 Partitivni skup Zadatak: Odrediti sve podskupove skupa A = {α, 2, 5, w}. Rešenje: Svi podskupovi skupa A su broj broj elemenata podskup podskupova {α}, {2}, {5}, {w} 4 2 {α, 2}, {α, 5}, {α, w}, {2, 5}, {2, w}, {5, w} 6 3 {α, 2, 5}, {α, 2, w}, {α, 5, w}, {2, 5, w} 4 4 A 1 ukupno: 16 Matematička logika 41 Skupovi

42 Ure deni par Kao što znamo, {x, y} označava skup koji sadrži elemente x i y, pri čemu je {x, y} isto što i {y, x}, tj., nije nije bitan redosled po kome navodimo elemente x i y. Zato se skup {x, y} ponekad naziva i neured eni par elemenata x i y. Med utim, često se nameće potreba da istaknemo koji je element prvi a koji drugi u paru. Da bi smo to istakli, uvodimo oznaku (x, y) i kažemo da je (x, y) ured eni par elemenata x i y. Za x kažemo da je prva komponenta ili prva koordinata, a za y da je druga komponenta ili druga koordinata ured enog para (x, y). Matematička logika 42 Skupovi

43 Primer ure denog para Svaka tačka u ravni može se predstaviti ured enim parom (a, b) realnih brojeva, pri čemu za a kažemo da je njena x-koordinata, a za b da je njena y-koordinata. Kao što vidimo na slici, ured eni par (1, 3) nije isto što i ured eni par (3, 1). y (1,3) b (a, b) (3,1) a x Matematička logika 43 Skupovi

44 Formalna definicija ure denog para Prethodna priča o ured enim parovima je bila potpuno neformalna. Njena uloga je bila da objasni svrhu uvod enja pojma ured enog para i kako treba shvatiti taj pojam. U nastavfkmu dajemo formalnu matematičku definiciju ured enog para. Ured eni par (x, y) elemenata x i y se formalno definiše kao skup (x, y) def = {{x}, {x, y}}. Ovakva definicija može izgledati vrlo neobično i prilično apstraktno. Med utim, ona omogućava da se iz nje izvedu fundamentalna svojstva ured enih parova. Jedno od takvih svojstava je i jednakost ured enih parova, koja je tema naših daljih razmatranja. Matematička logika 44 Skupovi

45 Formalna definicija ure denog para Tvrd enje 7. Dokazati da su dva ured ena para (a, b) i (c, d) jednaka ako i samo ako je a = c i b = d. Dokaz: Ako je a = c i b = d, tada je jasno da je {a} = {c} i {a, b} = {c, d}, pa je (a, b) = (c, d). Obratno, neka je (a, b) = (c, d), tj. {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Slučaj a = b: U ovom slučaju je (a, b) = {{a}, {a, b}} = {{a}}, pa što znači da je {{a}} = {{c}, {c, d}}, {{a}} = {{c}} = {{c, d}}, odakle se lako dobija da je a = b = c = d. Matematička logika 45 Skupovi

46 Formalna definicija ure denog para Slučaj a b: U ovom slučaju je {a} {a, b}, zbog čega mora biti i {c} {c, d}, odnosno c d. Iz {c} {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} dobija se {c} = {a}, tj. c = a, dok se iz {c, d} {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} i {c, d} {a} dobija {c, d} = {a, b}, pa iz d c = a i d {c, d} = {a, b} zaključujemo da mora biti d = b. Dakle, a = c i b = d. Prema tome, dva ured ena para su jednaka ako su im jednake odgovarajuće koordinate. Iz jednakosti ured enih parova možemo zaključiti i da važi (x, y) = (y, x) x = y. Matematička logika 46 Skupovi

47 Ure dena n-torka Uopštenjem pojma ured enog para sa n = 2 na bilo koji prirodan broj n, dolazimo do pojma ured ene n-torke. Ured ena n-torka (x 1, x 2,..., x n ) elemenata x 1, x 2,..., x n definiše se induktivno, na sledeći način: (x 1 ) def = x 1 (x 1,..., x n ) def = ((x 1,..., x n 1 ), x n ). Na primer, ured ena trojka (a, b, c) je zapravo ured eni par ((a, b), c). Za bilo koji k {1,..., n}, element x k se naziva k-ta koordinata ured ene n-torke (x 1,..., x n ). Matematička logika 47 Skupovi

48 Jednakost ure denih n-torki Kao i kod ured enih parova, za ured ene n-torke važi Tvrd enje 8. Dve ured ene n-torke (x 1,..., x n ) i (y 1,..., y n ) su jednake ako i samo ako su im jednake odgovarajuće koordinate, tj. x 1 = y 1 x 2 = y 2... x n = y n. Dokaz: Ovo tvrd enje dokazuje se indukcijom po n. Za n = 1 tvrd enje je trivijalno, a u slučaju n = 2 dokazano je u prethodnom tvrd enju. Pretpostavimo sada da tvrd enje važi za neki prirodan broj n 1 i dokažimo da važi i za n. Matematička logika 48 Skupovi

49 Jednakost ure denih n-torki Zaista, (x 1, x 2,..., x n ) = (y 1, y 2,..., y n ) ((x 1,..., x n 1 ), x n ) = ((y 1,..., y n 1 ), y n ) (definicija ured ene n-torke) (x 1,..., x n 1 ) = (y 1,..., y n 1 ) x n = y n (jednakost ured enih parova) x 1 = y 1... x n 1 = y n 1 x n = y n (indukcijska hipoteza). Ovim je tvrd enje dokazano za svaki prirodan broj n. Matematička logika 49 Skupovi

50 Dekartov proizvod dva skupa Ako su A i B skupovi, onda se skup svih ured enih parova sa prvom koordinatom iz A, a drugom iz B naziva Dekartov, Kartezijev ili direktan proizvod skupova A i B, i označava se sa A B: A B def = {(a, b) a A b B}. Matematička logika 50 Skupovi

51 Dekartov proizvod dva skupa Sam naziv Dekartov proizvod potiče od pojma Dekartov koordinatni sistem predstavljanja tačaka u ravni ured enim parom realnih brojeva. Ako je bilo koji od skupova A i B prazan, tada je po definiciji i njihov Dekartov proizvod A B prazan. Dekartov proizvod A A skupa A sa samim sobom označava se sa A 2 i naziva Dekartov kvadrat skupa A. Primer: Ako je A = {0, 1} i B = {x, y, z}, onda je A B = {(0, x), (0, y), (0, z), (1, x), (1, y), (1, z)}; A 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Dekartov proizvod skupova sa m i n elemenata ima mn elemenata. Matematička logika 51 Skupovi

52 Dekartov proizvod n skupova Dekartov proizvod n skupova A 1,..., A n, u oznaci A 1 A n je skup svih ured enih n-torki sa koordinatama iz odgovarajućih skupova: ili n i=1 A i, A 1 A n def = {(a 1,..., a n ) a 1 A 1,..., a n A n }. Ako je bilo koji od skupova A 1,..., A n prazan, onda je po definiciji prazan i skup A 1 A n. Matematička logika 52 Skupovi

53 Dekartov n-ti stepen Ako je A 1 = = A n = A, onda se odgovarajući Dekartov proizvod označava sa A n i zove Dekartov n-ti stepen skupa A. Jasno, A 1 = A. Ako je A, onda je Dekartov stepen zgodno proširiti (dodefinisati) i za n = 0, na sledeći način: A 0 def = { } U ovoj definiciji je najbitnije da je A 0 jednoelementan skup. Jedini element ovog skupa mogli smo označiti i nekako drugačije, ali je uzeta oznaka za prazan skup zbog svoje univerzalnosti. Matematička logika 53 Skupovi

54 Familija skupova Neka je dat neprazan skup I, koji ćemo nazivati indeksni skup, i neka je svakom elementu i I pridružen neki skup A i. Tada možemo formirati novi skup {A i i I} tako što svaki element i u skupu I zamenimo odgovarajućim skupom A i. Dakle, elementi tog novog skupa su skupovi A i. Ovako definisan skup nazivamo familija skupova A i, i I, indeksirana skupom I, koju takod e označavamo i sa {A i } i I. Matematička logika 54 Skupovi

55 Unija familije skupova Unija familije skupova {A i i I} definiše se na sledeći način: A i = {A i i I} def = {x ( i I) x A i }. i I Kao što se vidi sa slike, uniju familije skupova možemo shvatiti tako kao da smo uklonili opne koje razdvajaju elemente iz različitih skupova A i i time sve te elemente objedinili u jedan skup. Matematička logika 55 Skupovi

56 Presek familije skupova Presek familije skupova {A i i I} definiše se sa: A i = {A i i I} def = {x ( i I) x A i }. i I Na slici desno prikazan je presek familije {A i } i I, gde je I = {1, 2, 3, 4, 5}. Matematička logika 56 Skupovi

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.

U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

1 Svojstvo kompaktnosti

1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Predstavljanje funkcija

Funkcije. Predstavljanje funkcija Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku

10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku 10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Dimenzija vektorskog prostora

Dimenzija vektorskog prostora UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marija Delić Dimenzija vektorskog prostora -master rad- Mentor: Akademik Prof. dr Stevan Pilipović Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović

SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA. Maja i Ljubo Nedović SKRIPTE IZ MATEMATIKE 1 ZA STUDENTE OSNOVNIH STRUKOVNIH STUDIJA SOFTVERSKIH I INFORMACIONIH TEHNOLOGIJA Maja i Ljubo Nedović 27. oktobar 2014 Sadržaj 1 Logika, skupovi i relacije 7 2 Funkcije 2 Kombinatorika

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011).

DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). DRŽAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARU dr. Dženis F. Pučić TOPOLOGIJA SA ODABRANIM ZADACIMA SKRIPTA NOVI PAZAR, 2014 (2011). Predgovor prvom izdanju Ova skripta nastala su kao rezultat potrebe da se studentima

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.

1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990. PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Predikatska logika - II deo. Jelena Ignjatović

Predikatska logika - II deo. Jelena Ignjatović Predikatska logika - II deo Jelena Ignjatović Logika i teorija skupva Ugnježdeni kvantifikatori Ugnježdeni kvantifikatori U matematici i informatici se često sreću kvantifikatori koji se javljaju u oblasti

Διαβάστε περισσότερα

Binarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.

Binarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

PRIRODNI I CELI BROJEVI

PRIRODNI I CELI BROJEVI 1 PRIRODNI I CELI BROJEVI Prvo matematičko znanje koje stičemo je znanje o prirodnim brojevima. U toku školovanja, u osnovnoj i srednjoj školi, stečeno znanje ne podvrgavamo kritici. Radimo sa nekim konkretnim

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Granične vrednosti funkcija

3.1. Granične vrednosti funkcija 98 3. FUNKCIJE: GRANIČNE VREDNOSTI I NEPREKIDNOST 3.1. Granične vrednosti funkcija 3.1.1. Definicija i osnovne osobine Da bismo motivisali definiciju granične vrednosti funkcija, dajemo dva primera. Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα