On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova."

Transcript

1

2 Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Osnovni odnos izmed u elemenata i skupova je pripadanje. Izraz a pripada A se simboličkim matematičkim jezikom piše a A Kaže se i da je a element skupa A, ili da je a sadržan u A. Izraz a ne pripada skupu A, odnosno negacija formule a A, se simbolički označava sa a A. Matematička logika 2 Skupovi

3 Pojam skupa Za simboličko označavanje skupova najčešće koristimo slova latinskog alfabeta. Pri tome, skupove obično označavamo velikim slovima a njihove elemente malim. Primeri skupova: skup svih Beograd ana skup svih nacija skup celih brojeva skup svih reči sve osobe koje imaju odred enu osobinu zajedno čine skup svi tipovi u programskim jezicima (integer, real) čine skupove Matematička logika 3 Skupovi

4 Pojam skupa Napomena: Često sami skupovi jesu elementi drugih skupova. Primeri: prava, kao skup tačaka u ravni, pripada skupu svih pravih te ravni nacija, kao skup individua, pripadnika te nacije, pripada skupu svih nacija Matematička logika 4 Skupovi

5 Zadavanje skupova Navod enjem svih njegovih elemenata, izmed u vitičastih zagrada { i }. {3, 6, 7} Konačan skup, sa elementima 3, 6 i 7. Ovakav način zadavanja skupova koristi se za konačne skupove sa ne tako velikim brojem elemenata, koje je tehnički moguće sve navesti {1, 2,..., n} Konačan skup sa većim brojem elemenata koje tehnički nije moguće sve navesti, zbog čega stavljamo tri tačke... koje znače i tako dalje, po istom obrascu. Odgovarajući obrazac mora da bude očigledan. {2, 4, 6, 8,...} Skup svih parnih brojeva. Primetimo da je ovaj skup, za razliku od prethodnog, beskonačan. N = {1, 2, 3,...} Skup svih prirodnih brojeva. Matematička logika 5 Skupovi

6 Zadavanje skupova Zadavanjem svojstva koje svi njegovi elementi moraju da imaju. Zajedničko svojstvo objedinjuje u skup sve objekte sa tim svojstvom. Takvi skupovi se zapisuju u sledećem obliku A = {x x ima svojstvo P(x)} ili A = {x P(x)}, gde je sa P(x) označeno svojstvo koje može imati objekat x. Na ovaj način je označen skup svih objekata x za koje važi P(x), odnosno skup svih objekata x koji imaju svojstvo P(x). Na primer, skup parnih brojeva može se zadati sa {x postoji y N tako da je x = 2y}. Matematička logika 6 Skupovi

7 Zadavanje skupova Rekurzivna (induktivna) definicija skupa. Skup A se može definisati rekurzivno ili induktivno na sledeći način: (i) zadaju se polazni elementi ili bazni elementi skupa A; (ii) odred uje se način na koji se, pomoću odred enih operacija, iz prethodno definisanih elemenata mogu definisati drugi elementi skupa A; (iii) kaže se da skupu A mogu pripadati oni i samo oni objekti koji se mogu dobiti primenom pravila (i) i (ii) konačan broj puta. Na ovaj način će kasnije biti definisane iskazne i predikatske formule. Rekurzivno se definišu i formule u jeziku FORTRAN. Matematička logika 7 Skupovi

8 Jednakost skupova. Podskup Dva skupa A i B su jednaka, u oznaci A = B, ako imaju iste elemente, tj. A = B def ( x)(x A x B). Negacija gornje formule označava se sa A B. Skup A je podskup skupa B, u oznaci A B, ako su svi elementi skupa A sadržani u B, tj. Odnos zove se inkluzija. A B def ( x)(x A x B). Ako je A B i A B, onda se kaže da je A pravi podskup skupa B, u oznaci A B. Matematička logika 8 Skupovi

9 Jednakost skupova. Podskup Napomena: U prethodnim definicijama koristili smo sledeće simboličke oznake: def znači ako i samo ako ili ekvivalentno (ekvivalencija); znači ekvivalentno po definiciji ; znači ako..., onda... ili povlači (implikacija). Više reči o ovome biće u kasnijim poglavljima. Primetimo da ekvivalentno i ekvivalentno po definiciji imaju drugačija značenja: P Q znači da je P tačno ako i samo ako je tačno Q, dok P def Q znači da P i Q imaju isto značenje, tj. Q je samo drugačiji zapis za P. Matematička logika 9 Skupovi

10 Jednakost skupova. Podskup Primeri jednakih skupova: {x, x} = {x} {x, y} = {y, x} {x, y, z} = {x, z, y} {x, y, z} = {z, x, x, y} Ove jednakosti se dokazuju neposrednom primenom definicije jednakosti skupova. Dokaz se ostavlja za vežbu. Odavde možemo izvući dva pravila koja se tiču zadavanja skupova navod enjem njegovih elemenata: Nije bitan redosled po kome se elementi navode (nabrajaju). Svaki element se navodi samo jednom. Matematička logika 10 Skupovi

11 Jednakost skupova. Podskup Primeri inkluzije: N Z {a, b, c} {b, d, a, c} skup prirodnih brojeva N je podskup skupa celih brojeva Z (i to pravi podskup); Matematička logika 11 Skupovi

12 Jednakost skupova. Podskup Zadatak 1. Da li su sledeća tvrd enja tačna: (a) {a, {b, c}} = {{a, b}, c}; (b) {1, 2, 3} {{1, 2}, 3, {1, 2, 3}}. Rešenje: (a) Ovo nije tačno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju iste elemente. Naime, elementi skupa na levoj strani su a i {b, c}, a elementi skupa na desnoj strani su {a, b} i c. Prema tome, a je, na primer, element skupa na levoj strani, ali nije element skupa na desnoj strani. (b) Ni ovo nije tačno, jer elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, a elementi skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3}. Dakle, 1 i 2 nisu elementi skupa na desnoj strani. Matematička logika 12 Skupovi

13 Jednakost skupova. Podskup Zadatak 2. Odrediti broj elemenata sledećih skupova: (a) {{, { }}} (b) {1, 2, 3, {1, 2, 3}} (c) {, { }, a, b, {a, b}, {a, b, {a, b}}} (d) {, { }, {, { }}} (e) {, { }, } Rešenje: (a) Skup {{, { }}} ima samo jedan element, skup {, { }}. Matematička logika 13 Skupovi

14 Jednakost skupova. Podskup (b) Skup {1, 2, 3, {1, 2, 3}} ima 4 elementa: (1) 1, (2) 2, (3) 3 i (4) {1, 2, 3}. (c) Skup {, { }, a, b, {a, b}, {a, b, {a, b}}} ima 6 elemenata: (1), (2) { }, (3) a, (4) b, (5) {a, b}, i (6) {a, b, {a, b}}. (d) Skup {, { }, {, { }}} ima 3 elementa: (1), (2) { }, i (3) {, { }}. (e) Skup {, { }, } ima 2 elementa: (1) (dva puta zapisan), i (2) { }. Matematička logika 14 Skupovi

15 Svojstva jednakosti i inkluzije skupova Tvrd enje 1. Za proizvoljne skupove A, B, C važi: (i) A = A A = B B = A A = B B = C A = C (ii) A A A B B A A = B A B B C A C (refleksivnost) (simetričnost) (tranzitivnost) (refleksivnost) (antisimetričnost) (tranzitivnost) Dokaz: Ostavlja se za vežbu. Matematička logika 15 Skupovi

16 Svojstva jednakosti i inkluzije skupova Zbog refleksivnosti inkluzije, svaki skup je i svoj sopstveni podskup. Antisimetričnost inkluzije je svojstvo koje se veoma mnogo koristi kada se dokazuje jednakost skupova. Naime, skupovnu jednakost A = B najčešće dokazujemo tako što dokazujemo da je A B i B A. Matematička logika 16 Skupovi

17 Venovi dijagrami Skupove grafički najčešće predstavljamo pomoću Venovih dijagrama. Kod Venovih dijagrama skupovi su predstavljeni skupovima tačaka izvesnih geometrijskih figura u ravni, kao što su krugovi ili elipse, i oblasti u ravni koje nastaju presecanjem tih geometrijskih figura. Dva primera Venovih dijagrama data su na donjoj slici: Matematička logika 17 Skupovi

18 Razlika skupova Razlika skupova A i B je skup A \ B koji se definiše sa A \ B def = {x x A x B}. tj. skup svih elemenata iz A koji ne pripadaju skupu B Matematička logika 18 Skupovi

19 Razlika skupova Tvrd enje 2. Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Tada je X \ X = Y \ Y. Dokaz: Imamo da je x X \ X x X x X x Y \ Y x Y x Y odakle sledi da je x X \ X x Y \ Y. Prema ovom tvrd enju, razlika X \ X ne zavisi od skupa X. Zato prazan skup, u oznaci, definišemo kao skup X \ X, gde je X proizvoljan skup. Matematička logika 19 Skupovi

20 Razlika skupova Prema ovakvoj definiciji x x X x X. Kako je desna strana ove ekvivalencije kontradikcija, to imamo da ni za jedno x ne važi x. Tako dolazimo do ekvivalentne definicije praznog skupa: prazan skup je skup koji nema elemenata. Tvrd enje 3. Za svaki skup X važi X. Dokaz: Implikacija x x X važi za svaki x jer je leva strana te implikacije uvek netačna. Matematička logika 20 Skupovi

21 Presek skupova Presek skupova A i B, u oznaci A B, je skup koji sadrži tačno one elemente koji se nalaze istovremeno u oba skupa: A B def = {x x A x B}. Za skupove A i B čiji je presek prazan skup se kaže da su disjunktni. presek skupova disjunktni skupovi Matematička logika 21 Skupovi

22 Unija skupova Unija skupova A i B, u oznaci A B, je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze bar u jednom od njih: A B def = {x x A x B}. Matematička logika 22 Skupovi

23 Komplement skupa Ako je B A, onda se razlika A \ B zove komplement skupa B u odnosu na A i označava sa C A (B): C A (B) def = A \ B = {x x A x B}. Matematička logika 23 Skupovi

24 Komplement skupa Često se posmatraju isključivo podskupovi nekog unapred datog skupa U, koji se zove univerzalni skup. Tada za B U, C U (B) se označava sa B i zove se samo komplement skupa B: B def = {x x B} Matematička logika 24 Skupovi

25 Primeri skupovnih operacija a) Ako je A = {x N ( k)(x = 2k)}, B = {x N ( m)(x = 3m)}, onda je A B = {x N ( p)(x = 6p)}; A B = {x N ( q)(x = 2q x = 3q)}; A = {x N ( r)(x = 2r 1)}. b) Skupovi tačaka koje pripadaju dvema mimoilaznim pravama su disjunktni. Matematička logika 25 Skupovi

26 Venovi dijagrami (nastavak) Neka je dat univerzalni skup U i njegovi podskupovi A 1, A 2,..., A n. Predstavljanje tih skupova Venovim dijagramom je takvo grafičko predstavljanje gde je univerzalni skup U predstavljen pravougaonikom, a skupovi A 1, A 2,..., A n krugovima ili elipsama. Pri tome mora biti ispunjen uslov da krugovi, odnosno elipse, dele pravougaonik na 2 n delova, od kojih je svaka povezana oblast. Venov dijagram mora da obezbedi dovoljan broj oblasti za predstavljanje svih mogućih preseka skupova A 1,..., A n i njihovih komplemenata. Svi ti preseci mogu biti neprazni, i tada ih ima 2 n, što znači da je neophodno u Venovom dijagramu obezbediti 2 n povezanih oblasti. Matematička logika 26 Skupovi

27 Venov dijagram V 2 Venov dijagram za dva skupa, u oznaci V 2, prikazan je na sledećoj slici: U A B A B A B A B A B Jednostavnosti radi, ovde smo izostavljali znak za presek skupova. Na primer, A B kraći zapis za A B. Komplement se gleda u odnosu na univerzalni skup U. Matematička logika 27 Skupovi

28 Primer: nije Venov dijagram Primer predstavljanja koje nije Venov dijagram, jer ne ispunjava napred postavljeni uslov, dat je na sledećoj slici. U B A Ovo nije Venov dijagram jer skup A B nije predstavljen povezanom oblašću. Matematička logika 28 Skupovi

29 Venov dijagram V 3 Venov dijagram za tri skupa, u oznaci V 3, je U C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B Matematička logika 29 Skupovi

30 Venov dijagram V 4 Venov dijagram za četiri skupa, u oznaci V 4, je prikazan na sledećoj slici: U A 1 B C 4 D 1 : A B C D 9 : A B C D 2 : A B C D 10 : A B C D 3 : A B C D 11 : A B C D 4 : A B C D 12 : A B C D : A B C D 13 : A B C D 6 : A B C D 14 : A B C D 7 : A B C D 15 : A B C D 8 : A B C D 16 : A B C D Matematička logika 30 Skupovi

31 Venovi dijagrami za n skupova Već u slučaju četiri skupa nije moguće nacrtati Venov dijagram sa krugovima, čak i različitih poluprečnika, već se to mora uraditi elipsama. Iako su Venovi dijagrami uvedeni još godine, tek je godine dokazano da se za svaki prirodan broj n može nacrtati Venov dijagram sa n elipsi koji obezbed uje svih 2 n oblasti. Med utim, crtanje Venovih dijagrama za pet i više skupova je toliko komplikovano da to nećemo raditi. Matematička logika 31 Skupovi

32 Venovi dijagrami zadatak Zadatak 3. Dokazati da donja slika ne predstavlja Venov dijagram. U D C A B Označene oblasti izraziti kao preseke skupova A, B, C i D, odnosno njihovih komplemenata, na način kako je to urad eno za V 4. Matematička logika 32 Skupovi

33 Venovi dijagrami zadatak Rešenje: Već na prvi pogled se vidi da nedostaju oblasti koje odgovaraju skupovima A C B D i B D A C, tj., A B C D i A B C D. U D C Drugim rečima, u ovom slučaju je A B C D = i A B C D = A B Matematička logika 33 Skupovi

34 Venovi dijagrami zadatak Sve ostale oblasti iz Venovog dijagrama V 4 su prisutne na ovom dijagramu i odgovaraju sledećim oblastima sa ovog dijagrama U D C 1 : A B C D 8 : A B C D 2 : A B C D 9 : A B C D 3 : A B C D 10 : A B C D : A B C D 11 : A B C D 5 : A B C D 12 : A B C D A B 6 : A B C D 13 : A B C D 7 : A B C D 14 : A B C D. Matematička logika 34 Skupovi

35 Svojstva skupovnih operacija Tvrd enje 4. Neka je A skup i X, Y, Z A. Tada važi: (a) Komutativnost (b) Asocijativnost (c) Distributivnost (d) Apsorptivnost X Y = Y X, X Y = Y X; X (Y Z) = (X Y ) Z, X (Y Z) = (X Y ) Z; X (Y Z) = (X Y ) (X Z), X (Y Z) = (X Y ) (X Z); X (X Y ) = X, X (X Y ) = X; Matematička logika 35 Skupovi

36 Svojstva skupovnih operacija (e) Idempotentnost X X = X, X X = X; (f) De Morganovi zakoni (X Y ) = X Y, (X Y ) = X Y ; (g) X X =, X X = A; (h) X A = X, X A = A; (i) X =, X = X. Dokaz: Ostavlja se za vežbu. Matematička logika 36 Skupovi

37 Svojstva inkluzije Sledeće tvrd enje daje nam vezu izmed u inkluzije i operacija preseka i unije skupova. Tvrd enje 5. Neka su X i Y skupovi. Tada važi: X Y X Y = X, X Y X Y = Y. Dokaz: Ostavlja se za vežbu. Matematička logika 37 Skupovi

38 Partitivni skup Kolekcija svih podskupova proizvoljnog skupa A je skup koji nazivamo partitivni skup skupa A i označavamo ga sa P(A): Tvrd enje 6. P(A) def = {X X A}. (a) Prazan skup je element svakog partitivnog skupa. (b) Skup A je element svog partitivnog skupa P(A). Za razliku od samog praznog skupa, koji nema elemenata, njegov partitivni skup je jednočlan (jednoelementan): P( ) = { } Matematička logika 38 Skupovi

39 Partitivni skup Primer partitivnog skupa: Za A = {a, b, c} je P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Tvrd enje: Neka skup A ima n elemenata. Tada (a) A ima ( n k) podskupova sa k elemenata (0 k n); (b) P(A) ima 2 n elemenata. Zbog ovoga se često umesto oznake P(A) koristi oznaka 2 A. Matematička logika 39 Skupovi

40 Partitivni skup Setimo se da je ( n k) binomni koeficijent, tj. ( ) n n(n 1)(n 2)(n k + 1) =. k k(k 1) 2 1 Posebne vrednosti binomnih koeficijenata su: ( ) ( ) ( ) n def n n = 1, = n, 0 1 n = 1. Matematička logika 40 Skupovi

41 Partitivni skup Zadatak: Odrediti sve podskupove skupa A = {α, 2, 5, w}. Rešenje: Svi podskupovi skupa A su broj broj elemenata podskup podskupova {α}, {2}, {5}, {w} 4 2 {α, 2}, {α, 5}, {α, w}, {2, 5}, {2, w}, {5, w} 6 3 {α, 2, 5}, {α, 2, w}, {α, 5, w}, {2, 5, w} 4 4 A 1 ukupno: 16 Matematička logika 41 Skupovi

42 Ure deni par Kao što znamo, {x, y} označava skup koji sadrži elemente x i y, pri čemu je {x, y} isto što i {y, x}, tj., nije nije bitan redosled po kome navodimo elemente x i y. Zato se skup {x, y} ponekad naziva i neured eni par elemenata x i y. Med utim, često se nameće potreba da istaknemo koji je element prvi a koji drugi u paru. Da bi smo to istakli, uvodimo oznaku (x, y) i kažemo da je (x, y) ured eni par elemenata x i y. Za x kažemo da je prva komponenta ili prva koordinata, a za y da je druga komponenta ili druga koordinata ured enog para (x, y). Matematička logika 42 Skupovi

43 Primer ure denog para Svaka tačka u ravni može se predstaviti ured enim parom (a, b) realnih brojeva, pri čemu za a kažemo da je njena x-koordinata, a za b da je njena y-koordinata. Kao što vidimo na slici, ured eni par (1, 3) nije isto što i ured eni par (3, 1). y (1,3) b (a, b) (3,1) a x Matematička logika 43 Skupovi

44 Formalna definicija ure denog para Prethodna priča o ured enim parovima je bila potpuno neformalna. Njena uloga je bila da objasni svrhu uvod enja pojma ured enog para i kako treba shvatiti taj pojam. U nastavfkmu dajemo formalnu matematičku definiciju ured enog para. Ured eni par (x, y) elemenata x i y se formalno definiše kao skup (x, y) def = {{x}, {x, y}}. Ovakva definicija može izgledati vrlo neobično i prilično apstraktno. Med utim, ona omogućava da se iz nje izvedu fundamentalna svojstva ured enih parova. Jedno od takvih svojstava je i jednakost ured enih parova, koja je tema naših daljih razmatranja. Matematička logika 44 Skupovi

45 Formalna definicija ure denog para Tvrd enje 7. Dokazati da su dva ured ena para (a, b) i (c, d) jednaka ako i samo ako je a = c i b = d. Dokaz: Ako je a = c i b = d, tada je jasno da je {a} = {c} i {a, b} = {c, d}, pa je (a, b) = (c, d). Obratno, neka je (a, b) = (c, d), tj. {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Slučaj a = b: U ovom slučaju je (a, b) = {{a}, {a, b}} = {{a}}, pa što znači da je {{a}} = {{c}, {c, d}}, {{a}} = {{c}} = {{c, d}}, odakle se lako dobija da je a = b = c = d. Matematička logika 45 Skupovi

46 Formalna definicija ure denog para Slučaj a b: U ovom slučaju je {a} {a, b}, zbog čega mora biti i {c} {c, d}, odnosno c d. Iz {c} {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} dobija se {c} = {a}, tj. c = a, dok se iz {c, d} {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} i {c, d} {a} dobija {c, d} = {a, b}, pa iz d c = a i d {c, d} = {a, b} zaključujemo da mora biti d = b. Dakle, a = c i b = d. Prema tome, dva ured ena para su jednaka ako su im jednake odgovarajuće koordinate. Iz jednakosti ured enih parova možemo zaključiti i da važi (x, y) = (y, x) x = y. Matematička logika 46 Skupovi

47 Ure dena n-torka Uopštenjem pojma ured enog para sa n = 2 na bilo koji prirodan broj n, dolazimo do pojma ured ene n-torke. Ured ena n-torka (x 1, x 2,..., x n ) elemenata x 1, x 2,..., x n definiše se induktivno, na sledeći način: (x 1 ) def = x 1 (x 1,..., x n ) def = ((x 1,..., x n 1 ), x n ). Na primer, ured ena trojka (a, b, c) je zapravo ured eni par ((a, b), c). Za bilo koji k {1,..., n}, element x k se naziva k-ta koordinata ured ene n-torke (x 1,..., x n ). Matematička logika 47 Skupovi

48 Jednakost ure denih n-torki Kao i kod ured enih parova, za ured ene n-torke važi Tvrd enje 8. Dve ured ene n-torke (x 1,..., x n ) i (y 1,..., y n ) su jednake ako i samo ako su im jednake odgovarajuće koordinate, tj. x 1 = y 1 x 2 = y 2... x n = y n. Dokaz: Ovo tvrd enje dokazuje se indukcijom po n. Za n = 1 tvrd enje je trivijalno, a u slučaju n = 2 dokazano je u prethodnom tvrd enju. Pretpostavimo sada da tvrd enje važi za neki prirodan broj n 1 i dokažimo da važi i za n. Matematička logika 48 Skupovi

49 Jednakost ure denih n-torki Zaista, (x 1, x 2,..., x n ) = (y 1, y 2,..., y n ) ((x 1,..., x n 1 ), x n ) = ((y 1,..., y n 1 ), y n ) (definicija ured ene n-torke) (x 1,..., x n 1 ) = (y 1,..., y n 1 ) x n = y n (jednakost ured enih parova) x 1 = y 1... x n 1 = y n 1 x n = y n (indukcijska hipoteza). Ovim je tvrd enje dokazano za svaki prirodan broj n. Matematička logika 49 Skupovi

50 Dekartov proizvod dva skupa Ako su A i B skupovi, onda se skup svih ured enih parova sa prvom koordinatom iz A, a drugom iz B naziva Dekartov, Kartezijev ili direktan proizvod skupova A i B, i označava se sa A B: A B def = {(a, b) a A b B}. Matematička logika 50 Skupovi

51 Dekartov proizvod dva skupa Sam naziv Dekartov proizvod potiče od pojma Dekartov koordinatni sistem predstavljanja tačaka u ravni ured enim parom realnih brojeva. Ako je bilo koji od skupova A i B prazan, tada je po definiciji i njihov Dekartov proizvod A B prazan. Dekartov proizvod A A skupa A sa samim sobom označava se sa A 2 i naziva Dekartov kvadrat skupa A. Primer: Ako je A = {0, 1} i B = {x, y, z}, onda je A B = {(0, x), (0, y), (0, z), (1, x), (1, y), (1, z)}; A 2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Dekartov proizvod skupova sa m i n elemenata ima mn elemenata. Matematička logika 51 Skupovi

52 Dekartov proizvod n skupova Dekartov proizvod n skupova A 1,..., A n, u oznaci A 1 A n je skup svih ured enih n-torki sa koordinatama iz odgovarajućih skupova: ili n i=1 A i, A 1 A n def = {(a 1,..., a n ) a 1 A 1,..., a n A n }. Ako je bilo koji od skupova A 1,..., A n prazan, onda je po definiciji prazan i skup A 1 A n. Matematička logika 52 Skupovi

53 Dekartov n-ti stepen Ako je A 1 = = A n = A, onda se odgovarajući Dekartov proizvod označava sa A n i zove Dekartov n-ti stepen skupa A. Jasno, A 1 = A. Ako je A, onda je Dekartov stepen zgodno proširiti (dodefinisati) i za n = 0, na sledeći način: A 0 def = { } U ovoj definiciji je najbitnije da je A 0 jednoelementan skup. Jedini element ovog skupa mogli smo označiti i nekako drugačije, ali je uzeta oznaka za prazan skup zbog svoje univerzalnosti. Matematička logika 53 Skupovi

54 Familija skupova Neka je dat neprazan skup I, koji ćemo nazivati indeksni skup, i neka je svakom elementu i I pridružen neki skup A i. Tada možemo formirati novi skup {A i i I} tako što svaki element i u skupu I zamenimo odgovarajućim skupom A i. Dakle, elementi tog novog skupa su skupovi A i. Ovako definisan skup nazivamo familija skupova A i, i I, indeksirana skupom I, koju takod e označavamo i sa {A i } i I. Matematička logika 54 Skupovi

55 Unija familije skupova Unija familije skupova {A i i I} definiše se na sledeći način: A i = {A i i I} def = {x ( i I) x A i }. i I Kao što se vidi sa slike, uniju familije skupova možemo shvatiti tako kao da smo uklonili opne koje razdvajaju elemente iz različitih skupova A i i time sve te elemente objedinili u jedan skup. Matematička logika 55 Skupovi

56 Presek familije skupova Presek familije skupova {A i i I} definiše se sa: A i = {A i i I} def = {x ( i I) x A i }. i I Na slici desno prikazan je presek familije {A i } i I, gde je I = {1, 2, 3, 4, 5}. Matematička logika 56 Skupovi

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA. Bihać, 2014.

UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA. Bihać, 2014. UDŽBENICI UNIVERZITETA U BIHAĆU MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM BIHIGIENSIS Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA Bihać, 014. c prof. dr. sc. Bernadin Ibrahimpašić ELEMENTARNA MATEMATIKA Recenzenti

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente.

Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zadatak predikatske logike Iskazna logika se bavi rečenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu unutrašnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente. Zbog toga se pomoću iskaznih formula ne može

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

1. Skupovi Algebra skupova

1. Skupovi Algebra skupova 1. Skupovi 1.1. Algebra skupova Temeljne definicije i oznake. Pod pojmom skupa razumijevamo bilo koju množinu elemenata. Npr.: (a) skup svih prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,...} ; (b) skup svih cijelih

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1

Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Skupovi brojeva Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 32 Podsjetnik teorije skupova Operacije sa skupovima: A B = {x : x A x B} A B = {x : x A

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Kazimir Majorinc. Povijest Lispa 12. Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012.

Kazimir Majorinc. Povijest Lispa 12. Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012. Kazimir Majorinc Povijest Lispa 12. j Razmjena vještina Hacklab u mami 10. studeni 2012. MIT Research Laboratory of Electronics, Quarterly Progress Report, 15. travnja, 1959. Sadrži jednu od bar četiri

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i )

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i ) Dragan Jukić α 2 f = 3 α i χ Ai 3 fdλ = α i λ(a i ) α 1 α 3 A 1 A 2 A 3 MJERA I INTEGRAL OSIJEK, 2012. prof.dr.sc. Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL Osijek, 2012. D. Jukić Mjera i integral. Izdavač: Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Topologije A

Zadaci iz Topologije A Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo

Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola. Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo Teorija brojeva Okvirni program rada sa nadarenim učenicima osnovnih škola Hasan Jamak Prirodno-matematički fakultet Sarajevo January 24, 2012 Uvod U Bosni i Hercegovini već pedesetak godina se organizuju

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI

REALNA, KOMPLEKSNA ANALIZA I HILBERTOVI PROSTORI RALNA, KOMPLKSNA ANALIZA I HILBRTOVI PROSTORI M. MATLJVIĆ Abstract. R R M M Uvod Radna verzija, 26 septembar 2007, 29 maj 2008. Kurs iz Teorije Realnih i Kompleksnih funkcija (TR-KF, popularno TRiK) sastoji

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA

DISKRETNA MATEMATIKA Univerzitet singidunum Ivana Kovačević DISKRETNA MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje Beograd, 013. DISKRETNA MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: dr Ivana Kovačević Recezenti:

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA LOGIKA O MOGUĆNOSTIMA FORMALNOG METODA CID

MATEMATIČKA LOGIKA O MOGUĆNOSTIMA FORMALNOG METODA CID Slobodan Vujošević MATEMATIČKA LOGIKA O MOGUĆNOSTIMA FORMALNOG METODA CID PODGORICA 1996 Slobodan Vujošević, Matematička logika: o mogućnostima formalnog metoda ISBN 86-495-0019-6 Elektronsko izdanje Matematički

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα