Tratarea numerică a semnalelor

Transcript

1 LUCRAREA ratarea numerică a semnalelor Construirea semnalelor discrete Prin semnal se înţelege o variabilă pe suport energetic, care transportă sau codiică inormaţie. Un semnal de măsură are drept suport o tensiune sau un curent şi conţine inormaţii privind mărimea de măsurat. Semnalele de măsură pot i analogice sau numerice (digitale). Semnalele analogice se exprimă matematic prin uncţii continui având ca variabilă timpul (ig. a) t) t Semnal analogic n) N eşantioane n 2 4 (N-) 3 5 Semnal digital Figura. Semnalele analogice sunt prelucrate în interiorul instrumentelor de măsură cu ajutorul circuitelor electronice ce conţin dispozitive analogice pasive sau active cum ar i: rezistenţe, condensatoare, tranzistoare, ampliicatoare operaţionale, etc. Prelucrarea analogică a semnalelor prezintă următoarele trăsături: - este aectată de perturbaţii şi inluenţe parazite externe cum ar i: temperatura, umiditatea, vibraţii, câmpuri electromagnetice, etc., care ac ca rezultatele prelucrării să ie însoţite de erori importante; - este aectată de îmbătrânirea componentelor electronice - nu permite transmiterea semnalului pe distanţe mari - nu permite stocarea rezultatelor

2 - banda de recvenţă a semnalelor prelucrate este extrem de largă - costul prelucrării este redus. Semnalele digitale se obţin din cele analogice prin două operaţii de bază: eşantionarea şi cuantizarea. Eşantionarea este operaţia de prelevare din semnalul analogic a unor eşantioane la intervale de timp egale ( ). se numeşte perioadă de eşantionare, iar = se numeşte recvenţă de eşantionare. In consecinţă, semnalele digitale sunt reprezentate în domeniul timp sub ormă de secvenţe (şiruri) de numere: { ); ); 2);... N ) } { ); ); 2 );... ( N ) )} n) n ) = sau x n) () { } k=, ( = N ce reprezintă valorile semnalului t) la momentele de timp k. eoretic, semnalul digital n) se obţine din semnalul analogic t) prin înlocuirea timpului analogic t cu timpul discretizat, n. Cuantizarea sau conversia analog/numerică reprezintă transormarea eşantioanelor i) din nivele de tensiune în cuvinte numerice (succesiuni de biţi) care sunt apoi transerate calculatorului. Prelucrarea (tratarea) numerică a semnalelor (PNS) se ace prin intermediul unor algoritmi implementaţi prin programe de calculator. PNS se poate ace ie pe calculatoare obişnuite, la care viteza de prelucrare este relativ redusă, ie pe nişte procesoare cu o arhitectură specială denumite procesoare de semnal (DSP), care realizează calculele aerente algoritmilor cu viteze oarte mari. PNS prezintă următoarele trăsături: - prelucrarea se realizează cu exactitate oarte mare, dacă se respectă anumite condiţii - nu este aectată de calitatea componentelor hardware şi nici de perturbaţiile exterioare - se permite stocarea şi transmiterea la distanţă a rezultatelor ără pierderi - grad mare de lexibilitate; adăugarea de uncţii sau operaţii noi se ace prin simple modiicări de program - posibilitatea prelucrării unui număr oarte mare de semnale concomitent - banda de recvenţă a semnalelor prelucrate este limitată de constrângerile hardware şi de resursele sistemului de calcul - costul este relativ ridicat eorema eşantionării (teorema lui Shannon) Un semnal t) cu banda de recvenţă limitată (adică X() = pentru > M ) poate i reconstituit din eşantioanele sale dacă eşantionarea sa respectă condiţia: > 2 M (2) unde M reprezintă cea mai mare recvenţă din spectrul semnalului. Cu alte cuvinte, dacă este îndeplinită condiţia de mai sus, prin eşantioanele secvenţei n) va trece în mod determinist un singur semnal analogic. Frecvenţa = > se numeşte recvenţă Nyquist şi reprezintă cea mai mare 2 N M recvenţă din spectrul semnalului pentru care este îndeplinită teorema Shannon. 2

3 Dacă nu este îndeplinită condiţia de mai sus, e posibil ca prin aceleaşi eşantioane să treacă mai multe semnale. Se obţine o nedeterminare în reconstrucţia semnalului original din eşantioanele sale, rezultând o eroare denumită eroare de alias (igura 2). Figura 2. Ilustrarea enomenului "alias" Semnalele cu recvenţe deasupra recvenţei Nyquist, după eşantionare, apar ca şi cum ar avea recvenţa cuprinsă între şi N (igura 3). Acestea se numesc recvenţe alias. Frecvenţa alias se calculează ca modulul dierenţei dintre recvenţa componentei ce depăşeşte recvenţa Nyquist şi cel mai apropiat multiplu întreg al recvenţei de eşantionare. Aşadar, recvenţa alias este recvenţa cu care apare semnalul după eşantionare, care nu coincide cu recvenţa originală, dacă nu este îndeplinită teorema lui Shannon. = (3) alias N Exemplu Fie un semnal ce conţine următoarele recvenţe : = 25 Hz, 2 = 7 Hz, 3 = 6 hz, 4 = 5 Hz, eşantionat cu = Hz. Deci recvenţa Nyquist este Nq = 5 Hz. 4alias 2alias 3alias Nq Figura 3. Spectru ce conţine recvenţe alias = 25 Hz este reprezentată corect în spectru deoarece < Nq. oate celelalte apar în spectru ca recvenţe alias, cu valorile : 2alias = -7 = 3 Hz 3alias = 2-6 = 4 Hz 4alias = 5-5 = Hz 3

4 Secvenţa Impuls unitar (Dirac) este deinită de: pentru n = δ ( n) = ( 4) pentru n Impulsul unitar decalat cu k eşantioane este deinit de: δ ( n = Secvenţa ininită n) se exprimă prin: pentru n = k pentru n k (5) k= x ( n) = δ ( n (6) reprezintă valoarea numerică a eşantionului δ (n- reprezintă poziţia eşantionului în şir. O secvenţă inită ormată din N eşantioane se exprimă prin: N n) = δ ( n k = (7) Secvenţa n) decalată cu l eşantioane se exprimă prin: n l) = N + l k= l N δ ( n = δ ( n l (8) k= Aplicaţia Să se genereze manual o secvenţă ormată din eşantioane oarecare. Se lansează programul Lab. Se construieşte semnalul introducând valori oarecare pentru eşantioane utilizând meniul Construire semnale Manual punct cu punct. Se salvează în variabila Semnal. Se observă reprezentarea graică a eşantioanelor. Obs. oate semnalele, chiar dacă sunt reale, sunt reprezentate sub ormă de numere complexe scrise sub ormă carteziană (parte reală şi parte imaginară). Pe indicatorul graic se aişează automat partea reală a semnalului. Se salvează semnalul. Se vizualizează işierul în care a ost salvat semnalul cu un editor de text (Notepad sau Wordpad). Se observă modul în care este salvat semnalul, ormatul spreadsheet. Prima coloană reprezintă partea reală a eşantioanelor, iar cea de a doua partea imaginară. Se adaugă noi valori la semnal utilizând editorul de text (şi la partea reală şi la partea imaginară), după care se salvează în acelaşi işier. Se încarcă semnalul din işier în Lab şi se vizualizează. 4

5 Aplicaţia 2 Reprezentarea unui semnal sinusoidal sub ormă digitală. Fie semnalul sinusoidal analogic de orma: unde este recvenţa semnalului. x ( t) = Asin( ω t + ϕ ) = Asin(2πt + ϕ ) (9) Semnalul digitizat se obţine prin discretizarea timpului, adică prin înlocuirea t = k ( este perioada de eşantionare, iar = este recvenţa de eşantionare). Eşantioanele secvenţei vor i date de relaţia discretă: = Asin(2π k + ϕ ) = Asi n(2πk + ϕ ) = Asin(2π n k + ϕ ) () In relaţia de mai sus, n = se numeşte recvenţă normalizată. Dacă eşantionarea semnalului respectă teorema lui Shannon, atunci: > 2 n = <,5 () In procesarea digitală a semnalelor, întotdeauna recvenţele cu care se lucrează, recvenţe normalizate, au valori cuprinse între şi,5. Dacă = / este perioada semnalului şi N ep este numărul de eşantioane pe perioadă, atunci: = N ep Nep = = = n (2) Numărul de eşantioane dintr-o perioadă a semnalului eşantionat este inversa recvenţei normalizate. Probleme de rezolvat a) Să se genereze 5 perioade dintr-un semnal sinusoidal de recvenţă = 2 Hz, amplitudine 2, ϕ =, eşantionat cu recvenţa = 2 khz. Se calculează n = / şi numărul total de eşantioane, N = N per N ep unde N per este numărul de perioade. Se generează semnalul din meniul Construire semnale Pornind de la unctia analitica Sinusoidal introducând parametrii ceruţi. Se salvează în variabila Semnal Se observă reprezentarea graică şi se măsoară cu cursorul eşantioanele. Se măsoară de pe graic N ep. b) Aceeaşi întrebare ca la a), însă semnalul se eşantionează cu recvenţa = khz. Se salvează în variabila Semnal2. c) Aceeaşi problemă la a), însă semnalul se eşantionează cu recvenţa = 4 Hz, iar aza iniţială este ϕ = 3. Se salvează în variabila Semnal3. 5

6 d) Să se construiască semnalul: = Acos(2π n unde n =,5 iar A =. Se salvează în variabila Semnal4. Se compară Semnal3 cu Semnal4. Se constată că, deşi semnalele analogice sunt complet dierite, reprezentările lor digitale sunt identice. Acest lucru se întâmplă deoarece, în cazul semnalului 4, nu a ost îndeplinită teorema lui Shannon ( n =,5), deci intervine eroarea de alias. e) Să se genereze acelaşi semnal de la punctul a) eşantionat cu = 25 Hz şi N =. (Semnal5) Să se calculeze recvenţa alias a semnalului obţinut, utilizând relaţia (3). Să se determine din reprezentarea graică, numărul de eşantioane pe perioadă, N ep. Se constată că ceea ce se obţine este un semnal cu 5 eşantioane/perioadă, adică având n =,2, care este de apt aceeaşi secvenţă pe care am obţine-alias a = 2 25 = 5 Hz cu = 25 dacă am eşantiona semnalul cu recvenţa Hz. Aplicaţia 3 a) Să se calculeze recvenţa de eşantionare,, cu care trebuie eşantionat un semnal dreptunghiular de recvenţă = Hz, astel încât 8 de eşantioane din acest semnal să reprezinte 4 perioade. b) Să se genereze semnalul cu amplitudinea A = 4 şi ϕ =, cu diverşi actori de umplere. Notă: Pentru un semnal dreptunghiular, actorul de umplere este dat de raportul: t FU = [%] t t Figura 4 Aplicaţia 4 a) Să se construiască un semnal triunghiular având următorii parametri: A =, N = 4 eşantioane, n =,5, ϕ =. b) Să se construiască de asemenea un semnal rampă cu parametrii de mai sus. Aplicaţia 5 Să se genereze semnalul din igura 5, utilizând: a) un semnal triunghiular b) un semnal rampă, alegând convenabil parametrii semnalelor. 6

7 S(n) n Figura 5 Aplicaţia 6 Să se genereze secvenţe de tip impuls Dirac ormate din 2 de eşantioane, impulsul iind decalat cu, 5 şi eşantioane aţă de origine. Aplicaţia 7 Să se genereze un semnal modulat în amplitudine cu următorii parametri: recvenţa purtătoarei: p = khz recvenţa semnalului modulat: m = khz recvenţa de eşantionare: = khz A =. diverşi indici de modulaţie m Ce se întâmplă dacă recvenţa purtătoarei nu îndeplineşte teorema lui Shannon? Aplicaţia 8 Să se genereze semnalul modulat în recvenţă cu valorile implicite din program. Să se studieze inluenţa lui m. Aplicaţia 9 Generarea semnalelor deormate. Un semnal periodic de ormă oarecare se descompune în serie Fourier printr-o sumă de semnale sinusoidale ale căror recvenţe sunt multipli ai unei recvenţe undamentale, plus eventual o componentă constantă. Construcţia semnalului deormat presupune speciicarea amplitudinilor şi azelor iecărei componente. Cea mai mare recvenţă din semnal trebuie să respecte teorema lui Shannon, adică; k n <,5 unde n este recvenţa normalizată a undamentalei, iar k este rangul armonicii. Să se genereze un semnal deormat la care: A =, A 3 = /3, A 5 = /5, A 7 = /7, A 2 = A 4 = A 6 =, ϕ ϕ 7 =, N = eşantioane, n =,. Observaţie: Aceştia sunt primii termeni ai descompunerii în serie Fourier a unui semnal dreptunghiular. 7