Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.

Transcript

1 Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL TEMATIC AL DISCIPLINEI 1 Structuri algebrice: Relaţii fucţioale, compuerea fucţiilor, proprietăţi Relaţii de echivaleţă, mulţime factor (ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula I, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, 004, Cap I, pag9-19) Mooizi: legi de compoziţie, mooid, submooid, mooidul liber geerat de o mulţime, cogrueţe pe u mooid, mooid factor, morfisme de mooizi, teorema fudametală de izomorfism (ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula I, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, 004 Cap II pag -41) 3 Grupuri: grup, subgrup, teorema lui Lagrage Subgrup ormal Grup factor, teorema fudametală de izomorfism Ordiul uui elemet îtr-u grup Grupuri ciclice Grupul permutărilor uei mulţimi fiite (ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula I, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, 004, cap III, pag 4-88 ) 4 Iele, corpuri, algebre: iel, subiel, ideal Morfisme de iele, teorema fudametală de izomorfism Iele booleee, Corpuri, corpul fracţiilor uui domeiu Algebre, algebra metricelor, Algebra polioamelor Rădăcii ale polioamelor, corpul rădăciilor uui poliom Corpuri fiite Teorema fudametală a algebrei (ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula I, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, 004, cap V, pag ) II BIBLIOGRAFIE MINIMALĂ OBLIGATORIE 5 ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula I, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, ID Io, S Bârză, L Tufa Lecţii de algebră, Fascicula II, Editura Fudaţiei Româia de Mâie, Bucureşti, IDIo, NRadu Algebră, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, CNăstăsescu, CNiţă, CVraciu Bazele algebrei, Editura Academiei, Bucureşti, 1986

2 Test de autoevaluare rezolvat 1a)Sa se arate ca multimea Z ( G) { a G ax xa, x G} subgrup al lui G 1b)Sa se arate ca Z ( G ) este abelia 1c) Daca x, y G astfel icat xy Z ( G) 1d)Daca ( G, ) este abelia, care este ( ) Solutie umita cetrul grupului G este u atuci xy yx Z G? 1a)Sa aratam ca daca a, b Z ( G) atuci ab Z ( G) Di a, b Z ( G) ax xa, by yb, x, y G Atuci avem ( ab) x a ( bx) a ( xb) ( xa) b x ( ab) si deci ab Z ( G) 1 b) Fie a Z ( G) si sa aratam ca a Z ( G) Petru x Z ( G ) ( ) ( ) ax x a ax x a 1 1 xa a x 1 a Z G adica ( ) Di a) si b) avem ca Z ( G ) este u subgrup al lui G 1b) Fie a, b Z ( G) Deci ax xa, x G 1c) Fie z xy Z ( G) Atuci 1d)Di cele de mai sus Z ( G) arbitrar avem I particular petru x b Z ( G) si ( ) ( ) ( ) y x z G 1 3 Stabiliti ordiul lui σ, σ S3, σ 3 1 Solutie ord ( σ ) 3, σ { e, σ, σ } rezulta ab ba yx x z x x zx x xz z xy 3 Determiati grupurile de ordi 4 Fie G u grup de ordiul 4 Daca exista u elemet avad ordiul egal cu 4, atuci a 4 si deci G a, adica G este grup ciclic I caz cotar petru orice a G, a e, avem ord ( a ) (di Teorema lui Lagrage ordiul elemetului divide ordiul grupului) Rezulta x e, x G si deci grupul G este abelia Daca a G, a e, H a e, a Daca b G / H G e, a, b, ab Grupul G este atuci { } defiit de geeratorii a si b si relatiile e a b ab e e a b ab a a e ab b b b ab e a ab ab b a e Acesta este de fapt grupul lui Klei, atuci { } a e, b e, ab ba, iar tabla sa de multiplicare este

3 Deci exista tipuri de grupuri de ordiul 4: grupul ciclic geerat de u elemet si grupul lui Klei Petru grupurile cu trei elemete exista u sigur tip de grup si aume cel ciclic 4 Stabiliti u morfism de la grupul (, ) Solutie Fuctia :(, ) (, ), ( ) x R + la grupul (, ) R f R + R f x e este morfism de grupuri petru ca x+ y x y ( ) ( ) ( ),, f x + y e e e f x f y x y R 5 Petru morfismul :(, ) (, ), ( ) Solutie Kerf 0, Im f 0, { } ( ) f R + R f x e stabiliti Kerf?, Im f? 6 Sa se arate ca urmatoarele grupuri u sut izomorfe: ( Z, ),( Q, ) + x + + Solutie Daca grupurile sut izomorfe, atuci ele ar trebui sa aiba acelasi proprietati Cum Z este grup ciclic (geerat de 1), iar Q u este ciclic, rezulta ca cele doua grupuri u sut izomorfe 7 Determiati subielele ielului Z al umerelor itregi Solutie Orice subiel al lui Z trebuie sa fie u subgrup al grupului aditiv ( Z, + ) Stiim ca subgrupuri lui Z sut de forma Z, N Produsul a doi multipli de este ica u multiplu de Asadar multimile Z reprezita subiele lui ( Z, +, ) Deoarece subielele trebuie sa fie uitare trebuie sa avem 1 Z 1, adica gasim ca 1 Z Z Deci Z este subiel al lui Z (subielul Z al lui Z se umeste subiel impropriu) 8 Fie A { f :[ 0,1] R f cotiua} a) Sa se arate ca impreua cu aduarea si imultirea fuctiilor formeaza u iel comutativ b) Petru f A, f 0, g A, g 0 ai f g 0 x f x 0 cotie u iterval { } daca si umai daca ( ) Solutie a) Defiim operatiile de aduarea si imultirea fuctiilor di A astfel f, g A, f + g : 0,1 R, f + g x f x + g x, x, y 0,1 [ ] ( )( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( )( ) ( ) ( ) [ ] f, g A, f + g : 0,1 R, f g x f x g x, x, y 0,1 Verificam axiomele ielului A, + este grup abelia 1) ( ) ) ( A, ) este mooid comutativ 3) Distributivitatea imultirii i raport cu aduarea fuctiilor di A A, + este grup abelia 1) ( )

4 f, g A, f + g A( aduarea pe A este lege de compozitie) G 1 ) Aduarea fuctiilor este itotdeaua asociativa, deci se pastreaza si pe A G ) Aduarea fuctiilor este itotdeaua comutativa, deci se pastreaza si pe A G 3 ) Elemetul eutru petru aduare este fuctia zero, 0 :[ 0,1 ] R,0( x) 0, x [ 0,1] petru care f f f, f A G 4 ) Elemete simetrizabile f A, f A ai f + f f + f 0 ) (, ) ( ) ( ) ( ) A este mooid comutativ f, g A, f g A ( imultirea pe A este lege de compozitie) M 1 ) Imultirea fuctiilor este itotdeaua asociativa, deci se pastreaza si pe A M ) Elemetul eutru la imultire este fuctia costata 1, 1: [ 0,1 ] R,1( x) 1, x [ 0,1] petru care f 1 1 f f, f A M 3 ) Imultirea fuctiilor este itotdeaua comutativa, deci se pastreaza si pe A 3) Distributivitatea imultirii i raport cu aduarea fuctiilor di A (stiim ca i geeral imultirea fuctiilor este distributiva i raport cu aduarea fuctiilor, aceasta proprietate se pastreaza i pe A) A, +, iel comutativ Di 1), ), 3) avem ( ) b) Petru f A, f 0, g A, g 0 ai f g 0,, { 0} daca si umai daca ( ) Daca g :[ 0,1 ] R, g 0 atuci exista x0 [ 0,1] ai g ( x0 ) 0 Presupuem ca g ( x 0 ) > 0 Cum g cotiua i x 0, deducem ca exista g ( x0 ) > 0, x V (daca x 0 0 se ia V [ 0, ε ), iar petru x 0 1 se ia ( ] Dar f ( x) g ( x) 0, x V, ceea ce e coduce la f ( x) 0, x V,, Sa presupuem ca f ( x ) 0, petru x [ x1, x ], x1, x [ 0,1 ], x1< x Cosideram 0, x [ 0,1 ]/[ x1, x ] g ( x) ( x x1 )( x x ), x [ x1, x ] Se verifica cu usurita ca g este cotiua pe [ 0,1 ], 0 9 Fie ( A, +, ) iel cu elemet uitate 1 0 arate ca ( A, +, ) este corp izomorf cu Z sau Z 3 Solutie Di x 1 rezulta ca x 0 este iversabil si x Observam ca ( )( ) x f x cotie u iterval V V x0 astfel icat V 1 ε,1, ε> 0 ) g si este clar ca f ( x) g ( x) 0, x [ 0,1] x 1, peru orice x A/ { 0}, cu proprietatea 1 x Deci (,, ) A + este corp Sa se x + 1 x 1 x x + x 1 0 Cum A corp (u are divizori ai lui zero) rezulta ca x sau 1 0 x 1,1, x 0 A 0,1, 1 Avem doua posibilitati: 1) 1 1 A 0,1 si avem aplicatia 0 0, ˆ 1 1ˆ este izomorfismul de la A la Z x, adica { } Pri urmare { }, adica { }

5 ) 1 1, adica { 0,1, 1} 10 Sa se arate ca u exista f Z [ X ] petru care f ( ) f ( ) A si avem aplicatia 0 0, ˆ 1 1, ˆ 1 ˆ este izomorfismul de la A la Z 3 Solutie f Z X si a b, a, b Z 1 5, 3 8 Petru [ ] se verifica cu usurita ca ( ) ( ) Daca i cazul de fata ar exista f Z [ X ], atuci f ( 3) f ( 1) ( 3 1) f a f b M a b M sau 8 5M, fals

6 ALGEBRA I Aul I, semestrul I SUBIECTE PROPUSE I Stabiliti daca H N, atuci H este submooid al mooidului ( N, +,0)? +, atuci H este submooid al mooidului (,,1) 1 Fie { } Daca H { 1 N} 3 Fie ( ) a b T R a, b, c R 0 c T ( R ) u este submooid al mooidului ( ) 4 Aplicatia f : M ( Z ) Z, ( A) A ( Z,,1) 5 Fie N si (,,1 ˆ ) Aplicatia f : Z Z N? multimea matricelor superior triughiulare di M ( ) ( M R,, I ) ( M Z,, I ) f este morfism de la mooidul ( ) Z mooidul multiplicativ al claselor de resturi modulo, f ( a) aˆ este morfism de la mooidul (,,1) 6 Fie ( G,,e) u grup Petru orice G ρ ( x) xa u sut bijective a { } R Atuci la mooidul Z la mooidul (,,1 ˆ ) Z? a, aplicatiile λ : G G, λ ( x) ax si ρ : G G, a a 7 Fie H σ S σ( ), atuci H u este subgrup al lui S 8 Fie ( G,,e) u grup fiit si H u subgrup al lui G Atuci G H [ G : H ] 9 Dacă a este elemet de ordi fiit, atuci umarul atural otat cu ord ( a), se umeste ordiul lui a ord * ( a) mi { k N a e} k 10 Dacă G este grup fiit, atuci orice elemet a G are ordiul fiit si ord ( a)ordg 11 Fie ( G,,e) u grup fiit si G Atuci a e, a G 1 Dată σ S,, otam cu Iv ( σ) umarul perechilor ( j) Vom spue ca Iv ( σ) este umarul iversiuilor permutarii σ σ este para daca ( σ) 1 13 O permutare S 14 O permutare S 15 Fie S ε σ este impara daca ε ( σ) 1 i, cu j i < astfel icat ( i) > σ( j) a σ σ, > 1 şi σ τ1 o τ o o τm o reprezetare a lui σ ca produs de traspozitii Atuci umerele m şi ( σ) F F F Iv au aceeasi paritate si deci ( σ) ( 1) m ε F F

7 16 Daca > 1 { 1}! A u este u subgrup de ordi al lui, atuci σ S ε( σ) 17 Fie ( G,,e) u grup U subgrup N al grupului G se umeşte subgrup ormal al lui G daca 1 a G, x N axa N { } 18 SL ( R) < GL ( R), ude SL ( R) X M ( R) X 1? 19 Daca ( G,,e) este u grup atuci subgrupul uitate { e} G S 1 şi G sut subgrupuri ormale ale lui 0 Daca ( G,,e) este grup abelia atuci orice subgrup H al lui G u este subgrup ormal 1 U grup ( G,e) diferite de 1 { e} si G, se umeşte simplu daca are cel puţi doua elemete si u are subgrupuri ormale Orice grup G de ordi p, p umar prim, u este simplu 3 Daca 5, atuci grupul alter A este simplu 4 Daca 3, grupul alter A este geerat de ciclurile de ordi 3 5 Fie ( G,,e) şi ( G, e ) doua grupuri O aplicatie f : G G se umeste morfism de la grupul G la grupul G daca f ( xy) f ( x) f ( y) oricare ar fi x, y G 6 U iel comutativ R cu 1 0 si cu divizori ai lui zero se umeste domeiu de itegritate sau iel itegru F Z, +, al umerelor itregi u este domeiu de itegritate 7 Ielul ( ) 8 Daca (,+, ) 9 Daca (,+, ) 30 Daca (,+, ) R este u iel, atuci x R avem x 0 0 x 0 R este u iel, atuci daca R > 1, atuci 1 0 R este u iel, atuci x( y) ( x) y xy şi ( x )( y) xy 31 Daca ( R,+, ) este u iel, atuci x( y z) xy xz şi ( y z) x yx zx 3 Daca (,+, ) oricare ar fi x, y R oricare ar fi x, y, z R R este u iel, atuci daca R u are divizori ai lui zero, iar xy xz sau yx zx cu x 0, atuci y z M Z u este subiel al ielului ( ) 33 ( ) 34 Dacă R este u iel Atuci u este subiel al ielului ( R) M, M R? a b T ( R) a, b, c R 0 c 35 Mulţimea S a şirurilor Cauchy de umere reale este subiel al ielului reale 36 Daca N 37 Daca I R şi I Z { q q Z} F atuci I este ideal al lui Z? <, atuci I este subgrup al grupului (,,0) R +? F F F al şirurilor de umere a b 38 Dacă iar I a, b, c, d, atuci I u este ideal bilateral al lui R c d F F

8 39 Aplicaţia f : Z Z, este morfism surjectiv de la ielul (,,1) Z la ielul (,,1 ˆ ) Z? 40 Aplicatia f : M ( Z ) Z, f ( A) ˆ, ude a c A M ( ) ˆ ˆ Z, ˆ a c A b d bˆ dˆ, u este morfism surjectiv de iele? F 41 Fie f : R R u morfism de iele, atuci Ker ( f ) este ideal bilateral al lui R, iar Im(f ) este subiel al lui R R 4 Dacă f : R R este u morfism de iele, atuci Im( f )~ Ker( f ) M Z multimea matricelor patrate cu coeficieti i Z Daca f M ( Z ) M ( Z ) 43 Fie ( ) morfismul cu actiuea a b aˆ f c d cˆ Ker f M Z Im bˆ dˆ f M Z? avem ( ) ( ) şi ( ) ( ) 44 M ( Z ) u este ideal bilateral al lui ( ) M Z? : este 45 Daca m, N sut prime ître ele, atuci ielul Z m u este izomorf cu produsul direct al ielului Z m cu ielul Z? F 46 Fie K şi K doua corpuri O aplicatie f : K K se umeste morfism (izomorfism) de corpuri daca este morfism (izomorfism) de la K la K cosiderate ca iele 47 U domeiu de itegritate fiit este corp Ielul ( Z,, p + ) este corp daca si umai daca p este umar prim? 48 Dacă R este u domeiu de itegritate există u corp comutativ K, umit corpul fracţiilor lui R, astfel îcât R este subiel al lui K şi petru orice x K există a, b R, b 0 astfel îcât 49 1 x ab x y T Z x y z Z M Z 0 z ( ),, ( ) F este o Z-subalgebră a Z-algebrei M ( Z )? 50 Dacă R este u domeiu de itegritate, atuci R [ X ] este domeiu de itegritate şi grad ( fg ) grad( f ) + grad( g) oricare ar fi f, g R[ X ], f 0, g 0 a b 51 K a, b R b a este corp i raport cu aduarea si imulţirea matricelor şi K C? 5 Daca f : M M este u morfism bijectiv de mooizi iar 1 f este morfism bijectiv de la mooidul ( M, e ), la mooidul ( M,e) 1 f este iversa aplicatiei f, atuci,

9 53 Petru mooidul multimea elemetelor iversabile di este, ude s-a otat cu ( a, ) cel mai mare divizor comu al umerelor itregi a si G,,e de ordi 3 este izomorf cu grupul aditiv al claselor de resturi modulo 54 Orice grup ( ) 3 55 Daca ( G,e), este u grup, a G, aplicatia G G 56 Aplicatia f : C R, ( C, +, ) la grupul (,, ) 57 Dacă ( G,,e) şi ( G, e ) grupuri G,e 58 Fie (, ) şi ( G, e ) + f ( z) + b R + +? 1 ϕ : ϕ( ) axa z zz a daca z a + i b x este bijectiva, este morfism de la grupul, sut două grupuri, aplicaţia f : G G, f ( x) e este morfism de, două grupuri şi f : G G u morfism de grupuri Atuci f ( e) e şi ( 1 f x ) ( f ( x) ) 1, oricare ar fi x G 59 Grupurile ( Z, +,0) şi ( Q, +,0) sut izomorfe F 60 Grupurile ( R *,,1) şi ( C *,,1) u sut izomorfe A 61 Grupurile ( Q, +,0) şi ( Q * +,,1) u sut izomorfe A x y 6 Petru orice x, y R se defieste legea de compozitie x* y l ( e + e ) Multimea solutiilor ecuatiei ( x* x) * x 0 este 63 Pe Z defiim legea de compozitie x* y xy 6x 6y + 4 Suma elemetelor simetrizabile i raport cu această lege este 64 Pe R este defiita legea de compozitie x* y xy 3x 3y m *3 *4 175 are loc petru m 65 Fie grupul (, 10 ) 66 Fie grupul ( ) Z + Cate subgrupuri are acest grup? Z + Cate grupuri factor are acest grup? 1, 67 Afirmatia este adevărată [ G : H ] x -l 3 68 Cate morfisme exista de la grupul ( Q, + ) la grupul (, ) 8 G H F Egalitatea ( ) Z +? 69 Fie M si N doua multimi fiite avad m, respectiv elemete Cate fuctii defiite pe M cu valori m i N exista? 70 Fie M si N două multimi fiite avad m, respectiv m elemete Cate fuctii bijective defiite pe M cu valori î N exista? m 71 Fie M si N două multimi fiite avad m, respectiv elemete, m Cate fuctii ijective m defiite pe M cu valori i N exista? 7 Pe multimea umerelor aturale cosiderăm operatia algebrică m m Atuci operatia este asociativă si u este comutativă? operatia u este asociativă si u este comutativa 73 Fie z C, z i, atuci ord(i)? 4

10 π π 74 Dacă m N şi z cos + isi, atuci ord(z)? m m 75 Dacă z 1+ i C, atuci ord(z)? Z ˆ 4, +,0 şi ˆ3 Z4, atuci? 76 Fie grupul ( ) 77 Dacă x, y R, x 0, y 0, avem spuem că R este iel fără divizori ai lui zero? 78 Elemetul zero al ielului Z8 79 Elemetul uitate al ielului Z8 80 I ielul Z8 81 Astfel î ielul Z8 ( ˆ5, 3 ) ( 3, ˆ 7 ) avem Z este? Z este ( 1ˆ,1)? Z, produsul direct al ielului ( 8,, ) Z +, avem ( ˆ5, 3 ˆ ) + ( 3, 7) F Z + cu ielul (,, ) Z, produsul direct al ielului ( 8,, ) Z + cu ielul (,, ) Z +,? a 0 8 Fie R M ( Z ) şi I a, b Z, atuci I este ideal la staga al lui R şi u este ideal la b 0 dreapta? Fie R M ( Z ) şi J a, b Z atuci J este ideal la staga al lui R si este ideal la a b dreapta al lui R? F 84 Fie f : R R u morfism de iele,atuci f este ijectiv dacă şi umai dacă 85 Fie Să se calculeze f ( 3) 86 Fie Să se determie catul impartirii lui f la a b 87 Dacă A M ( Z ) şi f X ( a + d ) X + ad bc di, c d atuci? F F 6 88 Fie R u iel astfel icat x x F F, x R Stabilti daca? 6 F? F 6 89 Fie R u iel astfel icat x x, x R Stabilti daca? F II Probleme cu grad mediu de dificultate x x Fuctia f :( 0, ) (, ), f ( x) este ijectivă si u este surjectivă? ijectivã si u este surjectivã

11 Câte morfisme de mooizi există de la ( *, ) Z la (, ) N +? Niciuul 3 Pe R se defieste legea de compozitie astfel x* y ax + by + c, x, y R ude a, b, c R Calculati suma S a + b + c stiid că acestă lege de compozitie admite elemetul eutru e 3 S 11 4 Se cosideră ielul ( Z,*, ) ude x* y x + y + x y xy + x + y + x, y Z Fie T umărul divizorilor lui zero ai acestui iel Atuci T 5 Grupul ( Z Z, 0 ) + este fiit geerat, dar u este cyclic ifiit geerat Fie permutarea τ S6, τ Determiati ordiul permutării τ T 0 Z +? 7 Fie G u grup cu 6 elemete Atuci G este îtotdeaua izomorf cu grupul ( ) 6, 1 F 8 Fie ( ) S o grupul permutarilor de ordi 3 si H u subgrup cu 3 elemete al acestui grup Câte 3, elemete are grupul factor S / H? Fie multimea U { z C z 1} 10 Fuctia ( ) Câte elemete are această multime? f : R R, f x x 4x + este bijectivă? F 5 11 Câte morfisme de mooizi există de la ( Q, + ) la (, ) Q +? iciuul 1 Se cosideră ielul ( Z,*, ) ude x* y x + y 3 x y xy 3x 3y + 1 x, y Z Fie P Z [ X ] poliomul care are drept rădăcii elemetele iversabile ale ielului si coeficietul domiat egal cu uu Notăm cu S suma pătratelor elemetelor iversabile Atuci S? S5 Z + este ciclic? 13 Grupul ( ) 15, F Fie permutarea τ S6, τ Stabiliti ordiul permutării 1 τ 7 15 Fie multimea U { z C z 1} Câte elemete are această multime? 3 7

12 16 Cosiderăm multimea umerelor reale si relatia biară defiită pe această multime astfel: ρ x, y x, y R, x y x + y 3 {( ) } F Atuci relatia este reflexivă si u este trazitivă? x 3, x 0 17 Fie f : R R, f ( x) Atuci f este ijectivă? 7 x, x > 0 x 18 Fie f : Z Z, f ( x), ude pri [ q ] se îtelege partea îtreagă a umărului q Atuci f este surjectivă? 19 Fie f : A B si g : B C două fuctii surjective Atuci go f este surjectivă? 0 Fie M o multime cu 3 elemete Câte legi de compozitie se pot defii pe M? 1 Fie u grup G si x u elemet de ordi fiit di G Daca m, sut doi itregi pozitivi cu proprietatile, atuci? F Fie permutarea are descompuerea 3 9? F 3 Fie permutarea are descompuerea? 4 Fie Stabiliti daca face ca sa fie u grup abelia 5 Fie Daca atuci avem grup abelia? 6 Care sut elemetele iversabile ale ielului? 7 Legea de compozitie Gasiti elemetul eutru 8 Legea de compozitie Gasiti elemetul eutru 9 Legea de compozitie Gasiti elemetul eutru 30 Legea de compozitie admite ca elemet simetric pe? 31 Fie legea de compozitie, ude Solutiile ecuatiei sut? F 3 Se cosidera multimea pe care se defieste lege de compozitie, gasiti elemetul eutru? F 33 Se cosidera multimea pe care se defieste lege de compozitie, gasiti elemetul simetrizabil? F 34 Fie Determiaţi mulţimea elemetelor sale iversabile, F

13 35 Daca f si g sut doua fuctii mootoe, de mootoii diferite, atuci gof (ie g compus cu f) este crescatoare? F 36 Daca A si B sut multimi care verifica proprietatile : A B{1,,3,4,5,6,7,8,9}; B-A{4,5,6,7,8}; {3,9} B ; A B{1}, determiati multimile A si B A{1,,3,9}; B{1,4,5,6,7,8} 37 Se cosidera multimea G{ a + b a,b Q, a + b 0}, care impreua cu operatia de imultire formeaza u grup abelia Determiati iversul lui Daca G e grup si H 1, H subgrupuri ale sale, atuci H 1 H u poate fi subgrup al lui G? F 39 Daca defiim az + bz {x+y x az, y bz}, ude pri Z am otat multimea umerelor itregi, atuci determiati 5Z + 0Z 5Z Se cosidera elemetul z cos( π ) + isi( π ) apartiad grupului multiplicativ al umerelor 5 5 complexe (C *,,1) Atuci determiati ordiul lui z 41 Se cosidera elemetul z cos( 7π ) + isi( 7π ) apartiad grupului multiplicativ al umerelor complexe (C *,,1) Determiati ordiul lui z 10 4 Daca (C *,,1) este grupul multiplicativ al umerelor complexe, atuci cate subgrupuri de ordi 10 ale acestui grup exista? 1 subgrup Se cosidera permutarea σ S 10, σ Gasti ordiul permutarii Se cosidera permutarile σ,τ S 5, σ, τ Determiati permutarea x S 3 cu proprietatea ca x o σ τ 1 x Se cosidera permutarile σ,τ S 4, Sa se rezolve ecuatia Se cosidera permutarea σ S 5, σ Atuci determiati σ Ce morfism(morfisme) de la (Q,+) (Q fiid multimea umerelor ratioale) la (Z,+) (Z fiid multimea umerelor itregi) putem defii? orice morfism de tipul kx, cu k Z * 48 Cu cie este izomorf grupul multiplicativ ( R +, ) (ude pri R * + am otat multimea umerelor reale strict pozitive)? cu (R,+) (grupul aditiv al umerelor reale) 49 Care sut automorfismele grupului (Z,+) (Z fiid multimea umerelor itregi)? morfismul x si morfismul x 50 Se cosidera multimea M {1,,3,4} Cate submultimi cu doua elemete exista? 51 Fie A u iel uitar cu proprietatea ca x 1 x, ( ) x A Atuci, oricare ar fi x A :x 1? σ F x x

14 AR, ude R este multimea umerelor reale 5 Fie A u iel uitar iclus i corpul C al umerelor complexe si care iclude itervalul (0,1) Operatiile ielului sut cele iduse de operatiile di C Atuci AR sau AC, R si C avad F semificatia de mai sus 53 Determiati solutiile ecuatiei 3x 4x i Z 5 x 1 1ˆ, x ˆ 54 Gasiti solutiile ecuatiei 3x 4x i Z 11 x 1 1ˆ 4ˆ 55 Determimati solutiile ecuatiei x x i Z 7 1 ˆ, x 6ˆ 56 Gasiti solutiile ecuatiei x x i Z Care este poliomul g Z 8 [X] astfel icat ( ˆ X + 3ˆ) g 1ˆ 58 Determiati solutiile ecuatiei 3x 4x i Z Gasiti solutiile ecuatiei 3x 4x i Z Determiati solutiile ecuatiei x x i Z Stabiliti daca 6 Fie cu coeficieti i, atuci avem? 63 Stabiliti i x 1 4ˆ, x 14ˆ g(x) 4ˆ X + 6ˆ X + 3ˆ x 1 1ˆ, x 6ˆ x 1 1ˆ, x 13ˆ 1 10ˆ, x 10ˆ F 64 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci? 65 Pe multimea se cosidera legea de compozitie determiati elemetul eutru 66 Stiid ca legea de compozitie admite elemet eutru sa se determie acesta 67 Stiid ca legea de compozitie admite elemet eutru sa se determie acesta 68 Pe multimea se cosidera legea de compozitie Determiati grupul astfel icat fuctia, data de relatia sa fie u izomorfism al celor doua grupuri 69 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci? 70 Pe multimea se cosidera legea de A compozitie atuci? F 71 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci? F 7 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci solutia ecuatiei va fi? 73 Pe multimea se cosidera legea de compozitie F 1 atuci este parte stabila i raport cu legea? 74 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci stabiliti daca este parte stabila i raport cu legea 75 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci u este parte stabila?

15 76 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci stabiliti daca este parte stabila i raport cu legea 77 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci determiati elemetul eutru 78 Pe multimea se cosidera legea de compozitie atuci gasiti solutia ecuatiei F b u este parte stabila i raport cu legea 79 I multimea se cosidera multimea atuci? 80 I multimea se cosidera multimea atuci? 81 I multimea se cosidera multimea atuci determiati A3,A G 8 I multimea se cosidera multimea atuci stabiliti daca 83 I multimea se cosidera multimea si atuci Stabiliti daca 84 I multimea se cosidera multimea gasiti doua matrice P,Q astfel icat 85 I multimea se cosidera multimea determiati matrice a U, daca este o matrice iversabila 86 I multimea se cosidera multimea sa se determie umarul de 8 F elemete di G 87 Determiati umarul de elemete di multimea Determiati i restul impartirii poliomului la poliomul

16 89 Cate elemete iversabile sut i ielul 90 Sa se determie polioamele astfel icat 91 Sa se calculeze elemetul i 9 Sa se calculeze elemetul i 0 93 Fie G u grup Exista o submultime stricta H a lui G (adica H sa fie strict iclusa i G) astfel icat ( ) a H si b G sa rezulte ab H? 94 Orice subgrup al uui grup abelia este ormal? 95 Fie A u iel cu proprietatea ca x 3 x, ( ) x A Atuci ielul este comutativ? 96 Orice grup G de ordi p, cu p umar prim, este comutativ? 97 Fie grupul simetric ( ) 3, 98 Fie grupul simetric ( ) 3, 99 Fie ( ) S o Atuci stabiliti umărul subgrupurilor lui S 3 S o Atuci gasiti umărul subgrupurilor ormale ale lui S 3 * kπ kπ * f : Z C, f k cos + i si, ude N Atuci ( h, k ) Z Z f hk f h f k? F f(h+k)f(h)f(k) 5Z 5m m Z Stabiliti daca 5Z este subgrup al grupului avem ( ) ( ) ( ) 100 Fie grupul ( Z, + ) si multimea { } ( Z, + ), dar u este ormal? F 101 Fie multimea U { z C z 1} Stabiliti daca U este subgrup al grupului ( *, ) ormal? F U este subgrup ormal al grupului ( C *, ) 10 Fie M ( ) C, dar u este R multimea matricilor cu două liii, două coloae si elemete di multimea umerelor 0 0 reale Multimea I a, b R este ideal la stâga al ielului ( M ( R ), +, ), dar u este a b ideal la dreapta al acestui iel? Fideal la dreapta al ielului M R, +,, dar u este ideal la stâga al acestui iel Q a + b a, b Q Atuci ( Q ( ), +, ) este corp ecomutativ? corp comutativ 103 Fie ( ) { } 104 Fie f $ X + $ Z [ X ] Atuci g ( X ) Z [ X ] astfel îcât ( ) ( ) f X g X $? 105 Fie A u iel si I, J, L ideale bilaterale î A astfel îcât I + J si I JL Atuci I J? * 106 Fie U grupul multiplicativ al al umerelor complexe de modul 1, C grupul * multiplicativ al umerelor complexe si R + grupul multiplicativ al umerelor reale pozitive si * * eule Stabiliti daca C / R + este izomorf cu U 107 Stabiliti daca ( R, + ) si (, ) Q + sut izomorfe 108 Fie G u grup fiit si a, b G două elemete oarecare astfel îcât ab ba Dacă ord( a) m, ord( b) si ( ) m, 1 atuci ord( ab) m Fie permutarea τ S9, τ Descompueti permutarea î produs de ciclii disjucti (1,4,7)(,6,)(3,9,5)(8) 6 5Z este subgrup ormal al grupului ( Z, + ) F A A F 3 A A

17 110 Fie fuctiile f, g : R R date de f ( x) ax + b cu a, b R, a 0 a 1, b 0 determie a si b astfel îcât f o g go f 111 Fie f : R R o fuctie cu proprietatea ( )( ) 1, respectiv g ( x) 3x 5 + Să se f o f x x x + 1 petru oricare x R Atuci calculati f(1) 11 Pe R se defieste legea de compozitie x* y xy x y + 6 petru oricare x, y R Atuci gasiti suma elemetelor di R care coicid cu simetricele lor fată de această lege 4 3 X + X + 1 Z X este ireductibil? 113 Poliomul [ ] 114 Fie fuctia f : ( 1,0 ),, f ( x) x 6 x + Stabiliti daca fuctia este bijectivă 115 Pe R se defieste legea de compozitie x* y x + y + mxy, ude m R, cu proprietatea că multimea [ 1, ) este parte stabilă a lui R î raport cu această operatie algebrică Determiati e elemetul eutru al acestei legi de compozitie 0,, R, o,*, ude 116 Se cosideră corpurile ( R + ) si ( ) x, y R, xo y x + y, x* y xy x y + 6 Dacă f : R R, f ( x) ax + b este izomorfism de corpuri de la ( R, +, ) la (,,*) R o, atuci determiati a si b? a 1, b 117 Fie fucţia f : A B cu proprietatea: este adevărată afirmatia f este bijectivă? F este ijectivă 118 Fie f : z z, f(x)x+1 este adevărată afirmatia f este bijectivă? F este ijectivă 119 Fie f :, f(x)x+1 este adevărată afirmatia f u este bijectivă? A 10 Fie si două fuctii ijectiveatuci go f u este ijectiva? F g 11 Fie A{0,1,,3,4} Atuci? 1 Costata este astfel îcât legea de compoziţie defiită pri F A A f este ijectivă 6 este asociativă petru a a {0,1} 13 Fie grupul simetric Atuci umărul subgrupurilor lui S 3 este 14 Fie grupul simetric Atuci umărul subgrupurilor ormale ale lui S 3 este: 15 Fie permutarea 3 3 Atuci umărul iversiuilor permutării σ este 16 Fie permutarea Atuci ordiul lui este: 3

18 17 Fie morfismul de grupuri f : Z C, kπ kπ f ( k) cos + isi Atuci Kerf 5 5 Ker(f)5Z{5q q Z} 18 Fie Q( ){a+b a,b Q} Atuci (Q( ),+, ) este iel comutativ cu divizori ai lui zero? 19 Fie K u subcorp al corpului R Atuci: Q KZ? F Q K 130 Fie f ˆ 3 + ˆ X Z 4 [X] Atuci: g(x) Z 4 [X] astfel îcât f(x)g(x)1ˆ? F F corp comutativ g(x) Z 4 [X], f(x)g(x) 1ˆ π cos 131 Fie A,B M (R), A π si π si 1 0, B, N* Atuci A -1 I? π cos 0 1 A 13 Stabiliti daca: a, ˆ b 5 ˆ a + ˆb ˆa + ˆb 5 5 ˆ Z 5 astfel îcât ( ) F a, ˆb ˆ Z 5, ˆ 5 5 ˆ a+ b ˆa + ˆb 5 ˆ1 ˆa 133 Fie G ˆ0 ˆ1 ˆ 0 ˆ0 ˆb ˆc ˆ1 ˆa,ˆb,ˆc Z 3 Atuci A G: A 3 I 3? 134 Fie σ S, 3, cu proprietatea π S : σ oπ π o σ Atuci stabiliti daca σ epermutarea idetică 135 Fie G u grup cu proprietatea x G: x e Atuci stabiliti daca grupul G este izomorf cu (Z 6,+) ˆa 136 Fie K ˆb ˆb ˆa,ˆb Z ˆa 3 F A 3 A F F σ (1 ) Comutativ Atuci stabiliti daca (K,+, ) este iel cu divizori ai lui zero corp comutativ cu 9 elemete F