IV. Rezolvarea sistemelor liniare
|
|
- Νίκανδρος Βυζάντιος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 IV. Rezolvarea sistemelor liiare IV.. Elemete de aaliză matriceală Fie V u spaţiu vectorial (liiar peste corpul K (K=R sau K=C. Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile ormate şi spaţiile Hilbert. O ormă pe V este o fucţie p: V [0, care satisface următoarele codiţii:. p(x = 0 dacă şi umai dacă x = p(x +y p(x + p(y petru orice x şi y V. 3. p(λx = λ p(x petru orice λ K şi orice x V. Perechea (V, p se umeşte spaţiu ormat. Î cele ce urmează vom ota p(x = x petru orice x V şi vom spue că V este u spaţiu ormat î loc de (V,, atuci câd orma se subîţelege. Pe orice spaţiu ormat se poate defii o metrică (distaţă caoică d pri d(x, y = x - y petru orice x, y V. Pri urmare oricărui spaţiu ormat i se pot asocia î mod caoic o structură metrică şi o structură topologică. Petru orice x 0 V şi orice r >0 vom ota cu B(x 0, r bila di V cetrată î x 0 de rază r: B(x 0, r = {x V: x - x 0 < r}. Petru orice spaţiu ormat V (îzestrat cu structura metrică şi structura topologică asociate î mod caoic sut adevărate următoarele afirmaţii:. Şirul (x di V coverge la x V dacă şi umai dacă lim x - x = 0 2. Şirul (x di V este şir Cauchy (fudametal dacă şi umai dacă petru orice ε>0 există ε N astfel îcât x - x m < ε petru orice m, ε. 3. : V [0, este o aplicaţie cotiuă
2 Mădălia Roxaa Bueci Metode Numerice Curs Fucţiile (x, y x + y [: V V V] şi (λ, x λx [: K V V] sut cotiue (V V şi K V sut îzestrate cu topologia produs. O ormă se umeşte completă dacă metrica asociată ei este completă (i.e. dacă orice şir Cauchy este coverget. U spaţiu ormat se umeşte spaţiu Baach dacă orma cu care este îzestrat este completă. Normele p şi p 2 defiite pe spaţiul vectorial V se umesc echivalete dacă topologiile asociate (î mod caoic lor coicid. Petru a desema faptul că p şi p 2 sut echivalete vom folosi otaţia p ~ p 2. Se poate arăta că ormele p şi p 2 sut echivalete dacă şi umai dacă există M, m >0 astfel îcât m p (x p 2 (x M p (x petru orice x V. V se umeşte K algebră ormată dacă V este K algebră şi î plus este îzestrat cu o ormă ce satisface următoarele două proprietăţi:. (V, este spaţiu ormat 2. xy x y petru orice x, y V, O algebră ormată îzestrată cu o ormă completă se umeşte algebră Baach. Fie V şi W două spaţii vectoriale peste corpul K (K=R sau K=C. O aplicaţie f : V W se umeşte liiară dacă şi umai dacă f(λx + µy = λf(x + µf(y petru orice λ, µ K şi x, y V. Dacă f : V W este o aplicaţie liiară, iar V şi W sut spaţii ormate, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete:. f este cotiuă 2. f este cotiuă î origie 3. Există M > 0 cu proprietatea că f(x M x petru orice x E. 4. sup f(x <. x 5. sup f(x <. x = Vom ota cu L(V, W spaţiul aplicaţiilor liiare şi cotiue f : V W. Petru orice f L(V, W, avem sup f(x = sup f(x = if {M > 0 : f(x M x petru orice x V }. x x = 2
3 Dacă petru orice f L(V, W, defiim f = sup f(x, atuci (L(V, W, x devie u spaţiu ormat. Spaţiul L(V, W este deumit spaţiul operatorilor liiari şi mărgiiţi defiiţi pe V cu valori î W, iar elemetele di L(V, W se mai umesc operatori liiari mărgiiţi. Spaţiul operatorilor liiari şi mărgiiţi L(V, W este spaţiu Baach dacă şi umai dacă W este spaţiu Baach. Dacă V este u spaţiu ormat iar pe spaţiul L(V, V itroducem drept lege de "îmulţire" compuerea operatorilor, atuci L(V, V devie o algebră ormată. Dacă V este u spaţiu ormat peste corpul K, atuci spaţiul ormat L(V, K se umeşte dualul lui V şi se otează V'. Fie H u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C. Se umeşte produs scalar pe H o aplicaţie ϕ : H H K care are următoarele proprietăţi:. ϕ(x+y, z = ϕ(x, z + ϕ(y, z petru orice x, y, z H. 2. ϕ(λx, y = λϕ(x, y petru orice λ K şi x H 3. ϕ(x, y = ( y, x ϕ petru orice x, y H. 4. ϕ(x,x > 0 petru orice x 0. Vom ota ϕ(x,y = <x, y> petru orice x, y H. Se spue că orma spaţiului ormat (H, provie dit-u produs scalar <, > dacă x = x, x petru orice x di H. U spaţiu prehilbert este u spaţiu ormat î care orma provie ditr-u produs scalar, iar u spaţiu Hilbert este u spaţiu prehilbert complet (cu ormă completă. Dacă H u spaţiu prehilbert, atuci:. Două elemete x şi y di H se umesc ortogoale dacă <x, y> =0. 2. Petru A H şi x H, x se spue ortogoal pe A şi se otează x A, dacă <x,y>=0 petru orice y A. 3. O familie (x i i de elemete ale lui H se umeşte sistem ortogoal sau familie ortogoală dacă <x i, x j > =0 petru orice i j. 4. U sistem ortogoal (x i i se umeşte ortoormal dacă x i = petru orice i. 5. Se umeşte bază ortoormală a spaţiului Hilbert H u sistem ortoormal maximal (î raport cu relaţia de icluziue. 3
4 Mădălia Roxaa Bueci Metode Numerice Curs Dacă H este u spaţiu Hilbert şi (x i i este u sistem ortoormal, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete:. (x i i bază ortoormală 2. Dacă x H şi x x i petru orice i, atuci x = Dacă x H, atuci x = i x, x i x i. 4. Dacă x, y H, atuci <x, y> = i 5. Dacă x H, atuci x = i x, x x, y. 2 x, x i. Orice două baze ortoormale ale uui spaţiu Hilbert au acelaşi cardial. Dimesiuea (hilbertiaă a uui spaţiu Hilbert este cardialul uei baze ortoormale. Dacă F este u subspaţiu al spaţiului Hilbert H, atuci se otează cu F = {x, x F} complemetul ortogoal al lui F. Dacă F este u subspaţiu îchis, atuci H = F + F (orice elemet di H poate fi reprezetat î mod uic ca suma ditre u elemet di F şi uul di F. Se umeşte adjuctul operatorului liiar şi mărgiit A L(H, H 2 (ude H, H 2 sut spaţii Hilbert operatorul liiar şi mărgiit A* L(H 2, H care satisface codiţia: <A(x, y > =<x, A*(y > petru orice x H, y H 2. Orice operator liiar şi mărgiit admite u uic adjuct. Dacă H este u spaţiu Hilbert şi A L(H, H, atuci. A se umeşte autoadjuct (sau hermitia dacă A = A*. 2. A se umeşte uitar dacă AA* = A*A =I. 3. A se umeşte pozitiv dacă A este autodjuct şi <A(x, x> 0 petru orice x H. Cosiderăm spaţiul vectorial V = K (K=R sau K=C, N*. Pe acest spaţiu Baach orice două orme sut echivalete. Vom ota cu,, 2 următoarele orme uzuale pe K : i i 4
5 x = max x j j x = x j x 2 = x j 2 / 2 petru orice x = (x, x 2,, x K. Norma 2 se umeşte ormă euclidiaă şi provie di produsul scalar caoic <x, y> = x j y j petru x = (x, x 2,, x şi y = (y, y 2,, y (dacă K = R, atuci <x, y> = x jy j. Vom ota cu M m, (K mulţimea matricelor cu m liii şi coloae. M m, (K are o structură de spaţiu vectorial relativ la operaţiile: aduare: A = (a ij i,j,b=(b ij i,j,c=(c ij i,j M m, (K, C = A+B dacă şi umai dacă c ij = a ij + b ij petru orice i m şi j. îmulţire cu scalari: A = (a ij i,j, C=(c ij i,j M m, (K, λ K. C = λa dacă şi umai dacă c ij = λa ij petru orice i m şi j. Produsul AB a două matrice A = (a ij i,j M m, (K şi B=(b ij i,j M,p (K este o matrice C=(c ij i,j M m,p (K petru care c ij = a k= ik b kj petru orice i m şi j p. Traspusa uei matrice A=(a ij i,j, este o matrice otată A t = ( a t i, j i,j, ale cărei elemete sut: a t i, j = a j,i petru orice i, j m. Cojugata uei matrice A=(a ij i,j, este o matrice otată A * = ( a * i, j i,j, ale cărei elemete sut: * a i, j = j, i a petru orice i, j m. Cojugata este caracterizată pri : <Ax, y> = <x, A * y> petru orice x K şi orice y K m. O matrice petru care m= se umeşte pătratică. Elemetul eutru la îmulţire î M, (K este matricea uitate I : 5
6 Mădălia Roxaa Bueci Metode Numerice Curs O matrice A M, (K este iversabilă dacă există B M, (K astfel îcât AB=BA=I. Iversa uei matrice A se otează A -. Matricea A este iversabilă dacă şi umai dacă det(a 0 - î acest caz se zice esigulară. Matricele petru care A=A t se umesc matrice simetrice, iar cele petru care A=A * se umesc matrice hermitiee (evidet, petru matrice cu coeficieţi reali cele două oţiui coicid. O matrice A se zice ortogoală dacă A - =A t şi uitară dacă A - =A *. Matricea A este diagoală dacă a ij =0 petru orice i j a 0 0 A = 0 a 2 0 = diag(a, a 2,, a 0 0 a tridiagoală dacă a ij =0 petru orice i,j cu i-j > a b A = c 2 a 2 b c a superior triughiulară dacă a i,j = 0 petru orice i > j. iferior triughiulară dacă a i,j = 0 petru orice i < j. superior Hesseberg dacă a i,j = 0 petru orice i > j+. iferior Hesseberg dacă a i,j = 0 petru orice i < j-. O matrice A M m, (K poate fi tratată ca u vector di K m : (a, a 2,, a, a 2, a 22,, a 2,, a m, a m2,, a m. Datorită acestui fapt orma uei matrice poate fi itrodusă î mod similar cu orma uui vector di K m. Pe de altă parte, se ştie că există u izomorfism de spaţii 6
7 liiare ître M m, (K şi L(K, K m. Fiecărei matrice A = (a i,j i,j i se asociază operatorul liiar S(A defiit pri S(A(x = Ax = ( a ijx j i m petru orice x = (x, x 2,, x t K. Î cele ce urmează vom idetifica A cu S(A. Cele mai des utilizate orme de matrice sut ormele operatoriale: astfel petru o matrice A M m, (K, dacă pe K m se cosideră orma α, iar pe K se cosideră orma β, atuci se otează cu A αβ orma de aplicaţie liiară: sup Ax α = sup Ax α. x β x β = Î cazul î care α=β se utilizează otaţia A α = A αα şi se spue că A α este orma operatorială a lui A subordoată ormei vectoriale α. Fie A M, (C. Scalarul λ di C se umeşte valoare proprie petru A dacă există vectorul eul x C astfel îcât: Ax= λx Vectorul x se umeşte vector propriu asociat valorii proprii λ. Mulţimea valorilor proprii ale lui A formează spectrul lui A şi se otează cu σ(a. Raza spectrală a lui A se defieşte pri: ρ(a = max λ σ( A λ Normele operatoriale petru o matrice A M, (C subordoată ormelor vectoriale,, 2 sut respectiv: A = max i A = max j A 2 = ρ ( A * A. a ij a ij i= Petru orice matrice A M, (C şi orice orma operatorială A subordoată uei ormei vectoriale avem ρ(a A. Deşi orma A 2 este importată di puct de vedere teoretic (corespude distaţei euclidiee, î geeral, î aplicaţiile umerice 7
8 Mădălia Roxaa Bueci Metode Numerice Curs A 2 u este coveabilă (fiid dificil de calculat. Î locul ei se foloseşte orma vectorială: A F = i, a ij 2 care u este ormă operatorială subordoată ormei vectoriale deoarece I =. Ître cele două orme există relaţia: A 2 A F. Dacă este o ormă operatorială pe M, (C, atuci umai dacă ρ(a <. lim A k k =0 dacă şi Fie <, > produsul scalar caoic pe K (K = R sau C. O matrice A M, (K, K = R (respectiv, K = C se umeşte pozitiv defiită dacă este simetrică (respectiv, hermitiaă şi dacă <Ax, x> > 0 petru orice x 0 di K. egativ defiită dacă este simetrică (respectiv, hermitiaăşi dacă <Ax, x> < 0 petru orice x 0 di K. pozitiv semidefiită dacă este simetrică (respectiv, hermitiaăşi dacă <Ax, x> 0 petru orice x K. egativ semidefiită dacă este simetrică (respectiv, hermitiaăşi dacă <Ax, x> 0 petru orice x K. Î cele ce urmează e vom cocetra asupra matricelor A M, (R simetrice. Petru o astfel de matrice otăm determiaţii situaţi pe diagoala pricipală cu a a 2 a k k = a 2 a 22 a 2k a k a 2k a kk (k =,2, şi îi umim miori pricipali. 8
9 O matrice A M, (R este pozitiv defiită dacă şi umai dacă este simetrică şi miorii pricipali k (k {,2, } sut toţi pozitivi. O matrice A M, (R este egativ defiită dacă şi umai dacăeste simetrică şi miorii pricipali k (k {,2, } respectă următoarea alteraţă a semelor: < 0, 2 >0, 3 <0, 4 >0,..., (- >0. IV. 2. Metode directe de rezolvare a sistemelor liiare Metodele de rezolvare a sistemelor liiare sut clasificate î. Metode directe 2. Metode iterative Metodele directe presupu obţierea soluţiilor exacte a sistemelor liiare după u umăr fiit de operaţii elemetare. O metodă directă este cu atât mai buă cu cît umărul de operaţii elemetare (aduare, îmulţire, împărţire şi rădăciă pătrată ecesare este mai mic (umărul de operaţii executate iflueţează atât timpul de execuţie cât şi eroarea de rotujire. Cosiderăm sistemul cu ecuaţii şi ecuoscute. Ax = b, A M, (R esigulară. Deoarece A este esigulară sistemul admite soluţie uică, ce poate fi determiată cu regula lui Cramer: x i = xi, i. Arătăm că aplicarea acestei metode este epractică (petru mare. Îtr-adevăr, aplicarea ei coduce la calculul a + determiaţi de ordiul. Dar calculul uui determiat de ordiul petru o matrice C = (c ij i,j, ţiâd cot de defiiţie: det(c = ( ( cσ( c 2σ( 2...cσ( σ S ε σ revie la a calcula o sumă de! termei (grupul S al permutărilor de ordiul coţie! elemete, fiecare terme fiid produsul a factori. Deci petru a aplica regula lui Cramer trebuie efectuate cel puţi N op ( = (+! =(+! operaţii. 9
10 Mădălia Roxaa Bueci Metode Numerice Curs Deoarece!> e (petru, rezultă că N op( > ( e. De exemplu, dacă se utilizează u sistem de calcul ce execută 0 9 operaţii pe secudă, atuci petru rezolvarea uui sistem cu ecuaţii şi ecuoscute timpii de execuţie sut prezetaţi î tabelul de mai jos Timp de execuţie = s = s = 5 = 20 = s = ore > 2809 ai >0 ai = 30 >0 8 ai Metodele directe urmăresc trasformarea sistemului de rezolvat îtr-u sistem echivalet a cărui matrice este iferior triughiulară sau superior triughiulară, sistem ce se rezolvă foarte uşor. Prezetăm î cotiuare algoritmul lui Gauss de trasformarea matricei A îtr-o matrice superior triughiulară. IV. 2.. Metoda de elimiare Gauss Se cosideră o matrice A M,m (R. Elimiarea gaussiaă urmăreşte trasformarea matricei A îtr-o matrice superior triughiulară S (o matrice cu proprietatea că b ij = 0 petru orice i<j. Trecerea de la matricea A la matricea S se realizează pri trasformări elemetare. La baza metodei stă următorul procedeu: prima liie este folosită petru aularea coeficieţilor de pe prima coloaă di celelalte - liii. a doua liie este utilizată petru aularea coeficieţilor de pe a doua coloaă di ultimele -2 liii, ş.a.m.d. 0
11 Trecerea de la u pas la altul se face aplicâd regula dreptughiului (pivotului. Petru a obţie stabilitatea umerică a algoritmului, se alege drept pivot de la pasul k elemetul maxim î modul di coloaa k subdiagoală a lui A, şi se permută liia k cu liia pe care se găseşte pivotul. Această strategie de permutare se umeşte pivotare parţială. Performaţe de stabilitate umerică relativ mai bue se obţi dacă se alege drept pivotul la pasul k elemetul maxim î modul di submatricea delimitată de ultimele -k liii, şi se permută coloaa k cu coloaa pivotului şi liia k cu liia pivotului. Această strategie de pivotare se umeşte pivotare completă. Prezetăm î cotiuare algoritmul de elimiare Gauss cu pivotare parţială. Trecerea de la matricea A la matricea superior triughiulară se realizează î mi paşi, mi=mi{,m}: A (0 A ( A (mi, ude A (mi are formă superior triughiulară, iar A (0 =A. Petru a se trece de la A (k A (k+ : Se determiă pivotul de la pasul k; acesta este primul elemet de pe coloaa k cu proprietatea ( k a k,i ( k ( k a k,i =max{ a k,j, k j } Se permută liiile i cu k; Se aplică regula dreptughiului (pivotului cu pivotul a ( k k,k. Astfel: elemetele de pe liia pivotului se împart la pivot: a (k+ k,i = ( k ak,i, i=k,k+, m ( k a k,k elemetele subdiagoale de pe coloaa pivotului se îlocuiesc cu 0.
12 Mădălia Roxaa Bueci Metode Numerice Curs ( k a + ik =0, i= k+, k+2, elemetele di submatricea delimitată de ultimele -k liii şi de ultimele -k coloae se trasformă cu regula dreptughiului: k j k i (k a k,k (k a i,k (k a k,j (k a i,j ( k a + = i,j (k (k (k (k i, j k,k k, j i,k (k a k,k a a a a, k+ i, k+ j m. triughiulară: Î urma aplicării acestui algoritm se ajuge la următoarea matrice superior a (, 2 a (, 3 a (, A (mi = 0 ( a2 2, 3 a ( 2, 2 a (, + a, a 2, ( m ( 2 + ( 2, a 2 m ( a,+ (, (m. Cosiderăm sistemul cu ecuaţii şi ecuoscute. Ax = b, A M, (R esigulară Petru rezolvarea acestui sistem vom aplica algoritmul de elimiare Gauss a m cu pivotarea parţială asupra matricei extise A = ( A b. Vom ota elemetele matricei A tot cu a i,j. Astfel a i,+ = b i petru orice i=,2,... La primul pas algoritmul presupue elimiarea ecuoscutei x di ultimele - ecuaţii. La al doilea pas se elimiă ecuoscuta x 2 di ultimele -2 ecuaţii, ş.a.m.d. Î cazul acestui algoritm petru fiecare k se efectuează +-k + (+-k(k = (+-k 2 operaţii elemetare (pri operaţie elemetară îţelegâd aici o 2
13 operaţie î virgulă mobilă de forma ax + b, sau o împărţire. Deci algoritmul ecesită 2 2 = j k= 2 N op ( = ( + k = ( + ( operaţii elemetare. Deci N op ( ~ (sau N op ( O( 3. 3 Ca urmare a aplicării algoritmului se obţie sistemul echivalet: 6 - x + a (, 2 x 2 + a (, 3 x 3 + a (, x = a (, + x 2 + ( a2 2, 3 x 3 + a ( 2 2, x = (, a2 2 + x = ( a,+ Rezolvarea acestui sistem se poate face foarte uşor de la sfârşit spre îceput: x = ( x a,+ i = i,+ i, j i+ ( i ( i a a x j IV.2.2. Calculul iversei uei matrice Fie A M, (R. Matricea A este iversabilă dacă şi umai dacă există o matrice B M, (R astfel îcât A B=B A=I, ude I = Se ştie că A este iversabilă dacă şi umai dacă are determiatul eul. Notăm: 3
14 Mădălia Roxaa Bueci Metode Numerice Curs e k = (0,,0,,0 0 vectorul k al bazei caoice di R. Petru fiecare k (k=,2,, cosiderăm sistemul Ax=e k. Soluţia acestui sistem reprezită chiar coloaa k a matricei A -. Astfel petru aflarea lui A - este ecesar să rezolvăm sisteme de ecuaţii liiare Ax=e k, k=,2,,. Aceste sisteme pot fi rezolvate utilizâd algoritmul de elimiare al lui Gauss. Petru a micşora volumul de calcul vom aplica algoritmul asupra matricei obţiute pri cocatearea la matricea A a coloaelor bazei caoice di R. Coeficieţii matricei sut ude a ij, dacă i, j a i,+k = δ ik, dacă i, k, i=k δ ik = 0, i k. A = (A e e e Pri aplicarea algoritmului de elimiare Gauss cu pivotare parţială asupra lui A se obţie u şir de matrice A (0 A ( ---- A (, ude A (0 = A, iar A ( are următoarea formă superior triughiulară: a (, 2 a (, 3 a (, A ( = 0 ( a2 2, 3 a ( 2, 2 a (, + a,2 a 2, ( ( 2 + ( 2,2 a ( a,+ (,2 a Dacă B = A -, atuci coeficieţii lui B pot fi determiaţi cu formulele: 4
15 b,k = a (, k,+ k ( i, j i+ b i,k = a ( i i i,+ k - a bi, j, i -, k 5
Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότερα4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραAnaliză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότεραREZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE Forma geerală a ecuaţiei: cu : I R R Î particular poliom / adus la o ormă poliomială dar şi ecuaţiile trascedete Rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE. Note de curs
MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE Note de curs . REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE Itroducere. Rezolvarea sistemelor algebrice liiare şi operaţiile de calcul matriceal (evaluarea
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραmatricelor pătratice de ordinul 2, cu elemente numere reale; a11 a12 a13, mulńimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente
LECłII DE SINTEZĂ î vederea pregătirii sesiuii iulie-august a eameului de BACALAUREAT - M petru cadidańii absolveńi ai liceelor di filiera tehologică, profil: servicii, resurse aturale şi protecńia mediului,
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραAlgebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiuni teoretice şi probleme rezolvate. Mircea Olteanu
@ ANALIZĂ MATEMATICĂ Noţiui teoretice şi probleme rezolvate Mircea Olteau Cupris Serii de umere 7. Noţiui teoretice......................... 7. Serii cu termei pozitivi..................... 5.3 Serii
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV
CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare
METODE NUMERICE: Laborator #5 Metode iterative pentru rezolvarea sistemelor: Jacobi, Gauss-Siedel, Suprarelaxare Titulari curs: Florin Pop, George-Pantelimon Popescu Responsabil Laborator: Mădălina-Andreea
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραSeria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Διαβάστε περισσότεραREZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE. Aspecte itroductive Studiul comportametului diamic al sistemelor fizice modele matematice sub forma ecuaţiilor sau sistemelor
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραMădălina Roxana Buneci. Metode Numerice - aspecte teoretice şi practice
Mădălia Roxaa Bueci Metode Numerice - aspecte teoretice şi practice Editura Academica Brâcuşi Târgu-Jiu, 009 Mădălia Roxaa Bueci ISBN 978-973-44-89- Metode Numerice CUPRINS Prefaţă...7 I. Noţiui itroductive...9
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότεραSpaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότεραTEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:
TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei
Διαβάστε περισσότερα8. Introducere în metoda elementului finit
Itroducere î metoda elemetului fiit 45 8 Itroducere î metoda elemetului fiit Formularea variaţioală a diferitelor probleme la limită împreuă cu ceriţele mai slabe de regularitate coduc î mod atural la
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραEXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Διαβάστε περισσότερα5. PROBABILITĂŢI Evenimente
5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc
Διαβάστε περισσότερα