UVOD U STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE
|
|
- Σαμψών Οὐλίξης Γιάνναρης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 1/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 2/22 UVOD U STATISTIČKO ZAKLJUČIVANJE riječ STATISTIKA (lat. status = staje) Statistika deskriptiva iferecijala uivarijata bivarijata multivarijata riječ varijable (egl. variable = variate = factor) Varijable: - zavise, kriterijske varijable (egl. depedet, criterio, respose variable) - ezavise, prediktorske varijable (egl. idepedet, predictior, cotrolled, regressor variable) Osovi pojmovi objekti varijable ( obilježja, začajke) mjere skale: omiala kvalitative uređaja ( relacija < ) [primjer: skala tvrdoće] kvatitative itervala (operacije + i -) [primjer C, F] racioala (operacije +, -, *, /) [primjer K] Podjela prema vrijedostima koje poprimaju: kvalitative vs. kvatitative diskrete vs. kotiuirae Ciljevi statističke aalize: skupljaje podataka maipulacija podacima iterpretacija Deskriptiva statistika Mjere cetrale tedecije: aritmetička sredia (egl. mea) medija mod redukcija podataka alat za iferecijalo zaključivaje idetifikacija relacija ili asocijacija (grupiraja) među podacima
2 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 3/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 4/22 Mjere rasipaja Distribucije frekvecija relative kumulative varijaca (sredje kvadrato odstupaje) stadarda devijacija rag sredje apsoluto odstupaje Grafički prikazi empirijskih distribucija : histogrami poligoi box ad whisker plot Teorijske Distribucije bioma ormala t distribucija χ 2 F distribucija Iz tablica za jediiču ormalu distribuciju U očitavamo: P( < U < 1.65) = 90% P( < U < 1.96) = 95% P( < U < 2.58) = 99% Neka je X ormalo distribuiraa, tj. X: N(µ, σ 2 ). Vrijedi trasformacija: STANDARDIZACIJA trasformacijom - svođeje X: N(µ, σ 2 ) a U sa U = X µ. σ X:N( µ, σ 2 ) P( µ σ < X < µ σ) = 90% P( µ σ < X < µ σ) = 95% P( µ σ < X < µ σ) = 99% Normala distribucija * Normala distribucija s očekivajem µ = 0 i stadardom devijacijom σ = 1. X : N(0,1) - Ozačavamo je s U ili Z. Vrijedosti vjerojatosti tj. površia ispod krivulje U dai su u statističkim tablicama Velika većia obilježja u prirodi distribuiraa je prema ormaloj razdiobi. * Uobičajea ozaka za ormalu distribuciju s parametrima: očekivajem µ i varijacom σ 2 je N(µ, σ 2 ).
3 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 5/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 6/22 populacija INFERENCIJALNA STATISTIKA smjer zaključivaja uzorak Populacija skup svih mogućih vrijedosti slučaje varijable. Uzorak podskup populacije. Parametar je bilo koja fukcija populacije, eko svojstvo populacije koje as zaima, pr. sredja vrijedost, stadarda devijacija, proporcija, itd. Parametar se odosi a populaciju i ozačava se malim grčkim slovima (µ, σ, π itd). Često am vrijedosti parametra populacija isu dostupe te ih procjejujemo a temelju uzorka. Procjea ekog parametra populacije a temelju uzorka aziva se statistika (ili procjeitelj) i ozačava se malim slovima ( x, s, p, ). Općeito je vrijedost statistike i epozatog parametra populacije daa s izrazom: Statistika = Parametar_populacije ± pogreška Taj se izraz može zapisati u obliku: Parametar_populacije = Statistika ± pogreška epozato Oo što želimo zati je s kojom točošću (precizošću) i s kojom pouzdaošću (vjerojatosti), eka statistika procjejuje parametar populacije. Parametar je svojstvo populacije dok je statistika fukcija uzorka (podskupa te populacije) te za svaki ovi uzorak izvuče iz iste populacije (istog osovog skupa) možemo dobiti različitu vrijedost statistike. Ali, ako zamo kako je statistika uzorka distribuiraa tj. ako zamo kako je distribuiraa vrijedost statistike ( x ) a temelju beskoačo mogo uzoraka iste veličie izvučeih iz te populacije (to je distribucija vjerojatosti statistike uzorka) tada uz pomoć vjerojatosti možemo procijeiti s kojom pouzdaošću se parametar populacije alazi u određeim graicama. Dakle, možemo odrediti graice oko x u kojima se alazi parametar µ i pridružeu vjerojatost za takvo odstupaje. (µ = x ± pogreška, uz određeu vjerojatost, tj. pouzdaost). Ta se distribucija vjerojatosti statistike uzorka aziva se DISTRIBUCIJA UZORKOVANJA (egl. samplig distributio) Pozavaje distribucije uzorkovaja eke statistike temelj je za iferecijalo statističko zaključivaje (itervale procjee parametara populacije, testiraje hipoteza). Svaki parametar populacije (sredja vrijedost µ, proporcija π, varijaca σ 2, ) ima svoju distribuciju uzorkovaja. Važo svojstvo distribucije vjerojatosti statistike su jezio očekivaje i stadarda devijacija. Ta se stadarda devijacija distribucije eke statistike aziva STANDARDNA POGREŠKA (SE). Od posebog je začeja distribucija uzorkovaja sredje vrijedosti. µ = x ± pogreška
4 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 7/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 8/22 Distribucija uzorkovaja sredje vrijedosti. CENTRALNI GRANIČNI TEOREM Neka je daa populacija sa sredjom vrijedošću µ i stadardom devijacijom σ. Neka je x sredja vrijedost od slučajo odabraih ezavisih opservacija iz te populacije. Distribucija uzorkovaja sredje vrijedosti približava se ormaloj sa očekivajem µ i stadardom devijacijom σ, kada µ = x ± pogreška. No sada, a temelju cetralog graičog teorema koji am kaže da su sredje vrijedosti uzoraka veličie također distribuirae ormalo sa stadardom pogreškom SE = σ, možemo pisati: µ = x ± u p σ, sa pouzdaošću I(u p ), gdje je u 0 vrijedost jediiče ormale razdiobe, a I(u p ) pripada pouzdaost (vjerojatost). Te se vrijedosti očitavaju u statističkim tablicama. u p pouzdaost I(u p ) 90% 95% 99% (pogledati tekst i simulacije a adresi posebo za ilustraciju CGT pogledati aimirai primjer a adresi Stadarda pogreška (egl. stadard error) ekog parametra je sadarda devijacija distribucije uzorkovaja tog parametra. Poekad se ozačava sa SE. Stadarda pogreška distribucije uzorkovaja σ sredje vrijedosti je SE = σ X X =, gdje je X slučaja varijabla osovog skupa (a primjer: visie populacije studeata Zagrebačkog Sveučilišta, težie proizvoda koje proizvede eka tvorica, itd.). Često se umjesto σ X piše samo σ. Itervala procjea očekivaja (za velike uzorke, 30) µ = x ± u p σ, sa pouzdaošću I(u p ), dok je za male uzorke umjesto vrijedosti u p jediiče ormale distribucije vrijedost studetove t-distribucije koja se očitava iz statističkih tablica za zadai broj stupjeva slobode k, gdje je k=-1, a je broj elemeata u uzorku. µ = x ± t(k) σ, s pouzdaošću ovisom o t(k). Prije smo apomeuli da je Parametar = Statistika ± pogreška. Ako za statistiku koja as zaima odaberemo sredju vrijedost tada je
5 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 9/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 10/22 Cetrali graiči teorem (CGT) X µ U = σ Iz tvrdje CGT-a slijede formule za Itervale procjee očekivaja µ (za velike, >30): X :N( µ, σ 2 / ) P( x σ < µ < x σ ) = 90% P( x σ < µ < x σ ) = 95% P( x σ < µ < x σ ) = 99% Naka je X je ormalo distribuiraa sl. varijabla (kraće ćemo reći ormala distribucija). Naka su parametri od X očekivaje 34 i stadarda devijacija 4. To zapisujemo X:N(34, 4 2 ). Kolika je vjerojatost da slučajo izvuče primjer iz te distribucije poprimi vrijedost veću od 30? P(X > 30) = P(U > (30 34)/4) ) = P(U > -1) = (očitavamo iz stat. tablica) = Ako sada izvlačimo uzorak od 16 elemeata iz zadae distribucije X: N(34, 4 2 ) i račuamo sredju vrijedost, kolika je vjerojatost da sredja vrijedost izračuata iz tog uzorka bude veća od 30? Prema CGT, X je distribuirao s očekivajem 34 i stadardom devijacijom SE = 4 16 = 1, dakle Bioma distribucija Slučaji pokus: dva moguća ishoda, A i oa. Vjerojatost događaja A, P(A) = π i vjerojatost da se e desi A, P(oA) = 1 - π. Promatramo jeda proizvod: proizvod je isprava s vjerojatošću π. Mogući događaji: A = proizvod je isprava, P(A) = π o A = proizvod je eisprava, P(oA) = 1 - π. Pretpostavimo da imamo izove od takvih ezavisih pokusa (Beroullijevi izovi). Kolika je vjerojatost da će se događaj A pojaviti točo x puta u tom izu? Uzorak od proizvoda, kolika je vjerojatost da točo x od proizvoda ( 0 x ) bude ispravo? Bioma slučaja varijabla s parametrima i π. Kolika je vjerojatost da će se događaj A pojaviti točo x puta u tom izu? tj. Kolika je vjerojatost da slučaja varijabla X poprimi vrijedost x? x x x P(X = x) = π ( 1 π ) (1) P( X > 30) =(stadardizacija)=p(u > (30 34)/1) ) = P( U > -4) =
6 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 11/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 12/22 Aproksimacija biome ormalom (Moivre-Laplaceova formula) x π π ( ) ( ) ( ) 1 x 2 P x1 X x2 P U. 1 π π 1 π π Uz uvjet π > 5 i π(1-π) > 5. Proporcija X bioma slučaja varijabla s parametrima i π, tj. X:B(π, ) Proporcija je omjer P = X/. Kolika je vjerojatost da će se događaj A pojaviti između x 1 i x 2 puta u tom izu od pokusa? x2 i i P(x 1 X x 2 ) = π ( 1 π ). (2) i= x1 i Očekivaje biome slučaje varijable X je E(X) = π Varijaca biome slučaje varijable V(X) = σ 2 = π(1-π) = 15, π = 0.2 x = 4 P(X = 4) = Da li je povoljo kladiti se da će u 24 uzastopa bacaja igraće kocke barem jedom pasti dvostruka šestica? N = 300, π = 0.2, P( 100 > X > 50) =?
7 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 13/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 14/22 Distribucija uzorkovaja proporcije. Promatramo izove od elemeata. Zaima as broj elemeata u tom izu od koji imaju eko svojstvo A. Ozačimo taj broj s x. (Beroullijevi izovi) Proporcija P je omjer P = X/ Primjer. Neka je daa eka hipoteza h. Pretpostavimo da imamo uzorak sastavlje 14 elemeata tj. primjera za učeje. Ako 8 od 14 primjera zadovoljava hipotezu h tada je proporcija uspjeha hipoteze h a tom skupu (uzorku) jedaka p 1 = x/ = 8/14. Uzmimo eki drugi uzorak tj. skup primjera za učeje i eka je a tom skupu proporcija valjaosti hipoteza p 2 = 5/14. Neka je da eki treći skup primjera za učeje iste veličie i eka je a jemu p 3 = 7/14.. Ako astavimo s tim postupkom u dobivamo distribuciju uzorkovaja proporcije koju ozačavamo s P. (Posljedica Moivre -Laplaceovog teorema - CGT) Distribucija uzorkovaja proporcije za velike približava se ormaloj distribuciji s Očekivajem π i Stadardom devijacijom σ P = π( 1 π). Itervale procjee proporcije Parametar populacije = statistika_uzorka ± pogreška Primjeri: π = p ± pogreška, µ = x ± pogreška. Na temelju pozate distribucije uzorkovaja proporcije izvode se itervale procjee proporcije. P( p P( p 1.96 π( 1 π) < π < p π( 1 π) < π < p π( 1 π) ) = 99% π( 1 π) ) = 95% Jeda strijelac je pogodio 5 puta u metu od 10 pokušaja. Drugi strijelac je pogodio 50 puta u metu od 100 pokušaja. Što možemo reći o pravoj proporciji pogodaka jedog i drugog strijelca. P( (1 0.5) 10 < π < P( (1 0.5) 100 < π < Prvi strijelac: P( *0.158 < π < *0.158) = 95% P( < π < ) = 95% P( 0.19 < π < 0.81) = 95% Drugi strijelac: P( *0.05 < π < *0.05) = 95% P( < π < ) = 95% P( < π < 0.598) = 95% 0.5(1 0.5) ) = 95% (1 0.5) ) = 95% 100
8 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 15/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 16/22 Testiraje hipoteza 1. direkto statističko zaključivaje (iferecijalo): točkove ili itervale procjee - uzorak koristimo za procjeu parametra populacije. Postupak: Postavljaju se dvije međusobo isključive hipoteze koje zajedički iscrpljuju sve mogućosti: 2. idirekto: testiraje hipoteza Uzorak podržava ili diskreditira a priori postavljeu tvrdju ili pretpostavku o stvaroj vrijedosti parametra populacije Hipoteza o populacioom parametru proizlazi iz prethodih ispitivaja teoretskih pretpostavki. Ako postupkom testiraja ađemo da je H 0 eprihvatljiva s aspekta vjerojatosti, tada prihvaćamo (vjerujemo) u alterativu hipotezu. dvostrai test jedostrai testovi H 0 θ = a H 1 θ a H 0 θ = a H 1 θ < a ili H 0 θ = a H 1 θ > a ili Isto kao što e možemo aći 100% iterval pouzdaosti tako i testiraje e daje 100% sigurost u ispravost odluke već su pouzdaosti s kojim radimo 90, 95, 99%. Naime, u postupku testiraja uaprijed zadajemo (i time kotroliramo) pogrešku (tj. rizik s kojim radimo statistički test) a to je vjerojatost odbacivaja istiite hipoteze. Ta se vjerojatost aziva ivo sigifikatosti (ivo začajosti) ili pogreška prvog reda i ozačava se s α. U zadja dva slučaja moramo biti siguri da θ > a, θ < a, ije moguće!!! Površia odgovara vjerojatosti α, tj. ivou sigifikatosti testa Površie zajedo odgovaraju vjerojatosti α, tj. ivou sigifikatosti testa jedostrai test dvostrai test Postavljaje hipoteza dešava se a logičkoj razii, tj. vezao je za problem pozavaja područja problema. Prihvaćaje hipoteze tj. vjerovaje u određeu hipotezu je stvar statističke odluke.
9 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 17/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 18/22 Uzorak od 100 elemeata dao je a) x = 19.1 b) x = 19.9 c) x = 16. H 0 µ = 20 H 1 µ 20 Pretpostavimo da zamo da je st.dev. populacije σ = 3. Pitaje je da li je moguće, tj. koliko je vjerojato da dobijemo sredju vrijedost uzorka x = 19.1 ako je µ = 20. Ako je ta vjerojatost mala oda smo skloi e vjerovati u pretpostavku iz ulte hipoteze. Pitaje je koliko je to malo vjerojato? Običo je to 1% ili 5% i aziva se ivo začajosti (sigifikatosti) i ozačava se s α. α je vjerojatost odbacivaja istiite hipoteze! Rizik testiraja koji se određuje uaprijed! b) x = 19.9, odaberemo α = 0.05 tj. 5%. Radimo dvostrai U - test. U = X µ = = σ Iz statističkih tablica slijedi da je vjerojatost 2*P (U < ) = 2*0.37 = 0.74 što je puo veće od α = 0.05 (koliki je ivo sigifikatosti testa) => prihvaćamo ultu hipotezu. Iterpretacija: Nemamo razloga, a temelju predočeog uzorka (uzorak od 100 elemeata čija je sredja vrijedost x =19.9), sumjati u istiitost ulte hipoteze! Vjerojatost da dobijemo sredju vrijedost uzorka (po apsolutoj vrijedosti jedaku ili veću od) x = 19.1 je 0.74, ako je stvara sredja vrijedost populacije 20. To je puo veća vjerojatost od 0.05 što je graiča vjerojatost s kojom radimo testiraje. Mogli bi reći da uzorak podržava tvrdju iz ulte hipoteze s vjerojatošću a) x = 19.1, odaberemo α = 0.05 tj. 5%. Radimo dvostrai U - test. U = X µ = = - 3 σ Vjerojatost da je P (U < - 3) je praktički jedaka 0 (pa oda i 2*P (U < - 3) 0, jer radimo dvostrai test pa gledamo površie u oba repa), tj. ta je vjerojatost puo maja od 0.05 (koliki je ivo sigifikatosti testa) pa odbacujemo ultu hipotezu. Iterpretacija: Vjerojatost da a temelju uzorka od 100 elemeata dobijemo sredju vrijedost 19.1, ako je prava vrijedost 20, je praktički ula pa smo stoga skloi NE vjerovati u ultu hipotezu tj. odbacujemo je. Površia = Dvostrai test: ukupa provršia (vjerojatost) 2*P (U < ) 2*0.37 = 0.74 Površia = 0.37
10 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 19/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 20/22 Pogreške prvog i drugog reda Prilikom testiraja možemo učiiti dva tipa pogrešaka. Greške I i II reda. Usporedba postupka statističkog testiraja i pravosudog postupka: H 0 Osumjičei je evi H 1 Osumjičei je kriv Odluka Stvaro staje suda Nevi Kriv Nevi pogreška Kriv pogreška Zaključak H 0 prihvaćamo Stvaro staje H 0 je istia H 0 odbacujemo α (greška I reda) H 0 je laž β (greška II reda) Vjerojatost prihvaćaja hipoteze H 0 kada je H 1 istia (dakle H 0 je laž)! U ašem primjeru postavljeih hipoteza: H 0 Osumjičei je evi H 1 Osumjičei je kriv to je slučaj kada je osumjičei zaista kriv o mi ga proglasimo eviim. β ovisi o: pravoj vrijedosti parametra o kojem raspravljamo (alterativa hipoteza), β pada kada je veća razlika između pretpostavljee i prave vrijedosti parametra koji se testira (distribucije su razdijeljee) pogrešci α, tj. β raste kada α pada i obruto, te jedostraom ili dvostraom testu, β stadardoj devijaciji populacije, β se povećava što je st.dev. populacije veća veličii uzorka, β se smajuje kada veličia uzorka raste. zadja dva parametra određuju stadardu pogrešku SE. Pogreška I reda ili α je pogreška koju uvijek možemo kotrolirati prilikom statističkog zaključivaja. Oa se zadaje uaprijed, a hipoteze se formuliraju tako da oa pogreška koja am je važija bude pogreška prvog reda α. Na primjer, u pravosudom postupku možemo učiiti dvije pogreške, da eviog čovjeka osudimo ili da krivog oslobodimo. Možemo se odlučiti da je važije kotrolirati vjerojatost pogreške da eviog čovjeka osudimo. Formuliramo hipoteze: H 0 Osumjičei je evi i H 1 Osumjičei je kriv. Pogreška prvog reda ili α je vjerojatost odbacivaja hipoteze H 0 kada je oa zapravo istiita, tj. u ovom slučaju vjerojatost da eviog čovjeka proglasimo krivim. Kada bi obruli hipoteze i stavili H 0 Osumjičei je kriv, tada bi zadavali uaprijed i time kotrolirali pogrešku da krivog čovjeka oslobodimo. Pogreška II reda ili β
11 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 21/22 STROJNO UČENJE Uvod u statističko zaključivaje 22/22 Testiraje proporcija 1. Formuliraje statističke hipoteze H 0 π = H 1 π < (jedostrai, lijevi test područje odbacivaja hipoteze je a lijevo) Površia α=5% Odredi statistiku za testiraje : proporcija P P π Zamo da vrijedi U = p( 1 p) 3. Odaberi ivo začajosti testa tj. pogrešku prvog reda α, eka je α = 5% i pripadu kritiču vrijedost očitaj iz tablica. Za odabrai ivo začajosti i jedostrai test u krit = Područje odbacivaja H Područje prihvaćaja H 0 4. Uzmi slučaja uzorak =2000 i izračuaj vrijedost statistike P a jemu, tj. p=3/2000= u = = ( ) Doesi odluku: Ako je izračuata vrijedost statistike u < u krit odbaci ultu hipotezu. Kako je 2.26 < H 0 odbacujemo!
Osnove teorije uzoraka
Oove teorije uzoraka Oove teorije uzoraka UZORAK: lučaji, reprezetativi dio oovog kupa populacije Uzorci: 1.uzorak:,, 1 1.uzorak:,, i.uzorak:,, i i Razdioba aritmetičke redie uzorka f ( ) f ( ) razdioba
Διαβάστε περισσότεραnepoznati parametar θ jednak broju θ 0, u oznaci H 0 (θ =θ 0 ), je primer proste hipoteze. Ako hipoteza nije prosta, onda je složena.
Testiraje parametarskih hipoteza Pretpostavka (hipoteza) o parametru raspodele se zove parametarska hipoteza. Postupak jeog potvrđivaja ili odbacivaja a osovu podataka iz uzorka je parametarski test. t
Διαβάστε περισσότεραProcjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.
4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju
Διαβάστε περισσότεραOPISNA STATISTIKA GRAFIČKE METODE. Pravila kolokvija PROMJENE RASPOREDA: Dozvoljene formule s weba (M. Grbić) HISTOGRAMI
PROMJENE RASPOREDA: Kolegij SOM (prvi kolokvij) Opća fizika (predavaje) Numerička matematika Stari termi. ožujka -h. ožujka -h. ožujka -h Novi termi. ožujka -h. ožujka -h. travja - Pravila kolokvija Dozvoljee
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj. Sadrˇzaj MATEMATIČKA STATISTIKA DESKRIPTIVNA STATISTIKA Ponovimo... 15
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 1 11 MATEMATIČKA STATISTIKA 3 11.1 DESKRIPTIVNA STATISTIKA..................... 5 11. Poovimo................................. 15 1 Radi materijal Poglavlje 11 MATEMATIČKA STATISTIKA
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj Sadrˇzaj 12 TEORIJA PROCJENA
Sadrˇzaj Sadrˇzaj 2 TEORIJA PROCJENA 3 2. TOČKASTE PROCJENE......................... 5 2.2 REGRESIJSKA ANALIZA........................ 2.3 ML-PROCJENITELJI tko želi zati više................. 5 2.4 Poovimo.................................
Διαβάστε περισσότεραTESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE
//0 TESTIRANJE ZNAČAJNOSTI RAZLIKE Z-TEST I T-TEST Beograd, 0 Ass. dr Zora Bukumirić Z-TEST I T-TEST z-testom i Studetovim t-testom testiramo razliku: jede aritmetičke sredie i pretpostavljee vredosti
Διαβάστε περισσότεραPROCJENE PARAMETARA POPULACIJE
PROCJENE PARAMETARA POPULACIJE Iferecijala statistika je skup postupaka kojima se a osovi rezultata iz uzorka doose zaključci o populaciji. INFERENCIJALNA STATISTIKA Procjee parametara Testiraje hipoteza
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραBILJEŠKE ZA PREDAVANJA (za internu uporabu)
1. Statistika - Nazivlje... 2 2. Statistika podjela statističkih analiza... 2 3. Objekti, varijable, mjerne skale... 3 4. Ekstremne i nedostajuće vrijednosti podaci... 4 5. Ciljevi statističke analize...
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραVJEROVATNOĆA-POJAM. Definicija vjerovatnoće Σ = f x f. f f. f x f. f f ... = Σ = Σ. i...
VJEROVATNOĆA-OJAM Defiicija vjerovatoće f f f f f f f m X i i... ) + + + Σ p p p p f f f f f i i i i i i i ) )... ) )... + + + Σ + + Σ + Σ Σ Σ µ µ Aditivo i multiplikativo pravilo. Ako su E i E slučaji
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα(Hi-kvadrat test) r (f i f ti ) 2 H = f ti. i=1
χ 2 test (Hi-kvadrat test) Jedan od prvih statističkih testova je χ 2 -test. Predložio ga je K. Pearson 900. godine, pa je poznat i pod nazivom Pearsonov test. χ 2 test je neparametarski test. Pomoću χ
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραStatistika. Statističke metode služe nam da uočimo pravilnosti i zakonitosti po kojima se vlada cijeli kolektiv, a ne jedna odredena jedinka.
Statistika Statistika je zastvea disciplia koja se bavi prikupljajem podataka, jihovim orgaizirajem (sistematizirajem) i aalizirajem, te iiterpretacijom dobiveih rezultata Sami podaci mogu biti umeričke
Διαβάστε περισσότερα4 Testiranje statističkih hipoteza
4 Testiranje statističkih hipoteza 1 4.1. Statistička hipoteza Promatramo statističko obilježje X. Statistička hipoteza je (bilo koja) pretpostavka o (populacijskoj) razdiobi od X. Kažemo da je statistička
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike
Testiranje statističkih hipoteza Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 39 Uvod Osnovna zadaća Statistike je na temelju uzorka ocijeniti kakvu razdiobu
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραOsnove statistike sažetak.
Oove tatitike ažetak.. Uvod Populacija je kup vih etiteta koje razmatramo, a primjer vi tudeti ekog veučilišta čie populaciju. Razmatramo eko tatititičko obilježje populacije, a primjer viiu. Viia je lučaja
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMetoda najmanjih kvadrata
Metoda ajmajh kvadrata Moday, May 30, 011 Metoda ajmajh kvadrata (MNK) MNK smo već uvel u proučavaju leare korelacje; gdje smo tražl da suma kvadrata odstupaja ekspermetalh točaka od pravca koj h a ajbolj
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće naučnim ili iskustvenim).
Str. 53;76; Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@eccf.su.ac.yu www.eccf.su.ac.yu Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Sarajevu Građevinski fakultet Katedra za matematiku, programiranje, nacrtnu geometriju i fiziku
Uiverzitet u Sarajevu Građeviski fakultet Katedra za matematiku, programiraje, acrtu geometriju i fiziku Ispita pitaja za drugi parc. ispit iz teor. osova predmeta «VJEROVATNOĆA I STATISTIKA» Akademska
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA STATISTIKA
MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Διαβάστε περισσότεραTačkaste ocene parametara raspodele
Tačkaste ocee parametara raspodele Na osovu uzorka treba da se odredi kakva je raspodela obeležja a populaciji Ako je tip raspodele pozat, treba da se odrede parametri raspodele Pošto je realizovaa vredost
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραTeorija verovatnoće. Definicija: Skup svih mogućih ishoda nekog eksperimenta nazivamo skup elementarnih dogaďaja i označavamo sa.
Teorija verovatoće 1 Teorija verovatoće Slučaji događaji Defiicija: Skup svih mogućih ishoda ekog eksperimeta azivamo skup elemetarih dogaďaja i ozačavamo sa Primer Odrediti skup elemetarih dogaďaja u
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραGreške merenja i statistička obrada podataka
Vežbe iz Električih mereja http://www.kelm.ft.us.ac.rs Greške mereja i statistička obrada podataka. Greške mereja Osovi zadatak mere tehike je da odredi pravu vredost meree veličie, imajući u vidu okolosti
Διαβάστε περισσότεραUvod u neparametarske testove
Str. 148 Uvod u neparametarske testove Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Hi-kvadrat testovi c Str. 149 Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija. Vrste c testa:
Διαβάστε περισσότεραIntegral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.
Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007. Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X,
Διαβάστε περισσότεραPolarizacija. Procesi nastajanja polarizirane svjetlosti: a) refleksija b) raspršenje c) dvolom d) dikroizam
Polarzacja Proces asajaja polarzrae svjelos: a refleksja b raspršeje c dvolom d dkrozam Freselove jedadžbe Svjelos prelaz z opčkog sredsva deksa loma 1 u sredsvo deksa loma, dolaz do: refleksje (prema
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραStr
Str. Testiranje statističkih hipoteza Predavač: Dr Mirko Savić savicmirko@ef.uns.ac.rs www.ef.uns.ac.rs Definicija: Hipoteza predstavlja pretpostavku koja je zasnovana na određenim činjenicama (najčešće
Διαβάστε περισσότεραSTATISTIKA. 1. Osnovni pojmovi
STATISTIKA. Osovi pojmovi Matematička statistika se bavi proučavajem skupova sa velikim brojem elemeata, koji su jedorodi u odosu a jedo ili više zajedičkih kvalitatitvih ili kvatitativih svojstava. Kako
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα