Téma c. 1. Výroková logika a logika výrokových foriem (predikátovej logiky). Množinovo-logický rozbor slovného textu

Transcript

1 Téma c. 1 Výroková logika a logika výrokových foriem (predikátovej logiky). Množinovo-logický rozbor slovného textu A) Výrok a jeho vlastnosti. Výroky tvorené z jednoduchých výrokov pomocou logických operátorov. Tabulky ich pravdivostných hodnôt. Kvantifikované výroky. Výrokové formy. Vytvorenie výroku z výrokovej formy. Negácia výrokov všetkých typov (D Morganove vety). Výrokové formy a množiny s nimi spojené. Zložené výrokové formy a množiny s nimi spojené. B) Dôkaz výroku V, dôkaz výroku A B. Matematická veta. Veta existencná a všeobecná. Veta typu: pre x D; A(x) B(x) a jej množinový zápis. Dôkaz vety uvedeného typu (priamo, sporom, nepriamy dôkaz). Veta typu: pre x D; A(x) B(x) a jej množinový význam. Dôkaz vety uvedeného typu. Dôkaz neplatnosti oboch uvedených viet. Dôkaz platnosti a neplatnosti existencných viet. Dôkazy viet úplnou matematickou indukciou. C) Množiny. Vlastnosti, vztahy, operácie (doplnok, prienik, zjednotenie, rozdiel...). Vennove diagramy. Množinovo logický rozbor slovného textu a využitie výrokových diagramov pri riešení úloh. Úlohy: 1. Vyslovte negáciu nasledovných výrokov: V1: V danom trojuholníku je najviac jeden tupý uhol. V4: Aspon jeden koren rovnice x 3-2x + 1 = 0 nie je záporný. V2: Nijaké prvocíslo nie je párne. V5: Dané kružnice majú spolocný aspon jeden bod. V3: Každý zostrojený trojuholník je pravouhlý. V6: Dané paraboly majú spolocné práve tri body. (Ktorý z dvojice výrokov [ V i, V i ] pre každé i N, i 6 je pravdivý? Vyslovte a zapíšte negáciu vety pre každé x U 1 existuje aspon jedno y U 2 ; V(x, y) 2. Sú dané nasledujúce výrokové formy v N: A(x): x 2-17<0 B(x): 2x>7 C(x): x/17. Urcte obory pravdivosti daných výrokových foriem. Potom urcte obory pravdivosti zložených výrokových foriem: A(x) B(x); A(x) B(x); B (x) A (x); A(x) C(x); [A(x) C(x)] B(x) 3. Dokážte, že log 2 nie je racionálne císlo. Dokážte,že pre každé prirodzené císlo n platí: n/6 n/3 3/n 2 3/n Dokážte úplnou matematickou indukciou: n 2 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Téma c. 2 Císelné obory. Absolútna hodnota v císelných oboroch A) Císelné obory. Operácie v císelných oboroch a ich vlastnosti. Uzavretost operácií a rozširovanie císelných oborov. Dichotomické triedenie množiny R. Znázornenie reálnych císel (i podmnožín R) na císelnej osi. Intervaly, vztahy, operácie. B) Absolútna hodnota reálneho císla. Definícia, vety, úprava názvových foriem. Porovnanie s absolútnou hodnotou komplexného císla. Rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou - algebraické a grafické metódy riešenia. Absolútna hodnota a jej využitie v metrických úlohách. C) Dekadické rozvoje. Zásady zaokrúhlovania císel. Úlohy: 1. Dokážte, že súcet, rozdiel, súcin a podiel dvoch racionálnych císel je racionálne císlo. 2. Algebraicky riešte: 7-x > 1-x + 3 x 3. Znázornite obor pravdivosti výrokovej formy V(x, y): (x 2 - y 2 )/( x - y ) = 1 v R x R

2 Téma c. 3 Množina všetkých komplexných císel Zdôvodnenie nutnosti zavedenia oboru C, využitelnost oboru. Algebraický tvar komplexného císla. Imaginárna jednotka, jej mocniny. Operácie v algebraic kom tvare. Definicný tvar komplexného císla. Operácie v C a ich vlastnosti. Geometrický model oboru C - vektor, operácie súctu, rozdielu, rozklad oboru C na podmnožiny, absolútna hodnota komplexného císla a jej vlastnosti, komplexne združené císla Goniometrický tvar komplexného císla. Súcin a podiel v goniometrickom tvare. Moivreova veta a jej dôkaz. Komplexná n-tá odmocnina z komplexného císla. Binomická rovnica. Kvadratická rovnica s reálnymi a kvadratickými koeficientmi a jej riešenie v obore C. Porovnanie množiny C s množinou R. Úlohy: 1.V R x R riešte rovnicu [x; y].[2; 3] + [y; 0].[4; 3] = [-8; 33]. 2. Štvorec má stred v zaciatku súradnicového systému. Jeden vrchol v obraze komplexného císla a = 1-3i. Ktoré komplexné císla sú obrazmi jeho zvyšných vrcholov. Urcte tiež dlžku strany štvorca a jeho obsah. _ 3. Použitím Moivreovej vety vypocítajte (-1+ 3i) 5 4. Znázornite obrazy komplexných císel z, pre ktoré: z + 2 < 2 Téma c. 4 Riešenie rovníc a nerovníc v císelných oboroch. Riešenie sústav rovníc a nerovníc. Vztahy korenov a koeficientov. A) Ekvivalentné a implikacné úpravy pri riešení rovníc a nerovníc. Rozhodovanie o nutnosti skúšky. Skúška pri riešení rovníc a nerovníc (metódy vykonania skúšky). Numerické a grafické metódy riešenia rovníc a nerovníc. Z numerických. metód osobitne substitucné a aproximacné metódy. (riešenie urcenej rovnice, nerovnice viacerými metódami). Vztahy korenov a koeficientov najmä kvadratickej rovnice. B) Klasifikácia sústav lineárnych rovníc podla poctu rovníc a poctu premenných. Otázky riešitelnosti sústav. Metódy riešenia sústav rovníc (Gaussova eliminacná metóda). Numerické a grafické metódy. Sústavy lineárnych a kvadratických rovníc, sústavy kvadratických rovníc. Sústavy lineárnych nerovníc. Metódy riešenia. (Aktívne zvládnutie tabulkovej metódy využívajúcej prechody cez tzv. nulové body). Slovné úlohy vedúce k sústave nerovníc. Úlohy: 1. Riešte v R: x 3 + 4x 2 3x 12 = 0 - algebraickými úpravami; graficky. 2. a) Riešte v R: (2x+3)/(x-6) < (x+9)/(x-7); b) Riešte v N: log 3 1-2x+x 2 = 2 c) Riešte v R: (4-4x) + (x-2) = 6 3. V elektrickom obvode sú sériovo (paralelne) zapojené odpory R 1 =300 Ω, R 2 =700 Ω, R 3, R 4. Odpor R 3 má trikrát vyššiu hodnotu ako odpor R 4. Výsledná hodnota odporu R = 1400 Ω. Urcte hodnoty odporov R 3, R 4

3 Téma c. 5 Rovnice, nerovnice, ich sústavy s jedným alebo s viacerými parametrami Pojem rovnice, nerovnice, ich sústavy s parametrom. Princíp riešenia. Uskutocnenie diskusie. 1. Riešte v R, s parametrom a R; a) x+a=1+a 2.x b) x+a=1+a.x 2 Úlohy: 2. V R riešte nerovnice s reálnym parametrom p a s neznámou t R. p. t + t p - p 2 > 0 Tú istú nerovnicu riešte s reálnym parametrom t a s neznámou p R. 3. Je daná kvadratická funkcia y = 4x 2 a priamka p o smernici k = 1. Urcte, pre ktoré úseky na osi y vytaté priamkou p je táto priamka: - nesecnicou grafu kvadratickej funkcie, - dotycnicou grafu, - secnicou grafu. V tomto prípade vypocítajte dlžku tetivy vytatej priamky na parabole. Téma c. 6 Úpravy algebraických výrazov. Rovnost výrazov. Výrazy a ich úpravy. Zjednodušenie zápisov operácií (Delenie mnohoclena mnohoclenom). 1. Upravte: a 3 - b 3 (a - b) 2 a 2 - x 2 a 2 - b 2 ax a) : ; b).. a + a 3 + ab.(a+b) + b 3 a 4 - b 4 a + b ax+x 2 a - x 1 - x 1 + x + 1-x+x 2 1+x+x 2 c) 1 + x 1 - x - 1+x+x 2 1-x+x 2 2. Upravte pre prípustné hodnoty a, b R: _ a- a.b ( a+1 ) 2 - a - b f (a,b) = ( a+1) 3 - a a+2 3. Upravte výraz: 3 _ a 2. b.(a.b -2 ) 2. (a -1 ) 3 pre a =, b= 2 1-3

4 Téma c. 7 Vektory v matematike a vo fyzike. Operácie s nimi (v geometrickom a algebraickom modeli). Aplikácie A) Vektory - základné pojmy. (Definícia, oznacenie, umiestnenie, nulový a opacný vektor, polohový vektor bodu, súradnice vektora ). B) Scítanie vektorov a vlastnosti operácie scítania. Násobenie vektora reálnym císlom - definícia a vlastnosti operácie. Lineárna závislost a nezávislost vektorov. Lineárna kombinácia vektorov. Kolineárnost a komplanárnost vektorov. Rozklad vektora v π 2 na dve zložky o známych smeroch (v π 3 na tri zložky o známych smeroch ). Aplikácie na vektory v rovinných geometrických útvaroch a na vektory umiestnené v telesách. C) Velkost vektora a vzdialenost dvoch bodov. D) Skalárny a vektorový súcin vektorov. Pojem, definície, vlastnosti operácií. Aplikácie skalárneho súcinu v polohových a metrických úlohách riešených analytickou metódou. Aplikácie vektorového súcinu v matematike a vo fyzike. 1. Dokážte, že body A = [5;3;3] ; B = [0;5;6] ; C = [3;0;4] neležia na priamke. Potom vypocítajte súradnice bodu D, ktorý je vrcholom rovnobežníka ABCD. Dalej, využijúc vektorový súcin príslušných vektorov: napíšte rovnicu roviny ABC, vypocítajte obsah ABC. Potvrdte inými metódami. 2. Daný je kváder ABCDEFGH s rozmermi AB = 6 ; BC = AE = 4. Bod S je stredom steny BCGF. Vyjadrite u = G-A ako súcet reálnych násobkov vektorov c = C-A; f = S-A; g = E-A. Potvrdte v algebraickom modeli po zavedení súradnicového systému. 3. Autobus ide rýchlostou 60 km/h. Daždové kvapky dopadajú na bocné okenné sklo autobusu rýchlostou v (v km/h) a vykazujú od vodorovného smeru odchýlku 30 o. Urcte rýchlost padajúcej kvapky i rýchlost posunu kvapky na skle autobusu. (Trenie zanedbajte! Riešte graficky i numericky ). Téma c. 8 Analytická geometria lineárnych útvarov - polohové úlohy A) Priamka v rovine a v priestore - urcenost priamky, jej vektory. -Parametrické vyjadrenie priamky, polpr., úsecky. Význam parametra. Dalšie tvary rovnice priamky v rovine - význam koeficientov, prechod z jedného analytického vyjadrenia na iné. Znázornenie priamky danej svojou rovnicou/ami/. Špeciálne polohy priamky vzhladom na súrad. systém. Polrovina a jej analytické vyjadrenie. B) Rovina v priestore - jej urcenost, vektory roviny. Rôzne analytické vyjadrenia roviny - význam koeficientov, prechod z jedného analytického vyjadrenia na iné. Znázornenie roviny danej svojím analytickým vyjadrením (v súr. systéme Oxy z). Špeciálne polohy roviny vzhladom na prvky súr. systému. Polpriestor a jeho analytické vyjadrenie. C) Vyšetrovanie vzájomnej polohy bodov, priamok a rovín. Úlohy o rovnobežnosti a kolmosti geometrických útvarov. 1. Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom A = [1; 2] a a) zviera s osou x uhol velkosti 60 o (120 o ) b) je rovnobežná s priamkou MN, kde M=[-3;2], N=[2;-1] c) je kolmá na priamku MN 2. Rozhodnite, ci trojica bodov A=[1;0;1], B=[6;1;-2], C=[0;0;1] urcuje rovinu. Ak áno: a) napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom M=[4; -2;1] rovnobežne s rovinou ABC b) napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom M rovnobežne s priesecnicou rovín x-2y+z=4 a 2x+y-z=0 c) napíšte rovnicu roviny. ktorá prechádza bodom M kolmo na túto priesecnicu 3. Je daná kocka ABCDEFGH o hrane velkosti a. Vypocítajte vzdialenost bodu F od roviny BEG. Výpocet vykonajte metódami analytickej geometrie. Potvrdte inými metódami.

5 Téma c. 9 Analytická geometria kvadratických útvarov v rovine A) Všeobecná rovnica kvadratických útvarov v rovine bez zmiešaného clena Ax 2 +By 2 +Cx+Dy+E = 0; [A.B] [0;0] a jej rozbor. Klasifikácia kvadratických útvarov v rovine. B) Regulárne kuželosecky ( kružnica, elipsa, parabola, hyperbola): - ich definície a konštrukcie (rysovanie) na základe definície; prvky a vztahy medzi nimi; odvodenie rovníc kuželoseciek a vyvodenie vlastnosti kriviek z týchto rovníc; rovnice ( všeobecná, stredová resp. vrcholová ) a prvky kuželoseciek. Rovnoosá hyperbola s asymptotami v súradnicových osiach. C) Rozklad roviny regulárnymi kuželoseckami. Analytické vyjadrenie týchto castí. D) Klasifikácia vzájomnej polohy priamky a kuželoseciek. Odvodenie rovnice dotycnice (metódami analytickej geometrie a pomocou diferenciálneho poctu). 1. Urcte základné prvky kriviek: 3x 2 + 3y 2 + 6x - 4y - 1 = 0; y 2-16x + 12y + 4 = 0; 5x 2-6y x - 12y - 31 = 0 x 2 + 6x - 9y = 0 2. V bodoch s rovnakou výškou nad vodorovnou rovinou, ktorých vzdialenost od seba je 20m je zavesený ocelový trám. Pod vplyvom svojej hmotnosti je trám parabolicky prehnutý. Vo vzdialenosti 2 m od bodov upevnenia je jeho prehyb 14,4 cm pod úroven bodov upevnenia. Aký velký je prehyb trámu v jeho strede? 3. Napíšte rovnice všetkých priamok, prechádzajúcich bodom M=[1;4], ktoré majú s krivkou 9x 2-4y 2-36x+24y-36=0 práve jeden spolocný bod. Téma c. 10 Množiny všetkých bodov v rovine vyšetrované metódou súradníc A) Vyšetrovanie množín bodov danej vlastnosti - induktívny postup. Štruktúra analytického vyšetrovania dôkaz rovnosti množín. B) Odvodenie analytického vyjadrenia množiny všetkých bodov danej vlastnosti. Znázornenie nájdenej množiny v súradnicovom systéme. Potvrdenie výsledkov i dalšími metódami. 1. Urcte množinu všetkých bodov v rovine : -rovnako vzdialených od koncových bodov úsecky AB [AB] 0 -rovnako vzdialených od ramien nenulového uhla; -rovnako vzdialených od kružnice; -rovnako vzdialených od dvoch sústredných kružníc; 2. Urcte množinu všetkých bodov (MVB)v rovine, ktoré majú od bodu F = [5;0] a priamky p : x = stály pomer 5 vzdialeností rovný císlu 5/3. 3. Urcte množinu vrcholov C pravouhlých trojuholníkov ABC zostrojených k tej istej prepone AB. Nech AB = c. Dokážte aj inými metódami. 9

6 Téma c. 11 Funkcie a ich vlastnosti A) Funkcie jednej reálnej premennej. Definícia. Obory funkcie. Spôsoby urcenia funkcie. Graf funkcie. Cast funkcie, rovnost funkcií. B) Vlastnosti funkcií - priebeh, prostota, maximum a minimum (i ostré max. a min.) párnost a nepárnost, ohranicenost, periodicita na množine (urcenie najmenšej periódy funkcie) - definície a ich ozrejmenie C) Inverzné relácie. Inverzné funkcie - definícia, existencia, obory funkcie a inverznej funkcie, grafy funkcie a inverznej funkcie. D) Zložené funkcie - urcenie zložiek, urcenie definicného oboru zloženej funkcie 1. Overte vlastnosti funkcií: y = x 2, y = x 3, y = x 2 2x + 5, y = x 5 5x. Nacrtnite ich grafy. 2. Sú dané funkcie f: y = 2x + 1, g: y = x 2, h: y = sin x, l: y = log x. Urcte zlo žené funkcie f o g, f o h, h o l, l o h, l o l x + 1 x + x 3. Urcte inverznú funkciu k funkcii f: f: y = ; f: y = 3x 2 2x 2 Urcte aj definicné obory a obory hodnôt f a f -1. Vyšetrite aj vlastnosti oboch funkcií. Téma c. 12 Racionálne funkcie A) Konštantná a lineárna funkcia - definícia, význam koeficientov, súvis s analyt. geometriou, slovné úlohy, zadania s parametrom, lineárna interpolácia B) Kvadratická funkcia - jej skúmanie v závislosti od koeficientov, grafy, riešenie rovníc a nerovníc, slovné úlohy na max., min. kvadratickej f. (i s absolútnymi hodnotami výrazov 2. stupna.) C) Polynomická funkcia, obecne - pojem D) Mocninové funkcie s prirodzeným a celocíselným exponentom - pojem, grafy, vlastnosti. Nepriama úmernost, lineárna lomená funkcia. E) Mocniny s racionálnym a iracionálnym exponentom - výpocty hodnôt, úpravy výrazov s racionálnymi a iracionálnymi exponentmi 1. Riešte dané rovnice graficky: -2x 2 + x 1 = 0; x 4-4x + 1 = 0; x 3-3x + 1 = 0; x 3 -x -2 = 0 2. Zostrojte grafy nasledovných funkcií: x 1 x 1 x 1 x 1 6x 4 y =, y =, y =, y =, y = x 2 x 2 x 2 x 2 6 9x 3. Kinetická energia E k pohybujúceho sa telesa závisí od rýchlosti tak, že E k = 1/2. m.v 2, Aký musí byt prírastok rýchlosti, aby sa kinetická energia zdvojnásobila? Riešte numericky aj graficky.

7 Téma c. 13 Funkcie goniometrické. Goniometria. Goniometrické rovnice A) Goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku (definícia, hodnoty pre vybrané argumenty, aplikácie). B) Volný a orientovaný uhol. Stupnová a oblúková miera (jednotky, prevody). Základná velkost uhla a jej urcenie. Dlžka oblúka kružnice. C) Goniometrické funkcie reálneho argumentu - definícia. D(f), H(f), vlastnosti. Grafické a numerické urcovanie hodnôt goniometrických funkcií. D) Grafy základných a zložitejších goniometrických funkcií typu: y = A. sin (xt+ϕ) E) Základné goniometrické rovnice, ich grafické a numerické riešenie. F) Goniometria - vztahy medzi goniometrickými funkciami toho istého argumentu. Súctové vzorce. Vzorce dvojnásobného a polovicného argumentu. Súcet a rozdiel goniometrických funkcií. Úpravy výrazov s goniometrickými funkciami, ich zjednodušovanie na danom definicnom obore. G) Dalšie goniometrické rovnice riešené numericky a graficky. 1. Bez použitia tabuliek urcte hodnotu výrazu: sin (-225 o ) cos (-600 o ) + tg (300 o ) cotg (-330 o ) 2. V intervale <0;2π> zostrojte grafy funkcií v tom istom súradnicovom systéme: y = sin x, y = 2.sin x, y = sin 2x y = sin (x+π/6), y = 3.sin (2x-π/2) (Za sin si dosadte operátor aj iných goniometrických funkcií). 2sin x sin 2x 3. Dokážte identitu: = tg 2 (x/2) 2sin x + sin 2x 4. Ak zväcšíme uhol 60 o o ostrý uhol α, je sínus tohto zväcšeného uhla dvakrát taký vel ký ako sínus uhla, ktorý dostaneme, ak uhol α od uhla 60 o odcítame. Urcte velkost ostrého uhla α. Téma c. 14 Trigonometria pravouhlého a obecného trojuholníka A) Pravouhlý trojuholník: - pojem, prvky, oznacenie, vlastnosti, vety Euklidove a veta Pytagorova - znenie, dôkaz, využitie pri riešení pravouhlého trojuholníka, pri konštrukciách úsecky požadovanej dlžky, v aplikáciách. Goniometrické funkcie definované v pravouhlom trojuholníku. B) Obecný trojuholník:- Definícia trojuholníka pomocou množinových operácií (s polrovinami). Prvky trojuholníka a ich konštrukcia. Vztahy medzi stranami a uhlami trojuholníka. Súcet uhlov. Vonkajší uhol trojuholníka. Dôkazy viet! Trojuholníková nerovnost. Vety o zhodnosti a podobnosti trojuholníkov. C) Zámena geometrických úloh v trojuholníku za úlohy goniometrické. Sínusová a kosínusová veta. Dalšie trigonometrické vzorce pre r,ρ,p,t a,v a.... Riešenie fyzikálnych úloh a úloh z praxe. 1. Daná je kružnica k (S, r) a jej tetiva AB dlžky t = AB < 2r. V bodoch A, B sú zostrojené dotycnice ku k, tieto sa pretínajú v bode M. Urcte vzdialenost SM. (Riešte obecne, potom pre hodnoty r = 6, AB = t = 8). 2. Je daná kružnica k[s, r] a zvonka k nej bod M. Na spojnici MS zostrojte ku nej kolmicu tak, aby sa táto kolmica dotýkala danej kružnice k. Na tejto kolmici oznacte body Q, R tak, že bude platit QS = RS = MS. Spojnice QS, RS pretnú kružnicu k v bodoch T 1, T 2. Dokážte, že priamky MT 1, MT 2 sú dotycnice kružnice. 3. Z veže, ktorá je 15 metrov vysoká a 30 metrov vzdialená od brehu rieky javí sa šírka rieky v uhle 15 stupnov. Urcte šírku rieky. (Riešte za predpokladu, že päta veže je na úrovni hladiny a tiež ak nad hladinou je prevýšená o 5 metrov ).

8 Téma c. 15 Zobrazenia v stredoškolskej matematike. Zhodné a podobné zobrazenia. Rovnolahlost A) Zobrazenia definicné obory, druhy zobrazení (prosté, vzájomne jednoznacné medzi množinami...). Inverzné zobrazenie - podmienka existencie inverzného zobrazenia odcítanie z grafu - obory zobrazení vztah medzi f a f -1 B) Zhodné zobrazenia - pojem, definícia. Základné súmernosti v π 1, π 2, π 3 (danost, konštrukcia bodov, vlastnosti, samodružné body, priama nepriama zhodnost ). Operácia skladania zákl. súmerností - podrobne v π 2, odvodenie dalších.zhodných zobrazení v π 2 (danost, konštrukcia bodov, vlastnosti, samodružné body, priama - nepriama zhodnost ). Klasifikácia zhodných zobrazení v rovine. Niektoré konštrukcné úlohy na zhodné zobrazenia. Zhodnost trojuholníkov - definície, vety, použitie v dôkazoch a vo výpoctoch. C) Podobné zobrazenia - definícia, špeciálne rovnolahlost v π i i {1,2,3}. Rovnolahlost - definícia., danost, konštrukcia bodu, samodružné body, vlastnosti rovnolahlosti, rovnolahlost rovnobežných úseciek, rovnolahlost kružníc, stredy rovnolahlosti, spolocné dotycnice daných dvoch kružníc. využitie rovnolahlosti v konštrukcných úlohách a v praxi - (Veta o možnosti rozkladu každého pod. zobrazenia na rovnolahlost a zhodné zobrazenie). Vlastnosti podobných zobrazení. 1. Dané sú dve kružnice k 1 = [S 1,r 1 ]; k 2 = [S 2,r 2 ] a úsecka MN. Zostrojte úsecku AB zhodnú a rovnobežnú s úseckou MN tak, aby bod A ležal na k 1 ; B na k 2. Urobte diskusiu! 2. a) Dané sú dve rôznobežné priamky p, q a v jednom z uhlov nimi urcenom (nie však na osi uhla) leží bod S. Zostrojte úsecku AB tak, aby bod A ležal na priamke p, bod B na priamke q a bod S bol stredom úsecky AB. b) Dané sú dve rôznobežné priamky a, b. V jednom z uhlov daných týmito priamkami (avšak mimo osi uhla) leží bod C. Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC tak, aby bod A a a bod B b. c) Je daný konvexný uhol AVB, vo vnútri tohto uhla mimo jeho osi leží bod M. Zostrojte kružnice, ktoré prechádzajú bodom M a dotýkajú sa ramien VA, VB tohto uhla. 3. Je daný trojuholník ABC so stranou a = 36 cm a výškou v a =15 cm. Trojuholník A B C je podobný trojuholníku ABC a má stranu a = 24 cm. Vypocítajte obsah trojuholníka A B C. Téma c. 16 Konštrukcné úlohy (riešené cez množiny všetkých bodov danej vlastnosti a zobrazenie ) A) Základné geometrické útvary v π 1, π 2, π 3. Polpriamka, polrovina, polpriestor - ich zavedenie, spolocné vlastnosti útvarov, zápisy útvarov množinovou symbolikou. Uhly ako casti roviny, ich klasifikácia (uhly vrcholové; súhlasné, prilahlé, striedavé; stycné a susedné; uhly trojuholníka..., klasifikácia podla velkosti uhlov). Stredové a obvodové uhly prislúchajúce tomu istému oblúku kružnice. Talesova veta. Konvexné množiny bodov. Lomené ciary, uzavreté lomené ciary, mnohouholníky, ich konvexnost. B) Množiny všetkých bodov danej vlastnosti (kružnica, os uhla, kruh, Talesova kružnica, {x π 2 ; AXB = α, kde 0 o < α < 180 o, A B} ekvidištanty priamky, priamok, kružnice... - ich zostrojenie). Konštrukcné úlohy s využitím všetkých bodov danej vlastnosti (t.j. konštrukcia úloh s 1 parametrom ). Casti konštrukcnej úlohy, ich popis a uplatnenie v konštrukciách C) Trojuholník - prvky, oznacenie, urcenost trojuholníkov, typy trojuholníkov ( zhodnost a podobnost trojuholníkov. Trojuholníková nerovnost ). Konštrukcné úlohy vedúce k zostrojeniu trojuholníka. D) Štvoruholníky - rozdelenie, druhy ( konvexný, konkávny ), uhlopriecky... oznacenie, rysovanie. vlastnosti strán, uhlov, uhlopriecok ( Štvorec, obdlžnik, kosoštvorec, rovnobežník, lichobežník, deltoit, dotycnicový a tetivový štvoruholník ). Konštrukcie štvoruholníkov. 1. Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané: a, v b, c; α, β, r ; α, c, v c. Jednu úlohu riešte úplne, v ostatných urobte rozbor. 2. Zostrojte lichobežník ABCD, ak je dané: a, c, e (uhlopriecka), σ (uhol uhlopriecok).

9 Téma c. 17 Exponenciálne a logaritmické funkcie a rovnice A) Exponenciálne funkcie. Pojem, základné pojmy, vlastnosti (odvodenie vlastností v závislosti od základu funkcie). Grafy. Graf (rysovanie grafu za využitia Euklidových viet). Porovnávanie mocnín. Riešenie jednoduchých i zložitejších exponenciálnych rovníc. B) Logaritmická funkcia ako funkcia inverzná k funkcii exponenciálnej. Graf logaritmickej funkcie. Vlastnosti logaritmickej funkcie. Pojem logaritmu kladného císla ( definícia a z nej plynúce dôsledky. Vztahy medzi logaritmami o rôznom základe porovnanie). Logaritmovanie a odlogaritmovanie výrazov. Dekadický logaritmus. Prirodzený logaritmus. Eulerovo císlo. Riešenie jednoduchých a zložitejších logaritmických rovníc. Kombinované zadania na exponenciálne a logaritmické rovnice. 1. Vzájomne porovnajte císla : log 2 5 a log 2 7 ; log 8 9 a log 9 8 ; log 1/2 (1/5) a log 1/2 (1/7). Zjednodušte : 25 log 3 ; 5 log (10-1) a potom urcte log 3 8, ak viete, že log 8 3 = [a/(b 2-1)]. _ 2. Riešte v R: 0, x-3 =( 2/8) -x ; 3 2+x x = 90 ; x logx = 100.x. 3. Riešte v R: log ( x ) = 3 log (x-10) 1/3 Téma c. 18 Postupnosti a rady. Nekonecný geometrický rad a jeho súcet A) Definícia postupnosti ako funkcie. Príklady postupnosti. Ich grafy. Postupnosti definované rekurentne. Vzájomná súvislost medzi funkcným a rekurentným vyjadrením. Prevody z jedného vyjadrenia na druhé. Vlastnosti postupností ako vlastnosti špeciálneho typu funkcií. Aritmetická a geometrická postupnost (porovnanie, ich vzorce, dôkazy, príklady s matematickým obsahom a z praxe, vzorec pre zložené úrokovanie). Princíp dôkazu úplnou matematickou indukciou. Limita postupnosti (definícia, vety, konvergencia a divergencia, ich dôkaz, výpocty limít postupnosti s využitím viet o limitách). B) Pojem radu, klasifikácia radov. Pojem radu a jeho súctu. Konvergentné a divergentné rady. Podmienka konvergencie geometrického radu. Súcet geometrického radu - odvodenie. Súcet nekonecného geometrického konvergentného radu v konkrétnych prípadoch. 1. Vyslovte hypotézu o tom, ci daná postupnost je : rastúca, klesajúca (monotónna), iná; aritmetická, geometrická, iná; konvergentná, divergentná. Svoje tvrdenia dokážte! {6n/(1-2n)} n=1 ; {(-1/2)} n=1 ; {1/[n.(n+1)]} n=1 ; {n 2 } n=1 ; {3 n } n=1 ; {3n-1} n=1. 2. Železné rúry sú naukladané do vrstiev tak, že rúry každej novej vrstvy zapadajú do medzier spodnej vrstvy. Do kolkých vrstiev sa uloží 102 rúr, ak najvrchnejšia vrstva má 3 rúry. _ 3. Riešte rovnice : x. x. x...= 2; 5/3 = x + 3x 2 + x 3 + 3x

10 Téma c. 19 Stereometria - Polohové a metrické úlohy A) Základné stereometrické vety o incidencií. Vzájomná poloha bodov, priamok a rovín (vrátane troch rovín ) v priestore, resp. v rovine. Vety charakterizujúce vzájomnú polohu a vyhladanie vzájomnej polohy (na príkladoch). Rovnobežnost. Kritéria rovnobežnosti. Priesecnica dvoch rovín, priesecník priamky s rovinou konštrukcia. B) Volné rovnobežné premietanie - zásady, znázornenie telies. Riešenie polohových úloh vo volnom rovnobežnom premietaní; dôkazové úlohy; rezy telies; prienik priamky telesom. Osobitne vyznacit priesecnicu roviny so súradnicovými rovinami. C) Riešenie metrických úloh. Uhol dvoch priamok. Kolmost dvoch priamok. Kolmost priamok a rovín (kritérium, konštrukcia kolmej roviny vedenej bodom na priamku, konštrukcia kolmej priamky vedenej bodom na rovinu, vzdialenost bodu od priamky a od roviny). Uhol dvoch rovín, kolmost rovín (kritérium). Odchýlka priamky od roviny. Kritéria rovnobežnosti. Vzdialenost dvoch rovnobežných priamok, dvoch rovnobežných rovín. Urcenie priecky dvoch mimobežiek, os mimobežiek. Urcenie vzdialenosti dvoch mimobežiek. 1. Zostrojte rez pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV s rovinou urcenou priamkou p ležiacou v rovine podstavy ihlana a bodom M, ktorý je vnútorným bodom hrany BV. Riešte : a) ak p prienik s podstavou ABCD je prázdny; b) nie je prázdny. 2. V kocke ABCDEFGH overte - dokážte, že BH ACF. Vypocítajte tiež vzdialenost B, ACF. 3. Pravidelný štvorboký ihlan ABCDV má výšku v, AB = a. Vypocítajte uhol ϕ jeho susedných bocných stien. Úlohu riešte i graficky pre a = 5,2 cm, v = 6,3 cm. Téma c. 20 Kombinatorika. Binomická veta A) Podstata kombinatorických úloh (pravidlo súctu, pravidlo súcinu - intuitívne riešenie úloh). Variácie a permutácie (pojem, definícia, príklady). Pocítanie s faktoriálmi. Variácie s opakovaním prvkov. Kombinácie. Kombinacné cís la a ich vlastnosti. Pascalov trojuholník. Kombinácie s opakovaním prvkov. Riešenie kombinatorických úloh na exaktnom základe; riešenie úloh s kombinacnými císlami, rovnice. B) Binomická veta: - jej znenie a dôkaz matematickou indukciou umocnenie binómu, binómy s odmocninami, s imaginárnou jednotkou urcovanie približnej hodnoty mocnín urcenie požadovaného clena binomického rozvoja. 1. Kolko je jedno-, dvoj-, troj- a štvormiestnych prirodzených císel napísaných pomocou císlic 0, 1, 2, 3, ak: a) císlice sa neopakujú b) císlice sa môžu opakovat 2. Hlavný televízny program pozostáva z 3 TV - inscenácií, z 2 celovecerných filmov, z 1 hudobnej relácie, z 1 športového prenosu. Kolko je možností na zostavenie týždenného TV - programu, ak športový prenos je pevne terminovaný a ak: a) neprihliadame na vnútorný obsah inscenácií a filmov b) ich rozlišujeme podla obsahu. _ 3. Vypocítajte siedmy clen rozvoja: [ 3 2.x 2 - ( 2/x)] 9 ; vypocítajte piaty clen rozvoja: [ 3 2.x 3 - (i/x)] 7. Pre aké x R sa tretí clen rozvoja (x log x + x ) 5 rovná 100.

11 Téma c. 21 Priamka a krivky 2. stupna A) Rozklad roviny kuželoseckami, analytické vyjadrenie castí roviny. B) Klasifikácia vzájomnej polohy priamky a krivky 2. stupna. Rovnica dotycnice a jej odvodenie ( analytickou metódou, aj cez diferenciálny pocet. Rovnice dotycnice v danom bode krivky, rovnobežnej s daným smerom, vedenej bodom nepatriacim krivke. 1. Urcte to kladné císlo q, pre ktoré priamka y = x + q sa stáva dotycnicou elipsy (x 2 /16) + (y 2 /9) = 1. Nájdite aj súradnice dotykového bodu. 2. V ktorom bode paraboly y = x 2 2x + 5 je nutné viest dotycnicu, aby táto bola kolmá ku osi nepárnych kvadrantov prechádzajúcou týmito kvadrantmi. 3. Napíšte rovnicu kružnice, ktorá prechádza bodmi M[0;6], N[ 8;0] a dotýka sa priamky 3x + 4y 49=0 Téma c. 22 Limita a spojitost funkcií. Derivácia funkcií A) Limita funkcie - pojem (vhodný príklad )- definícia limity funkcie v bode, výpocet limity funkcie v bode využitím definície, vety, urcenost limity, limita súctu, rozdielu, súcinu, podielu, sin x lim x o x limita mnohoclenov. Spojitá funkcia v bode pojem, definícia. limita v intervaloch - definícia. Súvis medzi definíciou limity a spojitostou funkcie. Spojitost jednotlivých typov funkcií. Body nespojitosti. Výpocet limity funkcie v bode, v ktorom je funkcia spojitá; nespojitá; pomocou L Hospitalovho pravidla. B) Derivácia funkcie v bode - definícia (ozrejmit ju napr. z úvah o dotycnici krivky v bode - obr. nacrtni ). Derivácia ako cís lo, derivácia ako funkcia. Dotycnice grafu funkcie. Výpocet okamžitej rýchlosti pohybujúceho sa telesa. Dalšie príklady. Odvodenie vzorcov pre derivovanie mocninovej funkcie, goniometrických funkcií, exponenciálnej a logaritmickej funkcie. Derivácia súctu, rozdielu, súcinu a podielu funkcií. Derivácia zloženej funkcie. 1. Vypocítajte okamžitú rýchlost telesa, ktoré volne padá v gravitacnom poli Zeme. Poukážte na myšlienkový postup, ktorý speje k pojmu okamžitej rýchlosti - k pojmu derivácie funkcie v bode. 2. Vypocítajte: a) lim (3x 7 - x 2 + 1); b) lim (x 2-1)/(2x 2 - x - 1); 3. Napíšte rovnicu dotycnice a rovnicu normály ku krivke: y = x tg x v bode T = [(π/3); t 2 ] 4. Vypocítajte deriváciu funkcií : y = tg x ; y = tg 2 x ; y = tg 2x ; y = tg x 2 ; y = ln x ; y = ln 2 x ; y = ln sin x ; y=3 sinx ; y = e ln x. Svoje postupy zdôvodnite. Urcte aj definicné obory uvedených funkcií.

12 Téma c. 23 Aplikácie poznatkov o funkciách. Vyšetrovanie priebehu funkcie a dalšie aplikácie diferenciálneho poctu A) Slovné úlohy využívajúce poznatky o vlastnostiach najmä polynomických funkcií. B) Vyšetrovanie priebehu funkcie - graf funkcie : využitie vlastností funkcií ; priebeh funkcie a derivácia; lokálne extrémy a derivácia (využitie 2. a vyšších derivácií k urceniu typu extrému ), globálne extrémy. C) Použitie diferenciálneho poctu : k urceniu dotycníc kriviek k riešeniu jednoduchých fyzikálnych úloh okamžitá rýchlost telesa k urcovaniu globálnych extrémov funkcie v úlohách z praktického života. 1. Urcte globálne extrémy funkcie na intervale (pokial existujú ): g 1 : y = x 3-3x + 20 na <-3; 3>. Funkciu vyšetrite. Nacrtnite graf funkcie. 2. Vypocítajte: a) lim [(a x - b x )/x] ; b) lim [(x.2 x )/(2 x - 1)]; c) lim [(1 cos x)/x 2 ] x 0 x 0 x 0 3. Závod Z je vzdialený 5km od autostrády idúcej do mesta M, pricom v zdialenost Z od M je ZM =13 km. Zistite pod akým uhlom treba vybudovat cestu k autostráde, aby preprava materiálu zo Z do M bola najlacnejšia? Preprava po vybudovanej ceste je 1,5-krát drahšia ako po autostráde. 4. Stena bola vymurovaná do výšky 120 cm. Výška steny má byt 315 cm. Za hodinu sa v priemere vymurujú 4 vrstvy tehál, t.j. 30 cm. Výška vymurovania steny je zrejme funkciou casu. Urcte túto funkciu (predpis, obory), zostrojte jej graf. Za aký cas bude stena vymurovaná do výšky 2m. O ktorej hodine bude stena vymurovaná, ak sa zacalo pracovat o 06 oo h a na prestávky za celý cas práce sa pocíta 30 minút. Téma c. 24 Integrálny pocet v stredoškolskej matematike. Primitívna funkcia a urcitý integrál A) Primitívna funkcia: pojem, definícia primitívnej funkcie, integracná konštanta a jej význam, význam a použitie primitívnej funkcie pri riešení fyzikálnych úloh, tabulkové integrály, urcenie primitívnej funkcie ku danej funkcii na intervale úpravy B) Miera a integrál : miera, pojem miery - vhodný príklad vlastnosti matematických množín, resp. definícia miery pomocou zobrazenia urcitých vlastností, neelementárne obrazce popis postupu (metódy) zavedenia urcitého integrálu zavedenie urcitého integrálu; vlastnosti urcitého integrálu. Newtonovo - Leibnitzova veta pre výpocet urcitého integrálu. ( obsah neelementárnych obrazcov, obsah bodových množín ohranicených grafom funkcie, objemy rotacných telies ). 1. Urcte :? 3,4.x -0,17 dx ;? dh/v2gh ;? dx/sin 2 x.cos 2 x ;? [3x 2 /(x 3 +1)]dx ;? cotg x dx ;? sin x dx ;? [(x+1)/ x)] dx ;? (sin x + tg x) dx ;? (1/x) 3 dx 2. Priamka y = - 2x + 3 je dotycnicou grafu funkcie y = f(x). Urcte túto funkciu, ak : a) viete, že jej graf prechádza bodom [0;0] b/to neviete. 3. Vypocítajte dráhu telesa v case t, ak pre jeho rýchlost platí v = t 2 + t 1. ( v = sin t )

13 Téma c. 25 Obsahy rovinných obrazov. Objemy telies Urcovanie obsahov rovinných obrazcov pomocou integrálov. Aplikácie integrálneho poctu a využitie poznatkov z dalších oblastí matematiky. 1. Urcte polomer podstavy a objem rotacného kužela, ak jeho plášt tvorí kruhový výsek s polomerom s = 3 dm so stredovým uhlom omega 120 o 2. Vypocítajte objem pravidelného 6-bokého hranola, ak dlhšia telesová uhlopriecka meria 13 cm a kratšia 12 cm. 3. Daná je parabola y = 6x x 2 a priamka y = x. a) urcte obsah obrazca ohraniceného týmito útvarmi b) urcte objem toho istého obrazca, ktorý rotuje okolo osi x. 4. Pravouhlý trojuholník s odvesnami a = 4, b = 3 sa otáca okolo prepony. Vypocítajte povrch a objem vzniknutého rotacného telesa.