ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

Transcript

1 y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων Τρίκλ 2007

2 2

3 Περιεχόμεν Πρόλογος Τ δύο Θεμελιώδη Θεωρήμτ του Απειροστικού Λογισμού Μί διδκτική πρότση Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στη διδικσί επινόησης της πόδειξης μις μθημτικής πρότσης Η περίπτωση του θεωρήμτος Μέσης του Διφορικού Λογισμού Οι κυρτές συνρτήσεις Μι πορεί μετξύ γεωμετρικής κι συνρτησικής θεώρησης Διδκτικές προσεγγίσεις του προλήμτος π e της σύγκρισης των ριθμών e κι π στο πλίσιο της Ανάλυσης Ολοκλήρωμ συνάρτησης με μι ειδική συμμετρί Η γεωμετρική εποπτεί στην προυσίση της πόλυτης τιμής Μι πρότση γι την επίλυση εξισώσεων κι νισώσεων με πόλυτες τιμές στην Α Λυκείου

4 4

5 Προλεγόμεν Συγκέντρωσ εδώ ορισμέν άρθρ μθημτικών, που έγρψ τ τελευτί χρόνι, με σκοπό ν νδείξω μι ξιοσημείωτη πιδευτική διάστση του ρόλου κι της συμολής των γεωμετρικών νπρστάσεων (εποπτείς), κυρίως στη διδσκλί της Ανάλυσης. Ο διδκτικός ρόλος της εποπτείς, όπως ξέρουμε, συνήθως επικεντρώνετι: Πρώτον, στη γεωμετρική ερμηνεί κάποιων προτάσεων, φού όμως πρώτ υτές έχουν διτυπωθεί υστηρά κι έχει ολοκληρωθεί κι η τυπική τους πόδειξη. Δεύτερον, στη γεωμετρική ισθητοποίηση ορισμένων εννοιών (όπως γι πράδειγμ, της πργώγου κι του ολοκληρώμτος) κι Τρίτον, στη δισφήνιση ορισμών που κι υτοί πρώτ έχουν ήδη διτυπωθεί στην τελική τους μορφή. Στ άρθρ που επέλεξ ν προυσιάσω εδώ (5 πό την Ανάλυση κι 1 πό την Άλγερ της Α Λυκείου), επεκτείνοντι τ προηγούμεν πεδί εφρμογής των γεωμετρικών νπρστάσεων κι νδεικνύετι μι κόμη εξιρετικά ενδιφέρουσ διάστσή τους: Η συμολή τους στη διδικσί επινόησης υτής κθευτής της πόδειξης μθημτικών προτάσεων. Ο ρόλος τους υτός εστιάζετι πό την ρχή στην επινόηση κάποιου γεωμετρικού επιχειρήμτος, το οποίο ιτιολογεί τη «σύλληψη» της πρότσης κι μς δίνει κάποι ιδέ γι την πόδειξή της. Όσοι διδάσκουμε Ανάλυση στη Γ Λυκείου, θ έχουμε προσέξει ότι, μερικές φορές, η πόδειξη κάποιων προτάσεων κι η λύση ορισμένων προλημάτων, σίζετι στη θεώρηση, πό την ρχή, κάποις κτάλληλης συνάρτησης. Κι είως, το "σημείο κλειδί" στις περιπτώσεις υτές ξέρουμε ότι είνι η επιλογή υτής της συνάρτησης. Όμως, δεν ιτιολογείτι συνήθως η νγκιότητ της συγκεκριμένης επιλογής κι επιπλέον, δεν εξετάζετι το ερώτημ της τυχόν ύπρξης κι άλλων συνρτήσεων εξίσου κτάλληλων γι την περίπτωση. Στ άρθρ που θ δούμε εξετάζετι το συγκεκριμένο πρόλημ κι νζητούντι πειστικές πντήσεις σε νάλογ ερωτήμτ που προκύπτουν. Τέλος, είνι πρίτητο ν τονιστεί ότι, τ άρθρ της εργσίς υτής δεν είνι δομημέν με τη μορφή σχεδίων μθημάτων γι διδσκλί μπορεί όμως ν ντλήσει κνείς ειδικές λλά κι γενικές ιδέες, χρήσιμες στη διδικσί διμόρφωσης διδκτικού υλικού. Δημήτρης Α. Ντρίζος, Τρίκλ

6 6

7 Τ δύο Θεμελιώδη Θεωρήμτ του Απειροστικού Λογισμού Μί διδκτική πρότση Περίληψη Σκοπός της εργσίς είνι ν νδείξει, στο πλίσιο μις διδκτικής πρότσης, τις δισυνδέσεις μετξύ των διδικσιών της πργώγισης κι της ολοκλήρωσης. Η εργσί διρθρώνετι ουσιστικά σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος προυσιάζετι η ιστορικομθημτική συνιστώσ του θέμτός μς: Η εξελικτική πορεί πό τη σύλληψη, γι πρώτη φορά, των ιδεών που ενιιοποιούν την πργώγιση κι την ολοκλήρωση, μέχρις ότου υτές διτυπώνοντι υστηρά με τη μορφή του 1ου θεμελιώδους θεωρήμτος του Απειροστικού Λογισμού. Στο δεύτερο μέρος περιγράφετι μι διδσκλί των δύο θεμελιωδών θεωρημάτων. Στο μέρος υτό επεκτείνοντι τ πεδί εφρμογής των γεωμετρικών νπρστάσεων πέρ πό την ισθητοποίηση κάποιων εννοιών κι τη γεωμετρική ερμηνεί ορισμένων προτάσεων, που δίνετι, συνήθως, μετά την πόδειξή τους. Ανδεικνύετι, έτσι, ένς κόμη σημντικός ρόλος που μπορούν ν πίξουν οι γεωμετρικές νπρστάσεις στη διδικσί επινόησης, υτής κθ' υτής, της πόδειξης μθημτικών προτάσεων. 1. Εισγωγή Ιστορική νδρομή Το πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημ του Απειροστικού Λογισμού (1 ο Θ.Θ.Α.Λ.) είνι κεντρικής σημσίς (δηλώνετι άλλωστε υτό κι πό την ονομσί που του ποδόθηκε) κι είνι το μέσο με το οποίο δισυνδέοντι οι διδικσίες της Διφόρισης (Πργώγισης) κι της Ολοκλήρωσης συνρτήσεων. Ενιιοποιεί με ένν εξιρετικό τρόπο τις δύο διδικσίες, στο πλίσιο του Απειροστικού Λογισμού. Κι ο υπολογισμός των εμδών επιφνειών κάτω πό το γράφημ μις συνάρτησης γίνετι πλέον χωρίς τις γνωστές προσθέσεις εγγεγρμμένων ορθογωνίων κι χωρίς τη θεώρηση του ολοκληρώμτος ως μις ορικής διδικσίς. Η σύλληψη κι η πόδειξη του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. τοποθετείτι χρονικά στο δεύτερο μισό του 17ου ιών, ότν συμπληρώνετι το έργο των Βρετνών μθημτικών James Gregory ( ) κι Isaac Barrow ( ) κι προυσιάζοντι οι σχετικές με το θέμ έρευνες, περί το 1675, πό τους Isaac Newton ( ) κι Gottfried Wilhelm Leibniz ( ). Κλείνει τότε μι χρονική περίοδος νάπτυξης του Απειροστικού Λογισμού που ως τότε θεωρείτι περίπου τυτόσημος με τον Ολοκληρω- 7

8 τικό Λογισμό, όπου κυριρχούν οι κτευθυντήριες ιδέες του Αρχιμήδη (287 π.χ.-212 π.χ.). Κτά τη μεγάλη υτή χρονική περίοδο, μέχρι την επινόηση του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. πό τους τέσσερις μθημτικούς που προνφέρμε, η όποι εξέλιξη του Απειροστικού Λογισμού χρκτηρίζετι πό τη σττική ντίληψη γι τις έννοιες του ολοκληρώμτος κι της εφπτομένης ευθείς σε σημείο μις κμπύλης με ομλή συμπεριφορά (όπως ο κύκλος κι οι κωνικές τομές). Ορίζουν ως εφπτομένη την ευθεί που "εγγίζει" την κμπύλη σ' έν σημείο, χωρίς ν διπερνά την κμπύλη. Εξίρεση ποτελεί το πράδειγμ της εφπτομένης της έλικς: Η εφπτομένη της έλικς έχει υπολογιστεί πό τον Αρχιμήδη (στην εργσί του: "Περί Ελίκων") με μεθοδολογί Διφορικού Λογισμού. Επίσης, ο κινητικός ορισμός της έλικς που δόθηκε πό τον Αρχιμήδη οδηγεί στη φυσική ερμηνεί της εφπτομένης ως τχύτητς. Γενικά όμως η Διφόριση, σε ντίθεση με την Ολοκλήρωση, δεν νπτύχθηκε ιδιίτερ πό τους ρχίους Έλληνες μθημτικούς. Αξίζει εν προκειμένω ν σημειώσουμε ότι η μέθοδος της εξάντλησης (λ. [3], σ.σ ), που επινοήθηκε πό τον Εύδοξο ( π.χ.) γι τον υπολογισμό εμδών κι όγκων ρίσκετι πολύ κοντά στη σύγχρονη προσέγγιση του ολοκληρώμτος μέσω των "θροισμάτων" Riemann. Η μέθοδος της εξάντλησης, όπως υτή νπτύχθηκε κι πό τον Αρχιμήδη, κτέστη μι υστηρή ποδεικτική μέθοδος με υψηλή γι την εποχή (κι όχι μόνο) τελειότητ. Θεωρείτι ο πρόδρομος του σημερινού Ολοκληρωτικού Λογισμού. Έχει, πιστεύουμε, ενδιφέρον μί πρένθεση εδώ. Μπορεί ν νρωτιέτι ίσως κνείς: Προς τι μι ιστορική νδρομή; Δεν είνι ρκετό ν' σχοληθούμε άμεσ με το Θεώρημ, στη μορφή με την οποί το γνωρίζουμε σήμερ; Θέλουμε ν νδείξουμε: πρώτον, την κοπιστική προσπάθει μέσ στο χρόνο πολλών πό τους μεγλύτερους μθημτικούς-ερευνητές γι έν ήμ της γνώσης προς τ μπρος γι νέες θεωρήσεις οι οποίες οδηγούν σε υπέρση της ήδη υπάρχουσς, ως τότε, γνώσης. Κι δεύτερον, μπορεί ν εκτιμήσουμε το τι κριώς σημίνει δημιουργί πργμτικά νές γνώσης σε ντίθεση με την τετριμμένη διτύπωση κι "επνδιτύπωση" έτοιμων θεμάτων, γι τις νάγκες μάλιστ της κθημερινής μς διδσκλίς. Στο σημείο τούτο επνερχόμστε στο επίκεντρο του θέμτός μς, δηλδή στο 1 ο Θ.Θ.Α.Λ. Ν δούμε τη στδική εξελικτική του πορεί: Από την πρώτη διισθητική πρτήρηση-διτύπωσή του, το διδοχικό πέρσμ, μέσω φιρετικών διδικσιών, σε άλλες ολοέν κι πιο τυπικές διτυπώσεις, μέχρι ν φτάσουμε σ' υτήν με την οποί διτυπώνετι κι σήμερ. Οι προσπάθειες των μθημτικών μέχρι τ μέσ περίπου του 17ου ιών κτλήγουν στην εξής, σχετική με το θέμ μς, πρτήρησηδιπίστωση: Το εμδόν που ρίσκετι κάτω πό το γράφημ της συνάρτησης ƒ() = n n+1, ισούτι με F()= γι n = 0, 1, 2,... n+1 κι η κλίση της εφπτομένης ευθείς στο γράφημ της 8

9 n+1 F()= n+1 στο σημείο με τετμημένη, ισούτι με ƒ() = n, γι n = 0, 1, 2,... Η πρτήρηση υτή είνι η πρώτη (πλούστερη) μορφή του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. κι επισημάνθηκε κι πό τον James Gregory περί το Αυτό κι άλλ ποτελέσμτ του Απειροστικού Λογισμού, στ οποί κτέληξε ο J. Gregory, ποδόθηκν στη συνέχει στον I. Newton. Ο πρώτος δεν πρόλε ν δημοσιεύσει τ ποτελέσμτ υτά, λόγω του πρόωρου θνάτου του, κι έτσι δεν νγνωρίσθηκε η προσφορά του στο θμό που θ έπρεπε. Ο Isaac Barrow διτυπώνει κι ποδεικνύει την ίδι περίπου χρονική περίοδο το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ., στην περίπτωση που η ƒ (της προηγούμενης διτύπωσης) είνι ύξουσ κι με θετικές τιμές. Είνι ξιοσημείωτο το εξής: Αν κι ο I. Barrow γνώριζε τη δυνμική-κινητική διδικσί με την οποί προκύπτει η εφπτομένη ευθεί σε σημείο μις κμπύλης η διδικσί υτή νπτύσσετι πό τον ίδιο στο πράρτημ του Lectiones Geometricae, όμως στην πόδειξη του Θεωρήμτος χρησιμοποιεί την κλσσικήσττική άποψη περί της εφπτομένης ευθείς. Την ίδι χρονική περίοδο προυσιάζετι κι ποδεικνύετι κι πό τον I. Newton το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ. με τη διτύπωση: Αν η ƒ είνι μι συνάρτηση κι Ε το εμδόν του χωρίου κάτω πό το γράφημ της ƒ, τότε: de d = ƒ. Με τη διτύπωση υτή: πρώτον, φίνετι με κθρό τρόπο η διισθητική προσέγγιση του ολοκληρώμτος ως εμδού, κι δεύτερον, προτείνετι πό τον I. Newton γι πρώτη φορά μι συστημτική μέθοδος γι ν υ- πολογίζουμε εμδά, εφρμόζοντς ντιδιφόριση στην πράγωγο του εμδού που ζητάμε. Στην πόδειξή του ο I. Newton ντιμετωπίζει την πράγωγο με τη φυσική-διισθητική της ερμηνεί. Είνι πρίτητο ν σημειώσουμε εδώ ότι, τη συγκεκριμένη χρονική περίοδο οι έννοιες της πργώγου κι του ολοκληρώμτος ορίζοντι σφώς κι γίνοντι ντιληπτές μόνον διισθητικά. Δεν είχε διμορφωθεί κόμη ορισμός της συνάρτησης σε μι τελική μορφή κι είως, δεν γίνετι λόγος γι ορισμούς της συνέχεις κι του ορίου συνάρτησης, χωρίς την εμπλοκή της εποπτείς που εδράζετι στη Γεωμετρί κι τη Φυσική. Όμως, πρά τις όποιες τέλειες των ποδεικτικών τους μεθόδων, κτέληγν σε εντυπωσικά ποτελέσμτ σχετικά με την εξερεύνηση των νόμων της Μηχνικής κι της Φύσης γενικότερ. Θεωρούσν τ μθημτικά τους ποτελέσμτ εντελώς εύλογ κι πολύτως φυσιολογικά. Έτσι τ θεωρούσε κι ο I. Newton. Τέλος τον Ιούλιο του 1677 ο G.W. Leibniz νκλύπτει κι υτός το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ. Στον Λογισμό του, το πρόλημ της ολοκλήρωσης νάγετι σε πρόλημ ντιστροφής εφπτομένης υτό φίνετι (κι) πό τη διτύπωση που προτείνει γι το Θεώρημ: Αν δοθεί μι συνάρτηση Ζ, το εμδόν (της περιοχής) που ρίσκετι κάτω πό το γράφημά της είνι δυντόν ν υ- 9

10 πολογιστεί, ν ρούμε μι συνάρτηση ψ, την ύπρξη της ο- ποίς υποθέτουμε, ώστε dψ = Z, όπου γ μι στθερά. d γ Τότε Ζ d = γdψ, κι ολοκληρώνοντς πίρνουμε: Ζd = γdψ = γψ. Γι λόγους πλοποίησης, θεωρούμε ότι το γράφημ της ψ διέρχετι πό το σημείο (0, 0), οπότε, ψ(0) = 0. Από την πρπάνω διτύπωση του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. του G.W. Leibniz, έπετι κι έν σπουδίο Πόρισμ, που σήμερ πό πολλούς ποκλείτι κι ως 2 ο Θ.Θ.Α.Λ. Μετά κι πό τις διτυπώσεις των Θ.Θ.Α.Λ. πό τον G.W. Leibniz, σε πολύ σύντομο χρόνο (περί τ τέλη του 17ου ιών) προκλείτι έν ρήγμ στην ομλή ως τότε νάπτυξη του Ολοκληρωτικού Λογισμού: Η Διφόριση (Πργώγιση) γίνετι η κυρίρχη έννοι του Απειροστικού Λογισμού, ένντι της (ως τότε) Ολοκλήρωσης. Κι η ολοκλήρωση είνι πλά, πλέον, το ντίστροφο της πργώγισης. Η νέ υτή προσέγγιση κθιστά το ολοκλήρωμ έν πολύ χρήσιμο υπολογιστικό εργλείο με εξιρετική ποτελεσμτικότητ σε εφρμογές (κι) του χώρου των Φυσικών Επιστημών. Βείως τ Μθημτικά κι, κυρίως, η έρευν γύρω πό υτά, σε κμιά πολύτως περίπτωση δεν θ μπορούσν ν ρκεστούν μόνο στην πργωγή ποτελεσμτικών υπολογιστικών εργλείων. Σύντομ ποκθίσττι ο ορθός (μθημτικά) ρόλος του Ολοκληρωτικού Λογισμού, κτλμάνοντς πάλι την κυρίρχη θέση που είχε ιστορικά ένντι του Διφορικού Λογισμού. Η ήμ προς ήμ ποκτάστση επιτελείτι κτρχήν με τις εργσίες των Augustin-Louis Cauchy ( ) κι G. Bernhand Riemann ( ). Ο δεύτερος δίνει τον δικό του ορισμόκριτήριο ολοκληρωσιμότητς συνρτήσεων γι κλάσεις ευρύτερες πό εκείνη των συνεχών συνρτήσεων. Τέλος, η διδικσί της ποκτάστσης του κυρίρχου ρόλου του Ολοκληρωτικού Λογισμού συμπληρώνετι με την νάπτυξη της σύγχρονης Θεωρίς Μέτρου κι Ολοκλήρωσης πό τον Γάλλο μθημτικό Henri Lebesque ( ). Σημντική είνι, εν προκειμένω, η συμολή κι του Έλλην μθημτικού Κ. Kρθεωδορή ( ), κυρίως με το έργο του Vorlesungen über reelle Functionen, το Ας έλθουμε τώρ στις σημερινές διτυπώσεις των Θεωρημάτων κι στην νλυτική, ήμ προς ήμ, προυσίση της διδκτικής μς πρότσης. 10

11 Σχόλι: 2. Διδκτική πρότση κι σχόλι 2.1. Το πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημ του Απειροστικού Λογισμού (1 ο Θ.Θ.Α.Λ.) Έστω ƒ μι (Riemann) ολοκληρώσιμη συνάρτηση σ' έν κλειστό διάστημ [, ] κι γ ένς πργμτικός ριθμός, με γ. Ορίζουμε μι νέ συνάρτηση F ως εξής: F()= ƒ(t)dt,, γ [ ] Τότε γι τ σημεί του διστήμτος [, ], στ οποί η ƒ είνι συνεχής, η νέ συνάρτηση F είνι πργωγίσιμη κι ισχύει: F ()= ƒ(t)dt = ƒ() ( γ ) 1) Στο πρόγρμμ σπουδών της Γ Λυκείου, η υπόθεση ότι η ƒ είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη ντικθίσττι πό την υπόθεση: η ƒ είνι συνεχής στο [, ]. Σημειώνουμε εδώ ότι η υπόθεση ότι η ƒ είνι συνεχής, ντί εκείνης που θεωρεί την ƒ (Riemann) ολοκληρώσιμη, τίθετι κι σε άλλ συγγράμμτ, πέρν των σχολικών μς εγχειριδίων (λ. [6], σ. 365). 2) Γι διδκτικούς λόγους που σχετίζοντι με την εποπτεί σε όλ τ πρκάτω θ πίρνουμε: F()= ƒ (t)dt ντί F()= ƒ (t)dt γ, όπου γ. Άλλωστε υτή η στθεροποίηση του γ στο ριστερό άκρο του διστήμτος [, ], σε κμιά περίπτωση δεν λάπτει τη γενικότητ, φού οι πρπάνω συνρτήσεις διφέρουν κτά στθερή ποσότητ, κθόσον: γ ƒ(t)dt = ƒ(t)dt + ƒ(t)dt γ 2.2. Πρτηρήσεις κι διτυπώσεις ερωτημάτων γι μι ποτελεσμτική διδσκλί του Θεωρήμτος Το πρώτο Θεμελιώδες Θεώρημ του Απειροστικού Λογισμού μάς δείχνει τον τρόπο λληλεξάρτησης της ολοκλήρωσης με την πργώγιση. Πρτηρώντς τις σχέσεις F()= ƒ(t)dt κι F()= ƒ(), θ μπορούσε ν πει κνείς ότι η συσχέτιση της ολοκλήρωσης με την πργώγιση είνι κάπως νάλογη με εκείνη που υπάρχει νάμεσ στις έννοιες "ύψωση στο τετράγωνο" κι "τετργωνική ρίζ" θετικών ριθμών. 11

12 ( ) διδικσί ƒ() ολοκλήρωσης ƒ(t)dt διδικσί ƒ () = ƒ(t)dt ƒ(t)dt ( ) πργώγισης 2 τετργωνική ρίζ = ύψωση στο τετράγωνο ƒ συνεχής θετικός Η διδσκλί μς πό το σημείο τούτο κι μετά, σε έν διρκή διάλογο με τους μθητές, κινείτι πάνω σε τρεις άξονες-στόχους: 1) Ν νδείξουμε τις γεωμετρικές συσχετίσεις μετξύ των εννοιών κι των σχέσεων που εμπεριέχοντι στη διτύπωση του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. 2) Ν προυσιάσουμε ορισμένες γεωμετρικές προσεγγίσεις οι οποίες: πρώτον, ερμηνεύουν κι ιτιολογούν εποπτικά το Θεώρημ, κι δεύτερον, δημιουργούν το επιχείρημ που θ μς επιτρέψει ν συνθέσουμε μι τυπική πόδειξη στο πλίσιο της Ανάλυσης. 3) Ν διτυπώσουμε την πόδειξη. Γι την πργμτοποίηση των δύο πρώτων στόχων, η διδκτική πράξη κινείτι στη άση των γενικών ερωτημάτων: ) Τι εκφράζει γεωμετρικά το ολοκλήρωμ F()= ƒ(t)dt ; Δηλδή, πώς δισυνδέοντι γεωμετρικά οι συνρτήσεις ƒ κι F; ) Πώς θ μπορούσμε ν ερμηνεύσουμε την ισότητ F = ƒ; Εν προκειμένω, πό διδκτική άποψη, η διερεύνηση υτή διευκολύνετι, ν υποθέσουμε επιπλέον ότι η ƒ είνι μη ρνητική. Κτά την άποψή μς, η επιτυχί του στόχου της γεωμετρικής δισύνδεσης μετξύ ƒ κι F θ μπορούσε ν επιτευχθεί με την πράλληλη χάρξη των γρφικών πρστάσεων ορισμένων ζευγών συνρτήσεων ƒ κι F. 12

13 F() = Γ B ƒ() = 1 F() Ε F() O (0, 0) A O Δ Εμ. (ΟΑΒΓ) = κι () = 1 F() = 1dt = 0 μήκος τμ. ΔΕ = F() B ƒ() = F() Δ F() = F() A O (0, 0) 1 Εμ. (ΟΑΒ) = F() = tdt = κι = 2 2 Γ O μήκος τμ. ΓΔ = F() B ƒ() = 2 F() F() = Δ F() A O (0, 0) 1 Εμ. (ΟΑΒ) = F() = t dt = = 2 κι Γ O μήκος τμ. ΓΔ = F() Μερικά πό τ ποτελέσμτ του προλημτισμού που νπτύχθηκε στη άση της εποπτείς των πρπάνω σχημάτων κτγράφοντι συμολικά κάτω πό τ σχήμτ. Μετξύ των ποτελεσμάτων υτών είνι κι η ισθητοποίηση πό τους μθητές ότι η F εκφράζει γεωμετρικά το εμδόν της περιοχής που ρίσκετι μετξύ της γρφικής πράστσης της ƒ, του άξον των τετμημένων κι των κτκόρυφων ευθειών t = κι t =. ƒ (t)dt = F() ( ) 13

14 Έν άλλο ποτέλεσμ που ερμηνεύει γεωμετρικά τη σχέση: F () = ƒ(), είνι το εξής: Η κλίση της εφπτομένης ευθείς του γρφήμτος της F στο σημείο με τετμημένη, ισούτι με την τιμή της ƒ σ' υτό το. Ο ρόλος τώρ του στθερού κάτω άκρου ολοκλήρωσης στη συνάρτηση F() = ƒ(t)dt νδεικνύετι μέσ πό το επόμενο ερώτημ: Δίνοντι οι συνρτήσεις: F()= ƒ(t)dt, G()= ƒ(t)dt, όπου [, ] κι γ έν οποιοδήποτε υθίρετο, λλά στθερό σημείο πό το [, ]. Ποι είνι η σχέση μετξύ των συνρτήσεων F, G κι ποι μετξύ των F, G ; Τ ολοκληρώμτ ƒ(t)dt κι ƒ(t)dt είνι διφορετικά. Κι υτό γίνετι άμεσ φνερό, ν σκεφτούμε ότι το κθέν πό υτά εκφράζει γ έν άλλο εμδόν στο κρτεσινό επίπεδο. Επομένως F G κι συγκεκριμέν F = G + c με c πργμτική στθερά, όπως εξηγήσμε στο τέλος της πργράφου 2.1. Επίσης, F ( ) = G ( ), (=ƒ ). Ας δούμε τώρ κάποιες γεωμετρικές προσεγγίσεις, οι οποίες ερμηνεύουν κι ιτιολογούν εποπτικά το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ., όπως υτό διτυπώνετι (κι) στη Λυκεική ιλιογρφί: Αν η ƒ είνι συνεχής στο [, ], τότε η συνάρτηση F()= ƒ(t)dt είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο του [, ] κι γ ( ) F ()= ƒ(t)dt = ƒ() 14

15 2.3. Σκέψεις γι την επινόηση της πόδειξης Ζ Ε Δ y = ƒ( t) O A B Γ +h t Σχήμ 1 Στο σχήμ 1 πήρμε έν τυχόν λλά στθερό, όμως, σημείο μετξύ των κι. Επίσης, έστω h = Δ 0 μι οποιδήποτε μετολή του, η οποί δεν εξρτάτι πό το. Ερώτημ: Τι θ έπρεπε ν συμίνει ώστε η συνάρτηση F()= πργωγίσιμη στο ; ƒ(t)dt ν είνι Σύμφων με τον ορισμό της πργώγου, πρέπει ν υπάρχει το F( + h) F() lim h 0 h κι το όριο υτό ν είνι πργμτικός ριθμός. Ήδη η F, με όσ προηγήθηκν στην νάλυση του πρώτου στόχου της διδσκλίς, έχει ισθητοποιηθεί ως έν συγκεκριμένο εμδόν. Έτσι, πρτηρώντς κι το σχήμ 1, έχουμε τις επόμενες, φνερές εποπτικά, ισότητες: + h F( + h) F() ƒ(t)dt ƒ(t)dt = = h h Εμ.(ΑΓΔΖ) Εμ.(ΑΒΕΖ) = = h Εμ.(BΓΔE) = = h + h ƒ(t)dt = h F( + h) F() Μένει λοιπόν ν ρούμε το lim, h 0 h + h ƒ(t)dt δηλδή το lim κι ν διπιστώσουμε στη συνέχει ότι υτό h 0 h ισούτι με ƒ(). 15

16 2.4. Μι γεωμετρική προσέγγιση της ισότητς lim h 0 +h ƒ(t)dt = ƒ() h Η Ζ Ε Δ y = ƒ( t) ƒ() O A B Γ +h t κι Στο σχήμ 2 είνι: + h Σχήμ 2 ƒ(t)dt = Εμ.(ΒΓΕΖ) Εμ.(ΒΓΔΖ) = = (ΒΓ) (ΒΖ) = h ƒ() + h ƒ(t)dt Εμ.(ΒΓΕΖ) Εμ.(ΒΓΔΖ) h ƒ(). = = = ƒ() h h h h Αν τώρ πάρουμε το h ν είνι πολύ μικρό, οσοδήποτε μικρό θέλουμε, τότε η πρπάνω κτά προσέγγιση ισότητ ελτιώνετι κι περιμένουμε ν ισχύει ως ισότητ: lim = ƒ(). + h ƒ(t)dt h 0 h 2.5. Μι (δυνμική) γεωμετρική ερμηνεί της ισότητς F()= ƒ(t)dt = ƒ() Στο σχήμ 3, ς φντστούμε ότι η μετλητή t κινείτι κτά μήκος του άξον των t πό το t = κι προς τ δεξιά. Κτά την κίνηση υτή το τμήμ ΑΒ "σρώνει" μι περιοχή, της οποίς το εμδόν διρκώς υξάνετι. 16

17 y = ƒ( t) B Β F() ƒ() O A Α t Σχήμ 3 Κθώς τώρ η μετλητή t περνά πό τη θέση t =, ισοδύνμ κθώς το ΑΒ περνά πό τη θέση Α Β, έχουμε ότι ο (στιγμιίος) ρυθμός με τον οποίο νέ επιφάνει προστίθετι στη σκισμένη του σχήμτος 3 ισούτι με ƒ(), (λ. [6], σ. 366). Το τελευτίο υτό εκφράζετι πό την ισότητ F () = ƒ(), που με άλλ λόγι, πιο τυπικά, μς λέει ότι ο ρυθμός μετολής (εν προκειμένω ύξησης) του εμδού F(t) στη θέση t =, ισούτι με ƒ(), ισούτι δηλδή με το μήκος του τμήμτος Α Β Απόδειξη του 1ου Θ.Θ.Α.Λ. - Συζήτηση Σύμφων με όσ προηγήθηκν, η πόδειξη του 1ου Θ.Θ.Α.Λ. νάγετι στην πόδειξη της ισότητς lim = ƒ(), όπου είνι έν + h ƒ(t)dt h 0 h τυχόν, λλά όμως στθερό σημείο μετξύ των, κι h = Δ 0 μι οποιδήποτε μετολή του, η οποί δεν εξρτάτι πό το. Ε Ζ O ƒ() Δ A ƒ( μ ) ƒ( ε ) ε h μ Γ Β +h y = ƒ( t) t Σχήμ 4 Θ σχοληθούμε πρώτ με τον προσδιορισμό του πρπάνω ορίου κθώς h 0 +, με τιμές του h τόσο μικρές, ώστε το + h ν ρίσκετι με- 17

18 τξύ των κι. Στο σχήμ 4 πρτηρούμε ότι: το εμδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ ισούτι με το h ƒ( ε ) το εμδόν του ορθογωνίου ΑΒΖΕ ισούτι με το h ƒ( μ ), κι το εμδόν της περιοχής που ρίσκετι κάτω πό το γράφημ της ƒ + h κι μετξύ των κι + h, ισούτι με ƒ(t)dt, όπου τ ƒ( ε ), ƒ( μ ) είνι ντίστοιχ η ελάχιστη κι η μέγιστη τιμή της συνεχούς συνάρτησης ƒ στο [, +h] Εποπτικά είνι φνερό ότι ισχύει: + h h ƒ( ε) ƒ(t)dt h ƒ( μ) (1) Η σχέση (1) θεωρητικά προκύπτει πό τη διδικσί της (Riemann) ολοκλήρωσης της ƒ στο διάστημ [, +h]. Η σχέση όμως υτή μπορεί ν προκύψει εύκολ πό την νισότητ ƒ( ε ) ƒ(t) ƒ( μ ), γι κάθε t [, +h]. Πράγμτι, ολοκληρώνοντς στο διάστημ [, +h], όπου h>0, τ μέλη της πρπάνω νισότητς, έχουμε + h + h + h ƒ( ε)dt ƒ(t)dt ƒ( μ)dt, οπότε προκύπτει η νισότητ + h h ƒ( ε) ƒ(t)dt h ƒ( μ), που είνι η (1). Από υτή, επειδή h > 0, έχουμε + h ( ) ƒ(t)dt ƒ ε ƒ( μ) (2) h + h ƒ(t)dt Η σχέση lim+ h 0 h = ƒ(), που θέλουμε ν ποδείξουμε, σε συνδυσμό με τη (2), στην οποί κτλήξμε, φέρνει στο επίκεντρο το Κριτήριο της Πρεμολής. Στο πλίσιο της διδκτικής μς πρότσης σκοπεύουμε, το πέρσμ ƒ(t)dt πό τη σχέση (2) στην ισότητ lim+ h 0 h = ƒ(), ν στηριχτεί στη γεωμετρική εποπτεί που μς δίνει το σχήμ 4. Γι την επιτυχί του στόχου υτού θέτουμε τ ερωτήμτ: (i) H όποι μετολή του h επηρεάζει, κι πώς, τις ποστάσεις των ε κι μ πό το στθερό σημείο του διστήμτος [, +h]; (ii) Θ μπορούσμε ν φέρουμε τ ƒ( ε ) κι ƒ( μ ) οσοδήποτε κοντά θέλουμε στο μήκος ƒ(); (iii) Η πόστση των ƒ( ε ) κι ƒ( μ ) πό το ƒ() με ποιον τρόπο (διισθητικά) εξρτάτι πό το h; Η συζήτηση πάνω σ' υτά τ ερωτήμτ πρώτον, νδεικνύει την εξάρτηση των ε κι μ πό το h, με ποτέλεσμ ν μπορούμε ν γράφουμε κάπως δόκιμ έι ότι ε = ε (h), μ = μ (h) κι δεύτερον, κθώς το h + h 18

19 τείνει στο 0 πό θετικές τιμές, το πλάτος του διστήμτος [, +h] μικρίνει διρκώς κι τ ε (h), μ (h) πλησιάζουν στο. Κι επειδή η ƒ είνι συνεχής στο, τ ντίστοιχ ƒ( ε ), ƒ( μ ) πλησιάζουν στο ƒ(). Οι συλλογισμοί υτοί, σε συνδυσμό με τη σχέση: + h ( ) ƒ(t)dt ε ƒ( μ) ƒ h + h ƒ(t)dt. + h 0 h Με νάλογους, γι την περίπτωση, συλλογισμούς διπιστώνουμε κι + h ƒ(t)dt lim = ƒ. h 0 h Βρήκμε μέχρι εδώ ότι η συνάρτηση F() = ƒ(t)dt, [, ] είνι κι το Κριτήριο της Πρεμολής, μς δίνουν lim = ƒ ( ) ότι: ( ) F () = ƒ(t)dt = ƒ() (3) πργωγίσιμη στο (, ) με ( ) Αν τώρ =, το F () μπορούμε ν το ερμηνεύσουμε ως την πράγωγο της F πό τ δεξιά, δηλδή: F( + h) F() = = F() lim lim h + + h 0 h 0 + h ƒ(t)dt Ενώ, ν =, το F () μπορούμε ν το ερμηνεύσουμε ως την πράγωγο της F πό τ ριστερά, δηλδή: ( ) F + h F() F() = lim = lim h h 0 h 0 + h h ƒ(t)dt h Πρτήρηση: Γι άλλες τυπικές ποδείξεις του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ., λ. [1] σ.σ , [5] σ.σ κι [3] σ Το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ. έχει έν άμεσο Πόρισμ, που συχνά πλοποιεί τελείως τους υπολογισμούς ολοκληρωμάτων. Πόρισμ: Αν η ƒ είνι συνεχής στο [, ] κι γι κάποι συνάρτηση G ισχύει: G = ƒ στο [, ], τότε: ƒ(t)dt = G()-G(). Απόδειξη: Από το 1 ο Θ.Θ.Α.Λ. γνωρίζουμε ήδη ότι υπάρχει μι συνάρτηση, η 19

20 F() = ƒ(t)dt, γι την οποί ισχύει F () = ƒ() (1). Έχουμε όμως πό υπόθεση κι G () = ƒ() (2). Από τις (1), (2) σύμφων με το Πόρισμ του Θεωρήμτος Μέσης τιμής του Διφορικού Λογισμού, θ ισχύει G() = F() + c, γι κάθε [, ] κι c κάποι πργμτική στθερά. Επομένως: G() G() = [F() + c] [F() + c] = F() F(), F() = ƒ(t)dt = ƒ(t)dt ƒ(t)dt = ƒ(t)dt 0 = ƒ(t)dt Το δεύτερο Θεμελιώδες Θεώρημ του Απειροστικού Λογισμού (2 ο Θ.Θ.Α.Λ.) Αν η ƒ είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη στο [, ] κι γι κάποι συνάρτηση G ισχύει G = ƒ στο [, ], τότε: ƒ(t)dt = G()-G() Σχόλι: 1) Γι τους λόγους που εξηγήσμε πρπάνω, σε ιλί Ανάλυσης γι το Λύκειο, λλά κι σε άλλ συγγράμμτ Απειροστικού Λογισμού, η υπόθεση ότι η ƒ είνι ολοκληρώσιμη έχει ντικτστθεί πό την υπόθεση ότι η ƒ είνι συνεχής. Η θεώρηση υτή έχει ως άμεσο ποτέλεσμ, το Πόρισμ του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ., που διτυπώσμε κι ποδείξμε πρπάνω, ν ποκλείτι στ συγγράμμτ υτά ως 2 ο Θ.Θ.Α.Λ. Αυτό έχει ως συνέπει τον περιορισμό του συνόλου των ολοκληρώσιμων συνρτήσεων στο σύνολο μόνο των συνεχών συνρτήσεων. Βείως, ν η ƒ δεν είνι συνεχής τότε το 2 o Θ.Θ.Α.Λ. δεν είνι πόρισμ του 1 ου Θ.Θ.Α.Λ. Γι μι τυπική πόδειξη του 2 ου Θ.Θ.Α.Λ., λ. [5] σ ) Επισημίνουμε τέλος ότι, η ισότητ ƒ(t)dt = G() G(), όπως υτή οριοθετήθηκε, δεν πρέπει ν εκλμάνετι ως ορισμός του ολοκληρώ- μτος ƒ(t)dt. 20

21 2.8. Ασκήσεις - Προλήμτ 1. Ο πληθυσμός Π των κτοίκων μις πόλης υξάνετι ως προς το χρόνο με ρυθμό t Π ln , όπου Π 0 είνι ο πληθυσμός κτά τη χρονική στιγμή t = 0. Ν ρείτε:. Τον πληθυσμό Π () t μι οποιδήποτε χρονική στιγμή t.. Σε πόσ χρόνι ο πληθυσμός των κτοίκων της πόλης θ γίνει eπ Έν κινητό κινείτι πάνω σε ένν άξον συντετγμένων έτσι, ώστε η τχύτητά του κάθε χρονική στιγμή t ν είνι v() t = t 2 t σε cm /sec Ν προσδιορίσετε τη θέση του κινητού τη χρονική στιγμή t = 5sec, ν κτά τη χρονική στιγμή t = 0 η θέση του στον άξον έχει συντετγμένη 2cm.. Ν υπολογίσετε το διάστημ που δινύει πό τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t = 5sec. 3. Έν κινητό κινείτι πάνω σε ένν άξον συντετγμένων έτσι, ώστε η τχύτητά του σε m/sec ν δίνετι κάθε χρονική στιγμή t πό τον τύπο () 2 v t = t ln t, t > 0. Ν υπολογίσετε:. Το διάστημ που δινύει πό τη χρονική στιγμή t = 1sec μέχρι τη χρονική 2 στιγμή t = e.. Το dt 4 2 πt lim ημ Αν ƒ, g είνι δύο συνεχείς συνρτήσεις με ƒ() 0 κι g() 0 γι κάθε [, ], ν ποδείξετε ότι, υπάρχει ξ (, ) ώστε: ξ ƒ(t)dt = g(t)dt ξ 5. Αν ƒ, g είνι δύο συνεχείς συνρτήσεις με ƒ() g() γι κάθε [, ], ν ποδείξετε ότι, υπάρχει ξ (, ) ώστε: 21

22 ƒ(t)dt = ξ g(t)dt = ln + 9, ό Ν ρείτε την πράγωγο της συνάρτησης f ( ) ( ) που > 3.. Το εμδόν E μις περιοχής μετάλλετι ως προς το χρόνο t με ρυθμό 2 t 9 όπου 5 t (σε m 2 /sec) κι τη χρονική στιγμή t = 5sec το εμδόν είνι 10 9ln 3 m 2. Ν υπολογίσετε το εμδόν E() t μι οποιδήποτε χρονική στιγμή t 5 Σημειώσεις: ) Οι λύσεις στ προλήμτ 1.,2.,3. κι 6. δίνοντι πό τον συντάκτη της εργσίς υτής σε άρθρο του δημοσιευμένο στο περιοδικό Ευκλείδης Β (1994), τχ. 12, σσ ) Γι την επίλυση των σκήσεων 4. κι 5., προτείνουμε ν δείτε, κτρχήν, το γεωμετρικό νόημ που εμπεριέχετι στις διτυπώσεις τους κι έπειτ ν κινηθείτε νάλογ προς το πλίσιο επίλυσης του προλήμτος 7. που κολουθεί. sec. 7. Μι εροφωτογρφί πεικονίζει την κάτοψη μις περιοχής, στην οποί φίνοντι δύο δικλδώσεις π 1 κι π 2 ενός ποτμού π, τέσσερις δρόμοι δ 1, δ 2, δ 3, δ 4 κι οι θέσεις δύο οικισμών Α κι Β. δ 2 δ 3 δ 4 Ρ π Σ π 1 Μ Λ Τ π 2 Α Κ Β δ 1 22

23 Ν διερευνήσετε τη δυντότητ ύπρξης μις θέσης Κ πάνω στο δρόμο δ 1 κι μετξύ των οικισμών Α κι Β έτσι, ώστε η χάρξη ενός νέου δρόμου κάθετου προς τον δ 1 στο Κ, ν έχει ως ποτέλεσμ οι περιοχές ΑΚΛΜ κι ΛΤΣΡ ν έχουν την ίδι έκτση. Ν υποστηρίξετε το ποτέλεσμ της διερεύνησης με μθημτικά επιχειρήμτ. Απάντηση Συζήτηση: Γι την νγωγή του φυσικού προλήμτος σε μθημτικό πρόλημ, είνι πρίτητο ν κάνουμε κάποιες πλοποιητικές πρδοχές, όπως: 1. Οι ποτμοί κι οι δρόμοι που εμφνίζοντι στην εροφωτογρφί θεωρούμε ότι είνι γρμμές, άρ οι ίδιοι δεν κτλμάνουν έκτση. 2. Οι δρόμοι είνι ευθύγρμμοι κι επειδή η εροφωτογρφί πεικονίζει την κάτοψη της περιοχής, οι δρόμοι δ 1, δ 2 τέμνοντι κάθετ κι οι δρόμοι δ 3 κι δ 4 τέμνουν κάθετ τον δ Οι δικλδώσεις π 1 κι π 2 είνι γρφικές πρστάσεις δύο συνρτήσεων, που δεν γνωρίζουμε τους τύπους τους. 4. Θεωρούμε τον δρόμο δ 1 ως άξον των τετμημένων με θετική φορά υτήν που ορίζετι πό τον οικισμό Α προς τον Β, κι τον δρόμο δ 2 ως άξον των τετγμένων με θετική φορά υτήν που ορίζετι πό το σημείο τομής των δ 1 κι δ 2 προς τον ποτμό π. δ 2 δ 3 δ 4 Ρ π Σ π 1 Μ Λ Τ π 2 Α Κ Β δ 1 Ας φντστούμε τώρ την κτκόρυφη ευθεί ΑΜ ν "σρώνει", γι πρώτη φορά, την εροφωτογρφί πό τ ριστερά προς τ δεξιά, κινούμενη πάντ πράλληλ προς την ρχική της θέση πό τον οικισμό Α μέχρι τον οικισμό Β. Έστω επίσης, η στθερή τετμημένη του Α, η στθερή τετμημένη του Β κι η τετμημένη μις τυχούσς θέσης Κ του δ 1, πό την οποί διέρχετι το Α κτά τη διδικσί της κίνησης που περιγράψμε πρπάνω. Είνι: Εμ.(ΑΚΛΜ) = π (t)dt 2 23

24 κι Εμ.(ΛΤΣΡ) = [ π (t) 1 2 ] π (t) dt Το Εμ.(ΑΚΛΜ) ξεκινάει πό την τιμή 0 κι φτάνει στην τιμή π (t)dt, ενώ το Εμ.(ΛΤΣΡ) ξεκινάει πό την τιμή 2 [ π (t) 1 2 ] π (t) dt κι φτάνει στην τιμή 0. Επειδή δε η κίνηση της ευθείς ΑΜ είνι "συνεχής", είνι λογικό ν εικάσουμε ότι θ υπάρξει κάποι συγκεκριμένη θέση της, η ΚΛ με εξίσωση t = ξ, όπου ξ (, ), ώστε: Εμ.(ΑΚΛΜ) = Εμ.(ΛΤΣΡ) δηλδή: Εμ.(ΑΚΛΜ) Εμ.(ΛΤΣΡ) = 0 Αν θεωρήσουμε τώρ τη συνάρτηση της διφοράς : δ() = Εμ.(ΑΚΛΜ) Εμ.(ΛΤΣΡ) = = π (t)dt 2 [ π (t) π (t) 1 2 ] dt με [, ], τότε η συνάρτηση δ(), σύμφων με τους πρπάνω συλλογισμούς, θ περνάει πό ρνητικές σε θετικές τιμές. Αυτό επιειώνετι κι πό τις ισότητες: π (t) dt < δ() = [ π (t) ] δ() = π (t)dt > 0 Οι τελευτίες νισότητες, σε συνδυσμό με το γεγονός ότι η συνάρτηση δ() είνι συνεχής, μς ωθούν ν συμπεράνουμε σύμφων με το Θεώρημ του Bolzano ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε δ(ξ) = 0. Αυτό σημίνει ότι, υπάρχει μι θέση Κ με τετμημένη ξ, πάνω στο δρόμο δ 1 κι μετξύ των οικισμών Α κι Β έτσι, ώστε οι περιοχές ΑΚΛΜ κι ΛΤΣΡ ν έχουν την ίδι έκτση. Ας δούμε τώρ με τυπικό τρόπο, πού μς οδηγεί η σχέση δ(ξ) = 0. δ(ξ) = 0 ξ π (t)dt 2 [ π (t) π (t) 1 2 ] dt = 0 ξ ξ π (t)dt 2 π (t)dt + π (t)dt ξ 1 ξ 2 = 0 π (t)dt = 2 ξ 1 π (t)dt Ερωτήμτ: 1. Πώς ερμηνεύετι γεωμετρικά η τελευτί τυπική μθημτική ισότητ στην οποί κτλήξμε; 2. Εκφράζει υτή, το ζητούμενο συμπέρσμ, στην ερώτηση του φυσικού προλήμτος; π (t)dt = 2 ξ 1 π (t)dt Εμ.(ΜΑΒΤΛΜ) = Εμ.(ΡΚΒΣΡ) 24

25 Εμ.(ΑΚΛΜ) + Εμ.(ΚΒΤΛ) = Εμ.(ΚΒΤΛ) + Εμ.(ΛΤΣΡ) Εμ.(ΑΚΛΜ) = Εμ.(ΛΤΣΡ) Σχόλιο: Με σκοπό την πληρέστερη κτνόηση της γεωμετρικής ερμηνείς του Θεωρήμτος του Bolzano, ζητάμε πό τους μθητές ν σχεδιάσουν πρόχειρ το γράφημ συνάρτησης, που ν ικνοποιεί τις προϋποθέσεις της: δ() = Εμ.(ΑΚΛΜ) Εμ.(ΛΤΣΡ), [, ]. y δ() C δ 0 ξ t δ() Ερώτημ: Πίρνοντς υπόψη: ) τη διτύπωση του προλήμτος ) τις πλοποιητικές πρδοχές που κάνμε γι την νγωγή του φυσικού προλήμτος σε μθημτικό πρόλημ, κι γ) το τυπικό μθημτικό συμπέρσμ, στο οποίο κτλήξμε, θ μπορούστε ν διτυπώσετε τώρ το πρόλημ με όρους της τυπικήςσυμολικής μθημτικής γλώσσς; Απάντηση στο 2.γ) Αν π 1 κι π 2 είνι δύο συνεχείς συνρτήσεις με π 1 () > π 2 () γι κάθε [, ], τότε υπάρχει ξ (, ) ώστε 3. Επίλογος 2 ξ 1 π (t)dt = π (t)dt Ανλύσμε πρπάνω την πρότσή μς που φορούσε τη διδκτική προσέγγιση των Θ.Θ.Α.Λ., πό τη θεωρητική σκοπιά, με τη συμολή κι της δυνμικής γεωμετρικής εποπτείς. Υπό το πνεύμ υτής της επιλογής, προσπθήσμε ν προυσιάσουμε το θέμ μς, στοχεύοντς στην κτνό- 25

26 ηση των εμπλεκομένων εννοιών, υτών κθ' υτών, κι των δομικών τους δισυνδέσεων. Βείως, σε επόμενες διδσκλίες, ο διδάσκων σχολείτι με μεθοδολογικές πρτηρήσεις κι προεκτάσεις που νδεικνύουν τη χρηστική κι πιδευτική λληλεπίδρση θεωρίς κι πράξης. Γι το σκοπό υτό, επιλέγοντι κι νλύοντι σκήσεις κι προλήμτ με μη τετριμμένο περιεχόμενο που, στο πλίσιο της κτευθυνόμενης διερευνητικής διδσκλίς, συμάλλουν στην νάπτυξη δημιουργικού προλημτισμού με στόχο την εμάθυνση κι την ουσιστική κτνόηση. Επίσης, η διδσκλί εφρμογών των Θ.Θ.Α.Λ. πό εξωμθημτικές επιστημονικές περιοχές, νδεικνύει τη χρησιμότητ των Μθημτικών στο σύγχρονο άνθρωπο κι ενισχύει το ρόλο τους, στο πλίσιο της δικλδικότητς των Επιστημών. Τη διδκτική πρότση που περιγράψμε, την υλοποιήσμε σε ολιγομελή τμήμτ Θετικής κτεύθυνσης της Γ Λυκείου, πό το 2003 ως το 2007, στο 6 ο Γενικό Λύκειο Τρικάλων. Η ποτελεσμτικότητ της πρότσης κθόσον φορά την ουσιστική κτνόηση, πό μέρους των μθητών, των Θ.Θ.Α.Λ. ξιολογήθηκε πό το διδάσκοντ, μέσω διγωνισμάτων κι προφορικών πντήσεων των μθητών σε κτάλληλες ερωτήσεις, ως ικνοποιητική σε υψηλό θμό. Απομένει ν ελεγχθούν κι συστημτικά, με σττιστικές μεθόδους, η ξί κι η ποτελεσμτικότητ της πρότσης, με τμήμτ ελέγχου κι πειρμτισμού σε περισσότερ σχολεί. Τέλος, με σκοπό ν υποστηρίξουμε τη θέση μς επί του γενικότερου προλημτισμού: "Κθρές ποδείξεις στο υστηρό πλίσιο της ξιωμτικής θεμελίωσης της Ανάλυσης, ή ποδείξεις στη άση της δισύνδεσης της Ανάλυσης με τη Γεωμετρί;" πρθέτουμε την άποψη του μεγάλου μθημτικού René Baire, που συγκτλέγετι μάλιστ μετξύ εκείνων που είνι υπέρ των υστηρών διτυπώσεων. Στο "Leçοns sur les Théories Générales de l' Analyse", Gauthier-Villars, T.I. Paris, 1907, γράφει: "Λέγετι συχνά ότι η Ανάλυση μπορεί ν χτισθεί ξεκινώντς πό την έννοι του κερίου ριθμού κι μόνο. Αυτό είνι κριές, λλά, ν θελήσουμε ν κολουθήσουμε συστημτικά υτήν την άποψη ν συγκεκριμέν θελήσουμε ν γνοήσουμε τη Γεωμετρί, θ στερηθούμε με τη θέλησή μς πό μι πολύτιμη οήθει κι, σε πολλές περιπτώσεις, θ κτδικστούμε σε μκροσκελείς πρεκάσεις. Πιστεύω λοιπόν ότι είνι προτιμότερο ν προσπθήσουμε ν νομιμοποιήσουμε τ μοιί δάνει, που ντλλάσουν στην πργμτικότητ η Ανάλυση κι η Γεωμετρί." 26

27 4. Πράρτημ Στην εργσί μς κι γι τους λόγους που εξηγήσμε νφερθήκμε μόνο σε ολοκληρώσιμες συνρτήσεις συνεχείς σε κλειστό διάστημ. Τ πρδείγμτ που κολουθούν, πιστεύουμε ότι, δίνουν το ένυσμ κι ενισχύουν τη διάθεση γι περιτέρω μελέτη του θέμτός μς στο ευρύτερο πλίσιο των (Riemann) ολοκληρώσιμων συνρτήσεων (φργμένες συνρτήσεις όχι κτ νάγκη κι συνεχείς). Προηγουμένως, όμως, θυμίζουμε κάποιους πρίτητους ορισμούς κι διτυπώνουμε διευκρινιστικά σχόλι. Ορισμοί Σχόλι:. Μι συνάρτηση f : A R είνι φργμένη, ν, κι μόνο ν, υπάρχει θετικός ριθμός θ τέτοιος, ώστε ν ισχύει f( ) θ.. Έν υποσύνολο A του συνόλου των πργμτικών ριθμών είνι ριθμήσιμο, ν μπορούμε ν ντιστοιχίσουμε τ στοιχεί του συνόλου των φυσικών ριθμών, έν προς έν, στ στοιχεί του A. Σημειώνουμε ότι τ σύνολ, των φυσικών, των κερίων κι των ρητών ριθμών είνι ριθμήσιμ ενώ το σύνολο των πργμτικών ριθμών δεν είνι ριθμήσιμο. Επίσης, κάθε διάστημ του είνι σύνολο μη ριθμήσιμο. γ. Σχετικά με τις (Riemann) ολοκληρώσιμες συνρτήσεις, προτείνουμε ν δείτε το [5] σ.σ , ή όποιο άλλο νάλογο σύγγρμμ. δ. Αν μι πργμτική συνάρτηση είνι φργμένη κι προυσιάζει συνέχει σε μεμονωμέν σημεί πεπερσμένου ή το πολύ ριθμησίμου πλήθους, τότε η συνάρτηση υτή είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη. ε. Ως συνέπει του δ. έχουμε ότι, οι κλιμκωτές (θμωτές) συνρτήσεις είνι (Riemann) ολοκληρώσιμες (Σχετικά με τις κλιμκωτές συνρτήσεις, προτείνουμε ν δείτε το [1] σ.σ , ή όποιο άλλο νάλογο σύγγρμμ). στ. Αν μι συνάρτηση f :[, ] είνι συνεχής, τότε η f είνι φργμένη στο διάστημ [, ]. ζ. Αν μι συνάρτηση f :[, ] είνι μονότονη, τότε η f είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη στο διάστημ [., ] η. Αν μι συνάρτηση f ορίζετι σε έν διάστημ Δ της ευθείς των πργμτικών ριθμών, τότε η F είνι πράγουσ της f, ν η F ορίζετι στο Δ, είνι συνεχής σ υτό κι έχει πράγωγο ίση με f σε όλ τ ση- 27

28 μεί του Δ, εκτός, ίσως, πό έν σύνολο σημείων το πολύ ριθμησίμου πλήθους. Πρδείγμτ: 4.1. Έστω η συνάρτηση y 0, 0 1 ƒ() = 1, 1 < 2 1 Cƒ O 1 2 Η ƒ είνι κλιμκωτή συνάρτηση, η οποί δεν είνι συνεχής στο σημείο 0 = 1 (λέπε κι σχήμ). Όμως, η ƒ είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη στο διάστημ [0, 2], φού είνι φργμένη κι έχει έν μόνο σημείο συνέχεις στο διάστημ υτό. Επίσης, δεν υπάρχει συνάρτηση F ώστε F = ƒ στο διάστημ [0, 2] Έστω η συνάρτηση F:[0,1] R με F() = 0, = 0. Διπιστώστε ότι η F είνι πργωγίσιμη με: ημ συν, 2 2 ( 0,1] F() = 0, = 0 ( ] 2 ημ, 0,1 2. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση F δεν είνι φργμένη, οπότε, η F, δεν είνι (Riemann) ολοκληρώσιμη στο διάστημ [0, 1]. Αυτό σημίνει ότι η συνάρτηση F δεν μπορεί ν πίξει το ρόλο της ƒ στην ισότητ F() = ƒ(t)dt. Συμπέρσμ: Υπάρχουν συνρτήσεις, οι οποίες, ενώ έχουν πράγουσ, δεν είνι (Riemann) ολοκληρώσιμες Έστω η συνάρτηση f: [ 0,1] με. Διπιστώστε ότι η συνάρτηση F: [0, 1] R ημ συν, 0,1 f() = 0, = 0 ( ] 28

29 1 ημ, ( 0,1] με F() =, είνι πργωγίσιμη στο (0,1] κι 0, = 0 0,1 ισχύει F ()=f(). Δηλδή η f έχει, εκτός πό το γι κάθε ( ] σημείο 0, πράγουσ την F.. Αποδείξτε ότι η F είνι συνεχής στο διάστημ [0,1]. γ. Εξετάστε ν η f είνι συνάρτηση (Riemann) ολοκληρώσιμη. 5. Βιλιογρφικές νφορές [1] Apostol T.M. (1962). " Διφορικός κι Ολοκληρωτικός Λογισμός", τόμος Ι, μτφρ. Γκιόκς Δ., Αθήν: Εκδόσεις Ατλντίς. [2] Edwards C. H. (1979). "The Historical Development of the Calculus", Springer Study Edition. [3] Νεγρεπόντης Σ. Γιωτόπουλος Σ. Γιννκούλις Ε. (1999). "Απειροστικός Λογισμός", τόμος Ι, Αθήν: Εκδόσεις Συμμετρί. [4] Ντρίζος Δ. (2002). "Ο ρόλος των γεωμετρικών νπρστάσεων στη διδσκλί της Ανάλυσης"- Διπλωμτική Εργσί, Τμ. Μθημτικών του Εθνικού κι Κποδιστρικού Πν/μίου Αθηνών. [5] Spivak M. (1991). "Διφορικός κι Ολοκληρωτικός Λογισμός", μτφρ. Γιννόπουλος Α., Ηράκλειο: Πνεπιστημικές Εκδόσεις Κρήτης. [6] Thomas G.B. Finney R.L. (1993). "Απειροστικός Λογισμός", Τόμος Α, μτφρ. Κνάρης Τσίγκνος, Ηράκλειο: Πνεπιστημικές Εκδόσεις Κρήτης. 29

30 Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στη διδικσί επινόησης της πόδειξης μις μθημτικής πρότσης Η περίπτωση του θεωρήμτος Μέσης του Διφορικού Λογισμού Περίληψη Με την εργσί υτή επεκτείνουμε τ πεδί εφρμογής των γεωμετρικών νπρστάσεων πέρ πό την ισθητοποίηση κάποιων εννοιών κι τη γεωμετρική ερμηνεί ορισμένων προτάσεων, που δίνετι συνήθως στο τέλος τους (μετά την ολοκλήρωση κι της τυπικής- υστηρής τους πόδειξης). Θ νδείξουμε ένν κόμη σημντικό ρόλο που μπορούν ν πίξουν στη διδικσί της επινόησης υτής κθευτής της πόδειξης μθημτικών προτάσεων κι, στ πλίσι της εξειδίκευσης του θέμτος, νλύουμε το νέο υτό ρόλο των γεωμετρικών νπρστάσεων διμέσου της πόδειξης του θεωρήμτος Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού γι πργμτικές συνρτήσεις μις ή περισσοτέρων μετλητών. Εισγωγή Σε διάφορ ιλί μθημτικών που προορίζοντι γι τη λυκεική εκπίδευση κι όχι μόνο, ο διδκτικός ρόλος της εποπτείς διμέσου γεωμετρικών νπρστάσεων κι μοντέλων, κυρίως επικεντρώνετι: Πρώτον, στη γεωμετρική ερμηνεί κάποιων προτάσεων φού πρώτ υτές έχουν διτυπωθεί υστηρά κι έχει ολοκληρωθεί η τυπική τους πόδειξη. Δεύτερον, στη γεωμετρική ισθητοποίηση ορισμένων εννοιών (γι πράδειγμ, της πργώγου κι του ολοκληρώμτος). Τρίτον, στη δισφήνιση ορισμών που κι υτοί πρώτ έχουν ήδη διτυπωθεί με τον συνήθη φορμλιστικό τρόπο. Υπάρχουν έι κι κάποιες εξιρέσεις γι ν επιειώνουν πάλι τον κνόν. Με την εργσί υτή στοχεύουμε ν επεκτείνουμε τ προηγούμεν πεδί εφρμογής των γεωμετρικών νπρστάσεων, νδεικνύοντς ένν κόμη σημντικό ρόλο που μπορούν ν πίξουν στη διδικσί της επινόησης υτής κθευτής της πόδειξης μθημτικών προτάσεων. Ο ρόλος τους υτός εστιάζετι πό την ρχή, κι όχι νκόλουθ μετά την πόδειξη, στη θύτερη κτνόηση κι ερμηνεί μις πρότσης κι στον εντοπισμό των δισυνδέσεών της με άλλες προηγούμενες γνώσεις. Η μφίδρομη 30

31 δισύνδεση των τυπικών μθημτικών διτυπώσεων με τις νάλογες γεωμετρικές τους νπρστάσεις, συμάλλει με μι σειρά προσεκτικών πρτηρήσεων κι συλλογισμών στη σύλληψη των κρίσιμων ιδεών (γι πράδειγμ του τύπου κάποις συνάρτησης) οι οποίες ποτελούν το κλειδί γι την επινόηση της πόδειξης μις πρότσης. Θ προσπθήσουμε ν δώσουμε πειστικές πντήσεις στον εξής προλημτισμό που σχετίζετι με το ντικείμενο της Ανάλυσης: όλοι μς θ έχουμε προσέξει ότι μερικές φορές η πόδειξη κάποιων προτάσεων κι η λύση ορισμένων προλημάτων γενικότερ, σίζετι στη θεώρηση κάποις κτάλληλης συνάρτησης πό την ρχή. Η θεώρηση υτή ποτελεί το σημείο εκκίνησης γι τη λύση του προλήμτος. Όμως, δεν ιτιολογείτι συνήθως η νγκιότητ της συγκεκριμένης επιλογής κι επιπλέον, δεν εξετάζετι το ερώτημ της τυχόν ύπρξης κι άλλων συνρτήσεων εξίσου κτάλληλων γι την περίπτωση. Εξάλλου γνωρίζουμε ότι, πριν πό την τελική οργάνωση κι υστηρή διτύπωση της πόδειξης μις πρότσης, προηγείτι η διδικσί της νκάλυψης. Κι υτή συνήθως δεν επιτυγχάνετι με προκθορισμένες γρμμικές νοητικές διδικσίες. Εδώ κυριρχούν οι προσεκτικές πρτηρήσεις στην προσπάθει δισύνδεσης των εμπλεκόμενων εννοιών, οι δοκιμές, οι εικσίες κι ο έλεγχός τους κι έι η διίσθηση (κτά τον Richard Courant, η έλλειψη της εξάρτησης των ποδείξεων πό τη διίσθηση οδηγεί σε «μθημτική τροφί»). Σ υτή τη φάση της νκάλυψης εντάσσουμε κι τον διδκτικό ρόλο των γεωμετρικών νπρστάσεων κι μοντέλων. Όσον φορά τώρ στην εξειδίκευση της εργσίς στ πλίσι της πόδειξης του Θεωρήμτος της Μέσης Τιμής, υτή έγινε γιτί πρώτον, το θέμ υτό ποτελεί έν πό τ πλέον σημντικά θεωρήμτ της Ανάλυσης κι δεύτερον, η πόδειξή του με τη συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων, έχει πσχολήσει ως τώρ διάφορους μθημτικούς. Σκοπεύουμε λοιπόν ν προσθέσουμε με την εργσί υτή κι κάποιες άλλες προσεγγίσεις του. Το γενικό πλίσιο της διδικσίς που προτείνουμε: Διτύπωση Προλήμτος πό την Ανάλυση. Ανάπτυξη προλημτισμού στη άση μις ή περισσοτέρων γεωμετρικών νπρστάσεων (εποπτεί). Ανδιτύπωση του Προλήμτος σε γεωμετρική γλώσσ. Επινόηση του γεωμετρικού "επιχειρήμτος" (συνήθως μις κτάλληλης συνάρτησης), που ποτελεί το κομικό σημείο γι την πόδειξη. Θεωρητική τεκμηρίωση στη άση του προλημτισμού που νπτύχθηκε. Ανάπτυξη προλημτισμού με σκοπό την (πιθνή) διτύπωση γενικεύσεων. 31

32 Το Θεώρημ Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ. του Lagrange) Το θεώρημ που κολουθεί ποτελεί γενίκευση του Θεωρήμτος του Rolle κι, λόγω των πολλών κι σημντικών εφρμογών του, θεωρείτι έν πό τ πλέον θεμελιώδη θεωρήμτ της Ανάλυσης. Διτύπωση του Θ.Μ.Τ. Αν μι συνάρτηση ƒ είνι: i) συνεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι ii) πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, ), τότε υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: f()- f() f (ξ)= ή ƒ() ƒ() = ƒ (ξ) ( ). - Σε πολλά ιλί, σχολικά κι όχι μόνον, η πόδειξη του Θ.Μ.Τ. επιτυχγάνετι με τη θεώρηση εξ ρχής είτε της συνάρτησης: g() = ƒ() ƒ( ) ƒ( ) ( ) είτε της: ƒ() 1 φ () = ƒ( ) 1, [, ], ƒ( ) 1 κι μέσως μετά με την εφρμογή του Θεωρήμτος του Rolle σ υτές. Κι είως, η άμεση κι εντελώς λογική πορί των μθητών: Γιτί ν θεωρήσουμε υτές τις συνρτήσεις; Ποι σειρά συλλογισμών μς οδηγεί στην επιλογή υτών των συνρτήσεων; Ελπίζουμε ότι οι συλλογισμοί που θ προτείνουμε δίνουν πειστικές - πντήσεις στ ερωτήμτ υτά. Θ επινοήσουμε κάποιο γεωμετρικό επιχείρημ, το οποίο θ ιτιολογεί τη «σύλληψη» του θεωρήμτος κι θ μς δίνει κάποι ιδέ γι την πόδειξή του. y ƒ() y ε C ƒ ω Λ Μ(, y) ω 0 Σχήμ 1 Ας φντστούμε ότι μετκινούμε τη «χορδή» ΑB προς τ πάνω, ενώ την κρτάμε διρκώς πράλληλη προς την ρχική της θέση. Αν τη μετκινήσουμε ρκετά προφνώς θ χάσει την επφή της με την κμπύλη πριν όμως χάσει την επφή της με την κμπύλη, θ φτάσει σ έν σημείο όπου θ εφάπτετι της κμπύλης. (ε: εφπτομένη της C f με ε//αβ). 32

33 Στη θέση υτή η πόστση του σημείου υτού πό τη χορδή ΑΒ γίνετι μέγιστη (Σχήμ 1). Γενικά, εφπτόμενη προς την ΑΒ έχουμε στ σημεί της κμπύλης όπου το (ΚΛ) πίρνει μι τοπικά κρόττη τιμή. Ο συλλογισμός υτός μς οδηγεί ν ορίσουμε μί συνάρτηση που θ μετράει την πόστση των σημείων της κμπύλης πό τη χορδή ΑΒ. Σε τυχόν του [, ] η πόστση υτή εκφράζετι πό το μήκος του τμήμτος ΚΛ (Σχήμ 1). Είνι ΚΛ = (ΚΜ) συνω ƒ( ) ƒ( ) Η εξίσωση της χορδής ΑΒ είνι: ψ ƒ() = ( ). Άρ το τυχόν σημείο Μ της ΑΒ με συντετγμένες (, ψ) θ επληθεύει την εξίσωση: ψ = ƒ() + ( ). ƒ( ) ƒ( ) ƒ( ) ƒ( ) Επομένως (ΚΜ) = ƒ() ψ = ƒ() [ƒ() + ( )]. ƒ( ) ƒ( ) Κι άρ (ΚΛ) = συνω [ƒ() ƒ() ( )]. Αν φντστούμε ότι το ΚΛ, όπως υτό ορίστηκε, κινείτι, τότε το μήκος του γίνετι μηδέν ότν το Κ συμπέσει με τ Α ή Β, δηλδή ότν το γίνει ή ντιστοίχως. Έτσι, ν θέσουμε (ΚΛ) = g(), έχουμε g() = 0, g() = 0. Κι επειδή η g είνι προφνώς συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ), σύμφων με το Θεώρημ Rolle, θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: g'(ξ) = 0. ƒ( ) ƒ( ) Είνι g () = συνω [ƒ() ƒ() ( )] ƒ( ) ƒ( ) = συνω [ƒ () ]. ƒ( ) ƒ( ) Οπότε g (ξ) = 0 ƒ (ξ) = Η τελευτί ισότητ ρίσκετι σε πλήρη ρμονί με τις ρχικές γεωμετρικές μς προσεγγίσεις, που ήθελν την εφπτομένη της κμπύλης ƒ πράλληλη προς τη χορδή ΑΒ. Έτσι η γεωμετρική ερμηνεί του Θ.Μ.Τ. δόθηκε πό την ρχή κι όχι, νκόλουθ, μετά πό την πόδειξη. 33

34 Δεύτερη γεωμετρική προσέγγιση του Θ.Μ.Τ.: y ƒ() ƒ() C ƒ Λ ƒ() 0 Σχήμ 2 Σε κάθε του [, ] ντιστοιχεί έν τρίγωνο ΚΑΒ. Η διίσθηση, που στηρίζετι στη γεωμετρική εποπτεί, μς λέει ότι εφπτομένη της κμπύλης, πράλληλη προς τη χορδή ΑΒ, θ έχουμε σ εκείνο το σημείο, όπου το εμδόν Ε του τριγώνου ΑΚΒ προυσιάζει τοπικά κρόττη τιμή. Είνι φνερό ότι το εμδόν Ε μηδενίζετι ότν η κορυφή Κ τυτιστεί με το Α ή με το Β, δηλδή ότν το το γίνει ή ντιστοίχως. ƒ( ) ƒ( ) ( ) 1 1 E() = det KA,KB =, [, ] 2 2 ƒ ƒ ( ) ( ) Η προηγούμενη πρτήρηση επιειώνετι κι τυπικά, κθώς Ε() = 0 κι Ε() = 0. Είνι, πλέον, φνερό ότι γι τη συνάρτηση Ε(), κι συνεπώς κι γι ƒ( ) ƒ( ) τη συνάρτηση g( ) = ικνοποιούντι οι προϋποθέσεις ƒ( ) ƒ( ) εφρμογής του Θεωρήμτος του Rolle στο διάστημ [, ]. Επομένως, θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: g (ξ) = 0 g() = ( ) [ ƒ( ) ƒ() ] ( ) [ ƒ( ) ƒ() ] ισοδ. g() = ƒ( ) ƒ( ) + ( ) ƒ() [ ƒ( ) ƒ( ) ] Άρ, g () = ( ) ƒ () [ ƒ( ) ƒ( )] Οπότε το συμπέρσμ g (ξ) = 0, λόγω της τελευτίς ισότητς, γράφετι: ƒ( ) ƒ( ) ƒ ( ξ ) =. 34

35 Τρίτη γεωμετρική προσέγγιση του Θ.Μ.Τ. y C ƒ ƒ() ƒ() y = ƒ() ƒ() Λ, 0 Σχήμ 3 Ας φντστούμε ότι έν σημείο Κ κινείτι επί της γρφικής πράστσης της ƒ πό το Α προς το Β. Σε κάθε τυχούσ θέση του Κ(, ƒ()), [, ], ντιστοιχεί έν ευθύγρμμο τμήμ ΚΛ κάθετο στον άξον των κι Λ σημείο της ευθείς ƒ( ) ƒ( ) y=. Η διίσθηση που στηρίζετι στη γεωμετρική εποπτεί μς λέει ότι: ε- φπτομένη της C ƒ πράλληλη προς τη χορδή ΑΒ θ έχουμε σε εκείνη τη θέση του σημείου Κ, όπου το μήκος του ΚΛ προυσιάζει τοπικά κρόττη τιμή. Ο συλλογισμός υτός μς οδηγεί ν ορίσουμε τη συνάρτηση δ(), που εκφράζει τη διφορά των τετγμένων των σημείων Κ κι Λ που έχουν την ίδι τετμημένη. ƒ( ) ƒ( ) δ () = ƒ(), [, ]. Στο σχήμ 3 η δ() εκφράζει το μήκος του τμήμτος ΚΛ. Κρίσιμες πρτηρήσεις: Ότν το Κ ρίσκετι στο Α, τότε (ΚΛ) = (ΑΑ ), ενώ ότν το Κ ρίσκετι στο Β, τότε (ΚΛ) = (ΒΒ ). Όμως το τετράπλευρο ΑΑ Β Β είνι φνερά πρλληλόγρμμο, οπότε (ΑΑ ) = (ΒΒ ) δηλδή δ() = δ(). Το τελευτίο υτό συμπέρσμ, δ() = δ(), κθώς επιπλέον η συνάρτηση δ είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ), μς λέει ότι γι τη δ ικνοποιούντι οι τρεις προϋποθέσεις του Θεωρήμτος του Rolle στο διάστημ [, ]. Οπότε θ υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) ώστε δ (ξ) = 0. 35

36 Είνι ƒ( ) ƒ( ) δ () = ƒ (), οπότε η δ (ξ) = 0 γίνετι: ƒ( ) ƒ( ) ƒ (ξ) =, που είνι το ζητούμενο. Το κρίσιμο συμπέρσμ δ() = δ(), που προέκυψε πό τη γεωμετρική εποπτεί, επιειώνετι κι με τον υπολογισμό των δ() κι δ() πό τον τύπο της συνάρτησης: ƒ( ) ƒ( ) δ () = ƒ(), [, ]. Μί κόμ (τέτρτη) ιδέ γι την πόδειξη του Θ.Μ.Τ. Η ευθεί ΑΒ προκύπτει πό μι πράλληλη μεττόπιση της ευθείς ƒ( ) ƒ( ) Α Β : y=, κτά μί πργμτική στθερά c, ίση με το μήκος του τμήμτος ΑΑ. ƒ( ) ƒ( ) Έτσι έχουμε ΑΒ: y = + c κι επειδή το Λ νήκει στην ƒ( ) ƒ( ) ΑΒ, άρ Λ, + c. y C ƒ c c ƒ() ƒ() Λ, + c c ƒ() ƒ() y = ƒ() ƒ() Λ, 0 Σχήμ 4 Στη συνέχει σχολούμστε με το τμήμ ΚΛ κι τη συνάρτηση ƒ( ) ƒ( ) Φ () = ƒ() + c, [, ], με συλλογισμούς εντελώς νάλογους προς εκείνους της προηγούμενης πόδειξης, όπου είχμε το τμήμ ΚΛ ντί του ΚΛ κι τη συνάρτηση δ() ντί της Φ(). 36

37 Γενίκευση του Θ.Μ.Τ. γι πργμτικές συνρτήσεις πολλών μετλητών Έστω ƒ: U IR n IR μι διφορίσιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το n νοικτό κι κυρτό υποσύνολο U του IR. Τότε, γι οποιδήποτε, y U με y υπάρχει σημείο z 0 του ευθυγράμμου τμήμτος y με z 0 κι z 0 y, τέτοιο ώστε : ƒ(y) ƒ() = (y ) ƒ (z 0 ). Γεωμετρική προσέγγιση πόδειξη Η πόδειξη που ρίσκουμε σε συγγράμμτ Ανάλυσης συνρτήσεων πολλών μετλητών επιτυγχάνετι με εφρμογή του γνωστού Θ.Μ.Τ. γι πργμτικές συνρτήσεις μις πργμτικής μετλητής στη συνάρτηση: ( ) g: [0, 1] ΙR, g(t) = ƒ ( 1 t) + ty. Σκοπεύουμε, διμέσου της γεωμετρικής εποπτείς, ν ιτιολογήσουμε την νγκιότητ της επιλογής της g κι ν δούμε προσεκτικά τη δισύνδεσή της με την ƒ. Μετά τη συζήτηση του Θ.Μ.Τ. γι πργμτικές συνρτήσεις μις πργμτικής μετλητής, σκεπτόμενοι επγωγικά, θεωρούμε κτρχήν εντελώς φυσικό ν προσεγγίσουμε το θέμ μς (πρόλημ γενίκευσης) διμέσου συνάρτησης ƒ: U IR 2 IR γι την οποί μπορούμε ν έχουμε κι εποπτεί (πρόλημ ειδίκευσης με n = 2). z N S M Γ ƒ( ) ƒ( z) ƒ( y) O y z Ε y U 37

38 Πίρνουμε δύο σημεί κι y του U με y (στθεροποιημέν). Το U στη συγκεκριμένη περίπτωση είνι έν νοικτό κι κυρτό σημειοσύνολο του επιπέδου Οy. Ενώ, το γράφημ της ƒ: U IR 2 IR είνι μι επιφάνει S του IR, η οποί ποτελείτι πό τ σημεί (, y, ƒ(, y )) γι όλ 3 τ (, y) του U. Θέλουμε, τώρ, τις τιμές των κι y, δηλδή τ ƒ(), ƒ(y) ντίστοιχ, τ οποί εμφνίζοντι στη διτύπωση του θεωρήμτος. Γι το λόγο υτό, στ πλίσι της γεωμετρικής προσέγγισης, θεωρούμε το επίπεδο Ε το κάθετο προς το επίπεδο Οy με ευθεί τομής υτήν που διέρχετι πό τ σημεί κι y. Η τομή του Ε με την S είνι μι κμπύλη Γ κι οι τιμές των κι y μέσω της ƒ υλοποιούντι πό τ σημεί Μ κι Ν της S ντίστοιχ. Τ ƒ() κι ƒ(y) είνι πργμτικοί ριθμοί κι εκφράζουν τις ποστάσεις των κι y πό τ σημεί Μ κι Ν. Σημντική πρτήρηση Με τη διδικσί που περιγράψμε, γίνετι φνερό ότι η υλοποίηση του θεωρήμτος μετφέρετι στο επίπεδο Ε κι επομένως η πόδειξή του θ μπορούσε πλέον ν επιτευχθεί διμέσου κάποις πργμτικής συνάρτησης με μι πργμτική μετλητή. Στόχος μς είνι τώρ η επινόηση μις τέτοις συνάρτησης g μετλητής t, η οποί κθέν t πό το πεδίο ορισμού της θ το ντιστοίχιζε σε έν κριώς σημείο z του y κι κολούθως υτό το z θ το πεικόνιζε γρφικά σε έν κριώς σημείο της κμπύλης Γ. A T B z y Αν στ στθεροποιημέν σημεί Α κι Β ενός άξον τετμημένων - πεικονίζοντι τ κι y ντίστοιχ, τότε γι οποιοδήποτε σημείο Τ με τετμημένη z, που διτρέχει το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ, ισχύει: AT = t, t [0, 1] γι κάθε θέση του Τ πάνω στο τμήμ ΑΒ. AB Άρ z =(y ) t κι ισοδύνμ: z = ( 1 t) + t y : (1), όπου z=z(t). Η εξίσωση (1) περιγράφει το ευθύγρμμο τμήμ y. Ανδεικνύετι έτσι μι συνάρτηση r : [0, 1] y μετλητής t, η ο- ποί ντιστοιχίζει κθέν t του κλειστού διστήμτος [0, 1] σε έν κριώς σημείο z του y. Έχουμε: z = ( 1 t) + t y : = r( t) Άρ, (2) : ƒ( z) = ƒ( ( 1 t) + t y) : = g( t ), g: [ 0,1] IR rt () Η εξίσωση (2) περιγράφει το τμήμ ΜΝ της κμπύλης Γ. Η προηγούμενη πορεί μς οδήγησε, διμέσου μις σειράς πλών συλλογισμών, στην επινόηση της συνάρτησης: ( ) [ ] g() t = ƒ ( 1 t) + t y, t 0,1 38

39 t [0, 1] ΙR r r(t) = z(t) : σημείο του y g ƒ ƒ(z(t)) : = g(t) IR Τ δύο επόμεν σχήμτ έχουν ως στόχο την πληρέστερη κτνόηση της δισύνδεσης των συνρτήσεων ƒ κι g διμέσου (κι) της γεωμετρικής εποπτείς. (t, g( )) 0 t 0 ε//μν N N M Γ M Γ ΜΝ = Cg ƒ( ) ƒ( y) g(0) = ƒ( ) g(1) = ƒ( y) z 0 Ε y 0 t 0 Ε 1 t U Είνι πλέον φνερό ότι η πόδειξη νάγετι στην εφρμογή του γνωστού Θ.Μ.Τ. (γι πργμτικές συνρτήσεις μις πργμτικής μετλητής) στην g() t = ƒ ( 1 t) + t y, t 0,1, ( ) [ ] γιτί η g είνι συνεχής στο [0, 1] κι πργωγίσιμη στο (0, 1). Άρ, θ υπάρχει t 0 (0, 1) τέτοιο ώστε: g1 () g0 ( ) = ( 1 0) g ( t 0 ) : (3) Βρίσκουμε g(1) = ƒ(y), g(0) = ƒ() κι g (t) = (y ) ƒ ((1 t) +t y). Η (3) γράφετι: ƒ(y) ƒ() = (y ) ƒ ((1 t 0 ) + t 0 y) : (4) Όμως στο t 0 (0, 1) ντιστοιχίζετι, μέσω της r, έν σημείο z 0 του ευθύγρμμου τμήμτος y, διφορετικό των κι y, ώστε: z 0 =(1 t 0 ) +t 0 y. Έτσι η (4) γράφετι: ƒ(y) ƒ() = (y ) ƒ (z 0 ). Σχόλι: Το ƒ (z 0 ) εκφράζει το ρυθμό μετολής της συνάρτησης ƒ στο z 0 νά μονάδ μήκους, ως προς την κτεύθυνση που ορίζει το y. Γι την επινόηση της συνάρτησης g(t) = ƒ((1 t) + t y) εργστήκμε 39

40 διμέσου της ειδίκευσης ƒ : U IR n IR με n = 2. Αφότου όμως επινοήθηκε η g, πό εκεί κι ύστερ, η πόδειξη στο τυπικό της υστηρό μέρος ισχύει γι όλες τις συνρτήσεις ƒ : U IR n IR με n 2. Κι υτό γιτί, με στθεροποιημέν τ κι y η g είνι πργμτική συνάρτηση μις πργμτικής μετλητής, της t, νεξάρτητ πό το n. Μι άλλη προσέγγιση γι την πόδειξη της γενίκευσης του Θ.Μ.Τ. C g K N(1, g(1)) Λ M(0, g(0)) 0 t 1 Ας φντστούμε ότι το Κ διτρέχει τη γρφική πράστση της g πό το Μ ως το Ν. Έτσι γι κάθε t [0, 1] πίρνουμε κριώς μι θέση του Κ(t, g(t)) πάνω στη C g. Κθώς το Κ διτρέχει τη C g, ισοδύνμ κθώς το t διτρέχει το διάστημ [0, 1], το μήκος του τμήμτος ΚΛ γίνετι 0 ότν το Κ συμπέσει με τ Μ ή Ν, δηλδή ότν το t γίνετι 0 ή 1 ντίστοιχ. Γι οποιδήποτε θέση του Κ πάνω στη C g έχουμε: (ΚΛ) = τετγμένη του Κ τετγμένη του Λ ( ) [ ] Επομένως, ( ΚΛ ): = h() t = g() t g( 0) + g() 1 g( 0) t,t 0,1 όπου g(t) = ƒ((1 t) + t y). Οι προηγούμενες πρτηρήσεις μς γι το μήκος του ΚΛ, ότν το Κ συμπέσει με τ Μ ή Ν επιειώνοντι πλέον κι τυπικά πό τον τύπο της h, φού h(0) = 0, h(1) = 0. Κι επειδή η h είνι συνεχής στο [0, 1] κι πργωγίσιμη στο (0, 1), σύμφων με το θεώρημ του Rolle θ υπάρχει t 0 (0, 1) ώστε h (t 0 ) = 0. Είνι: h (t) = g (t) g(1) + g(0) g (t) = (y ) ƒ ((1 t) + t y) g(0) = ƒ(), g(1) = ƒ(y) 40

41 Οπότε, h (t) = (y ) ƒ ((1 t) + t y) ƒ(y) + ƒ() Έτσι το συμπέρσμ h (t 0 ) = 0, του θεωρήμτος του Rolle, γράφετι: ƒ(y) ƒ() = (y ) ƒ ((1 t 0 ) + t 0 y) Όμως, σε κθέν t 0 (0, 1) είδμε ότι ντιστοιχίζετι κριώς έν z 0 του ευθύγρμμου τμήμτος y, διφορετικό των κι y, ώστε: z 0 = (1 t 0 ) + t 0 y. Επομένως: ƒ(y) ƒ() = (y ) ƒ (z 0 ). Βιλιογρφί [1] Κδινάκης, Ν. Κρνάσιος, Σ. Φελλούρης, Α. (2000). "Ανάλυση ΙΙ, Συνρτήσεις πολλών μετλητών", Αθήν: σύγγρμμ του Ε.Μ.Π. [2] Ντρίζος, Δ. (2002). "Ο ρόλος των γεωμετρικών νπρστάσεων στη διδσκλί της Ανάλυσης" Διπλωμτική Εργσί, Tμ. Μθημτικών του Ε.Κ.Π.Α. [3] Τσίτσς, Λ. (2002). "Εφρμοσμένος Δινυσμτικός Απειροστικός Λογισμός", Αθήν: σύγγρμμ του Ε.Κ.Π.Α., Εκδόσεις Συμμετρί. 41