Kvantni fazni prehodi

Transcript

1 Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Seminar I a - 1. letnik II stopnja Kvantni fazni prehodi Avtor: Alen Horvat Mentor: prof. dr. Tomaž Prosen Ljubljana, 15. marec 2013 Povzetek V seminarju si bomo ogledali nekaj najosnovnejših lastnosti kvantnih faznih prehodov. Kljub temu, da so takšni prehodi omejeni le na ničelno temperaturo, imajo posledice na visokotemperaturne faze. Nekatere enostavne modele lahko obravnavamo s kvantno-klasično preslikavo, sicer se moramo poslužiti teorije renormalizacije grup. Začeli bomo s faznimi prehodi, ki jih lahko opišemo s klasično teorijo polja, nato bomo pokazali razlike in podobnosti s kvantnimi fazni prehodi, nadaljevali bomo z enostavnimi teoretičnimi modeli, ki jim bodo sledili eksperimentalni primeri. Zaključili bomo s prehodi v snoveh, kjer postanejo pomembne sklopitve med fluktuacijami in nizko-energijskimi fermioni.

2 Seminar I a Kvantni fazni prehod 2 KAZALO I. Uvod 2 II. Fazni prehodi 3 A. Klasični fazni prehodi 3 B. Kvantni fazni prehodi 5 C. Kvantno-klasična preslikava in skaliranje 7 D. Modeli kvantnih faznih prehodov 8 1. Isingov in rotatorski model 9 2. Heisenbergov model Bozonski in fermionski modeli 10 III. Eksperimenti 11 IV. Kvantni fazni prehodi v snovi 12 V. Zaključek 12 Literatura 13 I. UVOD Fazni prehodi igrajo pomembno vlogo v vsakdanjem življenju: izparevanje vode, taljenje ledu, ali bolj kompleksni prehodi superprevodnih v normalna stanja ipd. Fazni prehod se zgodi ob variaciji zunanjega kontrolnega parametra, ki povzroči prehod sistema iz ene faze v drugo. Fazo razumemo kot stanje sistema, ki odraža karakteristične fizikalne lastnosti. Fazo sistema opišemo z ureditvenim parametrom O p, katerega povprečna vrednost je 0 v neurejeni in je od nič različna v urejeni fazi. Urejenost se nanaša na fizikalno opazljivko, ki je pri dani fazi v povprečju nič ali od nič različna. Vsi fazni prehodi, ki se zgodijo pri temperaturah T > 0 K ali pod vplivom temperaturno odvisnega kontrolnega parametra, so posledica termičnih fluktuacij. Makroskopske termodinamične lastnosti sistema izračunamo iz proste energije ali particijske funkcije sistema. Fazni prehod povzroči drastično spremembo odziva sistema (prenosna funkcija, susceptibilnost, impedanca, itn.), kot posledica neanalitičnosti proste energije v kritični točki. Ker je kanonična particijska funkcija za končen sistem vedno analitična, moramo sistem obravnavati v termodinamični limiti. Študija faznih prehodov je povezana z iskanjem in karakterizacijo singularnih točk proste energije/particijske funkcije. V seminarju bomo pozornost namenili kvantnim faznim prehodom [2], ki so posledica kvantnih fluktuacij. Do kvantnih prehodov lahko pride pri temperaturi 0 K ob variaciji temperaturno neodvisnega kontrolnega parametra - tlak, magnetno polje, kemijska sestava ipd. Razumevanje kvantnih faznih prehodov nam bo pripomoglo k boljšem razumevanju magnetnih izolatorjev s primesmi redkih zemelj [3], visoko-temperaturnih superprevodnikov [4, 5], 2D elektronskih plinov [1, 6], itn. V seminarju bomo najprej povzeli osnovne lastnosti faznih prehodov pri končni temperaturi, predstavili povezavo med klasičnimi in kvantnimi faznimi prehodi ter podrobneje predstavili slednje.

3 Seminar I a Kvantni fazni prehod 3 II. FAZNI PREHODI V tem poglavju bomo predstavili osnove zveznih klasičnih in kvantnih faznih prehodov, ter izpostavili konceptualne podobnosti in razlike med njimi. A. Klasični fazni prehodi Fazne prehode v osnovi delimo na prehode prvega reda, kjer obe fazi v točki prehoda koeksistirata, korelacijska dolžina je končna in ureditveni parameter ima v točki prehoda skok, ter na zvezne fazne prehode, kjer fazi ne koeksistirata, korelacijska dolžina divergira in se ureditveni parameter spreminja zvezno v okolici točke prehoda [7]. Ureditveni parameter ni vedno trivialna količina (Mottov prehod [8]). Kljub temu, da je termodinamično povprečje ureditvenega parametra v neurejeni fazi nič, so tako v urejeni kot v neurejeni fazi prisotne neničelne fluktuacije ureditvenega parametra. Zaradi termičnih ali kvantnih fluktuacij na primer magnetizacija pri feromagnetu fluktuira okrog povprečne vrednosti. V okolici kritične točki postanejo prostorske korelacije fluktuacij ureditvenega parametra dolgega dosega in korelacijska dolžina ξ divergira: ξ t ν. (1) ν je kritični eksponent korelacijske dolžine in t brezdimenzijska mera za oddaljenost od kritične točke. Korelacijska dolžina označuje kakaterističen prostorski doseg fluktuacij ureditvenega parametra [5]. Če se prehod zgodi pri T > 0 K, je možna izbira brezdimenzijskega parametra t = T T c /T c, kjer je T c kritična temperatura. Obstoj korelacij fluktuacij ureditvenega parametra v prostoru spremljajo korelacije fluktuacij ureditvenega parametra v času (življenjski čas fluktuacij) - stanje sistema v času t + δt je korelirano s stanjem sistema v času t. Maksimalna vrednost časovnega intervala δt, pri katerem je sistem ob času t + δt še koreliran s sistemom ob času t, imenujemo korelacijski čas τ c in je povezan s korelacijsko dolžino: τ c ξ z t zν. (2) z je dinamičen kritični eksponent. Ker je fazni prehod posledica neanalitičnosti proste energije kot funkcije ureditvenega parametra, vse termodinamične količine v točki prehoda divergirajo, saj so le-te s prosto energijo povezane preko odvodov. V okolici prehoda sta zatorej edini karakteristični skali karakteristična dolžina in čas ξ in τ c. Obe količini v kritični točki divergirata, zato sta prostorski in časovni doseg fluktuacij ureditvenega parametra neskončna. To pomeni, da postane doseg lokalnih fluktuacij zanemarljiv in lahko sistem opišemo s teorijo, ki upošteva le kolektivne fluktuacije dolgega dosega, torej lahko prosto energijo konstruiramo na podlagi fundamentalnih simetrij sistema (npr. teorija Ginzburg-Landau). Pri vsakem sistemu obstaja t.i. cutoff skala I in predstavlja najmanjšo skalo (dolžinsko, energijsko, itn.), na kateri so lokalne fluktuacije pomembne (npr. mrežna razdalja pri kristalih). Ker je v okolici faznega prehoda karakteristična dolžina ξ I, s tem upravičimo uporabo prej omenjene teorije. Sistem je tudi skalirno invarianten/samopodoben in fizikalne opazljivke so povezane z zunanjimi parametri preko potenčnih zakonov, ki jih karakterizirajo kritični eksponenti, zatorej le-ti popolnoma določijo obnašanje sistema v okolici faznega prehoda. Posebnost zveznih faznih prehodov je univerzalnost kritičnih eksponentov, ki so enaki za najrazličnejše fizikalne sisteme, če le-ti spadajo v enake univerzalne razrede. Univerzalne razrede lahko določimo iz simetrij ureditvenega parametra in prostorske dimenzije sistema. Tako poznamo kritične eksponente kompleksnih sistemov, če poznamo kritične

4 Seminar I a Kvantni fazni prehod 4 eksponente enostavnih sistemov istega univerzalnega razreda. Univerzalnost kritičnih eksponentov je posledica divergence termodinamičnih količin, zaradi katerih lahko fazne prehode opišemo z zveznimi (klasičnimi ali kvantnimi) teorijami polja, saj karakteristika interakcij na mikroskopski skali zanemarljivo vpliva na fazni prehod. Potenčni zakoni termodinamičnih količin so posledica skalirnih lastnosti sistema. Ob skaliranju vseh dolžin sistema z enakim faktorjem in ustrezno spremembo zunanjih parametrov tako, da se korelacijska dolžina ne spremeni, ostanejo vse fizikalne lastnosti sistema nespremenjene, saj so karakteristične količine edina mera za skalo. Z upoštevanjem skalirnih lastnosti, lahko singularen člen gostote proste energije v okolici prehoda opišemo s homogeno funkcijo faktorja skaliranja b: f(t, U) = b d f(tb 1/ν, Ub y B ), (3) kjer je U ureditveni parameter, y B kritičen eksponent in d prostorska dimenzija sistema. Za funkcije za katere velja f(bx) = b k f(x), definiramo red homogenosti k. Red homogenosti singularnega člena gostote proste energije je kar prostorska dimenzija sistema. Analogne homogene zveze termodinamičnih količin lahko izpeljemo iz enačbe (3), saj so le-te s prosto energijo povezane preko termodinamičnih zakonov [9]. Posledice homogenosti gostote proste energije so (velja za fazne prehode, ki jih lahko aproksimiramo s teorijo Ginzburg-Landau ali opišemo s teorijo renormalizacijskih grup): singularni deli kritičnih termodinamičnih količin so homogeni z enakim redom homogenosti pod in nad prehodom; ker so termodinamične količine povezane preko odvodov proste energije, se pri vseh količinah pojavi enak kritični eksponent, vendar za različno odvisnost ( gap eksponent ); dva znana neodvisna kritična eksponenta (npr. α, ) sta dovolj za izračun ostalih kritičnih eksponentov. To velja za model magnetnih in njim podobnih sistemov. O splošnosti teh trditev ne moremo reči ničesar. Oglejmo si zveze med kritičnimi eksponenti za primer magnetnih sistemov (zveze veljajo za vse ostale sisteme, ki spadajo v enak univerzalni razred kot magnetni sistemi). Magnetne sistemov karakterizira magnetizacija kot ureditveni parameter in magnetizaciji konjugirano polje - magnetno polje. Sistem opišejo štirje termodinamični kritični eksponenti α, β, γ, δ, za katere velja: α + 2β + γ = 2, (4) δ 1 = γ β. (5) Zvezi sta posledica homogenosti gostote proste energije sistema. Termodinamični eksponenti so s korelacijskimi eksponenti povezani preko hiperskalirnih zvez: 2 α = dν, (6) γ = (2 η)ν. (7) Eksponent ν opiše divergenco korelacijske dolžine, η opiše dušenje korelacijske funkcije v okolici kritične točke in d je prostorska dimenzija sistema. Hipoteza skaliranja je ključna za formalno teoretično obravnavo Ginzburg-Landau Hamiltoniana. Teorija povprečnega polja je omejena na dimenzije, ki so večje od dane kritične dimenzije d k in prav tako odpove, če se pojavi kvalitativno novo kritično obnašanje sistema. Te slabosti zaobidemo z metodami teorije renoramalizacijskih grup, s katerimi lahko zgradimo splošno shemo, ki temelji le na skaliranju in je samopodobna.

5 Seminar I a Kvantni fazni prehod 5 B. Kvantni fazni prehodi Ali kvantna mehanika vpliva na asimptotsko kritično odvisnost je odvisno od tipične energije prostorskih fluktuacij dolgega dosega ω c v primerjavi s termično energijo k B T. Tako kot pri klasičnih, tudi pri kvantnih sistemih kot ureditveni parameter definiramo fizikalno opazljivko, ki karakteristično loči dve fazi. Teorija obravnava fazne prehode med osnovnimi stanji sistema. Prosto energijo iz klasičnih prehodov nadomestijo energije oziroma Hamiltonov operator, ki opiše sistem. Valovnih funkcij sistema nam za obravnavo ni treba poznati. Frekvenca ω c je obratno sorazmerna korelacijskemu času τ c, ki divergira v točki prehoda, zatorej v tej točki pade energija ω c na 0: ω c t νz. (8) Kvantna mehanika je za razumevanje prehodov pomembna, če velja ω c k B T. V nasprotnem primeru je prehod posledica termičnih in ne kvantnih fluktuacij. Vsak fazni prehod pri T > 0 K, lahko obravnavamo s klasično teorijo polja, saj bo vedno obstajala okolica okrog kritične točke, kjer bo veljalo ω c k B T. Kvantna mehanika je seveda še vedno pomembna na mikroskopski skali, vendar kritičnemu obnašanju dominirajo termične fluktuacije. Pomembno je dodati, da mora biti pri kvantnem faznem prehodu kontrolni parameter neodvisen od temperature (tlak, magnetno polje, ipd.). Če upoštevamo le termodinamiko, v kritični točki pričakujemo, da bo pri temperaturi T = 0 K sistem v enolično določenem osnovnem stanju (če ni degeneracije). Seveda moramo upoštevati princip nedoločenosti, ki pokvari klasično sliko. Tako je pri temperaturi T = 0 K možnih, vsaj v principu, več kvantnih stanj, katerih ureditveni parametri se močno razlikujejo. Obstoj različnih faz pri enakih pogojih je osnova zveznih faznih prehodov. Kljub temu, da praktično snovi ne moremo ohladiti na 0 K, do kvantnih faznih prehodov prihaja in njihove posledice so vidne tudi pri sobni temperaturi. Oglejmo si fazni diagram v okolici kvantne kritične točke. Kvantna kritična točka označuje točko na faznem diagramu, kjer pride do kvantnega faznega prehoda. Na sliki 1 a) lahko vidimo fazni diagram dvodimenzionalnega magneta z SU(2) simetrijo pri T = 0 K, kjer pri od 0 različnih temperaturah urejena faza ni dovoljena (Mermin-Wagnerjev teorem) [2], zato pri T > 0 K ne bo prišlo do faznega prehoda. Na faznem diagramu so pri T > 0 K tri območja, ki različno karakterizirajo obnašanje sistema. Ko govorimo o urejenosti, moramo imeti v mislih ureditveni parameter, za katerega velja, da je urejen, če je njegovo povprečje od nič različni in neurejen sicer. To je pomembno zato, ker se lahko sistem nahaja v različnih fazah, ki so vse urejene (če gledamo red dolgega dosega, ali kakšno drugo ureditev, ki ni zvezana z ureditvenim parametrom). Na termično neurejenem območju je ureditev dolgega dosega uničena zaradi termičnih fluktuacij ureditvenega parametra. Na kvantnem neurejenem območju dominirajo kvantne fluktuacije, ki uničijo ureditev ureditvenega parametra. Med obema območjema je kvantno kritično območje [10], kjer sta pomembni obe vrsti fluktuacij in se nahaja v okolici kritičnega parametra r c (r je parameter s katerim vplivamo na stanje sistema - pri magnetnih sistemih je r H). Na kvantnem kritičnem območju se sistem ne obnaša kot v kritični točki. Pomembno je le, da so na celotnem območju kvantne fluktuacije enako pomembne kot termične. To je sicer nenavadno, saj so tipično kvantne fluktuacije veliko manjše od termičnih (kvantno kritično območje se nahaja tudi nad klasično kritično temperaturo). Pri klasičnih prehodih razmerje med energijo in entropijo sistema odloča v kateri fazi bo sistem. Ker v limiti T 0 klasična entropija pade na 0, le-ta ne more biti mera za stanje sistema, zato so pri kvantnih faznih prehodih pomembni členi Hamiltonia, ki sistem opisuje. Na sliki 1 b) si lahko ogledamo primer, kjer do faznega prehoda pride tudi pri temperaturi T > 0 K. Poleg zgoraj omenjenih faz imamo tu še termično urejeno fazo. Vidimo, da je kvantna kritična točka ravno na koncu končno-temperaturnega prehoda. Klasične fluktuacije bodo do-

6 Seminar I a Kvantni fazni prehod 6 minirale v okolici meje končno-temperaturnega prehoda in to območje lahko opišemo s klasično teorijo polja. Klasičo kritično območje bo z nižanjem temperature postajalo vse ožje, kljub temu pri T 0 ne izgine, zatorej se klasični prehodi zgodijo tudi pri zelo nizkih temperaturah. Kvantno kritično območje se enako kot prej pojavi v okolici kvantne kritične točke in se razširi tudi v območje T > 0 K. Razširitev kvantnega kritičnega območja si oglejmo preko valovnih funkcij, ki opisujejo sistem. Ta razlaga ni najbolj jasna, saj območja ne poznamo preveč dobro. Ko se sistem nahaja v okolici kvantne kritične točke (T = 0, g g c ) in opazujemo valovno funkcijo preko velikega območja (x ξ), bo valovna funkcija karaterizirana z vrednostjo kontrolnega parametra g (na primer jakost zunanjega magnetnega polja). Vendar če opazujemo skalo manjšo od karakteristične dolžine ξ, bo valovna funkcija imela podatek o kvantnem faznem prehodu, zatorej bo na tem območju karakterizirana z vrednostjo g = g c. To pomeni, da se sistem lokalno (in pri kratkih opazovalnih časih) obnaša ko v kvantni kritični točki. Če se premaknemo v točko (T = 0, g = g c ), bo karakteristična dolžina divergirala in bo valovna funkcija karakterizirana z vrednostjo r c, ne glede na to, kako veliko območje opazujemo. To pomeni, da je celoten sistem v kvantni kritični točki. V tej točki mora biti valovna funkcija superpozicija vseh možnih konfiguracij fluktuacij ureditvenega parametra na vseh dolžinskih skalah (kvantna prepletenost dolgega dosega). Če temperaturo malo dvignemo, intuitivno na območju g < g c in g > g c pričakujemo, da bo vzbujeno stanje superpozicija nizko-energijskih vzbujenih stanj. Primer nizko-energijskih stanj za g < g c so spinski valovi, za območje g > g c so lokalne tripletne ekscitacije singletnih stanj (obstaja vrsta drugačnih nizko-energijskih stanj). Ključna stvar je, da takšne ekscitacije lahko opišemo s klasično teorijo polja, zatorej jih ne moremo postaviti na kvantno kritično območje. Takšen opis kvantno kritičnega polja je zatorej napačen. Če obravnavamo sistem na kratkih časovnih in dolžinskih skalah, se sistem obnaša kot da je v osnovnem kritičnem stanju pri g = g c (čeprav T > 0) - opazovana razdalja in čas morata biti krajša od karakterističnih količin. Valovna funkcija osnovnega stanja v točki, ki je malo odmaknjena od kvantne kritične točke ( x < ξ, t < τ), je podobna valovni funkciji v kvantni kritični točki. Če se od kvantne kritične točke oddaljujemo, sistem čuti termične efekte še preden ugotovi g g c oziroma preden doseže ξ. Z večanjem temperature so termični efekti močnejši, hkrati pa se povečuje kvantno kritično območje, ker sistem ne izve o pravi dolžinski skali ξ in lahko na tem območju postavimo g = g c. To lahko interpretiramo, da termične fluktuacije vplivajo na doseg in življenjski čas kvantnih fluktuacij. Meje kvantnega kritičnega območja določimo iz pogoja: k B T > ω c r r c νz, kjer ω c predstavlja energijsko vrzel in je povezana s korelacijskim časom. Potenčni zakon, ki povezuje energijo kvantnih fluktuacij z oddaljenostjo sistema od kvantne kritične točke pojasni, kako se energija kvantnih fluktuacij povečuje, ne pa tudi zakaj. Kvantno kritično območje obstaja do končne temperature, nad katero popolnoma prevladajo termične fluktuacije (pri magnetih je temperaturna meja določena s tipično izmenjalno energijo). Obstoj kvantnega kritičnega območja kaže na obstoj kvantne kritične točke. Na kvantno kritično osnovno stanje vplivajo termične fluktuacije, zaradi katerih izginejo kvazi-delčne ekscitacije, kar vpliva na obnašanje sistema pri končni temperaturi. Posledica so za končno-temperaturne sisteme neznačilni potenčni zakoni, neznačilno obnašanje fermionske tekočine ipd. Pri temperaturah, kjer je korelacijska dolžina veliko večja od mikroskopske skale lahko v okolici kvantne kritične točke opazimo obnašanje, ki je univerzalno. Kot lahko vidimo, kvantno kritično območje zavzame precejšen del faznega diagrama, kar nakazuje na to, da s kvantno kritično teorijo morda lahko razumemo faze, ki jih teorija fermionskih tekočin ne zna opisati (kovine iz težkih fermionov). Druga možna aplikacija je obravnava visokotemperaturnih superprevodnikov kot faza v kvantno kritičnem stanju, kjer BSC teorija odpove.

7 Seminar I a Kvantni fazni prehod 7 Neuniverzalno Neuniverzalno kvantno kritično termično neurejeno kvantno kritično termično neurejeno kvantno neurejeno klasično kritično urejeno kvantno neurejeno urejeno pri T=0 Slika 1. Shematična fazna diagrama v okolici kvantne kritične točke. Na horizontalni osi je kontrolni parameter r, s katerim nadziramo stanje sistema, na vertikalni osi je temperatura T. a) Urejeno stanje obstaja le pri T = 0 K. Črtkana črta označuje meje kvantnega kritičnega območja. b) Urejena faza lahko obstaja turi pri končnih temperaturah. S polno črto je označeno klasično kritično območje. C. Kvantno-klasična preslikava in skaliranje Podrobneje si oglejmo zveze med kvantnim in klasičnim obnašanjem sistema. Termodinamične lastnosti izračunamo s pomočjo particijske funkcije: Z = Tr e βh, (9) kjer je β = 1/k B T ter H = T + V Hamiltonian sistema. V klasičnem sistemu je komutator [T, V ] = 0, zatorej lahko particijsko funkcijo faktoriziramo Z = Z kin Z pot, kar pomeni da so statične in dinamične komponente klasičnega sistema razklopljene (dinamičen kritičen eksponent je neodvisen od ostalih kritičnih eksponentov). V kvantnem sistemu kinetičen in potencialen prispevek ne komutirata, zato particijske funkcije Z ne moremo faktorizirati. Kanoničen gostotni operator e βh je ekvivalenten operatorju časovnega razvoja v imaginarnem času τ = β = iθ/. Θ je realna časovna spremenljivka. Pri T = 0 ima imaginaren čas vlogo dodatne prostorske dimenzije, saj je razširitev sistema v tej smeri neskončna. Iz enačbe (2) sledi, da se čas skalira kot z-ta potenca dolžine (za čiste izolatorje je z tipično 1, v splošnem je pozitivno realno število). Klasičen zakon homogenosti (3) je za kvanten sistem pri T = 0: f(t, U) = b (z+d) f(tb 1/ν, Ub y B ), (10) kjer je sedaj t = r r c /r c. f v kvantnem sistemu pomeni energijo in ne prosto energijo sistema. Takšno oznako smo izbrali, da bi hitreje videli podobnost med klasično in kvantno odvisnostjo (proste) energije od faktorja skaliranja. Vidimo, da kvanten fazni prehod v d dimenzionalnem sistemu ustreza klasičnemu prehodu v z + d prostorskih dimenzijah. Prehod iz kvantne v klasično sliko, ko se bližamo končno-temperaturnim faznim prehodom, je ekvivalenten prehodu med sistemi različnih dimenzij. Pri kvantno-klasični preslikavi se temperatura kvantnega problema se preslika na inverz dolžine imaginarne časovne osi. Temperatura klasičnega problema ustreza sklopitveni konstanti kvantnega sistema znotraj te preslikave. Ali bo prišlo do prehoda iz kvantne v klasično sliko je odvisno od razmerja med korelacijskim časom τ c in razširitvijo sistema v smeri

8 Seminar I a Kvantni fazni prehod 8 imaginarnega časa β = 1/k B T. Pogoj za prehod je daljša korelacijska dolžina od β, oziroma t νz < k B T. Če se kritični točki približujemo z nižanjem temperature T 0 pri r = r c, obe količini τ c in β divergirata tako, da so kvantni efekti vedno pomembni (sistem je vedno v z + d dimenzionalnem sistemu). Seveda se lahko kritični singularnosti izognemo z ustrezno spremembo temperature ali parametra r. Kvantni fazni prehod z dimenzijo z = 1 lahko preslikamo na (d + 1) dimenzionalen klasičen primer, ki ga dobro poznamo. Za realne frekvence korelacijska funkcija lahko zapiše z retardirano Greenovo funkcijo, ki karakterizira spekter vzbujenih stanj v kvantnem kritičnem območju. V klasični teoriji Ginzburga in Landaua pričakujemo t.i. kvazidelčno singularnost, ki pri kvantnih prehodih ne pojavi. Pojavi pa se nezveznost za ω > k, kar pomeni, da nihajni načini postanejo kritično dušeni in lahko opazimo kvantno relaksacijsko dinamiko. Seveda vseh kvantnih sistemov ni moč preslikati na klasične. Kvantni sistemi lahko imajo lastnosti, zaradi katerih so kvalitativno drugačni od klasičnih (topološka Berryeva faza, efektivna interakcija dolgega dosega, ki je posledica mehkih nihajnih načinov). Težava se pojavi ker nam kvantno-klasična preslikava da korelacijsko funkcijo z imaginarnim časom. Nas seveda zanima dinamika v realnem času (energijski spekter, sipalni presek, itn.), vendar je računanje realne dinamike iz imaginarne slabo pogojen problem in hitro dobimo nestabilne ali nefizikalne rešitve. Dinamične lastnosti kvantnega sistema karakteriziramo z novo fundamentalno časovno skalo τ φ - fazno koherenčni čas, ki nima analogije v klasični sliki. Kvanten sistem ima popolno fazno koherenco v vseh fazah, kar je težava v klasični sliki, saj so v visokotemperaturni fazi vse korelacije eksponentno dušene. Fazno koherenčen čas lahko razumemo kot čas, po katerem valovna funkcija večdelčnega sistema izgubi informacijo o fazi. Lokalna merjenja v časovnih intervalih, ki so krajši od τ φ, bodo kazala efekte kvantne interference. D. Modeli kvantnih faznih prehodov Fazni prehod osnovnega stanja sistema je posledica neanalitičnosti energije osnovnega stanja kot funkcija kontrolnega parametra. Če je neanalitičnost posledica prekrivanja energijskih nivojev večdelčnega stanja, je to kvantni fazni prehod prvega reda in se lahko zgodi tudi pri končnih sistemih (ni divergence korelacij in kritičnih singularnosti, imamo pa skok ureditvenega parametra). Pri kvantnem faznem prehodu drugega reda imamo neanalitičnost v energiji večdelčnega osnovnega stanja in je prisotnih neskončno lastnih stanj tega sistema, zato moramo upoštevati termodinamično limito (neskončen sistem), da dobimo oster prehod - ureditveni parameter se namreč spreminja zvezno. Če želimo opazovati zvezen prehod pri končnem sistemu, ne dobimo prekrivanja energijskih nivojev (ang. avoided level crossing), ki je nujno za fazni prehod. Za primer vzemimo Hamiltonian H(g), ki je funkcija brezdimenzijske sklopitvene konstante g. Če imamo opravka s končnim sistemom, je H(g) analitična funkcija g razen, če g sklaplja le od g neodvisne količine, ki komutirajo (npr.h(g) = H 0 + gh 1, [H 0, H 1 ] = 0). V tem primeru lahko oba H 0, H 1 hkrati diagonaliziramo. Kljub temu, da lastne funkcije niso funkcije g, se z g spreminjajo lastne vrednosti (energije) in lahko vzbujeno stanje preide v osnovno in obratno (ko gremo z g mimo g c ). Temu pravimo prekrivanje nivojev oziroma level crossing. V točki prekrivanja obeh funkcij pride do neanalitičnosti energije osnovnega stanja kot funkcija g. Pri neskončnem sistemu je spekter bolj pester. Če začnemo s končnim sistemom, ni nujno da se nivoji prekrivajo (H je analitičen in členi H ne komutirajo). Ko sistem pošljemo v termodinamično limito, odvisnosti lahko postanejo vse bolj ostre (v točki g = g c ) in naposled dobimo neanalitično obnašanje energije osnovnega stanja v točki g = g c kot v prejšnjem primeru. Takšna neanalitičnost pomeni kvanten fazni prehod

9 Seminar I a Kvantni fazni prehod 9 Slika 2. Horizontalna skala predstavlja kontrolni parameter. Vertikalna skala predstavlja energijo. Z modro in rdečo sta narisani odvisnosti lastnih energij od kontrolnega parametra in predstavljata zgrešeno prekrivanje nivojev. Črtkani črti predstavljata prekrivanja energijskih nivojev ali limitni primer zgrešenega prekrivanja nivojev (sistem pošljemo proti ). med različnimi osnovnimi stanji, ki je lahko posledica prekrivanja energijskih nivojev ali limitni primer zgrešenega prekrivanja nivojev. Shemo si lahko ogledamo na sliki 2. Sistem v okolici faznega prehoda opišemo z dolgo valovnimi fluktuacijami ureditvenega parametra. Kljub temu ne smemo zanemariti mikroskopskih procesov zaradi močne sklopitve med ureditvenim parametrom in fermionskimi delec-vrzel nihajnimi načini. Do sedaj smo sistem obravnavali kot izoliran od ostalih interakcij v sistemu. Za obravnavo je na voljo več teorij, ki bodo vse vsebovale potence ureditvenega parametra in njegove gradiente. Zveze lahko izpeljemo iz simetrijskih argumentov (simetrija ureditvenega parametra in sistema) in dimenzije sistema. Oglejmo si nekaj enostavnih teoretičnih modelov. Hamiltonian kvantnega rotatorskega modela: 1. Isingov in rotatorski model H R = Jg 2 ˆL 2 i J i ij ˆn i ˆn j, (11) je eden izmed najenostavnejših modelov, pri katerih pride do kvantnega faznega prehoda. ˆL i je operator tirne vrtilne količine, N-ta komponenta operatorja ˆn i nam pove smer i-tega rotatorja d-dimenzionalne rešetke. J je jakost izmenjalne interakcije in g je sklopitev. Prvi člen enačbe (11) teži k delokalizaciji posamenih tirnih vrtilnih količin, nakar drugi člen teži k feromagnetni ureditvi. Limita g 1 vodi do urejenega stanja, limita g 1 vodi do kvantno neurejenega stanja [5]. Ta sistem je zelo podoben Heisenbergovemu modelu, le da pri Heisenbergovem modelu ni kinetičnega člena in operatorje smeri ˆn i zamenjajo operatorji spina. Če še dodatno upoštevamo močno anizotropijo pri Heisenbergovem modelu, dobimo Isingov model. Če imamo opravka z Isingovim modelom, je ureditveni parameter skalarna količina. Za Heisenbergov model je vektorska, kar pomeni, da se poleg amplitudnih fluktuacij ureditvenega parametra pojavijo tudi fazne fluktuacije ureditvenega parametra. Teorija, ki upošteva le amplitudne fluktuacije je mehko-spinska, če teorija upošteva le fazne fluktuacije je trdo-spinska. Mehko-spinske sisteme obravnavamo s t.i. φ 4 teorijo polja, trdo-spinsko teorijo opišemo nelinearnim sigma modelom (prav tako spada v teorijo polja). Obe teoriji opisujeta isto kritično točko, imata iste kritične

10 Seminar I a Kvantni fazni prehod 10 lastnosti [12], dinamičen eksponent z = 1 in obe teoriji dasta širjenje valovanja, ki pri nizkih energijah ni dušeno. S teorijo φ 4 lahko opišemo tudi prehode prvega reda, kjer sta za točko prehoda značilna dva ločena, degenerirana globalna minimuma proste energije, ki vodita do nezveznosti ureditvenega parametra. 2. Heisenbergov model O Heisenbergovem modelu smo že v prejšnjem razdelku povedali nekaj, sedaj pa si oglejmo, zakaj lahko pride do kvantnega faznega prehoda, kljub temu, da Hamiltonian vsebuje le en člen. Za razumevanje tega, moramo razumeti Berryevo fazo [13]. Če kvanten sistem v lastnem stanju premikamo po krožnici C tako, da spreminjamo parameter R Hamiltoniana Ĥ(R), moramo operatorju Ĥ poleg značilnega dinamičnega faznega faktorja exp( iet/ ) dodati še geometrijski/topološki fazni faktor exp(iγ(c)). Dinamičen fazni faktor opisuje časovni razvoj stacionarnega stanja. Količino γ lahko razvijemo po lastnih stanjih operatorja Ĥ: γ(c) = i n(r) R n(r) dr. (12) c R je funkcija parametrov, ki jih spreminjamo (v splošnem je vektor), n(r) so lastna stanja operatorja Ĥ. Normalizacija poskrbi, da je člen znotraj integrala imaginaren in γ je realna količina. Izkaže se, da lahko Aharonov-Bohm-ov efekt interpretiramo kot geometrijski/topološki fazni faktor [13]. Podrobnosti izpeljave zveznega Heisenbergovega modela [5] za razumevanje faznega prehoda na tej stopnji ni pomembna. Orientacijo spinov v prostoru opišemo z enotskim vektorjem N in koherentnim stanjem N, za katero velja: N Ŝ N = SN. Dinamiko oziroma akcijo spina lahko zapišemo z Berry-evo fazo: S B = dτ N τ N = isα, kjer je α kot, ki ga opiše vektor spina na enotski sferi. Ureditveni parameter je magnetizacija in ponovno lahko sistem obravavamo z nelinarno sigma in φ 4 teorijo. Dodaten člen, ki se pojavi pri akciji S je posledica Berryeve faze. Sistem je pri nizkih energijah močno odvisen od Berryevega prispevka in se razlikuje od standardnega (anti)feromagnetnega stanja. V feromagnetnem sistemu se prispevki Berryeve faze seštevajo in določajo dinamiko sistema, saj so veliko večji od prispevkov energije Heisenbergovega modela. V antiferomagnetnem primeru prispevki Berryeve faze oscilirajo in se odštejejo, zato lahko te prispevke pri čistih antiferomagnetih zanemarimo. Singularen Berryev člen se pojavi v akciji 1D Heisenbergovega modela s polovičnim spinom. To posledično vodi do značilne kritične faze brez energijske reže z eksponentnim padanjem spinske korelacijske funkcije 1D Heisenbergovega modela. Če je spin celoštevilski, tega člena ni. Takšen sistem je karakteriziran z energijsko vrzeljo in spinsko korelacijo kratkega dosega. 3. Bozonski in fermionski modeli Bozonski in fermionski mikroskopski modeli lahko tvorijo veliko različnih urejenih faz, kjer je v veliko primerih ureditveni parameter bilinearen (ureditveni parameter spina, valov gostote naboja 1, itn.). Za razliko od prejšnjih primerov, kjer so bili ureditveni parametri termodinamične 1 Ang.: Charge density waves (CDW). V stacionarnem stanju ioni tvorijo popolnoma periodično kristalno mrežo in variacija gostote naboja, zaradi Coulombske interakcije, zahteva veliko energije. V nekaterih kvazi 1D in 2D kovinah so pri določenih pogojih takšne variacije stabilne - plin elektronov in ionska rešetka spontano tvorita modulacijo gostote naboja. Takšno modulacijo imenujemo val gostote naboja (CDW).

11 Seminar I a Kvantni fazni prehod 11 količine, so tukaj ureditveni parametri povezani s kvantnimi količinami (spin, naboj). Z ustrezno modifikacijo lahko uporabimo teorijo φ 4. Pri bozonskih in fermionskih modelih, ki ohranjajo naboj Q, lahko pride do faznega prehoda med fazo, kjer so vrednosti Q kvantizirane in fazo, kjer se naboj Q spreminja zvezno kot funkcija kontrolnega parametra. V tem primeru je ustrezen ureditveni parameter gostota naboja. Teorijo lahko formuliramo z Bosejevimi in Fermijevimi polji ter Berryevim členom [2]. Kot zgled lahko vzamemo variacijo kemijskega potenciala od pozitivne do negativne vrednosti pri T = 0, kar povzroči kvanten prehod iz stanja z gostoto delcev 0, v stanje s končno gostoto delcev. Kvantna kritična točka bozonskega plina za dimenzijo d > 2 je povezana z Bose-Einsteinovo kondenzacijo [5]. Model z močnimi lokalnimi interakcijami (npr. Hubbardov model) za bozone (obravnava fermionov je veliko zahtevnejša) je lahko v super-tekoči fazi ali v fazi izolatorja. Ustrezen ureditveni parameter je pričakovana vrednost bozonskega polja, ki predstavlja gostoto supertekočine. Podoben model lahko apliciramo tudi na spinske sisteme, kjer prostostne stopnje spinov ali spinske gruče lahko opišemo z bozonskimi operatorji in čutijo močne lokalne interakcije. Takšen primer je razredčen Bosejev plin, ki je v osnovnem stanju singletno stanje z vrzeljo, vendar če vklopimo zunanje polje magnetno polje, postane sistem kvantni antiferomagnet. Zunanje polje povzroči razcep tripletnega stanja in pri kritičnem polju H c najnižji tripleti kondenzirajo ter vodijo do stanja s transverzalnim redom dolgega dosega. Takšno stanje lahko razumemo kot Bose-Eninsteinovo kondenzacijo magnonov. III. EKSPERIMENTI Da razbijemo abstraktnost si oglejmo nekaj eksperimentalnih primerov faznih prehodov. Nizko energijske magnetne ekscitacije izolatorja LiHoF 4 sestavljajo fluktuacije Ho ionov med feromagnetno in antiferomagnetno ureditvijo. Takšen sistem lahko opišemo z Isingovim modelom. Pri temperaturi T = 0 magnetne dipolne interakcije in elektrostatične interakcije povzročijo feromagnetno ureditev. Če izolator postavimo v zunanje magnetno polje, ki je transverzalno na os magnetizacije, bo takšno polje povzročilo tuneliranje delcev med obema stanjema. Če je tuneliranje dovolj močno, bo uničilo red dolgega dosega in sistem bo prešel v antiferomagnetno stanje. Seveda lahko feromagnetno ureditev uničimo z višanjem temperature. V tem primeru peljemo sistem skozi kvantno kritično območje, kjer je pomembnost kvantnih in klasičnih fluktuacij ekvivalentna. Material iz težkih fermionov (CeCu 6 x Au x ) ima magnetno urejeno osnovno stanje - pričakovana vrednost spinskega operatorja oscilira kot valovna funkcija s periodo, ki ni nikakor povezana s periodo kristalne rešetke. Takšen red je prisoten pri velikih vrednostih x. Če zmanjšamo vrednost x ali povečamo tlak, lahko povzročimo kvantni fazni prehod drugega reda. Urejeno stanje preide v stanje Fermijeve tekočine. Bogat spekter kvantnih faznih prehodov ima dvodimenzionalen plin elektronov v polprevodniku. Oglejmo si enega izmed njih. Energijski spekter elektronov v dveh dimenzijah se ob prisotnosti pravokotnega zunanjega polja razcepi na ekvidistantne Landauove nivoje. Imejmo dvodimenzionalen plin elektronov s takšno gostoto, da popolnoma zapolnijo prvi Landauov nivo. Tako so elektronski spini polarizirani v smeri polja in osnovno stanje sistema je popolnoma polariziran feromagnet. Če imamo dva takšna sloja in sta oddaljena bosta oba v enakem osnovnem stanju. Ko sloja združimo postane interakcija med slojema antiferomagnetna in osnovno stanje postane spinski singlet - dva po dva spina, vsak iz drugega sloja tvorita spinski singlet.

12 Seminar I a Kvantni fazni prehod 12 IV. KVANTNI FAZNI PREHODI V SNOVI Zvezni prehodi, katerim bomo namenili nekaj besed tem razdelku se imenujejo bulk prehodi, za katere je značilno, da prostostne stopnje celotnega sistema postanejo kritične, ko se bližamo kritični točki (takšne sisteme smo obravnavali prej). Pomembna novost je obstoj sklopitve med fluktuacijami ureditvenega parametra in ekscitacijami fermionov - do sedaj smo opazovali fluktuacije ureditvenega parametra kot neodvisne od ostalih fluktuacij. Posledično se singularni del gostote proste energije skalira kot L d, kjer je L linearna prostorska razsežnost sistema in d prostorska dimenzija sistema. Druga, sorodna vrsta prehodov so mejni prehodi 2, kjer le del prostostnih stopenj sistema postane kritičen. Teh prehodov tu ne bomo obravnavali. Osnovno idejo si bomo ogledali v tem razdelku. Obstoj sklopitve med fluktuacijami ureditvenega parametra in nizko energijskimi ekscitacijami fermionov močno vpliva na kvantno kritično obnašanje. Ureditveni parameter ponovno definiramo kot v prejšnjih primerih (magnetizacija, polarizacija, red dolgega dosega, itn), ekscitacije fermionov pa pomenijo, da sistem več ni v osnovnem stanju (vsi prejšnji modeli so obravnavali kvantne prehode med različnimi osnovnimi stanji). Če ni fermionov brez vrzeli 3 so fluktuacije ureditvenega parametra edine nizko energijske ekscitacije v okolici kritične točke, zatorej lahko teorijo formuliramo le z ureditvenimi parametri. Če se znebimo prostostnih stopenj fermionov (to integrate out) v akciji S, akcija ne bo divergirala. Če se fluktuacije ureditvenega parametra sklapljajo z nizko energijskimi ekscitacijami fermionov (kot npr. v kovini), se ne smemo znebiti fermionskih prostostnih stopenj, saj to lahko vodi do divergence akcije. V nekaterih primerih lahko še vedno zagradimo teorijo na ureditvenih parametrih, vendar nam bodo nizko energijski fermioni dali neanalitične člene. Oglejmo si ureditvene parametre z gibalno količino Q, ki jih lahko zapišemo z lokalnimi fermionskimi operatorji. V translacijsko invariantnem sistemu ohranitev gibalne količine narekuje, da je sklopitev med fermionskimi ekscitacijami in ureditvenim parametrom možna le, če gibalna količina Q povezuje točki na fermijevi površini. Glede na gibalno količino Q ureditvenega parametra, lahko ločimo štiri scenarije: a) Če je gibalna količina ureditvenega parametra enaka 0 (feromagnet), se ureditveni parameter sklopi s pari delec-vrzel po celotni Fermijevi površini. Za končne vrednosti Q je možno: b) Q ne povezuje dveh točk na Fermijevi površini, kar pomeni da preidejo fermioni z nizko energijo v vzbujena stanja in je kritično obnašanje podobno tistemu v izolatorjih. c) Q povezuje točke v (d 2) dimenzionalnem prostoru, kar povzroči dušenje nihajnih načinov ureditvenega parametra kot posledico razpada v delec-vrzel pare. d) Za t.i. popolno gnezdenje (ang.: perfect nesting) Q povezuje dele Fermijeve površine in prehod se zgodi pri zanemarljivo majhni sklopitvi. Efektivna sklopitev med fluktuacijami ureditvenega parametra in nizko-energijskimi elektroni se pojavi tudi pri superprevodnikih, za katere Fermijeva površina obstaja, vendar ni (d 1) dimenzionalna (npr. 2D superprevodnik).[17, 18]. V. ZAKLJUČEK Ogledali smo si nekaj osnovnih lastnosti kvantnih faznih prehodov ter njihovo povezavo s klasičnimi prehodi, ki je seveda mogoča le v izjemnih primerih. Kljub temu, da so kvantni fazni 2 Ang.: Boundary transition. 3 Ang.: Gapless fermions. Gapless ekscitacije so zelo redke v naravi. Te ekscitacije so posledica spontanega zloma simetrije [14], ali kvantne urejenosti [15]. Zlom simetrije da gapless bozone, medtem ko kvantna urejenost lahko da gapless fermione ali gauge bozone - to so fotoni, gluoni, Z in W bozoni - nosilci interakcije v standardnem modelu.

13 Seminar I a Kvantni fazni prehod 13 prehodi vezani na temperaturo T = 0 K, se posledice kvantnih faznih prehodov kažejo tudi pri neničelnih temperaturah na kvantnem kritičnem območju. Prav tako smo predstavili nekaj osnovnih modelov in nakazali smernice za kvantne prehode v snoveh, kjer se pojavijo sklopitve med fluktuacijami in nizko-energijskimi fermioni. Teoretičen opis kvantnih faznih prehodov se začne z identifikacijo ureditvenega parametra. Analitično študijo lahko nadaljujemo s teorijo Landau- Ginzburg-Wilson: s pomočjo popotnih integralov se znebimo vseh prostostnih stopenj sistema, razen fluktuacij ureditvenega parametra. Dobljena teorija je odvisna le od ureditvenega parametra in temelji na simetrijskih lastnostih sistema, zato je le-ta precej univerzalna. Univerzalnost je tudi posledica samopodobnosti sistema, saj v okolici kritične točke postane sistem samopodoben (pri kristalih do reda medmrežne razdalje). Obstoj kvantnega faznega prehoda nam nakazuje singularno obnašanje gostote proste energije kot funkcija danega parametra. Seveda so na voljo tudi drugi pristopi. V zadnjih letih je razmah eksperimentalnih raziskav kvantnega kritičnega območja v sistemih kot so: visoko-temperaturni supreprevodniki, kvantni Hallov sistem, kvantni magneti, atomski plini, materialni iz težkih fermionov. Razumevanje kvantnih faznih prehodov in kvantnega kritičnega območja nam bo omogočalo obravnavo koreliranih sistemov s sklopitvijo, ki ni ne močna, ne šibka. Seveda je do tja še dolga pot. [1] Sondhi S. L., Girvin S. M., Carini J. P., Shahar D., Rev. Mod. Phys. 69, 315 (1997). [2] Vojta M., Rep. Prog. Phys. 66, 2069 (2003). [3] Bitko D., Rosenbaum T. F., Aeppli G., Phys. Rev. Lett. 77, 940 (1996). [4] Dagotto E., Rev. Mod. Phys. 66, 763 (1994). [5] Sachdev S., Science 288, 475 (2000). [6] Kravchenko S. V., Mason W. E., Bowker G. E., Furneaux J. E., Pudalov V. M., D Iorio M., Phys. Rev. B 51, 7038 (1995). [7] Goldenfeld N., Lectures on phase transitions and the renormalization group. (1992). [8] Mott N. F., Metal Insulator Transitions (London: Taylor and Francis), (1990). [9] Widom B., J. Chem. Phys. 43, 3892 (1965). [10] Chakravarty S., Halperin B. I., Nelson D. R., Phys. Rev. Lett. 60, 1057 (1988), Phys. Rev. B 39, 2344 (1989). [11] Zhu L., Garst M., Rosch A., Si Q., Phys. Rev. Lett 91, (2003). [12] Brezin E., Zinn-Justin J., Phys. Rev. B 14, 3110 (1976). [13] Berry M. V., Proc. R. Soc. Lond. A 392, 45 (1984). [14] Nambu Y., Phys. Rev. Lett. 4, 380 (1960). [15] Wen X.-G., Phys. Rev. B 65, (2002). [16] Subir Sachdev, Quantum criticality: Competing ground states in low dimensions., (Science, 2000). [17] Wilson K. G., Rev. Mod. Phys. 47, 773 (1975). [18] Belitz D., Kirkpatrick T. R., Mercaldo M. T., Sessions S. L., Phys. Rev. B 63, (2001).