Block Design Interaction

Transcript

1 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Block Desgn Interacton Κι κ Σχεδισμός ΚΑΤΣΟΥΓΚΡΑΚΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΣΤΑΥΡΟΣ ΓΟΥΤΣΟΣ ΠΑΤΡΑ 008

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Τυχί διγράμμτ κουτιών, latn squares (μετβλητές) κι. 3 σχετικά διγράμμτ. - Το υπόδειγμ τυχίς συμπλήρωσης κουτιών Σττιστική Ανάλυση Έλεγχος κτλληλότητς του μοντέλου. -.3 Κάποιες άλλες όψεις του Υποδείγμτος Τυχίς Συμπλήρωσης 6 Τετργώνων - Το Υπόδειγμ των Λτινικών Τετργώνων. 0-3 Το Ελληνο Λτινικό υπόδειγμ τετργώνου Ατελή υποδείγμτ εξισορροπημένων τετργώνων Σττιστική Ανάλυση Εκτίμηση των Πρμέτρων με τη Μέθοδο των ελχίστων τετργώνων Ανάκτηση των ενδιάμεσων πληροφοριών στο Ατελές Υπόδειγμ..45 Εξισορρόπησης Τετργώνων. Εισγωγή σε Πργοντικά Υποδείγμτ Βσικοί ορισμοί κι ρχές Το πλεονέκτημ των πργοντικών.54-3 Το πργοντικό υπόδειγμ δύο πργόντων Έν πράδειγμ Σττιστική Ανάλυση του μοντέλου στθερών επιδράσεων Έλεγχος κτλληλότητς του μοντέλου Επιλογή του μεγέθους του δείγμτος Η υπόθεση της μη συσχέτισης σε έν υπόδειγμ δύο πργόντων Μί πρτήρηση νά κελί.7-4 Το γενικό πργοντικό υπόδειγμ 74-5 Περιορισμοί σε έν πργοντικό υπόδειγμ 8.6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.87

3 Κεφάλιο. Τυχί διγράμμτ κουτιών, latn squares (μετβλητές) κι σχετικά διγράμμτ. - Το υπόδειγμ τυχίς συμπλήρωσης κουτιών Σε κάθε πείρμ, η δικύμνση που προκύπτει πό ένν στθερό (nusance) πράγοντ μπορεί ν επηρεάσει τ ποτελέσμτ. Γενικά, ορίζουμε ένν στθερό πράγοντ ως ένν πράγοντ του υποδείγμτος που πιθνόττ σκεί επίδρση στο ποτέλεσμ, λλά που δεν μς ενδιφέρει υτή η επίδρση. Μερικές φορές ο στθερός πράγοντς είνι άγνωστος κι μετβλητός, δηλδή, δεν γνωρίζουμε ότι ο πράγοντς υπάρχει κι μπορεί κόμ κι ν λλάζει τιμή ότν διεξάγουμε το πείρμ. Η δημιουργί συνθηκών τυχιότητς (randomzaton) είνι η τεχνική σχεδίσης που χρησιμοποιείτι γι την προστσί ενάντι σε τέτοιου είδους στθερούς πράγοντες. Σε άλλες περιπτώσεις, ο στθερός πράγοντς είνι γνωστός λλά μετβλητός. Αν μπορούμε έστω ν πρτηρήσουμε την τιμή που πίρνει ο στθερός πράγοντς σε κάθε εφρμογή του πειράμτος, τότε μπορούμε ν τον συμψηφίσουμε στην σττιστική νάλυση χρησιμοποιώντς την νάλυση της συνδικύμνσης. Ότν ο στθερός πράγοντς της μετβλητότητς είνι γνωστός κι όχι μετβλητός, τότε μί τεχνική σχεδίσης που κλείτι σχέδιο κουτιών μπορεί ν χρησιμοποιηθεί γι ν περιοριστεί συστημτικά η επίδρσή του πάνω στις σττιστικές συγκρίσεις νάμεσ στις χρήσεις. Το σχέδιο κουτιών είνι μί εξιρετικά σημντική τεχνική σχεδίσης, που χρησιμοποιείτι σε σημντικό βθμό στον βιομηχνικό πειρμτισμό, κι είνι το θέμ του πρόντος κεφλίου. Γι ν διευκρινίσουμε τη γενική ιδέ, θεωρήστε ότι επιθυμούμε ν κθορίσουμε εάν τέσσερις διφορετικοί τύποι κμών (tps) πράγουν διφορετικά ποτελέσμτ σε έν τεστ σκληρότητς μις μηχνής. Έν πείρμ σν υτό μπορεί ν ποτελεί τμήμ μίς μελέτης γι ένν μετρητή ικνότητς. Η μηχνή τίθετι σε λειτουργί πιέζοντς την κμή (tp) μέσ σε έν μετλλικό κουπόνι ελέγχου (metal test coupon), κι πό το βάθος της προκλούμενης εσοχής, η σκληρότητ του κουπονιού μπορεί ν κθοριστεί. Το πείρμ έχει κθοριστεί ν μς δίνει τέσσερις πρτηρήσεις γι κάθε κμή (tp). Υπάρχει μόνο ένς πράγοντς τύπος κμής- κι έν μοντέλο τυχίς συμπλήρωσης νεξάρτητου-πράγοντ θ ποτελούντν πό τυχίο προσδιορισμό κάθε μίς πό τις 4 χ 46 εκτελέσεις σε μί πειρμτική μονάδ, όπως, το μετλλικό κουπόνι, κι πρτηρώντς τις ενδείξεις σκληρότητς που προκύπτουν. Συνεπώς, θ ήτν πρίτητ 6 διφορετικά μετλλικά κουπόνι ελέγχου γι υτό το πείρμ, έν γι κάθε μί εκτέλεση μέσ στο υπόδειγμ. Υπάρχει όμως έν ενδεχομένως σοβρό πρόβλημ με έν εντελώς τυχίο πείρμ σε υτού του τύπου το μοντέλο. Αν τ μετλλικά κουπόνι διφέρουν ελάχιστ ως προς την σκληρότητ, όπως μπορεί ν συμβεί ν ποκτηθούν πό ράβδους που έχουν κτσκευστεί σε διφορετικές θερμοκρσίες, τότε οι πειρμτικές μονάδες (τ κουπόνι) θ συντελέσουν στην μετβλητότητ που πρτηρείτι στ δεδομέν σκληρότητς. Σν ποτέλεσμ, το πειρμτικό λάθος θ έχει επιρροή κι στο τυχίο λάθος κι στην μετβλητότητ νάμεσ στ κουπόνι. Στόχος μς είνι ν ελχιστοποιήσουμε το πειρμτικό λάθος, δηλδή, ν εξλείψουμε τη μετβλητότητ μετξύ των κουπονιών πό το πειρμτικό λάθος. Έν μοντέλο που θ το εκπλήρωνε υτό πιτεί την πειρμτική δοκιμσί κάθε κμής (tp) σε κάθε έν πό τ τέσσερ κουπόνι. Αυτό το μοντέλο, που 3

4 προυσιάζετι στον Πίνκ -, κλείτι μοντέλο τυχίς συμπλήρωσης τετργώνων. Η πρτηρούμενη ντίδρση είνι η κλίμκ σκληρότητς C του Rockwell υξημένη κτά 40. Η λέξη «συμπλήρωση» (complete) δηλώνει ότι κάθε μπλοκ (κουπόνι) συμπεριλμβάνει όλες τις κμές (tps). Χρησιμοποιώντς υτό το μοντέλο, η μορφή των μπλοκ ή των κουπονιών γίνετι πιο ομοιογενής ως πειρμτική μονάδ στην οποί συγκρίνουμε τις κμές. Αποτελεσμτικά, υτή η στρτηγική μοντελοποίησης βελτιώνει την ορθότητ κι την κρίβει των συγκρίσεων νάμεσ στις κμές με το ν ελχιστοποιεί την μετβλητότητ νάμεσ στ κουπόνι. Μέσ σε έν μπλοκ, η σειρά με την οποί εξετάζετι η κθεμί πό τις τέσσερις κμές κθορίζετι τυχί. Το μοντέλο τυχίς συμπλήρωσης κουτιών είνι έν πό τ πιο ευρέως χρησιμοποιούμεν πειρμτικά μοντέλ. Τ φινόμεν κι οι κτστάσεις γι τ οποί το μοντέλο τυχίς συμπλήρωσης κουτιών είνι κτάλληλο είνι άπειρ. Οι μονάδες ελέγχου του εξοπλισμού κι των μηχνημάτων συχνά διφέρουν ως προς τ τεχνικά χρκτηριστικά τους κι θ μπορούσν ν ποτελέσουν έν τυπικό σύστημ κουτιών. Τ σύνολ κτέργστων υλικών, νθρώπων κι χρόνου είνι επίσης κοινές πηγές στθερών πργόντων μετβλητότητς σε έν πείρμ που μπορεί ν ελέγχετι συστημτικά μέσω του συστήμτος κουτιών. Το σύστημ κουτιών μπορεί επίσης ν είνι χρήσιμο κι σε κτστάσεις που δεν περιλμβάνουν στθερούς πράγοντες (nusance factors). Γι πράδειγμ, υποθέστε ότι ένς χημικός μηχνικός ενδιφέρετι ν βρει την επίδρση του ποσοστού της κτλυτικής τροφοδοσίς στην εσωτερική τριβή ενός πολυμερούς. Γνωρίζει ότι υπάρχουν πάρ πολλοί πράγοντες, όπως οι πηγές κτέργστων υλικών, χειριστών κι κθρότητς των κτέργστων υλικών που είνι πολύ δύσκολο ν ελεγχθούν με την διδικσί της ολοκληρωμένης κλίμκς. Γι υτό το λόγο ποφσίζει ν ελέγξει το ποσοστό της κτλυτικής τροφοδοσίς σε κουτιά, όπου κάθε κουτί ποτελείτι πό κάποιους συνδυσμούς υτών των νεξέλεγκτων πργόντων. Στην ουσί, χρησιμοποιεί τ κουτιά γι ν ελέγξει την ευρωστί της εξέλιξης των μετβλητών του (ποσοστό τροφοδοσίς) σε συνθήκες που δεν ελέγχοντι εύκολ. Γι περισσότερες πληροφορίες πάνω σε υτό το θέμ, βλέπε Coleman κι Montgomer. Πίνκς - Υπόδειγμ τυχίς συμπλήρωσης κουτιών γι το πείρμ του ελέγχου της σκληρότητς Τύπος Απόκομμ μηχνής Σττιστική Ανάλυση Υποθέστε ότι έχουμε, γενικά, a χρήσεις (treatments) που πρόκειτι ν συγκριθούν μετξύ τους κι κουτιά. Το μοντέλο τυχίς συμπλήρωσης κουτιών προυσιάζετι στην Εικόν -. Έχουμε μί πρτήρηση νά χρήση σε κάθε έν κουτί, κι η σειρά με την οποί οι χρήσεις (treatments) εκτελούντι μέσ σε κάθε κουτί κθορίζετι τυχί. Επειδή η μόνη τυχιότητ των χρήσεων βρίσκετι μέσ στ κουτιά, συχνά λέμε ότι τ κουτιά νπριστούν τη μείωση της τυχιότητς. 4

5 Το σττιστικό μοντέλο υτού του σχεδίου είνι:,,..., μ + τ + β + ε (-),,... Όπου μ είνι ένς συνολικός μέσος, τ είνι η επίδρση της χρήσης, β είνι η επίδρση του κουτιού, κι ε είνι το γνωστό NID (0, σ ) όρος τυχίου λάθους. Οι κτεργσίες κι τ κουτιά ρχικά θεωρούντι ως στθεροί πράγοντες. Περιτέρω, τ ποτελέσμτ των χρήσεων κι των κουτιών ορίζοντι ως ποκλίσεις πό τον συνολικό μέσο έτσι ώστε: τ 0 β 0 Κουτί Κουτί Κουτί a a a Εικόν - Το μοντέλο τυχίς συμπλήρωσης τετργώνων Μς ενδιφέρει ν ελέγξουμε την ισότητ νάμεσ στους μέσους των χρήσεων. Επομένως, οι ρχικές υποθέσεις είνι: H H 0 : μ μ : μ μ... μ / + μ τ ένς ισοδύνμος τρόπος γι ν γράψουμε τις πρπάνω υποθέσεις είνι σε όρους των ποτελεσμάτων των χρήσεων, δηλδή Εφόσον ο μέσος της χρήσης μ ( ) ( μ + τ + β ) H H 0 : τ τ : τ 0... τ Έστω το άθροισμ όλων των πρτηρήσεων που συγκεντρώθηκν πό την χρήση, το άθροισμ όλων των πρτηρήσεων στο τετράγωνο, το συνολικό άθροισμ όλων των πρτηρήσεων, κι Νa ο συνολικός ριθμός των πρτηρήσεων. Αν το εκφράσουμε μθημτικά έχουμε, 5

6 .,,K (-).,, K (-3) κι.... (-4) Πρόμοι,. είνι ο μέσος όρος των πρτηρήσεων που ποκτήσμε με την υπόθεση, είνι ο μέσος όρος των πρτηρήσεων του τετργώνου (κουτιού) κι... είνι ο συνολικός μέσος όρος όλων των πρτηρήσεων. Δηλδή.. / / / N (-5) Μπορούμε ν εκφράσουμε το συνολικό άθροισμ τετργώνων ως (.. ) [ (... ) + (... ) + ( )] (-6) Επεκτείνοντς το δεξί σκέλος της Εξίσωσης -6, πίρνουμε (.. ) (... ) + (... ) + ( ) (... )( ) ( )( ) ( )( + ) Απλά λλά με πολλές πράξεις η άλγεβρ ποδεικνύει ότι κι τ τρί γινόμεν των νυσμάτων είνι μηδέν. Επομένως, a ( ) ( ) ( ) a.. + a ( ) (-7) 6

7 νπριστά μί κτάτμηση του συνολικού θροίσμτος των τετργώνων. Εκφράζοντς τ θροίσμτ των τετργώνων της εξίσωσης -7 με συμβολισμούς έχουμε + + (-8) T Treatments Blocks Εφόσον έχουμε Ν πρτηρήσεις, T έχει Ν- βθμούς ελευθερίς. Υπάρχουν a χρήσεις κι τετράγων, έτσι Treatments κι Blocks έχουν a- κι - βθμούς ελευθερίς, ντίστοιχ. Το σφάλμ του θροίσμτος των τετργώνων είνι πλώς έν άθροισμ των τετργώνων μετξύ των κελιών μείον το άθροισμ των τετργώνων των χρήσεων κι των τετργώνων. Υπάρχουν a κελιά με a- βθμούς ελευθερίς νάμεσά τους, έτσι το έχει a- (a-)-(-)(a-)(-) βθμούς ελευθερίς. Περιτέρω, οι βθμοί ελευθερίς στο δεξί μέρος της Εξίσωσης 5-8 προστίθεντι στο σύνολο στ ριστερά. Συνεπώς, κάνοντς τις γνωστές υποθέσεις κνονικότητς πάνω στ σφάλμτ, ν δείξουμε ότι Treatments /σ, Blocks /σ κι /σ είνι τυχίες μετβλητές της νεξάρτητης κτνομής των τετργώνων. Κάθε άθροισμ των τετργώνων διιρεμένο με τους βθμούς ελευθερίς του είνι ένς μέσος τετργώνων. Η νμενόμενη τιμή των μέσων τετργώνων, ότν οι χρήσεις κι τ τετράγων πρμένουν στθερά, μπορεί ν ποδειχθεί ότι ισούτι με ( ) Treatments σ a τ + ( ) Blocks σ + a β ( ) σ Επομένως, γι ν εξετάσουμε την ισότητ των μέσων των χρήσεων, θ χρησιμοποιούσμε το σττιστικό τεστ F 0 Treatments το οποίο κτνέμετι ως F a-(s-)(-) ν ισχύει η υπόθεση μηδενικότητς. Η κρίσιμη περιοχή είνι το άνω τμήμ της F-κτνομής, κι θ πορρίπτμε την H 0 εάν F 0 >F a.a- (a-)(-). Μπορεί επίσης ν μς ενδιφέρει ν συγκρίνουμε τους μέσους των τετργώνων, εφόσον υτοί οι μέσοι δεν έχουν μεγάλες διφορές, γιτί ο σχημτισμός τετργώνων μπορεί ν μην είνι πρίτητος σε επόμεν πειράμτ. Από τις νμενόμενες τιμές των μέσων τετργώνων, φίνετι ότι η υπόθεση H 0 : β 0 μπορεί ν ελεγχθεί με το ν συγκρίνουμε το σττιστικό F 0 Blocks / με το F a.a-(a-)(-). Ωστόσο, θυμηθείτε ότι η τυχιότητ έχει εφρμογή μόνο στις χρήσεις μέσ στ τετράγων, που σημίνει ότι τ τετράγων νπριστούν την μείωση της τυχιότητς. Τι επίδρση θ έχει υτό στο σττιστικό τεστ F 0 Blocks / ; Σε υτή την ερώτηση υπάρχουν κάποιες διφορές ως προς τις πντήσεις που έχουν δοθεί. Γι πράδειγμ, οι Box, Hunter 7

8 κι Hunter (978) επισημίνουν ότι η συνήθης νάλυση του τετργώνου τυπικής πόκλισης F-test μπορεί ν δικιολογηθεί στη βάση της τυχιότητς μόνο, χωρίς άμεση χρήση της υπόθεσης της κνονικότητς. Περιτέρω πρτηρούν ότι το τεστ γι την σύγκριση μέσων τετργώνων δεν μπορεί ν προσφύγει σε τέτοι ιτιολογί λόγω της μείωσης της τυχιότητς. Αλλά εάν τ σφάλμτ είνι NID (ο,σ ), τότε, το σττιστικό τεστ F 0 Blocks / μπορεί ν χρησιμοποιηθεί γι την σύγκριση των μέσων των τετργώνων. Από την άλλη μεριά, οι Anderson κι McLean (974) διφωνούν στο ότι η μείωση της τυχιότητς εμποδίζει υτό το σττιστικό τεστ στο ν είνι σημντικό γι την σύγκριση των τετργωνικών μέσων κι ότι το F σττιστικό τεστ είνι πργμτικά έν τεστ γι την εξίσωση των τετργωνικών μέσων με τη μείωση της τυχιότητς (το οποίο ποκλούν τυχίο λάθος, γι περιτέρω λεπτομέρειες βλέπε Anderson κι McLean (974)). Οπότε τίθετι το ερώτημ τι κάνουμε στην πράξη; Από την στιγμή που η υπόθεση της κνονικότητς συχνά μφισβητείτι, γι ν δούμε το F 0 Blocks / τεστ ως έν F σττιστικό τεστ γι την εξίσωση των τετργωνικών μέσων δεν θεωρείτι γενικά ως κλή πρκτική. Γι υτόν τον λόγο, εξιρούμε υτό το F τεστ πό την νάλυση στον πίνκ δικύμνσης. Ωστόσο, σν μί διδικσί προσέγγισης στον έλεγχο της επίδρσης της μετβλητής τετργώνων (lockng varale), χρησιμοποιούμε τον λόγο του Blocks / που είνι μί λογική προσέγγιση. Αν υτός ο λόγος είνι μεγάλος, συνεπάγετι ότι ο πράγοντς του τετργώνου (lockng factor) έχει μεγάλη επίδρση κι ότι η μείωση του θορύβου που ποκτάτι με το ν τετργωνίσουμε πιθνόττ ν ήτν σημντικός στην βελτίωση της κρίβεις στην σύγκριση των μέσων των τετργώνων (treatment means). Η διδικσί συνήθως συγκεντρώνετι στην νάλυση του πίνκ δικύμνσης, όπως υτό που προυσιάζετι στον Πίνκ -. Ο υπολογισμός κνονικά θ γινότν με την χρήση του κτάλληλου σττιστικού πκέτου (λογισμικού). Ωστόσο, μπορούμε κι χωρίς υτό ν υπολογίσουμε τ θροίσμτ των μέσων των τετργώνων με τη χρήση των κτάλληλων τύπων γι τ στοιχεί της Εξίσωσης -7 εκφράζοντς τ σε όρους πργόντων (treatment) κι θροίσμτ τετργώνων. Αυτοί οι τύποι υπολογισμού είνι T.. N (.9) Πίνκς - Ανάλυση δικύμνσης γι το υπόδειγμ τυχίς συμπλήρωσης κουτιών. Πηγή Άθροισμ Βθμοί Τετργωνικός F 0 Δικύμνσης τετργώνων ελευθερίς μέσος Μετβλητές Treatments Τετράγων Blocks Σφάλμ ( a )( ) Σύνολο N Treatments a Blocks a ( )( ) Treatments 8

9 Treatmeants... N (-0) Blocks a... N (-) κι το μέσο τετργωνικό σφάλμ προκύπτει με φίρεση ως κολούθως (-) T Treatments Blocks Πράδειγμ - Θεωρήστε το πείρμ γι τον έλεγχο της σκληρότητς που περιγράψμε στο Τμήμ -. Υπάρχουν τέσσερις κμές (tps) κι τέσσερ διθέσιμ μετλλικά κουπόνι. Κάθε κμή ελέγχετι μί φορά σε κάθε έν κουπόνι, κι τ ποτελέσμτ προυσιάζοντι σε έν μοντέλο τυχίς συμπλήρωσης κουτιών. Τ δεδομέν που ποκτώντι επνλμβάνοντι γι ευκολί στον Πίνκ -3. Πίνκς -3. Υπόδειγμ τυχίς συμπλήρωσης κουτιών γι το πείρμ ελέγχου σκληρότητς. Κουπόνι (Block) Τύπος μηχνής Θυμηθείτε ότι η σειρά με την οποί ελέγχθηκν οι κμές σε έν συγκεκριμένο κουπόνι είχε κθοριστεί τυχί. Γι ν πλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, κωδικοποιούμε τ ρχικά δεδομέν φιρώντς το 9.5 πό κάθε πρτήρηση κι πολλπλσιάζοντς το ποτέλεσμ με 0. Αυτές οι πράξεις ποφέρουν τ δεδομέν του Πίνκ -4. Πίνκς -4. Κωδικοποιημέν ρχεί γι το πείρμ ελέγχου σκληρότητς. Κουπόνι (Block) Τύπος μηχνής

10 Τ θροίσμτ των τετργώνων ποκτώντι ως κολούθως: T N Treatmeants ( 0) N [() () ( ) ( )] ( 0) Blocks 4 a... N 4 [( ) ( ) ( ) ( ) ] ( 0) T Treatments Blocks Η νάλυση της δικύμνσης προυσιάζετι στον Πίνκ -5. Χρησιμοποιώντς 0.05, η σττιστική τιμή (crtcal value) του F είνι F 0.05, Εφόσον 4.44 > 3.86, συμπερίνουμε ότι ο τύπος της κμής επηρεάζει τον μέσο της ένδειξης της σκληρότητς. Η P- τιμή του τεστ είνι επίσης μικρή. Επίσης, τ κουπόνι (κουτιά) φίνετι ότι διφέρουν σημντικά, εφόσον ο μέσος των τετργώνων των κουτιών είνι μεγάλος σχετικά με το σφάλμ. Πίνκς -5. Ανάλυση της δικύμνσης γι το πείρμ ελέγχου σκληρότητς. Πηγή Άθροισμ Βθμοί Τετργωνικός F 0 Τιμή P Δικύμνσης τετργώνων ελευθερίς μέσος Μετβλητές Τετράγων Σφάλμ Σύνολο Προυσιάζει ενδιφέρον ν πρτηρήσουμε τ ποτελέσμτ που θ ποκτούσμε ν δεν γνωρίζμε το μοντέλο τυχίων κουτιών. Υποθέστε ότι θ χρησιμοποιούσμε τέσσερ κουπόνι, προσδιορίζοντς τυχί τις κμές στο κθέν, κι (κτά τύχη) το ίδιο μοντέλο θ είχε τ ποτελέσμτ του Πίνκ -3. Η λνθσμένη νάλυση υτών των δεδομένων σν μοντέλο τυχίς συμπλήρωσης κουτιών προυσιάζετι στον Πίνκ -6. Εφόσον F 0.05, 3, 3.49, η υπόθεση της ισότητς των μέσων των μετρήσεων της σκληρότητς πό τις τέσσερις κμές δεν μπορεί ν πορριφθεί. 0

11 Συνεπώς, το μοντέλο τυχίς συμπλήρωσης κουτιών μειώνει τον θόρυβο στ δεδομέν ρκετά γι τις διφορές που εντοπίζοντι νάμεσ στις τέσσερις κμές. Πίνκς -6 Λνθσμένη νάλυση του πειράμτος ελέγχου σκληρότητς ως υπόδειγμ τυχίς συμπλήρωσης κουτιών. Πηγή Άθροισμ Βθμοί Τετργωνικός F 0 Δικύμνσης τετργώνων ελευθερίς μέσος Τύπος μηχνής Σφάλμ Σύνολο Το μοντέλο του θροίσμτος των τετργώνων που νφέρθηκε στην νάλυση της δικύμνσης ποτελείτι πό το άθροισμ των τετργώνων των μετβλητών (treatment) συν το άθροισμ των τετργώνων των κουτιών, δηλδή, Model TpTpe + Block Οι διάφορες πηγές δικύμνσης που προέρχοντι πό τους τύπους των κμών κι των κουτιών μπορούν επίσης ν προκύψουν κι πό τ ένν υπολογιστή. Πρτηρήστε ότι ο τύπος Ι κι τύπος ΙΙΙ των θροισμάτων των τετργώνων γι υτούς τους δύο πράγοντες είνι κριβώς ο ίδιος, όπως θ είνι πάντ στην περίπτωση των ελεγχόμενων δεδομένων. Το R γι υτό το μοντέλο, υπολογίζετι ως εξής R Model T Συνεπάγετι ότι περίπου 94 % της μετβλητότητς των δεδομένων ερμηνεύετι πό το μοντέλο (π.χ. οι τύποι των κμών κι τ κουτιά). Αυτό σημίνει ότι το μοντέλο είνι μί πολύ κλή προσρμογή στ δεδομέν. Τ υπόλοιπ (κτάλοιπ) προυσιάζοντι στο τέλος των ποτελεσμάτων του υπολογιστή. Υπολογίζοντι ως κολούθως e κι, όπως θ δείξουμε ργότερ, οι τιμές εκτίμησης είνι. +..., έτσι e (-3) Στο επόμενο Τμήμ, θ δείξουμε πώς τ κτάλοιπ χρησιμοποιούντι στο υπόδειγμ ελέγχου της κτλληλότητς.

12 Πολλπλές συγκρίσεις. Αν οι μετβλητές (treatments) σε έν υπόδειγμ τυχίων κουτιών είνι στθερές, κι η νάλυση δείχνει σημντική διφορά στους μέσους των μετβλητών, τότε το πείρμ στρέφετι σε πολλπλές συγκρίσεις γι ν βρει τους μέσους των μετβλητών που διφέρουν. Γι πράδειγμ, ν επιθυμούμε ν χρησιμοποιήσουμε το Duncan τεστ πολλπλών βθμών, το στθερό σφάλμ του μέσου μίς μετβλητής είνι S. -. Έλεγχος κτλληλότητς του μοντέλου Προηγουμένως συζητήσμε την σημντικότητ του ελέγχου της κτλληλότητς του υποτιθέμενου μοντέλου. Γενικά, θ πρέπει ν είμστε έτοιμοι γι ενδεχόμεν προβλήμτ με την υπόθεση της κνονικότητς, διάφορ σφάλμτ δικύμνσης με τη μετβλητή ή το κουτί, κι την λληλεπίδρση μετβλητής-κουτιού. Όπως κι στο υπόδειγμ τυχίς συμπλήρωσης, η νάλυση κτλοίπων είνι το κύριο εργλείο που χρησιμοποιείτι σε υτόν τον διγνωστικό έλεγχο. Τ κτάλοιπ γι το υπόδειγμ τυχίων κουτιών στο Πράδειγμ - προυσιάζοντι στο κάτω μέρος του SAS των ποτελεσμάτων στην Εικόν -. Εικόν - Yπόδειγμ τυχίων κουτιών στο Πράδειγμ -

13 Τ κωδικοποιημέν κτάλοιπ θ βρισκότν πολλπλσιάζοντς υτά τ κτάλοιπ με 0. Οι πρτηρήσεις, τελικές τιμές, κι τ κτάλοιπ γι τ κωδικοποιημέν δεδομέν του ελέγχου σκληρότητς του Πρδείγμτος - έχουν ως κολούθως: ) e Έν κνονικό διάγρμμ πιθνότητς κι έν διάγρμμ δισποράς υτών των κτάλοιπων προυσιάζοντι στην Εικόν -3. Δεν υπάρχει κάποι σημντική ένδειξη μη κνονικότητς. Η Εικόν -4 δείχνει διγράμμτ των κτάλοιπων νά τύπο κμής ή μετβλητής (treatment) κι νά κουπόνι ή κουτί. Αυτά τ διγράμμτ θ μπορούσν ν είνι, ενδεχομένως, πολύ κττοπιστικά. Αν υπάρχει μεγλύτερη δισπορά στ κτάλοιπ γι μί συγκεκριμένη κμή, υτό θ μπορούσε ν δηλώνει ότι υτή η κμή πράγει περισσότερ ποτελέσμτ κνόνιστης σκληρότητς πό ότι οι άλλες. Μεγλύτερη δισπορά στ κτάλοιπ γι έν συγκεκριμένο κουπόνι ελέγχου θ μπορούσε ν δηλώνει ότι το κουπόνι δεν ποτελείτι πό ομοιόμορφη σκληρότητ. 3

14 Εικόν -3. Κνονικό διάγρμμ πιθνότητς διάγρμμ δισποράς των κτάλοιπων του Πρδείγμτος -. 4

15 Εικόν -4. διγράμμτ των κτάλοιπων νά τύπο κμής ή μετβλητής (treatment) κι νά κουπόνι ή κουτί. Εικόν -5. Διάγρμμ κτάλοιπων νά ) γι το Πράδειγμ -. Η Εικόν -4 δεν πρέχει κμί ένδειξη μετβλητότητς της δικύμνσης νά μετβλητή ή νά τετράγωνο. Η Εικόν -5 νπριστά τ κτάλοιπ νά τελική τιμή ). Δεν θ έπρεπε ν υπάρχει κμί σχέση νάμεσ στο μέγεθος των κτλοίπων κι τις τελικές τιμές ). Αυτό το διάγρμμ δεν εμφνίζει τίποτ το συνήθιστο. Μερικές φορές το διάγρμμ των κτλοίπων νά ) έχει έν κμπυλόγρμμο σχήμ, γι πράδειγμ, μπορεί ν υπάρχει μί τάση τ ρνητικά κτάλοιπ ν 5

16 εμφνίζοντι με χμηλές ) τιμές, τ θετικά κτάλοιπ με ενδιάμεσες ) τιμές κι ρνητικά κτάλοιπ με υψηλές ) τιμές. Αυτού του είδους το πράδειγμ είνι ενδεικτικό λληλεπίδρσης μετξύ των τετργώνων κι των μετβλητών. Αν υτό το πράδειγμ συμβεί, θ πρέπει ν χρησιμοποιηθεί ένς μετσχημτισμός σε μί προσπάθει περιορισμού ή μείωσης της λληλεπίδρσης. -.3 Κάποιες άλλες όψεις του Υποδείγμτος Τυχίς Συμπλήρωσης Τετργώνων. Αθροιστικότητ του Μοντέλου Τυχίων Τετργώνων. Το γρμμικό μοντέλο που έχουμε χρησιμοποιήσει γι το υπόδειγμ τυχίων τετργώνων μ + τ + β + ε ι είνι πλήρως θροιστικό. Αυτό σημίνει ότι, γι πράδειγμ, ν η πρώτη μετβλητή (treatment) προκλεί την νμενόμενη ντίδρση γι ν υξηθεί κτά πέντε μονάδες (τ 5) κι ν το πρώτο τετράγωνο υξάνει την νμενόμενη ντίδρση κτά δύο μονάδες (β ), τότε η νμενόμενη ύξηση που προκλείτι κι πό την μετβλητή (treatment ) κι πό το τετράγωνο μζί είνι ( ) μ + τι + βι μ μ + 7. Γενικά, η μετβλητή πάντ υξάνει την νμενόμενη ντίδρση κτά 5 μονάδες πρπάνω πό το άθροισμ του συνολικού μέσου κι της επίδρσης του τετργώνου. Αν κι υτό το πλό θροιστικό μοντέλο συχνά είνι πολύ χρήσιμο, υπάρχουν περιπτώσεις γι τις οποίες θεωρείτι νεπρκές. Υποθέστε, γι πράδειγμ, ότι συγκρίνουμε τέσσερις συνδυσμούς ενός χημικού προϊόντος χρησιμοποιώντς τέσσερις κτηγορίες κτέργστου υλικού. Οι κτηγορίες του κτέργστου υλικού θεωρούντι κουτιά. Αν μί μίνση στην κτηγορί επηρεάζει σημντικά τον συνδυσμό, με ποτέλεσμ μί εξιρετικά συνήθιστ χμηλή πόδοση, λλά δεν επηρεάζει τους υπόλοιπους συνδυσμούς, τότε πρτηρείτι μί συσχέτιση νάμεσ στους συνδυσμούς κι στις κτηγορίες. Πρόμοι, μπορούν ν πρτηρηθούν συσχετίσεις νάμεσ στις μετβλητές κι στ κουτιά ότν η ντίδρση μετριέτι σε λάθος κλίμκ. Συνεπώς, μί σχέση που είνι πολλπλάσι των ρχικών μονάδων, μς λέει ότι ( ) μτ β είνι γρμμική ή θροιστική σε λογριθμική κλίμκ εφόσον, γι πράδειγμ, ή ln ( ) ln μ + lnτι + ln β * * * * ( ) μ + τι + β Αν κι η συσχέτιση υτού του τύπου μπορεί ν περιοριστεί με ένν μετσχημτισμό, δεν ντιμετωπίζοντι τόσο εύκολ όλου του είδους οι συσχετίσεις.. Γι πράδειγμ, 6

17 οι μετσχημτισμοί δεν περιορίζουν την συσχέτιση συνδυσμού-κτηγορίς που νφέρθηκε προηγουμένως. Η νάλυση των κτλοίπων κι άλλες διγνωστικές διδικσίες ελέγχου μπορεί ν είνι πολύ χρήσιμες στον έλεγχο της θροιστικότητς. Αν πρτηρηθεί συσχέτιση, μπορεί ν επηρεάσει σημντικά κι πιθνόν ν κυρώσει την νάλυση της δικύμνσης. Γενικά, η προυσί της συσχέτισης επιδρά υξητικά στο μέσο τετργωνικό σφάλμ κι μπορεί ν επηρεάσει σημντικά την σύγκριση των μέσων των τετργώνων. Σε περιπτώσεις όπου κι οι δύο πράγοντες, όπως επίσης κι η πιθνή συσχέτισή τους, είνι εκτός ενδιφέροντος, πρέπει ν χρησιμοποιούντι υποδείγμτ πργόντων. Τυχίες μετβλητές (treatments) κι κουτιά. Πρόλο που έχουμε περιγράψει την διδικσί του ελέγχου θεωρώντς τις μετβλητές κι τ κουτιά ως στθερούς πράγοντες, η ίδι διδικσί νάλυσης χρησιμοποιείτι στην περίπτωση ν είτε οι μετβλητές είτε τ κουτιά (ή κι τ δύο) είνι τυχί. Σε υτήν την περίπτωση, φυσικά, υπάρχουν ντίστοιχες λλγές στην εξήγηση των ποτελεσμάτων. Γι πράδειγμ, ν τ κουτιά είνι τυχί, τότε νμένουμε οι συγκρίσεις μετξύ των μετβλητών (treatments) ν είνι οι ίδιες σε κάθε σημείο του συνόλου των κουτιών πό τ οποί υτά που χρησιμοποιήθηκν στο πείρμ είχν επιλεχθεί τυχί. Υπάρχουν επίσης ντίστοιχες λλγές στους νμενόμενους τετργωνικούς μέσους. Γι πράδειγμ, ν τ κουτιά είνι νεξάρτητες τυχίες μετβλητές με κοινή δικύμνση, τότε Ε ( Blocks ) σ + σ β, όπου σ β είνι η συνιστώσ της δικύμνσης των ποτελεσμάτων του κουτιού. Σε κάθε περίπτωση, ωστόσο, το ( Treatment ) είνι πάντ πλλγμένο πό οποιοδήποτε ποτέλεσμ του κουτιού, κι το σττιστικό τεστ γι την μετξύ των μετβλητών δικύμνση είνι πάντ F 0 Treatment /. Σε περιπτώσεις όπου τ κουτιά είνι τυχί, ν πρτηρείτι συσχέτιση μετβλητώνκουτιών, τότε το τεστ στους μέσους των μετβλητών δεν επηρεάζετι πό την συσχέτιση. Ο λόγος που συμβίνει υτό είνι ότι οι νμενόμενοι τετργωνικοί μέσοι γι τις μετβλητές κι γι τ σφάλμτ περιλμβάνουν την επίδρση της συσχέτισης. Συνεπώς, τ τεστ γι τις διφορές μετξύ των μέσων των μετβλητών μπορούν ν διεξχθούν όπως συνήθως συγκρίνοντς τους τετργωνικούς μέσους των μετβλητών με το μέσο τετργωνικό σφάλμ. Αυτή η διδικσί δεν ποφέρει κμί πληροφορί όσον φορά την συσχέτιση. Επιλογή μεγέθους δείγμτος. Η επιλογή του μεγέθους του δείγμτος, ή του ριθμού των κουτιών, είνι μί πολύ σημντική πόφση ότν χρησιμοποιούμε το υπόδειγμ των τυχίων κουτιών. Η ύξηση του ριθμού των κουτιών συνεπάγετι ύξηση του ριθμού των επνλήψεων κι του ριθμού των σφλμάτων κι των βθμών ελευθερίς, κάνοντς το υπόδειγμ πιο περίπλοκο. Γι την επιλογή του ριθμού των επνλήψεων που θ πργμτοποιηθεί το πείρμ, γι έν πείρμ τυχίς συμπλήρωσης νεξάρτητου-πράγοντ μπορεί ν εφρμοστεί πευθείς στο υπόδειγμ τυχίων κουτιών. Γι την περίπτωση του στθερού πράγοντ, οι λειτουργικές χρκτηριστικές κμπύλες είνι: Φ a τ σ 7

18 όπου υπάρχουν - στον ριθμητή βθμοί ελευθερίς κι (-)(-) στον πρνομστή βθμοί ελευθερίς. Αν ο πράγοντς είνι τυχίος, τότε: στ λ + σ όπου υπάρχουν - στον ριθμητή βθμοί ελευθερίς κι (-)(-) στον πρνομστή βθμοί ελευθερίς. Πράδειγμ - Θεωρήστε το πρόβλημ ελέγχου της σκληρότητς που περιγράψμε στο Πράδειγμ -. Υποθέστε ότι επιθυμούμε ν κθορίσουμε τον κτάλληλο ριθμό κουτιών ν ενδιφερόμστε ν δικρίνουμε μί πργμτική μέγιστη διφορά μετξύ των ποτελεσμάτων των μέσων της σκληρότητς πό 0.4 με μί υψηλή πιθνότητ, όπου μί λογική εκτίμηση της τυπικής πόκλισης πό τ σφάλμτ είνι σ 0.. (Αυτές οι τιμές δίνοντι σε πργμτικές μονάδες, θυμηθείτε ότι η νάλυση της δικύμνσης nd προυσιάστηκε με κωδικοποιημέν δεδομέν). Από την Εξίσωση Φ, η aσ ελάχιστη τιμή της Φ είνι (χρησιμοποιώντς το, τον ριθμό των κουτιών, γι n) D Φ aσ όπου D είνι η μέγιστη διφορά που επιθυμούμε ν δικρίνουμε. Συνεπώς, (0.4) Φ.0 (4)(0.) Αν χρησιμοποιήσουμε 3 κουτιά, τότε Φ.0.0(3). 45, κι υπάρχουν (-)(-) 3 () 6 βθμούς ελευθερίς σφλμάτων. Αν χρησιμοποιήσουμε ν -3 κι 0.05, δηλώνει ότι ο κίνδυνος β γι υτό το υπόδειγμ είνι κτά προσέγγιση 0.0 (ποτελεσμτικότητ -β 0.90). Αν χρησιμοποιήσουμε 4 κουτιά, τότε Φ.0.0(4). 83, με (-)(-) 3 (3) 9 βθμούς ελευθερίς σφλμάτων κι ο ντίστοιχος κίνδυνος β είνι κτά προσέγγιση 0.03 (ποτελεσμτικότητ -β 0.97). Είτε τρί είτε τέσσερ κουτιά θ έχουν ως ποτέλεσμ έν υπόδειγμ με υψηλή πιθνότητ εύρεσης της διφοράς μετξύ των μέσων των ποτελεσμάτων σκληρότητς που θ θεωρείτι σημντική. Εφόσον τ κουτιά είνι νέξοδ κι εύκολ διθέσιμ κι το κόστος του ελέγχου χμηλό, ο πειρμτιστής ποφσίζει ν χρησιμοποιήσει τέσσερ κουτιά. Υπολογισμός Απολεσθέντων Τιμών. Ότν χρησιμοποιούμε το υπόδειγμ τυχίς συμπλήρωσης κουτιών, μερικές φορές λείπει μί πρτήρηση πό έν κουτί. Αυτό μπορεί ν συμβίνει λόγω μέλεις ή λάθους ή γι διάφορους άλλους λόγους, όπως μί νπόφευκτη βλάβη σε μί πειρμτική μονάδ. Μί πολεσθείσ πρτήρηση εισάγει έν νέο πρόβλημ στην νάλυσή μς πό τη στιγμή που οι μετβλητές δεν είνι πλέον ορθογώνιες στ κουτιά, δηλδή κάθε μετβλητή δεν συμβίνει σε κάθε κουτί. Υπάρχουν δύο γενικές προσεγγίσεις στην περίπτωση της πολεσθείσς τιμής. Η πρώτη είνι μί νάλυση προσέγγισης στην οποί η πολεσθείσ πρτήρηση υπολογίζετι κι εφρμόζετι η 8

19 συνήθης νάλυση της δικύμνσης σν ν είνι η υπολογισθείσ πρτήρηση πργμτικό δεδομένο, υξάνοντς τους βθμούς ελευθερίς κτά έν. Αυτή η προσεγγιστική νάλυση είνι το θέμ του πρόντος εδφίου. Η δεύτερη είνι μί νάλυση κρίβεις, η οποί νλύετι στο Τμήμ -.4. Θεωρήστε ότι λείπει η πρτήρηση γι την μετβλητή στο κουτί. Συμβολίστε την πολεσθείσ πρτήρηση με χ. Γι ν γίνει κτνοητό, θεωρήστε ότι στο πείρμ ελέγχου της σκληρότητς του Πρδείγμτος - το δείγμ 3 κτστρεφότν ενώ εξετζότν η κμή κι έτσι δεν ποκτήθηκε υτό το δεδομένο σημείο. Αυτό το δεδομένο μπορεί ν προυσιστεί όπως φίνετι στον Πίνκ -7. Γενικά, θ θεωρήσουμε το ` ν νπριστά το συνολικό άθροισμ με μί πολεσθείσ πρτήρηση, ` ν νπριστά το σύνολο της μετβλητής με την πολεσθείσ πρτήρηση κι το ` ν είνι το σύνολο του κουτιού με την πολεσθείσ πρτήρηση. Θεωρήστε ότι θέλουμε ν υπολογίσουμε την πολεσθείσ πρτήρηση χ έτσι η χ θ έχει μί ελάχιστη συμβολή στο συνολικό τετργωνικό σφάλμ. Εφόσον a +....) (, υτό είνι ισοδύνμο με το ν επιλέγουμε το χ γι ν ελχιστοποιήσουμε a a a a ( ) ( ) + ( ) a a ή ' ' ' x (. + x) (. + x) + (.. + x) + R (-4) a a όπου το R περιλμβάνει όλους τους όρους που δεν συνδέοντι με το χ. Από το ' ' ' a d / dx 0, πίρνουμε x (-5) ( a )( ) ως μί εκτίμηση της πολεσθείσς πρτήρησης. Γι τ δεδομέν του Πίνκ -7, βρίσκουμε ότι `, `3 6 κι `4 7. Συνεπώς, πό την Εξίσωση -5, 4() + 4(6) 7 x 3. (3)(3) Η συνήθης νάλυση της δικύμνσης μπορεί τώρ ν εφρμοστεί χρησιμοποιώντς 3. κι μειώνοντς τους βθμούς ελευθερίς κτά έν. Η νάλυση της δικύμνσης προυσιάζετι στον Πίνκ -8. Μπορείτε ν συγκρίνετε τ ποτελέσμτ υτής της προσεγγιστικής νάλυσης με τ ποτελέσμτ που ποκτήσμε με όλ τ δεδομέν (Πίνκς -5). Στην περίπτωση που λείπουν ρκετές πρτηρήσεις, μπορούμε ν τις εκτιμήσουμε γράφοντς το συνολικό τετργωνικό σφάλμ ως συνάρτηση των πολεσθεισών τιμών, διφορίζοντς σε σχέση με κάθε τιμή, εξισώνοντς τ ποτελέσμτ με μηδέν, κι λύνοντς τις εξισώσεις που θ προκύψουν. Ενλλκτικά, μπορούμε ν χρησιμοποιήσουμε την Εξίσωση -5 επνληπτικά γι ν εκτιμήσουμε υτές τις τιμές. Γι ν διευκρινίσουμε την προσέγγιση της επνάληψης, υποθέστε ότι μς λείπουν δύο τιμές. Υπολογίστε υθίρετ την πρώτη τιμή, κι μετά χρησιμοποιείστε υτήν την τιμή μζί με τ υπόλοιπ πργμτικά δεδομέν κι κάνοντς χρήση της Εξίσωσης -5 υπολογίστε την δεύτερη τιμή. Τώρ η Εξίσωση -5 μπορεί ν χρησιμοποιηθεί γι ν ξνυπολογίσουμε την πρώτη τιμή πολεσθείσ τιμή, κι κολουθώντς υτή τη διδικσί η δεύτερη τιμή μπορεί ν υπολογισθεί εκ νέου. 9

20 Αυτή η διδικσί επνλμβάνετι έως ότου έλθει σύγκληση. Σε οποιοδήποτε πρόβλημ που λείπουν τιμές, οι βθμοί ελευθερίς μειώνοντι κτά έν γι κάθε πολεσθείσ πρτήρηση. Πίνκς -8 Προσεγγιστική νάλυση της δικύμνσης γι το Πράδειγμ. με Μι Απολεσθείσ Τιμή Πηγή Άθροισμ Βθμοί Τετργωνικός F 0 P-Τιμή Δικύμνσης τετργώνων ελευθερίς μέσος Τύπος Μηχνής Τετράγων Σφάλμ Σύνολο Το Υπόδειγμ των Λτινικών Τετργώνων Στο Τμήμ - είδμε το υπόδειγμ τυχίς συμπλήρωσης κουτιών σν έν υπόδειγμ γι ν μειώσουμε το σφάλμ των κτάλοιπων σε έν πείρμ πομκρύνοντς την μετβλητότητ σε μί γνωστή κι εξρτημένη μετβλητή. Υπάρχουν ρκετοί άλλοι τύποι υποδειγμάτων που χρησιμοποιούν το σύστημ των κουτιών. Γι πράδειγμ, υποθέστε ότι ένς πειρμτιστής μελετά τις επιδράσεις πέντε διφορετικών συνδυσμών του βθμού κύσης σε ένν πύρυλο εκτόξευσης που χρησιμοποιείτι στ συστήμτ διφυγής του πληρώμτος. Κάθε συνδυσμός ποτελείτι πό έν μίγμ πό έν κτέργστο υλικό που φτάνει γι τον έλεγχο πέντε μόνο συνδυσμών. Επίσης, οι συνδυσμοί προετοιμάζοντι πό πολλούς χειριστές κι έτσι μπορεί ν υπάρχουν ουσιώδης διφορές στις ικνότητες κι στην εμπειρί των χειριστών. Συνεπώς, θ υποθέτμε ότι υπάρχουν δύο πράγοντες κτλοίπων που πρέπει ν πομκρυνθούν στο υπόδειγμ: το κτέργστο υλικό κι οι χειριστές. Το κτάλληλο υπόδειγμ γι υτό το πρόβλημ ποτελείτι πό τον έλεγχο κάθε συνδυσμού κριβώς μί φορά σε κάθε δόση κτέργστου υλικού κι την ετοιμσί κάθε συνδυσμού υπάρχει κριβώς ένς χειριστής. Το υπόδειγμ των ποτελεσμάτων που ονομάζετι Υπόδειγμ των Λτινικών Τετργώνων προυσιάζετι στον Πίνκ -9. Πρτηρήστε ότι το υπόδειγμ είνι μί διάτξη τετργώνων, κι ότι οι πέντε συνδυσμοί συμβολίζοντι με τ λτινικά γράμμτ A, B, C, D, κι πό όπου προκύπτει κι το όνομ Λτινικό Τετράγωνο. Το υπόδειγμ των λτινικών τετργώνων χρησιμοποιείτι γι ν περιορίσουμε της πηγές της μετβλητότητς, επιτρέποντς τον περιορισμό προς δύο κτευθύνσεις. Συνεπώς, οι στήλες κι οι γρμμές νπριστούν δύο περιορισμούς της τυχιότητς. Γενικά, έν λτινικό τετράγωνο γι p πράγοντες, ή έν p x p λτινικό τετράγωνο, είνι έν τετράγωνο που περιλμβάνει p γρμμές κι p στήλες. Πίνκς -9. Κωδικοποιημέν ρχεί γι το πείρμ ελέγχου σκληρότητς. 0

21 Χειριστές Δέσμη Ακτέργστου Υλικού Α4 Β0 C9 D4 4 B7 C4 D30 7 A36 3 C8 D38 6 A7 B 4 D6 3 A6 B3 C 5 A30 B0 C9 D3 Κάθε έν πό τ ποτελέσμτ p περιλμβάνει έν πό τ p γράμμτ που ντποκρίνοντι στους συνδυσμούς, κι κάθε γράμμ συμβίνει μί φορά κι μόνο μί σε κάθε γρμμή κι κάθε στήλη. Μερικά πρδείγμτ του λτινικού τετργώνου προυσιάζοντι μέσως πρκάτω: 4 x 4 5 x 5 6 x 6 ABCD ADBC ADCBF BCAD DACB BACFD CDBA CBDA CDFAB DACB BACD DCFBA CDAB FBADC FBADC Το σττιστικό μοντέλο ενός λτινικού τετργώνου είνι,..., p k μ + ι + τ + k + ε k,,..., p (-6) k,... p όπου k είνι η πρτήρηση της γρμμής κι της κ στήλης γι τον συνδυσμό, το μ είνι ο συνολικός μέσος, είνι το ποτέλεσμ της γρμμής, τ είνι το ποτέλεσμ του συνδυσμού, β κ είνι το ποτέλεσμ της κ στήλης κι ε k είνι το τυχίο λάθος. Το υπόδειγμ είνι ολοκληρωτικά θροιστικό. Αυτό το συμπερίνουμε πρτηρώντς ότι δεν υπάρχει λληλοσυσχέτιση μετξύ γρμμών, στηλών κι μετβλητών. Εφόσον υπάρχει μόνο μί πρτήρηση σε κάθε κελί, μόνο δύο πό τους τρεις δείκτες είνι πρίτητος γι ν δηλώσουμε μί συγκεκριμένη πρτήρηση. Γι πράδειγμ, ν θυμηθούμε πάλι το πρόβλημ με τον πύρυλο εκτόξευσης του Πίνκ -9, ν I κι k 3 τότε υτόμτ βρίσκουμε ότι 4 (συνδυσμός D), κι ν κι 3 (συνδυσμός C) βρίσκουμε k 3. Αυτό είνι συνέπει του ότι κάθε μετβλητή εμφνίζετι κριβώς μί φορά σε κάθε γρμμή κι σε κάθε στήλη. Η νάλυση της δικύμνσης ποτελείτι πό το συνολικό άθροισμ των τετργώνων των Ν p πρτηρήσεων με συνδυσμούς γι γρμμές, στήλες, μετβλητές κι σφάλμτ, γι πράδειγμ, (-7) T Rows Coloumns με ντίστοιχους βθμούς ελευθερίς Treatments

22 p p + p + p + ( p )( p ) Κάτω πό την συνήθη υπόθεση ε k κολουθεί NID (0,σ ), κάθε άθροισμ τετργώνων στο δεξί σκέλος της Εξίσωσης -7 βρίσκετι με διίρεση με το σ, μί νεξάρτητης κτνομής Χ τυχί μετβλητή. Το κτάλληλο σττιστικό τεστ ότν δεν έχουμε διφορές στους μέσους των μετβλητών είνι F 0 Treatments Η οποί κτνέμετι ως F p,.(p )(p ) κάτω πό την υπόθεση της μηδενικότητς. Επίσης μπορούμε ν χρησιμοποιήσουμε το τεστ γι την νυπρξί επίδρσης των γρμμών κι των στηλών μορφοποιώντς την νλογί ROWS ή COLUMNS σε. Ωστόσο, επειδή οι γρμμές κι οι στήλες νπριστούν μείωση της τυχιότητς, υτά τ τεστ μπορεί ν μην είνι κτάλληλ. Η υπολογιστική διδικσί της νάλυσης της δικύμνσης προυσιάζετι στον Πίνκ -0. Από τους υπολογιστικούς τύπους των θροισμάτων των τετργώνων, βλέπουμε ότι η νάλυση είνι μί πλή επέκτση του υποδείγμτος των τυχίων κουτιών, όπου το άθροισμ των τετργώνων προκύπτει πό τις γρμμές που λμβάνουμε πό τ θροίσμτ των γρμμών. Πίνκς -0 Ανάλυση δικύμνσης γι το υπόδειγμ των Λτινικών Τετργώνων Πηγή Άθροισμ Βθμοί Τετργωνικός F 0 Δικύμνσης τετργώνων ελευθερίς μέσος Μετβλητές Treatments p Treatments F 0 p p.... p N Treatments Σειρές Raws p Στήλες Columns ( p ) Σφάλμ ( sutracton) ( p )( p ) Σύνολο... N Πράδειγμ -3 k k ( p ) Raws p Columns ( p ) ( p )( p ) Θεωρήστε το πρόβλημ της εκτόξευσης του πυρύλου που περιγράφηκε προηγουμένως, όπου κάθε μίγμ κτέργστου υλικού κι οι χειριστές νπριστούν τυχίες συσχετίσεις. Το υπόδειγμ γι υτό το πείρμ, που προυσιάστηκε στον Πίνκ -9, είνι έν 5 x 5 Λτινικό τετράγωνο. Αφού κωδικοποιήσουμε φιρώντς το 5 πό κάθε πρτήρηση, ποκτούμε τ δεδομέν του Πίνκ -.

23 Τ θροίσμτ των τετργώνων γι τ συνολικά μίγμτ (γρμμές) κι τους χειριστές (στήλες) υπολογίζοντι ως κολούθως... k k N (0) Blocks p p N (0) {( 4) } Operaton p p 5 k.. k... N (0) 5 {( 8) ( 4) } Τ θροίσμτ γι τις μετβλητές (Λτινικά γράμμτ) είνι Latn Letters Treatment Total A.. 8 B.. -4 C D.4. 4 D.5. 5 Τ θροίσμτ των τετργώνων που προκύπτουν πό τους τύπους υπολογίζοντι πό υτά τ θροίσμτ ως p... Formulaton.. p N 8 + ( 4) + ( 3) (0) Το μέσο τετργωνικό σφάλμ βρίσκετι πό την πρκάτω φίρεση T Blocks - Operators - Formulatons Η νάλυση της δικύμνσης συνοψίζετι στον Πίνκ -. Συμπερίνουμε ότι υπάρχει σημντική διφορά στο μέσο ποσοστό κύσης νάμεσ στους διφορετικούς συνδυσμούς πυρύλων εκτόξευσης. Υπάρχει επίσης μί ένδειξη ότι υπάρχουν διφορές νάμεσ στους χειριστές, οπότε το ν περιορίσουμε υτόν τον πράγοντ ήτν μί κλή προφύλξη. Δεν υπάρχουν ισχυρές ενδείξεις γι την ύπρξη διφορών νάμεσ στ μίγμτ του κτέργστου υλικού, οπότε φίνετι 3

24 ότι σε υτό το συγκεκριμένο πείρμ η ύπρξη νησυχίς γι πηγή μετβλητότητς δεν ήτν νγκί. Όπως σε κάθε πρόβλημ σχεδισμού, ο πειρμτιστής θ πρέπει ν ελέγξει την κτλληλότητ του μοντέλου διερευνώντς κι σχεδιάζοντς τ κτάλοιπ. Γι έν Λτινικό τετράγωνο τ κτάλοιπ δίνοντι ως κολούθως e k ) k k k +... Πίνκς - Κωδικοποιημέν δεδομέν γι το πρόβλημ εκτόξευσης πυρύλου. Δεσμίδες Χειριστές κτέργστου υλικού Α - B - 5 C - 6 D Β - 8 C - D 5 A 9 3 C - 7 D 3 A B D 6 A B C A 5 B - 5 C 4 D 6 7..k Πίνκς - Ανάλυση της μετβλητής γι το πείρμ εκτόξευσης πυρύλου. Πηγή Δικύμνσης Άθροισμ τετργώνων Βθμοί ελευθερίς Τετργωνικός μέσος F 0 P - Tιμή Διτυπώσεις Δεσμίδες κτέργστου υλικού Χειριστές Σφάλμ Σύνολο Πίνκς.3 Τυπικά Λτινικά Τετράγων κι ριθμός Λτινικών Τετργώνων ποικίλων μεγεθών Μέγεθος 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 pxp Πρδείγμτ τυπικών ABC ABCD ABCD ABCDF ABCDFG ABC P BCA BCDA BACD BCFAD BCDFGA BCD P 4

25 τετργώνων CAB CDAB CDAB CFBAD CDFGAB CD P DABC DBAC DABFC DFGABC. CDBA ADFCB FGABCD. FDCBA FGABCD GABCDF PAB (P-) Αριθμός Τυπικών Τετργώνων Τελικός ριθμός p!(p-)!x Λτινικών (Αριθμός Τυπικών Τετργώνων Τετργώνων) Ο μελετητής θ πρέπει ν βρει τ κτάλοιπ του Πρδείγμτος -3 κι κτσκευάσει κτάλληλ σχεδιγράμμτ. Έν Λτινικό τετράγωνο του οποίου η πρώτη γρμμή κι η πρώτη στήλη ποτελείτι πό τ γράμμτ τξινομημέν με λφβητική σειρά κλείτι τυπικό Λτινικό τετράγωνο. Το υπόδειγμ που χρησιμοποιήθηκε στο Πράδειγμ -4 είνι έν τυπικό Λτινικό τετράγωνο. Έν τυπικό Λτινικό τετράγωνο μπορεί πάντοτε ν προκύψει γράφοντς την πρώτη γρμμή με λφβητική σειρά κι μετά γράφοντς κάθε επιτυχή γρμμή ως τη γρμμή των γρμμάτων κριβώς πό επάνω μεττοπισμέν μί θέση προς τ ριστερά. Ο Πίνκς -3 προυσιάζει μί περίληψη διφόρων σημντικών πτυχών των Λτινικών τετργώνων κι των τυπικών Λτινικών τετργώνων. Όπως σε κάθε πειρμτικό υπόδειγμ, οι πρτηρήσεις στο Λτινικό τετράγωνο θ πρέπει ν ποκτηθούν με τυχί σειρά. Η κτάλληλη διδικσί τυχίς επιλογής είνι ν επιλέξουμε το συγκεκριμένο τετράγωνο κι ν το θεωρήσουμε τυχίο. Όπως πρτηρούμε στον Πίνκ -3 υπάρχει ένς μεγάλος ριθμός Λτινικών τετργώνων ενός συγκεκριμένου μεγέθους, οπότε είνι δύντον ν πριθμήσουμε όλ τ τετράγων κι ν επιλέξουμε έν τυχί. Η συνήθης διδικσί είνι ν επιλέξουμε έν Λτινικό τετράγωνο πό ένν πίνκ πρόμοιων υποδειγμάτων, όπως ο Fsher κι ο Yates (953), κι μετά ν κθορίσουμε την σειρά των γρμμών, των στηλών κι των γρμμάτων τυχί. Αυτή η διδικσί επεξηγείτι νλυτικά στο εγχειρίδιο των Fsher κι Yates (953). Μερικές φορές σε έν Λτινικό τετράγωνο συμβίνει ν λείπει μί πρτήρηση σε έν τετράγωνο. Γι έν p x p Λτινικό τετράγωνο, η τιμή που λείπει μπορεί ν υπολογιστεί ως κολούθως ' ' ' ' p( k )... k ( 8) ( p )( p ) Όπου το σύμβολο p δηλώνει τ θροίσμτ γι κάθε γρμμή, στήλη κι την μετβλητή με την πολεσθείσ τιμή κι ` είνι το ολικό άθροισμ με την τιμή που λείπει. Τ Λτινικά τετράγων μπορούν ν φνούν χρήσιμ σε περιπτώσεις όπου οι γρμμές κι οι στήλες νπριστούν πράγοντες που οι πειρμτιστές επιθυμούν ν μελετήσουν κι όπου δεν υπάρχουν μειώσεις της τυχιότητς. Συνεπώς, τρεις πράγοντες (γρμμές, στήλες κι γράμμτ) κάθε ένς σε p επίπεδ, μπορούν ν 5

26 νλυθούν σε μόλις p εκτελέσεις. Αυτό το υπόδειγμ υποθέτει ότι δεν υπάρχει συσχέτιση νάμεσ στους πράγοντες. Περιτέρω νφορά σε υτό το θέμ θ γίνει ργότερ στην νάλυση της συσχέτισης. Επνάληψη των Λτινικών τετργώνων (επνάληψη πειράμτος) Έν μειονέκτημ των μικρών Λτινικών τετργώνων είνι ότι μς πρέχουν ένν σχετικά μικρό ριθμό βθμών ελευθερίς των σφλμάτων. Γι πράδειγμ, έν 3 x 3 Λτινικό τετράγωνο, έχει μόνο δύο βθμούς ελευθερίς του σφάλμτος, έν 4 x 4 Λτινικό τετράγωνο έχει μόνο 6 βθμούς ελευθερίς του σφάλμτος κι ούτω κθεξής. Ότν χρησιμοποιούντι μικρά Λτινικά τετράγων είνι συχνά κλό ν τ επνλμβάνουμε γι ν υξήσουμε τους βθμούς ελευθερίς των σφλμάτων. Υπάρχουν πάρ πολλοί τρόποι επνάληψης ενός Λτινικού τετργώνου. Γι ν το διευκρινίσουμε, υποθέστε ότι το 5 x 5 Λτινικό τετράγωνο που περιγράψμε στο Πράδειγμ -3 επνλμβάνετι n φορές. Αυτό θ μπορούσε ν έχει γίνει ως κολούθως:. Ν χρησιμοποιήσουμε τ ίδι μίγμτ κι τους ίδιους χειριστές σε κάθε επνάληψη.. Ν χρησιμοποιήσουμε τ ίδι μίγμτ λλά διφορετικούς χειριστές σε κάθε επνάληψη (ή ισοδύνμ, ν χρησιμοποιήσουμε διφορετικά μίγμτ κι τους ίδιους χειριστές σε κάθε επνάληψη). 3. Ν χρησιμοποιήσουμε διφορετικά μίγμτ κι διφορετικούς χειριστές σε κάθε επνάληψη. Η νάλυση της δικύμνσης εξρτάτι πό τη μέθοδο της επνάληψης. Θεωρήστε την περίπτωση, όπου τ ίδι επίπεδ της κάθε γρμμής κι της κάθε στήλης των πργόντων χρησιμοποιούντι σε κάθε επνάληψη. Έστω k πρτήρηση στην γρμμή, μετβλητή, στήλη κ κι επνάληψη. Υπάρχουν Ν np συνολικές πρτηρήσεις. Η νάλυση της δικύμνσης προυσιάζετι στον Πίνκ -4. Τώρ θεωρήστε την περίπτωση, κι υποθέστε νέ μίγμτ κτέργστου υλικού λλά οι ίδιοι χειριστές χρησιμοποιούντι στην επνάληψη. Συνεπώς, υπάρχουν τώρ 5 νέες γρμμές, (γενικά, p νέες γρμμές) μέσ σε κάθε επνάληψη. Η νάλυση της δικύμνσης προυσιάζετι στον Πίνκ -5. Πρτηρήστε ότι η πηγή της δικύμνσης των γρμμών πργμτικά μετράει την δικύμνση νάμεσ στις γρμμές μέσ στις n επνλήψεις. Τέλος, θεωρήστε την περίπτωση 3, όπου χρησιμοποιούντι νέ μίγμτ κτέργστου υλικού κι νέοι χειριστές στην επνάληψη. Τώρ η δικύμνση που προκύπτει τόσο πό τις γρμμές όσο κι πό τις στήλες μετράει την πόκλιση που προκύπτει πό υτούς τους πράγοντες μέσ στις επνλήψεις. Η νάλυση της δικύμνσης προυσιάζετι στον Πίνκ -6. Υπάρχουν κι κάποιες άλλες προσεγγίσεις στην νάλυση της επνάληψης των Λτινικών τετργώνων που επιτρέπουν κάποιο βθμό λληλοσυσχέτισης νάμεσ στις μετβλητές κι στ τετράγων. Διστυρωμέν Υποδείγμτ κι Υποδείγμτ Εξισορρόπησης των Επιδράσεων των Κτλοίπων. Μερικές φορές, τυχίνει ν συνντάμε έν πρόβλημ στο οποίο οι χρονικές περίοδοι ποτελούν πράγοντ του πειράμτος. Γενικά, υπάρχουν p μετβλητές γι ν ελεγχθούν σε p χρονικές περιόδους χρησιμοποιώντς όλες τις πειρμτικές μονάδες. 6

27 7

28 Πίνκς -4. Ανάλυση δικύμνσης ενός επνλμβνόμενου λτινικού τετράγωνου. Περίπτωση Πηγή Δικύμνσης Άθροισμ τετργώνων Βθμοί ελευθερίς Τετργωνικός μέσος F 0 Μετβλητές np p N p - Treatments Treatments p Γρμμές np p N p - rows p Στήλες p p k.. k.... N p - Coloumns p Επνλήψεις p p t N n - Re plcants n Σφάλμ Αφίρεση (p )[n (p + ) 3] ( p )[ n( p + ) 3] Σύνολο... N np k 8

29 Πίνκς -5. Ανάλυση δικύμνσης ενός επνλμβνόμενου λτινικού τετράγωνου. Περίπτωση Πηγή Δικύμνσης Άθροισμ τετργώνων Βθμοί ελευθερίς Τετργωνικός μέσος F 0 Μετβλητές np p N p - Treatments Treatments p Γρμμές n p n... p p... n(p ) rows n( p ) Στήλες np p k.. k.... N p - Coloumns p Επνλήψεις p p t N n - Re plcants n Σφάλμ Αφίρεση (p )(np - ) ( p )( np ) Σύνολο... N np k 9

30 Πίνκς -6. Ανάλυση δικύμνσης ενός επνλμβνόμενου λτινικού τετράγωνου. Περίπτωση 3 Πηγή Δικύμνσης Άθροισμ τετργώνων Βθμοί ελευθερίς Τετργωνικός μέσος F 0 Μετβλητές np p N p - Treatments Treatments p Γρμμές n p n... p p... n(p ) rows n( p ) Στήλες n p n... p p... n(p ) Coloumns n( p ) Επνλήψεις p p t N n - Re plcants n Σφάλμ Αφίρεση (p )[n(p - )-] ( p )[ n( p ) ] Σύνολο... N np k 30

31 Λτινικά Τετράγων Ι ΙΙ ΙΙΙ IV V VI VII VIII IX Χ Άτομ Περίοδος Περίοδος A B B A B A A B A B B A A B A B A B A B B A A B A B B A B A A B B A B A B A B A Εικόν -6. Έν διστυρωμένο υπόδειγμ Γι πράδειγμ, ένς νλυτής της νθρώπινης πόδοσης μελετά την επίδρση δύο συμπληρωμτικών ρευστών της φυδάτωσης σε 0 άτομ. Στην πρώτη περίοδο, οι μισοί των τόμων (που επιλέγοντι τυχί) πίρνουν το ρευστό Α κι οι υπόλοιποι μισοί το ρευστό Β. Στο τέλος της περιόδου, μετριέτι η ντίδρση, φού πρώτ περάσει έν εύλογο διάστημ κτά το οποίο περιορίζετι οποιδήποτε φυσιολογική επίδρση του ρευστού. Έπειτ ο πειρμτιστής δίνει στ άτομ που πήρν το ρευστό Α ν πάρουν το ρευστό Β κι ντίστοιχ σε όσους πήρν το ρευστό Β ν πάρουν το ρευστό Α. Αυτό το υπόδειγμ κλείτι διστυρωμένο υπόδειγμ. Ανλύετι ως έν σύνολο 0 Λτινικών τετργώνων με δύο γρμμές (χρονικές περιόδους) κι δύο μετβλητές (τύποι ρευστών). Οι δύο στήλες σε κάθε έν πό τ 0 τετράγων ντιστοιχεί στ άτομ. Η δομή υτού του υποδείγμτος προυσιάζετι στην Εικόν -6. Πρτηρήστε ότι οι γρμμές στ Λτινικά τετράγων νπριστούν τις χρονικές περιόδους κι οι στήλες νπριστούν τ άτομ. Τ δέκ άτομ που πήρν το ρευστό Α πρώτ (, 4, 6, 7, 9,, 3, 5, 7 κι 9) κθορίστηκν τυχί. Μί σύντομη νάλυση της δικύμνσης προυσιάζετι στον Πίνκ -7. Το άθροισμ των τετργώνων γι κάθε άτομο υπολογίζετι όπως το διορθωμένο άθροισμ τετργώνων νάμεσ στ 0 συνολικά άτομ. Το περιοδικό άθροισμ τετργώνων είνι το διορθωμένο άθροισμ των τετργώνων μετξύ των γρμμών, κι το άθροισμ των τετργώνων των ρευστών υπολογίζετι όπως το διορθωμένο άθροισμ των τετργώνων μετξύ των συνόλων των γρμμάτων. Γι περιτέρω λεπτομέρειες της σττιστικής νάλυσης υτών των υποδειγμάτων, βλέπε Cochran κι Cox (957), John (97), κι Anderson κι McLean (974). Επίσης, είνι πιθνό ν χρησιμοποιήσουμε το υπόδειγμ του Λτινικού τετργώνου γι πειράμτ στ οποί οι μετβλητές επηρεάζοντι πό τ κτάλοιπ, όπως θ ήτν, γι πράδειγμ, ν τ δεδομέν γι το ρευστό Β στην περίοδο ντνκλούσν κόμ κάποι επίδρση του ρευστού Α που χορηγήθηκε στην περίοδο. Πίνκς -7 Ανάλυση της δικύμνσης γι το Διστυρωμένο Υπόδειγμ της Εικόνς -7 Πηγή δικύμνσης Βθμοί ελευθερίς Άτομ (στήλες) 9 Περίοδοι (γρμμές) Ρευστά (γράμμτ) Σφάλμ 8 Σύνολο 39 3

32 Τ υποδείγμτ που χρησιμοποιούντι γι την εξισορρόπηση των επιδράσεων των κτλοίπων νλύοντι λεπτομερέστερ πό τους Cochran κι Cox (957) κι πό τον John (97). -3 Το Ελληνο Λτινικό υπόδειγμ τετργώνου Θεωρήστε έν p x p Λτινικό τετράγωνο, κι τοποθετήστε σε υτό έν δεύτερο p x p Λτινικό τετράγωνο στο οποίο οι μετβλητές ορίζοντι με Ελληνικά γράμμτ. Αν τ δύο τετράγων ότν τοποθετούντι μζί έχουν το χρκτηριστικό κάθε Ελληνικό γράμμ ν εμφνίζετι μί κι μόνο μί φορά με κάθε Λτινικό γράμμ, τότε τ δύο Λτινικά τετράγων λέμε ότι είνι ορθογώνι, κι το υπόδειγμ που ποκτήσμε ονομάζετι Ελληνο Λτινικό Τετράγωνο. Έν πράδειγμ ενός 4 x 4 Ελληνο Λτινικού τετργώνου προυσιάζετι στον Πίνκ -8. Το υπόδειγμ του Ελληνο Λτινικού τετργώνου μπορεί ν χρησιμοποιηθεί γι τον συστημτικό έλεγχο τριών πηγών εξωτερικής δικύμνσης, δηλδή, ν βάλουμε μπλοκ σε τρεις κτευθύνσεις. Το υπόδειγμ επιτρέπει την εξέτση τεσσάρων πργόντων (γρμμών, στηλών, Λτινικών γρμμάτων κι Ελληνικών γρμμάτων), κάθε έν σε p βθμό κι μόνο με p εκτελέσεις. Τ Ελληνο Λτινικά τετράγων υπάρχουν γι κάθε p 3 εκτός του p 6. Το σττιστικό μοντέλο γι το Ελληνο Λτινικό τετράγωνο είνι kl,, K, p,, K, p μ + θ + τ + ωk + ψ l + ε kl (-9) k,, K, p l,, K, p Όπου kl είνι η πρτήρηση γι την γρμμή κι την στήλη l γι το Λτινικό γράμμ κι το Ελληνικό γράμμ κ, θ είνι η επίδρση της γρμμής, t είνι η επίδρση του Λτινικού γράμμτος, ω κ είνι η επίδρση του Ελληνικού γράμμτος κ, Ψ l είνι η επίδρση της στήλης l, κι ε kl είνι η συνιστώσ του τυχίου λάθους της NID (0, σ ). Μόνο τ δύο πό τ τέσσερ είνι πρίτητ γι την πλήρη νγνώριση μίς πρτήρησης. Η νάλυση της δικύμνσης μοιάζει κτά πολύ με την νάλυση ενός Λτινικού τετργώνου. Εφόσον τ ελληνικά γράμμτ εμφνίζοντι κριβώς μί φορά σε κάθε γρμμή κι σε κάθε στήλη κι κριβώς μί φορά με κάθε Λτινικό γράμμ, ο πράγοντς που νπρίσττι με το Ελληνικό γράμμ είνι ορθογώνιος στις γρμμές, στις στήλες κι στις μετβλητές των Λτινικών γρμμάτων. Πίνκς -8 4 x 4 Ελληνο Λτινικό Υπόδειγμ Τετργώνων Στήλη Γρμμή 3 4 Α Ββ Cγ Dδ Βδ Αγ Dβ C 3 Cβ D Αδ Βγ 4 Dγ Cδ Β Αβ 3

33 Πίνκς -9 Ανάλυση της δικύμνσης ενός Ελληνο Λτινικού Υποδείγμτος Πηγή δικύμνσης Άθροισμ τετργώνων Βθμοί ελευθερίς p Μετβλητές λτινικών... L γρμμάτων... p- p N Μετβλητές ελληνικών γρμμάτων Γρμμές Στήλες Σφάλμ G Rows p p k p p.. k N... N p Columns... l p l N (με φίρεση) Σύνολο T k l kl N p- P- p- (p-3)(p-) Συνεπώς, το άθροισμ των τετργώνων σύμφων με τον πράγοντ του ελληνικού γράμμτος μπορεί ν υπολογιστεί πό τ θροίσμτ των ελληνικών γρμμάτων κι έτσι το πειρμτικό λάθος μειώνετι περιτέρω πό υτό το ποσό. Οι λεπτομέρειες των υπολογισμών προυσιάζοντι στον Πίνκ -9. Η υπόθεση της μηδενικότητς γι κάθε γρμμή, στήλη, Λτινικό γράμμ κι Ελληνικό γράμμ ελέγχετι διιρώντς το προβλεπόμενο μέσο τετράγωνο με το μέσο τετργωνικό σφάλμ. Η περιοχή πόρριψης είνι το επάνω τμήμ της F κτνομής. Πράδειγμ -4 Υποθέστε ότι στο πείρμ της εκτόξευσης του πυρύλου του Πρδείγμτος -3 ένς επιπρόσθετος πράγοντς, ο έλεγχος της συνρμολόγησης, θ μπορούσε ν έχει ιδιίτερη σημσί. Έστω ότι υπάρχουν πέντε ελεγκτές της συνρμολόγησης που δηλώνοντι με τ ελληνικά γράμμτ, β, γ, δ κι ε. Το συνκόλουθο 5 x 5 υπόδειγμ του Ελληνο Λτινικού τετργώνου προυσιάζετι στον Πίνκ -0. Πίνκς -0 Ελληνο Λτινικό Υπόδειγμ γι το Πρόβλημ της εκτόξευσης πυρύλου Χειριστές Δεσμίδες κτέργστου υλικού Α- Βγ-5 Cε-6 Dβ- Εδ- -4 Ββ-8 Cδ- D5 Εγ Αε 9 3 Cγ-7 Dε3 Εβ Αδ Β Dδ Ε6 Αγ Βε- Cβ Εε-3 Αβ5 Βδ-5 C4 Dγ6 7 l Πρτηρήστε ότι, εφόσον τ σύνολ των μιγμάτων του κτέργστου υλικού (γρμμές), οι χειριστές (στήλες) κι οι συνδυσμοί (Λτινικά γράμμτ) είνι κριβώς ίδι με υτά του Πρδείγμτος -3, έχουμε p - 33

34 Blocks Operators Foundatons Τ θροίσμτ γι τους ελέγχους συνρμολόγησης (Ελληνικά γράμμτ) είνι Ελληνικό γράμμ Σύνολ ελέγχου συνρμολόγησης... 0 β γ δ ε Συνεπώς, το άθροισμ των τετργώνων γι τους ελέγχους συνρμολόγησης είνι Assemles p p k N 5 [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( 0) k Η ολική νάλυση της δικύμνσης προυσιάζετι στον Πίνκ 5-. Οι συνδυσμοί είνι σημντικά διφορετικά σε επίπεδο %. Συγκρίνοντς τους Πίνκες 5- κι 5-, πρτηρούμε ότι η προσπάθει φίρεσης της δικύμνσης μέσω των ελέγχων συνρμολόγησης μείωσε το πειρμτικό λάθος. Ωστόσο, μειώνοντς το πειρμτικό λάθος, έχουμε κτφέρει επίσης ν μειώσουμε το σφάλμ των βθμών ελευθερίς πό (στο υπόδειγμ του Λτινικού τετργώνου του πρδείγμτος -4) σε 8. Συνεπώς, η εκτίμηση του σφάλμτος έχει λιγότερους βθμούς ελευθερίς κι το τεστ μπορεί ν είνι λιγότερο ευίσθητο. Η έννοι των ορθογώνιων ζευγριών Λτινικών τετργώνων μέσω των οποίων προκύπτει το Ελληνο - Λτινικό τετράγωνο μπορεί κτά κάποιο τρόπο ν επεκτθεί. Έν p x p υπερτετράγωνο είνι έν υπόδειγμ στο οποίο τρί ή περισσότερ ορθογώνι p x p Λτινικά τετράγων τοποθετούντι μζί. Γενικά, πάνω πό p + πράγοντες θ μπορούσν ν μελετηθούν ν έν ολοκληρωμένο σύνολο πό p ορθογώνι Λτινικά τετράγων είνι διθέσιμ. Έν τέτοιο υπόδειγμ θ χρησιμοποιούσε όλους τους (p +)(p ) p βθμούς ελευθερίς οπότε είνι πρίτητη μί νεξάρτητη εκτίμηση του σφάλμτος της δικύμνσης. Φυσικά δεν θ πρέπει ν υπάρχει κνενός είδους λληλοσχέτιση μετξύ των πργόντων ότν χρησιμοποιούμε τ υπερτετράγων. Πίνκς - Ανάλυση της δικύμνσης γι το Πρόβλημ της εκτόξευσης πυρύλου Πηγή Άθροισμ Βθμοί Τετργωνικός δικύμνσης τετργώνων ελευθερίς μέσος F 0 P-Τιμή Δομές Δεσμίδες κτέργστου υλικού Χειριστές Έλεγχοι συνρμολόγησης Σφάλμ Σύνολο

35 -4 Ατελή υποδείγμτ εξισορροπημένων τετργώνων Σε συγκεκριμέν πειράμτ που χρησιμοποιούν υποδείγμτ τυχίων τετργώνων, μπορεί ν μην μς επιτρέπετι ν εκτελέσουμε όλους τους συνδυσμούς των μετβλητών σε κάθε τετράγωνο. Τέτοιες κτστάσεις συνήθως προυσιάζοντι λόγω έλλειψης των πρίτητων πειρμτικών μηχνημάτων ή κτιρίων ή λόγω του φυσικού μεγέθους του τετργώνου. Γι πράδειγμ, στο πείρμ ελέγχου της σκληρότητς (Πράδειγμ -), υποθέστε ότι λόγω του μεγέθους τους κάθε κουπόνι μπορεί ν χρησιμοποιηθεί γι τον έλεγχο μόνο τριών κμών (tps). Συνεπώς, κάθε κμή δεν είνι δυντόν ν ελεγχθεί σε κάθε κουπόνι. Γι τέτοιου είδους προβλήμτ είνι δυντόν ν χρησιμοποιήσουμε τ υποδείγμτ τυχίων τετργώνων στ οποί κάθε μετβλητή δεν εμφνίζετι σε κάθε τετράγωνο. Αυτά τ υποδείγμτ είνι γνωστά ως τελή υποδείγμτ τυχίων τετργώνων. Ότν όλες οι συγκρίσεις των μετβλητών είνι εξίσου σημντικές, οι συνδυσμοί των μετβλητών που χρησιμοποιήθηκν σε κάθε τετράγωνο θ πρέπει ν επιλεχθούν κτά ισόρροπο τρόπο, δηλδή, έτσι ώστε κάθε ζευγάρι μετβλητών ν συμβίνει τις ίδιες φορές που συμβίνει κι κάθε άλλο ζευγάρι. Συνεπώς, έν τελή υπόδειγμ εξισορροπημένων τετργώνων, είνι έν τελή υπόδειγμ τετργώνου στο οποίο οποιεσδήποτε δύο μετβλητές προυσιάζοντι μζί τις ίδιες φορές. Υποθέστε ότι υπάρχουν μετβλητές κι ότι κάθε τετράγωνο μπορεί ν δεχτεί κριβώς κ (κ < ) μετβλητές. Έν τελή υπόδειγμ εξισορροπημένων τετργώνων μπορεί ν κτσκευστεί πίρνοντς κ τετράγων κι ορίζοντς ένν διφορετικό συνδυσμό μετβλητών σε κάθε τετράγωνο. Ωστόσο, συχνά, η ισορροπί μπορεί ν προκύψει με λιγότερ πό κ τετράγων. Πίνκες τελών υποδειγμάτων εξισορροπημένων τετργώνων μπορούμε ν βρούμε πό τους Fsher κι Yates (953), Daves (956) κι Cochran Cox (957). Σν πράδειγμ φντστείτε ότι ένς χημικός μηχνικός σκέφτετι ότι ο χρόνος ντίδρσης μίς χημικής διδικσίς είνι συνάρτηση του τύπου του κτλύτη που χρησιμοποιείτι. Τέσσερις κτλύτες εξετάζοντι συγχρόνως. Η πειρμτική διδικσί ποτελείτι πό την συλλογή του κτέργστου υλικού, την φόρτωση του δοκιμστικού εργοστσίου, την εφρμογή κάθε κτλύτη σε ξεχωριστή εκτέλεση στο δοκιμστικό εργοστάσιο κι η πρτήρηση του χρόνου ντίδρσης. Από την στιγμή που οι δικυμάνσεις των μιγμάτων του κτέργστου υλικού μπορεί ν επηρεάσουν την πόδοση των κτλυτών, ο μηχνικός ποφσίζει ν χρησιμοποιήσει τ μίγμτ του κτέργστου υλικού ως τετράγων. Εντωμετξύ, το μέγεθος κάθε μίγμτος επιτρέπει την εκτέλεση τριών κτλυτών. Συνεπώς, πρέπει ν χρησιμοποιηθεί έν τελή υπόδειγμ τυχίων τετργώνων. Το τελή υπόδειγμ εξισορρόπησης τετργώνων γι υτό το πείρμ, κθώς κι οι πρτηρήσεις που κτγράφηκν προυσιάζοντι στον Πίνκ -. Η σειρά με την οποί εκτελούντι οι κτλύτες σε κάθε τετράγωνο είνι τυχί. 35