Τεχνικές Ολοκλήρωσης. Τριγωνοµετρικές αντικαταστάσεις (και η αντικατάσταση του Weierstrass)

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τεχνικές Ολοκλήρωσης. Τριγωνοµετρικές αντικαταστάσεις (και η αντικατάσταση του Weierstrass)"

Ἀχείμ Κεδίκογλου
3 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Τεχνικές Ολοκλήρωσης Τριγωνοµετρικές αντικαταστάσεις και η αντικατάσταση του Weierstrass

2 . Τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις Κίνητρο: Θέλουμε να υπολογίσουμε το αόριστο ολοκλήρωμα 5 x. Αν θεωρήσουμε την αντικατάσταση u = 5 x, το ολοκλήρωμα που θα προκύψει είναι αρκετά πολύπλοκο στους υπολογισμούς. Επίσης, ο μετασχηματισμός αυτός δεν είναι αντιστρέψιμος. Αν όμως παρατηρήσουμε ότι η ποσόσητα 5 x αποτελεί τη βάση ενός τριγώνου ΑΒΓ υποτείνουσας ΑΓ μήκους 5 μονάδων και ύψους ΒΓ=x, τότε. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ sin A = BΓ AΓ = x 5, όπου φυσικά A π/, π/. Τότε A = arcsinx/5, αφού A π/, π/ cos A > 0. Ο μετασχηματισμός είναι αντιστρέψιμος στο διάστημα αυτό. Ετσι, θεωρώντας την α- ντικατάσταση xθ = 5 sin θ = 5 cos θdθ είναι sin θ = x/5 και το πιο πάνω ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται στο dθ = θ + c = arcsinx/5 + c. Με άλλα λόγια, το ολοκλήρωμα αυτό εκφράζει το σε ποια γωνία αντιστοιχεί τόξο ίσο με x/5. Επίσης, ο ίδιος μετασχηματισμός μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το 5 x. Είναι 5 x = 5 cos θ dθ = 5θ sinθ = 5 θ + sin θ cos θ. και για να επιστρέψουμε στην αρχική μας μεταβλητή x, είτε χρησιμοποιούμε το ανωτέρω τριγωνάκι είτε με τη χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων: cos θ = sin θ cos θ = sin θ = 5x, 5 αφού cos θ > 0 στο π/, π/. Συνεπώς, 5 x = 5 5 arcsinx/5 + 5 x 5 x + c = 5 5 arcsinx/5 + x 5 x + c. Παράδειγμα.7.. Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα x 5 + x. Θεωρούμε την αντικατάσταση xθ = 5 tan θ = 5 sec θ dθ στο διάστημα π/, π/. Είναι tan θ = x/5. Αφού + tan θ = sec θ sec θ = + x 5

και αφού cos θ 0 στο διάστημα [ π/, π/], είναι secθ = + x 5 = 5 + x 5 δηλ. cosθ = secθ = 5 5 + x.

3 και αφού cos θ 0 στο διάστημα [ π/, π/], είναι secθ = + x 5 = 5 + x 5 δηλ. cosθ = secθ = x.συνεπώς, το πιο πάνω ολοκλήρωμα μετασχηματίζεται στο 5 sec θ dθ 5 tan θ = sec θ dθ tan θ 5 tan θ secθ = secθ dθ 5 tan θ = cosθ dθ 5 sin = sinθ dθ θ 5 sin θ = 5 sinθ + c = csecθ + c 5 και για να επιστρέψουμε στην αρχική μας μεταβλητή x, αντιστρέφουμε το μετασχηματισμό. Προς τούτο, κάνουμε χρήση τριγωνομετρικών ταυτοτήτων ο μετασχηματισμός είναι αντιστρέψιμος στο αναφερόμενο διάστημα tanθ cosθ = sinθ sinθ = x 5 5 = x 5 + x 5 + x Συνεπώς, 5 + x x 5 + x = + c. 5x Παράδειγμα.7.. Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα x x. Θεωρούμε την αντικατάσταση x = sin θ, θ [ π/, π/] θ = arcsin x, x. Είναι = cos θ dθ και x = cos θ. Τότε, το ολοκλήρωμα γίνεται I θ = sin θ cos θ dθ,

4 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ το οποίο υπολογίσαμε στο παράδειγμα.5.: Αντιστρέφουμε την αντικατάσταση: I θ = 5 cos5 θ cos θ + c = 5 cos θ cos θ 5 + c = 5 cos θ sin θ + c. 5 x x + + c. Το I υπολογίζεται και με χρήση της αντικατάστασης x = cos θ. Στην περίπτωση αυτή, καταλήγουμε στο ολοκλήρωμα: I θ = cos θ cos θ dθ, το οποίο υπολογίζεται εύκολα και δίνει I θ = 5 sin5 θ sin θ + c. Αντιστρέφοντας την αντικατάσταση, καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα με πρίν. Διαφορετικά, χωρίς τη χρήση τριγωνομετρικής αντικατάστασης, το I υπολογίζεται μέσω της αντικατάστασης u = x. Άσκηση.7.. Να υπολογιστούν τα πιο κάτω ολοκληρώματα με χρήση της αντικατάστασης που δίνεται: 9 x i I = x x = sin θ iv I 4 = x = sec θ 4x 9 / ii I = x x = 5 sin θ 5 x x 6 iii I = x = 4 sec θ x v I 5 = x x x + = sin θ : i I = 9 x iii I = x 6 4 arctan x x 5 x arcsin + c ii I = + c 5x x c = x x 6 4 arcsec + c 4 x x + iv I 4 = 9 4x 9 + c v I 5 = arcsin + c. 4

5 . Η αντικατάσταση του Weierstrass Η αντικατάσταση του Weierstrass ή αλλιώς αντικατάσταση εφαπτομένης του ήμισυ της γωνιάς, χρησιμοποιείται στον υπολογισμό ολοκληρώματος συνάρτησης η οποία είναι πηλίκο τριγωνομετρικών συναρτήσεων ως προς x μετατρέποντάς την σε ρητή συνάρτηση ως προς t. Η αντικατάσταση που υλοποιεί το πιο πάνω είναι η x t = tan x = arctan t..7 Με χρήση των γνωστών μας τριγωνομετρικών τύπων sin x = tan x + tan x, cos x = tan x + tan x, το ολοκλήρωμα της μορφής fsin x, cos x γίνεται 4 f t + t, t + t + t. Σχήμα.: Η αντικατάσταση του Weierstrass και Επιπλέον, tan x = tan x tan x = t t, cot x = tan x = t t sec x = cos x = + t t, csec x = sin x = + t t. Φέρει το όνομα του Γερμανού Μαθηματικού Karl Weierstrass Είναι: x t = tan Το ίδιο αποτέλεσμα εξάγεται και από την = sec x = = + t. + tan x x = arctan t = darctan t = + t. = + t 5

6 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ Αν και ο Michael Spivak αναφέρεται στην αντικατάσταση αυτή 5, ως την πιο ύπουλη αντικατάσταση στον κόσμο, η πιο κάτω ερμηνεία ρίχνει φώς στο μυστήριο της προέλευσής της: Θεωρούμε το μοναδιαίο κύκλο C : x + y =. Κάθε ευθεία ɛ : y = λx +, η οποία περνά από σημείο του κύκλου x 0, y 0, θα τέμνει τον κύκλο σε ακόμη ένα σημείο. Εστω χωρίς α- πώλεια της γενικότητας ότι x 0, y 0 =, 0. Τότε, = λ και τότε, η εξίσωση της ευθείας γίνεται ɛ : y = λx +. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση του κύκλου, έχουμε x + λ x + =, δηλ. λ + x + λ x + λ = 0. Προφανώς, το x = είναι λύση της πιο πάνω εξίσωσης και αρα η πιο πάνω γράφεται: x + λ + x + λ = 0. Ετσι, το πιο πάνω μηδενίζεται και για x ώστε λ + x + λ = 0, δηλ. για το x = λ λ +. Συνεπώς, αντικαθιστώντας στην εξίσωση της ευθείας, y = λ λ λ + = λ λ +. λ Άρα, το δεύτερο σημείο στο οποίο η ɛ τέμνει τον κύκλο C είναι το λ +, λ λ. Εύκολα + βλέπουμε ότι σημεία της πιο πάνω μορφής ικανοποιούν την εξίσωση του μοναδιαίου κύκλου για κάθε λ R {± }. Θεωρώντας παραμέτρηση του κύκλου σε πολικές συντεταγμένες, έχουμε sin x = λ λ +, λ cos x = λ +. Μπορούμε να σκεφτούμε την πιο πάνω παραμέτρηση ως εξής: αν αφαιρέσουμε ένα σημείο από Σχήμα.: Ρητή παραμέτρηση του μοναδιαίου κύκλου τον κύκλο π.χ. το, 0 τότε η προκύπτουσα καμπύλη είναι μια ευθεία. 6 5 Spivak M., Calculus, Camridge University Press, 006, σελ Το ανάλογο στις τρείς διαστάσεις είναι η λεγόμενη στερεογραφική προβολή, όπου μπορούμε να προβάλουμε μια σφαίρα στο επίπεδο και το αποτέλεσμα της προβολής αυτής είναι ενας κύκλος. 6

7 Τα επ άπειρον σημεία, δηλ. τα σημεία τα οποία η ευθεία που ενώνει το, 0 με ενα σημείο του κύκλου έχει άπειρη κλίση, αντιστοιχούν στο σημείο, 0. Αλλά και αντίστροφα, κάθε σημείο του κύκλου γράφεται στην πιο πάνω μορφή. Αυτή η παραμέτρηση ανήκει σε μια ειδική κατηγορία παραμετρήσεων, των λεγόμενων ρητών παραμετρήσεων. Γενικότερα, για τον κύκλο C : x x 0 + y y 0 = R R > 0, η ρητή του παραμέτρηση είναι το ζεύγος xλ = x 0 + R λ λ +. yλ = y 0 + R λ λ + Παράδειγμα.7.. Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα cos x + με χρήση της αντικατάστασης.7. Θεωρούμε την αντικατάσταση.7 και το ολοκλήρωμα γίνεται t + t = +t + = + t t 4 t + = Ανάλυση σε απλά κλάσματα δίνει + t t t + t + t + = Κατά τα γνωστά, βρίσκουμε: Συνεπώς, + t t 4 t + = Τέλος, αντιστρέφουμε το μετασχηματισμό: [ arctan tan + t 4t 4 4t t t t + t + t + t + t + + t. t + t ± t + = arctan t ± + C. arctan t + + arctan t + c. x + x + arctan tan ] + c..8 Ενας άλλος τρόπος υπολογισμού του πιο πάνω ολοκληρώματος είναι αν θεωρήσουμε την αντικατάσταση t = tan x. Τότε = Τότε, +t και t = tan x = sin x cos x t = sin x cos x = cos x cos cos x = x + t. +t + + t = = arctant/ + c t = / + t/

8 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ και αντιστρέφουμε το μετασχηματισμό: arctan tan x + c..9 Οι.8 και.9 συμφωνούν: χρησιμοποιήστε το γνωστό αποτέλεσμα: x + y arctan, αν xy < xy x + y arctanx + arctany = arctan + π, αν x > 0, y < 0 και xy >. xy x + y arctan π, αν x < 0, y < 0 και xy > xy Παράδειγμα.7.4. Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα + sin x με χρήση της αντικατάστασης.7. Θεωρούμε την αντικατάσταση.7 και το ολοκλήρωμα γίνεται = Ανάλυση σε απλά κλάσματα δίνει και αρα Αντιστρέφουμε την αντικατάσταση: + t +t + t t t = + t t + 4 = t + t + + t t t + t + + t t + 4 = t + + t + 4 t +. tan x + tan x + tan x + c. + Αν φυσικά έχετε την υπομονή, χρησιμοποιήστε τους τριγωνομετρικούς τύπους που αναφέραμε στην αρχή της παραγράφου και βρείτε την αντίστοιχη έκφραση του ολοκληρώματος συναρτήσει ημιτόνων και συνημιτόνων: cos x + sin x cos x + 5 sin x + sin x + cos x + + c. 8

9 Εφαρμογή Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα csec x με χρήση της αντικατάστασης.7. : csec x = = = ln t + c t x = ln tan + c sin x = t + t +t Το πιο πάνω αποτέλεσμα συμφωνεί με τον.4. τριγωνομετρικό τύπο Για να το δείτε αυτό, χρησιμοποιήστε τον tan x = cosx + cosx. Εφαρμογή Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα a sin x + cos x + c, όπου a,, c R, a, 0, 0. Αν c = 0, τότε a sin x + cos x = = at + t = = t a +4a at +t + t +t + 4a. t a + t Θέτουμε u = t a I u = και το πιο πάνω γράφεται: du u +4a = u +4a du u +. +4a Ανάλυση σε απλά κλάσματα δίνει u +4a u + = +4a + 4a u 9 +4a u + +4a

10 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ και αρα I u = + 4a ln u u + +4a +4a + c. Αντιστρέφουμε το μετασχηματισμό και παίρνουμε: + 4a ln tan x + + 4a a tan x + 4a a + c. Αν c 0, τότε διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: αν c > a +, τότε εύκολα βρίσκουμε ότι c a tan x c a arctan + + c. c a Η περίπτωση c < a + αφήνεται ως άσκηση. Αν a = = και c = 0, τότε x + C ενω αν a = = και c 0, τότε +c x + C. Παράδειγμα.7.5. Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα sin x +. Θεωρούμε την αντικατάσταση.7. Τότε = sin x + = t + t + = t +t + + t t + t +. Αλλά, δες. Συνεπώς, t + t + = t arctan = arctan tan x + t + + c. + c. Παράδειγμα.7.6. Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα cos x +. Θεωρούμε την αντικατάσταση.7. Τότε = cos x + t +t + + t = t. 0

11 Ανάλυση σε απλά κλάσματα δίνει και αρα t = t t t = ln t + t + c. Αντιστρέφουμε το μετασχηματισμό: ln tan x + tan + c = x ln sin x + cos x + sin x cos x + + c. Άσκηση.7.. Να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα 5 sin x + cos x +. Θεωρούμε την αντικατάσταση.7. Τότε 5t + = 5 d5t + 5t + = ln 5t + + c. 5 Αντιστρέφουμε το μετασχηματισμό: 5 x 5 ln tan + + c = 5 ln 5 sin x + + cos x + cos x + c. Άσκηση.7.. Να υπολογιστούν τα πιο κάτω ολοκληρώματα: i I = ii I = sec x + csec x +. : Χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση του Weierstrass και βρίσκουμε: x i I = x tan + c ii I = x + + tan x + c. Άσκηση.7.4. Να υπολογιστεί το πιο κάτω ολοκλήρωμα με χρήση της αντικατάστασης του Weierstrass ή με χρήση της αντικατάστασης t = tan x : I = sin x +. : arctan tan x + c.

12 . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ Άσκηση.7.5. Να υπολογιστούν τα πιο κάτω ολοκληρώματα: i I = ii I = sin x + tan x cos x + tan x. : i Χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση του Weierstrass στην περίπτωση αυτή, έχουμε τον πιο σύντομο υπολογισμό και βρίσκουμε: I = ln tanx/ tan x/ + c = ln cos x + cos x + c. + cos x Διαφορετικά, θεωρούμε την αντικατάσταση t = tan x. Εναλλακτικά, γράφουμε cos x cos x cos x + και θεωρούμε την αντικατάσταση t = cos x. sin x ii Χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση του Weierstrass και βρίσκουμε: 5 I = 5 ln sin x + c. 5 + sin x Διαφορετικά, γράφουμε I = cos x + sin x sin x και θεωρούμε την αντικατάσταση t = sin x. Ποιά από τις δυο περιπτώσεις σας είναι προτιμότερη στην περίπτωση αυτή;

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5