θέσουμε είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ του πεδίου ορισμού της f, τότε:, αν και μόνο αν υπάρχουν τα όρια και είναι ίσα.

Transcript

1 Ορισμός παραγώγου συνάρτησης σε σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το f ( ) f ( lim ) και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο και συμβολίζεται με f ( ). Δηλαδή: f ( ) f ( ) f ( ) lim. Αν στην ισότητα f ( ) lim f ( ) f ( ) θέσουμε h, τότε έχουμε f ( ) lim h f ( h) f ( ). h Αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ του πεδίου ορισμού της f, τότε: Η f είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν τα όρια lim f ( ) f ( ), lim f ( ) f ( ) και είναι ίσα. Πρόβλημα εφαπτομένης Έστω f μία συνάρτηση και A, f ( )) ένα σημείο της γραφικής της παράστασης. y ( Αν πάρουμε ένα ακόμη σημείο M (, f ( )),, της γραφικής παράστασης της f και την ευθεία ΑΜ που ορίζουν τα σημεία Α και M, παρατηρούμε ότι: Καθώς το τείνει στο με, η τέμνουσα ΑΜ παίρνει μια οριακή O θέση ε (Σχ. α).την ίδια οριακή θέση (α) (β) φαίνεται να παίρνει και όταν το τείνει στο με (Σχ. β).την οριακή θέση της ΑΜ την ονομάζουμε εφαπτομένη της γραφ. παράστασης της f στο Α. O C f Επειδή η κλίση της τέμνουσας ΑΜ είναι ίση με έχει κλίση το λ= lim ΟΡΙΣΜΟΣ A(,f( )) M(,f()) M f () - f ( - ε ) = f ( ). f ( ) f ( ), η εφαπτομένη της C f στο σημείο A, f ( )) θα ( Έστω f μια συνάρτηση και A (, f ( )) ένα σημείο της C f. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= y lim C f M(,f()) f () - f ( - M ) =f ( ). A(,f( )) Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A, f ( )) είναι: - f ) = f ( )( - ). ε ( y ( ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 38

2 Παράγωγος και συνέχεια ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΣΧΟΛΙΟ Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο. Παράγωγος συνάρτησης Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α. Θα λέμε ότι: H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A. Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ( α, ). β Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β) και επιπλέον ισχύει f () - f (α) f () - f ( ) lim R και lim R. + α - α - - Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α και A τo σύνολο των σημείων του Α στα οποία αυτή είναι παραγωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντας κάθε A στο f (), ορίζουμε τη συνάρτηση f :A R,όπου f (), η οποία ονομάζεται πρώτη παράγωγος της f ή απλά παράγωγος της f. df H πρώτη παράγωγος της f συμβολίζεται και με που διαβάζεται ντε εφ προς ντε χι. Για πρακτικούς λόγους d την παράγωγο συνάρτηση y f () θα τη συμβολίζουμε και με y ( f ( ) ). Αν υποθέσουμε ότι το Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, τότε η παράγωγος της f, αν υπάρχει, λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f. (ν) Επαγωγικά ορίζεται η νιοστή παράγωγος της f, με ν 3, και συμβολίζεται με f. Δηλαδή ( ν) ( ν) f [ f ], ν 3. Παράγωγος μερικών βασικών συναρτήσεων Η συνάρτηση f ( ) c,cr είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ), δηλαδή ( c ) Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ), δηλαδή ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 39

3 ( ) Η συνάρτηση f ν ν f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ) ν, δηλαδή ν ( ), N -{,} ( ν ) ν ν Η συνάρτηση f ( ) είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει f ( ), δηλαδή Προσοχή! Η f ( ) = δεν είναι παραγωγίσιμη στο ενώ ορίζεται σ αυτό. Η συνάρτηση Η συνάρτηση f () = ημ είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ) συν, δηλαδή ( ημ) συν f () = συν είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ) ημ, δηλαδή ( συν) ημ Αποδεικνύεται ότι η f ( ) e είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f e ( ), δηλαδή ( e e ) Αποδεικνύεται ότι η f ( ) ln είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και ισχύει f ( ), δηλαδή Παράγωγος αθροίσματος Αν οι συναρτήσεις (ln ) (i) ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ ισχύει: ( f g) ( ) f ( ) g( ). Τα παραπάνω ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις. Δηλαδή, αν στο Δ, τότε f ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ). ( f f k k f...,, f, fk, είναι παραγωγίσιμες Παράγωγος γινομένου Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ, τότε για κάθε Δ ισχύει: ( f g) ( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ). Αν f είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση σ ένα διάστημα Δ και c R, επειδή ( c ), σύμφωνα με τα παραπάνω έχουμε: ( cf ( )) cf ( ) ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

4 Παράγωγος πηλίκου Αν οι συναρτήσεις Δ έχουμε: f, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα Δ και για κάθε Δ ισχύει g ( ) f g ( ) f ( ) g( ) f ( )g( ). [ g( )], τότε για κάθε Από τους παραπάνω κανόνες παραγώγισης προκύπτουν τα παρακάτω Η συνάρτηση f ν ( ),νν * είναι παραγωγίσιμη στο R * ν και ισχύει f ( ) ν ( ν ) ν ν, δηλαδή Η συνάρτηση f ( ) εφ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και ισχύει ( εφ συν ) f ( ), δηλαδή συν Η συνάρτηση f ( ) σφ είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και ισχύει ( σφ) ημ ( ), δηλαδή ημ f Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g (Δ), τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει Δηλαδή, αν u g(), τότε: ( f ( u)) f ( u) u ( f ( g( ))) f ( g( )) g( ). Με το συμβολισμό του Leibniz, αν y f (u) και u g(), έχουμε τον τύπο: που είναι γνωστός ως κανόνας της αλυσίδας. dy d dy du du d Από τα παραπάνω προκύπτουν τα εξής: Η συνάρτηση f α ( ), αr-z είναι παραγωγίσιμη στο, ) α ( και ισχύει f ( ) α, δηλαδή ( α ) α Αποδεικνύεται ότι, για α η f είναι παραγωγίσιμη και στο σημείο και η παράγωγός της είναι ίση με, επομένως δίνεται από τον ίδιο τύπο. α Η συνάρτηση f ( ) α, α είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ) α lnα, δηλαδή ( α ) α lnα Η συνάρτηση f ( ) ln, R * είναι παραγωγίσιμη στο R * και ισχύει: ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

5 (ln ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ..Να βρεθούν οι α,β R ώστε η συνάρτηση παραγωγισιμη στο χ = f () 3 6, ( ), να είναι. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγισιμες στο χ 3 e,, b b 4ac ι) f (), χ = ιι) f (),, χ = a, e, ( ), ιιι) f (), χ =, 3. Αν η f είναι συνεχής στο και f () 3 lim 5, να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγισιμη f () Στο και να βρείτε το lim 4. Αν f () 4f () f (),lim 4 να αποδείξετε ότι f () 5. Αν α και η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη στο α, να βρείτε το lim 3 3 f () f ( )f () 3f ( )f () f ( ) 6. Αν ν Ζ με ν > και ότι f ( ) m f ( h) f ( ) h h... h lim m, h h mr. να αποδείξετε 7. Αν η συνάρτηση f είναι παργωγισιμη στο και ισχύει Να αποδειχθεί ότι f () 3 f () f () f (), R ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 4

6 4 8. Αν η f είναισυνεχής στο και f (), R, να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγισιμη στο. 9. Δίνεται η συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα f( ) f() f( ) 3 ( ),, R. Αν η f είναι παραγωγισιμη στο παρα γωγισιμη στο R. χ=α με f ( ) 3, να αποδείξετε ότι η f είναι. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη στο και f( ψ) = ψ f( )+ χ f ( ψ), να αποδείξετε ότι f ( ) f () f ( ). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγισιμες στο α, f(α)=g(α) και f()+ g( ), R, να δείξετε ότι g ( ) f ( ). Δίνεται η συνάρτηση f () = Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη α) στο σημείο = 3 και β) στο σημείο = α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f ()- f ( - ) και lim f ()- f ( - ) είναι πραγματικοί αριθμοί - τότε η f είναι συνεχής στο. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f()= ( -) σημείο = εφαρμόζοντας το προηγούμενο συμπέρασμα. αν στο αν 4. Έστω οι συναρτήσεις f και g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες στο (α, β) με f ( ) = g ( ) και f ( ) = g ( ). Αν ισχύει f()h()g()για (α, β), να αποδείξετε ότι και η h είναι παραγωγίσιμη στο και μάλιστα ισχύει h ( ) = f ( ). 5. Δινεται η συναρτηση f : R R για την οποια ισχυει για κάθε χ, ψ R και f( ). α) να δειχθει ότι f( ). με α, β >. R β) Αν η f είναι - να δειξετε ότι f f f ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 43

7 γ) Αν η f είναι συνεχης και παραγωγισιμη στο, να δειξετε ότι είναι συνεχης και παραγωγισιμη στο R. 6. Αν για τη συναρτηση f ισχυουν f() 3 και f (), να βρειτε την g ( ) όταν α) g( ) f ( ) β) g( ) f ( ) f( ) 7.Θεωρούμε τη συνάρτηση f :R R παραγωγίσιμη σ όλο το πεδίο ορισμού της, για την οποία ισχύει ότι: ( ) y f y e f ( y) e f ( ), για κάθε y, πραγματικούς αριθμούς και f () ι) Να αποδείξετε ότι f () και f (3 ) 3 e f ( ), για κάθε R ιι) Να βρείτε τα f ( ) f ( ) lim,lim ιιι) Να βρεθεί η f() ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 8. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: i) f() = ln ii) g() = ημ+συν iii) h() = 3 5 iv) φ()=ημ(ημ+συν)+συν(ημ-συν) v) f() = ημ+ συν vi) g() = ( + )ln vii) h() = ( - + 3)e viii) φ() = ημ.ln i) s() = ln e ) t() = ln ln ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 44

8 i) h() ln e 3 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ln ii) w() 3 ln ( ) iii) f() = ln( + ) iv) f() = ln 3 (ημ) v) f() = vii) f() = 3 vi) f() = e συν viii) f() =συν(ημ) + εφ(+ ),, 4 4 i) f() = με ) f() = με i) f() =(ημ) ln ii) f() = iii) f() = ln iv) f() = εφ (e ) v) f() = ln 4 ( +) vi) f() = 3ημ + συν3 9. Δίνεται η συνάρτηση f() =, αν., αν Να βρεθεί η f ().. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων: α) f() = ημ β) f() = + ημ (τι συμπεραίνετε για το άθροισμα και το γινόμενο παραγωγισίμων και μη συναρτήσεων σε σημείο ).. Αν f() = g() να εξεταστεί: α) αν f = g β) f = g. Αν f() = και f () = 5 να βρείτε την g (), όπου g() = f()- f (). 3. Να βρειτε τις παραγωγους των συναρτησεων α) 4 3 f () ln ( 3) β) f () 3 ln e ln ( 6 3) γ) 5 f () (e ) 4. Να βρειτε τις παραγωγους των συναρτησεων ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 45

9 α) f () β) f () 5 6 γ) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 3, 3 f () δ) f () ε) f (), 3 5. Αν f,g είναι παραγωγίσιμες στο χ = και f ()= -, g ()=, f()= -, g()= - f ()g() να αποδείξετε ότι: lim. 6. Αν g()= g ()=. f ()ημ,, όπου f παρ/μη συνάρτηση στο = Με f()=f ()= να δείξετε ότι 7. Aν η συνάρτηση f είναι παρ/μη στο σημείο χ = και για κάθε χr ισχύει (f()) 3 -(f()) + f()= ημ, να αποδείξετε ότι : f ()= f () 8. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο χ = και ισχύει : lim. Να αποδείξετε ότι : I) f()= ii)η συνάρτηση g()= f () 3 είναι παρ/μη στο σημείο χ = και να βρείτε το g (). 9. Να υπολογισετε τις παραγωγους των συναρτησεων α) f (), β) f () 3 γ) e δ) f (),, f (), 3. Εστω f : R R δυο φορες παραγωσιμη συναρτηση.να βρειτε τις συναρτησεις g,g όταν α) g() f ( 3) f () 3 4 β) g() f γ) 4 f () f () g() e, Αν η για την παραγωγισιμη στο R συναρτηση f ισχυει f ( ) f και f (), να βρεθει η τιμη f () 3. Έστω δύο συναρτήσεις παρ/μες στο R οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση: f () g() e ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 46

10 g () - g() f () - f() Να αποδείξετε ότι: [g()] [f()] ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 33. Εστω η συναρτηση f() = ημχ,, να βρειτε την παραγωγο της f 34. Αν f() = και f () = 5 να βρείτε την g (), όπου g() = f()- f (). 35. Έστω f,g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις με = f()g() για κάθε. Αποδείξτε ότι δεν είναι δυνατόν να έχουμε f() = g(). 36. Αν νν* και α ημ + α ημ() + α 3 ημ(3) +.+α ν ημ(ν) για κάθε (όπου α,α,α 3,.α ν σταθεροί πραγματικοί αριθμοί), να αποδείξετε ότι: α + α + 3α 3 +.+να ν. 37. Αν f() = ν, να βρείτε την f (-). 38. Αν g() = (- )f() και η f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε την ισοδυναμία: f( ) = α g ( ) = α. 39. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ με Ρ() = [Ρ ()] για κάθε. 4. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να βρείτε την g (),αν: i) g() = f( ) ii) g() = f ( ) iii) f () 4. Αν f() = -6 και g() = 5 να βρείτε τις συναρτήσεις f(g()), f (g()), f(g ()), f (g ()), [f(g())]. 4. Να βρείτε τo πολυώνυμο δευτέρου βαθμού Ρ με Ρ()- Ρ () = -7+7, για κάθε. 43. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και άρτια, να αποδείξετε ότι και συνάρτηση g() = f(f ())-f είναι άρτια. 44. Αν f,g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο με f ( ) και για τη συνάρτηση g() G() = f () e ισχύει G ( ) = να αποδείξετε ότι g ( ) = f ( ) g( ). ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 47

11 45. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο.να αποδείξετε ότι: Ι)Αν η f είναι άρτια, τότε η f είναι περιττή ΙΙ) Αν η f είναι περιττή, τότε η f είναι άρτια 46. Αν το f() = α +β+γ, α, έχει δύο άνισες ρίζες ρ,ρ, να αποδείξετε ότι: Ι) f ( ρ )+ f ( ρ ) = ii) f ( ρ )f ( ρ ) ιιι) ρ /f ( ρ )+ ρ /f ( ρ ) = /α. 47. Να υπολογισθούν τα αθροίσματα: Ι) Α = ν ν-, και νν* Ιι) Β = ν ν-, και ν Ν*. 48. Αν η f είναι παραγωγισιμη στο R, και ισχυει χ, ψ R Να δειξετε ότι ι) f() ιι) f () f() f ()e f( ) e f( ) e f() + χ.ψ+α 49..Αν f() πολυώνυμο βαθμού ν, να αποδειχθεί ότι: Ι) f() = (-ρ) π() f(ρ) = f (ρ) = ii) Να βρείτε τις τιμές των α,β για τις οποίες το πολυώνυμο (-) είναι του πολυωνύμου f() = α ν+ - β ν+ + με ν. παράγοντας 5. Έστω ρ και Α(),B() πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές, ώστε Β(ρ) και το Α() έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του. Ι) Να αποδείξετε ότι υπάρχει πολυώνυμο f() τέτοιο ώστε Α()B()=(-ρ) f(), αν και μόνο αν Α(ρ) = Α (ρ) =. Ιι)Αν νν*, να βρείτε τις τιμές των κ,λ για τις οποίες το πολυώνυμο το πολυώνυμο Q() = ν(ν 3 +κ +λ+8) έχει παράοντα το (-). 5. Έστω το πολυώνυμο f() = ν + α ν- + α ν- + +α ν- + α ν με ρίζες ρ,, ρ ν πραγματικές και α ν. Να αποδείξετε ότι για κάθε διαφορετικό των ριζών ισχύουν: ι)f () / f() =... ιι) f ()] - f() f ()/[f()] =... ( ) ( ) ( ) ιιι) - f () / f() =... iv)[f () / f()] - f () / f() =... ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 48

12 v) Αν η ρίζα ρ του f() είναι απλή, τότε είναι f (ρ). ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ vi) Αν οι ρίζες ρ, ρ, ρ ν του f() είναι απλές, τότε το πολυώνυμο g() = [f ()] - f() f () δεν έχει ρίζες 5. Να αποδειχθεί ότι: Ι) Η συνάρτηση f: (,π) R Ιι)Η συνάρτηση f - είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (-,) και ότι 53. Έστω μια συνάρτηση f:,,, με f() = συν, είναι αντιστρέψιμη, με την ιδιότητα f()f [f - ()] = =,για κάθε, (-,). χ> Να αποδειχθεί ότι:ι) f = /f (), για κάθε. Ιι) [f()f ] =, για κάθε. 54. Η συναρτηση f : R R είναι - παραγωγισιμη στο R και f ( R) R Αν για καποιο σημειο R ισχυει Να αποδειξετε ότι η f (f ( )) f δεν είναι παραγωγισιμη στο 55. Να βρειτε τη νιοστη παραγωγο των συναρτησεων ι) f ( ), R ιι) 56. Να αποδειξετε ότι ι) f() f () ιι) Αν h() f() f (), R τοτε f ( ), R h () f () f (), R h() f() f () * 57. Η συναρτηση f είναι παραγωγισιμη στο, και για κάθε α, β, ισχυει f( ) f( ) f( ). Να αποδειξετε ότι ι) f() ιι) f () f() f (),. 58. Οι συναρτησεις f,g είναι - και εχουν πεδιο τιμων το R. Αν είναι παραγωγισιμες στο R και ισχυει f () g (), g () f (), R f g g f () f g () Να αποδειξετε ότι 59. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο, με f () =. Αν για κάθε,ψrείναι f(+ψ) + f(-ψ) = f(), να αποδείξετε ότι f () =, για κάθε R ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 49

13 Α ΟΜΑΔA 6. Αν f() = 3-4, να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της C f στα σημεία τομής της με τον άξονα. 6. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στο άξονα όταν: i)f() = ln ii) f() = e 6. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f της συνάρτησης f() = 5, στο σημείο (,f( )) αν f( ) + f ( ) = Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f της συνάρτησης f() = ln που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 64. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = + (εφόσον υπάρχει), σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 3. β) σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. γ) είναι παράλληλη στην ευθεία y = + 4. δ) είναι κάθετη στην ευθεία y = ε) είναι παράλληλη στον άξονα. στ) είναι παράλληλη στον άξονα y y. 65. Αν, να βρείτε την τιμή του α ώστε η ευθεία ε: ψ= να είναι εφαπτομένη της C f με f() = α. 66. i) Να αποδειχθεί ότι από το σημείο Ρ(α,β) με β α διέρχονται δύο εφαπτόμενες της παραβολής c: ψ =. ii) Αν το Ρ βρίσκεται πάνω στην ευθεία δ: ψ = -, να αποδειχθεί ότι οι εφαπτόμενες είναι 4 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

14 κάθετες. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 67. Δίνεται η συνάρτηση f() = αln,, όπου η παράμετρος αr. I) Για ποιες τιμές του α η γραφική παράσταση της f δέχεται εφαπτόμενη παράλληλη στον άξονα II) IΒρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f στο σημείο της Μ(, f()) και στη συνέχεια να δείξετε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο Ρ όταν το α διατρέχει το R. 68. Δίνεται η συνάρτηση g() = f()ημ(α), α, όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο Rμε f() για κάθε R. Αν (,ψ ) κοινό σημείο των C f και C g, να δείξετε ότι οι C f και C g δέχονται κοινή εφαπτόμενη στο (,ψ ). 69. Δίνονται οι συναρτήσεις g() = και f() = α β +9. Να βρείτε τα α,βr, ώστε οι C f και C g να δέχονται κοινή εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη. 7. Δίνονται οι συναρτήσεις g() = α + β και f() = 3 4. Να βρείτε τα α,β R, ώστε οι Cf και C g να διέρχονται από το ίδιο σημείο στο οποίο δέχονται κοινή εφαπτόμενη με συντελεστή διεύθυνσης Αν f() = αln + β + 3, βρείτε τις τιμές των α,β R για τις οποίες η ευθεία ε: -ψ + 4 = είναι εφαπτόμενη της C f στο σημείο της Α(, f()). 7. Αν η συνάρτηση f: R Rείναι άρτια, παραγωγίσιμη και η κλίση της f στο = 3 είναι 4, να βρείτε την κλίση της f στο = Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της C f της συνάρτησης f() = 3 που διέρχεται από τo σημείο Α(,-6). 74. Να βρείτε την εφαπτομένη (αν υπάρχει) των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

15 συναρτήσεων στο αντίστοιχο σημείο: α) f () = ln στο (, ) β) f () = - στο (, ) γ) f () = 3 στο (, ) δ) f () = 3 στο (, ) 75. Δίνεται η συνάρτηση f () = α 3 + β + γ + δ, α. Να βρείτε τη συνθήκη για τα α, β, γ R, ώστε η C f να μην έχει σε κανένα της σημείο οριζόντια εφαπτομένη. Β ΟΜΑΔΑ 76. Για τις συναρτήσεις f,g,φ ισχύουν: Η f είναι παραγωγίσιμη στο Rμε f(), R i) Η φ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ii) g() = f()φ (), για κάθε R iii) [φ ()] + [φ ()] =, για κάθε R Αν Α(,ψ ) είναι κοινό σημείο των C f και C g, να αποδειχθεί ότι C f και C g έχουν κοινή εφαπτομένη. 78. Μία συνάρτηση f: R Rέχει την ιδιότητα: f(-) -3+ f(-3)+-4, για κάθε R. Έστω μεταβλητή ευθεία η οποία διέρχεται από το σημείο Μ(-,) και τέμνει τη C f σε δύο Να βρείτε τον τύπο της f. I)Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα Α και Β τέμνονται κάθετα και το σημείο τομής τους κινείται στη σταθερή ευθεία ψ = Μία συνάρτηση f: R Rέχει την ιδιότητα: 3f(+) f(-) = + 4 5, για κάθε R. i. Να βρεθεί ο τύπος της f. ii. ii) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f, οι οποίες άγονται από το σημείο Α(,- ), είναι κάθετες i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4(-)e = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,). ii) Nα αποδείξετε ότι οι C f και C g έχουν κοινή εφαπτομένη, όπου f() = e και g() =. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

16 8. Μία συνάρτηση f: R R ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι παραγωγίσιμη και για κάθε Rισχύει f(κ ) = f(κ +), κr. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της C f στα σημεία της Α(κ-α,f(κ-α)) και Β(κ+α,f(κ+α)) με κ α τέμνονται πάνω στην ευθεία με εξίσωση = κ. 8. α) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = , να φέρετετις εφαπτόμενες ε, ε της C f στα σημεία τομής της C f με τον και να δικαιολογήσετε από το σχήμα γιατί οι εφαπτόμενες τέμνονται πάνω στην ευθεία = 3. β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες της παραβολής y = α + β + γ, α με Δ >, στα σημεία τομής β της με τον άξονα τέμνονται στον άξονα συμμετρίας της παραβολής ( = - ). α 83. Δίνεται η συνάρτηση f () = ln (α) με α > και >. α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο (, f ( )). β) Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάνω εφαπτόμενες στο σημείο (, f ( )), καθώς μεταβάλλεται το α, διέρχονται από το ίδιο σημείο. 84. Έστω η συνάρτηση f () = ( - ). Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης, σε οποιοδήποτε σημείο της, δεν έχει με αυτήν άλλο κοινό σημείο. 85. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει η σχέση: f ( + ) - f ( - ) = - για κάθε R Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης στο σημείο Α (, f ()) είναι κάθετη στην ευθεία y =. 86. α) Έστω δύο συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R. Να γράψετε τις συνθήκες ώστε η C f και η C g στο κοινό τους σημείο με τετμημένη = να δέχονται κοινή εφαπτομένη. β) Δίνονται οι συναρτήσεις f () = και g () = Να αποδείξετε ότι οι C f, C g δέχονται κοινή εφαπτομένη σε ένα σημείο, του οποίου να υπολογίσετε τις συντεταγμένες. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 49

17 87. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει f (ln) = ln -, >. α) Να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο με τετμημένη. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηματίζεται από την εφαπτομένη της C f στο σημείο της με τετμημένη = και τους άξονες και y y. 88. Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύουν: f (4) = και (f ()) = f () για κάθε R, α) να βρεθεί ο τύπος της f. β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f που είναι παράλληλη στην ευθεία y = Αν f() ln. Να βρεθει η εξισωση της εφαπτομενης στο Α,f() 9. Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο [, ) και για κάθε R ισχυει Να βρειτε την εξισωση της εφαπτομενης της c f στο A(,f()) f(e ) Εστω f() 3 και g() 4. Να βρεθει ο α R ώστε η ευθεια ψ=αχ+-α να είναι κοινη εφαπτομενη των c f και c g 9. Εστω f,g,h συναρτησεις τετοιες ώστε ι) Η f είναι παραγωγισιμη και f(). ιι) Η h g() f()h (), h() h () Αν οι c f, c g είναι δυο φορες παραγωγισιμη με εχουν κοινο σημειο το A(, ) να δειξετε ότι εχουν και κοινη εφαπτομενη στο Α. 93. Αν f() e και g() ln και είναι Α το σημειο τομης της c f με τον σημειο τομης της και Β το c g με τον, να δειξετε ότι η ευθεια ΑΒ είναι κοινη εφαπτομενη των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων f και g 94. Αν η ευθεια ε : ψ = χ+ εφαπτεται στην παραγωγισιμη συναρτηση f στο -, να βρεθει το f lim 95. Αν η ευθεια ε : ψ =χ-4 εφαπτεται στην ( ) lnf ( ) g στο οπου f συναρτηση με συνεχη παραγωγο να αποδειχθει ότι είναι συνεχης η ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

18 f ( ) 4, h( ) ( ) f ( ) 6, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΩΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 96. Η περίμετρος μιας κυκλικής κηλίδας μεταβάλλεται με ρυθμό m/sec όταν η ακτίνα της είναι m. Να βρεθεί την ίδια στιγμή ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού της 97. Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση + ψ = ρ με = ψ. Βρείτε το t t σώμα κινείται στον κύκλο κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή αντίθετα; όταν ψ.το 98. Ένα σημείο Α κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() =. Tη χρονική στιγμή t f () βρίσκεται στη θέση (,) και το αυξάνει με ρυθμό 3 cm/sec.i) Να βρεθεί το τη χρονική t στιγμή t. Να βρείτε σε ποια θέση, όπου ψ = f(). t t Ένας πληθυσμός μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Ν(t) = t 9., όπου t ο χρόνος σε λεπτά. Αν οι φυσιολογικές απώλειες Μ κάθε λεπτό είναι ανάλογες του τετραγώνου του υπάρχοντος πληθυσμού με συντελεστή κ = -3, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής Μ.. Ένας άνθρωπος ύψους 7cm κινείται προς μια φωτεινή πηγή που απέχει από το έδαφος 3cm. Αν η ταχύτητα του ανθρώπου είναι 7,Km/h να βρεθεί με τι ταχύτητα κινείται η σκιά του κεφαλιού του.. Το εμβαδόν της περιοχής ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους είναι πάντα 9π cm. O ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του μεγαλύτερου κύκλου είναι π cm /sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του μήκους του μικρού κύκλου όταν αυτός έχει εμβαδόν 6π cm. Ο Α. Β ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

19 Τα κινητά Α,Β κινούνται προς το Ο χωρίς να έχουν αλλάξει φορά. Την στιγμή που ΟΑ=4Km και OB=3Km οι ταχύτητες τους είναι αντίστοιχα 8Km/h, 4Km/h. Να βρεθεί την ίδια στιγμή ο ρυθμός μεταβολής του μήκους ΑΒ, του εμβαδού του τριγώνου ΟΑΒ, καθώς και οι ρυθμοί μεταβολής των γωνιών του τριγώνου. 3. Σε μια δεξαμενή που έχει σχήμα κώνου χύνεται νερό με ρυθμό 5π cm 3 /sec.to ύψος του κώνου είναι m και η ακτίνα της βάσης είναι m. Να βρείτε πόσο γρήγορα ανέρχεται το επίπεδο του νερού στη δεξαμενή κατά τη χρονική στιγμή t που το νερό έχει βάθος 5m; 4. Ένα αερόστατο που ανέρχεται από το έδαφος με ταχύτητα 3 m/sec εντοπίζεται από ένα αποστασιόμετρο σ ένα σημείο Α το οποίο απέχει 6m από το σημείο απογείωσης Β. Να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο η γωνία θ = ΒΑΜ και η απόσταση S = (ΑΜ), (όπου Μ η θέση του αερόστατου) μεταβάλλονται κατά τη χρονική στιγμή t κατά την οποία το μπαλόνι βρίσκεται 6m πάνω από το έδαφος. 5. Δίνεται η συνάρτηση f() =ln, και το σημείο Μ(α,lnα), α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Μ. Για ποια τιμή του α η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων; 6. Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα ψ ψ με σταθερή ταχύτητα v = m/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η εφαπτομένη στο Μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 7. Το ύψος χ της στάθμης του νερού σε ένα κυλινδρικό δοχείο με ακτίνα βάσης cm ανεβαίνει με ρυθμό /π cm /s ί) Να γραφεί σχέση που να συνδέει τον όγκο V του νερού με το ύψος της στάθμης του χ.ii) Να βρείτε τον ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος του νερού. 8. Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με σταθερή βάση ΒΓ = 6cm η μεταβάλλεται με ρυθμό 5 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

20 cm/sαν τη χρονική στιγμή t o το σημείο Α απέχει από την πλευρά ΒΓ 6 cm, να βρεθούν: ί) ο ρυθμός μεταβολής των ίσων πλευρών,ii) ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ. 9. Αν σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ η περίμετρος αυξάνεται με ρυθμό 3cm/s να βρεθει ι) με τη ρυθμο μεταβαλλεται η πλευρα του τριγωνου ιι) Με τι ρυθμο μεταβαλλεται το εμβαδον του τριγωνου όταν αυτό είναι ισο με 3 cm ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE 9 4 9, αν. Δίνεται η συνάρτηση f() =.Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται τα Θ.ROLLE +, αν στο διάστημα [,] για τη συνάρτηση f., αν. Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να βρείτε τις τιμές α,β R για τις οποίες η f α +β, αν ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. ROLLE στο διάστημα [-π,] και έπειτα να βρείτε όλα (-π,) για τα οποία ισχύει f ( ) =. a. Δίνεται η συναρτηση f() Να βρειτε τις τιμές των α, βr ώστε να 3 (β -)χ) χ εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Rolle στο [-,] 3. Να αποδείξετε ότι: i)η συνάρτηση f() = συν ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. ROLLE στο διάστημα [-, ] ii) Η εξίσωση εφ = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-, ). 4. Έστω f μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Είναι συνεχής στο [α,β] Είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) = f(β) = Να αποδείξετε ότι: a) Για τη συνάρτηση g() = f () c όπου c[α,β] εφαρμόζεται το Θ. ROLLE στο διάστημα [α,β]. b)αν c[α,β], τότε υπάρχει c (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο της (c, f(c )) να διέρχεται από το σημείο (c,). ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 53

21 5. Δίνεται η συναρτηση f: [a,β]r, η οποία είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγισιμη στο (α,β). f() Να αποδειξετε ότι : I ) για τη συναρτηση g() e ( a)( β) εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο [α,β] ιι) Υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ)= a ξ β - ξ 6. Έστω f,g δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν τις συνθήκες: Είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [α,β] f(α) = f(β) = και f() (α,β). Να αποδείξετε ότι: a) Για τη συνάρτηση h() = f()e -g(), [α,β] εφαρμόζεται το Θ. ROLLE στο διάστημα [α,β]. b)υπάρχει (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C g στο σημείο της Α(,g( )) να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: f ( ). - f( ).ψ + κ =. 7. Δίνεται η συνάρτηση f() = ν (-) μ με ν,μν *. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) τέτοιο, ώστε f ( ) = και το σημείο Γ(,) ώστε A Bόπου Α(,) και Β(,). 8. Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,γ] και ισχύουν f(α) = f(γ) και f (α) = f (γ) =, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία, (α,γ) τέτοια, ώστε f ( ) = f ( ). 9. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β)και [α,β], Να αποδειχθεί ότι f ( ) f ( ) f ( ) υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε:.. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο [α,β], παραγωγίσιμες στο (α,β) με f(α) = f(β)e g(β)-g(α), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f ( ) + f( ).g ( ) =.. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο Rκαι ισχύει f() 6f(5)+4f(3) για κάθε, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ με f (ξ) =.. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [,3] και f(3) f() = ln3-ln, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(,3), ώστε f (ξ) =. 3. Σ έναν αγώνα δρόμου δύο αθλητές τερματίζουν με την ίδια ταχύτητα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια του αγώνα που έχουν την ίδια επιτάχυνση. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 54

22 4. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β). Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα f ( ) f ( ) τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f ( ) =. 5. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [-,] και παραγωγίσιμη στο (-,), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(-,)τέτοιο, ώστε f (ξ) = 5ξ 4 (f()-f(-)). 6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(,)τέτοιο, ώστε f (ξ) = f (-ξ). f ( ) 7. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιο, ώστε: f (ξ) =. 8. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f() =, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα f ( ) τουλάχιστον τέτοιο, ώστε: f ( ) = Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) - f(β) = α -β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f ( ) =. 3. Η συνάρτηση f: [,4] R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f() = και f(4) = 8. Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 3. Δίνεται η συναρτηση f: [α,β] R συνεχής στο [α,β],παραγωγισιμη στο (α,β) Αν f() f(θ) να αποδειξετε ότι υπάρχει θ (α, β) τετοιο,ωστε f(θ) β - θ α - θ 3. Δίνεται η συναρτηση f: RR με τύπο f()= (-a) μ (χ-β) ν μ,ν θετικοι ακεραιοι α,β πραγματικοί. Δείξτε ότι το ξ του θεωρήματος Rolle χωρίζει το τμήμα ΑΒ σε λόγο μ / ν όπου Α(a,f(a)) B(β,f(β)) 33. Αν α<β<γ ισχυει f(a)=f(β)= f(γ) όπου f συνεχής στο [α,β] δυο φορές παραγωγισιμη στο (α,γ) να δειξετε υπάρχει ξ στο (α,γ) ώστε f(ξ) =. χ 34. Δίνεται η συναρτηση f(), χ ώστε εφ /ξ = /ξ να δειχθεί ότι υπάρχει ξ στο (, /π) ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 55

23 35. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, η οποία έχει δύο τουλάχιστον ρίζες. α) Να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο ριζών της f περιέχεται τουλάχιστον μια ρίζα της f. β) Αν η f έχει δύο τουλάχιστον ρίζες, να αποδείξετε ότι μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της f περιέχεται το πολύ μια ρίζα της f. Θεώρημα Rolle και ρίζες εξίσωσης 36. Αν α, β, γr α 3.Να δειχθεί ότι η εξίσωση αχ +βχ+γ= δέχεται στο διάστημα (, ) τουλάχιστον μια ρίζα. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ημχ + ( χ-) συνχ= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) 37. Να δειχθεί ότι μεταξύ δυο οιονδήποτε ριζών της e ημχ=, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της e συνχ= Να δειχθεί ότι μεταξύ δυο ριζών της εξίσωσης e 4 υπάρχει πάντα μια ρίζα της εξίσωσης χ + 4 = σφχ 39. Δείξτε ότι η εξίσωση χ 3 3 χ + α= έχει το πολύ μια ρίζα στο (-, ) 4. Να αποδειχθει ότι η εξίσωση χ ν + αχ +β = έχει το πολύ δυο πραγματικές ρίζες 4. Δίνεται η συναρτηση f : R R δυο φορές παραγωγισιμη στο R με f () για κάθε χ R.Να αποδειξετε ότι η εξίσωση f () = έχει το πολύ δυο ρίζες. 4. Αν η συναρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγισιμη στο [ α, β ] και οι αριθμοί α, β είναι ρίζες της f και της f να αποδειξετε ότι υπάρχει ξ που ανήκει στο ( α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) = 43. Αν η εξίσωση χ 4 + αχ 3 +3βχ +γχ +δ = έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες μεταξύ τους, να αποδειξετε ότι α > 8β 44. Έστω συναρτηση f : RR με f ( ) =.Να αποδειχθει ότι η εξίσωση ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 56

24 f () ( - ) = f ( ) έχει μια τουλάχιστον ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ πραγματική ρίζα 45. Για την συναρτηση f ( ) = ( χ 4 ) ημ χ εφαρμόστε θεώρημα Rolle στα διαστήματα [ -. ] και [, ] και στη συνεχεία δείξτε ότι η εξίσωση ( χ 4 ) συν χ + χ ημ χ = έχει δυο τουλάχιστον ρίζες 46. Δίνεται το πολυώνυμο Π() = (-)(+)( -3). Να αποδείξετε ότι τι πολυώνυμο Π () =, έχει τρεις ρίζες ανά δύο διαφορετικές. 47. Αν α,βr με α β και τα α,β είναι ρίζες της εξίσωσης e - = συν, να αποδείξετε ότι η εξίσωση e (ημ-συν) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β). 48. Αν α, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 +α 3 +α +β+γ = έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες Δίνεται η συνάρτηση f() = 3, όπου η παράμετρος μr. Να αποδείξετε ότι η 3 εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες. 5. Αν..., ν 3 + α + α =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,). Ν *, να αποδείξετε ότι η εξίσωση α ν ν + α ν- ν α 5. Αν αβ και αγ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4α 3 +3β + γ = α + β + γ έχει ακριβώς μια ρίζα στο (,). 5. Να λυθεί η εξίσωση: ln( + e ) =. 53. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = ημ + συν έχει ακριβώς δύο πραγματικές ρίζες, μία στο (-,) και μία στο (, ). 54. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) + ln = ii) e = + iii) e e - e + = 55. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α 3 +β +γ+δ = e έχει το πολύ τέσσερις πραγματικές ρίζες. 56. Αν α+β =, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3α + 4β - =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο R. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 57

25 i) Αν ο ν είναι άρτιος θετικός ακέραιος και α, να αποδείξετε ότι η εξίσωση (+α) ν = ν + α ν έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. ii) Να λυθεί η εξίσωση: (+3) 996 = (+) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 8α 3 +9β - 6β - α =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,). 58. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση μ = έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα στο διάστημα (,). 59. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση λ + μ = έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε λ,μ R. 6. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = και g() = έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο διάστημα (,). ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Α ΟΜΑΔΑ, - 6. Δίνεται η συνάρτηση f() =. Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του 3, - Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [-3,] και αν ναι, να βρείτε όλα τα ξ(-3,) που να επαληθεύουν το Θ.Μ.Τ. 6. Δίνεται η συνάρτηση f με f() = (-ln). Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [,e] και αν ναι, να βρείτε όλα τα ξ(,e) που να επαληθεύουν το Θ.Μ.Τ. 63. Δίνεται η συναρτηση f συνεχής στο [, 5 ] παραγωγισιμη στο (,5 ) και f ( )=5, f (5 ) =. Να δειξετε ότι υπάρχει ξ στο (,5) ώστε η εφαπτόμενη της C f στο ( ξ,f (ξ)) να είναι παράλληλη στην ευθεία 3 χ +4 ψ 7= 64. Αν η συναρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο [α,β ],δυο φορές παραγωγισιμη στο ( α,β) με f(a)=a, f(β) =β και f ( γ) =γ με α<γ<β. Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ ( α, β ) : f ( ξ ) = 65. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με f() για κάθε [α,β].εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. στο [α,β] για τη συνάρτηση f() = lnf(), να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο ώστε: f ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( )e ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 58

26 66. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α) = 3 β και f(β) = 3 α, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο Μ(ξ,f(ξ)), να σχηματίζει με τον άξονα χ χ γωνία ω = Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,3] με f() = 5 και (,3), να αποδείξετε ότι 4 f(3) 6. f () για κάθε 68. Έστω f μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R.Αν οι αριθμοί f(), f(4), f(6) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(,6) τέτοιο ώστε f (ξ) =. 69. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R της οποίας η παράγωγος f είναι γνησίως φθίνουσα στο R.Αν οι αριθμοί α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με α β γ δ, να αποδείξετε ότι: f(α) + f(δ) f(β) + f(γ). 7. Αν η συνάρτηση f () είναι γνησίως φθίνουσα στο R και είναι f() =, να αποδείξετε ότι: f () f() f (). 7. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,5] με f() = -και f () για κάθε (,5), να αποδείξετε ότι: - f(5) Η συναρτηση f είναι συνεχής στο [-3,3 ] δυο φορές παραγωγισιμη στο (-3,3 ) με f( )= f (3)+f (-3 ).Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ ( -3, 3 ) ώστε f (ξ )= 73. Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ. να λύσετε την εξίσωση: = Δίνεται η συναρτηση f : [ α, β ] R συνεχής στο [α, β ] και παραγωγισιμη στο ( α, β ) με f (α ) = f (β ). Να δειχθει ότι υπαρχουν ξ,ξ (α,β) ώστε f ( ξ )+ f ( ξ )= 75. Εστω συναρτηση f παραγωγισιμη στο [, 4 ] με f(4)= 4 f() και f ( ) =. Να δειχθει 4 ότι υπαρχουν ξ, ξ, ξ 3 (,4) ώστε f ( ξ )+ f ( ξ )+ f ( ξ 3 ) = Εστω συναρτηση f συνεχης στο [ α, β ], παραγωγισιμη στο ( α, β ) με f ( α)== f (β )=4 Να δειχθει ότι υπαρχουν ξ, ξ ώστε f ( ξ ) + f ( ξ )= 77. Αν f παραγωγισιμη στο [ α, β ] με f ( α ) = α, f ( β ) =β Να δειχθει ότι υπαρχουν ξ, ξ ( α, β ) ώστε f ( ξ ) + f ( ξ ) = (Υποδειξη Bolzano στο [α,β] για την g()= f()+ α β αρα g (ξ)=.και Θ.Μ.Τ στα [α,ξ ], [ξ,β ] ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 59

27 78. Nα αποδείξετε ότι: ln, για κάθε,ψr. 79. Nα αποδείξετε ότι: i) - e ln 8. Nα αποδείξετε ότι: e ii) 3 iii) - e ln e i) ln( ) ln( ) π, αν α β. ii) ln( ), αν. iii), αν -. iv). v) e ( )e, αν (,). Β ΟΜΑΔΑ 8. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,], παραγωγίσιμη στο (,) με f()= f(). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία α,β(,) τέτοια ώστε: f (α) + f (β) =. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα. 8. Αν α β, να αποδειχθεί: e β -e α β e β - α e α. 83. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R της οποίας η παράγωγος f είναι αύξουσα στο R. Αν α,βr με α β και f (α) = f (β) =. Να δειχθεί ότι: f(α) = f(β). 86. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α) = β και f(β) = α. Να αποδείξετε ότι: i)η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β). ii) Υπάρχουν ξ, ξ (α,β)τέτοια ώστε: f (ξ ). f (ξ ) =. 87. Αν ισχύουν α γ β, και f (γ) = και f () για κάθε [α,β], να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) ( ). 88. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν υπάρχει εφαπτομένη της C f η οποία έχει με τη C f δύο τουλάχιστον κοινά σημεία, να αποδείξετε ότι:i) Η f δεν είναι -. ii)υπάρχει R με f ( ) =. 89. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β], με f(β) και f(α) =f (α)=. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ). ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

28 9. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία της C f.να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ με f (ξ) =. 9. Αν η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [,3], να αποδείξετε ότι υπαρχουν ξ, ξ, ξ 3 (α,β)τέτοια ώστε: f (ξ ) + f (ξ ) + f (ξ 3 ) = f(3) - f(). 9. Η συνάρτηση f: [α,β] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και συνεχής με f(α) = f(β) =. Να αποδείξετε ότι: αν υπάρχει (α,β) με f( ), τότε υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ), αν υπάρχει (α,β) με f( ), τότε υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ). 93. Η συνάρτηση f: [,4] είναι συνεχής στο διάστημα [,4], παραγωγίσιμη στο (,4). Αν f() = -3 και f () για κάθε (,4), να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει μοναδική ρίζα στο (,4). 94. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [,], με f() = και f() =, να αποδείξετε ότι: I)υπάρχει γ(,) τέτοιο, ώστε: f(γ) =, II) υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοια, ώστε: f ( ) f ( ) 95. Έστω α και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [-α,α]συνάρτηση g. Αν g() = g(α) + g(-α), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ(-α,α) τέτοιο, ώστε: g (ξ) =. 96. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα της μορφής (α,+ ) με f ( ) f () lim f (). Να αποδείξετε ότι: ι) lim για κάθε ε, ιι) αν επιπλέον ισχύει ότι lim f (), κ(,+ ), τότε λ =. 97. Να αποδειξετε ότι. ι) - π e < ln π < e π ιιι) Αν < α < β να δειξτε ότι α e < ιι) e ln χ χ>, και e e e e 98. Έστω f συνεχής στο [α,b], παραγωγίσιμη στο (α,b) και f(a)=b,f(b)=a> Δείξτε ότι υπάρχουν ξ,ξ στο (α,b) : f (ξ )f (ξ )=. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

29 99. Aν f : [,] R f ( ) να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ στο (,) f '( ) f '( ) να δείξετε ότι υπάρχουν τώρα α,α,,α n στο (,):f(a )=/n, f(a )=/n,,f(a n )=n/n= (a =). Χρησιμοποιώντας το θεώρημα μέσης τιμής δείξτε ότι υπάρχουν αριθμοί y i του διαστήματος n (,): n (Η διαμέριση εδώ έγινε στον άξονα yy ) f '( y ) i i. Αν f ( ), [ a,b] και η f είναι γνήσια μονότονη δείξτε ότι : Υπάρχουν μοναδικά c,d ( a,b ) και πραγματικός αριθμός κ : f ( c ) f ( a ) k f ( d ) f ( c ) k f ( b ) f ( d ) 3k Στην συνέχεια δείξτε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ, ξ και ξ 3 στο (α,b) : 3 6(b a ) f '( ) f '( ) f '( ) f (b ) f ( a ). Έστω f συνεχής στο [α,b], παραγωγίσιμη στο (α,b) και f(a)=f(b) Δείξτε ότι υπάρχουν ξ,ξ στο (α,b) : f (ξ )+3f (ξ )=. Εξηγείστε γεωμετρικά.έστω k ο αριθμός που ορίζεται από την ισότητα f (b ) [α,b] με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Δείξτε ότι υπάρχει ξ στο (a,b) f ( b ) f ( a ) b a! ( b a ) f '( a )! f ''( ) b a ( b a ) f ( a ) f '( a ) k,όπου f στο!! (Το συμπέρασμα είναι εξαιρετικό! Ανοίγει ολόκληρο κεφάλαιο παραπέρα στην ανάλυση με τίτλο : Σειρές Taylor!! Κάντε λίγο υπομονή. Μήπως μπορείτε να το γενικεύσετε ;) Σ Υ Ν Ε Π Ε Ι Ε Σ Θ. Μ. Τ. Σ Τ Α Θ Ε Ρ Ε Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Α ΟΜΑΔΑ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 6

30 3. Για τη συνάρτηση f: R ισχύουν: f() = α και f () = αf() για κάθε Rκαι α. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() = f() f(-) είναι σταθερή στο Rκαι στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της. 4. Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α = (,5) και ισχύει f () f() = -6, τότε: ι)να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g() = 3 συνάρτηση f. f () f () για κάθε Α και 3 είναι σταθερή,ιι) να βρεθεί η 5. Δίνεται η συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f () = f(-) για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f () + f (-), R, είναι σταθερή. 6. Να βρεθεί η συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f (),, και f(-) =. 7. Η κλίση της παραγωγίσιμης συνάρτησης f: R στο τυχαίο σημείο Μ(,f()) είναι ίση με το διπλάσιο της τιμής της f στο. Aν f() =, να βρεθεί ο τύπος της f. 8. Να βρεθεί η συνάρτηση f αν: ι) f () = 6 + για κάθε R και f() =. Ιι)f (-) = 7- για κάθε R και f() =.ιι) f ( 3 ) = 8 + για κάθε Rκαι f() =. Ιιι)f () = 4e για κάθε Rκαι f () = f() = Ιv)f () = - για κάθε R* και f(-) = f() =. 9. Δίνεται η συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: (-)f () = 5 + για κάθε R. Αν f(3) = 7, να βρεθεί ο τύπος της f.. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f () = για κάθε R*. Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. Β ΟΜΑΔΑ. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f () = -f() για κάθε R. Αν f() = 3, να βρεθεί ο τύπος της f.. Δίνεται η συνάρτηση f: R με f() =, για την οποία ισχύει: (f()-e ) (f ()-e ) = για κάθε R.i) Να αποδείξετε ότι (f()-e ) =. ii) Να αποδείξετε ότι η h() = f()-e διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο στο R. Iii)Να βρείτε τον τύπο της f. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 63

31 3. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R* με f() = και f () = -f 3 () για κάθε. i)να βρείτε: την παράγωγο της συνάρτησης g(), ii) τον τύπο της συνάρτησης f. f () 4. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f ( ) f ()f ( ) για κάθε,ψrκαι f() =, f () =. Να αποδείξετε ότι:i) f( h) f() f()(f(h) ) h ii) f () = f() + 5. Αν οι συναρτήσεις f,g: R είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με f() +f () = g() + g () και οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν σε κοινό τους σημείο κοινή εφαπτόμενη, να αποδείξετε ότι f() = g() για κάθε R. 6. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f (+ψ) = f()f(ψ) για κάθε,ψr.αν η ευθεία ε: ψ = + είναι εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ(,f()), να βρεθεί: i) το f(), ii)ο τύπος της f. 7. Να αποδείξετε ότι: i)f () = -f() για κάθε R,αν και μόνο αν υπάρχει c R έτσι, ώστε f() = ce - για κάθε R, ii)αν για κάθε R ισχύουν g () = -g() και h () =-h() και η h δεν είναι μηδενική συνάρτηση, τότε υπάρχει crέτσι, ώστε g = ch. 8. Αν f () = -f() για κάθε R, f() = α, και f () = β, να αποδείξετε ότι (f()) + (f ()) = α + β 9. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ() για τα οποία ισχύει P() + P(ψ) = P(+ψ)-ψ- για κάθε,ψr και Ρ () = -.. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f: Δ, όταν για κάθε Δ είναι: (f()).(f ()) = 3 8, f() = και Δ = R i) f () = e -f(), f() = και Δ = R ii) συν.f () + (f()) 3 =, f(),f ( ) (, ) Υποθέτουμε f () f ( ) ( ) για κάθε,ψr, όπου ν άρτιος θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 64

32 . Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f: (, ) R, για την οποία ισχύει: g ()συν + g()ημ = g()συν για κάθε (, ) και g() = Αν f () = -f() για κάθε R, f() =, και f () =, να αποδείξετε ότι: (f()) + (f ()) =, η συνάρτηση h() = f() συν ικανοποιεί (h()) + (h ()) =, Να δειξετε ότι f() = συν, R. την ισότητα 4. Δίνεται η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R για την οποία ισχύει: f() = ( + f ()) για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. 5. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f() = = f (), f() και 3 f () f () + f() = για κάθε. 6. Δίνεται η συνάρτηση f: (, + ) R, για την οποία ισχύουν: f(ψ) = f().f(ψ) για κάθε,ψ, ii)f() για κάθε, iii)f () = 5. Να αποδειχθεί ότι: α) η f είναι παραγωγίσιμη στο,, β) να βρείτε τον τύπο της f 7. Έστω f και g δύο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [ρ,ρ ] με f()g () f ()g() = για κάθε ( ρ,ρ ). Αν f(ρ ) = f(ρ ) =, f( ) για κάποιο ( ρ,ρ ) και g( ) g( ) να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ( ρ,ρ ) τέτοιο, ώστε g(ξ) =. 8. Έστω f παραγωγίσιμη στο [α,b], f (a)=f (b)=. Δείξτε ότι υπάρχει ξ στο (a,b) : f (ξ)= f(ξ ) f ( a ). a (θεώρημα Flett) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΟΜΑΔΑ 9. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: i)f() = + ii) f() = ln ii) f() = (-)e (+)e - ιιι) f() = ln ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 65

33 ιv) f() = 9 v) f() = (ln- 3 ) (ln-) + vi) f() = (ln-) 8(ln-) 3. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: i) f() = ln ii) f() = iv) f() = 6, 3, 4 ln iii) f() = v) f() = 7. e e, ln, ln 3. Έστω η συνάρτηση f() =, ln( ) i) να αποδείξετε ότι ln ln ( ) ( ) όταν α β i) να μελετήσετε τη μονοτονία της f 3. Έστω η συνάρτηση f() = ln( ), [,+ ) να μελετήσετε τη μονοτονία της f ln ii) να αποδείξετε ότι α) ln(e-)ln(e+) β) ln(e π -)ln(e π +) π. 33. Έστω η συνάρτηση f() =, *, i) να μελετήσετε τη μονοτονία της f ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 4,, *,. 34. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f() = α, α ii) Αν α να βρείτε τις τιμές του λ R που ικανοποιούν τη σχέση: 4 ( 4) ( ) 35. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f() = ( )e e e, [α,β] με α ii) Αν α β, να αποδειχθεί ότι ( )e e e. 36. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f() = ii) Να βρεθεί ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς,με 3,, 3..., (όπου νν με ν ). 37. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f() = (+)ln(+), ii) Αν α, β και ισχύει e β (α+) α+ = e α (β+) β+, να αποδειχθεί ότι α = β. 38. ln ln Δίνεται η συνάρτηση : f () ln, α i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f. ii) Αν β α, να αποδειχθεί ότι: ln ln ln. 39. Δίνεται η συνάρτηση : f() = ln,. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 66

34 συνάρτησης f. Ii) να αποδείξετε ότι:e π π e iii) να αποδείξετε ότι:e e, για κάθε Β ΟΜΑΔΑ 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ln + = ii) e + = e iii) ln = 4. Να λύσετε την εξίσωση συν + ln(εφ ) = συνln(ημ) (,π). 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα [,e]. 43. Nα βρεθούν οι τιμές του αr, ώστε η συνάρτηση f() = 4 3 3α + +, να είναι γνησίως αύξουσα στο R. 44. Nα αποδείξετε ότι ισχύει: 3 i)ln για κάθε ii) ln( ) για κάθε iii) e +ln(+) για κάθε 3 - iv)e + e - + για κάθε R v) + ln(συν) για κάθε [, 4 ] vi) ln(+ ) για κάθε vii) + + ( )e για κάθε 45. Nα αποδείξετε ότι: i)ln για κάθε. Πότε ισχύει η ισότητα; Ii)Αν α, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = ln ln είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (,α). 46. Δίνεται η συνάρτηση f() = ημχ+ - 3χ χ [,π/), ί) Να. μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία ii) Να αποδείξετε ότι ημχ + ημχ > 3χσυνχ, χ [ Ο, π/ ). 47. i) Nα αποδείξετε ότι ln + για κάθε ii) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f() = ln iii) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό μ που ικανοποιεί τη σχέση (μ+) ln(μ +5) = (μ +4) ln(μ +μ+). 48. Δίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ 3-3(λ - )χ + 6( - λ)χ +, λ R Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα. 49. Δίνεται η συνάρτηση f: R R με f () για κάθε R. Να αποδείξετε ότι αν αr, τότε ισχύει f() f (α)(-α) + f(α) για κάθε R. 5. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και ισχύουν f(α)=f(β)= και f () για κάθε [α,β], να αποδειχθεί ότι f() για κάθε (α,β). 5. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 67

35 f () για κάθε (α,β). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f () f ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β). 5. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(χ) =e - και g(χ) = χ - χ έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό. 53. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = διαστήματα (-,-) και (,+ ). είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα 54. Αν η συνάρτηση f: R R είναι παραγωγίσιμη με f() = και η f είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f (),, είναι γνησίως φθίνουσα. 55. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [,] με f () για κάθε (,) και f() = f() =, να αποδείξετε ότι είναι f() για κάθε (,). 56. Αν f,g παραγωγίσιμες για κάθε (, ) και συνεχείς στο [,+ ), ακόμη f () f() g (). Να αποδειχθεί ότι f() g() για κάθε (, ). 57. Έστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] f (α) και f () για κάθε [α,β] Να αποδειχθεί ότι: f(α) f(β). 58. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και f () για κάθε [α,β]. Να αποδειχθεί ότι: f f ( ) f ( ). 59. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β), να αποδείξετε ότι για κάθε (α,β) f () f ( ) f ( ) f ( ) ισχύει:. 6. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) = f(β). Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β), να αποδείξετε ότι για κάθε (α,β) ισχύει: f() f(α). 6. Αν η συνάρτηση f: R R είναι παραγωγίσιμη με f() = και f () + f() για κάθε R, να αποδείξετε f() για κάθε. 6. Αν g () συν-g() για κάθε R, να αποδείξετε ότι g() για κάθε. 63. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [, + ), με f () για κάθε f () και lim f() = Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g με g() = είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ). ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 68

36 64. Έστω συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και f () για κάθε [α,β]. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και υπάρχει γ(α,β) τέτοιο, ώστε να ισχύει f(γ) = να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) είναι:. f ( ) f ( ) 65. Η συνάρτηση f: (, + ) R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τη σχέση f(f ()) + f() = για κάθε. Αν f() =, να αποδειχθεί ότι: i)f(f ()) = για κάθε. ii) f() = ln,. 66. Να λυθούν οι εξισώσεις ι) = 5 ii) = +4 > 67. Δίνεται η συνάρτηση : f() = i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει τέσσερις ακριβώς πραγματικές ρίζες, δύο αρνητικές και δύο θετικές. 68. Αν η συναρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α, β] και ισχύουν f(α) = f(β) = Ο και f () για κάθε χ (α, β), να αποδείξετε ότι f(χ) > Ο για κάθε χ (α, β). 69. Δίνεται η συνάρτηση : f() = α. i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = όταν το α διατρέχει το R. 7. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 3 α 9 + α = όταν το α διατρέχει το R 7. Δίνεται η συνάρτηση : f() = 8. i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης διατρέχει το R. 7. Δίνεται η συνάρτηση : f() = (- )(ln-). i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() =. iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. iv) Να αποδείξετε ότι: (- )(ln-) για κάθε. 73. Δινεται η συναρτηση f () =3 χ 4 + 4χ 3 χ +4 ι) Ναβρεθουν τα διαστηματα μονοτονιας f ιι) Να αποδειχθει ότι εξισωση f()= εχει τεσσερις ακριβως ριζες πραγματικες και δυο αρνητικες και δυο θετικες 8 όταν το α 74. Δινεται η συναρτηση f () = - ln( ), > - I) Nα μελετησετε ως προς την μονοτονια τις f και f ii) Να λυσετε την εξισωση f ()= ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 69