1. Να βρεθούν με τη βοήθεια του ορισμού οι παράγωγοι αριθμοί των παρακάτω. 2. Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο x0

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ι. ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ f ( ) 1. Να βρεθούν με τη βοήθεια του ορισμού οι παράγωγοι αριθμοί των παρακάτω συναρτήσεων: i) f () = στο = 3 ii) 3 f () = και = iv) f () = + 3ηµ στο = v) f () = ( 1) στο = vi) f () = στο = vii) f () = 3 και =. Εξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο 1. f( ) = 1, = 1. f( ) =, = 3. f( ) =, = f( ) =, = 5. 3 f( ) =, = 6. ( ) π ηµ, f =,=,= 3. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι παραγωγισιμες στο χ ηµ, e, < ι) f() =, χ= ιι) f () =, =, χ=, = 1 1 e συν ν,> 4 4. Αν η f είναισυνεχής στο και f() ηµ, R, να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγισιμη στο. 5. Έστω η συνάρτηση f, για την οποία ισχύει: f () + για κάθε R, δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο = και να υπολογισθεί το f ( ) 6. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγισιμες στο α, f(α)=g(α) και f()+ g() +α, R, να δείξετε ότι g( α) f ( α ) = α 7. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση g με f(), g() = f ( ) ( ) + f( ), > είναι παραγωγίσιμη στο. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 46

2 8. Δίνονται οι συναρτήσεις, g ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ f με: g() f() g() + ( 1) για κάθε R και g '(1) =. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο = 1 και να βρείτε την f '(1). ΙΙ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 9. Να βρείτε τα α, β R ώστε να είναι παραγωγίσιμη στο ο =, η συνάρτηση f() = a β, 3 + 1, <. 1. Να βρεθούν οι α,β R ώστε η συνάρτηση παραγωγισιμη στο χ =1 α + β , < 1 f ( ) = + ( α+β) 1, 1 να είναι f( ) Αν η f είναι συνεχής στο και = 5, f () είναι παραγωγισιμη στο και να βρείτε το lim lim να αποδείξετε ότι η f 1. Αν f + 4f ( ) ( ) f ( ) =,lim = 4 να αποδείξετε ότι f () = f () 13. Αν lim = και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = 1, δείξτε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο = 1. f ( ) 14. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 1 και lim = η f είναι παραγωγίσιμη στο 1., να αποδείξετε ότι 15. Έστω συνάρτηση f : R R παραγωγίσιμη στο R. Αν g: R R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει: () = f () f ( ) ( ) f ( ) g να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R 16. Έστω f R R 3 3 : μια συνάρτηση με f ()+f()+1=, R να δείξετε ότι: α) η f είναι συνεχής στο = 1 β) f () 1 = Έστω f : R R μια συνάρτηση παραγωγισιμη στο = με 3 3 f + f = R ( ) ( ), να δείξετε ότι: f ()=1 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 47

3 III. ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ f ( ) 18. Αν α και η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη στο α, να βρείτε το 3 3 f ( ) f( α ) f ( ) + 3f ( α) f( ) f ( α) lim α α ν f ( + h) f ( ) +α 1h+α h ανh 19. Αν ν Ζ με ν > 1 και lim = m, h h m R. να αποδείξετε ότι f ( ) = m α1. Αν f(3) = 1 και f (3) = 6, να βρείτε το όριο lim 3 (f()) Έστω η συνάρτηση f με f (1) f '(1) = f ( ) 4 f( ) ι) lim ιι) 1 lim =. Να βρείτε τα όρια:. Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R, δείξτε ότι: f ( ) f ( ) lim = f ( ) f ( ). * 3. Έστω συνάρτηση f : R R με f ( ) = f ( α) = 1 + α να βρείτε το όριο: α f( α) f ( ) lim α α 4. Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο R, παραγωγίσιμη στο = και f()=, 1 δείξτε ότι: lim f = f () Υπάρχει ο f (α). Βρείτε το 6. Υπάρχει ο f (α). Βρείτε το f lim α f lim α 7. Υπάρχει ο f (α).δείξτε ότι f '( ) ( α) αf ( ) α ( α) α f( ) α ( +α) ( α ) f f α = lim 8. Να αποδείξετε ότι: αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε: f ( + h) f ( ) f ( h) f ( + 3h) ι) lim = f '( h ) ιι) lim = 4f '( ) h h h f ( h) f ( ) f ( + h) f ( ) ιιι) lim = f( h ) f '( ) ιv) lim = h h h ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 48

4 α 9. Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R α f () f ( α) lim = α f ( α) α f ( α α α i) Να δείξετε ότι ) ii) Εάν και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο g( α) f () g() f ( α) lim = g( α) f ( α) f ( α) g( α) α α IV. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ α R, να δείξετε ότι: 3. Έστω συνάρτηση f για την οποία για κάθε, y R ισχύει: f () + y f ( + y) f () y. Δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε R. 31. Δίνεται η συνάρτηση f με την ιδιότητα f( + y) = f() f(y), για κάθε, y R και f(). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο, να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του R και μάλιστα f () = f () f(), για κάθε R. 3. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες στο R και ισχύουν: i) f ( + y) = f ( ) fy ( ) για κάθε, y R. ii) f ( ) = 1+ g ( ) για κάθε R iii) lim g ( ) = 1 Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε R. 33. Εάν για τη συνάρτηση f ισχύει: f + h = 1 + h + hµ h + 3h ( ), για κάθε h R, να δείξετε ότι: i)f( ) = 1 ii) f ( ) = Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγισιμη στο 1 και f( ψ) = ψ f( )+ χ f ( ψ), να αποδείξετε ότι f ( ) f ( ) = f1 () Aν fy= fyf y + f1 = 1 ( ) ( ) ( ),, (, ), ( ) / τότε δείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε όλο το (, + ) 36. Θεωρούμε τη συνάρτηση f :R R παραγωγίσιμη σ όλο το πεδίο ορισμού της, για την οποία ισχύει ότι: πραγματικούς αριθμούς και f ()= y f( y) e f(y) e f() + = +, για κάθε,y ι) Να αποδείξετε ότι f () = και f(3) = 3e f(), για κάθε R f( ) f( ) ιι) Να βρείτε τα lim,lim ιιι) Να βρεθεί η f() ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 49

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΠΛΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 37. Nα βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων όπου υπάρχουν f( ) =. f()= f()= 4. f()= f()= f()= 38. Δίνεται η συνάρτηση f() = ηµ + συν, αν < + + 1, αν. Να βρεθεί η f (). 39. Αν f() = και g() = 1 1+ να εξεταστεί: α) αν f = g β) f = g 4. Αν f(1) = και f (1) = 5 να βρείτε την g (1), όπου g() = f()- f(). ΙΙ.ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 41. Να βρειτε τις παραγωγους των συναρτησεων α) 4 3 f()= ln ( +3) β) e +5 f()= γ) ln ( +3) ln f()= ημ (e + +1) δ) f()= +1 ε) 3 f()= στ) 3 f()=( ) ζ) +1 f()= Να βρειτε τις παραγωγους των συναρτησεων 3 συν, α) f()= β) f()= γ) f()=,= 43. Αν f δυο φορές παραγωγίσιμη να βρείτε την ( f ( )) ( ) 44. Αν f δυο φορές παραγωγίσιμη να βρείτε την f(ln)+ ( lnf () ) 45. Να δείξετε ότι η συνάρτηση y με τύπο - y()= e +e επαληθεύει την εξίσωση ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

6 4y ()+y ()- y()=, R ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 46. Αν f(t)=e -αt ημ(ωt), α, ω R * σταθερές, υπολογίστε την τιμή της παράστασης: f (t)+α f (t)+(α +ω )f(t). (Η παράσταση αυτή είναι διάσημη στην φυσική γιατί παριστάνει την εξίσωση της φθίνουσας Α.Τ) 47. Να δείξετε ότι υπάρχουν δυο τιμές του α : η συνάρτηση y με τύπο y ()-3y ()+y()=, R. a y a()= e να επαληθεύει την εξίσωση Στην συνέχεια δείξτε ότι η συνάρτηση g()= c1y 1()+cy () επαληθεύει την ίδια εξίσωση 48. Έστω f τρεις φορές παραγωγίσιμη στο R ώστε ( ) ( ) f ()= 49. Να υπολογισετε τις παραγωγους των συναρτησεων α) f()=, > β) ημ f()= +3 γ) 4 f () + f() = δείξτε ότι f()= e συν, > δ) f () = ( ηµ ), (, π ) 5. Εστω f :R R δυο φορες παραγωσιμη συναρτηση.να βρειτε τις συναρτησεις g,g όταν α) 3 4 β) g()= f ( + +1 ) γ) g()= f(ημ3)+f () 4 1+f () f() g()= e -, > 51. Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων α) f()=ημ(συν )συν(ημ ) β) f()=ημ 4 (ln 5 συνe ) γ) f()=, > 1 δ) f()= (1+) ε) f()= 4 1+ ln 6 στ) f()= 3, [,11) 3 +, [11, + ) Αν η για την παραγωγισιμη στο R συναρτηση f ισχυει f( )= f ( ) και f (), να βρεθει η τιμη f(1) 53. Έστω δύο συναρτήσεις παρ/μες στο R οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση: = f() g() e Να αποδείξετε ότι: g ()- g() f ()- f() = [g()] [f()] Αν = t + 5t, y = 5t,t > βρείτε την d dy 55. Να αποδειξετε ότι ι) f() = f () = ιι) Αν h() = f() f (), R τοτε ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 51

7 h () f () f () = +, R h() f() f () ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 56. Αν ν Ν* και α1ημ + αημ() + α3ημ(3) +.+ανημ(ν) ηµ για κάθε R όπου α1,α,α3,.αν σταθεροί(πραγματικοί αριθμοί), ν α αποδείξετε ότι : α1 + α + 3α3+.+ναν Aν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο και για κάθε ισχύει: f(e -1 )=ημ(π), να υπολογίσετε τις f (1), f (1) 58. Αν f()=(-1)(-) (-1), να βρείτε την f () 59. Aν f()=(-α) 3 (-β) 5, να δείξετε ότι f () = με α και β f() -α -β 6. Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο Δ, με g(), για κάθε Δ. Θεωρούμε την συνάρτηση h()= f() g(). Aν h ( ) = να δείξετε ότι : f ( ) h()= g ( ), με g() 61. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R.Να αποδείξετε ότι: Ι)Αν η f είναι άρτια, τότε η f είναι περιττή ΙΙ) Αν η f είναι περιττή, τότε η f είναι άρτια 6. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και άρτια, να αποδείξετε ότι και 1 συνάρτηση g() = f(f ())-f είναι άρτια Αν f,g δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο με f () και για τη συνάρτηση G() = g() f() e ισχύει G () = να αποδείξετε ότι g () = f () g(). 64. Να αποδειχθούν οι τύποι των νιοστών παραγώγων των παρακάτω συναρτήσεων: α) f()=e α, f (ν) ()=α ν e α β) f()= ημ(α), f ν) ()=α ν ημ(α+ νπ ) 65. Να βρειτε τη νιοστη παραγωγο των συναρτησεων ι) f()= ημ, R 1 ιι) f()=, R * ΙΙΙ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 66. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ με Ρ() = [Ρ ()] για κάθε R. Να ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 5

8 βρείτε τo πολυώνυμο δευτέρου βαθμού Ρ με Ρ()- Ρ () = -7+7, R. 67. Να βρείτε πολυώνυμο P() ώστε να ισχύει: α) ( e P() ) β) Να έχει βαθμό ν 1 και να ισχύει [ P ()] =P(), με P(1)= γ) Να έχει βαθμό ν 1 και να ισχύει P()= P () P () =e (-1), 68. Αν το f() = α +β+γ, α, έχει δύο άνισες ρίζες ρ1,ρ, να αποδείξετε ότι: Ι) f ( ρ1)+ f ( ρ) = ii) f ( ρ1)f ( ρ) ιιι) ρ1/f ( ρ1)+ ρ/f ( ρ) = 1/α. 69. Να υπολογισθούν τα αθροίσματα: Ι) Α = ν ν-1, R και ν Ν* Ιι) Β = ν ν-1, R και ν Ν*. 7. Αν f() πολυώνυμο βαθμού ν, να αποδειχθεί ότι: Ι) f() = (-ρ) π() f(ρ) = f (ρ) = ii) Να βρείτε τις τιμές των α,β R για τις οποίες το πολυώνυμο (-1) είνα παράγοντας του πολυωνύμου f() = α ν+ - β ν+1 + με ν. 71. Έστω f()=αν ν + αν-1 ν-1 + +α1+ α, αν, α με ρίζες ρ1, ρ,,ρν διάφορες ανά δύο. Να δείξετε ότι: f () i) = , ρi i=1,,3,...,ν f() -ρ -ρ -ρ 1 ii) f()f () < [f ()], για κάθε ν iii) Nα υπολογίσετε το άθροισμα ρ ρ ρ 1 iv) Αν f(ρ1)= f (ρ1)= και f (ρ1) να δείξετε ότι ν ρ -ρ ρ -ρ ρ -ρ = ν IV. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ 7. Να αποδειχθεί ότι: Ι) Η συνάρτηση f: (,π) R, με f() = συν, είναι Αντιστρέψιμη Ιι)Η συνάρτηση f -1 είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (-1,1 1 και ότι [f -1 ()] =, (-1,1) , με την ιδιότητα f()f 1 =,για 1 κάθε χ> Να αποδειχθεί ότι:ι) f = 1/f (), για κάθε. 1 Ιι) [f()f ] =, για κάθε. 73. Έστω μια συνάρτηση f: (, ) (, ) ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 53

9 74. Εστω η συναρτηση f() = ημχ,, ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ π π να βρειτε την παραγωγο της f Η συναρτηση f : R R είναι 1-1 παραγωγισιμη στο R και f( R)= R Αν για καποιο σημειο α R ισχυει α = Να αποδειξετε ότι η 1 f (f ( )) f 1 δεν είναι παραγωγισιμη στο = α 76. Οι συναρτησεις f,g είναι 1-1 και εχουν πεδιο τιμων το R. Αν είναι παραγωγισιμες στο R και ισχυει f () = g 1 (), g() = f 1 (), R f g g f () f g () Να αποδειξετε ότι ( + ) = ( + ) 77. Δίνεται η συνάρτηση f()=5e +-. Nα δειχθεί ότι αντιστρέφεται και έπειτα να δείξετε α) f(α) για κάθε α β) ( ) f (f ( )) α = α γ) ( ) 1 1 V. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ f( ) f (3) = Η συναρτηση f είναι παραγωγισιμηστο (, + ) και για κάθε α, β (, + ) ισχυει f( α β ) =α f( β ) +β f( α ). Να αποδειξετε ότι ι) f(1) = ιι) f () f() = f (1), >. 79. Αν η f είναιπαραγωγισιμη στο R, και ισχυει ψ f( +ψ ) = e f( ψ ) + e f()+ χ.ψ+α χ, ψ R Να δειξετε ότι ι) f() = -α= ιι) f () = f()+ f ()e + ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()=e ln(-e ) στο σημείο με τετμημένη = 81. Στις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της με τετμημένη : ι) f() = ( -1), = 4 ii) f() = ημ ln, = π ιιι) f() = -συν, = 1 iv) f() = e, = v) f() = ημσυν, = π 1 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 54

10 8. Αν f() = 3-4, να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf στα σημεία τομής της με τον άξονα Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf της συνάρτησης f()= 1, στο σημείο M (,f()) αν f() + f () = Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια ώστε f (ημ) + f (συν) = 1 + ημ + συν : για κάθε. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α (, f()) διέρχεται από το σημείο Β (f(1), ). ΙΙ.ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Χ 85. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()= που διέρχεται από το σημείο Α(,1) 86. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf της συνάρτησης f() = ln που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 87. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης της Cf της f()= 3 που διέρχεται από τo σημείο Α(,-16). 88. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της Cf της f()=, που διέρχονται + από το σημείο Α(,1). 89. Μία συνάρτηση f: R Rέχει την ιδιότητα: 3f(+1) f(-) = , R. Ι) Να βρεθεί ο τύπος της f. Ιι) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της Cf, οι οποίες άγονται από το σημείο Α(1,- 1 ), είναι κάθετες Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει: f (ln) =. ln, >. α. Να αποδείξετε ότι η Cf διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο = 91. Να αποδειχθεί ότι από το σημείο Ρ(α,β) με β α διέρχονται δύο εφαπτόμενες της παραβολής c: ψ =. ii) Αν το Ρ βρίσκεται πάνω στην ευθεία δ: ψ = - 1 4, να αποδειχθεί ότι οι εφαπτόμενες είναι κάθετες. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 55

11 9. Δίνεται η συνάρτηση f()= ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 1, και το σημείο α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο Μ(λ,f(λ)) β) Να δείξετε ότι η παραπάνω εφαπτομένη: i) Για λ=3 δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την Cf ii) Για λ=1 έχει και άλλο κοινό σημείο με την Cf το οποίο και να βρεθεί Μ(λ,f(λ)), λ της Cf ΙΙΙ.ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ λ 93. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f () = + 1 (εφόσον υπάρχει), σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 3. β) σχηματίζει γωνία 45 με τον άξονα. γ) είναι παράλληλη στην ευθεία y = +3. δ) είναι κάθετη στην ευθεία y = ε) είναι παράλληλη στον άξονα. στ) είναι παράλληλη στον άξονα y y. 94. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ()=+ln(-3) i) με συντελεστή διευθύνσεως λ=3 ii) που σχηματίζει γωνία 45 ο με τον χ χ iii) που είναι κάθετη στον άξονα y y ΙΙΙ. ΕΥΘΕΙΑ ΝΑ ΕΦΑΠΤΕΤΑΙ ΤΗΣ Cf 95. Να δειχθεί ότι η ευθεία y=3-8 εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= +ln(-3) 96. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f()=1+f 3 (), για κάθε να δειχθεί ότι η ευθεία y=-+ εφάπτεται της Cf 97. Δίνεται η συνάρτηση f()= +β+ και η ευθεία ε: y=-+β Να βρείτε τις τιμές του β για τις οποίες η ευθεία ε εφάπτεται της Cf 98. Αν < α 1, να βρείτε την τιμή του α ώστε η ευθεία ε: y= να είναι εφαπτομένη της Cf με f()=α. IV. ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 56

12 99. Δίνεται η συνάρτηση g() = f()ημ(α), α, όπου f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο Rμε f() για κάθε R. Αν (,ψ) κοινό σημείο των Cf και Cg, να δείξετε ότι οι Cf και Cg δέχονται κοινή εφαπτόμενη στο (,ψ) Δίνονται οι συναρτήσεις g() = 1 και f() = α β +9. Να βρείτε τα α,β R, ώστε οι Cf και Cg να δέχονται κοινή εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη. 11. Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ για τις οποίες οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f()=γ+ και g()= α +β+ έχουν κοινή εφαπτομένη στο σημείο Μ(1,) 1. Για τις συναρτήσεις f,g,φ ισχύουν: Η f είναι παραγωγίσιμη στο Rμε f(), R i)η φ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R ii) g() = f()φ (), για κάθε R ιιι) [φ ()] + [φ ()] = 1, για κάθε R Αν Α(,ψ) είναι κοινό σημείο των Cf και Cg, να αποδειχθεί ότι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη 13. Nα δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεω f()= 1 και g()= -+1 έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, στο οποίο οι εφαπτόμενές τους είναι κάθετες 14. Aν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, με f() για κάθε και g()=f()ημ3, να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν εφαπτομένη σε κάθε κοινό τους σημείο V. ΚΟΙΝΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΣΕ ΜΗ ΚΟΙΝΟ ΣΗΜΕΙΟ 15. Δίνονται οι συναρτήσεις g()= α+β και f()=. Να βρείτε τα α β, ώστε οι Cf και Cg να διέρχονται από το ίδιο σημείο στο οποίο δέχονται κοινή εφαπτόμενη με συντελεστή διεύθυνσης. 16. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4(1-)e = 1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα(,1). ii) Nα αποδείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη, όπου f() = e και g() =. 17. Αν f() = e και = g() ln και είναι Α το σημειο τομης της c f με ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 57

13 τον ψψ και Β το σημειο τομης της c g με τον, να δειξετε ότι η ευθεια ΑΒ είναι κοινη εφαπτομενη των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων f και g 18. Δίνονται οι συναρτήσεις f()=e και g()=- -. Nα δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(,1) εφάπτεται και στην Cg 19. Αν Cf, Cg είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f()=ημ και g()= , να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη των Cf, Cg 11. Να βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες των γρ. παραστάσεων των συναρτήσεων f()=4- και g()= VΙ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ 111. Αν f είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση για την οποία ισχύουν: f (4) = και (f ()) = f () για κάθε R, α) να βρεθεί ο τύπος της f. β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf που είναι παράλληλη στην ευθεία y = Η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο [, + ) και για R ισχυει της c f f(e ) = Να βρειτε την εξισωση της εφαπτομενης στο A(1,f(1)) 113. Αν η ευθεια ε : ψ = χ+1 εφαπτεται στην παραγωγισιμη συναρτηση f στο -1, να βρεθει το lim f +1.( -) Αν η ευθεια ε : ψ =χ-4 εφαπτεται στην g()= ln( f() ) στο = οπου f συναρτηση με συνεχη παραγωγο να αποδειχθει ότι είναι f()- 4, συνεχης η h()= ( -)f () 6, = 115. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g, h:. Αν f(), g()=f()h() για κάθε, οι f, g, h είναι δύο φορές παραγωγίσιμες και h ()=1-[h ()], να δείξετε ότι οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη στα κοινά τους σημεία Μία συνάρτηση f: είναι παραγωγίσιμη και για κάθε ισχύει f(κ )=f(κ+), κ. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της Cf στα σημεία της Α(κ-α,f(κ-α)) και Β(κ+α,f(κ+α)) με κ α τέμνονται πάνω στην ευθεία με ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

14 εξίσωση =κ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 117. Έστω f συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία f (1)=1 και g η συνάρτηση που ορίζεται ως g()=f( ++1)-1, Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(1,f(1)) εφάπτεται της Cg στο σημείο Β(,g()) 118. Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f: τέτοια ώστε: f (ημ) + f (συν) = 1 + ημ + συν για κάθε. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α (, f()) διέρχεται από το σημείο Β (f(1), ). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 119. Μια σφαιρική μπάλα αρχίζει να λιώνει. Η ακτίνα της που ελαττώνεται δίνεται σε cm από τον τύπο r = 4-t, όπου t o χρόνος σε sec Nα βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της μπάλας όταν t=1sec 1. Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση + y = 4. Καθώς περνάει από το σημείο Α(-1, 3 ), η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό 6 m/sec.να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης τη χρονική στιγμή που το σώμα περνάει από το Α. Το σώμα περνάει από το Α ακολουθώντας τη θετική φορά κίνησης ή όχι; 11. Έστω > και Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, το οποίο έχει κορυφές τα σημεία Ο(,), Α(4,) και Β(, -). Αν το μεταβάλλεται με ρυθμό cm/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του Ε όταν = 9 cm. 1. Η περίμετρος μιας κυκλικής κηλίδας μεταβάλλεται με ρυθμό m/sec όταν η ακτίνα της είναι 1m. Να βρεθεί την ίδια στιγμή ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού της 13. Ένα σώμα κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση + ψ = ρ με t = ψ. ψ Βρείτε το όταν ψ.το σώμα κινείται στον κύκλο κατά τη φορά των t δεικτών του ρολογιού ή αντίθετα; 14. Ένα σημείο Α κινείται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() =. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 81

15 Tη χρονική στιγμή t βρίσκεται στη θέση (,) και το αυξάνει με ρυθμό 3 cm/sec.i) Να βρεθεί το ψ (t) τη χρονική στιγμή t. Να βρείτε σε ποια θέση ψ (t) = (t), όπου ψ = f() Ένας πληθυσμός μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Ν(t) = t, όπου t ο χρόνος σε λεπτά. Αν οι φυσιολογικές απώλειες Μ(t) = N (t) κάθε λεπτό είναι ανάλογες του τετραγώνου του υπάρχοντος πληθυσμού με συντελεστή κ = 1-3, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής Μ. 16. Ένας άνθρωπος ύψους 17cm κινείται προς μια φωτεινή πηγή που απέχει από το έδαφος 3cm. Αν η ταχύτητα του ανθρώπου είναι 7,Km/h να βρεθεί με τι ταχύτητα κινείται η σκιά του κεφαλιού του 17. Το εμβαδόν της περιοχής ανάμεσα σε δύο ομόκεντρους κύκλους είναι πάντα 9π cm. O ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του μεγαλύτερου κύκλου είναι1π cm /sec. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του μήκους του μικρού κύκλου όταν αυτός έχει εμβαδόν 16π cm. 18. Μια σκάλα μήκους 13m είναι ακουμπισμένη σ έναν κατακόρυφο τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας έλκεται από τον τοίχο με ρυθμό m/sec. Να βρείτε: ι. Πόσο γρήγορα γλιστράει το πάνω άκρο της σκάλας όταν το κάτω άκρο απέχει από τον τοίχο 5m. Ιι.Tον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου που σχηματίζει η σκάλα με τον τοίχο και το έδαφος όταν το κάτω άκρο της απέχει από τον τοίχο 1m. 19. Δίνεται η συνάρτηση f() =ln, και το σημείο Μ(α,lnα), α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Μ. Για ποια τιμή του α η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων; Αν το σημείο Μ απομακρύνεται από τον άξονα ψ ψ με σταθερή ταχύτητα v = m/sec, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του σημείου Μ ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η εφαπτομένη στο Μ διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 13. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3, και το σημείο Μ(α,α 3 ), α >, που απομακρύνεται από τον άξονα y y με σταθερή ταχύτητα v = 3 m/sec. i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Μ. ii) Να αποδειχθεί ότι η παραπάνω εφαπτόμενη τέμνει τηcf και σε δεύτερο σημείο Ν. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 8

16 iii) Να εκφραστεί το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΜΒΝ (με διαγώνιο ΜΝ και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες) με μεταβλητή το α. iv) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t κατά την οποία το Μαπέχει από τον άξονα y y απόσταση m. ΚΑΝΟΝΕΣ De L Hospital ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι. ΜΟΡΦΗ 131. Να υπολογισετε τα ορια ηmχ + ln(1+ ) ηmχ συnχ ι) lim ιι) lim ηm χ π 4 ln( ηm χ) 13. Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια: ιιι) e e lim 1 συνχ ιv) ηm e e lim ηmχ α) lim 4 +συν- β) lim 1 e ln e -ημ γ) lim e -1-- ημ-συν+1 δ) lim ε) lim 1 1 ln ΙΙ. ΜΟΡΦΗ ± ± 133. Να υπολογισετε τα ορια 3 ι) lim χ ln ιι) lim + e 1 e ιιι) α lim, α>, β> ιv) β e + ln 3 lim Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια: ln( + 1) α) lim + ln( + ) β) α e lim + κ γ) + + ηm + lim e + + ΙΙ. ΜΟΡΦΗ ( ± ) 135. Να υπολογισετε τα ορια 1 ι) lim ln 1 + lim ln ln Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια: χ + ιι) ( ) ιιι) lim ( ln ηmχ ) + ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 83

17 α) lim ( ln 3 ) + β) 1 lim e ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 1 γ) lim (ημ 1 ln ) + ΙΙΙ. ΜΟΡΦΗ ( ± ) ( ± ) 137. Να υπολογισετε τα ορια 1 i) lim σφχ ii) lim ( e ln ) 1 1 iii) lim χ + ηm χ χ 138. Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια: iv) 1 1 lim χ χ α) lim 1 ln 1 β) lim ( ln e ) + + γ) συν e lim - ημ ΙV. ΜΟΡΦΕΣ,1,( ) 139. Να υπολογισετε τα ορια 1 lim ηmχ ηmχ ιι) + lim χ χ ιιι) lim χ 1 + χ ιv) 1 ι) ( ) ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ χ+ 3 lim χ 3 + χ lim ηm3χ+συνχ χ v) ( ) 3 f (), <χ<π 14. Δινεται η συναρτηση g() = ηµ χ οπου f μια παραγωγισιμη στο R, χ συναρτηση με f()= f () = f () =. Na δειξετε ότι η f είναι παραγωγισιμη και να βρειτε την g 141. Η συναρτηση f είναι παραγωγισιμη στο R και ισχυει f()=.nα αποδειξετε f() f( ) ότι lim = f () e Η συναρτηση f δυο είναι φορες παραγωγισιμη στο R και η f είναι συνεχης στο χ=.αν f()= f () = και f (), να αποδειξετε ηmχ + f() ότι lim = 1 αν και μονο αν f () = (e 1)f () 143. Δινεται η συναρτηση ln + 1, < 1 f() = 1, = 1 Να δειξετε ότι η f είναι ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 84

18 συνεχης και 1 f (1) = ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 144. Δινεται η συναρτηση 1 e lim και (1 e ) ln, f() =, = lim( ln ) χ=. ιιι) Να βρειτε την εξισωση της εφαπτομενης της γραφικης παραστασης της f στο σημειο Ο(,) ι) Να υπολογισετε τα ορια ιι) Να αποδειξετε ότι η f είναι συνεχης στο 145. Η συναρτηση f είναι παραγωγισιμη στο χ = και f () =. Να αποδειξετε ότι f() lim = Η συναρτηση f : R R είναι παραγωγισιμη με f() φ> και lim (f() + f ()) = l R. Να δειξετε ότι lim f( ) = l και lim f ( ) = Αν η συναρτηση f εχει δευτερη παραγωγο στο α και f ( α), να αποδειξετε ότι lim 1 1 f( a) a = f a a ( a ) 148. f () Αν lim f () = lim f () = lim f () = + και lim = f () να δειξτε ότι + f() lim = + f () 149. Έστω μια συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f()+e ημ =f()ημ+e για κάθε R. Να βρείτε την f() Έστω μια συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει (1-συν)f() = ln(1+)- για κάθε -1. Να βρείτε την f() i) Nα λύσετε την εξίσωση 1+ln = στο (,). ii) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf με f() = ln++, (,) που διέρχεται από τα ο σημείο Α(,5) και το f((,)). 15. Έστω η συνάρτηση f : R R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Να f( + h) 3f() + f( h) αποδείξετε ότι: lim = 3f (). h h ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 85

19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ Θ. ROLLE I. ΑΜΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 153. Να εξετάσετε αν εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle για τις παρακάτω συναρτήσεις στο αντίστοιχο διάστημα α) f()= , [-,] β) f()=ημ+συν-1, [,π] γ) f()= , [1,3 ] 154. Δίνεται η συνάρτηση f() = +.Να εξετάσετε αν +1, αν , αν 1 εφαρμόζεται τα Θ.ROLLE στο διάστημα [,] για τη συνάρτηση f. ηµ, αν 155. Δίνεται η συνάρτηση f() = α +β, αν. Να βρείτε τις τιμές α,β R για τις οποίες η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ. ROLLE στο διάστημα [-π,1] και έπειτα να βρείτε όλα (-π,1) για τα οποία ισχύει f ( ) = Δίνεται η συναρτηση f() = + a + > 3 (β-1)χ, χ Να βρειτε τις τιμές των α, β R ώστε να εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Rolle στο [-1,1] 157. Να αποδείξετε ότι: i)η συνάρτηση f() = συν ικανοποιεί τις υποθέσεις του π π Θ. ROLLE στο διάστημα [-, ] ii) Η εξίσωση εφ = 1 έχει μια π π τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-, ) Έστω f μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν: Είναι συνεχής στο [α,β] Είναι παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) = f(β) = Να αποδείξετε ότι: a) Για τη συνάρτηση g() = f() όπου c [α,β] εφαρμόζεται το Θ. ROLLE στο c διάστημα [α,β]. b)αν c [α,β], τότε υπάρχει c (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της (c, f(c)) να διέρχεται από το σημείο (c,) Δίνεται η συναρτηση f: [a,β] R, η οποία είναι συνεχής στο [α,β] καιπαραγωγισ ιμη στο (α,β). Να αποδειξετε ότι : I ) για τη συναρτηση f() g() = e ( a)( β) εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle στο [α,β] ιι) Υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f 1 1 (ξ)= + a - ξ β-ξ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 86

20 16. Έστω f,g δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν τις συνθήκες: Είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα [α,β] f(α) = f(β) = και f() (α,β) Να αποδείξετε ότι: a) Για τη συνάρτηση h() = f()e -g(), [α,β] εφαρμόζεται το Θ. ROLLE στο διάστημα [α,β]. b)υπάρχει (α,β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cg στο σημείο της Α(,g()) να είναι παράλληλη προς την ευθεία δ: f (). - f().ψ + κ = Δίνεται η συνάρτηση f() = ν (-1) μ με ν,μ Ν *. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (,1) τέτοιο, ώστε f () = και το σημείο Γ(,) ώστε µ AΜ = νμb όπου Α(,) και Β(1,). 16. Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,γ] και ισχύουν f(α) = f(γ) και f (α) = f (γ) =, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία 1, (α,γ) τέτοια, ώστε f (1) = f () Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β)και [α,β], Να f( β) f( α ) f ( ) αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: =. β α 164. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο [α,β], παραγωγίσιμες στο (α,β) με f(α) = f(β)e g(β)-g(α), να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f () + f().g () = Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο Rκαι ισχύει 1f() 6f(5)+4f(3) για κάθε, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ με f (ξ) = Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο [,3] και f(3) f() = ln3-ln, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,3), ώστε f (ξ) = 1 ξ Σ έναν αγώνα δρόμου δύο αθλητές τερματίζουν με την ίδια ταχύτητα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια τουλάχιστον χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια του αγώνα που έχουν την ίδια επιτάχυνση 168. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β). Να αποδειχθεί f( ) f( α) ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f () =. β 169. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,)τέτοιο, ώστε f (ξ) = f (-ξ). 17. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α) - f(β) = α -β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α,β) τέτοιο, ώστε: f () = Η συνάρτηση f: [1,4] R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν f(1) = ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 87

21 και f(4) = 8. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 17. Δίνεται η συναρτηση f: [α,β] R συνεχής στο [α,β],παραγωγισιμη στο (α,β) Αν f() να αποδειξετε ότι υπάρχει θ τετοιο,ωστε f(θ) (α,β) = f(θ) α-θ β-θ 173. (Για παραγωγίσιμες συναρτήσεις) Ορισμός: α) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών 1, της συνάρτησης f υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της παραγώγου f β) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών ξ1, ξ της παραγώγου f υπάρχει το πολύ μία ρίζα της συνάρτησης f γ) Αν η f έχει ν ρίζες 1,,, ν τότε η f έχει ν-1 τουλάχιστον ρίζες Παράγουσα ( ή αρχική) της f στο διάστημα Δ: Λέγεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F () = f(), για κάθε Δ ΙΙ. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ συνάρτηση f παράγουσα F μορφή συνάρτησης f μορφή παράγουσας F c f () f() 1 f() f () α+1 α α+1 1 f α () f () f () f() 1 f () 1 α+1 fα+1 () f() ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 88

22 ημ -συν ημf() f () -συνf() συν ημ συνf() f () ημf() e e e f() f () e f() 1 α ln α lnα f () f() α f() f () και κάποιες γενικότερες μορφές ln f() μορφή συνάρτησης f μορφή παράγουσας F μορφή συνάρτησης f μορφή παράγουσας F f ()g() + f()g () f()g() f () + f () f() f() α lnα f ()g() f()g () g () f() f() f () g() f() [f ()] +f() f () f() f () [f ()+ f()g ()]e g() f()e g() α β 174. Αν + +γ= α, β, γ R α.να δειχθεί ότι η εξίσωση αχ 3 +βχ+γ= δέχεται στο διάστημα (, 1) τουλάχιστον μια ρίζα Να δειχθεί ότι η εξίσωση ημχ + ( χ-1) συνχ= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,1 ) α α α α α =, ν Ν ν+ 1 ν 3 1 *, να αποδείξετε ότι η εξίσωση αν ν + αν-1 ν α + α1 + α =, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (,1). ν ν Αν 177. Να δειχθεί ότι η εξίσωση 8α 3 +9β -6β-α= έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (,1) 178. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ( -4)συν+ημ= έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο διάστημα (-,) 179. Έστω f συνεχής στο [α,β], α> και παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία είναι f(α) f(β) = α) Να δείξετε ότι η εξίσωση f ()=f() έχει μία α β τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,β) εφαπτομένη της Cf η οποία β) Να δείξετε ότι υπάρχει διέρχεται από την αρχή των αξόνων 18. Να δειχθεί ότι μεταξύ δυο οιονδήποτε ριζών της e ημχ=1, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της e συνχ= -1 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 89

23 181. Να δειχθεί ότι μεταξύ δυο ριζών της εξίσωσης e 4+ =ημ υπάρχει πάντα μια ρίζα της εξίσωσης χ + 4 = σφχ Ύπαρξη το πολύ ν ριζών εξίσωσης (με άτοπο) 18. Δείξτε ότι η εξίσωση χ 3 3 χ + α= έχει το πολύ μια ρίζα στο (-1, 1 ) 183. Να αποδειχθει ότι η εξίσωση χ ν + αχ +β = έχει το πολύ δυο πραγματικές ρίζες 184. Δίνεται η συναρτηση f : R R δυο φορές παραγωγισιμη στο R με f () για κάθε χ R.Να αποδειξετε ότι η εξίσωση f () = έχει το πολύ δυο ρίζες Αν α, να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 +α 3 +α +β+γ = έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες Να αποδείξετε ότι η εξίσωση μ = 1 έχει το πολύ μία πραγματική ρίζα στο διάστημα (1,) Δίνεται η συνάρτηση f() = μ, όπου η παράμετρος μ R. Να 3 αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α 3 +β +γ+δ = e έχει το πολύ τέσσερις πραγματικές ρίζες Να αποδείξετε ότι η εξίσωση λ + μ = έχει το πολύ δύο πραγματικές και άνισες ρίζες για κάθε λ,μ R. 19. Να δείξετε ότι η εξίσωση -+ln(+1)= έχει το πολύ μία ρίζα Ύπαρξη ακριβώς ν ριζών εξίσωσης 191. Να δειχθεί ότι η εξίσωση α+β= με α, β και β< έχει δύο μόνο ρίζες άνισες 19. Ι) Αν ο ν είναι άρτιος θετικός ακέραιος και α, να αποδείξετε ότι η εξίσωση (+α) ν = ν + α ν έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

24 ΙΙ) Να λυθεί η εξίσωση: (+3) 1996 = (+1) Αν η εξίσωση χ 4 + αχ 3 +3βχ +γχ +δ = έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες μεταξύ τους, να αποδειξετε ότι α > 8β 194. Δίνεται το πολυώνυμο Π() = (-1)(+1)( -3). Να αποδείξετε ότι τι πολυώνυμο Π () =, έχει τρεις ρίζες ανά δύο διαφορετικές ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ Θ.Μ.Τ Ι. ΑΜΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Θ.Μ.Τ 195. Δίνεται η συνάρτηση f() = +, -1. Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις -, > -1 3 προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [-3,] και αν ναι, να βρείτε όλα τα ξ (-3,) που να επαληθεύουν το Θ.Μ.Τ Δίνεται η συνάρτηση f με f() = (1-ln). Να εξετάσετε αν η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [1,e] και αν ναι, να βρείτε όλα τα ξ (1,e) που να επαληθεύουν το Θ.Μ.Τ Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) με f() για κάθε [α,β].εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ. στο [α,β] για τη συνάρτηση f() = lnf(), να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο f ( ξ) ( α β) ώστε: f( ) f( )e f( ξ α = β ) ΙΙ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΜΕ Θ.Μ.Τ 198. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [1,3] με f(1) = 5 και 1 1 f () για κάθε (1,3), να αποδείξετε ότι 4 f(3) Αν η συνάρτηση f () είναι γνησίως φθίνουσα στο R και είναι f() =, να αποδείξετε ότι: f (1) f(1) f ().. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [1,5] με f(1) = -και f () για κάθε (1,5), να αποδείξετε ότι: -1 f(5) 6. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 91

25 f(β)- f(α) <f (β) β-α 1. α)αν f γνησίως αύξουσα στο [α,β] να δείξετε: f(α)< f()- f(α) β) Αν f γνησίως αύξουσα στο [α,+ ) να δείξετε: f(α)< <f () -α. Nα αποδειχθούν οι ανισότητες : α) β α α e -e β e < <e β-α, για κάθε α, β με α<β β) +1 e e +1, για κάθε γ) < ln( +1)<, για κάθε >-1 και. Στη συνέχεια να δείξετε: +1 ln( +1) i) lim =1 +, ii) ln( +1) lim = + 3 δ) ημβ-ημα β-α για κάθε α, β 3. Αν α β, να αποδειχθεί: e β -e α β e β - α e α. 4. Nα αποδείξετε ότι: ln 1 ψ ψ, για κάθε,ψ R. 5. Αν ισχύουν α γ β, και f (γ) = και f () θ για κάθε [α,β], να αποδείξετε ότι f ( α ) + f ( β) θ( β α ). ln( ηµβ) ln( ηµα) π 6. Nα αποδείξετε ότι: i) σφβ σφα, αν α β. β α iι) ηµ β ηµ α β α. iii) < ln( +1)<, αν >. +1 ιv) , αν v) 1 e 1 + ( 1)e, αν (1,). Θ.Μ.Τ και ROLLE 7. Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και υπάρχουν τρία συνευθειακά σημεία της γραφικής παράστασης Cf, να δείξετε ότι: i) Yπάρχουν δύο σημεία της Cf στα οποία οι εφαπτόμενες είναι μεταξύ τους παράλληλες ii) Υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f (ξ)= iii) Εξετάστε αν εφαρμόζεται το θ. Rolle για την συνάρτηση φ()= f()-f(α) -α ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 9

26 στο διάστημα [β,γ] και να δείξετε ότι υπάρχει ξ (β,γ) με f(ξ)-f(α) f(ξ)= ξ-α 8. Έστω f μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R.Αν οι αριθμοί f(), f(4), f(6) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,6) τέτοιο ώστε f (ξ) =. 9. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R της οποίας η παράγωγος f είναι γνησίως φθίνουσα στο R.Αν οι αριθμοί α,β,γ,δ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικήςπροόδου με α β γ δ, να αποδείξετεότι: f(α) + f(δ) f(β) + f(γ). 1. Η συναρτηση f είναι συνεχής στο [-3,3 ] δυο φορές παραγωγισιμη στο (-3,3 ) με f( )= f (3)+f (-3 ).Να δειχθεί ότι υπάρχει ξ ( -3, 3 ) ώστε f (ξ )= 11. Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ. να λύσετε την εξίσωση: = Έστω η f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) α) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α,β) να δείξετε ότι f α+β f( α+ ) f( β) < β) Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (α,β) να δείξετε ότι α+β f(α)+f(β) f > γ) Αν f () 1 για κάθε (α,β), f(α)=α και f(β)=β να δείξετε ότι α+β α+β f = ( ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ JENSEN) 13. Έστω α > και η δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [-α,α] συνάρτηση g. Αν g() = g(α) + g(-α), να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (-α,α) τέτοιο, ώστε: g (ξ) =. 14. Η συνάρτηση f: [α,β] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και συνεχής με f(α) = f(β) =. Να αποδείξετε ότι: i) αν υπάρχει (α,β) με f() >, τότε υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ) <, ii) αν υπάρχει (α,β) με f() <, τότε υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο, ώστε f (ξ) >. 15. Θεωρούμε την παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (ln a) = f (lnβ). Αν ισχύει ln α < ln γ < lnβ, με α, β, γ > και γ α β γ = = e,να ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 93

27 δειχθεί ότι υπάρχουν αριθμοί ξ 1,ξ τέτοιοι ώστε f(ξ 1) + fξ ) =. IV. Θ.Μ.Τ ΚΑΙ BOLZANO 16. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=α, f(β)=β α β να δείξετε ότι: α) Υπάρχει ξ (α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=α+β-ξ β) Υπάρχουν ξ1, ξ (α,β) με ξ1 ξ τέτοια ώστε f (ξ1)f (ξ)=1 17. Έστω συνεχής f : [,] με f () για κάθε (,) Nα δείξετε ότι: α) f() f() β) Υπάρχει (,) με 5f()=f()+3f() γ) Υπάρχουν ξ1, ξ, ξ (α,β) τέτοια ώστε = f( ξ ) f( ξ ) f( ξ) Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα [,1], με f() = και f(1) = 1, να αποδείξετε ότι: i) υπάρχει γ (,1) τέτοιο, ώστε: f(γ) = 1 ii) υπάρχουν ξ1, ξ (,1) τέτοια, ώστε: 19. Αν f (), [, b] 1 1 f ( ξ ) + f ( ξ ) =. 1 α και η f είναι γνήσια μονότονη δείξτε ότι : Υπάρχουν f (c) f (a) = k μοναδικά c,d (α,b)και πραγματικός αριθμός κ : f (d) f (c) = k f(b) f(d) = 3k Στην συνέχεια δείξτε ότι υπάρχουν αριθμοί ξ1, ξ και ξ3 στο (α,b) : 1 3 6(b a) + + = f'( ξ ) f'( ξ ) f'( ξ ) f(b) f(a) 1 V.ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΙΣΟΤΗΤΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f( ξ ) + f( ξ ) f( ξ ) = c 1 ν. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [,], παραγωγίσιμη στο (,) με f()= f(), να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία α, β (,) τέτοια ώστε: f (α) + f (β) =. Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρασμα. 1. Εστω συναρτηση f παραγωγισιμη στο [ 1, 4 ] με f(4)= 4 f() και 1 f ( ) =. Να δειχθει ότι υπαρχουν ξ1, ξ, ξ3 ( 1,4) ώστε 4 f ( ξ1 )+ f ( ξ )+ f ( ξ3 ) = 4 ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 94

28 VI.ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΙΣΟΤΗΤΩΝ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ κf( ξ ) +κf( ξ ) κ f( ξ ) = c 1 1 v ν. Έστω f συνεχής στο [α,b], παραγωγίσιμη στο (α,b) και f(a)=f(b) Δείξτε ότι υπάρχουν ξ1,ξ στο (α,b) : f (ξ1)+3f (ξ)=. Εξηγείστε γεωμετρικά 3. Έστω f συνεχής στο [α,b], παραγωγίσιμη στο (α,b),f(a)=f(b) και k,l,m> Δείξτε ότι υπάρχουν ξ1,ξ, ξ3 στο (α,b) : k f (ξ1)+l f (ξ)+m f (ξ3)=. ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ- ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι. ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 4. Για τη συνάρτηση f: ισχύουν: f() = α και f () = αf() για κάθε και α. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g() = f() f(-) είναι σταθερή στο και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της. 5. Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g : με f ()= -g () και g ()=f (), α) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση h()=f 3 ()+g 3 () είναι σταθερή στο β) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης h αν f()=1 και g()= 6. Έστω f : παραγωγίσιμη με f ()=f(), για κάθε για την οποία f()=1 και f()>, για κάθε. Nα δειχθεί ότι: α) Η συνάρτηση G()=lnf()- είναι σταθερή στο β) f()=e, για κάθε 7. Έστω f : δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία f ()+ f ()=, για κάθε α) Αν f()=f ()= να δειχθεί ότι: Ι) συνάρτηση h=(f ) +f είναι σταθερή στο ii) f()=, για κάθε β) Αν g()+g ()= με g()=, g ()=1 να δειχθεί ότι g()=ημ ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 95

29 8. Αν οι συναρτήσεις f, g: ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με f() +f () = g() + g () και οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν σε κοινό τους σημείο κοινή εφαπτόμενη, να αποδείξετε ότι f() = g() για κάθε. 9. Δίνεται η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f() = (1 + f ()) για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή 3. Υποθέτουμε f() f( ψ) ( ψ ) ν για κάθε,ψ R, όπου ν άρτιος θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή 31. Αν f () = -f() για κάθε R, f() = 1, και f () =, να αποδείξετε ότι: (f()) + (f ()) = 1, η συνάρτηση h() = f() συν ικανοποιεί την ισότητα (h()) + (h ()) =, Να δειξετε ότι f() = συν, R. ΙΙ. ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3. Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: α) f ()=3συν-4ημ-e - και f()=5 β) f ()= - και f()=1 ( +1) γ) f ()=συν- ημ και f()=1 δ) f ()+f()=, > και f(1)= π π 9 π ε) f συνεχής στο [, ) και f ()- σφ f()=ημ με f( )= στ) f ()=f(), για κάθε, με f()= Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο (,+ ) με f()> ισχύουν: i) H κλίση της εφαπτομένης σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης είναι ανάλογη με το πηλίκο f() ii) Η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(1,1) iii) Η εφαπτομένη στο Α έχει κλίση ίση με 1. Να βρείτε τον τύπο της 34. Να βρεθεί η συνάρτηση f: R Rγια την οποία ισχύει: + f () =, R, και f(-1) = Η κλίση της παραγωγίσιμης συνάρτησης f: R R στο τυχαίο σημείο Μ(,f()) ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 96

30 είναι ίση με το διπλάσιο της τιμής της f στο. Aν f() = 1, να βρεθεί ο τύπος της f. 36. Δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: (-)f () = 5 + για κάθε R. Αν f(3) = 7, να βρεθεί ο τύπος της f. 37. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R Rγια την οποία ισχύει: f () = -f() για κάθε R. Αν f() = 3, να βρεθεί ο τύπος της f. 38. Δίνεται η συνάρτηση f: R Rμε f() =, για την οποία ισχύει: (f()-e ) (f ()-e ) = για κάθε R.i) Να αποδείξετε ότι (f()-e ) = 1. ii) Να αποδείξετε ότι η h() = f()-e διατηρεί σταθερό θετικό πρόσημο στο R. Iii)Να βρείτε τον τύπο της f. 39. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f( +ψ) f()f( ψ ) + ψ για κάθε,ψ Rκαι f() = 1, f () = 1. Να αποδείξετε ότι: i) f( + h) f() f()(f(h) 1) + h ii) f () = f() + 4. Να αποδείξετε ότι: i)f () = -f() για κάθε R,αν και μόνο αν υπάρχει c R έτσι, ώστε f() = ce - για κάθε R, ii)αν για κάθε R ισχύουν g () = -g() και h () =-h() και η h δεν είναι μηδενική συνάρτηση, τότε υπάρχει c Rέτσι, ώστε g = ch. 41. Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα Ρ() για τα οποία ισχύει P() + P(ψ) = P(+ψ)-ψ-1 για κάθε,ψ R και Ρ () = Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f: Δ R, όταν για κάθε Δ είναι: (f()).(f ()) = 3 8, f() = και Δ = R i) f () = e -f(), f() = και Δ = R π 3 π ii) συν.f () + (f()) =, f(),f ( ) = και = (, ) Δίνεται η συνάρτηση f: (, + ) R, για την οποία ισχύουν: f(ψ) = f().f(ψ) για κάθε,ψ, ii)f() για κάθε, iii)f (1) = 5. Να αποδειχθεί ότι: α) η f είναι παραγωγίσιμη στο (, + ), β) να βρείτε τον τύπο της f 44. Μια συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη έχει την ιδιότητα: f () = f() για κάθε και f() = 1, f () = 1. Να αποδείξετε ότι: ι) f() +f () = e, R. Ιι) f() = e, R. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 97

31 45. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f για την οποία ισχύουν f() = 1, f ()=, f()> και f () f () + f() = e για κάθε > αφού πρώτα δείξετε ότι f ()-f() η συνάρτηση g()= - e ε ίναι σταθερή. 46. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f()f (-) =1 για κάθε. Αν f() = 1, να αποδείξετε ότι: ι)f(-)f () = 1 για κάθε. Ιι)f(-)f() = 1 για κάθε. Ιιι) f() = e για κάθε. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι.ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΤΗΣ f ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ f 47. Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: i)f() = + 1 ii) f() = ln ιιι) f() = ln ιv) f() = 9 v) f() = (ln- 3 ) (ln-) Να μελετήσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων: 4 i) f() = ln + ii) f() = ln + iii) f() = 6 + 1, 1 iv) f() = , 1 v) f() = 7. e e, ln + 1, 49. Δίνεται η συνάρτηση f()= Nα βρείτε -1 α) Τα lim f (), lim f () για την μονοτονία στα διαστήματα [,1) και (1,] ; β) Τα διαστήματα μονοτονίας της f. Τι παρατηρείτε 5. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η f()=α είναι γνησίως αύξουσα στο 51. Δίνεται η συνάρτηση f(χ) = χ 3-3(λ - 1)χ + 6(1 - λ)χ + 1, λ R Να βρεθούν οι ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 98

32 τιμές του λ, ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα. ΙΙ. ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΤΗΣ f ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση f()= ημ είναι γνησίως φθίνουσα στο 53. Δίνεται η συνάρτηση : f() = ln,. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f. Ii) να αποδείξετε ότι:e π π e iii) να αποδείξετε ότι:e e, π για κάθε ανοικτό διάστημα (, ) ln 54. Έστω η συνάρτηση f() =, i) να μελετήσετε τη μονοτονία της f ln(1+ ) ii) να αποδείξετε ότι ln α lnβ (1 ) (1 ) +β β +α 55. Έστω η συνάρτηση f() = ln( 1), όταν 1 α β [,+ ) να μελετήσετε τη μονοτονία της f ln ii) να αποδείξετε ότι α) ln(e-1)ln(e+1) 1 β) ln(e π -1)ln(e π +1) π. 56. i) Nα αποδείξετε ότι ln + 1 για κάθε 1 ii) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f() = ln 1 iii) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό μ που ικανοποιεί τη σχέση (μ+1) ln(μ +5) = (μ +4) ln(μ +μ+). ΙΙ. ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΤΗΣ f ΜΕ ΧΡΗΣΗ Θ.Μ.Τ 57. Αν η συνάρτηση f: R R είναι παραγωγίσιμη με f() = και η f είναι γνησίως φθίνουσα, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = f(),, είναι γνησίως φθίνουσα. 58. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και f () για κάθε (α,β). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() f( α) g() = είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β). α ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 99

33 59. Δίνεται η συνάρτηση f: R R με f () για κάθε R. Να αποδείξετε ότι αν α R, τότε ισχύει f() f (α)(-α) + f(α) για κάθε R. ΙΙΙ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ f στο (α,β) Και D =(α,χ) ( χ, β) 6. Αν f()= ln + 7 τότε: α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β) Να λυθεί η εξίσωση f()= f 61. Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση f : τέτοια ώστε : f() + ( +1)f () = e για κάθε, με f() = 1. α) Να αποδείξετε ότι f() = e + 1,. β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = 1+ από τα διαστήματα (-,-1) και (,+ ). είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα IV. ΧΡΗΣΗ f ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ f 1+ e 63. Nα μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f()= ln, Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [, + ), με f () > για κάθε > και lim f () =. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση g ()= f() γνησίως αύξουσα στο (,+ ). V. ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ- ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ f 65. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f()= 3 9 είναι γνησίως αύξουσα σε 1 κάθε ένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 1

34 γ) Να λυθεί η εξίσωση 3 -α -9+α=, για κάθε α 66. Δίνεται η συνάρτηση : f() = i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f() = έχει τέσσερις ακριβώς πραγματικές ρίζες, δύο αρνητικές και δύο θετικές. 67. Δίνεται η συνάρτηση : f() = α. i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() = όταν το α διατρέχει το R. 68. Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 3 α 9 + α = όταν το α R 69. Δίνεται η συνάρτηση : f() = 8 +. i) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης όταν το α διατρέχει το R Δίνεται η συνάρτηση : f() = (1- )(ln-). i) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f. ii) Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης f() =. iii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. iv) Να αποδείξετε ότι: (1- )(ln-) 1 για κάθε. 8 α + 1= 71. Oταν η παράμετρος α διατρέχει το σύνολο R να βρεθεί το πλήθος' πραγματικών ριζών των εξισώσεων: ί) α= II) 3χ 4 4αχ 3 +α= VI. ΥΠΑΡΞΗ-ΕΥΡΕΣΗ ΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 7. Nα λυθούν οι εξισώσεις α) =9 β) e =1+ln(+1) 73. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ln + 1 = ii) e + 1 = e iii) + + ln = 74. Να λύσετε την εξίσωση συν + ln(εφ ) = συνln(ημ) (,π). 75. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln = 1 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα [1,e]. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 11

35 76. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [1, e] με <f()<1 και f () για κάθε [1, e], να αποδειχθεί ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός o (1, e) τέτοιος ώστε f(o)+ olno = o. 77. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(χ) =e -1 και g(χ) = χ - χ έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο και κοινή εφαπτομένη στο σημείο αυτό. 78. Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το. Δίνεται ότι η συνάρτηση f g είναι 1 1. α) Να δείξετε ότι η g είναι 1 1. β) Να δείξετε ότι η εξίσωση : g(f() + 3 ) = g(f() + 1) έχει ακριβώς δύο θετικές και μία αρνητική ρίζ V. ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΗΣ f 79. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [,1] με f () για κάθε (,1) και f() = f(1) =, να αποδείξετε ότι είναι f() για κάθε (,1). 8. Δίνεται η συνάρτηση f()=ln- +1 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α της f, η f () και η f () β) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία και να βρεθεί το πρόσημο της f γ) Να λυθεί η εξίσωση ln= Αν f,g παραγωγίσιμες για κάθε (1, ) + και συνεχείς στο [1,+ ), ακόμη f () f() g (). Να αποδειχθεί ότι f() g() για κάθε (1, + ). 8. Έστω μια συνάρτηση f για την οποία ισχύουν: η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα[α,β] f (α) και f () για κάθε [α,β] Να αποδειχθεί ότι: f(α) f(β). VI. AΠΟΔΕΙΞΗ-ΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ 83. Να αποδειχθούν οι ανισότητες α) ln -1, για κάθε > β) e ->1-, για κάθε > γ) i) ημ<, > ii) ημ>- 3 3, > ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 1

36 ln 1 δ) Αν < 1, να αποδειχθεί ότι -1 < 84. Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση g: α) Να λυθεί η ανίσωση g( -)>g(-) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ β) Να λυθεί η ανίσωση - - α -α - +3-, α < 1 Πότε ισχύει το ίσον; 85. Δίνεται η συνάρτηση f()= --(1-)(ln-) α) Να μελετηθεί η f ως προς την μονοτονία β) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης =(1-)(ln-) γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f δ) Να αποδειχθεί ότι (1-)(ln-) -1, για κάθε > ν ν 86. Έστω η συνάρτηση f() = +, ν Ν*, ν i) να μελετήσετε τη μονοτονία της f ν ν ν ii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς ν+ ν+ 4, ν+, ν Ν*, ν. 87. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f() = α, α 1 ii) Αν α 1 να βρείτε τις τιμές του λ R που ικανοποιούν τη σχέση: λ 4 λ α α = λ λ ( 4) ( ) 88. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης α+ f() = ( )e α α+ αe e, [α,β] με α ii) Αν α β, να αποδειχθεί ότι ( )e α β α+β β α e +βe. 89. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f() = α+β 1,με 3 ii) Να βρεθεί ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς 1,, 3..., ν ν (όπου ν Ν με ν ). 9. i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης: f() = (+1)ln(+1), ii) Αν α, β και ισχύει e β (α+1) α+1 = e α (β+1) β+1, να αποδειχθεί ότι α = β. +α αln α ln 91. Δίνεται η συνάρτηση : f () = ln, α +α +α i) Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης f. α+β α β ii) Αν β α, να αποδειχθεί ότι: ln ln α+ ln β β α+β α+β. 9. Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], παραγωγίσιμη στο (α,β). Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α,β), να αποδείξετε ότι για κάθε ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 13

37 (α,β) ισχύει: ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ f() f( α) f( β) f( α) αύξουσα στο (, + ). α β α 93. Έστω συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και f () για κάθε [α,β]. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β] και υπάρχει γ (α,β) f( β) f( β) τέτοιο, ώστε να ισχύει f(γ) = να αποδείξετε ότι είναι: γ+ βββ γ+. f ( β) f ( α) 94. Aν f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο, με f(1)=g(1) α) Αν f ()>g (), για κάθε, να δειχθεί ότι f()<g() στο (-,1) και f()>g() στο (1,+ ) β) Αν f ()g ()<, για κάθε, να δειχθεί ότι η εξίσωση f() = g() έχει μοναδική ρίζα στο ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ β 95. Δίνεται η συνάρτηση f() = α + ln,. i) Να προσδιοριστούν οι α και β R, ώστε η f να έχει στη θέση =1 τοπικό ακρότατο με τιμή -. ii) Για α = - και β = 1, να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. 96. Να προσδιοριστούν οι α και β R, ώστε η συνάρτηση f() = αln+β -+1 να έχει στη Θέση =1 τοπικό ακρότατο με τιμή Να προσδιοριστούν οι α και β R, ώστε η συνάρτηση f() = αln+ β +α να έχει στη θέση =1 τοπικό ακρότατο με τιμή +ln. 98. Αν α 1 ΙΙ. ΑΝΙΣΟΙΣΟΤΗΤΑ FERMAT ΙΣΟΤΗΤΑ και για κάθε ισχύει α α, να αποδείξετε ότι α=e, με δεδομένο ότι για κάποιο ισχύει η ισότης. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 14

38 99. Αν για κάθε ισχύει ln + α α, να βρείτε το α ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ln 1 3. Αν α,β και ισχύει α +β για κάθε, να αποδείξετε ότι αβ= Έστω μια συνάρτηση f: R R η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: (1+e 1- ) f()+συνπ 3 για κάθε R. Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο Α(1,). 3. Έστω οι συναρτήσεις f,g: R R οι οποίες είναι παραγωγίσιμες και ισχύουν: g() f() +1 και f() e = e για κάθε R.Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Α(,1), να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των Cf και Cg στο =, τέμνονται κάθετα. 33. Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 1, Α(1,) Cf, και f() + για κάθε, να αποδείξετε ότι f (1) = 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 34. Η παράγωγος μιας συνάρτησης f είναι f () = -(+1) 3 (-1) (-), R. Να βρείτε για ποιες τιμές του R η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και για ποιες τοπικό ελάχιστο. 35. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: i) f() = 4 ii) f() = 4 ln iii) f () = ln iv) f () = 36. Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα των συναρτήσεων: -1 -, 1-e, 1 i) f() = ii) f() = ln(-1), ln(1-), 1 iii) f() =, R , , 3 iv) f() = v) f() = , , 3 e 37. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = (+α) (-β) με α,β έχει τρία τοπικά ελάχιστα και δύο τοπικά μέγιστα. 38. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = κ (-1) ν έχει ένα τουλάχιστον τοπικό ελάχιστο,όπου κ,ν N με κ,ν. 39. Για ποια τιμή της θετικής σταθεράς α η μέγιστη τιμή της συνάρτησης α α f() = e,, γίνεται ελάχιστη; 31. Δίνεται η συνάρτηση f() = λ -(lnλ)+1, λ 1. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ελάχιστη τιμή της f να γίνεται ελάχιστη Για ποια τιμή της θετικής σταθεράς α η μέγιστη τιμή της συνάρτησης α 4 e f() = α + e,, γίνεται ελάχιστη; e ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 15

39 31. Δίνεται η συνάρτηση f() = e -λ-1, λ. Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ελάχιστη τιμή της f να γίνεται μέγιστη.για την παραπάνω τιμή που βρήκατε του λ να δείξετε ότι η ευθεία ε: ψ = λ+1 εφάπτεται στη Cg όπου g() = e Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του α R R. για την οποία ισχύει: α για κάθε 314. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του κ R για την οποία ισχύει:e κ για κάθε Δίνεται η συνάρτηση f() = ln-λ, λ. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ για την οποία ισχύει: ln λ για κάθε (,+ ). Για την παραπάνω τιμή που βρήκατε του λ να δείξετε ότι η ευθεία ε: ψ = λ εφάπτεται στη Cg όπου g() = ln. e +1-λ, λ R. Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του λ για την οποία ισχύει f() για κάθε R. Αν λ να δείξετε ότι η συνάρτηση g() = (1-λ) είναι γνησίως φθίνουσα. e e 316. Έστω η συνάρτηση f() = 317. Έστω μια συνάρτηση f: (,+ ) R με f() για κάθε, η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: lnf()+e f() =ln-3+ e +e για κάθε. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Έστω μια συνάρτηση f: R R με f () για κάθε R λύσετε την εξίσωση: f(συν)-f(- ) =.. Αν η f είναι συνεχής να 319. Έστω η συνάρτηση f: [,] R για την οποία ισχύουν για κάθε [,], f() = f(-) και f (). Να λύσετε την εξίσωση f() =. 3. Αν η f είναι συνεχής στο [,]και f() f(1) να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. 31. Έστω η συνάρτηση f() = ln. Να βρείτε το σημείο της Cf στο οποίο η f έχει τη μικρότερη κλίση 3. Δίνονται οι συναρτήσεις f () = e, R και g () = ln, >. i) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τους δεν τέμνονται. ii) Να βρείτε τη μικρότερη απόσταση την οποία μπορεί να έχει ένα σημείο της Cf από την ευθεία y =. iii) Να βρείτε το σημείο της y = e, το οποίο απέχει τη μικρότερη απόσταση από την y =. iv) Ποια νομίζετε ότι είναι τα σημεία των Cf και Cg που να απέχουν την ελάχιστη απόσταση; 33. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β με β. Να αποδειχθεί ότι: α β e β + α αβ + β. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 16

40 34. Να αποδειχθει ότι ln a a + e b 1 ab, a > ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ lnβ ln α Να αποδειχθεί ότι: β + όταν <α<β. β β α π 36. Αν <α<β< να αποδειχθεί ότι: εφα β < εφβ α ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 37. Η αξία μιας μηχανής που εκτυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο t, σύμφωνα t+ 8 7Α 14 με τη συνάρτηση f(t) = e,t όπου Α. Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους Κ(t) από την πώληση των βιβλίων που εκτυπώνει η συγκεκριμένη t A μηχανή δίνεται από τη συνάρτηση Κ (t) = e 7,t και υποθέτουμε ότι Κ() =. 4 Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία πρέπει να πωληθεί η μηχανή, έτσι ώστε το συνολικό κέρδος Ρ(t) από τα βιβλία που πουλήθηκαν συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο, καθώς και το μέγιστο κέρδος. 38. Στο σχήμα φαίνεται τμήμα παραβολής με y εξίσωση y = 14 1 (48 - ), και το ισοσκελές Γ Β τρίγωνο ΟΒΓ με ΟΒ = ΟΓ. i) Να βρείτε τα σημεία Β, Γ για τα οποία το ii) εμβαδόν του τριγώνου ΟΒΓ γίνεται μέγιστο. ιii) Ποιο είναι αυτό το μέγιστο εμβαδόν; y 39. Βρείτε δυο αριθμούς με άθροισμα 8 και ελάχιστο άθροισμα κύβων. 33. Να διαιρεθεί ο αριθμός 8 σε δύο μέρη ώστε το γινόμενο των δύο μερών επί την διαφορά τους να γίνεται μέγιστο Ο όγκος του κουτιού είναι 7m 3 και η πρόσθια πλευρά του έχει λόγο διαστάσεων 1 προς. Βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού ώστε να έχει την ελάχιστη επιφάνεια. 33. Από ένα ορθογώνιο χαρτόνι 18 επί 18 cm κόβουμε 4 μικρά τετράγωνα με πλευρά cm το καθένα και ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 17

41 φτιάχνουμε το διπλανό κουτί χωρίς οροφή. Να βρείτε το ώστε ο όγκος του κουτιού να είναι ο μέγιστος δυνατός. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Μια βιομηχανία παράγει ποσότητα από ένα προϊόν με κόστος που δίνεται α 3 από τη συνάρτηση Κ() = όπου και η παράμετρος α, Τα έσοδα από την πώληση ποσότητας του προϊόντος δίνονται από τη συνάρτηση Ε() =, και το κέρδος δίνεται από τη συνάρτηση f() = Ε()-Κ(),. Να βρείτε την ποσότητα για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος, το οποίο συμβολίζουμε Μ(α). Να βρείτε την τιμή του α, 9 9 για την οποία το Μ(α) γίνεται μέγιστο, καθώς και το μέγιστο αυτό 334. Δίνονται τα σημεία Α(4,), Β(-4,) και η ευθεία (ε):4+5y- i)να βρεθεί σημείο Μ της (ε) (ΜΑ)+(ΜΒ)=min ii)να βρεθεί η εξίσωση έλλειψης με εστίες τα Α,Β που εφάπτεται της (ε) 335. Έστω ο αριθμός τεμαχίων ενός προϊόντος. Ο ρυθμός μεταβολής της τιμής μονάδος είναι dp 3 (54 8 ) =, ενώ το κόστος των τεμαχίων με <7 d 176 είναι K(χ)= ( σε εκατομμύρια) i) Να βρεθεί ο αριθμός τεμαχίων που μεγιστοποιεί την τιμή μονάδος ii) Να βρεθεί ο αριθμός τεμαχίων που μεγιστοποιεί το κόστος iii) Να βρεθεί ο αριθμός τεμαχίων που μεγιστοποιεί τις πωλήσεις iv)να βρεθεί ότι ο αριθμός τεμαχίων που ελαχιστοποιεί τα κέρδη 336. Ένα βιβλιοπωλείο αγοράζει ένα βιβλίο από τον εκδότη 3 ευρώ το καθένα. Όταν το διαθέτει στην αγορά με 15 ευρώ τότε πουλά αντίτυπα τον μήνα. Εκτιμήθηκε τώρα ότι αν η τιμή πώλησης μειωθεί, τότε για κάθε 1 ευρώ μείωσης θα πωλούνται περισσότερα αντίτυπα τον μήνα. Να βρείτε την τιμή πώλησης που μεγιστοποιεί τα κέρδη. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 18

42 337. Σε δοσμένο ημικύκλιο διαμέτρου R να εγγραφεί τραπέζιο Όπως στο σχήμα με μέγιστο εμβαδό 338. Η ναύλωση μιας κρουαζιέρας απαιτεί τη συμμετοχή τουλάχιστον 1 ατόμων. Αν δηλώσουν συμμετοχήακριβώς 1 άτομα, το αντίτιμο ανέρχεται σε 1 ευρώ το άτομο. Για κάθε επί πλέον άτομο το αντίτιμο ανά άτομο μειώνεται κατά 5 ευρώ. Πόσα άτομα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι. ΜΕΛΕΤΗ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ 339. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη όταν: i) f() = ln ii) f() = e iii) f() = ιii) f() = v) f() = 1 vi) f() = ln, 4 f () + f() 34. Έστω μια συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f () R. Nα δείξετε ότι η συνάρτηση g() = f()e - είναι κυρτή στο R Η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R και η συνάρτηση g κοίλη στο R. Να αποδείξετε ότι: Οι Cf,Cg έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία. Αν οι Cf και Cg έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάποιο κοινό σημείο τους, τότε οι Cf και Cg έχουν μοναδικό κοινό σημείο. 34. Έστω μια συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f() για κάθε R, και η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R. Αν g() = lnf() και g () για κάθε R, να δείξετε ότι η συνάρτηση h() = e λ f() είναι κυρτή στο R για κάθε λ R Δίνεται η συνάρτηση f: (,+ ) R για την οποία ισχύουν f() και f () = για κάθε. Nα δείξετε ότι: Η f είναι δύο φορές f() ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 19

43 παραγωγίσιμη Η f είναι κυρτή στο (,+ ). ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ 344. Να αποδειχθεί ότι: α) η συνάρτηση g() = ln είναι κυρτή στο διάστημα (,+ ). β) α+β α β α+β αβ > για κάθε <α<β i) Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ. f( β ) f( α) f( γ ) f( β) Αν α,β,γ Δ και α < β < γ να δείξετε ότι: <. β α γ β ii) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση f() = ln είναι κυρτή. iii)αν < α<γ και α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, β α γ να δείξετε ότι: β< αγ Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και κυρτή στο Δ. α+β Αν α,β Δ με α β, να αποδειχθεί ότι: f(α)+f(β) f( ) Aν α,β Αf, να δείξετε ότι ln α+β ln α.ln β Αν η συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ = (α,β) και Δ με f () = και f (3) () για κάθε Δ-{ }, να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή στο διάστημα (α, ] και κοίλη στο διάστημα [,β) Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή στο R, να αποδείξετε ότι αν η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, τότε αυτό είναι και ολικό ελάχιστο της f. 35. Οι συναρτήσεις f και g είναι δύο φορές παραγωγίσιμες στο R με f '(χ) > Ο και g"(χ) > Ο για κάθε χ R. Αν η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h = f ο g είναι κυρτή στο R Αν η f είνα κυρτη στο (α,β) να αποδειξετε ότι αν η f εναι περιττη,τοτε η f είναι κοιλη στο (-β,-α) 35. Αν η f είναι κυρτη στο R, να αποδειξετε ότι για κάθε χ ισχυει f( λ) f() >λf() λ f() αν λ>1 και f(λχ) - f() < λ f() λ f() αν λ<1 ΙΙ. ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ 353. i)να μελετήσετε τη συνάρτηση f() = ln- ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Nα δείξετε ότι συνάρτηση g() = ln+ln+-3 είναι κυρτή στο (,+ ). iii) Να βρείτε την εφαπτομένη της Cg στο =1. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 11

44 iv) Nα δείξετε ότι: +ln 4 3 για κάθε > 1. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ f() 354. Έστω f: R R παραγωγίσιμη συνάρτηση με lim = 3και f(3)=4 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο =. Αν η f είναι κυρτή στο R να δείξετε ότι f()-5+6. Nα δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ζ (,3) στο οποίο η f παρουσιάζει ελάχιστο Δίνεται η συνάρτηση f()= ln. α) Να βρείτε: i) τα διαστήματα που η f είναι κοίλη ή κυρτή και τα σημεία καμπής ii) Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο καμπής β) Να δειχθεί ότι ln -1, για κάθε [1,+ ) 356. α) Να δείξετε ότι e >, για κάθε β) Έστω η f()=e i) Nα δείξετε ότι είναι κυρτή ii) Nα δείξετε ότι e > , για κάθε ΙΙΙ. ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ 357. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σημεία καμπής της Cf,όταν: 5 3 i) f() = ln ii) f() = iii) f() = συν+ 6, [, π ] iv) f() = e v) f() = ln vi) f() = ln(ln) vii) f() = 1 viii) f() = 4-6ln 1-1 i) f() = e 3e + ) f() = (1+ 4 )e Έστω f: R R παραγωγίσιμη για κάθε R με f 3 ()+4f()=4 Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το πρόσημό της. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής (αν υπάρχουν). Αν g() = =f() να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία. Να λύσετε την ανίσωση f( --) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f()= ln. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f, να μελετήσετε την μονοτονία της και να βρείτε τα ακρότατα Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. (ΙΟΥΝΙΟΣ 4) 36. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α,β). Αν ισχύει f(α) = f(β) = και υπάρχουν ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 111

45 αριθμοί γ (α,β), δ (α,β), έτσι ώστε f(γ) f(δ)<, να αποδείξετε ότι: α)υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f()= στο διάστημα (α,β). β).υπάρχουν σημεία ξ1, ξ (α,β) τέτοια ώστε f (ξ1)< και f (ξ)>. γ).υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. (ΙΟΥΝΙΟΣ 3) Έστω f μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f στο R, f () για κάθε R, f (1) και η συνάρτηση g() = f()-f(-), για κάθε R. I) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g. II)Να βρείτε τα διαστήματα που η g είναι κυρτή ή κοίλη και τα σημεία καμπής της Cg. 36. Δίνεται η συνάρτηση f() = α +β ln +β. Να βρείτε τα α,β R, ώστε το Α(1,3) να είναι σημείο καμπής της Cf. Για α = 4 και β = -1: Να βρείτε τα διαστήματα που η Cf είναι κυρτή ή κοίλη. Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο σημείο καμπής της Να δείξετε ότι 4 ln + 3 για κάθε Να αποδειξετε ότι αν η συναρτηση f ( ) = 4 + α χ 3 +β χ +χ +1 εχει σημεια καμπης ισχυει 3 α > 8 β 364. Για την παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f, να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν η f να έχει στο τοπικό ακρότατο και σημείο καμπής Nα αποδείξετε ότι η Cf της συνάρτησης : f() = α 3 +β +γ+δ με α και β = 3αγ δέχεται στο σημείο καμπής της οριζόντια εφαπτομένη Nα αποδείξετε ότι η Cf της συνάρτησης : f() = 4 +4α 3 +3(α -4α+5) +α+1, α R δεν έχει σημεία καμπής 367. Έστω g μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει (g()) = 5g()- e -α +5 για κάθε R και 1 α. Να αποδείξετε ότι η Cg δεν έχει σημεία καμπής Δίνεται η συνάρτηση f() = χ3-3χ -1χ + 5. Αν χ1, χ και χ3 είναι αντίστοιχα οι θέσεις στις οποίες η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και η Cf σημείο καμπής, να αποδείξετε ότι τα αντίστοιχα σημεία της Cf είναi συνευθειακά Έστω f μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) για την οποία ισχύει: [f()] = (-), (α,β). Να δείξετε ότι η f δεν έχει σημείο καμπής 37. Μια συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο IR και για κάθε Χ R ισχύει f (χ) + [f"(χ)] = συν χ -3χ + e -. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σημεία καμπής. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 11

46 371. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου μιας συνάρτησης f στο διάστημα [-1,1] α) Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων και των σημείων καμπής β) Να κάνετε μία πρόχειρη γραφική παράσταση της f ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Ι. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΕΣ 37. Nα βρειτε τις κατακορυφες ασυμπτωτες της C f όταν + 3 ι) f( ) = ιι) f( ) = ln(4 ) ιιι) 3 3 ( 1) ιv) f( )= ηµ v) f( ) = + vii) f( ) = viii) f( ) = ) f( ) = i) f( ) = 4 9 ln( 1) iii) f( ) = iv) f( ) = ( + 1) e 4 ΙΙ. ΠΛΑΓΙΕΣ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΕΣ f( ) = ln 1 vi) f( ) = ηµ i) f( ) = 1+ 3ln ii) f( ) = 373. Να βρεθούν οι πλαγιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: i) f() = ii) f() = iii) f() = iv) f() = v) f() = ln 1 vi) f() = e. ΚΩΣΤΑΣ ΝΙΚΟΛΕΤΟΠΟΥΛΟΣ 113