επικοινωνίας με την ομάδα:

Transcript

1 taeeolagr

2 taeeolagr Α' Έκδοση: Πρώτη δημοσίευση Η ομάδα εργασίας αποτελείται από τους : Απόκη Γιώργο (Γιώργος Απόκης) Κακαβά Βασίλη (KAKABASBASILEIOS) Κατσίποδα Δημήτρη (ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ) Κανάβη Χρήστο (pana) Παντούλα Περικλή (perpant) Τηλέγραφο Κώστα (Τηλέγραφος Κώστας) Τσιφάκη Χρήστο (rtsf) Χατζόπουλο Μάκη (Μάκης Χατζόπουλος) Emal επικοινωνίας με την ομάδα: slogaskseon@yahoocom Μέλη του mathematcagr

3 taeeolagr ΠΡΟΛΟΓΟΣ Τι πιο όμορφο, από την συνεργασία ανθρώπων που πολλοί από αυτούς ούτε καν γνωρίζονται μεταξύ τους αλλά έχουν ένα κοινό χαρακτηριστκό, την αγάπη για τα μαθηματικά Μια τέτοια λοιπόν συνεργασία από τα μέλη του mathematcagr που με τον τρόπο αυτό παίρνει σάρκα και οστά είναι και η παρούσα συλλογή Η συλλογή αυτή είναι στην ουσία μια επιλογή ασκήσεων στα πλαίσια της ύλης των πανελλήνιων εξετάσεων για τα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου και συγκεκριμένα για τα κεφάλαια της Ανάλυσης, της Στατιστικής και των Πιθανοτήτων, κατάλληλες για την επανάληψη ενόψει των Πανελλαδικών Εξετάσεων Κάποιες από αυτές είναι πρωτότυπες, καρπός επίπονης αλλά ταυτόχρονα δημιουργικής πνευματικής υπερπροσπάθειας και κάποιες άλλες, βασισμένες σε ιδέες επιτυχημένων και έμπειρων συγγραφέων με σημαντική προσφορά στην ελληνική βιβλιογραφία Η ομάδα εργασίας που συγκροτήθηκε με πρωτοβουλία και συντονισμό του Κώστα Τηλέγραφου, αποτελείται από ενεργούς Μαθηματικούς που συνεργάστηκαν με σκοπό την επεξεργασία και τον έλεγχο όλων των ασκήσεων που προτάθηκαν για την συλλογή αυτή καθώς και την όσο το δυνατόν αναλυτικότερη επίλύση τους δημιουργώντας μια πλήρη συλλογή Με αυτή τη συλλογή δίνεται η δυνατότητα, στο νέο καθηγητή να δει ασκήσεις που προτείνουν και λύνουν πεπειραμένοι συνάδελφοι, στον παλιό καθηγητή να αφουγκραστεί τη νέα γενιά και στο μαθητή να ωφεληθεί από τους καρπούς της αρμονικής αυτής συνύπαρξης Η παρούσα συλλογή δεν έχει κανένα εμπορικό χαρακτήρα και, παρόλο τον έλεγχο, σίγουρα κάποια λάθη θα υπάρχουν και πιστεύουμε ότι ο καλύτερος τρόπος εύρεσης των λαθών είναι η επίλύση των ασκήσεων στο πίνακα Μπορείτε να στέλνετε μήνυμα στο emal της παρέας με τις διορθώσεις σας και γιατί όχι με λύσεις διαφορετικές, έτσι ώστε η συλλογή αυτή να διορθωθεί και να εμπλουτιστεί σε μελλοντική έκδοση Μακάρι νέες συλλογές να δημιουργούνται κάθε χρόνο, με διαφορετικές ασκήσεις, με αυξανόμενη συμμετοχή από τα μέλη του mathematca και με πιο αναλυτικές λύσεις ώστε να γίνεται το έργο της παρέας του εκάστοτε φυλλαδίου ευκολότερο Την καλύτερη παρέα στους ασθενείς την κάνουν πάντοτε οι ομοιοπαθείς Και το συγκεκριμένο μικρόβιο δεν κρύβεται εύκολα Καλό ξεφύλλισμα

4 taeeolagr Η ομάδα εργασίας αποτελείται από τους : Απόκη Γιώργο Κακαβά Βασίλη Κατσίποδα Δημήτρη Κανάβη Χρήστο Παντούλα Περικλή Τηλέγραφο Κώστα Τσιφάκη Χρήστο Χατζόπουλο Μάκη Emal επικοινωνίας με την ομάδα: slogaskseon@yahoocom Μέλη του mathematcagr Εξώφυλλο: Μιχάλης Νάννος Σχήματα: Τηλέγραφος Κώστας Κατσίποδας Δημήτρης Κανάβης Χρήστος

5 taeeolagr Περιεχόμενα Ανάλυση : Μια συλλογή 0 ασκήσεων Σελ: 7-6 Στατιστική: Σελ: 6-08 Μια συλλογή 0 ασκήσεων Πιθανότητες: Μια συλλογή 40 ασκήσεων Σελ: 09-6

6 taeeolagr

7 taeeolagr Ανάλυση Συλλογή 0 Ασκήσεων mathematca -7

8 taeeolagr ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 0//0 09//0 Πηγή Απαντήσεις Ανάλυση : Μια συλλογή 0 ασκήσεων Αποστόλης Τιντινίδης Βασίλης Κακαβάς Γιώργος Απόκης Δημήτριος Κατσίποδας Ηλίας Καμπελής Κώστας Τηλέγραφος Μάκης Χατζόπουλος Μυρτώ Λιάπη Περικλής Παντούλας Χρήστος Τσιφάκης Χρήστος Κανάβης Parmendes5 Έλυσαν οι: Μέλη του mathematcagr mathematca -8

9 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου ΘΕΜΑ α β Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας Δίνονται οι συναρτήσεις f() με α,β R και g() 5 Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο με τεταγμένη και διέρχεται από το σημείο B(,) : Ε Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Ε Να προσδιορίσετε τα α,β R Για α και β : Ε Να υπολογίσετε το lmf() Ε4 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g f() Ε5 Να υπολογίσετε το lm g() g( ) g() Ε6 Να υπολογίσετε το lm f() Ε Είναι f(),πρέπει 0 α β Πηγή: Παπαδάκης Βασίλης (εκδόσεις Σαββάλας) με α,β R Για να ορίζεται η συνάρτηση f Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το R Ε Αφού η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο με τεταγμένη και διέρχεται από το σημείο B(,) τότε 0 α 0 β f(0) β β Ακόμη επειδή η γραφική 0 παράσταση της f διέρχεται από το σημείο B(,) έχουμε f άρα β α β α α 4 α Ε Για α,β ο τύπος της συνάρτησης γίνεται: f Για είναι : lmf() lm( ) 4, mathematca -9

10 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Ε4 Είναι f για Για να είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g πρέπει για να ισχύει f g Άρα από τον διπλανό πίνακα και επειδή πρέπει έχουμε πως,,6 Ε Είναι f για και g() 5 Για 5 και : f () lm lm lm lm g() Ε6 Είναι f για και g() 5 συνεπώς g και g Για : g( ) g() 4 ( 5) lm lm lm 0 f () ΘΕΜΑ Προτείνει ο Περικλής Παντούλας Δίνεται η συνάρτηση f ln Ε Ε Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α,0 Ε Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο π rad Α σχηματίζει με τον άξονα γωνία 4 Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Να αποδείξετε ότι: f ln lm 0 α Ε4 Ε5 f ln 9 6 β lm mathematca -0

11 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Ε6 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Μ e,f e Ε Πρέπει 0 και 0 οι οποίες συναληθεύουν για κάθε 0 Άρα (0, ) Είναι f () ln ln 0 0 Άρα η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(,0) Ε Είναι f () ln (ln ln) (0 ln) ln Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με Ε παράγωγο f () ( ) ln (ln ) ln ln Άρα η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α,0 σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω με εφαπτομένη π π 0 ω π εφω f () εφω ln εφω εφω εφ ω rad 4 4 Ε4 Είναι f () ln ln, 0 0 f () 0 (ln ) 0 ln 0 ln ln ln lne ln lne e Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f Δικαιολόγηση προσήμων Έστω e ln 0 ln - ln+ f () f() Ομ 0 ln ln lne ln lne e mathematca -

12 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,e και γνησίως φθίνουσα στο e, Παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση f e e lne lne e e e με τιμή f() ln ln ln ln( ) Ε5 α lm lm lm ln( )( ) lm lm[ ln( )] ln 0 β Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () ( ) ln (ln) () ln ln ln Επομένως το ζητούμενο όριο γίνεται, f () ln ln ln ( ) lm lm lm lm 9 ( )( ) ( )( ) 6 f(e) e lne e και f (e) elne e e e e Ε6 ος Τρόπος Έχουμεf(e) e lne e και f (e) elne e e e e Η εφαπτομένη στο σημείο M(e,f(e)) είναι μια ευθεία της μορφής y λ β όπου λ,βr με συντελεστή διεύθυνσης λ f (e) e Συνεπώς λe y λ β y e β κι επειδή διέρχεται από το σημείο M(e,f(e)) e, e (,y) (e, e ) y e β e ee β e e β β e λe βe y λ β y e e mathematca -

13 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου ος Τρόπος Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο M(e,f(e)) είναι ηy f(e) f (e)( e) f (e) e y ( e ) e( e) y e e e y e e f (e) e ΘΕΜΑ e Ε Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των f,g Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με τύπους f και g Ε Να ορίσετε τη συνάρτηση h f g Προτείνει ο Χρήστος Κανάβης 4 Διέρχεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής από την αρχή των αξόνων; Ε Να υπολογίσετε τα όρια: α e lm f g 0 β lm f γ 0 h f lm Ε4 Δίνεται συνάρτηση q με τύποq * f, R e lnκ, 0, όπου κ R Να βρεθεί ο αριθμός κ ώστε η συνάρτηση q να είναι συνεχής στο 0 Είναι η συνάρτηση q συνεχής για 0; Ε5 Αν ισχύει ότι βρεθεί ο αριθμός lm f 0 s 0 και s f, 0, να, 0 Ε6 Να βρεθεί η πρώτη και δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης h f g Ε7 Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης Ε8 Να δείξετε ότι e f f lnf 4 για κάθε 0 g Ε9 Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων της C g που είναι κάθετες στην ευθεία με εξίσωση y mathematca -

14 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Ε0 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της h στο σημείο συνάρτησης με τύπο f 0,f και το 0 e E του τριγώνου ΟΑΒ που σχηματίζεται από την ευθεία εμβαδόν 0 εφαπτομένης και τους άξονες ',y'y Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού E 0 του τριγώνου ΟΑΒ για 0 Ε Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση h, 0 Ε Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f g, 0 Ε Δίνεται η συνάρτηση g αf f β e, * R και α,β R Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο με τετμημένη 0 είναι παράλληλη στον άξονα των και ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης και β 7 f 0, να αποδείξετε ότι α 8 Έπειτα για τις τιμές των α και β που βρήκατε να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Πηγή: Χρήστος Κανάβης e D,0 0, Ε f και g 4 Και για τις δύο συναρτήσεις πρέπει 0 D,0 0, Οπότε και f g με Df Dg Ε h f g f g 4 e Άρα h e με 0 Αφού 0, η C h δεν διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ε α β γ e e lm lm 0 0 f g e e lmf lm lme e e e h f e lm lm lm lm e mathematca -4

15 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Ε4 Για να είναι η q συνεχής στο 0 πρέπει lmq q 0 0 Για 0: q e e e f e e e e e e e e e e e e e lmq lm e e Άρα lmq q0 lnκ lnκ 0 lnκ ln κ 0 Για 0: Η συνάρτηση q οπότε η e είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών e Ε5 ος Τρόπος Ισχύει πως Είναι s Έχουμε ος Τρόπος και είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων e e lm(f() ) lm lm e, 0 f e, 0 h s(0 h) s(0) s(h) s(0) e e s (0) lm lm lm lm h0 h h0 h h0 h 0 e f, 0, 0 e, 0 e, 0 s e, R 0, 0, 0 e, 0, 0 s () e e s (0) e 0 Ε6 h() e για 0 e e h () e e για 0 h () e e e e e e e e e mathematca -5

16 taeeolagr Επομένως είναι, h () e 4e e για 0 Ε7 ος Τρόπος e f () Διαφορικός Λογισμός g() e κ() f(g()) f( ) για 0 ος Τρόπος e f () g() g() e e κ() f(g()) για 0 g() Κοινή συνέχεια οπότε e e e e e e κ () 6 6 Επομένως είναι, e κ () για 4 0 Ε8 e f() για 0 e e e e e ( ) f (), 0 e Για 0 έχουμε ln(f()) ln lne ln ln lnf() ( ln) ( ) e e ( ) ( ) e e ( ) ( ) e f () lnf() g() e ( ) 4e 4e 4 e f() 4 Ε9 Η g με 0 είναι παραγωγίσιμη με g για 0 Έστω Μ,g το σημείο επαφής της ζητούμενης εφαπτομένης o έχει συντελεστή διεύθυνσης o λ ( και έστω εφ g ο) ε η ευθεία εφ η οποία y η οποία mathematca -6

17 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου έχει συντελεστή διεύθυνσης λε Τότε αφού οι παραπάνω ευθείες είναι κάθετες θα ισχύει πως λ εφ λ ε λ εφ λεφ go o o o Άρα τα σημεία επαφής είναι Μ,g, Μ,g, ος Τρόπος Η εφαπτομένη στο σημείο y λ βόπου λ,β R συνεπώς και Μ,g, είναι μια ευθεία της μορφής με συντελεστή διεύθυνσης λ y λ βy β κι επειδή διέρχεται από το σημείο (,y) (,) Μ,g, y β β β β λ y λ β y β Η εφαπτομένη στο σημείο y λ βόπου λ,β R συνεπώς λ g Μ,g, είναι μια ευθεία της μορφής με συντελεστή διεύθυνσης λ y λ βy β κι επειδή διέρχεται από το σημείο (,y) (, ) Μ,g, λ g ( ) y β ( ) β β β β λ y λ βy ος Τρόπος β Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο y g() g ()( ) g() g () Μ,g, είναι η y ( ) y y Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο y g( ) g ( ) ( ) Η g( ) g () Μ,g, είναι η y ( ) ( ) y y e h Ε0 Για την f έχουμε f e e με 0 f με 0 είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική για 0 με παράγωγο f ος Τρόπος mathematca -7

18 taeeolagr Η εφαπτομένη της f Διαφορικός Λογισμός C στο σημείο μορφής y λ β όπου λ,β R συνεπώς λ o y λ β y β κι επειδή διέρχεται από το σημείο o,f o o,o είναι μια ευθεία της με συντελεστή διεύθυνσης λ f o o,f o o,o (,y) o,o y β β β β o o o o o o o λ y λ β y ος Τρόπος β o o o o Η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο o,f o είναι η y f f οπότε αφού f και o o o o o f o o o o o o o o o o y ( ) y y o o τότε Κοινή συνέχεια Τα σημεία τομής της εφαπτομένης με τους άξονες y y και προκύπτουν για 0 και y 0 αντίστοιχα, οπότε έχουμε 0 o o o 0 o o o y y 0 άξονα y y και, το Α0, o y0 o o o o y 0 o o o 0 o o o o σημείο τομής με τον o, το Β o y,0 σημείο τομής με τον άξονα o Β,0 Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι O o ΟΑΒ ΟΑΟΒ o o τμ 4 Ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού για o είναι η Α0, o παράγωγος της συνάρτησης εμβαδού στην τιμή o Θεωρούμε τη συνάρτηση E με 0 4 η οποία είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με παράγωγο E για 0 4 Οπότε ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής είναι E mathematca -8

19 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Ε Η h() e με 0 είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων για 0 με παράγωγο h e e e e e e Είναι h 0 e 0 0, Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της h και μεταβολών της h Η h είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] και γνησίως φθίνουσα στο e [,0) Η h παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση o στο (,0) 4 h () +0 + με τιμή h( ) e ( ) 4e e h() 9 Oμ 0 Ε Για 0 θέτουμε Τρόπος ος f () g() ω() f (g()) f ( ) e e για 0 ος Τρόπος f () ω() f (g()) e eg() g() g() e για 0 Κοινή συνέχεια Η ω είναι παραγωγίσιμη για 0 με παράγωγο e ω () e e e e e e 6 6 e e e ( ) ω () για e ( ) ω () Είναι 4 Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της ω και μεταβολών της ω mathematca -9

20 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός e 4 ω () ω() Δικαιολόγηση προσήμων Έστω Οε Επομένως η ω() είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,] και γνησίως αύξουσα στο, Η ω() παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 στο (0, ) e e με τιμή ω() e e g() αf () α α f () β β β με 0 Ε e e Η f είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων για 0 με παράγωγο f () f () 0 α α β 0 α β 0 () α α α 8 () 4 οπότε από την () έχουμε β 7 Για α 8,β 7 : f () 0 f () 6 7 με με 0 f () Είναι f () Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f' και μεταβολών της f Δικαιολόγηση προσήμων Έστω 8 f () f() mathematca Tε

21 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και γνησίως φθίνουσα στο (,0) και στο (0,] Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση 0 στο 6 (0, ) με τιμή f () ΘΕΜΑ 4 Έστω οι συνάρτησεις f() με 0 και Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας ( )f() g( ) α, 0, 0 Ε Να βρείτε το α R ώστε η συνάρτηση g να είναι συνεχής στο 0 0 Ε Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(,) είναι κάθετη στη διχοτόμο του ου και ου τεταρτημορίου Ε Από τυχαίο σημείο M(,y) της C f φέρνουμε παράλληλες ευθείες στους άξονες και y'y οι οποίες τους τέμνουν στα σημεία B και Γ αντίστοιχα Να βρείτε τις συντεταγμένες του M για τις οποίες η απόσταση BΓ γίνεται ελάχιστη Πηγή: ΔΓεωργακίλας (εκδόσεις Τομή) Ε Για να είναι η g συνεχής στο o 0 Για 0: πρέπει lmg g0 0 g f οπότε lmg lm lmg g 0 α 0 τελικά Ε Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C f στο Α, είναι η παράγωγος της f στο o Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως πράξεις παραγωγίσιμων με παράγωγο mathematca -

22 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός f για 0 Άρα λε f Επιπλέον η διχοτόμος του ου και ου τεταρτημορίου είναι η ευθεία y, η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λε Επειδή λ ε λ ε έπεται ότι η εφαπτομένη είναι κάθετη στη διχοτόμο Ε Αν Μ,y Cf, τότε Μ, Οι παράλληλες από το Μ, προς τους άξονες, τέμνουν τους άξονες και yy στα σημεία B,0 και Γ 0, αντίστοιχα Γ0, O y y=/ Μ, B,0 ος Τρόπος Το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ορθογώνιο στο Ο κι επειδήοβ 0 και από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνοοβγ : BΓ ΟΒ ΟΓ άρα BΓ BΓ με 0 ος Τρόπος Από τον τύπο της απόστασης δυο σημείων : με 0 Γ Β Γ Β BΓ y y (0 ) 0 Κοινή συνέχεια Η ποσότητα BΓ με 0 γίνεται ελάχιστη όταν η ποσότητα με 0 γίνεται ελάχιστη ΟΓ 0 με 0 mathematca -

23 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου με 0 Η d είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων Θέτουμε d με παράγωγο 4 4 d Είναι d 0 0 0, Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της d και μεταβολών της d Επομένως η d είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και γνησίως φθίνουσα στο (0,] Η d παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 στο (0, ) Άρα και η απόσταση BΓ δέχεται d () ελάχιστο για 0 Το ζητούμενο 0Οε9 d() σημείο είναι το Μ, ΘΕΜΑ 5 Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας Έστω η συνάρτηση f () 9 α 4α όπου α R Να αποδείξετε ότι: Ε Η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο Ε Το τοπικό ελάχιστο της f είναι μικρότερο από το τοπικό μέγιστο για κάθε τιμή του α R Ε Υπάρχει ακριβώς μια τιμή 0 για την οποία η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(0,f (0 )), έχει το μεγαλύτερο συντελεστή διεύθυνσης Ε4 Να υπολογίσετε το lm f () f () Ε Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με παράγωγο f '() 6 9 Είναι f '() ή Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f mathematca -

24 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός - - f 6 9 f() Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στα τε 9 τμ 0,,, Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση και τοπικό μέγιστο στη θέση με τιμές f ( ) 9 α 4α α 4α α 4α α 4α 7 και f () 9 α 4α 9 α 4α α 4α 5 Ε Έστω ότι f ( ) f () α 4α 7 α 4α που ισχύει για κάθε α R Ε O συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο M(,f ()) είναι ίσος με f () 6 9 Θεωρούμε συνάρτηση δ() 6 9 (συντελεστής διεύθυνσης της f ) Η δ() είναι παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με παράγωγο δ () 6 6 Είναι δ () Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της δ και μεταβολών της δ - δ ()=-6-6 δ() Ομ0 Επομένως η δ είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο, Η δ παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση 0 Οπότε το σημείο με τη μέγιστη κλίση είναι το Μ(,f ( )) f ( ) 9 α 4α 9 α 4α 9 α 4α α 4α δηλαδή το Μ(,α 4α ) Ε4 f () f () f () 9 α 4α, f () α 4α 5 9 α 4α f () mathematca -4

25 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 9 α 4α α 4α ( ) ( 5) ( ) ( 5) (Προκύπτει και με σχήμα Horner για ρ 5) 4 ( )( ) ( ) ( 5) ( ) ( 5) ( ) ( )( 5) Συνεπώς ( )( ) ( ) ( 5)( ) f() f() ( )( 5)( ) ( )( 5)( ) lm lm 0 ΘΕΜΑ 6 Προτείνει ο Χρήστος Τσιφάκης Ένας βιομήχανος μπορεί να στείλει αμέσως σε πελάτες φορτίο 00 τόνων με κέρδος 0000ευρώ τον τόνο Αν καθυστερήσει λίγο καιρό θα προσθέτει στο φορτίο 0 τόνους την εβδομάδα αλλά το κέρδος του θα μειώνεται κατά 000 ευρώ τον τόνο κάθε εβδομάδα από όλο το φορτίο Πότε πρέπει να στείλει το φορτίο ώστε να έχει το μέγιστο κέρδος; Aν στείλει τώρα το φορτίο, το κέρδος θα είναι: ευρώ Aν στείλει σε μία εβδομάδα το φορτίο, το κέρδος θα είναι: ευρώ Aν στείλει σε δύο εβδομάδες το φορτίο, το κέρδος θα είναι: ευρώ Άρα, αν στείλει σε εβδομάδες το φορτίο, το κέρδος θα είναι: ευρώ Θεωρούμε τη συνάρτηση K() (00 0)( ) 0(0 ) 000(0 ) K() 0000( 0 600) με 0 Η K είναι παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με παράγωγο K () 0000( 0) mathematca -5

26 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Είναι K () Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της K και μεταβολών της K Επομένως η K είναι γνησίως αύξουσα στο 0,5 και γνησίως φθίνουσα στο K 0000( 0) +0 Κ() 9Ομ 0 5, Η K παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση 0 5 Οπότε πρέπει να στείλει το φορτίο σε 5 εβδομάδες για να έχει το μέγιστο κέρδος ΘΕΜΑ 7 Προτείνει ο Γιώργος Απόκης Δίνεται η συνάρτηση f () eα α με α 0 Ε Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση f αf α f 0 α α α Ε Να δείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της Cf στο M(0,f (0)) να σχηματίζει γωνία 45o με τον Ε Ε4 Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της f Να βρείτε την τιμή του α ώστε το ελάχιστο της f να πάρει τη μέγιστη τιμή του Ε Είναι f () eα α για κάθε R με α 0 α α α α e οπότε f e α α α Η συνάρτηση eα α είναι παραγωγίσιμη στο R ως σύνθεση των παραγωγίσιμων στο R συναρτήσεων e και α α με α 0 Η f () eα α είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με παράγωγο f () () eα α eα α eα α αeα α για κάθε R με α 0 α α α α Οπότε f e α αe α e α e α e α α Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με παράγωγο f () αeα α αeα α α eα α αeα α α eα α για κάθε R με α α α αe αe αe α Άρα f αf α f αe α αe α α e α α α α α αe α αe α αe α αe α αe α 0 α 0 Οπότε f mathematca -6

27 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Ε Είναι f (0) eα 0 α α 0eα 0 α eα Έστω ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο 0 0 σχηματίζει με τον άξονα γωνία 450, τότε f (0) εφ45o eα eα e0 α 0 άτοπο διότι α 0 Ε Είναι f () eα α αeα α eα α α για κάθε R με α 0 α 0 Είναι f () 0 α 0 α Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα - -/α + e α α + + στο, και γνησίως φθίνουσα α 0 + α f () 0 + στο, α 0 Οε 9 f() Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 με τιμή α α α f e α e α eα α α α α Θέτουμε νέα συνάρτηση g(α) eα με α 0 την ελάχιστη τιμή της α f Η g είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με Ε4 α g (α) eα eα eα eα eα eα α α α α α α α α Είναι g (α) 0 e α 0 α α Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της g και μεταβολών της g Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα α στο 0, και γνησίως φθίνουσα στο e + + +, α α g (α) Ομ0 Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 με τιμή g(α) g() e e0 Οπότε το ελάχιστο της f παίρνει την μέγιστη τιμή του για α mathematca -7

28 taeeolagr ΘΕΜΑ 8 Διαφορικός Λογισμός Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας Θεωρούμε τη συνάρτηση f() α β για κάθε 0με α,β R Ε Να βρείτε τις τιμές των α,β R ώστε να ισχύουν οι σχέσεις f(4) 5 και f (9) Ε Για α και β να βρείτε α Το όριο lm f() β Το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f που απέχει την ελάχιστη απόσταση από το σημείο A(,) Πηγή: ΛΚανάκης - ΓΜαυρίδης (εκδόσεις Μαυρίδης) Ε Η f είναι παραγωγίσιμη στο (0, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων β συναρτήσεων με παράγωγο f () β β β f (9) και επειδή f (9) έχουμε β β 6 β β f(4) α β 4 α α 4 κι επειδή f(4) 5 έχουμε α 4 5 α Ε α Είναι f() με 0 ( )( ) ( )( ) f() ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Άρα ( ) ( ) lm lm f() β Έστω Μ(,f()), τυχαίο σημείο της C f Η απόσταση του σημείου M από το Α(,) είναι ΑΜ ( ) y y ( ) Μ Α Μ Α ΑΜ με 0 mathematca -8

29 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Η ποσότητα AM 9 με 0 γίνεται ελάχιστη όταν η ποσότητα 9 με 0 γίνεται ελάχιστη Θέτουμε d 9 με 0 Η d είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως πολυωνυμική με παράγωγο d Είναι d 0 0 Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της d και μεταβολών της d Επομένως η d είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και γνησίως φθίνουσα στο d ()= (0,] 0Οε 9 d() Η d παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 Άρα και η απόσταση AM δέχεται ελάχιστο για 0 Οπότε το ζητούμενο σημείο είναι το Μ,,,, ΘΕΜΑ 9 Προτείνει ο Γιώργος Απόκης Η πλευρά ΑΔ ορθογωνίου οικοπέδου ΑΒΓΔ μεταβλητών διαστάσεων συνορεύει με ένα ποτάμι Ο ιδιοκτήτης πρόκειται να περιφράξει τις πλευρές ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ Το κόστος για τις πλευρές ΑΒ,ΔΓ είναι ευρώ ανά μέτρο ενώ για την ΒΓ είναι 4 ευρώ ανά μέτρο Πώς πρέπει να επιλεγούν οι διαστάσεις του οικοπέδου ώστε αυτό να έχει το μέγιστο εμβαδόν, με δεδομένο ότι ο ιδιοκτήτης θα διαθέσει 0 ευρώ για την περίφραξη; Α Β Ποτάμι Δ Γ Έστω 0 το μήκος της ΒΓ και y 0 το πλάτος των ΑΒ,ΓΔ Επειδή το κόστος για την περίφραξη της ΒΓ είναι 4 ενώ για την περίφραξη των ΑΒ,ΓΔ είναι, αφού θα διατεθούν 0 ευρώ για την περίφραξη έχουμε mathematca -9

30 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός 6y 4 0 y 60 y 60 y 60 y 0 6y 4 0 Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι E y 0 με,y 0 ως διαστάσεις Επειδή y 0 πρέπει Θέτουμε E() 0 0 με 0 0 Η E() είναι παραγωγίσιμη στο (0,0) ως πολυωνυμική με παράγωγο 4 E () 0 με Είναι E () Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της E και μεταβολών της E Επομένως η E είναι γνησίως αύξουσα στο 0,5 και γνησίως 4 E () E() 9Ομ0 φθίνουσα στο 5, Η E παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση 0 5 Οι διαστάσεις λοιπόν του ορθογωνίου ώστε να μεγιστοποιείται το εμβαδόν του είναι m ΒΓ 5m και y ΑΒ ΓΔ Και το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου είναι y m ΘΕΜΑ 0 Προτείνει ο Περικλής Παντούλας Έστω ότι η ευθεία ε : y 4 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f α β 9 0 στο o Ε Να βρείτε τις τιμές των α και β Ε Για α και β α Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στην ευθεία y 9 mathematca -0

31 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου β Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της f ως προς f γ Να υπολογίσετε το όριο lm f δ Να υπολογίσετε το όριο lm Ε Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με παράγωγο f α β 9 Αφού η ε εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, το σημείο επαφής τους ανήκει και στην ευθεία εφαπτομένης και στη γραφική παράσταση της f, επομένως f 4 α β 9 0 α β () Επίσης είναι f α β 7 () Λύνουμε το σύστημα των (),() Συνεπώς είναι α β α β 6 α α α β 7 α β 7 α β β Έτσι προκύπτει α,β Ε α) Για α,β Έστω 0 0 ο τύπος της f γίνεται f 9 0,f τα σημεία επαφής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τις εφαπτόμενες που είναι παράλληλες στην ευθεία ε : y 9 Λόγω της παραλληλίας έχουμε f ή 0 Είναι f 0 0 και 4 86 f 7 Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα Α0,0 και Έστω β) Είναι f Β, 7 ρ 4 9 η συνάρτηση του ρυθμού μεταβολής της f ως προς, η οποία είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με παράγωγο ρ () 6 4 Είναι 6 ρ () Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της ρ και μεταβολών της ρ mathematca -

32 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός - ρ () 6 4 ρ() Επομένως η ρ είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο, / Οε 9 Η ρ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 με τιμή ρ 4 9 γ) f (Προκύπτει και με σχήμα Horner για ρ ) 0 f 0 Είναι lm lm lm 0 δ) Είναι lm lm f f lm f ΘΕΜΑ Δίνεται η συνάρτηση f () lm 0 lm f 0 Προτείνει ο Γιώργος Απόκης α β με α,β R α α Ε Να βρείτε τις τιμές του α ώστε το πεδίο ορισμού να είναι Af R Ε Για τη μεγαλύτερη ακέραια από τις τιμές του α ώστε Af R, να βρεθεί η τιμή του β ώστε το σημείο K, να ανήκει στη Cf 6 Ε Για α, β : α Nα μελετήσετε τη μονοτονία, τις θέσεις και το είδος ακροτάτων της f β Nα βρεθούν τα σημεία Μ,Ν της Cf με τεταγμένη γ Nα βρεθoύν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων στα σημεία Μ, Ν καθώς και το σημείο τομής τους mathematca -

33 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Ε Για να ισχύει Af R, πρέπει για κάθε R να ισχύει α α 0 () Η () δεν έχει λύσεις όταν α α -4α Δ 0 4α 4α 8 0 α (,) Ε Η μεγαλύτερη ακέραιη τιμή του α από το (,) είναι το α Συνεπώς ο β τύπος της συνάρτηση γίνεται f() με 0 αφού Δ 4 0 Είναι K, Cf f β β Ε α Για α, β, από τα παραπάνω ερωτήματα είναι Af R και f() Η f παραγωγίσιμη στο R ως ρητή, με f () ( ) Είναι f () ή 4 Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f - + Έτσι η f είναι γνησίως αύξουσα στο, και ( ) γνησίως φθίνουσα στο f () , και στο f() 0τε 9 τμ 0, Παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για το και τοπικό μέγιστο για το β Πρέπει o R με f( ) 4 f( ) 4 f( ) 6 o o 0 o o o ή o 0 0 o o mathematca -

34 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός 'Έτσι τα ζητούμενα σημεία είναι τα M 0,,N, γ ος Τρόπος Η εξίσωση της εφαπτομένης στο έχουμε f(0) και f (0) 9 M0,, είναι η y f(0) f (0)( 0) 9 9 άρα y y : ε Η εξίσωση της εφαπτομένης στο N, είναι η y f f έχουμε f και Σημείο τομής των ε ε 4 f 7, : Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους, προκύπτει το άρα y y : ε 44 K, 7 6 ος Τρόπος Η εξίσωση της ευθείας εφαπτομένης της Cf είναι της μορφής y λ β με λ f0 και επειδή το σημείο επαφής M0, είναι σημείο της ευθείας, 9 επαληθεύει την εξίσωση της δηλαδή, 0 β β, επομένως η ευθεία 9 εφαπτομένης έχει εξίσωση ε : y 9y Η εξίσωση της ευθείας εφαπτομένης της Cf είναι της μορφής y λ β με 4 λ f και επειδή το σημείο επαφής N, 7 είναι σημείο της ευθείας, 4 0 επαληθεύει την εξίσωση της δηλαδή, β β, επομένως η ευθεία εφαπτομένης έχει εξίσωση ε : y 7y ε, ε : Σημείο τομής των Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεών τους και προκύπτει το 44 K, 7 6 mathematca -4

35 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Προτείνει ο Γιώργος Απόκης Δίνονται οι συναρτήσεις f,g ορισμένες στο R για τις οποίες ισχύουν, οι σχέσεις: f() g() 9 7 και f() g() για κάθε R Ε Να βρείτε τους τύπους των f,g καθώς και τα κοινά σημεία των C f,c g Ε Να μελετήσετε τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης h() f() g() 6 f () Ε Να υπολογίσετε το όριο lm g() Ε Έχουμε f() g() 9 7 f() g() 9 7 f() g() f() g() g() g() 8 8 f() g() f() g() g() 8 ( ) ( ) 6( )( ) g() f() g( ) g() 6 6 f() g() g() 6 6 f() Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων θα προκύψουν από τη λύση της εξίσωσης f g η οποία έχει ρίζες τις και Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των δύο συναρτήσεων είναι λοιπόν τα N,f Ν, M,f Μ,6 και mathematca -5

36 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Ε Από τους τύπους h f g, f και 6 g 6 6 προκύπτει ότι ο τύπος της συνάρτησης h ισούται με h f g 6 6 με R 6 6 Ε Η h παραγωγίσιμη στο R με h Οι ρίζες της είναι: h 0 0 και Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της h και μεταβολών της h - - / + Η h είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα h (, ] και, ενώ είναι h() 9 τμ0τε9 γνησίως φθίνουσα στο, Επιπλέον παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το h και τοπικό ελάχιστο το h 7 Ε4 Έχουμε lm f g lm 6 6 lm 6 7 lm 5 lm lm Δικαιολόγηση παραγοντοποίησης Είναι, Διαφορετικά και με σχήμα Horner με ρ = Επίσης είναι, Διαφορετικά και με σχήμα Horner με ρ = mathematca -6

37 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Έστω η συνάρτηση f με τύπο f e α α lnα e Προτείνει ο Χρήστος Κανάβης α μεα 0 e Ε Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Ε Αν lm, να βρεθεί ο αριθμός α α Για α f f 0 για κάθε R Ε Να δείξετε ότι Ε4 Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Πηγή: Χρήστος Κανάβης Ε Πρέπει e α 0 Επειδή α 0και για κάθε Rισχύει έχουμε ότι για κάθε R ισχύει ορισμού το R Ε e 0 e α 0 Άρα η συνάρτηση f έχει πεδίο ( )( ) lm lm lm( ) lm() α α α ( ) α α Ε Για α έχουμε f() e ln(e ), R e Η f είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () e,r Οπότε Έχουμε e e e e f ( ) e e e e e e e e e e e e f () f ( ) e e e e e e e e(e ) e(e ) (e ) e 0 e(e ) e e Ε5 Για α έχουμε e e e e e f (), R e e e e e e e e e Είναι e f () 0 0 e 0 e 0 e e mathematca -7

38 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f Δικαιολόγηση προσήμου Έστω 0 + e e 0 e 0 e /e f () f() Οε 9 Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] και γνησίως αύξουσα στο [0, ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 0 με τιμή f (0) ΘΕΜΑ 4 ln e Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας f (), Δίνονται οι συναρτήσεις f () 4 4 και g() α 6, Ε Να βρείτε το σημείο στο οποίο η Cf τέμνει τον άξονα Ε Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο τομής της με τον άξονα Ε Να βρείτε το α R ώστε η g να είναι συνεχής στο 0 Για α : Ε4 Να δείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της g στο 0 Ε5 Να προσδιορίσετε τις τιμές του μ R ώστε να ισχύει μg ( ) μg () 0 Πηγή: ΜΑγιοπούλου & ΝΠανουσάκης (ΕΟΣΚ) Ε Για κάθε R είναι : f Άρα η Cf τέμνει τον άξονα στο σημείο A,0 Ε Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο f 8 ος Τρόπος Είναι f 8 7 Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο A,0 είναι: mathematca -8

39 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου y f f y 7 7 ος Τρόπος Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf είναι της μορφής y λ β με λ f 7 και επειδή το σημείο επαφής A,0 είναι σημείο της ευθείας, επαληθεύει την εξίσωση της, δηλαδή 0 7β β 7, επομένως η ευθεία εφαπτομένης έχει εξίσωση y 7 7 Ε Ο τύπος της συνάρτησης g γίνεται g α 6, 4 4, 4 g, 4, g α 6, α 6, Για να είναι συνεχής στο 0 πρέπει: lmg g lm 4 α 6 α 6 7 α Ε4 Ο τύπος της συνάρτησης g για α g h g 4 h 7 Είναι lm lm h0 h h0 h γίνεται g 7, 4, 4 8h 4h 4 4h h lm lm 8 h0 h h0 h Άρα g 8 που είναι και ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης για Ε5 Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R με παράγωγο 8, g 8, : 6 6μ 6μ 0 μ μ 0 επομένως είναι και σύμφωνα με τον πίνακα προσήμων που ακολουθεί είναι μ μ g μg μ -μ mathematca -9

40 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός ΘΕΜΑ 5 Προτείνει ο Γιώργος Απόκης Δίνεται η συνάρτηση f () α 6β, α,β R η οποία παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στις θέσεις, Ε Να βρεθούν οι τιμές των α,β Ε Για α,β 6 : α Να βρείτε το σημείο της Cf στο οποίο ο ρυθμός μεταβολής της f είναι ο ελάχιστος β Να υπολογίσετε το όριο lm 5 Ε f () f ( 5) Η f παραγωγίσιμη στο R ως πολυωνυμική με f 6 α 6β Τότε f 0 6 α 6β 0 α β 0 Αν το τριώνυμο έχει αρνητική διακρίνουσα, τότε η f θα διατηρεί στο R το πρόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου και συνεπώς η f θα είναι γνησίως μονότονη χωρίς ακρότατα Άρα πρέπει Δ 0 α 6β 0 Η f έχει ρίζες τις, και σαν εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει πρόσημο θετικό στο (, ) (, ) και αρνητικό στο (,) Από τους τύπους του Veta έχουμε α α S α και 6 P Ε 6β ( ) β 6 6 α Για α και β 6 έχουμε f () 6 6 6, R Η f παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () 6, R Είναι f () Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f - - / + Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο f () 6, και γνησίως αύξουσα στο f () 0 Oε 9, mathematca -40

41 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 με τιμή 75 f β Είναι f() 6, R και επομένως f( 5) ( 5) ( 5) 6( 5) Έχουμε lm f() f( 5) 6 6 lm lm 5 ( 6 6)( 6 6) 6( 5)( 6 6) 6 6 lm 5 6( 5)( 6 6) 6 5 lm 5 6( 5)( 6 6) lm 5 6( 5)( lm 6( 5)( 6 6 6) ( 5)( 7 ) lm 5 6( 5)( 6 6) 5 ( 7 ) lm ( 6 6) ΘΕΜΑ 6 ) (Προκύπτει και με σχήμα Horner για ρ 5) Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας Δίνεται η συνάρτηση f() αe β 5, R, α, β R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A(0,7) Ε Αν η εφαπτομένη της Cf στο A(0,7) είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση y, να βρείτε τους α,β R Αν α και β Ε Να αποδείξετε ότι f () f (), R Ε Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Ε4 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα mathematca -4

42 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Ε5 Ε f () e Να αποδείξετε ότι lm Απο φυλλάδιο των Δ Αργυράκη & Γ Κουτσανδρέα Αφού A 0,7 Cf έχουμε f (0) 7 α 5 7 α δηλαδή f () e β 5 με f () e β Oι ευθείες είναι κάθετες άρα f (0) λ ( β) ( ) β β Ε Έχουμε f () e 5 και f () e, f () e άρα f () f () e (e ) Ε Eίναι f () e Λύνουμε την εξίσωση f () 0 e e ln ln Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f - -ln + f () e - 0+ f() 0Οε9 Δικαιολόγηση προσήμου e 0 e ln ln Επομένως η f γνησίως φθίνουσα στο, ln και γνησίως αύξουσα στο ln, Άρα, η f παρουσιάζει ελάχιστο το f( ln) ln 5 6 ln Ε4 e Από το Ε έχουμε ότι f () 0 ln άρα στο σημείο M( ln,6 ln) υπάρχει οριζόντια εφαπτομένη f () e e 5 e lm Ε5 Είναι lm ( 5) lm lm 5 ( 5)( 5) ΘΕΜΑ 7 Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας Έστω η συνάρτηση f () eα β, R,α,β R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία A(,e ) και B(,e) Ε Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f Ε Να βρεθεί το σημείο τομής της Cf με τον άξονα y y mathematca -4

43 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Ε Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο παραπάνω σημείο καθώς και το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει αυτή με τους άξονες Ε4 Να αποδείξετε ότι f () f () (4 ) 4f() Ε5 Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης για Πηγή: Φυλλάδιο ΜΠαπαγρηγοράκη Ε Αφού η Cf διέρχεται από τα σημεία A και B, τότε: αβ f e e e α β () και f e e e α β () α β Από α 4 α Από α β Έτσι f Ε Με 0 e με R είναι 0 f 0 e Άρα η τέμνει τον στο σημείο Γ 0, C y y f Ε Είναι για R f 4 e ος Τρόπος Η εφαπτομένη στο Γ είναι η: y f 0 f 0 0 y y η στο σημείο στο σημείο Δ,0 οποία τέμνει τον yy Γ 0, και τον άξονα Δ,0 y Γ 0, O Επομένως σύμφωνα με το σχήμα, το ζητούμενο εμβαδόν είναι EOΓΔ OΓOΔ τμ ος Τρόπος Η εξίσωση της εφαπτομένης της με Cf στο σημείο O 0, είναι της μορφής y λ β λ f 0 Επειδή το σημείο αυτό είναι σημείο της ευθείας, επαληθεύει την εξίσωση της δηλαδή, 0β β Επομένως η ευθεία εφαπτομένης έχει εξίσωση ε : y η οποία τέμνει τον yy στο σημείο Γ0, και τον άξονα στο σημείο Δ,0 εμβαδόν είναι Επομένως σύμφωνα και με το σχήμα, το ζητούμενο EOΓΔ OΓ OΔ τμ mathematca -4

44 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Ε4 f 4e Ε5 O ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης για 4 4 e 4f 4 f είναι f 4e0 4 e0 85e0 ΘΕΜΑ 8 Προτείνει ο Ηλίας Καμπελής Δίνεται η συνάρτηση με f () 9 α β με α,β R Να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης f 6 Aν f () f() 5 και f lm 0, να βρείτε τις τιμές των 5 6 α,β Ε Ε Για α= και β= να βρείτε: α το πρόσημο της f β την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α κ,λ όπου κ, λ είναι στοιχεία του συνόλου,0, Πηγή: Φυλλάδιο ΜΠαπαγρηγοράκη Ε Είναι f() 9 α β, R α,β R Η f παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () 6 8 α, R Έχουμε f() 6 6 α β α β 0 και f () 6 8 α α Οπότε f () f() 5 α α β 0 5 α β 7 () 6 ( ) lm lm 5 6 ( )( ) Ακόμα lm 6 Επομένως f lm 0 f () 0 α 6 α 0 α () 5 6 Οπότε από () έχουμε β Ε α Έχουμε f () 9, R και f () 6 8 6( ) f () 6 8 Συνεπώς για (,) (, ) έχουμε f () 0 Ενώ για (,) είναι f () 0 mathematca -44

45 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου β f( ) {,0,}, f(0) {,0,} και f() 6 {,0,} Επομένως κ 0 και λ ος Τρόπος Η εφαπτομένη στο σημείο A(0,) είναι μια ευθεία της μορφής y λ β όπου λ,βr με συντελεστή διεύθυνσης λ f (0) συνεπώς y λ β y β (,y) (0,) κι επειδή διέρχεται από το σημείο A(0,) y β 0 β β Επομένως η εξίσωση εφαπτομένης είναι η λ y λ β y ος Τρόπος Έχουμε f (0),οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης στο A(0,) είναι η y f(0) f (0)( 0) y y ΘΕΜΑ 9 Έστω f() α α 5 β λ Προτείνει ο Περικλής Παντούλας με α R Για ποια τιμή του α το άθροισμα τετραγώνων των ριζών της f είναι ελάχιστο και ποια η τιμή του ελαχίστου; Αρχικά πρέπει η δευτεροβάθμια να έχει δύο ρίζες, οπότε Δ0 Δ 0 ( α) 4(α 5) 0 9 6α α 4α 0 0 α α 9 0αR Έστω,οι ρίζες τις δευτεροβάθμιας Από τους τύπους Veta, έχουμε S α και P (α 5) ( ) S P (α ) (α 5) α 6α 9 α 0 α 4α 9 Θεωρούμε τη συνάρτηση g(α) α 4α 9,α R Η g είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με g(α) α 4,α R Είναι g(α) 0 α 4 0 α Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της g και μεταβολών της g - + g(α) α g () 0 Oε 9 Οπότε η g είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, ) Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για α με τιμή g() mathematca -45

46 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός ΘΕΜΑ 0 Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας Δίνεται η συνάρτηση f () eκ( ), R,κ R Ε Να βρεθούν f και f Ε Να βρείτε την τιμή του κ R, ώστε να ισχύει f () f () eκ( ) για κάθε R Αν κ, τότε α να δείξετε ότι ο άξονας εφάπτεται στην καμπύλη της f στο σημείο M(,f ()) Ε β Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ Να αποδείξετε ότι ισχύει e για κάθε R Πηγή: ΜΤουμάσης- ΓΤσαπακίδης (εκδόσεις Σαββάλας) Ε f κ e Ε κ Η f δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f κe και κ f f e κ κ κ e Ε κ κ κ e κ κe κ e κ 0 κ κ 0 κ αφού e 0 για κάθε R Για k έχουμε f e με f e α Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf στο M είναι λ f 0 Δηλαδή η εφαπτομένη στο M είναι οριζόντια Επιπλέον M,f,0 και συνεπώς η εφαπτομένη στο M είναι ο άξονας β Η f παραγωγίσιμη με f e Λύνουμε την εξίσωση f 0 e 0 e ln e ln lne 0 0 Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f Δικαιολόγηση προσήμου - + f 0 e e e0 f e - 0+ f() 0Οε9 0 Η συνάρτηση f λοιπόν είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και γνησίως φθίνουσα στο (,] Η f παρουσιάζει ελάχιστο για το f 0 γ Από το β) έχουμε λόγω του ελαχίστου της f, για κάθε R είναι f f e 0 e mathematca -46

47 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου ΘΕΜΑ Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας ln( ), R Ε Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Δίνεται η συνάρτηση f () α β α ln Ε Αν α β, να δείξετε ότι β Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f () λ, R,λ R Ε Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία Ε4 Να προσδιορίσετε τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακροτάτων της g Ε5 Να βρείτε το λ R ώστε το τοπικό μέγιστο της g να είναι διπλάσιο από το τοπικό ελάχιστο της g Πηγή: ΒΠαπαδάκης (εκδόσεις Σαββάλας) Ε Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισίμων συναρτήσεων με f () 0 0 ή ή Είναι f () 0 Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f Από το διπλανό πίνακα έχουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στα,0,, και γνησίως φθίνουσα στα,, 0, Για και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το f ( ) f () ln και για 0 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το f (0) f () f() 0 Τε9Τμ0Τε 9 Ε Για κάθε α β επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα έχουμε α α β α β ln f (α) f (β) ln α ln β β mathematca -47

48 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Ε Είναι g() f () λ λ οπότε g () Είναι g () 0 0 ή Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της g και μεταβολών της g Από το διπλανό πίνακα έχουμε ότι η g είναι γνήσια αύξουσα στα, και, και γνήσια φθίνουσα στο ( ), Ε4 g () g() Τμ0Τε 9 Για παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το g( ) λ και για παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο το g() λ Ε5 Έχουμε gma gmn λ λ λ ΘΕΜΑ Προτείνει ο Χρήστος Τσιφάκης Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις φ,f,g με f() f () και φ() f (g()) με g() ln με 0 Ε Να δείξετε ότι: g() φ() και g () φ () Ε Να εξετάσετε αν η g() έχει ακρότατα στο διάστημα (0, ) Ε Να υπολογιστεί η τιμή του ορίου: lm Ε4 ln(h ) (h ) g() h 0 h α Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων (ε ),(ε ) των γραφικών παραστάσεων των φ και f στα σημεία τους A(,φ()) και B(,f ()) αντίστοιχα β Να υπολογιστεί η γωνία που σχηματίζει η (ε ) με τον άξονα Ε Έχουμε g() ln και φ f g f άρα g φ Είναι g οπότε g ακόμη φ () f g f g g επομένως έχουμε ότι φ () f g g φ f g φ Άρα φ g mathematca -48

49 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου g 0 για κάθε 0 Οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ), άρα δεν έχει ακρότατα Ε Είναι Ε ln h h g g h g() lm lm g h0 h h0 h Ε4 α ος Τρόπος Η εξίσωση της εφαπτομένης της Cφ είναι της μορφής y λ β με και επειδή το σημείο επαφής M, είναι σημείο της ευθείας, επαληθεύει την λ φ εξίσωση της δηλαδή, β β, επομένως η ευθεία εφαπτομένης έχει εξίσωση ε : y Κατά τον ίδιο τρόπο, η εξίσωση της εφαπτομένης της y λ β Cf είναι της μορφής με λ f και επειδή το σημείο επαφής M, είναι σημείο της ευθείας, επαληθεύει την εξίσωση της δηλαδή, β β 0, επομένως η ευθεία εφαπτομένης έχει εξίσωση ε : y ος τρόπος ε : y φ φ y y ε : y f f y y β Ο συντελεστής διεύθυνσης της ε είναι: λ εφθ θ 45 ΘΕΜΑ Προτείνει ο Απόστολος Τιντινίδης Έστω f() 5 Ε Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f Ε Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η εφαπτομένη της Cf σχηματίζει με τον άξονα οξεία γωνία Ε Να βρείτε το σημείο της Cf στο οποίο η εφαπτομένη της έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης καθώς και την τιμή του ελάχιστου συντελεστή διεύθυνσης Ε Έχουμε f() 5, R mathematca -49

50 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Η f παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () 6 5, R f () ή 5 Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f Από το διπλανό πίνακα έχουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,] f () καθώς και στο [5, ) και γνησίως f() 9 Τμ0Τε 9 φθίνουσα στο [,5] Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση με τιμή f () 5 και τοπικό ελάχιστο στη θέση 5 με τιμή f (5) Ε Γνωρίζουμε ότι η εφαπτομένη μιας οξείας γωνίας είναι θετικός αριθμός, οπότε θέλουμε f () (,) (5, ) Ε Η f παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () 6, R f () Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της και μεταβολών της f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] - + και γνησίως αύξουσα στο [, ) f () Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση f () 0 Οε 9 με τιμή f () ΘΕΜΑ 4 Προτείνει ο Περικλής Παντούλας Ε Ε 6 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f, την f και την f Να βρείτε τη μονοτονία της f Ε Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf Ε4 Ε5 στην αρχή των αξόνων Να προσδιορίσετε το πρόσημο της f Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι η f έχει ολικό ελάχιστο το οποίο και να βρείτε Δίνεται η συνάρτηση f ln ln mathematca -50

51 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Ε6 Ε7 Να αποδείξετε ότι ln ln για κάθε 6 Να λύσετε την εξίσωση ln ln 6 Πηγή:Στεργίου-Νάκης(εκδόσεις Σαββάλας) Ε Έχουμε f ln ln 6 Για το πεδίο ορισμού της f πρέπει 0 Άρα (, ) Η f παραγωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με f () ln( ) ln( ), Η f παραγωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ln( ) f () 0 για κάθε (, ) Επειδή f () 0 για κάθε (, 0) (0, ) και επειδή η f είναι συνεχής στο 0 έχουμε πως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Ε Ε Έχουμε f (0) 0 Ε4 Έχουμε f (0) 0 και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Επομένως για 0 θα ισχύει f () f (0) 0 και για 0 θα ισχύει f () f (0) 0 Ε5 Σύμφωνα με τα παραπάνω έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f Από το διπλανό πίνακα έχουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] και f () γνησίως αύξουσα στο [0, ) f() 0 Οε 9 Παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 0 με τιμή f (0) 0 Επειδή η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 0 με τιμή f (0) 0 έχουμε ότι για κάθε ισχύει: Ε6 mathematca -5

52 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός f() f(0) ln( ) ln( ) 0 6 ln( ) ln( ) 6 Ε7 Για έχουμε ln( ) ln( ) 6 ln ln 0 f() 0 f() f(0) 0 6 Η λύση 0 είναι και μοναδική διότι f() 0 για κάθε (, ) και η ισότητα ισχύει μόνο για ΘΕΜΑ 5 0 Δίνεται η συνάρτηση α f e 7 Προτείνει ο Περικλής Παντούλας Ε Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμούα για τις οποίες ισχύει f f 0 για κάθε R Ε Να βρεθεί συναρτήσει του α, η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη 0 Ε Για α 0 να βρείτε τα σημεία τομής Α και Β της εφαπτομένης ευθείας με τους άξονες συντεταγμένων Ε4 Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου ΑΟΒ, που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες για o α Ε Η f έχει πεδίο ορισμού το R και είναι παραγωγίσιμη με α και η fπαραγωγίσιμη με f () α e Έχουμε f () f () 0 6αe α e 0 6α α α α 0 6α( α) 0 άρα α 0ή α f () 6αe α 0 0 Ε Έχουμε f(0) e 7 4 και λ f (0) 6αe 6α Έστω ότι η εφαπτομένη είναι (ε): y λ β y 6α β Αφού διέρχεται από το (0,4) έχουμε β 4άρα (ε): y 6α 4 mathematca -5

53 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Ε Με y 0 για τον άξονα : 0 6α 4, προκύπτει το σημείο α A,0 και με α 0 αντίστοιχα για τον άξονα y y προκύπτει το σημείο B(0,4) α0 4 Ε4 Τo εμβαδόν του ΑΟΒ είναι E(α) OA OB 4 με α α 4 ρυθμό μεταβολής E (α) και για α, α ΘΕΜΑ 6 Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας Η θέση ενός υλικού σημείου το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο (t) t κt λt,t [0,0],κ,λ R όπου το t μετριέται σε sec και το σε μέτρα (m) Ε Αν τη χρονική στιγμή t sec η ταχύτητα είναι u() 9m / s και η επιτάχυνση α() m / s, να βρείτε τις τιμές των κ,λ R Για κ9 και λ 4 να βρείτε: Ε Πότε το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι 9m / s; Ε Πότε το σημείο μένει ακίνητο; Ε4 Τα χρονικά διαστήματα κατά τα οποία το σημείο κινείται κατά τη θετική ή αρνητική κατεύθυνση Ε5 Ποίο το ολικό διάστημα που διένυσε το σημείο στα πρώτα 0 δευτερόλεπτα της κίνησης του; Ε6 Ποιά η μετατόπιση του από την αρχική θέση; Πηγη: ΜΤουμάσης- ΓΤσαπακίδης (εκδόσεις Σαββάλας) Ε Είναι u(t) (t) t κt λ, και α(t) u (t) 6t κ Ισχύει η σχέση α() 6 κ κ 9 Επίσης, u() 9 κ λ 9 8 λ 6 λ 4 Και σύμφωνα με τις τιμές αυτές θα είναι (t) t 9t 4t, u(t) t 8t 4, α(t) 6t 8 Ε Είναι u(t) 9 u(t) 9 H εξίσωση κ9 B(0, 4) t 8t 4 9 t 8t 0 είναι αδύνατη γιατί έχει Δ 0 και από t 8t 4 9 t 8t 5 0 t 6t 5 0 t s ή t 5 s y O 4 E 9 A,0 α mathematca -5

54 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Ε Είναι ακίνητο για u(t) 0 t 8t 4 0 άρα t s ή t 4 s Ε4 Έχουμε τον παρακάτω πίνακα 0 t Δεξιά Αριστερα Δεξία u(t)=t 8t+4 Κατεύθυνση Άρα κινείται προς τα δεξιά για t [0,) (4,0] και αριστερά για t (,4) Ε5 H αλλαγή στη φορά της κίνησης γίνεται τις χρονικές στιγμές s και 4s Είναι 0 0, 0, 4 6, 0 40 Τ Σ Α t=4 Σ t=0 0 t=0 6m t= 0m =(t) 40m Επομένως στο 0, : Sολ ΑΣ ΣΣ ΣT m Ε6 H τελική μετατόπιση είναι (0) 40m ΘΕΜΑ 7 Προτείνει ο Χρήστος Κανάβης Δίνεται η συνεχής συνάρτηση g στο R με lmg και η συνάρτηση 0 f () e g 0 Ε Να αποδείξετε ότι f () f και f f Ε α Να δείξετε ότι lm lnf g 0 f f g 0 β Να υπολογίσετε τα όρια : lm 0 f g g f f lm f f () lm 4 lm f f 0 Ε Να δείξετε ότι η εξίσωση εφαπτομένης της Cf στο σημείο 0,f 0 είναι της μορφής y 0e0 e0 0e0 Σε ποια σημεία οι εφαπτομένες αυτές διέρχονται από την αρχή των αξόνων; mathematca -54

55 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Ε4 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση f και να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της αυξάνει για κάθε R Πηγή: Χρήστος Κανάβης Ε Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο R, άρα είναι συνεχής και στο o 0 g0 Συνεπώς g 0 lmg Τότε f e e Η f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με f e f και Ε α Aφού η f συνεχής 0 f g f 0 g 0 e β Επειδή lm έχουμε 0 g Aφού η g συνεχής g β Είναι β4 Είναι 0 R Ε Η εφαπτομένη της στο,f έχει εξίσωση f f f f f f 4 f f lnf lm 0 g 4 4 f f lne f f lm lm lm lm g 0 g 0 f g f f f f f lm lm lm lme e β Είναι f f 4 f f 4 9 lm lm lm lm lm 0 0 Cf o o y f o fo o o o y e e 0 0 f f f lm f f f lm f lm e o o o o y e e e o o o mathematca -55

56 taeeolagr Διαφορικός Λογισμός Θέλουμε O 0,0 ε f 0 e o o 0 e o e o o e o o 0 o,f, e Τα ζητούμενα σημεία είναι τα A και B,f, e ος Τρόπος Η εφαπτομένη της Cf στο o,f o έχει εξίσωση y λ κ με λ f (0 ) 0e0 και το o,f o σημείο της άρα θα ισχύει f(0 ) λ0 κ οπότε κ f (0 ) λ0 e 0 0e 0 και θέλουμε το O(0, 0) να ανήκει σε αυτή οπότε θα ισχύει 0 λ0 κ 0 κ επομένως e o o 0 o,f, e Τα ζητούμενα σημεία είναι τα A και B,f, e Ε4 Έχουμε βρει f f e για κάθε R Έχουμε f 0 0 Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της f και μεταβολών της f Από το διπλανό πίνακα έχουμε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,0] και γνησίως αύξουσα στο [0, ) Τέλος παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση 0 με τιμή f (0) - e f () f() Οε 9 Ο ρυθμός μεταβολής της f είναι η f και αυξάνει για κάθε R αφού f e 0 για κάθε R mathematca -56

57 taeeolagr Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου ΘΕΜΑ 8 Προτείνει ο Δημήτρης Κατσίποδας α Δίνεται η συνάρτηση f() e α,r,α 0 Έστω (ε) η εφαπτομένη της Cf στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα yy Ε Να αποδείξετε ότι η (ε) έχει εξίσωση y (α ) α Ε Να βρείτε την τιμή του α 0 για την οποία το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τους άξονες γίνεται ελάχιστο Για α Ε Να δείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της η οποία να σχηματίζει με τον άξονα αμβλεία γωνία f() f () Ε4 Να υπολογίσετε το όριο lm f () ln Ε5 f() f () Να υπολογίσετε το όριο lm Ε6 Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένη της που διέρχεται από το σημείο A(0,) C f C f Ε Έχουμε f(0) α άρα η Cf τέμνει τον στο B(0, α) Η f είναι α παραγωγίσιμη στο R με f () αe Οπότε f (0) α Aν η εφαπτομένη είναι η y (α ) β, διέρχεται από το B άρα β α Τελικά έχουμε, y (α ) α Ε α 0α Για τον : 0 (α ) α α To εμβαδόν είναι α0 α (α ) E(α) ΟB ΟA α α (α ) α A,0 α O B(0, α) y α α Άρα, E(α) H παράγωγος έχει ρίζες, και αφού α 0έχουμε ότι (α ) α Οπότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμου της Ε και μεταβολών της Ε mathematca -57