PROIZVODNJA PIVE. DEFINICIJA, tipovi i vrste pive
|
|
- Μήδεια Ζαφειρόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PROIZVODNJA PIVE DEFINICIJA, tipovi i vrste pive Prema suvremenom shvaćanju, pivo je osvježavajuće piće s malom koncentracijom alkohola i karakterističnom aromom po hmelju, dobiveno vrenjem pivske sladovine s pivskim kvascem. Pivo se je pojavljivalo i pojavljuje na tržištu pod različitim nazivima ili s različitim atributima, kao što su: bečko, dortmundsko, münchensko, plzensko, samostansko, ale, lager, pšenično, odležano, ožujsko, ljetno, zimsko, lagano, dijetno, niskoalkoholno, hranjivo, puno, jako, svijetlo, bijelo, tamno, crno, svečarsko itd. Pivo proizvedeno sa čistom kulturom pivskog kvasca vrste Saccharomyces uvarum naziva se jednostavno pivo, lager pivo, pivo donjeg vrenja ili kontinentalni tip piva. Ono se dobiva hladnim vrenjem, pri 8 16 C. Nakon završenog vrenja, kvasac se istaloži na dno posude, a mlado pivo prebacuje u tankove za odležavanje, gdje dozrijeva pri 0 do 1 C, od jedan do deset i više tjedana. Pije se ohlaďeno pri C. Natočeno u čašu daje bogatu i trajnu pjenu. Punog je okusa zbog relativno velikog udjela neprevrelog ekstrakta, s izrazitom gorčinom i aromom po hmelju. Poznati su različiti tipovi lager piva, kao što su: plzenski, bečki, münchenski i dortmundski, koji se razlikuju prema tvrdoći vode, razgraďenosti i boji slada za pripremu sladovine. Na primjer, plzenski se tip proizvodi od vrlo meke vode (ukupna tvrdoća 4 dh njemačka stupnja) i vrlo svijetlog slada (boja = 2,5 2,8 EBC jedinica), a dortmundski od tamnijeg slada i vrlo tvrde vode (40 dh; 1 dh odgovara 10 mg CaO na litru vode). Pivo proizvedeno sa čistom kulturom pivskog kvasca vrste Saccharomyces cerevisiae naziva se pivom gornjeg vrenja, a u Engleskoj se upotrebljava naziv ale. Ono se dobiva toplim vrenjem, do 25 C. nakon završenog vrenja, kvasac ispliva na površinu piva, odakle se uklanja različitim postupcima obiranja. Mlado se pivo prebacuje u tankove za odležavanje, gdje dozrijeva pri 20 C, kudikamo kraće od lager piva. Posebno mjesto zauzima afričko pivo koje se dobiva s posebnom vrstom kvasca (Schizomyces pombe), koja u ekstremnim klimatskim uvjetima (30-40 C) može dati proizvod sličan pivu. SIROVINE U pivarskoj industriji najčešće se koristi pljevičasti dvoredni ječam, bogat škrobom. Voda je vrlo važna sirovina za proizvodnju piva jer pivo sadrži % vode. Voda mora biti besprjekorno čista i mikrobiološki ispravna. Mnoge pivovare imaju svoje vlastite izvore-bunare kako bi bile neovisne o gradskom vodovodu. Ovisno o otopljenim mineralnim tvarima, vode se dijele na meke, srednje tvrde i tvrde vode. Tvrdoča vode uvelike utječe na okus piva. Opčenito pravilo kaže da se mekše vode upotrebljavaju za svijetla piva, dok se tvrde vode koriste za tamna piva. Zamjenske sirovine. U većini zemalja je dopuštena zamjena dijela slada s neslaďenim žitaricama i šećerima. Stoga se svugdje gdje je to zakonski dozvoljeno, slad nastoji zamijeniti neslaďenim sirovinama, jer se tako smanjuju proizvodni troškovi. MeĎutim, takve sirovine ne mogu potpuno zamijeniti slad jer ne sadrže sve potrebne litičke enzime. Kao zamjenske sirovine najčešće se koriste: neslaďene žitarice, druge škrobne sirovine (kukuruzna krupica, riža i tehnički škrob), šećerne sirovine, žitni sirupi (ekstrakti) i sladni ekstrakt 1
2 Neslađene sirovine se razlikuju po kemijskom sastavu. Njihov škrob nije topljiv u vodi jer se nalazi u škrobnim zrncima koja su obavijena čvrstom ovojnicom. Zbog toga je proizvodnja sladovine iz neslaďenih žitarica složenija nego od slada. NeslaĎeni ječam i pšenica mogu se koristiti u obliku brašna ili krupica, ali ne bi trebali premašivati 30 % ukupnog usipka. Ječam je dobar kao zamjena za slad u proizvodnji jakih piva. Pšenica se dobro preraďuje kada je grubo usitnjena, kao za pipravu graham kruha. Pšenično zrno nema pljevicu, sadrži više proteina, koji su netopivi. Zbog višeg sadržaja β glukana mogući su problemi s viskoznošću i cijeďenjem sladovine Kukuruzna krupica se u mnogim zemljama često koristi kao zamjena za slad. Proteini iz kukuruza su netopivi, a udjel je niži nego u sladu, baš kao i udjel enzima β-amilaze. Može se zamijeniti do 50 % slada s pivarskom kukuruznom krupicom. Šećerne sirovine sadrže različite vodotopljive šećere. Najčešće se koriste sirupi (žitni, visoko fruktozni sirup i sladni ekstrakt) koji sadrže najveći dio monosaharida glukoze i fruktoze, disaharid maltozu, maltotriozu i do 20 % oligosaharida i dekstrina. Žitni ekstrakti (sirupi) su proizvodi dobiveni hidrolizom žitarica i kukuruza. Udjel šećera (glukoza, maltoza, maltotrioza) ovisi o stupnju konverzije škroba u šećere. Fermentabilnost sirupa raste, a viskoznost se smanjuje s porastom stupnja konverzije. Izomerizacijom glukoze u fruktozu dobiva se visokofruktozni sirup, koji je uz sladni ekstrakt najbolja zamjena za slad. Sladni ekstrakt je vodeni ekstrakt slada ugušćen do konzistencije sirupa ili osušen u obliku praha i može biti potpuna zamjena za slad. Omogućava preskakanje kompleksnih procesa ukomvljanja i enzimske hidrolize. Za industrijsku proizvodnju piva je preskupa sirovina, ali nalazi primjenu, kada je potražnja piva velika a kapaciteti proizvodnje sladovine ograničeni. Saharoza je fermentabilni šećer pa se dodaje samo za pojačanje alkohola u pivu. Primjena saharoze u proizvodnji sladovine je rijetka i svodi se na udjel od % u usipku. Ukoliko ne teće ošećerenje škroba željenom brzinom, svaka industrija treba imati pripremljene komercijalne enzime (amilaze) kako bi se u potpunosti provelo ošećerenje škroba do fermentabilnih šećera (glukoza, maltoza, maltotrioza) Hmelj je začin koji se koristi u vrlo malim količinama (1,5-3 g/l). To je višegodišnja dvodomna biljka penjačica koja izraste i do 8 metra. Za gorkasti okus piva odgovoran je humulon (polifenol). Obzirom da nije topiv u vodi u svom prirodnom obliku, hmelj se mora kuhati sa sladovinom, tako da hmeljne kiseline prelaze u topiv oblik (izooblike). MIKROORGANIZMI Pivo proizvedeno sa čistom kulturom pivskog kvasca vrste Saccharomyces uvarum naziva se jednostavno pivo, lager pivo, pivo donjeg vrenja ili kontinentalni tip piva. Ono se dobiva hladnim vrenjem, pri 8 16 C. Nakon završenog vrenja, kvasac se istaloži na dno posude, a mlado pivo prebacuje u tankove za odležavanje, gdje dozrijeva pri 0 do 1 C, od jedan do deset i više tjedana. Pivo proizvedeno sa čistom kulturom pivskog kvasca vrste Saccharomyces cerevisiae naziva se pivom gornjeg vrenja, a u Engleskoj se upotrebljava naziv ale. Ono se dobiva toplim vrenjem, do 25 C. nakon završenog vrenja, kvasac ispliva na površinu piva, odakle se uklanja različitim postupcima obiranja. 2
3 Afričko pivo se dobiva s posebnom vrstom kvasca (Schizomyces pombe), koja u ekstremnim klimatskim uvjetima (30-40 C) može dati proizvod sličan pivu. PODJELA Ovisno o kvascu korištenom u fermentaciji, može se vršiti i podjela (Saccharomyces uvarum, Saccharomyces cerevisiae, Schizomyces pompe). Četvrti tip piva su spontano prevrela piva, koja se proizvode pomoću "divljih" kvasaca, koji u sladovinu dospijevaju iz prirodnog okoliša. Iako ovakav način proizvodnje piva spada u daleku povijest, neki industrijski proizvoďači piva u Belgiji (dolina rijeke Zenne) koriste ovaj postupak za proizvodnju čuvenih Lambic piva, koja sadrže više neprevrelog ekstrakta i hlapljivih sastojaka, koji im daju poseban bouquet (vinski, voćni ). Najpoznatije vrste su: Gueuze, Faro i voćna piva (sa dodatkom voća, npr. trešnje - Kriek). Ovisno o masenom udjelu ekstrakta (slad i hmelj) prije početka vrenja, pivo možemo podjeliti na: Slaba ili laka, imaju malen udjel alkohola i neprevrelog ekstrakt. Standardna, obično sadrže % ekstrakta u sladovini, pa je udjel alkohola u njima od 3,5 do 5,5 vol. %, koja su u Njemačkoj i Austriji obično nazivaju "točivo pivo", a drugdje "stolno pivo", slično stolnim vinima. Većina naših piva pripada ovoj skupini. Specijalna se piva proizvode iz sladovine s više od 12 % ekstrakta, pa sadrže više neprevrelog ekstrakta i nazivaju se puna piva. Najčešće se pakiraju u male, luksuzne boce i slična su kvalitetnim vinima. Zbog smanjene potrošnje piva tijekom zime, neke naše pivovare proizvode takozvana blagdanska ili zimska piva, koje pripadaju ovom tipu piva. Dvostruko sladna piva se proizvode od sladovine s % ekstrakta i nazivaju se "jakim" pivima. U Njemačkoj i Austriji se nazivaju Bock, Stark ili Festbier, a smatraju se čuvenim poput čuvenih vina. U nas postoji samo jedna domaća vrsta ovog tipa piva (Tomislav). Ječmena vina sadrže volumni udjel alkohola kao i vina (preko 10 % vol.). Zbog velikog udjela neprevrelog ekstrakta izrazito su punog okusa, pa se često piju kao desertno piće. U mnogim zemljama na etiketi piva se označava upravo maseni udio ekstrakta u osnovnoj sirovini od koje je pivo proizvedeno. U svakom slučaju 12 %-tno pivo nipošto ne znači da sadrži 12 % alkohola nego da je u sladovini prije početka vrenja bilo 12 % suhe tvari. Otprilike 70 % od toga čine tzv. fermentabilni šećeri, koji alkoholnim vrenjem daju podjednaku količinu etanola i ugljičnog dioksida. Standardno pivo (preko 3,5 % alkohola) sadrži oko 20 % ekstrakta. Prema glavnoj sirovini Ječmeni slad je osnovna sirovina za većinu lager i ale piva, ali se u mnogim zemljama može djelomično zamijeniti neslaďenim sirovinama, što mora biti označeno na etiketi piva. Zamjenom najmanje 50 % ječmenog s pšeničnim sladom dobiva se pšenično ili tzv. Bijelo pivo (njemačka Weizenbier i Weissbier). Tradicionalna europska pšenična piva su piva gornjeg vrenja, koja kratko odležavaju. Pjena im je skoro bijela u usporedbi s pjenom piva gornjeg vrenja od ječmenog slada. Tome svakako pridonosi i visok udjel mliječne kiseline u tipu piva Berliner Weisse. U Europi se može naći i tzv. raženo pivo proizvedeno od raženog slada, koji pivu daje vrlo svojstven okus, koji nije prihvatljiv za mnoge potrošače. Zato raž nije prihvaćena sirovina za pivo. Kako je već 3
4 spomenuto za proizvodnju tradicijskog afričkog piva koristi se proseni slad. Prema boji piva mogu biti: svijetla, žuta. crvena, tamna i crna, ali se zapravo radi o različitim nijansama žute, crvene, crveno smeďe i crne boje. Češko ili plzensko pivo je svjetložute do svjetlozlatne boje. Bečko je zlatnožuto, dortmundsko crvenkasto, a bavarsko smeďe. Tipične su vrste vrlo tamnog piva porter i stout. Naše pivovare sve rjeďe proizvode tamna piva, koja su bila varijante engleskog portera proizvedenog donjim, a ne gornjim vrenjem. Najpoznatije stout pivo je Guinness. Crna su piva zaista crna s okusom gorke čokolade ili "suhog" karamela. Hranjiva su, vrlo ukusna i preporučljiva u malim količinama prije spavanja. Prema alkoholu Piva sadrže uglavnom od 0,5 do 10 % vol. alkohola, a rijetko i više, pa se prema tome dijele na: Bezalkoholna piva sadrže do 0,5 vol. % alkohola. Iznimka su islamske zemlje, gdje bezalkoholno pivo ne smije sadržavati nimalo alkohola. Lagana piva, sadrže ispod 3,5 vol. % alkohola. Standardna lager piva i piva gornjeg vrenja (ale) sadrže 3,5-5,5 vol. % alkohola. Jaka piva više od 5,5 vol. % alkohola. Najčešći udio alkohola u tom pivu je 5,5 7 %vol. Ječmena vina imaju udjel alkohola kao vina (> 10 vol %). PROIZVODNJA SLADA Očišćeni i sortirani ječam moči se uz prozračivanje kako bi upio dovoljno vode (45-48%). Nakon toga se prebacuje u klijalište gdje klija na temp. od C. Tijekom klijanja zrna, pri dnu se pojavljuju korijenčići, a pri vrhu lisna klica. Za njihov je rast potrebna hrana i energija, pa se u zrnu sintetiziraju hidrolitički enzimi ( -amilaze i proteaze) i odvijaju oksidacijski procesi za koje je potreban kisik. Osim toga, proces klijanja prati oslobaďanje topline i CO 2, pa se zrnu mora osigurati dovoljna količina hladnog zraka za aeraciju zrna i odvoďenje topline i CO 2. Nakon 7 dana u proklijalom se zrnu nakupi dovoljno enzima, pa zrna imaju slatkasti okus, a zbog zelene boje korijenčića nazivaju se zeleni slad. Zeleni je slad nestabilan i lako se kvari, te se podvrgava sušenju, čime se prekida proces klijanja. Početna temperatura sušenje je C, kako se nakupljeni enzimi ne bi toplinom uništili. Završna je temperatura sušenja za svijetli slad (za svijetla piva) 80 C, dok je za tamni slad (tamna piva) C. Tijekom procesa sušenja nastaje karakteristična sladna aroma i boja, zbog kemijskih reakcija izmeďu šećera i aminokiselina. Osušeni se slad zatim hladi. Skidaju mu se korijenčići koji imaju sposobnost upijanja vode iz okolnog zraka i gorkast okus. Osušen, i od korijenčića osloboďeni slad, može se čuvati u silosima pri 20 C duže od godinu dana. PROIZVODNJA SLADOVINE I PIVE Mikroorganizmi: S. uvarum, S. cerevisiae Sirovine: Slad, neslaďene žitarice, komercijalni enzimi, hmelj i druge sirovine Proizvodnja sladovine: Drobljenje, ukomljavanje ili ekstrakcija, filtracija komine i hmeljenje sladovine te bistrenje i hlaďenje sladovine. Ukomljavanje slada sa vodom do sladovine. Cilj ukomljavanja je prevoďenje netopljivih sastojaka slada i neslaďenih žitarica u topljivi oblik sa pomoću enzimske hidrolize (škrob prelazi u fermentabilne šećere i dekstrine, a proteini u peptide i aminokiseline). Kako se bjelančevine i škrob 4
5 razgraďuju s različitim enzimima koji imaju različite temperaturne optimume, ukomljavanje se odvija u rasponu od C. Nakon završenog ošećerenja, odvaja se topivi od netopivog dijela filtracijom. Profiltrirana sladovina se prebaci u kotao za kuhanje uz dodatak hmelja. Pri tome se ekstrahiraju gorki i aromatični sastojci hmelja koji pivu daju gorkast okus i aromu po hmelju. TakoĎeru se uklanja suvišak vode uparavanjem sladovine do zadane suhe tvari i inaktiviraju se enzimi, koaguliraju bjelančevine i sterilizira sladovina. Vruća sladovina se hladi i bistri. Temp. hlaďenja je C (proizvodnja piva donjeg vrenja), odnosno C (proizvodnja piva gornjeg vrenja). Tijekom hlaďenja se sladovina aerira da se zasiti sa kisikom., zbog odvijanja životnog ciklusa kvasaca. Vrenje sladovine (oko 12 % ekstrakta)-odvija se u vrionom prostoru. Sladovina sadrži sve potrebne sastojke za rast i fermentaciju kvasaca (šećeri, tvari sa dušikom, mineralne tvari). Tijekom alkoholne fermentacije, proizvode se etilni alkohol, ugljični dioksid, organske kiseline, viši alkoholi, esteri. Brzina vrenja ovisi o aktivnosti kvasca, količini inokuluma, sastavu sladovine i ph podloge. Glavno vrenje traje 3-12 dana. Glavno vrenje se prekida prije nego su svi fementabilni šećeri prevedeni u alkohol i CO 2 -Dobije se mlado pivo koje se mora hladiti da bi se prekinula alkoholna feremntacija. Naknadno vrenje-potpuno previranje preostalih fermentabilnih šećera, zasičivanje piva sa CO 2, formiranje arome i okusa, bistrenje piva. Proces se odvija polako u tankovima pri O-2 0 C uz povišeni pritisak CO 2 i traje nekoliko dana do više tjedana. Proces je spor zbog niske temperature. Dorada i istakanje piva-završna faza. Ova se tehnološka faza sastoji od nekoliko različitih i vrlo važnih postupaka, koji obuhvaćaju koloidnu i biološku stabilizaciju piva, filtraciju i punjenje piva u odgovarajuću ambalažu. Koloidna stabilizacija je postupak uklanjanja uzročnika koloidnog zamućenja filtriranog piva natočenog u boce, kako se ono nebi zamutilo pri sobnoj temperaturi (trajna mutnoća) ili u hladnjaku (prolazna mutnoća). Zato postupak uklanjanja koloida (proteini) najčešće prethodi filtraciji piva i primjenjuje se samo za ona piva koja moraju imati dugu trajnost. Stabilizirano ili nestabilizirano pivo se prije točenja u ambalaže filtrira kako bi se potpuno izbistrilo, odnosno kako bi se uklonile fine suspendirane čestice i preostale kvaščeve stanice. Rast eventualno zaostalih mikroorganizama u pivu (kvasac, bakterije mliječne kiseline) i mikroorganizama koji mogu doći u pivo iz opreme, zraka sprečava se pasterizacijom ili dodatkom bioloških stabilizatora. 5
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Uvodno predavanje iz modula. Prof. dr. sc. Sunčica Beluhan
Uvodno predavanje iz modula Mikrobiološke i kemijsko-fizikalne metode nadzora procesa proizvodnje piva Prof. dr. sc. Sunčica Beluhan 10.4.2013. 1 Osnovni pojmovi u pivarstvu Pivo pjenušavo, slabo alkoholno
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml)
RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL 198-1 Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) */200 ml Hrana za posebne medicinske potrebe Prehrambeno cjelovita
PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija
Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =
100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Kiselo bazni indikatori
Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Sistem sučeljnih sila
Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V
H07V-u Instalacijski vodič 450/750 V Vodič: Cu klase Izolacija: PVC H07V-U HD. S, IEC 7-5, VDE 08- P JUS N.C.00 450/750 V 500 V Minimalna temperatura polaganja +5 C Radna temperatura -40 C +70 C Maksimalna
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.
GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
konst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
RADIONICA ZA PROIZVOĐAČE PIVA SREDNJEGA I MANJEGA KAPACITETA TE SPECIJALNIH PIVA KOMUNIKACIJSKI CENTAR IREKS AROME, JASTREBARSKO
RADIONICA ZA PROIZVOĐAČE PIVA SREDNJEGA I MANJEGA KAPACITETA TE SPECIJALNIH PIVA 21.04.2015. KOMUNIKACIJSKI CENTAR IREKS AROME, JASTREBARSKO AEB je ustanovljen 1963 u Brescia (Italija), od početka se specijalizirao
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.
ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2
Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.
Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
TEHNOLOŠKE MOGUĆNOSTI POBOLJŠANJA KVALITETE I EKONOMIČNOSTI POSTUPAKA U PROIZVODNJI PIVA HOTEL AURORA, MALI LOŠINJ
TEHNOLOŠKE MOGUĆNOSTI POBOLJŠANJA KVALITETE I EKONOMIČNOSTI POSTUPAKA U PROIZVODNJI PIVA 30.09. - 01.10.2014. HOTEL AURORA, MALI LOŠINJ PROGRAM SAVJETOVANJA Utorak, 30.09.2014. 10.00 11.00 skupljanje u
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Vodik. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju
Vodik Najzastupljeniji element u svemiru (maseni udio iznosi 90 %) i sastavni dio Zvijezda. Na Zemlji je po masenom udjelu deseti element po zastupljenosti. Zemljina gravitacija premalena je da zadrži
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Vesla, teleskopi, nosači za štapove za ribolov
76 Vesla, teleskopi, nosači za štapove za ribolov vesla pala piatta rvena vesla obojana prozirnom poliuretanskom bojom, vrlo čvrsta, sa ravnom lopaticom. Imaju plastično ležište za rašlje Φ43mm. tr13 38180
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,