Uvodno predavanje iz modula. Prof. dr. sc. Sunčica Beluhan

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Uvodno predavanje iz modula. Prof. dr. sc. Sunčica Beluhan"

Transcript

1 Uvodno predavanje iz modula Mikrobiološke i kemijsko-fizikalne metode nadzora procesa proizvodnje piva Prof. dr. sc. Sunčica Beluhan

2 Osnovni pojmovi u pivarstvu Pivo pjenušavo, slabo alkoholno piće gorkog okusa i hmeljne arome Sladovina vodeni ekstrakt pivskog slada, neslađenih žitarica i hmelja Pivski slad osušeno zrno isklijanog pivskog ječma (ponekad pšenice) obogaćenog hidrolitičkim enzimima Neslađene žitarice neisklijane žitarice i njihovi proizvodi ( krupica, pahuljice, škrob). Prethodno ih treba skuhati (prevesti u škrobni lijepak). Hmelj djevičanski, neoplođeni cvat višegodišnje ženske biljke penjačice Humulus lupulus, koji se izravno ili nakon prerade u pelete ili ekstrakte koristi za hmeljenje sladovine Pivski kvasac vrsta Saccharomyces cerevisiae, razlikuju se po temperaturi vrenja i sposobnosti taloženja nakon vrenja Donje ili hladno vrenje započinje pri 6-8 o C, a završava na o C, kada se najveći dio kvasca istaloži na dno posude. Talog kvasca se ispusti te se nastavlja kratkotrajno doviranje (odležavanje) u istoj ili drugoj posudi (ležnom tanku) pri 0-2 o C. Tako se proizvode lager piva, tj. sva piva u hrvatskim pivovarama. Gornje ili toplo vrenje i doviranje započinje pri temperaturi od o C, a završava pri o C, kada najveći dio kvasca ispliva na površinu piva. Nakon obiranja kvasca, nastavlja se kratkotrajno doviranje pri 20 o C. Tako se proizvode tradicionalna engleska piva (ale) gornjeg vrenja te pšenična piva

3 Tipovi i vrste piva Prema vrsti kvasaca: Lager piva ili piva donjeg vrenja dobivaju se vrenjem pivske sladovine različitim sojevima čiste kulture kvasca vrste S. uvarum. Pije se ohlađeno na 5-14 o C, daje bogatu i trajnu pjenu, punog je okusa (veliki udjel neprevrelog ekstrakta) s izraženom gorčinom i aromom po hmelju. Svijetlo Helles (Njemačka), Bière ordinaire (Nizozemska), Ožujsko, Karlovačko, Pan, Osječko, Staročeško, Favorit, Zlatorog (Hrvatska, preko 90 % proizvodnje) Tamno Dunkel ili Dunkles, iznimno tamna piva Schwartz (Njemačka) Jako lager pivo Bock i Doppel Bock Ale piva ili piva gornjeg vrenja - dobivaju se vrenjem pivske sladovine različitim sojevima čiste kulture kvasca vrste S. cerevisiae. Pije se toplo na 20 o C, daje minimalnu i nestabilnu pjenu, praznijeg je okusa (sličnije vinu nego pivu). Najpoznatija piva su Mild, Bitter, Pale Ale, Brown Ale, Old ale, Barley wine, Scottish ale, Irish ale, Belgian ale. Njemački Altbier razlikuje se od engleskog ale-a po tome što se glavno vrenje vodi pri o C, a odležavanje pri 0-8 o C (Kölch). Afričko pivo proizvodi se od prosenog slada s posebnom vrstom kvasca Schizosaccharomyces pombe, prilagođenom ekstremnim klimatskim uvjetima (30-40 o C). Spontano prevrela piva proizvode se pomoću divljih, neselekcioniranih sojeva kvasca, koji u sladovinu dospijevaju iz zraka ili sa zidova prostorija i stijenki posuda za vrenje. Lambic piva (Belgija) imaju poseban bouquet (vinski, voćni, ponekad fenolni): Gueuze, Faro i voćna piva Kriek. Pakiraju se u male bočice začepljene šampanjskim čepom i umotane u sjajni crveni papir ili aluminijsku foliju

4 Tipovi i vrste piva Prema masenom udjelu ekstrakta (suhe tvari) u sladovini: Slaba ili lagana imaju malen udjel alkohola i neprevrelog ekstrakta pogodna za ljetne vrućine. Standardna proizvode se iz sladovine s 10,1-12 % ekstrakta, udjel alkohola je od 3,5-5,5 vol. % (stolna piva, slično stolnim vinima), većina naših piva pripada ovoj skupini. Specijalna proizvode se iz sladovine s više od 12 % ekstrakta, nazivaju se još i puna piva (u Njemačkoj: Vollbier), slična kvalitetnim vinima, kod nas pod nazivom blagdanska ili zimska piva. Dvostruko sladna proizvode se od sladovine s % ekstrakta i nazivaju jakim pivima jer sadrže povećani udjel alkohola i neprevrelog ekstrakta. U Njemačkoj i Austriji se nazivaju Bock, Stark ili Festbier i smatraju se čuvenim (poput čuvenih vina), a u nas postoji samo jedna domaća vrsta ovog piva, Tomislav. Ječmena vina sadrže volumni udjel alkohola kao i vina (7,5 do 10 vol. %), zbog velikog udjela neprevrelog ekstrakta izrazito su punog okusa, prilično teška pa se konzumiraju u malim volumenima, često kao desertno piće. Prema glavnoj sirovini za proizvodnju sladovine: Ječmeni slad osnovna sirovina za proizvodnji u lager i ale piva, uz djelomičnu zamjenu neslađenim žitaricama (sirovinama), što mora biti označeno na etiketi piva. Pšenični slad zamjenom najmanje 50 % ječmenog slada s pšeničnim dobiva se pšenično ili Bijelo pivo (u njem. nazivlju Weizenbier i Weissbier). Pšenica daje pivu svjetliju boju nego ječam, pa kad je hladno i nefiltrirano ima mliječno-bijelu boju (visoki udjel mliječne kiseline). Najpoznatije vrste su Weizenbier i Berliner Weisse, koje se često piju s dodatkom sirupa od maline. Raženi slad pivu daje svojstven okus zbog voćnih, pomalo gorkih, pikantnih, uljastih i gotovo ljutih obilježja paprene metvice. U Njemačkoj se nalazi pod imenom Schierlinger Roggenbier, a u Austriji Goldroggen

5 Tipovi i vrste piva Prema boji Piva mogu biti: svijetla, crvena, tamna i crna (nijanse) Češko ili plzensko - svijetložute do svijetlo-zlatne boje Bečko zlatnožuto Dortmundsko crvenkasto Bavarsko smeđe Tipična tamna piva (crna) Porter i Stout (Guiness). Crna su piva zaista crna, praktično neprozirna s okusom gorke čokolade ili suhog karamela. Dobro se slažu sa čokoladnim desertima, hranjiva su, vrlo ukusna i preporučljiva u malim volumenima. Najpoznatije vrste su Köstritzer (Njemačka) te Asahi, Kirin, Sapporo i Suntory (Japan). Prema udjelu alkohola Podjela uglavnom služi za određivanje posebnog poreza na pivo (doprinos državnom proračunu). Bezalkoholna piva smiju sadržavati do 0,5 % alkohola (vol. %). Iznimka su islamske zemlje (0 vol.% alk.). Lagana piva sadrže ispod 3,5 vol. % alkohola. Standardna lager piva i piva gornjeg vrenja (ale) sadrže od 3,5 do 5,5 vol. % alkohola. Jaka piva imaju više od 5,5 vol. % alkohola. Ječmena vina udjel alkohola kao vina (7,5 do 10 vol. % alkohola). Prema udjelu alkohola u pivu određuje se visina posebnog poreza na pivo, koji u nas iznosi 0,8 kn/l bezalkoholnog i 2,0 kn/l standardnog (alkoholnog) piva

6 Prehrambena vrijednost piva Sastojci piva - pivo sadrži preko 600 sastojaka, a po udjelu su, ovisno vrsti, najvažniji voda, alkohol i neprevreli ekstrakt, odnosno anorganske i organske tvari otopljene u smjesi alkohola i vode. Voda udjel iznosi od 89 do 93 %. Mikrobiološki i kemijski sastav vode za proizvodnju piva strogo je nadziran i usklađen sa zakonskim i zdravstvenim normativima (flaširane izvorske vode). Alkohol, ekstrakt i energetska vrijednost u pivu nema masti i kolesterola, a sadrži tek manju količinu ugljikohidrata. Energetska vrijednost piva uglavnom potječe od alkohola. Sadrži manje kalorija nego druga pića, ali se često konzumira u većim volumenima. Energetska vrijednost 1 g etanola iznosi 7 kcal ili 29 kj Iako pivo sadrži 1,5 do 3 puta manje alkohola, a puno više ekstrakta nego vino, energetska vrijednost mu je slična energetskoj vrijednosti vina. Preporučena potrošnja je 0,5 L na dan, ovisno o energetskoj vrijednosti drugih namirnica koje su konzumirane tijekom dana. Pivo izaziva lučenje želučanih sokova pa ga, stoga, kulturni svijet često koristi kao aperitiv umjesto pjenušca ili šampanjca! Ostali sastojci i njihovi utjecaji na fiziologiju prehrane i zdravlje glicerol (sastojak punoće okusa), β- glukan (dijetetsko vlakno korisno za probavu), antocijanogeni (fenolni spojevi iz slada i hmelja) mogu poboljšati zdravlje ljudi koji konzumiraju pivo. Posebno je bogat izvor vitamina B skupine i mineralima (Tablica 1)

7 Tablica 1. Mineralni sastojci piva (Kunze, 1996) Sastojak Udjel (mg/l) Natrij Kalij Kalcij Magnezij Fosfati Sulfati Kloridi Nitrati Fiziološki učinak na čovjeka Što manje to bolje (tlak) 250 mg/dan = sprječava infarkt Djeluje diuretički Prevencija srčanih oboljenja Smanjuje udjel kolesterola Pozitivni učinak na rad srca Sastojci kostiju i zuba; rezerve energije (ATP) Bez značajne uloge Dnevna potreba = 2500 mg Štetni (redukcija u nitrate!); izazivaju širenje krvnih žila, razaraju vitamin A; ipak taj je udjel niži od onog u pitkoj vodi (50 mg/l)

8 Pivski trbuh Tablica 2. Prosječna energetska vrijednost piva i drugih pića i jela koja se često konzumiraju uz pivo Izraz je povezan s debljinom pivopija, ali se ne odnosi na pivo nego na vanjska obilježja pivopija. Provode se istraživanja povezanosti konzumiranja piva i loše prehrane, a vjerojatno je pivski trbuh posljedica konzumiranja hrane bogate kalorijama i mastima (Tablica 2). Istraživanja su pokazala da je malo vjerojatno da se konzumiranje piva može povezati s parametrima kojima se određuje pretilnost (indeks tjelesne mase (ITM) ili opseg struka. Umjereno konzumiranje alkohola kod žena povezano je sa smanjenjem tjelesne mase. Vrsta pića Lager pivo (4,6% vol./vol etanola) Bezalkoholno pivo Stolno vino (12% vol./vol etanola) Žestoka pića (40% vol./vol etanola) Likeri (40% vol./vol etanola) Punomasno mlijeko Gazirani sokovi (cola) Jabučni sok bez dodatka šećera Juice od naranče bez dodatka šećera Sok od rajčice Vrsta hrane Ploške prženog krumpira (Čips) Oraščići (soljeni/prženi) Obični hamburger Veliki hamburger Srednje velika pica Prženi krumpirići Kobasica Sendvič Rolani kolač Energetska vrijednost (kcal/100 ml) kcal/100 g) Standardni obrok (ml) Standardna porcija (g) Energetska vrijednost standardnog obroka (kcal) Standardni obrok (kcal)

9 Slika 1. Shematski prikaz proizvodnje sladovine

10 Varionica i proizvodnja sladovine Tehnološke operacije: drobljenje ili meljava slada i neslađenih žitarica (mlin; suho ili mokro mljevenje) ukomljavanje sladne prekrupe i usitnjenih neslađenih žitarica (komovnjak; sladna prekrupa, kotao komine; neslađene žitarice) hidroliza (proteoliza i ošećerenje) usitnjenih sirovina i ekstrakcija proizvoda hidrolize (komovnjak; miješanje sladne komine i komine neslađenih žitarica) Filtracija ili cijeđenje sladovine iz ošećerene komine (cijednjak ili kominski filtar) Kuhanje i hmeljenje sladovine (kotao za sladovinu, whirlpool za izdvajanje toplog ili grubog taloga) Bistrenje, hlađenje i aeriranje sladovine (pločasti hladnjak za hlađenje na temperaturu vrenja, bistrenje kroz filtar ili centrifugalni separator; izdvajanje hladnog ili finog taloga, aeriranje i zasićivanje sladovine kisikom iz zraka)

11 Trajanje i nadzor procesa Važno je tijekom procesa ukomljavanja osigurati optimalan dodir između enzima i sastojaka komine (bez utjecaja na male čestice deformiranje pod utjecaja sila smicanja turbulencija) sile smicanja izazivaju nastajanje β-glukanskog gela pogoršavanje filtrabilnosti sladovine. povišenje ili sniženje temperature, kao i produženo vrijeme trajanja ukomljavanja utječe na udjel fermentabilnih šećera te stupanj prevrenja sladovine, a time i na okus i pjenjivost piva na kraju hidrolize, u ekstraktu ne smije biti škroba ni visokomolekulskih dekstrina (jodna proba; ostaci škroba mogu izazvati tzv. škrobnu mutnoću piva) za jodnu probu se koristi 0,2 M otopina škroba

12 Slika 2. Shematski prikaz vrenja i odležavanja piva

13 Vrenje sladovine glavno vrenje Ohlađena i aerirana sladovina se nacjepljuje čistom kulturom pivskog kvasca tijekom prebacivanja u posude za vrenje, odnosno cilindrično-konusne tankove. U pivarskoj se praksi koriste dva postupka vrenja: klasični postupak glavno vrenje započinje u jednom tanku u posebnom odjelu pivovare, zvanom vrioni podrum, a nastavlja se kao naknadno vrenje, dozrijevanje ili odležavanje mladog piva u drugom tanku koji se nalazi u ležnom podrumu suvremeni postupak započinje kao glavno vrenje u jednoj posudi, cilindričnokonusnom fermentoru, smještenom najčešće na otvorenom prostoru, u kojem se nastavlja naknadno vrenje nakon ispuštanja glavnine kvasca za nacjepljivanje sladovine koristi se čista kultura pivskog kvasca, koja se počinje umnožavati u laboratoriju od jedne stanice, a nastavlja se u pogonu da bi se dobio potreban broj (masa) stanica za nacjepljivanje sladovine u fermentorima za glavno vrenje

14 Umnožavanje kvasca (dvije faze) 1. Priprema laboratorijske kulture započinje prenošenjem čiste kulture izrasle na kosom agaru u 10 ml sladovine, nastavlja se sukcesivnim precjepljivanjem u tikvice sa sve većim volumenom sladovine (omjer precjepljivanja 1:5 do 1:10). 2. Propagacija u pogonu započinje prebacivanjem laboratorijske kulture u Carlsberšku posudu (Slika 3) ili njenu modernu varijantu (Slika 4), prenošenjem posude u pogon, gdje se kvasac kratkotrajno umnožava prije nacjepljivanja u posude za propagaciju većeg volumena. - Pri umnožavanju treba optimizirati temperaturu u svakom stupnju povećanja volumena, a to znači smanjenje temperature za 2 o C, kako bi se izbjegao toplinski šok. - Nužno je aerirati kulturu! - Prebacivanje kulture iz manje u veću posudu provodi se aseptičnom tehnikom, uz otvoreni plamenik ili pneumatski. - Zrak za predtlačivanje, odnosno aeriranje kulture mora biti mikrobiološki čist!

15 Slika 3. Carlsberška posuda (Kunze, 1996) 1-filtar za sterilizaciju zraka; 2- slavina za uzorkovanje; 3- otvor s gumenom membranom za nacjepljivanje; navojnice za zatvaranje; 6- ručica za nošenje Slika 4. Suvremena posuda za prijenos laboratorijske kulture u pogon (Briggs i sur., 2004)

16 Slika 5. Shematski prikaz umnožavanja čiste kulture kvasca 1. Umnožavanje u laboratoriju Kultura na kosom 10 ml 50 ml 5 L 50 L agaru 2. Umnožavanje u pogonu a) Klasični ( otvoreni ) b) Suvremeni anaerobni postupak ( zatvoreni ) aerobni postupak 50 L 20 L Propagator 5 hl 1: 10 Carlsberška posuda 1: 10 1: 5 25 hl CK fermentor 1 : hl Matični kvasac Matični kvasac 1. generacije

17 Održavanje i čuvanje anaerobno uzgojenog matičnog kvasca Za reciklaciju u proces vrenja, tj. nacjepljivanje slijedećeg uvarka, uzima se srednji sloj istaloženog kvasca s dna vrionika ili iz konusa CKF-a jer sadrži najmlađe i najaktivnije stanice. Prije prebacivanja u posude za čuvanje, gusta suspenzija kvasca se obrađuje na vibracijskom situ da se uklone druge čvrste čestice: ostaci tropa, listići hmelja i koagulirani proteini. Ovakva biomasa kvasca može se koristiti kao matični kvasac ako je: fiziološki aktivan ( 95 % živih stanica), genetski nepromijenjen (broj mutiranih stanica je zanemariv) i mikrobiološki čist. Fiziološka aktivnost stanica se može sačuvati 7 ili više dana tako da se gusta suspenzija kvasca čuva pri 2-5 o C (ili 0 o C) pod pivom, sladovinom ili vodom. Slika 6. Reciklacija i čuvanje biomase matičnog kvasca

18 Izdvajanje kvasca i dorada piva Nekada: bistrenje spontanim prirodnim taloženjem (do 3 mjeseca odležavanja) veće čestice su se taložile brže nego manje (Stokesov zakon) Danas: odležavanje piva skraćeno na 2 tjedna glavni postupci izdvajanja kvasca i drugih čestica putem filtracije (naplavni ramski ili svijećasti filtri, slojni te mikro- i ultra-filtri) i centrifugiranja (separacija) Tablica 3. Tip i učinak filtracije u ovisnosti o vrsti slojnica za filtraciju Tip filtracije Vrsta ploča Učinak (%) Kapacitet (hl/m 2 /h) Sterilna ili mikrobiološka Fina Zadovoljavajuće fina Sterilne ili bakteriološke Visoko učinkovite Za bistrenje 100 %-tno izdvajanje kvasaca i bakterija 1,0 100 %-tno zadržavanje kvasaca 1, %-tno izdvajanje kvasaca 1,

19 Stabilizacija piva gostioničke pivovare toče nefiltrirano pivo iz ležnih tankova u svojim pivnicama (ne stabiliziraju ga) trajnost takvog piva je mala (najviše 72 sata) pa pivo treba istočiti iz bačve u najkraćem mogućem vremenu Za transportiranje piva na veće udaljenosti nužna je stabilizacija Uzroci kvarenja, odnosno zamućenja ili neupotrebljivosti piva mogu biti: mikroorganizmi zbog razmnožavanja i tvorbe primarnih i sekundarnih metabolita izazivaju zamućenje piva, promjenu njegova okusa i mirisa BIOLOŠKA NESTABILNOST čestice koloida (proteini i polifenoli) koje se povećavaju s vremenom (starenjem) i izazivaju KOLOIDNU NESTABILNOST ostali prirodni sastojci piva djelovanjem kisika (ako je prisutan) ili svjetlosti mogu se oksidirati te tako izazvati kemijske promjene što se naziva NESTABILNOST OKUSA

20 Biološka nestabilnost i stabilizacija Mikroorganizmi u pivu mogu biti štetni za: potrošače regulirano Pravilnikom o mikrobiološkim standardima za namirnice pivo regulirano internim proizvođačkim standardom Pravilnik o mikrobiološkim standardima jamči da je pivo zdravstveno ispravno, tj. proizvedeno i otočeno u primjerenim higijenskim uvjetima, jer sadrži samo vrlo ograničen broj živih stanica kvasca, aerobnih mezofilnih bakterija i enterobakterija. Biološka stabilnost piva se smanjuje s: neodržavanjem besprijekorne čistoće pogona i opreme povećanjem razlike između graničnog i stupnja prevrenja prodajnog piva preopterećenjem uređaja za filtraciju (proboj filtara) ulaskom zraka (kisika) u pivo, naročito pri otakanju u ambalažu čuvanjem piva pri povišenoj temperaturi učestalim mućkanjem piva u ambalaži. Biološki se stabilnim smatra samo pivo koje ne sadrži žive mikrobne stanice, ima visoki stupanj prevrenja (razlika Sp gp i Sp pp do 2 %), sadrži malo otopljenog kisika (ispod 0,5 mg/l) i nije sekundarno zagađeno prilikom otakanja u ambalažu (punjač, boce, čepovi)

21 Slika 7. Negativni učinak mikroorganizama na pivo i postupci njihova uklanjanja MIKROORGANIZMI U PIVU ORGANOLEPTIČKE PROMJENE (miris i okus) MUTNOĆA I TALOG INAKTIVACIJA ILI UKLANJANJE MIKROORG. PASTERIZACIJA, ili STERILNA FILTRACIJA BIOLOŠKI STABILNO PIVO

22 Koloidna nestabilnost koloidne čestice prirodni sastojci piva izazivaju zamućenje tijekom čuvanja u ambalaži, nakon dužeg vremena skladištenja razlikujemo dvije vrste zamućenja: hladno ili prolazno događa se tijekom čuvanja piva u hladnjaku (2-5 o C), kada se molekule koloidnih sastojaka piva (proteina i polifenola) zbog Brownovog gibanja međusobno povezuju vodikovim mostovima, tvoreći labilne veze, te se povećavaju. Na njih se veže i mali udjel ugljikohidrata i mineralnih sastojaka, pa se pivo zamuti. kad se pivo izvadi iz hladnjaka i zagrije na sobnu temperaturu, labilne veze pucaju i pivo se izbistri nažalost, ova vrsta zamućenja s vremenom prelazi u trajno zamućenje, koje se ne gubi nakon zagrijavanja i naziva se starosna mutnoća. trajno ili starosno utječe niz faktora: pasterizacijska mutnoća javlja se u pasteriziranom pivu koje nije bilo prije koloidno stabilizirano oksidacijska mutnoća javlja se ako je pivo tijekom otakanja u ambalažu došlo u dodir sa zrakom metalna mutnoća ako su u pivu prisutni ioni teških metala protresna mutnoća mućkanje/protresanje piva uz svjetlost tijekom skladištenja stimuliraju sudaranje molekula i oksidacijske reakcije

23 Slika 8. Siebertov model nastajanja zamućenja piva (Gopal i Rehmanji, 2000) Slika 9. Postupak uklanjanja viška proteina i polifenola iz piva koloidnom stabilizacijom ODLEŽANO PIVO Bogato proteinima i polifenolima Otakanje u ambalažu KOLIDNO NESTABILNO PIVO Prolazno ili trajno zamućenje KOLOIDNA STABILIZACIJA KOLOIDNO STABILNO PIVO Otakanje u ambalažu

24 Koloidna stabilizacija piva Za postizanje duge koloidne stabilnosti pivo treba stabilizirati bentonitima (prirodni alumosilikati), silikagelima (H 2 SO 4 + Na-vodeno staklo hidrogel, sadrži 50% vode ili u obliku kserogela, <5 % vode) i PVPP (polivinilpolipirolidon). Silikageli promjer pora 3.0 3,5 µm se doziraju u pivo u pufer tanku ( g/hl) u kojem se provodi stabilizacija prije doziranja pomoćnog filtracijskog sredstva (kieselgura). Na sebe vežu proteinske sastojke mutnoće koji ostaju na filtru. PVPP nije topljiv niti u jednom poznatom otapalu, a u vodi bubri te na sebe selektivno apsorbira sve taninske (polifenolne) sastojke. Najčešće se koristi u kombinaciji sa silikagelom u koncentraciji od 50 g/hl piva. Procjena koloidne stabilnosti piva uključuje kvalitativno određivanje udjela proteina i polifenola u odležanom pivu. Najčešća metoda je forcing test, test ubrzanog starenja prema broju toplih dana, a temelji se na zadržavanju nestabiliziranog piva na 40 o C, a stabiliziranog na 60 o C dok se pivo ne zamuti za dvije EBC jedinice mutnoće

25 Biološka stabilnost nakon bistrenja/filtracije - pasterizacija Prije pasterizacije je preporučljivo pivo koloidno stabilizirati (temperatura pasterizacije ubrzava starenje koloida prisutnih u pivu) Praktično trajanje pasterizacije ovisi o temperaturi zadržavanja, a njena uspješnost ovisi o primijenjenim pasterizacijskim jedinicama (Pj). Pj = potrebno vrijeme zadržavanja piva na određenoj temperaturi, izraženo u minutama, kojim se postiže isti učinak termičke destrukcije mikroorganizama kao pri 60 o C u trajanju od 1 minute: (temperatura u grijaču 60 o C) Pj = vrijeme x 1,393 Za pasterizaciju treba 10 do 15 Pj, odnosno 12,5 Pj (prosječno). Prema tome, pri: 61 o C; 12,5 Pj/1,393 = 8,97 minuta 65 o C; 12,5 Pj/5,24 = 2,38 minuta. Viša temperatura skraćuje vrijeme pasterizacije! Oprez sa sekundarnim mikrobnim zagađenjima piva!

26 Biološka stabilnost nakon otakanja u ambalažu potpuna biološka stabilnost postiže se pasterizacijom napunjenih staklenih boca ili limenki šaržnim postupkom u tunelskom pasterizatoru Postupak: pivo u staklenim bocama se polagano zagrijava na o C (staklo je loš vodič topline) tijekom minuta da se zagrije hladna jezgra piva koja se nalazi 1,5 cm iznad sredine dna boce. nakon toga započinje hlađenje (20-25 minuta) ukupno vrijeme prolaza piva kroz pasterizator traje oko 1 sat posljedice su pojačanje boje piva, eventualno pojava taloga i okusa po kruhu (pasterizacijski okus). Da bi se to izbjeglo, pivo je prije potrebno koloidno stabilizirati, otakati ga u boce bez prisustva kisika ili mu dodati reduktone (askorbinsku kiselinu)

27 Nestabilnost okusa piva senzorska ocjena piva je najbolja 2-3 dana nakon filtracije i otakanja u ambalažu kisik je najveći neprijatelj pivu, ambalažno pivo treba čuvati u tamnim i hladnim prostorima (< 10 o C) tijekom čuvanja pivo postaje sve starije, pa se povećava udjel karbonilnih spojeva u njemu. Slika 10. Negativni učinak kisika i topline na pivo s mogućnostima ublažavanja posljedica PIVO + KISIK +TOPLINA Brzina reakcije ovisna o konc. kisika i temperaturi OKSIDACIJA SASTOJAKA Oksidirano ili Staro pivo SPRJEČAVANJE DODIRA PIVA S O 2 I TOPLINOM O 2 = 0,1 0,2 mg/l t čuvanja = < + 10 C KEMIJSKI STABILNO PIVO Trajnost: 1 tjedan pri 37 ºC 2 mjeseca pri 20 ºC 1 godina pri + 4 ºC - CO 2 za uspostavljanje pretlaka pri doradi i otakanju piva - Čuvanje i distribucija pri temperaturi ispod + 10 C

28 Otakanje (punjenje) piva u ambalažu početkom 60-tih godina prošlog st. trajnost piva je bila ograničena, nije ju trebalo deklarirati, no u Pravilniku o pivu je navedeno da se nepasterizirano pivo u bocama ne smije zamutiti tijekom 10-dnevnog čuvanja pri 10 o C, a pasterizirano tijekom dana pri 25 o C. danas je obvezna deklaracija na etiketi, a za boce i limenke se kreće od 3 do 18 mjeseci. Razlog ovako širokom rasponu trajnosti je u pomalo šaljivoj konstataciji: Suvremenom je pivaru potrebno 20 dana da proizvede kvalitetno pivo koje se može upropastiti za 20 minuta tijekom punjenja u ambalažu. Osnovna pravila punjenja piva: spriječiti dodir piva s kisikom (0,02-0,04 mg O 2 /L tijekom punjenja), zbog nepoželjne oksidacije njegovih sastojaka spriječiti pad tlaka piva, zbog sprječavanja gubitka CO 2 učestalo prati dijelove uređaja koji dolaze u dodir s pivom, kao i čitavo postrojenje za punjenje, radi sprječavanja sekundarnog zagađenja redovito i potpuno nadzirati proces punjenja

29 Nadzor proizvodnje i gotovog piva Nadzor proizvodnje piva se sastoji od: mikrobiološkog nadzora uklanjanja nepoželjnih mikroorganizama čišćenjem i dezinfekcijom kemijsko-tehnološkog nadzora i organoleptike gotovog proizvoda praćenja gubitaka tijekom tehnološkog procesa ocjene uspješnosti tehnološkog procesa

30 Mikrobiološki nadzor U proizvodnji piva mogu se pojaviti specifični mikroorganizmi podijeljeni u 3 grupe: Neškodljivi, tzv. prateći mikroorganizmi, koji se ne mogu razmnožavati u pivu pa s vremenom odumiru (plijesni, različite vrste bakterija i kvasaca), no njihova prisutnost je indikator prisustva i štetnih mikroorganizama. Potencijalno štetni mikroorganizmi, razmnožavaju se samo u za njih povoljnim uvjetima (povećan udjel kisika u pivu, rel. visoka ph vrijednost piva 4,7-4,8, mali udjel gorkih sastojaka hmelja i visoka koncentracija neprevrelog ekstrakta). Predstavnici su bakterije L. casei, S. lactis, P. cerevisiiphilus, M. cerevisiae i Enterobacteriaceae. Posljedice njihova rasta u pivu su: promjena ph vrijednosti zbog nastajanja mliječne kiseline i loš okus te potpuno kvarenje piva (P. cerevisiiphilus i M. cerevisiae). Obligatno štetni mikroorganizmi, imuni su na odsustvo kisika i niske ph vrijednosti. Izazivaju promjenu okusa i mirisa piva, mogu tvoriti talog i zamućuju pivo. Najčešće su to mliječno-kisele bakterije L. brevis, L. lindneri, L. frigidus i P. damnosus. Među njima se mogu naći i stanice kvasaca koje izazivaju promjenu okusa, zamućenje i talog: radni kvasac, divlji kvasci iz roda Saccharomyces, te sojevi iz rodova Brettanomyces, Torulopsis, Hansenula i Candida

31 Tablica 4. Rodovi bakterija i divljih kvasaca pronađeni u pivovarama Gram + bakterije Gram - bakterije Divlji kvasci Bacillus Lactobacillus Leuconostoc Micrococcus Pediococcus Streptococcus Acetobacter Acinebacter Alcaligenes Citrobacter Enterobacter Flavobacterium Gluconobacter Hafnia Klebsiella Megasphaera Obesumbacterium Pectinatus Proteus Pseudomonas Zymomonas Brettanomyces Candida Cryptococcus Debaryomyces Endomyces Hansenula Kloeckera Pichia Rhodotorula Saccharomyces Torulopsis Zygosaccharomyces

32 Divlji kvasci Podijeljeni u četiri skupine: 1) Fermentativni kvasci rodovi Saccharomyces, Kluyveromyces, Torulaspora i Zygosaccharomyces imaju slične biokemijske osobine i mogu rasti zajedno s kultiviranim sojem kvasca S. cerevisiae. 2) Kvasci ubojice (killer kvasci) ekstremni oblici bioloških zagađivača jer u okoliš izlučuju različite zimocine (proteine) koji ubijaju osjetljivi radni soj kultiviranog kvasca, pa nakon nekog vremena postanu dominantni u mladom pivu. 3) Različiti kultivirani kvasci u proizvodnji piva se koristi jedan ili više specifičnih sojeva čiste kulture pivskog kvasca. Kod proizvodnje više vrsta piva postoji opasnost od pogreške nacjepljivanja krivog soja kvasca! Nužno je provjeravanje svakog soja pomoću brzih testova ili genskih proba, da bi se ustanovio njihov identitet. 4) Aerobni kvasci kvasci iz roda Pichia, posebice vrsta P. membranaefaciens, najčešći su nefermentativni kvasci koji zagađuju pivo. Iako se smatraju aerobnim mikroorganizmima, u sladovini mogu rasti u potpuno anaerobnim uvjetima. proizvodnja lambic piva rodovi Brettanomyces i Dekkera, proizvode octenu kiselinu i izazivaju zamućenje piva, važan su sastojak kvaščeve flore pri vrenju pripadnici rodova Debaromyces, Filobasidium i Pichia, te Candida rastu u aerobnim uvjetima u pivu, izazivaju zamućenje, ponekad stvaraju pokožicu ili biofilm na površini, te pahuljice i talog

33 Slika 11. Klasifikacija bakterija zagađivača u pivovarama

34 Cilj, kritične nadzorne točke i provedba mikrobiološkog nadzora Cilj ustanoviti gdje i kako nepoželjni mikroorganizmi dospijevaju u sladovinu i pivo. Prema tome, uspješna mikrobiološka kontrola svodi se na: često uzimanje uzoraka učestali nadzor mjesta koja se nepouzdano peru i dezinficiraju, kao što su: mjerni uređaji i cjevovodi za njihovo povezivanje, pumpe, ventili s čepovima i poklopcima za blindiranje te ventili za uzorkovanje, gumena crijeva i ostali cjevovodi, perilica boca i inspektor boca, punilica boca sa čepilicom stalni mikrobiološki nadzor čiste kulture kvasca (prije nacjepljivanja i nakon vrenja), vode za pranje i ispiranje te zraka za aeraciju sladovine

35 U pivarskoj se praksi razlikuje 6 tipova uzoraka za mikrobiološku analizu, koji se obrađuju na različite načine kako bi se dobili zadovoljavajući rezultati (Tablica 5) Tablica 5. Tipovi uzoraka i njihova obrada (Kunze, 1996). Tip uzorka Naziv i svojstvo Postupak obrade I. Bistri uzorci piva i vode za ispiranje Membranska filtracija + inkubacija na hranjivom agaru ili hranjivom bujonu II Uzorci kvasca Proba vrenja u amonijakalnoj sladovini ili nacjepljivanje na agar ili bujon III Mutni uzorci piva s kvascem Metoda koncentriranja u hranjivoj podlozi za dokazivanje štetnih bakterija ili test stabilnosti IV. Uzorci sladovine Membranska filtracija ili metoda koncentriranja u hranjivoj podlozi za dokazivanje štetnih bakterija V Uzorci zraka Otklopljene petrijevke Obogaćivanje u tekućoj fazi ili membranska VI. Uzorci briseva filtracija

36 Slika 12. Membranska filtracija a) boca sisaljka spojena s vakuumom (V), i nuča za filtraciju sa sinteriranim dnom (S) na koje se stavlja mikroporozna membrana (M) za određivanje broja mikroorganizama iz tekućeg uzorka (U) koji se filtrira. Nuča za filtraciju i boca sisaljka su međusobno pričvršćene odgovarajućom štipaljkom. b) nakon filtracije, mikroporozna membrana (M) postavlja se na površinu čvrste hranjive podloge (AG) u petrijevki i inkubira dok ne izrastu kolonije vidljive mikroskopom

37 Metode brzog određivanja mikroorganizama koji uzrokuju kvarenje piva koriste se nove i stare poboljšane metode za određivanje i identifikaciju m. o. sretna okolnost: mnogi patogeni za ljude ne preživljavaju u pivu: alkohol (4-5,5 %), ph vrijednost ispod fiziološke, antimikrobni sastojci hmelja, anaerobni uvjeti starije tehnike se temelje na praćenju mikrobnog rasta, modernije bez praćenja rasta kod metoda koje se temelje na praćenju rasta važno je inhibirati rast radnog m. o. da bi se odredili mogući zagađivači Tablica 6. Tehnike brzog otkrivanja mikroorganizama Metoda Fizičke Biokemijske Molekularne Tehnike Mjerenje vodljivosti Mikrokalorimetrija Turbidometrija Protočna citometrija Metoda s mikrokolonijama Izravna epifluorescencija filterske tehnike ATP bioluminiscencija Uzimanje proteinskih otisaka Imunoanaliza (ELISA) Molekularne probe (DNK / RNK) Kariotipija (CHEF) Polimerazna lančana reakcija Slučajnim odabirom pojačana polimorfna DNK PCR

38 Slika 13. Cjelokupni postupak proizvodnje piva

PROIZVODNJA PIVE. DEFINICIJA, tipovi i vrste pive

PROIZVODNJA PIVE. DEFINICIJA, tipovi i vrste pive PROIZVODNJA PIVE DEFINICIJA, tipovi i vrste pive Prema suvremenom shvaćanju, pivo je osvježavajuće piće s malom koncentracijom alkohola i karakterističnom aromom po hmelju, dobiveno vrenjem pivske sladovine

Διαβάστε περισσότερα

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija

PRERADA GROŽðA. Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet. Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju. Referati za vježbe iz kolegija Sveučilište u Splitu Kemijsko-tehnološki fakultet Zavod za prehrambenu tehnologiju i biotehnologiju Referati za vježbe iz kolegija PRERADA GROŽðA Stručni studij kemijske tehnologije Smjer: Prehrambena

Διαβάστε περισσότερα

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA

PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml)

RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience. RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) RESOURCE JUNIOR ČOKOLADA NestleHealthScience RESOURCE JUNIOR Okus čokolade: ACBL 198-1 Prehrambeno cjelovita hrana 300 kcal* (1,5 kcal/ml) */200 ml Hrana za posebne medicinske potrebe Prehrambeno cjelovita

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med =

100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 100g maslaca: 751kcal = 20g : E maslac E maslac = (751 x 20)/100 E maslac = 150,2kcal 100g med: 320kcal = 30g : E med E med = (320 x 30)/100 E med = 96kcal 100g mleko: 49kcal = 250g : E mleko E mleko =

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΙΚΡΟΒΙΟΛΟΓΙΑΣ. Μαντώ Κυριακού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΙΚΡΟΒΙΟΛΟΓΙΑΣ. Μαντώ Κυριακού ΧΑΡΟΚΟΠΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜ. ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΙΑΙΤΟΛΟΓΙΑΣ - ΙΑΤΡΟΦΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΙΚΡΟΒΙΟΛΟΓΙΑΣ Μαντώ Κυριακού Επίκουρη Καθηγήτρια Μικροβιολογίας ΑΘΗΝΑ 2009 Β ΜΕΡΟΣ ΚΥΡΙΕΣ ΠΗΓΕΣ ΜΟΛΥΝΣΗΣ ΤΩΝ ΤΡΟΦΙΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić

Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Izbor statističkih testova Ana-Maria Šimundić Klinički zavod za kemiju Klinička jedinica za medicinsku biokemiju s analitičkom toksikologijom KBC Sestre milosrdnice Izbor statističkog testa Tajna dobrog

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

MIKROBIOLOŠKI PRAKTIKUM. Školska 2014/2015 KATEDRA ZA MIKROBIOLOGIJU. Nastavnici: Prof. dr Branka Vuković-Gačić, šef Katedre

MIKROBIOLOŠKI PRAKTIKUM. Školska 2014/2015 KATEDRA ZA MIKROBIOLOGIJU. Nastavnici: Prof. dr Branka Vuković-Gačić, šef Katedre MIKROBIOLOŠKI PRAKTIKUM Školska 2014/2015 KATEDRA ZA MIKROBIOLOGIJU Nastavnici: Prof. dr Branka Vuković-Gačić, šef Katedre Prof. dr Jelena Knežević-Vukčević Prof. dr Slaviša Stanković Doc. dr Tanja Berić

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste

PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste PREDNAPETI BETON Primjer nadvožnjaka preko autoceste 7. VJEŽBE PLAN ARMATURE PREDNAPETOG Dominik Skokandić, mag.ing.aedif. PLAN ARMATURE PREDNAPETOG 1. Rekapitulacija odabrane armature 2. Određivanje duljina

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Voda za piće. Otpadne vode. Procesno ekoinženjerstvo voda. Ø otpadne vode iz domaćinstva. Ø industrijske otpadne vode. Ø kanalizacijske otpadne vode

Voda za piće. Otpadne vode. Procesno ekoinženjerstvo voda. Ø otpadne vode iz domaćinstva. Ø industrijske otpadne vode. Ø kanalizacijske otpadne vode Procesno ekoinženjerstvo voda Voda za piće Otpadne vode Ø otpadne vode iz domaćinstva Ø industrijske otpadne vode Ø kanalizacijske otpadne vode Ø slivne vode Shema tipičnog sustava za pripravu pitke vode

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić

Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika. Zdravka Šimić Metode i instrumenti za određivanje visinskih razlika Zdravka Šimić Visinski prikaz terena - konfiguracija dio plana dio karte 2 Visinski prikaz terena Izohipse ili slojnice povezuju točke iste visine.

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE

EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE Prof. dr. sc. Z. Prelec INŽENJERSTO ZAŠTITE OKOLIŠA Poglavlje: (Emisija u atmosferu) List: 1 EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZOR EMISIJE Izgaranje - najveći uzrok

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

MIKROBIOLOŠKI PRAKTIKUM. Školska 2013/2014 KATEDRA ZA MIKROBIOLOGIJU. Nastavnici: Prof. dr Branka Vuković-Gačić, šef Katedre

MIKROBIOLOŠKI PRAKTIKUM. Školska 2013/2014 KATEDRA ZA MIKROBIOLOGIJU. Nastavnici: Prof. dr Branka Vuković-Gačić, šef Katedre MIKROBIOLOŠKI PRAKTIKUM Školska 2013/2014 KATEDRA ZA MIKROBIOLOGIJU Nastavnici: Prof. dr Branka Vuković-Gačić, šef Katedre Prof. dr Jelena Knežević-Vukčević Prof. dr Slaviša Stanković Doc. dr Tanja Berić

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

MIKROBIOLOŠKI PRAKTIKUM. Školska 2015/2016 KATEDRA ZA MIKROBIOLOGIJU. Nastavnici: Prof. dr Jelena Knežević-Vukčević, šef Katedre

MIKROBIOLOŠKI PRAKTIKUM. Školska 2015/2016 KATEDRA ZA MIKROBIOLOGIJU. Nastavnici: Prof. dr Jelena Knežević-Vukčević, šef Katedre MIKROBIOLOŠKI PRAKTIKUM Školska 2015/2016 KATEDRA ZA MIKROBIOLOGIJU Nastavnici: Prof. dr Jelena Knežević-Vukčević, šef Katedre Prof. dr Branka Vuković-Gačić Prof. dr Slaviša Stanković Prof. dr Tanja Berić

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE ANALIZA MOGUĆIH TEHNOLOŠKIH RJEŠENJA ZA SLUČAJEVE IZNENADNIH POVIŠENIH MUTNOĆA U VODI KRŠKIH IZVORIŠTA U HRVATSKOJ ZAVRŠNI RAD Mentor: Student:

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα