Η ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

Transcript

1 Η ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΤΜΑΤΖΙ ΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ.Ε ιεύθυνση δικτυακού τόπου users.sch.gr/atmatzidis 1

2 ΗΑΡΧΗ Όλα ξεκίνησαν όταν µαθητές της Γ Λυκείου Κατεύθυνσης µε ρώτησαν µε πόσους τρόπους µπορούν να λύσουν ανισοτικες σχέσεις µε την βοήθεια συναρτήσεων 2

3 Η ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Ηπρώτη συστηµατική επαφή των µαθητών µε τις ανισοτικές σχέσεις γίνεται στην Άλγεβρα της Α Λυκείου. Υπάρχει πάντα βέβαια η δεδοµένη δυσκολία των µαθητών στο χειρισµό ανισοτήτων. 3

4 Όµως Στην Γ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης οι µαθητές πρέπει να µάθουν να αντιµετωπίζουν τις ανισοτικές σχέσεις µέσα από την Ανάλυση. Εδώ ακριβώς πρέπει να µάθουν να χρησιµοποιούν τις συναρτήσεις για βοήθεια. 4

5 ΣΤΟΧΟΙ Να βρεθούν µέσα στα σχολικά βιβλία οι διάφορες µορφές ανισοτικών σχέσεων. Να προταθούν τρόποι επίλυσης και να οµαδοποιηθούν όσο είναι δυνατόν. Να δοθούν παραδείγµατα για κάθε περίπτωση. 5

6 Η ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ Τα παραδείγµατα όλα είναι : από το βιβλίο Ανάλυση 1ης έσµης, έκδοση Ο.Ε..Β. ( ) από το βιβλίο Μαθηµατικά Θετικής κατεύθυνσης, έκδοση Ο.Ε..Β.( ) από το βιβλίο Αξιολόγηση των µαθητών της Γ Λυκείου στα Μαθηµατικά,Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας. και από τα θέµατα των πανελλαδικών εξετάσεων 1ης, 4ης έσµης και Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης. 6

7 5+1 Υπάρχουν συνήθως πέντε περιπτώσεις που χρησιµοποιούµε τη βοηθητική συνάρτηση για την απόδειξη ανισοτικών σχέσεων και µια έκτη που από ανισότητα αποδεικνύουµε µια ισότητα. 7

8 Η φράση τα πάµε µπροστά και ορίσουµε συνάρτηση Μια συνάρτηση ορίζεται ως βοηθητική σε ένα πρόβληµα όχι για να δυσκολέψει τη λύση του, αλλά για να κάνει το πρόβληµα πιο εύκολο. 8

9 ΜΕΘΟ ΟΣ 1. Ανισότητες που αποδεικνύονται µε την µονοτονία της βοηθητικής συνάρτησης. Μια συνάρτηση f λέγεται : γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε 1, 2 που ανήκουν στο µε 1 < 2 ισχύει : f( 1 ) < f( 2 ). γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε 1, 2 που ανήκουν στο µε 1 < 2 ισχύει : f( 1 ) > f( 2 ). Εκµεταλλευόµαστε την απόδειξη της µονοτονίας µε παράγωγο και χρησιµοποιώντας τις ανισότητες του ορισµού για να αποδείξουµε ανισοτικές σχέσεις 9

10 Εφαρµογή 1η (Θέµα έσµης 1999 ) Να αποδείξετε ότι για κάθε Є [0, + ) 2 1 ln( + 1) > 2 5 Υπόδειξη : Ορίζουµε βοηθητική συνάρτηση 2 1 g ( ) = ln( + 1) + + g ( ) > > 0 g( ) > g(0) g( ) > > 0 5 g( ) 10

11 Εφαρµογή 2η (Θέµα Α έσµης 1999 ) Να αποδείξετε ότι για κάθε > 0 και t Є [1,4] 1 t 4 e e e Υπόδειξη : Ορίζουµε βοηθητική συνάρτηση ht ()= e t 2 1 t 4 h(1) h( t) h(4) 11

12 Εφαρµογή 3η Αξιολόγηση των µαθητών της Γ Λυκείου στα Μαθηµατικά Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας Έστω f παραγωγίσιµη συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το [0,6]. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f περνά από το σηµείο Α(0,1) και ισχύει f () > για κάθε Є [0,6], να δείξετε ότι : 2 α) Η συνάρτηση g() = f() είναι γνησίως αύξουσα στο [0,6]. 2 β) Είναι g() > 0, για κάθε Є [0,6]. γ) Το σηµείο Β(6,8) δεν ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f. 12

13 ΜΕΘΟ ΟΣ 2. Ανισότητες που αποδεικνύονται χρησιµοποιώντας τα ακρότατα βοηθητικής συνάρτησης. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α Παρουσιάζει στο 0 ЄΑ (ολικό) µέγιστο, το f( 0 ), όταν f() f( 0 ) για κάθε Є Α. Παρουσιάζει στο 0 ЄΑ (ολικό) ελάχιστο, το f( 0 ), όταν f() f( 0 ) για κάθε ЄΑ. Εκµεταλλευόµαστε την εύρεση των ακρότατων µε παράγωγο και την ανισότητα του ορισµού για να αποδείξουµε ανισοτικές σχέσεις 13

14 Εφαρµογή 1η (από το βιβλίο Ανάλυση 1ης έσµης, έκδοση Ο.Ε..Β). Να δειχθεί ότι για κάθε > Υπόδειξη : Ορίζουµε βοηθητική συνάρτηση 1 g ( ) = 2 3 g(1) = 0 ολελαχ. 1 1 > 0 g( ) g(1)

15 Εφαρµογή 2η (από το βιβλίο Ανάλυση 1ης έσµης, έκδοση Ο.Ε..Β). α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης για κάθε > 0 1 f() = e β) Να αποδείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει e 1 15

16 Εφαρµογή 3η Αξιολόγηση των µαθητών της Γ Λυκείου στα Μαθηµατικά Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας ίνονται οι συναρτήσεις ln και f() = g() = 2 + f() α) Να αποδείξετε ότι ln <, για κάθε Є ( 0,+ ). β) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0,+ ). 16

17 ΜΕΘΟ ΟΣ 3. Ασκήσεις στις οποίες χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Μέσης Τιµής της βοηθητικής συνάρτησης για να αποδείξουµε την ανισότητα που συνήθως είναι διπλή. Αν µια συνάρτηση είναι : συνεχής στο κλειστό διάστηµα [α, β] και παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα (α, β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, ξє(α, β) τέτοιο, ώστε: f( β) f( α) f( ξ ) = β α Θεωρούµε κατάλληλη βοηθητική συνάρτηση που προκύπτει από µελέτη της ανισότητας ή κάποιας ισοδύναµης Εκµεταλλευόµαστε την ανισότητα ξ ( αβ α<ξ<β, ) και την µονοτονία της f () για να αποδείξουµε ανισοτικές σχέσεις. Αν π.χ. αν f γνησίως αύξουσα α<ξ<β f( α ) < f( ξ ) < f( β) 17

18 Εφαρµογή 1η (από το βιβλίο Ανάλυση 1ης έσµης, έκδοση Ο.Ε..Β). α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f() = ln είναι γνησίως αύξουσα. β) Να αποδειχθεί ότι Υπόδειξη Θ.Μ.Τ. e 2 2 < ln2< 2 e f( e) f(2) 1 ln e ln 2 ξ (2, e) : f ( ξ) = = e 2 ξ e ln e ln 2 1 e 2 2 < ξ < e > > > >... 2 < ln 2 < 2 ξ e 2 e 2 e 2 e 18

19 Εφαρµογή 2η (από το βιβλίο Ανάλυση 1ης έσµης, έκδοση Ο.Ε..Β). Να αποδείξετε ότι για κάθε Є ( 0,+ ). 1 ln 1 1 η ανισότητα του John Napier ( ) Υπόδειξη : Ορίζουµε βοηθητική συνάρτηση f() = ln Θ.Μ.Τ. στο [, 1 ] και [ 1, ] και =1 ισχύει η ισότητα 19

20 Εφαρµογή 3η Αξιολόγηση των µαθητών της Γ Λυκείου στα Μαθηµατικά Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας Να αποδειχθεί ότι ηµ(α+h) < ηµα + h συνα, π όπου 0< α<α+ h< 2 Υπόδειξη : Ορίζουµε βοηθητική συνάρτηση f() = ηµ Θ.Μ.Τ. στο [ α, α+h ] 20

21 ΜΕΘΟ ΟΣ 4. Ασκήσεις στις οποίες χρησιµοποιούµε την κοιλότητα της συνάρτησης σε συνδυασµό µε την εξίσωση της εφαπτοµένης της για να αποδείξουµε την ανισότητα. Εκµεταλλευόµαστε τη θέση της εφαπτοµένης ως προς τη γραφική παράσταση µιας κυρτής ή κοίλης συνάρτησης για να δείξουµε ανισοτικές σχέσεις 21

22 Εφαρµογή 1η Μαθηµατικά θετικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου, Ο.Ε..Β. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = e είναι κυρτή. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο Α(0,1). γ) Να αποδείξετε ότι e +1 για κάθε Є R. 22

23 Εφαρµογή2η Μαθηµατικά θετικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου, Ο.Ε..Β. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = ln είναι κοίλη. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της Cg στο Β(1,0). γ) Να αποδείξετε ότι ln 1 για κάθε > 0. 23

24 Μια εικόνα χίλιες λέξεις Εξισ. εφαπτ. y=+1 f κυρτή για κάθε Є R άρα e +1 Εξισ. εφαπτ. y=-1 g κοίλη για κάθε >0 άρα ln 1 24

25 ΜΕΘΟ ΟΣ 5. Ασκήσεις στις οποίες χρησιµοποιούµε την βασική ανισοτική σχέση. Εκµεταλλευόµαστε την βασική ανισότητα από τα ορισµένα ολοκληρώµατα για να αποδείξουµε ανισοτικές σχέσεις β Αν f() 0, τότε f() d 0 α 25

26 Εφαρµογή 1η Μαθηµατικά θετικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου, Ο.Ε..Β. και θέµα εξετάσεων θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου, 30 Μαΐου 2002, το ερώτηµα i Έστω f, g δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β]. Να αποδείξετε ότι: i) Aν f() g() για κάθε που ανήκει στο [α,β], τότε β α f() d g() d β α ii) Aν m η ελάχιστη και Μ µέγιστη τιµή της f στο [α,β], τότε β m( β α) f () d M( β α) α 26

27 Εφαρµογή 2η (από το βιβλίο Ανάλυση 1ης έσµης, έκδοση Ο.Ε..Β). Να αποδείξετε ότι : e e d+ e d e Υπόδειξη : Ορίζουµε βοηθητική συνάρτηση 2 2 f( ) = e e f ( ) f(0) f( ) f(1) f(0) d f( ) d f(1) d

28 Εφαρµογή 3η (Θέµα πανελλαδικών εξετάσεων έσµης 1989 ) Να αποδειχθεί ότι : α) η συνάρτηση f µε γνησίως αύξουσα β) για k 1 : f() = είναι k k+ 1 k d και k k 1 d k 28

29 Εφαρµογή 4η ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΟ ΘΕΜΑ (Θέµα εξετάσεων Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου, 30 Μαΐου ) ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις : f() e f () = 1, Є R και f (0) = 0. i) Να εκφραστεί η f ως συνάρτηση της f. ιι)να δείξετε ότι για κάθε >0 2 < f() < f () Μέθ.3 Θ.Μ.Τ. ή Μέθ.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ iii) Αν Ε είναι το εµβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες = 0, = 1 και τον άξονα, να δείξετε ότι 1 1 Μέθοδος 5 <Ε< f(1)

30 ΜΕΘΟ ΟΣ 6. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ Ασκήσεις στις οποίες χρησιµοποιούµε βοηθητική συνάρτηση και το Θεώρηµα Fermat ώστε από ανισότητα να καταλήξουµε συνήθως σε ισότητα Εκµεταλλευόµαστε την ανισο-ισότητα της υπόθεσης, την ανισο-ισότητα του ορισµού των ακρότατων και την ισότητα του θεωρήµατος του Fermat για να αποδείξουµε συνήθως ισότητες. 30

31 Εφαρµογή 1η (Μαθηµατικά θετικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου, Ο.Ε..Β. ) α) Αν α, β >0 και για κάθε ЄR ισχύει, α +β 2 να αποδείξετε ότι αβ=1 β) ) Αν α >0 και για κάθε Є R ισχύει, α + 1 να αποδείξετε ότι α = e 31

32 Εφαρµογή 1η (Μαθηµατικά θετικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου, Ο.Ε..Β. ) α) Αν α, β >0 και για κάθε ЄR ισχύει, να αποδείξετε ότι αβ=1 Υπόδειξη f = και f( ) f(0) ο.λ f( ) = a + β 2 (0) 0 Θ.Fermat άρα 0 0 α +β 2 f (0) = 0 α lnα + β ln β = 0 lnαβ = 0 αβ = 1 β) ) Αν α >0 και για κάθε Є R ισχύει, να αποδείξετε ότι α = e α + 1 Υπόδειξη f( ) = a 1 32

33 Εφαρµογή 2η (Θέµα των πανελλαδικών εξετάσεων 1ης έσµης 2001) Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R µε f (0) = 1 και τέτοια ώστε να ισχύει για κάθε ЄR. 0 f(t)dt e Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α(0,f(0)) Υπόδειξη : Ορίζουµε βοηθητική συνάρτηση F( ) = f( t) dt e F( ) F(0) F (0) = 0 0 f (0) = 1 33

34 Εφαρµογή 3η Αξιολόγηση των µαθητών της Γ Λυκείου στα Μαθηµατικά Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας Έστω ότι α α (α > 0), για κάθε > 0. Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Fermat, να αποδείξετε ότι α = e. Υπόδειξη : Ορίζουµε βοηθητική συνάρτηση f( )= α α 34

35 12 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να µελετήσετε τη συνάρτηση f :(0, + ) R µε και ακολούθως να αποδείξετε ότι e e π < π f( ) = ln (Μέθοδος 1) 2. Για κάθε > 0 να αποδείξετε ότι 2 < ln(1 + ) < 2 (Μέθοδος 1) ( ) + > + 3.α) Να βρείτε το διάστηµα 0, + για το οποίο 1 ισχύει ( 1) για κάθε β) Να αποδείξετε ότι e 1 1+ < e e 35

36 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4.Για κάθε R, να αποδείξετε ότι ( ) 5.Να αποδειχθεί ότι για κάθε > 0 6. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει e 2 3 e + e + e e ln (Μέθοδος 2) (Μέθοδος 2) (Μέθοδος 2) β) Αν α1, α2, α3,..., αν είναι θετικοί αριθµοί και για κάθε R ισχύει α1 + α αν ν ( ν Ν, ν 0 ) να αποδείξετε ότι α1 α α ν = (Μέθοδος 6 ) 3 36

37 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7. Να αποδειχθεί ότι για κάθε > 0, είναι < ln < + 1 2η ανισότητα του John Napier ( ) 8.Αν 0<α<β, να αποδείξετε ότι 1 β α β β α e< < β e α α β α β α ν ν ν+ 1 ν+ 1 (Μέθοδος 3) (Μέθοδος 3) 9. Αν 1 α < β, να αποδείξετε ότι <, ν α + 1 για κάθε ν Ν, ν 0 (υποδ. ν 1 ν) < (Μέθοδος 5) 37

38 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ π π π Να αποδείξετε ότι (Μέθοδος 5) 15 π 3 + 2ηµ 12 f : R R 11. Έστω µια συνεχή συνάρτηση µε 2 f () t dt 4 για κάθε R. 2 Να βρεθεί η τιµή της f στο σηµείο o = 2 6 d (Μέθοδος 6) 38

39 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 12. α) είξτε ότι για κάθε R ισχύει e e 1 (Μέθοδος 2) β) Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) f = e 3e + 2 i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόµενης της C f στο σηµείο Α(0,f(0)) ii) είξτε ότι για κάθε R, f( ) (Μέθοδος 4) 39

40 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Κατσαργύρης Β.Μέντης Κ. Παντελίδης Γ.Σούρλας Κ. Μαθηµατικά Γ Λυκείου Ανάλυση, έκδοση Ο.Ε..Β.( ) Ανδρεαδάκης Σ. Κατσαργύρης Β.Μέτης Σ. Μπρουχούτας Κ Παπασταυρίδης Σ. Πολύζος Γ. Μαθηµατικά Γ ενιαίου Λυκείου θετική Κατεύθυνση έκδοση Ο.Ε..Β.( ). Αξιολόγηση των µαθητών της Γ Λυκείου στα Μαθηµατικά Θετικής Κατεύθυνσης Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας (Αθήνα 2000). Θέµατα των πανελλαδικών εξετάσεων 1ης, 4ης έσµης και Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Ενιαίου Λυκείου. 40

41 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Γιαννακόπουλος Σπ. Γενικά θέµατα στην Ανάλυση περιοδικό Ευκλείδης Β (τεύχος 44) Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία Ξένος Θ. Ανάλυση Α έσµης ιαφορικός 2 Ολοκληρωτικός 3 λογισµός. Εκδόσεις Ζήτη (Θεσσαλονίκη ). Ξένος Θ. Γενικά θέµατα µαθηµατικών Ανάλυση 1ης έσµης. Εκδόσεις Ζήτη (Θεσσαλονίκη ). Στεργίου Χαρ.- Νάκης Χρ. - Στεργίου Ιωαν Μαθηµατικά Γ Λυκείου Ανάλυση2 Εκδόσεις Σαββάλας Μπάρλας Αναστάσιος Μαθηµατικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Εκδόσεις ελληνοεκδοτική Κολοµητσίνης Σπ, Επιλογή ασκήσεων(από την διεθνή βιβλιογραφία )Μαθηµατικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Εκδόσεις ελληνικά γράµµατα 41

42 Η ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΤΜΑΤΖΙ ΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ.Ε ιεύθυνση δικτυακού τόπου users.sch.gr/atmatzidis 42