Βήµατα στο ιαφορικό Λογισµό

Transcript

1 + Βήµατα στο ιαφορικό Λογισµό Κεφάλαιο ο - Κατεύθυνσης (Τελευταία ενηµέρωση: 9//) + Μαθήµατα 4 Ερωτήσει θεωρία 76 Άλυτε ασκήσει Μεθοδολογία ασκήσεων Κατηγορίε ασκήσεων Athens

2 αφιερωµένο στου µαθητέ που κοπιάζουν Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

3 Ερωτήσεις - Ασκήσεις Μεθοδολογία Παρατηρήσεις Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός Ερώτηση η «Παράγωγο σε σηµείο» Μάθηµα ο Ορισµός παραγώγου σε σηµείο α) Έστω µια συνάρτηση και σηµείο του πεδίου ορισµού τη. Πότε θα λέµε ότι η λέγεται παραγωγίσιµη στο ; Έχει νόηµα το να µην ανήκει στο πεδίο ορισµού τη συνάρτηση ; Τι ονοµάζουµε λόγο µεταβολή ; β) Πότε θα λέµε ότι η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιµη στο ; ( περιπτώσει ) γ) Πω συµβολίζουµε την παράγωγο τη στο ; δ) ώστε ισοδύναµε εκφράσει και τύπου για την παράγωγο τη στο. Άσκηση η, ίνεται η ηµ () =, = εξετάστε αν η είναι παραγωγίσιµη στο χ =. Άσκηση η ίνεται η () = g() ηµ,, = Άσκηση η και g () = g() =. Να δείξτε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο = Αν παραγωγίσιµη στο, δείξτε ότι η g () = (), '( ).( ) + ( ), > είναι παραγωγίσιµη στο. Άσκηση 4η Έστω :R R για την οποία ισχύει () + για κάθε R. είξτε ότι η () είναι α) συνεχή στο = και β) παραγωγίσιµη στο =. Άσκηση 5η Αν για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύει: 6 g, δείξτε ότι: α) ( ) = g( ) = β) + = + + () µε, g παραγωγίσιµε στο = -, να + g = 9 Άσκηση 6η Έστω, g συναρτήσει ορισµένε στο R και παραγωγίσιµε στο σηµείο =. Αν για κάθε R ισχύει () g() και () = g(), να αποδείξετε ότι g g α) = g g g για > β) Άσκηση 7η Να αποδείξετε ότι, αν µια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο, τότε: για < και γ) Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

4 α) γ) ( + ) h lim h h ( + ) ( ) h h lim h h ( ) = β) = ( ) ( ) h lim h h = ( ) Ερώτηση η «Παράγωγο και συνέχεια» α) Να δείξετε ότι αν η είναι παραγωγίσιµη στο τότε είναι και συνεχή στο β) Να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει µέσω του παραδείγµατο =, =. Πω ονοµάζεται το σηµείο αυτό ; (έννοια εκτό βιβλίου) γ) Να δείξετε ότι αν η δεν είναι συνεχή στο τότε η δεν είναι και παραγωγίσιµη στο. δ) Σωστό ή Λάθο ; Αν η δεν είναι παραγωγίσιµη στο τότε δεν είναι και συνεχή στο Άσκηση 8η ίνεται συνάρτηση + + < =, + +, τότε να αποδείξετε ότι: α) Η είναι συνεχή στο = και β) Η είναι παραγωγίσιµη στο = Άσκηση 9η Εξετάστε αν η συνάρτηση Άσκηση η ίνεται η συνάρτηση συν,< = ηµ + e, είναι συνεχή και παραγωγίσιµη στο = ηµ,<π = µε α, β πραγµατικού αριθµού. Αν η είναι παραγωγίσιµη στο α +β, π =π, βρείτε τα α, β. Στη συνέχεια σχεδιάστε την γραφική παράσταση τη συνάρτηση και µέσω του σχήµατο βρείτε το σύνολο τιµών και εξετάστε αν ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση τη. Άσκηση η Αν είναι συνεχή στο = και () lim 4 = α) () = β) = γ) τότε να αποδείξετε ότι: ηµ lim = ηµ ( ηµ) δ) lim Άσκηση η Έστω η συνεχή συνάρτηση : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση: ηµ ηµ + Να αποδείξετε ότι: α) Η γραφική παράσταση τη συνάρτηση διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) = Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 4

5 Ερώτηση η «Εξίσωση εφαπτοµένη τη C» α) Τι ονοµάζουµε κλίση ή συντελεστή διεύθυνση τη ( ), ; C στο σηµείο β) Έστω µια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο ποια είναι η εξίσωση τη εφαπτοµένη τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση (για συντοµογραφία γράφουµε C ) στο σηµείο αυτό; Άσκηση η Συµπληρώστε την τρίτη στήλη µε σχήµα και συνθήκη Η εφαπτοµένη τη C στο σηµείο Οι C, C g τέµνονται Οι C, C έχουν κοινή εφαπτοµένη g είναι παράλληλη στον άξονα είναι παράλληλη στην ευθεία : y ε =λ +β είναι κάθετη στην ευθεία ( ε ) : y=λ +β σχηµατίζει µε τον άξονα γωνία ω διέρχεται από το σηµείο (α, β) είναι η ( ε ): y=α +β στο σηµείο Α(, ( )) (µπορεί να είναι και περισσότερα τα σηµεία τοµή ) σε διαφορετικά σηµεία τοµή ( ) A,, B,g αντίστοιχα Οι C,C στο κοινό του σηµείο έχουν g εφαπτόµενε που τέµνονται κάθετα κοινή εφαπτοµένη Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 5

6 Άσκηση 4η Η συνάρτηση g είναι συνεχή στο, η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο και ισχύει () = g(), R, α) Να βρεθεί η τιµή g και η παράγωγο τη στο =. β) Γράψτε την εξίσωση τη εφαπτόµενη τη γραφική παράσταση τη ƒ στο σηµείο µε τετµηµένη Άσκηση 5η Έστω () συνεχή στο = και α) Υπολογίστε το () () + lim =, τότε, β) Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιµη στο = γ) Να γράψετε την εξίσωση τη εφαπτοµένη (ε) τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση στο = δ) Βρείτε την γωνία που σχηµατίζει η ευθεία (ε) του προηγούµενου ερωτήµατο µε τον άξονα. Όλε οι ασκήσει του σχολικού βιβλίου στην εξίσωση εφαπτοµένη. α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν σηµεία τη παραβολή y= στα οποία οι εφαπτόµενε τη γραφική παράσταση να είναι µεταξύ του παράλληλε. = ; β) Ισχύει το ίδιο για τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση. Έστω η συνάρτηση = και το σηµείο Α(ξ, (ξ)), ξ τη γραφική παράσταση τη. Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(ξ, (ξ)) και Β( ξ, ) εφάπτεται τη. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη τη γραφική παράσταση τη C στο Α. = σε οποιοδήποτε σηµείο τη Μ(α, α ),α έχει µε αυτήν και άλλο κοινό σηµείο Ν εκτό του Μ. Στο σηµείο Ν η κλίση τη C είναι τετραπλάσια τη κλίση τη στο Μ. 4. Έστω ε η εφαπτοµένη τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση ξ,. Αν ξ Α, Β είναι τα σηµεία στα οποία η ε τέµνει του άξονε και y y αντιστοίχω, να αποδείξετε ότι i) To M είναι µέσο του ΑΒ ii) Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι σταθερό, δηλαδή ανεξάρτητο του ξ R = σε ένα σηµείο τη Μ 5. Να βρείτε τα σηµεία των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων, στα οποία οι εφαπτόµενε του είναι παράλληλε στον άξονα των. α) () = β) ( ) = γ) ( ) = e 6. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενε των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων g() = + στο κοινό σηµείο του Α(, ), είναι κάθετε. = και 7. ίνεται η συνάρτηση = α + α + α σηµείο τη Α(, ) είναι ίση µε., α R. Να βρείτε τι τιµέ του α, για τι οποίε η κλίση τη Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 6 C στο

7 8. Να βρείτε τα σηµεία τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση ( ) = είναι : i) Παράλληλη προ την ευθεία y = 9 + ii) Κάθετη προ την ευθεία y = + 5 στα οποία η εφαπτοµένη 9. Να βρείτε την εξίσωση τη εφαπτοµένη τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση από το σηµείο Α(, ). = η οποία άγεται. ίνεται η συνάρτηση = α + β+ γ, µε α,β, γ R. Να βρείτε τι τιµέ των α, β, γ για τι οποίε η C διέρχεται από το σηµείο Α(, ) και εφάπτεται τη ευθεία y = στην αρχή των αξόνων.. Να αποδείξετε ότι οι γραφικέ παραστάσει των συναρτήσεων µόνο κοινό σηµείο, στο οποίο οι εφαπτόµενέ του είναι κάθετε. = και g() =. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y = έχει, µε τη γραφική παράσταση τη εφάπτεται αυτή σε ένα από τα σηµεία αυτά.. ίνονται οι συναρτήσει = α + β+ και g + έχουν ένα = δύο κοινά σηµεία και =. Να βρείτε τα α, β R, για τα οποία οι γραφικέ παραστάσει του έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο µε τετµηµένη =. 4. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο δεύτερου βαθµού, του οποίου η γραφική παράσταση να εφάπτεται των ευθειών y = + και y = στα σηµεία Α(, ) και Β (, ) αντιστοίχω. 5. Να βρείτε τα σηµεία τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση = ηµ ηµ, [, π], στα οποία η εφαπτοµένη τη είναι παράλληλη στον άξονα των. 6. Έστω µια παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R, για την οποία ισχύει = και g η συνάρτηση που g = + +, R. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη τη C στο ορίζεται από την ισότητα σηµείο A (, ( )) εφάπτεται τη C g στο Β (, g()). 7. Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο διάστηµα (, ), για την οποία ισχύει π π ( ηµ) = e συν (ηµ) για κάθε, i) Να βρείτε την ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη τη τρίγωνο. C στο σηµείο ( ) A, σχηµατίζει µε του άξονε ισοσκελέ Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 7

8 Ερώτηση 4η «Παράγωγο σε διάστηµα» Μάθηµα ο Παραγωγίσιµες συναρτήσεις α) Πότε µια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ; β) Πότε µια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β); γ) Πότε µια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]; Ερώτηση 5η «Παράγωγο, πρώτη, δεύτερη, ν οστή» α) Τι ονοµάζουµε πρώτη παράγωγο τη συνάρτηση ; Ορίστε και εξηγήστε τι σχέση που έχει µε το πεδίο ορισµού τη συνάρτηση ; β) Πω ορίζουµε και συµβολίζουµε τη δεύτερη, τρίτη και ν οστή παράγωγο τη συνάρτηση ; Ερώτηση 6η «Παράγωγο βασικών συναρτήσεων» α) Συµπληρώστε τον πίνακα Συνάρτηση Πρώτη παράγωγο Τύπο Πεδίο ορισµού Τύπο Πεδίο ορισµού c v, v N, v> ηµ συν e ln β) Να αποδείξετε τι πρώτε έξι περιπτώσει. Άσκηση 6η Να παραγωγίσετε κατάλληλα τι παρακάτω συναρτήσει και να συµπληρώσετε τα αποτελέσµατα στα κενά, ln π =... ηµ = =... ( 5 ) =... = Βασική Άσκηση 7η e α) Να αποδείξετε ότι: lim = (χωρί τον κανόνα του De l Hospital) e γ) Να αποδείξετε ότι: lim = (χωρί τον κανόνα του De l Hospital) ln β) Να αποδείξετε ότι: lim = (χωρί τον κανόνα του De l Hospital) συν =... Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 8

9 Άσκηση 8η Να ορίσετε την παράγωγο τη όπου υπάρχει, στι παρακάτω περιπτώσει : α) < = ηµ,, β) = ln, > e, γ) = ln, e, Άσκηση 9η Έστω συνάρτηση µια πολυωνυµική συνάρτηση ν οστού βαθµού ( ν > ). Βρείτε τον βαθµό των πολυωνυµικών ( v) ( v+ ) συναρτήσεων,,, Άσκηση η Βρείτε την ν οστή παράγωγο των συναρτήσεων, = e, g = ηµ και h Άσκηση η ίνεται η συνάρτηση < =,, = συν βρείτε την δεύτερη παράγωγο τη συνάρτηση όπου ορίζεται. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 9

10 Μάθηµα ο Κανόνες παραγώγισεις Ερώτηση 7η «Κανόνε παραγώγισει» α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα αν οι συναρτήσει, g είναι παραγωγίσιµε συναρτήσει στο πεδίο ορισµού του Συνάρτηση Πρώτη παράγωγο Τύπο Πεδίο ορισµού Τύπο Πεδίο ορισµού + g g λ g g { } v, v Z, εϕ σϕ β) Να αποδείξετε τι περιπτώσει, 6, 7, 8 από τον προηγούµενο πίνακα Ερώτηση 8η «Παράγωγο σύνθετη συνάρτηση» α) Πω βρίσκουµε την παράγωγο τη σύνθεση o g δύο συναρτήσεων και g ; Ποιο είναι ο κανόνα τη αλυσίδα ; β) Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, όπου h είναι µια παραγωγίσιµη συνάρτηση Τύπο σύνθεση h( ) v h( ) ηµ h συν h Συνάρτηση Να γραφτεί ω σύνθεση δύο συναρτήσεων Πρώτη παράγωγο Τύπο h e ln h( ) εϕ h Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

11 σϕ h α, α R Z α, α> ln β) Να αποδείξετε τι τρει τελευταίε περιπτώσει του πίνακα. Άσκηση η (A) Βρείτε την παράγωγο ξεχωριστά των παρακάτω συναρτήσεων σε διαστήµατα που ορίζονται, 5 n n, e +, ηµ +, συν +,e,ln ηµ, εϕ σϕ, ηµ, συν,όπου n φυσικό αριθµό (n >) (B) Βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων για παραγωγίσιµε συναρτήσει και σε διαστήµατα που ορίζονται, ln, g +, + +, Άσκηση η Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R, να αποδείξετε ότι: α) Αν η είναι άρτια συνάρτηση τότε η είναι περιττή β) Αν η είναι περιττή συνάρτηση τότε η είναι άρτια γ) Αν η είναι περιοδική συνάρτηση µε περίοδο Τ >, τότε και η είναι περιοδική συνάρτηση µε περίοδο Τ. Άσκηση 4η v Παραγωγίστε τι συναρτήσει ( ηµ ) v και Άσκηση 5η Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων όπου ορίζονται, συν,όπου παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R. 5 α) m = β) = γ) g =, > δ) h ( ln ) 5 =, > ε) k = Άσκηση 6η Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει: (ln ) = ln, για κάθε > α) Να βρείτε το () και () β) Να δείξετε ότι: = και = e γ) Να βρείτε την εξίσωση τη εφαπτοµένη τη C στα σηµεία µε τετµηµένη και. δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου το οποίο σχηµατίζεται από την εφαπτοµένη τη C στο = και του άξονε ' και y'y. Άσκηση 7η ίνεται η συνάρτηση =συν, R α) Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο τη συνάρτηση. + 4 = β) Να αποδείξετε ότι: Άσκηση 8η λ ίνεται η συνάρτηση = e, R όπου λ ένα µη µηδενικό πραγµατικό αριθµό. α) Βρείτε την πρώτη, δεύτερη και τρίτη παράγωγο τη Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

12 β) Βρείτε την ν οστή (ν > ) παράγωγο τη συνάρτηση Άσκηση 9η ίνεται η συνάρτηση : R R µε τύπο = ( + + ),για κάθε R α) Να αποδείξετε ότι =,για κάθε R + β) Να βρείτε την δεύτερη παράγωγο τη συναρτήσει τη. + + = 4,για κάθε R γ) Να αποδείξετε ότι Άσκηση η ίνεται η συνάρτηση α) Στο διάστηµα (,) + + < = + +,, β) Στο διάστηµα (,+ ) γ) Στο = δ) Ορίστε την συνάρτηση, βρείτε την παράγωγο τη Άσκηση η ηµ, ίνεται η συνάρτηση () =, = Βρείτε την παράγωγο τη συνάρτηση για κάθε πραγµατικό αριθµό. Άσκηση η συν,< ίνεται η συνάρτηση = ηµ + e, βρείτε την παράγωγο τη συνάρτηση όπου ορίζεται. Άσκηση η Έστω η συνάρτηση = ηµ, α) Να βρείτε την παράγωγο τη συνάρτηση στο διάστηµα (,+ ) β) Να βρείτε την παράγωγο τη συνάρτηση στο διάστηµα [,+ ) γ) Ορίστε την συνάρτηση και εξετάστε αν είναι συνεχή στο διάστηµα [,+ ) Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

13 Ερώτηση 9η «Ορισµό» Μάθηµα 4ο Ρυθµός µεταβολής α) Έστω δύο µεταβλητά µεγέθη, y τα οποία συνδέονται µε τη σχέση y του y ω προ, όταν = ; =. Τι λέγεται ρυθµό µεταβολή β) Το πρόσηµο του ( ) τι µα καθορίζει για το µέγεθο ; Πότε αυξάνεται, µειώνεται ή µένει σταθερό; γ) Σωστό ή Λάθο ; Ο ρυθµό µεταβολή ( ) παριστάνει την ταχύτητα µε την οποία αυξάνεται ή µειώνεται το µέγεθο (), όταν = Βασική Άσκηση 4η Γράψτε του βασικού τύπου Μαθηµατική έννοια Εµβαδόν σφαίρα Όγκο σφαίρα Όγκο κυλίνδρου Όγκο κώνου Ρυθµό µεταβολή διαστήµατο ω προ τον χρόνο t τη χρονική στιγµή t Τύπο - σχέση Ρυθµό µεταβολή ταχύτητα ω προ τον χρόνο t τη χρονική στιγµή t Οριακό κόστο στο Οριακή είσπραξη στο Οριακό κέρδο στο Όταν ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα και οµαλά µε ταχύτητα U, τότε σε χρόνο t διανύει διάστηµα s Άσκηση 5η ίνεται η ορθή γωνία Oy και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µήκου m του οποίου τα άκρα Α και Β ολισθαίνουν πάνω στι πλευρέ Oy,O αντίστοιχα. Το σηµείο Β κινείται µε σταθερή ταχύτητα U=m/sec και η θέση του πάνω στον άξονα Ο δίνεται από τη συνάρτηση s (t) = U (t),όπου t ο χρόνο σε sec, < t < 5. Να βρεθεί:. Το εµβαδόν E(t) του τριγώνου ΑΟΒ ω συνάρτηση του χρόνου.. Ο ρυθµό µεταβολή του εµβαδού E(t) τη στιγµή κατά την οποία το µήκο του τµήµατο ΟΑ είναι 6m Σηµείωση: Τον ρυθµό µεταβολή καθώ και τα προβλήµατα που ακολουθούν στι παρακάτω παραγράφου θα παρουσιαστούν σε ξεχωριστό ένθετο. Επίση µε τι ασκήσει του βιβλίου θεωρούµε ότι είµαστε πλήρει και δεν χρειάζονται άλλε ασκήσει εκτό σχολικού βιβλίου. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

14 Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης κείου Μάθηµα 5ο Θεώρηµα του Rolle Ερώτηση η «Θεώρηµα του Rolle» α) Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Rolle και να γράψετε όλα τα ισοδύναµα συµπεράσµατα του θεωρήµατο. β) Να δοθεί γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατο θεωρή Rolle. γ) Το αντίστροφο του θεωρήµατο ισχύει; Να δοθεί παράδειγµα και ένα σχήµα που να το αποδεικνύει. Βασικό θέµα 6η Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα, τότε: α) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών τη υπάρχει µια τουλάχιστον ρίζα τη β) Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών τη υπάρχει µια το πολύ ρίζα τη. γ) Ερµηνεύεστε και σχολιάσετε τα παρακάτω σχήµατα Βασικό θέµα 7η Έστω µια συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιµη στο σ Rκαι ισχύει ( ) για κάθε R. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι «ένα προ ένα» συνάρτηση. Άσκηση 8η Να εξεταστεί αν για τι παρακάτω συναρτήσει ισχύουν οι προ ποθέσει του θεωρήµατο του Rolle. Rolle Στι περιπτώσει ιπτώσει που ισχύει, να υπολογισθούν τα σηµεία στα οποία η εφαπτοµένη τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση είναι παράλληλη στον άξονα. a) () = c) () = [-,] [-,] b) () = [-,] +,, [,] <, d) () = Άσκηση 9η + α + β να ισχύουν χύουν οι προ ποθέσει του e + γ + > Να βρεθούν οι α, β, γ R ώστε η συνάρτηση ƒ µε () = θεωρήµατο του Rolle στο [-,] Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 4

15 Άσκηση 4η Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :[, ] α β R µε >, για κάθε [, ] α β ώστε: Να δειχτεί ότι: α) Η συνάρτηση g() = e () ικανοποιεί τι προ ποθέσει του Θ. Rolle στο [α, β] β) Υπάρχει (, ) α β ώστε: '( o ) = ( o ) ( β) ln =β α ( α ) Άσκηση 4η Έστω συνεχεί συναρτήσει, g στο [α, β] και παραγωγίσιµε στο (α, β). Αν g() για κάθε [α, β] και για κάθε (, ) g () Άσκηση 4η Έστω συνάρτηση :[, ] γραφική παράσταση α) ( α) = ( β) α β α β και ισχύει, ( β ) ( α = ) g( β) g( α ). Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) '( γ) ( γ) γ α β ώστε: = g'( γ) g( γ) α β R µε <α < β,ώστε η ευθεία που ενώνει τα σηµεία Α(α, ƒ(α)) και Β(β, ƒ(β)) τη C να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Να δείξετε ότι: β) Αν ƒ δύο φορέ παραγωγίσιµη στο [α, β] µε ''() εφάπτεται τη, [, ] C και η οποία περνάει από την αρχή των αξόνων α β τότε υπάρχει ακριβώ µια ευθεία ε που Άσκηση 4η Έστω οι παραγωγίσιµε συναρτήσει,g : R R µε g() = g() =. Να δείξετε ότι: a) Για την συνάρτηση b) Υπάρχει (,) () h() = g()e ικανοποιούνται οι προ ποθέσει του Θ. Rolle στο [, ] ώστε g '( o ) = g( o ) '( o ) Άσκηση 44η Έστω οι συναρτήσει, g οι οποίε είναι συνεχεί στο κλειστό [α, β] και παραγωγίσιµε στο (α, β), ώστε g'() για κάθε (α, β) a) Να δείξετε ότι: g( α) g( β ) b) Να βρεθεί ο κ R ώστε η συνάρτηση F() = () kg() να ικανοποιεί τι προ ποθέσει του θεωρήµατο Rolle στο [α, β] '( o) ( β) ( α) c) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( α, β) ώστε να ισχύει: = g' g( β ) g( α ) o Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 5

16 Ερώτηση η «Αντιπαραγώγιση» α) Τι ονοµάζουµε αντιπαραγώγιση; (Σηµείωση: εν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο µε αυτό τον όρο, αλλά µε τον όρο αρχική ή παράγουσα) β) Πω το θεώρηµα του Rolle µπορεί να µα αποδείξει ότι µια εξίσωση έχει µια τουλάχιστον ρίζα (χωρί να ισχύει κατ ανάγκη το θεώρηµα Bolzano); Άσκηση 45η Συµπληρώστε το παρακάτω πίνακα µε τι βασικέ συναρτήσει που µα δίνουν την αντιπαραγώγιση Συνάρτηση Αντιπαραγώγιση c v ηµ συν συν ηµ e v Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 6

17 e α ηµ συν συν ηµ + g g λ + g g g g g Άσκηση 46η, Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Άσκηση 47η Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Άσκηση 48η Να δείξετε ότι η εξίσωση διάστηµα (, ) Άσκηση 49η * λ + λ+ = λ R έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, ) = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) α + β α+β = µε α, β πραγµατικού αριθµού, έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο Να δείξετε ότι η εξίσωση e + + = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, ) ln + + = ln + + ln + = ] + [Υπόδειξη: Με την βοήθεια αντιπαραγώγιση έχουµε: ( ) Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 7

18 Ερώτηση η «Το πολύ µια ρίζα» α) Πω αποδεικνύουµε µε τη βοήθεια του θεωρήµατο του Rolle, ότι µια εξίσωση () = έχει το πολύ µια ρίζα σε ένα διάστηµα (α, β); β) Γενίκευση: Όταν έχουµε να δείξουµε για κ το πολύ ρίζε ; Άσκηση 5η Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + a=, a R έχει το πολύ µια ρίζα στο διάστηµα ( -, ). Άσκηση 5η Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : R R τέτοια ώστε για κάθε R να ισχύει + e = +. Να αποδείξετε ότι η Άσκηση 5η Να αποδείξετε ότι η εξίσωση C τέµνει τον άξονα το πολύ σε ένα σηµείο. α +β +γ= e, όπου αβ,, γ R µε α, έχει το πολύ τρει πραγµατικέ ρίζε. Ερώτηση η «Ακριβώ µια ρίζα» Γράψτε όλου του τρόπου που αποδεικνύουµε µια εξίσωση () = έχει µια ακριβώ ρίζα σε ένα διάστηµα (α, β) Άσκηση 5η (Rolle προφανή λύση) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln + + = έχει ακριβώ µια ρίζα στο (,+ ) Άσκηση 54η (Rolle Bolzano) 5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση +α + ηµ +β= όπου α, β R µε α> και <β<. Να αποδείξετε ότι π έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα, Άσκηση 55η ( ύο ακριβώ ρίζε ) (Σπάσιµο διαστηµάτων Bolzano Rolle άτοπο ) : π, π R συνάρτηση µε τύπο Έστω [ ] δύο ακριβώ λύσει στο διάστηµα ( π, π ). = ηµ συν τότε να δείξετε ότι η εξίσωση = έχει Άσκηση 56η (Γενική άσκηση) (Rolle ενδιαµέσων τιµών Μέγιστη και ελάχιστη τιµή ) Η συνάρτηση : + = Να αποδείξετε ότι R R είναι παραγωγίσιµη στο [, 7] και ισχύει ξ τέτοιο ώστε ( ξ ) = υπάρχει τουλάχιστον ένα (,7) Σηµείωση: Υπάρχει ξεχωριστό ένθετο µε θεωρία, µεθοδολογία και ασκήσει για το Θεώρηµα του Rolle. Για πλήρη κάλυψη τη κατηγορία αυτή, προτείνετε η ταυτόχρονη µελέτη και των δύο φυλλαδίων. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 8

19 Μάθηµα 6ο Θεώρηµα µέσης τιµής (Θ.Μ.Τ) Ερώτηση 4η «Το θεώρηµα µέση τιµή» α) ιατυπώστε το θεώρηµα µέση τιµή (συντοµογραφικά αναφέρεται Θ.Μ.Τ) (Σηµείωση: Στην βιβλιογραφία αναφέρεται και ω Θεώρηµα Langrange) β) ώστε την γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατο γ) Τι σχέση έχει το Θ.Μ.Τ µε το θεώρηµα του Rolle; Άσκηση 57η Να εξετάσετε ποιε από τι παρακάτω συναρτήσει ικανοποιούν τι προ ποθέσει του Θ.Μ.Τ στο διάστηµα [-,] α) () = β) + < () = + 4 γ) () = = Άσκηση 58η + 5 ίνεται η συνάρτηση () =. Να δείξετε ότι ικανοποιούνται οι προ ποθέσει < () () του Θ.Μ.Τ στο [-, ] και στην συνέχεια να βρείτε ξ (, ) ώστε: '( ξ ) = Άσκηση 59η α ίνεται η συνάρτηση () = +β + < α) Να προσδιορίσετε τα α, β R ώστε να ισχύει το Θ.Μ.Τ στο διάστηµα [, ]. Για α = - και β = -, () () β) Βρείτε τα ξ (, ) ώστε '( ξ ) = γ) Να προσδιορίσετε σηµείο Μ στη γραφική παράσταση τη ƒ όπου η εφαπτοµένη τη να είναι παράλληλη προ την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(, ) και Β(,- ). Άσκηση 6η ίνεται συνάρτηση ƒ συνεχή στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) µε ƒ(α) = β και ƒ(β) = α. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α, β) ώστε η εφαπτοµένη τη γραφική παράσταση τη συνάρτηση στο σηµείο (ξ, ƒ(ξ)) να είναι παράλληλη στην ευθεία: y+ = e Ερώτηση 5η α) Πω συνδυάζεται το θεώρηµα µέση τιµή (ΘΜΤ) µε το θεώρηµα Bolzano ή το θεώρηµα ενδιαµέσων τιµών; β) Όταν η άσκηση αναφέρεται για δύο σηµεία και τέτοια ώστε τα ( ), ( ) ζητούµενη σχέση - εξίσωση, τότε τι θα κάνουµε; Άσκηση 6η (Θ.Μ.Τ + Bolzano) Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :[ α, β] R, µε ( α ) =α και ότι: α) Υπάρχει ( α, β ) τέτοιο ώστε =α+β β) Υπάρχουν ξ ( α, ) καιξ (, β) τέτοια ώστε ξ ξ = να βρίσκονται µέσα στην β =β, όπου <α<β. Να αποδείξετε Άσκηση 6η (Θ.Μ.Τ + «σπάσιµο» διαστήµατο ) Έστω συνάρτηση ƒ για την οποία είναι συνεχή στο [α, β] και παραγωγίσιµη στο (α, β) και ƒ(α) = ƒ(β) Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 9

20 Να δείξετε ότι υπάρχουν χ, χ (α, β) τέτοια ώστε: '( ) + '( ) = Άσκηση 6η (Α έσµη Εξετάσει ) Έστω συνάρτηση :[, ] α β R συνεχή στο [α, β] και παραγωγίσιµη (α, β) µε α) Να αποδείξετε ότι η () = έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο (α, β) β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (α, β) τέτοια ώστε: '( ξ) '( ξ ) = 4 ( α ) = β και β = α. Άσκηση 64η (Θ.Μ.Τ + Rolle) Έστω συνάρτηση ƒ δύο φορέ παραγωγίσιµη στο διάστηµα [, ]. Αν είναι () = () + () α) Να εφαρµόσετε το θεώρηµα µέση τιµή στα διαστήµατα [, ] και [, ] β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σηµείο (, ) τέτοιο ώστε: ''( o ) = Άσκηση 65η (Θ.Μ.Τ + Θ.Ε.Τ) Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :[,] R µε = και =. Να αποδείξετε ότι: α) Υπάρχει (,),ώστε ( ) = β) Υπάρχουν ξ, ξ (,) Ερώτηση 6η (Θεώρηµα µέση τιµή και ανισοτικέ σχέσει ) Πω µα βοηθάει το Θ.Μ.Τ για να αποδείξουµε ανισοτικέ σχέσει ; Άσκηση 66η (Θ.Μ.Τ και ανισότητε ) Να αποδείξετε τι παρακάτω ανισότητε µε την βοήθεια του Θ.Μ.Τ:, ώστε + = ( ξ ) ( ξ ) α) ηµβ ηµα β α για α, β R β) γ) e e + +, R συν συν y y,, y R µε y + ε) < ln <, R * + + v v v v στ) v β ( α β ) < a β < v α ( α β ) µε < β < α και ν > δ) e e e y y e y,, y R µε y ζ) β α εφβ εφα β α π <α β< συν α συν β µε Άσκηση 67η Να αποδείξετε ότι: α) ln για κάθε (, + ) β) ln γ) ln lim = Άσκηση 68η (ΘΜΤ + Β Λυκείου Άλγεβρα!!) Έστω συνάρτηση :[ α, β] R δύο φορέ παραγωγίσιµη στο διάστηµα [ α, β ] και,, [, ],, και γ ( α, β) τέτοιο ώστε α β. Αν,, αποτελούν ξεχωριστέ αριθµητικέ προόδου, να δείξετε ότι υπάρχει ένα γ =. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

21 Άσκηση 69η (Ανισοτικέ σχέσει και ΘΜΤ, Rolle, Bolzano) Έστω δυο φορέ παραγωγίσιµη συνάρτηση :[ α, β] R µε (α) >, ( β ) > και ( γ ) < για κάποιο γ ( α, β ). Να αποδείξετε ότι: α) Η εξίσωση () = έχει τουλάχιστον δύο ρίζε στο (α, β) β) Υπάρχει (, ) α β ώστε η εφαπτοµένη τη ξ > γ) Υπάρχει ξ ( α, β) ώστε C στο σηµείο να είναι παράλληλη στον άξονα. Σηµείωση: Υπάρχει ξεχωριστό ένθετο µε θεωρία, µεθοδολογία και ασκήσει για το Θεώρηµα του Rolle. Για πλήρη κάλυψη τη κατηγορία αυτή, προτείνετε η ταυτόχρονη µελέτη και των δύο φυλλαδίων. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

22 Ερώτηση 7η «Σταθερή συνάρτηση» Μάθηµα 7ο Σταθερή συνάρτηση α) Γράψτε τον ορισµό, τι ιδιότητε και σχεδιάστε την γραφική παράσταση τη σταθερή συνάρτηση β) Σωστό ή Λάθο ; Αν ( ) = c στο διάστηµα, όπου c πραγµατικό αριθµό, τότε = γ) Το αντίστροφο τη πρόταση β ισχύει; ιατυπώστε και αποδείξτε το ανάλογο θεώρηµα δ) Το θεώρηµα ισχύει για ένωση διαστηµάτων; Αναφέρεται παράδειγµα που αποδεικνύει τον ισχυρισµό σα Άσκηση 7η Κατηγορία η: Εύρεση τύπου Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :(,+ ) R µε = και α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g = είναι σταθερή στο (,+ ) β) Να βρείτε τον τύπο τη Άσκηση 7η Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :(,+ ) R µε α) Να αποδείξετε ότι = για κάθε >. = τότε να βρείτε τον τύπο τη. β) Αν = για κάθε >. = για κάθε >. Άσκηση 7η Κατηγορία η : Η ζητούµενη σχέση περιέχει µια σταθερά c ίνεται συνάρτηση : + = για κάθε R. α) Να δείξετε ότι υπάρχει c + R R δύο φορέ παραγωγίσιµη τέτοια ώστε: R τέτοιο ώστε ( ) + ( ) = c. β) Ποιο είναι ο τύπο τη συνάρτηση αν ( 99) = ( 99) = ; Άσκηση 7η (Βασική άσκηση θεωρία) = για κάθε R, τότε να δείξετε ότι υπάρχει c R τέτοιο ώστε: ίνεται συνάρτηση τέτοια ώστε = c e Άσκηση 74η (Βασική άσκηση Γενίκευση) * ίνεται συνάρτηση τέτοια ώστε =λ λ R, για κάθε R, τότε να δείξετε ότι υπάρχει c R τέτοιο ώστε: = c e λ Άσκηση 75η ln ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση τέτοια ώστε = για κάθε (,) (, ) αποδείξετε ότι ο τύπο τη είναι ( ) c =, c R. ( ln ) Άσκηση 76η Εφαρµογή τη βασική άσκηση 7 ίνονται οι παραγωγίσιµε συναρτήσει,g : h = g τότε: α) Να δείξετε ότι: h = h β) Αν g R R µε g g +. Να = για κάθε R. Αν = τότε να δείξετε ότι οι συναρτήσει,g είναι ίσε. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

23 Άσκηση 77η «Άσκηση Ε.Μ.Ε.» Αν µια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R µε = και ισχύουν ( y+ ) = ( y) e y και για κάθε, y R, να αποδείξετε ότι: α) = β) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση τη συνάρτηση βρίσκεται στο πρώτο και δεύτερο τεταρτηµόριο. γ) = ( + ) για κάθε R δ) Η συνάρτηση g ε) Να βρεθεί ο τύπο τη. = είναι σταθερή στο R. (Βοηθητικό ερώτηµα, µπορεί και να µην δίνεται) e + Άσκηση 78η «Άσκηση Ε.Μ.Ε.» ίνονται οι παραγωγίσιµε συναρτήσει και g στο R ώστε να ισχύουν οι επόµενε προ ποθέσει : α) και β) = g = γ) g για κάθε R = και g = g Αποδείξτε ότι:. g = για κάθε R (Υπόδειξη: Προσοχή το ρόλο του c στην περίπτωση αυτή παίζει το ). Υπολογίστε του τύπου των συναρτήσεων, g Άσκηση 79η (Εξετάσει 99 Α έσµη) Βασική άσκηση 7 π π Να βρεθεί συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα, η οποία ικανοποιεί τι σχέσει συν + ηµ = συν και () = 99 Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

24 Μάθηµα 8ο Συναρτήσεις µε ίσες παραγώγους ( = g ) Ερώτηση 8 η «Ίσε παραγώγου συναρτήσεων» α) Υπενθυµίστε πότε δύο συναρτήσει, g λέγονται ίσε. β) Σωστό ή Λάθο : Αν, g παραγωγίσιµε συναρτήσει στο R τότε ισχύει = g = g γ) Ισχύει το αντίστροφο τη πρόταση (β); ιατυπώστε και αποδείξτε την ανάλογη πρόταση του βιβλίου. δ) Αν η ζητούµενη σχέση είναι τη µορφή Α() = Β(), τότε µπορούµε να πάρουµε και τα δύο µέλη και να παραγωγίσουµε κατά µέλη ; ικαιολογήστε την απάντησή σα. ε) Αν θέλουµε να αποδείξουµε ότι δύο παραγωγίσιµε συναρτήσει, g είναι ίσε, εκτό από τον ορισµό τη ισότητα των συναρτήσεων, ποιο άλλο τρόπο υπάρχει; στ) Αν g = όπου, g δύο φορέ παραγωγίσιµε συναρτήσει και ορισµένε στο R, τότε ποια σχέση συνδέσει τι συναρτήσει, g; Σηµείωση: ιαβάστε τον πίνακα αντιπαραγωγίσεων που δόθηκε στο µάθηµα 5 / σελ. στο Θεώρηµα του Rolle, χρειάζεται για την επίλυση των ασκήσεων! Άσκηση 8η «Εύρεση τύπου» (Α) Αν () = βρείτε τον τύπο τη στι παρακάτω περιπτώσει : α) ( ) =, > β), e e =, > δ) ( ) e + + = + + > γ) + e e =, > ε) + = e, R και επιπροσθέτω δίνεται = e (Β) Βρείτε τον τύπο τη για τα υποερωτήµατα (α), (β), (γ) και (δ) αν το πεδίο ορισµού τη συνάρτηση ήταν το R * (δε στην επόµενη σελίδα την άσκηση για προβληµατισµό). Άσκηση 8η (Εξετάσει ) Να βρείτε τη συνάρτηση για την οποία ισχύει = 6+ 4 για κάθε R και η γραφική τη παράσταση στο σηµείο Α (,) έχει κλίση. Άσκηση 8η (Εξετάσει ) = για Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση :(, + ) R για την οποία ισχύουν = και κάθε (, + ). Να βρείτε τον τύπο τη συνάρτηση. Άσκηση 8η (Εξετάσει 5) Έστω µια συνάρτηση παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε να ισχύει η σχέση =. Να αποδείξετε ότι: Άσκηση 84η + e = ln Έστω συνάρτηση δύο φορέ παραγωγίσιµη στο (,+ ) και ισχύουν + = για κάθε >. α) Να αποδείξετε ότι: = β) Να βρείτε τον τύπο τη. για κάθε >. = e για κάθε R, και =, = και Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 4

25 Άσκηση 85η (η έσµη εξετάσει 998) ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση :(,+ ) R για την οποία ισχύουν για κάθε > και η γραφική τη παράσταση διέρχεται από το σηµείο Α (, ). Να δείξετε ότι η είναι συνεχή στο (,+ ) και να βρείτε την συνάρτηση. Άσκηση για προβληµατισµό Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : R R τέτοια ώστε, + = > και = R µε =, τότε η παρακάτω λύση είναι σωστή; ικαιολογήστε την απάντησή σα και βγάλτε τα κατάλληλα συµπεράσµατα. Παίρνουµε την δεδοµένη σχέση και έχουµε διαδοχικά: Αντιµετώπιση για προβληµατισµό = διαιρούµε και τα δύο µέλη µε =, ln, = = ln + c, = ln + c, Όµω = c= άρα ο τύπο τη συνάρτηση είναι = ln +, Συµφωνείτε; Στην συνέχεια λύστε την άσκηση 8 (Β) στην προηγούµενη σελίδα. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 5

26 Ερώτηση 9η «Μονοτονία συνάρτηση» Μάθηµα 9ο Μονοτονία συνάρτησης α) Υπενθυµίστε τον ορισµό γνησίω αύξουσα, γνησίω φθίνουσα και µονοτονία συναρτήσεων σ ένα διάστηµα. Τι σχέση έχει η µονοτονία µε την ένα προ ένα συνάρτηση; Τι σχέση έχει η µονοτονία µε την εξίσωση ()=; β) Έστω συνάρτηση, η οποία είναι συνεχή στο διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Ποια πρόταση συνδέει τα πρόσηµα τη µε την µονοτονία τη ; Να την διατυπώσετε. γ) Να αποδείξετε την πρόταση που διατυπώσατε στο υποερώτηµα (β) δ) Η πρόταση του ερωτήµατο β ισχύει για ένωση ανοικτών διαστηµάτων; Για ένωση κλειστών διαστηµάτων; Αναφέρεται παράδειγµα που να δικαιολογεί κάθε φορά τον ισχυρισµό σα. ( ε παρακάτω τα Σωστά Λάθο ) ε) Εξηγήστε γιατί το αντίστροφο τη πρόταση του β ερωτήµατο δεν ισχύει αναφέροντα ένα παράδειγµα. ιατυπώστε κατάλληλα το αντίστροφο τη πρόταση. Σωστό ή Λάθο ; Ερωτήσει πάνω στην θεωρία i. Έστω συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα (a, b), τέτοια ώστε να είναι γνησίω µονότονη στα διαστήµατα, b, τότε πάντα η θα είναι γνησίω µονότονη (µε το ίδιο είδο µονοτονία ) στην ένωση των ( a, ) και ( ) U διαστηµάτων του, δηλαδή στο ( a, ) (,b) ii. Έστω συνάρτηση ορισµένη στο διάστηµα (a, b), τέτοια ώστε να είναι γνησίω µονότονη στο διάστηµα a, και(, b ), επίση συνεχή στο σηµείο,τότε πάντα η θα είναι γνησίω µονότονη (µε το ίδιο είδο µονοτονία ) στην ένωση των διαστηµάτων του, δηλαδή στο ( a, ) (, b) U Άσκηση 86η Μελετήστε ω προ την µονοτονία τη παρακάτω συναρτήσει στο πεδίο ορισµού του α) = β) e γ) = δ) = +, > = 4, Άσκηση 87η Στο παραπάνω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση τη παραγώγου µια συνάρτηση. Να µελετήσετε την ω προ τη µονοτονία. Άσκηση 88η ίνεται συνάρτηση που ορίζεται στο R και η παράγωγο έχει τύπο 7 ( ) ( ) ( ) R. Βρείτε τη µονοτονία τη. Άσκηση 89η Η συνάρτηση είναι δύο φορέ παραγωγίσιµη στο R και ισχύει Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 6 = + για < για κάθε R. Αν είναι + lim = τότε: = β) Να µελετήσετε την ω προ τη µονοτονία α) Να αποδείξετε ότι: Άσκηση 9η «Μονοτονία και σύνολο τιµών» Βρείτε το σύνολο τιµών για τι παρακάτω συναρτήσει (όπου ορίζονται) α) = ln + β) = + γ) = ln ln( )

27 δ) = ε) = e ln στ) + = + Άσκηση 9η «Μονοτονία και εξισώσει» Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσει () = έχουν µια ακριβώ ρίζα στο διάστηµα που δίνεται. α ) = + ηµ (, ) β = + ln( + ) γ ) = + 5+ (-,) + Άσκηση 9η «Μονοτονία και σχέσει» Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύουν χωριστά οι παρακάτω σχέσει. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίω µονότονη στο πεδίο ορισµού τη. α ) + =συν, για κάθε [, π ] Άσκηση 9η «Μονοτονία και ανισώσει» Να αποδείξετε τι παρακάτω ανισώσει α) ηµ +εϕ, γιακάθε R β) γ) 4 4 α α β β, ά 4 4 για κ θε α β δ) Άσκηση 94η «Μονοτονία και επίλυση ανίσωση» ίνεται συνάρτηση :(, + ) R µε τύπο: β + = + + ) 6 = ln + + e + > +, για κάθε > ln +, για κάθε + α) Να µελετήσετε την ω προ την µονοτονία β) Να λύσετε την ανίσωση Άσκηση 95η Θεωρούµε τη συνάρτηση :[,+ ) R µε τύπο = α) Να µελετήσετε την ω προ την µονοτονία β) Βρείτε το () και στη συνέχεια λύστε την ανίσωση ( ) > 4 Άσκηση 96η (Εξετάσει 6) + e ίνεται η συνάρτηση ( ) =, R + e + α) Να µελετήσετε τη συνάρτηση ω προ τη µονοτονία β) Για κάθε < να αποδείξετε ότι: ( 5 ) + ( 7 ) < ( 6 ) + ( 8 ) Άσκηση 97η Α. Θεωρούµε συνάρτηση = ln για [, ) α) Η είναι γνησίω αύξουσα στο [,+ ) β) ln >, για κάθε > Β. Έστω η συνάρτηση g :(,+ ) R µε τύπο: g α) Να µελετήσετε τη g ω προ τη µονοτονία α( β ) β( α ) β) Αν <α<β, να αποδείξετε ότι: α <β +. Να αποδείξετε ότι: ln = Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 7

28 Μάθηµα ο Ακρότατα συνάρτησης Ερώτηση η «Ορισµό τοπικών και ολικών ακροτάτων» α) Ορίστε στον άξονα των πραγµατικών αριθµών µια περιοχή του β) Έστω συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α και. Ολικό µέγιστο και ελάχιστο στο και σχήµα χωριστά. Τοπικό µέγιστο και ελάχιστο στο και σχήµα χωριστά. Τοπικά ακρότατα και θέσει τοπικών ακροτάτων 4. Ολικά ακρότατα ή πιο απλά ακρότατα A τότε δώστε του ορισµού Άσκηση 98η Σωστό ή Λάθο ; ικαιολογήστε την απάντησή σα α) Ένα τοπικό µέγιστο είναι πάντα υψηλότερα από ένα τοπικό ελάχιστο β) Αν η παρουσιάζει µέγιστο τότε αυτό θα είναι το µεγαλύτερο από όλα τα τοπικά µέγιστα τη συνάρτηση γ) Αν η παρουσιάζει ελάχιστο τότε αυτό θα είναι το µικρότερο από όλα τα τοπικά ελάχιστα τη συνάρτηση δ) Το µεγαλύτερο από τα τοπικά µέγιστα µια συνάρτηση, είναι πάντα µέγιστο τη συνάρτηση ε) Το µικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα µια συνάρτηση, είναι πάντα ελάχιστο τη συνάρτηση στ) Κάθε συνεχή συνάρτηση σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β) έχει µέγιστο και ελάχιστο (τοπικό ή ολικό) ζ) Κάθε συνεχή συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β] έχει µέγιστο και ελάχιστο (τοπικό ή ολικό) η) Αν η είναι γνησίω µονότονη στο ανοικτό διάστηµα (α, β) τότε δεν έχει ακρότατα. θ) Αν η είναι γνησίω µονότονη στο κλειστό διάστηµα [α, β] τότε δεν έχει ακρότατα. ι) Κάθε συνάρτηση έχει τοπικά ακρότατα Ερώτηση η «Θεώρηµα Fermat» α) ιατυπώστε και αποδείξτε το Θεώρηµα Fermat β) ώστε γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατο. Ισχύει το αντίστροφο του θεωρήµατο ; ικαιολογήστε την απάντησή σα. γ) Αν το είναι εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού και (αντιθεταντίστροφο του Θεωρήµατο ); ικαιολογήστε την απάντησή σα. τότε η δεν παρουσιάζει ακρότατο στο δ) Αν έχουµε δεδοµένο ανισότητα και θέλουµε να αποδείξουµε ή να καταλήξουµε σε ισότητα ποιο θεώρηµα σκεφτόµαστε; Αναφέρετε τα βήµατα που ακολουθούµε Σηµείωση: Το Θεώρηµα Fermat «συνεργάζεται» καλά µε το Θεώρηµα µέγιστη και ελάχιστη τιµή, αρκεί να αποδείξουµε ότι τα ακρότατα δεν βρίσκεται στα άκρα του διαστήµατο, αλλά στα εσωτερικά του σηµεία. Κατηγορία : Σχέσει που δεν έχουν ακρότατα» Άσκηση 99η ίνεται η συνάρτηση : R R τέτοια ώστε + 6 = + + για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η δεν έχει ακρότατα µε δύο τρόπου, α) Με µονοτονία και β) Με το Θεώρηµα Fermat Άσκηση η ίνεται η συνάρτηση : R R τέτοια ώστε = + + για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η δεν έχει ακρότατα Άσκηση η (Εξετάσει ) ίνεται η συνάρτηση : R R τέτοια ώστε +β +γ = + 6 για κάθε R όπου β, γ R. Να αποδείξετε ότι η δεν έχει ακρότατα Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 8

29 Άσκηση η Για κάθε R ισχύει «Κατηγορία : Από ανισότητε σε ισότητε» α + όπου α θετικό πραγµατικό αριθµό, τότε να αποδείξετε ότι α = e. Άσκηση η ίνεται α, β > τέτοια ώστε α +β για κάθε R, τότε να δείξετε ότι: α β= Άσκηση 4η Έστω συνάρτηση : R R τέτοια ώστε = παραγωγίσιµη στο = και + + 4ηµ για κάθε R, τότε να αποδείξετε ότι = Άσκηση 5η Έστω συνάρτηση : R R τέτοια ώστε παραγωγίσιµη στο = και ηµ για κάθε R, τότε να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση τη συνάρτηση τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο. Άσκηση 6η Έστω συνάρτηση : R R δύο φορέ παραγωγίσιµη τέτοια ώστε α) Να δείξετε ότι: β) Υπολογίστε το Αν η παρουσιάζει ακρότατο στο = = Άσκηση 7η για κάθε R. = και ( o ) ( ) Κατηγορία η: Εύρεση παραµέτρων µε Θεώρηµα Fermat Έστω συνάρτηση : R R µε τύπο =α +β + η οποία παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σηµεία = και =. α) Να αποδείξετε ότι α = και β = β) Να προσδιορίσετε το είδο των ακροτάτων τη. Άσκηση 8η Έστω συνάρτηση : R R µε τύπο =α +β + η οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σηµείο = και η γραφική τη παράσταση διέρχεται από το σηµείο (, 4). α) Να αποδείξετε ότι α = και β = -. β) Να προσδιορίσετε το είδο των ακροτάτων τη. Άσκηση πρόκληση (δε σηµείωση στην Ερώτηση ) Έστω η συνεχή συνάρτηση :[, ] R, η οποία είναι παραγωγίσιµη στο (, ) και ισχύει Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) ώστε > > = Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 9

30 Ερώτηση η «Πιθανέ θέσει τοπικών ακροτάτων» α) Ποιε είναι οι πιθανέ θέσει τοπικών ακροτάτων µια συνάρτηση σ ένα διάστηµα ; β) Ποια σηµεία τη λέγονται κρίσιµα; Άσκηση 9η, < ίνεται η συνάρτηση = ( ), α) Ποιε είναι οι πιθανέ θέσει τοπικών ακροτάτων τη συνάρτηση ; β) Βρείτε τα κρίσιµα σηµεία τη συνάρτηση. Ερώτηση η «Κριτήριο τοπικών ακροτάτων» α) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο (α, β) µε εξαίρεση ίσω ένα σηµείο, στο οποίο η είναι συνεχή. Πότε η τιµή ( ) είναι τοπικό ακρότατο τη ; Να αποδείξετε του ισχυρισµού σα. β) Αν η () διατηρεί πρόσηµο στο α, ) (, ), τότε να δείξετε ότι, i. το ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και ( ( β ii. η είναι γνησίω µονότονη στο ( α, β). (Θέµα θεωρία Προσοχή) Κατηγορία η: Εύρεση ακροτάτων Άσκηση η Μελετήστε ω προ τα ακρότατα τι παρακάτω συναρτήσει στο πεδίο ορισµού του : ln ln α) = β) ( ) =, v N ( v> ) γ) ln = v ln, v N v> v ε) = e στ) v e e = e, v N ( v> ) ζ) = η) ( ) =, v N v ( v> ) θ) = e ι) v =, v N ( v> ) e = δ) Άσκηση η Όµοια, µελετήστε ω προ τα ακρότατα τι παρακάτω συναρτήσει στο πεδίο ορισµού του : α) 6 9 δ) = ln + = + β) = ln γ) + =, e,> = R στ) ln( ) e e, ε) = + + Άσκηση η Θεωρούµε τον πραγµατικό αριθµό α και τη συνάρτηση : R R µε τύπο = ( + ) e, α R α) Να αποδείξετε ότι η έχει δύο τοπικά ακρότατα. β) Αν, είναι οι θέσει των τοπικών ακροτάτων τη, να αποδείξετε ότι η παράσταση: e + e είναι ανεξάρτητη του α. Άσκηση η Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει + = e + e για κάθε R. Να βρείτε την ελάχιστη τιµή τη. Κατηγορία η: Πλήθο ριζών εξίσωση Άσκηση 4η Βρείτε το πλήθο ριζών των παρακάτω εξισώσεων στα αντίστοιχα διαστήµατα α) ηµ = στο (,π ) β) =συν στο [ π, π ] γ) + = στο R δ) ln,+ ε) 6 9 = eln στο, + = στο + = στο (, ) στ) Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

31 Άσκηση 5η Έστω η συνάρτηση :(,+ ) R µε τύπο: α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίω αύξουσα στο (,+ ) = ln + 4+ β) Να µελετήσετε την ω προ τη µονοτονία και τα ακρότατα γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικέ παραστάσει των συναρτήσεων g µόνο κοινό σηµείο στο οποίο έχουν και κοινή εφαπτοµένη. Άσκηση 6η (Εξετάσει ) Έστω,g : R R συναρτήσει ώστε η σύνθεση og να είναι, να αποδείξετε ότι: α) Η g είναι β) Η εξίσωση ( ) = ln και h = + έχουν g + = g + έχει δύο ακριβώ θετικέ και µία αρνητική ρίζα. Άσκηση 7η (Εξετάσει 7) π ίνεται συνάρτηση : R R µε τύπο: = ηµ θ όπου θ R σταθερά µε θ k π+, k Z. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό µέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο. β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση = έχει ακριβώ τρει πραγµατικέ ρίζε. Κατηγορία η: Ανισοτικέ σχέσει (Ακρότατα εργαλείο ο για την απόδειξη ανισοτήτων) Άσκηση 8η Για κάθε > να αποδείξετε τα παρακάτω: α) e ln β) ln + γ) e + ln Άσκηση 9η Έστω η συνάρτηση :(,) R µε τύπο: = ( ) α) Να αποδείξετε ότι: = ln ln( ) για κάθε (,) β) Αν α, β> ώστε α + β = να αποδείξετε ότι: α β α β Άσκηση η Έστω :(,e) R η συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσει (,e). α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίω αύξουσα στο (, e). β) Να βρείτε τον τύπο τη γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιµή τη α δ) Να βρείτε το πλήθο των ριζών τη εξίσωση : ( ln ) e, = µεα R = και ln = για κάθε Κατηγορία 4η: Προβλήµατα στην µονοτονία και ακρότατα Σηµείωση: Θα την µελετήσουµε αναλυτικά σε ξεχωριστό ένθετο Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

32 Μάθηµα Κυρτότητα Σηµεία καµπής Ερώτηση 4η «Ορισµό κυρτότητα» α) Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχή σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε η λέγεται κυρτή και πότε κοίλη στο ; Πω συµβολίζεται η κυρτή και η κοίλη συνάρτηση; Σηµείωση: Σε πολλά βιβλία όταν δίνεται µια συνάρτηση κυρτή ή κοίλη, θεωρείται και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του διαστήµατο, χωρί να τονίζεται ιδιαίτερα. β) ώστε την γεωµετρική ερµηνεία ορισµού κυρτή και κοίλη συνάρτηση στο. γ) Αν η είναι κυρτή ή κοίλη στο = [α, β] συµπληρώστε κατάλληλα του παρακάτω πίνακε α β < α β > δ) Μέσω των γραφικών παραστάσεων (σελ. 6 9 σχ. βιβλίο) να διαπιστώσετε ποιε βασικέ συναρτήσει είναι κυρτέ και ποιε κοίλε. Τι θεωρείται η ευθεία ; Κυρτή, κοίλη και τα δύο ή τίποτα; Βασική Άσκηση η α) Αν η παραγωγίσιµη συνάρτηση είναι κυρτή στο R και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο, τότε να αποδείξετε ότι αυτό είναι και ολικό ελάχιστο τη. β) Αν η παραγωγίσιµη συνάρτηση είναι κοίλη στο R και παρουσιάζει τοπικό µέγιστο, τότε να αποδείξετε ότι αυτό είναι και ολικό µέγιστο τη. Βασική άσκηση η Έστω κυρτή και παραγωγίσιµη συνάρτηση στο διάστηµα. Αν α, β µε α < β, να αποδειχθεί ότι: α+β ( α ) + ( β ) > Βασική άσκηση η Έστω κοίλη και παραγωγίσιµη συνάρτηση στο διάστηµα. Αν α, β µε α < β, να αποδειχθεί ότι: α+β ( α ) + ( β ) < Βασική άσκηση 4η α) Έστω συνάρτηση η οποία είναι κυρτή στο διάστηµα. Αν α, β, γ και α < β < γ να δείξετε ότι: ( β) ( α) ( γ) ( β) < β α γ β β) ιαπιστώστε ανάλογο συµπέρασµα όταν η συνάρτηση είναι κοίλη στο. Βασική άσκηση 5η Έστω οι συναρτήσει, g δύο φορέ παραγωγίσιµε στο R. Αν η είναι κυρτή στο R και η g κοίλη στο R τότε να αποδείξετε ότι: α) Οι C, Cg έχουν το πολύ δύο κοινά σηµεία. β) Αν οι C και Cg έχουν κοινή εφαπτοµένη σε κάποιο κοινό σηµείο του, τότε οι C και Cg έχουν µοναδικό κοινό σηµείο. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

33 Ερώτηση 5η «Εργαλείο εύρεση κυρτότητα» α) Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχή και δύο φορέ παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Γράψτε ποιο Θεώρηµα συνδέει το πρόσηµο τη µε την κυρτότητα τη ; β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ότι δεν ισχύει το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήµατο. Πω µπορούµε να το διατυπώσουµε για να ισχύει; γ) Αν θέλουµε σε µια άσκηση να αποδείξουµε ότι µια συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη, ποια πρόταση θα χρησιµοποιούµε, τον ορισµό ή το θεώρηµα; Να γίνει διάκριση περιπτώσεων. δ) Να συµπληρώσετε κατάλληλα τον πίνακα για να ισχύει το θεώρηµα που διατυπώσατε στο ερώτηµα (α). Αν ισχύει για την πρώτη στήλη, η πρώτη γραµµή ( ) τότε προκύπτουν οι άλλε δύο ; Με ανάλογο σκεπτικό δώστε συµπεράσµατα όταν ισχύει η δεύτερη ή η τρίτη γραµµή, τότε ισχύουν και οι άλλε δύο ; α β α β Άσκηση 6η Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία ορίζεται η συνάρτηση, αν είναι κυρτή ή κοίλη: + i) = ln ii) () = e iii) () = 5 4 iv) () = e v) () = ln vi) () = + 4 Άσκηση 9η Να βρείτε τι τιµέ του α R ώστε η συνάρτηση () = α να είναι κοίλη στο R. Άσκηση η Έστω µια συνάρτηση : R->R για την οποία ισχύει () < () + () συνάρτηση g() = () e - είναι κυρτή στο R. για κάθε R. Nα δείξετε ότι η Άσκηση η Έστω µια συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει () > για κάθε R και η οποία είναι δύο φορέ παραγωγίσιµη στο R. Αν g() = ln () και g () > για κάθε R, να δείξετε ότι η συνάρτηση h() = e λ () είναι κυρτή στο R, για κάθε λ R. Άσκηση η ίνεται η συνάρτηση : (,+ ) R για την οποία ισχύουν () < και Nα δείξετε ότι: α) Η είναι γνησίω αύξουσα στο (, + ) β) Η είναι δύο φορέ παραγωγίσιµη = για κάθε >. () Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός

34 γ) Η είναι κυρτή στο (, + ) Άσκηση η Έστω µία συνάρτηση δύο φορέ παραγωγίσιµη στο R µε () > για κάθε R. Αν η συνάρτηση g() = ln() είναι κυρτή στο R µε g (), R, να αποδειχθεί ότι και η είναι κυρτή στο R. Ερώτηση 6η «Σηµείο Καµπή» α) Τι εννοούµε όταν λέµε «σηµείο καµπή» στην καθηµερινή µα ζωή ; ώστε παραδείγµατα β) Έστω µια παραγωγίσιµη συνάρτηση :( α, β) R.Τι λέγεται σηµείο καµπή τη γραφική παράσταση τη ; γ) Μέσω των γραφικών παραστάσεων βασικών συναρτήσεων, να βρείτε τα σηµεία καµπή. Σηµείωση: Για την µελέτη τη κυρτότητα και σηµείων καµπή, εντό ύλη είναι οι συναρτήσει που είναι συνεχεί και παραγωγίσιµε δύο τουλάχιστον φορέ σε κάθε εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού του. Άσκηση 4η ίνεται η συνάρτηση, < = 4 ( ), α) Να αποδείξετε ότι παραγωγίζεται στο σηµείο = β) Βρείτε την δεύτερη παράγωγο τη,όπου ορίζεται γ) Βρείτε τα διαστήµατα κυρτότητα και τα σηµεία καµπή τη συνάρτηση Άσκηση 5η Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε (αν υπάρχουν) τα σηµεία καµπή τη C,όταν: i) () = ln ii) () = 5 6 iii) () = συν+,, π iv) () = e v) () = ln vi) () = ln(ln) vii) () = viii) () = 4-6ln - i) () = e e + ) () = (+ )e - 4 Άσκηση 6η (Εξετάσει 4) ίνεται η συνάρτηση µε τύπο ()= ln. α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού τη συνάρτηση, να µελετήσετε την µονοτονία τη και να βρείτε τα ακρότατα β) Να µελετήσετε την ω προ την κυρτότητα και να βρείτε τα σηµεία καµπή. γ) Να βρείτε το σύνολο τιµών τη. Άσκηση 7η Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση τη συνάρτηση δεν έχει σηµεία καµπή. 4 α α + = + +α, α R Άσκηση 8η Nα αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση τη συνάρτηση () = α +β +γ+δ µε α και β = αγ δέχεται στο σηµείο καµπή τη οριζόντια εφαπτοµένη. Άσκηση 9η Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση τη παραγώγου µία συνάρτηση στο διάστηµα [,8]. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 4

35 y - O 4 y = ( ) Μελετήστε, Α) Την µονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση, Β) Την κυρτότητα και τα σηµεία καµπή τη συνάρτηση Γ) Μπορούµε να βρούµε το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών τη συνάρτηση ; Ερώτηση 7η «Ιδιότητε σηµείων καµπή» ( ) A, είναι σηµείο καµπή τη γραφική παράσταση τη και η είναι δύο φορέ α) Αν το παραγωγίσιµη, τότε τι ισχύει για το ( ) ; ) Ποιο θεώρηµα σα θυµίζει; ) Το αντίστροφο τη παραπάνω πρόταση ισχύει; ώστε ένα παράδειγµα που να το αποδεικνύει. ) Τι µα πληροφορεί το αντιθεταντίστροφο τη παραπάνω πρόταση ; β) Ποιε είναι οι διαφορέ τοπικών ακροτάτων και σηµείων καµπή ; γ) Ποιε είναι οι πιθανέ θέσει σηµείων καµπή ; δ) (Κριτήριο σηµείων καµπή ) Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Πότε η παρουσιάζει καµπή στη θέση ; Άσκηση 4η (σχ. βιβλίο 5 /σελ. 79) Έστω µια συνάρτηση, δύο φορέ παραγωγίσιµη στο (-, ), για την οποία ισχύει: = () α) Να αποδείξετε ότι η δεν έχει σηµεία καµπή β) Ποιο είναι ο ρόλο του διαστήµατο (-, ) στην εκφώνηση αφού δεν χρειάζεται στην απόδειξη τη άσκηση ;, που έχουν την ιδιότητα () γ) Βρείτε όλε τι συνεχεί συναρτήσει για [Υπόδειξη: ( ) 4 Άσκηση 4η = και διατήρηση πρόσηµου ] Έστω g µια συνάρτηση δύο φορέ παραγωγίσιµη στο R για την οποία ισχύει (g()) = 5g()- e - α + για κάθε R και α >. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση τη συνάρτηση g δεν έχει σηµεία καµπή. Άσκηση 4η ίνεται η συνάρτηση () = 4 + α + β + γ +, β > 6 και α, β, γ R. Αν η παρουσιάζει στο o= καµπή και στο Α(,()) η γραφική παράσταση τη έχει οριζόντια εφαπτοµένη, να αποδείξετε ότι α) Η γραφική παράσταση τη έχει ακριβώ δύο σηµεία καµπή β) Η παρουσιάζει µοναδικό ελάχιστο γ) α + β + γ < - δ) Η εξίσωση ()= έχει ακριβώ δυο ρίζε στο R Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 5

36 Ερώτηση 8η «Εργαλείο 4: Κυρτότητα και εφαπτοµένη» Αν µια συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη σε ένα διάστηµα, τότε ποια είναι η σχετική θέση τη εφαπτοµένη σε κάθε σηµείο του ; Πότε θα χρησιµοποιούµε αυτή την πρόταση; C και τη Βασική άσκηση 4η α) Αν η συνάρτηση είναι κυρτή στο (α, β) (άρα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του διαστήµατο ) και ξ ( α, β ) τότε να αποδείξετε ότι: ( ) ξ ξ + ξ για κάθε ( α, β ) β) Αν η συνάρτηση είναι κοίλη στο (α, β) (άρα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του διαστήµατο ) και α, β ξ ( α, β ) τότε να αποδείξετε ότι: Άσκηση 44η ίνεται η συνάρτηση () = α +β ln +β. ξ ξ + ξ για κάθε (Α) Να βρείτε τα α, β R, ώστε το Α(,) να είναι σηµείο καµπή τη C. (Β) Για α = 4 και β = -: a) Να βρείτε τα διαστήµατα που η C είναι κυρτή ή κοίλη. b) Να βρείτε την εφαπτοµένη τη C στο σηµείο καµπή τη. c) Να δείξετε ότι 4 ln + για κάθε. Άσκηση 45η Έστω : R R παραγωγίσιµη συνάρτηση µε () lim = a) Να βρείτε την εξίσωση τη εφαπτοµένη τη C στο =. b) Αν η είναι κυρτή στο R να δείξετε ότι και () = 4 c) Nα δείξετε ότι υπάρχει µοναδικό ξ (,) στο οποίο η παρουσιάζει ελάχιστο. Άσκηση 46η Έστω συνάρτηση :(,+ ) R µε τύπο α) Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή στο (,+ ) β) Να βρείτε την εξίσωση τη εφαπτοµένη τη = e ln. C στο σηµείο Μ, ( ) e e + ln + γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε > ισχύει η σχέση: Άσκηση 47η ίνονται οι συναρτήσει () = e και g() = ln α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ƒ είναι κυρτή, ενώ η συνάρτηση g είναι κοίλη. β) Να βρείτε την εφαπτοµένη τη C στο σηµείο Α(,) και τη C στο Β(,) g γ) Να αποδείξετε ότι: δ) Να αποδείξετε ότι: e +, R και ln, (,+ ). Πότε ισχύουν οι ισότητε ; e ln για (,+ ) Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 6

37 Σηµείωση: Κάποιε βασικέ ανισότητε που πρέπει να έχουµε κατά νου (και προκύπτουν από την τελευταία άσκηση): α) Αποδείξαµε ότι e > άρα e β) Αποδείξαµε ότι ln < άρα > για κάθε R ln < για κάθε (, ) σχετική θέση των παραπάνω γραφικών παραστάσεων φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. +, άρα ισχύει: ln < < e. Η ηµ γ) Επίση γνωρίζουµε ότι ηµ άρα ηµ ηµ ηµ και ηµ + δηλαδή η γραφική παράσταση του ηµιτόνου, βρίσκεται µεταξύ των ευθειών y= και y =. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 7

38 Μάθηµα Ασύµπτωτες Κανόνας De l Hospital Σηµείωση: Συστήνουµε να ξεκινήσετε το διάβασµά σα από τον κανόνα του Hospital (για να σα διευκολύνει στην εύρεση ορίων των ασύµπτωτων) Ερώτηση 9η «Ασύµπτωτε» α) Γράψτε είδη ασύµπτωτων για µια γραφική παράσταση συνάρτηση. Σηµείωση: Όταν λέµε ασύµπτωτη, αναφέρεται στην γραφική παράσταση συνάρτηση και όχι στην συνάρτηση, δηλαδή είναι λάθο να γράψουµε ότι η ασύµπτωτη τη είναι η =, αλλά παρόλα ταύτα για λόγου ευκολία θα το δεχόµαστε κατανοώντα τι θέλει να εκφράσει η άσκηση. β) Που µα εξυπηρετούν οι ασύµπτωτε ; γ) Σωστό ή Λάθο : Η ασύµπτωτη µια γραφική παράσταση συνάρτηση µπορεί να έχει κοινά σηµεία µε αυτήν. ικαιολογήστε την απάντησή σα. Βασική Άσκηση 48η Γράψτε όλε τι βασικέ γραφικέ παραστάσει συναρτήσεων που έχουν ασύµπτωτε και ποιο είδο παρουσιάζουν κάθε φορά. Άσκηση 49η Βρείτε το είδο και την εξίσωση των παρακάτω ασύµπτωτων (σχ. και ) (σχ. ) (σχ. ) (σχ. ) Άσκηση 5η ίνονται οι τέσσερει γραφικέ παραστάσει των συναρτήσεων, g, h, z, όπω φαίνονται στο διπλανό σχήµα. α) Βρείτε ποια είναι η σχέση των γραφικών παραστάσεων. β) Ποιε είναι ασύµπτωτέ του ; γ) Τελικά η ασύµπτωτη µπορεί να τέµνει την γραφική παράσταση συνάρτηση ; Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 8

39 Ερώτηση η «Κατακόρυφη ασύµπτωτη» α) ώστε τον ορισµό τη κατακόρυφη ασύµπτωτη = για την γραφική παράσταση τη συνάρτηση. β) Αν ο άξονα y y είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη τη γραφική παράσταση τη, τότε τι θα ισχύει; γ) Σε ποια σηµεία αναζητούµε τι κατακόρυφε ασύµπτωτε µια συνάρτηση ; Αν µια συνάρτηση είναι συνεχή στο R ή σε κλειστό διάστηµα, τότε παρουσιάζει κατακόρυφε ασύµπτωτε ; ικαιολογήστε την απάντησή σα. δ) Σε ποια σηµεία των ρητών συναρτήσεων αναζητούµε τι κατακόρυφε ασύµπτωτε ; ε) Πόσε κατακόρυφε ασύµπτωτε µπορεί να έχει µια συνάρτηση; Σηµείωση: Επανάληψη στα µη πεπερασµένα όρια (Φυλλάδιο: Μάθηµα 7/ Ανάλυση Κεφάλαιο, ενώ από το σχολικό βιβλίο: παράγραφο.6 / σελ. 76) Βασική Άσκηση 5η α) Βρείτε µια γνωστή συνάρτηση που η γραφική τη παράσταση έχει άπειρε κατακόρυφε ασύµπτωτε. β) Οι πολυωνυµικέ συναρτήσει έχουν κατακόρυφε ασύµπτωτε ; ικαιολογήστε την απάντησή σα γ) Οι συνεχεί συναρτήσει στο R έχουν κατακόρυφε ασύµπτωτε ; ικαιολογήστε την απάντησή σα Άσκηση 5η Να βρείτε τι κατακόρυφε ασύµπτωτε των γραφικών παραστάσεων για τι παρακάτω συναρτήσει :, + + ln α) = β) = γ) =, > Άσκηση 5η ίνεται συνάρτηση :(,) U(, + ) R µε τύπο = +λ και λ πραγµατικό αριθµό. α) Σωστό ή Λάθο ; Η γραφική παράσταση τη συνάρτηση έχει κατακόρυφη ασύµπτωτη την ευθεία =. β) Για ποια τιµή του λ η γραφική παράσταση τη συνάρτηση δεν έχει κατακόρυφη ασύµπτωτη; Ερώτηση η «Οριζόντια ασύµπτωτη» α) ώστε τον ορισµό τη οριζόντια ασύµπτωτη y= y για την γραφική παράσταση τη συνάρτηση. β) Αν ο άξονα είναι οριζόντια ασύµπτωτη τη γραφική παράσταση τη, τότε τι θα ισχύει; γ) Σε ποια σηµεία αναζητούµε την οριζόντια ασύµπτωτη µια συνάρτηση ; Σε ποια διαστήµατα του πεδίου ορισµού αναζητούµε τι οριζόντιε ασύµπτωτε ; δ) Ποιε ρητέ συναρτήσει έχουν οριζόντια ασύµπτωτη; ε) Πόσε οριζόντιε ασύµπτωτε µπορεί να έχει µια συνάρτηση που ορίζεται στο R; Σηµείωση: Επανάληψη στα όρια που το ± (Φυλλάδιο : Μάθηµα 8 / Ανάλυση κεφάλαιο, ενώ από το σχολικό βιβλίο παράγραφο.7 σελ. 8) Βασική άσκηση 54η α) Αν η περιττή συνάρτηση ορίζεται στο R και έχει (η γραφική τη παράσταση) οριζόντια ασύµπτωτη στο + την y=λ, τότε να αποδείξετε ότι η C έχει οριζόντια ασύµπτωτη και στο τη οποία να βρείτε την εξίσωση. β) ώστε σχήµα µια τέτοια συνάρτηση. Κεφάλαιο ο ιαφορικός Λογισµός 9