Μετασχηµατισµός z Oρισµός Ο δίπλευρος µετασχηµατισµός z, X(z) µίας ψηφιακής ακολουθίας x(n) ορίζεται ως εξής:

Transcript

1 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -6- Μετασχηµατισµός 4.. Εισαγωγικά. 4.. Oρισµός Ο δίπλευρος µετασχηµατισµός, X() µίας ψηφιακής ακολουθίας x(n) ορίζεται ως εξής: n X () x(n) (4.) Η λέξη δίπλευρος έχει την έννοια ότι το κάτω όριο του αθροίσµατος είναι το -. Εάν οπως συνήθως συµβαίνει σε πραγµατικά σήµατα το όριο αυτό είναι το τότε µιλάµε για µονόπλευρο µετασηµατισµό. Στον ορισµό αυτό είναι µια µιγαδική µεταβλητή. O αντίστροφος µετασχηµατισµός δίνεται απο την σχέση: n x(n) Z [X()] X() d (4.) C πj C είναι ένας κλειστός δρόµος που περικλείει την αρχή των αξόνων του µιγαδικού επιπέδου και βρίσκεται µέσα στη περιοχή σύγκλισης (ROC παρ.4.). παράδειγµα 4. Για την ακολουθία x(n){,.8,.8,.8,...} ο µετασχ.- είναι: X() (.8 - )(.8 - ) (.8 - )... X() Περιοχή σύγκλισης (region of convergence ROC) Το σύνολο των τιµών του που ο Χ() υπάρχει ονόζεται περιοχή σύγκλισης (region of convergence - ROC) και καθορίζεται απο δύο θετικούς αριθµούς R x, R x- : R x- < <R x (4.)

2 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -7-! Η µιγαδική µεταβλητή ονοµάζεται µιγαδική συχνότητα. Σε πολική µορφή e, όπου είναι το πλάτος και ω η (πραγµατική ) συχνότητα.! Επειδή το ROC ορίζεται µε το µέτρο του,, η µορφή του ROC είναι πάντα ένας ανοιχτός η κλειστός δακτύλιος (σχήµα 4.)! Η συνάρτηση δηλ e είναι ένας κύκλος µε ακτίνα και ονοµάζεται µοναδιαίος κύκλος. Στη περίπτωση συτή ο µετασχηµατισµός, ταυτίζεται µε τον DTFT: X() e X( ω) n x(n)e I{x(n)} Για τον λόγο αυτό ο DTFT µπορεί να θεωρηθεί σαν ειδική περίπτωση του µετασχ.. Im() ROC R x Re() R x- Σχήµα 4. Το επίπεδο, και ένα γενικό ROC Παράδειγµα 4. Ο µετασχ. της u(n). Εχουµε x(n)u(n) για n< x(n) για n< n n X() x(n)... n n εάν - < ή > δηλ. το ROC είναι η περιοχή εκτός του µοναδιαίου κύκλου.! Εάν επιλέξουµε από το επίπεδο την τιµή έχουµε ότι η σειρά Χ() Χ() δηλ. συγκλίνει γιατι η τιµή ROC Οπως εύκολα φαίνεται απο τα προηγούµενα παραδείγµατα το σήµα x (n)a n u(n)

3 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -8- έχει µετασχ. : X () εάν α< < (4.4) a Η ακολουθία αυτή έχει το όνοµα ακολουθία θετικού χρόνου Aς εξετάσουµε στη συνέχεια την ακολουθία αρνητικού χρόνου που ορίζεται για αρνητικούς χρόνους (n -) ως εξής: Ο µετασχ. είναι : x (n)-b n u(-n-) n b n n n x(n) ( b ) n n n n b n b b b εάν < <b (4.5) Το συµπέρασµα απο τη µελέτη των δύο παραπάνω ακολουθιών είναι ότι ενώ για ab, οι µετασχ., είναι ίδιοι: Χ ()X (), oι αντίστοιχες ακολουθίες x (n) και x (n) είναι διαφορετικές. Αυτή η παρατήρηση δείχνει ότι το ROC είναι βασικό χαρακτηριστικό του σήµατος συστήµατος και πρέπει να "συνοδεύει" τον µετασχ.. Επίσης σηµειώνουµε ότι όπως είναι φυσικό οι ακολουθίες θετικού χρόνου είναι αυτές που βασικά µας ενδιαφέρουν.! ακολουθίες πεπερασµένου µήκους και ROC Ειναι προφανές ότι για ακολουθίες πεπρασµένου µήκους το ROC είναι ολόκληρο τo µιγαδικό επίπεδο-! πόλοι - µηδενισµοί Οι ρίζες του παρονοµαστού και οι ρίζες του αριθµητού µίας συνάρτησης Χ() oνοµάζονται αντίστοιχα πόλοι και µηδενισµοί της Χ() Ισχύει ότι το ROC δεν µπορεί να περικλείει ένα πόλο της Χ() Τέλος σηµειώνουµε ότι το ROC είναι µία συνεκτική περιοχή, δηλ δεν µπορεί να αποτελείται απο σύνολο τµηµάτων. Συνοπτικά έχουµε για τις πλέον βασικές ακολουθίες: δ(n) για καθε u(n) για > n a u(n) για > a a a n a na u(n) γι ά > a ( a ) Αξίζει επίσης να αναφερθεί ότι δ(n-) # -, δ(n-)# - κλπ. n n (4.6)

4 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός Ευρεση του αντίστροφου µετασχ. Η εύρεση του αντίστροφου µετασχ. αποτελεί βασική διεργασία διότι επιτρέπει την εύρεση της ψηφιακής χρονοσειράς x(n) από τον X(). Πριν προχωρήσουµε πρέπει να σηµειώσουµε ότι η συνάρτηση X() του µετασχ. δίνεται σαν ρητό πολυώνυµο του ή του -. Εχουµε 4 µεθόδους για την εύρεση του του x(n)z - [X()] 4.4. Ο άµεσος τρόπος βασίζεται στον υπολογισµό του αντίστροφου µετασχ. όπως ορίστηκε στην (4.) δηλ. τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος X() C πj βασει του θεωρήµατος των ολοκληρωτικών υπολοίπων του Cauchy: όπου: πj { X() } n x (n) Z X() d Σres[X() n- ] (4.7) C n d Re s[ pi και Re s[ pi n n d X()] lim (m )! pi d X()] lim[( p p i i ) m n m [[ X()] n X()] για για πόλους πόλους ης m τάξεως τάξεως (4.8) παράδειγµα 4. ίνεται H () ( )(.5) n Eχουµε: h (n) Z { H() } Re s[h() ] Εχουµε δύο πόλους, p και p.5 n n p Re s ( )(.5).5 Res ( )(.5) n p m p.5 τελικά Re s ( n n )(.5).5.5 h(n)-.5 n.5 n

5 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός Ανάπτυξη σε σειρά Στη διαδικασία αυτή γίνεται η διαίρεση των πολυωνύµων που παριστάνεται η Η() ηλ. ουσιαστικά γίνεται επαναφορά στον ορισµό (4.). Το πηλίκο της (µακρής) αυτής διαίρεσης είναι σε δυνάµεις του - και εποµένως οι συντελεστές αποτελούν τη ζητούµενη ακολουθία x(n). Ας δούµε την διαδικασία µέσα απο το επόµενο παράδειγµα 4.4. ίνεται X() #. X() [ ( ) (. ) (. )...] Αρα x(n),, -.,.44, παρατήρηση: ο όρος - στον αριθµητή καθυστερεί την χρονοσειρά κατα χρονική στιγµή. Εαν δεν υπήρχε στην X() τότε η τιµή x() και όχι. Αυτό εξάγεται εύκολα απο τον ορισµό (4.) αλλα αποτελεί και βασική ιδιότητα του µετασχ. όπως θα δούµε στη συνέχεια (παρ.4.5) Ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα Η µέθοδος αυτή αποτελεί την πιό διαδεδοµένη και βασίζεται στην µετατροπή της Χ() σε απλά κλάσµατα για καθένα απο τα οποία µπορεί να βρεθεί ο αντίστροφος µετασχ. απο πίνακα. Εάν η Χ() έχει την µορφή : X() b b b... b M o M (4.9) N a... a N η ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα υλοποιείται µε τα εξής βήµατα.! Εκφράζουµε την Χ() ως εξής ~ ~ ~ N b M N o b... b N X () C N (4.) a... a δηλ. "εξάγουµε" απο την X() το "πολυωνυµικό" πηλίκο και το υπόλοιπο.! Εκτελούµε ανάπτυξη σε µερικά κλάσµατα στο πρώτο µέρος του Χ() και λαµβάνουµε: R N N M N X () C (4.) p

6 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -4- όπου p είναι ο πόλος της Χ() και R είναι το oλοκλ. υπόλοιπο (residue) στο p. Η εύρεση των residues γίνεται οπως στην (4.8), µπορεί όµως να γίνει και µε απλό αλγεβρικό τρόπο συγκρίνοντας τις µορφές (4.) και (4.). Τελικά απο την (4.) φαίνεται ότι η αντιστροφή του πρώτου τµήµατος της Χ() γίνεται µε την αντιστροφή των πολυ απλών συναρτήσεων p R. Συνολικά έχουµε για την x(n): x(n) N M N ) (n C p Z R δ (4.) Aξίζει να σηµειώσουµε ότι η p R έχει αντίστροφο µετασχ. :. R p n u(n) εάν θεωρήσουµε ακολουθία θετικού χρόνου ή. -R p n u(-n-) εάν θεωρήσουµε ακολουθία αρνητικού χρόνου παράδειγµα 4.5 Να βρεθεί η x(n) όταν X() 4 Eχουµε Χ() 4 4 ) )( ( Οι πόλοι και / χωρίζουν το µιγαδικό επίπεδο σε δακτύλιους. Εάν υποθέσουµε ROC >>/ έχουµε x(n)/ u(n)-/ (/) n u(n). " > >/ έχουµε x(n)-/u(-n-)-/(/) n u(n). " >/> έχουµε x(n) -/u(-n-)/(/) n u(-n-) παράδειγµα 4.6 Να βρεθεί η x(n) όταν X() ) )( ( Εχουµε.5 4 B A () X Γ x(n)δ(n-)u(n-)- (.5) n u(n-) για ROC: >

7 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός Αντιστροφή από την εξίσωση διαφορών Υποθέτουµε ότι η Η() δεν αντιστοιχεί σε ένα σήµα αλλα περιγράφει ένα σύστηµα. Αυτό σηµαίνει ότι σε µία είσοδο X() αντιστοιχεί έξοδος Y()X()H(). H σχέση αυτή είναι ισοδύναµη της αντίστοιχης του DTFT (.). Απο την σχέση αυτή µπορούµε να βρούµε την εξίσωση διαφορών δηλ. την σχέση x(n) και y(n). Στο επόµενο παράδειγµα δεικνύονται τα βήµατα που πρέπει να ακολουθηθούν. παράδειγµα 4.7 Y() H () ( )( ) X() Υ()(-)(-)X() Y()[ - ]X() Y()[- - - ] - X() y(n)-y(n-)y(n-)x(n-) Eπειδή ενδιαφερόµεθα για την κρουστική απόκριση του συστήµατος h(n)z - [H()] θέτουµε x(n)δ(n) oπότε y(n)h(n) δηλ. η ζητούµενη ακολουθία: h(n) h(n-)h(n-)δ(n-) h() h() h() h()/ h(4)/h()-/ h().75...! Ολοκληρώνοντας τις µεθόδους ευρέσεως του αντιστρόφου µετασχ. θα δούµε στο επόµενο παράδειγµα την περίπτωση όπου η Η() έχει πόλο µε πολλαπλότητα παράδειγµα 4.8 () µε ROC: >.9 (.9 ) (.9 ) X Xρησιµοποιώντας τις σχέσεις (4.7) λαµβάνουµε : X () ( (.9 ).9 )

8 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -4- h(n).5.9 n u(n)5/9 (n).9 n u(n).5 (-.9) n u(n) Aξίζει να εξηγηθεί ο β' όρος της τελευταίας σχέσεως Η() που δίνει τον αντίστοιχο β' όρο της h(n). Ο όρος προκαλεί µία αρνητική καθυστέριση κατα δείγµα, οπως φαίνεται στον όρο n 4.5 Ιδιότητες του µετασχ.! γραµµικότητα! καθυστέρηση στο χρόνο x(n-m) -m X() (4.) Σαν παράδειγµα µπορούµε να υπολογίσουµε την Ζ{δ(n)}και Ζ{δ(n-)} για την δ(n) έχουµε Χ() δ (n) n n o ενώ για τη δ(n-) έχουµε Χ () δ (n ) n! Αντιστροφή στο χρόνο x(-n) X( - ) (4.4)! ιαφόριση στο πεδίο nx(n)! Συνέλιξη n dx() (4.5) d H συνέλιξη δύο σηµάτων στο πεδίο του χρόνου έχει µετασχ. που υπολογίζεται απο το απλό γινόµενο των αντίστοιχων µετασχηµατισµών. Η ιδιότητα αυτή που είναι αντίστοιχη της (.9) του DTFT είναι πολύ σηµαντική και ουσιαστικά σε αυτήν οφείλεται η περιγραφή των συστηµάτων µε τον µετασχ.. x (n) x (n) X () X () (4.6) παράδειγµα 4.9 εάν x(n) [ ] και h(n) [ -...] τότε y(n)x(n) h(n) [ ] Με την ιδιοτητα συνέλιξης του µετασχ. έχουµε : X() H() Y() X() H() ( )( ) y(n)[ ] δηλ όπως και προηγουµένως.

9 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -44-! Μετασχηµατισµός του επιπέδου-s στο επίπεδο To επίπεδο s είναι χαρακτηριστικό στην περιγραφή των συστηµάτων συνεχούς χρόνου. Αντίστοιχα το επίπεδο χρησιµοποιείται βασικά στα ψηφιακά συστήµατα. Θα δούµε πως απεικονίζεται το επίπεδο s στο επίπεδο, δηλ. την σχέση των δύο µετασχηµατισµών. Ενα ψηφιακό σήµα x(n) x() δ (n ) έχει µετασχ., n X () x(n) (4.7) n Aντίστοιχα το σήµα x(n) παριστάνεται σαν σήµα συνεχούς χρόνου ως εξής: x s (t) x(nt) δ (t nt) και έχει µετασχηµατισµό Laplace: X s (s) nts x (nt)e (4.8) Συγκρίνωντας τις (4.6) και (4.7) συµπεραίνουµε ότι: e Ts (4.9) επειδή sd e Td και ωτ Από την (4.9) έχουµε ότι! εάν d δηλ. ο άξονας του επιπέδου s απεικονίζεται στο µοναδιαίο κύκλο του επιπέδου.! εάν d< < δηλ. το αριστερό ηµιεπίπεδο του επιπεδου s απεικονίζεται στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου του επιπέδου. Η παραπάνω απεικόνηση δεικνύεται στο σχήµα 4. επίπεδο-s Im() επίπεδο- d Re() µοναδιαίος κύκλος Σχήµα 4. Aπεικόνιση του επιπέδου-s στο επίπεδο -

10 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός Περιγραφή συστήµατος στο επίπεδο O µετασχ.- ενδείκνυται και έχει καθιερωθεί για την µελέτη των ψηφιακών συστηµάτων. Οπως και στη περίπτωση του DTFT έτσι και µε τον µετασχ.- ορίζουµε την συνάρτηση συστήµατος H() ως εξής: H () Z{h(n)} h(n) Aπο την ιδιότητα της συνέλιξης (4.6) η απόκριση Y() του συστήµατος αυτού σε σήµα εισόδου X() θα είναι : Y()H()X() (4.) H συνάρτηση συστηµατος Η() όπως και η συνάρτηση µεταφοράς Η(ω) (.) δηλ. ο DTFT, υπολογίζεται και απο την εξίσωση διαφορών µε χρηση των σχετικών ιδιοτήτων του µετασχ.-. n Ετσι από την εξίσωση y(n) a y(n ) b x(n m) N M m m πέρνωντας τον µετασχ. µπορεί εύκολα να υπολογισθεί η H() και απο αυτή N Y() a Y() M b m M b m a m X() m m Y() m H () (4.) N X() Εάν µετατρέψουµε σε γινόµενο παραγόντων τον αριθµητή και παρανοµαστή λαµβάνουµε M ( ( m) Y() NM m H () b (4.) N X() ) Η τελευταία αυτή σχέση περιγράφει τη συνάρτηση συστήµατος µεσα απο τους πόλους και τους µηδενισµούς της. Η απλή αυτή περιγραφή οπως θα δουµε παρακάτω είναι πολύ χρήσιµη στη µελέτη των ψηφιακών συστηµάτων. παράδειγµα 4. Οι κατωτέρω συναρτήσεις συστηµάτων (.)( ) 5 X () και X () ( )( ) (.5 j.7)(.5 j.7)(.8) παριστάνονται στο παρακάτω σχήµα απο τους πόλους και τους µηδενισµούς των.

11 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -46- µοναδιαίος κύκλος 7 Σχήµα 4.. ιάγραµµα πόλων και µηδενισµών για την Χ () αριστερα και X () δεξιά. Οιµηδενισµοί παριστάνονται µε "ο" και οι πόλοι µε " " Υπολογισµός της συνάρτησης µεταφοράς Η(ω) Εάν το ROC του Η() περιλαµβάνει τον µοναδιαίο κύκλο (e ) τότε ο υπολογισµός του H() επάνω στον µοναδιαίο κύκλο είναι η συνάρτηση µεταφοράς Η(ω) που υπολογίσαµε και στο προηγούµενο κεφάλαιο µε τον DTFT. ηλ.! Γεωµετρικός υπολογισµός της Η(ω) X( ω) X() (4.) Εάν επι πλέον χρησιµοποιήσουµε την σχέση (4.) θά έχουµε M e (e m) j(nm) ω H( ) boe (4.4) N (e p ) Η σχέση αυτή µπορεί να υλοποιηθεί γεωµετρικά πάνω στο επίπεδο ως εξής: κάθε όρος (e - m ) παριστάνει ένα διάνυσµα µε αρχή τον µηδενισµό m και τέλος το σηµείο e του µοναδιαίου κύκλου. Το ίδιο και για τους πόλους. Εποµένως εάν θέλουµε να υπολογίσουµε το µέτρο της H(ω) για κάποια τιµή του ω αρκεί να υπολογίσουµε το πηλίκο των µέτρων των αντίστοιχων διανυσµάτων: e... e M H( ω ) bo (4.5) e p... e p Αντίστοιχοι υπολογισµοί µπορούν να γίνουν και για την φάση. Παράδειγµα 4. ίνεται η H().8 e.8 H( ω ). j.8 e.8 ω N

12 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -47- e ωπ ω ω Σχήµα 4.4 Η απόκριση µέτρου Η(ω ) είναι ο λόγος των µέτρων και η απόκριση φάσεως η διαφορά των φάσεων των δύο διανυσµάτων. Σχηµατίζουµε το διάγραµµα πόλων και µηδενισµών (σχήµα 4.4) Απο το παραπάνω διάγραµµα µπορεί κανείς να δεί ότι για ω ο λόγος των µέτρων των δύο διανυσµάτων γίνεται ελάχιστος ενώ για ωπ γίνεται µέγιστος.! Συνήθως ο υπολογισµός Η(ω) γίνεται µε χρήση της (4.) Παράδειγµα 4. ίνεται η H( ω) j e H() Ζητείται η Η(ω) για ωπ/4 (f s /8).77 ω e συνω jηµω συν45 jηµ συνω jηµω.77 συν45 jηµ j.77 o j67.5.6e.77 j.77.77! Χρησιµοποιώντας την ιδιότητα της αντιστροφής συχνότητας (.*) µπορεί να διευκολυνθεί πολύ ο υπολογισµός του µέτρου της απόκρισης συχνότητας ως εξής: X( ω) Χ(e ) Χ(e * ) Χ (e ) Χ(e ) Χ (e ) X()X( ) e Παράδειγµα 4. Να υπολογισθεί η απόκριση συχνότητας (DTFT) για Η().9.8 Υπολογίζουµε: H()H( )

13 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -48- H(e (.8 ) ( ) (e e j e e ω j ).69(e.8 ).466 συνω.8( συνω).58συνω Ευστάθεια και επίπεδο Οπως είναι γνωστό η ευστάθεια γραµµικών συστηµάτων στο πεδίο του χρόνου ω e εκφράζεται µέσα από την κρουστική απόκριση h(n) ως h () <. Η σχέση αυτή εξασφαλίζει την υπαρξη του DTFT ή αν το δούµε µεσα απο τον µετασχ., το ROC περιλαµβάνει τον µοναδιαίο κύκλο. Για αιτιατά γραµµικά συστήµατα (που ισχύει h(n) για n< ) στο επίπεδο η ευστάθεια ελέγχεται µέσω των πόλων της Η() και του θεωρήµατος των αιτιατών γραµµικών συστηµάτων που λέει ότι ένα σύστηµα είναι ευσταθές όταν οι πολοι του ευρίσκονται µέσα στον µοναδιαίο κύκλο. Παράδειγµα 4.4 Y() ίνεται η H() X() a Σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα το σύστηµα είναι ευσταθές εάν α<. Ας δούµε σαν επαλήθευση την h(n)z - {H()} επειδή () # h(n)z - { a a H } a n- u(n-) a ηλαδή : h(n)[ a a a...] Eιναι προφανές ότι για ευστάθεια πρέπει a<! Για ας τάξεως συστήµατα εκφράζοντας τους πόλους ως p re jθ έχουµε H()... ( )( ) r cosθ r Εποµένως εάν δεν δίνονται οι πόλοι αλλα µόνο η παραπάνω µορφή εύκολα συµπεραίνουµε απο την τιµή r την ευστάθεια r< Tα αιτιατα συστήµατα σήµατα είναι αυτά που περιγράφονται απο ακολουθίες θετικού χρόνου. Οπως είδαµε το ROC αυτών είναι >R x-.

14 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός Λύσεις εξισώσεων διαφορών µε µη µηδενικές αρχικές συνθήκες Οι αρχικές συνθήκες έχουν νόηµα σε αιτιατά σήµατα-συστήµατα που λαµβάνουν τιµές για θετικές τιµές του χρόνου Ορισµός Στην περίπτωση αυτή ενδιαφερόµεθα για λύσεις που ο χρόνος n και εποµένως ο µετασχ.- υπολογίζεται για το διάστηµα n : X () x(n) n Z[x(n)u(n)] (4.6) O X () είναι ο µονόπλευρος µετασχηµατισµός του x(n) ή o (δίπλευρος) µετασχ.- του x(n)u(n) Ιδιότητα µετατόπισης Η ιδιότητα µετατόπισης που ειναι βασική στην διαδικασία ενσωµάτωσης των αρχικών συνθηκών, στην περίπτωση αυτή "µετασχηµατίζεται" ως εξής: Eάν Χ () είναι ο µονόπλευρος µετασχ.- του x(n) τότε το x(n-) έχει τον εξής (µονόπλευρο) µετασχ.- : Z [x(n )] Z[x(n )u(n)] x(n ) n n n m x(m) m (m ) x (m) m (m ) x(m) m m x (m) m (m ) x(m) m m x (m) m (m ) X () x( ) x( )...x( ) X () (4.7) H τελευταία αυτή σχέση δηλώνει ότι εκτός απο την καθυστέριση των σηµείων θα πρέπει να προστεθούν και όροι για να εκφράσουν τις αρχικές συνθήκες. Εποµένως η σχέση αυτή θα χρησιµοποιηθεί αντί της (4.) στην διαδικασία επίλυσης εξισώσεων διαφορών οπου οι αρχικές συνθήκες είναι µή µηδενικές. Παράδειγµα 4.5 ίνεται η εξ.διαφορών: y(n)-/y(n-)/y(n-)x(n) n n το σήµα εισόδου είναι x(n) u(n) 4 και οι αρχικές συνθήκες είναι: y(-)4 και y(-)

15 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -5- Εφαρµόζωντας τον (µονόπλευρο) µετασχ.- έχουµε: Y() Y() ( [ Y() y( ) ] [ Y() y( ) y( ) ] 9 4 )( )( 4 n 4 ) y(n) () u(n) u(n ) () u(n ) 4 n Η παραπάνω λύση της εξ.διαφορών µπορεί να χωρισθεί σε δύο τµήµατα. y n n (n) () u(n ) και (n) ( ) u(n) u(n) 4 y η y (n) είναι η µερική λύση και η y (n) η λύση της οµογενούς.! Οταν υπάρχουν αρχικές συνθήκες στο σύστηµα τότε η κρουστική απόκριση του συστήµατος δεν δείχνει µόνο τις "ιδιοσυχνότητες" του συστήµατος αλλα και αποκρίσεις που οφείλονται στις αρχικές συνθήκες. Ειναι µάλιστα δυνατόν να αλληλοαναιρούνται αυτές οι δύο αποκρίσεις και να µην είναι εµφανείς οι ιδιοσυχνότητες του συστήµατος.! Αξιζει να σηµειωθεί ότι ο µετασχ.- δίνει την πλήρη λυση σε κλειστή µορφή Αποσυνέλιξη Ειδαµε ότι µε τη συνέλιξη βρίσκοµε την έξοδο y(n) ενός συστήµατος h(n) όταν το σήµα εισόδου είναι x(n). y(n)h (n) x(n) Υπάρχουν οµως περιπτώσεις που είναι γνωστό το y(n) και θέλουµε να πάρουµε το σήµα x(n). H διαδιακασία αυτή λέγεται αποσυνέλιξη ή αντίστροφο φιλτράρισµα και εκφράζεται ως εξης: y inv (n)h (n) x(n) h inv (n) x(n) (4.8) ηλαδή: h (n) h inv (n) (4.9) Ή στο µετασχ.- H()H inv () (4.) H h inv (n) είναι η κρουστική απόκριση του αντίστροφου φίλτρου Η inv () Σχηµατικά η διαδικασία της αποσυνέλιξης παριστάνεται στο επόµενο σχήµα 4.5 ύο τυπικές εφαρµογές της αποσυνέλιξης είναι εξισωτής καναλιού σε ψηφιακή φωνή και εξισωτής σε συστήµατα ακουστικής δωµατίου.

16 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -5- x(n) y(n) Αντίστροφο x(n) H() φίλτρο H inv () H()H inv () Σχήµα 4.5 Με το αντίστροφο φίλτρο παίρνουµε το αρχικό σήµα N() Εάν το σύστηµα που περιγράφει η Η() είναι ευσταθές και αιτιατό τότε D() ολοι οι πολοι βρίσκονται µέσα στον µοναδιαίο κύκλο. Από την (4.) όµως συνεπάγεται ότι Η inv () H() D() (4.) N() και επειδή οι µηδενισµοί του N() µπορεί να βρίσκονται οπουδήποτε στο επίπεδο είναι δυνατόν η H inv () να έχει πόλους εκτός του µοναδιαίου κύκλου και εποµένως να είναι ασταθής. Στη περίπτωση αυτή πρέπει να απορρίψουµε την αιτιατότητα και να θεωρήσουµε ως αντίστροφο µετασχ.- την ακολουθεία αρνητικού χρόνου. παράδειγµα 4.6 H () n h(n).5δ(n).5(.5) u(n) (4.) Το σύστηµα αυτό είναι προφανώς ευσταθές (και αιτιατό) Για την Η inv () έχουµε: H h inv () n (n).4δ (n).6(.5) u(n) (4.) inv που είναι βέβαια ασταθές (αιτιατό). Για νά εχουµε ευστάθεια θα πρέπει να θεωρήσουµε την ακολουθεία αρνητικού χρόνου σαν αντιστροφο µετασχ.- της H inv () και εποµένως ~ h n inv (n).4δ (n).6(.5) u( n ) (4.4)

17 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός Συστήµατα ης και ας τάξεως Εχοντας µελετήσει τον µετασχ- και ιδιαιτέρως την παράσταση του µέσω των πόλων και των µηδενισµών στο επίπεδο, θα δούµε την µορφή την κρουστική απόκριση και την αποκριση συχνότητας συστηµάτων πρώτης και δευτέρας τάξεως. Θα έχουµε µια πρώτη προσέγγιση της κατηγοριοποίησης των συστηµάτων σε φίλτρα βαθυπερατά υψιπερατά και ζωνοδιαβατά. Τα συστήµατα αυτά αποτελούν την βάση συστηµάτων υψηλής τάξεως που αποτελούνται απο διαδοχική ή παράλληλη σύνδεση τών συστηµάτων αυτών Σύστηµα ης τάξεως Η συνάρτηση του είναι H() p (4.5) και βέβαια ο πόλος p και µηδενισµός είναι πραγµατικoί αριθµοί. Η απόκριση συχνότητας αυτού του συστήµατος εξαρτάται βασικά από την θέση του πόλου πανω στο επίπεδο και ιδιαιτέρως από την απόστασή του απο τον µοναδιαίο κύκλο. Η επίδραση του µηδενισµού στην απόκριση συχνότητας δεν είναι τόσο σηµαντική και γιαυτο θα επικεντρωθούµε στη µελέτη της συνάρτησης H() (4.6) a Αυτή έχει ένα πολο στο a και ένα µηδενισµό στο. Ο µηδενισµός αυτός δεν συµµετέχει στη απόκριση ουσιαστικα αλλα επιδρά στην κρουστική απόκριση που αρχίζει στο σηµείο n.! Εάν ο πόλος α είναι θετικός (και βέβαια < για ευστάθεια) το σύστηµα θα έχει µέγιστο στο ω και µία συνεχή πτώση µέχρι ωπ. ηλ. είναι ένα βαθυπερατό φίλτρο. Η απόκριση συχνότητας είναι: e H( ω ) H() (4.7) e e a και έχει βέβαια µέγιστο e (4.8) e a a G και ελάχιστο G e e jπ jπ a a (4.9) Ειναι προφανές ότι µετακίνηση του πόλου προς το µοναδιαίο κύκλο επιφέρει :

18 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -5- αύξηση του µεγίστου, ελάττωση του εύρους ζώνης και ελάττωση του ρυθµού εξασθένησης της κρουστικής απόκρισης.! Εάν ο πόλος a είναι αρνητικός τότε το µέγιστο θα είναι στο ωπ και το ελάχιστο στο ω. ηλ. είναι ένα ηψιπερατό φίλτρο. Η απόκριση αυτή εάν πρόκειται για το ίδιο a του βαθυπερατού φίλτρου, είναι συµµετρική µε την προηγούµενη. Οσον αφορά την κρουστική απόκριση κάθε περιττο δείγµα έχει αρνητικό πρόσηµο. Ολα τα παραπάνω δεικνύονται και για τις δυο περιπτώσεις στο σχήµα 4.5 επίπεδο a a H(ω) H(ω) G G G ω π G ω π h(n) h(n) Σχήµα 4.6 Στην αριστερή στήλη το βαθυπερατό φίλτρο και στη δεξια το υψιπερατό

19 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός Σύστηµα ας τάξεως Τα συστήµατα ας τάξεως αντιστοιχούν στην συνάρτηση H() b b b o (4.4) a a όπου οι πόλοι είναι (συζυγείς) µιγαδικοί. Εάν εκφράσουµε τους πόλους σε πολική µορφή re jθ η H() παίρνει την µορφή: b b b b b b H() ( re )( re ) rcosθ r Εάν αγνοήσουµε προς το παρόν τους µηδενισµούς και θεωρήσουµε µόνο µηδενισµούς στο θα έχουµε την µορφή: o o (4.4) jθ jθ H() (4.4) rcosθ r Απο την µορφή αυτή εύκολα µπορούµε να εξάγουµε συµπεράσµατα για την συµπεριφορά του συστήµατος σχετικά µε την απόσταση r του πόλου από τον µοναδιαίο κύκλο και την γωνία θ. Συνοπτικά µπορούµε να πούµε ότι όσο το r η απόκριση γίνεται οξεία και το εύρος ζώνης ελαττώνεται. Επίσης η κρουστική απόκριση έχει µικρότερο ρυθµό εξασθένησης. Οταν r έχουµε σύστηµα ταλαντωτή. Η γωνία θ αφετέρου προσδιορίζει τη ζώνη συχνοτήτων που ενισχύεται. Ετσι άν θ έχουµε βαθυπερατό φίλτρο ενώ άν είναι θπ υψιπερατό. Σε ενδιάµεσα θ τα συστήµατα παρουσιάζουν ζωνοδιαβατή συµπεριφορά. Πιό ακριβή εικόνα λαµβάνουµε αν υπολογίσουµε την απόκριση συχνότητας Η(ω) της (4.4). Εχουµε H ( rcosθe ω ) j ω H( ω) r e [( rcosθcosω r cos ω) (rcosθsinω r sinθ) ] Στό σχήµα 4.7 δεικνύονται τρείς περιπτώσεις της απόκρισης για διαφορετικές τιµές του θ και r. Στην η περίπτωση όπου το r.99 η απόκριση έχει πολύ µεγάλη τιµή συγκριτικά µε τις άλλες δύο περιπτώσεις.

20 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -55- Σχήµα 4.7 Αποκρίσεις για διαφορετικές τιµές του r και του θ. Παράδειγµα 4.7 (πόλοι πάνω στο µοναδιαίο κύκλο) ίνεται η εξ.διαφορών: y(n)y(n-)-y(n-)(x(n)x(n-) ( e ( ) )( e H () jπ / jπ / ) e e jπ h(n) e jπ / jπ / / jπ e / n jπ / e jπ / e j u(n) e jπ / n π 4 cos (n ) u(n) Οπως φάινεται η συχνότητα είναι ωπ/ / e π u(n) Παράδειγµα 4.8 (πόλοι µέσα στο µοναδιαίο κύκλο) Για το σύστηµα µε εξ.διαφορών y(n)/y(n-)-/4y(n-)x(n) έχουµε: H () 4

21 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -56- h(n) e jπ / 6 jπ / 6 jπ / jπ / e e n e π π cos n u(n) Ζωνοδιαβατά φίλτρα ας τάξεως Πολλά από τα προηγούµενα συστήµατα ας τάξεως που παρουσιάσαµε εχουν χαρακτήρα ζωνοδιαβατού φίλτρου διότι ενισχύουν µεσαίες συχνότητες. Πιό χαρακτηριστική περίπτωση ζωνοδιαβατών φίλτρων είναι αυτά που εκτός από πόλους πλησίον του µοναδιαίου κύκλου έχουν και µηδενισµούς στο ω και ωπ ή ισοδύναµα στο και -. παράδειγµα 4.9 H().9.8 cos ω H( ω) cosω.6 cos ω Aπο την µορφή του H() µπορούµε να βρούµε τους πόλους: r.8.9 και rcosθ.9 cosθ/ θπ/ (και π/) H m H m ω ω ο Σχήµα 4.8 Γραφική παράσταση της απόκρισης συχνότητας του ζωνοδιαβατού φίλτρου του παραδείγµατος 4.7. ιακρίνεται η κεντρική συχνότητα ω ο και το εύρος ζώνης ω. Επίσης οι µηδενισµοί στο ω και ωπ

22 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός Σχεδιασµός ενός ταλαντωτού Στο σχήµα 4.9 παριστάνονται οι δύο συζυγείς πόλοι ενός συστήµατος p ± ο Re όπου το R. Yποθέτουµε ότι το σύστηµα αυτό έχει συνάρτηση µεταφοράς : G G H() ο ο ( Re )( Re ) R cosω R (4.4) Επειδή έχει µόνο πόλους εύκολα συµπεραίνουµε ότι έχει µέγιστο για ωω ο, δηλ. είναι ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο. Η απόκριση του µέτρου του θα εχει την µορφή του σχ.4.8. ο p Re ο R Α ω ο -ω ο P Q ω Β Ο Σχήµα 4.9 εξιά φαίνεται σε µεγένθυση το α τεταρτηµόριο του επιπ.-. Οταν το βρίσκεται στο Q τότε η Η(ω) Η(ω ο ) µέγιστο. Οταν µετακινείται δεξιά ή αριστερά εξασθενεί. Στο Α και στο Β η εξασθένηση είναι db. To ω είναι το εύρος ζώνης του ζωνοδιαβατού φίλτρου. Οταν ωω ο η απόκριση έχει µέγιστο. Οταν µετακινείται στο Α υποθέτουµε ότι έχει εξασθένηση db. Εποµένως G H( ω Α) και OA OP OA OP * G H( ω ) όπου µε * δηλώνεται ο συζυγής πόλος. OQ OP OQ OP * Q Εχουµε ω Α H( Η( ω Q ) ) OQ OP OA OP PQ PA Απο την τελευταία σχέση συνεπάγεται ότι άν το PQA είναι ορθογώνιο τρίγωνο θα είναι και ισοσκελές δηλ. ΑQPQ. Αρα ωµήκος τόξου ΑΒΑQPQ(-OP)(-R) Συµπέρασµα ω(-r) (4.44) H σχέση αυτή είναι πολύ σηµαντική διότι µετατρέπει τις προδιαγραφές (ω ο, ω) σε (ω ο, R). Εποµένως µπορούµε να σχεδιάσουµε την συνάρτηση Η() (4.4).

23 Σ. Φωτόπουλος ΨEΣ ΚΕΦ 4 ο Μετασχηµατισµός -58- Επισηµαίνουµε όµως ότι η σχέση αυτή ισχύει µε την πρϋπόθεση ότι το σχήµα ΑPQ είναι ορθογώνιο τρίγωνο, συνθήκη που ισχύει για R δηλ. για πολύ υψηλά Q (ταλαντωτές). Παράδειγµα 4. Θα σχεδιασθεί ένας ταλαντωτής ( πόλων) µε µέγιστο σε συχνότητα f o 5H, εύρος ζώνης f H και συχνότητα δειγµατοληψίας f s H. α) Υπολογίζουµε τις κανονικοποιηµένες τιµές: ω ο πf o /f s.π rad ωπ f/f s.64 π. β) Εχουµε (-R). R.99 Απο αυτά βρίσκουµε τις παραµέτρους του ταλαντωτή(4.4): α -Rcosω ο - x.99 x cos.π -.88 α R.98 G Αρα H() (4.45) Σχήµα 4. Απόκριση µέτρου της συνάρτησης (4.45)