MATEMATICĂ. Manual pentru clasa a XII-a. Trunchi comun + curriculum diferenţiat

Transcript

1

2 Marius Burtea Georgeta Burtea MATEMATICĂ Maual petru clasa a XII-a M Truchi comu + curriculum difereţiat

3 Maualul a fost aprobat pri Ordiul miistrului Educaţiei, Cercetării şi Tieretului r. 6/ di î urma evaluării calitative şi este realizat î coformitate cu programa aalitică aprobată pri Ordi al miistrului Educaţiei şi Cercetării r di..6 Copertă: Giorgia Gîguţ Descrierea CIP a Bibliotecii Naţioale a Româiei BURTEA, MARIUS Matematică M : truchi comu şi curriculum difereţiat : clasa a XII-a / Marius Burtea, Georgeta Burtea. Piteşti: Carmiis Educaţioal, 7 7 p.; il.;,5 cm ISBN I. Burtea, Georgeta 5(75.5) Toate drepturile aparţi Editurii CARMINIS Refereţi: Prof. Uiv. Dr. Radovici Mărculescu Paul, Uiversitatea di Piteşti Prof. Gr. I Georgică Marieci, Colegiul Naţioal I. C. Brătiau, Piteşti Redactor: Carme Joldescu Tehoredactori: Alia Pieptea, Marius Hîrzoiu Corectură: Marius Burtea, Georgeta Burtea Tehoredactare computerizată: Editura CARMINIS Tiparul eecutat la S.C. TIPARG S.A. PITEŞTI Comezile se primesc la tel./fa: 85, 8567 sau pe adresa: Editura CARMINIS str. Eerciţiu, bl. D, sc. B, ap., cod, Piteşti, jud. Argeş editura_carmiis@yahoo.com ISBN

4 PREFAÞÃ Maualul are la bazã PROGRAMA ºi se adreseazã elevilor de liceu di clasa a XII-a de la urmãtoarele filiere, profiluri ºi specializãri: filiera teoreticã, profilul real, specializarea ºtiiþe ale aturii: ore/sãptãmâã (TC) + orã/sãptãmâã (CD); filiera tehologicã, toate calificãrile profesioale: ore/sãptãmâã (TC). Acesta este coceput avâd î vedere oul curriculum ºcolar elaborat petru clasa a XII-a, vizâd formarea de competeþe, valori ºi aptitudii î actul îvãþãrii, elemete care sã dea posibilitatea elevilor sã perceapã mai uºor dimesiuile realitãþii îcojurãtoare ºi sã aplice metodele matematice î situaþii cât mai diverse. Maualul este format î eseþã di douã pãrþi disticte care cotiuã î mod coeret matematica studiatã î clasa a XI-a. Partea I, ititulatã ELEMENTE DE ALGEBRÃ, dezvoltã urmãtoarele capitole: Grupuri, Iele ºi corpuri, Iele de polioame. Partea a II-a, ititulatã ELEMENTE DE ANALIZÃ MATEMATICÃ, dezvoltã urmãtoarele capitole: Primitive (atiderivate), Itegrala defiitã, Aplicaþii ale itegralei defiite. Partea teoreticã a maualului este redatã îtr-o maierã directã, cocisã, defiid oile cocepte matematice ºi apoi aplicâd aceste cocepte î eerciþii ºi probleme corespuzãtoare. Câd este cazul, partea teoreticã este itrodusã îtr-o maierã problematizatã porid de la situaþii-problemã a cãror rezolvare legitimeazã itroducerea ºi dezvoltarea diferitelor oþiui ºi metode de lucru. Partea aplicativã a maualului este alcãtuitã di: Eerciþii ºi probleme rezolvate. Acestea apar cu regularitate î fiecare paragraf, dupã itroducerea uor oþiui teoretice. Ele oferã modele de aplicare ºi folosire a elemetelor teoretice î eerciþii ºi probleme oi. Teste de evaluare, care apar la sfârºit de capitol. Seturi de eerciþii ºi probleme structurate î douã categorii: a) Eersare. Î aceastã categorie eerciþiile sut umerotate cu simbolul E, iar parcurgerea lor asigurã îsuºirea ºi folosirea oþiuilor fudametale îvãþate îtr-o lecþie sau î grupuri de lecþii.

5 b) Aprofudare. Î acest grup de eerciþii ºi probleme, otate cu simbolul A, se îtâlesc probleme a cãror rezolvare presupue aplicarea oilor oþiui î cotete variate ºi realizarea uor coeiui itra- ºi etradiscipliare. Teme, destiate aplicãrii imediate a uor algoritmi de lucru folosiþi î modelele de eerciþii rezolvate. Teme de studiu ºi Teme de proiect, care au drept scop aprofudarea uor oþiui sau aplicarea acestora î situaþii oi. De asemeea, acestea pot costitui subiectul uor referate tematice care sã completeze portofoliul elevului. Teme de sitezã destiate recapitulãrii ºi sistematizãrii cuoºtiþelor, î vederea susþierii eameului de bacalaureat. Ca auiliare î îþelegerea, îvãþarea ºi aplicarea uor oþiui sut casetele î care se prezitã formule de calcul îtâlite î aii precedeþi, rubricã ititulatã Ne reamitim. Maualul se îcheie cu u paragraf de INDICAÞII ªI RÃSPUNSURI elaborate petru u umãr semificativ de eerciþii ºi probleme. Autorii

6 ELEMENTE DE ALGEBRĂ I. GRUPURI Algebr I. Grupuri Legi de compoziţie pe o mulţime.. Defiiþii ºi eemple Di studiul diferitelor operaþii îtâlite pâã acum (aduarea ºi îmulþirea umerelor, compuerea fucþiilor, aduarea ºi îmulþirea matricelor etc.) se pot despride cocluziile: eistã o mare diversitate atât î ceea ce priveºte atura mulþimilor pe care sut defiite aceste operaþii (umere, fucþii, matrice, vectori, ºiruri, perechi ordoate...), cât ºi î ceea ce priveºte regulile specifice dupã care se opereazã cu elemetele acestor mulþimi; operaþiile algebrice îtâlite au o serie de proprietãþi comue, idiferet de atura elemetelor asupra cãrora opereazã (comutativitate, asociativitate etc.). Reþiâd aspectele eseþiale ale operaþiilor, î acest capitol se va face o prezetare a acestora îtr-o formã geeralã pri itermediul coceptului de lege de compoziþie, cocept care dã posibilitatea folosirii metodei aiomatice î algebrã. v DEFINIÞII Fie M o mulþime evidã. O aplicaþie ϕ :M M M, (, y) ϕ (, y) se umeºte lege de compoziþie (operaþie algebricã) pe mulþimea M. ϕ, y M, care corespude pri aplicaþia ϕ perechii Elemetul ordoate (, y) M M se umeºte compusul lui cu y pri legea de compoziþie ϕ. Eemple de legi de compoziþie Operaþia de aduare + ºi operaþia de îmulþire pe mulþimile de umere N, Z, Q, R, C. + : N N N, (, y) + y, : N N N, (, y) y, + : Z Z Z, (, y) + y, : Z Z Z, (, y) y, etc. 5

7 Algebr I. Grupuri Operaþia de aduare + pe mulþimea V a vectorilor di pla: + : V V V, a, b a + b. Operaþiile de reuiue, itersecþie, difereþã \, difereþã simetricã, pe mulþimea P ( M) a pãrþilor (submulþimilor) uei mulþimi M: : P ( M) P ( M) P ( M ), ( A, B) A B, : P ( M) P ( M) P ( M ), ( A, B) A B, etc. Operaþia de compuere : F M F M F M, f, g f g. a fucþiilor pe mulþimea F = { } M f f :M M : Legile de compoziþie sut date î diferite otaþii: ϕ, y = + y; elemetul + y M se Î otaþie aditivã se scrie umeºte suma lui cu y, iar operaþia ϕ se umeºte aduare. ϕ, y = y; elemetul y M Î otaþie multiplicativã se scrie se umeºte produsul lui cu y, iar operaþia ϕ se umeºte îmulþire. Deseori, dacã ϕ : M M M este o lege de compoziþie (operaþie algebricã) pe mulþimea M, î loc de otaþia ϕ (, y) se folosesc otaþiile: ϕ y, y, y, T y, y etc. Problemã rezolvatã Pe mulþimea R se defieºte operaþia algebricã T, astfel: T: R R R,, y T y = y y. a) Sã se calculeze: T, T ( ) ( ) T ( ) 5, 6 8. b) Petru care elemete R, avem T = 8? c) Sã se rezolve ecuaþia T ( + ) =. Soluþie T = = ; 5 T = 5 5 = 7, iar a) ( 6) T ( 8) = ( 6) ( 8) ( 6) ( 8) = 6. b) Avem: T = =. Di egalitatea = 8 se obþie =. T + = + + =. Rezultã ecuaþia c) Avem: =, =. Aºadar: = cu soluþiile.. Aduarea ºi îmulþirea modulo T = ºi T =. * Fie N u umãr atural ºi a Z. Di teorema împãrþirii cu rest a umerelor îtregi rezultã cã eistã ºi sut uice umerele q Z r,,,, cu proprietatea cã a = q + r. ºi { } 6

8 Algebr I. Grupuri Numãrul atural r care reprezitã restul împãrþirii lui a la, se oteazã a mod (se citeºte a modulo ) ºi se umeºte redusul modulo al umãrului a. Aºadar, r = a mod. Astfel, dacã = 6, atuci: 5 mod6, 5 mod6 5, mod6 =. = = Pe mulþimea Z defiim urmãtoarele legi de compoziþie: : Z Z Z, a b = a+ b mod, umitã aduarea modulo. a) a b se umeºte suma modulo a lui a cu b. : Z Z Z, a b = ab mod, umitã îmulþirea modulo. b) a b se umeºte produsul modulo al lui a cu b. Astfel, petru = 8, avem: TEMĂ 6 = 6 + mod8 = 6 mod8 = ; Petru = 6 calculaþi: 5, 5, 6 9, 9, ( ), ( 5) 5, 5 = 5mod8 = mod8 = , 7 = ( 7+ ) mod8 = 9mod8 = ; = ( ) mod8 = mod8 = ;.. Aduarea ºi îmulþirea claselor de resturi modulo Fie * N u umãr atural fiat. Petru a Z otãm a = { a + k k Z } ºi r = a mod restul împãrþirii lui a la. Di teorema împãrþirii cu rest, eistã q Z astfel îcât a = q + r. Atuci, a = { a + k k Z} = { r + q + k k Z} = { r + h h Z} = r. Aºadar, î determiarea mulþimii a este eseþial sã cuoaºtem restul împãrþirii lui a la. Mulþimea a se umeºte clasa de resturi modulo a lui a. Deoarece resturile obþiute la împãrþirea cu a umerelor îtregi pot fi,,,...,, rezultã cã eistã umai clase de resturi modulo disticte douã câte douã ºi acestea pot fi cosiderate,,,,. Mulþimea claselor de resturi modulo se oteazã cu { } scrie Z =,,,,. ( 7) ( 9 ), ( 9), ( ) 7 8. Z ºi putem Pe mulþimea Z se defiesc urmãtoarele legi de compoziþie: a) + : Z Z Z, a + b = a b, umitã aduarea claselor de resturi modulo, iar a + b se umeºte suma claselor a ºi b. 7

9 Algebr I. Grupuri b) : Z Z Z, a b = a b, umitã îmulþirea claselor de resturi modulo, iar a b se umeºte produsul claselor a ºi b. Eemple Fie Z =,,,. Atuci, avem: + = ; + = ; + = etc. { } De asemeea: { } = ; = ; =. Î Z 5 =,,,, avem: + =, + =, + =, + = etc. De asemeea: =, =, =, = etc. Eerciþii rezolvate. Sã se calculeze î Z 7 : Soluþie a) ; b) ( ) 6; c) ( ) + ( 5 ). ( ) 6 = 5 6 = ; + = + = + = + = + = Avem: a) = = = ; b) c) Sã se rezolve î Z ecuaþia + =. Soluþie Soluþiile ecuaþiei pot fi doar elemete ale mulþimii,,,. Fie f = +. Avem: ( ˆ ) f = + = + = ; f = + = + = ; = + = + = f = + = + =. f ; 8 { } Î cocluzie, soluþiile ecuaþiei date sut,,,. Dupã cum se observã ecuaþiile de gradul, pe mulþimi diferite de cele uzuale, pot avea mai mult de douã soluþii... Parte stabilã. Lege de compoziþie idusã Fie M o mulþime evidã ºi : M M M o lege de compoziþie pe M. v DEFINIÞIE O submulþime S M se umeºte parte stabilã a lui M î raport cu legea de compoziþie dacã, y S implicã y S. TEMĂ Rezolvaþi ecuaþiile: a) + 5 =, î Z 6; b) + =, î Z ; c) =, î Z.

10 Algebr I. Grupuri Petru cazul S = M se spue cã M este parte stabilã î raport cu legea de compoziþie. Eemple Mulþimile de umere N, Z, Q sut pãrþi stabile ale lui R î raport cu operaþia de aduare ºi operaþia de îmulþire a umerelor reale. Mulþimile = { } pn p N, cu p N sut pãrþi stabile ale lui N î raport cu operaþiile de aduare ºi de îmulþire a umerelor aturale. M C mulþimea matricelor pãtrate cu elemete di mulþimea C. Fie Submulþimea S M ( C) a matricelor iversabile este parte stabilã a lui M ( C) î raport cu îmulþirea matricelor. Eerciþii rezolvate. Fie ( C) a b H M, H = a + b =. Sã se arate cã H este b a M î raport cu îmulþirea matricelor. parte stabilã a mulþimii C Soluþie a b y Fie A, B H, A =, B= b a y ºi a + b =, + y =. Se a b y a by ay + b obþie: AB = b a y =. () ay b by + a det AB = det A det B rezultã cã: Folosid proprietatea det AB a b y = + + = ºi astfel a by + ay + b =. () Di relaþiile () ºi () rezultã cã AB H, deci H este parte stabilã a M î raport cu îmulþirea. mulþimii C R,,,, este parte stabilã a lui Z î raport cu aduarea modulo ºi îmulþirea modulo.. Sã se arate cã mulþimea = { } Soluþie Dacã a, b R, atuci, di defiiþie, a b ºi a b reprezitã restul împãrþirii umerelor a + b ºi a b la. Î cocluzie, a b ºi a b sut elemete ale lui R. Dacã H este parte stabilã a lui M î raport cu legea de compoziþie ϕ : M M M, atuci pe mulþimea H se poate defii o lege de ψ,y = ϕ,y,,y H. compoziþie ψ : H H H, cosiderâd 9

11 Algebr I. Grupuri Legea de compoziþie ψ se umeºte legea de compoziþie idusã pe mulþimea H de cãtre legea de compoziþie ϕ. Petru simplificarea scrierii, se obiºuieºte sã se foloseascã aceeaºi otaþie petru legea de compoziþie pe M ºi legea de compoziþie idusã pe H..5. Tabla uei legi de compoziþie Fie M o mulþime fiitã, M = { a, a,, a} ºi ϕ : M M M o lege de compoziþie pe M. Legea de compoziþie ϕ poate fi descrisã pritr-u tablou cu liii ºi coloae corespuzãtor elemetelor a,a,,a. La itersecþia liiei i cu coloaa j se aflã ϕ a,a. elemetul ( i j ) Acest tablou se umeºte tabla legii de compoziþie sau tabla lui Cayley. Tabla uei legi de compoziþie are u rol deosebit î perfecþioarea calculelor algebrice, precum ºi î verificarea uor proprietãþi ale acesteia. Eerciþii rezolvate. Fie = { = } ϕ a a H z C z. Sã se arate cã H este parte stabilã a mulþimii C î raport cu îmulþirea umerelor complee. Soluþie Ecuaþia z = se scrie ( z )( z + ) =, i i i i i i i i i i i i de ude se obþie z {,, i, i} = H. Alcãtuim tabla operaþiei de îmulþire pe H. Dupã cum se observã di tabla operaþiei, toate rezultatele obþiute î urma compuerii a j a elemetelor aparþi mulþimii H. Î cocluzie, mulþimea H este parte stabilã a lui C î raport cu îmulþirea. a a a i a ( a,a i j ) ϕ. Sã se alcãtuiascã tablele operaþiilor de aduare ºi de îmulþire modulo pe R ºi de aduare ºi de îmulþire pe mulþimea claselor de resturi Z.

12 Algebr I. Grupuri Soluþie Avâd î vedere modul î care s-au defiit operaþiile pe mulþimile R ºi Z avem: +. Pe mulþimea R se cosiderã legea de compoziþie y = y + + y,, y. M =, este parte stabilã R Sã se arate cã mulþimea [ ] a lui R î raport cu legea de compoziþie. Soluþie, y,, y,. Deoarece Trebuie arãtat cã dacã [ ] atuci [ ], y [, ], rezultã cã, y sau +, y + + ºi se obþi iegalitãþile: +, y +. Pri îmulþire avem + y+. iegalitatea: ( + )( y+ ), care se scrie sub forma Dupã reduceri se obþie: y + + y, deci y [, ]. EXERCIŢII ŞI PROBLEME E. Pe mulþimea Z se defieºte operaþia algebricã astfel: y = + + y,, y Z. 8, a) Sã se calculeze: 7, ( 8) ºi ( 8 ). b) Sã se afle valorile Z petru = 6. care c) Sã se rezolve ecuaþia = = EXERSARE a E. Pe mulþimea M = a R a defiim operaþia algebricã A B = = A B, A, B M. a) Sã se arate cã I M. b) Sã se calculeze. c) Sã se determie a R, ºtiid cã a a = I. a a

13 Algebr I. Grupuri E. Sã se calculeze: a) 8 mod 5; 8 mod 6; 7 mod 8; mod; b) 5 ; 6 ; ( ) 5; ( ) ( ), dacã = 9; c) 7; 5 8; ( ) 7; ( 5) ( ), dacã =. E. Sã se calculeze: a),, 9,, 7 î Z ; b) c) +, + 7, î Z ; ( ) ( 5 ) ( 6 ),,, 5 î Z 6; d) î Z 7. E5. Sã se rezolve ecuaþiile: a) + =, î Z ; b) + =, î Z 5; c) + =, î Z ; d) + + =, î Z 5. E6. Pe mulþimea R se defiesc operaþiile algebrice: y = + y y ºi T y = y + y,, y R. Sã se rezolve: a) ecuaþia = T ; ( + y) = 9 b) sistemul. ( y) T = E7. Pe mulþimea M = {,,,, } se cosiderã legea de compoziþie y = y,, y M. Sã se alcãtuiascã tabla operaþiei ºi sã se arate cã M este parte stabilã î raport cu aceastã lege de compoziþie. E8. Sã se alcãtuiascã tabla operaþiei pe mulþimea M ºi sã se studieze dacã mulþimea este parte stabilã î raport cu, dacã: a) M = { N divide }, = b) M = {,,, 5 }, y = mi(, y ) ; y c.m.m.d.c., y ; c) M = {,,,, }, y = ma(, y ). E9. Sã se arate cã mulþimea M este parte stabilã î raport cu legea de compoziþie specificatã: M =, +, y = y a) [ ) ( + y) + 6; a b b) M = a, b R, î raport b a cu aduarea matricelor; a b c) M= a, b Q, a b =, b a î raport cu îmulþirea matricelor. E. Pe mulþimea M = {,,, } se cosiderã operaþia algebricã a cãrei tablã este datã mai jos: a) Sã se determie: = ( ), y = ( ), z = ( ) ( ). b) Sã se rezolve ecuaþiile: =, = ºi =. c) Sã se rezolve sistemele de ecuaþii: = y y = ºi. y = ( + ) y = a E. Fie M = A = a C ºi legea de compoziþie X Y = X+ Y I, X,Y M, defiitã pe mulþi- ( C) mea M. C Sã se arate cã mulþimea M este M C î raport cu operaþia de îmulþire a matricelor ºi î raport cu operaþia. parte stabilã a mulþimii

14 Algebr I. Grupuri APROFUNDARE A. Sã se determie mulþimile M Z, care sut pãrþi stabile ale lui Z î raport cu operaþia de aduare. A. Sã se arate cã mulþimea M este parte stabilã î raport cu operaþia specificatã: M = a, +, y = y a + y + a) + a + a; b) M= [, 6 ], y = y 5( + y) + ; + y c) M = (, ), y =. + y A. Pe mulþimea M = (, + ) se cosiderã legea de compoziþie: y y =,, y M. + y Sã se arate cã M este parte stabilã î raport cu. A. Se cosiderã mulþimea Z = { a + b a, b Z }. Sã se arate cã: a) mulþimea Z este parte stabilã î raport cu aduarea ºi îmulþirea; b) mulþimea M = { a + b a, b Z, } a b = este parte stabilã a mulþimii Z î raport cu îmulþirea. f,f,f,f : R { } A5. Fie fucþiile \ R \{ }, f( ) =, f ( ) =, f ( ) =, f. = Sã se arate cã mulþimea M { f,f,f,f } = este parte stabilã î raport cu compuerea fucþiilor. A6. Fie M = (, + ) ºi legea de compoziþie pe M, y = y y + a,, y M. a) Sã se determie valoarea miimã a lui a R, astfel îcât M sã fie parte stabilã î raport cu. b) Sã se rezolve ecuaþia = 8. c) Sã se rezolve sistemul: ( + ) ( y ) = 6, petru a = 5. ( + ) ( y + ) = 59 A7. Sã se studieze dacã mulþimea M este parte stabilã a lui C î raport cu îmulþirea: M = z C z = ; a) { } b) = { C = } M z z z ; c) M = { z C z = z} { } d) C M = z Re z =. A8. Sã se determie mulþimile fiite M R, care sut pãrþi stabile ale lui R î raport cu operaþia de îmulþire. Aceeaºi problemã petru mulþimea C. A9. Fie M o mulþime cu elemete. Sã se determie umãrul legilor de compoziþie care se pot defii pe mulþimea M. Geeralizare. ;

15 Algebr I. Grupuri Propriet ţi ale legilor de compoziţie.. Proprietatea de comutativitate Fie M o mulþime evidã. v DEFINIÞIE Legea de compoziþie : M M M, (,y) y se umeºte comutativã dacã y = y,,y M. Eemple de legi de compoziþie comutative Aduarea ºi îmulþirea pe mulþimile de umere N, Z, Q, R, C. Avem: + y = y + ºi y = y,, y. P M a submulþimilor Reuiuea, itersecþia ºi difereþa simetricã pe mulþimea mulþimii M: A B = B A, A B = B A, A B = B A, A, B P M. Aduarea matricelor pe mulþimea M ( C) A + B = B + A, A, B M m, ( C). m, : Eemple de legi de compoziþie ecomutative Scãderea pe mulþimile Z, Q, R, C. Scãderea pe mulþimea matricelor M m, ( C). Difereþa mulþimilor pe mulþimea P ( A ). Compuerea fucþiilor pe mulþimea = { } douã elemete. OBSERVAŢII F M f f :M M, dacã M are cel puþi. Dacã ϕ : M M M este lege de compoziþie comutativã pe mulþimea M ºi H M este parte stabilã a lui M î raport cu ϕ, atuci operaþia idusã pe H de legea ϕ este comutativã. Se spue cã proprietatea de comutativitate este ereditarã.. Dacã mulþimea M este fiitã, comutativitatea uei operaþii ϕ pe M poate fi verificatã pe tabla operaþiei. Legea de compoziþie este comutativã dacã tabla legii este simetricã faþã de diagoala pricipalã a acesteia. Eerciþiu rezolvat Pe mulþimea Z a umerelor îtregi se defieºte legea de compoziþie y = y + + ay. Sã se determie a Z petru care legea de compoziþie este comutativã.

16 5 Algebr I. Grupuri Soluþie Avem: y = y + y + a. Di egalitatea y =y se obþie y + + ay = y + y + a,, y Z. Di faptul cã îmulþirea ºi aduarea umerelor îtregi sut legi de compoziţie comutative se obþie a y,, y Z, de ude a =. = OBSERVAŢIE Multe legi de compoziþie se defiesc cu ajutorul altor legi de compoziþie. Î asemeea cazuri, î demostrarea proprietãþilor legii de compoziþie cosiderate, itervi î mod eseþial proprietãþile legilor de compoziþie folosite î defiirea acestora... Proprietatea de asociativitate Fie M o mulþime evidã. v DEFINIÞIE O lege de compoziþie M M M, dacã ( y) z = ( y z ),, y, z M., y y se umeºte asociativã Eemple de legi asociative Aduarea ºi îmulþirea pe mulþimile de umere N, Z, Q, R, C: ( + y) + z = + ( y + z) ºi ( y) z = ( y z ), petru oricare, y, z. Reuiuea, itersecþia ºi difereþa simetricã pe mulþimea pãrþilor uei mulþimi M: ( A B) C = A ( B C ), ( A B) C = A ( B C) ºi A B C = A B C, A, B, C P M. Compuerea fucþiilor pe mulþimea F ( M) = { f f :M M }: f ( g h) = ( f g) h, f, g, h F ( M ). Aduarea ºi îmulþirea matricelor pe mulþimea M ( C) : A + ( B+ C) = ( A + B) + C, A, B, C M ( C) ºi ( ) = ( ) M ( C) Eemple de legi easociative A B C A B C, A, B, C. Scãderea pe mulþimile de umere Z, Q, R, C. De eemplu: ( ) =. Scãderea matricelor pe mulþimea M m, ( C). Difereþa mulþimilor pe mulþimea P ( M. ) =, iar Atuci câd este valabilã proprietatea de asociativitate, u este ecesarã folosirea paratezelor petru a idica compusul a trei elemete. Î acest caz este suficiet sã se scrie a b c, iar acest a b c, a b c. elemet se poate determia fie cu ( ) fie cu

17 Algebr I. Grupuri Î geeral, petru o operaþie asociativã, se pot cosidera elemete de forma: a a... a, acestea avâd aceeaºi valoare idiferet de gruparea termeilor cu ajutorul paratezelor. Elemetul a a... a se defieºte recursiv, astfel: a a... a a a a... a a. = Petru o lege de compoziþie asociativã sut valabile egalitãþile: a a... a = a ( a... a ) ; = ( ) ( ) a a... a a a... ak a k... a, ude k. OBSERVAŢII. Proprietatea de asociativitate este ereditarã, adicã dacã ϕ este lege de compoziþie asociativã pe M ºi H M este parte stabilã a lui M î raport cu ϕ, atuci ºi legea idusã pe H de cãtre ϕ este asociativã.. Dacã ϕ este lege easociativã pe M ºi H M este o parte stabilã a lui M î raport cu ϕ, u rezultã î mod ecesar cã legea idusã de ϕ pe H este easociativã. Eemplu Operaþia de scãdere pe Z u este asociativã, dar este asociativã pe mulþimea H = Z. { } Probleme rezolvate. Pe mulþimea M se cosiderã legea de compoziþie, datã Z de relaþia A B = A + B+ AB. a) Sã se arate cã legea de compoziþie este asociativã. b) Sã se determie a b c. c) Sã se determie. Soluþie a) Folosid comutativitatea aduãrii ºi asociativitatea îmulþirii A B C = A + B+ AB C = A + B+ AB+ C+ matricelor, avem + ( A + B + AB) C = A + B + C + AB + AC + BC + ABC. Aalog, ( ) A ( B C) +A ( B C) = A B C BC A( B C BC) A B C AB A B C = = = AC + BC + ABC. Aºadar, petru oricare A, B, C M ( Z), = legea de compoziþie este asociativã. A B C A B C, deci 6

18 b) Legea fiid asociativã, folosid a) rezultã: 7 Algebr I. Grupuri a b c a b c a b = a c b c a b c = a + b + c + a + b a + c b+ c a + b+ c 7 a + b+ c =. 7 c) Folosid puctul b) rezultã: 7 7 = = = + = Pe mulþimea R se defieºte legea de compoziþie R R R,, y y = y + a + ay + b. a) Sã se determie a, b R, astfel îcât legea de compoziþie sã fie asociativã. b) Sã se determie..., termei petru a, b R determiate la a). Soluþie a) Folosid proprietãþile aduãrii ºi îmulþirii umerelor reale, petru y z = y + a + ay + b z = y + a + ay + b z+, y, z R, avem az b = yz ay ayz az a a y ( a b) z ab b. ( y z) =yz+ ay + ayz+ az + ( a + b) + a y + a z+ ab+ b. + a y + a + ay + b + az + b = yz + az + ayz + bz + ay + a + a y + ab Aalog se obþie: Pri idetificarea acestor epresii se obþie relaþia a = a + b, de ude b = a a ºi astfel: y = y + a( + y) + a a = ( + a)( y + a) a. b) Vom folosi metoda iducþiei matematice. Fie t =..., compuerea avâd î total termei. Rezultã: t =, t = = + a + a a = ( + a) a, t = t = ( + a)( t + a) a = ( + a) a. k Presupuem cã tk = ( + a) a. Atuci k + tk+ = tk = + a tk + a a = + a a.

19 Algebr I. Grupuri Di pricipiul iducþiei matematice rezultã cã: t = + a a petru oricare N,.. Îtr-u circuit electric sut legate î paralel douã rezistoare cu rezisteþele R ºi R, mãsurate î ohmi. Rezisteþa echivaletã R a grupãrii rezisteþelor R,R este datã de relaþia: = +. () R R R Sã se arate cã circuitele di figurile ºi au aceeaºi rezisteþã totalã petru oricare valori R,R,R (, + ). R Soluþie: Fie M = (, + ) mulþimea valorilor rezisteþelor ditr-u circuit. Relaþia () defieºte pe mulþimea M urmãtoarea lege de compoziþie: R RR R R = R =. R + R R Figura Rezisteþa totalã a circuitului di figura este R = ( R R) R, iar a circuitului di figura este R = R ( R R ). Egalitatea R = R este echivaletã cu egalitatea ( R R) R = = R ( R R ), R,R,R M. RR RR R Avem ( R R) R = R =. R + R RR + RR + RR RR RRR Aalog, R ( R R) = R =. R + R RR + RR + RR Aºadar R = R. Mai mult, se obþie cã legea de compuere a rezisteþelor legate î paralel este asociativã. Pe o mulþime M se pot defii mai multe legi de compoziþie. O mulþime evidã îzestratã cu ua sau mai multe legi de compoziþie, care satisfac u set de aiome date sub formã de idetitãþi sau alte codiþii, formeazã o structurã algebricã. v DEFINIÞII Se umeºte semigrup o pereche ( S, ) formatã ditr-o mulþime evidã S ºi o lege de compoziþie pe S care îdeplieºte aioma de asociativitate: S : y z = y z,, y, z S. R R R Figura 8

20 Algebr I. Grupuri U semigrup ( S, ) se umeºte semigrup comutativ sau abelia dacã legea de compoziþie verificã aioma de comutativitate: S : y = y,,y S. Eemple de semigrupuri Perechile ( N, + ) ºi (, ) N sut semigrupuri comutative. Ele reprezitã semigrupul aditiv ºi semigrupul multiplicativ al umerelor aturale. A ( P A, ) sut semigrupuri comutative. Fie A o mulþime ºi P familia pãrþilor lui A. Perechile ( P ( A) ) ( P ( A) ) Fie A o mulþime evidã ºi F ( A ) = { f f : A A }. Perechea ( F ( A ), ) Dacã mulþimea A are cel puþi douã elemete, semigrupul ( F ( A ), ) ecomutativ.,,,, este semigrup. este EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE E. Sã se studieze comutativitatea ºi asociativitatea legilor de compoziþie defiite pe mulþimea M, î cazurile: M=, +, y= y y+ ; a) b) [ ] M =,, y = y y + 6; c) M = Z, y = + y + y; d) M = Z, y = 7y y + 8; e) M = Q, y = y y. E. Sã se studieze comutativitatea ºi asociativitatea legii de compoziþie defiite pe mulþimea M, î cazurile: a) = + M =,, y y ; + y b) M = C, y = + y + iy; c) M = (, + ), y = y y + ; d) M = (, ) \{} ; y = l y ; a e) M = a R, A B = AB A B + I. E. Sã se determie costatele reale petru care legile de compoziþie sut comutative ºi asociative pe mulþimile M: a) M = Z, y = c + ay + b; b) M = Q, y = y + + ay + b; c) M = C, y = iy + a + by; a + by M,, y. + y d) = ( + ) = E. Pe mulþimea Z se cosiderã legile de compoziþie y = + y ºi T y = y y +. a) Sã se arate cã ( Z, ) ºi ( Z, T ) sut semigrupuri comutative. T y z = T y b) Sã se arate cã ( z) T (legea de compoziþie T este distributivã faþã de ). E5. Pe mulþimea Z se cosiderã legile de compoziþie y = + y ºi T y = + y 7. a) Sã se arate cã ( Z, ) ºi ( Z, T ) sut semigrupuri comutative. * b) Sã se determie a, b N, astfel îcât fucþia f :, f = a+ b sã Z Z verifice egalitatea f( y) = f() T f(y). 9

21 Algebr I. Grupuri E6. Pe mulþimea Z 5 se defieºte operaþia algebricã y = y + + y + a,, y Z 5. a) Petru ce valori ale lui a Z 5 eistã egalitatea ( ) = ( ) a a a a? b) Sã se determie a Z 5 petru care operaþia este asociativã. APROFUNDARE A. Pe mulþimea A = [, ) se defieºte legea de compoziþie pri: + y y =,,y A. + y a) Sã se arate cã legea este asociativã ºi comutativã. b) Sã se verifice dacã, y, z A ºi z = y z, atuci = y. c) Sã se determie A care verificã ecuaþia =. (Uiv. Babeº-Bolyai, Cluj-Napoca, ) A. Pe mulþimea R se defieºte legea de compoziþie y = y + a + by,, y R. Legea este asociativã ºi comutativã dacã: a) a =, b = ; b) a = b = ; c) a + b = ; d) a =, b = ; e) a = b = sau a =, b =. (Uiv. Maritimã, Costaþa, ) A. Sã se arate cã urmãtoarele legi de compoziþie defiite pe R sut comutative ºi asociative: y = ma, y ; a) b) y = mi(, y ). A. Sã se determie a, b R petru care urmãtoarele operaþii algebrice, defiite pe mulþimea M M ( R), sut comutative ºi asociative: y a) M =, y R, A B = = A + ab + bi ; y b) M =, y R, + y A B = aab + bba; c) M = R, A B = = aab + ( A + B ). A5. Fie M o mulþime evidã ºi operaþia algebricã asociativã defiitã pe M. Sã se gãseascã codiþii suficiete asupra elemetului a M petru care operaþia defiitã pe M este asociativã: a) y = a y; b) y = a y; c) y = a y a; d) y = = y a. A6. Sã se determie umãrul legilor de compoziþie comutative defiite pe * o mulþime cu N elemete.

22 Algebr I. Grupuri.. Elemet eutru Fie M o mulþime evidã. v DEFINIÞII Legea de compoziþie M M M, (, y) y admite elemet eutru dacã eistã u elemet e M, astfel îcât e = e =, M. () Elemetul e M cu proprietatea () se umeºte elemet eutru petru legea de compoziþie. Eemple Numãrul este elemet eutru petru aduarea umerelor pe mulþimile N, Z, Q, R, C: + = + =,. Matricea O m, este elemet eutru petru aduarea matricelor pe mulþimea M m, ( C) : A + O m, = Om, + A = A, A M m, ( C). Matricea uitate I este elemet eutru petru îmulþirea matricelor pe mulþimea M ( C) : A I = I A = A, A M ( C). Vectorul ul este elemet eutru petru aduarea vectorilor pe mulþimea vectorilor V di pla sau di spaþiu: v + = + v = v, v V. TEOREMA (uicitatea elemetului eutru) Fie M o mulþime evidã. Dacã legea de compoziþie M M M,, y y, admite u elemet eutru, atuci acesta este uic. Demostraþie Sã presupuem cã e ºi e sut elemete eutre petru legea de compoziþie. Atuci au loc relaþiile: e = ºi e y = y. Luâd = e ºi y = e se obþie cã: e e =e ºi e e = e, relaþie di care rezultã cã e =e ºi uicitatea este demostratã. Eerciþii rezolvate. Pe mulþimea R se defieºte legea de compoziþie R R R, (, y) y = y + a + ay + b. Sã se determie a, b R petru care legea de compoziþie datã admite elemet eutru e =.

23 Algebr I. Grupuri Soluþie Numãrul e = este elemet eutru dacã = =, R. Di aceste relaþii se obþie + a + a + b =, R, de ude a + = = ºi a + b =. Rezultã a = ºi b =, iar legea de compoziþie este y = y y +. a b. Fie M = a,b R. a) Sã se arate cã eistã A M, astfel îcât AX = X, X M. b) Eistã matricea B M, astfel îcât XB = X, X M? Soluþie y a b a) Fie X = M ºi A = M. Di egalitatea AX = X se a b y y obþie =, de ude a ay y =. Aceastã relaþie b se verificã petru oricare, y R dacã a =, b R, deci A =, b R. Rezultã cã eistã o ifiitate de matrice A cu proprietatea cerutã. a b y b) Fie B = M. Di egalitatea XB = X se obþie: a b y = sau a b y =, de ude a =, b = y. A doua egalitate u poate avea loc petru oricare, y R. Aºadar, u eistã B M cu proprietatea cerutã. OBSERVAŢII. Fie M o mulþime evidã ºi o lege de compoziþie pe M. Dacã eistã es M, astfel îcât e s =, M, elemetul e s se umeºte elemet eutru la stâga. Dacã eistã ed M, astfel îcât ed =, M, elemetul e d se umeºte elemet eutru la dreapta. Di problema rezolvatã rezultã cã eistã legi de compoziþie care au elemet eutru la stâga, dar u au elemet eutru la dreapta.. Operaþia de scãdere pe R are elemetul eutru la dreapta ed =, dar u are elemet eutru la stâga. Îtr-adevãr, =, R, ºi u eistã e R astfel îcât e =, R.

24 Algebr I. Grupuri v DEFINIÞII Perechea (M, ) se umeºte mooid dacã verificã urmãtoarele aiome: (M ) aioma asociativitãþii: ( y) z = ( y z ),,y,z M; (M ) aioma elemetului eutru: e M, astfel îcât e = e =, M. Dacã, î plus, legea de compoziþie este comutativã, mooidul se umeºte mooid comutativ sau abelia. M, este mooid dacã este semigrup cu Se observã cã perechea elemet eutru (semigrup uitar). Eemple Perechile (, + ), (, ), (, + ), (, ), (, + ), (, ) Perechile ( C) N N Z Z R R sut mooizi comutativi. M,, F A, sut mooizi ecomutativi... Elemete simetrizabile v DEFINIÞII Fie M o mulþime evidã, îzestratã cu o lege de compoziþie M M M,, y = y, care admite elemetul eutru e. Elemetul M se umeºte simetrizabil î raport cu legea de compoziþie dacã eistã M, astfel îcât = = e. () Elemetul M se umeºte simetricul elemetului î raport cu legea de compoziþie. Eemple Orice umãr real este simetrizabil î raport cu aduarea umerelor reale. Î acest caz, = ºi se umeºte opusul umãrului. Orice umãr real eul este simetrizabil î raport cu îmulþirea pe R. Simetricul elemetului R \{ } este = ºi se umeºte iversul lui. Numãrul = u este simetrizabil î raport cu îmulþirea umerelor reale. Fie Z mulþimea umerelor îtregi. Sigurele elemete simetrizabile î raport cu îmulþirea sut ºi. Dacã legea de compoziþie pe mulþimea M are elemet eutru, se U M mulþimea elemetelor simetrizabile î raport cu legea oteazã cu de compoziþie.

25 Algebr I. Grupuri Deoarece elemetul eutru are proprietatea e e = e, rezultã cã e U ( M ), deci ( M) U este mulþime evidã. Mulþimea U ( M) se umeºte mulþimea uitãþilor lui M. TEOREMA (uicitatea simetricului) Fie o lege de compoziþie pe mulþimea M, asociativã ºi cu elemetul eutru e. Dacã u elemet M are u simetric, atuci acesta este uic. Demostraþie Presupuem cã ºi sut elemete simetrice ale elemetului. Di asociativitatea legii de compoziþie se obþie: = ( ) = e =, ºi = ( ) = e =. Rezultã cã = ºi uicitatea este demostratã. OBSERVAŢIE Dacã o lege de compoziþie pe o mulþime M are elemet eutru, dar u este asociativã, este posibil ca u elemet M sã admitã mai multe elemete simetrice. Eemplu M = e, a, b ºi legea de compoziþie datã cu ajutorul tablei lui Cayley: Fie { } e a b e a b e a b a e e b e a Legea u este asociativã deoarece: b ( b a) = b e = b. b b a = a a = e, iar Elemetul a M are simetricele a ºi b, deoarece a a = e ºi a b = e = b a. TEOREMA Fie M o mulþime evidã îzestratã cu o lege de compoziþie M M M, (, y) y, asociativã ºi cu elemet eutru. a) Dacã M este simetrizabil î raport cu legea de compoziþie =., atuci simetricul sãu este simetrizabil ºi b) Dacã, y U ( M ), atuci y U ( M) ºi ( ) = c) Dacã,,, U ( M, ) atuci ( ) ( M)... =.... y y. U ºi

26 Algebr I. Grupuri Demostraþie a) Deoarece = = e, se observã cã simetricul lui este chiar, deci =. b) Sã cosiderãm z = y M. Avem: y z = y y = y y = e = = e ºi z y = y y = y y = y e y = y y = e. c) Se foloseºte iducþia matematicã. Petru = ºi =, proprietatea este adevãratã avâd î vedere b). * Sã presupuem proprietatea adevãratã petru k N. Avem: = = ( ) k k+ k k+ k+ =... =..., deci proprietatea k k+ k k+ k are loc ºi petru k +. Î cocluzie, proprietatea are loc petru oricare Probleme rezolvate * N.. Pe mulþimea R se cosiderã legea de compoziþie R R R,, y y = y + a + by + c. a) Sã se determie a, b, c R petru care legea este comutativã, asociativã ºi admite elemet eutru. b) Petru valorile a, b, c gãsite, sã se determie U ( R). Soluþie a) Di relaþia y = y se deduce a = b, deci Legea de compoziþie este asociativã dacã ( y z ) = ( ) R. Se obþie egalitatea: = yz + a ( y + yz + z) + ( a + c) + a y + a z + ac + c,, y, z R. Rezultã cã a + c = a ºi y = y + a( + y) + a a. y = y+ a + y + c. y z,, y, z yz + a y + yz + z + a + a y + a + c z + ac + c = Legea de compoziþie datã admite elemetul eutru e dacã e = e =,. e + a + e + a a =, R Se obþie egalitatea: R, de ude ( + a) e = ( + a) ( a ), Î cocluzie, b = a, c = a a, a R. R ºi, astfel, e = a. b) Fie u elemet simetrizabil ºi simetricul sãu. Se obþie = e a a a a, + a = a a. ºi + ( + ) + = de ude 5

27 Algebr I. Grupuri Se observã uºor cã dacã a rezultã U ( R) = R { } \ a. a a =. + a Aºadar,. Fie lege de compoziþie asociativã ºi cu elemet eutru pe U M, y U M, atuci mulþimea M. Sã se arate cã dacã y ºi y u sut simetrizabile. Soluþie Sã presupuem pri absurd cã y U ( M ). Atuci eistã s U ( M ), astfel îcât ( y) s = e = s ( y ). De aici rezultã: ( y s) = e ºi y s =. Se obþie = = ( ) ºi y U ( M, ) î cotradicþie cu ipoteza. Aºadar, y U ( M ). Aalog se aratã cã y U ( M ). y s s EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE E. Sã se verifice dacã operaþia algebricã defiitã pe mulþimea M admite elemet eutru: a) M = R, y = y + + y; b) M = C, y = y + + y + ; c) M = Z, y = y y + ; + y d) M = (, ), y = ; + y e) M = Z 7, y = y y + 6. E. Sã se determie elemetul eutru petru operaþia defiitã pe M: M=, +, y= y+ + y+ 6; a) b) [ ) M = 7, +, y = y 7 7y + 56; M = y,, y = ; y y + M =, + 9log \, y = y. c) d) {} E. Sã se determie elemetul simetric al elemetului s M, dacã: M = R, y= y+ + y, s,, ; a) { } b) M = Z, y = + y, s {,,, } ; c) = C = + + { + } M, y y i, s i, i, i ; 9 + 9y d) M = (, ), y =, 9 + y s,,,. E. Pe mulþimea R se cosiderã legea de compoziþie y= + y,,y R. a) Sã se arate cã ( R, ) este mooid comutativ. U R R b) Sã se arate cã =. 6

28 Algebr I. Grupuri APROFUNDARE A. Sã se determie parametrii petru care operaþiile date au elemetul eutru idicat: a) M = R, y= y+ a+ ay+, e= ; b) M = Q, y = + y + a, e = 5; 5y y + a c) M= (, ), y =, y 5 5y + 5 e =. A. Pe mulþimea Q se cosiderã legile de y compoziþie y = y +, y = + y +,, y Q. Dacã e ºi e sut elemetele eutre î raport cu legile, respectiv, iar p = e e, atuci: a) p = ; b) p = 6; c) p = ; d) p = ; e) p = 6. (ASE, Bucureºti, 998) A. Pe mulþimea C se defieºte legea de compoziþie z z = z z + + i( z + z) i, z,z C. Dacã m este modulul elemetului eutru al legii, atuci: a) m = ; b) m = 5; c) m = ; d) m = ; e) m =. (ASE, Bucureºti, 998) A. Pe mulþimea R se defieºte legea de compoziþie y = y a + by. Sã se determie a, b R, astfel îcât ( R, ) sã fie mooid. Petru fiecare mooid obþiut sã se determie U ( R). (Uiv. Bucureºti, 986) A5. Pe mulþimea M = R R se cosiderã legea de compoziþie: a, b c, d = ac bd, ad + bc. a) Sã se arate cã ( M, ) este mooid comutativ. b) Sã se determie U ( M ). A6. Fie M = R. a) Sã se arate cã ( M, ) este mooid comutativ. b) Sã se determie U M. A7. Fie Z[ i] = { a + bi a, b Z }, M = { a + b a, b Z [] i }. a) Sã se arate cã ( Z[ ] + ) ( Z [] ) ( M, ) sut mooizi comutativi. i,, i,, b) Sã se determie elemetele simetrizabile ale fiecãrui mooid. EXERCIŢII ŞI PROBLEME RECAPITULATIVE EXERSARE E. Fie M =,,,. Sã se alcãtuiascã tabla îmulþirii pe mulþimea M ºi sã se studieze proprietãþile acesteia. E. Se cosiderã mulþimea A = {,, }. a) Sã se alcãtuiascã tabla difereþei simetrice pe mulþimea P ( A ). b) Sã se arate cã ( P ) ( ( A ), ), ( ( A ), ) A,, P P sut mooizi comutativi. c) Sã se determie elemetele simetrizabile î mooizii de la b). 7

29 Algebr I. Grupuri E. Se cosiderã matricea A = ºi mulþimea = { Z} M A. Sã se arate cã ( M, ) formeazã u mooid comutativ î care fiecare elemet este simetrizabil. E. Sã se arate cã mulþimea: i i M =,,,, i i 8 i i,,, i i formeazã u mooid comutativ î raport cu îmulþirea matricelor. Sã se determie. U M E5. Se cosiderã matricele: A =, B = ºi mulþi- M = aa + B a R *. Sã se mea { } studieze dacã ( M, ) este mooid comutativ ºi sã se determie U ( M ). APROFUNDARE A. Sã se dea eemplu de o lege de b) Sã se determie valoarea de compoziþie care este comutativã ºi * adevãr a propoziþiei:, y, z N, u este asociativã. T ( y z) = ( T y) ( T z ). A. Sã se dea eemplu de o lege de compoziþie easociativã ºi care A6. Pe mulþimea Z se defieºte legea admite elemet eutru. de compoziþie, astfel: y= ay+ b+ by+ c, ude a, b, c Z. A. Fie M o mulþime evidã ºi ( F ( M, ) ) mooidul fucþiilor defiite pe M. a) Sã se determie care sut elemetele simetrizabile î raport cu compuerea fucþiilor, dacã elemetul eutru este fucþia ideticã. b) Î ce caz mooidul ( F ( M, ) ) este comutativ? ºi f a : R R, a, > fa ( ) =., a) Sã se arate cã f a f b = f ab. b) Sã se arate cã mulþimea F = { fa a (, ) } formeazã mooid î raport cu operaþia de compuere a fucþiilor. c) Sã se determie U ( F ). A. Fie a (, ) A5. Pe mulþimea N * se defiesc legile de compoziþie: T y = c.m.m.d.c., y ºi y = c.m.m.m.c. (, y ). a) Perechile ( *, ) mooizi? N T ºi ( *, ) N sut Sã se arate cã: a) legea de compoziþie este asociativã dacã ºi umai dacã b b = ac. b) legea de compoziþie admite elemet eutru dacã ºi umai dacã b + ac = b ºi b divide c. A7. Se cosiderã mulþimea M evidã ºi o lege de compoziþie pe mulþimea M care este asociativã ºi admite elemet eutru. Dacã M este o mulþime evidã ºi f : M M o fucþie bijectivã, sã se studieze proprietãþile legii de compoziþie T defiite pe M: T y = f f f y. ( ) A8. Fie f : R R, f ( ) a ºi F = { a Q} a f a., Q = a, R \ Q a) Sã se studieze dacã F este parte stabilã î raport cu compuerea fucþiilor. F, este b) Sã se studieze dacã mooid ºi sã se afle U ( F ).

30 Algebr I. Grupuri TESTE DE EVALUARE Testul. Pe mulþimea G = (, + ) se cosiderã legea de compoziþie y = 7y 7( + y) + 8. Mulþimea G este parte stabilã a lui R î raport cu legea de compoziþie? ( pucte). Pe mulþimea E = {,,,, } se defieºte legea de compoziþie otatã, astfel y reprezitã restul împãrþirii umãrului a) Sã se alcãtuiascã tabla legii de compoziþie. 9 y + la 5. b) Sã se arate cã legea de compoziþie u este comutativã ºi asociativã. ( pucte) lg( y ) y.. Pe mulþimea G = (, + ) defiim legea de compoziþie: = + ( ) a) Sã se determie ºi sã se rezolve ecuaþia =. lg b) Sã se arate cã petru oricare ( ) lg( y, y G, y = + ). c) Sã se studieze proprietãþile legii de compoziþie. Testul ( pucte). Fie mulþimea M = { + y 7, y Z } ºi = { + Z = } M y 7, y, 7y. a) Sã se arate cã mulþimea M este parte stabilã a lui M î raport cu îmulþirea. b) Sã se dea eemplu de cel puþi trei elemete + y 7 M, cu y >. ( pucte). Pe mulþimea M = {,,,, } se defieºte legea de compoziþie pri: + y, dacã y (, ] y = y, dacã y. y, dacã sau y > a) Sã se alcãtuiascã tabla legii de compoziþie. b) Sã se arate cã legea de compoziþie u este comutativã ºi asociativã. c) Sã se arate cã legea de compoziþie admite elemet eutru ºi fiecare elemet M este simetrizabil. (6 pucte) Testul. a) Sã se calculeze î Z 6 produsul 5. b) Sã se calculeze î Z 6 suma

31 Algebr I. Grupuri c) Câte soluþii are î Z 6 ecuaþia: =? d) Care este cel mai mic umãr atural eul cu proprietatea cã = î Z 6? ori. Se cosiderã fucþiile a { a } F = f a, +. (Bacalaureat, iuie, ) f a :, fa log R R = +, a > ºi mulþimea a) Sã se arate cã f a este fucþie iversabilã ºi a = a f f. b) Sã se demostreze cã mulþimea F este parte stabilã î raport cu compuerea fucþiilor. F, este mooid comutativ ºi sã se determie U ( F ). c) Sã se arate cã. Pe mulþimea umerelor complee se cosiderã legea de compoziþie defiitã pri y = y + i + iy i,, y C. a) Sã se arate cã y = ( + i)( y + i) i. b) Sã se arate cã legea este asociativã. * c) Sã se determie mulþimea valorilor lui N, petru care are loc egalitatea: = + i + i + i i,,,, C. ( )( ) ( ) d) Sã se calculeze: = ( ) ( ) ( ) E i 99i i i i 99i i. e) Sã se rezolve î C ecuaþia = i. (Bacalaureat, iuie, ) Noţiuea de grup. Eemple Fie G o mulþime evidã ºi (, y) ϕ (, y) ot = y, o lege de compoziþie pe G. v DEFINIÞII Perechea ( G, ) se umeºte grup dacã sut îdepliite urmãtoarele aiome: (G) Aioma asociativitãþii: ( y) z = ( y z ),,y,z G. (G) Aioma elemetului eutru: e G, astfel îcât e = e =, G. (G) Aioma elemetelor simetrizabile: G, G, astfel îcât = = e.

32 Algebr I. Grupuri U grup ( G, ) se umeºte grup comutativ sau abelia dacã este verificatã aioma de comutativitate: (G): y = y,, y G. COMENTARII G, este grup dacã este mooid cu proprie- a) Se observã cã perechea tatea cã fiecare elemet este simetrizabil. Îtr-u grup, U G = G. b) Elemetul e G, a cãrui eisteþã este asiguratã de aioma G, este uic determiat ºi se umeºte elemetul eutru al grupului. c) Elemetul G, a cãrui eisteþã o asigurã aioma G petru fiecare G, este uic determiat deoarece legea de compoziþie a grupului este asociativã. U grup ( G, ) se umeºte grup fiit dacã mulþimea G este fiitã. U grup ( G, ) este grup ifiit dacã mulþimea G u este fiitã. Fie ( G, ) u grup. Se umeºte ordiul grupului G, cardialul mulþimii G ºi se oteazã ord( G ). Eemple de grupuri a). Di proprietãþile aduãrii ºi îmulþirii umerelor rezultã: Z, +, Q, +, R, +, C, + sut grupuri abeliee, umite grupul aditiv al umerelor îtregi, raþioale, reale, respectiv al umerelor complee. b) ( Q *, ), ( R *, ), ( C *, ) sut grupuri abeliee, umite grupul multiplicativ al umerelor raþioale, reale, respectiv al umerelor complee eule. Grupurile de la a) ºi b) sut deumite grupuri umerice. M Z, M Q, M R ºi M ( C) împreuã cu aduarea matricelor formeazã grupuri comutative.. Mulþimile de matrice Eerciþiu rezolvat Pe mulþimea G = (, + ) se defieºte legea de compoziþie G G G, (, y) y = y y + 6. Sã se arate cã perechea ( G, ) este grup abelia. Soluþie Perechea ( G, ) este grup abelia dacã sut verificate aiomele grupului (G)-(G). (G) Aioma asociativitãþii: Avem: ( y) z = ( y y+ 6) z = ( y y+ 6) z ( y y + 6) z + 6 = yz ( y + z + yz) + ( + y + z) 6.

33 Algebr I. Grupuri Aalog se obþie: y z = yz y z + 6 = yz y z + 6 yz y ( z + 6) + 6 = yz ( y + z + yz) + ( + y + z) 6. Î cocluzie, aioma asociativitãþii (G) este verificatã. (G) Aioma elemetului eutru: Fie e G, astfel îcât e = e =, G. Se obþie e e + 6 =, G, echivaletã cu e( ) = = ( ), G. Elemetul eutru este e = G. (G) Aioma elemetelor simetrizabile: Dacã G, otãm cu simetricul lui. Se obþie = = =, relaþie care coduce la + 6 =. Rezultã = = + (, + ). TEMĂ DE STUDIU Aºadar, ( G, ) este grup. Fie ( G, ) u mooid. Sã Deoarece y = y y + 6 = y se arate cã ( U ( G ), ) este y + 6 = y, petru oricare, y G, grupul ( G, ) este grup comutativ... Grupul aditiv al resturilor modulo * N ºi = { } Fie R,,,, mulþimea resturilor obþiute la împãrþirea umerelor îtregi pri. Pe mulþimea R s-au defiit operaþiile de aduare ºi îmulþire modulo : R R R, pri: a b = ( a + b) mod, respectiv = ( ) a b a b mod. Elemetul a b reprezitã restul împãrþirii sumei a + b pri. a + b = q + a b. () Rezultã cã eistã umãrul q Z, astfel îcât TEOREMA Fie * N. Atuci: a) ( R, ) este grup abelia; b) ( R, ) este mooid abelia. Demostraþie a) Verificãm aiomele grupului: (G) Aioma asociativitãþii: Folosid relaþia () se obþie succesiv: y z = + y mod z = + y + z mod. () ( ) grup.

34 De asemeea: y z = y + z mod = + y + z mod. () ( ) Algebr I. Grupuri Deoarece aduarea umerelor îtregi este asociativã, di relaþiile () ºi () rezultã cã ( y) z = ( y z ),, y, z R. Aºadar, aduarea modulo este asociativã. (G) Numãrul este elemet eutru, deoarece se verificã imediat cã = =, R. (G) Fie R \{ }. Atuci = R. Rezultã cã: = ºi =. Avâd ºi =, rezultã cã oricare R este simetrizabil î raport cu aduarea modulo. R este grup. Mai mult, petru orice, y R, avem: Aºadar, (, ) = + = + = deci grupul (, ) y ( y) mod ( y ) mod y, grup comutativ. b) Aalog se aratã cã ( R, ) este mooid comutativ... Grupul claselor de resturi modulo { } * N ºi = R este Fie Z,,,..., mulþimea claselor de resturi modulo. Pe mulþimea Z s-au defiit operaþiile: def Z Z Z, a, b a + b = a b, umitã aduarea claselor de resturi modulo ; Z de f Z Z, a, b a b = a b, umitã îmulþirea claselor de resturi modulo. TEOREMA 5 * Fie N. Atuci: a) ( Z, + ) este grup abelia, umit grupul aditiv al claselor de resturi modulo ; b) ( Z, ) este mooid comutativ; { } c) U ( Z ) = k Z (,k ) = ºi ( Z, ) U este grup comutativ, umit grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo.

35 Algebr I. Grupuri Demostraþie a) Verificãm aiomele grupului. (G) Aioma asociativitãþii: Avem succesiv: + y + z = y + z = y z () ( ) ( y z) y z ( y z) + + = + = () Avâd î vedere asociativitatea aduãrii modulo, di relaþiile () ºi () rezultã ( + y ) + z = + ( y + z ),, y, z Z. Aºadar, aduarea claselor de resturi modulo este asociativã. (G) Aioma elemetului eutru: Petru oricare Z, avem: + = = ºi + = =. Aºadar, este elemet eutru al aduãrii claselor de resturi modulo. (G) Aioma elemetelor simetrizabile: Avem: + =, deci este propriul sãu simetric. Dacã * Z, atuci eistã q, r Z, astfel îcât = q + r, < r. Rezultã cã: r = r {,,, } ºi avem: + r = r + r = r ( r) = ºi r + = r + r = ( r) r =. Î cocluzie, este elemet simetrizabil, iar simetricul este elemetul r. Simetricul clasei de resturi se oteazã cu. Aºadar, =, petru sau =. Z, + este grup. Mai mult, el este grup comutativ deoarece: + y = y = y = y +,, y Z. b) Verificãm aiomele mooidului comutativ. (M) Asociativitatea. Petru oricare, y, z Z se obþie: y z = y z = y z () Rezultã cã ( y z) = y z = ( y z) () Deoarece îmulþirea modulo este asociativã, rezultã cã: y z = y z,, y, z Z. Aºadar, îmulþirea claselor de resturi modulo este asociativã. (M) Eisteþa elemetului eutru. Petru oricare Z se obþie: = = ºi = =.

36 Algebr I. Grupuri Astfel, este elemet eutru petru îmulþirea claselor de resturi modulo. Î cocluzie, ( Z, ) este mooid. Deoarece y = y = y = y,, y Z, mooidul ( Z, ) este mooid comutativ. c) Petru =, avem Z = ºi (, ) =. Rezultã U ( Z ) =. { } Fie. Atuci, p Z U dacã ºi umai dacã eistã q Z, astfel îcât p q =. Aceastã relaþie se scrie pq = sau pq (mod ). Rezultã cã eistã s Z, astfel îcât pq + s =, relaþie echivaletã p, =. cu { } Aºadar, ( Z ) OBSERVAŢIE Dacã U = p p, =. * N este umãr prim, mulþimea elemetelor iversabile î mooidul, Z este U ( Z ) = Z *. Eerciþiu rezolvat Sã se determie U ( Z ) petru mooidul (, ) tabla îmulþirii grupului ( U ( Z ), ). { } Z ºi sã se alcãtuiascã Soluþie Coform teoremei 5 elemetele iversabile î Z sut clasele, 5, 7,, 5 7 deoarece 5 7 umerele, 5, 7, sut relativ prime cu. Tabla îmulþirii este datã alãturat Di tabla îmulþirii se observã cã petru U ( Z ), eistã relaþia =, deci 7 5 fiecare elemet este propriul sãu simetric (ivers). De asemeea, 5 7 =, 5 = 7 ºi 7 = 5, adicã produsul a douã elemete disticte diferite de este al treilea elemet diferit de. COMENTARII a) U grup ( K, ), K= { e,a,b,c} a cãrui tablã a operaþiei este redatã alãturat se umeºte grupul lui Klei. e a b c b) U grup ( K, ) cu u umãr fiit de elemete e e a b c este grup de tip Klei dacã oricare elemet al a a e c b grupului este propriul sãu simetric (ivers). c) Grupul ( U ( Z ), b b c e a ) este u grup de tip Klei cu c c b a e patru elemete. 5

37 Algebr I. Grupuri.. Grupul permutãrilor uei mulþimi Fie M o mulþime evidã. O fucþie bijectivã f : M M se umeºte S M a permutãrilor mulþimii M permutare a mulþimii M. Mulþimea este o submulþime a mulþimii F ( M) a tuturor fucþiilor f : M M. Cosiderâd operaþia de compuere a fucþiilor, se ºtie cã dacã f, g S M, f g S M g f S M. atuci ºi Aºadar, mulþimea S( M ) este parte stabilã a mulþimii ( M) raport cu compuerea fucþiilor. TEOREMA 6 Perechea S M, este grup. Demostraþie Verificãm aiomele grupului. F î (G) Aioma asociativitãþii. Operaþia de compuere a permutãrilor S M este asociativã ca fiid idusã de compuerea fucþiilor pe pe F ( M, ) care este asociativã. (G) Aioma elemetului eutru. Fucþia ideticã M :M M, = este bijectivã, deci este o permutare a mulþimii M, umitã f = f = f, f S M, M ( ), permutare ideticã a lui M. Deoarece rezultã cã permutarea ideticã a mulþimii M este elemet eutru petru compuerea permutãrilor. (G) Aioma elemetelor simetrizabile. Se ºtie cã dacã atuci f S( M ). Rezultã cã orice permutare f S ( M ) simetric ºi aume permutarea f. S M, este grup. Î cocluzie, OBSERVAŢII M M f S M, are u elemet. Dacã mulþimea M are uul sau douã elemete, grupul S ( M ) este grup comutativ.. Dacã mulþimea M are cel puþi trei elemete, ecomutativ. S M este grup 6

38 Algebr I. Grupuri.. Grupul simetric S Î cazul î care M = {,,,, }, grupul lui M se oteazã O permutare S M al permutãrilor S ºi se umeºte grup simetric de grad. σ se oteazã astfel: S... σ= () σ() σ() σ()... σ() Î liia a doua sut trecute valorile fucþiei σ. Deoarece σ este o permutare a mulþimii M, rezultã cã σ, σ,, σ =,,,, deci a doua liie a tabelului () este { } { } formatã tot di elemetele mulþimii M. Dacã στ, S, compuerea (produsul) celor douã permutãri se scrie: σ τ= = σ() σ() σ()... σ() τ() τ() τ()... τ()... =. σ( τ() ) σ( τ() ) σ( τ() )... σ( τ() ) Eemplu Fie σ, τ S, σ =, τ =. Avem: σ τ= = = σ( τ ) σ( τ ) σ( τ ) σ( τ( ) ) = = ; ( ) ( σ σ σ σ ) τ σ = =. Ordiul grupului simetric S este egal cu!. Î grupul S elemetul eutru este permutarea ideticã: e =. Orice permutare σ= S admite elemetul simetric σ =, umitã permutare σ σ σ σ( ) σ σ σ σ( ) iversã sau iversa permutãrii σ. 7

39 Algebr I. Grupuri Eemple Petru σ= S, ordoâd prima liie, σ =. permutarea iversã este 5 Iversa permutãrii σ= S5 este permutarea: σ = = 5 5. Traspoziþie i, j,,,, = M, i j. Permutarea: Fie { } 8 σ =... i i i +... j j j +... tij = se umeºte... i j i +... j i j +... traspoziþie. Petru traspoziþia t ij se foloseºte ºi otaþia tij = ( i, j ). Traspoziþia ( i, j ) este o permutare particularã care schimbã ître ele umai elemetele i ºi j. Se aratã uºor cã ij ij ij ji t = t, t = t ºi tij tij = e. Sigatura uei permutãri Fie S i,j M=,,,,i< j. Perechea ordoatã σ ºi { } se umeºte iversiue a permutãrii σ dacã σ () i > σ () j. Numãrul tuturor iversiuilor uei permutãri σ S se oteazã ( σ ) O permutare poate avea cel mult C iversiui, deci m ( ) ( i, j) M M. Numãrul sau m. σ m( σ) ε σ = se umeºte sigatura (semul) permutãrii σ. Permutarea σ se umeºte permutare parã dacã ε( σ ) = + ºi permutare imparã dacã ε( σ ) =. Eemple Petru permutarea σ= S, m( σ ) =, iar iversiuile sut (, ), (, ), (, ), deci ε σ = =. Aºadar σ este permutare imparã. 5 Petru traspoziþia t = S 5, 5 (, ), deci ε ( t ) =. Aºadar, traspoziþia t este permutare imparã. iversiuile sut (, ), (, ),

40 9 Algebr I. Grupuri OBSERVAŢII TEMĂ. Î geeral, se poate arãta cã orice Sã se alcãtuiascã tabla grupului: traspoziþie t ij S este o permutare a) ( S, ) ; b) ( S, ). imparã. σ( i) σ( j ). Dacã σ S, atuci ε( σ ) =. i j < i j. Dacã σ, τ S, atuci ε( σ τ ) = ε( σ) ε( τ )..5. Grupuri de matrice Fie * N ºi ( C ) cu elemete umere complee. M mulþimea matricelor pãtratice de ordiul Dupã cum se ºtie, mulþimea ( C) M împreuã cu aduarea matricelor formeazã u grup comutativ, iar cu îmulþirea matricelor formeazã u mooid ecomutativ. Î cotiuare se vor pue î evideþã câteva submulþimi ale mulþimii M C care împreuã cu îmulþirea matricelor formeazã grupuri., Grupul liiar geeral de grad Fie ( C) ( M ( C), ) dacã ºi umai dacã det ( A ). M ( C), se oteazã GL ( C ) ºi avem: M ( ) TEOREMA 7 A M. Se ºtie cã matricea A este iversabilã î mooidul Perechea GL (, ) geeral de grad peste C. Demostraþie A, B GL. Mulþimea uitãþilor mooidului { * } GL C = A C det A C. C este grup ecomutativ, umit grup liiar Fie ( C ) Rezultã cã deci AB GL ( C ). Aºadar, mulþimea GL mulþimii M ( C) î raport cu îmulþirea matricelor. det A B = det A det B C, C este parte stabilã a Îmulþirea matricelor este asociativã ºi admite elemetul eutru * I C. det I, I GL C. M Deoarece ( ) = C rezultã cã Î coseciþã, îmulþirea matricelor pe mulþimea GL elemet eutru ºi aume matricea I. * C admite

41 Algebr I. Grupuri * C atuci det ( A ) Dacã A GL, Î cocluzie, ( GL, ) C A GL. C este grup. TEMĂ DE STUDIU. Sã se arate cã ( GL ( Q ), ) ºi ( GL, ) { } = C ºi se obþie cã det(a) R sut grupuri.. Fie M ( C) = A M ( C) det( A) =. Sã se arate cã mulþimea M ( C) împreuã cu îmulþirea matricelor formeazã u grup ecomutativ. Grupul matricelor ortogoale Fie M ( C) v DEFINIÞIE A. Matricea A ( C) Mulþimea matricelor ortogoale de ordiul se oteazã ( C ) OBSERVAŢII A O, M se umeºte matrice ortogoalã dacã t A A = I. O.. Dacã ( C ) atuci = { } Îtr-adevãr, di A O det A,. C se obþie cã t A A = I. () Di relaþia () se obþie succesiv: t t = det I = det A A = det A det A = det A. Aºadar, det ( A ) {, }.. Eistã icluziuea ( C) ( C ) TEOREMA 8 Perechea O O GL. (, ) C este u grup ecomutativ, umit grupul matricelor ortogoale de ordiul. Demostraþie Fie A, B O ( C ); rezultã cã t A A = I ºi t B B = I. t t t t AB AB B A AB B t t A A B = B B = I. Avem: = ( ) = Aºadar, AB O ( C ), iar mulþimea O mulþimii ( C ) C este parte stabilã a M î raport cu îmulþirea matricelor. Sã verificãm aiomele grupului.

42 Algebr I. Grupuri (G) Aioma asociativitãþii. Îmulþirea matricelor pe mulþimea O ( C ) este asociativã, fiid operaþie idusã de îmulþirea matricelor pe M C (proprietatea de ereditate a asociativitãþii). (G) Aioma elemetului eutru. Deoarece t I = I se obþie cã I I = I, deci I O ( C ). Rezultã cã I este elemetul eutru al O C. t îmulþirii matricelor pe mulþimea (G) Aioma elemetelor simetrizabile. A O. Fie ( C ) Di observaþia rezultã cã matricea A este iversabilã î mooidul ( C) se deduce cã t t t det A =±, deci M. Di relaþia t A A = I t A = A. Folosid aceastã relaþie se obþie = = = deci A A A A A A I, simetric al matricei A î O Îmulþirea matricelor u este comutativã. O C, Î cocluzie ( ) este grup ecomutativ. Eerciþiu rezolvat Fie C este matricea A O C, iar elemetul A. A O R. Sã se arate cã eistã α R, astfel îcât cos α si α A = si cos α α sau A cos α si α = si α cos α. Soluþie a b Fie A = O ( R ). c d Di codiþia t a c a b A A = I se obþie: = sau b d c d a + c = a + c ab+ cd =. Rezultã sistemul: ab + cd b + d b + d =. ab + cd = Di ecuaþia a + c = se deduce cã eistã α R, astfel îcât a = cos α. Rezultã c =± si α, iar di a treia ecuaþie se obþie bcosα=± dsi α. TEMĂ Fie ( R) ( R) Substituid d î ecuaþia b + d = se obþie b = ± siα ºi d =± cos α. cos α si α cos α si α Aºadar, A = sau A =. si α cos α si α cos α t { } O = A M A A = I. Sã se arate cã ( O, ) R este grup, umit grupul matricelor ortogoale de ordiul peste R.

43 Algebr I. Grupuri EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE E. Pe mulþimea C se defieºte operaþia algebricã,, y C C C y = + y + 5i. Sã se arate cã ( C, ) este grup comutativ. E. Pe mulþimea Z se cosiderã legile de Z Z Z,, y y = compoziþie = + y + 6 ºi (, y) y = + y 5. Sã se arate cã (, ) ( Z, ) sut grupuri comutative. = Z ºi E. Pe mulþimea M se cosiderã legea de M M M,, y y. compoziþie Sã se studieze dacã ( M, ) este grup î cazurile: a) M = Z, y = + y + ; b) M = Z, y = + y + ; c) M = R, y = y y + ; d) M = C, y = iy; e) M = C, y = + y + iy; f) M = (, + ), y = + y + y; y g) M = (, ), y = ; y y + M = C \ i, y = y + h) { } + i( + y) i. E. Pe mulþimea R se cosiderã legile de compoziþie G G G, def, y y = + y ºi def (, y) y = + y. Care ditre perechile ( G, ), ( G, ) este u grup? E5. Pe mulþimea G= (, ) se cosiderã legile de compoziþie G G G, def + y y = ºi + y def + y y =. + y Care ditre perechile ( G, ), ( G, ) formeazã grup comutativ? E6. Se cosiderã G = { + y,y Z, y = } ºi G = { + y,y Q, y =. } Care ditre mulþimile G ºi G este grup abelia î raport cu îmulþirea umerelor reale? E7. Se cosiderã mulþimea a bi G = A = a,b, det( A). bi a R Sã se arate cã G este u grup î raport cu îmulþirea matricelor. E8. Fie M = N, ( C) M. a) Sã se arate cã ( M, ) este grup comutativ. b) Sã se studieze dacã operaþia algebricã: A B = A B, defiitã pe mulþimea M determiã pe aceasta o structurã de grup. E9. Fie A = { σ S σ este permutare parã }. a) Sã se arate cã ( A, ) este grup (grupul alter de ordiul ). b) Petru ce valori ale lui grupul A este comutativ?

44 Algebr I. Grupuri APROFUNDARE A. Fie y G = y } y., y Q, = Sã se arate cã G este grup comutativ î raport cu îmulþirea matricelor. A. Se cosiderã mulþimea y G = A =,y Z, det ( A ) = }. y a) Sã se determie câte elemete are mulþimea G. b) Sã se arate cã (G, ) este grup. A. Pe mulþimea E = R* R se cosiderã legea de compoziþie E E E: (a, b) (c, d) = (ac, ad + b). Sã se arate cã (E, ) este grup. A. Se cosiderã G = R ºi legea de compoziþie G G G, (A, B) A B = AB. Perechea (G, ) este grup? A5. Pe mulþimea G = R \ {a} se defieºte legea de compoziþie G G G, y = y y + b. Sã se determie a, b R, astfel îcât ( G, ) sã fie u grup comutativ. A8. Fie f α : [, + ) [, + ), α α ( + ) + ( ) fα ( ) = ºi F = { fa a (, ) }. a) Sã se arate cã dacã α, β (, + ), atuci f f = f. α β αβ b) Sã se arate cã ( F, ) abelia. este u grup A9. Sã se determie a, b Z *, astfel îcât legea de compoziþie Z Z Z, (, y) y def = a + by + sã determie pe Z o structurã de grup. A. Petru u puct oarecare M di plaul P raportat la reperul cartezia Oy, se oteazã cu M, M, M simetricele acestuia faþã de aele O, Oy, respectiv puctul O. Se defiesc fucþiile s i : P P, i =, date de relaþiile: s ( M) M, = F M, = s ( M) = M, s M = s M = M ºi mulþimea = { s, s, s, s }. a) Sã se alcãtuiascã tabla operaþiei de compuere a fucþiilor pe mulþimea F. b) Sã se arate cã ( F, ) este grup comutativ (grupul lui Klei). A6. Fie f a : R R, f a () = a + a ºi F = {f a a R*}. Sã se arate cã ( F, ) este grup. M y M A7. Fie a R ºi fucþiile f a : R R, f a () = ch(a) + + sh(a). Dacã F = {f a a R}, sã se arate cã ( F, ) este grup abelia. M O M

45 Algebr I. Grupuri Reguli de calcul îtr-u grup.. Puterea uui elemet îtr-u grup Fie Î grupul G, u grup î otaþie multiplicativã ºi a,a,,a G,. G, se defieºte produsul a a a î mod recursiv, astfel: a a a = a a a a. Î cazul particular câd a = a = = a = a, produsul a a a = = a a a se oteazã a. Pri coveþie, petru = se cosiderã a = e, e fiid elemetul eutru al grupului. TEOREMA 9 Fie ( G, ) u grup î otaþie multiplicativã ºi a G. Avem: a) m m+ m = N b) a a a, m, ; m a = a, m, N. Demostraþie Folosid asociativitatea operaþiei î grup se obþie: m m+ a) a a = (a a... a) (a a... a) = (a a... a) = a. b) m m+ m m m m m a = (a a... a ) = (a a... a) (a a... a)...(a a... a) = (a a... a) = a. m m m m OBSERVAŢIE Î otaþie aditivã proprietãþile aterioare se scriu: (a + a a) = m a, ma + a = ( m + ) a ºi ( m ) a = m ( a ). m Petru cazul î care Z ºi <, puterea a = a = a, ude este elemetul simetric al elemetului a. a TEOREMA Fie ( G, ) u grup ºi a G. Atuci: a) b) a = a, Z ; m m+ a a = a, m, Z ; m c) m a = a, m, Z. a se defieºte astfel:

46 Demostraþie a) Petru < rezultã: = = = = a a a a a. b) Petru m, N se aplicã teorema 9. Petru m <, <, putem scrie: Algebr I. Grupuri m m m m m m+ a a = a a = a a = a a = a = a. m = + r. Fie m > ºi <. Dacã m>, atuci eistã Rezultã Î cazul m * r N, astfel îcât m + r r r + r m+ a a = a a = a a a = a a = a = a. < se obþie m = r >. m Rezultã: a a = (a a... a) a = (a a... a) (a a... a ) = m m m+ m m = (a a... a ) = a = a. c) Dacã m, N proprietatea este adevãratã. Dacã m <, >, m m m atuci avem: ( m)( ) celelalte situaþii. a = a = a = a. Aalog se aalizeazã.. Legi de simplificare TEOREMA Fie ( G, ) u grup. a) Dacã, y, z G ºi y = z, atuci y = z (legea simplificãrii la stâga). b) Dacã, y, z G ºi z = y z, atuci = y (legea simplificãrii la dreapta). Demostraþie a) Fie y = z. Compuem la stâga cu simetricul ºi rezultã ( ) ( ) al lui y = z y = z e y = = e z y = z. b) Fie z = y z. Compuem la dreapta cu simetricul lui z ºi rezultã: z z = y z z z z = y z z e = y e = y. 5

47 Algebr I. Grupuri OBSERVAŢII. Î otaþie aditivã relaþiile aterioare se scriu: + y = + z y = z ºi + z = y + z = y, reprezetâd legile reducerii. Î particular, + = =.. Dacã ( G, ) este u grup fiit, atuci î tabla lui Cayley a grupului, pe fiecare liie (coloaã) toate elemetele sut disticte. Îtr-adevãr, dacã, de eemplu pe liia i ar fi douã elemete egale, ele ar avea forma ai ak = ai a m. Di legile de simplificare se obþie a k = a m, ceea ce u se poate. Eerciþiu rezolvat Fie mulþimea M { a,b,c,d} (, y) y, astfel îcât = ºi legea de compoziþie M M M, M, este u grup. Sã se alcãtuiascã tabla grupului, ºtiid cã b a = b ºi b b = c. Soluþie Tabla icompletã a grupului, coform euþului, aratã ca î figura alãturatã. Deoarece b a = b, rezultã b a = b e ºi di legea simplificãrii la stâga se obþie a = e. Pe liia a doua a tablei grupului trebuie sã aparã ºi elemetele a ºi d. Dacã b d = d, ar rezulta b = e = a ºi u se poate. Rãmâe umai posibilitatea b d = a ºi b c = d. Astfel, a doua liie este: b, c, d, a. Aalog, a doua coloaã este b, c, d, a. Produsul c d u poate fi egal cu c sau d, deoarece acestea apar ºi pe liia a treia ºi ici cu a, deoarece acesta apare deja pe coloaa a patra. Rezultã cã c d = b ºi, aalog, d c = b. Observâd elemetele de pe liiile ºi se obþie c c = a ºi d d = a. Probleme rezolvate. Pe mulþimea Z se cosiderã operaþiile algebrice: y = + y, y = + y + 6, y Z. G = Z,, G = Z, sut grupuri comutative. a) Sã se arate cã G: ( ) b) Sã se calculeze î G ºi c) Sã se determie:,,,,. *, N î G, respectiv G. a b c d a b b c c d 6

48 Soluþie a) Se verificã aiomele grupului. (Temã) Algebr I. Grupuri b) Î grupul G avem: = = + =, = = 5, = = ( + ) = 5 = 5+ = 7, = + = ºi ( ) ( ) ( ) ( ) = + =. = = = = = = = = Î grupul G avem: = = =, = + 6 =, ( ) ( 6) = =, = = = = = + + = = = = = + 6 iar = = = ( ) ( ) = = = + 8. c) Î grupul G, avem: =, =, =. =. Demostraþia se face pri iducþie Se observã cã matematicã. Petru = avem =. k = k k ºi avem: Presupuem cã k k k + = = + = k k + = k + k. Aºadar egalitatea are loc ºi petru k +, deci este adevãratã * petru oricare N. Î grupul G avem: 6, = + = +, = + 8. Se presupue cã 6( ) = + ºi se aratã pri iducþie. (Temã). Pe mulþimea M = R \{ } se cosiderã operaþia algebricã: y = y y +,, y M. a) Sã se arate cã ( M, ) este grup comutativ. b) Sã se arate cã = +, M. c) Sã se calculeze î grupul M: 5,, ºi sã se verifice cã 5 =. d) Sã se arate cã petru N, eistã egalitatea: = +, M. e) Sã se verifice pri calcul cã m m = + Soluþie a) Se verificã aiomele grupului. (Temã) M,. î grupul ( ) b) = 8 + = = +. 7

49 Algebr I. Grupuri c) Avem succesiv: = = + = + = 8, = = 8 = =, = = = + = =, 5 = = = 8. k 5 = 8 = + = 8 =. Obþiem: d) Petru = s-a verificat cã = ( ) k k + ºi arãtãm cã k + = +. Presupuem cã + = +. Avem: k k k k k = = + = + = k k+ = + + = + + = k + = +. Aºadar, afirmaþia este adevãratã ºi petru k +. Di pricipiul iducþiei rezultã cã ea este adevãratã petru orice N. m m m e) Avem: = + = m ( ) + m ( ) ( ) ( ) ( ) = m m = m + = + = m +. m+ +. Fie ( G, ) u grup. Sã se arate cã petru oricare a, b, c G, ecuaþiile a = b, y a = b ºi azb = c au soluþie uicã. Soluþie Sã rezolvãm prima ecuaþie. a b a eb a aa = = = b a = a a b. Avem succesiv: Folosid regula de simplificare la stâga se obþie = a b. ya = b ya = be ya = b a a ya = ba a ºi folosid Aalog: regula de simplificare la dreapta se obþie cã y = ba. Petru ecuaþia azb = c, avem succesiv: azb = c a ( zb) = c zb = a c z = a cb. Aºadar cele trei ecuaþii au soluþii uice. Reþiem a = b = a b ya = b y = ba azb = c z = a cb * 8

50 Algebr I. Grupuri EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE E. Pe mulþimea G = C \{} se defieºte legea de compoziþie G G G, def, y y = + y y. a) Sã se arate cã ( G, ) este grup comutativ. b) Sã se calculeze î grupul G: ( + i ), ( i) ºi i 5. a E. Fie G = a Z. a) Sã se arate cã G este grup comutativ î raport cu îmulþirea matricelor. b) Fie A G. Sã se calculeze A, * N. E. Se cosiderã mulþimea G= (, + )\{ } ºi legea de compoziþie G G G, def log y, y y =. a) Sã se arate cã ( G, ) este grup comutativ. b) Sã se determie G. ºi,, E. Pe mulþimea G= (, + ) se defieºte legea de compoziþie G G G, def (, y) y = y ( + y) +. a) Sã se arate cã ( G, ) este u grup comutativ. b) Î grupul ( G, ) sã se determie 5 ºi, ºi G. E5. Fie ( G, ) u grup ºi a, b G astfel îcât ab = ba. Sã se arate cã: a) a b = ba ; b) a b = b a ; c) a b = ba, N. E6. Fie ( G, ) u grup, a, b G ºi aba. = Sã se calculeze: 5 * a) ; b) ; c), N. APROFUNDARE A. Fie ( G, ) u grup ºi a, b G, astfel îcât ab = ba. Sã se arate cã: a) a b = ba, Z; m m b) a b = b a, m, Z. A. Fie ( G, ) u grup ºi a, b G, astfel îcât a = b ºi arate cã: a) dacã = aba, atuci b) dacã = aba, atuci b = a. Sã se e; = = e. A. Î grupul ( G, ) se cosiderã elemetele a ºi b, astfel îcât ab = e. Sã se arate cã ba = e. A. Fie ( G, ) u grup ºi a, b G, astfel îcât ab = e. Sã se arate cã ab = ba. A5. Fie ( G, ) u grup ºi, y G. Dacã 5 cã = e ºi y = y, sã se arate y e. = A6. Î grupul ( G, ) se cosiderã elemetele a, b, c astfel îcât abc = e. Sã se arate cã: a) bca = e; b) cab = e. A7. Se cosiderã grupul ( G, ) ºi a, b G, astfel îcât aba = bab. Sã se arate cã 5 5 a = e, dacã ºi umai dacã b = e. 9

51 Algebr I. Grupuri A8. Fie ( G, ) u grup ºi a, b G. Sã se arate cã: a) dacã = aba, atuci = ab a, Z; * b) dacã Z, astfel îcât aba = e, atuci b = e. A9. Fie ( A, ) u grup, = { } A a,b,c,d,e. Dacã ab = d, ca = e, dc = b, sã se alcãtuiascã tabla grupului. A. Fie ( G, ) u grup. Sã se arate cã G este comutativ dacã are loc ua ditre situaþiile: a) = e, G; b) ( y) = y,, y G; c) ( y) = y,, y G; d) = { } e) y y,, y G \ e ; = e ºi y = y,,y G; e y = y,, y G; y = y,, y G \ e. f) = ºi g) { } A. Fie σ, τ, θ S, σ=, τ=, θ=. Sã se rezolve ecuaþiile: a) σ = τ; b) σ = τ; c) στ = θ; d) σ = σ; e) = σ ; f) =θ ; 7 g) σ = θ. 5 Morfisme de grupuri Fie ( G, ) ºi ( ) G, douã grupuri. v DEFINIÞII Fucþia f : G G se umeºte morfism (omomorfism) f ( ) de grupuri dacã f( y) = f ( ) f( y ), y f ( ) f ( y), y G. Fucþia f:g G se umeºte izomorfism de y f ( y ) grupuri dacã f este morfism de grupuri ºi este f G fucþie bijectivã. G Grupurile ( G, ) ºi ( G, ) se umesc grupuri izomorfe ºi se scrie G G, dacã ître ele eistã cel puþi u izomorfism de grupuri. Eemple Fucþia f: Z {,,f } ( ) = ( ) este morfism ître grupurile ( Z, + ) ºi ({ } ) m+ m Îtr-adevãr, avem: f ( m + ) = ( ) = ( ) ( ) = f ( m) f ( ), m, Z. Fucþia f: R (, ),f( ) = este izomorfism ître grupurile (, + ) y ((, ), ). Îtr-adevãr, fucþia epoeþialã f este bijectivã ºi: f ( y) + y = = f ( ) f ( y ),, y R. Aºadar, grupurile ( R, + ) ºi ((, ), ) sut izomorfe. 5,,. R ºi + = =

52 Fie I( C) M * f:i ( C) C,f( A) = det( A) este morfism ître grupurile ( I, ) Algebr I. Grupuri C mulþimea matricelor de ordiul, iversabile. Fucþia *,, C ºi ( C ) deoarece: ( ) = ( ) = = ( C ) Problemã rezolvatã f A B det A B det A det B f A f B, A, B I. Pe mulþimea Z se cosiderã legile de compoziþie: Z Z Z, def, y y = + y + ; def Z Z Z, a) Sã se arate cã ( Z, ) ºi (, ), y y = + y + 5. Z sut grupuri. b) Sã se determie a, b Z, petru care fucþia f : Z Z, f a b,, Z,. = + este izomorfism ître grupurile ( Z ) ºi Soluþie a) Se verificã aiomele grupului. b) Fucþia f este morfism de grupuri dacã ( ) =, y Z. () f y f f y, Di relaþia () se obþie a( + y+ ) + b= a+ b+ ay+ b+ 5,, y Z, relaþie di care rezultã a = b + 5. f = a + a 5. Aºadar, Petru ca f sã fie bijectivã este ecesar ca f sã fie ijectivã ºi surjectivã. Di surjectivitatea fucþiei f, petru y = a trebuie sã eiste Z, astfel ca f() = a. a,. Rezultã cã a =, de ude se obþie { } Fucþiile f sut: f( ) = ºi f( ) 6, sut bijective. = care se costatã cã TEOREMA Fie ( G, ) ºi ( G, ) douã grupuri cu elemetele eutru e ºi e, ºi f:g G u morfism de grupuri. Atuci: f e = e ; a) f = f, G ; b) c) f = f, G ºi Z. 5

53 Algebr I. Grupuri Demostraþie fmorfism a) Avem: f( e) = f( e e) = f ( e) f( e ). Simplificâd cu f ( e ) î grupul G se obþie b) Avem: f e = e. f f = f = f e = e, G. Di aceastã relaþie rezultã: f f = f f ºi, aplicâd legea de simplificare la stâga cu f ( ), se obþie relaþia cerutã f = f, G. c) Petru = rezultã Petru f e = e, adicã relaþia a). * N, avem succesiv: ( = ) = = = = f f f f f() f ()... f() f(). Petru <, avem succesiv: ( ) f( ) = f ( ) = ( f( )) = ( f ( ) ) = ( f( )). OBSERVAŢIE Î scriere aditivã, relaþiile aterioare se scriu: f = ; a) b) f( ) = f( ), G ; c) f( ) = f ( ), G ºi Z. TEOREMA Fie grupurile ( G, ),( G, ) ºi ( ) G,. a) Dacã f:g G ºi g:g G sut morfisme de grupuri, atuci h:g G,h= g f este morfism de grupuri. b) Dacã f:g G este izomorfism de grupuri, atuci f :G G este izomorfism de grupuri. Demostraþie a) Avem succesiv: h y = g f y = g f f y = g f g f y = h h y,, y G. ( ) ( ) ( ) b) Fucþia f :G G este bijectivã. Fie y,y G. Deoarece f:g G este fucþie bijectivã, rezultã cã eistã, G, astfel îcât f( ) = y ºi f = y. 5

54 ( ) Avem: = f y f y. Aºadar, 5 Algebr I. Grupuri f y y = f f f = f f = = f v DEFINIÞII G, u grup. Fie este izomorfism de grupuri. U morfism f : G G se umeºte edomorfism al grupului G. U izomorfism f : G G se umeºte automorfism al grupului G. Ed G, iar Mulþimea edomorfismelor uui grup G se oteazã mulþimea automorfismelor lui G se oteazã Aut ( G ). TEOREMA G, u grup. Atuci: Fie a) b) Demostraþie Ed G, este mooid; Aut G, este grup. f, g Ed G, atuci ºi a) Di teorema rezultã cã dacã f g Ed G. Compuerea fucþiilor este asociativã, deci ºi compuerea edomorfismelor lui G este asociativã. Fucþia ideticã G este edo- Ed G, este mooid. morfism al lui G. Î cocluzie, b) Dacã f, g Aut ( G ), di teorema rezultã cã f g Aut ( G ). Compuerea fucþiilor pe Aut ( G ) este asociativã ºi admite pe Aut ( G) elemet eutru. Dacã f Aut ( G ), atuci ºi f Aut ( G ), G Aut G, este grup. Se observã avâd î vedere teorema. Aºadar, cã Aut ( G ), este grupul uitãþilor mooidului Eemplu Ed G,. Fie ( Z, + ) grupul aditiv al umerelor îtregi. a) Sã se determie mooidul ( Ed ( Z), ). b) Sã se determie Aut ( Z ) ºi sã se arate cã grupurile ( Aut ( Z), ) ºi izomorfe. Soluþie f Ed. a) Fie ( Z ) Rezultã cã f ( ) f ( ) f ( ),, Fie a = f ( ); atuci u edomorfism al lui Z este fucþia a Z Z a Î cocluzie, Ed ( Z) = { f a Z }. a = = Z (teorema ). Z, + sut f :, f = a.

55 Algebr I. Grupuri b) Deoarece Aut ( Z) Ed ( Z ), rezultã cã automorfismele lui Z sut de forma fa ( ) = a. Dacã fucþia f a este surjectivã, atuci rezultã cã eistã Z astfel îcât fa ( ) =. Di aceastã relaþie rezultã cã a = ºi de aici a {, }. Aºadar, Aut ( Z ) = { f, f }. Z Z astfel: ϕ ( ˆ) = f, ϕ ( ) = f. Defiim ϕ : Aut, Evidet, fucþia ϕ este bijectivã. De asemeea, ϕ este ºi morfism de grupuri, deoarece: ϕ + = ϕ = f ºi ϕ ϕ = f f = f ; ( ) ( ) f ºi ϕ ϕ = = ( ) ( ) f ºi ϕ ( ) ϕ ( ) = f f = f. ϕ + = ϕ = ϕ + = ϕ = f f f ; Aºadar, are loc izomorfismul de grupuri: ( Z + ) ( ( Z) ), Aut,. COMENTARII a) Cele douã table ale operaþiilor grupurilor sut redate mai jos. f f f f f f f f, + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Se observã cã aceste table au aceeaºi structurã cu urmãtoarea tablã: e a e e a a a e b) Î geeral, douã grupuri cu u umãr fiit de elemete sut izomorfe dacã tablele operaþiilor lor sut la fel structurate. TEMĂ DE PROIECT. Sã se arate cã fucþia f : C* R*, f(z) = z este morfism ître grupurile (C*, ) ºi (R*, ).. Se oteazã C (R) mulþimea fucþiilor cotiue pe R ºi C (R) mulþimea fucþiilor derivabile pe R cu derivata cotiuã. Sã se arate cã: a) (C (R), +), (C (R), +) sut grupuri comutative. b) fucþia ϕ : C (R) C (R), ϕ(f) = f, ude f este derivata fucþiei f, este morfism de grupuri. c) Sã se determie mulþimea M = {f C (R) ϕ(f) = }. d) Sã se arate cã fucþia ϕ este surjectivã ºi eijectivã. 5

56 Algebr I. Grupuri EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE E. Fie ( G, + ) u grup, ude G = Z, Q, R, C, ºi a G. Sã se arate cã f : G G, f = a este u edomorfism de grupuri. Î ce caz f este automorfism de grupuri? E. Fie ( C, + ) grupul aditiv al umerelor complee. Sã se arate cã f : C C, f ( z) = z este automorfism de grupuri. E. Fie ( C *, ) grupul multiplicativ al umerelor complee. Sã se arate * * cã f: C C,f( z) = z este automorfism de grupuri. E. Notãm Q = { + Q } 7 a b 7 a,b. Sã se arate cã: Q 7,+ este grup comutativ; a) b) f: Q Q f 7 7, a+ b 7 = a b 7 este automorfism de grupuri. E5. Se cosiderã mulþimea: M A() A() = =, R. Sã se arate cã: a) ( M, + ) este grup; b) f: R M,f( ) = A( ) este izomorfism de grupuri ître ( R, + ) ºi ( M, + ). E6. Pe mulþimea R se defiesc legile de compoziþie y= + y+ a, y = = + ay. Sã se determie a, b R petru care f : R R, f ( ) = + b, sã fie izomorfism ître grupurile, R,. ( R ) ºi E7. Fie G = (, ) ºi legea de compo y ziþie pe G, y =. Sã se 9 + y arate cã: a) ( G, ) este grup comutativ; + f log este b) f : G R, = izomorfism ître grupurile ( G, ) ºi ( R, + ). E8. Fie F= { f,f,f,f} ude i R i =, ºi f ( ) =, * * f: R, f =, f ( ) =, f ( ) =. Sã se arate cã: a) ( F, ) este grup comutativ. b) ( F, ) este izomorf cu grupul lui Klei. E9. Fie F= { f,f,f} ude f i : R { } R \{, }, i =, ºi = \, f, f ( ) =, f ( ) =. Sã se arate cã: F, este grup comutativ; a) b) ( ) ( Z + ) F,,. E. Fie ( G, ) u grup ºi a G. Pe G se defieºte legea de compoziþie, y y = ay. Sã G G G, se arate cã ( G, ) este u grup ºi ( G, ) ( G, ). 55

57 Algebr I. Grupuri APROFUNDARE G = A a a R. Sã se arate cã: G, este u grup comutativ; A. Fie = a a) b) ( ) ( R + ) G,,. a a G= A a a a. R A. Fie = A. Fie Sã se arate cã: G, este u grup comutativ. a) b) ( ) ( R + ) G,,. A = { } ºi mulþimea M = A. Sã se arate cã ( M, ) este u grup comutativ izomorf cu u grup multiplicativ de umere complee. A. Pe mulþimea G = (, + ) se cosiderã legea de compoziþie: y = y y +. a) Sã se arate cã ( G, ) este u grup comutativ. b) Sã se determie a, b R, petru * care f: G, f = a + b este R + izomorfism ître grupurile ºi ( G, ). (, +, ) cos α si α A5. Fie G = α R si α cos α ºi = { = } G z C z. Sã se arate cã ( G, ) ºi ( ) G, sut grupuri izomorfe. a b A6. Fie G = a,b Q, a b = b a ºi = { + Q = } G y, y, y. Sã se arate cã grupurile ( G, ) ºi ( G, ) sut izomorfe. A7. Fie G =, ºi legea de compo- ziþie G G G, (, y) y = = arctg ( tg + tg y ). Sã se arate cã: a) ( G, ) este u grup comutativ. b) ( G, ) ( R, + ). A8. Fie G = (, + ) ºi legea de compoziþie G G G, (, y) y = = y y +. a) Sã se arate cã ( G, ) este u grup comutativ. b) Sã se determie a, b R, f:, G, petru care fucþia f( ) = a+ b este izomorfism ître grupurile ((, + ), ) ºi ( G, ). A9. Fie ( G, ) u grup ºi a G. Sã se arate cã f : G G, f ( ) = aa a este automorfism al grupului G ( f a se umeºte automorfism iterior al grupului G). A. Fie ( G, ) u grup. Sã se arate cã f : G G, f ( ) a = este automorfism al grupului G dacã ºi umai dacã G este comutativ. A. Se cosiderã fucþia f :G G, f ( ) a, > =, a = ºi = ( + ) a { a } F f a,. Sã se arate cã: a) ( F, ) este grup comutativ; b) ( F, ) ((, + ), ). 56

58 Algebr I. Grupuri TESTE DE EVALUARE Testul. Fie G = C \ {} ºi legea de compoziþie a) Sã se determie ( i) ( + i) ºi i i i i. b) Sã se arate cã ( G, ) este grup comutativ. c) Sã se rezolve î G ecuaþiile: = = ( ) d) Sã se rezolve î G sistemul: i = i y. ( + ) y = G G G,, y y = + y y. i i i; i i i.. Fie ( G, ) u grup ºi a, b G, astfel îcât ab ba. (6 pucte) a) Sã se arate cã urmãtoarele elemete sut disticte: e, a, b, ab, ba. b) Sã se arate cã u grup ecomutativ are cel puþi 5 elemete. ( pucte) Testul. Pe mulþimea G = (, ) (, + ) se defieºte legea de compoziþie G G G, l( y ), y y = +. Sã se stabileascã valoarea de adevãr a propoziþiilor: a) G u este parte stabilã î raport cu legea datã. b) Legea de compoziþie este asociativã. c) Legea de compoziþie admite elemetul eutru umãrul e +. d) ( G, ) este grup abelia.. Pe mulþimea R se cosiderã legile de compoziþie: y = a + by ºi y = y y + c. a) Sã se determie a, b R petru care ( R, ) este grup abelia. b) Sã se determie a, b, c R petru care ( R, ) este grup abelia ºi ( y) z = ( z) ( y z ),, y, z R. (6 pucte) c) Î codiþiile gãsite la b) sã se determie elemetele simetrizabile î mooidul ( R, ). ( pucte) 57

59 Algebr I. Grupuri Testul. Se cosiderã mulþimea de matrice: m M = A( m) = m Z M ( Z). a) Sã se arate cã M este parte stabilã a mulþimii îmulþirea matricelor. M î raport cu Z b) Sã se determie m Z ºtiid cã + = ( + ) A m m A m A m. c) Sã se arate cã ( M, ) este grup comutativ. d) Sã se determie α, β Z astfel îcât fucþia f: Z M,f( ) = A( α + β) sã fie izomorfism ître grupurile ( Z, + ) ºi ( M, ). R R R datã pri. Se cosiderã fucþia f: 6, f a = amod, amod. a) Sã se arate cã f este fucþie bijectivã. G = f, R. { } b) Sã se determie mulþimea () c) Sã se arate cã ( G, ) este grup. Testul. Se cosiderã mulþimile = ( + ) = ( ). Fie G,, G,. Pe mulþimile G ºi G se defiesc operaþiile algebrice: y = y + + y,,y G ºi y = + y y,, y G. + = + =. a) Sã se rezolve ecuaþiile ºi b) Sã se arate cã ( G, ) ºi ( G, ) sut grupuri comutative. c) Fucþia f:g G,f( ) = este izomorfism de grupuri? + σ S o permutare cu elemete,. f σ : S S, fσ = σσ este automorfism de grupuri. = f σ S, F, este grup? a) Sã se arate cã fucþia b) Dacã F { σ } perechea Testul 5. Se cosiderã mulþimea M ( C) ºi submulþimea: a b H M ( C), H = A = a, b. b a C a) Sã se demostreze cã dacã A, B H atuci A + B H. b) Sã se verifice cã O H. c) Sã se arate cã dacã A H atuci A H. 58

60 Algebr I. Grupuri d) Sã se arate cã submulþimea H împreuã cu operaþia de aduare idusã formeazã o structurã de grup comutativ. e) Sã se demostreze cã dacã A H ºi are determiatul zero, atuci A = O. (Bacalaureat, iuie ). Pe mulþimea Z se cosiderã operaþiile algebrice: y = a + cy + b ºi y = c + cy + a + b. a) Sã se determie a, b, c, grupuri. Z petru care perechile ( Z, ) ºi (, ) b) Sã se determie m, Z petru care fucþia Z Z este izomorfism ître grupurile ( Z, ) ºi ( Z, ). Z sut f:,f = m+. Se cosiderã mulþimea F a fucþiilor f: R R, derivabile cu proprietatea cã f ( ) = f ( ), R. a) Sã se arate cã aduarea fucþiilor determiã pe mulþimea F o structurã de grup comutativ. b) Sã se arate cã grupul ( F, + ) este izomorf cu grupul aditiv ( R + ),. Testul 6. Pe mulþimea umerelor reale R se defieºte legea de compoziþie: y = y 6 6y +, petru orice, y R. a) Sã se arate cã legea este asociativã ºi comutativã. b) Sã se determie elemetul eutru. * c) Sã se demostreze cã petru oricare N are loc idetitatea: = ( ) +, R. de ori. Pe mulþimea G (, ), y G. a) Sã se arate cã ( G, ) este grup abelia. ( y) = 8 b) Sã se rezolve sistemul:. ( ) y = 6 c) Sã se arate cã ître grupurile ((, + ), ) ºi de forma f ( ) = a.. Fie mulþimea a) Sã se determie (Bacalaureat, iuie ) log = + se defieºte legea de compoziþie y y =, a + b * M = R. * a, b, R astfel îcât G, eistã u izomorfism (Uiv. Craiova, septembrie ) M, sã fie grup. b) Sã se arate cã toate grupurile obþiute la puctul a) sut izomorfe. 59

61 Algebr II. Iele şi corpuri II. INELE ªI CORPURI Defiiţii şi eemple v DEFINIÞII Fie A o mulþime evidã ºi legile de compoziþie: A A A, (, y) y; A A A, (, y) y. Tripletul ( A,, ) se umeºte iel dacã sut verificate aiomele: (A) Aioma grupului: Perechea ( A, ) este grup comutativ. (A) Aioma mooidului: Perechea ( A, ) este mooid. (A) Aiomele distributivitãþii: ( y z) = ( y) ( z ),, y, z A; ( y) z = ( z) ( y z ),, y, z A. Ielul ( A,, ) se umeºte iel comutativ dacã legea de compoziþie este comutativã. A,,. Petru simplificarea scrierii, atuci câd este posibil, petru cele douã legi de compoziþie ºi se folosesc otaþiile + ºi. Astfel, Grupul ( A, ) se umeºte grupul subiacet al ielului ( ) tripletul ( A,, ) capãtã scrierea ( + ) A,,. Prima operaþie a ielului se umeºte aduarea ielului, iar a doua operaþie se umeºte îmulþirea ielului. Elemetul eutru al aduãrii ielului se umeºte elemet ul sau zero ºi se oteazã sau, mai simplu,. Simetricul uui elemet A A î grupul subiacet ( A, + ) se umeºte opusul lui ºi se oteazã. Dacã a, b A, a + b se oteazã a b ºi se umeºte elemetul difereþa elemetelor a ºi b. Elemetul eutru al mooidului 6 A, se umeºte elemetul uitate al ielului ºi se oteazã A sau, mai simplu,. Cu otaþiile + ºi petru operaþiile ielului, aiomele distributivitãþii se scriu: y + z = y + z,, y, z A; ( + y) z = z+ y z,, y, z A.

62 Algebr II. Iele şi corpuri Elemetele simetrizabile ale mooidului Acestea reprezitã reguli de îmulþire a uui elemet cu o sumã, respectiv a îmulþirii uei sume cu u elemet al ielului. A, se umesc elemete iversabile ale ielului A sau uitãþi ale ielului A. Mulþimea A. U A, uitãþilor ielului A se oteazã U Se ºtie cã perechea este u grup, umit grupul uitãþilor ielului A. Dacã este iversabil, iversul sãu se oteazã. Eemple de iele Di proprietãþile aduãrii ºi îmulþirii umerelor rezultã cã tripletele ( Z + ) ( Q + ) ( R, +, ), ( C, +, ) sut iele comutative, umite iele umerice. 6,,,,,, Avâd î vedere proprietãþile aduãrii ºi îmulþirii matricelor, rezultã cã tripletele ( M( Z), +, ), ( M( Q), +, ), ( M ( R), +, ) ºi ( M ( C), +, ),, sut iele ecomutative. Elemetul ul î aceste iele este matricea ulã O, iar elemetul uitate este matricea uitate I. TEMĂ. Activitate idividualã Sã se determie grupul uitãþilor ielelor umerice Z, Q, R, C.. Activitate pe grupe Pe mulþimea Z se cosiderã legile de compoziþie: Grupa Grupa Grupa y = + y +, y = + y, y = + y +, T y = y + + y, T y = + y y, T y = y + + y + 6. Z,, T este iel comutativ. a) Sã se studieze dacã b) Sã se determie U ( Z)... Ielul claselor de resturi modulo { } Fie N * ºi Z =,,,..., mulþimea claselor de resturi modulo. Se ºtie cã ( Z ) este grup comutativ, iar, + Z, este mooid comutativ. Se verificã totodatã ºi aiomele distributivitãþii: y + z = y z = y z = y z = y + z = = y + z,, y, z Z. Aalog, + y z = z + y z,, y, z Z. Aºadar, îmulþirea claselor de resturi modulo este distributivã î raport cu aduarea claselor de resturi modulo.

63 Algebr II. Iele şi corpuri Î cocluzie, tripletul ( + ) Z,, este u iel comutativ, umit ielul claselor de resturi modulo. Î mooidul ( Z, ) u elemet p Z este iversabil dacã ºi { } umai dacã ( p, ) =. Se obþie cã U ( Z ) Z TEMĂ = p p, =. Î particular, dacã este umãr prim, rezultã cã Activitate pe grupe de elevi. Sã se determie elemetele iversabile î ielele: Grupa Grupa Grupa Z, Z6, Z 6 Z, Z8, Z 8 Z5, Z, Z. Sã se determie elemetele di ielul ( M,, ) dacã: Grupa Grupa Grupa M = Z 6 M = Z 9 M = Z 5 { } ºi sã se arate cã M, = U M... Iele de matrice pãtratice U { } Z = Z \. + cu proprietatea cã =, Fie ( K, +, ) u iel comutativ. Petru N * se oteazã cu M ( K ) Pe mulþimea mulþimea matricelor pãtratice de ordiul cu elemete di ielul K. M K se defiesc operaþiile de aduare ºi îmulþire ale matricelor, astfel: Dacã = ( ij ) = ( ij ) A + B = ( aij + b ij ); A, B M K, A a, B b, atuci: ( ij ) A B = c, ude c = a b. ij ik kj k= De asemeea, petru matricea A ( K) M se defieºte determiatul acesteia: det ( A ) = ε( σ) a σ a σ... aσ( ) σ S care este u elemet al ielului K. Proprietãþile determiaþilor sut aceleaºi ca î cazul determiaþilor cu coeficieþi î iele umerice. Modul î care s-a defiit aduarea ºi îmulþirea matricelor pe M K face ca proprietãþile acestora sã fie asemããtoare cu mulþimea cele defiite pe mulþimea ( C) M Astfel, are loc urmãtorul rezultat:. 6

64 TEOREMA Fie ( K, +, ) u iel comutativ. Atuci: ( K, +, ) a) tripletul Algebr II. Iele şi corpuri M este u iel, umit ielul matricelor pãtratice de ordi peste ielul K; b) petru, M K este iel ecomutativ ºi are divizori ai lui zero. ielul Demostraþie a) Se verificã aiomele ielului, avâd î vedere proprietãþile operaþiilor î ielul K. Elemetul eutru este matricea ulã O cu toate elemetele egale cu k elemetul ul di ielul K, iar elemetul uitate este matricea I cu toate elemetele de pe diagoala pricipalã egale cu k ºi î rest egale cu k. b) Ielul este ecomutativ, deoarece, luâd matricele: A = ºi B = se obþie A B = B ºi B A = O, deci A B B A. Di egalitatea B A = O, se observã cã matricele A ºi B sut divizori ai lui zero, deci ielul M ( K) are divizori ai lui zero. Urmãtorul rezultat precizeazã care sut elemetele iversabile î M ielul ( K ). TEOREMA Fie ( K, +, ) u iel comutativ, ( M ( K, ) +, ) ielul matricelor pãtratice de ordiul peste ielul K ºi A M ( K) o matrice. Matricea A este iversabilã î ielul M ( K ), dacã ºi umai dacã d = det A este elemet iversabil î ielul K. Demostraþie Fie A M ( K) o matrice iversabilã. Atuci eistã B M ( K ), astfel îcât A B = B A = I. Folosid proprietãþile determiaþilor se det A B det I det A det B, det A U K. obþie cã ( ) = ( ) = ºi = deci Reciproc, fie det ( A ) U ( K ). Ca ºi î cazul ielelor umerice, matricea A, iversa matricei A, se costruieºte dupã acelaºi algoritm: 6

65 Algebr II. Iele şi corpuri cã A costrucþia matricei traspuse t A; costrucþia matricei adjucte 6 * A; matricea iversã: ( ) * A = det A A. Pritr-u procedeu aalog aceluia di ielele umerice, se aratã are proprietatea: A A = A A = I. ( ) Grupul multiplicativ ( K ) ielul K se oteazã GL peste ielul K. U M al matricelor iversabile peste K ºi se umeºte grupul liiar de ordiul { } Avem: = M U Probleme rezolvate Soluþie GL K A K det A K. este iver-. Sã se verifice dacã matricea A = M sabilã ºi î caz afirmativ, sã se afle A. { } Se ºtie cã ( Z ) = U 5,,,. det A, deci A este matrice iver- Avem: = = = U ( Z5 ) sabilã î M ( Z ) Soluþie ( Z ) 5 5. Coform algoritmului de determiare a matricei iverse, se obþie: t * A = ºi A = = ºi A = = =. a. Se cosiderã matricea A = M ( Z6). Sã se determie a petru care matricea A este iversabilã. Avem det ( A ) = a. Matricea A este iversabilã dacã U ( Z ) = 6 { } a, 5.

66 F Rezultã cazurile: a = cu soluþiile Aºadar, A este iversabilã petru.. Iele de fucþii reale Fie (, +, ) ( M) = { f f :M R}. { } a, ; Algebr II. Iele şi corpuri { } a = + 5 =, cu soluþiile a,. { } a,,,. R ielul umerelor reale, M R o mulþime evidã ºi Pe mulþimea F ( M) se defiesc operaþiile de aduare ºi îmulþire a fucþiilor: + : F M F M F M, f, g f + g, f + g = f + g, M, : F M F M F M, f, g f g, f g = f g, M. Referitor la operaþiile de aduare ºi îmulþire a fucþiilor reale are loc urmãtorul rezultat: TEOREMA ( M, +, ) Tripletul F este iel comutativ, umit ielul fucþiilor defiite pe M cu valori î R. Demostraþie Verificarea aiomelor structurii de iel se face avâd î vedere proprietãþile aduãrii ºi îmulþirii umerelor reale. ( M,+ ) Aiomele grupului: F este grup comutativ. Asociativitate. Fie f, g, h F ( M ). Atuci petru M, se obþie: (( f + g) + h)( ) = ( f + g)( ) + h( ) = ( f( ) + g( ) ) + h( ) = f( ) + ( g( ) + h( ) ) = = f( ) + ( g+ h)( ) = ( f + ( g+ h) )( ). Aºadar: ( f + g) + h = f + ( g+ h ). Elemet eutru. Se observã uºor cã fucþia ulã, R este elemet eutru faþã de aduare. f:m,f =, Elemete simetrizabile. Dacã f F ( M ), atuci fucþia f F ( M) este elemetul simetric petru fucþia f. Comutativitate. Fie f, g F ( M ). Atuci, petru M avem: ( f + g)( ) = f( ) + g( ) = g( ) + f ( ) = ( g+ f)( ), deci f + g = g + f. 65

67 Algebr II. Iele şi corpuri ( M, ) Aiomele mooidului: F este mooid comutativ. Asociativitate. Fie f, g, h F ( M ). Petru M, avem: ( ) = f ( ) ( gh)( ) = ( f ( gh) )( ), deci ( fg) h = f ( gh ). Elemet eutru. Fucþia R ( ) f g h = f g h = f g h = f g h = f F M,f:M,f =, R, este elemet eutru î raport cu îmulþirea fucþiilor. f, g F M ºi M, avem: Comutativitate. Dacã ( f g)( ) = f ( ) g( ) = g( ) f ( ) = ( g f)( ), deci f g = g f. Aiomele de distributivitate f, g, h F M ºi M. Se obþie succesiv: Fie ( ) + f( ) h( ) = ( f g)( ) + ( f h)( ) = ( f g+ f h)( ), deci Aalog se aratã cã ( f + g) h = f h+ g h. Aºadar F ( M, ) +, este iel comutativ. f g+ h = f g+ h = f g + h = f g + OBSERVAŢII f g+ h = f g+ f h.. Î cazul î care fucþiile di mulþimea F ( M) au aumite proprietãþi se obþi iele remarcabile de fucþii reale. Dacã C ([ a, b] ) = { f : [ a, b] R f cotiuã }, se obþie ielul comutativ ( C ([ a, b ]), +, ) al fucþiilor cotiue. Dacã D ([ a, b] ) = { f : [ a, b] R f derivabilã }, se obþie ielul comutativ ( D ([ a, b ]), +, ) al fucþiilor derivabile. Petru M = { f:m R f mãrgiitã }, se obþie ielul comutativ ( M, +, ) al fucþiilor mãrgiite. P f : R R f periodicã de perioadã T, se obþie Petru T = { > } ielul comutativ ( + ) P T,,.. Eistã iele de fucþii reale u umai î raport cu aduarea ºi îmulþirea fucþiilor. Dacã ( G, + ) este u subgrup al grupului aditiv ( R, + ), atuci tripletul ( Ed( G ), +, ) este iel ecomutativ (ielul edormorfismelor lui G). 66

68 EXERCIŢII ŞI PROBLEME Algebr II. Iele şi corpuri TEMĂ DE PROIECT. Sã se demostreze afirmaþiile di observaþiile ºi.. Temã de studiu. a) Dacã P = { f : [ a, b] R f are primitive }, tripletul ( P, +, ) este iel? b) Dacã I = f: [ a,b] R f itegrabilã pe [ a, b ], tripletul ( I, +, ) este iel? EXERSARE E. Sã se studieze distributivitatea legii a) Sã se arate cã ( Z,, ) este u de compoziþie î raport cu iel comutativ. legea de compoziþie defiite b) Sã se determie elemetele iversabile ale ielului. pe mulþimea M, î cazurile: a) M = Q, y = y, E5. Sã se studieze dacã ( Z,, ) este y = + y; b) M = Q, y = y, y = + y + ; c) M = R, y = y + + y + 6, y = + y + ; d) M = R, y = y + + y 6, y = + y. E. Pe mulþimea Z 6 se cosiderã operaþiile algebrice y = + y 5, ˆ ºi y = y 5 ˆ 5y, ˆ, y Z6. Sã se studieze distributivitatea operaþiei î raport cu operaþia. E. Pe mulþimea a M = A( a) = a R M ( R) se defiesc operaþiile algebrice ºi. Sã se studieze distributivitatea operaþiei î raport cu operaþia, î cazurile: a) A B = A + B I, A B = A B, A, B M ; { } b) A B = A + B I, A B = AB A B + I, A, B M. E. Pe mulþimea Z se cosiderã operaþiile algebrice y def = + y + ºi y = y + + y +. iel ºi sã se determie elemetele iversabile, î cazurile: a) y = + y ; y = y y + ; b) y = + y + ; y = y + + y + 6; c) y = + y 5; y = y 5 5y +. E6. Sã se studieze dacã aduarea ºi îmulþirea matricelor determiã pe mulþimea M o structurã de iel, petru: a b a) M = a,b R ; a b) c) d) e) a b M = a,b R ; b a a M = b a,b Q ; a + b a b M = b a a,b Q ; a + b b M = a,b Q. b a b 67

69 Algebr II. Iele şi corpuri A. Pe mulþimea R se defiesc operaþiile algebrice: R R R,, y y = = ma{,y },,y R. R R R, (, y) y = = mi{,y },,y R. Sã se studieze distributivitatea operaþiei î raport cu operaþia ºi a operaþiei î raport cu operaþia. A. Pe mulþimea Z se cosiderã operaþiile algebrice y= + y + ºi y = y + + y +. a) Sã se arate cã (Z,, ) este u iel comutativ. b) Sã se determie elemetele iversabile ale ielului. A. Pe mulþimea Z se defiesc legile de compoziþie:,, y y = + y ; Z Z Z, y y = y + ay + b. Sã se determie a, b Z, astfel îcât legea de compoziþie sã fie distributivã î raport cu. APROFUNDARE a) Sã se arate cã ( M,, ) este iel comutativ. b) Sã se determie U M. A6. Fie a R ºi a a Ma = A M ( R) A = A. a a a) Sã se arate cã ( a, +, ) M este iel. b) Sã se determie U M. A7. Pe mulþimea A = R R se defiesc operaþiile algebrice:, y + a, b = + a, y + b, (, y) ( a, b) = ( a, b + ya ). a) Sã se arate cã ( A, +, ) este u iel. b) Sã se determie U a A. A8. Se cosiderã mulþimea: F = { f a : Z Z fa ( ) = a, a Z}. Sã se studieze dacã urmãtoarele triplete formeazã iel ºi sã se afle U ( F ) î fiecare caz: a) ( F, +, ) ; b) ( F,, ), fa fb = f + fa + f b, f f = f + f + f. a b a b ab A. Pe mulþimea C se cosiderã operaþiile algebrice y = + y ºi y = y + Im() Im( y ). a) Sã se arate cã tripletul ( C,, ) este iel comutativ. b) Sã se determie elemetele iversabile ale acestui iel. A5. Pe mulþimea M = (, + ) se defiesc operaþiile algebrice: l y y = y ºi y =. A9. Sã se arate cã mulþimea: a b M = a,b,c c Z, împreuã cu aduarea ºi îmulþirea matricelor formeazã u iel. Sã se determie umãrul eleme- U M. telor acestui iel ºi A.Se cosiderã mulþimea M = { a, b, c }. a) Sã se arate cã ( P ( M ),, ) este u iel comutativ. U P M. b) Sã se determie ( ) 68

70 Reguli de calcul îtr-u iel Algebr II. Iele şi corpuri Calculul algebric cu elemetele uui iel ( A, +, ) respectã toate regulile de calcul date petru grup ºi mooid, câd sut implicate separat aduarea, respectiv îmulþirea ielului. Î afarã de acestea, îtr-u iel eistã ºi alte reguli de calcul specifice, care fac legãtura ître cele douã operaþii algebrice ale ielului. Fie ( A, +, ) u iel cu elemetul ul ºi elemetul uitate. Di defiiþia acestora se obþie cã: + = ºi = =. TEOREMA (îmulþirea cu î iel) Fie ( A, +, ) u iel eul. Petru oricare a A, au loc relaþiile: a) a = ; b) a =. Demostraþie a) Fie a A ºi = a. = a = a + = a + a = +. Se obþie: Aplicâd regula reducerii î grupul ( A, + ) se obþie =, deci a =. b) Se cosiderã = a ºi se obþie: = + a = a+ a = +, de ude rezultã cã + = ºi =. OBSERVAŢII. Dacã îtr-u iel ( A, +, ) avem =, atuci petru a A se obþie: a = a = a =, deci A = { }. Ielul î care = se umeºte iel ul. Î cotiuare se va presupue cã iel ul. ºi ielul ( A, +, ) u este. Reciproca teoremei u este adevãratã deoarece eistã iele ( A, +, ) A, fãrã ca uul di factorii pro- î care u produs sã fie egal cu dusului sã fie A. Eemple (, +, ) Î ielul de matrice ( C) Î ielul ( + ) Z 6,, avem: M avem: = = O. =, =. 69

71 Algebr II. Iele şi corpuri Divizori ai lui zero îtr-u iel v DEFINIÞIE A,, u iel cu elemetul ul Fie A. U elemet d A \{ A } se umeºte divizor al lui zero dacã eistã d A \{ }, astfel îcât: d d = A sau d d = A. Dupã cum s-a costatat î eemplele date î observaþia, ielele ( C), +, Z 6, +, au divizori ai lui zero. M ºi v DEFINIÞIE U iel comutativ eul ºi fãrã divizori ai lui zero se umeºte domeiu de itegritate sau iel itegru. OBSERVAŢII. Ielele umerice Z, Q, R, C sut domeii de itegritate.. Fie ( A,, ) u domeiu de itegritate. Atuci y = A = A sau y = A.. Fie u umãr atural compus. Atuci ielul ( Z, +, ) u este domeiu de itegritate. Îtr-adevãr, dacã = p q, cu p, q, se obþie: = = p q, deci p ºi q sut divizori ai lui zero. A. Orice divizor al lui zero al ielului ( A, +, ) u este elemet iversabil. Îtr-adevãr, fie a A, divizor al lui zero. Dacã a U ( A ), eistã b U ( A ), astfel îcât a b = ºi b a =. Deoarece a este divizor al lui zero rezultã cã eistã c A \{ }, astfel îcât c a =. Di relaþia a b = se obþie c ( ab) = c ºi ( ca) b = c, deci = c, î cotradicþie cu c. Aºadar, U a A. Urmãtoarea teoremã dã o caracterizare a divizorilor lui zero î ielul claselor de resturi modulo. TEOREMA 5 Fie N * ºi Z. Clasa de resturi este divizor al lui zero, = d >. dacã ºi umai dacã 7

72 Algebr II. Iele şi corpuri Demostraþie Sã presupuem cã (, ) = d >. Rezultã cã eistã p, q {,,..., } astfel îcât = p d ºi = q d. zero. Se obþie: ( ) q = pd q = p qd = p =, deci este divizor al lui Reciproc, sã presupuem cã este divizor al lui zero. Rezultã cã eistã p Z { \ }, astfel ca p =. TEMĂ Dacã am avea (, ) =, ar eista. Sã se determie divizorii lui zero r, s Z, astfel îcât r + s =. î ielele Z, Z6, Z ºi Z. Di aceastã relaþie se obþie:. Sã se arate cã dacã a, b Z sut = r + s = r + s = r + = r, divizori ai lui zero, atuci a b este deci U ( Z ), ceea ce u se divizor al lui zero. Elemetul a + b este divizor al lui zero î Z? poate. Aºadar, (, ) >. Regula semelor îtr-u iel Fie ( A, +, ) u iel. Deoarece A, + este u grup comutativ, sut valabile regulile de calcul specifice grupului. Astfel, î otaþie aditivã, avem: ( a) = a, a A () ( a + b) = ( a) + ( b ), a, b A () a + b = b = a ºi a = b, a, b A () a + b se foloseºte scrierea a b, relaþia () Dacã î locul scrierii devie: ( a + b) = a b, sau, mai geeral: a + a a = a a... a, a, a,..., a A, N *. Î cazul ielelor umerice Z, Q, R, C se regãseºte regula schimbãrii semului termeilor uei sume ditr-o paratezã, dacã î faþa acesteia se aflã semul mius. TEOREMA 6 (regula semelor) Fie ( A, +, ) u iel. Atuci: a) ( a) b = a ( b) = ( ab ), a, b A; b) ( a) ( b) = ab, a, b A. 7

73 Algebr II. Iele şi corpuri Demostraþie a) Fie a, b A. Se obþie succesiv: = b = a + a b = a b+ a b, deci ab + a b =. Di aceastã egalitate rezultã cã ( a) b = ( ab ). Aalog, se aratã cã a ( b) = ( ab ). b) Rezultã succesiv: ( ) ( ) OBSERVAŢIE A,, a) a b = a b = ab = ab. Î ielul ( + ) au loc egalitãþile ( ) a = a ºi 7 a = a, a A. Problemã rezolvatã Fie ( A, +, ) u iel ºi A. Sã se arate cã dacã U ( A ). Soluþie Fie U ( A ). Rezultã cã eistã Se obþie: ( ) ( ) = =. Aºadar, U ( A ). U A, atuci U A, astfel îcât =. Mai mult, î ielul ( A, +, ) se obþie: = Legi de simplificare î iele itegre Fie ( A, +, ) u iel. Deoarece. A, u este grup, regulile de simplificare î raport cu îmulþirea ielului u pot fi aplicate î orice iel. TEOREMA 7 Fie ( A, +, ) u iel itegru, a A \ { } ºi, y A. a) Dacã a = ay, atuci = y (legea de simplificare la stâga). b) Dacã a = ya, atuci = y (legea de simplificare la dreapta). Demostraþie a) Di a = ay rezultã succesiv: a + ( ay) = ay + ( ay) =, (). Folosid regula semelor î iel, relaþia () se scrie: = a + ( ay) = a + a ( y) = a + ( y ). + +=+ = + + = + =

74 Algebr II. Iele şi corpuri Deoarece ielul este itegru ºi a, se obþie cã relaþie care coduce la egalitatea = ( y) = y. b) Se demostreazã aalog puctului a). Temã. + y =, Legile de simplificare sut utile î rezolvarea ecuaþiilor îtr-u domeiu de itegritate. Problemã rezolvatã Sã se rezolve î Z 7 ecuaþiile: a) + = ; b) + =. Soluþie a) Ecuaþia se trasformã succesiv: + =, ( )( + ) + + ( TEMĂ DE STUDIU ) = ºi se obþie Sã se arate cã îtr-u iel comutativ au loc urmãtoarele formule de calcul: + =. a) ( a + b) ( a b) = a b ; Deoarece ielul Z 7 este iel b) ( a + b) = a + ab + b ; itegru, rezultã cã = sau c) ( a b) = a ab + b ; + =, cu soluþiile = ºi = 5. d) ( a + b) = a + a b + ab + b ; Mulþimea soluþiilor ecuaþiei este S = {, e) ( a b) 5 } = a a b + ab b.. k k k f) ( a b) C a b) Ecuaþia poate fi adusã la * + = b, N, k= forma: ( (biomul lui Newto). ) ( + ) =. Mulþimea soluþiilor este S = {, 5 }. EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE E. Sã se determie elemetele Z E. Pe mulþimea M a umerelor îtregi care sut divizori ai lui zero, î impare se defiesc operaþiile algebrice y = + y, y = cazurile: a) = ; b) = 6; c) = 8; d) = 6. E. Sã se arate cã urmãtoarele iele u sut iele itegre: a) ( F ( Z), +, ) ; b) M ( R), +,. ( y y ),, y M. a) Sã se arate cã ( M,, ) este iel comutativ. b) Ielul M are divizori ai lui zero? U M. c) Sã se determie 7

75 Algebr II. Iele şi corpuri E. Fie ( A, +, ) u iel. Sã se arate cã: a) ( a b) = a + b; b) ( a) ( b c) = ab + ac; c) ( a + b) ( a + b) = b a, dacã ab = ba. E5. Sã se arate cã îtr-u iel comu- A, +, are loc egalitatea: tativ ( a + b + c = a + b + c + ab + + bc + ca ). Ce devie aceastã egalitate î Z? Dar î Z? E6. Sã se arate cã î ielul Z au loc egalitãþile: a) ( a + b) = a + b; b) ( a + b) = a + b, N *. E7. Sã se arate cã î ielul Z au loc relaþiile: a) a + b = a ab + b ; a b = a + ab + b ; b) a b a b a b. c) ( + ) = ( + ) = ( ) E8. Sã se rezolve ecuaþiile: a) + = î Z ºi Z 6; b) + + = î Z ºi Z 7; 6 c) + 6 = î Z 7. E9. Fie ( A, +, ) u iel comutativ ºi a, b A, astfel îcât a = a, b = b ºi M = { ab, a, b }. Sã se arate cã dacã M, atuci =. APROFUNDARE A. Sã se rezolve î Z sistemele: 5 + y = 5 + y = a) ; b). + 9y = + y = A. Sã se rezolve î Z 8 sistemele: + 5y = + 5y = a) ; b). + 7y = 6 + 7y = 6 A. Fie ( A, +, ) u iel ºi a, b A. Sã se arate cã dacã = ab este elemet iversabil, atuci ba este iversabil ºi ( ba) = + b a. A. Fie ( A, +, ) u iel ºi a A, astfel îcât a =. Sã se arate cã elemetele a ºi + a sut iversabile. A5. Fie ( A, +, ) u iel ºi a A. Sã se arate cã dacã eistã N *, astfel îcât a =, elemetul a este iversabil. A6. Fie ( A, +, ) u iel astfel îcât =, A (ielul A se umeºte iel boolea). Sã se arate cã: a) + =, A; b) ( + y) = + y,, y A; c) ielul A este comutativ. A7. Se cosiderã mulþimea M M ( Z ), ˆ a ˆ M = A a = a Z. ˆ6a a a) Sã se arate cã M este parte stabilã a mulþimii M ( Z) î raport cu aduarea ºi îmulþirea matricelor. b) Sã se arate cã ( M, +, ) este iel comutativ. U M ºi sã se c) Sã se determie verifice dacã grupul (, ) U M este de tip Klei. d) Sã se determie mulþimea divizorilor lui zero î ielul M. 7

76 Algebr II. Iele şi corpuri Corpuri Ielele umerice ( Q, +, ), ( R, +, ) ºi (, +, ) C au proprietatea remarcabilã cã oricare elemet eul este iversabil. Petru aceste iele * * * mulþimea uitãþilor este Q, R, respectiv C. v DEFINIÞII U iel eul ( K, +, ) î care oricare elemet eul este iversabil, se umeºte corp. Dacã ielul K este comutativ, corpul K se umeºte corp comutativ. Tripletele ( Q, +, ), ( R, +, ) ºi (, +, ) OBSERVAŢII. Petru u corp ( K,, ) * Rezultã cã perechea ( K, ) este grup. C sut corpuri comutative. + eistã egalitatea: U { } K = K \ = K. Aºadar, tripletul ( K, +, ) este corp dacã verificã aiomele: a) ( K, + ) este grup comutativ; * b) ( K, ) este grup, umit grupul multiplicativ al corpului K; c) îmulþirea este distributivã faþã de aduare.. U corp ( K, +, ) u are divizori ai lui zero. * Îtr-adevãr, dacã a, b K, astfel îcât a b =, atuci se obþie: * a a b = a sau b =, deci b =, î cotradicþie cu b K.. Ielele (, +, ), (, +, ), (, +, ) Q R C sut corpuri deoarece oricare elemet eul este iversabil. Acestea sut umite corpuri umerice. Problemã rezolvatã N u umãr atural liber de pãtrate ºi Q { b Q }, Q( i d) = { a + bi d a, b Q }. Sã se arate cã ( d ), +,, i d, +, Fie d * ( ) (corpuri de umere pãtratice). * d = a + b d a, Q Q sut corpuri comutative 75

77 Algebr II. Iele şi corpuri Soluþie Petru, y Q ( d ), = a + b d, y = u + v d, se obþie: + y = a+ u+ ( b+ v) d Q ( d) ºi y = au+ bvd+ ( av+ bu) d Q ( d ). Rezultã cã Q ( d ) este parte stabilã a lui C î raport cu aduarea ºi îmulþirea. Perechea ( Q d, + ) este grup abelia, deoarece aduarea este asociativã ºi comutativã; umãrul = + d Q ( d) este elemet eutru, iar dacã = a+ b d Q ( d ), atuci = ( a) + ( b) d Q ( d) este opusul lui. Perechea ( ( d ) \ { }, ) Q este grup comutativ. Îtr-adevãr, îmulþirea este asociativã ºi comutativã, elemetul = + d Q ( d ) \{ } este elemet eutru. Fie = a + b d Q ( d ) \ { }. Sã determiãm Q ( d ) \{ }, astfel ca =. Avem: { } a b d a b = = = = d Q d \. a + b d a b d a b d a b d Se observã cã a b d, deoarece di a b d = ar rezulta a =± b d, î cotradicþie cu a Q. Î cocluzie, ( d ) { } * ( \, ) Q este grup comutativ. Deoarece îmulþirea este distributivã î raport cu aduarea, se ( d, +, ) obþie cã Q este u corp comutativ. ( i d, +, ) Aalog se aratã cã Q este corp comutativ. a bi Î acest corp: = = + Q d i d. a + bi d a + b d a + b d TEOREMA 8 Ielul ( Z, +, ) este corp dacã ºi umai dacã este umãr prim. Demostraþie Fie umãr prim. Atuci petru orice Z, {,,..., } avem (, ) =, deci ( Z ) U. Aºadar, Z este corp comutativ. 76

78 Reciproc, fie cã prim, rezultã cã eistã { } Algebr II. Iele şi corpuri Z este corp. Dacã, pri absurd, u este umãr p, q N * \, astfel îcât = p q. Se obþie p q = =, deci Z are divizori ai lui zero, î cotradicþie cu faptul cã Z este corp. Aºadar, este umãr prim. OBSERVAŢII. Dacã p N este u umãr prim, atuci eistã corpuri cu p elemete: Z p.. Orice corp fiit ( K, +, ) are p elemete, ude p este umãr prim. Î cocluzie, u eistã corpuri cu 6,, elemete.. Orice corp fiit este comutativ (Teorema lui Wedderbur). Joseph WEDDERBURN (88-98) matematicia scoþia A adus cotribuþii î cadrul algebrei modere. Corpuri de matrice Ielul de matrice pãtratice M + ude ( A,, ) A,,, u este î geeral corp. Îtr-adevãr, dacã A = R, atuci î ielul (, +, M R ) matricea M =, este divizor al lui zero avâd: = = O. ( A, +, ) Codiþia ca ielul fie corp este ca M ( A) M sã M sã fie matrice iversabilã, ceea ce revie la faptul det M U A. cã TEMĂ DE PROIECT + este iel, Sã se arate cã urmãtoarele C, +, sut iele de matrice corpuri: a b a) C = a, b R ; b a a bd b) C = a, b Q, b a d Q+, d R \ Q ; a b c) C = a, b b a C (corpul cuaterioilor). } 77

79 Algebr II. Iele şi corpuri EXERCIŢII ŞI PROBLEME E. Pe mulþimea Q se defiesc operaþiile algebrice y = + y 5 ºi y = y y. Sã se studieze dacã tripletul ( Q,, ) este corp. E. Sã se arate cã tripletul ( M,, ) este corp comutativ, dacã: a) M = Q, y = + y, y = y ( + y) + ; b) M = R, y = + y +, y = y + + y +,5; c) M = R, y = + y, y = y y + ; d) M = R, y = + y, y = y ( + y) +. E. Sã se arate cã mulþimea M împreuã cu aduarea ºi îmulþirea matricelor determiã o structurã de corp, dacã: a b a) M = a,b R ; b a A. Fie a, b, c R. Pe mulþimea R se defiesc operaþiile algebrice: y = a + by ºi y = y y + c. Sã se determie a, b, c petru care R,, este corp comutativ. A. Sã se arate cã aduarea ºi îmulþirea umerelor complee determiã pe mulþimea M o structurã de corp, dacã: a) M = Q ( ); b) = Q = { + Q } M i a bi a, b ; c) Q { + d 6 a, b, c, d Q } M =, = a + b + c + EXERSARE 78 b) c) d) a 7b M = a,b Q ; b a a + b b M = a,b Q ; b a b a M = a C. ia E. Fie ε C o soluþie a ecuaþiei = ºi mulþimea R ( ε ) = {a + + bε a, b R }, Sã se arate cã R ( ε) împreuã cu aduarea ºi îmulþirea umerelor complee determiã o structurã de corp comutativ. E5. Sã se arate cã mulþimea M împreuã cu operaþiile algebrice date determiã o structurã de corp comutativ, dacã: a) M = R, y = + y ºi y = y; b) M = (, + ), y = y ºi l y y =. APROFUNDARE a, Q A. Fie f a : R R, f a =., R \ Q Sã se arate cã aduarea ºi compuerea fucþiilor determiã pe mulþimea F = { fa a Q } o structurã de corp comutativ. A. Fie K {,, a, b} = u corp cu patru elemete. Sã se arate cã: a) ab = ba = ; b) a = b; c) a = ; d) a + a + = ; e). + = Sã se scrie tabla lui Cayley petru operaþiile corpului K.

80 Algebr II. Iele şi corpuri TESTE DE EVALUARE Testul. Pe mulþimea R se cosiderã operaþiile algebrice: y = + y 5 ºi T y = y 5 5y + 8,, y R. a) Sã se studieze ce structuri algebrice reprezitã ( R, ) ºi ( R T ),. b) Sã se arate cã operaþia T este distributivã î raport cu. R,, T este iel fãrã divizori ai lui zero. c) Sã se arate cã. Sã se rezolve î Z : a) + = ; b) + y =. + y = (5 pucte) ( pucte) Testul. Pe mulþimea Z se cosiderã operaþiile y = + y + a, T y = y + b + y + c,, y Z. a) Sã se determie a, b, c Z petru care au loc relaþiile: ( ) T =, = 5 T = T T. T ºi b) Petru valorile lui a, b, c gãsite, sã se precizeze dacã ( Z,, ) se afle U ( Z) ºi mulþimea divizorilor lui zero.. a) Sã se determie N, 8, astfel îcât î ielul ( + ) elemetului sã fie 7. b) Petru valorile lui gãsite sã se determie U ( Z ). T este iel, sã (5 pucte) Z,, iversul ( pucte) Testul. Pe mulþimea E = R R se itroduc legile de compoziþie: a, b +, y = a +, b + y ; ( a, b) (, y) = ( a, ay + b ). a) Sã se arate cã ( E, +, ) este iel comutativ. Este acesta corp? y f:e,f,y =, b) Sã se arate cã aplicaþia ( R) f ( + y) = f ( ) + f ( y) ºi M verificã relaþiile f y = f f y,, y E. (6 pucte) 79 (Uiv. Bucureºti)

81 Algebr II. Iele şi corpuri. Fie A {,, a, b} = u iel cu patru elemete. Sã se arate cã: a) fucþia f:a A,f( ) = + este bijectivã; f = + a + b ºi =. b) A c) dacã A este corp, atuci + =. ( pucte) (Uiv. Bucureºti, 98) Testul. Pe mulþimea C defiim operaþiile algebrice: z z z z, z z = z z + Imz Imz, T z,z C. = + a) Sã se arate cã tripletul ( C,, T ) este iel. b) Sã se determie U ( C). c) Dacã = I + y, y R, M sã se arate cã (, +, ) d) Sã se arate cã M formeazã iel. y f: C M,f + iy =, este bijectivã ºi verificã relaþiile f T y = f f y,, y C. f ( y) = f ( ) + f ( y) ºi. Fie ( A, +, ) u iel cu proprietatea cã a) + = ; b) ielul este comutativ; c) dacã A este corp atuci ( + ) ( Z + ) A,,. =, A. Sã se arate cã: (6 pucte) ( pucte) 8

82 III. INELE DE POLINOAME Mulţimea polioamelor cu coeficieţi îtr-u corp comutativ 8 Algebr III. Iele de polioame Î acest capitol se va cosidera u corp comutativ ( K, +, ), ude K reprezitã ua ditre mulþimile Q, R, C, Z p, p umãr prim... ªiruri fiite de elemete di corpul K Î clasa a IX-a s-a defiit ºirul de umere reale ca o fucþie f: N R. Mai geeral, o fucþie f: N K se umeºte ºir de elemete di f = a, N. corpul K. Ca ºi î cazul corpului R, se foloseºte otaþia Elemetele a, a, a,..., a,.... se umesc termeii ºirului, iar elemetul a K se umeºte termeul geeral al ºirului. Petru u ºir de elemete di corpul K se va folosi otaþia f a,a,a,...,a,... f = a. = ( ) sau { } Douã ºiruri f= ( a,a,...,a,...) ºi g ( b, b,..., b,...) egale dacã a = b, a = b, a = b,..., a = b,.... = sut v DEFINIÞIE f= a,a,...,a,... de elemete di corpul K se umeºte ºir U ºir fiit dacã eistã u umãr atural p, astfel îcât am =, m > p. Aºadar, u ºir este fiit dacã are u umãr fiit de elemete eule. Eemple f =,,,...,,..., g = 9,,, 5,,,...,,... sut ºiruri fiite cu elemete di corpul R... Operaþii cu ºiruri de elemete di corpul K Notãm cu K N mulþimea ºirurilor fiite cu elemete di corpul K. Dacã f, g K, f = a, a, a,..., a,,,... ºi N ( ) g= b,b,b,...,b,,,...,m, N, atuci: m ºirul ( N) ( p p ) h K, h = a + b, a + b,..., a + b,... suma ºirurilor f ºi g ºi se oteazã h = f + g. se umeºte

83 Algebr III. Iele de polioame ( N) ( p ) ºirul h K, h = c, c,..., c,..., ude petru s N, cs = abs + s s k m s k= s + ab ab = a b, se umeºte produsul ºirurilor f ºi g ºi se oteazã h = f g. Eemplu Fie K = C ºi = ( ) = f,,,,,,,..., g,,,,,,,,.... Atuci: f + g =,,,,,,,,..., f g (,,,, 5,,,,,,,,...) =. Dupã cum se observã di eemplul aterior suma ºi produsul a douã ºiruri fiite de elemete di K sut de asemeea ºiruri fiite. Mai mult, are loc urmãtorul rezultat importat: TEOREMA a) Mulþimea K N a ºirurilor fiite cu elemete di corpul K este parte stabilã î raport cu aduarea ºi îmulþirea ºirurilor fiite. b) Tripletul ( N K ), +, formeazã u iel comutativ fãrã divizori ai lui zero. Demostraþie a) Fie ( N f, g K ), f = a, a, a,..., a,,,..., ( m ) dacã p ma( m, ), g = b, b,..., b,,,... astfel îcât a, b K. Atuci: > avem ap + bp = ºi astfel: ( p p ) f + g = a + b, a + b,..., a + b,,,... K N ; dacã p m c p > + ºi f g ( c, c, c,...,...) p ak p k k= = se obþie cã: = b = deoarece elemetele a p, a p+,... respectiv b p, b p+,... sut ule ºi fiecare terme al sumei este ul. Aºadar, m * f g K ( N ). b) Verificarea aiomelor de iel este lãsatã drept temã. Elemetul e =,,..., iar î raport cu îmul- eutru î raport cu aduarea este þirea este f = (,,,... ). 8

84 v DEFINIÞII ( N) * f = a, a,..., a,,,... K, a K Orice elemet Algebr III. Iele de polioame se umeºte poliom cu coeficieþi î corpul K. Elemetele a, a,..., a se umesc coeficieþii poliomului f. Numãrul N se umeºte gradul poliomului ºi se oteazã = grad( f ). * Coeficietul a K al poliomului f se umeºte coeficiet domiat. Dacã coeficietul domiat este egal cu, poliomul se umeºte poliom uitar sau moic. U poliom cu u sigur coeficiet eul se umeºte moom. f =,,..., cu toþi coeficieþii zero se umeºte poliom Poliomul ul. Poliomului ul i se atribuie gradul. Dacã TEMĂ f, g K ( N ), = grad( f ), m = grad( g ), atuci se verificã relaþiile: a) ( + ) b) grad( f g) = grad( f ) + grad( g ). grad f g ma grad f,grad g ; Sã se determie suma ºi produsul polioamelor: a) f= (,,,,,,...,g ) = (,,,,,,...), f, g R N ; b) = ( ) = Q N f,,,,,,,...,g,,,,,,,...,f,g ; c) f=,,,,,,...,g N =,,,,,,,..., f, g Z. Forma algebric a polioamelor.. Polioame costate Fie ( K, +, ) u corp comutativ ºi f = a,,,..., K ( N ). Dacã ( N f, g K ), forma f+ g= ( a+ b,,,... ) () f g = ( a b,,,... ). () K N mulþimea polioamelor de f = ( a,,,...,g ) = ( b,,,..., ) atuci se obþi relaþiile: 8

85 Algebr III. Iele de polioame Di relaþiile () ºi () rezultã cã mulþimea K N este parte stabilã a mulþimii K N î raport cu aduarea ºi îmulþirea polioamelor. Mai mult, rezultã cã tripletul K N, +, este u iel comutativ ( ) () ( N) (temã), iar fucþia F : K K, F a,,,... = a, este bijectivã. Acest rezultat permite idetificarea poliomului f = ( a,,,... ) cu elemetul a K. Aºadar, vom avea idetificarea ( a,,,...) = a. Polioamele Dacã f K N, f K, f = a,,,... se umesc polioame costate. N f K, K ºi N f= ( a,a,...,a,,,..., ) atuci: f =,,,... a, a,..., a,,,... = a, a,..., a,,,... (). Relaþia () eprimã regula de îmulþire a uui poliom cu u elemet di corpul K ºi aume: U poliom se îmulþeºte cu u elemet di corpul K îmulþid fiecare coeficiet al poliomului cu acest elemet... Forma algebricã a uui poliom U rol importat î scrierea uui poliom X = (,,,,...) care se citeºte edetermiata X. f K N îl are moomul Cu ajutorul operaþiilor cu polioame se defiesc î mod recuret puterile edetermiatei X astfel: X = X X, X = X X,. Se obþie: X =,,,,,... X =,,,,,, X = (,,...,,,,,...) zerouri... Se observã cã X, X,..., X,... reprezitã mooame. * Moomul f k = (,,...,,a k,,...),ak K, se poate scrie: kzerouri f = a (,,...,,,,,...) = a X. k k k kzerouri k 8

86 Aºadar Algebr III. Iele de polioame k k = k egalitate care reprezitã forma algebricã a f a X, moomului f k. Numãrul k N reprezitã gradul moomului f k. Douã mooame se umesc asemeea dacã au acelaºi grad. Eemple Mooamele Mooamele X ºi 5 X ºi 5X sut asemeea. 6 X u sut asemeea. Douã mooame sut egale dacã sut asemeea ºi au coeficieþi egali. Fie ( N f K ), f = a, a,..., a,,,..., a K u poliom de * gradul N. Folosid operaþiile cu polioame se obþie: f = ( a,,,...) + (, a,,,...) + (,, a,,,...) + (,,,...,, a,,,... ) = zerouri = a + a,,,,... + a,,,,, a,,,...,,,,,... = zerouri = a + a X + a X a X. Aºadar, se obþie cã poliomul f se scrie sub forma: f = a + ax + ax ax, a. () se umeºte forma algebricã a poliomului Forma de scriere de gradul î edetermiata X. Eemplu = R ( N ) are forma algebricã Poliomul f (,,,,,,,... ) f = + ( ) X + X + X = X + X + X. Relaþia () aratã cã u poliom este o sumã de mooame. Moomul ax se umeºte moomul domiat al poliomului f. Scrierea uui poliom sub formã algebricã este uicã, abstracþie fãcâd de ordiea de scriere a mooamelor. Petru mulþimea K ( N ) a polioamelor cu coeficieþi î corpul K se K X petru a pue î evideþã edetermiata X. foloseºte otaþia [ ] 85

87 Algebr III. Iele de polioame Î particular, avem mulþimile de polioame Q[ X ], R[ X ], C [ X ], [ ] Z p X, adicã mulþimile de polioame î edetermiata X cu coeficieþi î corpurile Q, R, C, respectiv Z p. Se observã cã eistã icluziuile Q[ ] R[ ] C [ ] X X X. v DEFINIÞIE Fie f, g K [ X ], f = a + a X + a X a X, g = b + b X + b X + m bm X, grad( f ) = ºi grad( g) = m. Polioamele f ºi g se umesc polioame egale ºi se scrie f = g, dacã au acelaºi grad ºi coeficieþii respectiv egali: m =, a = b, a = b,..., ak = b k,..., a = b. Eerciþii rezolvate. Fie [ ] = + = + f,g Z X, f X X, g X X. Sut egale cele douã polioame? 5 Soluþie Polioamele au acelaºi grad. Deoarece î Z 5, au loc egalitãþile =, =, cele douã polioame au coeficieþii egali. Aºadar f = g.. Sã se determie parametrii reali petru care polioamele f, g X, f = + a + X + X g = a b + a + b X + R [ ] ºi ( a ) X + + sut egale. Soluþie Di egalitatea gradelor obþiem =. Egalâd coeficieþii celor douã polioame se obþi egalitãþile: a b =, a + = a + b, a + =. Rezultã cã a =, b = ºi f = g = + X + X... Valoarea uui poliom. Fucþii poliomiale * Fie f K[ X ], f a a X... a X, a K = u poliom de gradul. v DEFINIÞIE Dacã K, elemetul f ( ) = a + a a K se umeºte valoarea poliomului f î. 86

88 Eemple,,. Fie f R [ X ], f = + X + X ºi { } Atuci f = + =, f = + + =, f = + + =. Fie f [ X ], f = + X + X C ºi { i, i }. Atuci f() i = + =, f( i ) = + 9 = 8. f Z 5 X, f = + X + X ºi {,, }. Fie [ ] 87 Algebr III. Iele de polioame Atuci = + + = = + + = = + + = + = f, f, f. OBSERVAŢIE f, g K X, atuci au loc egalitãþile: Dacã [ ] ( f + g)( ) = f ( ) + g( ), K; ( f g)( ) = f( ) g( ), K; ( f g)( ) = f ( ) g( ), K. v DEFINIÞII Fie f K[ X] u poliom eul. Se umeºte fucþie poliomialã f:k K,f = f, K. ataºatã poliomului f, fucþia Fucþia f : K astfel îcât f = g. poliom g K[ X ], Eemple f: C C,f z = az+ b,a C * este fucþie poliomialã ataºatã polio- Fucþia mului de gradul, C [ ] K se umeºte fucþie poliomialã dacã eistã u f X, f = b+ ax. Fucþia f: Z Z,f = este fucþie poliomialã ataºatã poliomului [ ] Z = + + f X, f X X. 5 OBSERVAŢIE Dacã f K[ X ], atuci fucþia poliomialã f ataºatã lui f este uicã. Reciproca acestei afirmaþii u este adevãratã. Eemplu Fie * oricare * N fucþia poliom f. f Z X, f X. Atuci f = f =. Aºadar, petru f: Z Z,f( ) =,f( ) = este fucþia ataºatã petru fiecare N ºi [ ] = ºi ( ) Î cazul î care u eistã posibilitatea uei cofuzii se va ota cu f K X. f fucþia ataºatã poliomului [ ]

89 Algebr III. Iele de polioame Operaţii cu polioame scrise sub form algebric.. Aduarea ºi îmulþirea polioamelor scrise sub formã algebricã Fie p N ºi f, g K[ X] mooame de gradul p: f = a p 88 p X,g= b p p X. Avâd î vedere modul de defiire a aduãrii polioamelor obþiem: f + g = a + b X, (). p p p Mai geeral, dacã f, g K[ X] sut polioame de gradul, respectiv m, de forma: m m f = a + a X + a X a X, g = b + b X + b X b X, poliomul sumã se va scrie sub forma: p f + g = a + b + a + b X + a + b X a + b X +..., (), ( ) ( ) ( ) ( p p) cu coveþia cã ai =, petru i > ºi b j =, petru j > m. Relaþia () e aratã cã suma a douã polioame se face aduâd mooamele asemeea di cele douã polioame. Eemple f = + X + X + 6X, g = X + X X. f + g = + + X + + X + 6 X = X + 5X + 5X. f = + X X, g = + X + X + X. Avem f + g = ( + ) + ( + ) X + ( + ) X + ( + ) X = + X + X + X = X + + X. Avem p q Fie f, g K[ X ], f a X, g b X p q = = douã mooame. Folosid defiiþia îmulþirii polioamelor se obþie: f g = apbqx, (), deci produsul a douã mooame de gradul p, respectiv de gradul q este u moom de gradul p + q. Aalog, dacã f, g K [ X ], f = a + a X + a X a X, g = b + b X + m m p+ q + b X b X sut polioame de gradul, respectiv m, vom obþie cu coveþia cã ai =, dacã i > ºi b j =, dacã j> m: f g = a b + a b + a b X + a b + a b + a b X ( ) ( ) m+ ( a b a b... a b ) X, (). m+ m+ m+

90 Algebr III. Iele de polioame Produsul f g este u poliom de gradul m +. Relaþia (), care dã forma algebricã a poliomului produs f g, poate fi uºor obþiutã dacã avem î vedere îmulþirea a douã sume î ielul K [ X ], scriid: m ( )( m ) f g = a + a X + a X a X b + b X + b X b X ºi efectuâd calculele, avâd î vedere regulile de îmulþire a douã parateze ºi calculele cu sume ºi produse de mooame. De asemeea se are î vedere cã aduarea ºi îmulþirea polioamelor sut comutative. Eemple f = + X + X, g = X. f g = + X + X X = X + X X + X X = X. Se obþie: f = + X + X = + X + X + X + X = + X + X + X + X + X + X + + X + X = + X + 6X + X + X. Eerciþiu rezolvat Sã se determie polioamele f, g C [ X] de gradul, care verificã egalitãþile ( X + ) f + ( X ) g = X ºi f = g ( ). Soluþie Fie f = ax + b, g = cx + d, a, c C *. Egalitatea datã se scrie: ( X + )( ax + b) + ( X )( cx + d) = X. Dupã efectuarea îmulþirilor ºi aduãrii se obþie: ( a + c) X + ( a + b+ d c) X + b d = X + X. Egalitatea de polioame coduce la egalitãþile: a + c =, a + b+ d c =, b d =. Rezultã cã c= a,b= a,d= a,a = α C. Aºadar, f =αx α, g = ( α ) X + α. Di codiþia f = g ( ) EXERCIŢII ŞI PROBLEME E. Sã se scrie sub formã algebricã poliomul f ºi sã se specifice gradul acestuia: f=,,,,,,,,... a) Q [ X ]; se obþie α = ºi f = X, g = X +. EXERSARE b) f= (,,,,,,,,... ) R [ X; ] c) f= (,,,,,i, i,,,... ) C [ X; ] 5 [ ] d) f=,,,,,,,... Z X. 89

91 Algebr III. Iele de polioame E. Sã se determie î fucþie de parametrul m R, gradul poliomului f R [ X ]: a) f = m + ( m ) X; b) f = + m X + ( m m + + ) X. E. Sã se determie gradul poliomului f, î cazurile: f Q X, f = + m X + a) [ ] + ( m m + ) X ; b) Z [ ] = + + ( ) c) f Z5 [ X ], f = ( m + ) X + + ( m + ) X + ; f X, f mx m m X ; d) C [ ] f X, f = m + X + + ( + ) + ( ) e) f C [ X ], f ( m ) X + mx + ( m + m) X. m m X m X ; = E. Se cosiderã C [ ] f X, f = + X + + X + X. Sã se calculeze: a) f ( + i ), f ( i ), f ( + i ), f ( i ); b) f ( + ), f ( ), f( + ), f ( + 5 ); c) i i f f i i E5. Sã se determie f C[ X ], a) f = a + bx, f ( i) =, f ( i) = ; b) f = a + bx + cx, f = f ( i) = = f ( i) + =. astfel îcât: E6. Sã se efectueze suma polioa- f, g C X : melor [ ] a) f = + X + X + X, g = X X + X ; b) f = + ( + i) X+ ( i) X, g = + + ( i) X + ( + i) X ; c) f = + ix + X, g = + ix + + ( + i) X. E7. Sã se efectueze suma polioamelor f, g Z p [ X ] : a) f = + X + X, g = + X + + X + X, p = 5; b) f = + X + X, g = 5 + X + + 6X X, p = 7; c) f = + X + X X, g = + X X + X X, p =. E8. Sã se efectueze produsul polioamelor f, g C [ X ] : a) f = X + X +, g = X X + ; b) f = X, g = X + ix ; c) f = + X + X + X, g = X; d) f = ( + X) ( + X) ( X ), g = ( X) ( X ). E9. Sã se efectueze produsul polioamelor f, g Z p [ X ] : a) f = + X, g = + X + X, p = ; b) f = + X + X, g = + X X, p = ; c) f = + X X + X, g = + X + X X, p = 5. E. Sã se afle polioamele f, g R [ X, ] f = ax + b, g = cx + d, î cazurile: X f + X + g = X + ; a) b) X + X + f + X + g X = = X +. 9

92 b) C [ ] = + + ( + ) f, g X, f m X m X, g = m + X + X ; c) [ ] f, g X,f m m X Z = X, g = + m X + m X. A. Fie C [ ] f X, f = + m+ X+ m X. + Petru ce valori m, C poliomul f este poliom ul? A. Se cosiderã polioamele f, g C [ X, ] f = ( a b) X + a + b + X + a + ºi g = a b X + a + b X + + b. Petru ce valori a, b C polioamele au acelaºi grad? A. Fie [ ] f C X, f = X ax b. Sã se determie a ºi b, ºtiid cã f =, f ( ) = 8. A5. Sã se determie f [ X] dacã f = f = ºi A6. Sã se determie f [ X] dacã f = f( ) = C de gradul, 5 f = 6. Z de gradul, ºi f =. A7. Fie f = + ax + X C [ X ]. Sã se demostreze cã dacã f ( + z) = = f ( z ), z C, atuci f este pãtratul uui poliom de gradul. A8. Fie [ ] = + + f X, f a bx cx. Z Sã se determie f ºtiid cã fucþia f este egalã cu fucþia poliomialã g Z X, ataºatã poliomului [ ] g = X + X. Algebr III. Iele de polioame APROFUNDARE A. Sã se determie parametrii petru A9. Se cosiderã poliomul f = + X + care polioamele f ºi g sut egale: + X + X Z 5 [ X ]. Sã se determie a) f, g Q [ X ], f = + X + ( m+ ) X, polioamele g Z 5 [ X ], de grad cel g = ( m + ) + X + ( m ) X ; mult, astfel îcât f = g. A. Sã se determie a, b C, astfel îcât polioamele f, g C [ X,f ] = = a + X, g = + bx sã verifice egalitatea f g = X. A. Sã se determie f C [ X ], dacã: f X + X + = X 8; a) b) c) f X + X + = X + X + ; 8 f X + X = X. A. Fie Z [ ] = + + f, g X, f a X X, g b ax. = + Petru ce valori ale lui a ºi b eistã egalitatea: X + f X + g = X X X? A. Sã se determie polioamele f K X, î cazurile: [ ] a) grad ( f ) = ºi K; b) grad ( f ) K; = ( ) f f, ºi f + = f +, c) f ( ) + f ( ) = + +, K. A. Sã se arate cã urmãtoarele fucþii u sut fucþii poliomiale: f: R R,f = ; a) b) R R c) C C = + d) f:,f( z) z f:,f = + ; f:,f z z z; C C = + z. A5. Sã se arate cã oricare fucþie f: Z Z este fucþie poliomialã. Geeralizare. 9

93 Algebr III. Iele de polioame.. Împãrþirea polioamelor Fie ( K, +, ) u corp comutativ ºi polioamele [ ] poliom eul. v DEFINIÞIE A împãrþi poliomul f la poliomul eul g î [ ] determia polioamele q, r K [ X ], astfel îcât: a) f = g q + r; b) grad( r) < grad( g ). f, g K X, g K X îseamã a Poliomul f se umeºte deîmpãrþit, g se umeºte împãrþitor, iar polioamele q ºi r se umesc câtul, respectiv restul împãrþirii. Avâd î vedere egalitatea f = g q + r se obþie egalitatea: grad( q) = grad( f ) grad( g ). Î legãturã cu împãrþirea a douã polioame î ielul K [ X ] se pu câteva probleme: Petru oricare douã polioame eistã u cât ºi u rest al împãrþirii? Dacã eistã câtul ºi restul împãrþirii atuci acestea sut uice? Pri ce algoritm se pot determia câtul ºi restul împãrþirii? Rãspusurile la aceste probleme sut date de urmãtoarea teoremã. TEOREMA (teorema împãrþirii cu rest) f, g K X, g. Atuci eistã ºi sut uice polioamele Fie [ ] q, r K [ X] cu proprietãþile: a) f = g q + r; b) grad( r) < grad( g ). Demostraþie Uicitatea câtului ºi restului Folosim metoda reducerii la absurd. Presupuem cã eistã polioamele q,q,r,r K[ X, ] astfel îcât q q, r r care verificã relaþiile f = g q + r, f = g q + r ºi grad( r ) < grad( g ), grad( r ) < < grad( g ). Atuci rezultã cã f = g q + r = g q + r, relaþie di care rezultã g q q = r r. egalitatea 9

94 Referitor la grade se obþie: grad g + grad q q = grad r r < grad g. 9 Algebr III. Iele de polioame Cotradicþia rezultatã coduce la egalitatea q = q, ºi apoi r = r. Eisteþa = grad f, m = grad g. Deosebim cazurile: Fie. Petru < m, avem f = g + f ºi se ia q =, r = f.. Petru m, fie f = a + a X + a X a X, g = b + bx + m + bx bmx. Cosiderãm poliomul: g = a m b X g = a X + a b m b X b a b X. m m m m Rezultã cã poliomul f = f g are gradul strict mai mic decât gradul poliomului f. Fie f = c + c X + c X c X, <. m m Dacã < m, avem f = f abmx g sau f = abmx g + f m ºi se ia q = abmx ºi r = f. Dacã m, repetãm procedeul aterior de micºorare a gradului pritr-o ouã scãdere, luâd: g = c m b X g ºi f = f g. Evidet = grad f < <. m Se repetã procedeul petru perechile de polioame ( f, g ) ºi se obþi succesiv relaþiile: f = f g f = f g Deoarece ître gradele polioamelor f, f, f,..., f p,... eistã relaþiile: f = f g... > > >... > p >... ºi m {,,..., }, fp+ = fp gp+... atuci eistã u umãr s N *, astfel îcât s < m. fs = fs gs Aduâd relaþiile aterioare, se obþie: f = f g g... g, grad f = < m. s s s s Aºadar, f = g + f = g q + f, verificã egalitatea g g X, Luâd r f s, s k s s deoarece fiecare poliom g k k= k m k = α cu α K. = teorema este demostratã.

95 Algebr III. Iele de polioame OBSERVAŢIE Teorema împãrþirii cu rest oferã u algoritm cocret de determiare a câtului ºi a restului împãrþirii a douã polioame. Eemplu Fie C [ ] f X, f = X + X + X +, g = X X +. Costruim polioamele g = X g = X g = X X + X. Se obþie f = f g = X +, g = g = X X + ºi f f g X. are gradul mai mic decât gradul lui g, restul va fi r = X. Avem f = f + g + g = f + Xg = ( X + ) g + X ºi astfel q X = = = Cum f = + ºi r X. Algoritmul sugerat î demostraþia teoremei poate fi arajat sub o formã coveabilã, urmâd o cale aaloagã împãrþirii cu rest a umerelor îtregi. Se procedeazã astfel: Se împarte moomul domiat al deîmpãrþitului la moomul domiat al împãrþitorului. Se obþie astfel moomul domiat al câtului. Se îmulþeºte moomul obþiut la cât cu împãrþitorul g ºi produsul obþiut se scade di deîmpãrþitul f, obþiâdu-se poliomul f. Se cotiuã împãrþirea luâd ca deîmpãrþit poliomul f ºi se împarte moomul domiat al lui f la moomul domiat al lui g rezultâd al doilea moom al câtului. Se repetã procedeul aterior pâã câd poliomul f s are gradul iferior gradului poliomului g. ( f ): Poliomul f s va fi restul împãrþirii. Schema de calcul aratã astfel: m m a X a X... a X a a X a b b X... m m bmx bm X... b m m + + primul moom al doilea al câtului moom al câtului ( g ) a b X... ( f ) : (câtul) ( f ) : Restul ( f s ): 9

96 Eemplu Algebr III. Iele de polioame Sã se împartã poliomul f C [ X ], f = X + X + la poliomul C [ ] Secveþele împãrþirii Moomul domiat al câtului este X = X. Se obþie: f = f X g = f X X = X + X +. Al doilea moom al câtului este: X = X. Se obþie: f = f X g = X +. Al treilea moom al câtului este X = X, iar f = f X g = X +. Al patrulea moom al câtului este X =, iar f = f g = = restul. OBSERVAŢII. Î cadrul algoritmului aterior, asupra coeficieþilor celor douã Schema împãrþirii deîmpãrþitul X + X + g X, g = X. polioame f ºi g se efectueazã umai operaþii de aduare ºi îmulþire î corpul K. Astfel, va rezulta cã polioamele cât ºi rest vor avea coeficieþi î corpul K. ºi f = gq + r, ude q este câtul, iar r este restul împãrþirii lui f la g. Dacã împãrþim f la g = ag, a K, putem scrie f = agq + r. f = gq + r = ag a q + r = agq + r ºi di uicitatea câtului ºi. Fie f, g K[ X] Dar restului rezultã r = r ºi q = a q. ( f ) împãrþitorul X ( g ) X + X X + X + X + câtul ( f ) X + X + X + X X + f X + X f X + X + f restul EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE E. Sã se efectueze împãrþirile de polioame î C [ X ] : oame î Z p [ X ] : E. Sã se efectueze împãrþirile de poli- a) f = X + X +, g = X ; a) f = X + X +, g = X +, p = ; b) f = X + X + X+, g = X + X+ ; c) f = ( X + )( X + ) + X, g = ( X )( X + ) ; d) e) 5 f = X + X + X +, g = X + ; f = X + ix + X + i, g = X + ; f = X + + i X i+, g = X + i. f) 95 b) f = X ˆ + X +, g = X +, p = 5; 5 c) f = X X + X, g = X +, p = ; f = X + + X +, d) g = ( X + ) +, p =.

97 Algebr III. Iele de polioame E. Sã se determie poliomul g C [ X, ] ºtiid cã poliomul f = X X + + X + 5 C X împãrþit la g dã [ ] câtul q = X + ºi restul r =. E. Sã se efectueze împãrþirile de poli- C X : oame î [ ] a) = ( ) + ( + ) f X X, g = X + X + ; b) = ( ) ( + ) + ( + ) ( + ) f X X X X, g X X ; = + + c) f = ( X )( X + )( X + ) + X, g = X( X + ); d) f = X( X i) ( X i)( X i ), g = ( X + i) ( X i ). E5. Sã se efectueze î [ ] Z p X, împãrþirile: a) f = X +, g = X +, p = ; b) f = ( X + ) ( X + ) ( X + ), g = ( X + ), p = 5; c) = ( + + ) = ( + ) f X X, g X, p = 7. APROFUNDARE A. Sã se determie câtul ºi restul împãrþirii poliomului f la g: 6 a) f = X + X +, g = X +, î Z 5 [ X; ] 8 b) f = X + X + X +, g = X + X+, î Z [ X; ] c) f = X ˆ + X 8 + X +, g = X X +, î Z 5 [ X ]. A. Sã se determie parametrii petru care restul împãrþirii poliomului f K[ X] la g K[ X] este cel specificat: a) f = X + X a, g = X +, r =, K =C ; b) f = ax + bx +, g = X, r = X, K = R ; c) f = X + ax bx +, g = X X +, r = X, K = Q ; d) f = X + ax + X +, g = X, r =, K = Z; e) f = X + X + ax + b, g = X, r = X +, K = Z5. A. Fie r restul împãrþirii poliomului f C X, f = X + X + la polio- [ ] mul [ ] cã ºirul ( ) g = X + X C X. Sã se arate r N este o progresie aritmeticã. A. Sã se afle restul împãrþirii poli- f K X la poliomul omului [ ] ( X a) ( X b) î cazurile: a) Q a =, b =, K =, f =, f = ; b) C f ( + i) = i; a = i, b = + i, K =, f i = i, a, b, K, f, c) = = = Z 5 = f ( ) =. A5. Sã se determie polioamele de gradul al treilea f R [ X ], ºtiid cã f împãrþit la X + X dã restul r = X + ºi împãrþit la X X dã restul r = X +. (Uiv. Craiova, 997) 96

98 Algebr III. Iele de polioame A6. Fie Q [ ] f X, f = X X + ax+ b. Sã se determie a, b Q petru care f împãrþit la X dã restul ºi împãrþit la X dã restul. (Uiv. Trasilvaia, Braºov, ) A7. Poliomul f [ X] R are coeficietul domiat. Sã se determie f ºi a, b R, ºtiid cã f împãrþit la X X +, iar X a dã câtul câtul împãrþirii lui f la X X X. + b este A8. U poliom f R [ X ], pri împãrþirea la X a, X b, X c, dã câturile q, q, q. Sã se arate cã ( b a) q( b) + ( c b) q( c) + ( a c) q a =. A9. U poliom f [ X] C împãrþit la X, X + ºi X + dã resturile 5, 7, respectiv 8. a) Sã se afle restul r al împãrþirii lui f la ( X )( X + )( X + ). b) Sã se determie: r + r( ) r( ) S = A. Sã se determie f C [ X ], f X = + + ax + bx + cx +, ºtiid cã împãrþit la X dã restul R, împãrþit la X + dã restul R ºi R R = 5X 8X + 5. (ASE, Bucureºti, ) A. Se cosiderã poliomul f C [ X ], f = ( X + ), avâd forma algebricã f = a + ax + ax ax. a) Sã se calculeze f ( ). b) Sã se calculeze suma coeficieþilor poliomului f. 9 c) Sã se arate cã a + a a =. (Bacalaureat, august, ) *, P, Q, T X, P X A. Fie N R [ ] = + + X + X X, Q = X + X X + ºi T restul împãrþirii lui P la Q. Dacã s este suma pãtratelor coeficieþilor poliomului T, atuci: ( + ) a) s = + ; b) s = ; c) s = ; d) s = + 5; e) s = 6. (ASE, Bucureºti, ).. Împãrþirea la X a. Schema lui Horer Fie f K [ X ], f a ax ax... ax ºi g = X a K[ X ]. = u poliom de gradul TEOREMA (a restului) Restul împãrþirii poliomului eul [ ] g = X a K[ X] este egal cu valoarea Demostraþie 97 f K X, la poliomul f a a poliomului f î a. Di teorema împãrþirii cu rest se obþie: r = f ( a) f = ( X a) q + r, grad( r) <, deci r K. Rezultã cã f( a) = q( a) + r, de ude r = f( a ).

99 Algebr III. Iele de polioame Teorema restului este eficietã petru determiarea restului împãrþirii uui poliom pri X a, fãrã a efectua împãrþirea. Eerciþiu rezolvat + Se cosiderã poliomul [ ] f C X, f = X + 5X + 7. Sã se determie restul împãrþirii poliomului f la X i, ºtiid cã împãrþit la X dã restul 5. Soluþie + Di teorema restului se obþie cã 5 = r = f = Se obþie ecuaþia epoeþialã + =. Se oteazã = a ºi rezultã ecuaþia a + a =, cu soluþiile a { 8, 8 }. Avem 6 = 8 cu soluþia =. Aºadar f = X + 5X + 7. Restul împãrþirii lui f la X i este r = f () i =. Schema lui Horer Fie [ ] gradul ºi g = X a K[ X ]. f K X, f = a + a X + a X a X, poliom eul de Notãm q = b + bx + bx b X câtul împãrþirii poliomului f la g. Di teorema împãrþirii cu rest se obþie: f = X a b + b X b X + r = r ab + b ab X + + b ab X b ab X, (). Idetificâd coeficieþii celor douã polioame î relaþia () se obþie: a = b a = b ab a = b ab... a = b ab a = b ab a = r ab Aceste relaþii permit deducerea î mod recursiv a coeficieþilor câtului b, b,..., b, b ºi a restului r. Avem: b = a b = a + ab b = a + ab... b = a + ab r = a + ab 98

100 Algebr III. Iele de polioame Î mod practic, petru determiarea coeficieþilor b, b,..., b,b ai câtului ºi a restului r se alcãtuieºte urmãtoarea schemã: Coeficieþii lui f î ordie descrescãtoare a gradelor mooamelor a a a... a a b = a b a+ a b a + a... ba + a ba + a b b b... b r Coeficieþii câtului Restul a Aceastã schemã de lucru î care se opereazã umai cu elemetul a K ºi coeficieþii poliomului f se umeºte schema lui Horer. Schema lui Horer are la bazã relaþia de recureþã: b b a a, k,,...,. = + { } k k k Probleme rezolvate. Sã se efectueze împãrþirea poliomului f la g, dacã: a) f, g Q [ X ], f = X X + X X +, g = X ; f, g R X, f = X X + X X 5, g = X + ; b) [ ] 5 f, g R X, f = 8X X + X +, g = X. Soluþie a) Folosim schema lui Horer petru a =. Avem: a = = + = = + = c) [ ] Câtul împãrþirii este: q = X + X + X +, iar restul r =. b) Î acest caz avem g = X ( ), deci a =. Schema lui Horer: 5 a = ( ) + = ( ) ( ) = ( ) ( ) + = ( ) = 5 ( 5) ( ) 5 = Se obþie: q = X + ( ) + ( ) X + X ( 5) ºi r =. c) Scriem g = X. Vom împãrþi mai îtâi poliomul f pri X. Alcãtuim schema lui Horer cu a =. 99

101 Algebr III. Iele de polioame 8 a = 8 Se obþie câtul q = 8X + X + ºi restul r =. Câtul împãrþirii lui f la g este q = q = X + X +, iar restul r = r = (vezi observaþia,..). Fie [ ] 5 = = + f, g Z X, f X X X mx, g X. Sã se determie m Z, ºtiid cã restul împãrþirii lui f la g este r =. Soluþie Aflãm restul împãrþirii poliomului f la g pri schema lui Horer. Avem a = =. m a = m m + Restul împãrþirii este r = m + ºi se obþie ecuaþia m + =, deci m =. EXERCIŢII ŞI PROBLEME E. Sã se determie restul împãrþirii f K X la X a poliomului [ ] K[ X ], î cazurile: a) f X 7X 6, a, = + = K = R ; b) 8 7 f X X X, a, = + + = K = Q ; c) f X X, a i, K ; = + + = = C d) f = X 7 + X 6 + X +, a =, K = Z 5. E. Sã se determie m K cu propri- f K X, îm- etatea cã poliomul [ ] pãrþit la g = X a K[ X] dã restul specificat: a) f = X + mx + X m, a =, EXERSARE K = C, r = 7; b) f X mx, a i, K, = + + = = C r = + i; c) f = X + X mx +, a =, K = Z 7, r =. E. Sã se determie câtul ºi restul f R X la împãrþirii poliomului [ ] poliomul g R [ X ] : 5 a) f = X + X + X + X, g = X ; b) f = X + X + 5X 6X, g = X ; 6 c) f = X + X + X + X +, g = X + ; d) 8 f X X X, g X ; = = +

102 Algebr III. Iele de polioame e) f) f 6X X, g X ; = + + = f X X X 6, g X. = + + = + E. Sã se împartã poliomul f K[ X] la poliomul g K[ X] pri schema lui Horer: a) f = X + X + X +, g = X i, K = C ; b) f = X X + X X+, g = X+ i, K = C ; c) f X X i, g X i, K ; = + = + = C d) f = X + X + X +, g = X +, K = Z 5; e) 5 f = X X + X, g = X, K = Z5. APROFUNDARE A. Sã se determie m R, astfel îcât restul împãrþirii poliomului f C X la X + i sã fie umãr real, [ ] dacã: a) f = X + mx + mx + ; b) f = X m X 8i. A. Sã se determie a R astfel îcât restul împãrþirii poliomului f [ ] R X, f = X ax + X 7 la X sã fie. (Uiv. Trasilvaia, Braºov, ) A. Se cosiderã poliomul f R [ ] X, f = = X + X + ax + 6a. Sã se determie parametrul a R, astfel îcât restul împãrþirii poliomului f ( X + ) la X + sã fie egal cu. (Uiv. Trasilvaia, Braºov, ) A. Împãrþid poliomul f C [ ] X, f = = X mx + X 6 la X ºi X + se obþi resturi egale cu. Sã se afle restul împãrþirii poliomului f la X. A5. Sã se determie câtul ºi restul împãrþirii poliomului f = X + mx R [ X] la poliomul g = X R [ X ], ºtiid cã restul împãrþirii acestuia la X este 5 r =. 8 A6. Sã se determie [ ] a, b Z 5 X, ºtiid cã împãrþid poliomul f Z [ ] 5 X, f = X + ax + X+ b, la polioamele g, g Z 5 [ X ], g = X, g = X +, se obþi resturile r =, r =. A7. Sã se determie restul împãrþirii poli- + f C X, f = X X + omului [ ] la X + C [ X ], ºtiid cã restul împãrþirii lui f la X este. m A8. Împãrþid poliomul f C [ X, ] f = X + + X + la poliomul X C [ X] se obþie restul ºi împãrþidu-l la X C [ X] se obþie restul 8. Sã se determie restul împãrþirii lui f la X i. A9. Poliomul f K[ X] X a K[ X] ºi X b K[ X] împãrþit la dã câturile q ºi q. Sã se arate cã q b = q a. A. Sã se determie poliomul f Z 8 7 [ ] X,f = X + ax + X + X + b, ºtiid cã împãrþit la g = X dã câtul q ºi restul r =, iar q împãrþit la g = X + dã restul r =.

103 Algebr III. Iele de polioame Divizibilitatea polioamelor.. Relaþia de divizibilitate pe mulþimea K[ X ] Problemã rezolvatã Fie R [ ] f, g X, f = X + X + X +, g = X +. Sã se determie câtul ºi restul împãrþirii poliomului f la g. Soluþie Aplicãm schema lui Horer ºi rezultã: a = Se obþie câtul q = X + X + ºi restul r =. Aºadar = ( + + ) f g X X. Se observã cã la aceastã împãrþire restul este poliomul ul. Ca ºi î cazul împãrþirii umerelor îtregi, împãrþirea cu rest zero costituie u caz special. v DEFINIÞIE Fie ( K, +, ) u corp comutativ ºi polioamele f, g K[ X ]. Spuem cã poliomul g divide poliomul f dacã eistã u poliom h K X astfel îcât f = g h, (). [ ] Dacã poliomul g divide poliomul f vom scrie g f (se citeºte g divide f ) sau f g (se citeºte f este divizibil cu g ). Poliomul g se umeºte divizor al poliomului f, iar poliomul f se umeºte multiplu al poliomului g. OBSERVAŢIE Poliomul f K[ X] se divide cu poliomul g K[ X ], g, dacã ºi umai dacã restul împãrþirii lui f la g este poliomul ul... Proprietãþi ale relaþiei de divizibilitate Relaþia de divizibilitate pe mulþimea de polioame K[ X ] are proprietãþi asemããtoare cu relaþia de divizibilitate pe mulþimea Z a umerelor îtregi.

104 g Algebr III. Iele de polioame P. Relaþia de divizibilitate pe mulþimea K[ X ] este refleivã. f f, f K[ X ]. Îtr-adevãr f = f, deci f f. P. Relaþia de divizibilitate pe mulþimea K [ X ] este trazitivã. Dacã f, g, h K[ X ], f g ºi g h, atuci f h. Îtr-adevãr, di ipotezã rezultã cã u, v K [ X ], astfel îcât = Se obþie cã h = g v = ( f u) v = f ( uv ), deci f h. = f u ºi h g v. P. Poliomul ul f = K[ X ], este divizibil cu oricare poliom g K[ X ], deoarece = g. Se spue cã f = este cel mai mare elemet î raport cu divizibilitatea pe K[ X ]. P. Polioamele costate orice poliom di K[ X ]. * f = a, a K, sut divizori petru P5. Dacã f, g, h K[ X, ] astfel îcât f g ºi f h, atuci f ( ug + vh ), u, v K [ X ]. Îtr-adevãr, fie α, β K[ X ], astfel îcât g = α f, h =β f. Rezultã cã ug + vh = u ( α f ) + v ( β f ) = f ( α u +β v ), deci f ( ug+ vh ). v DEFINIÞIE Polioamele f, g K[ X] oteazã f g, dacã f g ºi g f. TEOREMA se umesc asociate î divizibilitate ºi se Polioamele eule f, g K[ X] ºi umai dacã a K \{ }, astfel îcât f = a g. Demostraþie Dacã f f g. = ag, atuci g f ºi cum Reciproc, fie f g. astfel îcât f rezultã cã uv. sut asociate î divizibilitate dacã g = a f, rezultã f g, deci Atuci f g ºi g f, deci eistã [ ] u, v K X, = ug ºi g = vf. Se obþie cã f = uvf ºi cum f este eul, = Aºadar u, v K \ { } ºi teorema este demostratã.

105 Algebr III. Iele de polioame Eemple Polioamele [ ] divizibilitate, deoarece g = f. f, g C X, f = X + X + ºi Polioamele [ ] f, g X, f = X + X + divizibilitate deoarece 5 g = f. g = X + X + sut asociate î Z ºi g = X + X + sut asociate î Probleme rezolvate. Fie f K[ X ]. Sã se arate cã f ( K[ X] ) f. Soluþie Presupuem cã f. Atuci eistã f a a * K, U dacã ºi umai dacã * a K, astfel îcât = = deci f este u elemet iversabil î ielul [ ] Reciproc, fie f U ( K[ X ]). Rezultã cã eistã g K[ X ], = Atuci grad( f ) + grad( g) =, deci grad( f ), f g. eul se obþie cã * f K. Aºadar f. K X. astfel îcât = ºi cum f este Sã se arate cã poliomul f ( X ) X [ X] cu poliomul g = X + X + R [ X ]. Soluþie Avem rezultã cã: g = X + X + ºi = + + R se divide X + = g X. Folosid biomul lui Newto ( ) ( ) X + = g X = C g + C g X C g X + C X = g h X, () f = X + + X = g h+ X X = g h X Aºadar, Dar, ( ) ( )( X X X X X 6... X ) 6+ ( X ) h, X = g h X X X +, (). = = = f = g h X X g h, = iar di relaþia () se obþie cã deci f este divizibil cu g.

106 Algebr III. Iele de polioame.. Cel mai mare divizor comu al polioamelor v DEFINIÞIE Fie f, g K[ X ]. U poliom d K[ X] se umeºte u cel mai mare divizor comu al polioamelor f ºi g dacã:. d este divizor comu al lui f ºi g, adicã d f ºi d g;. oricare ar fi alt divizor comu d al polioamelor f ºi g, atuci d d. Dacã d este u cel mai mare divizor comu petru f ºi g, el se f, g. oteazã c.m.m.d.c. ( f, g ) sau, mai simplu v DEFINIÞIE Douã polioame f, g K[ X] ître ele) dacã ( f, g). TEOREMA 5 se umesc relativ prime (sau prime Fie f, g K[ X] douã polioame eule ºi D = [ ] c.m.m.d.c. ( f, g )}. {d K X d este u Dacã d,d D, atuci d d. Demostraþie Deoarece d,d D, atuci d d, dar ºi d d, coform codiþiei di defiiþia c.m.m.d.c. ( f, g ). Aºadar d d. Teorema 5 e asigurã cã fiid date douã polioame f, g K[ X ], poliomul ( f, g ) este uic, abstracþie fãcâd de u factor multiplicativ * a K. Î cotiuare vom cosidera ca poliom care sã desemeze ( f, g ) poliomul uitar, iar petru polioamele costate, poliomul costat. Rezultã cã douã polioame f, g K[ X] ( f, g) =. sut prime ître ele dacã 5

107 Algebr III. Iele de polioame TEOREMA 6 f,g K X Fie [ ] polioame eule ºi r K[ X] la g. Dacã eistã ( f, g ) ºi ( g, r ), atuci = Demostraþie restul împãrþirii lui f f, g g, r. Di teorema împãrþirii cu rest, eistã q, r K [ X] astfel îcât = + grad( r) < grad( g ). Dacã r =, are loc relaþia f = g q ºi ( f, g) = g = ( g, ) = ( g, r ). Fie r ºi d = ( f, g ), d = ( g, r ). Deoarece d f ºi d g rezultã cã d ( f gq ), deci d r ºi astfel f g q r, d ( g, r) = d. Di relaþia d ( g, r) = ºi f = gq + r se obþie cã d f, deci d este divizor comu petru f ºi g. Rezultã cã d d, ºi astfel d d. Aceastã teoremã oferã posibilitatea calculãrii poliomului ( f, g ), folosid polioame de grad mai mic. Eemplu Fie f, g R[ X ], f = X X +, g = X X. Avem: f = g X + ( X + ). Rezultã cã redus la a calcula c.m.m.d.c ( X X, X ). f, g = g, X +. Aºadar problema s-a + Avem g X X X( X )( X ) r = ( X )( X + ). Se obþie cã = = + ºi c.m.m.d.c. f, g = X X + = X. TEOREMA 7 (de eisteþã a c.m.m.d.c. petru douã polioame) Fie f, g K[ X ]. Atuci eistã u cel mai mare divizor comu al polioamelor f ºi g. Demostraþie a) Î cazul f = g =, poliomul ul este u c.m.m.d.c. al polioamelor f ºi g. b) Dacã f ºi g, f, g = f, iar dacã f =, g, avem ( f, g) = g. = avem c) Sã cosiderãm f ºi g polioame eule. Di teorema împãrþirii q,r K X, astfel îcât: f = gq + r, grad r < grad g. cu rest, eistã polioamele [ ] 6

108 Coform teoremei 6 avem cã = = atuci ( f, g) ( g, ) g Dacã r, = = ºi teorema este demostratã. Dacã r, f, g g, r. Algebr III. Iele de polioame eistã polioamele [ ] = + grad( r) < grad( r) ºi astfel ( g, r) = ( r, r ). Petru r =, ( g, r) = r ºi astfel ( f, g) = r. g rq r, q, r K X, astfel îcât Î cazul î care r se cotiuã procedeul obþiâd ºirul de relaþii: f gq r, grad r < grad q = + = + grad( r) < grad( r) = + grad ( r ) < grad( r ) g rq r, r rq r, r r q r, = + grad( r ) grad( r ) < grad q > grad r > grad r >... > grad r >..., se formeazã u ºir descrescãtor de umere aturale. Rezultã cã eistã p N astfel îcât r p ºi r p + =. Î acest caz se obþie: f, g = g, r = r, r =... = r, r = r, = r. Deoarece ( ) Aºadar, poliomul p p p p p r este u Di demostraþia teoremei rezultã ºi u algoritm de determiare petru c.m.m.d.c. ( f, g ). Acesta este ultimul rest eul î ºirul de polioame: f, g, r, r,..., r p,. Acest algoritm poartã umele de algoritmul lui Euclid de determiare a c.m.m.d.c. petru douã polioame. Problemã rezolvatã Sã se determie f = X X + X X +, g = X. c.m.m.d.c. f, g. EUCLID di Aleadria (5-65 î.hr.) A fost uul ditre marii matematiciei ai Atichitãþii, cu rezultate î toate ramurile matematicii. c.m.m.d.c. f, g petru polioamele R [ ] f, g X, 7

109 Algebr III. Iele de polioame Soluþie Alcãtuim ºirul de polioame, pri împãrþiri succesive: f, g, r = X X +, r = X, r =. Rezultã cã ( f, g) ( X ). c.m.m.d.c. pri polioame uitare, avem ( f, g) = X. Coform coveþiei de a desema OBSERVAŢIE Petru obþierea ºirului de polioame f, g, r, r,..., r p, coteazã doar restul împãrþirilor efectuate. Acest fapt permite simplificarea sau îmulþirea acestora cu elemete di corpul K petru ca împãrþirile sã fie mai comode. Astfel, ºirul aterior poate fi scris: f, g, r = X X +, r = X, r =. TEOREMA 8 (Etiee Bézout) d = f, g. ºi Atuci eistã polioamele u, v K [ X ], astfel îcât d = uf + vg. Fie f, g K[ X] Demostraþie Aplicâd algoritmul lui Euclid se obþie ºirul de egalitãþi: f = g q + r () r = f gq = α f +β g, ( ) g = rq + r () ( ) r = g rq = α f +β g, ( ) r = rq + r () ( )... r = r rq = α f +β g, ( ) rk = rk+ qk+ + rk+ (k) r = r q + r = r q + d ( ) Pri îlocuire di aproape î aproape se obþie: r k = α k +β k g,(k ) ºi î fial d = r = α f +β g. Luâd u = α, v =β teorema este demostratã. Eemplu Petru [ ] f, g C X, f = X X + X X +, g = X, di problema rezolvatã, rezultã cã = ( ) = ( ) + ( ) d X f X g X X 5. 8

110 v DEFINIÞIE f, g K X. Fie [ ] U poliom m K[ X] Algebr III. Iele de polioame se umeºte u cel mai mic multiplu comu al polioamelor f ºi g dacã:. f m ºi g m (m este multiplu comu petru f ºi g);. oricare ar fi [ ] m m. m K X, multiplu comu petru f ºi g rezultã Petru u cel mai mic multiplu comu al polioamelor f ºi g se foloseºte otaþia c.m.m.m.c. ( f, g ) sau [ f, g ]. Dacã f, g K[ X] sut polioame eule ºi m este u c.m.m.m.c( f, g ), atuci oricare poliom m m este u c.m.m.m.c. ( f, g ). Se va cosidera de regulã cã poliomul [ f, g ] este poliomul uitar. Petru determiarea [ f, g ] se foloseºte relaþia: f g = ( f, g) [ f, g ]. () OBSERVAŢIE Se poate defii c.m.m.d.c. ºi c.m.m.m.c. petru trei, patru sau mai multe polioame. Astfel: ( f,g,h) = (( f,g ),h) ºi [ f,g,h] = [ f,g,h ] etc. Problemã rezolvatã Sã se determie [ f, g ] petru g X. = f = X X + X X + ºi Soluþie Di relaþia (), f g = ( f, g) [ f, g ], ºi avâd î vedere cã se obþie [ f, g] ( X X X X )( X ) :( X ) = + + = 6 5 f, g = X = X X + X X + X + X + = X X X 5X + X + X +. 9

111 Algebr III. Iele de polioame EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE E. Sã se arate cã poliomul f C [ X] c) se divide cu poliomul g C [ X] ºi sã se determie câtul împãrþirii lui f la g: a) f = X X + X X, g = X + ; 5 b) f = X + X X X +, g = X ; c) = 7 + = ( ) f X X X, g X ; = d) f ( X X ) ( X X ) X, g = X + ; 5 e) f = X + X, g = X X +. E. Sã se arate cã poliomul f Z p [ X] se divide cu poliomul g Z [ X ], î cazurile: a) f = X + X +, g = X + X, p = ; b) f = X + X + X, g = X +, p = 5; 6 5 c) f = X + X X X + X X +, g = X + X, p = 5. E. Sã se determie c.m.m.d.c. al polioamelor f, g K[ X ]: a) f = X X, g = X X, K = C; 6 b) f = X, g = X + X + X +, K = Q ; A. Sã se determie a, b K petru f K X se divide care poliomul [ ] cu poliomul g K[ X ], î cazurile: a) f = X + ax +, g = X+ a, K = Z ; b) f = X + X + ax +, g = X +, K = Z 5; p APROFUNDARE f = X + X + X X, g = X X 5X + 6, K = R ; d) f = X X +, g = X +, K = Z 5; e) 6 5 f = X + X + X+, g = X X + + X +, K = Z. E. Sã se determie parametrul m K f K X se petru care poliomul [ ] divide cu poliomul g K[ X ]: a) f = X + mx +, g = X,K = Q ; b) f = X + mx + ( m ), g = X+, K = R ; c) f = X + X + mx + m, g = X +, K = Z ; f = X + m + X + m +, d) g = X, K = Z 5. E5. Sã se determie c.m.m.m.c. petru polioamele f, g K[ X ]: a) f = X, g = X X, K = Q ; b) f = X +, g = X ix, K = C ; c) f = X + X +, g = X + X + X, K R ; d) f = X + X+, g = X +, K = Z. c) f = X + X + ax + X + b, g = X +, K = Z; 5 d) f = X + X + ax +, g = X + a, K = Z ; e) f = X + ax +, g = X + bx +, K = Z.

112 Algebr III. Iele de polioame A. Fie [ ] f R X, f = X + X + m. Sã se determie m R petru care poliomul g [ X ], g = f ( X + X) R se divide cu f. (Uiv. Tehicã Cluj-Napoca, ) * A. Petru N se cosiderã polioa- + f = X X + + m X mele R [ X, ] g = X + X + R [ X ]. Dacã M = { m R f divizibil cu g} ºi S = m, m M = atuci: a) S = ; b) S = ; c) S = ; d) S = ; e) S = 5. (ASE, Bucureºti, 5) A. Sã se determie m R ºtiid cã poliomul [ ] f R X, f = X mx + + m + X m 5 se divide cu g = X R [ X ]. A5. Sã se determie a, b, c C, astfel îcât poliomul f [ X] dividã cu g C [ X ]: a) C sã se f = X X + bx + ax + b, g = X ; b) f = ax + bx 7X +, g = X 5X + 6; c) f = ax + bx 7X +, g = X + X ; d) e) f = X + ax + ix + b, g = X i; f = X + ax bx cx + 8, g = X X bx + 8 ; f) 5 f = X ax X bx X + + c, g = X +. A6. Sã se determie polioamele f C [ X] de gradul, ºtiid cã se divid cu X +, iar la împãrþirea cu X, X, X resturile sut egale. A7. Fie [ ] f, g R X, f = ax + bx + cx + * + d, g = ax + bx + c, a R +. Sã se demostreze cã dacã poliomul f se divide cu g, atuci f ºi g sut puteri ale uui poliom de grad. A8. Fie R [ ] f, g X, f = X X + X + + m, g = X 7X + m. Sã se determie m R, ºtiid cã ( f, g ) este poliom de gradul. A9. Se dau polioamele Q [ ] f, g X,f= = X X + a + b, g = X + X + + X +. Sã se determie a, b Q petru care poliomul ( f, g ) are gradul ºi sã se afle apoi [ f, g ]. A. Fie Z [ ] f, g X,f= X + X + a,g = X X. = + + Sã se determie: a) valorile lui a Z petru care poliomul ( f, g ) are gradul ; b) c.m.m.m.c. ( f, g ) petru a determiat. A. Sã se arate cã poliomul f = + X + X X X Q [ X] se divide cu g = + X + + X X Q [ X ]. A. Sã se arate cã poliomul f C [ X] se divide cu g C [ X ], î cazurile: + = a) f ( X X ) + + X X +, g = X + ;

113 Algebr III. Iele de polioame + + b) = ( ) + f X X, g = X X + ; + + c) = ( ) ( ) f X X, g = X X + ; f = X + + X +, d) g = X + X +. + A. Se cosiderã poliomul f = X + m + X + R X. Petru ce valori [ ] * m N poliomul f este divizibil cu = + R [ ] g X X X? m A. Sã se determie a, b C ºi produsul polioamelor f, g C [ X] ºtiid cã ( f, g) = X + X ºi [ f, g ] = = X + ax + 8X + b. A5. Petru care valori ale lui N f, g C X,f= X+ i, polioamele [ ] g = + X + X X sut prime ître ele? A6. Sã se determie f, g R [ X, ] ºtiid cã f( ) =, g ( ) = ºi ( f, g ) = [ ] = X +, f, g = X X + X X +. * 5 Descompuerea polioamelor î factori ireductibili 5.. Rãdãcii ale polioamelor Fie f K[ X] u poliom eul. v DEFINIÞIE Elemetul f( α ) =. α K se umeºte rãdãciã a poliomului f K[ X] dacã Eemple Poliomul de gradul, [ ] comple b α=. a Petru poliomul de gradul, f C[ X ], b ± formulele: α, =, dacã a <. f C X, f = ax + b, are rãdãcia reprezetatã de umãrul f = ax + bx + c, rãdãciile sut date de b± i = b ac, respectiv α, =, dacã a Urmãtoarea teoremã pue î evideþã o legãturã ître rãdãciile f K X ºi divizibilitatea polioamelor pe mulþimea uui poliom [ ] K[ X ].

114 TEOREMA 9 (E. Bézout) Fie f, g K[ X] ºi α K. Atuci: Algebr III. Iele de polioame a) α este rãdãciã a poliomului f dacã ºi umai dacã f se divide cu poliomul X α K[ X ]; b) dacã f se divide cu poliomul eul g ºi α este rãdãciã a lui g, rezultã cã α este rãdãciã ºi a lui f. Demostraþie a) Fie α K ºi X α K[ X ]. Di teorema împãrþirii cu rest rezultã cã eistã h ºi r K[ X] astfel îcât f = h ( X α ) + r, r K, (). Di teorema restului rezultã cã r = f( α ) ºi relaþia () se scrie f = ( X α) h+ + f ( α ), (). Etiee BÉZOUT Di relaþia () rezultã cã dacã α este (7-8) rãdãciã petru f, atuci f( α ) = ºi f = matematicia fracez = ( X α) h, deci f se divide cu X α. A stabilit uele rezultate Reciproc, dacã f se divide cu X α, importate î teoria ecuaþiilor algebrice ºi teoria umerelor. di relaþia () se obþie cã f( α ) =. b) Dacã f se divide cu g, atuci eistã h K[ X ], astfel îcât f = g h. Rezultã cã f( α ) = g( α) h( α ) =, deci α este rãdãciã a poliomului f. Problemã rezolvatã Fie [ ] f, g C X, f = X + X + ax + b, g = X X +. Sã se determie a, b C petru care poliomul f se divide cu g. Sã se afle apoi rãdãciile lui f. Soluþie Rãdãciile poliomului g sut TEMĂ date de ecuaþia + =. Fie f, g K[ X ], f = X + X + Se obþie =, =. Se impu codiþiile f = ºi f =. Rezultã sistemul a + b = cu a + b = a = 6 soluþia. b = + ax + b. Petru ce valori ale lui a, b K, poliomul f se divide cu g, dacã: a) g = X, K = R ; b) g = X, K = Z; c) g = X +, K = C?

115 Algebr III. Iele de polioame Se obþie f = X + X 6X + = X X + X + 6, iar rãdãciile lui f sut =, =, = Rãdãcii multiple ale uui poliom v DEFINIÞIE * Fie f K[ X] u poliom eul ºi m N. Elemetul α K se umeºte rãdãciã multiplã de ordiul m dacã poliomul f se divide cu ( X α ) m, dar u se divide cu m + X α. Numãrul m se umeºte ordiul de multiplicitate al rãdãciii α. Dacã m = rãdãcia α se umeºte rãdãciã simplã. Dacã m =,,... rãdãcia α se umeºte rãdãciã dublã, triplã,.... Aºadar, dacã α K este rãdãciã multiplã de ordiul m, poliomul f se poate scrie sub forma f = ( X α) m g, ude g K[ X] ºi Problemã rezolvatã Fie [ ] * g α K. f R X, f = X + ax + b. Sã se determie a, b R, ºtiid cã α= este rãdãciã dublã petru f. Soluþia (metoda coeficieþilor edetermiaþi): Deoarece α= este rãdãciã dublã, poliomul f se divide cu X α = X. f = X X + c = X + X c + X c + c = X + ax + b. Folosid egalitatea polioamelor pri idetificarea coeficieþilor mooamelor asemeea, rezultã c =, a = c, b = c, deci a =, b = Avem ºi f = X X +. Rãdãciile lui f sut α =α = ºi α =. Soluþia Dacã α= este rãdãciã dublã a poliomului f, atuci f se divide cu ( X ). Efectuãm pri schema lui Horer împãrþirea poliomului f cu X ºi a câtului rezultat cu X. Avem: a b α= a a + b+ = r α= a + = r +

116 Algebr III. Iele de polioame Resturile sut r = a + b+ ºi r = a+. Puâd codiþiile r = = r = se obþie a = ºi b =. OBSERVAŢIE Cosiderâd fucþia poliomialã asociatã lui f, f = α= este rãdãciã dublã dacã = ºi f =. Cu aceastã observaþie se obþie f = + a+ b= ºi cu soluþiile a =, b =. f = + a =, TEMĂ Petru ce valori a R poliomul f = X + X + + ax + b R [ X] are rãdãciã dublã? α= Dar triplã? * N. 5.. Ecuaþii algebrice Fie ( K, +, ) u corp comutativ ºi f K[ X] u poliom de gradul, v DEFINIÞIE O ecuaþie de forma f( ) = se umeºte ecuaþie algebricã de gradul cu coeficieþi î K ºi ecuoscuta. Dacã [ ] f = a + a X + a X a X K X, ecuaþia algebricã de gradul are forma a + a a + a =, (). Numerele a, a,..., a K se umesc coeficieþii ecuaþiei, iar se umeºte gradul ecuaþiei. Elemetul α K cu proprietatea cã f( α ) = se umeºte soluþie a ecuaþiei. Î legãturã cu ecuaþiile algebrice sut studiate câteva probleme importate:. eisteþa soluþiilor î corpul K;. umãrul soluþiilor ecuaþiei î corpul K;. eisteþa uor formule geerale de rezolvare a ecuaþiilor algebrice de diferite grade. Î cazul corpului C al umerelor complee au fost demostrate câteva proprietãþi geerale care rezolvã cele trei probleme puse. 5

117 Algebr III. Iele de polioame TEOREMA (teorema fudametalã a algebrei) O ecuaþie algebricã de grad cel puþi cu coeficieþi complecºi admite cel puþi o soluþie compleã. Aceastã teoremã a fost datã de cãtre matematicieii C. Gauss ºi J. L. D Alembert. Problema a fost rezolvatã de matematicieii N. Abel ºi A. Ruffii. TEOREMA (Abel-Ruffii) Fie a + a a + a =, a o ecuaþie algebricã de grad, 5, cu coeficieþi î C. Atuci u eistã o formulã geeralã de rezolvare a acestei ecuaþii î care sã aparã umai coeficieþii a, a,..., a C. OBSERVAŢII Di teorema fudametalã a algebrei rezultã cã o ecuaþie algebricã de * gradul N cu coeficieþi complecºi are eact soluþii complee. f C X, de Deoarece poliomul [ ] * gradul N, are eact rãdãcii complee, rezultã cã el u poate lua valoarea zero decât de ori. Astfel, dacã poliomul se auleazã de mai mult de ori, atuci el este poliom ul. Problemã rezolvatã Fie f C [ X ], cu proprietatea cã arate cã f este poliom costat. Soluþie Petru,,,..., Niels Heirik ABEL (8-89) matematicia orvegia A adus cotribuþii importate î teoria ecuaþiilor algebrice, teoria calculului difereþial ºi itegral. f α = f α+, α C. Sã se α= se obþie cã f( ) = f = f ( ) =... Notãm a = f ( ) = f ( ) =... valoarea comuã ºi fie g = f α C [ X ]. Atuci = g ( ) = g = g ( ) =..., deci poliomul g are o ifiitate de rãdãcii. Rezultã cã el este poliom ul ºi astfel f = α C. 6

118 5.. Polioame ireductibile î K[ X ] Fie ( K, +, ) u corp comutativ. Algebr III. Iele de polioame v DEFINIÞII Poliomul eul f K[ X] se umeºte reductibil peste corpul K dacã eistã polioamele g, h K [ X] de grad cel puþi, astfel îcât f = g h. U poliom f K[ X], grad ( f ), care u este reductibil peste K, se umeºte ireductibil peste K. OBSERVAŢII. Orice poliom de gradul di K [ X ] este poliom ireductibil peste K.. Dacã u poliom f K[ X ], de grad cel puþi, este ireductibil peste K, atuci el u are rãdãcii î K. Îtr-adevãr, dacã f ar avea elemetul α K rãdãciã, atuci f se divide cu X α ºi se poate scrie cã f = ( X α) g, deci f u ar fi ireductibil. f K X are gradul sau ºi u admite rãdãcii î K, atuci el este poliom ireductibil peste K. Îtr-adevãr, dacã f ar fi reductibil peste K, atuci el s-ar scrie sub forma f = g h, ude g sau h ar avea gradul. Dacã g = ax + b,. Dacã poliomul [ ] atuci g ba = ºi se cotrazice ipoteza cã f u are rãdãcii î K. Eemple Poliomul f X [ X] = Q este ireductibil peste Q. Dacã f ar fi reductibil peste Q, atuci el ar avea o rãdãciã. α {, } ceea ce u se poate. Poliomul f X [ X] Poliomul f [ X ], f = X α Q Dar f α = coduce la α =, deci = R este reductibil peste R deoarece = ( )( + ) Z este reductibil peste Z deoarece f ( ) f = ( X ), dar este ireductibil peste 7, Z deoarece f X X. f a, a. Z 7 = ºi Dupã cum s-a observat di eemplele aterioare, descompuerea î factori ireductibili depide de corpul K î care poliomul are coeficieþii. 7

119 Algebr III. Iele de polioame Cazul K = C Fie f [ X] C u poliom eul de grad, * N. Dacã, di teorema fudametalã a algebrei rezultã cã f are cel puþi o rãdãciã α C, iar di teorema lui Bezout se obþie cã f se divide cu poliomul g = X α C [ X ]. Aºadar, f u este ireductibil petru. Î cocluzie, u poliom eul f [ X] dacã ºi umai dacã are gradul. C este ireductibil peste C Cazul K = R f R X este u poliom eul, el este ireductibil umai î Dacã [ ] urmãtoarele douã cazuri: f are gradul ; f are gradul ºi u are rãdãcii reale. Rezultã cã orice poliom f [ X] R de grad,, este poliom reductibil peste R, deci el se poate scrie ca produs de polioame de grad cel puþi. Cazul K = Q ºi K = Z p, p prim Î ielele de polioame Q [ X] ºi [ X ] Z eistã polioame ireductibile de orice grad, tibil peste Q. *. p N De eemplu f X [ X] = Q este ireduc Descompuerea polioamelor î factori ireductibili TEOREMA Fie K u corp comutativ ºi f K[ X] u poliom de grad * N. Au loc urmãtoarele rezultate: a) Poliomul f se descompue îtr-u produs fiit de polioame ireductibile peste K. b) Dacã f = f f... fm = g g... gk sut douã descompueri î produs de polioame ireductibile ale lui f, atuci m = k ºi eistã o permutare S f g, i,,..., m. σ cu proprietatea cã () { } m Demostraþie a) Folosim iducþia matematicã. Dacã =, atuci f este ireductibil peste K ºi afirmaþia este adevãratã. i σ i 8

120 9 Algebr III. Iele de polioame Presupuem cã > ºi cã afirmaþia este adevãratã petru polioame de grad mai mic decât. Dacã f este ireductibil peste K, atuci demostraþia este îcheiatã. Î caz cotrar, eistã g, h K [ X] astfel îcât f = g h ºi grad( g) <, grad( h) <. Di ipoteza de iducþie, polioamele g ºi h se scriu ca produs fiit de polioame ireductibile peste K, deci f = g h este produs de polioame ireductibile peste K. b) Demostraþia rãmâe temã. Teorema aterioarã demostreazã umai eisteþa ºi uicitatea descompuerii î produs de polioame ireductibile, dar u oferã ºi o modalitate cocretã de gãsire a acesteia. Î cazul ielului C [ X] eistã o legãturã directã ître descompuerea î factori ireductibili ºi rãdãciile poliomului. TEOREMA Fie f C [ X ], f = a + a X + a X a X u poliom de grad, * N. a) Dacã α, α,..., α C sut rãdãciile poliomului, atuci: f = a ( X α)( X α)...( X α ). b) Dacã α, α,..., α k C sut rãdãciile disticte ale poliomului f, cu multiplicitãþile m, m,..., m N, * atuci: k m m mk ( k) f = a X α X α... X α. Demostraþie a) Dacã α C este rãdãciã a lui f, atuci f se divide cu X α, deci eistã g C [ X] astfel îcât f = ( X α ) g. Deoarece α este rãdãciã a poliomului f, se observã uºor cã trebuie sã fie rãdãciã petru g. Aºadar g se divide cu X α. Rezultã cã eistã g C [ X] cu proprietatea cã g = ( X α ) g, iar f = ( X α)( X α ) g. Se cotiuã raþioametul petru α ºi g,α ºi g etc., ºi se obþie î fial descompuerea doritã. b) Demostraþia rãmâe temã. Dacã f R [ X ], atuci f poate fi privit ºi ca elemet al ielului [ X ], α, α,..., α C. C deci el va avea rãdãciile complee

121 Algebr III. Iele de polioame Fie α, α,..., αk R rãdãciile reale ale lui f. Atuci f se divide î R [ X] cu poliomul * m m m k k g X X... X, = α α α ude m, m,..., mk N sut multiplicitãþile rãdãciilor α, α,..., α k. Rezultã cã f se scrie sub forma f g h, h R X ºi h u are rãdãcii = ude [ ] reale, ci umai rãdãcii z k = a k + b k i C \ R. Dar, se observã uºor cã dacã h( zk ), h z = ºi astfel poliomul h se divide cu = atuci ºi ( k ) = ( )( ) = + + R [ ] h X z X z X a X k k k k Î cocluzie, poliomul f [ X] R va avea urmãtoarea descompuere î polioame ireductibile: ude a b X. k k m mk p f = a X α... X α X + a X + b... X + a X + b, k p p k p * m,m,...,m,,,..., N ºi α, α,..., α k R sut rãdã- ciile reale ale lui f, iar polioamele X a X b, s {,,..., p} rãdãcii reale. Probleme rezolvate + + = u au. Sã se descompuã î factori ireductibili peste corpurile Q, R, C, polioamele: 5 a) f = X + X + ; b) f = X + X X X X. Soluþie a) Avem = + + = ( + ) = ( + + )( + ) s f X X X X X X X X X. Aceasta este descompuerea lui f î factori ireductibili peste Q ºi R. Peste corpul C f are descompuerea = ( ε)( ε )( ε )( ε ) ude ε este o rãdãciã a poliomului X + X +, iar ε, ε sut rãdãciile poliomului b) Se observã cã s f X X X X, X X +. f =, deci f se divide cu X +. Folosid schema lui Horer se obþie: f = X + X X = X + X + X. Rezultã cã f are urmãtoarele descompueri: f = X + X + X peste Q ; f = ( X + )( X + )( X )( X + ) peste R ; f = ( X + )( X i)( X + i)( X )( X + ) peste C.

122 Algebr III. Iele de polioame. Sã se determie c.m.m.d.c. ºi c.m.m.m.c. petru polioamele: [ ] ( ) ( )( ) f, g Q X, f = X X X +, g = X X + X. Soluþie Vom descompue î factori ireductibili cele douã polioame. Avem f = ( X ) ( X + )( X + ) ºi g ( X )( X )( X )( X ) = X X X +. = + = Folosid descompuerile î factori ireductibili se obþie: f, g = X X + (se aleg factorii ireductibili comui la puterea cea mai micã), iar [ f, g] ( X ) ( X )( X ) ( X ) comui ºi ecomui la puterea cea mai mare). REÞINEM! Dacã polioamele f, g K[ X] = + + (se aleg factorii sut descompuse î produse de factori ireductibili, atuci: f, g este produsul factorilor ireductibili comui, luaþi la puterea cea mai micã; f, g este produsul factorilor ireductibili comui sau ecomui, [ ] luaþi la puterea cea mai mare. EXERCIŢII ŞI PROBLEME E. Sã se determie care ditre elemetele specificate sut rãdãcii ale poliomului f: a) = + C [ ] f X X X, α {, i, + }; 5 b) f = X X + X + X X + + i C [ X ], α, ; 6 c) f = X + 6 Z 7 [ X ], α,,,, 5, 6. { } E. Sã se determie petru poliomul f R [ X] rãdãciile ºi ordiul de multiplicitate al acestora: f = X X X ; a) EXERSARE b) f = X ( X X) ( X ) ; c) f ( X X ) ( X X ) ( X ). = + E. Sã se determie a, b Z p astfel îcât poliomul f Z p [ X] sã admitã rãdãciile idicate ºi sã se afle apoi celelalte rãdãcii ale lui f: a) f = X + X + a, p =, α = ; b) f = X + ax +, p = 5, α = ; c) f = X + X + ax + b,p =, α,. { }

123 Algebr III. Iele de polioame E. Sã se arate cã poliomul f K[ X] admite rãdãcia dublã idicatã ºi apoi sã se afle celelalte rãdãcii ale lui f: a) f = X X +, K = Q, α = ; b) f = X 6X + X X +, K = Q, α = ; c) f = X ix 5X + 8iX +, K = C, α = i; d) f = X X + X X +, K = Z, α =. 5 E5. Sã se descompuã î factori ireductibili polioamele: f = X X + X R X ; a) [ ] b) f = X 6 C [ X ]; c) f = X 5 X C [ X ]; d) f = X + X + C [ X ]; e) f = X + Z [ X ]; f) f = X + X + Z 7 [ X ]; g) = Z [ ] f X X X X. f X, f = X + m + X E6. Fie C [ ] X + mx +. Sã se determie rãdãciile poliomului f, ºtiid cã α = ºi α = sut rãdãcii ale acestuia. E7. Sã se determie c.m.m.d.c. ºi c.m.m.m.c. al polioamelor: f = X X + X X +, a) ( 5 ) ( ) g = X X + X, f, g Q [ X ]; b) = ( ) ( + ) ( + ) f X i X i X, ( ) ( ) [ ] g = X + X, f, g C X ; c) 6 f X, = = 9 R [ ] g X, f, g X. A. Sã se determie rãdãciile poliomului f î codiþiile date: a) f R [ X ], f = ( + ) X + X + + ( + ) X +, ºtiid cã are o rãdãciã raþioalã; f C X, f = X + i + 5 X b) [ ] ix + ( i ), ºtiid cã are o rãdãciã realã; c) f C [ X ], f = ( + i) X + + ( m i) X ( + mi ), dacã m R ºi f are o rãdãciã realã; d) f C [ X ], f = X + ( + i) X X m i, dacã m R ºi f are o rãdãciã realã. A. Sã se determie a C, ºtiid cã poliomul f C [ X] admite rãdãcii reale duble: f = X X + X a ; a) APROFUNDARE b) f = ( X + ) ( X ) ( X a)( X 6a ); f X X a. c) = ( ) ( + ) A. Sã se rezolve ecuaþiile î C, ºtiid cã au soluþiile idicate: a) + + =, = ; b) + + =, = i, = i; c) z z + z + =, z = soluþie dublã; 5 d) z z z + 7z =, z = soluþie triplã. A. Sã se determie m R petru care poliomul f C [ X ], f = X mx + X + m + are rãdãciã dublã α =. Sã se afle apoi celelalte rãdãcii ale poliomului.

124 Algebr III. Iele de polioame A5. Sã se afle rãdãciile poliomului [ ] 5 f C X, f = X X + ax + bx + c, ºtiid cã are rãdãcia triplã α =. A6. Sã se determie a R ºtiid cã f R X are rãdãciã poliomul [ ] realã dublã: a) f = X 5X + 8X + a; b) c) f = X X + ax + 8; f = X + ax + 7X. A7. Sã se determie parametrii reali, f R X are o ºtiid cã poliomul [ ] rãdãciã triplã. Sã se descompuã apoi î factori ireductibili poliomul f: a) f = X 6X + ax + b; b) f = X + ax + X + b; c) f = X 5X + 9X + bx + a. A8. Sã se determie a Z petru care poliomul f Z [ X ], f = X + ax + + a + X + a are trei rãdãcii î Z. A9. Se cosiderã poliomul f = X + X + 5X X + R [ X ]. Dacã α= este rãdãciã a lui f, sã se determie ordiul sãu de multiplicitate. A. Sã se determie f [ X] Z p de gra- = este rãdã- p,. dul, ºtiid cã ciã triplã î cazurile { } A. Sã se determie polioamele ireductibile f Z [ X ], f = ax + bx + +. A. Sã se determie polioamele de Z gradul ireductibile î [ X ]. A. Sã se afle valoarea parametrului a petru care poliomul f Z p [ X] este ireductibil: a) f = X + a + X +, p = ; 6 b) f = X + ax + 5, p = 7; f = X + ax + a + X +, p = 5. c) A. Sã se descompuã î factori ireductibili polioamele: a) f = X 8 + X + Q [ X ]; 8 b) f = X, Z [ X ]; 9 f = X Z X. c) [ ] A5. Fie [ ] f = X + bx + cx+ a Q X, astfel îcât a, b, c Z ºi ab + ac este umãr impar. Sã se arate cã f este ireductibil peste Z. A6. Sã se arate cã poliomul f = ( X ) ( X ) ( X ) Q [ X] este poliom ireductibil peste Z. A7. Fie p umãr prim. Sã se descompuã î factori ireductibili poli- p f = X + Z X. omul [ ] A8. Sã se arate cã f Q [ X ], f ( X ) ( X )... ( X ) p = + este ireductibil peste Z. A9. Se cosiderã poliomul f R [ X] astfel îcât f + f ( ) f ( ) = * =, N. Sã se determie rãdãciile poliomului f ºi sã se descompuã î factori ireductibili peste R. A. Sã se determie f [ X] R ºi sã se descompuã î factori, ºtiid cã: + f = f +, R.

125 Algebr III. Iele de polioame f 5 X, f = X + mx + X + + X +. Dacã A = { m Z 5 f are douã rãdãcii disticte î Z 5} ºi A. Fie Z [ ] { 5 B = m Z g = f + X + are rã- dãciã triplã î Z 5}, atuci: { } { } i) a) A, ; b) A, ; { } { } { } c) A, ; d) A, ; e) A,. ii) a) B { }; { } { } = b) B =, ; { } { } c) B =, ; d) B =, ; e) B =. (ASE, iulie, ) 6 Relaţiile lui Viète Fie [ ] f C X, f = a X + a X + a u poliom de gradul al doilea. Dacã z,z C sut rãdãciile poliomului f, atuci acesta are descompuerea î factori ireductibili: f = a X z X z, (). Efectuâd produsul î relaþia () obþiem cã: f = a X a z + z X + a z z, (). Di idetificarea celor douã eprimãri ale poliomului f obþiem relaþiile ître rãdãciile ºi coeficieþii acestuia: a z+ z = a, (relaþiile lui Viète petru poliomul de gradul ) a z z = a Î mod aalog, petru u poliom de gradul trei, f C X, f = a X + a X + a X + a, avem descompuerea î factori [ ] f = a X z X z X z, ude z,z,z C sut rãdãciile poliomului. a X + a X + a X+ a = a X z X z X z se ireductibili Di egalitatea obþie cã a X a X a X a a X a ( z z z ) X a ( z z + zz + z z ) X a zz z, () =

126 Di idetificarea coeficieþilor se obþi relaþiile: a z + z + z = a a zz + zz + zz =, umite relaþiile a a zz z = a lui Viète petru poliomul de gradul. Mai geeral, procedâd î mod aalog f C X, f = a X + petru u poliom [ ] * + a X a X + a, a C, cu rãdãciile z,z,..., z C, se obþi relaþiile lui Viète: Algebr III. Iele de polioame a s = z + z z = a a s = zz + zz zz + zz z z = a... ( S). k ak sk = zz...zk + zz...z k z k+... z z = ( ) a a s = zz...z = a Dupã cum se observã, suma s k este suma tuturor produselor a k k ditre rãdãciile poliomului f. Rezultã cã suma s k are C termei. OBSERVAŢII. Petru ecuaþia algebricã f ( ) = soluþiile z, z,..., z sut rãdãciile poliomului f ºi, astfel, ele verificã acelaºi sistem de relaþii ale lui Viète. f K X, de gradul,. Relaþiile lui Viète se pot scrie petru u poliom [ ] * N, care are toate cele rãdãcii α, α,..., α î corpul K. Î caz cotrar, u se pot scrie relaþiile lui Viète. Astfel, poliomul f Q [ X ], f = X,, u are ici o rãdãciã î, S de relaþii ale lui Viète. Q deci u putem scrie sistemul Fraçois VIÈTE (5-6) matematicia fracez Este uul ditre creatorii algebrei avâd rezultate importate î domeiul trigoometriei ºi geometriei aalitice. 5

127 Algebr III. Iele de polioame Aplicaþii ale relaþiilor lui Viète poliom [ ]. Relaþiile lui Viète se dovedesc utile î aflarea rãdãciilor uui f C X, î cazul câd aceste rãdãcii verificã relaþii suplimetare. Problemã rezolvatã Sã se rezolve î C ecuaþia z z z =, ºtiid cã douã ditre soluþiile sale verificã relaþia z + z =. Soluþie Di prima relaþie a lui Viète, z + z + z =, se obþie z = z z = = z + z =. Cosiderâd poliomul f C [ X ], f = X X X, care are rãdãcia, obþiem cu ajutorul schemei lui Horer, descompuerea: f = X X + X +. Rezultã cã ecuaþia algebricã ataºatã se scrie sub forma: ± i ( z )( z + z + ) = ºi are soluþiile z =, z, =.. Dacã sut cuoscute soluþiile uei ecuaþii algebrice de gradul * N, z, z,..., z, atuci se cuosc sumele s, s,..., s ºi ecuaþia se poate scrie sub forma: z s z + s z... + s =, (). Probleme rezolvate. Sã se scrie ecuaþia de gradul cu coeficieþi complecºi, care are soluþiile z =, z = i, z = i. Soluþie Avem s = z + z + z =, s = zz + zz + zz = + i, s = zzz = = + i. Avâd î vedere relaþia (), obþiem ecuaþia: z z + + i z + i =.. Fie [ ] f C X, f = X + X + cu rãdãciile,, C. Sã se scrie poliomul uitar de gradul care are rãdãciile: y = +, y = +, y = +. Soluþia Poliomul cãutat este g = X s X + s X s, ude: 6 s = y + y + y = = + s

128 Algebr III. Iele de polioame s = y y + y y + y y = ( + ) = + ( + + ) = + s+ s s yyy ( )( )( ) ( ) ( ) s s s, = = = = ude s,s,s sut date de relaþiile lui Viète petru poliomul f. Rezultã s =, s =, s = ºi se obþie s =, s =, s =. Poliomul cãutat este g = X X + X. Soluþia Di relaþiile date se obþie: = y, = y, = y. Cu substituþia y, = ecuaþia trasformã astfel: f = ataºatã poliomului f se y + y + =, care adusã la forma cea mai simplã devie: y y + y =. Rezultã cã poliomul g care are ataºatã aceastã ecuaþie este g = X X + X.. Sã se rezolve î C sistemele de ecuaþii: + y + z = + ay + a z = a a) + y + z = ; b) + by + b z = b,a,b,c C disticte. + y + z = + cy + c z = c Soluþie a) Cosiderãm umerele, y, z C ca rãdãcii ale uui poliom f de gradul. Rezultã cã f = X s X + s X s, ude s = + y + z =, s = y + yz+ z ºi s = yz. Di relaþia y z ( y z) ( y yz z) + + = se obþie cã = s, adicã s =. Deoarece, y, z sut rãdãcii ale poliomului f, obþiem: s + s s = y sy + s y s =. z s z + s z s = Pri aduarea acestor egalitãþi se obþie: + y + z s + y + z + s + y + z s =. Avâd î vedere sistemul dat rezultã cã s =. 7

129 Algebr III. Iele de polioame Aºadar, f X X X X ( X ) ( X ) ( X )( X ) = + = = ºi are rãdãciile =, =, =. Obþiem cã =, y =, z = sau =, y =, z = sau =, y =, z =. f C X, f = X zx yx. b) Cosiderãm poliomul [ ] Avem f ( a) =, f ( b) =, f ( c) =, deci a, b, c sut rãdãciile poliomului f. Di relaþiile lui Viète petru f, obþiem: a+ b+ c= z,ab+ bc+ ac= y,abc= ºi astfel sistemul are soluþia = abc, y = ( ab + bc + ac ), z = a + b + c. EXERCIŢII ŞI PROBLEME E. Sã se scrie relaþiile lui Viète f C X : petru polioamele [ ] a) b) c) d) f = X X + X ; f = X X + ; 5 f = X ; 5 f = X X + ; e) f = ( X )( X )( X ); d) = ( + )( + ) f X X X. E. Sã se arate cã poliomul f Z [ X] are toate rãdãciile î Z p ºi sã se scrie relaþiile lui Viète petru acesta: a) f = X + Z [ X ]; b) f = X + Z [ X ]; 5 f = X + Z X ; c) 5 [ ] d) = + + Z [ ] f X X X 5 X. E. Sã se determie rãdãciile poliomului f C [ X ], ºtiid cã are loc relaþia specificatã: a) f = X + 7X 8X + 8, z + + z = ; EXERSARE p b) f = 5X 7X + 7X + 5, z z = 5; c) f = X 7X + X +, z = z ; d) f = X X + 7X 8, z = = zz ; e) f = X X + X 6, zz + + zz =. E. Se cosiderã poliomul f C [ X ], f = X X + X+ ºi z,z,z C rãdãciile sale. Sã se calculeze: a) z + z + z ; b) z + z + z ; c) + + ; d) + + z z z ; z z z z z z e) z + z + z E5. Sã se rezolve î C ecuaþiile ºtiid cã au loc relaþiile date: a) z 6z az+ =, z + z = z ; b) c) z z + az 6 =, z = zz ; z z + az 6 =, z + z = = z. 8

130 Algebr III. Iele de polioame E6. Se cosiderã poliomul f C [ X ], f X X X = + + cu rãdãciile z,z,z. Sã se formeze polioamele care au rãdãciile: a) y = z, y = z, y = z ; b) y = z + z, y = z + z, y = = z + z ; c) y = zz, y = zz, y = zz ; d) y =, y =, y =. z z z E7. Fie Z [ ] f X, f = X + X +.,,, Dacã α α α α Z sut rãdãciile poliomului f, sã se calculeze: a) α + α + α + α ; b) c) d) α + α + α + α ; α +α +α +α ; * α + α + α + α, N. E8. Se cosiderã ecuaþia 6 = î C, cu soluþiile,,, C ºi S = Atuci: a) S = ; b) S = ; c) S = ; d) S =. (Uiv. Trasilvaia, Braºov, ) APROFUNDARE A. Dacã,, C sut rãdãciile poliomului C [ X] ºi f = X X + X + 7 =, atuci: = = a) = ; b) ; c) = ; d). (Uiv. Trasilvaia, Braºov, ) A. Sã se determie rãdãciile poliomului f C [ X ], ºtiid cã rãdãciile sale verificã relaþia datã: a) f = X + mx X +, z + z = ; b) c) d) f = X + X + ax+, z + z = ; f = X X + ax + 6, zz = ; f = X X X + a, z = z ; f = X a + X + a + X a, e) = + ; z z z f) f = X X + X + a,zz = = zz. A. Sã se rezolve ecuaþiile î C, ºtiid cã au soluþiile î progresie aritmeticã, petru m R : a) 6 + m = ; b) z mz + 6z = ; c) z z + mz 5z + = ; 5 d) z z + az + bz + c =. A. Sã se rezolve î mulþimea C ecuaþiile de mai jos ºtiid cã au soluþiile î progresie geometricã, petru m R : a) m = ; b) m + = ; c) m =. A5. Se cosiderã poliomul f C [ X ], f = ax + bx + cx + d, astfel îcât * a, b, c, d R sut î progresie geometricã cu raþia q (, + ). Sã se calculeze S =

131 Algebr III. Iele de polioame A6. Fie f X ax b [ X] = + + C cu rãdãciile,, C. Sã se arate cã dacã a, b Z, atuci: * + Z, N. A7. Se cosiderã poliomul [ ] mx ax m X. f = X + + C Sã se determie a, m R, ºtiid cã rãdãciile lui f verificã relaþia α + α + α = = m. A8. Sã se rezolve î mulþimea umerelor reale sistemele: + y + z = a) + y + z = 6; yz = + y + z = b) + y + z = 6; + y + z = 8 + y + z = c) + y + z = y + z = 7 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice cu coeficieţi î Z, Q, R, C Teorema lui Abel-Ruffii afirmã cã petru ecuaþia algebricã de grad, N, 5, u eistã formule geerale de rezolvare. Aceasta face ca rezolvarea uor astfel de ecuaþii sã fie dificilã î lipsa uor iformaþii suplimetare asupra ecuaþiei. De asemeea, corpul î care ecuaþia are coeficieþi poate coduce la obþierea uor soluþii particulare ºi astfel, rezolvarea ecuaþiei sã fie redusã la ecuaþii algebrice de grad iferior. 7.. Ecuaþii algebrice cu coeficieþi î Z Fie a + a + + a + a =, (), ecuaþie algebricã de gradul, * N, cu coeficieþii a, a,, a Z. Petru ecuaþia de tipul () se pot determia soluþiile di Z ºi Q pe baza urmãtorului rezultat: TEOREMA * Fie a + a + + a =, ecuaþie algebricã de gradul N cu coeficieþi î Z. a) Dacã α Z este soluþie a ecuaþiei, atuci α divide a. p b) Dacã α = Q, ( p,q) =, este soluþie a ecuaþiei, atuci p divide q a, iar q divide a.

132 Demostraþie a) Dacã α Z este soluþie petru ecuaþie, rezultã cã a α+ a = sau, altfel scris, α ( a a ) Di relaþia () rezultã cã α divide b) Dacã a. Algebr III. Iele de polioame a α + + = p α = Q este soluþie a ecuaþiei, rezultã cã a q a α + α + a, (). p p + a + q q p + + a + a=, egalitate care se poate scrie sub formele: q p ( ap a p q a q ) q ( ap + ap q+ + aq ) = = a a p. q respectiv, Deoarece ( p, q ) =, se obþie cã p divide a ºi q divide a. Teorema oferã o modalitate simplã de a determia soluþiile α Z, p respectiv α= Q ale uei ecuaþii algebrice cu coeficieþi umere q îtregi, ºi aume: soluþiile α Z ale ecuaþiei se cautã pritre divizorii termeului liber a ; p α= Q, p, q =, se cautã pritre umerele raþioale q soluþiile de forma p, q ude p este u divizor al termeului liber a, iar q este u divizor al coeficietului domiat a. Problemã rezolvatã Sã se rezolve î mulþimea C ecuaþiile: a) 5 6 = ; b) + + =. Soluþie a) Cãutãm soluþiile îtregi ale ecuaþiei pritre divizorii lui 6. Avem: D 6 = { ±, ±, ±, ± 6 }.

133 Algebr III. Iele de polioame Alcãtuim schema lui Horer petru aceºti divizori: 5 6 α = 5 6 α = u este soluþie α = 8 α = u este soluþie α = R = α = este soluþie α = 5 α = u este soluþie α = R = α = este soluþie Aºadar s-au gãsit douã soluþii îtregi α =, α =. Rezultã cã ecuaþia se scrie: + + =, ºi va avea soluþiile α =, α =, α, =± i. TEMĂ Rezolvaþi ecuaþiile: + = ; + = ; + + =. b) Se obþie uºor cã ecuaþia u are rãdãcii îtregi. Termeul liber al ecuaþiei este ºi are mulþimea divizorilor D = { } iar termeul domiat este cu D = { },,,,,. Numerele raþioale, care u sut î Z ºi pot fi soluþii, aparþi mulþimii S =,. Se alcãtuieºte schema lui Horer. α= α= R = α = u este soluþie α = este soluþie Aºadar α = este soluþie, iar ecuaþia poate fi scrisã sub forma + + =. Se gãsesc soluþiile α = ºi α, = Î cazul î care termeii a, a ± i. Z au mulþi divizori, apar prea multe fracþii p Q care trebuie îcercate dacã sut soluþii. Vom arãta q uele modalitãþi practice de îdepãrtare a uora ditre aceste fracþii.

134 Fie f C [ X ], u poliom de gradul ºi Algebr III. Iele de polioame * N cu coeficieþi îtregi p α= Q, p, q = o rãdãciã a sa. Rezultã cã poliomul f este q p p divizibil cu X ºi f = X C( X) sau f = ( qx p) C ( X ), ude C q q este u poliom cu coeficieþi î Z (temã). Atuci vom obþie: f q p C f = q p C. = ( ) ºi Deoarece C( ), C( ) Z, este ecesar ca p q sã dividã p + q sã dividã f( ). Aºadar, dacã p q u divide atuci p Q u este soluþie a ecuaþiei. q Problemã rezolvatã f ºi f sau p + q u divide f, Sã se rezolve ecuaþia 8 + =. Soluþie Cãutãm soluþii îtregi pritre divizorii lui. Va rezulta cã ecuaþia u are soluþii î Z. Cãutãm soluþii raþioale. Acestea pot fi: p,,,,,,,. q Poliomul asociat este f X 8X X X f = 5 = + ºi ºi f( ) = 5. Îlãturãm fracþiile care u pot fi soluþii: p q p + q f( ) = 5 p q f = 5 Se observã cã au mai rãmas de probat dacã sut soluþii umai fracþiile p,,,. q Fãcâd proba pri schema lui Horer se costatã cã sut soluþii α =, α = ºi se obþie ecuaþia: + ( + ) =. ± 5 Rezultã cã α, =.

135 Algebr III. Iele de polioame 7.. Ecuaþii algebrice cu coeficieþi raþioali Fie a, b, c Q, astfel îcât b, c > ºi c R\ Q. Numerele reale de forma u = a + b c se umesc umere iraþioale pãtratice. Numãrul iraþioal pãtratic u = a b c se umeºte cojugatul umãrului u = a + b c. Se observã uºor cã oricare umãr iraþioal pãtratic u = a + b c se poate scrie sub ua di formele α + β sau α β, ude α, β Q, β>, β R\ Q, avâd î vedere itroducerea sau scoaterea factorilor de sub radicali. Folosid formula biomului lui Newto, rezultã cã dacã u = a + b este umãr iraþioal pãtratic atuci u = a + b = a + b, ude a, b Q, ºi b >, b R\ Q. Aºadar u este umãr iraþioal pãtratic. De asemeea, se observã cã = = u a b u. TEOREMA 5 Fie f Q [ X ], f = a + a X+ a X + + a X, u poliom de gradul, * N ºi u = a + b umãr iraþioal pãtratic. Dacã u este rãdãciã a poliomului f, atuci: a) u = a b este rãdãciã a lui f; b) u ºi u au acelaºi ordi de multiplicitate. Demostraþie a) Avem succesiv: f( u) = a + a( a b) + + a ( a b) = a + a( α β ) + + a α β + + a α β = a + a α + β + a α + β a α + β = f u =, deci u este rãdãciã a poliomului f. b) Fie m, m N ordiele de multiplicitate ale rãdãciilor u ºi u. Poliomul f se scrie: ( m ) g( u), g( u). m f X u X u g, = (), ude g [ X] Q ºi

136 Algebr III. Iele de polioame Sã presupuem cã m < m. Atuci, di relaþia (), se obþie: m m m m m Poliomul h = ( X u) g Q [ X] ºi h( u). f = X ax + a b X u g = X ax + a b h, (). teoremei se obþie cã h( u), u u, m = Di puctul a) al m m = deci u u g u =. Dar deci este ecesar ca g( u) =, î cotradicþie cu g u. Aºadar u se poate ca m < m. Aalog se aratã cã u are loc iegalitatea m < m. Î cocluzie m = m ºi teorema este demostratã. Problemã rezolvatã Sã se rezolve ecuaþia admite soluþia = a + b =, ºtiid cã a, b Q ºi cã Soluþie Cosiderãm [ ] f Q X, f = X + X + ax + b. Poliomul f admite rãdãcia = +, deci coform teoremei aterioare admite ºi rãdãcia = =. Di relaþiile lui Viète se obþie: + + =, deci =. Aºadar: f = ( X + )( X )( X + ) = = X + X 9X ºi se obþie cã a = = 9, b =. TEMĂ DE STUDIU Fie f Q [ X] u poliom de gradul * a, b Q + ºi a, b R \ Q. TEMĂ Sã se rezolve urmãtoarele ecuaþii dacã: + + =, = + ; =, = + ; + + =, =. * N, cu rãdãcia = a + b, a) Sã se studieze dacã umerele a b, b a, a b sut rãdãcii ale poliomului f. b) Care este gradul miim al poliomului f? 5

137 Algebr III. Iele de polioame 7.. Ecuaþii algebrice cu coeficieþi reali TEOREMA 6 f R X, u poliom de gradul Fie [ ] *. N Dacã z = a + bi C, a, b R, b este rãdãciã a poliomului f, atuci: a) z este rãdãciã a poliomului f; b) z ºi z au acelaºi ordi de multiplicitate. Demostraþie (Temã) OBSERVAŢII Fie f C [ X ], u poliom cu coeficieþi reali de gradul * N. Poliomul f are u umãr par de rãdãcii z C \ R. Dacã este impar, atuci poliomul f are cel puþi o rãdãciã realã. Mai mult, umãrul de rãdãcii reale este impar. Probleme rezolvate. Sã se rezolve ecuaþia z z + =, ºtiid cã admite soluþia z = = + i. Soluþie Fie f C [ X ], f = X X +, poliomul TEMĂ cu coeficieþi reali ataºat ecuaþiei date. Sã se rezolve ecuaþia Rezultã cã f are rãdãcia z = + i, deci va avea ºi rãdãcia z = i. Di relaþiile lui Viète rezultã cã z + z + z =, deci z =.. Sã se determie umerele reale a, b ºi sã se rezolve ecuaþia 5 z + z + z + z + az+ b=, ºtiid cã admite soluþia dublã z = i. Soluþie Deoarece ecuaþia admite soluþia z = i, ea va admite ºi soluþia z = z = i, soluþie dublã. Aºadar sut cuoscute soluþiile: z = z = i, z = z = i. Di relaþia lui Viète z + z + z + z + z 5 = se obþie cã = Aºadar = ( ) ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) z5. Împãrþid poliomul f pri se obþie cã a = ºi b =. z + z + =, ºtiid cã admite soluþia z = + i. f X i X i X X X. X + (sau folosid relaþiile lui Viète) 6

138 Algebr III. Iele de polioame. Sã se rezolve ecuaþia a + b+ c=,a,b,c Q, Soluþie ºtiid cã admite soluþiile = + i ºi =. Fie [ ] 5 f C X, f = X X + X + ax + bx + c, poliomul ataºat ecuaþiei. Deoarece a, b, c Q rezultã cã f admite ºi soluþiile = +, = i. Di relaþia lui Viète: = se obþie 5 = =. Rezultã cã f are forma f = ( X i)( X + i)( X + )( X ) ( X ) + = X X + X X +. Împãrþid poliomul f la X + ºi X +, sau folosid relaþiile lui Viète corespuzãtoare, se obþie a =, b =, c =. EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE E. Sã se determie soluþiile îtregi c) ale ecuaþiilor: a) + = ; d) b) + 8 = ; 5 c) e) + + =. E. Sã se determie soluþiile raþioale ale ecuaþiilor: a) = ; b) = ; 5 c) + + =. E. Sã se determie polioamele f Q [ X] de gradul care au rãdãciile: a),, + ; b) dublã, ; c) dublã; d) ºi. E. Sã se rezolve ecuaþiile, ºtiid cã au soluþia idicatã: a) =, = ; b) =, = + ; X z 7z + z z =, z = ; z z + z z + =, z = 5; z z z z =, z = + ; f) z 7z + 5z + z =, z =. E5. Sã se rezolve ecuaþiile ºtiid soluþia idicatã: a) z + 6z + 5z + 8z + =, z = i; b) z z + z z + =, z = i; c) z + z + z + z + =, z = i; d) z 5z + z + z =, z = + i; e) z z + z + =, z = + i; f) z 8z + 6z z + 5 =, z = i. 7

139 Algebr III. Iele de polioame A. Sã se determie a Z ºi rãdãciile poliomului f Q [ X ], APROFUNDARE f = X ax + + X + ºtiid cã acesta admite rãdãcii umere îtregi. A. Fie Q [ ] f X, f = X + ax + bx, a, b Z. Sã se rezolve ecuaþia f ( ) = ºtiid cã are cel puþi douã soluþii î Z. A. Sã se determie a Z ºtiid cã poliomul f Q [ X] admite rãdãcii raþioale: a) f = X + ax + X ; b) f = X + ax ; c) f = X + X + ax 6; d) f = X X + 7X + ax. A. Sã se determie m Q ºi apoi sã se rezolve ecuaþiile obþiute ºtiid cã admit ºi soluþiile idicate: a) m =, = ; b) c) + 6+ m=, = + ; + m + m+ 8 =, = 5 +. a) z z + az z + =, z = i; b) z + z + az + z + b =, z = i; c) z + z + az + bz + 9 =, z = i; d) z + az + bz + =, z = i. A8. Sã se rezolve ecuaþiile ºtiid cã a, b Z ºi cã admit o soluþie dublã umãr îtreg: a) + a + b + = ; b) + a + b + + =. A9. Sã se rezolve ecuaþiile urmãtoare î codiþiile: 5 a) z 5z + 9z 7z + =, z = +, z = + i; 6 5 b) z z + z 8z + z + + z + 6 =, z = z = + ; 6 5 c) z 5z + 9z 9z + 8z z + =, z = i, z = + i; 5 d) z z + z + z 8 =, z =, z = i. A5. Sã se rezolve ecuaþiile date, dacã a, b Q ºi admit soluþia idicatã: a) b) z + z + az + b =, z = ; z z + az + b =, z = ; c) z + z az + bz + =, z = ; d) z + z + az + bz + =, z = 5. A6. Sã se determie a, b Q, ºtiid cã ecuaþia 5+ a = admite soluþia = b +. A7. Sã se rezolve ecuaþiile ºi sã se determie a, b R, î cazurile: A. Fie a, b, c, d Q. Sã se rezolve ecuaþiile î codiþiile specificate: 6 5 a) + a + b c + d =, dacã =, = 5; 6 5 b) + a + b + c + d =, = 5 i, = +. A. Se dã ecuaþia a + b =, a, b Q. Sã se rezolve ecuaþia, ºtiid cã admite soluþia = + 5. A. Sã se scrie ecuaþia cu coeficieþi raþioali de gradul cel mai mic 8

140 Algebr III. Iele de polioame * N, care admite soluþia î cazurile: a) = + ; b) = + 5; c) = 5. A. Sã se rezolve ecuaþiile ºtiid cã admit soluþii idepedete de parametrul m C. a) + ( m ) ( m + ) m = ; b) m + m m + m =. A. Se cosiderã ecuaþia ( p ) ( p + ) ( p + ) + ( 5p ) ( p ), + + = ude p C \ R, p, cu soluþiile,,,. Dacã, sut soluþiile reale idepedete de p ºi S = = Re + Re, atuci: ( ) a) S [, + ) ; b) ( ) c) S (, ) ; d) S (, ); e) S (, ). S, 5 ; (ASE, Bucureºti, ) 8 Rezolvarea uor ecuaţii algebrice de grad superior cu coeficieţi î C 8.. Ecuaþii bipãtrate O ecuaþie bipãtratã cu coeficieþi î C este o ecuaþie algebricã de forma az + bz + c =, a, b, c C, a. Petru rezolvare se parcurg urmãtorii paºi: se oteazã z = y ºi se obþie ecuaþia de gradul doi: ay + by + c =, umitã ecuaþia rezolvetã a ecuaþiei bipãtrate; se rezolvã ecuaþia rezolvetã î mulþimea C obþiâdu-se soluþiile y,y C ; se scriu ºi se rezolvã ecuaþiile z = y ºi z = y obþiâdu-se soluþiile z, z, z, z ale ecuaþiei bipãtrate. Eemplu Sã se rezolve ecuaþiile î C: a) z z = ; b) z + ( i) z i =. Soluþie Ecuaþiile sut bipãtrate. a) Fie z = y. Se obþie ecuaþia rezolvetã y y = cu soluþiile y =, y =. Rezultã b) Notâd z z = ºi z = cu soluþiile z = i, z = i, respectiv z =, z =. = y se obþie ecuaþia rezolvetã y + ( i) y i = cu soluþiile y = ºi y = i. Rezultã ecuaþiile: z = ºi z = i. Di prima ecuaþie se obþie z = i, z = i. Petru a rezolva a doua ecuaþie cosiderãm z = a + bi C, a, b R ºi se 9

141 Algebr III. Iele de polioame obþie: ( a + bi) = i sau a b = sistemul. Substituid ab = a = cu soluþiile reale Problemã rezolvatã a b + abi = i. Di egalitatea de umere complee se obþie b = î prima ecuaþie a sistemului se obþie ecuaþia a a =±. Rezultã cã b, z, i. =± iar =± ( + ) 5 + Sã se arate cã cos =. 5 Soluþie ªtim cã = si = si + = si cos + si cos, ( ) Notâd = cos ºi avâd î vedere cã 5 si α = si α si α, cosα= cos α cos α, di relaþia ( ) se obþie ecuaþia: 6 + =. Rezultã cã soluþia coveabilã 5 + =. 8.. Ecuaþii biome 5 + 5, ±, ±. Se obþie O ecuaþie biomã cu coeficieþi î mulþimea C este o ecuaþie * algebricã de forma: z a =, ude N, a C. () Scriid ecuaþia biomã () sub forma z = a, rezolvarea ei se reduce la determiarea rãdãciilor de ordiul * NE REAMINTIM! N ale umãrului comple a. Petru z C, se cuosc: Dacã a = r( cost + isit) este scrierea sub formã trigoometricã a umã- z = a + bi, forma algebricã; z = a + b, modulul lui z; rului a, atuci se obþie: a t + k t + k z = z ( cost+ isit ), cos t =, zk = r cos + i si, z b si t =, forma trigoometricã; k {,,,, }, (), (rãdãciile complee ale lui z C). ( cost + isit) = cost + isit, z formula lui Moivre.

142 Eemplu Algebr III. Iele de polioame Sã se rezolve ecuaþia biomã z i =. Soluþie Forma trigoometricã a umãrului a = i este: i = cos + isi. Avâd î vedere + k + k relaþia () rezultã soluþiile: z k = cos + isi, k {,,, }. 8.. Ecuaþii reciproce v DEFINIÞIE f K X, f a a X a X a X, de gradul Poliomul [ ] = * N se umeºte poliom reciproc dacã ître coeficieþii sãi eistã rela- a = a, k,,,,. () þiile: { } k k Eemple Polioamele reciproce f K[ X] de gradul,, ºi au formele: f = ax + a, f = ax + bx + a, f = ax + bx + bx + a, respectiv + cx + bx + a, ude b, c K ºi * a K. f = ax + bx + v DEFINIÞIE * Se umeºte ecuaþie algebricã reciprocã de gradul N o ecuaþie f, f K X este u poliom reciproc de gradul. de forma = ude [ ] Forma particularã a polioamelor (ecuaþiilor) reciproce de gradul coduce la câteva observaþii geerale:. Orice ecuaþie algebricã reciprocã de grad impar admite soluþia =. Îtr-adevãr, poliomul f se poate scrie sub forma ( ) ( X X ) ( + + a X + X ) + ºi se obþie f( ) =. f = a + X + a. Pri împãrþirea poliomului reciproc f de grad impar la X + se obþie u cât care este poliom reciproc de grad.. Dacã ecuaþia reciprocã are soluþia α, atuci are ºi soluþia. α

143 Algebr III. Iele de polioame Rezolvarea ecuaþiei reciproce de gradul Ecuaþia reciprocã de gradul cu coeficieþi î corpul C are forma: a b b a. a = Ecuaþia se poate scrie succesiv: + ( a + b a + a) =. () + b( + ) = sau Forma de scriere () aratã cã ecuaþia are soluþia = ºi alte douã soluþii date de ecuaþia reciprocã de gradul : Problemã rezolvatã Soluþie Sã se rezolve î C ecuaþia Ecuaþia se scrie ± i 5, = =. a + b a + a = = ºi are soluþiile = ºi Rezolvarea ecuaþiei reciproce de gradul Forma geeralã a ecuaþiei reciproce de gradul cu coeficieþi îtregi este az + bz + cz + bz + a =. Se observã cã ecuaþia u admite soluþia z =. Petru rezolvare se parcurg urmãtorii paºi: b a Se împarte pri z ºi se obþie: az + bz + c +. z + z = Se grupeazã termeii care au coeficieþi egali: a z + b z c = z z Se oteazã z + = y ºi rezultã cã z + = y. Se obþie z z a y + by + c = sau ay + by + c a = ecuaþia de gradul î y: umitã ecuaþia rezolvetã a ecuaþiei reciproce de gradul. Se rezolvã ecuaþia rezolvetã obþiâd soluþiile y,y C.

144 Algebr III. Iele de polioame Se rezolvã ecuaþiile z + = y ºi z + = y care se aduc la forma: z z z yz+ = ºi z yz+ =. Rezultã astfel soluþiile z, z, z, z C ale ecuaþiei reciproce. Aºadar, rezolvarea ecuaþiei reciproce de gradul se reduce la rezolvarea a trei ecuaþii de gradul. Problemã rezolvatã Sã se rezolve ecuaþia reciprocã: z + z z + z+ =. Soluþie Dupã împãrþirea cu z se obþie: z z z z = sau z + + z + =. Cu otaþia y = z +, obþiem z + = y z z z z ºi ecuaþia rezolvetã y + y 6 = cu soluþiile y =, y =. Avem ecuaþiile: z + = ºi z + = z z TEMĂ = sau z + z+ = ºi z Sã se rezolve ecuaþiile: z+ =. z z + z z + = ; ± 5 Se obþi soluþiile z, = ºi z, =. z + z 8z + z + =. OBSERVAŢII. Dacã f C [ X ], este poliom reciproc de gradul * N, umãr impar, atuci rezolvarea ecuaþiei reciproce de gradul se reduce la rezolvarea ecuaþiei z + = ºi a uei ecuaþii reciproce de gradul. Eemplu Sã se rezolve ecuaþia =. Soluþie Deoarece = este soluþie a ecuaþiei, pri împãrþirea poliomului 5 f = X X + X + X X + la g X f = X + = + obþiem descompuerea ( X X + 6X X + ). Rezultã ecuaþia =. Avem =, iar celelalte soluþii sut date de ecuaþia reciprocã =. Se obþie,,, 5 =.

145 Algebr III. Iele de polioame. Dacã f C [ X ], este u poliom reciproc de gradul, = k, rezolvarea ecuaþiei reciproce ataºate se poate reduce la rezolvarea uei ecuaþii de gradul k cu ecuoscuta y = z +, ºi a k ecuaþii de z gradul date de ecuaþiile z+ = y p,p {,,,k}. z Eemplu Sã se rezolve ecuaþia reciprocã de gradul 6 î mulþimea C: 6 5 z 5z + z + z 5z + =. Soluþie Împãrþid cu z se obþie: z + 5 z z = Dacã z + = y z z z z atuci z + = y ºi z + = z z + + = y ( y ). Se obþie ecuaþia z z z z rezolvetã de gradul î y: y 5y + y + = care se descompue astfel: ( y )( y y 5) =. Se obþi soluþiile: y =, y =, y = ºi se obþi ecuaþiile î z de forma: z + = y, sau z z yz + =, ude y,,.. Î cazul uei ecuaþii reciproce cu coeficieþi îtr-u corp K se procedeazã î mod aalog. EXERCIŢII ŞI PROBLEME EXERSARE E. Sã se rezolve î mulþimea C ecuaþiile bipãtrate: mulþimea C: E. Sã se rezolve ecuaþiile biome î a) z z + = ; a) z 5 = ; b) z + z + = ; b) z 65 = ; c) z z + 9 = ; c) z + 8 = ; d) 9z z + = ; d) z + 5 = ; e) z 7z + 6 = ; e) z + 6 = ; f) 5z 6z + = ; f) z + i = ; 6 g) z + z + = ; g) z i = ; 5 h) z + 9z + = ; h) z i =. i) z z 5 =.

146 Algebr III. Iele de polioame E. Sã se rezolve î C ecuaþiile reciproce de gradul : a) = ; b) = ; c) = ; d) + = ; e) = ; f) =. E. Sã se rezolve î C ecuaþiile reciproce de gradul : a) = ; b) = ; c) + = ; d) = ; e) f) = ; =. E5. Sã se rezolve î C ecuaþiile reciproce: 5 a) = ; 5 b) = ; 5 c) = ; 6 5 d) =. E6. Sã se rezolve î C: + + = 8; a) b) i + + i = 6. APROFUNDARE A. Sã se rezolve ecuaþiile bipãtrate î mulþimea C: a) + + = ; b) = ; c) + = ; d) 6 = 5. A. Sã se rezolve î Z 5 ecuaþiile: a) + = ; b) + + = ; c) + + = ; d) + + =. A. Sã se determie a, b R petru care ecuaþia + ( a + b ab + b ) a + b a + b ( ab + a b ) =, este ecuaþie bipãtratã ºi sã se rezolve î acest caz. A. Sã se rezolve ecuaþiile î mulþimea umerelor complee: a) + i + i + = ; b) i + ( + i) + ( + i) + i = ; c) z ε z ε z + =, ε =. A5. Petru care valori ale lui a R, ecuaþia + a + a + = admite soluþii multiple? A6. Sã se rezolve î C ecuaþia + + ( a + ) + b =, ºtiid cã este ecuaþie reciprocã ºi admite o soluþie dublã. A7. Sã se arate cã dacã o ecuaþie reciprocã de gradul cu coeficieþi î corpul K admite * soluþia α K, atuci ea admite ºi soluþia α K. Geeralizare. A8. Sã se rezolve ecuaþiile reciproce î C: 6 a) + = ; 5

147 Algebr III. Iele de polioame 6 5 b) =. A9. Sã se determie a R ºtiid cã ecuaþia z + az + az + = are umai soluþii reale. A. Petru ce valori ale lui a R ecuaþia reciprocã + + a + + = are toate soluþiile reale? A. Sã se rezolve î mulþimea C ecuaþiile de grad superior: a) = ; b) = ; c) + a + a + a =. A. Sã se rezolve ecuaþiile î mulþimea C: + + = 8; a) + a + a = b, a, b R ; b) c) = a, b, c R ; a b c, d) = ; + a + a =, a R. e) A. Sã se rezolve ecuaþia: log 6 + log + log log + =. 6 (Admitere, ASE, Bucureºti, 999) A. Sã se calculeze: si, si, cos. 5 TESTE DE EVALUARE Testul. Poliomul f X X X mx [ X] = Q se divide cu poliomul [ ] g X X X, a) b) = + Q petru: m = ; = m = ; = c) d) m = ; = m =. =. Se cosiderã poliomul [ ],,. a) Sã se arate cã: 6 ( pucte) (Uiv. Maritimã, Costaþa, ) f = X + mx + X + m R X, avâd rãdãciile + + = m + m +. b) Sã se determie m petru care + +. c) Sã se determie m petru care poliomul f se divide cu X ºi, î acest caz, sã se gãseascã rãdãciile sale. ( pucte) (Uiv. Bucureºti, Facultatea de Matematicã ºi Iformaticã, ). Sã se rezolve ecuaþia: = î mulþimea C ºtiid cã admite ca rãdãciã umãrul =. ( pucte) (Uiv. de Nord, Baia-Mare, )

148 Algebr III. Iele de polioame. Se cosiderã poliomul C. a) Sã se calculeze f ( ) ºi ( ) Testul f = X X + X X +, cu rãdãciile,,, f. b) Sã se determie a C, astfel îcât sã avem idetitatea: f = a( X )( X )( X ) ( X ). c) Sã se arate cã: ( ) d) Sã se arate cã: = = ( pucte) (Bacalaureat, iulie ). Fie [ ] f = X 7X + m + X m + X + m C X. Sã se rezolve f =, ºtiid cã m Q, admite soluþia = +, iar =. (Uiv. Lucia Blaga, Sibiu, 998) ( pucte) ecuaþia. Sã se descompuã î factori ireductibili peste Q, R, C poliomul f = X + X X X ºtiid cã admite rãdãcia z = + i. (Uiv. Babeº Bolyai, Cluj-Napoca, 996) ( pucte) Testul. Sã se determie rãdãciile dacã + + =.,, ale poliomului f = X mx C [ X] (Uiv. Lucia Blaga, Sibiu, ) ( pucte). Ecuaþia a) m =, = ; b) m =, = ; c) m =, = ; d) m =, = ; e) m = =. + m + + =,m, R admite soluþia = + i petru: (Uiv. Maritimã, Costaþa, ) ( pucte). Se cosiderã ecuaþia m + m m + =. Fie M = { m R ecuaþia are douã rãdãcii reale, disticte ºi egative }. Atuci: M, ; a) = ( ) b) M = [, + ) ; c) M = (, ]; d) 7 M =, ; e) M =. (ASE, Cibereticã, 997) ( pucte)

149 Aaliz matematic I. Primitive ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ I. PRIMITIVE Î clasa a XI-a s-a vãzut cã oþiuea de derivatã a uei fucþii a fost itrodusã porid de la câteva cosiderete practice. Astfel, î domeiul fizicii, viteza istataee a uui mobil este descrisã de o fucþie care reprezitã derivata fucþiei spaþiu. Fizica eperimetalã ridicã îsã ºi problema oarecum iversã celei de derivatã, î sesul cã impue determiarea proprietãþilor uei fucþii care modeleazã u feome, folosid valori ale derivatei rezultate ditr-u eperimet. Relativ la astfel de situaþii practice a apãrut coceptul de itegralã. Deumirea de itegralã rezultã di ideea deducerii uei cocluzii asupra îtregului, idee formulatã avâd î vedere cocluzii asupra pãrþilor acestuia, (iteger = îtreg, î limba latiã). Probleme care coduc la oţiuea de itegral Problema spaþiului parcurs de u mobil î miºcarea rectiliie Se cosiderã u puct mobil M care se deplaseazã rectiliiu, î acelaºi ses, pe o aã, cu viteza istataee la mometul egalã cu v( ). Dacã S( ) este distaþa parcursã de mobil de la mometul iiþial t = la mometul t =, atuci, coform defiiþiei vitezei istataee, are loc egalitatea v( ) = S ( ). Problema se poate pue îsã ºi ivers: Dacã se cuoaºte viteza v î fiecare momet, atuci se poate determia istataee distaþa parcursã de mobil î itervalul de timp [, ]?. Di puct de vedere matematic, problema revie la a studia dacã eistã o fucþie S care verificã egalitatea S ( ) = v( ). Cu alte cuvite, problema revie la a determia fucþia câd se cuoaºte derivata sa, determiare care face obiectivul capitolelor urmãtoare. 8

150 Aaliz matematic I. Primitive Problema ariei uei suprafeþe plae Se cosiderã f: [ a,b] R o fucþie cotiuã ºi pozitivã (f( ), [ a, b ]). Se oteazã cu S fucþia a, b care asociazã fiecãrui [ ] aria S ( ) a suprafeþei plae mãrgiite de curba y = f ( ), aa O pe itervalul [ a, ] ºi segmetele [ AA ], [ MM ] ude A( a, ), A a, f( a ), M, f ( ), (figura ). M,, Fucþia S, umitã fucþia arie este derivabilã pe itervalul [ a, ]. Îtr-adevãr, fie N O, N( + h, ), h > ºi, [, + h] pucte î care f ia valoare miimã, respectiv valoarea maimã pe, + h. itervalul [ ] Deoarece aria suprafeþei curbiliii [ MM N N] este cuprisã ître ariile suprafeþelor dreptughiulare cu baza [ MN ] ºi cu îãlþimile egale cu f ( m ), respectiv f ( M ), au loc relaþiile: h f ( m) S( + h) S( ) h f( M). De aici se obþie: S( + h) S( ) f( ) f ( ). () m Petru h h M O A( a, ) M(, ) M N( + h, ) B( b, ) Figura se obþie: = = lim f f lim f. m h h Pri trecere la limitã dupã h î relaþia () ºi folosid defiiþia derivatei, se obþie: S( + h) S( ) S ( ) = lim = f ( ). h h S = f, Aºadar, fucþia S este derivabilã pe itervalul [ a, b ] ºi [ a, b ], (), relaþie care eprimã derivata fucþiei arie cu ajutorul fucþiei f. A M m m M M N B 9

151 Aaliz matematic I. Primitive O problemã care se pue î legãturã cu relaþia () ºi care va face obiectul de studiu al capitolelor urmãtoare este: Sã se determie aria suprafeþei plae asociate fucþiei f pe u iterval [ a, b ], î ipoteza cã se cuoaºte derivata sa. Gottfried Wilhelm Leibiz (66-76) a otat aceastã arie cu simbolul b f ( ) d, citit itegralã de la a la b a di f( ) d. Rezolvarea depliã a problemelor care cer determiarea fucþiei câd se cuoaºte derivata sa se va face itroducâd oile cocepte matematice: primitivã ºi itegralã defiitã. Gotffried Wilhelm LEIBNIZ (66-76) matematicia germa Este creatorul calculului difereþial ºi itegral, avâd cotribuþii remarcabile î aaliza combiatorie, calculul probabilitãþilor, aritmeticã ºi mecaicã. Primitivele uei fucţii Itegrala edefiit a uei fucţii cotiue Fie I R u iterval de umere reale ºi fucþia f:i R. v DEFINIÞII Fucþia f : I R admite primitive pe itervalul I dacã eistã o fucþie F:I R cu proprietãþile: a) F este fucþie derivabilã pe itervalul I; b) F ( ) = f ( ), I. Fucþia F cu proprietãþile de mai sus se umeºte fucþia primitivã (sau atiderivatã) a fucþiei f pe itervalul I. Dacã fucþia F eistã, se spue cã fucþia f este primitivabilã pe itervalul I. Eemple Fucþia ulã f: R R,f( ) =, admite primitive pe R. Îtr-adevãr, petru orice umãr real c, fucþia derivabilã pe R ºi F ( ) = = f ( ), R. F: R R,F = c este fucþie 5

152 Aaliz matematic I. Primitive Fie fucþia f: R R,f( ) =. Fucþiile F: R R,F( ) = ºi G: R R,G( ) = + k, k R, sut primitive ale fucþiei f pe R. Îtr-adevãr, fucþiile F ºi G sut derivabile pe R ºi = = = R. = F G f, f:, +,f =., +. Fucþia F: (, + ) R,F( ) = l este o primitivã a fucþiei R De asemeea, G: (, + ) R,G( ) = l+ este o primitivã a fucþiei f pe Se observã cã fucþiile primitivabile f, coþiute î eemplele de mai sus, au proprietatea de a fi cotiue pe domeiul de eisteþã. Î geeral are loc urmãtoarea teoremã care cotureazã o clasã largã de fucþii care admit primitive: TEOREMA Orice fucþie cotiuã f : I R admite primitive pe itervalul I. Di eemplele de mai sus se observã cã fucþiile alese admit mai multe primitive pe itervalul de defiiþie. Relaþia ditre diferitele primitive ale uei fucþii pe u iterval este datã de urmãtorul rezultat: TEOREMA Fie I R u iterval ºi fucþia f : I R. Dacã F,F :I R sut douã primitive ale fucþiei f pe itervalul I, atuci eistã o costatã c R astfel îcât F( ) F( ) = c, I. Demostraþie Fucþiile F, F fiid Ne reamitim! primitive ale fucþiei f pe Coseciþã a teoremei lui Lagrage itervalul I, sut derivabile Fie f, g :I R, fucþii derivabile pe F = f = F, f = g, pe I ºi f =, I. Deoarece fucþia F F are derivata ulã pe itervalul I, di coseciþa teoremei lui Lagrage rezultã cã eistã c R astfel îcât ( F F)( ) = c, I. F F = c, I. I. Folosid operaþiile cu fucþii derivabile, rezultã cã fucþia F F este derivabilã ºi ( F F ) ( ) = F ( ) F ( ) = f( ) Aºadar itervalul I, astfel îcât I. Atuci eistã c R, astfel îcât f g = c. (Fucþiile f ºi g diferã pritr-o costatã.) 5

153 Aaliz matematic I. Primitive Teorema afirmã cã douã primitive ale uei fucþii primitivabile pe u iterval diferã pritr-o costatã. Dacã F este o primitivã a fucþiei f:i R, atuci orice altã primitivã G a lui f este de forma G = F + c, ude c este fucþie costatã pe I. Se deduce astfel cã dacã fucþia f admite o primitivã, atuci admite o ifiitate de primitive. v DEFINIÞII Fie I R u iterval ºi f : I R o fucþie care admite primitive pe I. Mulþimea tuturor primitivelor fucþiei f pe itervalul I se umeºte itegrala edefiitã a fucþiei f ºi se oteazã f ( ) d. Operaþia pri care se determiã mulþimea primitivelor uei fucþii se umeºte operaþia de itegrare. OBSERVAŢII Fie f:i R o fucþie primitivabilã ºi F o primitivã a sa pe itervalul I.. Di teorema se deduce cã mulþimea primitivelor fucþiei f pe itervalul I satisface egalitatea: f d = F + c c este fucþie costatã. { }. Dacã se oteazã = { R } f( ) d = F + C. Precizãri: C c : I c este fucþie costatã, atuci: Dacã ( I) = { f f :I R} a) F + G = { f + g f F, g G }; b) λ F = { λf f F }, λ R; c) + G = { + G} F F ºi f f h h, f I. F, G F I, se defiesc operaþiile: Petru mulþimea C a fucþiilor costate pe itervalul I au loc egalitãþile: C + C = C ; λ C = C, petru λ R *.. Cu ajutorul otaþiilor utilizate petru itegrala edefiitã, cele trei eemple coduc la: d = C, R; d = + C, R; d l, (, ). = + C + 5

154 Aaliz matematic I. Primitive Proprietatea de liiaritate a itegralei edefiite TEOREMA (proprietatea de aditivitate a itegralei edefiite) Fie I R u iterval ºi f, g :I R douã fucþii care admit primitive pe I. Atuci fucþia sumã f + g : I R admite primitive ºi are loc egalitatea: f( ) + g( ) d = f( ) d + g( ) d. Demostraþie (etidere) Fie F, G : I R primitive ale fucþiilor f, g pe itervalul I. Fucþiile F ºi G sut derivabile pe I ºi F = f ºi G = g. Folosid operaþiile cu fucþii derivabile pe u iterval, rezultã cã fucþia F + G este fucþie F + G = F + G = f + g. derivabilã pe I ºi are loc egalitatea: Aºadar, fucþia f + g admite primitive pe I ºi fucþia F + G este o primitivã a acesteia pe itervalul I. Totodatã au loc egalitãþile: f ( ) d = F + C, () g( ) d = G + C, () f ( ) + g( ) d = ( F + G ) + C, (). Folosid relaþia C + C = C ºi egalitãþile (), (), () se obþie: f d + g d = F + + G + = F + G + + = F + G + = C C C C C = f + g d. TEOREMA Fie f: R R o fucþie care admite primitive pe I ºi λ R. Atuci fucþia λ f admite primitive pe I, iar petru λ are loc egalitatea: ( λ f)( ) d = λ f( ) d, (). Demostraþie Fie F o primitivã a fucþiei f pe itervalul I. Rezultã cã F este fucþie derivabilã pe I ºi F = f. Coform operaþiilor cu fucþii derivabile se obþie cã fucþia F λ F =λ F = λ f. Aºadar, λ este derivabilã pe I ºi fucþia λ f admite primitive pe I ºi fucþia λ F este o primitivã a ei. 5

155 Aaliz matematic I. Primitive Totodatã are loc egalitatea λ f d =λ F + C. Di faptul cã λ C = C, λ R * se obþie: λ f d = λ F + C = λ F + C = λf d ºi teorema este astfel demostratã. OBSERVAŢII. Petru λ=, egalitatea () u este adevãratã. Îtr-adevãr, petru λ= avem: ( λ f)( ) d = d =, λ f d = f d =. C iar { }. Petru λ R are loc egalitatea: C λ f d = λ f d +. CONSECINÞÃ (Proprietatea de liiaritate a itegralei edefiite) Fie f, g :I R fucþii care admit primitive pe I ºi α, β R, umere esimulta ule. Atuci fucþia α f +β g admite primitive pe I ºi are loc egalitatea: α f +β g d = α f d +β g d. Eerciþii rezolvate. Sã se determie fucþia f : D R petru care o primitivã a sa este de forma: F = e + 6, R ; a) arctg b) F( ) = e, R ; + c) F ( ) = arccos, >. + Soluþie Se aplicã defiiþia primitivei uei fucþii, arãtâd cã fucþia F este fucþie derivabilã ºi F ( ) = f( ). a) Fucþia F este derivabilã pe R ca f = F = produs de fucþii derivabile ºi Rezultã cã = ( + + ) R = e + 6 = e e + 6. f e 8 6,. Ne reamitim! f g = f g+ f g f f g f g = g g ( u) = u u ( arctg u) = u + u ( arccos u) = u u 5

156 Aaliz matematic I. Primitive b) Fucþia F este derivabilã pe R fiid eprimatã cu ajutorul operaþiilor cu fucþii derivabile. arctg arctg Avem: f( ) = F ( ) = e + ( e ) = ( ) arctg arctg = + e + e = arctg = e, R. + + c) Fucþia F este derivabilã pe (, + ) ºi f( ) F ( ) ( ) + = =, > Fie fucþia = = + f: R R,f = e si. Sã se determie costatele reale m ºi astfel îcât fucþia F:, R R F( ) = e ( msi+ cos) sã fie o primitivã a fucþiei f pe R. Soluþie Di ipoteza cã F este o primitivã a fucþiei f, rezultã cã F este F = f, R. derivabilã ºi Se obþie egalitatea: e ( m ) si + ( m + ) cos = e si, R. Petru =, se obþie m + =, iar petru =, se obþie m =. Rezultã, î fial, cã codiþiile di euþ.. Fie fucþia R R m = ºi 5 e, f:,f =. +, > a) Sã se arate cã fucþia f admite primitive pe R. =, valori care verificã 5 F= 5. b) Sã se calculeze primitiva F a fucþiei f care verificã relaþia 55

157 Aaliz matematic I. Primitive Soluþie a) Studiem dacã f este fucþie cotiuã pe R. Avem: lim f lim e, lim f lim = = = + = ºi < < > > Aºadar, eistã egalitatea f = e =. lim f = f, deci f este cotiuã î =. De asemeea, f este cotiuã pe (,) ºi, + fiid eprimatã cu ajutorul uor fucþii cotiue. Rezultã cã f este cotiuã pe R, deci admite primitive pe R. b) Cãutãm o fucþie F : R R, derivabilã ºi cu proprietatea cã = R F ( ) f( ),. O primitivã a fucþiei /(, ] = e + c, c R. O primitivã a fucþiei /, f este fucþia F :(, ] R, F ( ) f + = este fucþia F :(, + ) R, F = = + + c, c R. Rezultã cã o primitivã a fucþiei f va avea forma: e + c, F( ) =,c,c R. + + c, > Costatele c,c vor fi determiate astfel îcât fucþia F sã fie derivabilã pe R, î particular sã fie cotiuã pe R, deci ºi î =. Aºadar, lim F ( ) F ( ) = coduce la + c = c = c. Cu aceastã relaþie ître costatele c,c se obþie: + e c, F( ) =. + + c, > Di codiþia F = 5 se obþie c = 5 ºi primitiva cerutã este: e 6, F( ) =. + 5, > 56

158 EXERCIŢII ŞI PROBLEME E. Sã se determie fucþia f : D R petru care o primitivã a sa este de forma: a) F ( ) = 5 + 9, R ; b) F( ) = +, (, + ); c) F( ) = si, R ; d) F( ) = ( l ), (, + ); F,, ; + F = e +, R ; F = tg + tg,,. e) = ( + ) f) g) E. Se dã fucþia f: R R,f( ) 6 =. Care ditre fucþiile F,F, F : R R, F = +, F =, F = 5 sut primitive ale fucþiei f? E. Daþi eemplu de trei primitive petru fiecare ditre fucþiile: f, g : R R, f =, g = cos. A. Sã se determie fucþia f : D R petru care o primitivã este de forma: F = l l +, a) (, + ); + b) F = e, R ; c) F( ) = si + cos, R ; 9 d) F( ) = 9 + arcsi, (, ); EXERSARE 57 Aaliz matematic I. Primitive E. Sã se verifice dacã fucþia F: R R, +, F( ) = l l este +, > primitivã a fucþiei f: R R, +, f ( ) =. +, > E5. Petru fucþia f: R R,f( ) = + +, sã se determie primitiva F care verificã codiþia F( ) =. E6. Folosid faptul cã o fucþie cotiuã pe u iterval admite primitive pe acel iterval, sã se arate cã urmãtoarele fucþii admit primitive pe domeiul de defiiþie:, a) f ( ) = ; 5, > f + 9, < = ;,( 6 ), f +, =., > b) APROFUNDARE c) e) = + + ( + + ) F l, R ; + F = l, >. + + f) A. Fucþiile R R { } F :, k,,, k F ( ) = + si cos, 6 6 F ( ) = si, 6 F ( ) = cos +, 8 6

159 Aaliz matematic I. Primitive sut primitive ale fucþiei f: R R,f( ) = cos? 6 A. Sã se arate cã urmãtoarele fucþii admit primitive pe domeiul de defiiþie: 5 5 +, < a) f ( ) = ( ) ; 7 +, e, < f = + ; +, b) c) ( ] f + l,, = l ;, (, + ) f cos,, \ = cos ;, = f cos + e = lim. + e d) [ ] { } e) A. Se cosiderã fucþia f : R R, + e, f ( ) =. Sã se arate +, > cã f admite primitive pe R ºi sã se determie o primitivã F cu proprietatea cã F( ) =. R R { A5. Fie fucþia f :, f = ma, }. Sã se arate cã f admite primitive pe R ºi sã se determie o primitivã F care verificã relaþia: F F = F ( ). A6. Sã se determie costatele a, b R astfel îcât fucþia F: (, + ) R, F ( ] l,, e = a + b, e, + primitivã a uei fucþii. sã fie A7. Se cosiderã fucþia F: R R, + a +, F( ) = + b., > + Eistã valori petru a, b R astfel îcât fucþia F sã fie atiderivata uei fucþii? A8. Se dã fucþia f: [, ] R, + a + b, [, ] = + + a, [, ] f,,. Sã se determie a, b R astfel îcât f sã admitã primitive pe [, ]. A9. Sã se determie a, b R astfel îcât fucþia f: (, + ) R, e + l, (,) f( ) = a+ b, [, ] +, (, + ) sã admitã primitive pe (, + ). A. Se cosiderã fucþia f: (, + ) R, f ( ) =. Sã se determie costatele a, b R astfel îcât fucþia F: (, + ) R, = ( + ) F a b sã fie o atiderivatã a fucþiei f. A. Se dau fucþiile f, g :(, + ) R, f ( ) = l( + ) ºi + g ( ) = c b al( ) Eistã valori ale costatelor reale a, b, c R astfel îcât fucþia g sã fie o primitivã a fucþiei f ( ) h: (, + ) R, h( ) =? 58

160 Aaliz matematic I. Primitive Primitive uzuale O problemã eseþialã care se pue, relativ la oul cocept de primitivã a uei fucþii cotiue pe u iterval, este aceea a stabilirii uor metode ºi procedee de determiare a mulþimii primitivelor. Fie I u iterval de umere reale ºi f:i R o fucþie care admite primitive pe I. Dacã F : I R este o primitivã a ei, atuci F este o fucþie derivabilã ºi F ( ) = f( ), I. Astfel, defiiþia primitivei dã posibilitatea determiãrii acesteia î strâsã legãturã cu folosirea formulelor de derivare îvãþate î clasa a XI-a. Ca urmare, apar urmãtoarele situaþii:.. Primitive deduse di derivatele fucþiilor elemetare Ilustrãm acest procedeu pri câteva eemple. a) Fie f: R R,f( ) = si. Avem obþie cã cos d = si + C. si = cos, R, ºi astfel se l =,, +, ºi se b) Fie f: (, + ) R,f( ) = l. Avem: obþie d = l + C. f:,,f = tg. c) Fie R Avem ( tg ) d = tg + C. cos = ºi se obþie cos Procedâd î mod aalog ºi petru alte fucþii, se obþie urmãtorul tabel de itegrale edefiite: Nr. crt.. Tabel de itegrale edefiite Mulþimea primitivelor Fucþia (itegrala edefiitã) f: R R,f =, N + d = + C + 59

161 Aaliz matematic I. Primitive. r { } f:i R,f =,I, +, r R \. R R f:,f = a,a>,a f:i,f =,I R * f:i R,f( ) =, a I R \ ± a, a. R 5. { } 6. 6 r+ r d= + C r + a a d = + C l a d = l + C d = l a + C a a + a f: R R,f =,a d = arctg + C + a + a a a f: R R,f = si si d = cos + C 7. f: R R,f = cos cos d = si + C 8. R f:i,f = tg, I R\ ( k + ) k Z f:i R,f = ctg, { Z } I R \ k k f:i R,f( ) =, cos I R \ ( k + ) k Z f:i R,f( ) =, si I R \ k k Z { } f:i R,f( ) =, a I ( a,a ),a> f:i R,f( ) =, a I a, + I (, a) sau f:i R,f( ) =, + a a, I R tg d = l cos + C ctg d = l si + C cos si d = tg + C d = ctg + C d = arcsi + C a a a + a d = l + a + C d = l + + a + C

162 Eerciþiu rezolvat Soluþie 6 Aaliz matematic I. Primitive Sã se determie itegralele edefiite petru urmãtoarele fucþii folosid proprietãþile itegralei edefiite ºi tabelul de itegrale edefiite: f = +, > ; a) cos f =,, ; si cos b) c) f =,, ; d) ( + 6)( ) f =, R. + a) Avem + d= d d+ d= d+ + + d = + + C = + + C. + b) Se prelucreazã epresia de la umãrãtor ºi rezultã: cos = cos si si + cos = cos si. Mulþimea de primitive va fi: cos cos si d = d d + = si cos si cos si cos = d d ctg tg. = + C si cos c) Se distribuie umitorul comu la termeii umãrãtorului ºi se obþie: d = + d = d ( 6)( ) + d = l arcsi + C d d) Avem: d = d = ( + ) d + = = + + arctg +C.

163 Aaliz matematic I. Primitive.. Primitive deduse di derivarea fucþiilor compuse Ilustrãm procedeul pri câteva eemple: a) Fie I R u iterval, u : I R fucþie derivabilã pe I ºi f: R R,f = siu. Avem f ( ) = ( siu( ) ) = cosu( ) u ( ). Rezultã cã si u ( ) este primitivã petru cos u ( ) u ( ), cos u ( ) u ( ) d = si u ( ) + C. b) Fie u:i (, + ) fucþie derivabilã pe I ºi f( ) = lu( ). Avem f ( ) u ( ) ( lu( ) ), u( ) u ( ) d = l u ( ) + C. u( ) deci f:, + R, = = ºi ca urmare se obþie: Î mod aalog se pot obþie itegralele edefiite ºi petru alte fucþii obþiute pri derivarea uor fucþii compuse. Astfel, dacã fucþia u:i J este derivabilã pe itervalul I, se obþie urmãtorul tabel de itegrale edefiite: Nr. crt.. Itegrala edefiitã + u u u d = + C, N + r+ r u ( ). u ( ) u ( ) d = + C, r R \ { }, u( I) (, + ). r + u ( ) u a a u ( ) d = + l a, a, + \ u ( ) d = l u ( ) + u, u, I C { }. C 5. u ( ) u( ) a d = l + C, u ( ) a a u ( ) + a 6. u ( ) u( ) d = arctg + C, a, I u ( ) + a a a 7. si u ( ) u ( ) d = cos u ( ) + C, I 8. cos u ( ) u ( ) d = si u ( ) + C, I u ± a, I, a 6

164 9. tg u ( ) u ( ) d = l cos u ( ) + C, ( + ) k Z, I Aaliz matematic I. Primitive u k,. ctg u ( ) u ' ( ) d = l si u ( ) + C, Z u ( ). d = tg u ( ) + C, Z cos u ( ) u ( ). d = ctg u ( ) + C, u( ) k, k Z, I si u ( ) u ( ) u( ). d = arcsi + C, a >, u( I) ( a, a) a u ( ) a u ( ) d = l u ( ) + u ( ) a + C, a >,. u ( ) a u() I (, a) sau u( I) ( a, + ) u ( ) 5. d l u ( ) u ( ) a = C, a u ( ) + a Î geeral are loc urmãtorul rezultat: u k, k, I u k +, k, I TEOREMA 5 (formula de schimbare de variabilã) Fie I, J itervale di R ºi fucþiile I J R cu proprietãþile: a) u este derivabilã pe itervalul I; b) f admite primitive pe itervalul J. f u u Dacã F este o primitivã a fucþiei f, atuci fucþia admite primitive pe I ºi f ( u( ) ) u ( ) d = F u + C. Eerciþii rezolvate +. Sã se calculeze d, R. + + Soluþie 7 Alegem fucþia u: R, +,u( ) = + + derivabilã pe + u ( ) R. Se obþie u ( ) = + ºi =, R. + + u u f 6

165 Aaliz matematic I. Primitive Rezultã cã = l + + +C. + d = + + u d = l u ( ) + C = u. Sã se calculeze ( ) Soluþie d, R. Alegem fucþia u : R [, + ), u ( ) =, derivabilã, cu u ( ) = ºi =, R. Rezultã cã ( ) u ( ) u ( ) = C u u u d = + Soluþie. Sã se calculeze = +C. + d, R. Alegem fucþia [ ) u ( ) =, R. = d = u : R, +, u = +, derivabilã pe R, cu + d = + u u u d Rezultã cã = + C = + = u( ) + = ( + ) ( + ) +. C C.. Primitive deduse di formula de derivare a produsului a douã fucþii Fie f, g : I R douã fucþii derivabile pe itervalul I, cu derivatele cotiue. Atuci fg = f g + fg. Rezultã cã fg este o primitivã a fucþiei fg + fg iar mulþimea primitivelor verificã egalitatea: f g + f g d = f g + C sau f ( ) g( ) d + f ( ) g ( ) d = f ( ) g( ) + C, () Di egalitatea () se obþie: f g d = f g f g d. () Egalitatea () se umeºte formula de itegrare pri pãrþi. 6

166 Eerciþiu rezolvat Aaliz matematic I. Primitive Sã se calculeze: a) ld, > ; b) sid, R ; c) arctg d, R. Soluþie a) Itegrala se scrie: ld = l d l ( l ) = d = l d = l d l. = + C b) Avem: si d = cos d = cos cos d = cos + cos d = cos + si + C. c) Avem: arctg d = = arctg d arctg arctg d = = ( + ) = arctg d = arctg d arctg l ( ). = + + C + + EXERCIŢII ŞI PROBLEME E. Sã se determie mulþimea primitivelor urmãtoarelor fucþii: a) f ( ) =, R ; 7 b) f ( ) = 8, R ; f = 5, > ; c) d) 5 f =, R ; 8 f =, > ; e) f) f =, > ; f =, > ; g) h) f ( ) = e, R ; i) f ( ) =, R ; f =, > ; j) EXERSARE f,, ; 9 f =, R ; 6 + k) = ( ) l) f,, ; f =,, ; f =, R ; + 5 f = 6 6 +, (, 6 ). m) = ( ) ) o) p) E. Sã se calculeze itegralele edefiite: a) ( ) d, R ; 65

167 Aaliz matematic I. Primitive b) ( ) c) d, R ; 5 d, < ; 8 7 d, > ; d) + e) f) g) h) i) d, > ; 7 d, > ; d, > 5 ; d, R ; + 8 d, R ; + 7 j) ( ) 5 l5 l6 d, R ; k) l) d, R ; 6 + d, > ; 8 m) ( ) 8 d,,. E. Sã se calculeze itegralele edefiite: a) si+ cos d, R ; b) ( ) c) d) e) si 8cos d, R ; si cos d, R ; cos d, R ; si d, R. APROFUNDARE A. Sã se determie itegralele edefiite: a) b) d, > ; d, > ; c) 5 d) d, > ; + d, > ; e) f) g) h) i) l l 9 d, R ; + + ( ) d, > ; + d, R ; + + d, > ; d, R ; j) k) + + d, < ; + d, >. 6 A. Sã se calculeze: a) d,, ; si cos cos b) d,, ; cos si c) d) e) si cos d, R ; si 8 d,, ; cos cos+ d,, ; si + tg d,, ; f) + ctg d,,. g) 66

168 Aaliz matematic I. Primitive A. Sã se calculeze: a) d, R ; b) ( 5 ) 5 c) d) e) f) g) d, R ; 5 + d, R ; d, > ; + l d, > ; 5 d, R ; d, R ; 6 + d,, ; h) i) j) k) l) m) ) d, > ; 6 6 d, R ; + 9 d, R ; + d, > 5; d; + d, R. + A. Sã se calculeze: a) arctg 6 d, R ; + b) c) d) ; R cos d, R ; si si d, R ; 9 cos cos d, R ; si + e) ( + ) ( + ) si cos d, f) g) h) i) j) si + d, R ; tg + tg d,, ; cos d, R ; si si d, R ; si + si cos d, R. A5. Sã se calculeze itegralele edefiite, folosid formula de itegrare pri pãrþi: a) ld, > ; b) c) e d, > ; si d, R ; + cosd, R ; d) e) f) g) + 5 d, R ; 9 d, > ; cos d,, ; h) arctg d, R. TESTE DE EVALUARE Testul. Fie fucþiile f, g :, f = e si, g = e cos. a) f este primitivã a fucþiei f + g; b) g este primitivã a fucþiei g f. R R Sã se arate cã: ( pucte) 67

169 Aaliz matematic I. Primitive. Se cosiderã fucþiile ( f, F :, + R, f = ) l ºi F( ) ( a ) 68 = l b. Sã se determie a, b R astfel îcât F sã fie o primitivã 9 a lui f pe (, + ).. Sã se determie mulþimea primitivelor petru fucþia f : D R, dacã: a) f ( ) = ( ) ( + ), R ; b) c) f ( ) = e, R. Testul. Sã se arate cã fucþia f:,f( ) = f =, > ; 9 ( pucte) ( pucte) +, R R admite primitive , < pe R ºi sã se determie primitiva F care verificã relaþia F( ) + F( ) =,5. ( pucte). Sã se demostreze î douã moduri cã fucþia f: (, + ) R,f( ) = l ( + l). g :, +, g =. este o primitivã a fucþiei R ( + l) ( pucte) Sã se determie itegralele edefiite: a) + d, ; R b) ( + ) e d, R ; + c) si cos d, R. ( pucte) Testul. Fie = + = f, g : R R, f a, g bf. Sã se determie a, b R petru care g este o primitivã a lui f.. Sã se arate cã f:,f( ) = l,, + ( ) e, (, ] ( pucte) R R admite primitive pe R ºi sã se determie primitiva F care verificã relaþia. Sã se calculeze: a) b) si+ cos d, R ; 5 + d,, ; c) cos e + F e + F =. e ( pucte) d,,. ( pucte)

170 II. INTEGRALA DEFINITÃ Aaliz matematic II. Itegrala defiit Defiirea itegralei Riema a uei fucţii cotiue pri formula lui Leibiz-Newto Fie f: [ a,b] R o fucþie cotiuã ºi F: [ a,b] R o primitivã a sa. v DEFINIÞIE Numãrul real Fb Fa se umeºte itegrala Riema (itegrala defiitã sau itegrala) a fucþiei f pe itervalul [ a, b ]. Itegrala Riema a fucþiei cotiue f pe itervalul [ a, b ] se b oteazã f d ºi se citeºte ite- a gralã de la a la b di f d. Aºadar, itegrala Riema a fucþiei f este eprimatã cu formula b = f d F b F a umitã formula a lui Leibiz-Newto (dupã umele matematicieilor care au pus bazele calculului itegral). Berhard RIEMANN (86-866) matematicia germa Este uul ditre creatorii calculului difereþial ºi itegral. A adus cotribuþii importate î geometria eeuclidiaã. OBSERVAŢII. Î loc de F( b) F( a) se foloseºte frecvet otaþia b F ( ) luat ître a ºi b. Eemplu b d = = b a. a b a 69 F a ºi se citeºte. Numerele a ºi b se umesc limite (capete) de itegrare: a este limita de itegrare iferioarã iar b este limita de itegrare superioarã.. Itervalul [ a, b ] se umeºte itervalul de itegrare.