matricelor pătratice de ordinul 2, cu elemente numere reale; a11 a12 a13, mulńimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente

Transcript

1 LECłII DE SINTEZĂ î vederea pregătirii sesiuii iulie-august a eameului de BACALAUREAT - M petru cadidańii absolveńi ai liceelor di filiera tehologică, profil: servicii, resurse aturale şi protecńia mediului, tehic; toate specializările/calificările MATEMATICĂ TEMA Algebră clasa a XI-a (h/săpt), clasa a XII-a (h/săpt) Argumet: Prezetul breviar teoretic are ca scop orietarea activităńilor de recapitulare a materiei la matematică, î vederea asigurării atigerii ivelului miim / mediu de competeńă şi u reprezită o listă ehaustivă De asemeea, la aplicarea formulelor prezetate se va Ńie cot de îsońirea acestora de codińii de eisteńă î fucńie de mulńimile de umere pe care se aplică TEMA Algebră - Geometrie Trigoometrie clasa a IX-a (h/săpt), clasa a X-a (h/săpt) TEMA Algebră clasa a XI-a (h/săpt), clasa a XII-a (h/săpt) TEMA Aaliză matematică clasa a XI-a (h/săpt), clasa a XII-a (h/săpt) TEMA Algebră clasa a XI-a (h/săpt), clasa a XII-a (h/săpt) Algebră clasa a XI-a Matrice - clasa a XI-a (h/săpt) DetermiaŃi - clasa a XI-a (h/săpt) Sisteme de ecuańii liiare - clasa a XI-a (h/săpt) Matrice - clasa a XI-a (h/săpt) a a Matrice, mulńimi de matrice: M m, ( R), m, =, ; M ( R) = aij R, i=,, j=,, mulńimea a a matricelor pătratice de ordiul, cu elemete umere reale; a a a M ( R) = a a a aij R, i=,, j=,, mulńimea matricelor pătratice de ordiul, cu elemete a a a umere reale Elemetele uei matrice A M m, ( R), A= ( a ij ), a i=, m, j=, ij este elemetul de pe liia i şi de pe coloaa j Idetificarea uui elemet ditr-o matrice câd se cuoaşte pozińia acestuia (perechea de idici) Eemplificarea de matrice; obńierea uor matrice particulare ditr-o mulńime de matrice ce verifică codińii a b date, de eemplu, petru M = A= A M ( Z), a b = se pot idetifica A= sau b a 4 A= Traspusa uei matrice (liiile devi coloae şi coloaele devi liii); de eemplu, matricea A = 5 are traspusa t A= 5 Matricea ulă este matricea cu toate elemetele egale cu Matricea uitate (petru matrice pătratice): I =, I =

2 Alte tipuri de matrice: matrice liie, matrice coloaă OperaŃii cu matrice di mulńimea M m, ( R), m, =, aduarea: dacă A, B M m, ( R), A= ( a ij ), B= ( b ij ), atuci A+ B= C, ude C M m, ( R) şi cij = aij + bij, oricare ar fi i=, m şi j=, (se aduă elemetele de pe pozińii idetice di cele două matrice, termei ai aduării); proprietăńi ale aduării de matrice : asociativitate, comutativitate, elemet eutru (matricea ulă, opusa uei matrice) îmulńirea uei matrice cu u scalar: dacă A M m, ( R), α R, A= ( a ij ), atuci α A= C, ude C Mm, ( R), C= ( cij ) şi cij = α aij, oricare ar fi i=, m, j=, (se îmulńeşte fiecare elemet al matricei cu scalarul α ); se poate utiliza şi petru scoaterea uui factor comu (forńat); proprietăńi: ( α+ β ) A= α A+ β A ; ( αβ ) A= α ( β A), ude α, β R îmulńirea matricelor î cazurile bie defiite: dacă A Mm, ( R), B M, p ( R), A= ( a ij ), B= ( b ij ), atuci A B= C, ude C M m, p ( R), C= ( cij ) şi cij = aik bkj, oricare ar fi i=, m, j=, p k= ObservaŃii ÎmulŃirea matricelor pătratice de acelaşi ordi; proprietăńi: asociativitate, elemet eutru, matricea uitate Eistă perechi de matrice petru care îmulńirea lor este comutativă Efectuarea de calcule matriceale, cu utilizarea de proprietăńi; rezolvarea de ecuańii matriceale care implică aduarea matricelor şi îmulńirea cu scalari a matricelor DetermiaŃi - clasa a XI-a (h/săpt) Determiatul uei matrice pătratice de ordi cel mult ; calculul uui determiat de ordi cel mult cu regula triughiului şi/sau cu regula lui Sarrus: - dacă ( ), a b a b A M R A=, atuci det A c d = ad bc c d = ; - regula de calcul a determiańilor de ordiul (Sarus), de eemplu: = (+ + ) (+ 4+ ) = 4 ProprietăŃi ale determiańilor (selecńie): - dacă îtr-u determiat două liii (coloae) sut idetice, atuci determiatul este ul; - dacă îtr-u determiat elemetele uei liii (coloae) sut ule, atuci determiatul este ul; - dacă îtr-u determiat se aduă la elemetele uei liii (coloae) elemetele altei liii (coloae), atuci valoarea determiatului u se schimbă; t - det A= det( A), oricare ar fi A matrice pătratică; - det( AB) = det A det B, oricare ar fi A, B matrice pătratice de acelaşi ordi; AplicaŃii ale determiańilor î geometrie: - ecuańia uei drepte determiate de două pucte disticte A(, ) şi B(, ) este - codińia de coliiaritate a trei pucte A(, ), B(, ) şi C(, ) este = =

3 - aria S uui triughi ABC cu vârfurile A(, ), B(, ) şi C(, ) S=, ude = Sisteme de ecuańii liiare - clasa a XI-a (h/săpt) Matrice iversabile î ( R), {,} M : - defiińia matricei iversabile: A M ( R) este iversabilă eistă B M ( R) astfel îcât A B= B A= I - codińia petru ca o matrice A ( R), {,} - calculul iversei uei matrice di M ( R), {,} M să fie iversabilă este det A : calculul determiatului (şi impuerea codińiei ca acesta să fie diferit de ), scrierea traspusei, calculul complemeńilor algebrici şi determiarea matricei adjucte, A = A det A - caz particular petru matricele de ordi : dacă ( ), a b A M R A= şi det a b A c d = ad bc c d =, d b atuci A = det A c a - determiarea iversei uei matrice iversabile pri utilizarea de proprietăńi algebrice ale calculului matriceal; de eemplu, dacă A M ( R) şi di ipoteza uei probleme obńiem o relańie de tipul A A= I, relańia se poate rescrie A ( A I) = ( A I) A= I, de ude - proprietăńi: ( A ) EcuaŃii matriceale de tip: a) AX = B cu soluńia b) XA= B cu soluńia = A A I = A ; ( ) AB = B A, ude A şi B sut matrice iversabile X = A B (î cazul î care A este o matrice pătratică şi iversabilă) X = BA (î cazul î care A este o matrice pătratică şi iversabilă) c) AXB= C cu soluńia X = A CB (î cazul A, B matrice pătratice şi iversabile) Sisteme liiare cu cel mult ecuoscute; caracterizare: di puct de vedere al eisteńei soluńiei: compatibil (sistemul admite soluńie/soluńii); icompatibil (sistemul u admite soluńii); di puct de vedere al uicităńii soluńiei uui sistem compatibil: sisteme cu soluńie uică (compatibil determiate) sau cu soluńii care depid de u parametru (simplu edetermiate), de doi parametri (dublu edetermiate), Metode de rezolvare: metoda substituńiei; metoda reducerii (metoda lui Gauss, cu pivotare) metoda matriceală: aducerea sistemului la forma matriceală, AX = B X = A B, ude A este o matrice pătratică şi iversabilă aplicarea metodei lui Cramer petru rezolvarea sistemelor liiare (umărul ecuańiilor este egal cu umărul ecuoscutelor şi det A, ude A este matricea sistemului): calcularea determiańilor obńiuńi di determiatul matricei A pri îlocuirea, pe râd, a câte uei coloae corespuzătoare fiecărei ecuoscute cu coloaa termeilor liberi; determiarea soluńiei TEMA Algebră - clasa a XI-a (h/săpt), clasa a XII-a (h/săpt) Grupuri - clasa a XII-a (h/săpt) Iele şi corpuri - clasa a XII-a (h/săpt) Iele de polioame cu coeficieńi îtr-u corp comutativ ( Q, R, Z p, ude p prim) - clasa a XII-a (h/săpt)

4 Grupuri - clasa a XII-a (h/săpt) Lege de compozińie iteră: : M M M, (, ), ude M este o mulńime evidă Tabla uei legi de compozińie iteră pe o mulńime M kˆ t restul împărńirii lui t la este egal cu k k,,,, ; Clase de resturi mod, = { Z }, ude { } { } mulńimea claselor de resturi = ˆ {,,,, } OperaŃia de aduare pe Z : Z k k, N * aˆ + bˆ = cˆ, ude clasa ĉ se determiă calculâd restul împărńirii sumei ( a+ b) la ; proprietăńi: asociativitate, comutativitate, elemet eutru ˆ ; opusul clasei k ˆ, k {,,, } este clasa lui k OperaŃia de îmulńire pe Z : aˆ bˆ = cˆ, ude clasa ĉ se determiă calculâd restul împărńirii produsului ( a b) la ; proprietăńi: asociativitate, comutativitate, elemet eutru ˆ ; eistă iversul clasei k ˆ, k {,,, } umai î cazul î care (, ) Z =,, ˆ ˆ,, ˆ ˆ 4,5 ˆ ˆ, clasele ˆ şi ˆ5 sut k = (umere prime ître ele); eemplu, î 6 { } iversabile şi iversul clasei ˆ este clasa ˆ, iar iversul clasei ˆ5 este clasa ˆ5, iar clasele ˆ ˆ ˆ ˆ,,, 4 u sut iversabile; dacă p N, p prim, atuci toate clasele, cu ecepńia clasei ˆ, sut iversabile Parte stabilă î raport cu o lege de compozińie defiită pe o mulńime evidă M : oricare ar fi, M M Grup, otańie ( G, ), G mulńime evidă şi :G G G (lege de compozińie iteră); aiomele grupului: asociativitate: ( z) = ( ) z, oricare ar fi,, z G eisteńa elemetului eutru: eistă e G astfel îcât e= e =, oricare ar fi G ; (dacă eistă, elemetul eutru este uic); determiarea elemetului eutru revie la rezolvarea uui sistem de ecuańii î care ecuoscuta este e, soluńia obńiută fiid elemet eutru doar dacă u depide de alegerea lui orice elemet este simetrizabil: oricare ar fi G, eistă ' G astfel îcât ' = ' = e ; (dacă eistă, iversul uui elemet este uic); determiarea iversului uui elemet revie la rezolvarea uui sistem de ecuańii î care ecuoscuta este ' Grup comutativ (abelia) este u grup î care legea de compozińie iteră este şi comutativă Este utilă verificarea comutativităńii îaite de verificarea aiomelor privid elemetul eutru / elemetele simetrizabile, petru a uşurasimplifica verificarea acestor aiome Eemple de: - grupuri umerice - grupuri de matrice; î verificarea structurii de grup petru submulńimi ale uei mulńimi de matrice, se poate ivoca faptul că asociativitatea este o proprietate valabilă pe toate mulńimile de matrice cu elemete umere sau clase de resturi; eistă grupuri de matrice, î raport cu operańia de îmulńire, care sut comutative; utilizarea elemetelor de algebră matriceală, pri utilizarea proprietăńilor rezultate di codińia de parte stabilă (de eemplu, dacă se evideńiază o proprietate de tipul A( ) A( ) = A( + ), aceasta poate fi utilizată î rezolvarea uor cerińe ulterioare, fără a apela mereu la calculul efectiv cu tablourile matriceale) - ( Z, ) este grup comutativ, oricare ar fi N ; ( \{}, ˆ Z ) este grup comutativ (ude p N, p + prim) Acestui capitol i se pot asocia cerińe de tip rezolvarea de ecuańii îtr-u grup sau calcularea uor relańii ître elemete ale grupului, situańii care u ecesită verificarea aiomelor grupului ci doar utilizarea lor petru efectuarea calculelor Morfism şi izomorfism de grupuri: Se cosideră ( G, ) şi ( G, ) grupuri FucŃia f : G G se umeşte morfism de grupuri dacă f ( ) = f ( ) f ( ),, G FucŃia f : G G se umeşte izomorfism de grupuri dacă este morfism şi este bijectivă ProprietăŃi: dacă f este izomorfism, atuci: f ( e) = e', ude e şi e ' sut elemetele eutre ale grupurilor ( G, ) şi, respectiv, ( G, ) p 4

5 f ( ') = ( f ( ))', oricare ar fi G (imagiea simetricului lui este egală cu simetricul imagiii lui ) Pot fi formulate euńuri î care se cere să demostrăm că u eistă izomorfism ître două grupuri date; î acest caz, trebuie idetificată o proprietate a izomorfismului, care u este verificată; Iele şi corpuri - clasa a XII-a (h/săpt) DefiiŃia ielului; verificarea aiomelor ielului; eemple de iele umerice: ZQRZ,,,, iele de matrice, iele de fucńii reale Divizori ai lui, cu aplicańii la rezolvarea de ecuańii î Z DefiiŃia corpului; verificare aiomelor corpului Eemple de corpuri umerice: QR, şi Z p cu p prim Iele de polioame cu coeficieńi îtr-u corp comutativ ( Q, R, Z p, ude p prim) - clasa a XII-a (h/săpt) Forma algebrică a uui poliom: P= a X + a X + + a, ude a, a,, a K, a ude K poate fi Q, R, Z p, p prim; gradul uui poliom, calcularea uor valori ale poliomului; semficańia uor valori: f () este utilizată petru determiarea termeului liber; f () este utilizată petru determiarea sumei coeficieńilor poliomului OperaŃii cu polioame (aduarea, îmulńirea, îmulńirea cu u scalar); proprietăńi Metoda idetificării coeficieńilor Teorema împărńirii cu rest: petru orice două polioame f, g K[ X ], g, eistă polioamele q, r K[ X ] uice astfel îcât f = g q+ r şi grad r< grad g ÎmpărŃirea polioamelor: utilizarea algoritimilor specifici; schema lui Horer, utilizată petru determiarea câtului şi a restului rezultate la efectuarea împărńirii la X a Teorema împărńirii la X a : restul împărńirii poliomului f K[ X ] la X a este f ( a ) Divizibilitatea polioamelor: fie polioamele f, g K[ X ], g, atuci f se divide pri g dacă eistă h K[ X ] astfel îcât f = gh Teorema lui Bezout: fie poliomul f K[ X ], f şi a K, atuci a este rădăciă a poliomului f dacă şi umai dacă f se divide pri X a ; cosecińă: î acest caz, eistă g K[ X ] astfel îcât f = ( X a) g Rădăcii ale polioamelor: rădăcii simple, rădăcii multiple: a este rădăciă de ordi de multiplicitate p p, p N a poliomului f dacă ( X a) f şi ( X a) / f ; î cazul rădăciilor reale multiple petru u poliom cu coeficieńi reali, se poate utiliza fucńia poliomială ataşată şi proprietăńi de derivabilitate ale fucńiilor reale Descompuerea uor polioame î factori ireductibili: de eemplu, dacă f R [ X ] admite toate rădăciile reale şi grad f =, atuci f se poate descompue î factori ireductibili f = a ( )( ) ( ), ude, sut rădăciile reale ale poliomului f ; descompuere peste corpul umerelor reale: u poliom cu coeficieńi reali admite ca factori ireductibili, peste corpul umerelor reale, cel mult factori de gradul I sau de gradul al doilea, î acest caz, discrimiatul asociat factorilor de gradul al doilea fiid egativ Numărul de rădăcii reale ale uui poliom eul cu coeficieńi reali este cel mult egal cu gradul poliomului RelaŃiile lui Viète petru polioame de grad cel mult : i) dacă b + = a c = a * p+ f K[ X ], f = ax + bx + c, a K şi, K sut rădăciile lui f, atuci au loc relańiile: 5

6 * ii) dacă f K[ X ], f = ax + bx + cx + d, a K şi,, K sut rădăciile lui f, atuci au loc b + + = a c relańiile: + + = a d = a Rezolvarea ecuańiilor algebrice cu coeficieńi î Z, Q, R : - dacă o ecuańie algebrică cu coeficieńi îtregi are rădăcii îtregi, atuci ele se găsesc pritre divizorii termeului liber; - dacă o ecuańie algebrică cu coeficieńi îtregi, a + a + + a =, are rădăcii rańioale, atuci acestea sut de forma ( p q) p,, q Q =, ude p este divizor al termeului a şi q este u divizor al termeului a ; - dacă o ecuańie cu coeficieńi rańioali are soluńia = a+ b c, a, b, c Q, c R Q, atuci are şi soluńia = a b c, cu acelaşi ordi de multiplicitate ca soluńia = a+ b c ; 4 EcuaŃii bipătrate: a + b + c=, a, se utilizează substituńia EcuaŃii biome: = a, ude a R, N ; cazuri particulare: = t şi se rezolvă ecuańia at + bt+ c= = a are soluńii reale umai î cazul a, soluńii egale cu ± a ; = a, a R are uica soluńie reală a ; = are soluńiile reale ± EcuaŃiile reciproce se clasifică î: - ecuańii reciproce de grad impar, care admit îtotdeaua rădăcia ; se împarte epresia algebrică asociată pri X + şi se cotiuă cu rezolvarea uei ecuańii algebrice reciproce de grad par; - ecuańii reciproce de grad par, care se rezolvă utilizâd substituńia t= +, folosid relańia + = t ; de eemplu, ecuańia de gradul al patrulea se împarte la petru a evideńia substituńia 4 6

7 EXEMPLE DE ITEMI TIP EXAMEN DE BACALAUREAT PENTRU RECAPITULAREA NOłIUNILOR DIN TEMA EXEMPLUL ( de pucte) m + z= Se cosideră sistemul de ecuańii m z=, ude m R + z = 4 a) ArătaŃi că suma elemetelor de pe diagoala pricipală a matricei sistemului este egală cu b) DetermiaŃi valorile reale ale lui m petru care matricea sistemului are determiatul diferit de zero c) Petru m= arătańi că z,, z este soluńia sistemului =, ude ( ) Se cosideră poliomul f = X + mx + mx +, ude m R a) Petru m=, calculańi restul împărńirii poliomului f la X b) ArătaŃi că poliomul f este divizibil cu X +, petru orice umăr real m c) DetermiaŃi valorile reale ale lui m petru care poliomul f are trei rădăcii reale Barem de evaluare şi otare a) Suma elemetelor de pe diagoala pricipală a matricei este egală cu m+ ( m) + Fializare b) det A= m m+ m R \, { } c) Petru m= = 4, =, z= Fializare a) Petru m= f = X + Restul este egal cu f ( ) = b) f ( ) = + m m+ = c) X + f ( ) ( ) ( ) f = X + X + m X + f are trei rădăcii reale + ( ) m (, ] [, + ) X m X + are două rădăcii reale m m ( de pucte) 4p EXEMPLUL 4 ( de pucte) Se cosideră matricele H( ) ( ) = l, cu ( + ) a) ArătaŃi că det H( ) =, petru orice (, + ) b) DetermiaŃi umărul real a astfel îcât H( ) H( a) = H( ), petru orice > c) CalculaŃi determiatul matricei H( ) + H( ) + + H( ) Î R [ X] se cosideră poliomul f X X X,, = +, cu rădăciile 7

8 a) ArătaŃi că poliomul f se divide pri X b) CalculaŃi + + c) VerificaŃi dacă ( )( )( ) = Barem de evaluare şi otare a) ( H( )) b) c) det = + Fializare H( ) H( a) = l a+ l l a= a= H( ) + H( ) + + H( ) = l(! ) ( ) = l! a) f () = + f () = X f b) + + = + + = + + = 5 c) f = X + X X = ( X )( X )( X ) f () = ( )( )( ) f () = ( de pucte) 4p EXEMPLUL 5 ( de pucte) + z= Se cosideră sistemul de ecuańii + z =, ude a R + az a) CalculaŃi determiatul matricei asociate sistemului b) DetermiaŃi valorile reale ale lui a petru care matricea asociată sistemului este iversabilă c) Petru a=, rezolvańi sistemul de ecuańii Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie asociativă = + a) ArătaŃi că =, petru orice R b) RezolvaŃi î mulńimea umerelor reale ecuańia = 4 c) DetermiaŃi umărul atural,, petru care C C = 4 8

9 Barem de evaluare şi otare a) det A= = a = a 4 b) Matricea asociată sistemului este iversabilă a 4 a R \ { } c) + z= + z = + = =, =, z= a) = + = =, petru orice R b) = = ( ) = c) ( ) C =, C = + = Fializare: = 5 ( de pucte) 4p EXEMPLUL 6 ( de pucte) Se cosideră matricea A= a) CalculaŃi determiatul matricei A b) VerificaŃi dacă A =, ude A este iversa matricei A c) RezolvaŃi ecuańia A X =, X M ( R) f X, f X ˆ = + X G= g= ax + bx + cx + d a, b, c, d Z Z şi mulńimea { } Fie poliomul [ ] a) CalculaŃi f ( ˆ ) b) DetermiaŃi rădăciile poliomului f c) DetermiaŃi umărul elemetelor mulńimii G 9

10 Barem de evaluare şi otare a) ( ) det A = Calculul determiatului: det( A ) = b) = sau = Deci A = c) Pri îmulńire cu A la stâga se obńie X = = = f ˆ = ˆ + ˆ ˆ = a) ( ) = ˆ + ˆ = ˆ b) f = X ( X + ) Rădăciile lui f sut ˆ ˆ, şi ˆ c) Z { ˆ ˆ ˆ} =,, a, b, c, d pot lua câte trei valori fiecare Deci G are 4 = 8elemete ( de pucte) EXEMPLUL 7 Petru m R se cosideră matricea A= şi sistemul de ecuańii m,, z R a) CalculaŃi determiatul matricei A b) DetermiaŃi m R petru care matricea A este iversabilă c) RezolvaŃi sistemul petru m= ( de pucte) z= + z =, ude m + z = 4 Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie = + a) DemostraŃi că ( )( ) = +, petru oricare, R b) DetermiaŃi elemetul eutru al legii

11 c) DaŃi eemplu de două umere a, b Q Z petru care a b Z Barem de evaluare şi otare a) ( A) det = = m = 6+ m+ + m+ + = 8+ 4m det A 8+ 4m b) A iversabilă ( ) m R { } a) c) Petru m= rezultă ( ) Se obńie = =, z= = + + = det A = 4 = ( )( ) + b) R ( )( ) c) e=, e + = Fializare: e= 5 5 U eemplu este =, = 5 5 = + = Z ( de pucte) EXEMPLUL 8 Se cosideră matricea A= a) CalculaŃi A A b) DetermiaŃi iversa matricei A c) RezolvaŃi ecuańia A X =, X M ( R) 9 Se cosideră polioamele f, g [ X], f = X + X, g = X + ˆ X + a a) CalculaŃi f ( ˆ ) f ( ˆ ) + b) DetermiaŃi rădăciile poliomului f c) DemostraŃi că f ( ˆ ) f ( ˆ ) f ( ˆ ) g( ˆ ) g( ˆ ) g( ˆ ) Z, cu + + = + +, petru oricare a Z a Z ( de pucte) Barem de evaluare şi otare a) A = = A A= = ( de pucte)

12 b) ( ) det A = A A = A = c) Pri îmulńire la stâga cu A se obńie X = = 9 9 = f ˆ = ˆ a) ( ) f ( ˆ ) = ˆ f ( ˆ ) + f ( ˆ ) = ˆ b) f ( ) f ( ) f ( ) ˆ =, ˆ ˆ =, ˆ ˆ = ˆ Rădăciile lui f sut ˆ şi ˆ g ˆ = a, g ˆ = a, g ˆ = ˆ + a c) ( ) ( ) ( ) g( ˆ ) + g( ˆ ) + g( ˆ ) = a+ a+ ˆ + a= ˆ f ( ˆ) + f ( ˆ) + f ( ˆ) = g( ˆ) + g( ˆ) + g( ˆ) =, ˆ a Z Petru m R se cosideră matricea,, z R a) CalculaŃi determiatul matricei A b) RezolvaŃi sistemul petru m= EXEMPLUL 9 c) VerificaŃi dacă sistemul este icompatibil petru m= ( de pucte) m m+ = A= şi sistemul de ecuańii + + z=, ude m + + mz = Pe mulńimea umerelor reale se cosideră legea de compozińie ( )( ) a) DemostraŃi că legea este asociativă 4, b) DemostraŃi că ( + ), oricare ar fi, ( 4, ) c) CalculaŃi + =

13 Barem de evaluare şi otare a) m ( A) det = = ( m ) m = m + m m= = b) = + + z = + = = = z = c) + = + + z = + + z = Scăzâd ultimele ecuańii se obńie = sistem icompatibil z= 4 z 4 + 4= a) ( ) ( )( ) (( )( ) )( z ) = ( 4)( 4)( z 4) + 4= ( ) ( )( z ) = ( 4)( z 4) + 4= = ( z) b) = ( ) = = > 4 4> ( 4)( 4) > > 4 4> ( )( ) > 4,, > 4 c) 4= 4 = 4, R ( ) ( ) = 4 5 = = 4 ( de pucte) Se cosideră determiatul ( ) EXEMPLUL D, = + + a) CalculaŃi D(,) b) DetermiaŃi Z petru care D(,) = c) DemostraŃi că D(, ) D(, ) D(, ), ude, Z =, oricare ar fi, Z Pe mulńimea umerelor reale se defieşte legea de compozińie = 6 6+ ( de pucte)

14 a) ArătaŃi că ( )( ) = +, oricare ar fi, R b) ArătaŃi că legea este asociativă c) CalculaŃi Barem de evaluare şi otare a) b) ( ) D, = = = ( ) D, = = = + = = Z D, = c) ( ) D(, ) = + şi ( ) D, = Fializare = 6 6+ = 6 + = a) ( ) ( ) = ( )( 6) + = ( )( ) + b) ( ) z= 4( )( )( z ) + ( z) = 4( )( )( z ) + Fializare c) = =, petru orice R 4 = ( ) ( ) de pucte EXEMPLUL ( de pucte) m m + z= Se cosideră matricea A= m şi sistemul de ecuańii + m z =, ude m este + z = parametru real a) CalculaŃi determiatul matricei A b) DetermiaŃi valorile reale ale lui m petru care tripletul (,,5) este o soluńie a sistemului c) DetermiaŃi valorile reale ale lui m petru care sistemul admite doar soluńia (,, ) Pe mulńimea R se defieşte legea de compozińie = + + a) ArătaŃi că legea este asociativă b) DetermiaŃi elemetul eutru al legii c) RezolvaŃi î mulńimea umerelor reale ecuańia = 4 4

15 Barem de evaluare şi otare a) m det A= m = m + m m+ = = m m b) m + 5= + m 5 = = m= c) det A m m m R \{,} a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) z= + + z= z+ z+ z z z = z+ + z = z+ + z+ + z+ + z z z, petru orice,, z R legea " " este asociativă b) Eistă e R astfel îcât e= e =, oricare ar fi R e= e+ e= ; e = e+ e = e = R c) = + 4= 5+ 4 = 4 5 = = sau = de pucte Se cosideră matricele I =, a) CalculaŃi A A EXEMPLUL A= b) DemostraŃi că X( a) X( b) X( a b ab) c) ArătaŃi că X( a ) este matrice iversabilă, oricare ar fi Poliomul a) CalculaŃi şi X( a) = I+ aa, ude a Z = + +, oricare ar fi a, b Z a Z f = X + X 5X + m, cu m R are rădăciile, şi + + b) DetermiaŃi m R petru care + + = + + c) ArătaŃi că determiatul = este umăr atural, oricare ar fi m R ( de pucte) 5

16 Barem de evaluare şi otare a) A = = 6 6 A= 6 6 A A= b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) X a X b = I + aa I + ba = I + ba+ aa+ aba = = I + aa+ ba+ aba= ( ) ( ) = I + a+ b+ ab A= X a+ b+ ab + a a X( a) = I+ aa= a + a det X a X( a ) matrice iversabilă ( ) + a a Deoarece Z X ( a) este matrice iversabilă oricare ar fi a Z a) Di relańiile lui Viète avem + + = şi + + = 5 ( ) ( ) + + = = = 4 b) = m = = m = + + m= c) ( )( ) = ( 5 4) = 8 N de pucte = = Se cosideră puctele (, ) A, ude N EXEMPLUL a) ScrieŃi ecuańia dreptei A A b) DemostraŃi că puctele A, A şi A u sut coliiare c) DetermiaŃi umărul atural petru care aria triughiului A A+ A+ este egală cu 6 Pe mulńimea R se defieşte legea de compozińie = ( + ) a) VerificaŃi dacă elemetul eutru al legii este e = b) DetermiaŃi simetricul elemetului î raport cu legea c) ArătaŃi că mulńimea H { k k } ( de pucte) = + Z este parte stabilă a lui R î raport cu legea de compozińie 6

17 Barem de evaluare şi otare A,, A, a) ( ) ( ) A A : = A A : = A,, A 4,9, A 8,7 b) ( ) ( ) ( ) Verificarea faptului că c) A= + + = = = 6 = a) = ( + ) = = ( + ) = Deci = =, oricare ar fi R b) Căutăm a R astfel îcât a = a = a= a ( a a + ) = a+ = 6 a = 5 c) Fie, H = k+, = p+, k, p Z = 4 kp+ k+ p+ k p + = kp+ H ( ) de pucte EXEMPLUL 4 Î reperul cartezia O se cosideră puctele A (, ) a) DetermiaŃi ecuańia dreptei A A +, N b) DemostraŃi că puctele Am, A, A p sut coliiare, oricare ar fi m,, p N c) Petru fiecare p N otăm p = { N p } ( de pucte) M A A DetermiaŃi elemetele mulńimii M Se cosideră poliomul f X ( m ) X 7X ( m 7) = + + +, cu m R a) Petru m= 4 determiańi câtul şi restul împărńirii poliomului f la X 7

18 b) DetermiaŃi m R petru care poliomul f este divizibil cu X c) RezolvaŃi î mulńimea umerelor reale ecuańia = Barem de evaluare şi otare SUBIECTUL al II -lea a) A (, ), A (,4) b) c) A A : = 4 A A : = + Justificarea faptului că A, A, A coliiare A A m p ( ) ( ) + M = {,, } m m+ + = p p+ a) m= 4 f = X + X 7X + 5 C= X + 4X 5 R= f X f = b) ( ) ( ) f () = + m 7+ m+ 7= m m = m= 4 c) Cu otańia ( )( )( ) = 5< = = = = = > = + 5 = ( de pucte) 8