ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Ημερομηνία: 20/5/2018 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν σε αλφαβητική σειρά:

Transcript

1 Τα sites blogs που συμμετέχουν σε αλφαβητική σειρά: blogs.sch.gr/pavtryon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatopon.blogspot.gr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης evripidis.reebsdgr.org/ Επιμελητής: Θεμελής Ευριπίδης lisari.blogspot.gr/ Επιμελητής: Μάκης Χατζόπουλος perikentro.blogspot.gr/ Επιμελητής: Κώστας Κουτσοβασίλης ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Επιμελητής: Βασίλης Μποζατζίδης / Επιμελητής: Στέλιος Μιχαήλογλου Επιμελητής: Πάνος Γκριμπαβιώτης ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ημερομηνία: /5/8 Έκδοση: η

2 Εισαγωγή Σας ευχαριστούμε πολύ για τη θερμή αποδοχή και την ενθάρρυνση όλων των συναδέλφων αν κρίνουμε τα αναρίθμητα μηνύματα που δεχθήκαμε όλοι στα inbo μας. Τα σχόλια και οι επισημάνσεις σας μας οδήγησαν να αναρτήσουμε μια ανανεωμένη έκδοση (έκδοση ) στις εκφωνήσεις βελτιώνοντας μερικά σημεία του διαγωνίσματος. Οποιαδήποτε ερώτηση, ένσταση ή σημείωση θέλετε να καταθέσετε μπορείτε να το κάνετε στο lisari.blogspot@gmail.com. «Η ισχύς εν τη ενώσει» Αίσωπος, 6-56 π.χ.

3 Σumma Union 8 Θέμα Α Α. (Παράγραφος.7 σελ. 4 νέο σχολικό βιβλίο β μέρος) Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο. Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η τέτοιο, ώστε δ, δ Δ και παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ, για κάθε δ, δ () Επειδή, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως, αν δ,, ισχύει () () lim lim, τότε, λόγω της (), θα είναι αν, δ () lim, τότε, λόγω της (), θα είναι () lim Έτσι, από τις () και () έχουμε Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη. () () () (), οπότε θα έχουμε, οπότε θα έχουμε Α. (Παράγραφος.5 σελ. 5 νέο σχολικό βιβλίο β μέρος) Έστω οι συναρτήσεις, g, h. Αν h g κοντά στο και lim lim h g λ, τότε lim λ Α. α) Ψευδής (δείτε σχόλιο στην παράγραφο.6 - σελίδα 4 νέο σχολικό βιβλίο β μέρος).

4 Σumma Union 8 β) Έστω η συνάρτηση,, κάθε,,, εντούτοις η. Παρατηρούμε ότι, αν και δεν είναι σταθερή στο,,. για Α4. Σωστή απάντηση η iv) y (παράγραφος. - σελίδα 7 νέο σχολικό βιβλίο β μέρος) Α5. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος Θέμα Β Β. Η συνάρτηση Επομένως ισχύει είναι πολυωνυμική τρίτου βαθμού, άρα είναι της μορφής α β γ δ για και α α β γ δ α lim lim lim v v v Διακρίνουμε τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις Αν ν τότε Αν ν τότε Αν ν τότε Άρα α η α lim απορρίπτεται. v α lim v α lim ή για α ή α αντίστοιχα, απορρίπτεται. α. και η συνάρτηση έχει την μορφή: β γ δ,. Ακόμα είναι περιττή. Εφόσον για κάθε αρκεί και πρέπει για κάθε άρα β γ δ β γ δ λόγω μηδενικού πολυωνύμου. β γ δ β γ δ β δ β και δ Άρα η συνάρτηση έχει την μορφή: γ,. Τέλος,

5 Σumma Union 8 u du d d 4 ud 4 u 4 u u γ 4 γ άρα τελικά,. Β τρόπος: d γ 4 γ Β. Η συνάρτηση για κάθε Η Επομένως: είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο. Επομένως η ως πολυωνυμική με είναι γνησίως αύξουσα στο. είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο ως πολυωνυμική με Επομένως η είναι κυρτή στο, κοίλη στο, και εμφανίζει σημείο καμπής στο σημείο, που είναι η αρχή των αξόνων. Είναι πολυωνυμική συνάρτηση τρίτου βαθμού άρα δεν έχει ασύμπτωτες. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

6 Σumma Union 8 Β. Έστω το σημείο Α, και το σημείο Β, με το σημείο, λόγω του ότι η το οποίο ταυτίζεται είναι περιττή. Αρκεί να δείξουμε ότι οι συντελεστές διεύθυνσης των εφαπτομένων στα σημεία αυτά θα είναι ίσες. Πράγματι: και Άρα οι εφαπτόμενες της C με αντίθετες τετμημένες είναι παράλληλες. Β τρόπος: Για κάθε ισχύει άρα δηλαδή η συνάρτηση είναι άρτια άρα οι εφαπτόμενες σε αντίθετες τετμημένες έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Β4. Έχουμε: και Ε Ω d Ε Ε Ω d Ε Παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΑ Γ, ΒΒ Δ είναι ίσα, διότι: 4

7 Σumma Union 8 Α Γ Α Β Δ Β ως οξείες γωνίες με πλευρές παράλληλες ΑΑ ΒΒ και ίσα με άρα Ε Ε. Αρκεί να δείξουμε ότι: d d () Θέτουμε u u άρα du d και για είναι u, άρα το πρώτο μέλος της ζητούμενης σχέσης () γίνεται:, ενώ για είναι d u du u du u du Επομένως, τα χωρία Ω, Ω είναι ισεμβαδικά. Β τρόπος: Η εφαπτομένη της C στο σημείο Β, δίνεται από την σχέση: y y y λ β. λ Η εφαπτομένη αυτή τέμνει τον άξονα Η εφαπτομένη της β στο σημείο με τεταγμένη. Άρα β λ β λ C στο σημείο Α, δίνεται από την σχέση: y y y y λ β. λ Η εφαπτομένη αυτή τέμνει τον άξονα στο σημείο με τεταγμένη. Άρα β β λ β. λ Το Ω είναι το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΟΒΔ και το Ω είναι το εμβαδόν του μεικτόγραμμου τριγώνου ΟΑΓ. Έχουμε: β Ω Ε μεικτ.(οαα ) (ΑΑΓ) d (ΑΑ ) (ΑΓ) d λ 5

8 Σumma Union 8 β d E μεικτ. ΟΒΒ (ΔΒΒ ) Ω λ Θέτουμε u d du. Όταν τότε u, όταν τότε u οπότε Θέμα Γ d u d u d Γ. Το πρώτο όριο της δοσμένης σχέσης, προσθαφαιρώντας τον όρο διαδοχικά γίνεται: ημ ημ ημ ημ ημ ημ ημ lim lim ημ ημ ημ ημ lim lim lim ημ ημ ημ lim όμως η είναι παραγωγίσιμη για κάθε, π συν ' ημ. το όριο ισούται με και ημ ημ lim συν, οπότε Αντίστοιχα το δεύτερο όριο της αρχικής σχέσης διαδοχικά γίνεται: h h h h lim lim lim h h h h h h o o o o o o o Στο δεύτερο όριο κάνοντας την αντικατάσταση h u προκύπτει: h u o o o lim lim ' ' h h u o u Επομένως η αρχική σχέση τελικά γίνεται:, για κάθε, π συν ' ημ ημ ' Β τρόπος: Θέτουμε συνάρτηση g ημ,, π άρα ημ ημ g g lim lim g 6

9 Σumma Union 8 g Το δεύτερο όριο το υπολογίζουμε ομοίως με τον α τρόπο, άρα, π άρα η g ώστε: g c ημ c Αφού η συνάρτηση προκύπτει: είναι σταθερή στο ημ, π οπότε υπάρχει σταθερά c για κάθε τέτοια είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων, c ημ, ημ c, π όμως π ημ, οπότε τελικά έχουμε,, π Γ. Η, π στο είναι παραγωγίσιμη και για κάθε από τα διαστήματα μηδενίζεται για π π, και π, π., π Οπότε ο πίνακας μεταβολής μονοτονίας γίνεται: ισχύει ' και έχει αντίθετο πρόσημο από το συν [ π συν, η οποία ημ σε καθένα π Είναι lim, αφού lim ημ, με ημ όταν. Αντίστοιχα είναι π lim, αφού lim ημ, με ημ όταν π. π π Επομένως για το διάστημα Δ, είναι Δ, π και για το Δ είναι Δ,, οπότε το σύνολο τιμών είναι Α,., π 7

10 Σumma Union 8 Γ. Αφού το μεταβάλλεται με το χρόνο και Β t,. t Α t, ημ t, θεωρούμε τα σημεία Το εμβαδό Τ του ορθογώνιου τριγώνου ΟΑΒ δίνεται από τη σχέση: Παραγωγίζοντας ως προς t έχουμε: Τt ΟΒΑΒ t ημ t t συν t t t συν t Τt t t ημ t ημ t ημ t ημ t Όμως t 4cm / sec και για τη χρονική στιγμή t t το εμβαδό του τριγώνου γίνεται: t είναι t π. Οπότε, για 4 π π t t συν t συν 4 4 π 4 4 ημ t ημ t π ημ ημ 4 4 Τ t π Γ4. Το ολοκλήρωμα διαδοχικά γίνεται: ημ ημ d d d d ημ ημ συν π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ Κάνοντας την αντικατάσταση συν u, ημd du με u όταν π, προκύπτει: u όταν π και cm / sec 8

11 Σumma Union 8 Όμως έχουμε: Απ όπου προκύπτει du du u u / u u u / Α Β Α Β u Α Β ΑΒ. Οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται: ln du du ln u ln u u u u / / / Θέμα Δ Δ. Για κάθε ln ισχύει: e e e e e e e e e e e Θεωρούμε την συνάρτηση g e, ln, παραγωγίσιμη και για την οποία ισχύει ότι g g θα υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε: η οποία είναι για κάθε ln. Επομένως g ce e ce () Β τρόπος: e Έστω η συνάρτηση g, ln. Θα δείξουμε ότι η g είναι σταθερή στο e διάστημα ln,. Είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με e e e e e e g e άρα e e e e e e e e e e 9

12 Σumma Union 8 e g c c e ce για κάθε ln. e Δ. Η γραφική παράσταση της. Όμως e ce διέρχεται από την αρχή των αξόνων αν και μόνο αν για κάθε ln, άρα και για. Έτσι η () γράφεται: άρα e ce e c c για κάθε ln, e e e e ln e Δ. Η συνάρτηση κάθε ln,. Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο ln, με e e είναι γνησίως αύξουσα για κάθε ln. για Η είναι επίσης παραγωγίσιμη στο ln, με: e e e e e e e 4e e 4e e για κάθε ln,. Άρα η συνάρτηση είναι κοίλη στο ln,. Η εφαπτομένη της Εφόσον συνάρτηση στην αρχή των αξόνων είναι: y y y είναι κοίλη στο ln,, η γραφική της παράσταση θα βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της με εξαίρεση μόνο το σημείο επαφής. Έτσι για κάθε ln,. Δ4. Θεωρούμε την συνάρτηση 8, ln, G F F t t dt

13 Σumma Union 8 Η συνάρτηση G είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Επομένως για κάθε, ισχύει: 6 d 6 d d (η συνάρτηση 6 για κάθε άρα Επίσης, ) t t dt 8 8 G F F t t dt t t dt G F F t t dt F F Β τρόπος: F F F F F F F F F F F F F F F F F Έστω ότι F F Η συνάρτηση F είναι συνεχής στα διαστήματα, και F ξ Fξ ξ ξ, και, και παραγωγίσιμη στα,. Επομένως εφαρμόζοντας το Θ.Μ.Τ σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα, θα υπάρχουν: F F ξ, : ξ F F F F ξ, : ξ F F όμως ξ ξ ξ ξ F F F F F F F

14 Άρα η G είναι συνεχής στο Σumma Union 8, Bolzano. Άρα υπάρχει με, : G G G. Επομένως ισχύει το Θεώρημα F F t t dt 8 F F 8 t t dt άρα ρ F t t dt F 8 Δ5. Είναι: e e d d d e e e α α α Έτσι: α α d α α α 4 4 α e ln 5 ln 5 d α ln 5 α ln 5 Όμως α α α άρα a a a α ln 5 ln e ln 5 e 5 e 6 a ln