Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test)
|
|
- Τύχων Ταρσούλη
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Peatükk 2 Wilcoxoni astakmärgitest (Wilcoxon Signed-Rank Test) 2.1 Motivatsioon ja teststatistik Wilcoxoni astakmärgitesti kasutatakse kahe s~oltuva valimi v~ordlemiseks. Oletame näiteks, et soovime v~orrelda, millise väetise abil saame parema saagi. Iga katsep~old jagatakse kaheks pooleks, millest ühte poolt väetatakse ühe väetisega, teist poolt aga teise väetisega. Sügisel vaadatakse kuidas saagiga lood on. Näiteks v~ois vaatluse all olla kolm p~oldu ja olgu saadud saagid järgmised: I pool II pool erinevus 1. p~old p~old p~old Kahel p~ollul oli parem uue väetisega väetatud pool, ühel p~ollul andis parema tulemuse vana väetis. Kas see on üksk~oik, millisel p~ollul oli vana väetis parem? Vaatame kahte hüpoteetilist olukorda. Ühel juhul on uus väetis paaril p~ollul mäek~orguselt parem vanast (6 ja 9 ühikut) ja ühel p~ollul oli vana väetisega väetatud pool napilt parem (2 ühikut). Teisel juhul annab uue väetisega väetatud pool kahel p~ollul napilt paremat saaki (2 ja 6 ühikut), üks vana väetisega väetatud p~ollupool on aga märkimisväärselt parem kui uue väetisega väetatud p~ollupool (9 ühikut). Kas m~olemal kirjeldatud juhul on andmed uue väetise kasulikkusest sama tugevad? V~oi arvame, et esimesena kirjeldatud juhul usume meelsamini uue väetise paremusse kui teisena kirjeldatud juhu puhul? 13
2 14PEATÜKK 2. WILCOXONI ASTAKMÄRGITEST (WILCOXON SIGNED-RANK TEST) Sisetunnet jälgides v~oiks arvata, et on v~oimalik teha midagi paremat kui kasutada lihtsalt märgitesti. Wilcoxoni astakmärgitest v~otabki arvesse lisaks erinevuse märgile ka erinevuse (absoluutväärtuse) suurust (astakut): W = sgn(x i )rank( X i ) V~ordluseks v~oib tuua märgitesti statistiku: S(X, 0) = n sgn(x i). 2.2 Statistiku W jaotus nullhüpoteesi kehtides Kui uus ja vana väetis on v~ordväärselt head, siis tulenevad erinevused saakides lihtsalt p~ollupoolte erinevusest. Kumba p~ollupoolt väetatakse uue väetisega, on heas katses valitud juhuslikult (otsustatakse mündiviske abil vms). Kui vaatame saagikuste erinevusi saak uue väetiega miinus saak vana väetisega siis nullhüpoteesi kehtides peaksid märgid erinevuste ees olema täiesti juhuslikud. Antud näites on vaadeldud kolme p~oldu, seega on v~oimalikke märgikombinatsioone erinevuste ees 2 3 = 8, ning järgnevad katsetulemused peaksid k~oik olema v~ordv~oimalikud: erinevused (x i ) sgn(x i )rank( x i ) W (x i ) P (W = W (x i )) W = 6 1/ W = 4 1/ W = 2 1/ W = 0 1/ W = 0 1/ W = +2 1/ W = +4 1/ W = +6 1/8 Kokkuv~ottes v~oime välja kirjutada Wilcoxoni astakmärgitesti statistiku W jaotuse juhul, kui n = 3, vaata tabelit 2.1. Tabel 2.1: Statistiku W jaotus nullhüpoteesi kehtides, n = 3 w P(W=w) 1/8 1/8 1/8 2/8 1/8 1/8 1/8
3 2.2. STATISTIKU W JAOTUS NULLHÜPOTEESI KEHTIDES 15 Oletame nüüd, et meie katses tulid erinevused 6 ja 9 uue väetise kasuks ning erinevus 2 vana väetise kasuks. Seega W = 4. Leiame olulisust~oenäosuse (p-value) milline on t~oenäosus näha sedav~ord ekstremaalset v~oi veel ekstremaalsemat statistiku väärtust? Ühepoolse hüpoteesi korral, kui uus väetis saab olla vaid kas samahea v~oi parem kui vana väetis, oleksid sama ekstreemse (W = 4) v~oi veel ekstreemsema (W = 6) statistiku väärtuse saamise t~oenäosus nullhüpoteesi kehtides 1/8 + 1/8 = 0, 25, seega olulisust~oenäosus on ühepoolse hüpoteesi korral 0,25. Kahepoolse hüpoteesi korral (kui uus väetis v~oib p~ohim~otteliselt olla ka kehvem kui vana) on sama ekstreemse v~oi veel ekstreemsemate statistiku väärtuste hulk { 6, 4, 4, 6} suurem ja testi olulisust~oenäosuseks tuleb 0,25*2=0,5. Seega antud juhul ei suuda me alternatiivset hüpoteesi t~oestatuks lugeda mistahes m~oistlikku olulisuse nivood kasutades. V~oime ka tähele panna, et kolme vaatluse korral poleks ühegi katsetulemuse korral v~oimalik t~oestada uue väetise paremust vanast olulisuse nivool 0,05! Seega üldjuhul on v~oimalik Wilcoxoni astakmärgitesti olulisust~oenäosust leida näiteks nii: vaatame läbi 2 n erinevat märgikombinatsiooni astakute ees, leiame iga kombinatsiooni jaoks statistiku W väärtuse ning kirjutame välja W jaotuse juhul, kui nullhüpotees kehtib. Saadud jaotust kasutades on juba lihtne leida testi olulisust~oenäosust. Tasub meeles pidada, et iga valimi suuruse n korral tuleb statistiku W jaotus erinev! Samas pole olulisust~oenäosuse leidmiseks tarvis tervet jaotust välja kirjutada. Piisab, kui loeme kokku ainult nähtud W väärtuse ja temast veel ekstreemsemate väärtuste saamise t~oenäosused nullhüpoteesi kehtides. Vaatame järgmist näidet Näide 2.1 Ravimifirma soovis uurida, kas tema poolt välja töötatud spetsiaalset haavaplaastrit kasutades paranevad haavad kiiremini kui traditsioonilist ravimeetodit (haavade kokku~omblemist) kasutades. Uuringusse värvati 10 katsealust (rotti) ja igale rotile tehti kaks samapikka sissel~oiget. Üks haavadest ~ommeldi kokku (kasutati traditsioonilist raviviisi) ja teine plaasterdati kinni. Lasti siis haavadel paar päeva paraneda. Haava paranemise headust m~o~odeti paari päeva pärast järgmiselt: vaadati, kui tugevat j~oudu läheb vaja haava uuesti lahti rebimiseks (seega suuremad numbrid näitavad paremini paranenud haavu). Katsetulemused on toodud tabelis 2.2. Leiame kogutud andmete p~ohjal Wilcoxoni astakmärgitesti statistiku väärtuse: W = (= 39).
4 16PEATÜKK 2. WILCOXONI ASTAKMÄRGITEST (WILCOXON SIGNED-RANK TEST) Tabel 2.2: Kliiniline katse rottidel parima haavade raviviisi leidmiseks rott plaaster ~omblus plaaster-~omblus sgn(x i )rank( x i ) Antud juhul on erinevaid v~oimalusi astakute ette märke panna 2 10 = 1024, k~oiki neid läbi vaadata on raske. Aga vaatame, mitu märgikombinatsiooni on sellist, mille puhul tuleks teststatistiku väärtus 39 v~oi suurem. Astakud, mille ette miinusmärgi pannes saame sama ekstreemse v~oi veel ekstreemsema statistiku väärtuse, on ära toodud alljärgnevas tabelis: miinusmärkide arv astakud juhte kokku , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 8 (1;2), (1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(1;7), 2 12 (2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;4),(3;5) 3 (1;2;3), (1;2;4), (1;2;5), (1;3;4) 4 Kokku on seega neist 1024-st juhust selliseid, mille puhul W väärtus tuleks nähtud väärtusest suurem = 25. Kui me teaksime ette (juba enne andmete kogumist/nägemist), et plaaster saab ~omblusest vaid parem olla (mitte halvem), v~oiksime kontrollida ühepoolset hüpoteesi. Sellisel juhul oleks sedav~ord ekstreemse v~oi veel ekstreemsema statistiku väärtuse nägemise t~oenäosus nullhüpoteesi kehtides (p-value) 25/1024 = Kui me ei saa kindlalt öelda, et "plaastriga haavad ei saa paraneda kehvemini kui ~omblust kasutades", peaksime kasutama kahepoolset hüpoteesi. Sel juhul saaksime olulisust~oenäosuseks = 0, Antud näite korral saame seega t~oestatuks lugeda (olulisuse nivool 0,05), et plaaster parandab haavu paremini. Juhul kui vaatluste arv läheb suureks, tekivad siiski enamasti probleemid olulisust~oenäosuse leidmisega kirjeldatud meetodi(te) abil. Lahenduseks oleks statistiku W asümptootilise jaotuse kasutamine.
5 2.3. ASÜMPTOOTILINE JAOTUS Asümptootiline jaotus Astakmärgitesti statistik on kirja pandav kui juhuslike suuruste summa, W = n Y i, kus Y i := sgn(x i )rank( X i ). Juhul kui igal uuritaval objektil on valitud juhuslikult millises järjekorras me töötluseid rakendame (juhuslikult valime kumba haavadest saab plaastri; valime juhuslikult p~ollupoole kuhu külvame sorti A jne) saame liidetavaid lugeda s~oltumatuteks. S~oltumatute juhuslike suuruste summa on üldjuhul asümptootiliselt normaaljaotusega. (täpsemat tingimust vaatame kohe). Eeldame, et nullhüpotees kehtib. Sellisel juhul tuleneb statistiku juhuslikkus puhtalt töötluste randomiseerimisest, seega suurused rank( X i ) on käsitletavad kui fikseeritud konstandid ja juhuslikud on ainult suurused sgn(x i ): Seega (nullhüpoteesi kehtides): ja P (sgn(x i ) = 1) = 0.5 EW = E P (sgn(x i ) = 1) = 0.5 = = = 0 DW = D = = Y i rank( X i )E(sgn(X i )) rank( X i )0 Y i rank( X i ) 2 D(sgn(X i )) rank( X i ) 2 = n 2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
6 18PEATÜKK 2. WILCOXONI ASTAKMÄRGITEST (WILCOXON SIGNED-RANK TEST) Vahemärkus: n i2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 selles veendumiseks kasuta kasv~oi induktsiooni: n 1 i 2 = i 2 + n 2 = (n 1)n(2n 1)/6 + n 2 = n(2n 2 n 2n + 1)/6 + n 2 = n(2n 2 3n n)/6 = n(2n 2 + 3n + 1)/6 = n(n + 1)(2n + 1)/6 W = sgn(x i )rank( X i ) Üritame nüüd veenduda, et suurte valimite (suur n) korral on statistiku W jaotus ligilähedaselt normaaljaotusega. T~oestusel tugineme Lindeberg- Feller i teoreemile. Olgu antud s~oltumatute juhuslike suuruste seeriad (igas reas olevad juhuslikud suurused olgu omavahel s~oltumatud, veerud v~oivad olla s~oltuvad v~oi osaliselt isegi kokku langeda): X 11 X 21, X 22 X 31, X 32, X Olgu EX ij = 0, DX ij = σij 2, S n := n j=1 X nj, DS n := n Lindeberg-Felleri teoreem väidab: Kui mistahes ε > 0 korral 1 E(X DS nji( X 2 nj εds n )) 0, kui n n siis j=1 S n / DS n L N (0, 1). j=1 σ2 nj. Kuna liidetavad Wilcoxoni testi puhul on (nullhüpoteesi kehtides) juhuslikud ainult märgi poolest, on X nj ja Xnj 2 tegelikult konstandid (astak ja astaku ruut). Kuna aga maksimaalne astak on n, siis X nj max j n X nj = n ja järelikult:
7 2.3. ASÜMPTOOTILINE JAOTUS 19 1 DS n E(XnjI( X 2 nj εds n )) j=1 1 DS n E(XnjI(n 2 εds n )) j=1 1 = I(n εds n ) DS n = I(n εds n ) = I(n/DS n ε) i 2 Viimane avaldis koondub aga nulliks: n/ds n = n 0 kui n. n(n + 1)(2n + 1)/6 Järelikult on Lindebergi tingimus rahuldatud ja nullhüpoteesi kehtides W/ DW L N (0, 1). Näide 2.2 Proovitakse, kas päikesekreem ikka kaitseb nahka päikese eest. Katsealustel määritakse lapike nahka kreemiga kokku. Saadetakse nad siis randa. Hiljem m~o~odetakse naha punetust nii kreemitatud kohast kui ka selle k~orvalt. Naha punetuse erinevused (kaitsmata koht-kreemitatud koht) on järgmised: -1, -3, 4, -6, 7, 8, -9, -10, 12, 14, 15, -17, 20, 25, 29, 30, -32, 40, 78, 102. Wilcoxoni astakmärgitesti statistiku väärtuseks saame: W = = 108 Nullhüpoteesi kehtides ootaksime antud valimi suuruse juures statistiku keskväärtuseks ja dispersiooniks EW = 0 ja DW = n(n + 1)(2n + 1)/6 = /6 = Seega peaks nullhüpoteesi kehtides juhuslik suurus (W EW )/ DW = W/53, 57 olema ligikaudu standartse normaaljaotusega juhuslik suurus (nullhüpoteesi kehtides peaks vastav suurus ootuspäraselt jääma vahemikku -1,96...1,96). Antud valimi korral aga W/53, 57 = 108/53, 57 = 2, 016, seega midagi tundub olevat viltu... nullhüpoteesi eeldusega. Olulisust~oenäosuse saame, kui leiame, kui t~oenäoliselt oleksime näinud sedav~ord ekstreemset statistiku väärtust v~oi veel ekstreemsemat nullhüpoteesi kehtides. T~oenäosus näha veel suuremat statistiku väärtust H 0 kehtides
8 20PEATÜKK 2. WILCOXONI ASTAKMÄRGITEST (WILCOXON SIGNED-RANK TEST) oleks 1 Φ(2, 016) = 0, 0219 (olulisust~oenäosus ühepoolse hüpoteesi korral). Kahepoolse hüpoteesi korral peaksime muidugi siia juurde liitma ka erakordselt väikese W saamise t~oenäosuse (nullhüpoteesi kehtides). Normaaljaotuse sümmmetriat arvestades saame tulemuseks (1 Φ(2, 016)) 2 = 0, Seega on olulisust~oenäosus väike ja me v~oime nullhüpoteesi (olulisuse nivool 0,05) kummutatuks lugeda. V~ordlusena: täpne olulisust~oenäosus oleks 0, Pidevuse parandus Statistikas tuleb sageli ette olukordi, kus me lähendame diskreetset jaotust pideva jaotusega. Näiteks v~oime lähendada binoomjaotust normaaljaotusega v~oi Wilcoxoni astakmärgitesti statistiku jaotust normaaljaotusega. Kui meie valimid on väga suured, siis v~oime sellist lähendamist teha üsna sirgjooneliselt ja probleemideta. Keskmise suurusega valimite korral saame aga sageli veidi täpsemaid tulemusi, kui enne arvutuste alustamist veidi m~otleme. Vaatame näiteks juhuslikku suurust X B(10, 0.4). Antud binoomjaotust saab lähendada normaaljaotusega juhusliku suurusega Y N(4, σ 2 = 2, 4). Kuidas leida normaaljaotuse lähendit kasutades t~oenäosust, et X = 1, P (X = 1) = 0, 0403? On selge, et antud t~oenäosus pole ligilähedaseltki v~ordne t~oenäosusega P (Y = 1) = 0. Parem variant antud t~oenäosuse leidmiseks oleks vaadata t~oenäosust P (0.5 Y 1.5) = 0, Kuidas aga oleks m~oistlik leida normaaljaotuse lähendit kasutades suurust P (X 1) 0, 04636? Me v~oime m~oelda ka nii: P (X 1) = P (X = 1) + P (X = 0). Viimast t~oenäosust aga lähendab t~oenäosus P (Y 1.5) = 0, 0533 palju täpsemalt kui t~oenäosus P (Y 1) = 0, 026. Seega soovitatakse kasutada diskreetsete juhuslike suuruste lähendamisel pidevuse korrektsiooni (continuity correction): P (X c) P (Y + 0, 5 c) v~oi P (X c) P (Y 0, 5 c). Vaatame pidevuse parandust eelnenud näite varal. Leidmaks t~oenäosust P (W 108) oleks meil seega soovitav vaadata normaaljaotuse jaotusfunktsiooni kohal (W 1)/53, 57 (kuna W muutub meil sammuga 2), mis annaks kahepoolse hüpoteesi puhul olulisust~oenäosuseks (1 Φ(1, 9974)) 2 = 0, Antud näites ei andnud pidevuse paranduse kasutamine täpsemat tulemust kui ilma pidevuse paranduseta alahindasime olulisust~oenäosust, siis pidevuse parandust kasutades saime liiga suure hinnangu olulisust~oenäosusele. Lähend on k~oigest lähend ja vahel v~oib pidevuse paranduse kasutamine ka halvemaid tulemusi anda. Enamasti saadakse siiski pidevuse parandust kasutades täpsemaid tulemusi (ja ka antud näite puhul on arvatavasti konservatiivsem hinnang olulisust~oenäosusele eelistatum).
9 2.3. ASÜMPTOOTILINE JAOTUS V~ordsed astakud Pideva tunnuse korral on kahe täpselt v~ordse vaatluse saamise t~oenäosus 0. Paraku ei taha aga praktika sugugi kuulata teooria s~ona. M~o~otmiste ebatäpsusest, vahetulemuste ümmardamisest vms tingitult esineb ikka samasuuri väärtuseid. Kui m~olema töötluse korral saadakse samasuur uuritava tunnuse väärtus (ei oska öelda, kumb töötlus andis parema tulemuse), ehk töötluste erinevus on 0, siis taolised vaatlused visatakse tüüpiliselt lihtsalt testimise ajaks valimist välja (vähendatakse valimi suurust). Kui meil on kahel uuritaval indiviidil toimunud (m~o~otmistäpsuse piires) samasuur muutus (muutuse absoluutväärtust arvestades) ei oska me ühele muutusele teisest k~orgemat kohta (astakut) omistada. Lahendus on muidugi üsna lihtne anname k~oigile samasuurtele muutustele ühe ja sama astaku väärtuse, milleks oleks nende astakute keskmine. Näiteks kui me ei suuda otsustada, kumb vaatlustest pretendeerib 4. ja kumb 5. kohale, siis anname m~olemale vaatlusele astakuks (4 + 5)/2 = 4, 5. Muutes taolisel viisil astakuid muutuvad muidugi ka väärtused, milliseid statistik W omandada v~oib. Seega muutub ka Wilcoxoni statistiu jaotus nullhüpoteesi kehtides. Kui vaatame ise paberil läbi statistiku k~oik v~oimalikud väärtused, siis arvatavasti ei teki sellest suuremat probleemi statistiku jaotustabel tuleb lihtsalt veidi teistsugune kui siis, kui v~ordseid vahesid poleks esinenud. Soovides kasutada statistiku W asümptootilist jaotust, peame samuti arvestama v~ordsete vaatlustega need muudavad m~onev~orra statistiku asümptootilist jaotust. On lihtne näha, et keskväärtus ei muutu nullhüpoteesi kehtides jätkuvalt EW = 0. Küll aga muutub Wilcoxoni astakmärgitesti statistiku dispersioon (erinevate väärtuste arv kahaneb järelikult kahaneb ka varieeruvus). Leiame, kuisuur on muutus. DW = D = = Y i midrank( X i ) 2 D(sgn(X i )) midrank( X i ) 2 Oletame esmalt, et meil esineb v~ordse suurusega vaatluseid vaid ühes
10 22PEATÜKK 2. WILCOXONI ASTAKMÄRGITEST (WILCOXON SIGNED-RANK TEST) kohas vaatlused (s+1) kuni (s+t) olgu k~oik samasuured. Nende vaatluste keskmiseks astakuks oleks s + (t + 1)/2 ja taoliste astakute ruutude summa on ( t s + t + 1 ) 2 = t (s 2 + s(t + 1) + 2 ) (t + 1)2. 4 Juhul, kui v~ordse suurusega vaatluseid poleks, oleks nendesamade astakute ruutude summaks olnud t (s + i) 2 = ts 2 + 2st(t + 1)/2 + t(t + 1)(2t + 1)/6. Leiame, kui palju muutus astakute ruutude summa: muutus = ts 2 + 2st(t + 1)/2 + t(t + 1)(2t + 1)/6 t (s 2 + s(t + 1) + = t(t + 1)(2t + 1)/6 t(t + 1) 2 /4 = t(t + 1)[(2t + 1) 2 (t + 1) 3]/12 = t(t + 1)(t 1)/12 = t(t 2 1)/12. Olgu meil valimis N erinevat väärtust, kusjuures j. unikaalset väärtust esinegu t j korda. Sellisel juhul saame Wilcoxoni astakmärgistatistiku dispersiooni (nullhüpoteesi kehtides) leida järgmise valemi abil: DW = n(n + 1)(2n + 1)/6 t j (t 2 j 1)/12. Kui v~ordseid vaatluseid on palju, v~oib dispersioon märkimisväärselt väheneda. NB! Mitte k~oik programmid ei pruugi v~ordse suurusega vaatluseid kohates k~oige m~oistlikumalt käituda. Kui v~ordseid astakuid on palju, siis v~oib Wilcoxoni astakmärgitesti statistiku jaotus koonduda normaaljaotuseks aeglaselt (vajame t~oesti suurt valimit, enne kui v~oime kasutada lähendit!) N j=1 ) (t + 1) Erinevuse kirjeldamine Mis saab siis, kui me nullhüpoteesi ümber lükkame? On ju tore, kui saame öelda: üus ravi on parem vanast"v~oi üus väetis on parem kui vana", aga alati tekib küsimus: Kui palju parem? Kui tänu uuele väetisele saame hektarilt
11 2.4. ERINEVUSE KIRJELDAMINE 23 täiendavalt 1 grammi jagu rohkem saaki, siis ei tasu uue väetise eest kallimat hinda maksta. Aga kui tänu uuele ja kallimale väetisele saaksime tonni jagu rohkem saaki, tasuks muutus meile ära. M~olema kirjeldatud juhu puhul v~oib Wilcoxoni astaksummatest v~otta vastu alternatiivse hüpoteesi (piisavalt suure valimi korral). Üks v~oimalus töötlustevahelise erinevuse suuruse kirjeldamiseks oleks järgmine. Me v~oime arutleda, kui palju me peaksime ühe töötlusega saadud tulemustest maha lahutama, et saada teise töötlusega v~ordväärseid (sarnaseid) tulemusi. Täpsemalt, otsitakse sellist väärtust, et Wilcoxoni teststatistik kinnitaks peale juurdeliitmist uuele töötlusele v~oimalikult hästi nullhüpoteesi ehk W (Y X + ) = 0. Antud v~orrandil on sageli rohkem kui üks lahend, millisel juhul on sobilik raporteerida lahenditeks sobivate väärtuste l~oigu keskpunkti. Näide 2.3 Vaatlustulemused (töötluste erinevused) on järgmised: -2,3,6,10,20. Wilcoxoni teststatistiku väärtuseks on W = = 13. Selleks, et saaksime tulemuseks W = 0, peaksime k~oigist erinevustest lahutama 6.5. Sellisel juhul oleksid meie vaatlusteks -8.5, -3.5, -0.5, 3.5, 13.5 ja statistiku väärtus W = = 0. Seega = 6.5. Märkus: Otsitav väärtus,, ei ole vahede (töötluste erinevuste) mediaan! Tehniline märkus: Kuidas leida sobivat väärtust? Üks v~oimalus oleks järgmine: leia k~oikv~oimalikud vahede keskmised: [( 2)+( 2)]/2, [( 2)+3]/2,..., [( 2)+20]/2, [3+3]/2,..., [3+20]/2,... [20+20]/2 ning leia siis nende 5 (5 + 1)/2 keskmise mediaan. Viimane ongi otsitavaks väärtuseks! Kas oskad p~ohjendada, miks? Saadud väärtuse interpreteerimine v~oib ja ei pruugi raskuseid valmistada. Kui töötlused erineksid selle poolest, et üks töötlus lisaks uuritava tunnuse väärtusele alati ühikut juurde (nihutaks uuritava tunnuse väärtuseid), ehk Y i = X i + siis on meie saadud väärtus hinnanguks sellele nihkele. Enamasti pole muidugi töötluse m~oju k~oigile ühesugune (väetamine aitab m~onda p~oldu enam kui teist; tänu ravile paraneb m~oni inimene kibekiiresti ja teine (haigusest rohkem kurnatud) jääb veel mitmeks päevaks voodisse jne. Seega on igal inimesel/p~ollul oma isiklik töötluse m~oju i. Juhul, kui juhuslike suuruste i jaotus oleks sümmeetriline, v~oiksime enda poolt leitud väärtust käsitleda kui hinnangut juhuslike suuruste i de mediaanile. Aga kas töötluste erinevuste jaotus on ikka sümmeetriline? Märkusena
12 24PEATÜKK 2. WILCOXONI ASTAKMÄRGITEST (WILCOXON SIGNED-RANK TEST) olgu mainitud: kui töötlused on eristamatud, siis on erinevuste jaotus X Y sümmeetriline. Heal lapsel on ikka mitu nime. Meie poolt vaadeldud t v~oib kirjanduses leida nii pseudomediaani (pseudomedian) kui ka Hodges-Lehmann i hinnangu nime all. Kui märgitesti statistikut kasutades saime leida usaldusintervalli mediaanile, nii saab Wilcoxoni astakmärgitesti kasutades leida usaldusintervalli pseudomediaanile. Tuleb lihtsalt leida nihete v~oimalike väärtuste hulk, mille puhul Wilcoxoni astakmärgitest jääb (antud olulisuse nivool) veel nullhüpoteesi juurde.
13 2.5. ÜLESANDED Ülesanded 1. Vahel tuntakse Wilcoxoni astakmärgitesti teststatistikuna ka statistikut W + = I(X i > 0)rank( X i ). Näita, et Wilcoxoni astakmärgitesti olulisust~oenäosus (ja testi otsus) milleni j~ouame W + kasutamisel langeb kokku teststatistiku W kasutamisel saadud tulemustega. Eeldame, et uuritav tunnus on pidev, st P (X i = 0) = Peale ainurakse jagunemist kaheks v~oetakse üks jagunemisel saadud ainurakne ja antakse talle kerge kuumashokk (kuumutatakse teda veidi). Teine jagunemisel saadud rakk elab senikaua normaaltingimustes. Seejärel pannakse m~olemad ainuraksed külma keskkonda. Jälgitakse, kuna algab eriliste "külmageenide"ekspressioon (kuna neid geene hakatakse kasutama). Soovitakse teada, kas eelnevalt kuumashoki saanud ainuraksetes lülituvad külmageenid sisse samakiiresti kui normaaltingimustes elanud rakul v~oi on hilisemas reaktsioonikiiruses toimunud muutus. Eksperimendi käigus kogutud andmed on järgmised: ainuraksete kuumashoki saanu reaktsioonikiirus paari nr reaktsioonikiirus (ms) normaaltingimustes (ms) Kas suudad Wilcoxoni astakmärgitesti abil t~oestada erinevust reaktsioonikiirustes? Milline on (kahepoolse) testi olulisust~oenäosus (näita arvutusi) ja milline oleks sinu otsus. Seega v~oime nullhüpoteesi kummutada ainuraksete reaktsioonikiirus t~ouseb, kui neid eelnevalt kuumashokiga ehmatada (kui teisiti pole mainitud, kasutame tavapärast olulisuse nivood 0,05).
2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραsiis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2
Vahemikhinnangud Vahemikhinnangud Olgu α juhusliku suuruse X parameeter ja α = α (x 1,..., x n ) parameetri α hinnang. Kui ε > 0 on kindel suurus, siis vahemiku (α ε, α +ε) otspunktid on samuti juhuslikud
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραJuhuslik faktor ja mitmetasandilised mudelid
Peatükk 2 Juhuslik faktor ja mitmetasandilised mudelid Uurime inimese verer~ohku. Inimese verer~ohk on üsnagi varieeruv ja s~oltub üsnagi tugevalt hetkeolukorrat mida inimene on enne m~o~otmist söönud/joonud,
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότερα4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραSisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότεραSeminar II: Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs (MANOVA)
Kursus: Mitmemõõtmeline statistika Seminar II: Mitmemõõtmeline dispersioonanalüüs (MANOVA) Õppejõud: Katrin Niglas PhD, dotsent informaatika instituut Statistilise olulisustesti põhisammud: E I: Analüüsisin
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότερα1 Entroopia ja informatsioon
Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραT~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραStatistiline andmetöötlus, VL-0435 sügis, 2008
Praktikum 6 Salvestage kursuse kodulehelt omale arvutisse andmestik lehmageen.xls. Praktikum püüab kirjeldada mõningaid võimalusi tunnuste vaheliste seoste uurimiseks. Kommentaarid andmestiku kohta Konkreetselt
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραVeaarvutus ja määramatus
TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Teaduskool Veaarvutus ja määramatus Urmo Visk Tartu 2005 Sisukord 1 Tähistused 2 2 Sissejuhatus 3 3 Viga 4 3.1 Mõõteriistade vead................................... 4 3.2 Tehted
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline statistika ja modelleerimine
Matemaatiline statistika ja modelleerimine Kirjeldav statistika EMÜ doktorikool DK.7 Tanel Kaart Sagedused ja osakaalud diskreetne tunnus Mittearvuliste või diskreetsete tunnuste (erinevate väärtuste arv
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότεραEnam kui kahe grupi keskmiste võrdlus
Bomeetra Enam ku kahe populatsoon keskväärtuste võrdlemne dspersoonanalüüs Enam ku kahe grup keskmste võrdlus H 0 : 1 = 2 = = k H 1 : leduvad sellsed grupd,j, et Eeldustel, et j uurtav (sõltuv) tunnus
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότεραSuhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότεραArvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραKEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,
Διαβάστε περισσότεραTöökorraldus. Õppematerialid. Töökorraldus. Harvey Motulsky Intuitive Biostatistics (2010, 1995)
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias LOMR.0.007. loeng Andmed, tunnused, tunnuste tüübid ja tunnuse jaotuse iseloomustamine Prof Maido Remm Märt Möls martm@ut.ee Töökorraldus Hinne Hinne kujuneb kontrolltööde
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότεραKrüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas
Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Διαβάστε περισσότερα1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραAnnegrete Peek. Üldistatud aditiivne mudel. Bakalaureusetöö (6 EAP)
TARTU ÜLIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKATEADUSKOND MATEMAATILISE STATISTIKA INSTITUUT Annegrete Peek Üldistatud aditiivne mudel Bakalaureusetöö (6 EAP) Juhendaja: Märt Möls, PhD Tartu 2014 Üldistatud aditiivne
Διαβάστε περισσότεραAlgebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide
Διαβάστε περισσότεραKrüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD
Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραI. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal
I. Keemiline termdünaamika I. Keemiline termdünaamika 1. Arvutage etüüni tekke-entalpia ΔH f lähtudes ainete põlemisentalpiatest: ΔH c [C(gr)] = -394 kj/ml; ΔH c [H 2 (g)] = -286 kj/ml; ΔH c [C 2 H 2 (g)]
Διαβάστε περισσότεραJoonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui
Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότεραExcel Statistilised funktsioonid
Excel2016 - Statistilised funktsioonid Statistilised funktsioonid aitavad meil kiiresti leida kõige väiksemat arvu, keskmist, koguarvu, tühjaks jäänud lahtreid jne jne. Alla on lisatud sellesse gruppi
Διαβάστε περισσότερα3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Διαβάστε περισσότεραEesti LV matemaatikaolümpiaad
Eesti LV matemaatikaolümpiaad 2. veebruar 2008 Piirkonnavoor Kommentaarid Kokkuvõtteks Selleaastast komplekti võib paremini õnnestunuks lugeda kui paari viimase aasta omi. Lõppvooru pääsemise piirid protsentides
Διαβάστε περισσότερα(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010
KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad
Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6
Διαβάστε περισσότεραSirgete varraste vääne
1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3
Διαβάστε περισσότεραKandvad profiilplekid
Kandvad profiilplekid Koosanud voliaud ehiusinsener, professor Kalju Looris ja ehnikalisensiaa Indrek Tärno C 301 Pärnu 2003 SISUKORD 1. RANNILA KANDVATE PROFIILPLEKKIDE ÜLDANDMED... 3 2. DIMENSIOONIMINE
Διαβάστε περισσότεραKas Androidi ostmiseks on õige aeg? Eesti esimene võrdlustest!
Uus ipod Nano Nüüd kaamera ja raadioga Pentax K7 Mida arvata järjekordsest kaamerast? Odav ja hea ka Poola värk Poolakate telefoni käib kaks SIM-kaarti Säästuaeg Testis ilma jalata kuvar Kas Androidi ostmiseks
Διαβάστε περισσότερα5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES
5. OPTIMEERIMISÜLESNDED MJNDUSES nts asma Sissejuhatus Majanduses, aga ka mitmete igapäevaste probleemide lahendamisel on piiratud võimalusi arvestades vaja leida võimalikult kasulik toimimisviis. Ettevõtete,
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA AJALUGU MTMM MTMM
Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Õppejõud: vanemteadur Mart Abel Loenguid: 14 Seminare: 2 Hindamine:
Διαβάστε περισσότεραELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS
Meede 1.1 projekt nr 1.0101-0386/IN660 Elektrotehnilise personali täiendkoolitussüsteemi väljaarendamine ELEKTRIMÕÕTMISTE TÄIENDKOOLITUS Täiendkoolituse õppematerjal Koostanud Raivo Teemets Tallinn 2007
Διαβάστε περισσότεραT~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραMatemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid
Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Alustame nüüd Exceli põhiliste töövahenditega - funktsioonidega. Võtame esimesena sihikule Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi kogu
Διαβάστε περισσότεραMateMaatika õhtuõpik
Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline
Διαβάστε περισσότεραAvaliku võtmega krüptograafia
Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane
Διαβάστε περισσότεραSegmenteerimine peidetud Markovi mudelite segude korral
Tartu Ülkool Loodus- ja täppsteaduste valdkond Matemaatka ja statstka nsttuut Matemaatlse statstka erala Segmenteermne pedetud Markov mudelte segude korral Magstrtöö 30 EAP) Autor katsmsjärgsete parandustega
Διαβάστε περισσότερα1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5
1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότεραLisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus
Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότεραPEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL. 5.1 Koormuse iseloom. 5.2 Koormuse paiknemine
PEATÜKK 5 LUMEKOORMUS KATUSEL 5.1 Koormuse iseloom (1) P Projekt peab arvestama asjaolu, et lumi võib katustele sadestuda paljude erinevate mudelite kohaselt. (2) Erinevate mudelite rakendumise põhjuseks
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότεραKRITON Platon. Siin ja edaspidi tõlkija märkused. Toim. Tõlkinud Jaan Unt
KRITON Platon AKADEEMIA, 1/1994 lk 57 71 Tõlkinud Jaan Unt SOKRATES: Miks sa nii vara siin oled, Kriton? Või polegi enam vara? KRITON: On küll. SOKRATES: Ja kui vara siis? KRITON: Alles ahetab. SOKRATES:
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραLOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP)
LOFY.01.087 Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) Sissejuhatus... 1 1. Füüsika kui loodusteadus... 2 1.1. Loodus... 2 1.2. Füüsika... 3 1.3. Teaduse meetod... 4 2. Universumiõpetus... 7 3. Liikumine
Διαβάστε περισσότεραKATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016
KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
Διαβάστε περισσότεραRF võimendite parameetrid
RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne
Διαβάστε περισσότερα