6.TRANSFERUL DE CALDURĂ

Transcript

1 rmothiă 63 6.RANSFERUL DE CALDURĂ rmoitia sau trasfrul d ăldură st apitolul ar s oupă d studiul modului î ar s propagă ăldura pritr-u orp, îtr parta lui aldă şi a r, sau îtr două orpuri u tmpraturi difrit. rasmitra ăldurii st osiţă a difrţi d potţial trmi. Cuoaştra fomlor d trasfr ar a sop priipal ativara sau frâara atitativă a trasfrului. 6..Moduri lmtar d trasfr trmi 6.. Coduţia rprită fomul d trasfr d ăldură ftuat pri otatul dirt al partiullor uui orp (la ivl mirosopi ar lo u trasfr d rgi itiă îtr molull vi). Fomul prsupu imobilitata orpului î itriorul ăruia istă u gradit d ăldură. Coduţia st aratristiă ptru orpuril solid. S poat vorbi şi dspr oduţi î orpuri fluid aflat î rpaus, dar imobilitata astora î prţa uui gradit d tmpratură st mai gru d oput. D aa, trasfrul odutiv î fluid st îsoţit d ovţi şi radiaţi. 6.. Covţia st fomul d trasfr trmi raliat pri trasfr d masă, îtr o u tmpraturi difrit. Fomul prsupu mişara mdiului î itriorul ăruia istă u gradit d tmpratură, di ovţia st aratristiă mdiilor fluid. Fomul s maifstă la suprafaţa d sparaţi a falor (solid lihid; solid ga; lihid ga) 6..3 Radiaţia rprită trasfrul d ăldură d la u orp la altul pri ud ltromagti, u odiţia a mdiul ar l spară să fi traspart ptru radiaţiil trmi. Maismul radiaţii ostă î trasformara ui părţi a rgii itr a orpului î rgi radiată, ar s propagă sub formă d ud ltromagti î spaţiu şi ar, îtâlid lălalt orp, s rtrasformă î rgi trmiă la oa d otat. 6..Noţiui şi mărimi aratristi trasfrului d ăldură Rgim d trasfr al ăldurii: -prmat-rgimul î ar trasfrul u dpid d timp; orpul osidrat st î hilibru trmi, ăldura primită î uitata d timp fiid gală u a dată (orpul ii u s îălşt, ii u s răşt); -traitoriu- rgimul î ar trasfrul s modifiă î timp; ast rgim st aratristi prioadi d îălir sau d răir a uui orp, âd ăldura primită î uitata d timp difră d a dată. Ptru u itrval d timp tiâd la ifiit, rgimul traitoriu dvi rgim prmat Câmp d tmpratură-totalitata valorilor tmpraturilor la u momt oarar τ, î spaţiu. f r, τ ud r -vtor d poiţi al putului d tmpratură ; τ -momtul la ar putul ar tmpratura.

2 64 rmothiă Suprafaţă iotrmă- loul gomtri al putlor u aaşi tmpratură, îtr-u orp. Gradit d tmpratură-vtor prpdiular p două iotrm ifiit apropiat, ar primă variaţia maimă d tmpratură raportată la lugim. o Fig. 6. Sţiu trasvsală pri tri suprafţ iotrm ifiit apropiat grad ud 0 O vrsorul ormali la suprafaţa iotrmă t vtorul ormali la suprafaţa iotrmă t sau, altfl sris grad i j k ud -opratorul abla i, j, k -vrsorii lor tri dirţii î spaţiu. Fluul trmi rprită atitata d ăldură trasfrată (pritr-u orp sau îtr două orpuri) î uitata d timp: dq (5.) Q ; Q w dt Fluul trmi uitar (itsitata fluului trmi) rprită fluul trmi raportat la uitata d suprafaţă iotrmă: (6.) dq ; w da m ud da-suprafaţa lmtară p ar fluul ad ormal. Cosidd aria a fiid oritată după dirţia ormali, fluul trmi uitar st o mărim vtorială. Obsrvâd fig.6., s poat spu ă fluul trmi uitar s propagă d la iotrma d tmpratură ătr a d tmpratură după dirţi ormală, adiă p drumul d miimă ristţă la propagar. Graditul trmi ar aaşi dirţi, dar ss otrar.

3 rmothiă Coduţia trmiă 6.3. Lga lui Fourir Fluul trmi uitar odutiv, ar tr pritr-u orp imobil, îtr două fţ latral al astuia, î dirţi ormală, î timpul dτ, pri suprafaţa da, st proporţioal u graditul d tmpratură ditr l două fţ: (5.3) grad ud -ofiit d odutivitat trmiă spifi mdiului matrial pri ar tr fluul. Cosidrâd ompotl fluului uitar p l tri dirţii, s mai poat sri: i j k ud ; Doar, primtal, u s poat dtrmia graditul d tmpratură, fluul trmi uitar u s poat alula dirt di lga lui Fourir. 6.3.Euaţia lui Fourir ptru trasfrul d ăldură odutiv S osidră u lmt d volum, dv, ditr-u orp pri ar tr ăldura pri odutivitat. S fa bilaţul trmi, osidrâd următoarl ipot:! orpul st solid (sau fluid imobil) omog;! paramtrii trmofiii au aaşi valoar î ori put;! dformara lmtului d volum sub aţiua ăldurii st glijabilă;! sursa itră, d flu uitar v, st uiform distribuită î volumul osidrat. I timpul dτ, lmtul d volum dv primşt u flu trmi odutiv dq i, pri tri ditr fţl sal şi daă u flu trmi odutiv dq,, pri llalt tri fţ. I alaşi itrval d timp, sursa itră graă fluul trmi dq s. Euaţia d bilaţ trmi primă faptul ă difrţa ditr ăldura primită (itrată î lmtul d volum şi a grată d sursa itră) şi a dată otribui la îălira / răira lmtului d volum, di a orpului. dq d dq d dq dq d dq dq Fig.6. Elmtul d volum osidrat ptru ilustrara bilaţului trmi odutiv

4 66 rmothiă Cosidrăm ăldura primită mai mar dât a dată, di orpul s va îăli. Ptru lmtul d volum dv, ăldura primită î timpul dτ d la lmtl vi, st: dq i dq dq dq iar a dată st: dq dq d dq d dq d Căldura rămasă î lmtul d volum dv, î timpul dτ, p dirţia, st dq r : dqr dq dq d d d d dτ ud fluul trmi uitar s-a raportat la lmtul d ari da d.d Fuţia d, fiid otiuă î itrvalul d, s poat dvolta î sri: 3 d 3 d d... d d! 3 3! S-au glijat trmii ifiit mii di dvoltara î sri şi s-au rţiut umai primii doi trmi. Eprsia ăldurii rămas dvi: dqr dd d dτ d d d dτ Aalog, ptru dirţil şi s pot sri rlaţiil: dqr d d d dτ ; dqr d d d dτ Căldura rămasă î lmtul d volum dv, î timpul dτ, st: (6.4) 3 dq Q dq dq dq r rk r r r d d d dτ k dv dτ Căldura primită d lmtul d volum dv, î timpul dτ, d la sursa itră st: (6.5) dqs v d d d dτ v dv dτ Căldura totală rămasă î lmtul d volum dv va fi: (6.6) dq dqr dqs dv dτ v dv dτ

5 rmothiă 67 Căldura totală rămasă va îăli lmtul d volum dv, a ărui tmpratură va rşt î uitata d timp u τ. Di uaţia alorimtrii rultă: (6.7) dv d dq τ τ ud -ăldura spifiă masiă a orpului, K kg J ; -dsitata orpului, 3 m kg. Egalâd rlaţiil (6.6) şi (6.7) s obţi vita d variaţi a tmpraturii orpului: (6.8) τ s Coform lgii lui Fourir: ; ; di ; ;. Euaţia (6.8) s mai poat sri: (6.9a) τ s sau, ptru orpuri omog, ptru ar, uaţia (5.8) dvi: (6.9b) τ s sau (6.9) τ a s ud -opratorul Lapla; ; a-ofiit d difuivitat trmiă; a ; [] s m a. Euaţia (6.9) s umşt uaţia lui Fourir ptru oduţia trmiă. Ea primă faptul ă, vita d variaţi a tmpraturii uui orp, sub aţiua uui flu trmi odutiv şi a ui surs itr d ăldură, dpid d graditul d tmpratură şi d valoara ofiitului d difuivitat trmiă a matrialului di ar st alătuit orpul. Cofiitul d difuivitat trmiă,a, dpid la râdul său d tmpratură şi prsiu. El primă, di put d vdr fii, irţia trmiă a orpului. Euaţia oduţii trmi prmit dtrmiara:

6 68 rmothiă! âmpului d tmpraturi: (,,,τ ) prmat! fluului trmi uitar:,ptru rgimul traitoriu; (,,, ) grad,! fluului trmi: ptru rgimul Q A Astfl, s pot aborda problm d optimiar a proslor d propagar a ăldurii şi d dimsioar a istalaţiilor trmi. Euaţia s partiulariaă î fuţi d tipul rgimului studiat, prmat sau traitoriu şi d istţa sau u a surslor itr d ăldură Codiţii d uiitat ptru uaţia oduţii trmi Itgrara uaţii lui Fourir ptru oduţia trmiă itrodu ostat d itgrar ar fa a soluţia găsită să rflt o îtragă lasă d fom asmăătoar. Ptru dtrmiara soluţii ui trbui impus odiţii d uiitat. Codiţiil d uiitat s pot împărţi î : Codiţii tmporal. S uoaşt âmpul d tmpratură la u aumit momt,τ o, osidrat iiţial: (6.0) (,,, τ o ) Codiţii spaţial (odiţii d margi sau d frotiră). S dau, î otiuar, tri tipuri d odiţii d frotiră: Codiţii tip Dirihlt. S uoaşt âmpul d tmpratură p suprafţl limită (p frotirl sistmului). Codiţii tip Numa. S uoaşt graditul d tmpratură p suprafţl d frotiră: (6.) grad f (,,,τ ) a prmit uoaştra fluului trmi uitar p ast frotir: grad (,,,τ ) Codiţii d tip Fourir (d propagar a ăldurii pri suprafţ). Ast odiţii impu faptul ă, valoara fluului trmi, la suprafaţa d sparaţi ditr u solid şi u fluid, u s modifiă. Fluul trmi uitar ar a străbătut solidul pri oduţi trmiă şi a ajus la suprafaţa d sparaţi ditr solid şi fluid st prluat î îtrgim d ătr fluid pri ovţi şi radiaţi: (6.) grad A α ( A ) ud α -ofiit d propagar a ăldurii pri suprafaţă; A -tmpratura suprafaţi; -tmpratura mdi a fluidului.

7 rmothiă Coduţia trmiă î rgim prmat pri orpuri fără surs itrioar d ăldură Î aul propagării ăldurii pri oduţi, î orpuri fără surs d ăldură, uaţia lui Fourir (6.9) ia o formă partiulară, trasformâdu-s îtr-o uaţi liptiă d tip Lapla: (6.3) a 0 ptru 0 s rasfrul d ăldură pri prţi pla-paralli, ifiiţi S osidră u prt di matrial omog şi iotrop, u suprafţl limită pla parall şi ifiit. S osidră, ptru simplifiar, ă tmpratura variaă umai î dirţia, di suprafţl iotrm sut pla parall u plaul O. Suprafţl limită oiid u iotrml partiular d tmpratură o şi rsptiv. Î ast odiţii, uaţia (6.3) dvi: (6.4) 0 Soluţia grală a asti uaţii st d forma: (6.5) C C di tmpratura variaă liiar î lugul ai O a prtlui, aşa um s obsrvă î fig.6.3. Costatl d itgrar C, C s dtrmiă î fuţi d odiţiil d uiitat, obţiâdu-s astfl soluţia partiulară ăutată. 0 0 δ Fig 6.3 Variaţia liiară a tmpraturii îtr-u prt u fţ pla parall, ifiit Codiţii d uiitat tip Dirihlt: (6.6) 0; 0 δ ; Puâd ast odţii uaţii (6.5), rultă soluţia partiulară: 0 0 δ Di lga Fourir rultă, mai dpart, fluul uitar trmi: W (6.7)! ( 0 ), δ m Rlaţia itsităţii fluului trmi (6.7) prmit şi priara ssului fii al ofiitului d oduţi trmiă,.î prsia:

8 70 rmothiă δ δ Q! δ Q!. 0 0 A 0 Aτ S osidră δ m;0 K; A m; τ s şi rultă umri gal u Q. Di, ofiitul d oduţi trmiă,, rprită atitata d ăldură ar străbat îtr-o sudă pritr-o suprafaţă d m,u prt omog gros d m, la ar difrţa d tmpratură îtr suprafţl sal limită st K. Rlaţia (6.7) poat fi pusă sub forma: 0 0 (6.8)! δ R s ud Rs -ristţa spifiă la prmabilitat trmiă a prtlui, dfiită pri aalogi u lga lui Ohm di ltroitiă. Cl două fom sut aaloag. Î aul prtlui fiit, prturbara sptrului d iotrm p otur modifiă graditul d tmpratură şi valoara arii suprafţi iotrm,rlaţia (6.8) mai fiid valabilă. otuşi (6.8) s folosşt î thiă,roril itrodus fiid foart mii. Codiţii d uiitat tip Numa Cuosâdu-s graditul d tmpratură p frotira A, s utiliaă lga Fourir ptru dtrmiara ostati C :! grad C A A Ca d-a doua ostată s soat ditr-o odiţi tip Dirihlt: 0, 0 C. Di, âmpul d tmpratură s dtrmiă sub forma: (6.8)! 0! ( 0 ). S rgăss rultatl stabilit atrior ptru δ. Codiţii d uiitat d otat Î aul prtlui pla ompus di mai mult straturi d matrial s utiliaă lga d osrvar a itsităţii fluului trmi la suprafaţa d otat îtr două straturi. Codiţiil d otat sut îsoţit d odiţii tip Dirihlt ptru suprafţl limită,primat sub forma : 0; k δ k k o ; ud δ k -grosima stratului k Ptru u strat urt k, rlaţia (6.7) s sri: δ k k! k

9 rmothiă 7 Ştiid ă fluul trmi uitar st ostat (aaşi valoar î fiar strat) s poat fa îsumara : δ k 0 (6.9) ( k k )!! k R mpratura îtr-u strat urt k variaă liiar. Lga d frâgr a urbi tmpraturii la suprafaţa d sparaţi arată ă tgψ k k tgψk. Drptl vor ava îliar mar î straturil iolatoar. sk kj k 0 k- k ψ k- ψ k 0 δ δ k δ Fig.6.4 Variaţia tmpraturii î prt pla u fţ parall, ompus di mai mult straturi, ar au ofiiţii d odutivitat trmiă,,... Codiţii d uiitat d tip Fourir Cirulaţia fluidului d-a lugul suprafţlor limită (0 şi δ ) şi foml d radiaţi fa a tmpratura să prit variaţii atuat î viătata astor suprafţ. i 0 α i 0 α δ Fig 6.5 Variaţia tmpraturii î prt pla, u suprafţ parall, d-a lugul ărora irulă u fluid

10 7 rmothiă S uos: tmpratura fluidului la itrior i şi la trior,prum şi ofiiţii d trasfr trmi pri suprafaţa itrioară α i şi trioară α. S impu odiţii d dtrmiar a ostatlor C,C, sub forma : C α i ( i C ) C α ( Cδ C ) Ştiid ă : C C C Rultă âmpul d tmpraturi: K δ (6.0) ( ) i K i αi α ud K ofiit spifi total d trasformar trmi: [ ] (6.) K δ, W m. Rultă itsitata fluului trmi: k αi α i (6.)! K( i ) R Optimiara prţilor plai ompuşi. a) Îlouira matriallor Î apliaţiil thi s pu problma îlouirii uui prt ompus di mai mult straturi u u prt simplu di alt matrial, u odiţia a dsitata fluului trmi să u s modifi: -daă s păstraă grosima iiţială, matrialul îlouitor trbui să aibă ofiitul d oduţi trmiă hivalt, : (6.3) δ k k δ k k k ud -umărul d straturi -daă s impu matrialul, di s uoaşt, rultă grosima hivaltă di odiţia d galitat a itsităţii fluului trmi: (6.4) δ δ k. k La valori δ, apropiat d l ral, algra s fa di osidraţii thiooomi. b)aumulara ăldurii î prţi

11 rmothiă 73 Ordia d aşar a straturilor îtr-u prt pla ifluţaă atitata d ăldură aumulată î straturi. Î aul î ar stratul iolator s aşaă p suprafaţa aldă, atitata d ăldură aumulată î prt st mai miă. Ptru u prt pla ompus di straturi, atitata miimă d ăldură aumulată î prt orspud aşării matrillor î ordia rsătoar a valorilor ofiiţilor d oduţi trmiă, îpâd d la suprafaţa aldă rasfrul d ăldură pri prti ilidrii, ifiiţi S osidră u prt ilidri, ifiit d lug, fără surs d ăldură itrioar, v 0. S admit ă tmpratura st ostată î lugul ai O, aa logitudială a ilidrului. mpratura variaă umai î lugul rai ilidrului. Euaţia lui Eulr, î ast a, ar forma (6.3) a 0 ar, î oordoat arti, bidimsioal: (6.5) 0 i, α i α r i o o α i, α r o, α r r i Fig. 6.6 rasmitra ăldurii pritr-u prt ilidri săldat d două fluid.a)sţiu trasvrsală ; b)sţiu logitudială şi rprtara âmpului d tmpratură Euaţia rului st: (6.6) r Eprimâd uaţia (6.5) î oordoat ilidri, a dvi: d d (6.7) r 0 r dr dr ptru aul prsupus, () r. Soluţia grală a uaţii (6.7) st: (6.8) Al r B, u odiţia r 0 ud A,B ostat d itgrar. Dtrmiara ostatlor A,B şi, di, dtrmiara soluţii partiular s raliaă puâd odiţii d uiitat.

12 74 rmothiă Codiţii d uiitat d tip Fourir S uos: i, tmpratura fluidului di itriorul ilidrului;, tmpratura fluidului di triorul ilidrului; α i -ofiitul d trasfr trmi pri suprafaţa itrioară; α -ofiitul d trasfr trmi pri suprafaţa trioară; -ofiitul d oduţi trmiă pri matrialul prtlui. Codiţiil Fourir impu osrvara fluului trmi uitar la suprafaţa d sparaţi ditr două fa. Ptru suprafaţa itrioară a ilidrului, d raă r o şi lugim L, odiţiil Fourir s primă pri rlaţia: d (6.9) πro L πr0 Lα i ( i ) dr Ptru suprafaţa trioară, d ră r şi lugim L, avm aalog: d (6.30) πr L πr Lα ( ) dr ud st fuţia ăutată, âmpul d tmpraturi î prt. Itroduâd prsia (6.8) î uaţiil (6.9) şi (6.30) s obţi ostatl d itgrar A şi B, di s află âmpul d tmpraturi î prt. Rultă fluul trmi sub forma: πl( i ) (6.3) Q r l αir0 ro αr Daă studim ifluţa rai trioar, r, asupra fluului trmi trasmis pri prt, Q,osidrăm fuţia: Q f ( r ), ar prită u put d maim la valoara rai trioar: (6.3) r rr α umită raa ritiă (figura 6.7). Q Q ma r r r Fig 6.7 Variaţia fluului trmi trasmis, î fuţi draa trioară a prtlui ilidri

13 rmothiă 75 Eftul d iolaţi a prtlui s obţi ptru o raă trioară mult difrită d a ritiă. Itsifiara trasfrului d ăldură pri prt s obţi la o raă trioară apropiată d a ritiă. Ast oluii s utiliaă la dimsioara odutlor Coduţia trmiă î rgim staţioar pri bar u răir latrală Nrvurara suprafţi d trasfr trmi odu la itsifiara fomlor d trasfr. Mtoda st folosită la raira u ar a motoarlor. Problml priipal sut: dtrmiara âmpului d tmpraturi d-a lugul rvurii şi a fluului trmi p ar poat să-l vau rvura. Fi o bară (rvura )ofţioată di matrial omog şi iotrop, ar u ar ivoar itrioar d ăldură. S osidră ă rvura fa orp omu u u prt solid. Cotatul ditr bară şi prt st prft, lipsit d disotiuităţi. Bara s osidră îojurată d u fluid u tmpratura ostată,, iar ofiitul d trasfr trmi pri suprafaţă,α, st ostat î timp şi spaţiu. Bara s osidră foart lugă şi u sţiu drptughiulară. Euaţia d bilaţ trmi s sri: (6.33) Q Q d δ Ql δ Q ud Q d Q d Q d δ Ql αp( )d A-aria sţiuii trasvrsal, P-primtrul sţiuii trasvrsal. Rultă: d d P (6.34) A ( ) 0 d d α S otaă: θ d d d A d d βp β A şi rultă uaţia: "" (6.35) θ β θ 0 ar ar soluţia d tip Eulr: β β (6.36) θ C C 0 0 Q Q d δ Q δ l

14 76 rmothiă Fig.6.8 Sţiu pri bară d sţiu drptughiulară,ptru ftuara bilaţului trmi Î aul barlor foart lugi şi subţiri, s pu odiţii d tip Dirihlt ptru dtrmiara ostatlor d itgrar di soluţia grală: (6.37) 0 ; 0 ; adiă θ θ0 ; ; adiă θ 0; C 0 Di soluţia grală (6.36)s obţi âmpul d tmpraturi: (6.38) θ θ 0 p( β) Rlaţia st valabilă atât ptru răir ât şi ptru îălira barlor pri suprafaţa d otat u fluidul. D-a lugul bari, tmpratura variaă poţial. Graditul d tmpratură dpid d ofiitul β, ar ţi ot d aratristiil trmi ( ) şi d l gomtri al bari. Î figura 6.9. st rprtat âmpul d tmpratură ptru aul răirii bari. 0 β > β β Fig. 6.9 Variaţia poţială a tmpraturii î aul răirii latral a ui bar subţiri, u sţiu drptughiulară