Pendulul elastic. Rezolvare dată de propunătorul problemei

Transcript

1 Pendulul elastic Rezolvare dată de propunătorul problemei Introducere. În enunţul problemei nu au fost formulate cerinţe, totuşi la prezentarea experimentului s-a dat o idee: este posibil ca rezultatele teoriei învăţate la şcoală, deduse pe baza unor modele simple să nu fie valabile întocmai. Întrucât formula binecunoscută a perioadei T=2π m/ este foarte simplă, ar fi posibil să lipsească un termen neglijat până acum! În calculele teoretice s-a neglijat faptul că resortul nu se caracterizează complet doar prin. Punctele materiale componente ale resortului în cazul bobinării uniforme au viteze distribuite liniar de-a lungul axei sale. În acest caz vom putea calcula energia fiecărui punct al resortului. Se pune problema găsirii originii acestei energii deoarece transferul de energie va influenţa perioada de oscilaţie! Cu toate acestea, formula se verifică cu precizie acceptabilă la nivelul posibilităţilor de laborator din liceu. În laboratorul de fizică al liceului nostru, supranumit şi Fizium, încă de la începutul anilor 90 am dezvoltat un sistem de măsurare CNC a intervalelor de timp mici (Computer Numerical Control), având o bază de timp cu cuarţ de 100 Hz, rezoluţia fiind de 10 μs. Perioadele au fost măsurate cu acest sistem. Pregătind această lucrare, masa corpurilor am măsurat cu un cântar electronic având rezoluţia de 0,1 g. Rezoluţiile şi preciziile celor două determinări au fost suficiente pentru succesul lucrării de laborator. Interpretarea rezultatelor experimentale. Fizicianul, după terminarea măsurătorilor, de curiozitate, chiar şi fără trecere la SI, desenează graficele ce rezultă din aceste măsurători. Pentru el graficele ce rezultă din măsurători spun mai mult decât orice teorie bazată eventual pe modele simple. Pe graficul din stânga se vede dependenţa perioadei de oscilaţie T[ms] de masa m[g] a corpului atârnat de resortul X. Aparent perioada este proporţională cu radicalul masei m[g], ordonata este tangentă la prelungirea curbei de aproximare. Totul este ca în teoria învăţată la şcoală! Totuşi, este o mică diferenţă: exponentul aproximării cu o funcţie de putere este puţin mai mic decât 1/2 ce ar corespunde radicalului. Am putea spune greşit: erori de măsurare. Nu, este vorbă de altceva! Dacă am reprezenta perioada pendulului elastic în funcţie de radicalul masei corpului, atunci ar trebui să iasă o dreaptă ce trece prin origine. În graficul din dreapta am făcut acest lucru, curba de aproximare este o dreap-

2 tă perfectă. Fiind o dreaptă, am prelungit-o spre origine. Spre marea mirare, dreapta nu trece prin origine! Aceasta înseamnă că resortul ar oscila şi fără corp atârnat, ce am şi verificat experimental. Deci, mai există o inerţie nesocotită până acum, ce nu poate fi eliminată! Presupunem că resortul prezintă o inerţie faţă de creşterea şi scăderea vitezei particulelor componente ale lui. Inerţia echivalentă se va aduna masei corpului m, şi urmează să determinăm valoarea ei. Să notăm cu μ această inerţie echivalentă, în acest caz formula perioadei devine: T = 2π m+μ [1] În această formulă nu putem separa cele două inerţii, deci reprezentarea de mai sus a lui T în funcţie de radicalul masei ( m) nu ne poate conduce la calculul inerţiei echivalente (μ) şi al constantei resortului (). Dacă ecuaţia [1] o ridicăm la pătrat, se obţine o dreaptă în m, coeficientul unghiular conţinând constanta resortului (), iar termenul liber conţine inerţia echivalentă a resortului (μ): T 2 = 4π2 m + 4π2 μ [2] Cele două necunoscute se pot separa perfect prin intermediul coeficienţilor ecuaţiei dreptei T 2 = a m + b: 4π 2 = a = 4π2 a 4π 2 μ = b μ = b/a [4] [3] În aceste trei grafice vedem T 2 [s 2 ] = f(m[g]), unde T este perioada pendulului, iar m este masa corpului atârnat. Graficele le-am construit separat pentru pendulele elastice X şi Y, precum şi pentru pendulul elastic format din două resorturi legate în paralel. Constantele resorturilor le-am calculat cu ajutorul formulei [3], iar plaja de valori a determinării am obţinut cu metode statistice, precizia determinării lui fiind δ x = ±0,79%; δ y = ±0,63%, δ xpy = ±0,30%. Resortul X: x = 11,28 N/m ± 0,0896 N/m; Resortul Y: y = 14,62 N/m ± 0,0926 N/m; Resortul XpY: xpy = 25,99 N/m ± 0,0790 N/m, unde δ = ±Δ/ 100%.

3 Calculul inerţiei echivalente. Fără să ne intereseze natura acestei inerţii, din coeficienţii dreptelor de aproximare putem găsi valorile inerţiilor suplimentare ce au cauzat termenul liber în ecuaţia dreptei: Resortul X: μ x = 10,00 g ±1,81 g; δμ x = ±18,1%; unde δμ x = Δμ x /μ x 100% Resortul Y: μ y = 8,79 g ±1,43 g; δμ y = ±16,3%; unde δμ y = Δμ y /μ y 100% Resorturile XpY: μ xpy = 18,60 g ±0,72 g; δμ xpy = ±3,9%; unde δμ xpy = Δμ xpy /μ xpy 100% Expresia analitică a inerţiei echivalente. Această inerţie apare atât la întindere cât şi la compresie, indiferent de orientarea resortului. Un capăt al resortului de masă m R şi de lungime L este fix, celălalt capăt este legat rigid de corpul ce oscilează, având viteza instantanee v. Un element de masă dm, undeva la distanţa x de capătul fix al resortului, are viteza instantanee u, dependentă de poziţia lui din resort. Energia cinetică de c a acestui element de resort este: dec = dm u 2 /2 [5] Elementul de masă dm este un cilindru circular (foarte) oblic având lăţimea dx şi se găseşte oriunde de-a lungul spirelor (neuniformitatea distribuţiei masei nu afectează mărimea elementului de masă dm): dm = m R dx/l [6] Presupunem că resortul a fost bobinat uniform. În acest caz, dacă capătul are viteza instantanee v, atunci viteza elementului de masă dm va fi proporţională cu x/l: u = v x/l [7] Expresiile mărimii elementului de masă [7] şi ale vitezei acestuia [6] introducem în ecuaţia [5], vom avea: de c = 1 2 mrv 2 L 3 x 2 dx [8] Energia cinetică totală a resortului E c o vom găsi prin integrarea de c din [8] pe lungimea L: L E c = 1 mrv 2 x 2 dx 2 0 L 3 Integrarea este imediată obţinem energia cinetică instantanee totală a resortului fixat la un capăt: E c = 1 2 mr 3 v2 [10] Dacă distribuţia masei resortului este uniformă (spirele sunt echidistante), atunci resortul va prezenta o inerţie echivalentă μ egală cu o treime din masa m R a resortului, indiferent de orientare: [9] μ = m R 3 [11] Perioada de oscilaţie. Vom scrie legea a doua a dinamicii cu toate forţele ce acţionează asupra sistemului. Pentru a vedea mai uşor mărimile diferitelor forţe ce acţionează, în figura alăturată am reprezentat resortul în următoarele situaţii: a. Resortul de lungime activă L este considerat orizontal. Cârligul de jos va fi considerat o parte a masei corpului atârnat de resort. Resortul fiind în repaus nu sunt forţe elastice (F ea = 0).

4 b. Resortul se întinde sub propria sa greutate. La analiză pornim de la cârligul de sus, resortul dintre cârlig şi punctul analizat se întinde sub acţiunea greutăţii rămase de sub acest punct. La început această forţă este m R g, la sfârşit devine zero. Întrucât se presupune o uniformitate a bobinării, în locul adunării tuturor întinderilor elementare, putem considera ca şi cum s-ar fi întins sub acţiunea forţei (m R g+0)/2. Apare o forţă elastică F eb foarte mică, egală cu jumătatea greutăţii resortului. c. Corpul de masă m se atârnă de resort. Întrucât cârligul nu are proprietăţi elastice masa lui se va aduna la masa corpului, însă cârligul de sus nu participă la mişcarea de oscilaţie. Sistemul este în echilibru, centrul de greutate al corpului şi a cârligului este marcat cu o mică cruce, dreapta notată cu EQ arată linia echilibrului. Centrul de greutate se află la distanţa d de capătul de jos al resortului. Putem scrie ecuaţia de echilibru a forţelor: ( m R 2 + m) g (δl + ΔL) = 0 [12] Linia EQ va fi referinţa în descrierea oscilaţiilor, însă originea sistemului de referinţă o vom lega la punctul superior al resortului. În acest sistem EQ va avea ordonata: h EQ = L + δl + ΔL + d [13] d. Aplicăm forţa F pentru a putea distanţa corpul cu A de linia echilibrului. e. Când eliberăm corpul, forţa elastică fiind mai mare decât cea de echilibru, apare o forţă de revenire, corpul va începe să oscileze. Faţă de originea 0 a sistemului centrul de greutate va fi la distanţa h: h = L + δl + ΔL + d + z [14] Înlocuim [13] în [14] şi găsim coordonata z a corpului faţă de linia de echilibru: z = h h EQ [15] Însumând toate forţele ce se aplică supra corpului şi a resortului, scriem legea a doua a dinamicii: (m + m R ) a = mg + m Rg (δl + ΔL + z) [16] 3 2 Ecuaţia [12] înlocuim în [16], iar după reducerea termenilor şi înlocuirea acceleraţiei cu a = d2 z dt2 vom avea: (m + m R ) d2 z 3 dt2 = z [17] Ecuaţia [17] este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, omogenă, cu coeficienţi constanţi, ce se rezolvă uşor prin găsirea unor soluţii particulare. Soluţia particulară o vom căuta sub forma z=e rt, unde r este o variabilă auxiliară, fără sens fizic. Calculăm derivatele soluţiei particulare, pe urmă le înlocuim în ecuaţia [17]: dz dt = rert şi d 2 z dt 2 = r2 e rt [18] (m + m R 3 ) r2 e rt + e rt = 0 [19] Întrucât expresia e rt nu poate fi egală cu zero, putem simplifica cu ea. Divizăm cu (m + m R ), şi fără să ştim 3 de ce, notăm cu ω 2 raportul /(m+m R /3), adică: ω 2 = (m+ m R 3 ) [20] Obţinem ecuaţia caracteristică a ecuaţiei [17]: r 2 + ω 2 =0 [21] Notaţia ω 2 este aparent greşită, întrucât suma a două pătrate nu poate fi zero. Cele două rădăcini ale ecuaţiei

5 caracteristice vor da două soluţii particulare, combinaţia liniară a lor ne va da soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale. Dacă acceptăm ca rădăcinile ecuaţiei caracteristice să fie imaginare, atunci această combinaţie liniară poate să ne dea o funcţie armonică (sin, cos), adică vom avea un oscilator armonic. Semnul + din faţa lui ω 2 are o importanţă deosebită. Acest semn numai atunci este pozitiv, dacă în ecuaţia [17] semnul din faţa lui este negativ, adică forţa de revenire este de sens contrar elongaţiei z. Dacă în plus, este constant, atunci oscilaţia va fi armonică. Acceptăm semnul lui ω 2 şi calculăm cele două rădăcini imaginare ale ecuaţiei [21]: r 1 = +jω; şi r 2 = -jω [22] Obţinem cele două soluţii particulare ale ecuaţiei diferenţiale: z 1 = e +jωt şi z 2 = e jωt [23] Soluţia generală se va obţine din combinaţia liniară a celor două soluţii particulare: z = C 1 e +jωt + C 2 e jωt [24] Aceasta este o soluţie generală a unei ecuaţii diferenţiale ce descrie un proces oarecare. Pentru a descrie oscilatorul armonic, această ecuaţie trebuie să se verifice în două momente diferite. O altă posibilitate este să găsim două mărimi ce se pot lega de momentul iniţial, unde t = 0. Alegem aceasta din urmă şi vom calcula valoarea elongaţiei şi valoarea vitezei la momentul iniţial. La t = 0 elongaţia este amplitudinea A a oscilaţiei: A = C 1 + C 2 [25] Calculăm prima derivată a elongaţiei (viteza): v = dz/dt: dz dt = jωc 1e +jωt jωc 2 e jωt [26] La momentul iniţial viteza este zero. Simplificăm cu ω strict pozitiv şi cu j, avem: 0 = C 1 C 2 [27] Din [25] şi [27] rezultă C 1 = C 2 = A/2, le introducem în ecuaţia [24]: z = A e+jωt +e jωt 2 unde fracţia este tocmai cos ωt, deci în final primim ecuaţia oscilaţiei: [28] z = A cos ωt [29] Faptul că am notat ceva necunoscut cu ω 2 nu ne permite ca ω să fie considerat pulsaţia mişcării. Vom căuta intervalul de timp t 2 - t 1 pentru o diferenţa unghiulară 2π, aceasta va fi tocmai perioada oscilaţiei: ωt 2 - ωt 1 = 2π; T = t 2 - t 1; T = 2π/ω [30] Din ecuaţiile [20] şi [30] obţinem perioada oscilaţiei unui pendul elastic având resortul bobinat strict uniform: T = 2π m+m R 3 [31] Verificarea masei resortului. Formula m R = 3μ este valabilă doar pentru o distribuţie perfect uniformă a masei. De altfel m R /3 este masa dinamică (inertă) a resortului, ce caracterizează opunerea resortului întreg fixat la un capăt faţă de schimbarea axială a stării. În poziţia de echilibru a sistemului (ecuaţia [12]) a intervenit masa gravitaţională, aceasta a fost măsurată şi cu cântarul electronic: Resortul X: m Rx = 3μ x = 30,00 g, m Rxcântar = 19,4 g L xrepaus = 275 mm N x =114 Resortul Y: m Ry = 3μ y = 26,38 g, m Rycântar = 24,6 g L yrepaus = 193 mm N y =144 Resortul XpY: m Rxpy = 3μ xpy = 55,81 g, m Rxpycântar = 44,0 g Precizia determinării masei inerte este foarte bună, se poate vedea cel mai bine la eroarea grupării în paralel a

6 resorturilor: ε = (m Rx + m Ry - m Rxpy )/m Rxpy 100 = 1,02%. La resortul X se observă cel mai bine efectul distribuţiei neuniforme a masei. Masa dinamică a resortului X este mai mare cu 50% faţa de masa cântărită, dar eroarea de grupare a fost doar 1,02%, adică metoda de măsurare a masei inerte este corectă. Surse de erori. Sistemul de măsură aplicat în acest experiment este mult mai performant decât ar fi fost necesar. Tocmai această precizie a permis detectarea unor fenomene care au fost neglijate de teoria simplistă. Au mai existat diferite surse de erori sistematice, pe unele am încercat să le micşorăm. Iată câteva surse: Numărul de măsurători (13) este mic, l-am limitat pentru a uşura prelucrarea datelor experimentale. Pentru a putea rezolva uşor ecuaţia diferenţială [17], am considerat-o ecuaţie diferenţială cu coeficienţi constanţi. Aceasta se realizează doar la amplitudini mici, astfel evităm variaţia constantei de elasticitate în timpul oscilaţiei. Dacă amplitudinea este mare, soluţia nu mai este armonică şi perioada se calculează mult mai greu, respectiv calculând ca şi cum ar fi fost armonică, introducem o eroare mare. Prin construcţia mecanică a aparatului am limitat amplitudinea la 10 mm. Oscilaţii verticale. Am folosit un electromagnet de retenţie (vezi figura alăturată), ce are un mic cuib de fixare a corpului. Când electromagnetul cedează, corpul va executa o mişcare verticală chiar şi după de oscilaţii. Remanenţa electromagnetului. Este cea mai puternică sursă de erori. A primă reducere a efectului remanenţei am obţinut prin reglarea la limită maximă a distanţei dintre corp şi miezul de fier. Piuliţa de alamă este un distanţier reglabil cu filet foarte fin. Mai avem o treaptă de reglare: retardăm începerea măsurării perioadei, lăsăm să scadă amplitudinea oscilaţiei, astfel corpul se distanţează de electromagnet, dar între timp mai scade şi remanenţa. În aceste primele secunde se poate verifica şi verticalitatea oscilaţiei, dacă nu este vertical, se opreşte experimentul şi astfel am scăpat de o măsurătoare sigur greşită. Resortul X a avut spire îngrămădite în partea de jos, deci i- nerţia echivalentă a crescut. Nu ne interesează măsurarea masei gravitaţionale, ea este constantă, dar solicitarea spirelor mai rare pot aduce erori pentru linearitatea constantei resortului. Concluzii. Scopul principal al lucrării a fost găsirea neconcordanţelor între modelul simplist şi realitatea măsurată. Am studiat cauzele ce fac ca binecunoscuta formulă a perioadei să nu mai fie valabilă decât pentru determinarea ordinului de mărime al perioadei pendulului elastic. Prin această metodă am realizat un dispozitiv pentru măsurarea dinamică a constantei elastice a resortului şi a determinării i- nerţiei dinamice a resortului. Determinarea constantei elastice a resortului are o dispersie de sub 0,80%. Cu un resort bobinat uniform s-ar putea determina neliniaritatea constantei resortului (vezi aparatul de mai sus, aproape terminat). Determinarea masei inerte echivalente prezintă o dispersie de peste 10%, adică are o libertate mare pe verticală (perioada nu este constantă). Un număr mai mare de determinări va scădea această dispersie. dr. Bartos-Elees István